Формула Пика

Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно  это делать и таким образом. 

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

Отметим узлы:

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.

Рассмотрим подход оговоренный в статье «Площадь четырёхугольника. Универсальный способ».

Найдём площадь фигуры:

Опишем около неё прямоугольник:

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответ: 4,5

В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Задачи на нахождение периметра и площади

Примеры решения задач разной сложности на нахождение периметра и площади

Условные обозначения и формулы

• a — длина
• b — ширина
• P — периметр
• S — площадь

Квадрат → определение

P = a + a + a + a; P = a · 4 — периметр квадрата

S = a · a; S = a² — площадь квадрата

Прямоугольник → определение

P = a + b + a + b; P = 2a + 2b; P = (a + b) · 2 – периметр прямоугольника

S = a ·  b — площадь прямоугольника

Задачи

Треугольник → определение

S = ½ · a · h – площадь треугольника

P = a + b + c – периметр треугольника

Задачи

Круг → определение

P = πD; P = 2πR — длина окружности

S = πR2; S = πD2 : 4 – площадь круга

Задачи

30 задач – от простого к сложному

Задача №1

Найди периметр квадрата со стороной 8 см.

Решение:

8 · 4 = 32 (см)

Ответ: периметр квадрата 32 см.

Задача №2

Найди периметр квадрата со стороной 16 см.

Решение:

16 · 4 = 64 (см)

Ответ: периметр квадрата 64 см.

Задача №3

Периметр квадрата 16 см. Найди его сторону.

Решение:

16 : 4 = 4 (см)

Ответ: сторона квадрата 4 см.

Задача №4

Найди периметр прямоугольника со сторонами 9 и 6 см.

Решение:

(9 + 6) · 2 = 30 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 30 см.

Задача №5

Найди периметр прямоугольника со сторонами 7 и 8 см.

Решение:

(7 + 8) · 2 = 30 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 30 см.

Задача №6

Найди длину прямоугольника, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.

Решение:

Вариант Ⅰ

У прямоугольника противоположные стороны равны, то есть две равных ширины и две равных длины.

Если одна ширина (сторона) 7 см, то и другая (противоположная) тоже 7 см.

7 + 7 = 14 (см)

Периметр состоит из суммы длин четырёх сторон прямоугольника, сумму двух противоположных сторон мы уже узнали, тогда сумма двух других противоположных сторон (длин) будет равна:

40 — 14 = 26 (см)

Теперь узнаем длину одной стороны:

26 : 2 = 13 (см)

Ответ: длина прямоугольника 13 см.

или

Вариант Ⅱ

P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

или

(a + b) · 2 = P, где a — длина = ?, b — ширина = 7 см, P — периметр = 40 см.

Составим уравнение:

(а + 7) · 2 = 40
2а + 14 = 40

2а = 40 — 14

2а = 26

а = 26 : 2

а = 13

Ответ: длина прямоугольника 13 см.

Задача №7

Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.

Решение:

Вариант Ⅰ

У прямоугольника противоположные стороны равны, то есть две равных ширины и две равных длины.

Если одна длина (сторона) 10 см, то и другая (противоположная) тоже 10 см.

10 + 10 = 20 (см)

Периметр состоит из суммы длин четырёх сторон прямоугольника, сумму двух противоположных сторон мы уже узнали, тогда сумма двух других противоположных сторон будет равна:

30 — 20 = 10 (см)

Теперь узнаем ширину одной стороны:

10 : 2 = 5 (см)

Ответ: ширина прямоугольника 5 см.

или

Вариант Ⅱ

P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

или

(a + b) · 2 = P, где a — длина = 10 см, b — ширина = ?, P — периметр = 30 см.

Составим уравнение:

(10 + b) · 2 = 30
20 + 2b = 30

2b = 30 — 20

2b = 10

b = 10 : 2

b = 5

Ответ: ширина прямоугольника 5 см.

Задача №8

Ширина прямоугольника 14 см. Длина на 5 см больше. Найди его периметр и площадь.

Решение:

14 + 5 = 19 (см)

(19 + 14) · 2 = 66 (см)

19 · 14 = 266 (см²)

Ответ: периметр прямоугольника 66 см; площадь прямоугольника 266 см².

Задача №9

Длина прямоугольника 7 см. Ширина на 3 см меньше. Найди его периметр и площадь.

Решение:

7 — 3 = 4 (см)

(7 + 4) · 2 = 22 (см)

7 · 4 = 28 (см²)

Ответ: периметр прямоугольника 22 см; площадь прямоугольника 28 см².

Задача №10

Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.

Решение:

24 : 4 = 6 (см)

6 · 6 = 36 (см²)

Ответ: площадь квадрата 36 см².

Задача №11

Периметр квадрата 36 см. Найди его площадь.

Решение:

36 : 4 = 9 (см)

9 · 9 = 81 (см²)

Ответ: площадь квадрата 81 см².

Задача №12

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см.

На сколько см² он ошибся?

Решение:

5 · 9 = 45 (см²)

6 · 8 = 48 (см²)

48 — 45 = 3 (см²)

Ответ: он ошибся на 3 см².

Задача №13

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см, а он начертил его со сторонами 8 см и 6.

На сколько см² он ошибся?

Решение:

10 · 8 = 80 (см²)

8 · 6 = 48 (см²)

80 — 48 = 32 (см²)

Ответ: он ошибся на 32 см².

Задача №14

Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.

Решение:

4 + 4 = 8 (см)

36 — 8 = 28 (см)

28 : 2 = 14 (см)

14 · 4 = 56 (см²)

Ответ: площадь прямоугольника 56 см².

Задача №15

Сторона квадрата 6 см. Найди ширину прямоугольника с таким же периметром и длиной 3 см.

Решение:

6 · 4 = 24 (см)

3 + 3 = 6 (см)

24 — 6 = 18 (см)

18 : 2 = 9 (см)

Ответ: ширина прямоугольника 9 см.

Задача №16

Сторона квадрата 18 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 14 см.

Решение:

18 · 4 = 72 (см)

14 + 14 = 28 (см)

72 — 28 = 44 (см)

44 : 2 = 22 (см)

Ответ: длина прямоугольника 22 см.

Задача №17

Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см.

Чему равен периметр прямоугольника?

Решение:

40 : 4 = 10 (см)

(10 + 4) · 2 = 28 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 28 см.

Задача №18

Площадь прямоугольника 40 см². Длина его 8 см.

Чему равен периметр прямоугольника?

Решение:

40 : 8 = 5 (см)

(8 + 5) · 2 = 26 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 26 см.

Задача №19

Ширина прямоугольника 15 см, длина 20 см.

Найди длину другого прямоугольника с той же площадью, если его ширина в 3 раза меньше ширины первого прямоугольника.

Решение:

в первом действии узнаём площадь по формуле a · b = S
15 · 20 = 300 (см²) — S  одного и другого прямоугольника

теперь ширину второго

15 : 3 = 5 (см) — ширина другого прямоугольника

и отвечаем на вопрос задачи применив формулу S : a = b
300 : 5 = 60 (см)

Ответ: длина другого прямоугольника 60 см.

Задача №20

Длина прямоугольника b = 32 см. Ширина a = 4 см.

Найди длину другого прямоугольника с такой же площадью, если его ширина в 2 раза больше ширины первого прямоугольника.

Решение:

узнаем площадь прямоугольников по формуле a · b = S
32 · 4 = 128 (см²) — S  первого прямоугольника

теперь ширину второго прямоугольника

4 · 2 = 8 (см) — ширина другого прямоугольника

применив формулу S : a = b узнаем длину другого

128 : 8 = 16 (см)

Ответ: длина другого прямоугольника 16 см.

Задача №21

Какой участок земли потребует большую ограду: прямоугольный размерами 32 м и 2 м или квадратный, имеющий ту же площадь?

Решение:

Ⅰ. Прямоугольный участок

32 · 2 = 64 (м²) — S прямоугольного участка = 64 (м²)  

(32 + 2) · 2 = 68 (см) — P прямоугольного участка = 68 (см)

Ⅱ. Квадратный участок (имеющий площадь прямоугольного = 64 м²) 

Если  S квадрата = a · a,  тогда, из формулы, узнаем сторону квадратного участка S : a = a
(у квадрата все стороны равны, тогда a · a = S —  таблицу умножения мы знаем, подберём значения  a  и заменим их —  8 · 8 = S  или  8 · 8 = 64  или  64 = 8 · 8   или  64 : 8 = 8) 

64 : 8 = 8 (м) — любая сторона квадратного участка = 8 (м)

8 · 4 = 32 (м) — периметр квадратного участка = 32 (м) 

Ⅲ. P прям. — P квадр. = разница периметров

68 — 32 = 36 (м) — разница периметров

Ответ: потребует большую ограду прямоугольный на 36 м.

Задача №22

Какая комната потребует больше плинтуса: прямоугольная размерами 4 м и 9 м или квадратная, имеющая ту же площадь?

Решение:

(4 + 9) · 2 = 26 (м) — P периметр прямоугольной комнаты

4 · 9 = 36 (м²) — S площадь прямоугольной комнаты

(из условия задачи квадратная комната имеет ту же площадь 36 м², а из определения площади квадрата знаем, что все стороны равны a = a = a = a, смотрим таблицу умножения и видим 6 · 6 = 36, то есть любая из сторон a = 6

запишем (приведём) формулу площади квадрата S = a · a в форму нахождения её стороны S : a = a
36 : 6 = 6 (м) — любая из сторон квадратной комнаты

6 · 4 = 24 (м) — P периметр квадратной комнаты

26 — 24 = 2 (м)

Ответ: потребует больше плинтуса прямоугольная на 2 м.

Задача №23

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.

Решение:

Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.

У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).

Если S = a · a — площадь квадрата, тогда

S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6

2 · 2 · 6 = 24 (см²)

Ответ: площадь всех граней куба равна 24 см².

Задача №24

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение:

Для решения потребуются формулы:

S = a · a; S = a² — площадь квадрата (у квадрата все стороны равны)

S = a · b — площадь прямоугольника (у прямоугольника противоположные стороны равны)

Далее всё очень просто:

Квадрат A.

S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда

8 · 8 = 64 — площадь квадрата

S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда

4 · 1 = 4 — площадь вырезанного прямоугольника

из площади квадрата вычтем площадь вырезанного прямоугольника

64 — 4 = 60

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 60.

Квадрат B.

S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда

7 · 7 = 49 — площадь квадрата

S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда

4 · 2 = 8 — площадь вырезанного прямоугольника

из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника

49 — 8 = 41

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 41.

Квадрат C.

S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда

7 · 7 = 49 — площадь квадрата

S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда

5 · 1 = 5 — площадь вырезанного прямоугольника

из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника

49 — 5 = 44

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 44.

Задача №25

1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке A.
2. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке B.
3. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке C.
4. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке D.
5. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке E.

(!) Фигуры расположены на листе в клетку, где каждая клетка – квадрат со стороной равной 1см.

Определение:

Неправильный четырехугольник – фигура, у которой стороны не равны и не параллельны.

Решение:

разобьём неправильные четырехугольники A, B, D на два прямоугольных треугольника и прямоугольник, а неправильные четырехугольники C, E на два прямоугольных треугольника и квадрат.

Применив формулы площади треугольника , квадрата и прямоугольника легко решим поставленную задачу

Фигура A.

S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда

3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника

½ ·2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры A

12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²

Фигура B.

S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда 

5 · 1 = 5 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 6 · 5 = 15 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 1 = 0,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры B 

5 + 15 + 0,5 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры B 20,5 см²

Фигура C.

S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда

5 · 5 = 25 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 6 = 3 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры C

25 + 3 + 2,5 = 30,5 см²

Ответ: площадь фигуры C 30,5 см²

Фигура D.

S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда

3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры D

12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²

Фигура E.

S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда

2 · 2 = 4 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 3 · 4 = 6 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 2 · 2 = 2 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры E

4 + 6 + 2 = 12 см²

Ответ: площадь фигуры E 12 см².

Задача №26

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.

Определение:

Периметр – сумма длин всех сторон фигуры выраженый в милиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т.д.

Площадь фигуры – геометрическое понятие, размер плоской фигуры выраженый в мм², см², дм², м² и т.д.

Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда

применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура A имеет четыре стороны, тогда

1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура B имеет четыре стороны, тогда

2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.

Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура C имеет шесть сторон, тогда

3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура D имеет восемь сторон, тогда

1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура E имеет восемь сторон, тогда

1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Вывод:

Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат.

У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат.

Задача №27

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²

Решение:

6² + 8² = c²

6 · 6 + 8 · 8 = c²

36 + 64 = с²

с² = 36+64

с² = 100

с = 10

Найдём периметр прямоугольного треугольника по формуле: p = a + b + c

p = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.

см. Площадь треугольника

Задача №28

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (гипотенуза) с = 10 см

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²

Решение:

6² + b² = 10²

6 · 6 + b² = 10 · 10

36 + b² = 100

b² = 100 — 36

с² = 64

с = 8

Найдём периметр прямоугольного треугольника по формуле: p = a + b + c

p = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.

см. Площадь треугольника

Задача №29

В треугольной пластине abc у которой один из углов 90°, сторона a равна 20 сантиметрам, а сторона b равна 10 сантиметрам просверлили отверстие диаметром 3 сантиметра. Какую оставшуюся площадь пластины нужно покрасить?

Решение:

Мы знаем что площадь – S треугольника равна половине – ½ произведения его основания – a умноженная на высоту – h,
то есть S = ½ · a · h, а Формула площади круга S = πd² : 4, число π ≈ 3,14.

1) По условию задачи пластина имеет форму прямоугольника со сторонами abc, в данном случае сторона b является высотой треугольника.

Тогда формула будет выглядеть так – S = ½ · a · b

подставим значения в эту формулу

½ · 10 · 20 = 100 (см²) — площадь треугольника

2) Подставим значения в формулу и узнаем площадь круга S = πd² : 4

3,14 · 3² : 4  =  3,14 · 9 : 4 = 7,065 (см²)

3) Теперь мы можем ответить на вопрос поставленный в задаче

100 — 7,065 = 92,935 см² — оставшуюся площадь пластины

Ответ: нужно покрасить 92,935 см².

Задача №30

На садовом участке Петя построил для цыплят круглый вольер радиусом 5 метров. Участок имеет прямоугольную форму с длинной 120 метров и шириной равной 8 диаметрам вольера. Сколько потребуется метров металлической сетки чтобы огородить участок и вольер?

Решение:

Для решения задачи нам потребуются вычислить периметры участка и вольера.

1) В первом действии узнаем диаметр вольера, нам известен радиус 5 метров, тогда по формуле диаметр равен двум радиусам D = 2R

5 · 2 = 10 (м) — диаметр вольера

2) Если ширина участка равна 8 диаметрам вольера, тогда

10 · 8 = 80 м — ширина участка

3) Далее по формуле P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

120 + 80 · 2 = 400 (м)

4) Теперь по формуле P = 2πR — длина окружности (периметр) вольера

2 · 3,14 · 5  =  2 · 3,14 · 5 = 31,4 (м)

5) В последнем действии сложим периметры участка и вольера ответим на вопрос задачи

400 + 31,4 = 431,4 (м)

Ответ: потребуется 431,4 метров металлической сетки.

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Урок 6: Площадь фигуры — 100urokov.ru

План урока:

Понятие площади фигур

Сравнение площадей фигур

Квадратный сантиметр, дециметр, метр

Площадь прямоугольника

Преобразование величин

Здравствуйте, друзья! Давайте познакомимся. Я — Сова — Мудрая голова.

Масса моего мозга больше, чем у других птиц. Я, как все учителя, терпелива, замечаю все вокруг, слышу шорохи, обдумываю свои шаги. У многих народов меня считают символом знаний.

Сегодня на уроке мы познакомимся с различными способами сравнения и измерения геометрических фигур, а я поделюсь с вами своей мудростью.

Будь внимателен, дружок!

Начинаем наш урок.

Понятие площади фигур

Распределите фигуры на группы.

Какие фигуры вы видите?

Прямые и кривые линии, прямые и кривые, овалы, круг, прямоугольники, квадраты, треугольники.

Чем похожи данные фигуры?

Их можно начертить на плоскости.

Чем они отличаются?

Из бумаги можно вырезать только плоские фигуры, у которых кроме длин сторон, можно вычислить и новую величину — площадь.

Для чего это надо нам знать? Когда может пригодиться?

Величины нужны не только для решения математических задач, но и в жизни. Чтобы сделать поделку, надо определить, какое количество бумаги потребуется. При ремонте квартиры мы считаем, сколько купить рулонов обоев, чтобы оклеить стены комнаты. Величина понадобится при постройке дома, при изготовлении какой-либо продукции в промышленности. Даже в саду и огороде хозяйки считают, хватит ли места на грядке.

Как можно объяснить слово площадь? Значение понятий мы узнаем в толковых словарях.

Прочитайте, какой смысл нового термина в словаре С.И. Ожегова.

Первое объяснение:

Как называется главное место столицы нашей страны?

Красная площадь в Москве.

Вторая формулировка:

Общую и полезную площадь имеют разные помещения:

Квартира, в которой вы живете.

Классная комната, где вы учитесь.

Спортивный зал, столовая, бассейн школы.

Разные объекты, занимающие место на земле, можно встретить в любом городе.

Игровая площадка

Строительная площадка

Интересно, что некоторые люди заводят дома ушастых сов. Но держать птиц в клетке не рекомендуется: для них требуется более просторная комната, где они могли бы летать.

Жилая площадь квартиры

Любым диким животным лучше жить на воле. Сова – это хищная птица. Она питается грызунами, мышами, полевками, насекомыми и птицами. В этом отношении колоссальная польза от совы состоит в том, что за одно лето она может уничтожить около одной тысячи полевых мышей. Каждый грызун уничтожает более килограмма зерна на посевных площадях страны.

Поле с зерновыми культурами

Понятие площади фигуры:

В математике говорят — площадь фигуры. Это величина пространства, ограниченного замкнутым контуром (периметром фигуры).

Ее можно посчитать математическими методами. С этой целью еще в далекой древности была создана целая наука под названием геометрия. Она применялась для деления поля на земельные участки, но потом ее стали использовать для измерения различных фигур. Поэтому их называют геометрическими фигурами, их место на плоскости — площадью.

Сравнение площадей фигур

Мы можем площади плоских фигур сравнить на глазок. Посмотрите на иллюстрацию.

Картина на стене занимает меньше места, потому говорят, что ее площадь меньше, чем стена. Книги, тетради меньше площади крышки стола. Их как бы наложили сверху, и еще осталось место.

Перечислите способы сравнения фигур по площади.

Можно сравнить на глазок или накладывая предметы, фигуры друг на друга.

Расставьте в порядке уменьшения:

Если получилось так: 3, 1, 2, 4, то вы отлично справились.

Теперь сравните треугольник с кругом:

Круг меньше площади треугольника.

Сравнить можно с помощью любых мерок. На рисунке прямоугольники измеряли заданной меркой — треугольником. 

В левый прямоугольник их поместилось 18, а в правый — 20. Делаем вывод, что площадь левой фигуры меньше, чем правой.

Хороший способ сравнения — это подсчет клеток.

Чтобы сравнить площади клетчатых фигур, надо пересчитать количество клеток:

Фигура 3 самая маленькая по площади – 6 клеток. Фигура 2 имеют большую площадь, чем 3. В ней 7 клеток. Площади фигур 1,4,5,6 равновеликие. Они равны 8 клеткам, по площади больше фигур 2 и 3.

Разностное сравнение площадей фигур — это нахождение разницы между большей и меньшей величиной.

Сравните площади фигур 3 и 1. Запишите результаты сравнения.

Проверьте себя:

8 – 6 = 2

Ответ: 2 клетки

Квадратный сантиметр, дециметр, метр

Какой меркой лучше измерить площадь фигуры квадрата и прямоугольника?

В 18 веке на Руси вводилась основная мера измерения площади — десятина и четь. Но поля крестьян были неровными, поэтому часто мерками служила урожайная копна. Народ изобретал особые мерки: выть, соха, обжа, коробь, веревка, жеребья. Сейчас мы не используем этих мер.

Начертите прямоугольник со сторонами 5см и 4см. Какими мерками можно измерить фигуру?

Посмотрите на рисунок, утенок измерил прямоугольник с помощью треугольников, ежонок — квадратами, а котенок — прямоугольниками.

Посчитаем, сколько единичных мерок находится в прямоугольнике. У животных получились разные величины: 40, 20, 10.

Всегда ли удобно определять площадь фигуры произвольными мерками?

Конечно, нет.

Вывод: значение величины зависит от выбранной мерки. Чтобы сравнить, нужно договориться об одинаковом способе измерения.

Всегда ли для определения площади фигуры подходит клетка?

Да.

Какого размера должна быть клетка?

Я предлагаю измерять как ежик, квадратами по 2 клеточки.

Измерьте длину и ширину этого квадратика. Что получилось?

Длина и ширина равна 1 см.

Единицей измерения площади еще 4-5 тысяч лет тому назад жители древнего города Вавилона считали квадрат, так как именно квадрат имеет превосходные признаки: четыре стороны равны межу собой, четыре прямых угла; можно провести ось и найти центр симметрии. Форма квадрата без изъянов, совершенна, поэтому его легко начертить и плотно покрыть фигуры любой формы.

Если у квадратика сторона 1см – площадь его равна квадратному сантиметру.

1 квадратный сантиметр сравним с ноготком взрослого человека.

Записывается площадь 1 квадратного сантиметра так:

S = 1 кв. см или S = 1 см²

Латинская буква «эс» обозначает площадь, двойка в правом верхнем углу — две величины: длину и ширину.

Начертите квадрат со стороной 10 сантиметров.

Квадратный дециметр (1 дм ²) — это квадрат со стороной 1 дм или 10 см.

Квадратный метр (1 м ²) — это квадрат со стороной 1 м или 10 дм. В квадратных метрах обозначается площадь в жилых помещениях, например: в комнатах, коридорах. Эта мерка подойдет для измерения дачного участка, спортивного зала, территории сквера.

А при строительстве школ важно учитывать, сколько квадратных метров должно быть в классе, если для одного ученика по санитарным правилам нужно 4 квадратных метра.

Вы хорошо справляетесь с заданиями. Спине, голове, всему телу нужен отдых. Встаньте на физкультурную минутку.

Физкультминутка

Поднимитесь, вверх потянитесь,

Вперед наклонитесь.

Ниже, ниже тянитесь,

Достаньте мизинцем до пятки.

Получилось? Тогда все в порядке.

Выпрямитесь, грудью вздохните,

Руки шире в стороны разведите.

Соедините в замок на лопатках.

Получилось? Тогда все в порядке.

Глазки зажмурьте, спокойно постойте.

Отдохнули? Теперь посчитайте площадки.

Площадь прямоугольника

Площади простых фигур, таких как квадратов и прямоугольников рассчитывать научились быстро. Для этого измеряют стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольника находится по формуле: S = a ∙ b, где длину надо умножить на ширину фигуры.

Задание 1.

Постройте прямоугольник, длина которого 50 мм, а ширина 30 мм.

Можно ли длину и ширину данного прямоугольника выразить в сантиметрах?

Можно.

Найдите периметр прямоугольника. Р = (a + b) ∙ 2

Р = (5 + 3) ∙ 2 = 16 (см)

Ответ: 16 см

Имеет ли построенная вами фигура площадь?

Да. Прямоугольник имеет длину 5 см и ширину 3 см. Найдем, чему равна площадь прямоугольника по формуле S = a ∙ b.

S = 5 ∙ 3 = 15 см²

Ответ: площадь прямоугольника равна 15 кв.см.

Задание 2.

Чему равна площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см? Рассуждаем так. Нам известна длина и ширина прямоугольника. Площадь равна произведению этих величин.

S = 5 ∙ 4 = 20 см²

Ответ: 20 кв.см.

Задание 3.

Рассмотрите следующий рисунок:

Как называется данная геометрическая фигура?

Многоугольник.

Как найти площадь этого многоугольника?

Найти площади отдельных прямоугольников.

Найдите площадь этого многоугольника разными способами.

Первый способ.

Решение.

Измеряем стороны большого прямоугольника.

Длина равна 3 см, а ширина 3 + 1 = 4 (см).

1) 4 · 3 = 12 (см²) – площадь большого прямоугольника.

Длина маленького прямоугольника 3 см, а ширина 1 см. Перемножим эти величины.

2) 3 · 1 = 3 (см²) – площадь маленького прямоугольника.

Теперь из большей фигуры вырезаем два маленьких белых прямоугольника.

3) S = 12 – 3 – 3 = 6 (см²) – площадь многоугольника.

Второй способ.

Решение.

1) 3 · 1 = 3 (см²) – площадь верхнего прямоугольника.

2) 3 · 1 = 3 (см²) – площадь второго прямоугольника.

3) S = 3 + 3 = 6 (см²) – общая площадь многоугольника.

Ответ: S = 6 см²

Преобразование величин

По формуле S = a ∙ b квадратные сантиметры можно выразить в квадратных метрах. Давайте вспомним, что один метр равен сто сантиметрам.

1 м = 100 см

Мы выполним умножение сторон, и найдем квадратную величину.

Значит: 1 м² = 100 ∙ 100 = 10000 см²

Задание 4.

Вычислите сколько кв.дм в 1 м². Во сколько раз 1 кв. м. больше 1 кв. дм?

Как преобразовать квадратные дециметры в квадратные метры? Давайте рассуждать так. Квадрат со стороной 1 м разделим на 10 столбиков. В каждом таком столбике по 10 кв. дм, то есть всего в кв. м 10 десятков, или 100 дм².

Второй вариант размышлений отталкивается от формулы. Умножаем длину на ширину. 10 дм на 10 дм, получится 100 дм².

1 м² = 10 ∙ 10 = 100 дм²

Ответ: в 1 кв. м содержится 100 кв.дм. 1 кв.м. в сто раз больше одного квадратного дециметра.

Задание 5.

Сколько кв. см в 1 кв. дм? Во сколько раз 1 кв. дм. больше 1 кв. см?

Выражаем квадратные дециметры в квадратных сантиметрах.

1 дм = 10 см

1 дм² = 10 ∙ 10 = 100 см²

Ответ: 1 кв.дм равен 100 кв.см. 1 кв.дм в сто раз больше одного квадратного сантиметра.

Выполните упражнение:

Найдите, сколько квадратных дециметров в 8 м², в 25 м², в 45 м² 9 дм²

Мы знаем, что 1 м² – это 100 дм², то есть число м² в 100 раз больше числа дм², поэтому умножим 8 на 100, получим 800 дм².

25 м² : умножим 25 на 100 = 2500 дм².

45 м² 9 дм² : это 45 ∙ 100 + 9 = 3100 + 9 = 4509 мм².

Наш урок подходит к концу.

Продолжите фразу:

сегодня я научился            

было интересно              

было трудно

Вы хорошо потрудились, поэтому сможете справиться с самостоятельными заданиями.

До новых встреч!

Урок «Вычисление площади фигур на клетчатой бумаге»

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Урок по математике 8 класс

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь прямоугольника

1

S=½*a*h

a

Верно

b

2

S=a*b

Подумай

3

S=½*a*b

Подумай

4

S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь параллелограмма

1

S=½*a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

4

S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь треугольника

1

S=a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Верно

3

S=½*a*h

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Верно

Площадь прямоугольного

треугольника

1

S=½*a*b

Подумай

a

2

S=a*b

Подумай

(a+b)

b

3

S=

*h

2

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь ромба

(a+b)

1

S=

*h

2

Подумай

d 1

d 2

2

S=a*b

Верно

3

S=½*d 1 *d 2

Подумай

4

S=½*a*b

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь трапеции

a

1

S=½*d 1 *d 2

Подумай

h

2

S=a*b

b

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

(a+b)

4

*h

S=

2

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S=½*2*9=9 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*(2+5)*4=14 см 2

S=½*3*8=12 см 2

S=3*4=12 см 2

S 1 =½*(4+1)*3=7,5 см 2

s 2

s 1

S 2 =½*(2+6)*3=12 см 2

S 3 =4*3=12 см 2

S 4 =½*4*2=4 см 2

s 3

s 4

Как поступим здесь?

Подсказка.

Разделим многоугольник на 2 части. Найдём площадь каждой части.

S 1

S 2

S=S 1 +S 2

=4,5+4,5

S=½ ∙ 3 ∙ 3

=9 см 2

+½ ∙ 3 ∙ 3

S 1

S 2

Подсказка.

Разделим многоугольник на части. Найдём площадь каждой части.

S 2

S 3

S 1

S=S 1 +S 2

S=S 1 +S 2 +S 3

S=½ ∙ 1 ∙ 2+½ ∙ 1 ∙ 4

=1+2

=3 см 2

S=½ ∙ 1 ∙ 1+½ ∙ 1 ∙ 3+1 ∙ 1

=0,5+1,5+1=

Или так

S 1

S 2

S 3

=3 см 2

Подсказка.

Достроим до квадрата.

S 1

S

S 2

S 3

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3

S= 4∙4

-½∙4∙2

-½∙3∙2

-½∙1∙4=

S 1

S 3

S 2

S КВ

=7 см 2

=16-4-3-2

Подсказка.

Достроим до прямоугольника

S 1

S 2

S

S 3

S=S пр -S 1 -S 2 -S 3

S=4∙5-½∙4∙1-½∙4∙1- ½∙1∙5=

S КВ

S 2

S 1

S 3

=13,5 см 2

=20-2-2-2,5

А всегда ли Удобно

Таким способом находить площади фигур?

S 1

S 2

S 5

S 4

S

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3 -S 4

S 3

S=5 ∙ 5-½ ∙ 3∙1-½ ∙ 5∙1- ½∙2∙5 — ½∙1∙2-1∙1=

S 1

S 5

S 4

S 3

S 2

S КВ

=25-1,5-2,5-5-1-1

=13,5см 2

Формула Пика

Позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить до прямоугольника, квадрата …

Биография

Георг Александр Пик — австрийский математик .  

Дата рождения:

10 августа 1859

Место рождения:

Дата смерти:

13 июля 1942 (82 года)

Место смерти:

Научная сфера:

Место работы:

Учёная степень:

доктор философии (PhD) по математике,

Учёное звание:

Формула Пика

Определение: Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые числа.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Г

– 1

B

+

2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=10

Г=7

S=10+7:2-1=12,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=11

Г=9

S=11+9:2-1=14,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=7

Г=4

S=7+4:2-1=8 см 2

Самостоятельная работа

1

1 способ:

В=8

Г=7

S=8+7:2-1=10,5 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 1-½ ∙ 2 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 4=10,5 см 2

Самостоятельная работа

2

1 способ:

В=12

Г=10

S=12+10:2-1=16 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 4=16 см 2

Самостоятельная работа

3

1 способ:

В=0

Г=8

S=0+8:2-1=3 см 2

2 способ:

S=(½ ∙ 1 ∙ 3) ∙2 =3 см 2

Самостоятельная работа

4

1 способ:

В=5

Г=4

S=5+4:2-1=6 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 5-½ ∙ 2 ∙ 4=6 см 2

Самостоятельная работа

5

1 способ:

В=11

Г=4

S=11+4:2-1=12 см 2

2 способ:

S=½ ∙ 4 ∙ 6=12 см 2

Подведём итоги

Самоанализ по полученным знаниям

1

Какие умения сформированы на уроке

Знаю формулы площадей (тест)

“ 5”

2

“ 4”

3

Применяю формулы при решении задач

Умею находить площади разных многоугольников

“ 3”

4

Применяю Формулу Пика при решении задач

“ 2”

Домашнее задание: на листочках

Спасибо за урок

Палетка. Измерение площади фигуры с помощью палетки

Привет, ребята!

Вы знаете, я хотела узнать площадь
нашей страны, но мне это не сразу удалось сделать. Дело в том, что её границы
имеют неправильную форму – это не прямоугольник, не квадрат, и даже не круг.

Я обратилась за помощью к нашей царице, и она
рассказала мне, как находить площадь любой, самой искривлённой фигуры. Царица
дала мне вот такое простое приспособление. Это прозрачная пластина или плёнка с
разлиновкой в клеточку. Называется она – палетка. В
зависимости от размера фигуры, площадь которой надо узнать, палетка может быть
разделена на квадратные миллиметры, квадратные сантиметры или квадратные
дециметры.

Представьте
себе, что надо узнать площадь вот такой фигуры.

Накладываем
на неё палетку.

Сначала
считаем, сколько всего целых квадратиков. Их тридцать четыре. Теперь считаем
все оставшиеся кусочки. Их восемь. Люди договорились, что каждые два
кусочка засчитывают за один полный квадратик. Поэтому количество кусочков
делим на два. Получилось четыре.

Складываем
тридцать четыре и четыре. Это тридцать восемь. Значит, площадь этой фигуры – примерно
тридцать восемь квадратиков.

Так
как в школе чаще всего пользуются палетками, разделёнными на квадратные
сантиметры, то вы бы сказали, что площадь данной фигуры примерно равна тридцати
восьми квадратным сантиметрам. Почему примерно? Потому что площадь фигуры по
палетке вряд ли возможно определить абсолютно точно, ведь редко два кусочка
могут идеально заменить целый квадратик.

А
теперь попробуем найти площадь вот такой, совершенно бесформенной фигуры.

Опять
накладываем на неё палетку. Считаем целые квадратики.

Их
семнадцать. Теперь считаем кусочки. Их двадцать четыре. Количество кусочков
делим на два и полученное число прибавляем к семнадцати. Получилось примерно
двадцать девять квадратных сантиметров.

Иногда
случается и так, что количество кусочков – нечётное число,
например, тринадцать или двадцать пять. Тогда делим на два ближайшее чётное
число, больше данного на один. Ведь всё равно при помощи палетки точно площадь
фигуры измерить невозможно. А вот почему берём чётное число больше данного, вы
узнаете в пятом классе.

Запомнили,
ребята, как мы определяем площадь фигур с помощью палетки?

̶  Накладываем
палетку на фигуру.

̶  Считаем
количество целых квадратов.

̶  Считаем
количество кусочков.

̶  Количество
кусочков делим на два…

̶  Складываем
полученное число с количеством целых квадратов….

̶  Записываем
ответ.

Видите,
всё просто!

Кстати,
именно так, используя план местности и палетку, можно найти площадь участка
земли, или озера, или целого города, и даже страны. Вот этим я сейчас и
займусь. Пока, ребята!

Помогите пожалуйста нужно найти площадь 3 фигур.

Ответ:

1)11(клеток)-55 мм 2)16(клеток)-80 мм 3)14(клеток)-70 мм

Объяснение:

(

1)делим фигуру на 3 части: один большой прямоугольник, маленький квадрат в одну клетку и прямоугольник в две клетки. Находим площадь большого прямоугольника:

1)4*2=8(клеток) — 2 клетки в ширину и 4 клетки в длину

площадь квадрата в 1 клетку=1 клетке;

соответственно площадь прямоугольника в 2 клетки=2 клетки;

2)8+1+2=11(клеток)—площадь;

Но если нужно перевести в мм, то 1 клетка=5(мм), соответственно:

3)11*5=55мм—площадь фигуры.

ОТВЕТ: 11(клеток)-55мм

(

2)делим фигуру на 3 части: один большой прямоугольник, маленький квадрат в одну клетку и фигуру в три клетки. Находим площадь большого прямоугольника:

1)3*4=12(клеток) — 4 клетки в ширину и 3 клетки в длину

площадь квадрата в 1 клетку=1 клетке;

соответственно площадь фигуры в 3 клетки=3 клетки;

2)12+1+3=16(клеток)—площадь;

Но если нужно перевести в мм, то 1 клетка=5мм, соответственно: 3)16*5=80(мм)-площадь фигуры.

ОТВЕТ: 16(клеток)-80мм

(

3)делим фигуру на 3 части: один большой прямоугольник, и два треугольника. Находим площадь большого прямоугольника:

1)4*2=8(клеток) — 4 клетки в длину и 2 клетки ширину

Разбираемся с треугольниками:

Нужно завершить треугольник, то есть дорисовать к треугольнику ещё один треугольник, чтобы получился прямоугольник из 3 клеток в длину и 2 клетки в ширину. Диагональ не убираем. Рассчитываем площадь этого прямоугольника:

2)3*2=6(клеток)

Но так как треугольник это ровно половина прямоугольника который мы сотворили, нужно разделить количество клеток прямоугольника пополам:

3)6/2=3(клетки) — площадь треугольника;

В итоге у нас остался последний треугольник. Мы выполняем с ним то же действие что и с первым, то есть дорисовываем чтобы получился прямоугольник(он состоит из двух равных треугольников). Рассчитываем его площадь:

4)3*2=6(клеток) — но этот треугольник, половина от данного прямоугольника, поэтому:

5)6/2=3(клетки) — площадь второго треугольника;

Теперь рассчитываем площадь всего треугольника. Площадь прямоугольника+площадь треугольника+площадь второго треугольника:

6)8+3+3=14(клеток) — площадь 3 фигуры.

Но если нужно перевести в мм, то 1 клетка=5мм, соответственно: 3)14*5=70мм-площадь фигуры.

ОТВЕТ:14(клеток)-70 мм

Чтобы найти площадь что нужно сделать. Как посчитать площадь прямоугольника: практические советы

Одна из первых формул, которая изучается в математике, связана с тем, прямоугольника. Она же является и самой часто используемой. Прямоугольные поверхности окружают нас повсюду, поэтому часто требуется знать их площади. Хотя бы для того, чтобы узнать, хватит ли имеющейся в наличии краски для покраски полов.

Какие единицы измерения площади существуют?

Если говорить о той, которая принята за международную, то это будет квадратный метр. Его удобно использовать при расчете площадей стен, потолка или пола. В них указывается площадь жилья.

Когда речь идет о меньших предметах, то вводят квадратные дециметры, сантиметры или миллиметры. Последние нужны, если фигура не больше ногтя.

При измерении площади города или страны самыми подходящими оказываются квадратные километры. Но есть еще и единицы, которые используют для того, чтобы указать размер площади: ар и гектар. Первая из них еще называется соткой.

Как быть, если заданы стороны прямоугольника?

Подобным образом рассчитывается который является частным случаем прямоугольника. Так как у него все стороны равны, то произведение становится квадратом буквы а
.

Как быть, если фигура изображена на клетчатой бумаге?

В этой ситуации нужно полагаться на количество клеточек внутри фигуры. По их числу бывает просто посчитать площадь прямоугольника. Но это можно сделать тогда, когда стороны прямоугольника совпадают с линиями клеток.

Часто имеет место такое положение прямоугольника, при котором его стороны наклонены по отношению к разлиновке бумаги. Тогда количество клеток определить сложно, поэтому расчет площади прямоугольника усложняется.

Потребуется сначала узнать площадь прямоугольника, который можно прочертить по клеточкам точно вокруг данного. Это просто: перемножить высоту и ширину. Потом вычесть из получившегося значения площади всех А их четыре. К слову, их рассчитывают как половину произведения катетов.

Итоговый результат даст значение площади данного прямоугольника.

Как поступить, если стороны неизвестны, зато даны его диагональ и угол между диагоналями?

До того в этой ситуации нужно вычислить его стороны, чтобы воспользоваться уже знакомой формулой. Поначалу потребуется вспомнить свойство его диагоналей. Они равны и делятся точкой пересечения пополам. Можно увидеть на чертеже, что диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника, которые попарно равны друг другу.

Равные стороны этих треугольников определяются как половины диагонали, которая известна. То есть в каждом треугольнике есть две стороны и угол между ними, которые даны в задаче. Можно воспользоваться

Одна сторона прямоугольника будет вычислена по формуле, в которой фигурируют равные стороны треугольника и косинус заданного угла. Для вычисления второй значение косинуса придется брать от угла, равного разности 180 и известного угла.

Что делать, если в задаче дан периметр?

Обычно в условии указывается еще и соотношение длины и ширины. Вопрос о том, как посчитать площадь прямоугольника, в этом случае проще на конкретном примере.

Допустим, что в задаче периметр некоторого прямоугольника равен 40 см. Известно также, что его длина в полтора раза больше ширины. Необходимо узнать его площадь.

Решение задачи начинается с записи формулы периметра. Его удобнее расписать как сумму длины и ширины, каждую из которых умножить на два по отдельности. Это будет первым уравнением в системе, которую потребуется решить.

Второе связано с известным по условию соотношением сторон. Первая сторона, то есть длина, равна произведению второй (ширины) и числа 1,5. Это равенство нужно подставить в формулу для периметра.

Получится, что он равен сумме двух одночленов. Первый — произведение 2 и неизвестной ширины, второй — произведение чисел 2 и 1,5 и той же ширины. В этом уравнении всего одна неизвестная — это ширина. Нужно ее сосчитать, а потом воспользоваться вторым равенством, чтобы сосчитать длину. Останется только перемножить эти два числа, чтобы узнать площадь прямоугольника.

Расчеты дают такие величины: ширина — 8 см, длина — 12 см, а площадь — 96 см 2 . Последнее число — ответ рассмотренной задачи.

С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем встает очень часто и является важным не только для школьников.

Для тех, кто не знает, прямоугольник — это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90о. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.

Теперь попытаемся дать подробный ответ на вопрос, как найти площадь прямоугольника. Существует несколько способов определения этой величины. Наиболее часто мы сталкиваемся со способом определения площади с помощью ширины и длины.

Возьмем прямоугольник с шириной b и длиной k. Для вычисления площади данного прямоугольника необходимо ширину умножить на длину. Это все можно представить в виде формулы, которая будет выглядеть так: S = b * k.

А теперь рассмотрим этот способ на конкретном примере. Необходимо определить площадь садового участка с шириной 2 метра и длиной 7 метров.

S = 2 * 7 = 14 м2

В математике, особенно в приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?

• Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.

В виде формулы это будет выглядеть так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали

• Еще один способ определения площади прямоугольника — через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r -радиус.

Случается так, что вместо радиуса нам известен диаметр вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть так:

S=d2,где d — диаметр.

• Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=b* (P — 2*b), где b — длина стороны, P — периметр.

Как видим площадь прямоугольника можно определять различными способами. Все зависит от того, какие величины нам известны перед рассмотрением данного вопроса. Конечно же, последние методы исчисления в жизни практически не встречаются, но могут пригодиться для решений многих задач в школе. Возможно, и для решения ваших задач эта статья окажется полезной.

Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

мнаты и другое.

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.

Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.

Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,

S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см — длина прямоугольника, 5-3=2 см — ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 3 класса

Тренажер для 3 класса «Правила и упражнения по математике»
Электронное учебное пособие для 3 класса «Математика за 10 минут»

Что такое прямоугольник и квадрат

Прямоугольник
– это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Значит, противоположные стороны равны друг другу.

Квадрат
– это прямоугольник, у которого равны и стороны, и углы. Его называют правильным четырёхугольником.

Четырёхугольники, в том числе прямоугольники и квадраты, обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D
…

Пример.

Читается так: четырёхугольник ABCD; квадрат EFGH.

Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра

Периметр прямоугольника
– это сумма длин всех сторон прямоугольника или сумма длины и ширины, умноженная на 2.

Периметр обозначается латинской буквой P
. Так как периметр — это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.

Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как P
ABCD , где А, В, С, D — это вершины прямоугольника.

Запишем формулу периметра четырехугольника ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Пример.
Задан прямоугольник ABCD со сторонами: AB=СD=5 см и AD=BC=3 см.
Определим P ABCD .

Решение:
1. Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.
2. Напишем формулу для расчета периметра данного прямоугольника:

P
ABCD = 2 * (AB + BС)

P
ABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Ответ: P ABCD = 16 см.

Формула расчета периметра квадрата

У нас есть формула для определения периметра прямоугольника.

P
ABCD = 2 * (AB + BC)

Применим её для определения периметра квадрата. Учитывая, что все стороны квадрата равны, получаем:

P
ABCD = 4 * AB

Пример.
Задан квадрат ABCD со стороной, равной 6 см. Определим периметр квадрата.

Решение.
1. Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.

2. Вспомним формулу расчета периметра квадрата:

P
ABCD = 4 * AB

3. Подставим в формулу наши данные:

P
ABCD = 4 * 6 см = 24 см

Ответ: P ABCD = 24 см.

Задачи на нахождение периметра прямоугольника

1. Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.

2. Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника.

3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.

Где используется расчет периметра прямоугольника?

1. Задан участок земли, его нужно обнести забором. Какой длины будет забор?

В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора.

2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев.
Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.

Что такое площадь прямоугольника?

Площадь
– это числовая характеристика фигуры.
Площадь измеряется квадратными единицами длины: см 2 , м 2 , дм 2 и др. (сантиметр в квадрате, метр в квадрате, дециметр в квадрате и т.д.)
В вычислениях обозначается латинской буквой S
.

Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.
Площадь прямоугольника вычисляется умножением длины АК на ширину КМ. Запишем это в виде формулы.

S
AKMO = AK * KM

Пример.
Чему равна площадь прямоугольника AKMO, если его стороны равны 7 см и 2 см?

S
AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .

Ответ: 14 см 2 .

Формула вычисления площади квадрата

Площадь квадрата можно определить, умножив сторону саму на себя.

Пример.
В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.

S
AВСО = AB * BC = AB * AB

Пример.
Определи площадь квадрата AKMO со стороной 8 см.

S
AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2

Ответ: 64 см 2 .

Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата

1.Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.

2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.

Мы уже познакомились с понятием площадь фигуры
, узнали одну из единиц измерения площади — квадратный сантиметр
. На уроке мы выведем правило, как вычислить площадь прямоугольника.

Мы уже умеем находить площадь фигур, которые разделены на квадратные сантиметры.

Например:

Мы можем определить, что площадь первой фигуры 8 см 2 , площадь второй фигуры 7 см 2 .

Как найти площадь прямоугольника, длины сторон которого 3 см и 4 см?

Для решения задачи разобьём прямоугольник на 4 полоски по 3 см 2 каждая.

Тогда площадь прямоугольника будет равна 3*4=12 см 2 .

Этот же прямоугольник можно разбить на 3 полоски по 4 см 2 .

Тогда площадь прямоугольника будет равна 4*3=12 см 2 .

В обоих случаях для нахождения площади прямоугольника перемножаются числа, выражающие длины сторон прямоугольника.

Найдем площадь каждого прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник АКМО.

В одной полоске 6 см 2 , а таких полосок в этом прямоугольнике 2. Значит, мы можем выполнить следующее действие:

Число 6 обозначает длину прямоугольника, а 2 — ширину прямоугольника. Таким образом, мы перемножили стороны прямоугольника для того, чтобы найти площадь прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник KDCO.

В прямоугольнике KDCO в одной полоске 2см 2 , а таких полосок 3. Следовательно, мы можем выполнить действие

Число 3 обозначает длину прямоугольника, а 2 — ширину прямоугольника. Мы их перемножили и узнали площадь прямоугольника.

Можно сделать вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, не надо каждый раз разбивать фигуру на квадратные сантиметры.

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно найти его длину и ширину (длины сторон прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения), а потом вычислить произведение полученных чисел (площадь будет выражена в соответствующих единицах площади)

Обобщим: площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Решите задачу.

Вычисли площадь прямоугольника, если длина прямоугольника 9см, а ширина — 2см.

Рассуждаем так. В данной задаче известны и длина и ширина прямоугольника. Поэтому действуем по правилу: площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Запишем решение.

Ответ:
площадь прямоугольника 18см 2

Как вы думаете, какими ещё могут быть длины сторон прямоугольника с такой площадью?

Можно рассуждать так. Поскольку площадь — это произведение длин сторон прямоугольника, поэтому надо вспомнить таблицу умножения. При умножении каких чисел получается ответ 18?

Правильно, при умножении 6 и 3 тоже получится 18. Значит, у прямоугольника могут быть стороны 6см и 3 см и его площадь тоже будет равна 18см 2 .

Решите задачу.

Длина прямоугольника 8см, а ширина 2см. Найди его площадь и периметр.

Нам известны длина и ширина прямоугольника. Необходимо вспомнить, что для нахождения площади необходимо найти произведение его длины и ширины, а для нахождения периметра нужно сумму длины и ширины умножить на два.

Запишем решение.

Ответ:
площадь прямоугольника 16 см 2 , а периметр прямоугольника 20 см.

Решите задачу.

Длина прямоугольника 4см, а ширина — 3см. Чему равна площадь треугольника? (смотри рисунок)

Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала надо найти площадь прямоугольника. Мы знаем, что для этого необходимо длину умножить на ширину.

Посмотрите на чертёж. Вы заметили, диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника? Следовательно, площадь одного треугольника в 2 раза меньше площади прямоугольника. Значит, надо 12 уменьшить в 2 раза.

Ответ:
площадь треугольника 6 см 2 .

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом, как вычислить площадь прямоугольника и учились применять это правило при решении задач на нахождение площади прямоугольника.

1. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. М., «Просвещение», 2012 год.

2. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. М., «Просвещение», 2012 год.

3. М.И.Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.

4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. М., «Просвещение», 2011 год.

5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.

6. С.И.Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.

7. В.Н.Рудницкая. Тесты. М., «Экзамен», 2012 (127с.)

2. Издательство «Просвещение» ()

1. Длина прямоугольника 7 см, ширина 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

2. Сторона квадрата 5 см. Найдите площадь квадрата.

3. Начертите возможные варианты прямоугольников, площадь которых 18 см 2 .

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Размер ячейки, площадь поверхности и объем

Размер ячейки, площадь поверхности и объем
Размер ячейки: масштабирование
Проблемы

Почему клетки такие маленькие? Ответ на этот вопрос должен
делать с математикой как с биологией. Представьте, что клетка имеет форму примерно как
куб.

По мере увеличения размера ячейки отношение ее площади к объему
изменения. Площадь поверхности и объем рассчитываются, как показано на
рисунок ниже:

Площадь стороны равна длина x ширина .Мы можем написать, что A = L * W , а когда стороны одинаковой длины, мы можем написать A = L ²

.

Поскольку куб имеет шесть сторон, давайте также вычислим площадь поверхности всей внешней части ячейки как 6 * L ²

Объем куба равен длине x ширине x высоте или V = L * W * H , и когда стороны имеют одинаковую длину, мы можем написать V = L ³

Вот где становится интересно.Поскольку мы продолжаем удваивать переменную L , от 1 до 2 до 4 до 8, площадь поверхности и объем не увеличиваются с той же скоростью.

Вопросы :

1. Перечислите некоторые вещи, которые пересекают клеточную мембрану:

я. ___________________ ii. ___________________ iii.
___________________

2. Почему важно, чтобы ячейка имела большую площадь поверхности?
относительно его объема? (Другими словами, высокая площадь поверхности
объемное соотношение ?)

3.Представьте, что длина стороны ячейки может быть любого размера, который вы хотите.
Рассчитайте, что произойдет с отношением площади поверхности к объему:
клетка растет. Единицы здесь могут быть
что угодно, так как мы просто выдвигаем гипотезы.

4.Создайте свой собственный график x-y с помощью Create-A-Graph или Excel, где x — это площадь поверхности, а y — объем, и вставьте диапазон значений. Что происходит с отношением площади поверхности к объему при увеличении размера ячейки? (Если бы площадь поверхности и объем увеличивались с той же скоростью, линия была бы диагональной с наклоном 1.) Что на самом деле происходит при малых размерах? В промежуточных размерах? На большие размеры? Загрузите электронную таблицу Excel, в которой я провел свои вычисления и создал эти графики: surface_area_volume_graph.xlsx.

Рис. 1: Площадь поверхности клетки (SA) в зависимости от объема клетки (V). По мере увеличения размера ячейки V увеличивается быстрее, чем SA. Красная пунктирная линия представляет соотношение 1: 1.
Рис. 2: Длина стороны ячейки в зависимости от отношения площади поверхности к объему.
Когда размер ячейки уменьшается до нуля, отношение SA: V приближается к бесконечности.

5. Поскольку транспортировка материалов в камеру и из камеры возможна только
что происходит на поверхности клетки, что происходит, когда клетки становятся больше? Как это накладывает ограничение на размер ячейки?

6.Таким образом увеличиваются не только клетки. Целые животные тоже. Изучение размеров тела с точки зрения анатомии, физиологии и поведения называется аллометрией. Для гомеотерм (животных, которые пытаются поддерживать постоянную температуру тела) необходимо выделять тепло, поскольку оно теряется в окружающей среде, чтобы поддерживать равновесие. Если потеря тепла происходит только на открытых поверхностях, что вы можете предсказать относительно скорости метаболизма на единицу ткани тела крупного животного по сравнению с мелким?

7.Возьмите то, что вы знаете о соотношении площади поверхности к объему, и попробуйте
чтобы объяснить следующий график, который известен как «кривая от мыши к слону». Предположим, что скорость метаболизма связана с теплом.
производство и что все эти животные стараются сохранить свое
тела нагреваются в одинаковых условиях окружающей среды. Обратите внимание, например
что слон имеет массу (и объем) более чем в 1000 раз больше
мыши, в то время как ее скорость метаболизма (и выработка тепла) составляет всего лишь
примерно в 100 раз больше, чем у мыши.Другими словами, «Почему слон может больше греться
эффективнее (на единицу массы), чем мышь? »

Кривая Броуди (1945) от мыши до слона

8. «Правило Аллена» предсказывает, что эндотермические животные (те, которые регулируют температуру своего тела изнутри) с одинаковым объемом тела должны иметь разные площади поверхности, предназначенные для того, чтобы помогать или препятствовать отводу тепла, в зависимости от температуры их окружающей среды. Объясните со ссылкой на площадь поверхности и объем.(Подумайте о необходимости сохранения тепла в холодном климате или отвода тепла в жарком климате и сделайте прогноз относительно типов телосложения.)

9. «Правило Бергмана» гласит, что среди видов животных, имеющих
глобальное распространение, размер тела взрослого человека имеет тенденцию быть самым большим в
полярные регионы, средние в умеренном климате и самые маленькие в тропических
единицы. Хотя бывают исключения, в целом это правда. Почему
так должно быть?

10. Задающий вопрос: в одном из моих любимых старых фильмов о монстрах
Их , гигантские муравьи нападают на город.К сожалению, это могло
никогда не случится. Невероятная сила муравья зависит от
его небольшой размер. Увеличьте его до человеческого размера, и он рухнет
под собственным весом на этих тонких ножках. Объем (и
следовательно, вес) масштабируется до степени 3, в то время как площадь поверхности (и
размер) масштабируйте до степени 2. Создайте график, показывающий, почему
гигантский муравей не может разрушить город, вместо этого он рухнет под собственным весом.

11. Проблемный вопрос: Как эмпирически показано на графике Броуди, мощность пропорциональна массе в степени 0.734, примерно 3/4, но отношение площади поверхности к объему предсказывает значение только 2/3 или 0,67. Животные в реальном мире чувствуют себя лучше, чем ожидалось, но животные в реальном мире не полностью полагаются на площадь поверхности для обогрева, охлаждения, газообмена и т. Д. Возможно, что система кровообращения позволяет более крупным организмам улучшать площадь поверхности к проблеме объема? Объяснять.

Дополнительная литература:

http://www.tiem.utk.edu/~gross/bioed/bealsmodules/area_volume.html

Распространение клеток в агар: биология и химия, научная деятельность

Биологические клетки могут выжить, только если материалы могут входить и выходить из них.В этой закуске вы использовали кубики агара, чтобы визуализировать, как изменяется диффузия в зависимости от размера объекта, принимающего материал.

Диффузия происходит, когда молекулы из области с более высокой концентрацией перемещаются в область с более низкой концентрацией. По мере того, как ионы водорода из уксуса перемещаются в куб агара, цвет куба меняется, что позволяет увидеть, как далеко они распространились. В то время как случайное молекулярное движение заставляет отдельные молекулы и ионы продолжать движение вперед и назад между кубиком и раствором уксуса, общие концентрации останутся в равновесии с равными концентрациями внутри и снаружи куба агара.

Как вы определили процент куба, через который ионы водорода проникли в различные промежутки времени? Один из способов сделать это — начать с объема куба, в котором пройдено , а не — другими словами, часть в центре, которая еще не изменила цвет. Чтобы определить объем этого внутреннего куба, измерьте длину этого внутреннего куба и умножьте ее на ширину и высоту. Вычтите это из первоначального объема куба, и вы получите объем куба, в который проникли.Разделив это число на исходный объем и умножив на 100%, вы можете определить процент проникновения для каждого куба.

Возможно, вы заметили, что чем больше становится пропитанный уксусом куб, тем больше увеличивается время, необходимое для того, чтобы дополнительный уксус проник в куб, но не линейно. Другими словами, если размеры куба увеличиваются вдвое, время, необходимое для полной диффузии ионов водорода, более чем в два раза.Когда вы увеличиваете размер втрое, время, чтобы рассеять НАМНОГО больше, чем втрое. Почему это могло произойти?

По мере увеличения размера объекта увеличивается и объем, но больше, чем вы думаете. Например, когда длина куба увеличивается вдвое с 1 см до 2 см, площадь поверхности увеличивается в четыре раза, с 6 см ² (1 см x 1 см x 6 сторон) до 24 см. ² (2 см x 2 см x 6 сторон). Однако объем увеличивается в -8 раз, увеличивается с 1 см ^{3 (1 см x 1 см x 1 см) до 8 см 3 (2 см x 2 см x 2 см).}

Поскольку объем увеличивается в разы больший, чем площадь поверхности, отношение площади поверхности к объему уменьшается. По мере увеличения размера куба отношение площади поверхности к объему уменьшается (щелкните, чтобы увеличить таблицу ниже). Уксус может попасть в кубик только через его поверхность, поэтому, когда это соотношение уменьшается, время, необходимое для диффузии по всему объему, значительно увеличивается.

Все, что попадает в клетку (например, кислород и пища) или выходит из нее (например, отходы), должно проходить через клеточную мембрану.По мере роста клеток отношение площади поверхности к объему резко уменьшается, как в кубиках агара. Более крупные клетки должны по-прежнему транспортировать материалы через свои мембраны, но должны иметь больший объем и пропорционально меньшую площадь поверхности, через которую это можно сделать.

Бактериальные клетки довольно малы и имеют сравнительно большее отношение площади поверхности к объему. Эукариотические клетки, такие как клетки растений и животных, намного больше, но имеют дополнительные структуры, которые помогают им осуществлять необходимое количество транспорта через мембраны.Ряд связанных с мембраной структур, продолжающихся плазматической мембраной, таких как эндоплазматический ретикулум, обеспечивают дополнительную площадь поверхности внутри клетки, обеспечивая достаточный транспорт. Однако даже при использовании этих стратегий существуют верхние пределы размера ячеек.

Форматирование чисел в процентах — служба поддержки Office

Как Excel обрабатывает проценты

Хотя форматирование чисел в виде процентов несложно, результаты, которые вы получите после применения формата, могут отличаться в зависимости от того, существуют ли числа в вашей книге.

• Форматирование ячеек, которые уже содержат числа Если вы примените процентный формат к существующим числам в книге, Excel умножит эти числа на 100, чтобы преобразовать их в проценты. Например, если ячейка содержит число 10 , Excel умножает это число на 100, что означает, что вы увидите 1000.00% после применения процентного формата. Это может быть не то, что вы ожидали. Чтобы точно отображать проценты, перед форматированием чисел в процентах убедитесь, что они были вычислены как проценты и отображаются в десятичном формате.Проценты рассчитываются по формуле сумма / всего = процент . Например, если ячейка содержит формулу = 10/100 , результатом этого вычисления будет 0,1 . Если затем отформатировать 0,1 в процентах, число будет правильно отображаться как 10% . Чтобы узнать больше о вычислении процентов, см. Примеры вычисления процентов.

• Форматирование пустых ячеек Если применить к ячейкам процентный формат, а затем ввести числа в эти ячейки, поведение изменится.Числа, равные и больше 1, по умолчанию преобразуются в проценты; а числа меньше 1 умножаются на 100, чтобы преобразовать их в проценты. Например, ввод 10 или 0,1 приведет к 10,00% . (Если вы не хотите отображать два нуля после десятичной точки, от них легко избавиться, как описано в следующей процедуре.)

Верх страницы

Отображение чисел в процентах

Чтобы быстро применить процентное форматирование к выбранным ячейкам, щелкните Процентный стиль

в группе Number на вкладке Home или нажмите Ctrl + Shift +% .Если вам нужен больший контроль над форматом или вы хотите изменить другие аспекты форматирования для вашего выбора, вы можете выполнить следующие действия.

1. На вкладке Home в группе Number щелкните значок рядом с Number , чтобы отобразить диалоговое окно Формат ячеек .

2. В диалоговом окне Формат ячеек в списке Категория щелкните Процент .

3. В поле Десятичных знаков введите количество десятичных знаков, которое вы хотите отобразить. Например, если вы хотите увидеть 10% вместо 10.00% , введите 0 в поле Десятичные разряды .

Верх страницы

Примеры расчета процентов

В этом разделе показано несколько простых методов расчета процентов.

Пример 1. Увеличение или уменьшение числа на процент

Сценарий Если вы тратите в среднем 25 долларов на еду каждую неделю и хотите сократить свои еженедельные расходы на питание на 25%, сколько вы можете потратить? Или, если вы хотите увеличить свое еженедельное пособие на питание с 25 долларов на 25%, каково ваше новое еженедельное пособие?

Если B2 — это сумма, которую вы тратите на еду, а C2 — это процент, на который вы хотите уменьшить эту сумму, вы можете ввести = B2 * (1-C2) в D2, чтобы найти результат:

В этой формуле 1 используется для представления 100%.Точно так же, если вы хотите увеличить сумму на определенный процент, вы должны ввести = B2 * (1 + C2) в D2:

.

Верх страницы

Пример 2. Расчет суммы в процентах

Сценарий Если вы покупаете компьютер за 800 долларов и существует налог с продаж в размере 8,9%, сколько вы должны заплатить за этот налог? В этом примере вы хотите найти 8.9% от 800.

Если B2 — цена, а C2 — налог с продаж, вы можете ввести формулу = B2 * C2 в D2, как показано здесь:

Эта формула умножает 800 на 0,089 (базовый процент в десятичной форме), чтобы найти налог с продаж, подлежащий уплате.

Верх страницы

Пример 3: Расчет процента на основе двух сумм

Сценарий Например, если ученик правильно набрал 42 балла из 50 на тесте, каков процент правильных ответов?

В этом сценарии, если число в B2 — это правильные баллы, а число в C2 — это общее возможное количество баллов, вы можете ввести формулу = B2 / C2 в D2, чтобы найти оценку.

Эта формула делит 42 на 50, чтобы найти процент правильных ответов. (В показанном здесь примере оценка отформатирована в процентах без отображения десятичных знаков.)

Верх страницы

Пример 4: Расчет суммы на основе другой суммы и процента

Сценарий Например, цена продажи рубашки составляет 15 долларов США, что на 25% ниже первоначальной цены.Какая первоначальная цена? В этом примере вы хотите найти 75%, из которых число равно 15.

Если B2 — цена продажи, а C2 — 0,75, что составляет 100% минус 25% скидка (в десятичной форме), вы можете ввести формулу = B2 / C2 в D2, чтобы найти исходную цену:

Эта формула делит продажную цену на процент, уплаченный для определения исходной цены.

Верх страницы

Пример 5. Вычислить разницу между двумя числами и отобразить ее в процентах

Сценарий Например, доход вашего отдела составляет 2342 доллара в ноябре и 2500 долларов в декабре.Каково процентное изменение заработка за эти два месяца? Для выполнения этой задачи используйте операторы вычитания (-) и деления (/) в одной формуле.

Если B2 представляет прибыль за ноябрь, а C2 представляет прибыль за декабрь, вы можете использовать формулу = (C2-B2) / (B2) в D2, чтобы найти разницу:

Эта формула делит разницу между вторым и первым числами на значение первого числа, чтобы получить процентное изменение.(В показанном здесь примере разница выражена в процентах с двумя десятичными знаками.)

Верх страницы

Excel Формула массива МЕДИАНА ЕСЛИ

Формула массива МЕДИАНА ЕСЛИ в Excel определяет среднее количество значений, соответствующих определенным критериям. Формула массива выполняет операцию с несколькими значениями вместо одного значения. В этой формуле массива мы, по сути, фильтруем набор данных с помощью формулы, чтобы найти медиану только для значений, которые соответствуют нашим условиям.Эту формулу можно использовать для заполнения калькулятора чистой цены College Board.

Основы

Синтаксис и аргументы формулы MEDIAN IF следующие:

{= МЕДИАНА (ЕСЛИ (логический_тест, значение_если_ истинное значение, значение_если_ ложь)}

Цели каждой части формулы:

• Функция МЕДИАНА находит среднее значение из набора чисел.
• Функция ЕСЛИ позволяет нам устанавливать условия для значений, которые мы хотим исследовать.
• Формула массива позволяет функции ЕСЛИ проверять несколько условий в одной ячейке. Когда условие выполнено, формула массива определяет, какие данные будет проверять функция МЕДИАНА, чтобы найти среднюю сумму вознаграждения.

Чтобы заполнить формулу массива, введите формулу (без фигурных скобок), затем одновременно нажмите клавиши Control, Shift и Enter. Это завершит формулу массива в Excel и вставит фигурные скобки в начало и конец формулы. Не вводите в формулу фигурные скобки. Формулы массива, которые создаются путем ввода Control, Shift и Enter, также известны как формулы CSE.

Пример

Формула MEDIAN IF полезна для расчета средних сумм грантов / стипендий, присуждаемых студентам, соответствующих различным критериям проживания, жилья и предполагаемого семейного вклада (EFC), которые необходимы для заполнения шаблона калькулятора чистой цены, который оценивает чистые затраты для студентов.

Метод

В этом примере мы работаем с двумя листами в нашей книге Excel:

1. Набор данных — этот рабочий лист включает вымышленные данные, которые мы будем использовать для расчета наших средних сумм вознаграждения (см. Рисунок 1). Он включает в себя студенческий билет, статус проживания, жилищный статус, диапазон EFC и размер присужденных грантов / стипендий. Обратите внимание, что на рисунке 1 показана только часть набора данных, чтобы проиллюстрировать, какие элементы данных включены.
2. Сводка — этот рабочий лист включает сводную сетку, в которой можно извлекать информацию из рабочего листа набора данных (см. Рисунок 2).

Рисунок 1.Рабочий лист набора данных (показана только часть набора данных)

Рисунок 2. Сводная таблица — сетка калькулятора чистой цены

Для начала воспользуйтесь формулой массива MEDIAN IF, чтобы найти среднюю сумму вознаграждения для студентов, которые проживают в округе, живут на территории кампуса и имеют EFC равное 0 долларов США (см. Красную рамку на рисунке 2, это ячейка B4). Светло-синие, темно-синие и фиолетовые поля являются критериями формулы.

В ячейке B4 сводной таблицы введите следующую формулу:

Следующие ссылки на столбцы и ячейки представляют наши критерии:

Для студентов, для которых выполняются вышеуказанные критерии, среднее значение берется из следующего столбца:

• Dataset! $ E: $ E — выделено студенческого гранта / стипендии

$ в ссылке на местоположение замораживает указанную ссылку на столбец или строку, так что когда формула копируется и вставляется в новые ячейки, замороженные ссылки остаются прежними.

Чтобы завершить формулу массива, одновременно нажмите клавиши Control, Shift и Enter (фигурные скобки будут автоматически вставлены, чтобы заключить формулу).

Чтобы заполнить остальную часть итоговой сетки, скопируйте и вставьте формулу во все ячейки сетки.

В описательной форме эта формула гласит: «Возвратите медианное значение суммы гранта / стипендии для студентов, чей статус проживания соответствует статусу проживания, выбранному в сводной сетке, И чей жилищный статус соответствует жилищному статусу, выбранному в сводной сетке, И чей EFC Диапазон соответствует диапазону EFC, выбранному в итоговой сетке.”

Общие советы по формулам массива

Формулы массива могут занять больше времени для вычисления и увеличения размера файла больше, чем формулы без массива. Чтобы решить эти проблемы, попробуйте сделать следующее:

• Копируйте и вставляйте формулы массива в новые ячейки небольшими разделами за раз (например, если вам нужно скопировать формулу массива в общей сложности на 800 ячеек, разделите процесс на части, чтобы вы скопировали формулу в 200 ячеек за один раз). время).

• После вставки формулы массива в ячейки скопируйте результаты и вставьте special: values ​​в то же место.Это приведет к удалению формул, так что они больше не увеличивают размер файла и скорость обработки.

Аналогичный процесс с использованием формул массива можно использовать для поиска максимального или минимального значений, удовлетворяющих указанным вами условиям.

• {= МАКС (ЕСЛИ (логический_тест, значение_если_ истинно, значение_если_ ложь)}
• {= МИН (ЕСЛИ (логический_тест, значение_если_ истинное значение, значение_если_ ложь)}

Просмотреть следующий совет

Область составных фигур рабочий лист ключ ответ

как создать и определить область составных фигур, Common Core Grade 4, примеры и пошаговые решения.Это станет ключом к ответу, на который вы будете ссылаться при выполнении нижней части как на мини-доске летом. 1-2. Найдите площадь фигуры, которая …

Площадь составных фигур — Отображение 8 первых листов, найденных для этой концепции. Нашли рабочий лист, который вы ищете? Чтобы загрузить / распечатать, нажмите на панель кнопок внизу рабочего листа. Используйте параметры чтения документов в браузере для загрузки и / или печати.

Конструкция геоцентрического солнечного электромобиля.. Сервер технических отчетов НАСА (NTRS) Harney, E.D .; Lapins, U.E .; Молитор, Дж. Х. 1972-01-01. Были изучены приложения для миссий, в которых используется солнечная электрическая тяга (SEP) для вывода полезных нагрузок на геоцентрические орбиты.

Площадь составной фигуры вычисляется путем деления составной фигуры на основные фигуры и последующего использования соответствующей формулы площади для каждой базовой фигуры. Области квадратов, треугольников, трапеций, кругов, полукругов и описанный выше процесс ответят на большинство школьных вопросов.

Вопросы о свойствах 2D-форм (Анна Джейкобс) DOC; 2D-игра «Табу формы» (Челси Уилсон) Префиксы фигур (Лиза Бейкер) DOC; Сортировщик форм (Джо Кэй) Фигуры (Дебби Майкл) Двумерные формы (Клэр Маккей) Выявление форм (Гарет Питчфорд) Двухмерное шоу форм (Соня Виид) Форма и пространство (T2 Unit 5a) (Фред Дэйнес) Двумерные формы (Хейзел Джонс) Двумерные формы Ревизия и диагонали …

Область составных фигур. Практика: Область составных форм. Практика: вызов области. Следующий урок. Площадь и окружность кругов.Площадь трапеций. Площадь воздушных змеев.

Класс 4 »Введение Распечатайте эту страницу. В 4-м классе учебное время должно быть сосредоточено на трех важнейших областях: (1) развитие понимания и беглости с помощью многозначного умножения и развитие понимания деления для нахождения частных, предполагающих многозначные дивиденды; (2) развитие понимания эквивалентности дробей, сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями …

3 ЧИСЛО: ЧТО ТАКОЕ ЗНАТЬ? | Сложим: помощь детям в изучении математики

Ссылки

Бер, М.Дж., Харел, Г., Пост, Т., И Леш Р. (1992). Рациональное число, соотношение и пропорция. В D.A.Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям по преподаванию и изучению математики (стр. 296–333). Нью-Йорк: Макмиллан.

Bruner, J.S. (1966). К теории обучения . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press.

Куоко, А. (Ред.). (2001). Роли представления в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики 2001 г.).Рестон, Вирджиния: NCTM.

Дюваль Р. (1999). Представление, видение и визуализация: когнитивные функции в математическом мышлении. Основные вопросы для обучения. В F.Hitt & M.Santos (Eds.), Proceedings of the двадцать первого ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (том 1, стр. 3–26). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по естествознанию, математике и экологическому образованию. (ERIC Document Reproduction Service No.ED 433 998).

Фройденталь, Х. (1983). Дидактическая феноменология математических структур . Дордрехт, Нидерланды: Рейдел.

Грино, Дж. Г., и Холл, Р. (1997). Практика репрезентации: изучение репрезентативных форм и их изучение. Дельта Фи Каппан , 78 , 1–24. Доступно: http://www.pdkintl.org/kappan/kgreeno.htm. [10 июля 2001 г.].

Капут,]. (1987). Системы представлений и математика.В C.Janvier (Ed.), Проблемы представления в преподавании и изучении математики (стр. 19–26). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Knuth, D.E. (1974). Информатика и ее отношение к математике. Американский математический ежемесячник , 81 , 323–343.

Lakoff, G., & Núñez, R.E. (1997). Метафорическая структура математики: наброски когнитивных основ математики, основанной на разуме. В Л.D.English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и образы (стр. 21–89). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Морроу, Л.Дж., и Кенни, М.Дж. (ред.). (1998). Преподавание и изучение алгоритмов в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики за 1998 год). Рестон, Вирджиния: NCTM.

Пимм, Д. (1995). Символы и значения в школьной математике . Лондон: Рутледж.

Рассел, Б.(1919). Введение в математическую философию . Нью-Йорк: Макмиллан.

Сфард А. (1997). Комментарий: О метафорических корнях концептуального роста. В L.D. English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 339–371). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Крупномасштабный набор данных для оценки митотической фигуры на полных изображениях слайдов кожной опухоли тучных клеток собаки

Наша техническая проверка набора данных состоит из двух частей: во-первых, мы оценили качество присвоенных меток, проведя эксперимент по классификации митотических фигур. по сравнению с другими ячейками.Во-вторых, мы выполнили задачу обнаружения на полных БИС тестового набора. Оба являются информативными для различных вопросов: в то время как первый тест может дать информацию о том, насколько хорошо возможно разделение классов и, таким образом, косвенно оценивает качество класса метки, последний также оценивает охват митотических фигур на WSI.

Классификация предварительно выбранных клеток

Для этой задачи проверки были извлечены участки размером 128 × 128 пикселей с одиночными клетками всех классов, кроме неоднозначных клеток в их соответствующем центре (митотическая фигура, аналог митотической фигуры, неопластические тучные клетки и гранулоциты). Вариант набора данных ODAEL.Мы использовали стандартную современную классификационную сеть CNN, основанную на базе ResNet-18 ²² , предварительно обученной на ImageNet ²⁴ . Сеть была обучена за 1 цикл из 10 эпох с использованием схемы суперсходимости ²⁶ с максимальной скоростью обучения 10 ⁻² и оптимизатора Adam ²⁷ . При таком подходе мы достигаем точности 91,390% на тестовой выборке. Как показано в таблице 3, основная путаница возникает между митотическими фигурами и митотическими аналогами, в то время как все другие типы клеток были хорошо разделены классификатором.Этот результат также согласуется с высокой дисперсией экспертов-людей внутри и между экспертами в этой задаче.

Таблица 3 Матрица неточностей: результаты классификации классификатора CNN на основе ResNet-18 на участках с определенным типом ячеек в центре (точность на тестовом наборе составляет 91,390%).

Обнаружение митотических фигур на WSI

Эта задача была выполнена, чтобы дать базовый уровень для обнаружения митотических фигур в нашем наборе данных. Мы обучили по одной модели для каждого из вариантов набора данных. Для этого мы выбрали RetinaNet ²³ в качестве современного подхода к обнаружению объектов, поскольку реализации доступны для всех основных фреймворков машинного обучения, используемых в настоящее время в научном сообществе.Аналогичного подхода придерживались Ли и др. . в их структуре DeepMitosis ²⁵ . RetinaNet представила фокальную потерю, которая очень подходит для обнаружения митотических фигур, поскольку придает больший вес решениям, которые были трудными для сети, и, таким образом, можно избежать явного жесткого примера добычи в качестве стратегии обучения.

Мы загружаем патчи изображения размером 256 × 256 пикселей в нашу модель, которая построена на основе ResNet-18 ²² , предварительно обученной в ImageNet ²⁴ с функциями пространственной пирамиды для сети и двумя настраиваемыми головками, одна для ограничения коробка обнаружения и одна для классификации митотической фигуры / фона.Головы основаны на самом низком слое пирамиды признаков с наивысшим пространственным разрешением (16 × 16).

Мы использовали индивидуальную схему выборки, чтобы обеспечить и ускорить сходимость модели. Для каждого обучающего пакета 50% изображений будут содержать по крайней мере одну митотическую фигуру, 40% будут содержать похожую митотическую фигуру (жесткий пример), а 10% изображений будут взяты полностью случайным образом со слайда. В варианте набора данных MEL, где не было доступных жестких примеров, мы использовали в схеме неоднозначные ячейки.Для обучения использовалась только верхняя половина каждого WSI, для проверки мы использовали нижнюю половину. Тестовый набор ни разу не использовался при обучении и алгоритмической оптимизации.

Из-за большого количества потенциальных изображений, которые должны быть извлечены из WSI, мы считаем, что классическое определение эпох в глубоком обучении (то есть весь обучающий набор, видимый в обратном распространении хотя бы один раз) больше не имеет смысла. Таким образом, мы рассматриваем псевдоэпохи из 5000 (каждый раз случайно выбранных) изображений для нашего обучения.

После начального обучения для одной псевдоэпохи, руководители сетей были обучены с использованием схемы суперсходимости Смита и Топина ²⁶ с Адамом в качестве оптимизатора ²⁷ в течение 3 циклов по 10 псевдоэпох с использованием максимума скорость обучения 10 ⁻⁴ . После этой конвергенции вся сеть была точно настроена для 2 × 30 псевдоэпох, для которых была применена парадигма ранней остановки для получения модели с максимальной производительностью проверки. Что касается потерь при проверке, мы не обнаружили, что модель слишком подходит для данных, что неудивительно из-за огромного количества материала изображения в наборе данных.Используемая нами схема выборки приводит к переоценке вероятности митотических фигур моделью. В связи с этим мы оптимизируем порог для обнаружения объектов путем обработки полных WSI набора для обучения и проверки после обучения модели. Опять же, мы использовали классификатор участков, обученный на предыдущем шаге, в качестве второго этапа для обнаружения митотической фигуры.

Неудивительно, что мы обнаруживаем влияние варианта набора данных на оценку F1 (см. Таблицу 4). Поскольку ожидается, что вариант ODAEL будет тщательно идентифицировать все присутствующие митотические фигуры, это соответствует ожиданиям, что вариант ODAEL заархивировал самые высокие баллы F1 для всех моделей.В целом влияние варианта набора данных на оценку F1 превышает 3 процентных пункта, что подчеркивает чувствительность применяемого метода.

Таблица 4 Оценка производительности (оценка F1) для различных вариантов набора данных.

Исследование абляции

Один из наиболее интересных вопросов для набора данных такого размера заключается в том, насколько сильно он выигрывает от увеличения размера по сравнению с предыдущими подходами. Преобладающий подход в текущих наборах данных — аннотировать подмножество размером из десяти смежных полей высокой мощности (HPF).Мы следуем определению Meuten ¹⁰ , который определил площадь одного HPF как 0,237 мм ² . Чтобы исследовать, как ограничение по размеру влияет на результаты обнаружения, мы вывели небольшие подмножества с площадью 5, 10 и 50 HPF, взятые из нашего наиболее эффективного варианта набора данных ODAEL. Мы попросили старшего специалиста по патологии определить наиболее митотически активную часть опухоли, как он делал бы это при ручном подсчете митотических клеток. Эта процедура соответствует процедуре, описанной Veta et al .для набора данных TUPAC16 ⁶ .

Для сравнения с существующими наборами данных мы сосредоточимся ниже на наборе данных, уменьшенном до области 10 HPF (другие случаи см. В Таблице 5). При соотношении сторон 4: 3 полученные изображения были 7017 пикселей в ширину и 5263 пикселей в высоту. Результирующий (уменьшенный на 10 HPF) набор данных состоит из 7617 аннотаций клеток, включая 1041 митотическую фигуру. Несмотря на то, что количество случаев несколько выше, оно включает в себя примерно такое же количество митотических фигур, что и набор данных AMIDA13 (см.Таблица 6). Мы обучили тот же конвейер, что и для полного набора данных, однако для меньшего количества итераций, чтобы избежать чрезмерной подгонки из-за гораздо меньшей дисперсии набора данных: детектор объектов RetinaNet был обучен для одного цикла из 10 псевдоэпох с использованием суперсходимости , и еще 60 итераций с нормальной скоростью адаптивного обучения на основе Адама. В течение этого последнего периода мы использовали раннюю остановку и выбрали модель с максимальной производительностью проверки. Как показано на рис. 5, производительность модели значительно возрастает с увеличением количества аннотированной области и количества доступных WSI.Однако данные показывают, что количество WSI достигло плато, и удвоение количества обучающих WSI с 12 до всех (21) лишь незначительно повысило производительность.

Таблица 5 Наборы данных исследования абляции. Таблица 6 Сравнение нашего набора данных и его вариантов с другими наборами данных с аннотациями митотических фигур. Рис. 5

Результаты исследования абляции с использованием двухступенчатого детектора. На панели а представлены результаты использования различных размеров тренировочной зоны вокруг выбранной экспертом наиболее митотически активной части опухоли.На панели b мы показываем результаты использования только части слайдов для обучения.