Как извлечь число из корня: Электронный научный журнал // Информационно-коммуникационные технологии в педагогическом образовании — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Из этой статьи вы узнаете:

что такое «извлечение корня»;
в каких случаях он извлекается;
принципы нахождения значения корня;
основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b.

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.

Пример 2

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
Извлечение корней из дробных чисел
Извлечение корня из отрицательного числа
Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Таблица квадратов		единицы
Таблица квадратов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т. д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Таблица кубов			единицы
Таблица кубов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
		729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

pqn=pnqn. Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 4

Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

Необходимо извлечь кубический корень из 474,552. Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474,552 = 474552/1000. Из этого следует: 47455210003=474552310003. Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,…,9, вычисляя при этом 02, 12, …, 92 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5. Все это удобно представить в виде таблицы:

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в степени	0	1	4	9

Значение ряда единиц равняется 2 (так как 22<5, а 23>5). Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2,…,2,9, , сравнивая полученные значения с числом 5.

Возможное значение корня	2,0	2,1	2,2	2,3
Это значение в степени	4	4,41	4,84	5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2,21	2,22	2,23	2,24
Это значение в степени	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Из этой статьи вы узнаете:

что такое «извлечение корня»;
в каких случаях он извлекается;
принципы нахождения значения корня;
основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Пример 2

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
Извлечение корней из дробных чисел
Извлечение корня из отрицательного числа
Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица квадратов		единицы
Таблица квадратов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица кубов

Таблица кубов			единицы
Таблица кубов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
		729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

Пример 4

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Поразрядное нахождение значения корня

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в степени	0	1	4	9

Возможное значение корня	2,0	2,1	2,2	2,3
Это значение в степени	4	4,41	4,84	5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2,21	2,22	2,23	2,24
Это значение в степени	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Из этой статьи вы узнаете:

что такое «извлечение корня»;
в каких случаях он извлекается;
принципы нахождения значения корня;
основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Пример 2

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
Извлечение корней из дробных чисел
Извлечение корня из отрицательного числа
Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица квадратов		единицы
Таблица квадратов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица кубов

Таблица кубов			единицы
Таблица кубов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
		729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

Пример 4

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Поразрядное нахождение значения корня

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в степени	0	1	4	9

Возможное значение корня	2,0	2,1	2,2	2,3
Это значение в степени	4	4,41	4,84	5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2,21	2,22	2,23	2,24
Это значение в степени	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Как извлечь корень в Эксель: квадратный, кубический, в степени

Среди базовых математических вычислений помимо сложения, вычитания, умножения и деления можно выделить возведение в степень и обратное действие – извлечение корня. Давайте посмотрим, каким образом можно выполнить последнее действие в Эксель разными способами.

Метод 1: использование функции КОРЕНЬ

Множество операций в программе реализуется с помощью специальных функций, и извлечение корня – не исключение. В данном случае нам нужен оператор КОРЕНЬ, формула которого выглядит так:

=КОРЕНЬ(число)

Для выполнения расчета достаточно написать данную формулу в любой свободной ячейке (или в строке формул, предварительно выбрав нужную ячейку). Слово “число”, соответственно, меняем на числовое значение, корень которого нужно найти.

Когда все готово, щелкаем клавишу Enter и получаем требуемый результат.

Вместо числа можно, также, указать адрес ячейки, содержащей число.

Указать координаты ячейки можно как вручную, прописав их с помощью клавиш на клавиатуре, так и просто щелкнув по ней, когда курсор находится в положенном месте в формуле.

Вставка формулы через Мастер функций

Воспользоваться формулой для извлечения корня можно через окно вставки функций. Вот, как это делается:

Выбрав ячейку, в которой мы хотим выполнить расчеты, щелкаем по кнопке “Вставить функцию” (fx).
В окне мастера функций выбираем категорию “Математические”, отмечаем оператор “КОРЕНЬ” и щелкаем OK.
Перед нами появится окно с аргументом функции для заполнения. Как и при ручном написании формулы можно указать конкретное число или ссылку на ячейку, содержащую числовое значение. При этом, координаты можно указать, напечатав их с помощью клавиатуры или просто кликнуть по нужному элементу в самой таблице.
Щелкнув кнопку OK мы получим результат в ячейке с функцией.

Вставка функции через вкладку “Формулы

Встаем в ячейку, в которой хотим произвести вычисления. Щелкаем по кнопке “Математические” в разделе инструментов “Библиотека функций”.

(1/3).

Нажав Enter, получаем результат вычислений.

Аналогично работе с функцией КОРЕНЬ, вместо конкретного числа можно указать ссылку на ячейку.

Заключение

Таким образом, в Excel можно без особых усилий извлечь корень из любого числа, и сделать это можно разными способами. К тому же, возможности программы позволяют выполнять расчеты для извлечения не только квадратного, но и кубического корня. В редких случаях требуется найти корень n-степени, но и эта задача достаточно просто выполняется в программе.

Извлечение корней — методы и способы, оригинальные решения

Для того чтобы найти значения корня, при извлечении корня той или иной степени из числа, используют различные методы.

Для того чтобы извлечь корень из той или иной степени из числа, необходимо найти чисто, соответствующая степень которого будет равна изначальному числу, из которого следует извлечь корень. На сайте https://greednews.su/kvadratnyj-koren-iz-100-skolko-budet вы сможете узнать, сколько будет квадратный корень из ста.

Конечно, для извлечения квадратного корня удобнее всего воспользоваться помощью калькулятора. Но сделать это можно и без него. Если под знаком корня стоит целое число — полный квадрат то извлечь квадратный корень будет легко и просто. Иначе можно извлечь квадратный корень вручную, не используя калькулятор.

Извлечь квадратный корень из полного квадрата есть возможность, используя умножение. Квадратный корень из исходного числа — это то число, которое при умножении на само себя даст исходное число. Поэтому потребуется найти такое число, которое бы, умножаясь на себя, давало заданное под корнем число.

Если стоит задача извлечения квадратного корня из целого числа, то самое время воспользоваться делением в столбик. Достаточно разделить целое число на делитель, чтобы результат совпадал с делителем.

Необходимо правильно обозначать квадратный корень. Для этого используют специальный символ — радиал, в виде галочки с верхней горизонтальной линией.

Вы можете для извлечения квадратного корня воспользоваться методом проб и ошибок. И если число не является полным квадратом, в этом случае извлечь корень дует гораздо сложнее. Хотя это все равно вполне возможно сделать. Вы можете использовать процесс усреднения, начав поиск двух полных квадратов, между которыми находится данное число. Затем следует разделить его на квадратный корень одного из числе. После этого — найти среднее арифметическое числа и результат деления. Это число необходимо разделить на среднее арифметическое и найти среднее арифметическое последнего результата, а также первого среднего арифметического.

Урок 41. извлечение корня из комплексного числа — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №41. Извлечение корня из комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие корня из комплексного числа;

2) алгоритмы извлечения корня из комплексного числа;

3) пример извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме.

Глоссарий по теме

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение zⁿ=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Все n корней z_k лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Теорема. Уравнение zⁿ=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Доказательство. Пусть ω=|ω|∙(cosφ+isinφ), число z будем искать в виде

z=|z|∙(cosα+isinα).

Преобразуем уравнение zⁿ=ω, используя формулу Муавра:

|z|n(cosnζ+isinnζ)=|ω|∙(cosθ+isinθ).

Отсюда вытекают равенства:

|z|ⁿ=|ω|, nζ= θ+2πk, k- целое,

Из которых для модуля искомого корня получается определенное значение , тогда как его аргумент , k- целое, может принимать различные значения при разных k. При этом значениям k= 0, 1, 2, …, n-1 соответствуют различные значения корня, а при k= n значение корня совпадает с его значением при k=0. При k=n+1 получим значение корня, что и при k=1, и т.д.

Таким образом, число различных значений корня равно n- это

, где k=0, 1, 2,…, n-1 что и требовалось доказать.

Пример 1. Найдите все корни n-ой степени из действительного числа x>0.

Решение. Если х- положительное действительное число, то |x|=x, θ=arg x=0. Формула корней в этом случае дает ответ:

, где k=0, 1, 2,…, n-1.

При k=0 получим – это арифметический корень. При четном n=2m имеется еще один дейсвтиельный корень., получающийся при k=m. (ζ= arg z_m=π):

Корни n-ой степени из 1 часто обозначают через ε_k,k= 0, 1, 2, …, n-1. Согласно предыдущему примеру:

Пример 2. Вычислите корни третьей степени из комплексного числа 2+2i.

Решение: Найдем тригонометрическую форму данного числа:

По формуле корней из комплексного числа имеем:

, где k пробегает значения 0, 1, 2. Запишем полученные корни:

Используя формулы для косинуса и синуса разности углов, получаем:

Ответ: ; -1+i; .

Немного иначе извлекаются корни из комплексных чисел, аргумент которых не приводится к виду , где m, n – целые числа.

Пример 3. Найдите

Решение. Пусть ω=3+4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ:

Пример 4. Выполнить операцию извлечения корня z³ для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления: .

Решение: Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r(cosφ+i⋅sinφ). По условию . Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):. Подставим полученные значения и получим:

Для k=0 получаем:

Для k=1 получим:

Для k=2 получим:

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: множественный выбор

Найдите

Выберите верные ответы из предложенных:

2+i
-2+i
-2-i
2-i

Решение. Пусть ω=3-4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ: 2+i; -2-i

Верные ответы: 1, 3

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно произведение: (5 + 3i)∙(1 — 2i)=______

Решение:

((5 + 3i) · (1 — 2i) = 5·1 — 5·2i + 3·1i — 3·2i² = 5 — 10i + 3i + 6 =11 — 7i

Ответ: 11-7i

Функция КОРЕНЬ — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает положительное значение квадратного корня.

Синтаксис

КОРЕНЬ(число)

Аргументы функции КОРЕНЬ описаны ниже.

Замечание

Если число отрицательное, то SQRT возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
-16
Формула	Описание	Результат
=КОРЕНЬ(16)	Квадратный корень числа 16.	4
=КОРЕНЬ(A2)	Квадратный корень -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.	#ЧИСЛО!
=КОРЕНЬ(ABS(A2))	Старайтесь не #NUM! сообщение об ошибке: сначала с помощью функции ABS можно найти абсолютное значение -16, а затем найти квадратный корень.	4

Данные

-16

Формула

Описание

Результат

=КОРЕНЬ(16)

Квадратный корень числа 16.

=КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.

#ЧИСЛО!

=КОРЕНЬ(ABS(A2))

Старайтесь не #NUM! сообщение об ошибке: сначала с помощью функции ABS можно найти абсолютное значение -16, а затем найти квадратный корень.

Арифметика

— Каков процесс / алгоритм извлечения корня n-й степени из x (x и n — целые числа)?

Каков процесс определения $ \ sqrt [n] {x} $, где n и x — положительные целые числа?

Я видел алгоритмы для конкретных случаев. n = 2, существует метод извлечения, при котором вы группируете цифры x в пары, причем крайняя левая цифра остается одна, если необходимо, а затем выполняете процесс извлечения, аналогичный делению в столбик.

Я также видел метод n = 3, в котором цифры x представляют собой сгруппированные вступительные триплеты, и выполняется несколько похожий процесс.

Однако эти методы не совсем похожи друг на друга. Только «группировка по n цифрам» аналогична. Это сложно объяснить без копирования / вставки обоих методов, но метод квадратного корня требует некоторого копирования с удвоением последней цифры. В методе cuberoot по какой-то причине происходит возведение в квадрат текущего «частного» перед его умножением на какое-либо другое число (шаги 4 и 5).

Никогда не встречал подобного метода для n> 3.

Теоретически некоторые корни можно извлечь, повторяя это несколько раз.Например, $ \ sqrt [4] {23} $ можно получить, дважды извлекая квадратный корень из . Однако это не очень хорошая идея для ручного извлечения, потому что на практике вы получите усеченный ответ для первого квадратного корня, а затем попытка извлечь квадратный корень из этого усеченного десятичного числа представит еще больше. «ошибки округления».

Итак, я действительно хотел бы найти метод для любого положительного целого n , а не только для простых чисел. Предпочтительно что-то, что устанавливает x и n как поле деления, но с использованием показателей вместо множителей.b} $, поэтому с рациональными числами проблем быть не должно. Что касается иррациональных чисел, это, вероятно, было бы слишком широким, и я думаю, что на практике они все равно будут усечены, например, 3,142 = 3142/1000.)

Я почти уверен, что существует общий метод для n, потому что калькуляторы позволяют извлекать корень n-й степени из числа, где n может быть почти любым. Для этого требуется бесконечно большая таблица поиска (невозможно) или общий метод.

Итак, я предполагаю, что этот вопрос можно задать по-другому: как это делают калькуляторы? Какой алгоритм они используют?

Есть один известный мне метод, который работает для любого положительного целого числа n.2 = 2,25 $, это слишком много. Попробуйте 1.4, чуть заниженный. Попробуйте 1,45, немного больше и т. Д.

И заметьте, это нормально, если метод никогда не заканчивается. В конце концов, мы все равно получим иррациональные ответы. Я просто надеюсь, что есть способ лучше, чем метод предположений и испытаний. Кажется, что он «сходится слишком медленно», поэтому я не могу представить, чтобы его использовали калькуляторы.

Я надеюсь на общий метод, который можно применить ко всем положительным целым n, а не искать конкретные методы извлечения для n = 2, n = 3 и т. Д.которые немного отличаются друг от друга.

Между прочим, это возникло из-за связанного с этим вопроса о том, можно ли рассматривать корни как повторяющееся деление.

радикалов — Как получить квадратный корень из комплексного числа?

Это пост из трех частей . Первую часть написал пользователь Did; он предоставляет формулу и некоторые краткие комментарии к ней. Вторая часть написана пользователем Хансом Лундмарком; он обеспечивает геометрический способ понимания формулы. Третью часть написал пользователь t.б .; он содержит пояснительные картинки и некоторые краткие комментарии к ним.

(Did) Если кто-то может вычислить квадратный корень из каждого положительного действительного числа и модуль каждого комплексного числа, хорошая формула для главного квадратного корня $ \ sqrt {z} $ из $ z $ будет
$$
\ sqrt {z} = \ sqrt {r} \ frac {z + r} {| z + r |}, \ quad r = | z |.
$$
Попробуйте доказать, и вы увидите, работает …

Главный квадратный корень — это корень с положительной действительной частью. Единственный случай, когда формула не работает, — это когда нет главного квадратного корня, то есть когда $ z $ — отрицательное действительное число.

Никакого синуса или косинуса не используется, не нужно даже решать многочлены второй степени, нужно просто использовать квадраты и квадратные корни. Например, для $ z = 9 + 4 \ mathrm {i} $,
$$
\ sqrt {z} = \ frac {9+ \ sqrt {97} +4 \ mathrm {i}} {\ sqrt {2 (9+ \ sqrt {97})}}.

(HL) Есть геометрический способ понимания формулы в ответе Дида. Чтобы найти квадратный корень из заданного комплексного числа $ z $, вы сначала хотите найти комплексное число $ w $, которое имеет половину аргумента $ z $ (поскольку возведение в квадрат увеличивает аргумент вдвое).2 = z $ и, следовательно, $ cw $ является квадратным корнем из $ z $. Очевидно, что $ c = \ pm \ sqrt {| z |} / | w | $ сработает, поэтому этот метод не работает только тогда, когда $ w $ оказывается равным нулю, то есть если $ z $ — отрицательное действительное число.

(t.b.) Следуя предложению Did, я беру на себя смелость добавить две фотографии, которые я изначально разместил как отдельный ответ, но мне показалось, что лучше разместить их здесь:

Вот изображение для $ z = 9 + 4i $:

Примечание: Построение квадратных корней геометрически точно. 2 = (| z | -1) \ cdot 1 $ и, следовательно, красный круг имеет радиус $ \ sqrt {| z |} $.Осталось пересечь красный круг с угловой биссектрисой осей $ x $ и $ z $, которые я построил, используя процесс, описанный Гансом в своей части поста.

Изображения были созданы с помощью GeoGebra.

(PDF) Извлечение корней Аль-Каши и Стевином

292 Н. Айдин, Л. Хаммуди

В 1585 году Саймон Стевин опубликовал важную книгу на французском языке под названием L’arithmétique,

«Арифметика». Фактически, это две книги, вместе взятые, с определениями в первой книге

и операциями, включающими правила обычной арифметики, радикалов, многочленов и

уравнений во второй книге.Во второй части этой книги Стевин посвятил раздел

извлечению корней. Он применил представленный им метод для извлечения корней

целых и дробных чисел с любой степенью точности.

Проблема извлечения корней широко изучалась, и многие методы

были разработаны на протяжении столетий (Дахель 1960; Рашед 1978,

1994). Здесь мы рассмотрим два ранее упомянутых примера, исходящие от двух математиков

, которые имели большое влияние в своих регионах в разные периоды

времени.Изучая метод Стевина, мы обнаружили, что он представляет некоторые недостатки, в основном связанные с упрощением некоторых оптимизаций. Мы вносим поправки, которые делают метод Стевина

жизнеспособным. Затем мы показываем, что, хотя представления методов, данные

Аль-Каши и Стевином, выглядят по-разному, основной алгоритм на самом деле тот же.

Отметим, что, насколько нам известно, нет доказательств прямой связи между

Аль-Каши и Стевином. Следуя Берггрену (1986), мы дадим обоснование

экстракции корней.

2 Краткая история

Джамшид Аль-Каши (1380–1429) был исламским ученым, который родился в Кашане

(современный Иран) около 1380 года и скончался в Самарканде (современный узбекский —

истан) в июне. 22, 1429. Его достижения, в основном в математике и астрономии,

, были хорошо задокументированы и датированы. Его лучшая работа была выполнена под патронажем

Улугбека, который был великим ученым и правителем Самарканда

в то время.По мере того как Самарканд превратился в научный центр мирового уровня, Аль-Каши считался одним из ведущих ученых города

. Его работа охватывала многие области

математики и астрономии, занимаясь арифметикой, алгеброй, тригонометрическими функциями,

астрономическими таблицами и числовыми приближениями. Что касается находок и разоблачений, он намного опередил свое время. Например, Аль-Каши использовал прекрасную педагогику (Taani

2014), подробно и подробно объяснил десятичные дроби в своей работе более чем за

за сто пятьдесят лет до Стевина (Luckey 1951) и получил приближение

π-правильных чисел. до 16 знаков после запятой (Hogendijk 2009), что было непревзойденным почти

200 лет.Несомненно, самая замечательная книга Аль-Каши — это «Мифта аль-хисаб», «Ключ

к арифметике», которую он закончил 2 марта 1427 года. Это часть этой книги, которой мы занимаемся

. В этой статье.

Саймон Стевин (1548–1620), фламандский ученый, родился в Брюгге в настоящее время —

день Бельгия около 1548 года и скончался в Гааге в феврале 1620 года. Его работа

охватывала многие области, такие как архитектура, география, математика и др. музыка и

навигация.Многие из его научных достижений проявились, когда он работал

на принца Мориса, графа Нассау, сначала в качестве советника, а затем на различных должностях

в качестве государственного служащего. Стевин был известным ученым, который способствовал распространению и принятию многих математических концепций в Европе. Например,

именно через английский перевод его книги «La Theinde» Томас Джефферсон

предложил десятичную валюту в США.Введение и популяризация Стевина

123

Функция SQRT и другие способы

В этом руководстве показано, как вычислить квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень N-й степени любого значения.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня — очень распространенные операции в математике. Но как получить квадратный корень в Excel? Либо с помощью функции КОРЕНЬ, либо возведением числа в степень 1/2. Следующие примеры показывают полную информацию.

Как извлечь квадратный корень в Excel с помощью функции КОРЕНЬ

Самый простой способ получить квадратный корень в Excel — использовать специально разработанную для этого функцию:

SQRT (номер)

Где число — это номер или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

Например, чтобы получить квадратный корень из 225, используйте следующую формулу: = КОРЕНЬ (225)

Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: = КОРЕНЬ (A2)

Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на скриншоте выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает # ЧИСЛО! ошибка. Это происходит потому, что квадратного корня из отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел. Почему это? Поскольку нет возможности возвести число в квадрат и получить отрицательный результат.

Если вы хотите извлечь квадратный корень из отрицательного числа , как если бы это было положительное число, оберните исходное число в функцию ABS, которая возвращает абсолютное значение числа, игнорируя знак:

= КОРЕНЬ (АБС (A2))

Как получить квадратный корень в Excel с помощью вычислений

При вычислении вручную квадратный корень записывается с помощью символа корня (√). Хотя в Excel невозможно ввести этот традиционный символ квадратного корня, есть способ найти квадратный корень без какой-либо функции.(1/2), «»)

Почему показатель степени 1/2 равен квадратному корню?

Для начала, что мы называем квадратным корнем? Это не что иное, как число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5×5 = 25. Это кристально ясно, не так ли?

Ну, умножение 25 ^1/2 на себя также дает 25:

25 ^½ x 25 ^½ = 25 ^{(½ + ½)} = 25 ⁽¹⁾ = 25

Другими словами:

√25 x √25 = 25

А:

25 ^½ x 25 ^½ = 25

Итак, 25 ^½ эквивалентно √25.

Как найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это просто еще один способ выполнить вышеприведенное вычисление, то есть возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции Excel POWER следующий:

МОЩНОСТЬ (число, мощность)

Как нетрудно догадаться, чтобы получить квадратный корень, нужно добавить 1/2 к аргументу степени . Например:

= МОЩНОСТЬ (A2, 1/2)

Как показано на скриншоте ниже, все три формулы извлечения квадратного корня дают одинаковый результат, и какую из них использовать, зависит от ваших личных предпочтений:

Как вычислить корень N в Excel

Формула экспоненты, обсуждаемая в нескольких абзацах выше, не ограничивается нахождением только квадратного корня.0,25.

Обратите внимание, что дробных показателей всегда следует заключать в скобки , чтобы обеспечить правильный порядок операций в вашей формуле квадратного корня — сначала деление (косая черта (/) — оператор деления в Excel), а затем повышение до сила.

Таких же результатов можно достичь с помощью функции МОЩНОСТЬ:

Кубический корень из 64: = МОЩНОСТЬ (64, 1/3)
4 ^{-й корень} из 16: = МОЩНОСТЬ (16, 1/4)
Корень 5 ^-й числа в ячейке A2: = МОЩНОСТЬ (A2, 1/5)

На реальных листах вы можете вводить корни в отдельные ячейки и ссылаться на эти ячейки в формулах.(1 / B $ 2)

На снимке экрана ниже показаны результаты, округленные до двух знаков после запятой:

Наконечник. Чтобы выполнить несколько вычислений с одной формулой, как в приведенном выше примере, исправьте ссылку на столбец и / или строку, где это необходимо, с помощью знака доллара ($). Дополнительные сведения см. В разделе «Зачем использовать знак доллара в формулах Excel».

Вот как можно вычислить квадратный корень в Excel. Благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

Вас также может заинтересовать

Вводить и извлекать факторы радикально.

Упражнения решаются пошагово.

Хотите узнать , как вводить и извлекать множители в радикале ? Я объясню это здесь с помощью нескольких примеров и упражнений, решаемых шаг за шагом.

Знание того, как вводить и извлекать факторы в радикал, позволит вам упростить радикал, что очень полезно в радикальных операциях.

Например, в этих двух радикалах:

Мощность радианда больше корневого индекса, поэтому они не упрощаются.Работает так же, как упрощение дробей.

Теперь я собираюсь объяснить, как вводить и извлекать факторы в радикале.

Сначала я объясню вам, как это работает, с помощью свойств корней, а затем мы увидим способ сделать это более прямым и быстрым способом

Как я уже говорил вам ранее, когда в корне показатель подкоренного выражения больше индекса корня, он еще не полностью упрощен, например:

Чтобы продолжить его упрощение, необходимо вычленить множители из радикала, и в конечном итоге это так:

Если вы понимаете, теперь у нас есть корень, где показатель подкоренного выражения меньше индекса корня и умножен на x. То есть внутри корня были x, мы их убрали, и они умножают корень.

Давайте посмотрим, шаг за шагом, как достичь этого результата.

Изначально у нас есть этот корень с показателем радикандо больше, чем индекс корня:

Как вы уже знаете из свойства умножения в степени, x, возведенный в 5, может быть выражен как умножение степеней с одинаковым основанием, показатели которых будут складываться, и поэтому я выражу это по-другому:

Почему я разделил силу этой формы?

Потому что их удобно разделить на степени с тем же показателем, что и индекс.В этом случае, поскольку у нас есть индекс 3, показатель степени 5 записывается как 3 + 2. Если бы у меня было 7, я бы написал как 3 + 3 + 1, я понимаю? Ниже вы увидите, почему я так делаю.

Теперь у меня есть умножение степеней внутри корня, которое я собираюсь преобразовать в умножение двух корней индекса 3, применяя свойство умножения корней:

Первый корень, поскольку он имеет тот же индекс, что и показатель степени, аннулируется этим свойством:

И наконец имеем:

Теперь вы понимаете, почему мне пришлось составлять группы с одним и тем же порядковым номером в экспоненте?

Я искал, чтобы рут аннулировался в конце.

Это называется извлечением радикальных факторов: я извлек из корня x, повышенный до куба, который подобен x, повышенному до 1, когда он находится вне корня.

Прямой метод извлечения множителей из корня

Приведенная выше процедура помогает понять, как работает извлечение факторов вне радикала, но если показатель степени подкоренного выражения слишком велик, эта процедура может быть очень трудоемкой.

Метод, который я собираюсь научить вас дальше, можно использовать как с высокими, так и с низкими показателями, он намного быстрее и прямее.

Посмотрим, решая пример:

Если бы мы сделали это с помощью общей процедуры, мы должны разделить степень на как можно большее количество степеней 5:

Чтобы узнать необходимое количество степеней 5, на этом этапе мы косвенно разделили показатель степени на корневой индекс:

У нас есть 3 степени степени 5 и одна степень 2.

Ну, частное этого деления, 3, является показателем множителя, остающегося вне умножения корня, а остальная часть деления — показателем множителя, остающегося внутри:

Как просто.

Мы собираемся извлечь множители из корня первого примера, который мы решили с помощью общей процедуры, чтобы вы могли проверить, что результат тот же:

Делим показатель степени на индекс корня:

Частное — это показатель степени фактора снаружи, а остальное — показатель степени фактора внутри корня:

Как видите, результат тот же, но процедура намного быстрее.

Рассмотрим другой пример:

Делаем деление:

В этом случае остаток равен 0, что означает, что внутри корня будет коэффициент, увеличенный до 0, который равен 1, так что в конце корень исчезнет:

И когда мы вынимаем коэффициенты, получаем

Когда остальная часть деления равна 0, корень исчезает, поэтому извлечение множителей — еще один способ получить результат от корня.

Имейте в виду, что этот метод — всего лишь ярлык. Мы видели объяснение того, почему факторы вне радикала могут быть извлечены с помощью общей процедуры.

Понимание общей процедуры поможет вам обнаружить ошибки или проверить, все ли у вас хорошо, поэтому важно знать, как извлекать факторы из обоих.

Корни с множественными факторами

Если у вас есть несколько факторов в корне, вы должны применить метод извлечения факторов для каждого из них.

Как факторы, которые остаются внутри, так и те, что остаются снаружи, всегда выходят наружу или продолжают увеличиваться.

Если множители являются числами, вы должны сначала разбить их на простые множители и представить их в форме степени.

Давайте посмотрим на пример: извлеките факторы, которые возможны вне радикала:

Первым делом разбиваем 24 и выставляем в виде полномочий:

Теперь у нас есть 5 фактов в корне: 2, 3, x, y, z.

Метод должен применяться для извлечения факторов в каждом из них.

Мы начинаем с 2. У нас есть 2 повышенных до 1 внутри и еще 2 повышенных до 1 снаружи:

У 3 показатель степени 1, который меньше индекса корня, затем остается как есть, умножаясь на 2:

Продолжаем с x: он выходит с показателем 2, а внутри его нет:

La y queda fura с показателем степени 2 и дентро с показателем 1

Мы также не можем извлечь какой-либо множитель из z, потому что он имеет показатель 1, а затем он умножает все остальное:

Мы уже извлекли все возможные множители, поэтому мы снова умножаем те числа, которые могут, внутри или вне корня. В этом случае мы можем умножить 2.3 внутри корня:

Как ввести множители в корень

Если факторы вне корня могут быть извлечены, их также можно повторно ввести в корень.

Сделать это означало бы сделать еще один шаг назад, потому что мы хотим упростить факторы, но даже в этом случае вы можете быть другим способом проверить, правильно ли были извлечены факторы и что исходный корень не изменился.

Чтобы снова ввести множители в радикал, вы должны умножить показатель множителя на индекс корня, и результатом будет показатель степени множителя в корне.

Например, введите в радикалы множители:

Умножаем экспоненту множителя извне на индекс корня:

Результатом умножения является экспонента множителя в корне:

После того, как множитель введен, мы можем умножить степени, сохраняя основание и складывая показатели:

Когда следует вводить множители в радикал?

Находясь внутри корня, у нас есть еще один корень, умноженный на число или на переменную, и мы хотим упростить его, чтобы выразить его как один корень, например, например:

В этом случае мы не можем умножить корневые индексы, потому что у нас есть 2, которые нас беспокоят. Мы не можем извлечь его вне квадратного корня, поэтому, чтобы удалить его из середины, мы должны ввести его внутри кубического корня:

И теперь мы можем объединить два корня в один, умножив их индексы:

Иногда нет необходимости вводить факторы, так как можно решить корни, которые находятся внутри.

Упражнения по введению и извлечению радикальных факторов

Упражнение 1

Упростим следующие радикалы, извлекая множители:

Решение:

Упражнение 2

Упростите следующие радикалы, если необходимо, введя множители:

Решение

Как извлечь степень из числа.Как найти корень числа. Как все начиналось

МКУ «Закаменское районное управление образования»

МБОУ «Холтосонская СОШ»

Школьная научная конференция

«Первые шаги»

Номинация: Математика

Способы извлечения квадратного корня из многозначных чисел.

МБОУ «Холтосонская СОШ», 6 класс

Домашний адрес: РБ, Закаменский район,

село Холтосон, ул. Комсомольская, 41

Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения — в этом случае будет два комплексных решения.Если коэффициенты квадратного выражения, то мы можем решить уравнение факторизацией. Здесь мы используем ±, чтобы записать два решения в более компактной форме.

Если мы извлечем квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим. В общем, это описывает свойство квадратного корня. Этот метод позволяет решать уравнения, не являющиеся факторами. Обратите внимание, что квадратное выражение слева не имеет значения.

Контактный телефон: 8-924-352-8322

Руководитель: Харакшинова Ирина Вячеславовна

Год выполнения: 2016

Введение

История квадратного корня ………………………………… ……………………………….4

Методы извлечения квадратного корня …………………………………………………… 6

2. 1. Разложение радикала на простые множители ………………. 6

Затем примените свойство квадратного корня. Не забудьте включить ± и упростить. Для полноты убедитесь, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Ответ: Два действительных решения, ± 2 2 3. Иногда квадратные уравнения не имеют действительного решения. В этом случае решениями будут комплексные числа.

После применения свойства квадратного корня мы оставляем квадратный корень отрицательного числа.Следовательно, у этого уравнения нет реального решения; решения сложные. Рассмотрите возможность решения следующего уравнения. Фактор, а затем примените свойство нулевого продукта.

2.2. Извлечение квадратного корня из углового корня …………………………………………………… 6

2.3. Метод быстрого извлечения квадратного корня ………………………………… .7

Выводы …………………… ……………………. ……………………. ……………………. ……………………. .9

Список литературы ……………………………………. …………………….… .. ……… … 10

Введение

Можете ли вы представить мир без чисел? Без номеров не сделаешь покупку, не узнаешь время, не наберешь телефонный номер. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения? Они были бы просто невозможны, если бы не наука о числах.

Как все начиналось

Эти два решения равны -8 и — Когда уравнение имеет такую форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.Решаем, извлекая корни: 2 = 9. Член с квадратным фактором изолирован, поэтому мы начинаем с применения свойства квадратного корня.

На этом этапе разделите «плюс» или «минус» на два уравнения и решите их по отдельности. Помимо меньшего количества шагов, этот метод позволяет решать уравнения, которые не учитываются. Начните с деления термина на квадратный множитель. Мы попросили упростить главный квадратный корень из отрицательного числа. И мы предположим, поскольку здесь внутри радикала находится отрицательное число 52, это основная ветвь комплексной функции квадратного корня. Тот факт, что мы действительно можем вводить отрицательные числа в области этой функции.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютеров способность быстро и правильно выполнять сложные вычисления ни в коем случае не потеряла своей актуальности. Гибкость ума — предмет гордости людей, а умение, например, быстро производить расчеты вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в школе, дома, в профессиональной деятельности. К тому же быстрый счет — это настоящая гимнастика для ума, которая учит в кратчайшие сроки находить хорошие и нестандартные решения в самых сложных жизненных ситуациях.

То, что мы действительно можем получить воображаемые или сложные результаты. Таким образом, мы можем переписать минус 52 как минус 1 раз. Таким образом, его можно переписать как главный квадратный корень из отрицательной 1 раз. А затем, если мы предположим, что это основная ветвь функции комплексного квадратного корня, мы можем ее переписать. Если у нас есть главный квадратный корень из произведения двух вещей, мы можем переписать его как главный квадратный корень из каждого, а затем взять произведение.

Вы не можете этого сделать, если оба результата отрицательны. Например, вы не могли этого сделать.Вы не можете сказать, что главный квадратный корень из 52 отрицателен 1 умножить на отрицательный. Но тогда, поскольку они оба отрицательны, вы не можете сказать, что он равен квадратному корню из отрицательного числа, умноженному на квадратный корень из отрицательного числа. Вы получите бессмысленный ответ. Вы не можете этого сделать прямо здесь. И причина, по которой вы не можете этого сделать, заключается в том, что это свойство не работает, когда оба этих числа отрицательны.

В этом году я случайно услышал «исцеление квадратным корнем». Интересно, что такое квадратный корень и как его извлечь? Есть ли алгоритмы извлечения квадратного корня?

С этим вопросом я обратился к своей учительнице математики, она ответила, что такие алгоритмы есть, и посоветовала мне самому разобраться в этом вопросе.Я заинтересовался и решил изучить этот вопрос глубже, чем это предусмотрено в школьной программе.

Теперь, сказав это, мы можем это сделать, если только один из них отрицательный, или оба положительные, очевидно. А затем давайте подумаем, можем ли мы упростить квадратный корень из 52. И для этого мы можем подумать о нашей простой факторизации, чтобы посмотреть, есть ли у нас полные квадраты. Итак, 52 — это 2 раза по 26, а 26 — 2 раза. Итак, у нас есть 2 умножить на 2 или 4, что является идеальным квадратом. Следовательно, мы можем переписать это как равное.Другой квадратный корень из отрицательной единицы отрицательный.

А затем умножим это время на квадратный корень из 4 раз. Число с кубиками — это количество раз само по себе. Например, 4 куба, обычно пишется 4 3, это 4 × 4 × 4 = корень куба идет в противоположном направлении, поэтому корень куба 64 равен.

В статье представлены простые алгоритмы извлечения квадратного корня, которые может освоить каждый.

Цель: Изучить различные способы вычисления квадратных корней.

Задачи :

Проанализировать математическую литературу по данной теме, использовать также ресурсы Интернета.

Создать алгоритмы вычисления квадратного корня в случаях его вычисления «полностью».

Но если вы дадите аудитории свои умственные арифметические способности, это не проблема. Дайте кому-нибудь из вашей аудитории калькулятор. Попросите их подумать о трехзначном числе, удвоить его на два и сообщить вам ответ. Затем вы сообщаете им номер источника.Не просите их предоставить случайное 9-значное число, потому что случайное 9-значное число, вероятно, не будет кубом целого числа, и у вас возникнут проблемы, и следующие стратегии не будут работать.

Извлечение квадратного корня

Если вам нужно вычислить кубический корень из 3-значного числа, это будет довольно просто. Вот таблица кубиков от 1 до 10. Чтобы получить кубические корни из 9-значных чисел, вы должны знать эти первые 10 кубиков. Поэтому вы можете их запомнить. А если их запомнить, то вычислить корни куба не составит труда.

Приведите примеры быстрого извлечения квадратного корня.

Глава 1. История квадратного корня.

Необходимость возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметических операции, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, у которого сторона , но известна , долгое время возникала обратная задача: «Каким образом должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась ?». в? »

Кубический корень шестизначного числа должен быть меньше 100, поэтому вы можете запомнить первые 100 кубиков.Давайте посмотрим на первые 3 цифры, составляющие «300». Чтобы легко получить последнюю цифру, нам нужно использовать модульную арифметику, а чтобы сделать ее очень простой, мы будем выполнять арифметические операции с модулем. Все это означает, что мы производим сложение, вычитание и умножение, сохраняя только последнюю цифру ответа. Версия предыдущей таблицы по модулю 10 выглядит следующим образом.

Примеры вычисления корня

Возникает любопытная картина: если мы уберем число по модулю 10 дважды, мы вернемся туда, откуда начали. Таким образом, ответом должно быть число от 60 до 70 с последней цифрой 7, которая может быть только. Используя те же методы, мы можем легко вычислить первую и последнюю цифры кубического корня из 9-значного числа.

Применяемый корневой символ происходит от обозначений, используемых немецкими математиками 15-16 веков, которые называли алгебру «Косс», а алгебраистов «космистами». Неизвестные числа с 17 века стали обозначать последние буквы латинского алфавита x, y, z. Однако долгое время неизвестное в уравнении записывалось буквой R (от «Radix» — «корень»), а его квадрат — буквой q («квадрат»).Это объяснение не является общепринятым. В древнейших рукописях перед числом, из которого извлекается корень, ставилась точка, а затем точка или узкий ромб с чертой, направленной вправо и вверх. Так образовался знак.

Все, что осталось найти, — это среднее значение. Одно «что-то еще» — это другой модуль. Однако это означает, что вы делаете длинные деления в голове, чтобы получить остатки, что может сработать. Нам нужен модуль, для которого есть простой ярлык.

И оно должно быть больше 10, если он однозначно выбирает один правильный ответ из 10 возможных. Одна проблема с 9 заключается в том, что он не более чем, однако, он не может быть полностью смертельным. Начиная с правого конца, вы также можете складывать и вычитать числа. Мы уже определили, что первая цифра — 8, а последняя цифра. Это дает окончательный ответ. Итак, у вас есть это, как вычислить корни куба из 9 цифр в своей голове. Существует определенный объем запоминания, сложного сложения и вычитания, и вам, вероятно, нужно быть уверенным в них, прежде чем пробовать это в качестве трюка для вечеринки.

Зная время, можно найти выход при свободном падении по формуле:

Решите обратную задачу.

Задача. Сколько секунд упадет камень, упавший с высоты 122,5 м?

Решение: Чтобы найти ответ, нам нужно решить уравнение. Из него находим, что теперь осталось найти такое положительное число t, чтобы его квадрат был равен 25. Это число равно 5, так как

Следовательно, камень упадет 5 секунд.

Если вы хотите сдать экзамен, вам нужно действовать быстро с расчетами. Вы можете использовать этот ярлык, чтобы быстро найти квадратный корень из числа, который является идеальным квадратом! Мы даже можем найти квадратные корни из больших чисел. Но этот метод наиболее идеален для четырех- или пятизначных полных квадратов.

Дополнительные уроки вы можете посетить. Во-первых, мы должны запомнить единицы цифр всех квадратов от 1 до. На рисунке ниже показаны единицы квадратов. Теперь из рисунка можно сказать, что всякий раз, когда цифра единицы числа равна 9, цифра единицы квадратного корня этого числа определенно будет 3 или 7.Точно так же это может быть применено к другим числам с другими единицами цифр.

Положительное число нужно искать по его квадрату при решении других задач, например, при нахождении длины стороны квадрата по его площади. Мы вводим следующее определение:

Определение Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу a, называется квадратным корнем из но.

Это число означает

.Таким образом

Как найти квадратный корень из четырех цифр

Давайте узнаем, как найти квадратный корень на различных примерах. Пример. Найдите квадратный корень из. Мы группируем последнюю пару чисел и остальные числа вместе. Следовательно, мы можем сказать, что число единицы его квадратного корня будет 3 или.

Теперь рассмотрим первые два числа, т.е. пока мы можем сказать, что квадратный корень будет либо 63, либо. Теперь найдем точную цифру агрегата.Чтобы найти точный номер устройства, рассмотрим число десять, то есть 6, и следующий член, т.е. таким образом квадратный корень будет либо 84, либо.

Пример. Потому что

Вы не можете извлечь квадратные корни из отрицательных чисел, поскольку квадрат любого числа либо положителен, либо равен нулю. Например, выражение

не имеет числового значения.

В записи знак называется корнем (от латинского «radix» — корень), а число , а — основанием числа. Например, в записи корень числа равен 25. Т.к. Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулей, равен числу, записанному единицей и n нулям:

Как найти квадратный корень из пяти цифр

Таким образом, квадратный корень будет меньшим из двух значений, т.е. попробуем использовать пять цифр! Соединяем числа, начиная с правой стороны. Поскольку после создания двух пар остается одна дополнительная, объединяем ее с ближайшей к ней парой.

Метод быстрого извлечения квадратного корня

Таким образом, квадратный корень определенно равен 121 или. Поскольку 166 больше, чем 156, мы выбираем больше вариантов, т.е. давайте рассмотрим другой пример, чтобы вам было понятно этот трюк. Таким образом, квадратный корень будет 183 или. Таким образом, квадратный корень будет меньше двух чисел, т.е.

. Работая над этим исследованием, я обнаружил интересную информацию. Оказывается, есть неофициальный праздник, посвященный квадратному корню.

День извлечения квадратного корня — это праздник, который отмечается девять раз в столетие: в день, когда и день, и номер месяца являются квадратными корнями

из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 г .: 02-02 -04).

Числовой корень: правила и примеры вычисления

Этот трюк для нахождения квадратного корня из числа, несомненно, поможет вам на экзаменах. Теперь, когда вы изучили основы, возьмите разные примеры и потренируйтесь. В математике мы должны иметь возможность получить один и тот же ответ, независимо от того, насколько эффективно мы пришли к этому ответу.

Вычисление квадратного корня

Преимущество этого процесса корневого квадратного корня состоит в том, что он позволяет нам решить некоторые небольшие квадраты, которые мы не могли решить до использования одного факторинга.Эта квадратичная функция имеет квадратную и числовую части. Хотя мы можем получить целочисленное решение путем факторизации, мы никогда не сможем получить это радикальное решение путем факторизации. Факторинг, несомненно, полезен для решения некоторых квадратных уравнений, но дополнительные типы методов позволяют находить решения для дополнительных типов уравнений.

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81).

Основатель праздника — школьный учитель Рон Гордон из Редвуд-Сити, штат Калифорния, США.По состоянию на 2010 год Гордон продолжает

публиковать заметки о придуманном им празднике, поэтому активно контактирует на эту тему со СМИ.

Основное блюдо на этом «праздничном столе» обычно варят

Примеры расчета корня

Это уравнение, извлекающее квадратный корень с обеих сторон, не содержало никаких рационов. У этих студентов появляется дурная привычка не беспокоиться о том, чтобы писать знак ±, пока они не проверит свои ответы в конце книги и внезапно не «вспомнят», что они «имели в виду» поставить ±, где они взяли квадратный корень из обеих частей уравнение.

Графическое представление функции z = √y

«Корни» — операция «противоположная» применению индикаторов; Мы можем «отменить» власть радикалом, а мы можем «отменить» радикала силой. Например, если у нас есть квадрат 2, мы получаем 4, а если мы «извлекаем квадратный корень из 4», мы получаем 2; Если у нас есть квадрат 3, мы получаем 9, а если мы извлекаем квадратный корень из 9, мы получаем 3. В математической записи предыдущее предложение означает следующее.

кубики овощей и выпечка в форме квадратного корня математический знак

По объективным математическим причинам этот праздник можно отмечать строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и

дважды во второй. ), всегда в одни и те же дни:

1 января hh01

2 февраля xx04

3 марта xx год

4 апреля x16

5 мая XX25

6 июня х36 лет

7 июля, hh59

август 8 xx64

9 сентября, hh81

Интересно отметить, что промежуток (в годах) между

праздниками представляет собой непрерывную последовательность нечетных чисел: 3, 5,

Глава
II

.Метод квадратного корня

Первый способ — таблица квадратов, телефоны и калькуляторы, ими можно пользоваться, но если их нет под рукой.

2.1.
Разложение подкоренного вещества по факторам.

Второй способ –Разложение подкоренных множителей. Например, мы находим. Число 6561 делится на 3. Разложим 6561 на множители: 6561 = 3 · 3 3 3 = 81 81, 81

2.2. Извлеките квадратный корень из угла.

Третий путь . Извлеките квадратный корень из угла.
1-я ступень. Число 8649 разделено на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем два лица :.
2-я ступень. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем недостаток. Число 9 — это первая цифра корня.
3-я ступень. Число 9 возводится в квадрат (9 2 = 81), а число 81 вычитается из первой грани, мы получаем 86-81 = 5. Число 5 — это первый остаток.
4-я ступень. Остальным 5 присваиваем вторую сторону 49, получаем число 549.

5-й шаг . Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем -18

К такому числу необходимо приписать такое большое число, чтобы произведение полученного числа на это число было либо быть равным 549 или меньше 549. Это 3. Оно находится путем выбора: число десятков 549, то есть 54 делить на 18, мы получаем 3, так как 183 3 = 549.Цифра 3 — вторая цифра корня.

6 ступень. Находим остаток 549 — 549 = 0. Так как остаток равен нулю, мы получили точное значение корня — 93.

Пример:

Для калибровки мы возложили 63 в квадрат и добавили 113 к результату; так как эта сумма оказалась равной 4082, действие было выполнено правильно.

2.3. Метод быстрого извлечения квадратного корня

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 и т. Д.

Пример: найти √529

Решение: 1) _529

Часто на олимпиадах и экзаменах (например, на ЕГЭ по математике) нельзя пользоваться калькулятором.А в повседневной жизни иногда нужно прикинуть значение квадратного корня из целого числа, не имея под рукой калькулятора. Как поступить?

1.
Прежде всего, посмотрите на последнюю цифру числа, если это 2, 3, 7, 8, то полного корня этого числа не существует. И если число заканчивается числами 1, 4, 6, 9, то последняя цифра искомого корня может быть соответственно 1 или 9, 2 или 8, 4 или 6, 3 или 7.
Если число заканчивается с цифрой 5, то нужно обратить внимание на предпоследнюю цифру.Для существования целого корня он должен быть равен 2, только числа, оканчивающиеся на 25, могут иметь корни с окончанием на 5.
Особым местом в этой системе является 0. Если число оканчивается на единицу или нечетное число нулей, то нет целого корня, если он равен двум или четным, то есть корень кратен 10.

Вы заметили некоторую симметрию в этой таблице? Подумайте, чем это вызвано. Если вы не догадались, то посмотрите в конце этого раздела.

2.
Разделите номер на группы (по краю) по 2 цифры справа налево.Начните с последней цифры. Причем, если данное число состоит из нечетного количества цифр, то в самой левой группе будет одна цифра, если четное, то две.

Например,

Если ваше число состоит только из двух лиц, то вы можете остановиться на этом и проверить возможные результаты, умножив их на полосу. Например, корень из числа 1225 должен начинаться с 3 (мы определили это в пункте 3) и может заканчиваться только 5-кои (см. Пункт 1), т.е. если из этого числа есть натуральный корень, то он может только быть 35.Корень из 841 должен начинаться с 2, а может заканчиваться 1-ts или 9-koi, то есть это либо 21, либо 29. Но 21 ≈ 20 и 20 2 = 400, а 29 ≈ 30 и 30 2 = 900. Данное число 841 ближе к 900, чем к 400, поэтому ответ предположительно 29.

Проверьте это.

29
×

29
____
261
58
____
841

35
×

35
_____
175
105
_____
1225

Итак, ответы есть, они найдены и найдены правильно.
Для двузначных ответов, а длинные числа на экзамене встречаются редко, все очень просто. Не так ли?

4.
Если ваше число состоит из более чем двух лиц или вы не хотите сразу переходить к проверке, алгоритм поиска корня переходит к следующему шагу:
— найти первую цифру ответа в квадрате и вычесть из первого лица, прибавив к разнице второе лицо, вы получите трехзначное или четырехзначное число. Обозначим его A.

.
В наших примерах:

14 « 28 «84	14 — 3 2 = 14 — 9 = 5.А = 5 28 .
2 « 04 «49	2 — 1 2 = 2 — 1 = 1. A = 1 04 .
12 « 25	12 — 3 2 = 12 — 9 = 3. A = 3 25 .
8 « 41	8 — 2 2 = 8 — 4 = 4. A = 4 41 .

5.
Следующая цифра должна быть самой большой, выбранной следующим образом:
— умножьте доступную часть ответа на 2, добавьте к ней желаемое число и умножьте полученное число на такое же число.Что получилось, вычитаем из числа А. На балансе должно быть минимально возможное положительное число.

Например, для числа 142884 (14 «28» 84) была найдена часть ответа — снесена первая цифра 3 и вторая грань, т.е. определено A = 528. Умножаем часть ответа на 2, получаем 3 × 2 = 6. Теперь к 6-ке справа нужно прибавить «угадываемую цифру». Определяем его примерное значение:
A = 528 ≈ 500. 500: 60 ≈ 8. Поэтому начинаем выбирать из 8.
528 — 68 × 8 = 528 — 544 528 — 67 × 7 = 528 — 469> 0. Следующая цифра корня — 7.

Итак, в наших примерах:

14 «28» 84	3 × 2 = 6. A = 528	528 — 67 × 7 = 528 — 469 = 59.	Часть ответа 37
2 «04» 49	1 × 2 = 2. A = 104	104 — 24 × 4 = 104 — 96 = 8.	Часть ответа 14
12 дюймов 25	3 × 2 = 6. A = 325	325 — 65 × 5 = 325 — 325 = 0.	Ответ 35
8 «41	2 × 2 = 4. A = 441	441 — 49 × 9 = 441 — 441 = 0.	Ответ 29

Если вы сформировали столько чисел, сколько есть граней, а остаток на этом шаге равен 0, то ответ получен. В любом случае есть смысл проверить умножением.
Если цифр столько же, сколько цифр, но остаток не равен 0, то либо в приведенных выше вычислениях произошла ошибка, либо у этого числа нет натурального корня. В последнем случае, если вам все же нужно найти его значение с заданной точностью, вы можете добавить необходимое количество нулевых граней (00) после запятой и продолжить.
Если лица больше полученных чисел, продолжайте. В двух верхних примерах нам остается определить только последнюю цифру, это можно сделать, выбрав по п.1: для числа 142884 нам нужно проверить умножением 372 и 378, для числа 20449 проверить 143 и 147. Но продолжим с общим алгоритмом.

6.
Формируем новое число А, добавляя следующую грань к остатку, полученному на предыдущем шаге. Чтобы получить следующую цифру ответа, повторите шаги 5-го шага. Повторяем этот шаг до получения полного ответа.
В наших примерах:

14 «28» 84	A = 5984. 37 × 2 = 74.	5984 — 748 × 8 = 5984 — 5984 = 0.	Ответ 378
2 «04» 49	A = 849,14 × 2 = 28.	849 — 283 × 3 = 849 — 849 = 0.	Ответ 143

Обратите внимание, что сумма однозначных целых чисел, квадраты которых заканчиваются одинаковым числом, равна 10? Убедитесь, что это не случайность. Пусть эти числа x и y , тогда

x + y = 10 и y = 10 — x .

Напомним формулу для квадрата разности двух чисел

( a — b ) 2 = a 2 — 2 ab + b 2;

И используем его, чтобы найти квадрат y .

y 2 = (10 — x ) 2 = 10 2 — 2 · 10 · x + x 2;

В этой сумме первый член заканчивается двумя нулями, второй — нулем, а это значит, что все выражение после сложения будет заканчиваться тем же числом, что и х 2 Т.е. x 2 и y 2 заканчиваются одинаково.

Примеры вычисления корня.

Рассчитать √6335289 _______

Промежуточные результаты запишем в столбик по аналогии с делением.Черновик справа от сообщения.

6 «33» 52 «89 | 2517.
−4
____
233
−225 | 45 × 5
______
852
−501 | 501 × 1
________
35189
−35189 | 5027 × 7
__________
0

1) Делим число по грани: 6 «33» 52 «89. Получилось 4 штуки, следовательно, ответ будет состоять из 4-х цифр. Первая цифра 2, так как 2 2 = 4 6.

2) Затем удвойте существующую часть ответа, определите остаток, снесите следующий фасет и выберите следующую цифру ответа.Повторите этот шаг до последней грани:
233: 40 ≈ 5; 45 × 5 = 225 233; следовательно, 2-я цифра 5;
852: 500 ≈ 1; 501 × 1 = 501 852; следовательно, третья цифра — 1.

3) Если существует весь корень, то его последняя цифра может быть 3 или 7. Мы можем проверить 2513 и 2517, умножив в столбце. Но для многозначных чисел быстрее продолжить по общему алгоритму:
35189: 5000 ≈ 7; 5027 × 7 = 35189 (!) Последняя цифра 7.

Ответ: 2517.

Рассчитать √2304 ____

48
× 48
______
384
192
______
2304

Ломаем на грани. 23 «04. Следовательно, ответ состоит из 2 цифр, первая цифра 4, так как 4 2 = 16 23. Последняя цифра либо 2, либо 8, потому что результат умножения должен заканчиваться на 4.
Итак, 42 или 48 ? 42 ≈ 40; 40 2 = 1600. 48 ≈ 50; 50 2 = 2500. 2500 ближе к указанному числу, поэтому мы начинаем тест с умножения на столбец с 48.

Ответ: 48.

Это самый частый случай на экзамене по математике, и я настоятельно рекомендую заполнить его тестом.

Рассчитать √503 ___

Число заканчивается тройкой. Сразу видно, что целочисленное значение корня не подойдет. Зададимся вопросом, с какой точностью нужно определять корень. Предположим, что в условии ответ округляется до сотой доли. Значит, нужно до тысячных долей, т.е.е. до третьего знака после запятой. Следовательно, к заданному числу нужно добавить еще 3 нулевых грани. И не забывайте саму запятую!

5 «03,00» 00 «00 | 22,427.
−4
____
103
— 84 | 42 × 2
______
1900
−1776 | 444 × 4
________
12400
— 8964 | 4482 × 2
__________
343600
−313929 | 44847 × 7
____________
29671

1) Таким образом, разделение на грани будет такое 5 «03 ,
00 «00» 00. Ответ будет состоять из пяти цифр — 2 до запятой и 3 после. Первая цифра — 2 (2 2 = 4 5), мы не можем определить последнюю цифру в этом случае.

2) Далее выполните шаги 4,5,6 общего алгоритма, как обычно:
103: 40 ≈ 2; 42 × 2 = 84,103; следовательно, 2-я цифра 2.
1900: 440 ≈ 4; 444 × 4 = 1776 1900; следовательно, 3-я цифра 4.
12400: 4480 ≈ 3; 4483 × 3 = 13449> 12400; 4482 × 2 = 8964 343600: 44840 ≈ 8; 44848 × 8 = 358784> 343600; 44847 × 7 = 313929 Мы еще не получили нулевой баланс и, возможно, никогда не получим, если искомый корень является иррациональным числом.Но нам это не нужно, потому что результат уже получен с точностью, необходимой для округления.

Если отбросить 3-ю цифру после десятичной точки, увеличивая (так как 7> 5) предыдущее значение на единицу составляет 22,427 ≈ 22,43.

Ответ: 22,43.

Рассчитать √1,5 ____

Чтобы вычислить корень из десятичной дроби, необходимо помнить, что 10 2 = 100 и 0,1 2 = 0,01. Те. при возведении в квадрат происходит удвоение цифр. Соответственно, чтобы извлечь квадратный корень из десятичной дроби, нам нужно, чтобы после десятичной точки было четное количество цифр.В этом случае мы получаем целое число знаков после запятой при разбиении справа налево (с конца), а значит, и целое число знаков в дробной части ответа.
Напомним также, что к целой части числа можно добавить столько нулей впереди, а к дробной — столько нулей в конце. Количество при этом не меняется.

1 = 001; 23 = 000023; 1080 = 01080; а (!) 1080 ≠ 10800
0,1 = 0,10; 2,3 = 2,3000; 10,80 = 0010,8000; но (!) 10.80 ≠ 100.80 и 10.80 10.080

I. способ.

1,5 = 1,50
√1,5 ___

= √1,50 ____

Допустим, вам нужно дать ответ с точностью до десятых, тогда вам нужно вычислить значение этого корня с точностью до второго знака после запятой. Теперь у нас есть две цифры после запятой, то есть одна грань, поэтому добавьте еще одну нулевую грань.

1,50 «00 | 1,22
−1
____
50
−44 | 22 × 2
______
600
−484 | 242 × 2
_______
116

1) Рабство на грани: 1 . 50 «00. Результат будет состоять из 3 цифр — одна перед запятой и две после. Первая цифра, очевидно, 1.

3) Круглый 1,22 ≈ 1,2.

Ответ: 1,2.

II путь.

Умножаем и одновременно делим наше число на 10 до четной степени (обязательно до четного числа, чтобы позже мы могли легко и точно извлечь корень из знаменателя). 1,5 = 1,5 × 100/100 = 150/100. Следовательно, необходимо вычислить корень из 150 и разделить его на корень из 100, т.е.е. на 10.

Для небольших трехзначных целых чисел просто запомните значения корней, потому что они очень часто встречаются (см., например, в таблицах «Квадраты чисел от 1 до 25» и «Квадратные корни» ). Ближайшим к числу 150 является квадрат целого числа 144, следовательно, √150 ____

≈ 12 и √1,5 ____ соответственно

≈ 12:10 = 1,2.

Ответ: 1,2.

Внимание:
Это очень распространенная ошибка, когда для определения приблизительного значения корня из 1.5 берется корень из 15. Напомним — четное количество нулей.

√10__

≈ 3,16 √100 ___

= 10 √1000 ____

≈ 31,62 √10000 _____

= 100 √100000 ______

≈ 316,23 √1000000 _______

= 1000

Facebook

Твиттер

В контакте с

Google+

Обучение

Нахождение квадратного корня заданного числа в Голанге

Нахождение квадратного корня заданного числа в Голанге

Язык Go обеспечивает встроенную поддержку основных констант и математических функций для выполнения операций с числами с помощью математического пакета.Вы можете найти квадратный корень из указанного числа с помощью функции Sqrt () , предоставляемой математическим пакетом . Итак, вам нужно добавить математический пакет в свою программу с помощью ключевого слова import для доступа к функции Sqrt ().

Синтаксис:

 func Sqrt (a float64) float64

Если вы передадите + Inf в этой функции, то эта функция вернет + Inf.
Если вы передадите +0 или -0 в этой функции, то эта функция вернет +0 или -0.
Если значение <-1, то эта функция вернет NaN.
Если вы передадите NaN в этой функции, эта функция вернет NaN.

Пример 1:

основной пакет

импорт (

"» «"

)

func main () {

res.Sqrt (0)

res_2: = math.Sqrt (-100)

res_3: = math.Sqrt (math.Inf (1))

res_4: .Sqrt (math.NaN ())

res_5: = math.Sqrt (36)

fmt. 1f " , res_1)

fmt.Printf ( "\ nResult 2:% .1f" , res_2)

fmt.Printf ( "\ nResult 3:% .1f" , res_3)

fmt.Printf ( "\ nResult 4:% .1f" , res_4)

fmt.Printf ( "\ nResult 5:% .1f" , res_4)

}

Выход:

Результат 1: 0.0
Результат 2: NaN
Результат 3: + Inf
Результат 4: NaN
Результат 5: 6.0

Пример 2:

основной пакет

импорт (

"mt

)

func main () {

math199 = Sqrt (100)

nvalue_2: = math.

 Posted in Разное

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Что такое «извлечение корня»

В каких случаях извлекается корень?

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица кубов

Разложение подкоренного числа на простые множители

Извлечение корней из дробных чисел

Извлечение корня из отрицательных чисел

Поразрядное нахождение значения корня

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Что такое «извлечение корня»

В каких случаях извлекается корень?

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица кубов

Разложение подкоренного числа на простые множители

Извлечение корней из дробных чисел

Извлечение корня из отрицательных чисел

Поразрядное нахождение значения корня

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Что такое «извлечение корня»

В каких случаях извлекается корень?

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица кубов

Разложение подкоренного числа на простые множители

Извлечение корней из дробных чисел

Извлечение корня из отрицательных чисел

Поразрядное нахождение значения корня

Как извлечь корень в Эксель: квадратный, кубический, в степени

Метод 1: использование функции КОРЕНЬ

Заключение

Извлечение корней — методы и способы, оригинальные решения

Урок 41. извлечение корня из комплексного числа — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Функция КОРЕНЬ — Служба поддержки Office

Описание

Синтаксис

Замечание

Пример

— Каков процесс / алгоритм извлечения корня n-й степени из x (x и n — целые числа)?

радикалов — Как получить квадратный корень из комплексного числа?

(PDF) Извлечение корней Аль-Каши и Стевином

Функция SQRT и другие способы

Как извлечь квадратный корень в Excel с помощью функции КОРЕНЬ

Как получить квадратный корень в Excel с помощью вычислений

Почему показатель степени 1/2 равен квадратному корню?

Как найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как вычислить корень N в Excel

Вас также может заинтересовать

Вводить и извлекать факторы радикально.

Прямой метод извлечения множителей из корня

Корни с множественными факторами

Как ввести множители в корень

Упражнения по введению и извлечению радикальных факторов

Упражнение 1

Упражнение 2

Как извлечь степень из числа.Как найти корень числа. Как все начиналось

Как все начиналось

Извлечение квадратного корня

Примеры вычисления корня

Как найти квадратный корень из четырех цифр

Как найти квадратный корень из пяти цифр

Метод быстрого извлечения квадратного корня

Числовой корень: правила и примеры вычисления

Вычисление квадратного корня

Примеры расчета корня

Графическое представление функции z = √y

Примеры вычисления корня.

Нахождение квадратного корня заданного числа в Голанге

Добавить комментарий Отменить ответ

`Добавить комментарий Отменить ответ`