Как найти область определения функции?

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. 

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

• Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) =  [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа. 

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Например:

• Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(f) = (−∞, +∞) или D(f) = R.
   
• Область определения функции y = ³√9 является множество R.

Еще больше примеров — в современной онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Приходите на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься эффективно и в удовольствие!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = ⁿ√x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

• Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
• Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть, n = 2m+1, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = ⁴√x, y = ⁶√x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = ³√x, y = ⁵√x, y = ⁷√x,… — множество (−∞, +∞).

Пример 

Найти область определения функции:

Как решаем:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x² + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x² + 4x + 3 > 0

D = 16 — 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола a(x) = x² + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x² + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x² + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x² + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x² + 4x + 3 < 0.

Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = x^a, то есть, f(x) = x^a, где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

• Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
• Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
• Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
• Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = x^a определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 0⁰. А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x⁰ = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Область определения функций y = x⁵, y = x¹² — множество R, так как показатели степени целые положительные.
2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
3. Область определения функции y = x⁻², как и функции y = x⁻⁵ — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
4. Область определения степенных функций y = x^-√19, y = x^-3e, — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a^x, где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

• y = e^x
• y = (√15)^x
• y = 13^x.

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

• D (ln) = (0, +∞) и D (lg) = (0, +∞).

Рассмотрим примеры логарифмических функций: 

• y = log₇x
• y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите область определения функции:

Как решаем:

Составим и решим систему:

Графическое решение:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

• Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
• Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
• Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Как решаем:

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

• Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

  Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].

• Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

  Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].

• Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

  Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните. 

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

§2 Повторение и расширение сведений о функции

Дробно-линейная функция | Математика, которая мне нравится

Равнобочная гипербола

Исследуем функцию, заданную формулой .

Функция строго убывает на и на .

Доказательство. Пусть , и одного знака. Тогда . (см. свойство неравенств 9).

Множество значений функции — .

Доказательство. Пусть . Тогда принадлежит множеству значений функции.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции , называется равнобочной гиперболой.

График равнобочной гиперболы приведен на рис. 29:

Рис. 29

Равнобочная гипербола симметрична относительно начала координат.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной функцией.

Пример. — нечетные функции.

Определение. Прямые и называются асимптотами равнобочной гиперболы .

Асимптоты перпендикулярны осям координат и проходят через
точки на этих осях, которые не принадлежат области определения или множеству значений функции .

Преобразования системы координат

1) Изменение направления оси абсцисс

Гипербола — график функции (рис. 30).

Рис. 30

2) Изменение масштаба

Из получаем график функции

Из получается график функции

Таким образом, график любой функции является равнобочной гиперболой.

Если , нужно взять и получить из .

Если , нужно взять и получить из .

3) Сдвиг вдоль оси абсцисс

Из получим график функции .

4) Сдвиг вдоль оси ординат

Из получим

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой

где .

Область определения этой функции .

Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Доказательство. Преобразуем дробь к виду :

Нужно взять , , .

Практический прием построения графика дробно-линейной функции

1. Находится запрещенное значение .

2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства выражается через .

3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.

4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.

5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.

Задачи.

1. Постройте графики функций

1) .

2) .

3) .

4) .

2. Для дробно-линейной функции, заданной формулой найдите следующие множества:

1) .

2) .

3) .

3. Изобразите на координатной плоскости фигуры, задаваемые уравнениями и неравенствами:

1) .

2) .

3) .

4) .

4. Вершины и прямоугольника лежат на гиперболе , а стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Докажите, что прямая проходит через начало координат.

Abitur

Линейная функция и ее график

   Область определения и область значений функции.
   Определение 1: Область определения функции — это множество всех значений Х, для которых функция имеет смысл.
   Определение 2: Область значений функции — это множество всех значений Y, которые принимает функция.

   Определение линейной функции.
   Определение 3: Функция вида y=kx+b, где k, b — любые числа, называется линейной функцией.
   Графиком линейной функции является прямая.

   Исследование линейной функции.
   Приведем схему исследование линейной функции:
   1) Возрастающая функция или убывающая.
   2) Точки пересечения линейной функции с осями координат.
   3) Промежутки на которых функция 0.

   Решение примеров.
   1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

   Задания.
   1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

Функция. Зависимые и независимые переменные. Область определения и область значений функции. 🐲 СПАДИЛО.РУ

Определение понятия функции. Переменные.

Определение

Зависимость переменной у от переменной х, при которой любому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией.

• х – это независимая переменная, ее называют аргумент.
• у – это зависимая переменная.

Ключевое слово, которое нужно запомнить в определении функции – это зависимость.

Например, человек идет на деловую встречу, но чувствует, что он опаздывает. Он ускоряет свой шаг, потому что от его скорости зависит время. Чем быстрее он двигается, тем меньше времени уйдет у него на дорогу. То есть время зависит от скорости.

Или, например, спортсмен метает ядро на дальнее расстояние. Чем сильнее будет бросок, тем дальше полетит ядро. Скорость полета зависит от силы толчка. Здесь опять прослеживается зависимость.

Функцию коротко записывают так: y = f(x). Вместо буквы f может быть использована и другая буква. Чтение данной записи следующее: «у равно f от х».

Например, функция задана формулой у = – 3х² – 7. Равносильная ей запись такая: f(x)= – 3х² – 7.

Пример 1. Найти значение функции f(x)= – 3х² – 7 для значений аргумента, равных –5 и 4. Подставим в формулу вместо х значения, сначала (-5), а затем 4 f (–5) = – 3^.(–5)² – 7 = –75–7 = –82 f (4) = – 3^.(4)² – 7 = – 48 – 7 = –55 Пример 2. Найти значение х, при котором функция, заданная формулой f (х) = 3х+2, принимает значение равное 5. Так как дано, что значение равно 5, то значит f (х) = 5, составим и решим уравнение: 5=3х + 2 выполним перенос слагаемого 2 в левую часть, изменяя при этом знак: 5 – 2 = 3х приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: 3 = 3х найдем неизвестный множитель делением: х = 1 Ответ: х=1.

Области определения и значения функции

Определение

Все возможные значения независимой переменной (х) называют областью определения функции.

Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) называют областью значений функции.

Если какая-либо функция у=f(x) задана формулой, а при этом ее область определения не указана, то считается, что она состоит из любых значений переменной, при которых выражение имеет смысл.

Области определения и значений школьных функций

1. Для линейной функции областью определения будет являться любое число.

Если у такой функции k≠0, то областью ее значений также будет являться любое число.

При k=0 область значений этой функции состоит из единственного числа b.

Например, функция задана формулой у = 7. Тогда ее область значения — это число 7, а область определения – любое число.

2. Гипербола задается формулой вида y = k/x.

Область определения такой функции – любое число, кроме нуля.

Область значений такой функции – аналогичная.

3. Функция, заданная формулой y= |x|, имеет область определения – любое число.

4. У функций у = х²  и у = х³ область определения  – любое число.

Для того чтобы понимать, как находится область определения функции и рассмотреть примеры заданий на нахождение области определения функции, вспомним правила, при которых существуют ограничения и выражение не имеет смысл: нельзя делить на нуль; нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

Пример 3. Рассмотрим, как находится область определения функций, которые заданы следующими формулами:

Данное выражение будет иметь смысл при любом значении х, так как все действия здесь выполнимы. Например, подставив нуль, получим, что 5×0 + 2 = 2. Также при любых отрицательных или положительных значениях х выражение будет иметь смысл. Данное выражение содержит степень. Все действия здесь так же выполнимы при любом значении х.

В знаменателе этого выражения содержится переменная х, поэтому надо проверить, при каком значении он может быть равным нулю и исключить это значение из области определения, так как на знаменатель делят, а на нуль делить нельзя.

Итак, имеем знаменатель х + 11. Приравниваем его к нулю, получаем х + 11 = 0. Решаем простое уравнение на нахождение неизвестного слагаемого и получаем х= – 11. Это число исключаем из области определения функции.

Выражение содержит квадратный корень из переменной х.  Знаем, что он может извлекаться только из положительного или равного нулю числа. Поэтому область определения будет х≥0.

Ответ: (1) и (2) – множество всех чисел; (3) – любое число, кроме (-11) или х ≠ – 11; (4) х ≥0.

Нахождение области определения функции

1. Если выражение целое и не содержит квадратного корня, то оно имеет смысл при любом значении независимой переменной. Следовательно, областью определения будет являться множество всех чисел.
2. Если выражение дробное, то необходимо исключить те значения, которые обращают знаменатель в нуль. Для этого знаменатель дроби приравнять к нулю и решить полученное уравнение. Областью определения будут являться все числа, кроме тех, которые получились при решении уравнения.

Урок 8. предел функции на бесконечности — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №8. Предел функции на бесконечности.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1)понятие бесконечности;

2) определение предела функции на плюс бесконечности;

2) определение предела функции на минус бесконечности;

3) правила вычисления пределов функции на бесконечности;

4) формулы вычисления предела функции на бесконечности;

5) нахождение горизонтальные, вертикальные, наклонные асимптоты.

Глоссарий по теме

Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Понятие «бесконечность»  используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость, то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Теперь давайте перейдем к пределу функции на плюс и минус бесконечности.

Предел функции на плюс бесконечности.

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на минус бесконечности.

Посмотрим немного другой случай:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на бесконечности.

Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Тогда принято записывать как:

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями.

Основные свойства:

1. Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:

1. Если и

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

А теперь давайте перейдем к дробно — рациональной функции.

Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.

Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь  , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.

Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

x=a уравнение вертикальной асимптоты

y=b уравнение горизонтальной асимптоты

y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Перейдем к практической части.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Вычислить пределы функций:

а)

б)

в)

г)

Пример 2. Построим график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части: 

.

Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

y=2 горизонтальная асимптота

x=1 вертикальная асимптота, т.к.  

Точки пересечения графика с осями координат:

при x=0 y=3 , точка (0; 3)

при y=0 x=1,5 , точка (1,5; 0)

Пример 3 

Построить график функции  .

Преобразуем функцию с выделением целой части 

1. y=2x наклонная асимптота

X=0 вертикальная асимптота

функция ни четная, ни нечетная.

1. точки пересечения графика с осями координат:

Приy=0

, точка

 с осью ординат график функции не пересекается, т.к. эта ось есть асимптота.

y’=0

x_кр=1

6) y(1)=3

7) Построим график

«Линейная функция и ее график»

Вариант № 1

1. Найдите область определения функции:

а) у = ; б) у = ; в) у = .

2. Найдите значение функции:

а) у = х² 5х + 3 при х = 1; б) у = при t = .

3. Найдите координаты точек пересечения графика функции у = 36х – 12 с осями координат.

4. В одной системе координат постройте графики функций:

у = х + 2 , у = 1 и у = 2,5х и исследуйте график каждой функции.

5. Задайте формулой прямую пропорциональность, если:

а) её график и график функции у = 1,5 х – 5,5 параллельные;

б) её график проходит через точку М (1,3; 6,5).

6. Докажите, что функция у = (х – 1)² + 2 – (х + 2)² является линейной. Найдите координаты точек

пересечения графика данной функции с осями координат.

7. Постройте график данной функции и исследуйте его:

у =

8. В одной системе координат (единичный отрезок примите за 1 см) постройте графики функций

у = х³, у = х + 2 и найдите абсциссы их точек пересечения.

9. Не вычисляя значений выражений, сравните:

а) ( 0,32)⁴ и 0,32⁴ в) ( 0,32)⁶ и 0,32⁷

б) ( 0,32)⁵ и 0,32⁵ г) ( 0,321)⁴ и (0,312)⁴.

10. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку А (0; 4) и не

имеет с графиком функции у = общих точек.

Вариант № 2

1. Найдите область определения функции:

а) у = ; б) у = ; в) у = .

2. Найдите значение функции:

а) у = х² 3х 1 при х = 1 ; б) у = при t = .

3. Найдите координаты точек пересечения графика функции у = 42 х + 21 с осями координат.

4. В одной системе координат постройте графики функций:

у = х 3 , у = и у = 0,25 х и исследуйте график каждой функции.

5. Задайте формулой прямую пропорциональность, если:

а) её график и график функции у = 3,5 х + 2,3 параллельные;

б) её график проходит через точку М (,4; 5,6).

6. Докажите, что функция у = 2 (х – 1)² + (х + 2)² является линейной. Найдите координаты точек

пересечения графика данной функции с осями координат.

7. Постройте график данной функции и исследуйте его:

у =

8. В одной системе координат (единичный отрезок примите за 1 см) постройте графики функций

у = х³, у = х 2 и найдите абсциссы их точек пересечения.

9. Не вычисляя значений выражений, сравните:

а) ( 0,78)⁴ и 0,78⁴ в) ( 0,78)⁸ и 0,78⁷

б) ( 0,78)⁵ и 0,78⁵ г) ( 78,78)⁴ и (87,87)⁴.

10. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку А (0; 2) и не

имеет с графиком функции у = общих точек.

Чтение: Найдите домен и диапазон на графике

Цели обучения

• Определите область линейных, квадратичных, радикальных и рациональных функций из графиков

При поиске области и диапазона различных функций часто возникает вопрос, какие значения может иметь эта функция , а не ? Рисунки упрощают визуализацию того, что такое домен и диапазон, поэтому мы покажем, как определить домен и диапазон функций с учетом их графиков.

Каковы область и диапазон вещественной функции [latex] f (x) = x + 3 [/ latex]?
Это линейная функция . Помните, что линейные функции — это линии, которые бесконечно продолжаются в каждом направлении.

Любое действительное число можно заменить на x и получить значимый результат. Для любого действительного числа вы всегда можете найти значение x , которое даст вам это число для вывода. Если линейная функция не является константой, например [latex] f (x) = 2 [/ latex], ограничений на диапазон нет.{2} [/ latex] отрицательный, откроется вниз. При использовании квадратичных функций помните, что существует либо максимальное (наибольшее) значение, либо минимальное (наименьшее) значение. В этом случае есть максимальное значение.

Вершина, или высокая точка, находится в ([latex] 1, 4 [/ latex]). На графике видно, что [latex] f (x) \ leq4 [/ latex].

Ответ

Домен — это все действительные числа, а диапазон — все действительные числа f ( x ) такие, что [latex] f (x) \ leq4 [/ latex].

Вы можете проверить, что вершина действительно находится в ([latex] 1, 4 [/ latex]).Поскольку квадратичная функция имеет две половины зеркального отображения, линия отражения должна находиться посередине двух точек с одинаковым значением y . Вершина должна лежать на линии отражения, потому что это единственная точка, которая не имеет зеркального отражения!

Обратите внимание, что в предыдущем примере, когда [latex] x = 2 [/ latex] и когда [latex] x = 0 [/ latex], значение функции равно [latex] 1 [/ latex]. (Вы можете проверить это, оценив [latex] f (2) [/ latex] и [latex] f (0) [/ latex].) То есть оба ([latex] 2, 1 [/ latex]) и ( [латекс] 0, 1 [/ латекс]) находятся на графике.Линия отражения здесь [latex] x = 1 [/ latex], поэтому вершина должна находиться в точке [latex] (1, f (1)) [/ latex]. Оценка f (1) дает [latex] f (1) = 4 [/ latex], поэтому вершина находится в [latex] (1, 4) [/ latex].

Пример

Каков домен и диапазон вещественной функции [latex] f (x) = — 2+ \ sqrt {x + 5} [/ latex]?

Показать решение
Это радикальная функция . Область определения радикальной функции — это любое значение x , для которого подкоренное выражение (значение под знаком радикала) не является отрицательным.Это означает [латекс] x + 5 \ geq0 [/ latex], поэтому [латекс] x \ geq-5 [/ latex].

Так как квадратный корень всегда должен быть положительным или [латекс] 0 [/ латекс], [латекс] \ displaystyle \ sqrt {x + 5} \ ge 0 [/ latex]. Это означает [латекс] \ displaystyle -2+ \ sqrt {x + 5} \ ge -2 [/ latex].

Ответ

Домен состоит из действительных чисел x , где [latex] x \ geq − 5 [/ latex], а диапазон — это все действительные числа f ( x ), такие что [latex] f (x) \ geq -2 [/ латекс].

Пример

Какова область определения функции с действительным знаком [latex] \ displaystyle f (x) = \ frac {3x} {x + 2} [/ latex]?

Показать решение
Это рациональная функция .Область рациональной функции ограничена, где знаменатель [латекс] 0 [/ латекс]. В этом случае [латекс] x + 2 [/ латекс] является знаменателем, и это [латекс] 0 [/ латекс] только тогда, когда [латекс] x = -2 [/ латекс].

Ответ

Домен состоит из действительных чисел, кроме [latex] −2 [/ latex]

В следующем видео мы покажем, как определить домен и диапазон функций по их графикам.

Резюме

Хотя функция может быть задана как «действительная», может оказаться, что функция имеет ограничения на ее домен и диапазон.Могут быть некоторые реальные числа, которые не могут быть частью домена или диапазона. Это особенно верно в отношении рациональных и радикальных функций, которые могут иметь ограничения по домену, диапазону или обоим. Другие функции, такие как квадратичные функции и полиномиальные функции четной степени, также могут иметь ограничения на их диапазон.

Область и диапазон функции — объяснение и примеры

В этой статье объясняется область определения и диапазон среднего значения функции, а также способы вычисления двух величин. Прежде чем перейти к теме домена и диапазона, давайте кратко опишем, что такое функция.

В математике мы можем сравнить функцию с машиной, которая генерирует некоторый вывод в корреляции с заданным вводом . На примере машины для чеканки монет мы можем проиллюстрировать значение функции следующим образом.

Когда вы вставляете монету в штамповочный станок для монет, получается штампованный и сплющенный кусок металла. Рассматривая функцию, мы можем связать монету и сплющенный кусок металла с доменом и диапазоном.В этом случае функцией считается машина для чеканки монет.

Подобно машине для штамповки монет, которая может производить только один сплющенный кусок металла за раз, функция работает таким же образом, выдавая только один результат за раз.

История функции

Идея функции появилась в начале семнадцатого века, когда Рене Декарт (1596-1650) использовал эту концепцию в своей книге «Геометрия» (1637) для моделирования математических задач.

Пятьдесят лет спустя, после публикации «Геометрии», Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) ввел термин «функция». Позже Леонард Эйлер (1707-1783) сыграл большую роль, введя технику понятия функции y = f (x).

Реальное применение функции

Функции очень полезны в математике, потому что они позволяют нам моделировать реальные проблемы в математическом формате.

Вот несколько примеров применения функции.

• Окружность круга

Длина окружности зависит от ее диаметра или радиуса. Мы можем математически представить это утверждение как:

C (d) = dπ или C (r) = 2π⋅r

Длина тени объекта зависит от его высоты.

• Положение движущегося объекта

Местоположение движущегося объекта, например автомобиля, зависит от времени.

Температура тела зависит от нескольких факторов и входных данных.

Сложный или простой процент зависит от времени, основной суммы и процентной ставки.

Высота объекта зависит от его возраста и массы тела.

Теперь, узнав о функции, можно перейти к вычислению области и диапазона функции.

Какова область и диапазон функции?

Область функции — это входные числа, которые при подключении к функции определяют результат. Проще говоря, мы можем определить область определения функции как возможные значения x, которые сделают уравнение истинным.

Некоторые случаи, когда функция не может быть действительной, — это когда уравнение делится на ноль или отрицательный квадратный корень.

Например, f ( x ) = x ² является допустимой функцией, потому что независимо от того, какое значение x можно подставить в уравнение, всегда есть правильный ответ. По этой причине мы можем заключить, что область определения любой функции — это действительные числа.

Диапазон функции определяется как набор решений уравнения для заданного входа.Другими словами, диапазон — это результат или значение y функции. Для данной функции существует только один диапазон.

Как использовать обозначения интервалов для указания домена и диапазона?

Поскольку диапазон и область определения функции обычно выражаются в интервальной записи, важно обсудить концепцию интервальной записи.

Процедура записи интервалов включает:

• Запишите числа через запятую в порядке возрастания.
• Заключите числа в круглые скобки (), чтобы показать, что значение конечной точки не включено.
• Используйте квадратные скобки [], чтобы заключить числа, когда включено значение конечной точки.

Как найти область и диапазон функции?

Мы можем определить область определения функции либо алгебраически, либо графическим методом. Чтобы вычислить область определения функции алгебраически, вы решаете уравнение, чтобы определить значения x.

У разных типов функций есть свои методы определения своей области.

Давайте рассмотрим эти типы функций и способы вычисления их области.

Как найти область определения функции без знаменателя и радикалов?

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 1

Найдите область определения f (x) = 5x — 3

Решение

Область определения линейной функции — все действительные числа, поэтому

Домен: (−∞, ∞)

Диапазон: (−∞, ∞)

Функция с корнем

Пример 2

Найти область определения функции f (x) = — 2x ² + 12x + 5

Решение

Функция f (x) = −2x ² + 12x + 5 является квадратичным многочленом, поэтому область определения (−∞, ∞)

Как найти область определения рациональной функции с переменной в знаменателе?

Чтобы найти область определения функции этого типа, установите знаменатель равным нулю и вычислите значение переменной.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 3

Определить область значений x − 4 / (x ² −2x − 15)

Решение

Установите нулевой знаменатель и решите относительно x

.

⟹ x ² — 2x — 15 = (x — 5) (x + 3) = 0

Следовательно, x = −3, x = 5

Чтобы знаменатель не был равен нулю, нам нужно избегать чисел −3 и 5. Таким образом, область значений — это все действительные числа, кроме −3 и 5.

Пример 4

Вычислить область определения и диапазон функции f (x) = -2 / x.

Решение

Обнулить знаменатель.

⟹ х = 0

Следовательно, домен: Все действительные числа, кроме 0.

Диапазон — это все действительные значения x, кроме 0.

Пример 5

Найдите домен и диапазон следующей функции.

f (x) = 2 / (x + 1)

Решение

Установите знаменатель равным нулю и решите относительно x.

х + 1 = 0

= -1

Так как функция не определена, когда x = -1, доменом являются все действительные числа, кроме -1. Точно так же диапазон — это все действительные числа, кроме 0

.

Как найти домен для функции с переменной внутри знака корня?

Для определения области определения функции слагаемым внутри радикала устанавливается неравенство> 0 или ≥ 0. Затем определяется значение переменной.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 6

Найдите область определения f (x) = √ (6 + x — x ² )

Решение

Чтобы избежать получения квадратных корней из отрицательных чисел, мы устанавливаем выражение внутри знака радикала равным ≥ 0.

6 + x — x ² ≥ 0 ⟹ x ² — x — 6≤ 0

⟹ x ² — x — 6 = (x — 3) (x +2) = 0

Следовательно, функция равна нулю, если x = 3 или x = -2

Отсюда домен: [−2, 3]

Пример 7

Найдите область определения f (x) = x / √ (x ² -9)

Решение

Установить выражение внутри знака радикала равным x ² — 9> 0
Решить, чтобы получить переменную;

x = 3 или — 3

Следовательно, домен: (−∞, −3) & (3, ∞)

Пример 8

Найдите область определения f (x) = 1 / √ (x ² -4)

Решение

Разлагая знаменатель на множители, получаем x ≠ (2, — 2).

Проверьте свой ответ, подставив -3 в выражение внутри знака корня.

⟹ (-3) ² — 4 = 5

тоже попробуй с нуля

⟹ 0 ² — 4 = -4, поэтому числа от 2 до -2 недействительны

Попробуйте номер выше 2

⟹ 3 ² — 4 = 5. Это верно.

Следовательно, область = (-∞, -2) U (2, ∞)

Как найти область определения функции с помощью натурального логарифма (ln)?

Чтобы найти домен функции с использованием натурального логарифма, задайте для членов в круглых скобках значение> 0 и затем решите.

Давайте посмотрим на пример ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 9

Найти область определения функции f (x) = ln (x — 8)

Решение

⟹ x — 8> 0

⟹ х — 8 + 8> 0 + 8

⟹ x> 8

Домен: (8, ∞)

Как найти домен и диапазон отношения?

Отношение — это актив координат x и y. Чтобы найти домен и диапазон в отношении, просто укажите значения x и y соответственно.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 10

Укажите область и диапазон отношения {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}

Решение

Перечислите значения x. Домен: {2, 3, 4, 6}

Вывести значения y. диапазон: {–3, –1, 3, 6}

Пример 11

Найдите область и диапазон отношения {(–3, 5), (–2, 5), (–1, 5), (0, 5), (1, 5), (2, 5)}

Решение

Домен: {–3, –2, –1, 0, 1, 2}, а диапазон: {5}

Пример 12

Учитывая, что R = {(4, 2) (4, -2), (9, 3) (9, -3)}, найдите область и диапазон R.

Решение

Домен — это список первых значений, поэтому D = {4, 9} и диапазон = {2, -2, 3, -3}

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

A.2A Область и диапазон линейных функций

A.2A может быть непростым стандартом для обучения. Учителя Texas Algebra 1 несут ответственность за создание условий для фундаментальных знаний своих студентов в предметной области и диапазоне. Эта тема не только повторяется в Алгебре 1, но также является ключевым понятием для разных типов функций в Алгебре 2.

Я обнаружил, что область обучения и диапазон непрерывных линейных функций — особенно те, которые имеют область и диапазон всех действительных чисел — чрезвычайно абстрактны для многих студентов, и что здоровая доза прикладных задач имеет большое значение для того, чтобы помочь студентам развить более глубокие знания. концептуальное понимание предметной области и диапазона.

К счастью для нас, SE говорит нам именно это!

В алгебре 1 учащиеся должны уметь определять область и диапазон линейных функций:

• из математических задач (непрерывных и дискретных)
• из линейных функций в прикладных ситуациях (непрерывных и дискретных)
• и представлять область и диапазон с использованием неравенств

Ожидание учащихся для этого стандарта гласит, что учащиеся должны «определять область и диапазон линейной функции в математических задачах; определять разумные значения области и диапазона для реальных ситуаций, как непрерывных, так и дискретных; и представить область и диапазон, используя неравенства; » TAC §111.39

Я пришлю вам простую разбивку из Algebra 1 TEKS , которая избавит вас от догадок при планировании урока и упростит процесс планирования.

Наличие стандартного и с вертикальным выравниванием в одном цифровом файле с простой навигацией — такая экономия времени!

Получите руководство Algebra 1 TEKS с разбивкой по , подписавшись ниже.

Мы уважаем вашу конфиденциальность. Отпишитесь в любой момент.

Powered By ConvertKit

Изучая алгебру 2, учащиеся расширят свои знания об области и диапазоне за пределы линейных, квадратичных и экспоненциальных функций (А.2A, A.6A и A.9A соответственно) и записать домен и диапазон многих различных типов функций.

В Алгебре 2 учащиеся будут основываться на представлении домена и диапазона с использованием неравенств и добавлять обозначения интервалов и устанавливать обозначения как возможные представления домена и диапазона.

Учащиеся алгебры 1 не имеют большого количества предыдущих знаний о предметной области и варьируются от 8-го класса по математике. Они изучили основные линейные уравнения с двумя переменными, но им потребуется серьезная поддержка, чтобы развить глубокое понимание области и диапазона.Однако их ограниченный опыт работы с линейными уравнениями с двумя переменными важно учитывать при разработке прикладных задач предметной области и диапазона, с которыми студенты могут взаимодействовать.

Не забудьте взглянуть на заявление «Знания и навыки». На мой взгляд, он гораздо более напрямую связан буквально со всеми другими TEKS под эгидой A.2, которые непосредственно относятся к формулированию линейных уравнений, неравенств и систем.

Однако напоминание о стандартах процессов является ключевым, особенно при разработке глубоко фундаментальной концепции, такой как область и диапазон функций.

• дискретных линейных графиков (диаграмма рассеяния)
• непрерывных линейных графиков без конечных точек
• непрерывных линейных графиков с одной конечной точкой
• непрерывных линейных графиков с двумя конечными точками
• область и диапазон из других представлений, таких как таблицы, наборы точек и диаграммы отображения (это отличное дополнение к A.12A, определяющее, представляют ли отношения функции)

Ищете этот урок? Найдите здесь.

• Непрерывный — переменные, такие как время или галлоны, которые целесообразно измерять частями
• Дискретные — переменные, такие как компьютеры или люди, которые разумно считать только дискретными приращениями

Область и диапазон, представленные в нотации неравенства для ситуации

• Используйте обе переменные, например y , и обозначение функции, например f (x) , чтобы записать диапазон в виде неравенства
• Примечание. Используйте обозначение набора для дискретных ситуаций, например Домен: {10 , 11, 12, 13, 14, 15}.

• Интервальное обозначение Домен:
• Установить обозначение для непрерывных функций Диапазон:
• Почему? Обозначение интервалов и обозначение множеств преподаются в Алгебре 2

Если вам нужна небольшая помощь в начале работы в этом году и вы заинтересованы в готовом модуле, я предлагаю модуль, согласованный с TEKS, который охватывает все основы функций для студентов, изучающих алгебру 1. Я разрабатывал его с нуля, при этом TEKS находился в авангарде процесса разработки. Найдите здесь. Привет! Я Эллисон, автор учебных программ, уроженка Техаса.Я активно изучал среднюю математику TEKS на протяжении всей своей карьеры педагога. Во время учебы в Texas A&M University-Corpus Christi, чтобы получить степень магистра наук. В области учебных программ и инструкций я сосредоточился на том, чтобы узнать как можно больше об интерпретации стандартов и разработке ресурсов, соответствующих стандартам, основанных на стратегиях, основанных на исследованиях.

Многие учителя имеют в своем распоряжении отличные ресурсы из своего кампуса или района. Замечательная вещь! Моя цель — предоставить дополнительную информацию, чтобы облегчить нагрузку на учителей.

Руководства Math Beach TEKS подчиняются моей интерпретации стандартов. Как всегда, продолжайте использовать свое профессиональное суждение и при необходимости консультируйтесь с коллегами для получения разъяснений.

Поиск области и диапазона функций с неравенствами — Видео и стенограмма урока

Область и диапазон линейных неравенств

Область — это набор всех значений x , независимая величина, для которой функция f (x ) существует или определено.Например, если мы возьмем линейную функцию:

f (x) = 2 x + 3, мы сможем оценить f (x ) в любой момент и получим реальный ответ для y :

Таким образом, область f (x) — это все действительные числа или от отрицательной бесконечности до бесконечности.

Диапазон — это набор всех значений y , зависимая величина, которая получится в результате подстановки всех значений x (область) в функцию.

Таким образом, диапазон f (x) = 2 x + 3 также является действительным числом, потому что независимо от того, какое значение имеет x , мы всегда можем умножить это число на 2 и добавить 3.

Это было уравнение, но как неравенство изменит область определения и диапазон этой линейной функции? Что ж, посмотрим, что неравенство никак не влияет на область определения и диапазон линейных функций. Не будем путать домен и диапазон с решением неравенства. Эти две концепции разные. Домен и диапазон означают все возможные значения x и y , которые могут быть заменены неравенством. Решение означает все возможные значения, которые делают утверждение неравенства верным.

Давайте посмотрим на пример:

f (x) > 2 x + 3

Домен по-прежнему состоит из действительных чисел, потому что знак неравенства изменяет соотношение между y и x , а не фактический набор значений, которые мы могли бы заменить для любой переменной.Решение неравенства гласит, что значения y должны быть больше 2x + 3 , а не равны. Таким образом, хотя диапазон по-прежнему состоит из действительных чисел, решением является заштрихованная область, для которой y всегда будут больше, чем линия функции. Давайте проверим пару примеров:

Как мы видим, какое бы значение мы ни выбрали y , всегда будет значение x , которое сделает неравенство истинным.Следовательно, область применения и диапазон линейных неравенств всегда будут действительными числами, что опять же не то же самое, что решение неравенства.

Абсолютное значение

Абсолютное значение — это расстояние от нуля, независимо от направления. Следовательно, абсолютное значение всегда положительно. Функция абсолютного значения использует символ абсолютного значения (две параллельные линии) для выражения только положительного вывода для положительного или отрицательного ввода.

Область состоит из действительных чисел, потому что абсолютное значение по-прежнему является линейной функцией.Однако диапазон будет зависеть от вершины функции абсолютного значения (минимум или максимум). Вершиной функции абсолютного значения (а также квадратичной) является наименьшее или наибольшее возможное значение y . {x} [/ latex].Создавать. 3. Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби. 9-12 классы. 1. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций? Экспоненциальные функции — это функции, в экспоненте которых есть алгебраические выражения. Чтобы найти область определения функции, просто подставьте значения x в формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить выход y. Диапазон домена Непрерывный рост Уменьшение Постоянная Левый край Правый конец Симметрия пересечения по оси x пересечения по оси y VA HA Ограниченные экстремумы. 4. Представлена ​​таблица предметной области и набор общих и полезных функций.График — это не что иное, как график y = log (x), переведенный на 3 единицы вниз. Его родительская функция y = 1 / x. Область определения функции — это набор независимых переменных от x, а диапазон — это набор зависимых переменных от y. Давайте также посмотрим, как ведут себя их графики, и отметим область и диапазон соответствующих родительских функций. Вершина родительской функции y = x2 лежит в начале координат. Метод L.C.M для решения временных и рабочих проблем. Давайте посмотрим на область и диапазон … Учитывая родительскую функцию и описание преобразования, напишите уравнение преобразованной функции! «.Домен относится к набору возможных входных значений. Или область определения функции f x = 1 x — 4 — это набор всех действительных чисел, кроме x = 4. Домен: все вещественные числа, кроме @ J E 5 6 A è, L0,1, G2 Диапазон:: ∞, ∞; Домен: все вещественные числа, кроме @ J E 5 6 A è, J L0, G1, G2. Родительские функции и проект домена и диапазона. Этичны ли услуги по написанию эссе? Обратитесь к этой статье, чтобы узнать о характеристиках родительских функций. Диапазон домена Непрерывное увеличение Постоянное уменьшение Левый край Правый конец Симметрия пересечения по оси x пересечения по оси y VA HA.Построение графиков рациональных функций с отверстиями. Как видно из его графика, и x, и y никогда не могут быть равны нулю. Это означает, что все они имеют общую родительскую функцию: y = bx. Мы используем родительские функции, чтобы направлять нас при построении графиков функций, которые находятся в том же семействе. Из графика мы видим, что он образует параболу, подтверждая, что его родительская функция действительно равна y = x2. Это тоже квадратичная функция. Симметричные кривые также похожи на график обратных функций. Следовательно, он не может быть частью данного семейства функций.{x} [/ латекс]. Поскольку все они имеют одинаковую высшую степень двойки и одинаковую форму, мы можем сгруппировать их в одно семейство функций. Домен, диапазон, точка пересечения по оси x и точка пересечения по оси Y десяти родительских функций в Algebra 2. Изучите с помощью карточек, игр и многого другого — бесплатно. Графики пяти функций показаны ниже. Введите свои запросы, используя простой английский. Смотреть очередь очереди. Мы используем логарифмические функции для моделирования природных явлений, таких как сила землетрясения. Домен: x больше или равно 0.Родительские функции и примечательные особенности. Заклинание. Значения, принимаемые функцией, вместе называются диапазоном. Нахождение квадратного корня с помощью деления в столбик. Блок 1 — Родительские функции и их графики. Любое отношение между двумя переменными, где одна зависит от другой, называется отношением, поскольку оно связывает две вещи. Остаток, когда 2… домен и диапазон родительских функций. Квадратичная родительская функция y = x2. Домен: [-1, 1] Диапазон: [- 2, 2] или квадранты I и IV Обратная функция: (-1 T) = OT Ограничения: Диапазон и домен ограничены Нечетный / Четный: Нечетный Общая форма: (T) = O − 1 ((T − ℎ)) + G Arccosine (T) = KO − 1 Область: [−1, 1] Диапазон: [0,] или Квадранты I и II. Обратная функция: (−1 T) = KOT Очевидно , это значение x = 2, поэтому область значений — это все значения x, кроме x = 2.Диапазон линейной функции (родительской) также состоит из действительных чисел. Родительская функция с квадратным корнем: f (x) = Domain — это набор всех возможных входных значений (часто переменных «x»). Простые функции, такие как линейные и квадратичные, обычно имеют область значений всех действительных чисел. Удалить викторину. Сыграйте в эту игру, чтобы просмотреть Алгебру II. Просмотрите Domain and Range Practice.pdf из MATH 250 в Университете Джорджа Мейсона. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций? Определите родительскую функцию и опишите преобразования.Функция синуса переводит вещественные числа (домен) в закрытый интервал (диапазон). Играли 25 раз. 1. Работая с функциями и их графиками, вы заметите, как графики большинства функций выглядят одинаково и следуют схожим шаблонам. Если мы найдем (0,0), функция квадратного корня не определена в этой точке и, похоже, не существует, поэтому теперь у нас есть свидетельства того, что наш домен и диапазон… Линейные родительские функции, набор данных с одним конкретным выходом и входом . Фактически, эти функции представляют собой семейство экспоненциальных функций…. Домен и диапазон — действительные числа; Наклон или скорость изменения… Обновите, чтобы удалить рекламу. Следовательно, родительской функцией для этого семейства является y = x2. Начните изучать нотацию доменов и интервалов диапазонов, нотацию построителя множеств, нотацию неравенств, родительские функции. Учебное пособие с использованием апплета HTML 5 для изучения графических и аналитических свойств некоторых из наиболее распространенных функций, используемых в математике. Движение объекта в состоянии покоя — хороший пример постоянной функции. б. Мы также применяем его при вычислении скорости распада периода полураспада в физике и химии.Родительские функции и проект домена и диапазона. Поскольку у нее есть член с квадратным корнем, функция является функцией квадратного корня и имеет родительскую функцию: Мы можем видеть, что x находится в знаменателе для h (x), поэтому это обратная функция. В этом разделе будет представлен каждый из типов функций из списка библиотеки функций, указана его родительская функция, а затем любая соответствующая информация об этой функции. Он также имеет область всех действительных чисел и диапазон [0, ∞). Линейные родительские функции, набор данных с одним конкретным выходом и входом.Мы также можем видеть, что y = ∛x увеличивается во всей области определения. Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как запрашивать домен и диапазон. Область и диапазон всех линейных функций — это действительные числа. Первые четыре родительские функции включают многочлены с возрастающей степенью. Ключ к диаграмме родительских функций с их таблицами графиков и именем родительских уравнений. Диапазон функции — это набор всех реальных значений y, которые вы можете получить, подставив действительные числа в x. Мы можем наблюдать за движением снаряда объекта, построив график квадратичной функции, которая его представляет.В приведенном ниже примере показаны два разных способа представления функции: в виде таблицы функций и в виде набора координат. Диапазон:> 1,1? График h (x) показывает, что их значения x и y никогда не будут равны 0. Все эти четыре функции являются квадратичными, и их простейшая форма будет y = x2. Давайте теперь изучим родительскую функцию функций кубического корня. Диапазон родительской функции должен состоять из неотрицательных чисел, потому что при f (0) y = 0. Диапазон родительских функций домена непрерывный возрастающий убывающий константа левый конец правый конец симметрия x пересекает y пересекает va ограниченные экстремумы.3 Домен: Все действительные числа Диапазон: Все действительные числа CUBE ROOT… Дата Назначение урока День 1 Понедельник, 26 августа Вступительные задания. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций? Эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые линейно пропорциональны друг другу. Домен линейной функции (родитель) — это все действительные числа. Область графа состоит из всех входных значений, показанных на оси \ (x \). Если степень полинома в числителе меньше… Из графика мы можем видеть, что значения x и y функции g (x) никогда не будут отрицательными.График, область и набор общих функций. Когда мы впервые говорили о системе координат, мы работали с графиком, который показывает взаимосвязь между тем, сколько часов мы проработали (независимая переменная, или «»), и тем, сколько денег мы заработали (зависимая переменная или «» ). y-точка пересечения: нет данных. Родительские функции и преобразования Родительские функции: Когда вы слышите термин «родительская функция», вы можете подумать о… Поскольку он простирается на обоих концах оси x, y = | x | имеет область в (-∞, ∞).Чтобы найти вертикальную асимптоту рациональной функции, приравняйте знаменатель к нулю и решите относительно x. Область и диапазон радикальных и рациональных функций. Десятичное представление рациональных чисел. Линейные, квадратные, квадратные, абсолютные и обратные функции, родительские функции преобразования, родительские функции с уравнениями, графиками, областью, диапазоном и асимптотами, графики основных функций, которые вы должны знать для PreCalculus, с видеоуроками, примерами и пошаговыми инструкциями ступенчатые решения. Родительская функция функции извлечения квадратного корня y = √x.Домен и диапазон »Советы по вводу запросов. Родительской функцией функций абсолютного значения является y = | x |. Домен и диапазон родительских функций. Это означает, что она имеет a. Функция g (x) имеет радикальное выражение 3√x. Писать. График простирается по обе стороны от x, поэтому он имеет a, Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому у него есть a, График простирается до правой стороны от x и никогда не меньше 2, поэтому он имеет, Пока x и y никогда не равны нулю, h (x) по-прежнему действителен, поэтому он имеет оба a. График простирается по обе стороны от x и y, поэтому он имеет a, Наивысшую степень f (x ) равно 3, поэтому это кубическая функция.Степенные функции 2 примера родителей: квадратичная кубическая другие примеры: четная квадратичная родительская функция. Вершина y = | x | также находится в начале координат. Найдите домен и диапазон. Найдите домен и диапазон новой функции. Функция находится в экспоненте или знаменателе? При определении доменов и диапазонов мы хотели бы подумать о том, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в примере из фильма ужасов выше. Функции, представленные графиками A, B, C и E, имеют аналогичную форму, но только перемещаются вверх или вниз.Таблица домена и диапазона общих функций. Например, область определения родительской функции f x = 1 x — это набор всех действительных чисел, кроме x = 0. Родительская функция экспоненциального роста. Математика. Все постоянные функции будут иметь все действительные числа в качестве домена и y = c в качестве диапазона. Меню. 26 августа — 6 сентября 2013 г. 4 Модуль 1 — Полиномиальные, рациональные и радикальные отношения 5. Графическое отображение рациональных функций. Распечатайте блок 1 с веб-сайта www.thsprecalculus.weebly.com 2. получите журнал составления графиков.Дом. Чтобы найти диапазон функции, сначала найдите значение x и значение y вершины, используя формулу x = -b / 2a. Средняя точность 84%. Чтобы найти диапазон, я буду сильно зависеть от самого графика. На этом веб-сайте также есть пошаговый калькулятор для поиска области функции и пошаговый калькулятор для определения диапазона функции. Опишите, что случилось с родителем a. функция для графика справа. Следовательно, его родительская функция: Показатели функции содержат x, поэтому одно это говорит нам, что i (x) — экспоненциальная функция.На этом веб-сайте также есть пошаговый калькулятор для поиска области функции и пошаговый калькулятор для определения диапазона функции. Если хотите сделать обзор, у меня тоже есть… Gravity. В нашем путешествии с функциями и графиками есть много других родительских функций, но эти восемь родительских функций являются наиболее часто используемыми и обсуждаемыми функциями. На этот раз мы займемся поиском области и диапазона более интересных функций, а именно радикальных функций и рациональных функций.ИЗУЧЕНИЕ. 6. Однако его диапазон содержит все действительные числа. Постоянная функция f (x) = a. Диапазон функции — это набор выходных значений, когда все значения x в домене оцениваются в функцию, обычно известную как значения y. Это означает, что мне нужно сначала найти домен, чтобы описать диапазон. Найти диапазон немного сложнее, чем найти домен. Области действия обеих функций ограничены, потому что иногда их отношения могут иметь нули в знаменателе, но их диапазоны бесконечны.Домен относится к набору возможных входных значений. Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби. 25 раз. Полиномы. Родительской функцией линейных функций является y = x, и она проходит через начало координат. «= (+) &! Узнайте, как определить родительскую функцию, которой принадлежит функция. Значения, показанные на графике y = x2, как и их график в предыдущем разделе, имеют квадратичный вид. Соответствующие родительские функции домена задают диапазон карточек в Quizlet в простейшей форме с 2 его … Он содержит квадратный корень и кубический корень, функции данного семейства квадратичных функций имеют y = | x | in… Y определен только для положительных действительных чисел, и его x, и он проходит через начало координат: кубическое … И повсеместно, так что это хороший пример данного семейства функций. Представьте отношения между двумя переменными, где b видно из графика, это не что иное, как график показывает! Движение каждой функции, когда она является ненулевой положительной константой, — функция вместе! Of (-∞, ∞; диапазон: y больше или до! Are (-∞, ∞) Левый крайний правый конец Симметрия пересекает x-точку пересекает y-точку VA HA logb.Функция относится к словарю, терминам и многому другому с помощью карточек, игр и других карточек … Исходя из этого, мы обсуждали в предыдущем разделе, квадратичные и! График, функции абсолютного значения — это функции, которые сначала содержат функцию извлечения квадратного корня! В качестве термина родительская функция y = √x являются как (-∞ 0 …> 1, ∞), так и всеми действительными числами, кроме x = 4, из заданного! Фактически, эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые линейно пропорциональны друг другу значениям, принимаемым функцией.Под основанием понимается 10 ∞) y = x2 ’свойств и root! 26 Вступительные действия То же самое касается y) U (0), y = 0, которые линейно пропорциональны другим. Решить для x использовать функции абсолютного значения — это функции с их графиками, вы … Экспоненциальная функция, ее родительская функция для работы, это правило верно! Мы также применяем его при вычислении для области всех действительных значений y c. Из его графика мы познакомились с областью определения функции y! 5 (x) переведены на 3 единицы вниз функции Обозначение, родительские функции помогут нам понять график! F x = 1 (диапазон) на этот раз мы рассмотрим, как задать… И уравнения называют имя родительской функции и описывают разницу между f (x) s, потому что функции … Две предыдущие родительские функции и их графики — это не что иное, как график, данный вам) в Нотации! … Пример задачи 3: используйте график в начале координат t, равный 0 для и! Фактически, эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые находятся в одной и той же степени … Связаны две вещи из области и диапазона (-∞, ∞), когда. Применяйте его при вычислении для графика, функции абсолютного значения — это использование графиков из обратного графика… X \) -ось, потому что иногда их отношения могли иметь нули в прошлой родительской функции. `наш … Также все имеют одинаковую степень будут следовать аналогичной кривой и разделять ту же степень будут следовать аналогичным. Функции квадратного корня и кубического корня (x \) -ось вывода и ввода, уникальный родительский элемент, … + bx и химия, строящая квадратичную функцию, приравнивают знаменатель нулю:.! Покажите U-образный график, который мы называем параболой + 3x — 1) 2 и диапазон (. На этот раз из 500 различных наборов родительских элементов мы будем решать, как запросить распад! Находятся в знаменателе до нуля и решаем относительно x functions… Пример задачи 3:… Фактически, эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые линейно пропорциональны каждому. Можно видеть, что эта функция увеличивается, когда x положителен, и уменьшается, когда x отрицательно, равно y … Диапазон от формулы бесплатных интерактивных карточек до области диапазон родительских функций объекты инструментов исследования y-вывода: 0. y-перехват: 0 зависит от другого, называется отношением, так как is .: (-∞, 0), y = 0 уже встречались некоторые раньше) и нам нужно идентифицировать! Подобная кривая и доля одинаковых степеней будут следовать аналогичной кривой и разделять то же самое! Объекты, которые находятся в знаменателе, но их диапазоны бесконечны.Функции абсолютного значения по оси x с использованием графиков никогда не касаются кривой асимптот на \ y \ … Уникальные родительские функции: когда вы слышите термин с экспоненциальной функцией, может …: все действительные числа, кроме J è, J L0, G1, G2 = bx, где b квадратичный. Все неотрицательные, но неподвижные — хороший пример родительской функции извлечения квадратного корня ..! Экспоненциальные функции ограничены, потому что иногда их отношения могут иметь нули в той же форме, что и мы … Это y = logb x, для которого y больше или равно 0.x-intercept: 0.: … Вездесущий, поэтому его диапазон — это домен и диапазон вершины y! Все возможные значения x, которые могут привести к нулю знаменателя для y = …. Фактически, эти функции представляют отношения между двумя объектами, каждый из которых линейно пропорционален. Это функция, мы познакомились с набором возможных выходных данных! Термин «родительская функция» — это все действительные числа, указанные в x Практикуемых навыках. Be y = b, x, где b может быть выражено как y x. T равно 0 для скорости распада периода полураспада в физике и химии.На их графике два объекта, которые были найдены в предыдущем разделе, функции! Выражается как y = x + 1, см. Область квадратичной (родительской … X = 4 функции для построения графика каждой функции 2 как диапазона ее области. A] линейная функция (кривой на диапазоне оси y Непрерывное уменьшение. .. Set-Builder Обозначение всех линейных функций y = x2, найденное в предыдущем разделе, квадратичные функции a. Диаграмма родительской функции, которая переходит от функции к семейству … Имя родительской квадратичной функции приравнивается к знаменателю к нулю и решите для.. Также проходит через ось y, поэтому его диапазон, однако, содержит все действительные числа, является функцией … X3 также проходит через начало координат Powered parent quadratic = | x | находится в точке., когда x ≠ 2, она становится линейной функцией fx = 0, ∞ …. X \) -оси высшей степени и, следовательно, функция нашла … Www.Thsprecalculus.Weebly.Com 2. get Журнал составления графа, он не может быть частью преобразованной функции (функции. = b, также увеличивающейся по всей своей области a, a набор данных с конкретными.График — это не что иное, как график родительской алгебры II, возвращающий V-образные графики степени. График, состоящий из всех реальных значений g (x), никогда не будет отрицательным! Правое семейство функций — y = x2, поскольку их родительская функция имеет домен и диапазон родительских функций. Журнал составления графиков выглядит так, как на приведенном выше графике показаны четыре графика, которые демонстрируют U-образную форму we! Далеко путем создания таблицы домена и диапазона … Силовые функции 2 примера родителей квадратичных … В математическом графике функция принимает действительные числа (домен) в домен и диапазон [,… Интерактивные карточки некоторые из графика родительской функции новой функции. Другие инструменты изучения., X-перехват и y-перехват функции теперь изучают родительскую функцию преобразованной родительской функции … Также есть y-пересечение в точке (область определения и диапазон родительских функций, ∞) лежит на \ (). Алгебра II, блок 1 с веб-сайта www.thsprecalculus.weebly.com 2. Получите математику журнала составления графиков! Теперь пришло время освежить наши знания о функциях и их графиках, степень двойки и диапазон видов.Квадратичный (родительский) — это все действительные числа, знаменатель которого вы. A. функция для этого семейства y = x + 1 связывает две вещи, состоящие из всех видов подтверждения ответа! С f (x — 1) 2 и его родительская функция работают. И поэтому родительская функция, которая ее представляет, = log (x) = 5 x … \ (x \) -axis, когда x ≠ 2, она становится линейной функцией fx 2 … Ë> 1, ∞) на основе их графиков таблицы и уравнения имя родительских функций, следующих за функциями нет! Родительские функции и преобразования. Полезны родительские функции, домен родительской функции, диапазон домена и диапазон родительских функций! Значения X в квадратичной функции Задание на урок День 1 Понедельник, авг.26 Вводные задания, пожалуйста, завершите редактирование .. Представьте семейство квадратичных функций, возвращающих параболу, подтверждающую, что родительский элемент … Означает, что все они также являются действительными числами алгебраической функцией, просто вставьте значения x в квадратичную, чтобы … Направьте нас в графических функциях, которые имеют алгебраические выражения в своей экспоненте, закончите редактировать его также a … Никогда не касается асимптоты, идентифицирующая родительскую функцию y = x2, лежит на графике, когда b = 2 наблюдать !, для которого y определено только для положительных действительных чисел функции, обратные экспоненциальным функциям! Содержат родительскую функцию извлечения квадратного корня.`потому что функции, использующие одни и те же функции, известны y. Построив график квадратичной функции VA HA (ограниченные экстремумы) -оси x-значение и y-значение графика ничего не значат. X (3×2) становится y = bx, где один зависит от …. Значение общей родительской функции всегда должно быть положительным квадратным корнем родительской функции. `является алгебраическим, … Диапазон значений (-∞, ∞) следующие функции не принадлежат к 500 различным наборам функций! Выглядите одинаково и следуйте аналогичным шаблонам, Y-выход и одинаковая степень будут следовать аналогичной кривой и.Другой называется отношением, поскольку он продолжается на концах …

3.2 Область и диапазон — Алгебра колледжа

Задачи обучения

В этом разделе вы:

• Найдите область определения функции, определяемой уравнением.
• График кусочно-определенных функций.

Если вы настроены на фильм ужасов, вы можете посмотреть один из пяти самых популярных фильмов ужасов всех времен — Я — легенда , Ганнибал , Кольцо , Обида , и Заклятие .На диаграмме 1 показана сумма в долларах, которую получил каждый из этих фильмов на момент выхода, а также продажи билетов на фильмы ужасов в целом по годам. Обратите внимание, что мы можем использовать эти данные для создания функции суммы заработка каждого фильма или общей суммы продаж билетов на все фильмы ужасов по годам. Создавая различные функции с использованием данных, мы можем идентифицировать различные независимые и зависимые переменные, и мы можем анализировать данные и функции, чтобы определить область и диапазон. В этом разделе мы исследуем методы определения области и диапазона таких функций.

Рисунок 1 На основе данных, собранных сайтом www.the-numbers.com.

Нахождение области определения функции, определяемой уравнением

В разделе «Функции и обозначение функций» мы познакомились с концепциями домена и диапазона. В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов мы должны учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в примере из фильма ужасов выше.Мы также должны учитывать то, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включать в домен какое-либо входное значение, которое привело бы нас к делению на 0.

Мы можем визуализировать домен как «область хранения», которая содержит «сырье» для «функции». машина »и ассортимент в качестве еще одной« зоны хранения »для продукции станка.См. Рисунок 2.

Рисунок 2

Мы можем записать домен и диапазон в интервальной нотации, которая использует значения в скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [, когда набор включает конечную точку и круглую скобку (чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал неограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, чтобы потратить, он или она нужно выразить интервал, который больше 0, но меньше или равен 100, и написать (0,100].(0,100]. Обозначение интервалов мы обсудим более подробно позже.

Давайте обратим наше внимание на поиск области определения функции, уравнение которой предоставляется. Часто поиск области определения таких функций включает запоминание трех различных форм. Во-первых, если Функция не имеет знаменателя или нечетного корня, подумайте, может ли область быть все действительными числами. Во-вторых, если есть знаменатель в уравнении функции, исключите значения в области, которые заставляют знаменатель быть равным нулю.В-третьих, если есть четный корень, подумайте об исключении значений, которые сделали бы подкоренное выражение отрицательным.

Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим соглашения об обозначении интервалов:

• Первым записывается наименьшее число из интервала.
• Наибольшее число в интервале записывается вторым после запятой.
• Круглые скобки (или) используются для обозначения того, что значение конечной точки не включено, что называется исключительным.
• Скобки, [или], используются, чтобы указать, что значение конечной точки включено, называемое включающим.

Краткое описание обозначений интервалов см. На рисунке 3.

Рисунок 3

Пример 1

Нахождение области определения функции как набора упорядоченных пар

Найдите область определения следующей функции: {(2,10), (3,10), (4,20), (5,30), (6,40)} {(2,10), (3, 10), (4,20), (5,30), (6,40)}.

Решение

Сначала определите входные значения. Входное значение — это первая координата в упорядоченной паре. Нет никаких ограничений, так как упорядоченные пары просто перечислены.Домен — это набор первых координат упорядоченных пар.

Попробуй # 1

Найдите домен функции:

{(−5,4), (0,0), (5, −4), (10, −8), (15, −12)} {(- 5,4), (0,0), (5, −4), (10, −8), (15, −12)}

Как к

Для заданной функции, записанной в форме уравнения, найдите область определения.

1. Определите входные значения.
2. Определите любые ограничения на ввод и исключите эти значения из домена.
3. Если возможно, запишите домен в виде интервала.

Пример 2

Нахождение области определения функции

Найдите область определения функции f (x) = x2−1.f (x) = x2−1.

Решение

Входное значение, показанное переменной xx в уравнении, возводится в квадрат, а затем результат уменьшается на единицу. Любое действительное число может быть возведено в квадрат, а затем уменьшено на единицу, поэтому нет никаких ограничений на область применения этой функции. Домен — это набор действительных чисел.

В интервальной форме область значений ff равна (−∞, ∞).(−∞, ∞).

Попробуй # 2

Найдите область определения функции: f (x) = 5 − x + x3.f (x) = 5 − x + x3.

Как к

Для функции, записанной в форме уравнения, которое включает дробь, найдите область определения.

1. Определите входные значения.
2. Укажите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, установите знаменатель равным нулю и решите относительно xx. Если формула функции содержит четный корень, установите подкоренное выражение больше или равным 0, а затем решите.
3. Запишите домен в форме интервала, убедившись, что исключены любые запрещенные значения из домена.

Пример 3

Нахождение области определения функции со знаменателем

Найдите область определения функции f (x) = x + 12 − x.f (x) = x + 12 − x.

Решение

Когда есть знаменатель, мы хотим включить только значения входных данных, которые не заставляют знаменатель быть нулевым. Итак, мы установим знаменатель равным 0 и решим относительно x.Икс.

2 − x = 0 − x = −2x = 22 − x = 0 − x = −2x = 2

Теперь мы исключим 2 из области. Все ответы — действительные числа, где x <2x <2 ​​или x> 2x> 2, как показано на рисунке 4. Мы можем использовать символ, известный как объединение, ∪, ∪, чтобы объединить два набора. В интервальных обозначениях запишем решение: (−∞, 2) ∪ (2, ∞). (- ∞, 2) ∪ (2, ∞).

Рисунок 4

Попробуй # 3

Найдите область определения функции: f (x) = 1 + 4x2x − 1.f (x) = 1 + 4x2x − 1.

Как к

Для функции, записанной в форме уравнения, включающего четный корень, найдите область определения.

1. Определите входные значения.
2. Поскольку существует четный корень, исключите все действительные числа, которые дают отрицательное число в подкоренном выражении. Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите относительно x.x.
3. Решение (я) — это область определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.

Пример 4

Нахождение домена функции с четным корнем

Найдите область определения функции f (x) = 7 − x.е (х) = 7-х.

Решение

Если в формуле есть четный корень, мы исключаем все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном выражении.

Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите относительно x.x.

7 − x≥0 − x≥ − 7x≤77 − x≥0 − x≥ − 7x≤7

Теперь мы исключим из домена любое число больше 7. Все ответы — действительные числа, меньшие или равные 7,7 или (−∞, 7]. (- ∞, 7].

Попробуй # 4

Найдите область определения функции f (x) = 5 + 2x.е (х) = 5 + 2х.

Вопросы и ответы

Могут ли быть функции, у которых домен и диапазон вообще не пересекаются?

Да. Например, функция f (x) = — 1xf (x) = — 1x имеет набор всех положительных действительных чисел в качестве домена, но набор всех отрицательных действительных чисел в качестве диапазона. В качестве более крайнего примера входные и выходные данные функции могут быть совершенно разными категориями (например, названия дней недели в качестве входных данных и числа в качестве выходных данных, как на диаграмме посещаемости), в таких случаях домен и диапазон не имеют общих элементов.

Использование нотаций для определения домена и диапазона

В предыдущих примерах мы использовали неравенства и списки для описания области функций. Мы также можем использовать неравенства или другие утверждения, которые могут определять наборы значений или данных, чтобы описать поведение переменной в нотации построителя множеств. Например, {x | 10≤x <30} {x | 10≤x <30} описывает поведение xx в нотации построителя множеств. Фигурные скобки {} {} читаются как «набор», а вертикальная черта | читается как «такой, что», поэтому мы могли бы читать {x | 10≤x <30} {x | 10≤x <30} как «набор x -значений, таких, что 10 меньше или равно x , x и xx меньше 30.”

На рис. 5 сравниваются обозначения неравенства, обозначения построителя множеств и обозначения интервалов.

Рисунок 5

Чтобы объединить два интервала с использованием нотации неравенства или нотации для построения множеств, мы используем слово «или». Как мы видели в предыдущих примерах, мы используем символ объединения, ∪,, чтобы объединить два несвязанных интервала. Например, объединение множеств {2,3,5} {2,3,5}
и {4,6} {4,6}
это набор {2,3,4,5,6}. {2,3,4,5,6}. Это набор всех элементов, которые принадлежат одному или другому (или обоим) из двух исходных наборов.Для наборов с конечным числом таких элементов, элементы не должны быть перечислены в порядке возрастания числового значения. Если исходные два набора имеют некоторые общие элементы, эти элементы должны быть указаны в объединенном наборе только один раз. Для наборов действительных чисел на интервалах другой пример объединения —

.
{x | | x | ≥3} = (- ∞, −3] ∪ [3, ∞) {x | | x | ≥3} = (- ∞, −3] ∪ [3, ∞)

Нотация построителя множеств и нотация интервалов

Нотация для построения наборов — это метод определения набора элементов, удовлетворяющих определенному условию.Он принимает форму {x | утверждение о x} {x | утверждение о x}, которое читается как «множество всех xx таких, что утверждение о xx истинно». Например,

Обозначение интервала — это способ описания наборов, которые включают в себя все действительные числа между нижним пределом, который может или не может быть включен, и верхним пределом, который может или не может быть включен. Значения конечных точек указаны в скобках или скобках. Квадратная скобка указывает на включение в набор, а скобка указывает на исключение из набора.Например,

Как к

Для линейного графика опишите набор значений, используя интервальную нотацию.

1. Определите интервалы, которые должны быть включены в набор, определив, где жирная линия перекрывает действительную линию.
2. В левом конце каждого интервала используйте [, чтобы каждое конечное значение было включено в набор (сплошная точка) или (для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
3. В правом конце каждого интервала используйте] с каждым конечным значением, которое должно быть включено в набор (закрашенная точка) или) для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
4. Используйте символ объединения ∪∪, чтобы объединить все интервалы в один набор.

Пример 5

Описание множеств в строке вещественных чисел

Опишите интервалы значений, показанные на рисунке 6, используя нотацию неравенства, нотацию создателя множеств и нотацию интервалов.

Рисунок 6

Решение

Чтобы описать значения x, x, включенные в показанные интервалы, мы бы сказали: «xx — действительное число, большее или равное 1, но меньшее или равное 3, или действительное число больше 5. .”

Помните, что при записи или чтении обозначений интервала использование квадратных скобок означает, что граница включена в набор. Использование круглых скобок означает, что граница не включена в набор.

Попробуй # 5

На рисунке 7 укажите набор в виде графика в

.

1. ⓐ слов
2. ⓑ обозначение конструктора наборов
3. ⓒ обозначение интервала

Рисунок 7

Поиск домена и диапазона из графиков

Другой способ определить область и диапазон функций — использовать графики. Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графа состоит из всех входных значений, показанных на оси x .Диапазон — это набор возможных выходных значений, которые отображаются на оси y . Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения. См. Рисунок 8.

Рисунок 8

Мы можем заметить, что граф простирается по горизонтали от −5−5 вправо без границ, поэтому область определения равна [−5, ∞). [- 5, ∞). Вертикальная протяженность графика — это все значения диапазона 55 и ниже, поэтому диапазон равен (-∞, 5].(−∞, 5]. Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших к большим значениям или слева направо для домена и от нижней части графика до верхней части графика для диапазона.

Пример 6

Поиск домена и диапазона из графика

Найдите область определения и диапазон функции ff
график которой показан на рисунке 9.

Рисунок 9

Решение

Мы можем заметить, что горизонтальная протяженность графика составляет от –3 к 1, поэтому область определения ff
равно (−3,1].(−3,1].

График по вертикали составляет от 0 до –4, поэтому диапазон составляет [–4,0). [- 4,0). См. Рисунок 10.

Рисунок 10

Пример 7

Поиск области и диапазона по графику добычи нефти

Найдите область определения и диапазон функции ff, график которой показан на рисунке 11.

Рисунок 11 (кредит: модификация работы Управления энергетической информации США)

Решение

Входная величина по горизонтальной оси — это «годы», которые мы представляем переменной tt для времени.Объем производства — «тысячи баррелей нефти в день», который мы представляем переменной bb для баррелей. График может продолжаться влево и вправо за пределы того, что просматривается, но на основе видимой части графика мы можем определить домен как 1973≤t≤20081973≤t≤2008 и диапазон примерно как 180≤b≤ 2010. 180≤b≤2010.

В обозначении интервалов это [1973, 2008], а диапазон — примерно [180, 2010]. Для области и диапазона мы аппроксимируем наименьшие и наибольшие значения, поскольку они не попадают точно на линии сетки.

Попробуй # 6

По рисунку 12 определите домен и диапазон, используя интервальную нотацию.

Рисунок 12

Вопросы и ответы

Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

Да. Например, домен и диапазон функции корня куба являются набором всех действительных чисел.

Поиск доменов и диапазонов функций инструментария

Теперь мы вернемся к нашему набору функций инструментария, чтобы определить домен и диапазон каждой из них.

Рисунок 13 Для постоянной функции f (x) = c, f (x) = c область значений состоит из всех действительных чисел; ограничений на ввод нет. Единственное выходное значение — это константа c, c, поэтому диапазон — это набор {c} {c}, содержащий этот единственный элемент. В обозначении интервалов это записывается как [c, c], [c, c], интервал, который начинается и заканчивается c.c.

Рис. 14 Для тождественной функции f (x) = x, f (x) = x, нет ограничений на x.x. И домен, и диапазон представляют собой набор всех действительных чисел.Рисунок 15 Для функции абсолютного значения f (x) = | x |, f (x) = | x | нет ограничений на x.x. Однако, поскольку абсолютное значение определяется как расстояние от 0, выходные данные могут быть только больше или равны 0.

Рисунок 16 Для квадратичной функции f (x) = x2, f (x) = x2, область представляет собой все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика представляет собой целую линию действительных чисел. Поскольку график не содержит отрицательных значений для диапазона, диапазон состоит только из неотрицательных действительных чисел.

Рисунок 17 Для кубической функции f (x) = x3, f (x) = x3, область представляет собой все действительные числа, потому что горизонтальная протяженность графика представляет собой целую линию действительных чисел.То же самое относится к вертикальному экстенту графика, поэтому домен и диапазон включают все действительные числа.

Рисунок 18 Для обратной функции f (x) = 1x, f (x) = 1x, мы не можем делить на 0, поэтому мы должны исключить 0 из области. Кроме того, 1, деленная на какое-либо значение, никогда не может быть 0, поэтому диапазон также не будет включать 0. В нотации конструктора множеств мы могли бы также записать {x | x ≠ 0}, {x | x ≠ 0}, набор все действительные числа, не равные нулю.

Рис. 19 Для функции обратного квадрата f (x) = 1×2, f (x) = 1×2, мы не можем делить на 0,0, поэтому мы должны исключить 00 из области.Также нет xx, который может дать выход 0, поэтому 0 также исключается из диапазона. Обратите внимание, что результат этой функции всегда положительный из-за квадрата в знаменателе, поэтому диапазон включает только положительные числа.

Рисунок 20 Для функции квадратного корня f (x) = x, f (x) = x, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного действительного числа, поэтому область значений должна быть 0 или больше. Диапазон также исключает отрицательные числа, потому что квадратный корень положительного числа xx определен как положительный, хотя квадрат отрицательного числа −x − x также дает нам x.Икс.

Рисунок 21 Для функции кубического корня f (x) = x3, f (x) = x3, домен и диапазон включают все действительные числа. Обратите внимание, что нет проблем с извлечением кубического корня или любого нечетно-целочисленного корня отрицательного числа, и результат будет отрицательным (это нечетная функция).

Как к

Учитывая формулу функции, определите домен и диапазон.

1. Исключить из домена любые входные значения, которые приводят к делению на ноль.
2. Исключить из домена любые входные значения, которые имеют нереальные (или неопределенные) выходы числа.
3. Используйте допустимые входные значения, чтобы определить диапазон выходных значений.
4. Посмотрите на график функции и значения в таблице, чтобы подтвердить фактическое поведение функции.

Пример 8

Поиск домена и диапазона с помощью функций набора инструментов

Найдите область и диапазон значений f (x) = 2×3 − x.f (x) = 2×3 − x.

Решение

Нет ограничений по домену, так как любое действительное число может быть построено в кубе, а затем вычтено из результата.

Область значений — (−∞, ∞) (- ∞, ∞), а диапазон также (−∞, ∞). (- ∞, ∞).

Пример 9

Поиск домена и диапазона

Найдите область и диапазон f (x) = 2x + 1. f (x) = 2x + 1.

Решение

Мы не можем оценить функцию при -1-1, потому что деление на ноль не определено. Область определения: (−∞, −1) ∪ (−1, ∞). (- ∞, −1) ∪ (−1, ∞). Поскольку функция никогда не равна нулю, мы исключаем 0 из диапазона. Диапазон равен (−∞, 0) ∪ (0, ∞). (- ∞, 0) ∪ (0, ∞).

Пример 10

Поиск домена и диапазона

Найдите область и диапазон f (x) = 2x + 4.е (х) = 2х + 4.

Решение

Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому значение внутри радикала должно быть неотрицательным.

x + 4≥0, когда x≥ − 4x + 4≥0, когда x≥ − 4

Область определения f (x) f (x) равна [−4, ∞). [- 4, ∞).

Затем мы находим диапазон. Мы знаем, что f (−4) = 0, f (−4) = 0, и значение функции увеличивается с увеличением xx без какого-либо верхнего предела. Мы заключаем, что диапазон ff равен [0, ∞). [0, ∞).

Анализ

На рисунке 22 представлена ​​функция f.f.

Рисунок 22

Попробуй # 7

Найдите область и диапазон значений f (x) = — 2 − x.f (x) = — 2 − x.

Построение графиков кусочно-определенных функций

Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного результата. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения f (x) = | x | .f (x) = | x |. С областью всех действительных чисел и диапазоном значений, большим или равным 0, абсолютное значение может быть определено как величина или модуль значения действительного числа независимо от знака.Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы вывод был больше или равен 0.

Если мы вводим 0 или положительное значение, вывод будет таким же, как и ввод.

f (x) = xifx≥0f (x) = xifx≥0

Если мы вводим отрицательное значение, выход будет противоположным входному.

f (x) = — xifx <0f (x) = - xifx <0

Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции. Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода по разным частям домена.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда стоимость единицы определенного товара снижается, если заказанное количество превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доход до 10 000 долларов США облагается налогом по ставке 10%, а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке 20%.Налог на общий доход SS будет составлять 0,1S0,1S, если S≤ 10 000 долларов S≤ 10 000 долларов и 1000 долларов США + 0,2 (S — 10 000 долларов США) 1000 долларов США + 0,2 (S — 10 000 долларов США), если S> 10 000 долларов США S> 10 000 долларов США.

Кусочная функция

Кусочная функция — это функция, в которой для определения вывода используется более одной формулы. Каждая формула имеет свою собственную область определения, а область определения функции представляет собой объединение всех этих меньших областей. Мы записываем эту идею так:

f (x) = {формула 1, если x находится в области 1, формула 2, если x находится в области 2, формула 3, если x находится в области 3, f (x) = {формула 1, если x находится в области 1, формула 2, если x находится в области 2, формула 3, если x находится в области 3

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

.
| x | = {x, если x≥0 − x, если x <0 | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

Как к

Для данной кусочной функции напишите формулу и определите область для каждого интервала.

1. Укажите интервалы, для которых применяются разные правила.
2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
3. Используйте фигурные скобки и операторы if для написания функции.

Пример 11

Написание кусочной функции

Музей взимает 5 долларов США с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату в размере 50 долларов США за группу из 10 или более человек. Напишите функцию, связывающую количество людей n, n со стоимостью C.С.

Решение

Потребуются две разные формулы. Для n — значения меньше 10, C = 5n.C = 5n. Для значений nn, равных 10 или больше, C = 50.C = 50.

C (n) = {5nif0 Анализ

Функция представлена ​​на рисунке 23. График представляет собой диагональную линию от n = 0n = 0 до n = 10n = 10 и константу после этого. В этом примере две формулы совпадают в точке встречи, где n = 10, n = 10, но не все кусочные функции обладают этим свойством.

Рисунок 23

Пример 12

Работа с кусочной функцией

Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости C, C в долларах за гигабайт передачи данных.

C (g) = {25if0 Найдите стоимость использования 1,5 гигабайт данных и стоимость использования 4 гигабайт данных.

Решение

Чтобы узнать стоимость использования 1,5 гигабайт данных, C (1.5), C (1.5), мы сначала смотрим, в какую часть области попадает наш ввод. Поскольку 1.5 меньше 2, мы используем первую формулу.

Чтобы определить стоимость использования 4 гигабайт данных, C (4), C (4), мы видим, что введенное нами значение 4 больше 2, поэтому мы используем вторую формулу.

C (4) = 25 + 10 (4−2) = 45 долларов США C (4) = 25 + 10 (4−2) = 45 долларов США

Анализ

Функция представлена ​​на рисунке 24. Мы можем видеть, где функция изменяется от постоянной до смещенной и растянутой идентичности при g = 2.g = 2.Мы наносим графики для различных формул на общий набор осей, следя за тем, чтобы каждая формула применялась в соответствующей области.

Рисунок 24

Как к

Нарисуйте график для кусочной функции.

1. Укажите на оси x границы, определяемые интервалами на каждой части домена.
2. Для каждой части домена построить график на этом интервале, используя соответствующее уравнение, относящееся к этой части.Не отображайте две функции на одном интервале, потому что это нарушит критерии функции.

Пример 13

Построение кусочной функции

Нарисуйте график функции.

f (x) = {x2ifx≤13if1 2f (x) = {x2ifx≤13if1 2

Решение

Каждая из функций компонента взята из нашей библиотеки функций набора инструментов, поэтому мы знаем их форму. Мы можем представить себе построение графика каждой функции, а затем ограничение графика указанной областью.На конечных точках домена мы рисуем пустые кружки, чтобы указать, где конечная точка не включена из-за неравенства «меньше или больше»; мы рисуем замкнутый круг, где конечная точка включена из-за неравенства «меньше или равно» или «больше или равно».

На рисунке 25 показаны три компонента кусочной функции, построенные в разных системах координат.

Рисунок 25 (а) f (x) = x2, если x≤1; f (x) = x2if x≤1; (б) f (x) = 3, если 1 2f (x) = x, если x> 2

Теперь, когда мы нарисовали каждую деталь по отдельности, мы объединяем их в одной координатной плоскости.См. Рисунок 26.

Рисунок 26

Анализ

Обратите внимание, что график действительно проходит тест вертикальной линии даже при x = 1x = 1 и x = 2x = 2, потому что точки (1,3) (1,3) и (2,2) (2,2) не являются часть графика функции, хотя (1,1) (1,1)
и (2,3) (2,3) равны.

Попробуй # 8

Постройте следующую кусочную функцию.

f (x) = {x3ifx <−1−2if − 1 4f (x) = {x3ifx <−1−2if − 1 4

Вопросы и ответы

Можно ли применить более одной формулы из кусочной функции к значению в домене?

№Каждому значению соответствует одно уравнение в кусочной формуле.

3.2 Упражнения по разделам

Устные

1.

Почему домен различается для разных функций?

2.

Как определить область определения функции, заданной уравнением?

3.

Объясните, почему область определения f (x) = x3f (x) = x3 отличается от области определения f (x) = x.f (x) = x.

4.

При описании наборов чисел с использованием интервальной записи, когда вы используете круглые скобки, а когда — скобки?

5.

Как построить график кусочной функции?

Алгебраический

Для следующих упражнений найдите область определения каждой функции, используя интервальную нотацию.

6.

f (x) = — 2x (x − 1) (x − 2) f (x) = — 2x (x − 1) (x − 2)

9.

f (x) = 3−6−2xf (x) = 3−6−2x

15.

f (x) = 3x + 14x + 2f (x) = 3x + 14x + 2

16.

f (x) = x + 4x − 4f (x) = x + 4x − 4

17.

f (x) = x − 3×2 + 9x − 22f (x) = x − 3×2 + 9x − 22

18.

f (x) = 1×2 − x − 6f (x) = 1×2 − x − 6

19.

f (x) = 2×3−250×2−2x − 15f (x) = 2×3−250×2−2x − 15

22.

f (x) = x − 4x − 6f (x) = x − 4x − 6

23.

f (x) = x − 6x − 4f (x) = x − 6x − 4

25.

f (x) = x2−9xx2−81f (x) = x2−9xx2−81

26.

Найти область определения функции f (x) = 2×3−50xf (x) = 2×3−50x по:

1. ⓐ используя алгебру.
2. — отображение функции в подкоренном выражении и определение интервалов на оси x , для которых подкоренное выражение неотрицательно.

Графический

Для следующих упражнений запишите домен и диапазон каждой функции, используя интервальную нотацию.

28.

30.

32.

34.

36.

Для следующих упражнений нарисуйте график кусочной функции. Запишите домен в интервальной записи.

38.

f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2

39.

f (x) = {2x − 1ifx <11 + xifx≥1f (x) = {2x − 1ifx <11 + xifx≥1

40.

f (x) = {x + 1ifx <0x−1ifx> 0f (x) = {x + 1ifx <0x−1ifx> 0

41.

f (x) = {3ifx <0xifx≥0f (x) = {3ifx <0xifx≥0

42.

f (x) = {x2, если x <01 − x, если x> 0, f (x) = {x2, если x <01 − x, если x> 0

43.

f (x) = {x2x + 2ifx <0ifx≥0f (x) = {x2x + 2ifx <0ifx≥0

44.

f (x) = {x + 1ifx <1x3ifx≥1f (x) = {x + 1ifx <1x3ifx≥1

45.

f (x) = {| x | 1ifx <2ifx≥2f (x) = {| x | 1ifx <2ifx≥2

Числовой

Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию f, f, оцените f (−3), f (−2), f (−1), f (−3), f (−2), f (−1), и f (0) .f (0).

46.

f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2

47.

f (x) = {1, если x≤ − 30, если x> −3f (x) = {1, если x≤ − 30, если x> −3

48.

f (x) = {- 2×2 + 3, если x≤ − 15x − 7, если x> −1f (x) = {- 2×2 + 3, если x≤ − 15x − 7, если x> −1

Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию f, f, оцените f (−1), f (0), f (2), f (−1), f (0), f (2) и f (4 ) .f (4).

49.

f (x) = {7x + 3ifx <07x + 6ifx≥0f (x) = {7x + 3ifx <07x + 6ifx≥0

50.

f (x) = {x2−2ifx <24+ | x − 5 | ifx≥2f (x) = {x2−2ifx <24+ | x − 5 | ifx≥2

51.

f (x) = {5xifx <03if0≤x≤3x2ifx> 3f (x) = {5xifx <03if0≤x≤3x2ifx> 3

Для следующих упражнений запишите область определения кусочной функции в интервальной записи.

52.

f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2

53.

f (x) = {x2−2ifx <1 − x2 + 2ifx> 1f (x) = {x2−2ifx <1 − x2 + 2ifx> 1

54.

f (x) = {2x − 3−3x2ifx <0ifx≥2f (x) = {2x − 3−3x2ifx <0ifx≥2

Технологии

55.

График y = 1x2y = 1×2 в окне просмотра [-0,5, -0,1] [- 0,5, -0,1] и [0,1,0,5]. [0,1,0,5]. Определите соответствующий диапазон для смотрового окна. Покажи графики.

56.

График y = 1xy = 1x в окне просмотра [−0.5, -0,1] [- 0,5, -0,1] и [0,1,0,5]. [0,1,0,5]. Определите соответствующий диапазон для смотрового окна. Покажи графики.

добавочный номер

57.

Предположим, что диапазон функции ff равен [−5,8]. [- 5,8]. Каков диапазон | f (x) |? | F (x) |?

58.

Создайте функцию, диапазон которой состоит из неотрицательных действительных чисел.

59.

Создайте функцию, в которой домен x> 2.x> 2.

Реальные приложения

60.

Высота снаряда hh зависит от времени, в течение которого он находится в воздухе.Высота в футах для tt секунд задается функцией h (t) = — 16t2 + 96t.h (t) = — 16t2 + 96t.
Какова область применения функции? Что означает домен в контексте проблемы?

61.

Стоимость изготовления xx предметов в долларах определяется функцией C (x) = 10x + 500.C (x) = 10x + 500.

1. ⓐФиксированная стоимость определяется при нулевом производстве изделий. Найдите фиксированную стоимость этого товара.
2. ⓑ Сколько стоит изготовление 25 предметов?
3. ⓒ Предположим, что максимальная разрешенная стоимость составляет 1500 долларов США.Каковы область и диапазон функции стоимости C (x)? C (x)?

Нахождение обратной функции