{2}} = \frac{1}{2 a} \operatorname{ln}\left|{\frac{- a + x}{a + x}}\right| + C$$

Интеграл от единицы, деленной на разницу x в квадрате минус a в квадрате равен натуральному логарифму от модуля деления x-a на x + a и весь этот логарифм делен на произведение 2a

$$\int \operatorname{ln}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{ln}\left(x\right) — x + C$$

Интеграл от натуральной логарифической функции равен произведению x на натуральный логарифм и минус переменная x

$$\int \frac{dx}{x \operatorname{ln}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{ln}\left(x\right)\right) + C$$

Integral от единицы, деленной на произведение x на натуральный логарифм равняется логарифму от логарифма от x — по сути получается такая сложная функция

$$\int \operatorname{log}_{b}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{log}_{b}\left(x\right) — \operatorname{log}_{b}\left(e\right) + C$$

Интеграл от логарифма от x по основанию b равен произведению x на логарифм от x по основанию b минус логарифм от экспоненты по основанию b

$$\int e^{x}\,dx = e^{x} + C$$

Значение интеграла от экспоненты в степени x равно самой экспоненте от x плюс константа C

$$\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\operatorname{ln}\left(a\right)} + C$$

Интеграл от числа a в степени x равняется a в степени x, деленное на натуральный логарифм от a

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} — x^{2}}} = \operatorname{arcsin}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

Интегральное выражение от 1 деленного на корень квадратный из разницы a в квадрате минус x в квадрате равняется арксинусу от деления x на a

$$\int \frac{- dx}{\sqrt{a^{2} — x^{2}}} = \operatorname{arccos}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

Этот же интеграл, но со знаком минус равен арккосинусу от деления x на a

$$\int \frac{dx}{x \sqrt{x^{2} — a^{2}}} = \frac{1}{a} \operatorname{arcsec} \frac{\left|x\right|}{a} + C$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \operatorname{ln}\left| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right| + C$$

$$\int \operatorname{sin}\left(x\right)\,dx = — \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$

Интеграл от функции синус от x равен минус косинусу от того же x

$$\int \operatorname{cos}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sin}\left(x\right) + C$$

Интеграл от функции косинус от x равен синусу от x

$$\int \operatorname{tg}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + C$$

Интегральное от тангенса от x равно одной второй от логарифма от суммы тангенса в квадрате от x плюс один

$$\int \frac{dx}{\operatorname{tg}\left(x\right)} = — \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}\left(x\right)\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{cos}\left(x\right)} = — \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) -1\right) + \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) + 1\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right)} = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) -1\right) — \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) + 1\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{cos}^{2}\left(x\right)} = \frac{\operatorname{sin}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C$$

интегралиус от 1 деленной на косинус в квадрате от x равен синусу от x, деленному на косинус от x

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}^{2}\left(x\right)} = — \frac{\operatorname{cos}\left(x\right)}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C$$

интегрализэ от единицы, деленной на синус в квадрате от x равен минус косинусу от x, деленному на синус от x

$$\int \frac{\operatorname{tg}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)}\,dx = \frac{1}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{tg}\left(x\right)} = \frac{1}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C$$

$$\int \operatorname{sin}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x — \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$

$$\int \operatorname{cos}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$

$$\int \operatorname{arctg}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{arctg}\left(x\right) — \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(x^{2} + 1\right) + C$$

$$\int \operatorname{sin}^{n} \left(x\right)\,dx = — \frac{\operatorname{sin}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{cos}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{sin}^{n-2}\left(x\right)\,dx$$ при $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$

$$\int \operatorname{cos}^{n} \left(x\right)\,dx = \frac{\operatorname{cos}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{sin}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{cos}^{n-2}\left(x\right)\,dx$$ при $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$

$$\int \operatorname{sh}\left(x\right)\,dx = \operatorname{ch}\left(x\right) + C$$

Интеграл от гипорболического синуса от x равен гиперболическому косинусу от x

$$\int \operatorname{ch}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sh}\left(x\right) + C$$

Интеграл от гипорболического косинуса от x равен гиперболическому синусу от x

$$\int \frac{dx}{\operatorname{ch}^{2}\left(x\right)} = \frac{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{th}^{2}\left(\frac{x}{2}\right) + 1} + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sh}^{2}\left(x\right)} = — \frac{1}{2} \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)} + C$$

$$\int \operatorname{th}\left(x\right)\,dx = x — \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sh}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{th} \frac{x}{2}\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{ch}\left(x\right)} = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{sh}\left(x\right)\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{th}\left(x\right)} = x — \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right)\right) + C$$

Определённый интеграл и методы его вычисления

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый
интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется
как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в
нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

            (38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

                   (39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления
определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной
функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С
из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница:
в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение
нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a). Полученное число и будет
определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

получим

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

                         (40)

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                    (41)       

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

            (42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

                  (43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                 (44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

   (45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

             (46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

                (47)

где

,

а через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

                       (48)

Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим

так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

           (49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x,
dv = dx; тогда du = (1/x)dx,
v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть

где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т. е.

Тогда

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть

поскольку F(x) – первообразная для f(x).

Итак,

           (50)

Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл

после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т. е. решить уравнения

и

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

Пример 9. Вычислить определённый интеграл

Решение. Произведём замену переменной, полагая

Тогда dt = 2x dx, откуда
x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение

даёт

а

Используя теперь формулу (50), получим

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Начало темы «Интеграл»

Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2),

© ГБПОУ КК ПАТИС

ГБПОУ КК ПАТИС

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

Приморско-Ахтарский техникум индустрии и сервиса

Адрес: 353860 г. Приморско-Ахтарск, ул. Тамаровского, 85

тел: 8 (861-43) 2-35-94, 8 (861-43) 2-18-98

Адрес сайта: http://патис.рф

Социальные сети: VK и OK

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН — СБ: с 8.00 до 16.00

Выходные дни: ВС

Учредители

Наименование:
Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края

Адрес: 350063 г. Краснодар, ул. Рашпилевская, 23

тел: 8 (861) 298-25-73

Адрес сайта: minobr.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед: с 13. 00 до 13.50

Выходные дни: СБ.ВС.

Наименование:
Департамент имущественных отношений Краснодарского края

Адрес: 350000 г. Краснодар, ул. Гимназическая, 36

Канцелярия: 8 (861) 268-24-08

Факс: 8 (861) 267-11-75

Специалист по работе с обращениями граждан — консультации, запись на прием — телефон 267-11-78

Телефон горячей линии по вопросам земельных отношений: 8 (861) 992-33-35

Адрес сайта: diok.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед ПН.ВТ.СР.ЧТ.: с 13.00 до 13.50

Перерыв на обед ПТ.: с 13.00 до 13.40

Выходные дни: СБ. ВС.

eUniver — Авторизация

При рассмотрении обращений обучающихся, сотрудников и
предподавателей Университета, лицо ответственное за рассмотрение
обращения и подготовку ответа руководствуется положенями Закона
Республики Казахстан от 12 января 2007 года № 221-III «О порядке
рассмотрения обращений физических и юридических лиц».
При возникновении вопроса обучающемуся необходимо соблюсти
следующий порядок обращения с заявлением: обучающийся обращается к
куратору (эдвайзеру), заведующему кафедрой, заместителям декана по
воспитательной работе и учебно-методической работе, декану факультета,
проректору курирующему данный вопрос. В случае если по вопросу не было
принято решение, то обращение обучающегося рассматривается первым
руководителем университета.
При возникновении вопроса сотруднику университета необходимо
соблюсти следующий порядок обращения с заявлением: сотрудник
обращается к непосредственному руководителю, проректору, курирующему
данный вопрос и в случае если по вопросу не принято решение, обращение
рассматривается первым руководителем университета.
Преподавателю университета необходимо соблюсти следующий
порядок обращения с заявлением, при возникновении вопроса:
преподаватель обращается заведующему кафедрой, декану факультета,
проректору, курирующему данный вопрос и в случае если решение по
вопросу не было принято обращение преподавателя рассматривается первым
руководителем университета.

Университет білім алушыларының, қызметкерлері мен
оқытушыларының өтініштерін қарау кезінде өтінішті қарауға және жауап
дайындауға жауапты тұлға «Жеке және заңды тұлғалардың өтініштерін қарау
тәртібі туралы «Қазақстан Республикасының 2007 жылғы 12 қаңтардағы №
221-III Заңының ережелерін басшылыққа алады.
Бұл ретте білім алушы өтінішпен жүгінудің келесі тәртібін сақтауы
қажет. Проблемалық сұрақ туындаған жағдайда білім алушы кураторға
(эдвайзерге) кафедра меңгерушісіне, тәрбие жұмысы немесе оқу-әдістемелік
жұмыс жөніндегі деканның орынбасарына, факультет декана, жетекшілік
ететін проректора жүгінеді. Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың
шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші

басшысы қарайды.
Университет қызметкері өтініш берудің келесі тәртібін сақтауы қажет.
Проблемалық мәселе туындаған жағдайда қызметкер тікелей бөлім
басшысына, мәселеге жетекшілік ететін проректорға жүгінеді. Мәселені
жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда
ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды.
Университет оқытушысы өтініш берудің келесі тәртібін сақтауы керек.
Проблемалық сұрақ туындаған жағдайда оқытушы кафедра меңгерушісіне,
факультет деканына, мәселеге жетекшілік ететін проректорға жүгінеді.
Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған
жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды.

для каких функций интеграл произведения равен произведению и : Анализ-I

Dan_Te писал(а):

Цитата:

Причём по моему это действует только для мат ожидания, т. к. сами функции распределения и плотности нужно считать через свёртку.

У независимых случайных величин совместная функция распределения факторизуется на маргинальные компоненты, это свойство эквивалентно независимости. В абсолютно непрерывном также факторизуется совместная плотность. (факторизуемость = возможность разложить на множители)

Да, правильно, я допустила ошибку написав для зависимых! Плотность независимых является продуктом маргинальных плотностей и имеет следующее свойство:

Правда при этом все должны иметь абсолютно непрерывные распределения. Другое дело, это всё равно здесь не поможет, мы рассматриваем здесь функции, строго говоря, от разных переменных, соответственно и понятие левой части у нас будет отличаться от того, что задано в задаче (т.е. в задаче я подразумеваю, что существует интеграл двух функций от одной переменной, а не двойной интеграл от двух переменных). Я сейчас напишу свою идею насчёт Лебега.

Идея Лебега: я не знаю, насколько это всё будет верно, но идея у меня следующая. Задаём две функции определяя её, например, для всех нечётных целых чисел равной 1 и 0 остальное и определяя её, для всех чётных целых чисел равной 1 и 0 остальное.

Теперь, использую обыкновенное правило перемножение функций, получаю их произведение равным 0. Отсюда, надо полагать, интеграл слева, вне зависимости от выбора будет равен 0. Но и интеграл справа будет также равен 0, т.к. если я определю, к примеру для моей первой функции, то есть как покрытие всех чётных чисел, то соотвественно сразу обнулиться интеграл моей второй функции. Соответстенно зеркальное отображение (остальные я не рассматриваю, т.к. обнуляются обе функции). Но произведения чего-то с 0 равно 0. Отсюда моя правая часть тождественна равна левой, для функций не равных 0 всюду.

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Исчисление I — Определение определенного интеграла

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т. е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-6: Определение определенного интеграла

В этом разделе мы формально определим определенный интеграл и дадим многие свойства определенных интегралов.*} \ right) \ Delta x} \]

Определенный интеграл определяется как предел и сумма, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе, чтобы найти чистую площадь между функцией и осью \ (x \). Также обратите внимание, что обозначение для определенного интеграла очень похоже на обозначение для неопределенного интеграла. Причина этого со временем станет очевидной.

Есть также немного терминологии, от которой нам следует избавиться. Число «\ (a \)», которое находится внизу знака интеграла, называется нижним пределом интеграла, а число «\ (b \)» в верхней части знака интеграла называется верхним пределом . предел интеграла.Кроме того, несмотря на то, что \ (a \) и \ (b \) были заданы как интервал, нижний предел не обязательно должен быть меньше верхнего. В совокупности мы часто будем называть \ (a \) и \ (b \) интервал интегрирования .

Давайте быстро рассмотрим пример. В этом примере будут использоваться многие свойства и факты из краткого обзора нотации суммирования в главе «Дополнительно».

Пример 1 Используя определение определенного интеграла, вычислите следующее.* \). Чтобы облегчить себе жизнь, мы будем использовать правильные конечные точки каждого интервала.

Из предыдущего раздела мы знаем, что для общего \ (n \) ширина каждого подынтервала составляет

\ [\ Delta x = \ frac {{2 — 0}} {n} = \ frac {2} {n} \]

Тогда подынтервалы равны

. 3}}} + \ frac {2}) {n}} \ right)} \ end {align *} \]

Теперь нам нужно взять предел этого.Значит, нам нужно будет «оценить» это суммирование. Другими словами, нам придется использовать формулы, приведенные в обзоре нотации суммирования, чтобы исключить фактическое суммирование и получить формулу для этого общего \ (n \).

Для этого нам нужно признать, что \ (n \) является константой в том, что касается обозначения суммирования. По мере того, как мы перебираем целые числа от 1 до \ (n \) в суммировании, изменяется только \ (i \), и поэтому все, что не является \ (i \), будет постоянным и может быть исключено из суммирования.2}}} \\ & = \ frac {{14}} {3} \ end {align *} \]

Мы видели несколько методов решения этой проблемы с ограничением, поэтому оставим вам проверять результаты.

Вау, это было много работы для довольно простой функции. Есть гораздо более простой способ их оценки, и в конце концов мы до него доберемся. Основная цель этого раздела — разъяснить основные свойства и факты об определенном интеграле. Мы обсудим, как мы вычисляем их на практике, начиная со следующего раздела.{{\, b}} {{f \ left (t \ right) \, dt}} \). Смысл этого свойства в том, чтобы заметить, что, пока функция и пределы совпадают, переменная интегрирования, которую мы используем в определенном интеграле, не повлияет на ответ.

Доказательство свойств 1–4 см. В разделе «Доказательство различных интегральных свойств» в главе «Дополнительные возможности». Свойство 5 доказать непросто, поэтому оно здесь не показано. Свойство 6 не является собственностью в полном смысле этого слова. Это сделано только для того, чтобы признать, что до тех пор, пока функция и ограничения одинаковы, не имеет значения, какую букву мы используем для переменной.{{\, 12}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \).

Показать решение

Этот пример в основном является примером свойства 5, хотя в решении также есть несколько вариантов использования свойства 1.

Нам нужно выяснить, как правильно разбить интеграл, используя свойство 5, чтобы мы могли использовать заданные фрагменты информации. Во-первых, отметим, что существует интеграл, в одном из пределов которого стоит «-5». Это не нижний предел, но мы можем использовать свойство 1, чтобы в конечном итоге это исправить.{{\, b}} {{\ left | {f \ left (x \ right) \,} \ right | dx}} \)

См. Доказательство этих свойств в разделе «Доказательство различных интегральных свойств» главы «Дополнительные возможности».

Интерпретации определенного интеграла

Здесь мы можем дать несколько быстрых интерпретаций определенного интеграла.

Во-первых, как мы упоминали в предыдущем разделе, одна из возможных интерпретаций определенного интеграла состоит в том, чтобы дать чистую площадь между графиком \ (f \ left (x \ right) \) и осью \ (x \) на интервал \ (\ left [{a, b} \ right] \).{{\, b}} {{f ‘\ left (x \ right) \, dx}} = f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right) \]

— чистое изменение \ (f \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{a, b} \ right] \). {{\, {t_2}}} {{v \ left (t \ right) \, dt}} = s \ left ({{t_2}} \ right ) — s \ left ({{t_1}} \ right) \]

Обратите внимание, что в этом случае if \ (v \ left (t \ right) \) одновременно положительно и отрицательно ( i.{{\, {t_2}}} {{\ left | {v \ left (t \ right)} \ right | \, dt}} \]

Здесь важно отметить, что теорема чистого изменения имеет смысл только в том случае, если мы интегрируем производную функции.

Фундаментальная теорема исчисления, часть I

Как указано в названии выше, это только первая часть фундаментальной теоремы исчисления. Мы дадим вторую часть в следующем разделе, поскольку она является ключом к простому вычислению определенных интегралов и является предметом следующего раздела.2} + 1}} \, dt}} \) Показать решение

Над этим нужно немного поработать, прежде чем мы сможем использовать фундаментальную теорему исчисления. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что основная теорема исчисления требует, чтобы нижний предел был константой, а верхний предел — переменной. {{\, v \ left (x \ right)}} {{f \ left (t \ right) \, dt }} = — v ‘\ left (x \ right) f \ left ({v \ left (x \ right)} \ right) \]

Наконец, мы также можем получить версию для обоих пределов, являющихся функциями \ (x \).2}} \ right) \ end {align *} \]

Определенные интегралы

Возможно, вам сначала захочется прочитать «Введение в интеграцию»!

Интеграция

Обозначение

Символ «Интеграл» — стильная буква «S» (от «Сумма», идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл от которой мы хотим найти (называемую интегралом).

И затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

Определенный интеграл

Определенный интеграл имеет начальное и конечное значения: другими словами, существует интервал [a, b].

a и b (называемые пределами, границами или границами) помещаются внизу и вверху буквы «S», например:

Мы находим Определенный интеграл, вычисляя неопределенный интеграл при a и b , затем вычитая:

Пример: что такое

Нам нужен определенный интеграл , от 1 до 2, из 2x dx

Сначала нам нужно найти неопределенный интеграл .

Используя правила интегрирования, находим, что ∫2x dx = x ² + C

Теперь посчитайте, что при 1 и 2:

• При x = 1: ∫2x dx = 1 ² + C
• При x = 2: ∫2x dx = 2 ² + C

Вычесть:

(2 ² + C) — (1 ² + C)

2 ² + C — 1 ² — C

4 — 1 + С — С = 3

И «C» отменяется… так что с Definite Integrals мы можем игнорировать C .

Результат:

Проверка : с такой простой формой попробуем еще вычислить площадь по геометрии:

A = 2 + 4 2 × 1 = 3

Да, у него есть площадь 3.

(Ура!)

Обозначение : Мы можем показать неопределенный интеграл (без + C) внутри квадратных скобок с пределами a и b после, например:

Пример (продолжение)

Хороший способ показать свой ответ:

Давайте попробуем другой пример:

Пример:

Определенный интеграл, от 0. 5 до 1.0, из cos (x) dx:

(Примечание: x должен быть в радианах)

Неопределенный интеграл : ∫ cos (x) dx = sin (x) + C

Мы можем игнорировать C для определенных интегралов (как мы видели выше) и получаем:

= грех (1) — грех (0,5)

= 0,841 … — 0,479 …

= 0,362 …

И еще один важный пример:

Пример:

Определенный интеграл от 0 до 1 от sin (x) dx:

Неопределенный интеграл : ∫ sin (x) dx = −cos (x) + C

Поскольку мы идем от 0, можем ли мы просто вычислить интеграл при x = 1?

−cos (1) = −0.540 …

Что? Это отрицательное ? Но на графике это выглядит положительно.

Ну … мы сделали ошибку !

Поскольку нам нужно вычесть интеграл при x = 0 . Не следует предполагать, что он равен нулю.

Итак, давайте сделаем это правильно, вычтя одно из другого:

грех (x) dx

= [−cos (x)]

= −cos (1) — (−cos (0))

= -0,540 . .. — (-1)

= 0.460 …

Так лучше!

Но мы можем иметь отрицательные области , когда кривая ниже оси:

Пример:

Определенный интеграл от 1 до 3 от cos (x) dx:

Обратите внимание, что некоторые из них положительные, а некоторые отрицательные.
Определенный интеграл даст значение нетто .

Сделаем расчеты:

= грех (3) — грех (1)

= 0.141 … — 0,841 …

= −0,700 …

Таким образом, отрицательного больше, чем положительного, с чистым результатом -0,700 ….

Итак, нам нужно запомнить одну важную вещь:

f (x) dx = (Площадь выше оси x) — (Площадь ниже оси x)

Попробуйте интегрировать cos (x) с разными начальными и конечными значениями, чтобы увидеть, как работают положительные и отрицательные значения.

Положительная область

Но иногда мы хотим, чтобы вся область обрабатывалась как положительное значение (без вычитания части под осью).

В этом случае мы должны вычислить площади отдельно , как в этом примере:

Пример: Какова общая площадь

между y = cos (x) и осью x, от x = 1 до x = 3?

Это похоже на пример, который мы только что сделали, но теперь мы ожидаем, что вся площадь положительна (представьте, что нам нужно было это нарисовать).

Итак, теперь нам нужно сделать детали отдельно:

• Один для области над осью x
• Один для области ниже оси x

Кривая пересекает ось x при x = π / 2, поэтому мы имеем:

От 1 до π / 2:

cos (x) dx

= грех (π / 2) — грех (1)

= 1 — 0.841 …

= 0,159 …

От π / 2 до 3:

cos (x) dx

= грех (3) — грех (π / 2)

= 0,141 … — 1

= -0,859 …

Последний выходит отрицательным, но мы хотим, чтобы он был положительным, поэтому:

Общая площадь = 0,159 … + 0,859 … = 1,018 …

Это сильно отличается от ответа в предыдущем примере.

непрерывный

О да, функция, которую мы интегрируем, должна быть непрерывной между a и b : без дыр, скачков или вертикальных асимптот (где функция движется вверх / вниз к бесконечности).

Пример:

Вертикальная асимптота между a и b влияет на определенный интеграл.

Недвижимость

Область выше — область ниже

Интеграл добавляет площадь над осью, но вычитает площадь ниже, для «чистого значения»:

f (x) dx = (Площадь выше оси x) — (Площадь ниже оси x)

Добавление функций

Интеграл от f + g равен интегралу от f плюс интеграл от g :

f (x) + g (x) dx =

ф (х) dx +

г (x) dx

Реверсирование интервала

Изменение направления интервала на противоположное дает отрицательное значение исходного направления.

Интервал нулевой длины

Когда интервал начинается и заканчивается в одном и том же месте, результат равен нулю:

Добавление интервалов

Мы также можем сложить два соседних интервала вместе:

Сводка

Определенный интеграл между a и b — это неопределенный интеграл в точке b минус неопределенный интеграл в точке a .

Определенные интегралы

Определенный интеграл функции тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом функции. Основное отличие состоит в том, что неопределенный интеграл, если он существует, является вещественным числовым значением, в то время как последние два представляют бесконечное количество функций, которые отличаются только константой. Взаимосвязь между этими понятиями будет обсуждаться в разделе, посвященном фундаментальной теореме исчисления, и вы увидите, что определенный интеграл будет иметь приложения ко многим задачам исчисления.

Развитие определения определенного интеграла начинается с функции f ( x ), которая непрерывна на отрезке [ a, b ]. Данный интервал разделен на подинтервалы « n », которые, хотя и не обязательно, могут быть взяты равной длины (Δ x ). Произвольное значение домена, x _i , выбирается в каждом подынтервале, и определяется его последующее значение функции, f ( x _i ). Определяется произведение каждого значения функции на соответствующую длину подынтервала, и эти произведения « n » складываются для определения их суммы. Эта сумма называется суммой Римана и может быть положительной, отрицательной или нулевой, в зависимости от поведения функции на закрытом интервале. Например, если f ( x )> 0 на [ a, b ], то сумма Римана будет положительным вещественным числом. Если f ( x ) <0 на [ a, b ], тогда сумма Римана будет отрицательным действительным числом.Сумма Римана функции f ( x ) на [ a, b ] выражается как

Таким образом, сумму Римана можно представить как «сумму n произведений».

Пример 1: Оцените сумму Римана для f ( x ) = x ² на [1,3], используя четыре подинтервала равной длины, где x _i — правая конечная точка в подынтервале и (см. рисунок).

Рисунок 1 Сумма Римана с четырьмя частями.

Поскольку подынтервалы должны иметь одинаковую длину, получается, что

Сумма Римана для четырех подинтервалов равна

.

Если количество подынтервалов многократно увеличивать, то в результате длина каждого подынтервала будет становиться все меньше и меньше. Это можно переформулировать следующим образом: если количество подынтервалов неограниченно увеличивается ( n → + ∞), то длина каждого подынтервала приближается к нулю (Δ x → + ∞).Этот предел суммы Римана, если он существует, используется для определения определенного интеграла функции на [ a, b ]. Если f ( x ) определено на закрытом интервале [ a, b ], то определенный интеграл из f ( x ) от a до b определяется как

, если это ограничение выходит за пределы.

Функция f ( x ) называется подынтегральным выражением, а переменная x является переменной интегрирования.Числа a и b называются пределами интеграции, с a — нижним пределом интегрирования, а b — верхним пределом интегрирования.

Обратите внимание, что символ ∫, используемый с неопределенным интегралом, — это тот же символ, который ранее использовался для неопределенного интеграла функции. Причина этого станет более очевидной в следующем обсуждении фундаментальной теоремы исчисления. Также имейте в виду, что определенный интеграл является уникальным действительным числом и не представляет бесконечное количество функций, которые являются результатом неопределенного интеграла функции.

Вопрос о существовании предела суммы Римана важно рассмотреть, поскольку он определяет, существует ли определенный интеграл для функции на отрезке. Как и в случае с дифференциацией, существует значительная взаимосвязь между непрерывностью и интегрированием, которую можно резюмировать следующим образом: если функция f ( x ) является непрерывной на отрезке [ a, b ], то определенный интеграл от f ( x ) на [ a, b ] существует, а f считается интегрируемым на [ a, b ]. Другими словами, непрерывность гарантирует, что определенный интеграл существует, но обратное не обязательно верно.

К сожалению, тот факт, что определенный интеграл функции существует на отрезке, не означает, что значение определенного интеграла легко найти.

Некоторые свойства полезны при решении задач, требующих применения определенного интеграла. Некоторые из наиболее распространенных свойств:

1.

2.

3., где c — постоянная

4.

5. Правило суммы:

6. Правило разницы:

7. Если

8. Если

9. Если

10. Если a, b, и c — любые три точки на закрытом интервале, то

11. Теорема о среднем значении для определенных интегралов: если f ( x ) непрерывно на закрытом интервале [ a, b ], то по крайней мере одно число c существует в открытом интервале ( a , b ) такая, что

Значение f ( c ) называется средним или средним значением функции f ( x ) на интервале [ a, b ] и

.

Пример 2: Оценить

Пример 3: Учитывая, что

Пример 4: Учитывая, что

Пример 5 Вычислить

Пример 6: Учитывая, что оценка

Пример 7: Учитывая, что оцените.

Пример 8: Учитывая это, оцените.

Пример 9: При условии, что найти все c значений, которые удовлетворяют теореме о среднем значении для данной функции на отрезке.

По теореме о среднем значении

Поскольку находится в интервале (3,6), заключение теоремы о среднем значении выполняется для этого значения c .

Основная теорема исчисления

Фундаментальная теорема исчисления устанавливает связь между неопределенными и определенными интегралами и вводит методику вычисления определенных интегралов без использования сумм Римана, что очень важно, поскольку вычисление предела суммы Римана может быть чрезвычайно трудоемким и трудоемким. Утверждение теоремы: Если f ( x ) непрерывно на интервале [ a, b ], а F ( x ) является любой первообразной f ( x ) по [ a, b ], затем

Другими словами, значение определенного интеграла функции на [ a, b ] — это разность любой первообразной функции, вычисленной на верхнем пределе интегрирования, за вычетом той же первообразной, вычисленной на нижнем пределе интегрирования.Поскольку константы интегрирования одинаковы для обеих частей этой разности, они игнорируются при вычислении определенного интеграла, поскольку они вычитаются и дают ноль. Помня об этом, выберите постоянную интегрирования равной нулю для всех определенных интегральных вычислений после примера 10.

Пример 10: Оценить

Поскольку общая первообразная x ² равна (1/3) x ³ + C , вы обнаружите, что

Пример 11: Оценить

Поскольку первообразная sin x — cos x , вы обнаружите, что

Пример 12: Оценить

(Потому что (первообразная от, и вы обнаружите, что

Пример 13: Вычислить

Поскольку первообразное x ² -4 x + 1 равно (1/3) x ³ -2 x ² + x , вы обнаружите, что

Определенная интегральная оценка

Многочисленные методы, которые можно использовать для вычисления неопределенных интегралов, также могут использоваться для вычисления определенных интегралов. Методы подстановки и замены переменных, интегрирования по частям, тригонометрических интегралов и тригонометрической подстановки проиллюстрированы в следующих примерах.

Пример 14: Вычислить

Используя метод замены с

пределы интегрирования можно преобразовать из значений x в соответствующие им значения и . Когда x = 1, u = 3 и когда x = 2, u = 6, вы обнаружите, что

Обратите внимание, что когда метод подстановки используется для вычисления определенных интегралов, нет необходимости возвращаться к исходной переменной, если пределы интегрирования преобразованы в новые значения переменных.

Пример 15: Вычислить

Используя метод подстановки с u = sin x + 1, du = cos x dx , вы обнаружите, что u = 1, когда x = π, и u = 0, когда x = 3π / 2; следовательно,

Обратите внимание, что вам никогда не приходилось возвращаться к тригонометрическим функциям в исходном интеграле для вычисления определенного интеграла.

Пример 16: Вычислить

Использование интеграции по частям с

вы обнаружите, что

Пример 17: Вычислить

Использование интеграции по частям с

Пример 18: Вычислить

Пример 19: Оценить.

Пример 20: Оценить.

Поскольку подынтегральное выражение содержит форму a ² + x ² ,

Рисунок 2 Диаграмма для примера 20.

Пример 21: Вычислить

Поскольку радикал имеет вид

Рисунок 3 Схема для примера 21.

Свойства определенных интегралов

Интегрирует: \ (f \), \ (g \), \ (u \), \ (v \)
Первообразные: \ (F \), \ (G \)
Независимые переменные: \ (x \), \ (t \)
Пределы интегрирования: \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \)

Подынтервалы интегрирования: \ (\ Delta {x_i} \)
Произвольная точка подынтервала: \ ({\ xi_i} \)
Натуральные числа: \ (n \), \ (i \)
Площадь криволинейной трапеции: \ (S \)

1. Пусть вещественная функция \ (f \ left (x \ right) \) определена и ограничена на интервале \ (\ left [{a, b} \ right] \). {\, ​​\ prime} \ left (x \ right) = g \ left (x \ right). \)

Определенные интегралы: определенные интегралы неотрицательных функций Учебное пособие

Определенные интегралы неотрицательных функций

Когда f является неотрицательной функцией и a < b , область между графиком f и ось x на [ a , b ] называется интегралом f от a до b относительно x .Написано это так:

Забавный символ S-образный символ называется знаком интеграла . Функция f ( x ) называется подынтегральным выражением . Часть dx означает, что x — это переменная интеграции . Интеграл берется из числа внизу знака интеграла

до числа вверху знака интеграла

.

Число в нижней части знака интеграла называется нижним пределом интегрирования , а число в верхней части знака интеграла называется верхним пределом интегрирования .

Когда область между функцией и горизонтальной осью не состоит из красивых форм, найти интеграл труднее. Вот почему мы потратили все это время на аппроксимацию областей: суммы в левой и правой частях, суммы в средних точках и суммы в трапециях — это способы аппроксимации значения определенного интеграла.

Пусть f будет неотрицательной функцией на [ a , b ]. По мере увеличения количества подинтервалов сумма слева приближается к фактической площади между f и осью x на [ a , b ].При переводе в символы, когда n приближается к ∞, LHS ( n ) приближается к . Мы определили как область между графиком f и осью x на [ a , b ], но мы можем использовать это обсуждение, чтобы получить более точное определение.

Определите интеграл от f на [ a , b ] как

.

То же самое относится и к другим видам сумм, поэтому мы могли бы также определить интеграл от f на [ a , b ], используя любое из следующих утверждений:

Если хотите, вы можете представить себе dx в интегральном представлении как Δ x , которое стало еще меньше. Если бы у нас могло быть бесконечно много подинтервалов, каждый из них имел бы ширину dx .

5.2: Определенный интеграл — математика LibreTexts

Цели обучения

• Дайте определение определенному интегралу.
• Объясните термины «интеграция», «пределы интегрирования» и «переменная интегрирования».
• Объясните, когда функция интегрируема.
• Опишите соотношение между определенной интегральной и чистой площадью.∗ _i) Δx. \]

  Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \ (f (x) \) была непрерывной и неотрицательной. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.

  Определение и обозначения

  Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования о непрерывности и неотрицательности \ (f (x) \) и определяем определенный интеграл следующим образом. ∗ _i) Δx, \]

  при наличии ограничения. Если этот предел существует, функция \ (f (x) \) называется интегрируемой на \ ([a, b] \) или интегрируемой функцией.

  Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым. Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без \ (a \) и \ (b \) сверху и снизу) для представления первообразной. Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают.Определенный интеграл — это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

  Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают соавтором исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования \ (∫ \) — удлиненный \ (S \), обозначающий сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала \ ([a, b]. \) Числа \ (a \) и \ (b \) являются \ (x \) — значениями и называются пределами интеграции ; в частности, \ (a \) — нижний предел, а \ (b \) — верхний предел. Чтобы уточнить, мы используем слово limit двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Сначала поговорим о пределе суммы при \ (n → ∞.\) Во-вторых, границы региона называются пределами интеграции .

  Мы называем функцию \ (f (x) \) подынтегральным выражением , а \ (dx \) указывает, что \ (f (x) \) является функцией по отношению к \ (x \), называемой переменная интегрирования . Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла. В качестве переменной интегрирования мы можем использовать любую понравившуюся переменную:

  \ [∫ ^ b_af (x) \, dx = ∫ ^ b_af (t) \, dt = ∫ ^ b_af (u) \, du \]

  Ранее мы обсуждали тот факт, что если \ (f (x) \) непрерывно на \ ([a, b], \), то предел \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} \ sum_ {i = 1 } ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx \) существует и единственно. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

  Интегрируемые непрерывные функции

  Если \ (f (x) \) непрерывно на \ ([a, b] \), то \ (f \) интегрируемо на \ ([a, b]. \)

  Функции, которые не являются непрерывными на \ ([a, b] \), могут быть интегрируемыми, в зависимости от природы разрывов. Например, функции с конечным числом скачкообразных разрывов или устранимых разрывов на отрезке интегрируемы.

  Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина самого большого подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 2 \, dx. \) Используйте приближение правой конечной точки для генерации суммы Римана.

  Решение

  Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \ (a = 0 \) и \ (b = 2 \). Для \ (i = 0,1,2,…, n \) пусть \ (P = {x_i} \) — регулярное разбиение \ ([0,2]. \), Тогда

  \ [Δx = \ dfrac {b − a} {n} = \ dfrac {2} {n}. \ nonumber \]

  Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого \ (i \) нам нужно вычислить значение функции на правом конце интервала \ ([x_ {i − 1}, x_i].3_0 (2x − 1) \, dx \).

  Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

  Подсказка

  Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {1} \).

  Ответ

  6

  Вычисление определенных интегралов

  Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Позже в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без , взяв пределы сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем обсудить, что делать в случае, если кривая функции опускается ниже оси \ (x \).4_2 (2х + 3) \, dx \).

  Подсказка

  Постройте график функции \ (f (x) \) и вычислите площадь под функцией на интервале \ ([2,4]. \)

  Ответ

  18 квадратных единиц

  Площадь и определенный интеграл

  При определении определенного интеграла мы сняли требование неотрицательности \ (f (x) \). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \ (f (x) \) отрицательно?

  Чистая подписанная площадь

  Вернемся к сумме Римана. ∗ _i) Δx = (\ text {Площадь прямоугольников над} x \ text {-axis}) — (\ text {Площадь прямоугольников под} x \ text {-axis}) \ nonumber \]

  Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): для функции, которая частично отрицательна, сумма Римана — это площадь прямоугольников над осью \ (x \) за вычетом площади прямоугольников под \ (x \) -ось.

  Принимая предел как \ (n → ∞, \), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью \ (x \) и осью \ (x \), за вычетом площади между кривой ниже \ (x \) — ось и \ (x \) — ось, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).nf (c_i) Δx = A_1 − A_2. \]

  Величина \ (A_1-A_2 \) называется чистой подписанной областью .

  Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В пределе определенный интеграл равен площади \ (A_1 \) без площади \ (A_2 \) или чистой подписанной области.

  Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью \ (x \) больше, чистая подписанная область положительна. Если область под осью \ (x \) больше, чистая подписанная область отрицательна. Если области выше и ниже оси \ (x \) равны, чистая область со знаком равна нулю.

  Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск чистой подписанной области

  Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции \ (f (x) = 2x \) и осью \ (x \) на интервале \ ([- 3,3]. \)

  Решение

  Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от \ (x = −3 \) до \ (x = 0 \), а другой от \ (x = 0 \) до \ (x = 3 \) ( Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)). Используя геометрическую формулу для площади треугольника \ (A = \ dfrac {1} {2} bh \), площадь треугольника \ (A_1 \) над осью равна

  .

  \ (A_1 = \ dfrac {1} {2} 3 (6) = 9 \),

  , где \ (3 \) — основание, а \ (2 (3) = 6 \) — высота.3 _ {- 3} 2x \, dx = A_1 − A_2 = 9−9 = 0. \)

  Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Площадь над кривой и под осью \ (x \) равна площади под кривой и над осью \ (x \).

  Анализ

  Если \ (A_1 \) — это площадь над осью \ (x \) — и \ (A_2 \) — это площадь под \ (x \) — осью, то чистая площадь равна \ (A_1 − A_2 \) . Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

  Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

  Найдите чистую знаковую площадь \ (f (x) = x − 2 \) на интервале \ ([0,6] \), как показано на следующем рисунке.

  Подсказка

  Используйте метод решения, описанный в примере \ (\ PageIndex {3} \).

  Ответ

  6

  Общая площадь

  Одно из применений определенного интеграла — это нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \ (v (t) \) представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект от своего исходного положения.Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

  Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже хорошо знакома. Если автомобиль удаляется от исходного положения по прямой со скоростью \ (70 \) миль в час в течение \ (2 \) часов, то он находится на расстоянии \ (140 \) миль от исходного положения (рис. \ (\ PageIndex {5} \)).2_0 70 \, dt = 140 \, \ text {миль}. \ nonumber \]

  Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Площадь под кривой \ (v (t) = 70 \) показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

  В контексте смещения чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции. Если после этого автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).5_2−40 \, dt = 120−120 = 0. \ Nonumber \]

  В этом случае смещение равно нулю.

  Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Площадь над осью и область под осью равны, поэтому чистая подписанная область равна нулю.

  Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью \ (t \), независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью кв.

  С графической точки зрения проще всего рассчитать общую площадь, добавив области над осью и области под осью (вместо вычитания областей под осью, как мы это делали с чистой подписанной областью).5_240 \, dt = 120 + 120 = 240. \ Nonumber \]

  Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.

  Определение: Чистая подписанная площадь

  Пусть \ (f (x) \) — интегрируемая функция, определенная на интервале \ ([a, b] \). Пусть \ (A_1 \) представляет область между \ (f (x) \) и \ (x \) — осью, которая лежит над осью, и пусть \ (A_2 \) представляет область между \ (f (x) \ ) и \ (x \) — ось, лежащая ниже оси. b_af (x) \, dx = A_1 − A_2.b_a | f (x) | \, dx = A_1 + A_2. \]

  Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение общей площади

  Найдите общую площадь между \ (f (x) = x − 2 \) и осью \ (x \) на интервале \ ([0,6]. \)

  Решение

  Вычислить точку пересечения \ (x \) как \ ((2,0) \) (установить \ (y = 0, \) решить для \ (x \)). Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси \ (x \) на подынтервале \ ([0,2] \) и добавьте ее к области над осью \ (x \) на подынтервале \ ( [2,6] \) (Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)).2 \)

  Свойства определенного интеграла

  Свойства неопределенных интегралов применимы также к определенным интегралам. Определенные интегралы также имеют свойства, относящиеся к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим далее в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

  Правило: свойства определенного интеграла

  1. a_af (x) \, dx = 0 \ end {уравнение} \]

  Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой просто линию и не содержит области.2_1f (х) \, dx. \)

  Подсказка

  Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {6} \) и правило свойств определенных интегралов.

  Ответ

  \ (- 7 \)

  Сравнительные свойства интегралов

  Изображение иногда может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции.Интуитивно мы могли бы сказать, что если функция \ (f (x) \) находится над другой функцией \ (g (x) \), то область между \ (f (x) \) и \ (x \) — ось больше, чем область между \ (g (x) \) и \ (x \) — осью. Это верно в зависимости от интервала, в течение которого производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, \ (a b \). Однако следующие свойства относятся только к случаю \ (a≤b \) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

  Теорема сравнения

  и.2} \) и \ (g (x) = \ sqrt {1 + x} \) на интервале \ ([0,1] \).

  Решение

  Построение графиков этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются в интервале \ ([0,1]. \). Первоначально, при построении графика на графическом калькуляторе, \ (f (x) \) оказывается выше \ (g (x )\) везде. Однако на интервале \ ([0,1] \) графики кажутся поверх друг друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \ ([0,1], \, g (x) \) находится выше \ (f (x) \). Две функции пересекаются в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \) (рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).1_0f (x) \, dx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)). Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале \ ([0,1]. \)

  Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) График показывает, что на интервале \ ([0,1], g (x) ≥f (x), \), где равенство выполняется только на концах интервал. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

  Среднее значение функции

  Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест.Предположим, вы получили следующие результаты тестов в своем классе алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка — это ваши средние результаты тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста. Таким образом,

  \ [\ dfrac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = \ dfrac {482} {6} ≈80,33. \ nonumber \]

  Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.

  Однако предположим, что у нас есть функция \ (v (t) \), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени \ (t \), и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \ (v (t) \) принимает бесконечное количество значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции, как эта.

  Пусть \ (f (x) \) непрерывно на интервале \ ([a, b] \) и пусть \ ([a, b] \) разделен на n подинтервалов шириной \ (Δx = (b − a ) / п \).b_af (x) \, dx. \ label {averagevalue} \]

  Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск среднего значения линейной функции

  Найдите среднее значение \ (f (x) = x + 1 \) на интервале \ ([0,5]. \)

  Решение

  Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {10} \).

  Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График показывает площадь под функцией \ ((x) = x + 1 \) над \ ([0,5]. \)

  Область представляет собой трапецию, лежащую на ее стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \ (A = \ dfrac {1} {2} h (a + b), \), где \ (h \) представляет высоту, а \ (a \) и \ (b \) представляют две параллельные стороны. 5_0x + 1 \, dx = \ dfrac {1} {5} ⋅ \ dfrac {35} {2} = \ dfrac {7} {2} \).

  Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

  Найдите среднее значение \ (f (x) = 6−2x \) на интервале \ ([0,3]. \)

  Подсказка

  Используйте формулу среднего значения (Equation \ ref {averagevalue}) и используйте геометрию для вычисления интеграла.

  Ответ

  \ (3 \)

  Ключевые концепции

  • Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой подписанной площади, которая представляет собой площадь над осью \ (x \) за вычетом площади под осью \ (x \).Чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой.
  • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральное выражение, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
  • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
  • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
  • Площадь под кривой многих функций может быть вычислена с использованием геометрических формул.b_cf (х) \, dx \)

    Глоссарий

    среднее значение функции

    (или \ (f_ {ave}) \) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала

    определенный интеграл

    первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью \ (x \) на заданном интервале представляет собой определенный интеграл

    интегрируемая функция

    функция интегрируема, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана при \ (n \) стремится к бесконечности, существует

    подынтегральное выражение

    функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию

    пределы интеграции

    эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, в котором функция должна быть интегрирована

    чистая подписанная площадь

    область между функцией и осью \ (x \), такая, что область ниже оси \ (x \) вычитается из области над осью \ (x \); результат совпадает с определенным интегралом функции

    общая площадь

    общая площадь между функцией и осью \ (x \) вычисляется путем сложения площади над осью \ (x \) и площади под осью \ (x \); результат такой же, как и определенный интеграл от модуля функции

    переменная интегрирования

    указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это \ (x \), то за функцией в подынтегральном выражении следует \ (dx \)

    Авторы и указание авторства

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    Интеграция и принятие интеграла

    Интегрирование — это алгебраический метод нахождения интеграла функции в любой точке графика.
    Нахождение интеграла
    функции относительно x означает нахождение площади до оси x от кривой.
    Интеграл обычно называют антипроизводной
    , потому что интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию.
    Фундаментальная теорема исчисления
    показывает, что антидифференциация — это то же
    , что и интегрирование.

    Физическая концепция интеграла аналогична производной.
    Что касается производной, мотивация заключалась в том, чтобы найти скорость в любой момент времени
    с учетом положения объекта. Если мы знаем скорость объекта в конкретный момент времени
    , интеграл даст нам положение объекта в это время.
    Так же, как производная дала мгновенную скорость изменения, интеграл
    даст полное расстояние в любой момент времени.

    Интеграл получается не только из попытки найти обратный процесс взятия производной
    , но также из попытки решить проблему области . Подобно тому, как процесс
    дифференцирования используется для нахождения наклона в любой точке графика, процесс
    интегрирования находит площадь кривой до любой точки на графике.

    Интеграция Римана

    До того, как была разработана интеграция, мы могли только приблизительно аппроксимировать область функций
    , разделив пространство на прямоугольники и добавив области.

    Мы можем приблизить площадь к оси x, увеличив количество прямоугольников
    под кривой. Площадь этих прямоугольников была вычислена путем умножения длины на ширину
    или на на изменение x . После вычисления площади сумма
    прямоугольников приблизит площадь. Чем больше количество прямоугольников, тем лучше будет приближение
    . Это формула для суммирования Римана,
    , где i — любое начальное значение x, а n — количество прямоугольников:

    Это был утомительный процесс и никогда не давал точной площади кривой.К счастью,
    Ньютон и Лейбниц разработали метод интегрирования, который позволил им найти
    точную площадь кривой в любой точке.

    Подобно тому, как процесс дифференцирования находит функцию наклона
    , когда расстояние между двумя точками становится бесконечно малым, процесс интегрирования
    находит площадь под кривой, поскольку количество разбиений прямоугольников под кривой
    становится бесконечно большим. .

    Определение интеграла f (x) из [a, b]

    Интеграл функции x от a до b — это сумма прямоугольников кривой
    на каждом интервале изменения x, когда количество прямоугольников стремится к бесконечности.

    Обозначение в левой части обозначает определенный интеграл от f (x)
    от a до b. Когда мы вычисляем интеграл из интервала [a, b], мы подставляем a в
    интегральную функцию и вычитаем его из b в интегральной функции:

    где F обозначает интегрированную функцию. Это точно вычисляет площадь под
    любой непрерывной функцией.

    Общее правило мощности для интеграции

    Чтобы осуществить интеграцию, важно знать общее правило власти. Это
    полная противоположность силовому правилу дифференциации.

    Давайте посмотрим на общую функцию

    Когда мы берем интеграл от функции, мы сначала добавляем 1 к показателю, а затем
    делим член на сумму показателя и 1.

    После того, как мы сделали это для каждого члена, мы добавляем константу в конце. Напомним, что
    , взяв производную от константы, уходит, поэтому интеграл от
    по функции даст нам константу. Мы помечаем его буквой C, потому что неизвестная константа
    — это может быть любое число! Поскольку у нас может быть бесконечно много возможных функций
    для интеграла, мы называем его неопределенным интегралом , , , .

    Приведем пример.

    Найдите интеграл от

    Начнем с первого семестра.Мы смотрим на показатель степени 2 и увеличиваем его на 1,
    , затем делим член на полученный показатель степени 3.

    Затем мы смотрим на следующий термин и делаем то же самое. Поскольку показатель степени равен
    1, результирующий показатель степени будет равен 2, поэтому мы делим весь член на 2.

    Последний член имеет значение x, но мы его просто не видим. Мы можем представить последний член
    как -3x ⁰ . Это эквивалент -3 (1).Если мы используем правило интегрирования степени
    , мы добавляем 1 к показателю, чтобы возвести его в первую степень, а затем делим член
    на 1.

    Все, что нам нужно сделать, это добавить константу в конце, и все готово.

    Эта формула мощности для интегрирования работает для всех значений n , кроме для n = -1 (поскольку
    мы не можем разделить на 0). Для решения этих случаев мы можем взять противоположность производной логарифмической функции
    .

    В целом

    Сводка по интеграции

    Надо понимать

    • Определенный интеграл как предел сумм Римана
    • Определенный интеграл как изменение величины над интегралом
    • как интегралы представлены графически, численно и аналитически
    • , как они интерпретируются как положение объекта при заданной скорости.