∫ Решение интегралов онлайн с подробным решением

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Это онлайн сервис в один шаг:

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Перейти: Онлайн сервис «Неопределенный интеграл» →

Это онлайн сервис в один шаг:

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний предел для интеграла
• Ввести верхний предел для интеграла

Перейти: Онлайн сервис «Определенный интеграл» →

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
• Ввести нижнюю область интегрирования (или — бесконечность)

Перейти: Онлайн сервис «Несобственный интеграл» →

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис «Двойной интеграл» →

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис «Тройной интеграл» →

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

Таблица интегралов

Вы также можете воспользоваться таблицей интегралов, чтобы самостоятельно посчитать любой интеграл, перейти:

∫ Решение неопределённых интегралов — Калькулятор Онлайн

Введите функцию, для которой надо найти интеграл

После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить
бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.2

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3.2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

∫∫ Двойной интеграл — Калькулятор Онлайн

Введите подинтегральную функцию,

для которой надо найти двойной интеграл

Найдём подробное решение для двойного интеграла от функции f(x, y).

Введите вверхние и нижние пределы для области интегрирования и подинтегральную функцию.
Если подинтегральной функции нет, то укажите 1.

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная дифференцированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразную, мы получим исходное подынтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференцируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов

Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
— разложить дробь на простейшие
— выделить полный квадрат.
— создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
— выделить под корнем полный квадрат
— создать в числителе дифференциал подкоренного выражения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin²+cos²=1
m,n – четные, sin²x=(1-cos2x)/2 и cos²x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
— Применяем свойство tg²x=1/cos²x — 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
Алгоритм обучения решению интегралов:

1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первообразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференцируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:

Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t⁵. t⁵ = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t⁵ — 5, dx = (t⁵ — 5)’ = 5t⁴. Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла:

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэффициент 1/2 перед интегралом получился в результате замены dx на 1/2*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и 1/2*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.

В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Неопределенный интеграл. Онлайн калькулятор с примерами

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?

Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!

Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Integral Solution — обзор

II.A Неопределенные проблемы

Начнем с простой задачи. На скотном дворе живут куры и козы. Всего на скотном дворе 72 ножки. Сколько там кур и коз? Условия приводят к уравнению 4 x + 2 y = 72, где x — количество коз, а y — количество цыплят. Очевидно, что есть множество решений для этого уравнения, некоторые из которых мы можем обнаружить, решив для одной переменной через другую, y = (72-4 x ) / 2:

Реалии мира не позволяют принимать определенные решения, например, связанные с отрицательными или иррациональными числами. Даже с этими ограничениями существует 19 интегральных решений, соответствующих x = 0, 1, 2,…, 18.

Конечно, количество переменных не ограничивается 2. Рассмотрим следующую задачу: тридцать человек входят в число кинотеатр, заплатив в общей сложности 50 долларов. Если мужчины платят по 3 доллара, женщины по 2 доллара, а дети по 1 доллар, сколько мужчин, сколько женщин и сколько детей составляют вечеринку?

Если мы положим x равным количеству мужчин, y количеству женщин и z количеству детей, мы получим

x + y + z = 30

и

3x + 2y. + z = 50.

Вычитание первого уравнения из второго дает

2x + y = 20ory = 20-2x.

Допустим, что x принимает значения 0, 1, 2,…, 10, дает эти значения для y : 20, 18, 16,…, 0. Тогда любое уравнение дает эти значения для z : 10, 11, 12,…, 20. Есть одиннадцать решений, состоящих из троек (0, 20, 10), (1, 18, 11), (2, 16, 12),…, (10, 0, 20).

Иногда дополнительные условия ограничивают количество решений. В этой задаче можно потребовать, чтобы количество женщин было вдвое больше, чем мужчин, что даст единственное решение (5, 10, 15).В других случаях решений может быть бесконечное количество или даже не решения. Одна известная неопределенная проблема, называемая проблемой Архимеда о рогатом скоте, приводит к семи уравнениям с восемью неизвестными, решение которых дает чрезвычайно большие числа.

Многие задачи этого типа, называемые линейными неопределенными задачами, возникли в Индии. Индуистский математик Брахмагупта (родился в 598 году нашей эры) написал трактат по астрономии, который включал главы, посвященные математике. Эта работа «Брахма-сфута-сиддханта» (или «Правильная система Брахмы») включает решения многочисленных линейных неопределенных уравнений.Также найдено неопределенное уравнение второй степени nx ² + 1 = y ² , для которого Брахмагупта дает решение

x = 2t / (t2 − n) y = (t2 + n) / (t2 − n),

, где t — любое целое число. Таким образом, если n = 3, имеем 3 x ² + 1 = y ² и x = 2 t ( t ² -3) и y = ( т ² + 3) / ( т ² — 3), что приводит к

Он также утверждает, что уравнение nx ² — 1 = y ² не имеет интегральных решений для x и y , кроме n. — это сумма е квадраты двух целых чисел.Например, 4 x ² — 1 = y ² не имеет интегральных решений, тогда как 13 x ² — 1 = y ² имеет интегральные решения, потому что 13 = 2 ² + 3 ² . Одно из решений: x = 5, y = 18.

Поиску общих решений способствовало введение символов для определенных величин и операций, которые часто происходят в рамках данной проблемы. Использование этой техники приписывают Диофанту.В течение долгого времени математики не делали различий между проблемами, ведущими к определенным и неопределенным решениям. Сегодня изучающие алгебру сталкиваются почти исключительно с детерминированными задачами.

Следующие результаты полезны при решении некоторых неопределенных проблем.

Теорема.

Если целые числа a и b являются относительно простыми, тогда существуют целые числа x и y такие, что ax + by = 1.Это следует непосредственно из алгоритма Евклида и приводит к теореме

.

Существуют целые числа x и y , удовлетворяющие уравнению ax + на = c тогда и только тогда, когда gcd a и b делит c .

Например, в уравнении 14x + 35y = 56 мы находим, что (14, 35) = 7 и 7 делит 56. Разделив, мы получаем эквивалентное уравнение 2x + 5y = 8.Теперь положим 2 x + 5 y = 1 и найдем решение x = −2, y = 1. Тогда x = 8 (−2) = −16 и y = 8. (1) = 8 являются решениями 2 x + 5 y = 8 и, следовательно, 14 x + 35 y = 56. Из конкретного решения x ₀ , y ₀ , мы можем найти общее решение x = x ₀ + tb и y = y ₀ — ta , где t — любое целое число.В нашем случае x = −16 + 35 t и y = 8-14 t .

Диофантовы уравнения, включающие переменные во второй или более высоких степенях, могут оказаться трудными или невозможными для решения. Хотя существует много специальных результатов, общий метод решения любого диофантова уравнения или доказательства отсутствия решений неизвестен. Отметим несколько частных результатов. Известно, что уравнения x ³ + y ³ = z ³ и x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ не имеют положительного интегральные решения.

Уравнение x ⁴ + y ⁴ = u ⁴ + v ⁴ имеет общие решения, которые мы не будем перечислять. Наименьшее интегральное решение: 133 ⁴ + 134 ⁴ = 158 ⁴ + 59 ⁴ .

Доказано, что уравнение ax ⁿ + by ⁿ = c имеет только конечное число решений, если n ≥ 3.В более общем плане Аксель Туэ (1863–1922) показал, что если функция x и y ,

fx, y = беспокойство + an − 1xn − 1y +… + a1xyn − 1 + a0yn,

с a _i целых чисел, нельзя разложить на два полинома с целыми коэффициентами, тогда уравнение f ( x , y ) = c имеет только конечное число решений для n ≥ 3

Уравнение x ² — cy ² = 1 известно как уравнение Пелла после Джона Пелла (1610–1685), хотя он не участвовал в его решении.Для любого значения c существует тривиальное решение: x = ± 1, y = 0. Если c — квадратное число, левую часть легко разложить на множители. Если c — положительное неквадратное целое число, то можно доказать, что уравнение всегда имеет нетривиальное решение. Такие решения не обязательно могут быть легко получены методом проб и ошибок. Уравнение x ² — 61 y ² = 1 имеет x = 1,766, 319, 049 и y = 226,153,980 в качестве наименьшего положительного нетривиального решения.

Приведенное выше обсуждение предназначено для иллюстрации широкого круга проблем, ведущих к диофантовым уравнениям, большого разнообразия подходов к решению таких проблем и огромных трудностей, которые возникают при решении некоторых из них.

Калькулятор интегралов: интеграция с Wolfram | Alpha

Что такое интегралы?

Интеграция — важный инструмент в исчислении, который может дать первообразную или представить площадь под кривой.

Неопределенный интеграл от, обозначенный, определяется как первообразная от.Другими словами, производная от is. Поскольку производная константы равна 0, неопределенные интегралы определяются только с точностью до произвольной константы. Например, так как производная от. Определенный интеграл от до, обозначенный, определяется как область со знаком между и осью, от до.

Оба типа интегралов связаны вместе основной теоремой исчисления. Это означает, что если непрерывен на и является его непрерывным неопределенным интегралом, то. Это означает .Иногда требуется приближение к определенному интегралу. Обычный способ сделать это — разместить под кривой тонкие прямоугольники и сложить области со знаком. Wolfram | Alpha может решать широкий спектр интегралов.

Как Wolfram | Alpha вычисляет интегралы

Wolfram | Alpha вычисляет интегралы иначе, чем люди. Он вызывает функцию Integrate системы Mathematica, которая представляет собой огромное количество математических и вычислительных исследований. Integrate не выполняет интегралы, как это делают люди.Вместо этого он использует мощные общие алгоритмы, которые часто включают очень сложную математику. Есть несколько подходов, которые используются чаще всего. Один из них включает разработку общей формы интеграла, затем дифференцирование этой формы и решение уравнений для сопоставления неопределенных символьных параметров. Даже для довольно простых подынтегральных выражений уравнения, сгенерированные таким образом, могут быть очень сложными, и для их решения требуются сильные алгебраические вычислительные возможности Mathematica. Другой подход, который Mathematica использует при вычислении интегралов, состоит в том, чтобы преобразовать их в обобщенные гипергеометрические функции, а затем использовать наборы соотношений об этих очень общих математических функциях.

Хотя эти мощные алгоритмы дают Wolfram | Alpha возможность очень быстро вычислять интегралы и обрабатывать широкий спектр специальных функций, понимание того, как будет интегрироваться человек, также важно. В результате в Wolfram | Alpha также есть алгоритмы для пошаговой интеграции. В них используются совершенно разные методы интеграции, имитирующие подход человека к интегралу. Это включает интегрирование путем подстановки, интегрирование по частям, тригонометрическую замену и интегрирование по частичным дробям.

Исчисление I — Вычисление определенных интегралов

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-7: Вычисление определенных интегралов

В этом разделе мы сосредоточимся на том, как мы фактически вычисляем определенные интегралы на практике. Для этого нам понадобится Фундаментальная теорема исчисления, часть II.б = F \ влево (б \ вправо) — F \ влево (а \ вправо) \]

Чтобы увидеть доказательство этого, см. Раздел «Доказательство различных интегральных свойств» в главе «Дополнительные возможности».

Напомним, что когда мы говорим об антипроизводной функции, мы на самом деле говорим о неопределенном интеграле для функции. Итак, чтобы вычислить определенный интеграл, первое, что мы собираемся сделать, — это вычислить неопределенный интеграл для функции. Это должно объяснить сходство обозначений неопределенного и определенного интегралов.

Также обратите внимание, что мы требуем, чтобы функция была непрерывной в интервале интегрирования. Это также было требованием при определении определенного интеграла. В последнем разделе мы не особо особо задумывались об этом. Однако в этом разделе нам нужно будет помнить об этом условии, когда мы делаем наши оценки.

Теперь давайте обратимся к тому факту, что мы можем использовать любую антипроизводную от \ (f \ left (x \ right) \) в оценке. Давайте в последний раз взглянем на следующий интеграл.3} + 0 — \ frac {{18}} {{31}}} \ right) \\ & = \ frac {{14}} {3} — \ frac {{18}} {{31}} + \ гидроразрыв {{18}} {{31}} \\ & = \ frac {{14}} {3} \ end {align *} \]

Константа, которую мы добавили ко второй антипроизводной, аннулирована на этапе оценки. {- 2}} \, dy}} & = \ left .3} — \ frac {1} {1}} \ right) \\ & = \ frac {8} {3} — \ frac {1} {2} — \ frac {1} {3} + 1 \\ & = \ frac {{17}} {6} \ end {align *} \]

Помните, что оценка всегда выполняется в порядке оценки на верхнем пределе минус оценка на нижнем пределе. Также будьте очень осторожны со знаками минус и круглыми скобками. Их очень легко забыть или неправильно использовать и получить неправильный ответ.

Также обратите внимание, что для облегчения вычисления мы немного переписали неопределенный интеграл.{- 2}} \, dy}} \) Показать решение

Этот интеграл здесь, чтобы подчеркнуть. Напомним, что для того, чтобы мы могли сделать интеграл, подынтегральное выражение должно быть непрерывным в пределах диапазона. В этом случае второй член будет иметь деление на ноль в точке \ (y = 0 \), и поскольку \ (y = 0 \) находится в интервале интегрирования, , т.е. , он находится между нижним и верхним пределом, это подынтегральное выражение равно не непрерывна в интервале интегрирования, поэтому мы не можем сделать этот интеграл.

Обратите внимание, что эта проблема не помешает нам выполнить интеграл в (b), поскольку \ (y = 0 \) не находится в интервале интегрирования.

Итак, что мы узнали из этого примера?

Во-первых, чтобы получить определенный интеграл, первое, что нам нужно сделать, это неопределенный интеграл. Итак, мы не собираемся отказываться от вычисления неопределенных интегралов, они будут в каждом интеграле, который мы будем делать в оставшейся части этого курса, поэтому убедитесь, что вы хорошо умеете их вычислять.

Во-вторых, нам нужно следить за функциями, которые не являются непрерывными ни в одной точке между пределами интеграции.Также важно отметить, что это будет проблемой только в том случае, если точка (точки) разрыва возникает между пределами интеграции или на самих границах. Если точка разрыва возникает за пределами интегрирования, интеграл все еще может быть вычислен.

В следующих наборах примеров мы не будем уделять слишком много внимания проблемам непрерывности или отсутствию проблем непрерывности, если это не влияет на оценку интеграла. Не позволяйте этому убедить вас, что вам не стоит беспокоиться об этой идее.{{\ pi} / {3} \;} \\ & = — 2 \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right) — 5 \ sin \ left ({\ frac {\ pi } {3}} \ right) — \ left ({- 2 \ cos 0 — 5 \ sin 0} \ right) \\ & = — 1 — \ frac {{5 \ sqrt 3}} {2} + 2 \ \ & = 1 — \ frac {{5 \ sqrt 3}} {2} \ end {align *} \]

Сравните этот ответ с предыдущим, особенно с нулевой оценкой. Очень легко выработать привычку записывать ноль при вычислении функции. Это особенно проблема, когда многие из функций, которые мы интегрируем, включают только \ (x \), возведенные в положительные целые числа; эти оценки нулевая конечно.{\, ​​{\ pi} / {4} \;} \\ & = 5 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) — 2 \ sec \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) — \ left ({5 \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) — 2 \ sec \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) )} \ right) \\ & = \ frac {{5 \ pi}} {{12}} — 2 \ sqrt 2 + \ frac {4} {{\ sqrt 3}} \ end {align *} \]

Для оценки напомним, что

\ [\ sec z = \ frac {1} {{\ cos z}} \]

, и поэтому, если мы можем вычислить косинус под этими углами, мы сможем вычислить секанс под этими углами.6} — 10t + \ frac {1} {t} \; dt}} \) Показать решение

Этот интеграл не может быть выполнен. В третьем члене при \ (t = 0 \) есть деление на ноль, а \ (t = 0 \) лежит в интервале интегрирования. Тот факт, что первые два члена могут быть объединены, не имеет значения. Если даже одно слагаемое в интеграле не может быть интегрировано, то и весь интеграл не может быть выполнен.

Итак, на данный момент мы вычислили изрядное количество определенных интегралов. Помните, что большая часть работы по их вычислению — это сначала поиск неопределенного интеграла.{{\, 22}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) Показать решение

Для этого интеграла обратите внимание, что \ (x = 1 \) не находится в интервале интегрирования, и поэтому нам не нужно беспокоиться об этом в этой части.

Также обратите внимание, что пределы интеграла полностью лежат в диапазоне для первой функции. Для нас это означает, что когда мы делаем интеграл, все, что нам нужно сделать, это вставить первую функцию в интеграл.

Вот интеграл.{{\, 3}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) Показать решение

В этой части \ (x = 1 \) находится в пределах интегрирования. Это означает, что подынтегральное выражение больше не является непрерывным в интервале интегрирования, и, насколько нам известно, это явный ограничитель. Как отмечалось выше, мы просто не можем интегрировать функции, которые не являются непрерывными в интервале интегрирования.

Кроме того, даже если бы функция была непрерывной в точке \ (x = 1 \), у нас все еще была бы проблема, заключающаяся в том, что функция на самом деле представляет собой два разных уравнения в зависимости от того, где мы находимся в интервале интегрирования.

Давайте сначала рассмотрим проблему того, что функция не является непрерывной при \ (x = 1 \). Как мы увидим, в этом случае, если мы сможем найти способ обойти эту проблему, вторая проблема также будет решена одновременно. {3} {{\ left | {3t — 5} \ right | \, dt}} \]

Показать решение

Напомним, что смысл неопределенного интегрирования (который нам нужно будет сделать в этой задаче) — определить, какую функцию мы дифференцировали, чтобы получить подынтегральное выражение.До сих пор мы не видели никаких функций, которые будут дифференцироваться для получения абсолютного значения, и мы никогда не увидим функцию, которая будет дифференцировать, чтобы получить абсолютное значение.

Единственный способ решить эту проблему — избавиться от абсолютного значения. Для этого нам нужно вспомнить определение абсолютной величины.

\ [\ left | х \ право | = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Как только мы вспомним, что можем определить абсолютное значение как кусочную функцию, мы можем использовать работу из примера 4 в качестве руководства для вычисления этого интеграла. {{\, 3}} {{\ left | {3t — 5} \ right | \, dt}} \]

Теперь в первых интегралах \ (t <\ frac {5} {3} \) и, значит, \ (3t - 5 <0 \) в этом интервале интегрирования.2} - 5 \ left ({\ frac {5} {3}} \ right)} \ right)} \ right) \\ & = \ frac {{25}} {6} + \ frac {8} {3} \\ & = \ frac {{41}} {6} \ end {align *} \]

Неплохо интегрировать функции абсолютного значения. Это немного больше, чем «стандартный» определенный интеграл, но на самом деле это не так уж и много. Во-первых, определите, где количество внутри столбцов абсолютного значения отрицательное, а где положительное. Когда мы определили эту точку, все, что нам нужно сделать, это разбить интеграл так, чтобы в каждом диапазоне пределов количество внутри столбцов абсолютного значения всегда было положительным или всегда отрицательным.Как только это будет сделано, мы можем отбросить столбцы абсолютного значения (добавив отрицательные знаки, когда количество отрицательное), а затем мы можем выполнить интеграл, как мы всегда делали. 2} \ hпространство {0.5} + \ sin \ left (x \ right) \, dx}} = \ cos \ left ({10} \ right) — \ cos \ left (9 \ right) — \ frac {{468559}} {6} = — 78093.09461 \]

Мораль заключается в том, чтобы быть осторожным и не злоупотреблять этими фактами.

1.1 Интегралы как решения — Mathematics LibreTexts

ОДУ первого порядка — это уравнение вида

\ [\ dfrac {dy} {dx} = f (x, y) \]

или просто

\ [y ‘= f (x, y) \]

В общем, не существует простой формулы или процедуры, которым можно было бы следовать, чтобы найти решения.В следующих нескольких лекциях мы рассмотрим частные случаи, когда нетрудно получить решения. В этом разделе предположим, что \ (f \) является функцией только \ (x \), то есть уравнение имеет вид

\ [y ‘= f (x) \ label {1.1.1} \]

Мы могли бы просто интегрировать (антидифференцировать) обе части относительно \ (x \).

\ [\ int y ‘(x) dx = \ int f (x) dx + C \]

, то есть

\ [y (x) = \ int f (x) dx + C \]

Это \ (y (x) \) на самом деле является общим решением.Итак, чтобы решить уравнение \ (\ ref {1.1.1} \), мы находим некоторую первообразную \ (f (x) \), а затем добавляем произвольную константу, чтобы получить общее решение.

Сейчас хорошее время, чтобы обсудить вопрос о нотации и терминологии в исчислении. Учебники по математическому анализу мутят воду, говоря об интеграле как о так называемом неопределенном интеграле. Неопределенный интеграл на самом деле является первообразной (фактически, целым однопараметрическим семейством первообразных). На самом деле существует только один интеграл, и это определенный интеграл.x f (t) dt + C \]

Отсюда терминология для интеграции, когда мы действительно можем иметь в виду «антидифференцировать». Интеграция — это всего лишь один из способов вычисления первообразной (и это всегда работает, см. Следующие примеры). Интеграция определяется как область под графиком, она также используется для вычисления первообразных. Для согласованности мы будем продолжать использовать обозначение неопределенного интеграла, когда нам понадобится первообразная, и вы всегда должны думать об определенном интеграле. 2 \).{x_0} f (x) dx + y_0 = y_0 \). Это!

Обратите внимание, что определенный интеграл и неопределенный интеграл (антидифференциация) — совершенно разные звери. Определенный интеграл всегда дает число. Следовательно, Equation \ (\ ref {1.1.2} \) — это формула, которую мы можем подключить к калькулятору или компьютеру, и она будет рада вычислить для нас конкретные значения. Мы легко сможем построить решение и работать с ним, как с любой другой функцией. Не так важно всегда находить замкнутую форму первообразной.2} ds + 1. \]

Решение

Вот хороший способ подшутить над своими друзьями, которые занимаются расчетом во втором семестре. Скажите им, чтобы они нашли решение в закрытой форме. Ха-ха-ха (плохая математическая шутка). Невозможно (в закрытом виде). Нет ничего плохого в том, чтобы записать решение в виде определенного интеграла. Этот конкретный интеграл на самом деле очень важен в статистике.

Используя этот метод, мы также можем решить уравнения вида

\ [y ‘= f (y) \]

Запишем уравнение в нотации Лейбница.

\ [\ dfrac {dy} {dx} = f (y) \]

Теперь мы используем теорему об обратной функции из исчисления, чтобы поменять роли \ (x \) и \ (y \), чтобы получить

\ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {f (y)} \]

То, что мы делаем, похоже на алгебру с \ (dx \) и \ (dy \). Заманчиво просто заниматься алгеброй с \ (dx \) и \ (dy \), как если бы они были числами. И в этом случае это действительно работает. Однако будьте осторожны, так как такой вид вычислений может привести к проблемам, особенно когда задействовано более одной независимой переменной.2, ~~~~ v (0) = 10 \]

Решив для \ (v \), мы можем проинтегрировать и найти \ (x \).

Авторы и авторство

Как решить ряд вопросов, связанных с комплексными решениями для экзамена CAT | Ханда Ка Фунда

Главная »Блог» Как решить ряд вопросов по комплексным решениям для экзамена CAT

Четверг, 16 мая 2019 г.

1. Тип уравнения: Ax + By = C

Несколько правил для поиска интегральных решений этого типа уравнений.

1. Во-первых, приведите уравнение к наименьшей приводимой форме.
2. После сокращения, если коэффициенты при x и y все еще имеют общий множитель, уравнение не будет иметь решений.
3. Если x и y взаимно просты в низшей приводимой форме, найдите любое одно интегральное решение. Остальные решения могут быть получены из этого интегрального решения.
4. Для каждого последующего интегрального решения уравнения значения x и y будут изменяться на коэффициент другой переменной.Если уравнение имеет тип Ax — By = C (после получения наименьшей приводимой формы), увеличение x вызовет увеличение y. Если уравнение имеет тип Ax + By = C, увеличение x вызовет уменьшение y.

Давайте рассмотрим пример.

2x + 3y = 39.

(Число интегральных решений) Шаг-1 : Уравнение уже имеет сокращенную форму, и мы видим, что коэффициенты при x и y взаимно просты.

(Количество интегральных решений) Шаг-2 : Для данного уравнения вы должны начать заменять значения (путем попадания и испытания) для переменной с большим коэффициентом, чтобы найти первое интегральное решение.В данном случае это y. Теперь, если мы возьмем y = 0, мы получим x = 39/2 (не целое число). Опять же, если мы возьмем y = 1, мы получим x = 18. Итак, (18,1) — наше первое решение.

(Число интегральных решений) Шаг 3 : Если вы понимаете точку 4 ^-го , упомянутую выше, при одном из любых двух последовательных целых значений y, значение x будет целым числом ИЛИ при одном из 3 последовательных значений x значение y будет целым. Это означает, что если мы прибавим 2n (где n — целое число) к первому значению y, нам придется вычесть 3n из первого значения x, чтобы получить интегральные решения.Это означает, что

Если y = 1 +2 (1) = 3, x = 18-3 (1) = 15.

Если y = 1 + 2 (2) = 5, x = 18 — 3 (2) = 12.

Если y = 1 + 2 (3) = 7, x = 18 — 3 (3) = 9 и так далее.

(Количество интегральных решений) Шаг-4 : Это уравнение будет иметь бесконечное количество интегральных решений, но конечное количество неотрицательных интегральных решений. Посмотрим, как его найти.

Мы можем продолжать увеличивать значение y в положительном направлении, но x будет одновременно уменьшаться и в какой-то момент станет меньше 0.Поскольку наименьшее неотрицательное целое значение y равно 1, наибольшее допустимое положительное значение x равно 18, и оно уменьшается на 3. Таким образом, x может принимать 7 неотрицательных целочисленных значений: 18, 15, 12, 9, 6, 3 и 0. Следовательно, данное уравнение имеет 7 неотрицательных целых значений.

Примечание. В уравнении Ax + By = C, если C делится на любое из A или B, то количество неотрицательных целочисленных решений = {C / LCM (A, B)} + 1

2. Тип уравнения: x ₁ + x ₂ + ⋯ + x _r = n

Случай-1 : Положительные интегральные решения.

Разберемся с концепцией на примере:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = 8.

Онлайн-коучинг для CAT 2021

Чтобы решить эту проблему, представьте, что есть 8 одинаковых объектов, расположенных рядом друг с другом с промежутками между ними. 8 объектов имеют 7 промежутков между ними. Теперь я могу выбрать 2 пробела из 7 в ⁷ C ₂ способами. Эти выбранные промежутки будут содержать знаки плюса данного уравнения. Теперь количество объектов слева от первого знака плюс, количество объектов между двумя знаками плюс и количество объектов справа от второго знака плюс будут значениями X ₁ , X ₂ и X ₃ соответственно.

Следовательно, число положительных целочисленных решений уравнения x ₁ + x ₂ + ⋯ + x _r = n

= Количество способов, которыми n идентичных шаров могут быть распределены в r различных коробок, где каждая коробка должна содержать хотя бы один шар

= ^(п-1) С _(г-1)

Случай-2 : Количество неотрицательных интегральных решений

Мы продолжим наше предыдущее уравнение. Количество неотрицательных интегральных решений будет отличаться от количества положительных интегральных решений, так как значение переменных также может быть равно 0.

Мы заменим переменные в вопросе так, чтобы этот случай стал похож на предыдущий. В предыдущем случае (X ₁ , X ₂ , X ₃ )> = 1. В этом случае (X ₁ , X ₂ , X ₃ )> = 0. Следовательно, (X ₁ +1, X ₂ +1, X ₃ +1)> = 1. Заменить X ₁ + 1 = Y ₁ , X ₂ + 1 = Y ₂ и X ₃ + 1 = Y ₃ в данном уравнении, так что

(X ₁ +1) + (X ₂ +1) + (X ₃ +1) = 11

=> Y ₁ + Y ₂ + Y ₃ = 11.

Теперь этот случай становится похожим на предыдущий и количество решений ¹⁰ C _2.

Следовательно, Число неотрицательных интегральных решений уравнения x ₁ + x ₂ + ⋯ + x _r = n

= Количество способов, которыми n идентичных шаров могут быть распределены в r различных коробок, где одна или несколько коробок могут быть пустыми.

= ^{(п + г-1)} С _(г-1)

Кейс-3.- Ограничения на переменные.

Рассмотрим следующее уравнение — A + B + C = 13, где 1 = <(A, B, C) <= 6.

Чтобы решить эту проблему, замените A, B, C на P, Q, R так, чтобы P = 6-A, Q = 6-B и R = 6-C. Тогда (6-P) + (6-Q) + (6-R) = 13, что влечет P + Q + R = 5. Поскольку A находится в диапазоне от 1 до 6, P изменяется от 0 до 5. Следовательно, проблема сводится к нахождению неотрицательных решений P + Q + R = 5. Количество неотрицательных решений составляет ⁷ C ₂ = 21.

Другой способ — использовать следующую концепцию.Если линейное уравнение имеет вид x ₁ + x ₂ + .. + x _r = n и 0 <= (x ₁ , x _2. … x _r ) <= p, то Задача сводится к нахождению показателя степени x ⁿ в выражении (1 + x + x ² + x ³ .. + x ^p ) r.

3. Тип уравнения: | x | + | y ​​| = п

Пусть | x | = p и | y | = q, тогда ненулевые интегральные решения = ^n-1 C _2-1 = n-1.Теперь для каждого решения (x ₁ , y ₁ ) будет существовать 4 значения для x и y: они -> (x ₁ , y ₁ ), (-x ₁ , y ₁ ), (x1, -y1) и (-x1, -y1). Следовательно, общее количество ненулевых интегральных решений = 4 (n-1).

4. Тип уравнения: X ² — Y ² = n

Когда нас просят вычислить, сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X ² — Y ² = N, может быть 4 случая.

Случай 1 : N — нечетное число, а не полный квадрат

В этом случае общее количество положительных интегральных решений будет = (Общее количество множителей N) / 2

Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X ² — Y ² = 135?

Решение: Общее количество множителей 135 равно 8.

Итак, общее количество положительных интегральных решений = 8/2 = 4.

Случай 2 : N — нечетное число и полный квадрат

В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = [(Общее количество множителей N) — 1] / 2

Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X ² — Y ² = 121?

Решение: Общее количество множителей 121 равно 3.

Итак, общее количество положительных интегральных решений = (3-1) / 2 = 1

Случай 3 : N — четное число, а не полный квадрат.

В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = [Общее количество множителей (N / 4)] / 2

Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X ² — Y ² = 160?

Решение: Общее количество множителей 40 равно 8 (так как N = 160 и N / 4 = 40)

Итак, общее количество положительных интегральных решений = 8/2 = 4.

ПРИМЕЧАНИЕ: Если данное число имеет форму 4k + 2, оно не может быть выражено как разность двух квадратов.

Случай 4 : N — четное число и полный квадрат

В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = {[Общее количество множителей (N / 4)] — 1} / 2

Пример : Сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X ² — Y ² = 256?

Решение : Общее количество множителей 64 равно 7.

Итак (7-1) / 2 = 3 положительных интегральных решения

А теперь давайте посмотрим на несколько примеров.

Число интегральных примеров 1 : Найдите число положительных целочисленных решений | x | + | y ​​| = 10.

Номер интегрального решения 1 : Пусть | x | = a и | y | = b. Сначала найдите положительное интегральное решение уравнения a + b = 10.

Количество ненулевых интегральных решений = ^10-1 C _2-1 = 9. Теперь для каждого решения (a ₁ , b ₁ ) значения (x, y) = (a ₁ , b ₁ ), (-a ₁ , b ₁ ), (a ₁ , -b ₁ ) и (-a ₁ , -b ₁ ).Таким образом, общее количество ненулевых интегральных решений = 4 × 9 = 36.

Число интегралов Пример 2 : Найдите число положительных интегралов для a, b, c и d, сумма которых не превышает 15.

Номер интегрального решения 2 : a + b + c + d <15.

a + b + c + d = 14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4. (Поскольку нам нужно найти положительные интегральные решения, сумма 4 переменных не может быть меньше 4 )

Общее количество положительного раствора = ¹³ C ₃ + ¹² C ₃ + ¹¹ C ₃ … ³ C ₃

= 286 + 220 + 165 + 120 + 84 + 56 + 35 + 20 + 10 + 4 + 1

= 1001.

Количество интегральных примеров 3 : Найдите общее количество интегральных решений IxI + IyI + IzI = 15.

Число интегральных решений 3 : сначала пусть a = | x |, b = | y |, c = | z |. Теперь нам нужно найти количество положительных целочисленных решений a + b + c = 15. Количество решений: ¹⁴ C ₂ = 91. Теперь для каждого значения a, b и c у нас будет по два значения x, y и z каждое. Следовательно, общее количество решений = 91 x 2 x 2 x 2 = 728.

Пусть теперь одна из переменных равна 0. Например, пусть x = 0 и | y | и | z | быть не меньше 1. Следовательно, нам нужно положительное интегральное решение уравнения b + c = 15, где b = | y | и c = | z |. Количество решений составляет ¹⁴ C ₁ = 14. Каждое из этих решений даст два значения y и z, и есть 3 способа, которыми мы можем оставить одну из переменных равной 0. Следовательно, общее количество пути 14 x 2 x 2 x 3 = 168.

Пусть теперь две переменные равны 0.В этом случае общее количество решений равно 6.

Следовательно, общее количество интегральных решений = 728 + 168 + 6 = 902.

Другие сообщения, связанные с количественными способностями — алгебра

Квадратные уравнения
Основные функции и модификации графиков
Алгебра для подготовки к CAT — поиск наименьшего значения в максимальной функции
Задачи для возраста с полными решениями, ответами и хитростями для решения
Введение в функции (алгебра) для экзамена CAT Exam
Функции алгебры — Основные понятия и применение для количественных способностей в экзамене CAT

CAT Вопросы, связанные с количественными способностями — алгебра

Все вопросы экзамена CAT Количественные способности — Алгебра
Количественные способности — Алгебра — Функции
Количественные способности — Алгебра — Функции — Вопрос: Если f (ab) = f (a) f (b) для всех положительных целых чисел a и b, то максимально возможное значение f (1) составляет
Количественные способности — Алгебра — Логарифмы
Количественные способности — Алгебра — Логарифмы — Вопрос: если x — действительное число, такое что log (основание 3) 5 = log (base 5) (2 + x), тогда что из следующего верно?
Количественные способности — Алгебра — Квадратичные уравнения
Количественные способности — Алгебра — Квадратичные уравнения — Вопрос: Если x + 1 = x ^ 2 и x> 0, то 2x ^ 4 равно
Количественные способности — Алгебра — Минимум максимума
Количественные способности — Алгебра — Максимальные минимумы — Вопрос: если a, b, c и d — целые числа, такие что a + b + c + d = 30, то минимально возможное значение (a — b) ^ 2 + (a — c) ^ 2 + (a — d) ^ 2 равно
Количественные способности — Алгебра — Неравенства
Количественные способности — Алгебра — Неравенства — Вопрос: количество решений (x, y, z) уравнения x — y — z
Количественные способности — Алгебра — Полиномы
Количественные способности — Алгебра — Полиномы — Вопрос: Если 9 ^ (2x — 1) — 81 ^ (x-1) = 1944, то x равно
Количественные способности — Алгебра — Простые уравнения
Количественные способности — Алгебра — Простые уравнения — Вопрос: если a и b — целые числа противоположных знаков, такие что (a + 3) ^ 2: b ^ 2 = 9: 1 и (a — 1) ^ 2: (b — 1) ^ 2 = 4: 1, тогда соотношение a ^ 2: b ^ 2 равно

Эта статья была предоставлена ​​Правин Бхарадвадж.Если вы хотите написать для нас, напишите нам по адресу [email protected]

Взломайте CAT с помощью Unacademy!

Используйте реферальный код HANDA , чтобы получить скидку 10%.

Число интегрального решения линейного уравнения

Число интегральных решений линейного уравнения

Рассмотрим уравнение x₁ + x₂ + x₃ +… + x _r = n… (1)

Где x₁, x₂, x₃,… x и n — целые неотрицательные числа.

Это уравнение можно интерпретировать как то, что n идентичных объектов должны быть разделены на r групп, в которых группа может содержать любое количество объектов. Следовательно,

Общее количество решений уравнения (1)

= коэффициент при xⁿ в (x⁰ + x¹ +… + xⁿ) ²

= n + r — 1cr₋₁

Теперь рассмотрим уравнение

x₁ + x₂ + x₃ +… + x _м = n… (2)

Где x₁ + x₂ +… + x _m — целые числа такие, что aᵢ ≤ xᵢ ≤ bᵢ; 1 = 1, 2,… м.{{{b} _ {3}}}} \ right \} \ right] \).

Общее количество неотрицательных интегральных решений уравнения x₁ + x₂ +… + x _r = n равно n + r — 1c _r ₋₁, а количество решений того же уравнения в множестве N натуральные числа равны n — 1c _r ₋₁.

Если верхний предел переменной при решении уравнения вида x₁ + x₂ + x₃… + x _m = n при условии aᵢ ≤ xᵢ ≤ bᵢ; i = 1, 2,… m больше или равно требуемой сумме, и нижний предел всех переменных неотрицателен, тогда верхний предел этой переменной можно считать бесконечным.

Для решения в уравнениях вида x₁ + x₂ +… + x _m ≤ n… (1)

Введем фиктивную переменную x _m ₊₁ такую, что x₁ + x₂ +… + x _m + x _m ₊₁ = n, где x _m ₊₁ ≥ 0.

Пример: Определите общее количество неотрицательных целочисленных решений x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 100.

Решение: Здесь верхний предел переменных x₁, x₂, x₃ больше 100, а нижний предел неотрицательности.Следовательно, требуется количество раствора.

= коэффициент x¹⁰⁰ в (1 + x + x² +…) ⁴

= коэффициент при x¹⁰⁰ в (1 — x)

= 100 + 4 — 1c₄₋₁

= 100 центов

Метод 2: Общее количество неотрицательных интегральных решений данного уравнения равно количеству способов распределения 100 элементов между 4 людьми, так что каждый человек может получить любое количество элементов.

Следовательно, общее количество решений = 100 + 4 — 1c₄₋₁

= 100 центов.

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie.Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.
  Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
  браузер автоматически забудет файл cookie.Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.
  Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу.Чтобы предоставить доступ без файлов cookie
потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.Например, сайт
не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к
остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.