Как привести степени к одному основанию: Привести к одному основанию. 9 в 5 степени умноженное на 3 в 3

6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.

Содержание

Решение показательных уравнений и неравенств

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Показательным называется уравнение, в котором неизвестная Х
содержится в показателе степени.
Примеры:

Методы решения показательных уравнений

  1. Метод приведения к одному основанию

    если в уравнении имеется два слагаемых в виде степеней, которые можно привести к одному основанию, то надо:
    1- перенести слагаемые в разные стороны
    2- привести степени к одному основанию т.е. получить уравнение вида

    3- приравнять показатели степеней т.е.
    4- решить получившееся уравнение

Пример 1:

Решение:

Ответ:

  1. Метод вынесения общего множителя за скобки

    если в уравнении несколько слагаемых в виде степеней с одинаковым основанием и коэффициенты перед переменной Х одинаковые, то надо:
    1- слагаемое без Х перенести в другую часть уравнения
    2- найти наименьший показатель степени
    3- выделить у каждой степени наименьший показатель ( если его там нет)
    4- раскрыть сумму в показателе степени по формуле

    5- выделить у каждого слагаемого степень с наименьшим показателем и вынести этот общий
    множитель за скобки
    6- упростить получившееся уравнение и привести его к виду

    7- приравнять показатели степеней т. е. и решить получившееся уравнение

Пример 2:

Решение:

Ответ:

  1. Метод приведения к квадратному уравнению

    если в уравнении три слагаемых, два из которых это степени с одинаковым основанием и коэффициенты перед Х в два раза больше ( или противоположные по знаку), то надо:
    1- найти степень с наименьшим показателем и заменить её на новую переменную
    2- записать получившееся квадратное уравнение относительно новой переменной
    3- решить квадратное уравнение (относительно новой переменной)
    4- вернуться к замене и решить получившиеся простые уравнения вида

    Пример 3:

Решение:

Вернемся к замене

Ответ: х=2, х=1

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Показательным называется неравенство, в котором неизвестная Х
содержится в показателе степени

Примеры:

План решения показательных неравенств:

  1. Перенести слагаемые в разные стороны неравенства

  2. Привести степени к одному основанию т. е. к виду

  3. Выписать основание « »
    — если , то функция возрастает и знак неравенства
    сохраняем между показателями степеней т.е.
    если , то функция убывает и знак неравенства
    меняем между показателями степеней т.е.

  4. Решить получившееся неравенство, отметить штриховку на прямой

  5. Записать ответ

Пример 4:

Решение:

Ответ:

Пример 5:
Решение:

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

Показатеьные уравнения. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.























1.

Определение показательного уравнения


Сложность:
лёгкое

1


2.

Показательное уравнение с отрицательным показателем степени


Сложность:
лёгкое

2


3.

Определение показательного уравнения (корень n-ой степени)


Сложность:
лёгкое

1


4.

Определение корня n — ой степени


Сложность:
лёгкое

1


5.

Показательное уравнение с корнем


Сложность:
среднее

1


6.

Показательное уравнение (приведение к одному основанию)


Сложность:
среднее

2


7.

Показательное уравнение с приведением к одному основанию


Сложность:
среднее

2


8.

Показательное уравнение (приведение к общему основанию)


Сложность:
среднее

2


9.

Показательное уравнение (дробные показатели)


Сложность:
среднее

2


10.

Показательное уравнение (общий множитель)


Сложность:
среднее

2


11.

Показательное уравнение с общим множителем


Сложность:
среднее

2


12.

Показательное уравнение (умножение степеней)


Сложность:
среднее

2


13.

Показательное уравнение (деление степеней)


Сложность:
среднее

2


14.

Решение показательного уравнения (умножение степеней)


Сложность:
среднее

2


15.

Количество корней показательного уравнения, графический метод


Сложность:
среднее

1


16.

Показательное уравнение и неравенство, графический метод


Сложность:
среднее

3


17.

Показательное уравнение (новая переменная)


Сложность:
среднее

4


18.

Показательное уравнение с обратной дробью


Сложность:
среднее

4


19.

Показательное уравнение, сводимое к одному основанию


Сложность:
сложное

3


20.

Свойства степени в показательном уравнении


Сложность:
сложное

3


21.

Однородное уравнение


Сложность:
сложное

7

Логарифм и его свойства – Сайт Александра Бабаева

Понятие о логарифме.

{p}}} =$

По пятому свойству, получим:

$= \frac{\log_{a}{x}}{p \cdot \log_{a}{a}} = $

По второму свойству, будем иметь:

$= \frac{\log\limits_{a}{x}}{p}.$

Информация о записи:

01 февраля 2015 в 14:04:28

31 декабря 2015 в 15:03:20

Логарифм и его свойства

Свойства оснований логарифмов

Для снятия логарифма в обеих частях уравнения должны находиться логарифмы с одинаковым основанием. Если основания различны, тогда нужно привести все логарифмы к одному основанию. Обычно общим основанием становится одно из оснований логарифмов, присутствующих в уравнении. Желательно, чтобы это было самое простое основание. Например, из оснований 3 и нужно выбирать “3”; из оснований , x2 + 4 x + 2 и x желательно выбрать основание “x”; но в случае оснований и x2 + 2 желательно переходить к основанию “2”. Т.е. желательно упрощать основания логарифмов, используя свойство №7, при этом из них должны исчезнуть степени и корни.

Заметьте, что замена основания в логарифмах приводит к появлению логарифмов в знаменателе. Если эти логарифмы не рассчитываются и не сокращаются, тогда с ними можно бороться заменой переменных или переносом в другую часть уравнения. Например, уравнение:

Приводится заменой основания к виду:А затем преобразуется в:

Внимание. При решении неравенств нужно помнить о смене знака неравенства при домножении на отрицательное число. Так например, в последнем примере, если бы это было неравенство, при умножении обеих частей неравенства на log3 x знак неравенства поменяется на интервале x О ( 0 ; 1) и не поменяется на интервале x О [ 1 ; + Ґ ). Эти два интервала нужно рассматривать по отдельности, а затем объединять ответы.

Перед заменой оснований в логарифмах, в том числе для упрощения перехода к единому основанию, можно проверить, нельзя ли упростить логарифмы. Имеется в виду использование свойств №3 и №2. Т.е. нужно представить наиболее сложные аргументы логарифмических функций в виде произведения, затем использовать свойство логарифма произведения, и наконец, сократить, по возможности, те логарифмы, где основание и аргумент совпадают с точностью до степени, т.е. использовать свойство №2. Например, выражение:

Желательно представить в виде: logx + 3 x + 2.

При переходе от более сложного основания к более простому иногда можно произвести упрощение аргумента логарифмической функции и после замены основания.

Заметьте, что наличие в уравнении каких-либо чисел-слагаемых, и наличие многочленов второй и более высоких степеней в качестве аргументов и оснований логарифмов должно натолкнуть Вас на мысль о возможности преобразований.

Замена оснований возможна и в показательных уравнениях, но там она происходит при переходе от переменного основания к фиксированному и выражается в умножении показателя на логарифм старого основания по новому основанию, т. е. используется свойство №6. Например, в уравнении:

Производится переход к основанию 2, т.е. показатель степени в правой части умножается на log2 x:

Решение показательных неравенств

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. {n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. {5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Смотрите также:

  1. Простейшие показательные уравнения
  2. Преобразование показательных уравнений
  3. Десятичные дроби
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
  6. ЕГЭ-2014 по математике и открытый банк задач

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

— Переход к новому основанию логарифма. Решение задач.

Комментарии преподавателя

Пе­ре­ход к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма

На­пом­ним цен­траль­ное опре­де­ле­ние – опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма. Оно свя­за­но с ре­ше­ни­ем по­ка­за­тель­но­го урав­не­ния . По­ка­за­тель­ная функ­ция  мо­но­тон­на, каж­дое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b она до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та, то есть при кон­крет­ном зна­че­нии b урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. Этот ко­рень на­зы­ва­ют ло­га­риф­мом b по ос­но­ва­нию а: 

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

На­пом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

Вы­ра­же­ние  (вы­ра­же­ние 1) яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  (вы­ра­же­ние 2). Под­ста­вим зна­че­ние х из вы­ра­же­ния 1 вме­сто х в вы­ра­же­ние 2 и по­лу­чим ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

При­ме­ры:

 при любом а;

 при любом а;

По­вто­рим из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­мов. Здесь :

1. Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

 (про­из­ве­де­ние  может быть по­ло­жи­тель­ным, если  оба – от­ри­ца­тель­ные числа, но, ис­хо­дя из пра­вой части,  стро­го по­ло­жи­тель­ны)

2. Ло­га­рифм част­но­го:

3. Ло­га­рифм сте­пе­ни:

Ино­гда в за­да­чах не ука­за­но, что  и  – по­ло­жи­тель­ные числа, тогда необ­хо­ди­мо при рас­кры­тии ло­га­риф­ма ста­вить мо­дуль:

 ( – это любые числа кроме нуля, но их про­из­ве­де­ние долж­но быть по­ло­жи­тель­ным)

Пе­рей­дем к ос­нов­ной фор­му­ле дан­но­го урока.

Дано:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

При­ме­ним рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния. По­сколь­ку в зна­ме­на­те­ле стоит ло­га­рифм, а он не может быть равен нулю, т. к. , имеем право до­мно­жить обе части на дан­ный ло­га­рифм:

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма, вне­сем со­мно­жи­тель под знак ло­га­риф­ма как по­ка­за­тель сте­пе­ни:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Чтобы вос­поль­зо­вать­ся свой­ством ло­га­риф­ма, нужно при­ве­сти за­дан­ные ло­га­риф­мы к од­но­му ос­но­ва­нию. При­ве­дем вто­рой ло­га­рифм к ос­но­ва­нию 2:

По­лу­чим вы­ра­же­ние:

Имеем сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем. При­ме­ним свой­ство:

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние:

Оче­вид­но, что необ­хо­ди­мо вы­брать новое ос­но­ва­ние и при­ве­сти к нему все ло­га­риф­мы, чтобы вос­поль­зо­вать­ся свой­ства­ми и ре­шить урав­не­ние. Вы­бе­рем ос­но­ва­ние 2:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли урав­не­ние:

При­ве­дем по­доб­ные:

Раз­де­лим обе части на :

По опре­де­ле­нию ло­га­рим­фа:

Итак, мы вы­ве­ли и рас­смот­ре­ли новую важ­ную фор­му­лу – пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма.  

Пе­ре­ход к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма, ре­ше­ние задач

На­пом­ним цен­траль­ное опре­де­ле­ние – опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма. Оно свя­за­но с ре­ше­ни­ем по­ка­за­тель­но­го урав­не­ния . По­ка­за­тель­ная функ­ция  при­ни­ма­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Она мо­но­тон­на, каж­дое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b она до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та, то есть при кон­крет­ном зна­че­нии b урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. Этот ко­рень на­зы­ва­ют ло­га­риф­мом b по ос­но­ва­нию а: 

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

На­пом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

Вы­ра­же­ние  (вы­ра­же­ние 1) яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  (вы­ра­же­ние 2). Под­ста­вим зна­че­ние х из вы­ра­же­ния 1 вме­сто х в вы­ра­же­ние 2 и по­лу­чим ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

По­вто­рим из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­мов.  Здесь :

1. Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

 (про­из­ве­де­ние  может быть по­ло­жи­тель­ным, если  – оба от­ри­ца­тель­ные числа, но, ис­хо­дя из пра­вой части,  стро­го по­ло­жи­тель­ны)

2. Ло­га­рифм част­но­го:

3. Ло­га­рифм сте­пе­ни:

На­пом­ним важ­ную фор­му­лу – пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма:

Здесь 

На­при­мер, вы­чис­лить:

Неслож­но за­ме­тить, что ло­га­риф­мы в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле имеют одно и то же ос­но­ва­ние, по фор­му­ле пе­ре­хо­да по­лу­ча­ем:

 

Пе­ре­хо­дим к след­стви­ям из фор­му­лы пе­ре­хо­да.

След­ствие 1:

Здесь 

Рас­пи­шем по фор­му­ле пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ино­гда дан­ное свой­ство ис­поль­зу­ют в сле­ду­ю­щем виде:

След­ствие 2:

Здесь 

При­ме­ним фор­му­лу пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию, а имен­но, от ос­но­ва­ния к ос­но­ва­нию а:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать

Рас­смот­рим важ­ное уточ­не­ние для чет­ных сте­пе­ней:

Здесь 

По­яс­не­ние:

По­сколь­ку  – чет­ное число, до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния b. Ана­ло­гич­но до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния а, за ис­клю­че­ни­ем . Если мы не по­ста­вим в пра­вой части мо­ду­ли, то а и b будут толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми, об­ласть опре­де­ле­ния сузит­ся.

До­ка­за­тель­ство:

Пе­ре­хо­дим к но­во­му ос­но­ва­нию:

Важно, что с по­мо­щью мо­ду­ля мы со­хра­ни­ли неиз­мен­ной об­ласть опре­де­ле­ния, не сузи­ли ее. Так мы можем предо­хра­нить себя от мно­го­чис­лен­ных ти­по­вых оши­бок.

Фор­му­ла пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию и след­ствия из нее ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся при ре­ше­нии раз­лич­ных ти­по­вых задач.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Пре­об­ра­зу­ем по­ка­за­те­ли сте­пе­ни со­глас­но фор­му­лам пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию:

По­лу­ча­ем:

Пре­об­ра­зу­ем ос­но­ва­ния сте­пе­ней:

При­ме­ним свой­ство сте­пе­ни:

В по­ка­за­те­лях сте­пе­ней вне­сем мно­жи­те­ли под знак ло­га­риф­ма со­глас­но свой­ству:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние:

При­ве­дем все три ло­га­риф­ма к од­но­му ос­но­ва­нию, на­при­мер к ос­но­ва­нию 4:

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу 

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли урав­не­ние:

Со­кра­тим трой­ку:

Вы­ра­зим х, ис­хо­дя из опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма:

со­глас­но ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству:

Итак, мы рас­смот­ре­ли неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи на фор­му­лу пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма и след­ствия из нее.  

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/perehod-k-novomu-osnovaniyu-logarifma

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/perehod-k-novomu-osnovaniyu-logarifma-reshenie-zadach

http://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/algebra-11-klass-urok-perehod-k-novomu-osnovaniu-logarifma

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1. pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-4-9-1-logarifm-obshtaya-formula-perehoda-k-novomu-osnovaniyu.html

Переход к новому основанию логарифма

http://www.berdov.com/docs/logarithm/what_test_hard/

http://www.berdov.com/docs/logarithm/basic_properties/

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev. net).mp3

 

Как преобразовать градусы в дюймы или миллиметры

Преобразование угла (ø) в расстояние (d) имеет смысл только тогда, когда рассматриваемое расстояние находится на окружности круга или на поверхности сферы. В этом случае используйте уравнение ø = d / r — где r — радиус круга или сферы. Это дает значение в радианах, которое легко преобразовать в градусы. Если вы знаете угол в градусах и хотите найти длину дуги, преобразуйте угол в радианы, а затем используйте обратное выражение: d = ø • r.Чтобы получить расстояние в английских единицах, вы должны выразить радиус в английских единицах. Точно так же вы должны выразить радиус в метрических единицах, чтобы получить расстояние в километрах, метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Измерение углов в радианах

Радиан — это угловое измерение, основанное на длине радиуса круга или сферы. Радиус — это линия, проведенная от центра круга до точки A на его окружности или по периметру, если это сфера. Когда радиальная линия перемещается из точки A в другую точку B на окружности, она очерчивает дугу длиной d, в то же время очерчивая угол ø в центральной точке окружности.

По определению, один радиан — это угол, который вы записываете, когда длина дуги от точки A до точки B равна длине радиуса. В общем, вы определяете величину любого угла ø в радианах, разделив длину дуги, проведенную линиями в радианах между двумя точками, на радиус. Это математическое выражение: ø (радианы) = d / r. Чтобы это выражение работало, вы должны выразить длину и радиус дуги в одних и тех же единицах.

Например, предположим, что вы хотите определить угол дуги, очерченной радиальными линиями, идущими от центра Земли до Сан-Франциско и Нью-Йорка.Эти два города находятся на расстоянии 2572 миль (4139 километров) друг от друга, а экваториальный радиус Земли составляет 3963 мили (6378 километров). Мы можем найти угол, используя метрические или английские единицы, если мы используем их последовательно: 2572 мили / 3963 мили = 4139 км / 6378 км = 0,649 радиана.

Радианы в градусы

Мы можем получить простой коэффициент для преобразования радианов в градусы, заметив, что круг имеет 360 градусов, а длина окружности равна 2πr единицам.Когда радиальная линия проходит по всей окружности, длина дуги составляет 2πr / r = 2π, а поскольку линия проходит под углом в 360 градусов, мы знаем, что 360 градусов = 2π радиан. Разделив обе части этого уравнения на 2, мы получим:

Это означает, что 1 градус = π / 180 радиан и 1 радиан = 180 / π градусов.

Преобразование градусов в длину дуги

Нам нужна одна ключевая информация, прежде чем мы сможем преобразовать градусы в длину дуги, а именно радиус круга или сферы, на которой мы измеряем дугу.Как только мы это узнаем, преобразование будет простым. Вот двухэтапная процедура:

  1. Преобразуйте градусы в радианы.
  2. Умножьте на радиус, чтобы получить длину дуги в тех же единицах.

Если вам известен радиус в дюймах и вам нужна длина дуги в миллиметрах, вы должны сначала преобразовать радиус в миллиметры.

Пример 50-дюймовой окружности

В этом примере вы хотите определить длину дуги — в миллиметрах — на окружности окружности диаметром 50 дюймов, проведенной парой линий, образующих угол 30 градусов.

  1. Начните с преобразования угла в радианы. 30 градусов = 30π / 180 радиан. Поскольку π приблизительно равно 3,14, получаем 0,523 радиана.
  2. Помните, что радиус круга равен половине его диаметра. В данном случае r = 25 дюймов.
  3. Преобразуйте радиус в целевые единицы — миллиметры — используя преобразование 1 дюйм = 25,4 миллиметра. Получаем 25 дюймов = 635 миллиметров.
  4. Умножьте радиус на угол в радианах, чтобы получить длину дуги.635 мм • 0,523 радиана = 332,1 мм.

Как переводить градусы в радианы

Что такое радиан?

Радиан — это единица измерения углов. Другая единица измерения углов, с которой вы, вероятно, более знакомы, — это градусы. Хотя существует более двух единиц измерения угла, радиан и градусы — это те две единицы, с которыми вам придется иметь дело больше всего.

Вы, наверное, задаетесь вопросом, почему мы должны использовать радианы, когда у нас уже есть градусы.Это потому, что градусы на самом деле не числа. Чтобы вычислить математику, нам нужно работать с числами. Хороший пример, похожий на эту концепцию, — использование десятичных дробей, когда у нас есть проценты. Хотя процентное соотношение может быть показано с помощью числа, за которым следует знак%, когда мы выполняем математические вычисления, мы преобразуем его в десятичное число (или дробь).

В этом уроке мы узнаем, как преобразовать радианы в градусы, а также наоборот: преобразовать градусы в радианы.

Преобразование радианов в градусы

Для начала давайте сначала преобразуем радианы в единицы, с которыми мы больше знакомы: градусы. \ circ}} {{\ pi \; rad}} πrad180∘.\ circ}} 180∘πрадиан. При необходимости используйте калькулятор для умножения. Тогда мы получим окончательный ответ.

В качестве онлайн-ресурса, если вы хотите быстро преобразовать радианы в десятичные дроби, используйте этот онлайн-конвертер, чтобы помочь вам или дважды проверить свою работу.

градусов и радианов — объяснения и примеры

Как и любая другая величина, у углов также есть единицы измерения. Радианы и Градусы — две основные единицы измерения углов .Существуют и другие единицы измерения углов (например, градуса и MRAD), но в средней школе вы увидите только эти две единицы.

Что такое градусы и радианы?

Самая популярная единица измерения углов, с которой знакомо большинство людей, — это градус ( ° ). Единицы градуса — минуты и секунды. Есть 360 градусов, 180 градусов для полукруга (полукруга) и 90 градусов для четверти круга (прямоугольный треугольник) в полном круге или одном полном вращении.

Градусы в основном указывают направление и размер угла . Лицом к северу означает, что вы смотрите в направлении 0 градусов. Если вы повернете на юг, вы окажетесь лицом к лицу в 90 градусов. Если вы вернетесь на север после полного поворота, вы повернетесь на 360 градусов. Обычно положительным считается направление против часовой стрелки. Если повернуть на запад с севера, угол будет либо -90 градусов, либо +270 градусов.

В геометрии есть еще одна единица измерения углов, известная как радиан ( рад, ).

Итак, зачем нам радианы, когда мы уже привыкли к углам?

Большинство математических вычислений связаны с числами. Поскольку градусы на самом деле не являются числами, предпочтительнее использовать радианы, которые часто требуются для решения проблем.

Хороший пример , который похож на эту концепцию, использует десятичные дроби, когда у нас есть проценты . Хотя процент может быть показан с помощью числа, за которым следует знак%, мы преобразуем его в десятичную дробь (или дробь).

Концепция нахождения угла по длине дуги использовалась давно. Радиан был введен намного позже. Роджер Котес дал понятие радиан в 1714 году, но он не дал ему такого названия, а просто назвал его круговой мерой угла.

Термин « радиан, » впервые был использован в 1873 году. Позднее это название привлекло всеобщее внимание и получило разрешение.

Из этой статьи вы узнаете, как преобразовать градусы в радианы и наоборот (радианы в градусы).Давайте взглянем.

Как перевести градусы в радианы?

Чтобы преобразовать градусы в радианы, мы умножаем заданный угол (в градусах) на π / 180.

Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (рад)

Где π = 22/7 или 3,14

Пример 1

Преобразование следующих углов из градусов в радианы

  1. 0 °
  2. 30 °
  3. 45 °
  4. 60 °
  5. 90 °
  6. 120 °
  7. 150 °
  8. 180 °
  9. 210 °
  10. 240 °
  11. 360 °

Решение

Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (рад)

1. 0 ° x π / 180

= 0 Rad

2. 30 ° x π / 180

= π / 6

= 0,5 Rad

3. 45 ° x π / 180

= π / 4

= 0,785 рад

4. 60 ° x π / 180

= π / 3

= 1,047 рад

5. 90 ° x π / 180

= π / 2

= 1,571рад

6. 120 ° x π / 180

= 2π / 3

= 2,094 Rad

7. 150 ° x π / 180

= 5π / 6

= 2,618 Rad

8. 180 ° x π / 180

= π

= 3.14 Rad

9. 210 ° x π / 180

= 7π / 6

= 3.665 Rad

10. 240 ° x π / 180

= 3π / 2

= 4.189 Rad

11. 360 ° x π / 180

= 2π

= 6,283 Rad

Пример 2

Преобразование 700 градусов в радианы.

Решение

Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (Rad)

Путем замены,

Угол в радианах (Rad) = 700 x π / 180.

= 35 π / 9

= 12,21 рад.

Пример 3

Преобразовать — 300 ° в радианы.

Раствор

Угол в радианах = -300 ° x π / 180.

= — 5π / 3

= — 5,23 Rad

Пример 4

Преобразовать — 270 ° в радианы.

Решение

Угол в радианах = -270 ° x π / 180.

= — 3π / 2

= -4,71 Рад.

Пример 5

Преобразуйте 43 градуса, 6 минут и 9 секунд в радианы.

Solution

Первый экспресс 43 градуса, 6 минут и 9 секунд только до градусов.

43 ° 6 ′ 9 ″ = 43,1025 °

43,1025 ° x π / 180 = угол в радианах

= 0,752 рад.

Пример 6

Преобразовать 102 ° 45 ’54 ″ в радианы.

Решение

102 ° 45 ′ 54 ″ равно 102,765 °

Угол в радианах = 102,765 ° x π / 180.

= 1,793 Рад.

Как преобразовать радианы в градусы?

Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте радиан на 180 / π. Таким образом, формула имеет вид,

Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.

Пример 7

Преобразуйте каждый из следующих углов в радианах в градусы.

  1. 1,46
  2. 11π / 6
  3. π / 12
  4. 3,491
  5. 7,854
  6. -8,14
  7. π / 180

Решение

Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.

  1. 46 x 180 / π

= 83.69 градусов.

  1. 11π / 6 x 180 / π

= 330 градусов.

  1. π / 12 x 180 / π

= 15 градусов.

  1. 491 x 180 / π

= 200,1 градуса

  1. 854 x 180 / π

= 450,2 градуса.

  1. -8,14 x 180 / π

= — 466,6 градуса.

  1. π / 180 x 180 / π

= 1 градус.

Пример 8

Преобразуйте угол π /5 радиан в градусы.

Решение

Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.

Путем замены

π /5 x 180 / π = 36 градусов.

Пример 9

Преобразование угла — π /8 радиан в градусы

Решение

/8 x 180 / π = — 22,5 градусов.

Пример 10

Радиус куска пиццы составляет 9 см.Если периметр куска составляет 36,850 см, найдите угол куска пиццы в радианах и градусах.

Решение

Пусть длина дуги детали = x

Периметр = 9 + 9 + x

36,850 см = 18 + x

Вычтите 18 с обеих сторон.

18,85 = x

Итак, длина дуги детали составляет 18,85 см.

Но, длина дуги = θr

Где θ = угол в радианах, а r = радиус.

18,85 см = 9 θ

Разделите обе стороны на 9

θ = 2.09 Rad

θ в градусах:

Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.

= 2,09 x 180 / π

= 120 градусов.

Пример 11

Радиус сектора 3 м, а его площадь 3π / 4 м 2 . Найдите центральный угол сектора в градусах и радианах.

Решение

Учитывая, что

Площадь сектора = (r 2 θ) / 2

Где θ = центральный угол в радианах.

Заменитель.

3π / 4 = (3 2 θ) / 2

3π / 4 = 9θ / 2

Перекрестное умножение.

6 π = 36 θ

Разделим обе части на 36, чтобы получить

θ = 0,52 рад.

Преобразует угол в градусы.

= 0,52 x 180 / π

= 29,8 градуса.

Пример 12

Найдите центральный угол сектора с радиусом 56 см и площадью 144 см 2 .

Раствор

A = (θ / 360) πr 2

144 = (θ / 360) x 3.14 x 56 x 56.

144 = 27,353 θ

Разделите обе стороны на θ.

θ = 5,26

Таким образом, центральный угол составляет 5,26 градуса.

Пример 13

Площадь сектора 625 мм 2 . Если радиус сектора равен 18 мм, найдите центральный угол сектора в радианах.

Решение

Площадь сектора = (θ r 2 ) / 2

625 = 18 x 18 x θ / 2

625 = 162 θ

Разделите обе стороны на 162.

θ = 3,86 радиан.

Практические вопросы

  1. Преобразование 330 ° в радианы.
  2. Преобразовать -750 ° в радианы
  3. Преобразовать каждый из следующих углов в радианах в градусы:

a. 21π / 5

б. -15π / 2

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Тригонометрия: преобразование градусов и минут

Обычно угол в окружности составляет 360 градусов. Хотя угол обычно измеряется в градусах, дробные части градусов измеряются в минутах и ​​секундах, и их представление выглядит следующим образом.

1 степень = 1 0

1 минута = 1 ’

1 секунда = 1 ’’ .

и

1 0 = 60 минут => 1 ‘= 1/60 0

1 ‘= 60‘ ’=> 1‘ ’= 1/60‘

Таким образом, вместе 1 ‘’ = 1/60 * 1/60 градусов = 1/3600 ’’ .

Вот несколько примеров, которые проиллюстрируют процесс преобразования градусов в минуты, минут в градусы, секунд в градусы и т. Д.

Пример-1:

Преобразование 45,3 0 в градусы и минуты.

Решение:

45,3 0 = 45 + 0,3 0

У нас 1 ‘= 60‘ ’

Итак, 45,3 0 = 45 + 0,3 0 = 45 0 + (0. 3 * 60) ‘= 45 0 + 18‘ = 45 0 18 ’.

Пример-2:

Преобразуйте угол 25 0 12 ’ в градусы.

Решение:

25 0 12 ’= 25 0 +12’

У нас 1 ‘= 1/60 0

Итак, 25 0 12 ’= 25 0 +12’ = 25 0 + (12/60) 0 = 25 0 +0.2 0 = 25,2 0

Пример-3:

Преобразование 42 0 15’45 ’’ в градусы.

Решение:

У нас

1 ‘= 1/60 0

1 ‘’ = 1/3600 ’’

Итак, 42 0 15’45 ’’ = 42 0 + (15/60) 0 + (45/3600) 0

= 42 0 +0,25 0 +0. 0125 0 = 42,2625 0

SchoolTutoring Academy — ведущая компания в сфере образовательных услуг для школьников и школьников. Мы предлагаем учебные программы для учащихся K-12, AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и ученикам в Orangeville, посетите: Репетиторство в Orangeville.

Как преобразовать направление ветра в градусах в направления по компасу

Вы чувствуете себя потерянным при просмотре данных о направлении ветра, которые указаны в градусах? Например, можете ли вы представить себе, в каком направлении находится 195 градусов? Было бы проще, если бы ваш регистратор данных мог вместо этого записывать ваши данные в направлениях компаса? В этой статье я поделюсь с вами простым методом преобразования данных о направлении ветра из градусов в направления по компасу с помощью языка программирования CRBasic.

Направление по компасу и градусы

Если вы похожи на меня, направления по компасу (север, юг, восток и запад) легче понять, чем градусы. Например, если кто-то спрашивает меня, как проехать, я не говорю: «Пройдите пять кварталов по курсу 270 градусов». Мне и потерявшемуся водителю будет легче, если я скажу: «Иди на запад пять кварталов».

Точно так же, когда дело доходит до описания направления ветра, точки компаса легче понять, чем градусы. Метеорологи используют точки компаса в своих прогнозах погоды, потому что их легче визуализировать и запомнить.Например, метеоролог может сказать: «Шторм надвигается с запада».

Что касается направления ветра, то и к счастью, и к несчастью, регистраторы данных не «думают», как мы, люди.

  • К счастью, наши регистраторы данных сканируют наши датчики, преобразуют измерения в электрические сигналы и сохраняют данные в градусах, которые более точны, чем направления компаса.
  • К сожалению, нам трудно разобраться в данных о направлении ветра в градусах.

Использование индексированного массива

Чтобы разобраться в данных о направлении ветра в градусах, давайте приступим к процессу преобразования. Чтобы преобразовать градусы в направления по компасу, я сначала разделил компас на 16 секторов по 22,5 градуса каждый. Секторы похожи на кусочки пирога, центрированные по стрелкам компаса.

Совет: Если вы хотите использовать восемь секторов вместо 16, с более короткой таблицей поиска, разделите на 45 градусов вместо 22,5 градусов.

Для преобразования я использую индексированный массив в качестве таблицы поиска вместо инструкции Case . Я предпочитаю индексированный массив, потому что код быстрее и компактнее, чем код инструкции Case . Кроме того, индексированный массив хорошо подходит для равномерно распределенных бункеров данных, например для заданного числа градусов. (Бункеры данных — это категории для диапазонов чисел.) Напротив, команда Case является лучшим выбором для приложений, в которых ваши бункеры данных не расположены равномерно, например для определения диапазонов температур, в которых вода описывается как горячая, теплая или холодная . («Горячие» и «холодные» значения будут иметь больший размер, а «теплый» — меньший размер.)

Поскольку север на компасе можно описать как 0 градусов или 360 градусов, мы должны использовать для него две ячейки данных. Это означает, что для наших 16 секторов компаса нам действительно нужно 17 значений в нашей таблице поиска. И первое, и последнее значение — север. В таблице ниже показаны 17 значений для 16 различных секторов компаса:

Значения Секторы компаса

1

N

2

NNE

3

NE

4

ENE

5

E

6

ESE

7

SE

8

SSE

9

S

10

SSW

11

SW

12

WSW

13

Вт

14

ЗНЗ

15

NW

16

Северо-Запад

17

N

Вы можете использовать массив в программе регистратора данных в качестве таблицы поиска. Простой способ заполнить массив — присвоить начальные значения. Убедитесь, что вы используете тип String и заключите каждое значение в кавычки. Строка кода длинновата, но довольно проста:

   Тусклый сектор (17) в виде строки * 3 = {"N", "NNE", "NE", "ENE", "E", "ESE", "SE", "SSE", "S", "SSW", "SW", "WSW", "W", "WNW", "NW", "NNW", "N"}
   

Отделение по модулю

Теперь нам нужно преобразовать направление ветра в целые числа, которые соответствуют 17 значениям индекса в нашем массиве.

Чтобы ограничить направление ветра до 360 градусов, нам нужно выполнить операцию по модулю, чтобы найти остаток после деления общего количества градусов на 360.

Например, если мы работаем с 405 градусами, мы делим это значение на 360. Это дает нам 1 с остатком (или модулем) 45:

.

  • 405/360 = 1, остаток 45
  • Это можно записать как 405 MOD 360 = 45.

В этом примере остаток 45 градусов — это то, что нужно преобразовать в направление по компасу.

Примечание: Хотя этот шаг необязателен для большинства датчиков, он не вызовет никаких проблем, если вы включите его в свои программы.

Согласование с массивом

Если мы разделим направление ветра на 22,5 (градуса для каждого сектора) и округлим, мы получим числа от 0 до 16. Поскольку метки, хранящиеся в массиве, имеют индекс от 1 до 17, мы должны добавить 1, чтобы соответствовать диапазону:

   Индекс = WindDir MOD 360
Индекс = Круглый (Индекс / 22.5,0) +1
CompassDir = сектор (индекс)
   

В нашем предыдущем примере, если мы возьмем остаток от 45 градусов и разделим его на 22,5, мы получим результат 2:

Если мы прибавим 1, получится 3:

В нашей таблице значение «3» соответствует направлению «СВ».

Итак, наш остаток от 45 градусов преобразуется в направление на северо-восток.

Мы можем поместить всю математическую функцию в индексный параметр массива.Скобки определяют порядок действий изнутри:

   CompassDir = Sector (Round ((WindDir MOD 360) / 22.5,0) +1)
   

Объединяя программу

Соединив все части вместе, мы получим следующую программу регистратора данных. Просто добавьте свои измерения и таблицы данных.

   'Объявление общедоступных переменных
Public WindDir As Float
Единицы WindDir = градусы
Тусклый сектор (17) в виде строки * 3 = {"N", "NNE", "NE", "ENE", "E", "ESE", "SE", "SSE", "S", "SSW" , "SW", "WSW", "W", "WNW", "NW", "NNW", "N"}
Public CompassDir как строка * 3
 
'Основная программа
BeginProg
Сканирование (1, сек, 0,0)
'Добавьте сюда измерения датчика ветра
CompassDir = Sector (Round ((WindDir MOD 360) / 22.5,0) +1) 'Округляет направление ветра на 17 секторов.  Секторы 1 и 17 оба являются N.
NextScan
EndProg
   

Идеи приложений

В этой статье я надеюсь, что помог вам найти способ лучше понять, использовать и поделиться своими данными о направлении ветра с помощью некоторого программного кода CRBasic. Если у вас есть какой-либо из наших программных продуктов RTMC, это программное обеспечение может принимать данные о направлении ветра и напрямую преобразовывать градусы в отображение компаса.

Не стесняйтесь рассказывать о ситуациях, когда вы хотите сообщить направление ветра с помощью точек компаса.Можете ли вы представить себе подобные случаи с равномерно распределенными бункерами данных, в которых вы могли бы использовать этот метод? Разместите свои идеи ниже.

Преобразование углов градусы / минуты / секунды в десятичные и обратно — Office

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.