Содержание
Прямая является касательной к графику функции
Продолжаем рассматривать задачи входящие в состав экзамена по математике. В курсе алгебры есть группа задач, где задаётся уравнение функции и уравнение прямой — касательной к графику данной функции или прямой параллельной этой касательной.
Задачи несложные, но они требуют чёткого понимания геометрического смысла производной. Это теоретическая основа для решения подобных задач (и подобных им), и без этой основы никак нельзя. Рекомендую ознакомиться со статьями «Геометричесий смысл произвоной. Часть 1» и «Геометрический смысл производной. Часть 2».
Рассмотрим две задачи:
Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику функции
у = х2 – 5х + 7
Найдите абсциссу точки касания.
Из геометрического смысла производной мы знаем, что значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Известно, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны, значит угловые коэффициенты прямой у = 4х + 8 и касательной равны 4.
Угловой коэффициент прямой вида у = kх + b это число k.
Таким образом, абсцисса точки касания находится из уравнения:
Значит,
Ответ: 4,5
Второй способ:
Он предельно прост, но не всегда работает. Строим на координатной плоскости график у = х2 – 5х + 7, строим прямую у = 4х + 8, далее строим (параллельным переносом) параллельную ей прямую касающуюся параболы, и в некоторых задачах вы визуально сможете определить абсциссу точки касания.
Отмечу, что таким способом можно решить задачу, если абсцисса целое число или целое с половиной, например 1,5; – 2,5; –3,5 и так далее. Если же точка пересечения «непонятна», то есть, нельзя точно и уверенно определить абсциссу (например, визуально сложно определить 3,2; 5,7 …), то точное решение даст первый способ.
Если вы решили задачу этим способом и уверены в правильности решения, обязательно сделайте проверку. Подставьте полученную абсциссу в оба исходных уравнения, должны получится равные значения функций (ордината точки пересечения).
Решите самостоятельно:
Прямая у = 7х – 8 параллельна касательной к графику функции
у = х2 + 6х – 8
Найдите абсциссу точки касания.
Посмотреть решение
Прямая у = 6х + 4 является касательной к графику функции
у = х3 – 3х2 + 9х + 3
Найдите абсциссу точки касания.
Из геометрического смысла производной функции известно, что она (производная) равна угловому коэффициенту касательной.
Известно, что угловой коэффициент прямой вида у = kх + b это число k.
Значит, угловой коэффициент прямой у = 6х + 4 равен 6. Таким образом,
Решая квадратное уравнение, получим:
Получили два равных корня. Таким образом, абсцисса точки касания равна 1.
Ответ: 1
Решите самостоятельно:
Прямая у = – 4х – 11 является касательной к графику функции
у = х3 + 7х2 + 7х – 6
Найдите абсциссу точки касания
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
На этом все. Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Как найти абсциссу точки касания
При составлении уравнения касательной к графику функции используется понятие «абсцисса точки касания». Данная величина может задаваться изначально в условиях задачи или же ее необходимо определять самостоятельно.
Начертите на листе в клеточку оси координат х и у. Изучите заданное уравнение для графика функции. Если оно является линейным, то достаточно узнать два значения для параметра у при любых х, после чего построить найденные точки на оси координат и соединить их прямой линией. Если же график нелинейный, то составьте таблицу зависимости у от х и подберите как минимум пять точек для построения графика.
Постройте график функции и поставьте на оси координат заданную точку касательной. Если она совпадает с функцией, то ее координата х приравнивается к букве «а», которой обозначается абсцисса точки касания.
Определите значение абсциссы точки касания для случая, когда заданная точка касательной не совпадает с графиком функции. Задаем третий параметр буквой «а».
Запишите уравнение функции f(a). Для этого в исходное уравнение вместо х подставьте а. Найдите производную функции f(x) и f(a). Подставьте необходимые данные в общее уравнение касательной, которое имеет вид: y = f(a) + f ‘(a)(x – a). В результате получить уравнение, которое состоит из трех неизвестных параметров.
Подставьте в него вместо х и у координаты заданной точки, через которую проходит касательная. После этого найдите решение полученного уравнения для всех а. Если оно является квадратным, то будет два значения абсциссы точки касания. Это значит, что касательная проходит два раза возле графика функции.
Нарисуйте график заданной функции и параллельной прямой, которые заданы по условию задачи. В этом случае необходимо также задать неизвестный параметр а и подставить его в уравнение f(a). Приравняйте производную f(a) к производной уравнения параллельной прямой. Данное действие выходит из условия параллельности двух функций. Найдите корни полученного уравнения, которые будут являться абсциссами точки касания.
Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки
которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно
графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных
под разными углами. Уравнения касательной и уравнения
нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.
Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.
Значение производной f ‘(x0)
функции y = f(x) в точке
x0 равно угловому коэффициенту
k = tgφ касательной к графику функции,
проведённой через точку M0(x0, y0),
где y0 = f(x0).
В этом состоит геометрический смысл производной.
Таким образом, можем заменить k на f ‘(x0)
и получить следующее уравнение касательной к графику функции:
y — y0 = f ‘(x0)(x — x0).
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро
к ним перейдём) требуется привести
получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде.
Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику
функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:
(x — x0) + f ‘(x0)(y — y0) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть
решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».
Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке
запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому
отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль
оранжевого цвета.
Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет
собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение
уравнения к общему виду.
Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой
части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»:
умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции ,
если абсцисса точки касания .
Правильное решение и ответ.
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции ,
если абсцисса точки касания .
Правильное решение и ответ.
Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали —
не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную
простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями
(соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса (2x)
сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень ()
сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Поделиться с друзьями
Весь блок «Производная»
|
1. Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.
Задание 7 Производная и первообразная
Задание 7 Производная и первообразная Физический смысл производной 1.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 6t 2 48t + 17 (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах,
Подробнее
Все прототипы задания В8 (2013)
Все прототипы задания В8 (13) ( 7485) Прямая y 7x 5 параллельна касательной к графику функции y x 6x 8 Найдите абсциссу точки касания ( 7486) Прямая y 4x 11 является касательной к графику функции 3 y x
Подробнее
ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ
1) На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены девять точек:. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе
Подробнее
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (
Применение производной к исследованию функций 1. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих
Подробнее
ID_4689 1/7 neznaika.pro
1 Производная и первообразная Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. На рисунке
Подробнее
ID_1342 1/10 neznaika.pro
1 Производная и первообразная Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. На рисунке
Подробнее
Задание 8. Варганова Л.Ю
Задание 8 y f (x) у x 0 х Варганова Л.Ю Кодификатор элементов содержания Кодификатор требований http://shpargalkaege.ru/egeb8 Повторить материал по темам: Производная Понятие о производной функции, геометрический
Подробнее
Балабанова Виктория Викторовна
Балабанова Виктория Викторовна Балабанова В.В. СОШ 46 2 k tg f ( ) 0 Балабанова В.В. СОШ 46 3 Если производная на некотором промежутке положительная, то функция на данном промежутке возрастает. Если производная
Подробнее
Примерные практические задания:
Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения
Подробнее
y и постройте еѐ график.
Вариант 1 1 Найдите производную функции y 1 в точке Найдите f (0), если sin 0 Составьте уравнение касательной к графику функции 1, в точке графика с абсциссой 0 Составьте уравнение касательной к графику
Подробнее
Чтение графиков функций
Материалы для выполнения внеаудиторной (домашней самостоятельной работы) нацеленные на устранение пробелов знаний и умений по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
Подробнее
Примерные практические задания:
Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения
Подробнее
Контрольная работа 2. 1 вариант. 2 вариант. 1). Для функции f (х) = 3х 2 х Найти f (0), f (1), f (-3), f (5).
Контрольная работа 1 вариант 1) Для f (х) = х + х 1 Найти f (), f (1), f (-), f (5) 1) Для f (х) = х х + Найти f (), f (1), f (-), f (5) ) Найти D(у), если: у 5х 5 в) у х х 5х 6 г) 7х 1 у х х у х ) Найти
Подробнее
ID_8568 1/6 neznaika.pro
1 Анализ графиков и диаграмм Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. На рисунке
Подробнее
Тема 9 «Функция. Свойства функций»
Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое
Подробнее
3. Производная функции
. Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки
Подробнее
Тема 41 «Задания с параметром»
Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с
Подробнее
Дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента
Подробнее
Подготовка к ЕГЭ по математике
2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В9 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких
Подробнее
Геометрический смысл производной
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Статья написана в соавторстве с А. Г. Малковой Геометрический смысл производной Большинство школьных учебников даёт определение производной через определение
Подробнее
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0 )). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0
Подробнее
Технологическая карта урока.
Технологическая карта урока. Предмет: Алгебра и начала анализа (профильный уровень) Авторы учебника: А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г
Подробнее
Ответ: /13
Вариант 11608779 1. За да ние 7 317539. На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс:,,,,. В сколь ких из этих точек про из вод ная функ ции по ло жи тель на? 2. За да ние 7 6007.
Подробнее
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (
Геометрический смысл производной, касательная 1. На ри сун ке изоб ра жен гра фик функ ции y = f(x), определенной на интервале ( 5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции
Подробнее
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (
Вариант 11675602 Ответом к заданиям 1 12 является целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть от целой отделяйте десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно. Если вариант задан учителем,
Подробнее
Набережные Челны 2013 год
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Открытая (сменная) общеобразовательная школа 65» город Набережные Челны Республика Татарстан МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по подготовке учащихся вечерней
Подробнее
Математический анализ. Лекция 3.4
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Подробнее
Уравнение касательной. Условие касания. | Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему:
Урок по алгебре и началам математического анализа
в 10 классе (физ-мат.)
Тема: «Уравнение касательной. Условие касания».
Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков при решении проблемы.
Цель урока: Закрепить ранее полученные знания, научиться самостоятельно решать более сложные задачи и на основе их анализа делать выводы.
Образовательные:
-закрепить знания и навыки по теме «Уравнение касательной»;
-сформировать умения учащихся решать более сложные задачи;
-подготовить учащихся к самостоятельной деятельности.
Развивающие:
— способствовать развитию мыслительных операций: анализ, аналогия, сравнение, обобщение, внимание, монологической и диалогической речи;
— способствовать развитию у учащихся поиска и распознавания полезной информации ( на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей).
Воспитательные:
— содействовать воспитанию активной личности,
способной самостоятельно делать обобщения и вывод.
Структура урока:
1. Организационно-мотивационный момент.
2. Актуализация ЗУН.
3. Углубление ЗУН на примерах более сложных задач.
4. Обобщение, вывод, рефлексия.
5. Домашнее задание, подведение итогов.
№ | Этап урока | Действия учителя | Действия ученика | Результат |
1. | Организационно мотивационный | Установка на сотрудничество с учащимися и успех в предстоящей работе, постановка цели и проблемы | Слушают и оценивают предложение учителя, определяют смысл проблемы | Повышение самооценки, включение в работу |
2. | Актуализация ЗУН | Предлагает вспомнить знания и умения, которыми уже владеют дети, по этой теме, корректирует допущенные ошибки | Вспоминают, сравнивают, аргументируют, обобщают те знания, которые уже имеют | Самооценка и взаимопроверка имеющихся знаний, ликвидация пробелов |
3. | Углубление материала по теме | Организует индивидуальную и фронтальную работу, предлагает участие в обсуждении и анализе. Помогает увидеть проблему в конкретном задании, оценивает и корректирует выполняемые учащимися задачи, помогает обобщить полученные результаты | Применяют к составлению уравнений касательных условия параллельности и перпендикулярности. На основе задач с параметром видят решение поставленной проблемы | Поиск и выделение необходимой информации на основе наблюдения и оценки |
4. | Обобщение, вывод, рефлексия | Помогает обобщить весь материал, помогает увидеть самое важное для решения проблемы | Обобщают, систематизируют, формулируют решение проблемы на основе полученных знаний, делают вывод | Составлено условие касания прямой и графика функции, сделан вывод |
5. | Домашнее задание, подведение итогов | Комментирует и объясняет домашнее задание, помогает подвести итог, оценивает | Записывают и оценивают, подводят итог | № 43.56(а) № 43.58(а) № 43.62(а) |
Ход урока:
На прошлом уроке мы с вами вывели уравнение касательной и научились решать некоторые виды задач на составление уравнения касательной.
Давайте ещё раз повторим:
Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку?» (слайд 3,4)
- Что же такое касательная? (слайд 5,6)
- Какова связь между производной в точке касания и уравнением касательной? ( слайд 7,8,9,10)
- Назовите уравнение касательной (слайд 11)
- Как мы его получили?
Решение задач на повторение :
Цель: повторить алгоритм решения задач на составление уравнения касательной, выявить пробелы у учащихся и их ликвидировать.
Слайд 12 – устно проговорить алгоритм решения, проговорить сходства и различия в решении задач разных видов.
Решение по вариантам:
Задача №1.
Написать уравнения всех касательных к графику функции f(x)=x2+4x+6, проходящих через точку М(-3;-1).
Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.
Ответ: y=-6x–19, y=
Задача №2.
Правильно ли составлено уравнение касательной к графику функции f(x)=x3-3×2+1, если угловой коэффициент касательной k = -3. y= -3x+7.
Правильный ответ: y= -3x+2
Как расположены графики таких прямых y= -3x+7, y= -3x+2.
Делаем вывод, что у параллельных прямых коэффициенты равны, а если прямые перпендикулярны?
Слайд 15
Углубление материала:
Цель: вспомнить условия параллельности и перпендикулярности прямых и применить их при составлении уравнений касательных; в задачах с параметром выяснить необходимые и достаточные условия для существования касательной к графику функции.
Задача №3.
Составьте уравнение касательной к графику функции y = x3-x2-x+1, которая параллельна прямой y=2x-1.
Задача №4.
Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x+1, перпендикулярной прямой y= -1/4x+8.
Ответ: y = 4x+1
Задача №5.
При каких значениях а прямая y=3x-2 является касательной к графику функции y = x2+ax+2?
Ответ: a=-1, a=7.
Задача №6.
При каких значениях b прямая y =3x +b является касательной к графику функции y = ?
Ответ: b = .
Вывод, рефлексия:
Цель: решить поставленную проблему , сформулировать условие касания прямой к графику функции и сделать вывод.
Для того, чтобы прямая y = kx+b была касательной к графику функции y = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа x0(одной точки касания), для которой выполняется система
Способы написания уравнения касательной:
- Находим общие точки графиков, т.е. решение уравнения f(x) = kx+b, а затем для каждого из его решений вычислить f’(x0). Там где f’(x0) = k , имеет место касание, а в других пересечение.
- Находим корни уравнения f’(x0) = k и для каждого из них проверим, выполняется ли равенство f(x0) = kx0 + b. При его выполнении получаются абсциссы точек касания.
Вывод:
Если в точке x0 существует производная, то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции y = f(x) и наоборот, если в точке x0 нет производной функции y =f(x), то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции y =f(x) с угловым коэффициентом k=f’(x0).
Похожие:
Разместите кнопку на своём сайте: |
2 $ так, чтобы треугольник, который он формирует, имел минимальную площадь.
Аналогичными треугольниками можно доказать, что для $ (x_0, y_0 = f (x_0)) $ с соответствующими вершинами $ (x_c, 0) $ и $ (0, y_c) $, все лежащие на касательной прямой, для любое $ y = f (x_0) $,
$$ \ frac {x_0} {x_c} + \ frac {y_0} {y_c} = 1 $$
$ x_c $, $ y_c $ и $ y_0 $ могут быть выражены как функции от $ x_0 $, как и их отношения.
Сумма отношений в приведенном выше уравнении дает единицу. По мере увеличения одного отношения другое уменьшается.
Принципы линейного программирования предлагают найти оптимальные значения, когда компоненты компонентов принимают экстремальные значения или компоненты компонентов равны.
$ x_c $ или $ y_c $ принимают экстремальные значения, когда противоположная координата приближается к вершине. В этих условиях площадь под соответствующим треугольником становится сколь угодно большой.
Так что крайности минимум не дадут.
Теперь предположим, что $ \ frac {x_0} {x_c} = \ frac {y_0} {y_c} $ из другого принципа линейного программирования.
Тогда $ \ frac {x_0} {x_c} = \ frac {y_0} {y_c} = \ frac {1} {2} $.
Итак, $ x_c = 2x_0 $ и $ y_c = 2y_0 $, что делает $ (x_0, y_0) $ серединой гипотенузы. По теореме Фалеса середина гипотенузы равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника.
Площадь соответствующего треугольника равна $ \ frac {1} {2} x_cy_c = \ frac {1} {2} \ cdot4x_0y_0 = 2x_0y_0 $
Таким образом, площадь треугольника минимизируется, когда площадь, заключенная в прямоугольник с противоположными углами, исходной точкой и точкой на $ f (x_0) $, является минимальной.2 = 0 $
Мы также знаем, что длина гипотенузы в два раза больше длины расстояния $ (x_0, y_0) $ до начала координат в точке оптимальной площади.
Это означает, что точки пересечения должны лежать на окружности с центром в $ (x_0, y_0) $ и проходить через начало координат. Перехват всегда будет за пределами круга, а один всегда внутри. Это позволяет использовать алгоритм поиска с прямым краем и компасом.
Как найти уравнение касательной к кривой y = ln (3x-5) в точке, где x = 3?
Уравнение касательной состоит из двух частей: производной (наклона) и точки пересечения # y #.Проблема содержит всю информацию, необходимую для ее решения; нам просто нужно быть умными и использовать правильные техники.
Сначала мы находим производную нашей функции в # x = 3 #. Это будет наклон касательной. (Касательная прямая, поэтому наклон одинаков во всех точках — будь то # x = 3, 4, 5, 6, 7, # и т. Д.). Производная функции натурального логарифма равна # 1 / x #, поэтому мы знаем, что производная от #ln (3x-5) # будет # 1 / (3x-5) #.
Однако правило цепочки говорит нам, что нам нужно умножить это на производную «внутренней» функции (в нашем случае # 3x-5 #), которая равна # 3 #.Следовательно, полная производная равна
#y ‘(x) = 3 / (3x-5) #.
Чтобы найти производную в # x = 3 #, мы просто подставляем # 3 # для # x #:
#y ‘(3) = 3 / (3 (3) -5) #
#y ‘(3) = 3 / (9-5) #
#y ‘(3) = 3/4 #
Таким образом, наклон нашей касательной равен # 3/4 #. Теперь для нахождения перехвата # y # требуется наклон, который у нас есть, и точка из функции # y = ln (3x-5) #. Поскольку мы оцениваем касательную в точке # x = 3 #, мы будем использовать # 3 #, чтобы найти нашу точку:
#y (3) = ln (3 (3) -5) #
#y (3) = ln (9-5) #
#y (3) = ln (4) #
Наконец-то мы можем перейти к последнему шагу — нахождению фактического уравнения.Поскольку мы знаем, что касательная прямая, она будет иметь вид # y = mx + b #, где # m # — наклон, а # b # — пересечение # y #. У нас есть все необходимое:
# y = ln (4) -> # (# y # часть точки)
# x = 3 -> # (# x # часть точки)
# m = 3 / 4- > # (наклон)
Давайте подставим эти числа в наше уравнение:
#ln (4) = (3/4) (3) + b #
#ln (4) = 9/4 + b #
#ln (4) -9 / 4 = b #
Это наш # y # -перехват, составляющий уравнение касательной # y = 3 / 4x + ln (4) -9 / 4 #.Если вы предпочитаете точные числа вместо журналов и дробей, это можно округлить до
# y = 3 / 4x-.864 #
См. График ниже для визуального описания решения.
Как найти наклон линии, касательной к кривой — Magoosh Blog
Многие общие вопросы, задаваемые на экзаменах по математическому анализу AP, связаны с нахождением уравнения линии, касательной к кривой в точке. Если мы умеем быстро брать производные от функций, то 90 процентов работы для такого рода задач выполняется.Все остальное сводится к быстрой алгебре.
Первое, что нам нужно сделать, это вернуться к тому, что мы изучили в нашей алгебре: уравнение прямой или y = mx + b , где m — наш наклон, а b — наш y- перехватить. Это должно быть у нас под рукой. Теперь у нас не всегда есть точка пересечения оси y, поэтому часто бывает полезна несколько другая форма нашего уравнения линии: y-y1 = m (x-x1), где м, — наш наклон, а x 1 и y 1 — координаты точки.Вопросы, связанные с нахождением уравнения касательной к точке, сводятся к двум частям: нахождение наклона и нахождение точки на прямой.
Давайте возьмем пример
Найдите уравнения прямой, касательной к y = x 3 -2x 2 + x-3 в точке x = 1.
Во-первых, каков будет наклон этой линии? Каждый раз, когда нас спрашивают о наклоне, немедленно найдите производную функции.Мы должны получить y ‘= 3x 2 — 4x + 1. Вычислим эту производную при x = 1, и мы получим 3 (1) 2 -4 (1) +1 = 3-4 + 1 = 0. Наклон м этой функции при x = 1 равен 0 . м = 0 . (Обратите внимание, что для экзамена AP вы также должны иметь возможность использовать производную этой функции аналогичным образом для поиска локальных минимумов и максимумов — мы должны быть в состоянии увидеть, что, поскольку наш наклон равен 0, мы смотрим на линию который существует на локальном минимуме или максимуме).
Во-вторых, давайте найдем набор точек ( x 1 , y 1 ) , которые существуют на линии.На данный момент мы можем использовать только одно значение x, и это заданное значение x = 1. Чтобы найти значение y, мы подставляем его в исходное уравнение: y = (1) 3 -2 (1) 2 + 1-3 = 1-2 + 1-3 = -3. Следовательно ( x 1 , y 1 ) = (1, -3). Теперь у нас есть точка и угол наклона линии. Это все, что нам нужно, чтобы найти наше уравнение.
Уравнение нашей линии:
y-y1 = m (x-x1)
y — (- 3) = 0 (x-1)
y +3 = 0
y = -3
Здесь у нас есть уравнение с проведенной касательной:
(Вы можете найти локальный максимум этой функции?)
Другой пример уравнения касательной линии
Давайте задайте тот же вопрос, что и выше, но в новой точке: Найдите уравнения прямой, касательной к y = x 3 -2x 2 + x-3 в точке x = 2.
Опять же, каков будет наклон этой линии? Во-первых, производная: y ‘= 3x 2 — 4x + 1. Вычислить при x = 2.
3 (2) 2 -4 (2) +1 = 12-8 + 1 = 5. Наклон , м , этой функции при x = 2 составляет 5 ( м = 5) .
Набор точек ( x 1 , y 1 ). Мы можем использовать только x = 2. Подключаем это к нашему исходному уравнению.
y = 2 3 -2 (2) 2 + 2-3 = 8-8 + 2-3 = -1.
( x 1 , y 1 ) = (2, -1).
Уравнение нашей линии:
y-y1 = m (x-x1)
y — (- 1) = 5 (x-2)
y +1 = 5x-10
y = 5x-11
Нахождение наклона касательной линии: обзор
Нахождение уравнения касательной к кривой в точке всегда сводится к следующим трем этапам:
- Найдите производную и используйте ее для определения нашего наклона м в заданной точке
- Определите значение y функции при заданном нам значении x.
- Подставьте то, что мы обнаружили, в уравнение прямой.
Освойте эти шаги, и мы сможем найти касательную к любой кривой в любой точке.
Гарантированно улучшите свой результат SAT или ACT. Начните 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep уже сегодня!
Кстати, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT. Нажмите сюда, чтобы узнать больше!
О Захари
Захари — бывший инженер-механик, учитель физики, математики и информатики в средней школе.Он окончил Университет Макгилла в 2011 году и работал в автомобильной промышленности в Детройте, прежде чем перейти к образованию. Он преподает и занимается репетиторством в течение последних пяти лет, но вы также можете найти его за приключениями, чтением, скалолазанием и путешествиями, когда появляется такая возможность.
Что такое касательная линия
Аппроксимация касательной линии В общем, если f (a + h) трудно определить, тогда как f (a) легко определяется и | ч | мала, нам, возможно, придется аппроксимировать f (a + h) с помощью процесса, который использует f (a). Вершина в Скорпионе
18 мая 2017 г. · 1. Если два круга радиуса [латекс] r_ {1} [/ latex] и [латекс] r_ {2} [/ latex] касаются друг друга снаружи, то длина прямая общая касательная равна [латекс] \\ sqrt {4r_ {1} r_ {2}} [/ latex] Доказательство: пусть длина общей касательной равна l Нарисуйте линию ИЛИ параллельно Подробнее …
Справа пиксель бутон не работает
Также называется tan. (угла) тригонометрическая функция, равная отношению ординаты конечной точки дуги к абсциссе этой конечной точки, при этом начало координат находится в центре касания окружности, существительное.Происхождение слова для касательной. C16: от латинского слова līnea tangēns — касательная линия, от tangere — касаться.
Почтовый ящик Star stable
Точная формулировка этой фундаментальной идеи заключается в следующем. Пусть $ f $ — функция. Для каждого фиксированного значения $ x_o $ входа в $ f $ значение $ f ‘(x_o) $ Нормальной прямой к кривой в конкретной точке является прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной касательной. Человек может вспомнить из аналитики…
Теорема о трех параллельных прямых
Единичный касательный и единичные векторы нормали Единичный касательный вектор. Производная векторной функции дает новую векторную функцию, которая касается заданной кривой. Аналогом наклона касательной является направление касательной.
Часы, разделенные на 4 кода verilog
Также называется коричневым.(угла) тригонометрическая функция, равная отношению ординаты конечной точки дуги к абсциссе этой конечной точки, при этом начало координат находится в центре касания окружности, существительное. Происхождение слова для касательной. C16: от латинского слова līnea tangēns — касательная линия, от tangere — касаться.
2003 craftman gt5000 specs
Полный список см. На сайте study.com
Smash bros присоединяется к звуковому эффекту битвы
(a) Найдите уравнение для касательная к кривой пересечения поверхностей x 2 + y + z = 9 и 4 x 2 +4 y 2 — 5 z = 0 в точке (1; 2; 2): (b) Найдите радиус сферы центр которой равен (- 1; — 1; 0) и который касается
Процесс интервью Gic сингапур
Технически, касательная линия — это линия, которая касается кривой в точке, не пересекая ее .По сути, его наклон совпадает с наклоном кривой в точке. Это не значит, что он касается графика только в одной точке. На самом деле очень легко придумать касательные линии к различным кривым, которые пересекают кривую в других точках.
Free ursa mini luts
(2) Две окружности могут иметь общую касательную линию. Если линия пересекает сегмент, соединяющий центры окружности, это называется общей внутренней касательной. См. Изображения по ссылке.Обратите внимание, что существует много случаев для общих касательных линий: если окружности расположены снаружи друг от друга, их 4 общих …
Включить javascript firefox 77
Калькулятор найдет касательную линию к явной, полярной, параметрической и неявной кривой в данной точке с указанными шагами. Он также может обрабатывать горизонтальные и вертикальные касательные.
Гистограмма изображения в коде MATLAB
29 ноября 2017 г. · Каков наклон линии, касательной к окружности в точке (5,5), если центр окружности (3 , 2)? Выразите свой ответ дробью.
Увеличить в facebook live
1 Касательные линии используются для аппроксимации сложных поверхностей. Например, 1 0,5 0,5 1 2 2 4 xy Хотя мы можем не знать синюю функцию, изображенную выше, если мы знаем точку (0,2) и что f0 (0) = 3, тогда мы знаем функцию касательной линии (красный). То есть мы знаем, что касательная линия — это функция y = 3x + 2. В геометрии касательная линия (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке — это прямая линия, которая «только касается» кривой в этой точке.Автомобильный mp5-плеер 7010b инструкция по установке тригонометрическая функция; загар; прямая линия ; круговая функция Формованная деталь, которая представляет собой полимер с разомкнутым кольцом бифункционального дигидробензооксазинового соединения, представленного следующей формулой (I), и имеет диэлектрическую постоянную 2,0-3,2 и тангенс угла диэлектрических потерь 0,0001-0,006 при 23 ° C при температуре 100 МГц … касательная для включения конечных точек с учетом непрерывности и ограничений справа (для x = a) и слева (для x = b). Проблема касательной линии График f имеет вертикальную касательную в точке (c, f (c)).Рис. 3.7. Теперь вы подошли к решающему моменту в изучении математического анализа. Предел, используемый для определения наклона касательной. H5198 Данные по пороховой нагрузке
Программа для предварительной съемки tds
- Касательные, проведенные к окружности от внешней точки, имеют одинаковую длину. Это очень важная касательная — прямая линия, которая касается круга в одной-единственной точке. Итак, радиус круга, линия, соединяющая точку контакта и центр круга, и проведенная касательная образуют правую сторону…Pocket monkii workout
- Касательная линия и заданная функция должны проходить через одну и ту же точку. Поскольку задача подсказывала нам найти касательную в точке \ ((2, \ 10) \), мы знаем, что это будет точка, через которую должна пройти наша линия. Касательная линия и функция должны иметь одинаковый наклон в точке \ ((2, \ 10) \). Порт протокола Smb
- Касательная линия к кривой в точке является наилучшим приближением локальной прямой к кривой в точке. Предположим, что это график функции одной переменной и точка в области определения, непрерывная в точке.1999 dodge ram 1500 custom grill
- Касательная — это прямая линия, которая касается окружности только в одном месте. Касательная \ (AB \) касается окружности в точке \ (D \). Радиус окружности \ (CD \) перпендикулярен касательной \ (AB \) в точке контакта \ (D \). Текст для вышивки крестиком
- Касательной к окружности называется линия, пересекающая окружность только в одной точке. Общая точка между касательной и окружностью называется точкой. Любая другая линия, проходящая через точку на окружности, кроме касательной в этой точке, будет пересекать окружность в двух точках.{n}. [/ math] (b) Каков наклон и пересечение по оси Y этой прямой? (c) Касательная линия находится выше или ниже графика g? — Стоимость замены клапана pcv Slader Audi q5
Калькулятор касательной линии — Solumaths
Описание:
Калькулятор уравнения касательной линии используется для вычисления уравнения касательной линии к кривой в заданной точке абсциссы с вычислением этапов. 2 + 3; 1`), возвращает [y = 2 + 2 * x]
Вычислить в режиме онлайн с помощью equal_tangent_line (найти уравнение касательной)
Как найти уравнение окружности
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
касательных задач | Superprof
Упражнение 1
Вычислите точки, в которых касательная к кривой y = x³ — 3x² — 9x + 5 параллельна оси x.
Лучшие доступные репетиторы по математике
Первый урок бесплатно
Упражнение 2
На кривой y = x³ проведена касательная с наклоном 3, проходящая через точку (0, −2).Найдите точку соприкосновения функции и касательной.
Упражнение 3
Найдите точки на кривой f (x) = x 4 + 7x³ + 13x² + x + 1, для которых касательная составляет угол 45 ° с осью x.
Упражнение 4
Для функции f (x) = tan x найдите угол между касательной в начале координат f (x) и горизонтальной осью.
Упражнение 5
Вычислите уравнение касательной и нормальной линии для кривой f (x) = ln tan 2x в точке, где координата x равна: x = π / 8.
Упражнение 6
Найдите коэффициенты уравнения y = ax² + bx + c, зная, что его график проходит через (0, 3) и (2, 1), а во второй точке его касательная имеет наклон 3.
Упражнение 7
График функции y = ax² + bx + c проходит через точки (2, 3) и (3, 13), а касательная к кривой с координатой x, равной 1, параллельна к биссектрисе первого квадранта. Найдите числовое значение a, b и c.
Упражнение 8
Дана функция f (x) = a x ³ + b x ² + c x + d.Определите значения a, b, c и d, зная, что кривая проходит через точки (−1, 2) (2, 3), и что касательные в точках на кривой с координатами x, равными 1 и −2, равны параллельно оси абсцисс.
Упражнение 9
В какой точке кривой y = ln x ее касательная параллельна прямой, соединяющей точки (1, 0) и (e, 1)?
Упражнение 10
Определите значения b, для которых касательные к кривой функции f (x) = b²x³ + bx² + 3x + 9 при x = 1 и x = 2 параллельны.
Упражнение 11
Учитывая уравнение 9x² + y² = 18, найдите уравнение касательной, параллельной линии уравнения 3x — y + 7 = 0.
Упражнение 12
Найдите площадь треугольника определяется осями координат и касательной к кривой xy = 1 при x = 1.
Решение упражнения 1
Вычислите точки, в которых касательная к кривой y = x³ — 3x² — 9x + 5 параллельна ось абсцисс.
y ‘ = 3x² — 6x — 9; x² — 2x — 3 = 0 (упрощая для 3)
x 1 = 3 y 1 = −22
x 2 = −1y 2 = 10
A (3, −22) B (−1, 10)
Решение упражнения 2
На кривой y = x³ проведена касательная с наклоном 3, проходящая через точку (0, −2).Найдите точку соприкосновения функции и касательной.
Контактное лицо: (a, f (a)).
f ‘(x) = 3x²f’ (a) = 3a²
3a² = 3a = ± 1
Уравнения касательных линий:
a = 1 f (a) = 1
y — 1 = 3 (x — 1) y = 3x — 2
a = −1 f (a) = −1
y + 1 = 3 (x + 1) y = 3x + 2
Точка (0, −2 ) принадлежит прямой y = 3x — 2.
Итак, точка касания — это (1, 1).
Решение упражнения 3
Найдите точки на кривой f (x) = x 4 + 7x³ + 13x² + x + 1, для которых касательная составляет угол 45 ° с осью x.
m = 1
f ‘(x) = 4x³ + 21x² + 26x + 1
4x³ + 21x² + 26x + 1 = 1
x = 0 x = −2 x = 13/4
P (0 , 4) Q (−2, 4) R (13/4, 1621/256)
Решение упражнения 4
Учитывая функцию f (x) = tan x, найдите угол между касательной начало координат f (x) с горизонтальной осью.
f ′ (x) = 1 + tan² x f ′ (0) = 1 = m
y = x
α = arc tan 1 = 45º
Решение упражнения 5
Вычислите уравнение касательные и нормальные линии для кривой f (x) = ln tan 2x в точке, где координата x равна: x = π / 8.
Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Решение упражнения 6
Найдите коэффициенты уравнения y = ax² + bx + c, зная, что его график проходит через (0, 3) и (2, 1), а во второй точке его касательная имеет наклон 3.
(0, 3) 3 = c
(2, 1) 1 = 4a + 2b + c
y ‘= 2ax + b 3 = 4a + b
Решение системы:
a = 2 b = −5 c = 3
Решение упражнения 7
График функции y = ax² + bx + c проходит через точки (2, 3) и (3, 13).Касательная к кривой с координатой x, равной 1, параллельна биссектрисе первого квадранта. Найдите числовое значение a, b и c.
(2, 3) 3 = 4a + 2b + c
(3, 13) 13 = 9a + 3b + c
y ‘= 2ax + b 1 = 2a + b
Решите систему:
a = 3 b = −5 c = 1
Решение упражнения 8
Дана функция f (x) = a x ³ + b x ² + c x + d. Определите значения a, b, c и d, зная, что кривая проходит через точки (−1, 2) (2, 3), и что касательные в точках на кривой с координатами x, равными 1 и −2, равны параллельно оси абсцисс.
f (−1) = 2 −a + b — c + d = 2
f (2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3
f ′ (- 1) = 0 3a + 2b + c = 0
f ′ (2) = 0 12a — 4b + c = 0
a = — 2/9 b = — 1/3 c = 4/3 d = 31/9
Решение упражнения 9
В какой точке кривой y = ln x ее касательная параллельна прямой, соединяющей точки (1, 0) и (e, 1)?
Решение упражнения 10
Определите значения b, для которых касательные к кривой функции f (x) = b²x³ + bx² + 3x + 9 при x = 1 и x = 2 параллельны.
Чтобы обе касательные были параллельны, производные при x = 1 и x = 2 должны быть равны.
f ‘(1) = f’ (2)
f ‘(x) = 3b²x² + 2bx + 3
f’ (1) = 3b² + 2b + 3
f ‘(2) = 12b² + 4b + 3
3b² + 2b + 3 = 12b² + 4b + 3
9b² + 2b = 0
b = 0 b = −2/9
Решение упражнения 11
Учитывая уравнение 9x² + y² = 18, найдите уравнение касательной, параллельной линии уравнения 3x — y + 7 = 0.