2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов — это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ — первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов

• Вынос константы из под знака интеграла: $$ $$ $$ \int Cg(x) dx = C\int g(x) dx $$
• Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
• Изменение направления интегрирования: $$ \int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
• Разбиение отрезка интегрирования: $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ $$ c \in (a,b) $$

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

1. Узнаем определенный интеграл или нет. 4}{4}+\sqrt{x} + C $$

   Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

   Гамма-функция - интуиция, определение, примеры

   Почему это интересно?

   Многие распределения вероятностей определяются с использованием гамма-функции, я перечислю лишь некоторые: гамма-распределение, бета-распределение, распределение Дирихле, распределение хи-квадрат, т-распределение Стьюдента и так далее. 

   Для специалистов по данным или инженеров и исследователей машинного обучения гамма-функция, вероятно, одна из наиболее широко используемых функций, потому что она участвует во множестве распределений. Эти распределения затем используются для генеративных статистических моделей (например, латентного размещения Дирихле), стохастических процессов (таких как модели очередей), байесовском выводе и вариационном выводе. Если вы уже хорошо понимаете гамма-функцию, вы сможете лучше понять множество приложений, в которых она появляется! 

   1. Зачем нам нужна гамма-функция? 

   Потому что мы хотим генерализовать факториал! 

   Функция факториала определена только для дискретных точек (для положительных целых чисел — черные точки на графике выше), но мы хотим соединить черные точки. Мы хотим распространить функцию факториала на все комплексные числа. Простую формулу факториала, x! = 1 * 2 * … * x, нельзя использовать непосредственно для дробных значений, потому что она верна только для целых чисел.

   Тогда математики стали искать…

   “Какие функции плавно соединяют эти точки и предоставляют нам факториалы всех действительных чисел?”

   Однако они не могли найти “конечные” комбинации сумм, произведений, степеней, экспонент и логарифмов, которые могли бы выразить x! для действительных чисел, пока…

   2.

   Эйлер в XVIII веке нашел гамма-функцию 

   Формула выше используется для нахождения значения гамма-функции любого действительного значения z.

   Мы хотим вычислить Γ(4.8). Как решить интеграл выше?
   Сможете вычислить вручную? Может быть, по частям? 

   Для меня (и многих других) пока не существует простого и быстрого способа вычислить гамма-функцию дробей вручную (Если вам интересно решить вручную, вот хорошая стартовая точка).

   Ладно, забудьте о том, чтобы сделать это аналитически. Вы сможете вычислить этот интеграл от 0 до бесконечности программным способом, добавляя член бесконечное число раз?

   Есть несколько способов вычисления. Два из наиболее используемых решений — это формула Стирлинга и приближение Ланцоша.

   Для фанатов вычислений: код для гамма-функции (в основном приближение Ланцоша) на более чем 60 языках - C, C++, C#, python, java, etc.

   Давайте вычислим Γ(4. 8), используя готовый калькулятор.

   Мы получим 17.837.

   17.837 находится между 3!(= Γ(4) = 6) и 4!(= Γ(5) = 24) — как мы и ожидали.

   Когда z — натуральное число, Γ(z) =(z-1)! Скоро мы это докажем.

   В отличие от факториала, который принимает только положительные целые числа, мы можем подставлять в z любые действительные или комплексные числа, в том числе и отрицательные. Гамма-функция соединяет черные точки и плавно рисует кривую. 

   Уточнение: мы интегрируем по x (НЕ по z) от 0 до бесконечности. 
    • x - вспомогательная переменная, которую мы интегрируем.
   • Мы НЕ подставляем 4.8 в x. Мы подставляем 4.8 в z. 

   3. Как гамма-функция может интерполировать функцию факториала?

   Если вы посмотрите на гамма-функцию, вы заметите две вещи. -x

   Давайте рассмотрим случай Γ(4.8).

   Зеленая область под графиком со значениями от 0 до бесконечности — Γ(4.8) = 3.8!

   Для создания красивого графика выше использовался код Python. Постройте такой график сами и увидите, как z меняет форму гамма-функции! 

   ########################
   # f(x) = exp(-x) graph #
   ########################
   
   import matplotlib.pyplot as plt
   import numpy as np
   
   # Задаем x и y
   x = np.linspace(-2, 20, 100)
   y = np.exp(-x)
   
   # Создаем график
   fig, ax = plt.subplots()
   plt.plot(x, y, label='f(x) = exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')
   
   # Делаем x=0, а y=0 толще
   ax.set_aspect('equal')
   ax.grid(True, which='both')
   ax.axhline(y=0, color='k')
   ax.axvline(x=0, color='k')
   
   # Добавляем заголовок
   plt.title('f(x) = exp(-x)', fontsize=20)
   
   # Добавляем метки X и y
   plt.xlabel('x', fontsize=16)
   plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)
   
   # Добавляем шкалу
   plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')
   
   # Показываем график
   plt. z
   Красивое доказательство!
   Свойство 2. 
   
   Если n - положительное целое число 
   
   Γ(n) = (n-1)!
   Докажем это, используя свойство 1:
   Каково значение Γ(1)?
   Таким образом, Γ(n) = (n-1)!
   Можно также увидеть выражение Γ(n+1) = n! вместо 
   Γ(n) = (n-1)!.
   
   Просто чтобы сделать правую часть n! вместо (n-1)! 
   Все, что мы сделали, это уменьшили n на 1.
   6. Используя свойство гамма-функции, покажем, что плотность вероятности гамма-распределения интегрируется к 1.
   Вот доказательство:
   Для фанатов доказательств: давайте докажем фрагмент выше, выделенный красным.
   Интегрируем методом подстановки. 
   Снова красиво доказано!
   Несколько замечаний: 
   Возраст гамма-функции. 
   Она весьма стара, ей около 300 лет (работаете ли вы сейчас над чем-то, что будет использоваться 300 лет спустя? 😉
   Интересное примечание: Эйлер ослеп в 64 года, однако больше половины своих работ он написал уже после потери зрения.  
   2. Несколько интересных значений в точках: 
   Γ(1/2) = sqrt(?)
   
   Множество интересных способов показать это:
   https://math.stackexchange.com/questions/215352/why-is-gamma-left-frac12-right-sqrt-pi
   
   Γ(-1/2) = -2 * sqrt(?)
   
   Γ(-1) = Γ(-2) = Γ(-3) = infinity ∞
   Сможете доказать? 
   3. Вот быстрый обзор графиков гамма-функций действительных чисел:
   Гамма-функция Γ(z) нарисована синим, Γ(z) + sin(πz) — зеленым. (Заметьте, пересечение в области положительных целых чисел, потому что sin(πz) равен нулю!) Обе являются истинными аналитическими продолжениями факториалов до нецелых чисел. 
   4. Гамма-функция также появляется в формуле объема n-мерного шара.
   Читайте также:
   Перевод статьи Aerin Kim: Gamma Function — Intuition, Derivation, and Examples
   Киноизображение для «чайников» - Искусство кино
   Дмитрий Долинин — один из ярчайших представителей петербургской операторской школы. К ней принадлежат такие выдающиеся мастера, как Яков Гарданов, Андрей Москвин, Дмитрий Месхиев и другие.
   
   Что такое петербургская школа? Она отличается от московской не только изобразительно, но и своеобразием самих профессионалов. Классические петербургские операторы — наиболее интеллигентные, начитанные и серьезные люди. Нельзя сказать, что москвичи люди несерьезные, но все-таки ленинградских операторов всегда отличала поразительная интеллигентность и интеллектуальность. Присущи они и Долинину, которого мы все называем ласкательно — Митей. Питерцы и говорят по-другому, у них еще остался старый русский язык. В Москве же мы говорим короче, быстрее и громче.
   
   Митя как оператор снял много замечательных фильмов. Из первых и очень известных его картин — «В огне брода нет» Глеба Панфилова, потом он снял панфиловское «Начало». Много работал Долинин и с Ильей Авербахом. Конечно, поработав с такими крупными, интереснейшими режиссерами, оператор привыкает к соответствующему уровню творческих задач. Но Панфилов уехал в Москву, а Авербах, к несчастью, ушел из жизни, и получилось, что ни работать, ни дружить Мите Долинину стало не с кем.
   
   Российской кинематографической школе свойственна ситуация, при которой оператор не только исполнитель, но как бы и соавтор режиссера, а значит, товарищ и друг. Может быть, от одиночества Мите пришлось уйти в режиссуру. Насколько удачным или неудачным был этот шаг, судить зрителю, а не мне. У меня своя точка зрения на операторов в режиссуре — в принципе. Я считаю, что это совершенно разные профессии. Но что касается Долинина, то он, по крайней мере, имел право на режиссуру в силу своего интеллектуального склада и высочайшей культуры.
   
   Человек Митя замечательный, обаятельный, прелестный, с ним общаться легко, просто. Мы с ним довольно близки, дружим лет двадцать, но я могу назвать себя и его учеником, хотя мы почти одного возраста. Я только начинал, когда он уже снял первые панфиловские фильмы. Дебютировал я на картине «Ангел» Андрея Смирнова, которая снималась на «Ленфильме», и мечтал познакомиться с Долининым. Конечно, познакомился и подружился. Одно время у нас была такая соревновательная и стимулирующая игра — кто лучше снимет? Конечно, мы не расстраивались, а радовались тому, что удалось, и учились друг у друга.
   
   Теперь о рукописи. Местами она, несмотря на заголовок, кажется излишне интеллектуальной — не для всякого, кто хочет постичь азы операторской профессии. Надо быть достаточно начитанным человеком, чтобы усвоить этот текст и оценить содержательность и уместность цитат. И все-таки для начинающих кинематогафистов, а также «чайников»-любителей, стремящихся достичь определенного изобразительного качества в своих многочисленных (с развитием видео) операторских опытах, это будет очень полезное чтение. Тем более что написано замечательно и достаточно подробно, разве что коротковато для полного курса мастерства. Если человек заинтересуется и прочтет также книжки, которыми Митя оперирует, то профессиональный кругозор окажется совсем близок к искомому. Хотя, конечно, прежде всего нужна возможность работать практически — снимать. 
   
   Я бы порекомендовал прочесть книгу Долинина не только начинающим операторам, но и представителям других кинематографических профессий, в частности кинокритикам, не всегда разбирающимся в изобразительном решении фильмов.
   
   Особую ценность этот мини-учебник представляет для студентов-операторов ВГИКа, где уровень преподавания операторского мастерства, к сожалению, очень снизился. Студенты мало занимаются, мало снимают.
   
   Я, казалось бы, все знаю об операторском деле, но читал с большим интересом и удовольствием. Долинин ни в чем не покривил душой. Даже создание дымки с помощью фильтра, устройство дымовых перспектив и прочих «туманностей», которыми отличается и славится петербургская школа, он описал предельно ясно и откровенно. Ценная работа, и очень хорошо, что журнал «Искусство кино» взялся ее опубликовать. Об операторах вообще мало пишут, хотя все видят фильмы их глазами. 
   
   По-моему,  эта публикация будет представлять интерес не только для начинающих операторов, профессионалов и любителей, но также для всех истинных любителей кино. 
   
   Павел Лебешев
   
   
    
   Текст, который здесь предлагается читателю, не предназначался для серьезного журнала. Это учебное пособие, сочиненное для студентов-первокурсников, обучающихся режиссуре и операторскому мастерству в Санкт-Петербургском университете кино и телевидения. В частности, убраны главы, излагающие общеизвестные технические подробности, касающиеся экспозиции, глубины резко изображаемого пространства, многих способов движения камеры и т. п. Поскольку сочинение адресовано «чайникам», автор ни в коей мере не претендует на исчерпывающую глубину своих теоретических построений и размышлений.
   
    
   
   
   
   
   
   
   Искусство — это ложь, которая одновременно
   является истиной.
    Ю. Лотман, Ю. Цивьян. «Диалог с экраном»
   
   Зрительная сторона фильма — ключ к поэзии.
   Орсон Уэллс
   Что такое киноизображение? Глядя на киноэкран, давайте на минуту забудем о гангстерах, полицейских, страстных любовниках, мужественных мужчинах, женственных женщинах, об их злоключениях, победах, выстрелах, погонях и философских размышлениях. Разглядим в экране то, что он на самом деле собой представляет — прямоугольную картинку, в которой что-то движется, а иногда замирает в неподвижности. Этой картинке присущи те же свойства, что настоящей картине. Так к ней и отнесемся, то есть как к произведению изобразительного искусства (иногда до отвращения несовершенному). Оценим такие ее пластические свойства, как иллюзорную трехмерность, выразительность света, гармонию цветового решения, композицию, наконец. А оценив, вернемся к содержанию фильма и подумаем, каковы взаимоотношения этого содержания с тем, какими картинками оно представлено на экране. Киноизображение — это серия экранных картин, созданных для передачи зрителю содержания, настроения, интонации фильма. Однако, в отличие от книжных иллюстраций, изображение в кино не дополняет содержание, но само является его органичной частью.
   
   Истории, которые рассказывает кино. Фотографическая природа кино
   
   Игровые и лучшие документальные фильмы — истории из человеческой жизни. Из жизни других людей. Мы смотрим их, чтобы узнать, что чувствуют, что думают другие. Нужда в подобном знании рождается из понимания ограниченности личностного опыта, желания его преодолеть, расширить его границы, из чистого любопытства, наконец.
   
   Кроме кино существуют и иные рассказчики (сплетники?). Литература, театр, живопись. Погружаясь в их выдуманный мир, мы пытаемся сопоставить его с опытом нашей собственной жизни.
   
   Читая книгу, мы должны сами представлять внешность персонажей и обстановку, в которой они действуют. В театре живые актеры разыграют завлекательную историю из якобы чьей-то жизни. Однако на фоне условного задника, среди картонных и не скрывающих свою картонность декораций.
   
   Кино же стремится прикинуться магическим окошком в жизнь настоящую, и это, пожалуй, самое привлекательное в нем. Вот так же вечером, проходя по улице, мы не преминем заглянуть в освещенное окно, где за тюлевыми занавесками, под желтым абажуром свершаются обыденные тайны чужого бытия.
   
   Быть может, там, за окном, говорят о полной чуши — например, о ценах на постное масло, — но отдаленность от нас, заключение в раму, взгляд с темной улицы придают этим обыденным картинам прелесть несомненной поэзии. Сравните с положением зрителя в темном зале кинотеатра перед освещенным экраном.
   
   «Поэзия — производная от тайны бытия. А тайна бытия — визуальная тайна. Это тайна зрелища, тайна зрения. В первую очередь — зрения. И зрение это должно быть как-то организовано. Именно кинематограф как искусство и есть организатор зрения» (Евг. Рейн).
   
   Материал кино — актер, человек, играющий другого человека, или реальный персонаж документальной истории, изображающий сам себя. В этом отношении кино подобно театру. Однако в кино появляется важный посредник, которого театр лишен, — фотография. В театре нас никогда не покидает ощущение, будто все, что нам показывают, — понарошку. На хорошем спектакле увлеченный зритель верит, что Отелло убивает Дездемону. Но никто никогда не верит всерьез, что актер, играющий Отелло, всерьез убивает актрису, играющую Дездемону, и поэтому даже самого взволнованного и доверчивого зрителя не покидает предательская мысль: а не сильно ли ударилась актриса, падая на подмостки? Своеобразие кино состоит в том, что в материал этого искусства включается фотография, полуторавековое существование которой приучило публику к тому, что фотокартинка адекватна реальности. И действительно, на театре нам все равно — настоящий или бутафорский чайник в руках у актера, настоящие или картонные стены у него за спиной. В кино игры с картонными вещами не проходят, вещи должны быть натуральными, шершавыми, такими, которые можно пощупать. Важна их подлинная фактура. Вся цепочка «вещи (люди, пейзажи) — оптика — фотография» в глазах зрителя проникнута объективностью. Кроме того, кино присущ крупный план. «Крупный план в кинематографе ассоциируется с рассмотрением (человеческого лица. — Д. Д.) с чрезвычайно близкого расстояния, что характерно для детского или очень интимного мира. Уже этим кино переносит нас в мир, где все действующие лица — друзья и враги — находятся со зрителем в отношениях интимности, близкого и детального знакомства» (Ю. Лотман).
   
   Благодаря сказанному выше, зритель гораздо охотнее доверяет кино, чем театру. Легко отождествляет себя с киногероем. Кинозрелище, в отличие от театрального, представляется ему почти безусловным. Даже манера актерского существования в кино благодаря его фотографичности сделалась иной, неактерской, жизненной, обыденной, шершавой.
   
   Итак, мы верим фотографии, но стоит ли? Является ли фотография безусловной копией реальности?
   
   Уже одно то, что изображенные на фотоснимке или в кинокадре даже реальные события вырваны из окружения и заключены в прямоугольную рамку, есть ее, реальности, искажение. Мы так не видим, поле зрения человеческого глаза не имеет четко очерченных линейных границ. Сам процесс выбора объекта съемки и кадрирования субъективен. Там, где проявляется субъективность, возникает возможность для того, чтобы просочилось искусство. Однако только возможность. Ибо субъективность, строго говоря, может преследовать и иные цели — журналистские, политические, рекламные и т. п.
   
   Фотографическое изображение возникает на светочувствительном материале благодаря преломлению света в объективе, оптическое устройство которого подобно устройству хрусталика человеческого глаза. Однако оптическим качествам хрусталика соответствует лишь объектив с определенным фокусным расстоянием, другие же отличаются от него, благодаря чему — каждый по-своему — искажают картину линейной перспективы. Поэтому, применяя разные объективы, можно получить в кадре совершенно иные пространственные и масштабные соотношения предметов между собой, нежели в реальности. Как уже было сказано выше, возможность искажения реальности создает условия для возникновения искусства. Но только возможность, ибо на самом деле никакие приемы, никакие физические возможности не создадут его автоматически.
   
   Все дело в душе, уме, таланте тех, кто за это берется.
   
   Атмосфера. Настроение. Свет
   
   Представьте себе, что вы, следуя сценарию и вашему замыслу, старательно подготовили все, что требуется для съемки определенного эпизода, то есть выбрали место, тщательно одели актеров, собрали нужное количество массовки, нашли паровозы и старинные вагоны, танки и бэтээры, мотоциклы и автомобили, отрепетировали все их передвижения, найдя точный, волнующий ритм. Казалось бы, эпизод готов, осталось его только снять, зафиксировать на пленке. В книге «О технике актера» Михаил Чехов предлагал читателю представить в своем воображении толпу, штурмующую Бастилию. «Толпа действует под влиянием атмосферы (здесь и далее выделено мною. — Д. Д.) крайнего возбуждения, опьянения силой и властью. Все вместе и каждый в отдельности охвачены этой атмосферой. Вглядитесь в лица, движения, в группировки фигур, в темп происходящего, вслушайтесь в крики… и вы увидите, как все происходящее будет носить на себе отпечаток атмосферы, как она будет диктовать толпе ее действия». Здесь речь идет об атмосфере, которая создается людьми, порождается их страстями, их психологией, их настроениями. Вместе с тем Чехов замечает: «Каждый пейзаж, каждая улица, дом, комната имеют для него (актера) свою особую атмосферу… Тот же знакомый ему пейзаж «звучит» для него иначе в атмосфере тихого весеннего утра или в грозу и в бурю… Жизнь полна атмосфер, но… режиссеры и актеры слишком часто склонны пренебрегать ими». И далее: «Значительная часть содержания спектакля не может быть передана зрителю никакими иными средствами выразительности, кроме атмосферы». «Митина любовь» И. Бунина начинается с полнокровного атмосферного куска, в котором все возможные атмосферы соединены вместе. «Зима внезапно уступила весне, на солнце было почти жарко. Как будто правда прилетели жаворонки и принесли с собой радость. Все было мокро, все таяло, с домов капали капели, дворники скалывали лед с тротуаров, сбрасывали липкий снег с крыш, всюду было многолюдно, оживленно. Высокие облака расходились тонким белым дымом, сливаясь с влажно синеющим небом. Вдали с благостной задумчивостью высился Пушкин, сиял Страстной монастырь».
   
   Одна мне осталась надежда:
   Смотреться в колодезь двора.
   Светает. Белеет одежда
   В рассеянном свете утра.
   Я слышу — старинные речи
   Проснулись глубоко на дне.
   Вон теплятся желтые свечи,
   Забытые в чьем-то окне.
   Голодная кошка прижалась
   У жолоба утренних крыш.
    Заплакать — одно мне осталось,
   И слушать, как мирно ты спишь.
   
   В отрывке из стихотворения А. Блока мною выделены строки, относящиеся к той составляющей атмосферы, которая создается зрительными средствами и определяет доминирующее настроение. Главным из них является свет: светает, белеет одежда в рассеянном свете утра. Он точно назван, и даже описана его конкретная, как сказали бы живописцы, раскладка. Без точного указания на освещение стихотворение превратилось бы в настойчивое риторическое утверждение субъективного авторского «я». Однако Блок обратился к всеобщему опыту, напомнив читателю знакомое каждому настроение серого осеннего утра, и подвел ассоциативный фундамент под зыбкое лирическое произведение.
   
   Погруженный во тьму пустой театральный зал. На режиссерском столике — маленькая переносная лампочка, которая «давала столько света, чтоб осветить лист бумаги на столе и чернильницу… Сцена была открыта и слабо освещена сверху из выносного софита… В крайней ложе яруса, находящейся у самого портала сцены, что-то загоралось, из ложи косо падал луч раструбом, на полу сцены загоралось круглое желтое пятно, ползло, подхватывая в себя то кресло с потертой обивкой, со сбитой позолотой на ручках, то взъерошенного бутафора с канделябром в руке». Полотнище уходило вверх «и сразу обнажало ряд тысячесвечовых ламп, режущих глаза… В кулисах появлялись темные тени, желтый луч уходил, всасывался в ложу… Вспыхивали лупоглазые прожекторы в козырьках, снизу сцену залило теплой живой волной света».
   
   В отрывке из «Театрального романа» М. Булгакова свет, в отличие от меланхолически-безнадежного блоковского «рассеянного света утра», существует в активном движении, переменах, ударах, нарастаниях, особенно внятных благодаря темноте в зрительном зале. Важно отметить, что нарисованная писателем световая атмосфера, будучи документально точной, служит еще и проекцией душевного состояния героя с его нервностью и напряжением.
   
   Все это не случайно. Иногда поутру нам грустно, мы раздражены или, напротив, веселы и бодры. Зачастую это никак не связано с нашими делами, с нашей обыденной жизнью. А просто пасмурно или вдруг светит солнце. Нас окутывают городские сумерки, вспыхивают уличные фонари, и кажется, что предстоящий вечер обещает романтические приключения и неожиданные встречи. За окном сумеречный зимний день, а под потолком неприбранной, облезлой аудитории мертвым сиреневатым светом горят люминесцентные лампы, и нудный голос осточертевшего лектора кажется совершенно невыносимым. Тревожный свет костра, отсветы лунных бликов на воде, мелькание света автомобильных фар, мигание рекламных огней — все отзывается в человеческой душе особым настроением, особой эмоциональной окраской восприятия мира.
   
   И если вслед за М. Чеховым поверить, что значительная часть содержания произведения может быть передана только атмосферой, то придется признать, что первейшее средство создания зрительной атмосферы — свет. Именно потому, что эмоции, с ним связанные, — древнейшие, дочеловеческие, гнездящиеся на самом дне души, в подсознании.
   
   Для кинематографа свет не только физически необходимая субстанция, без которой на пленке ничего не получится, но и одна из главнейших составляющих изобразительного строя фильма. И даже зачастую — элемент содержания. Например, о Джозефе Штернберге писали, что для него «истинная материя свет, а вещи, люди в кадре — лишь повод для его материализации, для того, чтобы перехватить луч».
   
   Штернберг создал Марлен Дитрих, кинозвезду мирового класса. После работы с ним она была вынуждена сниматься у другого голливудского режиссера — Рубена Мамуляна и, соответственно, у другого оператора. Впервые увидев материал новой работы на экране, она пришла в ужас. А на другой день наняла просмотровый зал и вдвоем с дочерью просматривала фильмы Штернберга, в которых снималась. Ее дочь Мария Рива вспоминала: «На следующее утро мы прибыли на место к восьми утра. Там устанавливали освещение для первой сцены этого дня… Мать вышла на площадку, посмотрела из-под руки вверх на осветительные леса, пересчитывая источники света и оценивая их расположение. Она взглянула через плечо на свое отражение в зеркале, которое сегодня ожидало ее в полной готовности…
   
   — С вашего разрешения, джентльмены, — и, не дожидаясь этого самого разрешения, начала выдавать инструкции электрикам, управлявшим освещением сверху.
   
   — Так… вы… слева… опустите немного… не так быстро! Медленнее… еще… медленнее… еще… стоп, так держать! Глядя в зеркало, она уловила момент, когда было нужно закрепить лампу. Теперь она набросилась на заросли ламп мощностью поменьше… Она уменьшала свет, затем медленно увеличивала его. Начали появляться тени, очертания предметов обострились, наполнились объемом. В атмосфере площадки почти физически ощущалось уважение к ее знаниям и мастерству. Она вновь глянула на свое отражение, затем выпрямила плечи, нашла точный наклон головы, зафиксировала на лице свою восхитительную неподвижность и уставилась прямо в объектив камеры. Мамулян оторвался от видоискателя, почтительно отвел его, поглядел на исполненное священного трепета лицо оператора и сказал:
   
   — Прекрасно, Марлен! В высшей степени прекрасно!
   
   Она устремила глаза на людей, стоявших в тени, за пределами светового пятна. Воздев в приветствии руку, произнесла нежно: «Спасибо, джентльмены!» — и все эти здоровые крепкие парни сорвали с себя огромные резиновые перчатки и зааплодировали».
   
   Ингмар Бергман, в очередной раз прощаясь с кинематографом, писал о своем операторе: «Особенно мне не хватает Свена Нюквиста. Может быть, потому, что мы оба безраздельно захвачены проблематикой света. Мягкого, опасного, мечтательного, живого, мертвого, ясного, туманного, горячего, резкого, холодного, внезапного, мрачного, весеннего, льющегося, изливающегося, прямого, косого, чувственного, покоряющего, ограниченного, ядовитого, успокаивающего, светлого света».
   
   Атмосфера. Настроение. Свет. Солнце
   
   А теперь вспомним о том, каким эмоциональным звучанием обладает тот или иной эффект освещения.
   
   Яркий дневной солнечный свет несет ощущение мощной энергии. Ему не с руки участвовать в сценах уныния, меланхолии, тихого отвращения к жизни, а также нежной лирики («яркий» и «яростный»; — слова одного корня). Его стихия — страсть, сильные чувства, динамика. Сильная радость, но и трагическое, активное противостояние. Не случайно один из самых чувственных и трагических рассказов И. Бунина, который кончается фразой: «Поручик сидел на палубе под навесом, чувствуя себя постаревшим на десять лет», назван «Солнечный удар». Однако вся эмоциональность солнечного света теряется, если он, как в подавляющей части фильмов, делается дежурным освещением для всех без разбору сцен. Чтобы он работал эмоционально, солнечные сцены должны соседствовать с теми, где солнца нет.
   
   Звучание солнечного света в кадре зависит от контраста между участками, освещенными солнцем, и тенями. Их отношения могут быть мягкими, сближенными или отдаленными, сильно противостоящими. Чем глубже тени, чем сильнее разница в освещенности между ними и светом, тем напряженнее и трагичнее может звучать кадр.
   
   Важнейшая характеристика солнечного света — высота солнца над горизонтом. Наиболее привычная, типовая, что ли, — это полуденная и близкая к ней дневная. Такой свет, как правило, эксплуатируется без разбору в массовом кинопотоке (свет туристских открыток). Он воспринимается с экрана, как нулевой свет, свет, не несущий никакой эмоциональной информации. Однако чем ближе солнце опускается к горизонту, тем необычнее, выразительнее эффект. Удлиняются тени, ярче светятся вертикали всех предметов, стереоскопически выпуклыми предстают шершавости земли. Появляется ощущение некоей тайны.
   
   Низкое утреннее солнце отличается от такого же вечернего. Утром воздух прозрачен, и поэтому высок контраст света и теней. Вечером, после целого жаркого дня испарений и деятельности людей, вздымающих пыль, контраст падает, а непрозрачный воздух рассеивает коротковолновую часть спектра солнечных излучений, и свет окрашивается красным, в отличие от утреннего, желто-оранжевого. (Если вы почувствовали недоумение, загляните в курс школьной физики.)
   
   Допустим, вы хотите снять сцену с ощущением ярчайшего, ослепительного солнца. Вам повезло с погодой, солнце светит вовсю, вы развели вашу мизансцену на открытой, замечательно освещенной площадке, и съемка состоялась. Проявлен материал, вы, затаив дыхание, усаживаетесь в темном зале. Вспыхивает луч проектора, и — о ужас! — на экране что-то обыденное, будничное, чуть ли не серое и пыльное.
   
   В чем тут дело? Экспозиционная ошибка оператора, неточность проявки негатива и печати позитива, качество пленки, наконец? Конечно, ошибка оператора! Но вовсе не экспозиционная. Этот оператор не знает, что сотворить художественное ощущение, именно ощущение, а не протокольное описание звонкого солнечного эффекта, можно далеко не всегда и не везде, даже если солнце светит отлично. Один из возможных и, как водится, парадоксальных способов добиться этого заключается в том, что мизансцена разводится в тени.
   
   Атмосфера. Настроение. Как снять солнечную сцену в тени
   
   Сквозь не слишком густую листву деревьев просвечивает залитое солнцем пшеничное поле. Ваши актеры освещены несколькими естественными источниками. Во-первых, это рассеянный свет от неба, видного сквозь прорехи в кронах. Во-вторых, рефлексы, отражения света от солнечных пятен, кое-где пробивающихся на землю. Отталкиваясь от этих источников, оператор и определяет экспозицию. Количественно они, источники, гораздо слабее света солнца. И, нормально проэкспонировав лица актеров, оператор получает на заднем плане — там, где виднеются пятна освещенного солнцем пшеничного поля, — область передержки. На экране эти пятна становятся ослепительными, почти полностью потеряв свою естественную окраску. Преувеличенно выпукло звучат рефлексы и редкие прямые солнечные лучи, пробивающиеся кое-где сквозь листву и падающие маленькими пятнами на актеров. Если при этом оператор догадался выстроить всю сцену на контровом солнце, то просвеченная солнцем листва делается прозрачной, воздушной и живой. (Контровый свет — свет от источника, расположенного над и за головами актеров и направленный в сторону съемочной камеры. Только не прямо в объектив!)
   
   Все, что описано выше, создаст живое ощущение ослепительного солнечного дня, хотя актеры играют в тени деревьев. Этот способ организации освещения на натуре имеет еще ряд иных преимуществ. Он позволяет избежать попадания на лица актеров прямого солнечного света, который обычно ломает и уродует их формы. Допускает применение точно дозированной искусственной подсветки для световой коррекции лиц, если это нужно.
   
   Он не является единственно возможным и описан здесь не как рецепт на все случаи жизни, а как пример, показывающий, что в кино прямой путь почти никогда не является правильным и что каждый наш шаг при создании фильма требует некоторого изощрения, хитроумия, изобретения приема1.
   
   Атмосфера. Настроение. Свет. Пасмурная погода
   
   Очень часто съемка происходит в пасмурную погоду, когда небо затянуто облаками. Облачный покров бывает различным. Иногда он достаточно тонок, и свет, излучаемый солнцем сквозь облака, сохраняет свое выраженное направление и доминирующую силу, позволяющую выявить объем фигур и предметов. Однако характер света сильно отличается от прямого солнечного. Облака выступают в качестве рассеивающей среды, и наша съемочная площадка освещена рассеянным светом. Уменьшается контраст между тенями и светом, передний и задний планы освещены одинаково.
   
   Если небо закрыто толстыми облаками, то выраженное направление солнечного светового потока теряется вовсе. Само небо становится огромным источником рассеянного света, распространяющим его равномерно по всем направлениям. В таком случае особенное внимание следует обратить на обрисовку лиц, особенно на крупных планах. Естественная световая доминанта теряется, и следует создавать ее искусственно — или применяя легкую подсветку с одной стороны, или затеняя экраном с другой.
   
   Эмоциональное звучание освещения в пасмурную погоду резко отличается от солнечного. Ему свойственно отсутствие энергии. Оно хорошо выражает чувства меланхолии, тоски, безнадежности, тошнотворности бытия, отвращения к жизни.
   
   Необходимое отступление. Контекст
   
   Говоря здесь об эмоциональном осмыслении световых эффектов, я до сих пор имел в виду их прямое, буквальное звучание. Например, вы хотите снять меланхолическую сцену и выбираете для ее съемки пасмурный день. Но на самом деле, в реальном фильме световой, как, впрочем, и любой иной прием, меняет свою окраску в зависимости от контекста, от содержания сцены, от содержания соседних сцен, от их эмоционального напряжения и звучания. И часто ту или иную настроенческую краску стоит применить по законам контраста, противоречия, контрапункта. Например, ваш герой, который только что пережил сильнейший удар, горе, смерть близкого человека или сам едва избежал верной гибели, оказывается в неожиданной для него и зрителя светлой, сверкающей атмосфере безмятежности и покоя, которая еще рельефнее оттеняет его недавние переживания.
   
   Атмосфера. Настроение. Свет. Сумерки. Ночь
   
   Одним из выразительнейших световых состояний является свет сумерек.
   
   В его звучании, так же как в звучании прямого солнца, могут присутствовать напряжение, трагизм, борьба, но также печаль и меланхолия. Однако на экране все, что бы ни происходило в сумерках, всегда окутывается некоей тайной и лиризмом.
   
   По своим световым характеристикам сумерки в пасмурную погоду ничем не отличаются от пасмурного дня, кроме низкой естественной освещенности, благодаря которой делаются хорошо видными освещенные окна, витрины, свет автомобильных фар и уличных фонарей. Становятся возможными кадры, построенные на борьбе теплых и холодных световых потоков. Естественное освещение окрашено в холодные, голубоватые тона, а искусственное, в основном, в теплые, желто-оранжевые. Столкновение теплого и холодного дает возможность строить кадры, полные зрительного драматизма и напряжения. При съемке на черно-белой пленке мы лишаемся цветового контраста. Тем важнее следить за количественными соотношениями естественного и искусственных световых потоков. Один из них обязательно должен доминировать по силе.
   
   В ясную погоду все иначе. Пока при закате солнца западная сторона горизонта еще окрашена в яркие красно-оранжевые тона, восточная, противоположная ей, уже погружена в ночную темноту. Можно снять эффектные (но и достаточно банальные) кадры на фоне закатного неба, когда лица и фигуры людей делаются силуэтными. Можно также использовать свечение закатного неба как источник света, освещающий вашу мизансцену, и т. д.
   
   Все природные сумеречные состояния очень кратковременны, освещенность падает с большой скоростью. Поэтому снимать нужно быстро, заранее подготовившись и предусмотрев все возможные неожиданности. Съемка сцены из десятка кадров может растянуться на несколько дней. Ваша съемочная смена будет строиться так: днем вы снимаете какой-то другой эпизод, а ближе к вечеру каждого дня заранее приезжаете на место, где предполагается съемка в сумерках, тщательно готовитесь и быстро снимаете один или максимум два кадра из вашей сумеречной сцены. Помните, что погода, особенно в Питере, часто меняется! Нет гарантии, что, начав сегодня съемку с красным закатом, назавтра вы не окажетесь перед неприятной необходимостью или продолжить ее в пасмурных сумерках, или вообще отменить. Первое лишает ваш эпизод необходимого зрительного единства, второе выбивает из съемочного графика, что означает потраченные впустую большие деньги и возможный уход сильно занятых актеров из группы.
   
   Из-за краткости съемочного времени съемку в сумерках называют режимной. В ограниченных пределах режимная съемка позволяет имитировать на экране ночные эффекты. Лучше всего при работе на цветной пленке для этого подходит пасмурная погода. Слабый рассеянный естественный свет позволяет сохранить проработку подробностей на больших пространствах. Выделение же искусственным освещением игровой сцены с последующей запечаткой позитива до нужной степени темноты создает впечатление ночи, с большей или меньшей степенью натуральности. Для такой съемки, кроме уже упомянутых пасмурных сумерек, подходит очень короткий момент конца ясного дня, когда солнце уже ушло за горизонт, но закатный участок неба еще светится. Его не следует брать в кадр, а нужно использовать как источник света, снимая сцену на фоне темного участка неба.
   
   Проблема воспроизведения на экране ночных эффектов всегда была достаточно сложной. Проще всего результат достигается в атмосфере современного города, где всегда присутствует множество разнообразных источников света, оттолкнувшись от которых, оператор может легко и свободно строить свое освещение. Но стоит только вашему сюжету привести съемочную группу, допустим, в чистое поле, как трудности становятся неисчислимыми.
   
   Как дело обстоит в реальности, если небо затянуто тучами, а населенные пункты, с их фонарями, находятся за сто километров? Как правило, без свечи или карманного фонарика вы вообще ничего не увидите. Но на экране-то всегда что-то должно быть видно! Достичь этой цели можно только путем создания условного, по сути неправдивого, но не раздражающего зрительский глаз освещения…
   
   Пространство. Образ и поэзия
   
   Рассказывая человеческие истории, мы не только показываем людей, их страсти и отношения, но и помещаем их в ту среду, в которой они действуют, в пространственный, предметный мир. Кино всегда стремится убедить зрителя в его, этого мира, достоверности, даже в том случае, если он целиком нами выдуман, сконструирован и построен.
   
   Одна из важнейших задач, стоящих перед кинематографистом при выборе или конструировании пространства, в котором будет сниматься фильм, — описание места действия.
   
   Однако достаточно ли простого описания, презентации места действия? Например, в вашем сценарии любовная сцена происходит на станции метро.
   
   В городе таких станций около сотни. На какой из них остановить свой выбор? Чтобы не ошибиться, вы должны задать себе множество вопросов и ответить на них. Например, как вы относитесь к той истории, которую снимаете? Что она по жанру — драма, комедия, полицейский фильм, трагедия? Как вы относитесь к экранным любовникам, сочувствуете ли вы им? Может быть, просто наблюдаете за ними, как за неким социальным феноменом? Или их история сопряжена с вашими личными воспоминаниями, является проекцией вашей собственной рефлексии? (В принципе, ответы на эти вопросы характеризуют вас самих, ваше мировоззрение или, если хотите быть более точным, мироощущение. ) Очень важно также и место сцены в сюжете, скажем, если она расположена в самом начале фильма, то стоит ли сразу обнажать тенденцию или лучше ее пока что скрыть? Если она ближе к финалу, то каково должно быть ее звучание в этом месте?
   
   Речь идет о том, что простое описание места действия неполноценно. Оно не несет информации. Оно лишено поэзии. Между человеком и окружающим его пространством всегда существует невидимая энергетическая, эмоциональная подсознательная связь, даже если он ее и не отмечает на уровне сознания. Ваш герой может не замечать того, что его окружает. Но его столкновение с окружающим миром, зрительно описанное кинокадром, должно на подсознательном уровне быть отмечено зрителем, найти эмоциональный отклик в его душе. Этот отклик должен быть предусмотрен, запланирован, и вам предстоит придумать, как решить эту задачу.
   
   Можно снять метро как сияющий дворец, наполненный светом и теплом, населенный дружелюбными людьми («Я шагаю по Москве»), или как мрачный душный лабиринт, в котором без смысла и цели толкаются толпы потных, усталых человекообразных существ, больше похожих на крыс.
   
   Важно, чтобы ваше метро не сделалось бы никаким. Пространство, представленное в вашем фильме должно нести не только описательную нагрузку, но и — в первую очередь — поэтическую.
   
   Необходимое отступление. Как придумать и договориться
   
   Продумывая детали мифической съемки мифической любовной сцены на мифической станции метро, мы с вами нащупываем те некоторые направления, по которым конструируется художественный образ. В своей целостности он вберет в себя самые разные мотивы: поведение ваших персонажей, способ их актерского существования, текст, сочиненный сценаристом, ритм их движения и облики окружающих их людей из толпы, звучание их голосов, а также шум и лязг останавливающихся поездов, быть может, музыку и т. п. Вы отчетливо, будто во сне, видите и слышите все в вашем воображении. Но вы работаете не один, а с большой группой сотрудников. Свое видение вы должны передать им. На уроках режиссуры и актерского мастерства будущих режиссеров научат работать с актерами. Но какими словами режиссер расскажет оператору, какую картинку он хотел бы увидеть на экране? Как сможет оператор объяснить режиссеру и художнику, что же он такое замечательное придумал?
   
   Франсуа Трюффо говорил о работе оператора Рауля Кутара: «Он отвечает за построение кадров, поэтому его работа особенно важна для меня. У меня еще нет достаточного опыта, чтобы, не взглянув в видоискатель, потребовать ту или иную оптику или заранее знать, что именно можно будет увидеть при данной оптике. Тут мой опыт пока еще очень ограничен, и мнение Кутара для меня чрезвычайно важно. Если мое пожелание неосуществимо, он предлагает мне решение, близкое к тому, что я изначально задумал». Трюффо сказал это, сняв три короткометражных и четыре полнометражных фильма, один из которых — шедевр «400 ударов».
   
   Режиссер никогда не станет так же технически грамотен, как оператор, и никогда не сумеет дать ему однозначные технические указания о том, как снимать. Да оператор, того гляди, еще и обидится, ведь он полагает себя таким же художником, что и режиссер, и уж не меньшим, во всяком случае, чем актеры. И это во многом справедливо. Работа режиссера с оператором сродни работе с актером — режиссеру следует превратить оператора в ближайшего сотрудника, разбудить его фантазию, побудить творить в русле общих задач. А. Кончаловский в своей книге «Парабола замысла» писал: «В идеале: я организую жизнь, а оператор ее снимает — как хочет, сам, без моего вмешательства. Если оператор тонко чувствует режиссера (а именно с такими соавторами мне довелось работать), то он обязательно снимает так, как мне хочется. Даже еще лучше». Обратите внимание на это «в идеале»! И не стоит забывать, что Кончаловский написал эти слова под впечатлением от работы с таким мастером, как Г. Рерберг. Но, вообще-то, как достичь такого  со-чувствия ? Изображение труднее, чем любой другой компонент кинематографа, поддается словесному описанию.
   
   Один из способов общей работы — совместный просмотр фильмов и подробное обсуждение того, как был снят тот или иной эпизод, какие использованы приемы. Очень полезны поиски живописных ассоциаций, что вовсе не значит буквальное копирование живописных образцов. Или вот цитата из романа, которую можно легко представить себе попыткой режиссера объяснить оператору, какой он видит сцену, которую им вскоре предстоит снять: «Мне запомнилась эта фигура нищего именно в сумерках… Она двигалась и исчезала, окруженная молочной мягкостью уходящего дня, и в таком виде, неверном и призрачном, напоминала мне некоторые образы моего воображения.
   
   Я вспомнил потом, вернувшись домой, что такое освещение, в котором чувствуется только что исчезнувший солнечный луч, оставивший в этом воздухе почти неуловимый, но несомненный след своего медленного растворения, — такое освещение я видел на некоторых картинах, и в частности, на одном полотне Корреджо…»2
   
   Но лучше всего годится окольный язык иносказаний.
   
   Когда образное решение у вас созревает, вы, зачастую, сами для себя очень многие стороны замысла объясняете сравнениями и метафорами, охотно пользуясь словом «как». Тот же язык наиболее точно передаст ваш замысел всем сотрудникам. Когда я снимал с Ильей Авербахом «Голос», он говорил, что мы снимаем фильм из жизни киностудии, но для нас это как бы фильм на производственную тему, вроде многочисленных тогда производственных картин о трудовых буднях, допустим, сталеваров. Сразу становилось ясно, что такой подход исключает всяческую нарочитую красивость, предполагает трезвость взгляда и поиски поэзии в обыденном. (Противоположный пример фильма о киностудии — «Весна» Г. Александрова, основанная на ложной, придуманной красивости.) Потом мы искали помещение монтажной, чтобы снять там одну из сцен фильма. Монтажных на студии много, можно было снимать в любой.
   
   Но Авербах заявил, что сцена в монтажной должна быть похожа на сцену в подводной лодке. Это сравнение сразу подсказало мне и художнику фильма В. Светозарову направление поисков: узкое, длинное, тесное, серое помещение, заставленное металлическими шкафами для хранения пленки с одним, не очень ярким и заметным окном. Люди в нем должны быть стиснуты, зажаты. Передвигаясь, они должны сталкиваться, мешать друг другу…
   
   Иосиф Хейфиц вспоминал педагога-скрипача Столярского: О его педагогическом языке ходят легенды. Рассказывают, например, что, желая добиться от студента желаемого «пианиссимо», он шепчет ему взволнованно: «Мухи… мухи… понимаешь, мухи летают… А у тебя — жуки…»
   
   После того как мне посчастливилось снять четыре фильма с Ильей Авербахом, он опубликовал обо мне статью в «Искусстве кино», отрывок из которой я привожу здесь не из хвастовства, а чтобы читатель мог бы проникнуть в суть идеальных взаимоотношений режиссера-постановщика с его ближайшими сотрудниками. Он, в частности, писал, что работа над фильмом начинается с того момента, «когда оператор и художник знакомятся со сценарием, а может быть, и только с замыслом сценария будущего фильма. Долинин прекрасно читает сценарий, а это вовсе не так просто, если иметь в виду глубокое понимание про что должна быть картина, а не как мы ее будем делать. Вот это «про что» и становится темой разговора… Мы так или иначе заняты прежде всего замыслом фильма, сутью его, сердцевиной, идет общая работа над сценарием — при участии и сценариста, конечно. Тут не существует узких профессиональных границ — оператор может сформулировать идею музыкального решения картины, художник участвует в выборе актеров, сценарист высказывает предложения о костюмах героев, я говорю о возможном характере освещения».
   
   Возможно ли создание идеального проекта фильма, в котором все постановочные решения, изобразительные эффекты и трюки были бы предусмотрены заранее? Скорее всего, невозможно хотя бы уже потому, что природа и погода не подчиняются кинематографистам да и сама съемка, как всякий живой и растянутый во времени процесс, протекает более согласно воле Господа, нежели человеческой. Однако уже одно только стремление предусмотреть все заранее похвально. Конечно, если хватает воображения. Чем тщательнее предварительная разработка, тем проще организовать съемочный процесс, тем легче группе работать на съемочной площадке, тем законнее требования режиссера-постановщика к своим сотрудникам. И тем спокойнее он отнесется ко всем неожиданностям и случайностям и легче выйдет из внезапно возникшего положения.
   
   Некоторые режиссеры, например Н. Михалков, всегда стремятся создать до начала съемок полноценный постановочный проект будущего фильма. Иногда режиссерский сценарий он делит на определенные куски, главы, включающие в себя несколько эпизодов, окрашенных одним настроением, и предпосылают им общее предисловие, где делается попытка изложить смысловую и эмоциональную суть главы, скрытую при простом прочтении сценарного текста, тем самым предлагая читателям сценария свою режиссерскую трактовку. Предисловия адресованы, в том числе, оператору и художнику, ибо одна из задач этих предисловий — подробно изложить все, что связано со зрительной атмосферой и настроением.
   
   Конечно, работа над фильмом — это множество импровизационных моментов, часто важные решения принимаются непосредственно на съемочной площадке или накануне съемки. Но они тем легче даются, чем точнее все придумано заранее. Импровизация на основе предшествующего глубокого погружения еще более углубляет прежние решения. Однако режиссер, уповающий исключительно на импровизацию, ставит своего друга-оператора в крайне неудобное положение, так как операторское творчество связано с техникой, которую нужно заказывать заранее, с погодой и точным выбором съемочного времени для достижения того или иного пластического эффекта.
   
   Пространство. Соотношения
   
   Юрий Тынянов, будучи активным поклонником и приверженцем немого кино, писал в те годы: У Чехова есть рассказ: ребенок рисует большого человека и рядом маленький дом. Это, может быть, и есть прием искусства; величина отрывается от своей материально-репродуктивной базы и делается одним из смысловых знаков искусства; кадр, заснятый с увеличением всех предметов, сменяется кадром с перспективным преуменьшением. Кадр, заснятый сверху с маленьким человеком, сменяется кадром другого человека, заснятым снизу (см., например, кадр Акакия Акакиевича и значительного лица в сцене «распекания» — «Шинель»). Тынянов говорит здесь о «Шинели» Г. Козинцева и Л. Трауберга, снятой А. Москвиным.
   
   «Небоскребы, небоскребы, а я маленький такой!» — поется в песне. Автор текста легко и изящно решил одну из ваших основных задач, над которой вы будете ломать голову, раскадровывая сцену на бумаге или разводя ее на месте съемки. Это проблема масштаба изображаемого в отдельном кадре или сочетания масштабов в монтажной композиции из нескольких. А также масштабных соотношений внутри кадра. Согласитесь, что маленький человек в окружении (на фоне) огромных небоскребов — не просто описание конкретной житейской ситуации, но еще и поэтический образ. Также и в вашей сцене в метро, в монтажной фразе, ее составляющей, вам придется специально предусмотреть те кадры, которые пластически, масштабно описывают отношения ваших героев с архитектурой и техникой. Герои могут быть равнодушны к окружающему, но пластические образы никогда не бывают равнодушны друг к другу. Отношения их могут быть гармоничными, враждебными или любыми иными. Один из способов установления пластических отношений между элементами пространства в кинокадре — использование ракурса.
   
   Заметим, что буквальное значение слова ракурс не то, к какому мы привыкли. Во французском оно обозначает изображение фигур или предметов с явно выраженным перспективным сокращением удаленных от зрителя частей. (Это стоит запомнить. Пригодится в дальнейшем.) В искусствоведческой литературе слово «ракурс» обычно применяется как синоним выражения «точка зрения».
   
   В кинематографической практике им обозначают только отклонения съемочной камеры от нормальной точки зрения вверх или вниз — верхний или нижний ракурс. Нормальной точкой зрения считается такая, когда камера располагается на уровне глаз стоящего или сидящего человека. Изменения высоты расположения камеры, ее отклонения от привычной нормальной приводят к немедленному изменению масштабных и перспективных соотношений предметов между собой внутри кадра. Человек, снятый снизу, кажется большим, величественным, как монумент, нависающим своей тяжестью над окружающими. Также нижним ракурсом можно подчеркнуть неустойчивость, непрочность положения фигуры в пространстве. Верхний прижимает фигуру к земле, принижает ее, делает ее ничтожной. (Вместе с тем нужно помнить, что в реальном контексте фильма ракурс может создавать совершенно иные эмоциональные звучания, не создавать никаких, если он просто описывает реальные точки зрения участников сцены, или совмещать реальное описание с эмоциональной окраской.) В современном кинематографе ракурсом пользуются достаточно осторожно, стремясь обязательно связать его с реальными обстоятельствами. В 20-е годы режиссеры, особенно в авангардном, внесюжетном кино, ракурсом пользовались очень широко, не связывая себя никакими реальными и сюжетными подпорками.
   
   Пространство. Толпа
   
   Обратимся опять к любовной сцене на станции метро. Раскадровка готова, масштабные отношения архитектуры и всего окружающего пространства продуманы. Остается решить, как поступить с очень важным компонентом пространственного решения подобного эпизода — с толпой.
   
   Когда мы говорим, что одно из важнейших завоеваний кино по сравнению с театром — крупный план, то мы не совсем точны. Первое, что открыл для себя молодой кинематограф, — массовые сцены и их грандиозные возможности. Успех многих фильмов 10-х годов определялся количеством статистов, а хвастовство по поводу этих многих тысяч ложилось в основу рекламных кампаний. Театральный критик Кугель признавал, что «в сравнении с этими колоссальными постановками что значит какая-нибудь постановка «Юлия Цезаря» в Художественном театре, от которого только и осталось в памяти, что-де улицы и дома в Риме были хороши, а люди никуда не годились… Так не только поставить, но и вымуштровать толпу для театра нельзя, как это можно сделать для съемки». В фильме Абеля Ганса «Наполеон» (1927) толпа не беспорядочна, ей придан облик моря, она волнуется и бушует, как водная стихия. В «Октябре» Сергея Эйзенштейна (1927) расстреливаемая толпа не разбегается врассыпную, а движется по сложной, вихреобразной траектории.
   
   Обратите внимание на толпу на вашей станции метро. Вряд ли у вас достанет денег, чтобы наполнить всю станцию массовкой. Вам наверняка придется снимать настоящую, случайную толпу. Обратите внимание на типичные направления потоков людей на вашей станции, на то, когда они особенно плотны, а когда разрежены, каково настроение толпы в разное время дня, как люди одеты. Если вы ставите перед собой задачу выстроить некие отношения между вашими героями и толпой, вам необходимо набрать небольшую группу статистов, у которых будут нужные вам лица, они будут одеты так, как вам нужно, и действовать они будут по вашему заданию вблизи актеров. Настоящая толпа на заднем плане будет лишь создавать образ движения, запах настоящей жизни. Камеру и свет нужно расположить по отношению к настоящей толпе так, чтобы на вас не обращали внимания, а если бы и обращали, то только тогда, когда уже вышли из кадра. Иначе все проходящие будут смотреть в камеру.
   
   Продумайте пластические отношения между группой актеров и толпой. Включены ли актеры в толпу, живут вместе с нею или сторонятся ее, ищут уединения, чужды ей? Как в этой связи строятся относительно друг друга их движения. Как статика актеров сочетается с движением толпы? Каковы масштабные их отношения? Вынесена ли группа актеров на передний план или между нею и съемочной камерой то и дело проходят люди из толпы? Насколько внятны должны быть лица в толпе или, став совсем крупными, размазаться до невнятных, нерезких пятен, лишь экспрессивно обозначающих движение?
   
   Пространство. Декорация
   
   Кино снимается на натуре и в интерьерах. Искусственный интерьер — декорация. Ее роль в театре и в кино принципиально различна. Театральная декорация должна окидываться одним взглядом, это условный и обобщенный живописный образ, в который включены актеры. Пластика сцены напоминает пластику станковой картины, в нарисованное пространство которой то и дело вводят новых персонажей, которые в ней по-разному располагаются. Мы разглядываем эту картину с одной и той же фиксированной точки зрения, со стороны, с некоторого расстояния, не влезая в ее нутро. Принципиальная разница с кинодекорацией! Кинематографическая настырность заставляет нас везде и всегда проникать внутрь — события ли, проблемы, психологии, пространства. Пространство нашего эпизода никогда не описывается единственным кадром, снятым с одной точки. Описание последовательно распределяется во времени и совершается фрагментарно, по мере развития хода событий. Оно включает в себя самые разнообразные точки зрения и направления взгляда, которые в дальнейшем соединяются в монтаже в единое целое. Придумывая декорацию для кино, не обязательно планировать ее под конкретные кадры. «Я даю художникам полный простор для самостоятельного творчества: они строят декорацию, а я уже в ней ищу с актерами мизансцену. Сложности, возникающие при этом, — не помеха в работе. Они только подстегивают фантазию, дают простор творческим поискам», — говорил А. Кончаловский. Поэтому в идеале кинодекорация должна включать в себя все четыре стены и потолок. Особое внимание художника режиссер и оператор должны обратить на правдивые фактуры и выразительные предметы, наполняющие декорацию, дающие возможность поворачивать камеру в любую сторону. Способ съемки в декорации должен быть таким, чтобы на экране всегда сохранялось ощущение, что камера находится внутри помещения. Даже если у вас приготовлены отставные стенки, снимать, используя их, нужно очень осторожно, так, чтобы неестественное удаление камеры не стало заметным. Декорация, которая спланирована так, что при съемке вы испытываете некоторые неудобства с размещением камеры и света, как правило, выглядит на экране наиболее естественно.
   
   Павильоном в современных фильмах из-за дороговизны пользуются не так уж часто, а настоящий интерьер, бывает, несет на себе такой отпечаток подлинности, который невозможно воспроизвести в павильоне. Фильму современной тематики съемки в настоящем интерьере могут сообщить такие важнейшие художественные достоинства, как подлинность и запах живого быта. («Родня» Н. Михалкова, оператор П. Лебешев. Квартира героев фильма снята в настоящей квартире на шестнадцатом этаже, с настоящей мебелью, принадлежащей хозяевам квартиры.) Самое весомое преимущество натурального интерьера возникает, когда вы хотите связать в одном кадре действие в помещении с натурой. (В той же «Родне» — сцена, когда героиня Н. Мордюковой выходит из квартиры на балкон, а камера движется вслед за ней и дальше медленно наезжает на спортсмена, бегущего по дорожке расположенного неподалеку стадиона.)
   
   Необходимое отступление. Оптика
   
   Способ передачи пространства на экране в очень большой степени зависит от той оптики, которую вы используете. Условно кинооптику разделяют на три группы объективов: нормальные, широкоугольные (короткофокусные), длиннофокусные (телеобъективы).
   
   Нормальная оптика передает натурные пространственные соотношения способом, адекватным человеческому зрению. Кадр, снятый нормальным объективом, выглядит наиболее естественно. К нормальным объективам при работе на 35-мм пленке относят объективы с фокусным расстоянием от 40-мм до 60-мм.
   
   Широкоугольные объективы имеют фокусное расстояние от 35-мм и меньше. Чем меньше фокусное расстояние объектива, тем шире угол его зрения, тем большую часть пространства он «окидывает одним взглядом». Из этого следует, что при съемке с одной и той же точки он зафиксирует больше предметов, чем нормальный, а изображенные им предметы окажутся на экране более мелкими, чем при пользовании нормальной оптикой (ведь размер кадра остается неизменным). Главное отличие изображенного при помощи широкоугольника от картинки, снятой нормальной оптикой, — преувеличенная активность схождения перспективных линий к горизонту. В результате масштабные соотношения в кадре нарушаются. Все расположенное близко к аппарату как бы вырастает в размере по отношению к расположенному подальше. Передвижения в кадре на крупных планах от камеры и на камеру выглядят преувеличенно активными. Использование широкоугольника при съемках крупных планов актеров нежелательно: преувеличение перспективных соотношений ведет к искажению черт лица. Например, может сильно увеличиться в размерах нос. Еще опаснее ракурсные точки: при съемке широкоугольником снизу вытянется подбородок, а лоб скукожится до размеров обезьяньего. Конечно, умением этих объективов снимать с искажением можно играть в своих специальных целях. Однако это требует сюжетного оправдания, вкуса и опыта. Широкоугольные объективы обладают большей глубиной резкости, чем нормальные и длиннофокусные. Чем шире угол охвата объектива, а значит, короче его фокусное расстояние, тем больше глубина резкости. Широкоугольный стиль материален, ясен, динамичен. С его помощью хорошо передается теснота, зажатость в узком пространстве. Но на открытой, ничем не ограниченной натуре он легко становится излишне повествовательным и сухо описательным, если не сопряжен с активным динамичным внешним действием или если в стилистику фильма не входят органичной ее частью зрительные образы бескрайней, безграничной земли (как, например, в фильме «Профессия: репортер» Микеланджело Антониони).
   
   Длиннофокусные объективы — это объективы с фокусным расстоянием больше 60-мм. Их еще называют телеобъективами, по своим свойствам они напоминают бинокль или подзорную трубу, которые умеют «приблизить» удаленный объект, укрупнить его, позволяют лучше рассмотреть его издали. Эффект приближения возникает из-за маленького угла охвата пространства, свойственного этим объективам. Они обладают небольшой глубиной резкости и потому требуют очень точной наводки на фокус. Все в кадре, что хоть немного удалено от плоскости наводки, сильно размывается, а перспективные отношения в пространстве нивелируются из-за небольшой масштабной разницы на экране разноудаленных предметов. Пространство, нарисованное длиннофокусным объективом, как бы сжимается, сокращается, сближаются его передний и дальний планы. Возникает крайне специфический характер оптического рисунка. Фильмы, снятые длиннофокусной оптикой, предъявляют нам образ пространства фрагментарно, по частям. Для них характерно большое количество крупных планов, панорам. Подробности атмосферы и сюжета не описываются повествовательно, а как бы случайно выхватываются из густой, насыщенной и неопределенной материи жизни. Возникающий образ мира воздушен, зыбок, импрессионистичен.
   
   Планируя съемки будущего фильма, необходимо заранее представить себе его оптический стиль, чтобы оператор мог подобрать и подготовить соответствующую оптику. Соединение в одном фильме, особенно в одном эпизоде, кадров, снятых широкоугольными и длиннофокусными объективами, опасно, так как в монтаже можно получить эффект лоскутного одеяла, скроенного из тряпок, каждая из которых не гармонирует с соседней. В некоторых случаях авторы фильмов сознательно ограничивают свой оптический ассортимент. Например, с середины 60-х и до начала 70-х годов в мире и в России был широко распространен стиль, связанный с длиннофокусной оптикой. Яркий его пример — фильм Антониони «Красная пустыня». Я сам как оператор отдал ему дань в фильмах «В огне брода нет» и «Мама вышла замуж». Последний, например, был снят всего тремя объективами: 50-мм, 75-мм и
   
   135-мм. При некоторых трудностях, с этим связанных, оптическое единство сложилось само собой.
   
   Композиция кадра
   
   Латинское слово “compositio” означает соединение, составление, сопоставление, приведение в порядок. Этим словом в Древнем Риме обозначали подбор борцовской пары для спортивного выступления, а в правовой практике — примирение тяжущихся сторон. Зачатки композиционного устройства можно наблюдать в окружающем нас Божьем мире. Например, симметричное строение цветка, ритмическое расположение листьев на ветке. Листья, ветки, цветы и ствол объединяются в единое композиционное целое — дерево. Цветовая и графическая гармония бабочки. Орнаментальная композиция в раскраске попугая. А человеческое тело? Вспомните соразмерность отдельных его частей, которые соединяются в то, что мы воспринимаем как одухотворенное единство. Возможно, идея красоты, присущая человечеству, первоначально возникла в результате восприятия тела как объекта любования. В гармоничной композиции тела нам видится промысел Божий, поэтому мы так легко одухотворяем телесную красоту, а ее противоречие с деяниями реального человека и всего человечества кажется нам чудовищным искажением Божественного замысла.
   
   Каждое движение, снимаемое на пленку, имеет начальную неподвижную фазу, которая в результате монтажных сокращений может стать не видной на экране. Но, выстраивая кадр, оператор в любом случае отталкивается от статики. Статика — зерно, которое прорастает движением. Поэтому в основе композиции кинокадра лежат законы живописной композиции. А что они такое? Можно ли их внятно сформулировать? Эту тему трактует ряд книг. Причем каждая по-разному3. Здесь, как и во всяком гуманитарном знании, царствует многозначность смыслов и слов. Гуманитарная область знания не имеет ничего общего с воинскими уставами или уголовным кодексом, которые, кстати сказать, тоже — даже несмотря на свою жесткую определенность — всякий раз толкуются по-разному. Чего же требовать от тех, кто описывает такую зыбкую материю, как живопись или литература?
   
   Художник строит картину, размещая изображения фигур и предметов непосредственно на плоском полотне. Этот способ создания изображений отличен от того, которым пользуется кинематографист, выхватывающий камерой кусок трехмерной жизни (документальная съемка) или размещающий фигуры, лица и предметы в реальном пространстве с учетом того, как их образы будут выглядеть на плоскости экрана. Для нас здесь важно подчеркнуть, что и в живописи, и в кино результатом является плоское изображение, которое только прикидывается объемным.
   
   Конечно, композиция кинокадра не требует такой изощренности, какая свойственна живописным полотнам. Полотно всего одно, оно интеграл целого сюжета, а ваш кадр — примерно одна пятисотая сюжета фильма. (Игровой фильм длительностью в полтора часа включает в себя в среднем от двухсот до семисот съемочных кадров.)
   
   Все снимаемое камерой заключается в прямоугольную рамку. Ваша задача — разместить внутри этого прямоугольника фигуры, лица, предметы так, чтобы они, соединившись в единый гармоничный образ, не мешали бы друг другу и помогали зрителю ясно увидеть и прочесть авторский замысел. Кроме того, каждый отдельный кадр следует компоновать так, чтобы он легко сцеплялся в монтаже с двумя соседними. Поиски гармонии в кадре начинаются с решения задачи выделения главного — актера. Какие же приемы можно использовать для ее выполнения?
   
   Во-первых, нужно правильно выбрать материальную среду, окружающую актера. Что на переднем плане, а что за ним? Не является ли фон излишне активным, не «кричит» ли? Не торчат ли за головой или за фигурой остановившегося актера активные вертикальные или горизонтальные линии (косяки дверей, края оконных проемов, столбы, поверхности столов, подоконников и т. п.). Лучше постараться так развести мизансцену, чтобы долго стоящий на одном месте актер рисовался бы на фоне нейтральной, нерасчлененной плоскости.
   
   Во-вторых, нужно продумать светотональные решения. Размещайте темное на светлом, светлое на темном. Второстепенное, но необходимое можно скрадывать, притеняя или, напротив, выводя в зону передержки так, чтобы оно не исчезало бы напрочь, но угадывалось, не мешая восприятию главного.
   
   В-третьих, стоит обдумать оптические приемы. Вспомните о размытости переднего и заднего — по отношению к плоскости наводки — планов. Однако не преувеличивайте возможности оптической размывки, не забывайте, что активные линии, созданные границами предметов, даже будучи размыты, все равно остаются активными линиями, которые стремятся высунуться на передний план. Живописцу в таких случаях легче: торчит линия — взял да и смягчил ее с помощью кисти. Или вообще убрал. А вам придется точно размещать ваших актеров, договариваясь с ними, чтобы во время съемки они останавливались именно там, где вам нужно.
   
   Создавая композицию конкретного кадра, помните о том, что каждый кадр должен иметь свой зрительный центр. Даже если это просто крупный план одного персонажа. По словам Джозефа фон Штернберга, съемка крупным планом настолько увеличивает человеческое лицо, что его следует снимать, как пейзаж.
   
   Обратимся к известнейшей картине И. Репина «Не ждали». В произведениях передвижников содержится много ценного для кинематографиста. Почти каждая картина — словно бы застывшая фаза кинокадра, нечто вроде того, что во время киносъемки снимают фотографы для рекламы фильма. Натурализм передвижнических полотен делает их ценным справочным материалом при воспроизведении в кино черт эпохи их создания (человеческие типы, костюм, приметы и предметы быта и т. п.). «Не ждали» не блещет живописными открытиями, характеристики персонажей сентиментальны, мелодраматичны, но зато картина эта — настоящий шедевр композиции.
   
   Перед нами — версия вечного сюжета на тему возвращения блудного сына. Репину удалось так скомпоновать картину, что взгляд зрителя, окидывая все полотно, вынужден снова и снова возвращаться к входящему страннику. Его лицо — зрительный и смысловой центр картины, который, заметьте (и это очень важно!), не соответствует оптическому. Фигура странника сильно смещена вбок (влево от зрителя).
   
   Попробуем разобраться, какими композиционными приемами Репин сделал странника доминантой картины. Обратим внимание сначала на левую треть полотна, в которой хорошо читается линия раздела стены и пола. Здесь она играет роль горизонта, отрезая полу (земле) примерно одну треть от вертикального размера холста. Соблюден простейший закон — линия горизонта никогда не должна делить картину (кадр) пополам, при том что подлинный горизонт должен находиться за окном как раз примерно посередине полотна. Но он скрыт от глаз зрителя фигурами странника и двух служанок.
   
   Отчетливо прописаны доски пола с несколько преувеличенным, «широкоугольным» сходом линий, которые ведут глаз зрителя от нижнего среза полотна прямо к фигуре странника. Перспективный сход линии верха балконной двери в левом краю картины тоже указывает на него.
   
   Фигура и лицо написаны темным и теплым цветом, отработаны бликующим светом, падающим слева от балкона, и помещены на фон светлых холодных стен. Поэтому силуэт, фигура и лицо странника читаются особенно отчетливо. Заметьте, что странник идет. Это видно по его правой (левой от зрителя) ноге, на которую вмгновение, запечатленное на холсте, перенесен центр тяжести тела. Другая нога схвачена художником в незаконченной фазе движения.
   
   И, словно предугадывая будущее документальной фотографии с ее вынужденной случайной неточностью композиций, Репин гениально расчетливо не убрал торчащий за головой персонажа кусок дверного косяка (нарушил правило, о котором я вам постоянно напоминаю), зато максимально смягчил линию косяка живописными средствами. (Что вряд ли удалось бы кинооператору!) Проем открытой за спиной странника двери играет роль рамы, из которой он только что вышел. Его недавнее пребывание в раме подчеркивает значительность события. Быть может, даже намекает на жертвенную святость персонажа, ведь современники и последующие искусствоведы почитали его революционером, только что освобожденным с каторги.
   
   Обратите внимание на фигуру матери, которая, видимо, только что поднялась навстречу сыну. Она еще не распрямила спину. Не только все линии ее тела, но даже линейные очертания старого вытертого кресла направлены в сторону вошедшего и влекут к нему взгляд зрителя.
   
   Кроме того, заметьте, все персонажи картины смотрят на странника. Направление взгляда — всегда мощная силовая линия композиции.
   
   Как же решил Репин еще одну важнейшую композиционную проблему — проблему гармоничного равновесия? Вертикалью открытой двери он разделил полотно на две неравные части. В меньшей, левой, помещаются странник и служанка в светлом платье, которая своим положением обозначает то самое место, откуда только что появился главный герой. Из-за ее плеча выглядывает легко намеченная женская голова. Эта часть картины невелика по площади и мало загружена тяжелыми тонально-цветовыми пятнами. Темен и весом только сам странник. Вся эта часть картины построена на вертикалях.
   
   Правая, большая, часть нагружена людьми и предметами быта. Встающая на переднем плане навстречу сыну мать в черном платье — самое тяжелое пятно во всей картине. Материальность кресла, несмотря на мягкость живописи, тоже создает ощущение тяжести. Тут же стол и еще три человека. Однако правая часть вся как будто распластана по горизонтали вдоль линии стола, и это помогает ей уравновеситься с левой. Кроме того, важно, что внимание, эмоциональное напряжение всех встречающих странника, пластически выраженные в их взглядах, в лицах, создают нечто вроде «обратной тяги», мешающей картине начать клониться вправо, чтобы в конце концов перевернуться. Так создано равновесие, правда, довольно неустойчивое. Вся композиция вот-вот начнет клониться и опрокидываться. И это ее огромное достоинство, выражающее и подчеркивающее эмоциональное напряжение изображенного мгновения и возможность дальнейшего развития действия, стоит только страннику сделать хотя бы еще один шаг вперед.
   
   С точки зрения кинематографиста, картина Репина «Не ждали» — общий план. Для полноценной разработки изображенной на ней сцены в кино вдобавок к общему плану потребовались бы укрупнения. Почему? Нам, наверняка, захотелось бы уловить эмоциональное, психологическое состояние каждого из персонажей. Похоже, что изображенное на картине Репина мгновение — пауза. Странник вошел и приостановился, от волнения будучи не в силах сделать последний шаг навстречу матери. Все остальные замерли, не умея сразу осмыслить событие. Эту паузу, предшествующую бурной радости, объятиям, радостным прыжкам детей, в фильме хорошо бы растянуть во времени (остановить мгновение). Для этого в длинный общий план можно коротко вставить несколько крупных планов молчащих и только глядящих детей, женщины за фортепьяно, наконец, матери и странника. Однако не представляйте себе эти крупные планы вырезанными кусочками из репинского полотна. Для съемки полноценных укрупнений почти всегда приходится смещать камеру в сторону от той точки, с которой снят общий план. Самым ярким примером может служить укрупнение матери, которая на картине расположена почти спиной к зрителю (съемочной камере). Ясно, что, укрупняя ее лицо, чтобы увидеть его выражение, придется переместить камеру на обратную точку. Примерно туда, где сейчас расположился странник. Детей, сидящих за столом, следует снимать тоже так, чтобы их взгляды были направлены почти в камеру. Пожалуй, только укрупнение самого странника может быть снято с той же точки зрения, с которой написана вся картина.
   
   Общее правило, имеющее прямое отношение к композиции крупнопланового кадра, правило, которое, конечно, можно осмысленно нарушать, состоит в том, что в той части кадра, в сторону которой направлен взгляд персонажа, нужно оставлять больше пустого пространства, чем у него, персонажа, за затылком. На той же репинской картине мальчик и девочка смотрят справа налево. Следовательно, снимая их укрупнение, нужно оставить в левой части кадра больше пустого пространства, чем в правой.
   
   Кинематографический прием укрупнения родился не на пустом месте. Живопись издавна владеет приемом фрагментарной композиции. Вспомните хотя бы жанр портрета. Очень часто портретисты писали своего героя не «общим планом», во весь рост, а по пояс или (редко) еще крупнее. Обратите внимание на работы Рембрандта в Эрмитаже, например на «Флору», типичный портрет, или на «Давида и Урию», вещь, которая своей композицией более всего напоминает кинематографический кадр. Фрагментарные композиции Дега замечательны тем, как мастерски художник нарушает все каноны, создавая новую, неизвестную до него гармонию, очень близкую кинематографической выразительности.
   
   Персонаж. Зрительный образ человека на экране
   
   Образ человека на экране — движущееся цветное или монохромное пятно причудливой формы, прикидывающееся настоящим человеком. Его поведение и судьбу придумал сценарист, конкретизировал режиссер, оживил актер, а оператор зафиксировал на пленке, погрузив в реальную, волнующую среду. Фантом зажил своей жизнью. В этой главе мы подумаем о внешней человеческой характерности на экране и о том, что из этого внешнего нужно учитывать, сочиняя свой фильм. Правда, не стоит забывать, что разделение характерности на внутреннюю и внешнюю справедливо только отчасти. «Всякая характерность есть всегда внешняя и внутренняя одновременно, лишь с большим уклоном в ту или иную сторону» (М. Чехов).
   
   Первая встреча с незнакомым человеком всегда одаривает нас целокупной интуитивной догадкой о его сути. Мы чувствуем его, но если попробуем рассказать словами об этом чувстве, выйдет, как правило, плоско и пошло. Кинематографист должен учиться запоминать подобные свои чувства, ибо они — самый верный компас при выборе исполнителя на ту или иную роль, потому что зритель всегда встречается с персонажем впервые и тоже лишь чувствует, но не анализирует. Рост, полнота, пластика движения, форма и цвет лица, волосы, прическа, одежда — все это, живя единой жизнью, создает неповторимый, таинственный, но хорошо читаемый на интуитивном уровне код.
   
   В любом фильме облик каждого персонажа являет собой определенный иероглиф в общей иероглифической композиции. Нужно научиться читать и писать иероглифы правильно. Существуют книги по физиономистике, в которых авторы пытаются связать отдельные особенности строения лица с определенными свойствами характера. Даже если принять суждения этих писателей как бесспорные, все равно воспользоваться их сочинениями в качестве пособий при выборе актеров вряд ли удастся. В реальной жизни отдельные черты строения лица, говорящие о тех или иных свойствах человеческой натуры, сочетаются в таком бесконечно разнообразном количестве комбинаций, что разобраться в них на рациональном уровне весьма затруднительно.
   
   Иногда стоит подбираться к решению не прямым, а обходным способом, воссозданием вначале не главных черт, а тех, которые могли бы родить у вашего адресата-зрителя нужные ассоциации. Придумывая вроде бы пустяки, иногда удается создать точный и цельный внешний образ персонажа, за которым, кроме всего прочего, просвечивают и психология, и судьба. «Старик Григорий Петров, одетый в длинный черный сюртук и ситцевые брюки, такой чистенький, маленький, похаживал по комнатам и постукивал каблучками, как свекор-батюшка в известной песне» (А. Чехов. «В овраге»). Работая над фильмом «Голос», Илья Авербах решил, что у главной героини один палец постоянно должен быть залеплен пластырем. С сюжетом эта подробность никак не была связана, но тем не менее каким-то странным, непрямым образом она усиливала полноценность, правдивость персонажа.
   
   Очень помогает при сочинении внешности героя его уподобление животному. «Мы видим, что Декарт у Гальса напоминает ночную птицу, кардинал Борджиа Веласкеса похож на лису. Иногда это сравнение едва уловимо, однако оно дает конкретную основу отдельным чертам лица, которые естественно и легко складываются вокруг него в целостное представление» (М. Алпатов. «Искусство портрета»).
   
   «Служил молодой священник, полный блондин с широким носом, похожий на льва» (А. Чехов. «Расстройство компенсации»).
   
   «У Аксиньи были серые наивные глаза, которые редко мигали, и на лице постоянно играла наивная улыбка. И в этих немигающих глазах, и в маленькой голове на длинной шее, и в ее стройности было что-то змеиное… Она глядела, как весной из молодой ржи глядит на прохожего гадюка, вытянувшись и подняв голову» (А. Чехов. «В овраге»).
   
   В этом чеховском описании молодой женщины кроется еще одна, очень важная черта кинематографической выразительности. Здесь рассказчик дает свое впечатление о внешности Аксиньи, о той маске, в которой она постоянно предстает перед окружающими. Везде, где мы сталкиваемся с множеством людей, собранных вместе, но существующих порознь (например, в метро), приходится задаваться вопросом: что же выражает человеческое лицо, когда его обладатель покоен, замкнут, погружен в себя, то есть не участвует в процессе общения? Несет ли оно тайный код замысла Творца, или оно всего лишь маска, под которой прячется что-то совсем иное? Человеку свойственно постоянное, прилипшее выражение лица, то выражение, которое в ансамбле с привычной манерой поведения и одеждой то ли выражает его сущность, то ли являет собой нечто вроде витрины, адресованной внешнему миру. И, может быть, именно она, эта витрина, станет для вас иероглифом вашего персонажа.
   
   Актеры в кино часто просто играют, взаимодействуют, реагируя, быть может, достаточно правдиво на ту или иную ситуацию, но, однако, забывают (вместе с режиссером) подумать о «генеральном выражении лица» своего персонажа. Размышлять об этом следует, конечно же, исходя из внутренних, смысловых задач, из того, что Станиславский называл «зерном» роли.
   
   Персонаж. Крупность плана
   
   Голова человека «в своей завершенности (круглости) отображает космос… Ее выразительность на сцене — в ее положении по отношению к телу. Искусственная мимика лица, гримаса, уничтожает выразительность головы. Гримаса — попытка делать жесты головой. Голова не предназначена для жестов, и всякое усилие привести в движение мускулы лица неэстетично». Михаил Чехов, говоря так, опирался только на театральный опыт. Чтобы зритель в театре видел мимику актера, тому приходится мимировать преувеличенно активно. Именно это представлялось Чехову неэстетичным.
   
   Кино дает возможность приблизиться к лицу исполнителя, снять его крупным планом. А что же такое крупный план, как не воспроизведение во весь экран гримасничающего лица? Между тем крупный план — одно из сильнейших выразительных средств кинематографа, органично вошедшее в его плоть и кровь. Близость съемочной камеры позволила исполнителю отказаться от преувеличенной, подчеркнутой мимики, и возникла особая эстетика актерской игры на крупном плане, предельно органичная и скупая. То, что на сцене актер выражает пластикой, жестикуляцией, на крупном плане заменяется мимическим жестом.
   
   Маленькое, еле заметное, секундное разрушение постоянной маски — вот, пожалуй, одно из достойных оправданий крупного плана. (Сравните с впечатлением от того, как по полю ржи пробегает ветер.) Великий Жан Габен всегда носил на экране одну и ту же маску, кого бы он ни играл. Поэтому мельчайшие движения губ, глаз, еле заметный поворот головы — все, что на мгновение выводило его маску из равновесия, делалось на экране важнейшим волнующим событием. А. Кончаловский в книге «Парабола замысла» находит иное, с моей точки зрения, достаточно частное оправдание крупного плана: «…где состояние экстатическое, все сконцентрировано в едином фокусе — на лице актера. Там, где интонация обыденная, можно уйти от лица говорящего, погрузиться в атмосферу среды, в экранную пластику».
   
   А для меня в тысячу раз интереснее не говорящий, а слушающий, созерцающий, молчаливо познающий. И я скорее предпочту оставить в монтаже его крупный план, чем план говорящего. Задача любого органичного крупного плана — показать изменение. Если фильму есть что сказать, место в нем для крупного плана найдется всегда. Однако при выборе крупности, определении длины каждого крупного плана необходимо чувство меры. «В режиссуре существует критерий нравственности. Слишком приближенные крупные планы, которые часто видишь на телеэкране, свидетельствуют о дурном вкусе и выглядят бесстыдством» (Франсуа Трюффо).
   
   В фильмах Чарли Чаплина вы почти не встретите крупных планов лица. Выразительность гротескных изобретений Чаплина раскрывается в пластике тела и костюма. Михаил Чехов писал о том, что руки — наиболее подвижная, связанная с чувствами часть тела, ритмы дыхания и биения сердца непосредственно вливаются в руки, делая их выразителями тончайших чувств. А в ногах человека выражается его воля. «Наблюдайте походки людей, — говорил М. Чехов, — стараясь определить характерные особенности их воли». Словом, если вы поймете, что и в какой момент вашего фильма для вас важно, что удачно сыграет сейчас, в это время и в этом месте, то вы найдете верный компас для определения того, с какой точки и с какой степенью крупности снять тот или иной кадр.
   
   Персонаж. Выбор актеров. Ансамбль
   
   Выбирая актера на роль, стоит всегда помнить, что впечатления от человека в жизни и на экране различны. Встречаясь с актером впервые, вы очень часто попадаете под обаяние его личности и не в состоянии трезво оценить все аспекты внешности. Особенно это касается молодых женщин (режиссерам-женщинам, видимо, стоит в этом смысле обратить внимание на внешность мужчин). Эротическое очарование туманит зрение, и некоторые нежелательные для будущего персонажа черты лица могут стать видными лишь на экране — тогда, когда будет уже поздно что-либо менять.
   
   Много лет назад я был знаком с очень красивой молодой женщиной, поражавшей всех нежной прелестью юного лица. К ее дню рождения наш общий знакомый, художник, написал ее портрет. Подарок произвел на нее оглушительное впечатление и был с ненавистью заброшен за шкаф, потому что показался ей злобной карикатурой. Потом я долго не виделся с этой женщиной.
   
   А когда встретил ее лет через десять, то был поражен тем, как стала она похожа на тот давний портрет. Дело, видимо, в том, что художник, следуя традиции кубистической школы, слегка подчеркнул объемные и линейные характеристики лица и тем самым как бы проявил тенденции возрастных перемен. Заглянул в будущее. Молодые лица легко прячут от нетренированного или эротически взволнованного взгляда свои скульптурные подробности. А они-то сильнее всего выражают характерность, которая обязательно выявится на экране на протяжении фильма, потому что актеру придется действовать в разнообразных световых ситуациях.
   
   Следует заметить, что бытовая и экранная красота человека разнятся. Несмотря на то что кино рядится под правду, оно все равно — выдумка, сказка, ложь. И чем сказочнее ваш сюжет, тем выше требования к внешним данным исполнителей. Кинокрасавица должна быть в миллион раз красивее, чем ваша любимая (несомненно, красивая) девушка. Вспомните многие современные американские фильмы, кои являют собой сказки для больших детей: какие в них сверхженственные женщины, какие супермужественные мужчины, как прекрасны положительные герои и отвратительны негодяи!
   
   Угадать экранную красоту непросто. Хорошо помогают разнообразные пробы — как фото-, так видео— и кинопробы. Особенно важны фотопробы, поскольку фотографии можно долго рассматривать, перекладывать, сортировать, группировать в кучки. Из этого следует, что один актер должен быть снят на фото не один раз. Просматривая актерские пробы, снятые в движении (видео или кино), нужно не только обращать внимание на собственно актерские качества претендента, но и, быть может, посвятить специальный просмотр для оценки его внешности. Фотография и экран могут, подобно заглянувшему в будущее художнику, подчеркнуть, акцентировать скрытые, малозаметные в жизни, нежелательные черты лица, неподходящие особенности фигуры, скверные подробности движения. При съемке фотопроб нужно попросить фотографа снимать разных претендентов на одну роль в одинаково повторяющихся условиях освещения, одним объективом, в сходных ракурсах, на одном и том же фоне. Только тогда вы получите полноценный материал для сравнения. И не презирайте полицейскую манеру снимать анфас и в профиль — это разная выразительность, «…ибо профиль говорит об уме, вызывает чувство гордости мыслью, и только фас может настроить публику так, что она захочет узнать нечто о моральной стороне души изображаемого актером героя» (М. Чехов). Уточняя высказывание Чехова, стоит заметить, что профиль выражает рациональное и волевое начало, а фас — душевное, связанное с чувствами и ощущениями. Подробности и нюансы психологических реакций на профильном изображении лица зачастую теряются, зато хорошо видны при поворотах анфас или три четверти.
   
   Подыскивая не одного актера, а нескольких, вы столкнетесь с проблемой ансамбля. Пять или десять героев вашего фильма будут постоянно встречаться друг с другом в разных сочетаниях, их судьбы и линии поведения будут скрещиваться. Соседство в одном кадре даже только двоих — сложная проблема. Оно не может быть случайным. Двое в кадре — это не просто один плюс один, а что-то гораздо более сложное, чем простая арифметика. Конечно, их столкнет сюжет, разработанный в сценарии, придуманные вами психология, мизансцена. Вы постараетесь так подобрать исполнителей, чтобы было возможно добиться от них единой, устраивающей вас манеры игры. Но вопрос об их внешней ансамблевости все равно останется. «Герои кадра, как слова и звуки в стихе, должны быть дифференцированными, различными — только тогда они соотносительны между собой, только тогда они взаимодействуют и взаимно окрашивают смыслом друг друга. Отсюда — подбор людей и вещей» (Ю. Тынянов).
   
   Иногда внешние черты становятся определяющими. Когда сочинялся фильм «Миф о Леониде» (о Леониде Николаеве, убившем Кирова), для меня как режиссера замысел начал оживать с момента, когда я узнал, что Николаев был маленького роста, а женой его было рослая латышка Мильда. Возник образ вечного мальчишки, любящего свою жену не только любовью мужчины, но и сыновней. Захотелось, чтобы Мильда несколько раз носила мужа на руках. Потом и сами актеры предложили мизансцену, когда, проснувшись утром, Мильда не сразу обнаруживает Николаева: он свернулся калачиком под одеялом, устроив свою голову у нее в ногах.
   
   Мы начинаем смотреть кино из жизни взвода солдат. Все они, одинаково одетые и подстриженные, выстроились на плацу. Как долго нужно к ним привыкать, чтобы начать различать их лица? Много ли сюжетных перипетий за это время пролетит мимо зрителя, сильно ли он запутается в исходных положениях типа кто кому сват, брат, друг, командир? Кино не терпит долгого входа в историю, поэтому внешность каждого персонажа должна быть ярко индивидуальной, один должен резко отличаться от другого, особенно если они все в одинаковой одежде.
   
   Критерии просты: возраст, рост, скульптура лица, его объемное строение. Цвет волос (кроме рыжего) и глаз воспринимается с большим опозданием, а вот такие простейшие характеристики, вроде «верзила», «кругломордый», «лошадиное лицо», прилипают к герою в подсознании зрителя мгновенно. Поэтому если один из персонажей длиннолиц, то другого, который так же часто появляется на экране, следует искать среди круглолицых исполнителей. Маленького следует сочетать с большим. И т. д. Как черта нужно бояться усредненной внешности.
   
   Персонаж. Актер и оператор
   
   Вы выбрали актера, и он со всей своей индивидуальностью, внутренней и внешней, в вашем распоряжении. Сам по себе он просто Иван Иванович Иванов, а перед вами стоит задача сделать из него другого.
   
   Возможность изменить лицо актера, его объемную характеристику — во власти оператора. Вспоминая о работе А. Москвина над фильмом «Новый Вавилон», Г. Козинцев писал, что актриса Елена Кузьмина не прибегала к гриму и что при этом Москвин на протяжении фильма менял ее внешность до неузнаваемости, создавая светом «следы голода, тяжелых мыслей, мужания». Действительно, светом можно подчеркивать или скрывать выступы или впадины лица, уменьшать его полноту, прятать или выпячивать глаза. Точно так же, используя нижний или верхний ракурс при съемке крупного плана, мы иногда в состоянии изменить лицо до неузнаваемости.
   
   Марлен Дитрих однажды написала в письме к своей дочери о том, как ее внешностью управляет фон Штернберг: «Визуально ему удалось то, что, как говорил парикмахер, невозможно без обесцвечивания волос, — он изменил их оттенок. Он дает подсветку сзади так умело, что над головой как будто ореол. Это поэт, который пишет не словами, а образами, и вместо карандаша у него — свет и камера. Я — его творение, дело его рук. Он придает впалость моим щекам — тенями, он распахивает мои глаза, и я сама заворожена своим лицом на экране и каждый день предвкушаю просмотр, чтобы увидеть, как я, его создание, буду выглядеть».
   
   Привлекательное лицо актрисы Елены Сафоновой хорошо знакомо всем любителям кино. Но вот недавно мне довелось посмотреть французский фильм «Аккомпаниаторша» (режиссер Клод Миллер) по мотивам романа Нины Берберовой, и я увидел во внешности героини Сафоновой незнакомого человека — злобного и рационально сухого. Эти качества, казалось бы, совершенно не свойственны актрисе. В этом фильме ее экранная внешность, созданная съемочной группой, противоречит тому, что актрисе приходится играть. Здесь не место спорить с французскими авторами (с моей точки зрения, фильм очень слаб, в том числе и из-за неверного решения персонажа Сафоновой). Просто я хочу еще раз подчеркнуть, что внешность актера на экране зависит не только от того, что ему отпустил Господь Бог, но и от гримера и художника по костюмам. А главное — от того, каким способом актера будут снимать, набор каких приемов съемки применят к нему режиссер и оператор.
   
   Желательно, чтобы этот набор, относящийся к одному персонажу, был постоянным на протяжении всего фильма. Он должен состоять из главной световой характеристики, доминирующего поворота и ракурса, специфического ассортимента оптики. Конечно, в реальных условиях разных съемочных объектов снимать одинаково все время не только невозможно, но и не нужно. Но соблюдать основное направление, основную идею, тенденцию необходимо. И, как уже, надеюсь, стало ясно, иногда придется мирить две противоречивые тенденции. Я имею в виду необходимость сохранять внешность персонажа на протяжении фильма и потребность ее временных изменений в связи с требованиями драматургии. Задача трудная, но исполнимая.
   
   Окончание следует
   
    1 Этот прием автор широко использовал при съемке фильма «В огне брода нет».
   2 Из романа русского писателя-эмигранта Гайто Газданова (1903-1971) «Возвращение Будды».
   3 Настоятельно рекомендую читателю внимательно изучить книгу М. Алпатова «Композиция в живописи» (М., 1940).
    
   
    
   
    
   
    
   Интегралы от функций, содержащих квадратное уравнение в знаменателе
   Данная статья учит решать интегралы в которых в знаменателе имеем квадратное уравнение
   Для нахождения таких интегралов требуется преобразование их в формулы интегрирования, для этого необходимо сначала выделить полный квадрат с квадратного уравнения.
   где
   Дальнейшее интегрирование сводится к отысканию табличных интегралов. Рассмотрим конкретные примеры, для закрепления данного материала.
   Пример 1.
   Вычислить интегралы
   а)
   б)
   в)
   Решение.
   а) Выделим полный квадрат из уравнения
   Искомый интеграл примет вид
   Для сведения к табличному виду интеграла выполним замену переменных
   и проинтегрируем
   б) Данный тип интеграла сложнее предыдущего тем, что в числителе имеем функцию от  Такие интегралы находят следующим образом. Сначала делаем замену переменных в интеграле
   Для получения в числителе выражения порядке  умножим и разделим наш числитель на 2.
   Получим
   Если в числителе вместо  имели , то интегрирование можно свести к отысканию одного интеграла. Однако такой вариант выбран специально, чтобы научить Вас больше. С такой заменой разбиваем интеграл на два слагаемых
   Замену мы делали для того, чтобы легко было свести первое слагаемое к табличному виду
   В нашем случае получим
   Второе слагаемое сводится по схеме, приведенной в предыдущем примере. Для этого в знаменателе выделяем полный квадрат
   Далее находим интеграл
   Окончательно, искомый интеграл равен сумме двух
   Схема возведения хорошо работает когда в знаменателе легко выделяется полный квадрат, в других случаях приходится иметь дело с корнями.
   Также встречаются примеры когда в числителе встречаются функции  высших порядков - квадратные уравнения и старше. В таких случаях их делим на знаменатель и сводим к рассматриваемому виду.
   в) Делаем замену переменных
   Чтобы получить в числителе выражение, содержащее  умножим и разделим наш числитель на 2:
   Наш интеграл запишем в виде суммы двух
   Первое слагаемое даст следующий вклад
   Для нахождения второго выделим в знаменателе полный квадрат
   Применяя табличную формулу ко второму слагаемому, получим
   Суммируя слагаемые, будем иметь
   Рассмотренные три примера описывают самые распространенные интегралы данной темы. Если Вам встретятся сложные интегралы попробуйте найти решение самостоятельно, если не сможете решить обращайтесь к нам.
   Практикуйте и подобные интегралы не будет у Вас препятствием в обучении.
    index-of.es/ 
    Название Размер
    Android / -
    Галерея искусств/                  -
    Атаки / -
    Переполнение буфера / -
    C ++ / -
    CSS / -
    Компьютер / -
    Конференции / -
    Растрескивание / -
    Криптография / -
    Базы данных / -
    Глубокая сеть / -
    Отказ в обслуживании/            -
    Электронные книги / -
    Перечисление / -
    Эксплойт / -
    Техники неудачной атаки / -
    Судебная экспертиза / -
    Галерея / -
    HTML / -
    Взломать / -
    Взлом-веб-сервер / -
    Взлом беспроводных сетей / -
    Взлом / -
    Генератор хешей / -
    JS / -
    Ява/                         -
    Linux / -
    Отмыкание/                  -
    Журналы / -
    Вредоносное ПО / -
    Метасплоит / -
    Разное / -
    Разное / -
    Протоколы сетевой безопасности / -
    Сеть / -
    ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ/                           -
    Другое / -
    PHP / -
    Perl / -
    Программирование / -
    Python / -
    RSS / -
    Rdbms / -
    Разобрать механизм с целью понять, как это работает/          -
    Рубин/                         -
    Сканирование сетей / -
    Безопасность/                     -
    Захват сеанса / -
    Снифферы / -
    Социальная инженерия/           -
    Поддерживает / -
    Системный взлом / -
    Инструменты/                        -
    Учебники / -
    UTF8 / -
    Unix / -
    Вариос-2 / -
    Варианты / -
    Видео/                       -
    Вирусы / -
    Окна / -
    Беспроводная связь / -
    Xml / -
    z0ro-Репозиторий-2 / -
    z0ro-Репозиторий-3 / -
    
    методов интеграции | Безграничное исчисление 
    Основные принципы интеграции 
    Интегрирование - это процесс поиска области, ограниченной функцией; этот процесс использует несколько важных свойств.
    Цели обучения 
    Применение основных принципов интеграции к интегральным задачам
    Основные выводы 
    Ключевые моменты 
    Термин интеграл может также относиться к понятию антипроизводной, функции [латекс] F [/ латекс], производной которой является заданная функция [латекс] f [/ латекс]. В этом случае он называется неопределенным интегралом и записывается как [латекс] \ int f (x) \, dx = F (x) + C [/ latex].
    Интегрирование является линейным, аддитивным и сохраняет неравенство функций.b [/ latex], где [latex] F [/ latex] является производным от [latex] f [/ latex].
    Ключевые термины 
     интегрирование : операция поиска области в плоскости x-y, связанной функцией
    Интегрирование - важное понятие в математике, и вместе с обратным ему дифференцированием - одна из двух основных операций в исчислении. Учитывая функцию [латекс] f [/ латекс] действительной переменной [латекс] x [/ латекс] и интервал [латекс] [a, b] [/ латекс] действительной линии, определенный интеграл [латекс] \ int_a ^ b \! f (x) \, dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графиком [latex] f [/ latex], [latex] ] x [/ latex] -ось, а вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над [latex] x [/ latex] -осью прибавляет к общей сумме, а то, что ниже оси [latex] x [/ latex], вычитает из общей суммы. a f (x) \, dx} [/ latex]
    Интеграция заменой 
    Обращая цепное правило, мы получаем метод, называемый интегрированием путем подстановки.Учитывая две функции [latex] f (x) [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex], мы можем использовать следующий идентификатор:
    [латекс] \ Displaystyle {\ int [е '(г (х)) \ cdot g' (х)] \; \ mathrm d x = f (g (x)) + C} [/ латекс]
    или в виде «фиктивной переменной» [latex] u = g (x) [/ latex]:
    [латекс] \ displaystyle {\ int f '(u) \; \ mathrm d u = f (u) + C} [/ латекс]
    Если мы собираемся использовать интегрирование подстановкой для вычисления определенного интеграла, мы должны соответственно изменить верхнюю и нижнюю границы интегрирования.
    Интеграция по частям 
    Интеграция по частям - это способ интеграции сложных функций путем разделения их на отдельные части и их индивидуальной интеграции.
    Цели обучения 
    Решите интегралы путем интегрирования по частям
    Основные выводы 
    Ключевые моменты 
    Интегрирование по частям - это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.
    Теорема выражается как [латекс] \ int u (x) v '(x) \, dx = u (x) v (x) - \ int u' (x) v (x) \, dx [/ latex ].
    Интегрирование по частям можно интерпретировать не только математически, но и графически.
    Ключевые термины 
     интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются
     производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных
    Введение 
    В исчислении интегрирование по частям - это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.Он часто используется для нахождения антипроизводной произведения функций в идеально более простую антипроизводную. Правило можно вывести в одну строку, просто интегрировав правило дифференциации продукта.
    Теорема интегрирования по частям 
    Возьмем функции [латекс] u = u (x) [/ latex] и [latex] v = v (x) [/ latex]. Взяв их производные, мы останемся с [латексом] du = u ‘(x) [/ latex] и [latex] dxdv = v '(x) dx [/ latex]. Теперь давайте посмотрим на принцип интеграции по частям:
    [латекс] \ displaystyle {\ int u (x) v '(x) \, dx = u (x) v (x) - \ int u' (x) v (x) \ dx} [/ латекс]
    или, более компактно,
    [латекс] \ displaystyle {\ int u \, dv = uv- \ int v \, du} [/ латекс]
    Проба 
    Предположим, что [latex] u (x) [/ latex] и [latex] v (x) [/ latex] - две непрерывно дифференцируемые функции.{i = 2} [/ латекс]. Предполагая, что кривая гладкая в пределах окрестности, это обобщается до неопределенных интегралов [latex] \ int xdy + \ int y dx = xy [/ latex], которые можно преобразовать в форму теоремы: [latex] \ int xdy = xy - \ int y dx [/ латекс].
    Пример 
    Чтобы вычислить [латекс] I = \ int x \ cos (x) \, dx [/ latex], пусть:
    [латекс] u = x \\ \ поэтому du = dx [/ latex]
    и
    [латекс] dv = \ cos (x) \, dx \\ \ поэтому v = \ int \ cos (x) \, dx = \ sin x [/ latex]
   , затем:
    [латекс] \ begin {align} \ int x \ cos (x) \, dx & = \ int u \, dv \\ & = uv - \ int v \, du \\ & = x \ sin (x) - \ int \ sin (x) \, dx \\ & = x \ sin (x) + \ cos (x) + C \ end {align} [/ latex]
    Тригонометрические интегралы 
    Тригонометрические интегралы - это особый набор функций, используемых для упрощения сложных математических выражений с целью их вычисления.
    Цели обучения 
    Решите основные тригонометрические интегралы
    Основные выводы 
    Ключевые моменты 
    Некоторые выражения для тригонометрических интегралов находятся с использованием свойств тригонометрических функций.
    Некоторые выражения были получены с использованием таких методов, как интегрирование по частям.
    Нет гарантии, что тригонометрический интеграл имеет аналитическое выражение.
    Ключевые термины 
     тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ детская кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]
     интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются
    Тригонометрические интегралы 
    Тригонометрические интегралы - это семейство интегралов, которые включают тригонометрические функции ([latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]).Ниже приводится список интегралов от тригонометрических функций. Некоторые из них были вычислены с использованием свойств тригонометрических функций, а другие использовали такие методы, как интегрирование по частям.
    Как правило, если функция [latex] \ sin (x) [/ latex] является любой тригонометрической функцией, а [latex] \ cos (x) [/ latex] является ее производной, то
    [латекс] \ displaystyle {\ int a \ cos nx \; \ mathrm {d} x = \ frac {a} {n} \ sin nx + C} [/ latex]
    Во всех формулах предполагается, что константа [latex] a [/ latex] отлична от нуля, а [latex] C [/ latex] обозначает константу интегрирования.2 x = \ frac {1} {2} (1 - \ sin 2x) [/ latex] и [латекс] \ sin x \ cos x = \ frac {1} {2} \ sin 2x [/ latex].

Тригонометрическая замена

Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений и упростить интегрирование.

Цели обучения

Используйте тригонометрическую замену для решения интеграла

Основные выводы

Ключевые моменты

• Если подынтегральное выражение содержит [latex] a ^ 2 - x ^ 2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sin (\ theta) [/ latex].2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sec (\ theta) [/ latex].

Ключевые термины

• тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ детская кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]

Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений. Можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальные выражения (или выражения, содержащие корни [latex] n [/ latex] th).2 (\ theta)}} \\ & = \ int \ frac {d \ theta} {a} \\ & = \ frac {\ theta} {a} + C \\ & = \ frac {1} {a} \ arctan \ left (\ frac {x} {a} \ right) + C \ end {align} [/ latex]

Метод неполных дробей

Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции.

Цели обучения

Использование частичного разложения дробей для интегрирования рациональных функций

Основные выводы

Ключевые моменты

• Любая рациональная функция действительной переменной может быть записана как сумма многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена.2 + 1 [/ латекс]

Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции. Любую рациональную функцию действительной переменной можно записать как сумму многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена. Вот несколько общих примеров.

Многочлен 1-й степени в знаменателе

Замена [latex] u = ax + b [/ latex], [latex] du = a \, dx [/ latex] уменьшает интеграл [latex] \ int {1 \ over ax + b} \, dx [/ латекс] к:

[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int {du \ over u} \\ & = {1 \ over a } \ ln \ left | u \ right | + C \\ & = {1 \ over a} \ ln \ left | ax + b \ right | + C \ end {align} [/ latex]

Повторяющийся многочлен 1-й степени в знаменателе

Та же самая замена уменьшает такие интегралы, как [latex] \ int {1 \ over (ax + b) ^ 8} \, dx [/ latex], до

[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u ^ 8} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int u ^ {- 8} \, du \\ & = {1 \ over a} \ cdot {u ^ {- 7} \ over (-7)} + C \\ & = {-1 \ over 7au ^ 7} + C \\ & = {-1 \ over 7a ( ax + b) ^ 7} + C \ end {align} [/ latex]

Неприводимый многочлен 2-й степени в знаменателе

Далее мы рассматриваем такие интегралы, как

[латекс] \ displaystyle {\ int {x + 6 \ over x ^ 2-8x + 25} \, dx} [/ latex]

Самый быстрый способ увидеть, что знаменатель, [латекс] x ^ 2 - 8x + 25 [/ latex], несократим, - это заметить, что его дискриминант отрицательный.2-8x + 25) + {10 \ over 3} \ arctan \ left ({x-4 \ over 3} \ right) + C} [/ latex]

Интеграция с использованием таблиц и компьютеров

Для интегрирования обычно используются таблицы известных интегралов или компьютерных программ.

Цели обучения

Определить, какие интегралы следует решать с помощью таблиц или компьютеров в силу их сложности

Основные выводы

Ключевые моменты

• В то время как дифференциация имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых составляющих функций, интегрирование - нет.
• В книгах с интегральными таблицами можно найти компиляцию списка интегралов и методов интегрального исчисления.
• Существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.

Ключевые термины

• интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются

Интегрирование - основная операция в интегральном исчислении.В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых компонентных функций, интегрирование этого не делает, поэтому часто полезны таблицы известных интегралов. Нам также, возможно, придется прибегнуть к компьютерам для выполнения интеграла.

Интеграция с использованием таблиц

Сборник списка интегралов и методов интегрального исчисления был опубликован немецким математиком Мейером Хиршем еще в 1810 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Давидом де Биренс де Хааном.Новое издание вышло в 1862 году. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика. Вот несколько примеров интегралов в этих таблицах для логарифмических функций:

[латекс] \ int \ ln ax \; dx = x \ ln ax - x [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ int \ ln (ax + b) \; dx = \ frac {(ax + b) \ ln (ax + b) - ax} {a}} [/ latex]

[латекс] \ int (\ ln x) ^ 2 \; dx = x (\ ln x) ^ 2 - 2x \ ln x + 2x [/ латекс]

[латекс] \ Displaystyle {\ int (\ пер х) ^ п \; dx = x \ sum ^ {n} _ {k = 0} (- 1) ^ {n-k} \ frac {n!} {k! } (\ ln x) ^ k} [/ латекс]

[латекс] \ Displaystyle {\ int \ frac {dx} {\ ln x} = \ ln \ left | \ ln x \ right | + \ ln x + \ sum ^ \ infty_ {k = 2} \ frac {(\ ln x) ^ k} {k \ cdot k! }} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ int \ frac {dx} {(\ ln x) ^ n} = - \ frac {x} {(n-1) (\ ln x) ^ {n-1}} + \ frac {1} {n-1} \ int \ frac {dx} {(\ ln x) ^ {n-1}} \ qquad \ mbox {(для} n \ neq 1 \ mbox {)}} [/ латекс ]

Вы, конечно, видите, что эти интегралы сложно сделать просто «вручную».”

Интеграция с использованием компьютеров

Компьютеры могут использоваться для интеграции двумя основными способами. Во-первых, численные методы с использованием компьютеров могут быть полезны при вычислении определенного интеграла. Есть много методов и алгоритмов. Мы вкратце узнаем о численном интегрировании в другом атоме. Во-вторых, существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.

Интеграция : Численное интегрирование заключается в нахождении численных приближений для значения [латекс] S [/ латекс].{b} f (x) \, dx = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + 2f (x_3) + \ ldots + 2f (x_N) + f (x_ {N + 1) }))[/латекс].

2. В двух и более измерениях, где простые методы приближения становятся непомерно дорогими с точки зрения вычислительных затрат, можно использовать другие методы, такие как метод Монте-Карло.

Ключевые термины

• трапеция : (выпуклый) четырехугольник с двумя (несмежными) параллельными сторонами

Численное интегрирование, в некоторых случаях также известное как числовая квадратура, требует значения определенного интеграла.Популярные методы используют одну из формул Ньютона – Котеса (например, правило средней точки или правило Симпсона) или квадратуру Гаусса. Эти методы основаны на стратегии «разделяй и властвуй», при которой интеграл относительно большого множества разбивается на интегралы меньшего множества. В более высоких измерениях, где эти методы становятся непомерно дорогими с точки зрения вычислительных затрат, можно использовать другие методы, такие как метод Монте-Карло. Здесь мы изучим очень простой метод аппроксимации, называемый правилом трапеции.{b} f (x) \, dx \ приблизительно (b-a) \ frac {f (a) + f (b)} {2}} [/ latex]

Правило трапеции имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрированы по их периодам.

Аппроксимация линейными функциями : Функция [латекс] f (x) [/ latex] (синим цветом) аппроксимируется линейной функцией (красным цветом).

Числовая реализация правила трапеции

Для домена, дискретизированного на [латекс] N [/ латекс] равномерно распределенные панели или [латекс] N + 1 [/ latex] точки сетки [латекс] (1, 2, \ cdots, N + 1) [/ latex] , где шаг сетки равен [latex] h = \ frac {(ba)} {N} [/ latex], аппроксимация интеграла принимает следующий вид:

[латекс] \ begin {align} \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx & \ приблизительно \ frac {h} {2} \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ left ( f (x_ {k + 1}) + f (x_ {k}) \ right) {} \\ & = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + \ cdots + 2f ( x_N) + f (x_ {N + 1})) \ end {align} [/ latex]

Хотя в методе также может использоваться неоднородная сетка, в этом примере для аппроксимации использовалась равномерная сетка. bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex].bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex], в котором берется ограничение в одной или другой (а иногда и в обеих) конечных точках.

3. Часто необходимо использовать несобственные интегралы, чтобы вычислить значение интегралов, которые могут не существовать в обычном смысле (например, интеграл Римана) из-за сингулярности функции или бесконечной конечной точки области определения интеграция.

Ключевые термины

• интегрировать : функция, которая должна быть интегрирована
• определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей

Несоответствующий интеграл - это предел определенного интеграла, когда конечная точка интервала (ов) интегрирования приближается либо к заданному действительному числу, либо к [latex] \ infty [/ latex] или [latex] - \ infty [/ latex] или , в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам.bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex]

, в котором используется ограничение на одной или другой конечной точке (а иногда и на обеих).

Несобственный интеграл второго рода : Несобственный интеграл Римана второго рода. Интеграл может не существовать из-за вертикальной асимптоты функции.

Интегралы также являются неправильными, если подынтегральное выражение не определено во внутренней точке области интегрирования или в нескольких таких точках. Часто необходимо использовать несобственные интегралы, чтобы вычислить значение интегралов, которые могут не существовать в обычном смысле (например, интеграл Римана) из-за сингулярности функции или бесконечной конечной точки области интегрирования. .2} \, \ mathrm {d} x \\ & = \ lim_ {b \ to \ infty} \ left (- \ frac {1} {b} + \ frac {1} {1} \ right) \\ & = 1 \ end {align} [/ latex]

Пример 2

Узкое определение интеграла Римана также не распространяется на функцию [latex] \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ latex] на интервале [latex] [0, 1] [/ latex]. Проблема здесь в том, что подынтегральное выражение не ограничено в области интегрирования (определение требует, чтобы и область интегрирования, и подынтегральное выражение были ограничены). +} (2 \ sqrt {1} -2 \ sqrt {a}) \\ & = 2 \ end {align} [/ latex]

Численное интегрирование

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла.б \! f (x) \, dx [/ латекс].

4. Существует несколько причин для проведения численного интегрирования. Это может быть связано со специфическим характером функции (подлежащей интеграции) или ее первообразных.
5. Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать. Обычно эти интерполирующие функции являются полиномами. Простыми примерами являются метод средней точки и метод трапеции.

Ключевые термины

• трапециевидная : в форме трапеции или с несколькими гранями, имеющими одну пару параллельных сторон
• первообразная : неопределенный интеграл

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла, и, в более широком смысле, этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений. 2) [/ latex], первообразная которого (функция ошибки, умноженная на константу) не может быть записана в элементарной форме.

6. Может быть возможно найти первообразную символически, но может быть проще вычислить численное приближение, чем вычислить первообразную. Это может иметь место, если первообразная дана как бесконечная серия или произведение, или если для ее оценки требуется специальная функция, которая недоступна.

Методы одномерных интегралов

Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать.b f (x) \, dx \ приблизительно (b-a) \, f \ left (\ frac {a + b} {2} \ right)} [/ latex]

Правило прямоугольника : Иллюстрация правила прямоугольника.

Интерполирующая функция может быть аффинной функцией (полиномом степени 1), которая проходит через точки [latex] (a, f (a)) [/ latex] и [latex] (b, f (b)) [/ латекс]. Это называется правилом трапеции. \ prime \ left (x \ right) = f \ left (x \ right)} \]

для всех \ (x \) в интервале \ (I.\ prime \ left (x \ right) = f \ left (x \ right).} \]

В этом определении \ (\ int {} \) называется интегральным символом, \ (f \ left (x \ right) \) называется подынтегральным выражением, \ (x \) называется переменной интегрирования, \ (dx \) называется дифференциалом переменной \ (x, \), а \ (C \) называется постоянной интегрирования.

Неопределенный интеграл некоторых общих функций

Интегрирование - это обратный процесс дифференцирования, поэтому таблица основных интегралов следует из таблицы производных.x}}} {{\ ln b}} \ normalsize} + C \) \ (\ int {\ sin xdx} = - \ cos x + C \) \ (\ int {\ cos xdx} = \ sin x + C \) \ (\ int {\ tan xdx} = - {\ ln \ left | {\ cos x} \ right |} + C \) \ (\ int {\ cot xdx} = {\ ln \ left | {\ sin x} \ right |} + C \) \ (\ int {\ sec xdx} = {\ ln \ left | {\ tan \ left ({\ large \ frac {x} {2} \ normalsize} + {\ large \ frac {\ pi} {4}) \ normalsize} \ right)} \ right | + C} = {\ ln \ left | {\ sec x + \ tan x} \ right | + C} \) \ (\ int {\ csc xdx} = {\ ln \ left | {\ tan \ large \ frac {x} {2} \ normalsize} \ right | + C} = {- \ ln \ left | { \ csc x + \ cot x} \ right | + C} \) \ (\ int {{\ sec ^ 2} xdx} = \ tan x + C \) \ (\ int {{\ csc ^ 2} xdx} = - \ cot x + C \) \ (\ int {\ sec x \ tan xdx} = \ sec x + C \) \ (\ int {\ csc x \ cot xdx} = - \ csc x + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{1 + {x ^ 2}}} \ normalsize} = \ arctan x + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{{a ^ 2} + {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {a} \ normalsize} \ arctan {\ large \ frac {x} {a} \ normalsize} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{1 - {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {2} \ normalsize} {\ ln \ left | {{\ large \ frac {{1 + x}} {{1 - x}} \ normalsize}} \ right |} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{{a ^ 2} - {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {{2a}} \ normalsize} \ ln \ left | {\ large {\ frac {{a + x}} {{a - x}} \ normalsize}} \ right | + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {1 - {x ^ 2}}}} \ normalsize} = \ arcsin x + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {{a ^ 2} - {x ^ 2}}}} \ normalsize} = \ arcsin {\ large \ frac {x} {a} \ normalsize} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {{x ^ 2} \ pm {a ^ 2}}}} \ normalsize} = {\ ln \ left | {x + \ sqrt {{x ^ 2} \ pm {a ^ 2}}} \ right |} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{x \ sqrt {{x ^ 2} - 1}}} \ normalsize} = {\ text {arcsec} \ left | x \ right | } + C \) \ (\ int {\ sinh xdx} = \ cosh x + C \) \ (\ int {\ cosh xdx} = \ sinh x + C \) \ (\ int {{\ text {sech} ^ 2} xdx} = \ tanh x + C \) \ (\ int {{\ text {csch} ^ 2} xdx} = - \ text {coth} \, x + C \) \ (\ int {\ text {sech} \, x \ tanh xdx} = - {\ text {sech} \, x} + C \) \ (\ int {\ text {csch} \, x \ coth xdx} = - {\ text {csch} \, x} + C \) \ (\ int {\ tanh xdx} = {\ ln \ cosh x} + C \)

Свойства неопределенного интеграла

1. Если \ (a \) некоторая константа, то
\ [\ cssId {element11} {\ int {af \ left (x \ right) dx}} = \ cssId {element12} {a \ int {f \ left (x \ right) dx},} \]
я.е. постоянный коэффициент можно вынести за знак интеграла.
2. Для функций \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right), \)
\ [\ cssId {element13} {\ int {\ left [{f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right] dx}} = \ cssId {element14} {\ int { f \ left (x \ right) dx}} \ pm \ cssId {element15} {\ int {g \ left (x \ right) dx},} \]
т.е. неопределенный интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

Вычисление интегралов с использованием линейных свойств неопределенных интегралов и таблицы основных интегралов называется прямым интегрированием.4}}}}} {4} + C.}
\]

Пример 5.

Найдите неопределенный интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{x + 1}} {{\ sqrt x}}} \ normalsize dx}. \)

Решение.

Запишем интегралы в виде суммы двух интегралов и вычислим их отдельно:

\ [{\ int {\ frac {{x + 1}} {{\ sqrt x}} dx}} = {\ int {\ left ({\ frac {x} {{\ sqrt x}} + \ frac {1} {{\ sqrt x}}} \ right) dx}} = {\ int {\ left ({\ sqrt x + \ frac {1} {{\ sqrt x}}} \ right) dx}} = {\ int {\ sqrt x dx} + \ int {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x}}}} = {\ frac {{{x ^ {\ frac {3} {2}}}} } {{\ frac {3} {2}}} + 2 \ sqrt x + C} = {\ frac {{2 \ sqrt {{x ^ 3}}}} {3} + 2 \ sqrt x + C.2}}} {2} + C.} \]

Интеграция | Физика для идиотов

Представьте, что у вас есть график. И на нем есть какая-то кривая, или линия, или что-то еще. Допустим, вам просто для удовольствия нужно найти область между кривой и осью x графика. Если у вас есть прямая линия, ее относительно легко, у вас будет либо прямоугольная область, либо треугольная область, либо их комбинация. Но что, если у вас есть кривая, и это действительно зловещая кривая? Ну вы пользуетесь интеграцией.

Теперь, если вы не знаете точное уравнение кривой, линии или чего-то еще, вы не можете использовать интегрирование. Черт, если вы не знаете точное уравнение линии, я не могу придумать ничего, что вы можете сделать.

Сначала вам нужно выбрать ось для интеграции. Вы хотите найти область под кривой (ось x) или рядом с кривой (ось y). Далее вам нужно выбрать лимиты. Где находится ваш район? 5 и 7? -21 и 2,4? 0 и ∞? Когда у вас есть свои пределы и выбранная ось, вы можете красиво и аккуратно изложить все это в интегральной форме, чтобы она выглядела примерно так:

(1)

a и b - это ваши пределы, размер вашей области, между какими цифрами она находится.Теперь предположим, что вы решили интегрировать какое-то ужасное уравнение, чтобы найти его площадь. И вы решили работать с осью x между 0 и 7, например,

График, который мы будем интегрировать, чтобы найти площадь под кривой.

Интеграция в основном разбивает ее на множество маленьких кусочков и складывает их, например. одним из маленьких кусочков графика будет

Теперь «площадь» этого бита равна всего 12. Вы просто предполагаете, что он имеет такую ​​маленькую ширину, что это не имеет значения, и просто подсчитываете высоту.Так что вы делаете это все время. Чем тоньше ваши линии, тем лучше будет ваш результат, поэтому у вас также будет

и все остальные между двумя вашими пределами (в данном случае 0 и 7). Интеграция сделает это за вас. Он учитывает бесконечное количество полосок с нулевой шириной и позволяет рассчитать общую площадь. Итак, вернемся к интегралу (уравнение 1)

(2)

Фигурный бит перед интегралом похож на растянутую букву s и в основном означает «сумму», потому что вы складываете все маленькие биты.Бит .d x в интеграле нужен только для того, чтобы показать вам, что вы складываете все биты по оси x. d «что-то» в математике почти всегда означает «небольшое изменение в чем-то».

Итак, между большим s с вашими пределами и битом .d x в конце у вас есть f ( x ). Возможно, вы не знакомы с этими обозначениями, поэтому я объясню. f ( x ) это просто некоторая функция от x. f ( x ) просто означает, что здесь вы помещаете свою функцию x, будь то sin ( x ), x 2 +23 или что-то еще, просто что-то, где меняется x.Если у вас было y = x 3 + 3x + 4, тогда ваше f ( x ) будет всего лишь x 3 +3 x +4, это ваша функция.

Поскольку я уже набрал его и могу просто использовать копирование и вставку, давайте интегрируем y = x 3 +3 x +4 между 5 и 9. Это может пойти совершенно неправильно, но теперь я решил придерживаться.

Итак, сначала давайте запишем его в правильной форме, например,

(3)

Теперь интегрирующая часть…

Именно в этот момент я понял, что застрял.Не существует набора правил для всей интеграции, вы должны делать разные вещи в зависимости от того, какое уравнение у вас есть. Некоторые уравнения хорошо интегрируются, некоторые - нет, для некоторых нужно использовать несколько правил. Что я сделаю, так это начну с элементарного и перейду к тяжелому.

Хорошо, вернемся к уравнению, которое у нас было раньше, y = x 3 +3 x +4 между 5 и 9. Таким образом, вы помещаете его в стандартную форму для интегралов и получаете

(4)

Теперь интегрировать.Все, что вы делаете для интеграции, - это определенная операция на всех необходимых условиях. В этом случае у нас есть .d x в конце, поэтому его интересовали x , поэтому мы должны выполнить эту специальную операцию для всех условий, которые включают x . Первое и, возможно, самое фундаментальное и основное правило интеграции -

.

(5)

Каждый раз, когда у вас есть x в простой числовой степени, вы просто следуете приведенному здесь правилу. Просто добавьте 1 к степени, а затем разделите все на новую степень, так что x 2 станет x 3 /3 и x 57.8 становится x 58,8 /58,8. Если термин не содержит термин x , скажем, например 8, тогда вы просто говорите, что это 8 x 0 , поскольку x 0 равно 1, поэтому, когда вы интегрируете 8, вы получаете 8 x . Итак, в примере

(6)

Однако это просто стандартный интеграл, он похож на формулу для площади, поэтому, чтобы на самом деле найти площадь, мы должны сделать это, как это

(7)

Чтобы окончательно решить бит справа в квадратных скобках с пределами, вы просто устанавливаете верхний предел для x , а затем убираете из него значение, когда нижний предел составляет x , например,

(8)

Таким образом, площадь под графиком y = x 3 +3 x +4 между 5 и 9 составляет всего 1584

Для дроби, где единственным знаменателем является степень x, вы можете использовать метод, который позволяет вам рассматривать ее, как мы поступали в разделе «Простые полномочия».Метод заключается в использовании следующего отношения

Если вы просматривали эту страницу и не смогли найти правило для своей функции, возможно, его нет. В некоторых уравнениях нет хороших правил, а иногда требуется их несколько. В Википедии есть фантастический ресурс, который может помочь вам с некоторыми из более сложных уравнений, вы можете найти его ЗДЕСЬ! ( Конечно, мы надеемся, что вы нашли здесь ответ)

5.2 Определенный интеграл - Исчисление Том 1

Цели обучения

• 5.2.1. Сформулируйте определение определенного интеграла.
• 5.2.2 Объясните термины подынтегральное выражение, пределы интегрирования и переменная интегрирования.
• 5.2.3 Объясните, когда функция интегрируема.
• 5.2.4 Опишите взаимосвязь между определенной интегральной площадью и чистой площадью.
• 5.2.5 Используйте геометрию и свойства определенных интегралов для их вычисления.
• 5.2.6 Вычислить среднее значение функции.

В предыдущем разделе мы определили площадь под кривой в терминах сумм Римана:

A = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx.A = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx.

Однако это определение имело ограничения. Мы потребовали, чтобы f (x) f (x) была непрерывной и неотрицательной. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.

Определение и обозначения

Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования о непрерывности и неотрицательности функции f (x) f (x) и определяем определенный интеграл следующим образом.

Определение

Если f (x) f (x) - функция, определенная на интервале [a, b], [a, b], определенный интеграл f от a до b будет равен

Abf (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx, ∫abf (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx,

(5.8)

при наличии ограничения. Если этот предел существует, функция f (x) f (x) называется интегрируемой на [a, b], [a, b] или интегрируемой функцией.

Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым.Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без a и b сверху и снизу) для представления первообразной. Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают. Определенный интеграл - это число. Неопределенный интеграл - это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница, которого часто считают соавтором исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, обозначающую сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала, [a, b]. [A, b]. Числа a и b являются значениями x и называются пределами интегрирования; в частности, a - это нижний предел, а b - верхний предел.Чтобы уточнить, мы используем слово предел двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Сначала поговорим о пределе суммы при n → ∞.n → ∞. Во-вторых, границы области называются границами интеграции .

Мы называем функцию f (x) f (x) подынтегральным выражением, а dx указывает, что f (x) f (x) является функцией относительно x , называемой переменной интегрирования. Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла.В качестве переменной интегрирования мы можем использовать любую понравившуюся переменную:

Abf (x) dx = ∫abf (t) dt = ∫abf (u) du∫abf (x) dx = ∫abf (t) dt = ∫abf (u) du

Ранее мы обсуждали тот факт, что если f (x) f (x) непрерывна на [a, b], [a, b], то предел limn → ∞∑i = 1nf (xi *) ∆xlimn → ∞∑ i = 1nf (xi *) Δx существует и единственно. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема 5.1

Непрерывные функции интегрируемы

Если f (x) f (x) непрерывна на [a, b], [a, b], то f интегрируемо на [a, b].[а, б].

Функции, которые не являются непрерывными на [a, b] [a, b], могут быть интегрируемыми, в зависимости от природы разрывов. Например, функции с конечным числом скачков на отрезке интегрируемы.

Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности.Вместо этого мы должны принять предел, так как ширина самого большого подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.

Пример 5.7

Вычисление интеграла по определению

Используйте определение определенного интеграла для вычисления ∫02x2dx.∫02x2dx. Используйте аппроксимацию правой конечной точки, чтобы получить сумму Римана.

Решение

Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем a = 0a = 0 и b = 2.b = 2. Для i = 0,1,2,…, n, i = 0,1,2,…, n, пусть P = {xi} P = {xi} - регулярное разбиение [0,2]. [0, 2]. Тогда

Δx = b − an = 2n. Δx = b − an = 2n.

Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции на правом конце интервала [xi − 1, xi]. [Xi − 1, xi] . Правая конечная точка интервала - xi, xi, и, поскольку P является обычным разделом,

xi = x0 + iΔx = 0 + i [2n] = 2in.xi = x0 + iΔx = 0 + i [2n] = 2in.

Таким образом, значение функции на правом конце интервала равно

f (xi) = xi2 = (2in) 2 = 4i2n2.f (xi) = xi2 = (2in) 2 = 4i2n2.

Тогда сумма Римана принимает вид

∑i = 1nf (xi) Δx = ∑i = 1n (4i2n2) 2n = ∑i = 1n8i2n3 = 8n3∑i = 1ni2.i = 1nf (xi) Δx = ∑i = 1n (4i2n2) 2n = ∑i = 1n8i2n3 = 8n3∑i = 1ni2.

Используя формулу суммирования для ∑i = 1ni2, ∑i = 1ni2, получаем

∑i = 1nf (xi) Δx = 8n3∑i = 1ni2 = 8n3 [n (n + 1) (2n + 1) 6] = 8n3 [2n3 + 3n2 + n6] = 16n3 + 24n2 + 8n6n3 = 83 + 4n + 86n2.∑i = 1nf (xi) Δx = 8n3∑i = 1ni2 = 8n3 [n (n + 1) (2n + 1) 6] = 8n3 [2n3 + 3n2 + n6] = 16n3 + 24n2 + 8n6n3 = 83 + 4n + 86n2.

Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл, нам нужно перейти к пределу при n → ∞.n → ∞. Получаем

∫02x2dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi) Δx = limn → ∞ (83 + 4n + 86n2) = limn → ∞ (83) + limn → ∞ (4n) + limn → ∞ (86n2) = 83 + 0. + 0 = 83. 02x2dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi) ∆x = limn → ∞ (83 + 4n + 86n2) = limn → ∞ (83) + limn → ∞ (4n) + limn → ∞ (86n2 ) = 83 + 0 + 0 = 83.

КПП 5,7

Используйте определение определенного интеграла, чтобы вычислить ∫03 (2x − 1) dx.∫03 (2x − 1) dx. Используйте аппроксимацию правой конечной точки, чтобы получить сумму Римана.

Вычисление определенных интегралов

Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений.Позже в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без взятия пределов сумм Римана. Однако на данный момент мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют собой площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси x .

Пример 5.8

Использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов

Используйте формулу площади круга, чтобы вычислить ∫369− (x − 3) 2dx.369− (x − 3) 2dx.

Решение

Функция описывает полукруг с радиусом 3. Найти

∫369− (x − 3) 2dx, ∫369− (x − 3) 2dx,

мы хотим найти площадь под кривой на интервале [3,6]. [3,6]. Формула для вычисления площади круга: A = πr2.A = πr2. Площадь полукруга составляет половину площади круга, или A = (12) πr2.A = (12) πr2. Заштрихованная область на рис. 5.16 покрывает половину полукруга, или A = (14) πr2.A = (14) πr2. Таким образом,

∫369− (x − 3) 2 = 14π (3) 2 = 94π≈7,069. 369− (x − 3) 2 = 14π (3) 2 = 94π≈7,069.

Рисунок 5.16. Значение интеграла функции f (x) f (x) на интервале [3,6] [3,6] - это площадь заштрихованной области.

КПП 5.8

Используйте формулу площади трапеции, чтобы вычислить ∫24 (2x + 3) dx.∫24 (2x + 3) dx.

Площадь и определенный интеграл

При определении определенного интеграла мы сняли требование неотрицательности f (x) f (x).Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда f (x) f (x) отрицательно?

Чистая подписанная площадь

Вернемся к сумме Римана. Рассмотрим, например, функцию f (x) = 2−2x2f (x) = 2−2x2 (показанную на рисунке 5.17) на интервале [0,2]. [0,2]. Используйте n = 8n = 8 и выберите {xi *} {xi *} в качестве левой конечной точки каждого интервала. Постройте прямоугольник на каждом подынтервале высотой f (xi *) f (xi *) и шириной Δ x . Когда f (xi *) f (xi *) положительно, произведение f (xi *) Δxf (xi *) Δx, как и раньше, представляет площадь прямоугольника.Однако, когда f (xi *) f (xi *) отрицательно, произведение f (xi *) Δxf (xi *) Δx представляет отрицательных площади прямоугольника. Сумма Римана тогда становится

.
∑i = 18f (xi *) Δx = (Площадь прямоугольников над осью x) - (Площадь прямоугольников ниже оси x) ∑i = 18f (xi *) Δx = (Площадь прямоугольников над осью x) - ( Площадь прямоугольников ниже оси x)

Рис. 5.17. Для частично отрицательной функции сумма Римана - это площадь прямоугольников над осью x за вычетом площади прямоугольников под осью x .

Принимая предел при n → ∞, n → ∞, сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x за вычетом площади между кривой под осью x и ось x , как показано на рис. 5.18. Затем

∫02f (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (ci) Δx = A1 − A2.∫02f (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (ci) Δx = A1 − A2.

Величина A1-A2A1-A2 называется чистой подписанной областью.

Рис. 5.18 В пределе определенный интеграл равен площади A 1 минус площадь A 2 или чистая площадь со знаком.

Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью x больше, чистая подписанная область положительна. Если область под осью x больше, чистая подписанная область отрицательна. Если области выше и ниже оси x равны, чистая подписанная область равна нулю.

Пример 5.9

Поиск чистой подписанной области

Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции f (x) = 2xf (x) = 2x и осью x на интервале [−3,3].[−3,3].

Решение

Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от x = −3x = −3 до x = 0x = 0, а другой от x = 0x = 0 до x = 3x = 3 (рисунок 5.19). Используя геометрическую формулу для площади треугольника, A = 12bh, A = 12bh, площадь треугольника A 1 над осью равна

.

, где 3 - основание, а 2 (3) = 62 (3) = 6 - высота. Площадь треугольника A 2 ниже оси равна

.
A2 = 12 (3) (6) = 9, A2 = 12 (3) (6) = 9,

, где 3 - основание, а 6 - высота.Таким образом, чистая площадь составляет

.
∫ − 332xdx = A1 − A2 = 9−9 = 0. − 332xdx = A1 − A2 = 9−9 = 0.

Рис. 5.19. Площадь над кривой и под осью x равна площади под кривой и над осью x .

Анализ

Если A 1 - это область над осью x , а A 2 - это область под осью x , то чистая площадь равна A1 − A2.A1 − A2. Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

КПП 5.9

Найдите чистую знаковую площадь f (x) = x − 2f (x) = x − 2 на интервале [0,6], [0,6], как показано на следующем рисунке.

Общая площадь

Одно из применений определенного интеграла - определение смещения при заданной функции скорости. Если v (t) v (t) представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе.А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже хорошо знакома. Если автомобиль удаляется от исходного положения по прямой со скоростью 70 миль в час в течение 2 часов, то он находится на расстоянии 140 миль от исходного положения (рис. 5.20). Используя интегральные обозначения, имеем

∫0270dt = 140.∫0270dt = 140.

Рис. 5.20. Площадь под кривой v (t) = 75v (t) = 75 показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

В контексте смещения чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции. Если после этого автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рис. 5.21). Опять же, используя интегральные обозначения, имеем

∫0260dt + ∫25−40dt = 120−120 = 0. 0260dt + ∫25−40dt = 120−120 = 0.

В этом случае смещение равно нулю.

Рисунок 5.21 Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать область между кривой и осью x , независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью.

С графической точки зрения проще всего рассчитать общую площадь, добавив области над осью и области под осью (вместо вычитания областей под осью, как мы это делали с чистой подписанной областью).Чтобы достичь этого математически, мы используем функцию абсолютного значения. Таким образом, общее расстояние, пройденное автомобилем, составит

.
∫02 | 60 | dt + ∫25 | −40 | dt = ∫0260dt + ∫2540dt = 120 + 120 = 240. 02 | 60 | dt + ∫25 | −40 | dt = ∫0260dt + ∫2540dt = 120 + 120 = 240.

Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.

Определение

Пусть f (x) f (x) - интегрируемая функция, определенная на интервале [a, b]. [A, b]. Пусть A 1 представляет область между f (x) f (x) и осью x , которая лежит на над осью , и пусть A 2 представляет область между f (x) f (x) и ось x , которая находится на ниже оси .Тогда чистая подписанная область между f (x) f (x) и осью x будет равна

.
∫abf (x) dx = A1 − A2. Abf (x) dx = A1 − A2.

Общая площадь между f (x) f (x) и осью x равна

Ab | f (x) | dx = A1 + A2. Ab | f (x) | dx = A1 + A2.

Пример 5.10

Определение общей площади

Найдите общую площадь между f (x) = x − 2f (x) = x − 2 и осью x в интервале [0,6]. [0,6].

Решение

Вычислите точку пересечения x как (2,0) (2,0) (установите y = 0, y = 0, найдите x ).Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси x на подынтервале [0,2] [0,2] и добавьте ее к области над осью x на подынтервале [2,6] [2,6] (Рисунок 5.22).

Рис. 5.22. Общая площадь между линией и осью x на [0,6] [0,6] составляет A 2 плюс A 1 .

У нас

∫06 | (x − 2) | dx = A2 + A1. ∫06 | (x − 2) | dx = A2 + A1.

Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем

A2 = 12bh = 12 · 2 · 2 = 2 A2 = 12bh = 12 · 2 · 2 = 2
A1 = 12bh = 12 · 4 · 4 = 8.A1 = 12bh = 12 · 4 · 4 = 8.

Таким образом, общая площадь составляет

A1 + A2 = 8 + 2 = 10. A1 + A2 = 8 + 2 = 10.

КПП 5.10

Найдите общую площадь между функцией f (x) = 2xf (x) = 2x и осью x на интервале [−3,3]. [- 3,3].

Свойства определенного интеграла

Свойства неопределенных интегралов применимы также к определенным интегралам. Определенные интегралы также имеют свойства, относящиеся к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим далее в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

Правило: свойства определенного интеграла

1. aaf (x) dx = 0∫aaf (x) dx = 0

   (5.9)

   Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой просто линию и не содержит области.

2. ∫baf (x) dx = −∫abf (x) dx∫baf (x) dx = −∫abf (x) dx

   (5.10)

   Если пределы поменяны местами, поставьте знак минус перед интеграл.

3. ab [f (x) + g (x)] dx = ∫abf (x) dx + ∫abg (x) dx∫ab [f (x) + g (x)] dx = ∫abf (x) dx + ∫abg (x) dx

   (5.11)

   Интеграл от суммы - это сумма интегралов.

4. ab [f (x) −g (x)] dx = ∫abf (x) dx − ∫abg (x) dx∫ab [f (x) −g (x)] dx = ∫abf (x) dx − ∫abg (x) dx

   (5.12)

   Интеграл разности - это разность интегралов.

5. ∫abcf (x) dx = c∫abf (x) ∫abcf (x) dx = c∫abf (x)

   (5.13)

   для константы c . Интеграл от произведения константы и функции равен константе, умноженной на интеграл функции.

6. ∫abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx∫abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx

   (5.14)

   Хотя эта формула обычно применяется, когда c находится между a и b , формула верна для всех значений a , b и c , при условии, что f (x) f ( x) интегрируемо на наибольшем интервале.

Пример 5.11

Использование свойств определенного интеграла

Используйте свойства определенного интеграла, чтобы выразить определенный интеграл от f (x) = - 3x3 + 2x + 2f (x) = - 3x3 + 2x + 2 в интервале [−2,1] [- 2,1] как сумму трех определенных интегралов.

Решение

В интегральных обозначениях имеем ∫ − 21 (−3x3 + 2x + 2) dx.∫ − 21 (−3x3 + 2x + 2) dx. Применяем свойства 3. и 5., чтобы получить

.
∫ − 21 (−3x3 + 2x + 2) dx = ∫ − 21−3x3dx + ∫ − 212xdx + ∫ − 212dx = −3∫ − 21x3dx + 2∫ − 21xdx + ∫ − 212dx.∫ − 21 (−3x3 + 2x + 2) dx = ∫ − 21−3x3dx + ∫ − 212xdx + ∫ − 212dx = −3∫ − 21x3dx + 2∫ − 21xdx + ∫ − 212dx.

КПП 5.11

Используйте свойства определенного интеграла, чтобы выразить определенный интеграл от f (x) = 6x3−4x2 + 2x − 3f (x) = 6x3−4x2 + 2x − 3 на интервале [1,3] [1,3] как сумму четырех определенных интегралов.

Пример 5.12

Использование свойств определенного интеграла

Если известно, что ∫08f (x) dx = 10∫08f (x) dx = 10 и ∫05f (x) dx = 5, ∫05f (x) dx = 5, найдите значение ∫58f (x) dx.∫58f (x) dx.

Решение

В собственности 6.,

Abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx.∫abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx.

Таким образом,

∫08f (x) dx = ∫05f (x) dx + ∫58f (x) dx10 = 5 + ∫58f (x) dx5 = ∫58f (x) dx.∫08f (x) dx = ∫05f (x) dx + ∫ 58f (x) dx10 = 5 + ∫58f (x) dx5 = ∫58f (x) dx.

КПП 5.12

Если известно, что ∫15f (x) dx = −3∫15f (x) dx = −3 и ∫25f (x) dx = 4, ∫25f (x) dx = 4, найдите значение ∫12f ( x) dx.∫12f (x) dx.

Сравнительные свойства интегралов

Иногда изображение может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции. Интуитивно можно сказать, что если функция f (x) f (x) находится над другой функцией g (x), g (x), то область между f (x) f (x) и осью x больше площади между g (x) g (x) и осью x .Это верно в зависимости от интервала, в течение которого производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, a b.a> b. Однако следующие свойства относятся только к случаю a≤b, a≤b и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

Теорема 5.2

Теорема сравнения

1. Если f (x) ≥0f (x) ≥0 для a≤x≤b, a≤x≤b, то
Abf (x) dx≥0.∫abf (x) dx≥0.
2. Если f (x) ≥g (x) f (x) ≥g (x) для a≤x≤b, a≤x≤b, то
Abf (x) dx≥∫abg (x) dx.Abf (x) dx≥∫abg (x) dx.
3. Если m и M - константы такие, что m≤f (x) ≤Mm≤f (x) ≤M для a≤x≤b, a≤x≤b, то
m (b − a) ≤∫abf (x) dx≤M (b − a). m (b − a) ≤∫abf (x) dx≤M (b − a).

Пример 5.13

Сравнение двух функций за заданный интервал

Сравните f (x) = 1 + x2f (x) = 1 + x2 и g (x) = 1 + xg (x) = 1 + x в интервале [0,1]. [0,1].

Решение

Построение графиков этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются в интервале [0,1].[0,1]. Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе f (x) f (x) оказывается везде выше g (x) g (x). Однако на интервале [0,1], [0,1] графики кажутся поверх друг друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале [0,1], g (x) [0,1], g (x) находится выше f (x) .f (x). Две функции пересекаются в точках x = 0x = 0 и x = 1x = 1 (рисунок 5.23).

Рисунок 5.23 (a) Функция f (x) f (x) появляется над функцией g (x) g (x) за исключением интервала [0,1] [0,1] (b) Просмотр того же графика с больший масштаб показывает это более четко.

Из графика видно, что на интервале [0,1] g (x) ≥f (x). [0,1], g (x) ≥f (x). Сравнивая интегралы на заданном интервале [0,1], [0,1], мы также видим, что ∫01g (x) dx≥∫01f (x) dx∫01g (x) dx≥∫01f (x) dx ( Рисунок 5.24). Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале [0,1]. [0,1].

Рисунок 5.24 (a) График показывает, что на интервале [0,1] g (x) ≥f (x), [0,1], g (x) ≥f (x), где равенство выполняется только на конечные точки интервала.(b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

Среднее значение функции

Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест. Предположим, вы получили следующие результаты тестов в своем классе алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка - это ваше среднее значение результатов теста, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста.Таким образом,

89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 696 = 4826≈80,33,89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 696 = 4826≈80,33.

Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.

Однако предположим, что у нас есть функция v (t) v (t), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени t , и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция v (t) v (t) принимает бесконечное количество значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции, как эта.

Пусть f (x) f (x) непрерывна на интервале [a, b] [a, b] и пусть [a, b] [a, b] разделен на n подинтервалов шириной ∆x = (b −a) /n.Δx= (b − a) / n. Выберите представителя xi * xi * в каждом подынтервале и вычислите f (xi *) f (xi *) для i = 1,2,…, n.i = 1,2,…, n. Другими словами, рассматривайте каждый f (xi *) f (xi *) как выборку функции на каждом подынтервале. Среднее значение функции может быть приблизительно равно

.
f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n, f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n,

, которое по сути является тем же выражением, которое используется для вычисления среднего дискретных значений.

Но мы знаем Δx = b − an, Δx = b − an, поэтому n = b − aΔx, n = b − aΔx, и мы получаем

f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n = f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) (b − a) Δx.f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n = f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) (b − a) Δx.

Следуя алгебре, числитель представляет собой сумму, которая представлена ​​как i = 1nf (xi *), ∑i = 1nf (xi *), и мы делим на дробь. Чтобы разделить на дробь, переверните знаменатель и умножьте. Таким образом, приблизительное значение среднего значения функции равно

.
∑i = 1nf (xi *) (b − a) Δx = (Δxb − a) ∑i = 1nf (xi *) = (1b − a) ∑i = 1nf (xi *) Δx.∑i = 1nf (xi *) (b − a) Δx = (Δxb − a) ∑i = 1nf (xi *) = (1b − a) ∑i = 1nf (xi *) Δx.

Это сумма Римана. Затем, чтобы получить точное среднее значение , возьмите предел, поскольку n стремится к бесконечности. Таким образом, среднее значение функции равно

.
1b − alimn → ∞∑i = 1nf (xi) Δx = 1b − a∫abf (x) dx. 1b − alimn → ∞∑i = 1nf (xi) Δx = 1b − a∫abf (x) dx.

Определение

Пусть f (x) f (x) непрерывна на интервале [a, b]. [A, b]. Тогда среднее значение функции f (x) f (x) (или f ave ) на [a, b] [a, b] равно

fave = 1b − a∫abf (x) dx.fave = 1b − a∫abf (x) dx.

Пример 5.14

Нахождение среднего значения линейной функции

Найдите среднее значение f (x) = x + 1f (x) = x + 1 на интервале [0,5]. [0,5].

Решение

Сначала изобразите функцию на указанном интервале, как показано на Рисунке 5.25.

Рисунок 5.25 На графике показана площадь под функцией f (x) = x + 1f (x) = x + 1 над [0,5]. [0,5].

Область представляет собой трапецию, лежащую на боку, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции A = 12h (a + b), A = 12h (a + b), где h представляет высоту, а a и b представляют две параллельные стороны.Затем

∫05x + 1dx = 12h (a + b) = 12 · 5 · (1 + 6) = 352. 05x + 1dx = 12h (a + b) = 12 · 5 · (1 + 6) = 352.

Таким образом, среднее значение функции равно

.
15−0∫05x + 1dx = 15 · 352 = 72,15−0∫05x + 1dx = 15 · 352 = 72.

КПП 5.13

Найдите среднее значение f (x) = 6−2xf (x) = 6−2x на интервале [0,3]. [0,3].

Раздел 5.2. Упражнения.

. В следующих упражнениях пределы выражаются в виде интегралов.

60.

limn → ∞∑i = 1n (xi *) Δxlimn → ∞∑i = 1n (xi *) Δx по [1,3] [1,3]

61.

limn → ∞∑i = 1n (5 (xi *) 2−3 (xi *) 3) Δxlimn → ∞∑i = 1n (5 (xi *) 2−3 (xi *) 3) Δx над [0, 2] [0,2]

62.

limn → ∞∑i = 1nsin2 (2πxi *) Δxlimn → ∞∑i = 1nsin2 (2πxi *) Δx на [0,1] [0,1]

63.

limn → ∞∑i = 1ncos2 (2πxi *) Δxlimn → ∞∑i = 1ncos2 (2πxi *) Δx на [0,1] [0,1]

В следующих упражнениях для заданных L n или R n , как указано, выразите свои пределы как n → ∞n → ∞ как определенные интегралы, определяя правильные интервалы.

64.

Ln = 1n∑i = 1ni − 1nLn = 1n∑i = 1ni − 1n

65.

Rn = 1n∑i = 1ninRn = 1n∑i = 1nin

66.

Ln = 2n∑i = 1n (1 + 2i − 1n) Ln = 2n∑i = 1n (1 + 2i − 1n)

67.

Rn = 3n∑i = 1n (3 + 3 дюйма) Rn = 3n∑i = 1n (3 + 3 дюйма)

68.

Ln = 2πn∑i = 1n2πi − 1ncos (2πi − 1n) Ln = 2πn∑i = 1n2πi − 1ncos (2πi − 1n)

69.

Rn = 1n∑i = 1n (1 + дюйм) журнал ((1 + дюйм) 2) Rn = 1n∑i = 1n (1 + дюйм) журнал ((1 + дюйм) 2)

В следующих упражнениях вычислите интегралы функций, изображенных на графике, с помощью формул для площадей треугольников и кругов и вычитания площадей под осью x .

70.

72.

74.

В следующих упражнениях вычислите интеграл, используя формулы площади.

76.

∫03 (3 − x) dx∫03 (3 − x) dx

77.

23 (3 − x) dx∫23 (3 − x) dx

78.

∫ − 33 (3− | x |) dx∫ − 33 (3− | x |) dx

79.

∫06 (3− | x − 3 |) dx∫06 (3− | x − 3 |) dx

80.

∫ − 224 − x2dx∫ − 224 − x2dx

81.

∫154− (x − 3) 2dx∫154− (x − 3) 2dx

82.

∫01236− (x − 6) 2dx∫01236− (x − 6) 2dx

83.

− 23 (3− | x |) dx∫ − 23 (3− | x |) dx

В следующих упражнениях используйте средние значения на левой ( L ) и правой ( R ) конечных точках, чтобы вычислить интегралы кусочно-линейных функций с графиками, которые проходят через данный список точек через указанные интервалы.

84.

{(0,0), (2,1), (4,3), (5,0), (6,0), (8,3)} {(0,0), (2,1) , (4,3), (5,0), (6,0), (8,3)} больше [0,8] [0,8]

85.

{(0,2), (1,0), (3,5), (5,5), (6,2), (8,0)} {(0,2), (1,0) , (3,5), (5,5), (6,2), (8,0)} больше [0,8] [0,8]

86.

{(−4, −4), (- 2,0), (0, −2), (3,3), (4,3)} {(- 4, −4), (- 2,0 ), (0, −2), (3,3), (4,3)} над [−4,4] [- 4,4]

87.

{(−4,0), (- 2,2), (0,0), (1,2), (3,2), (4,0)} {(- 4,0), (- 2,2), (0,0), (1,2), (3,2), (4,0)} больше [−4,4] [- 4,4]

Предположим, что ∫04f (x) dx = 5∫04f (x) dx = 5 и ∫02f (x) dx = −3, ∫02f (x) dx = −3 и ∫04g (x) dx = −1 ∫04g (x) dx = −1 и ∫02g (x) dx = 2.∫02g (x) dx = 2. В следующих упражнениях вычислите интегралы.

88.

∫04 (е (x) + g (x)) dx∫04 (f (x) + g (x)) dx

89.

24 (е (x) + g (x)) dx∫24 (f (x) + g (x)) dx

90.

∫02 (f (x) −g (x)) dx∫02 (f (x) −g (x)) dx

91.

24 (f (x) −g (x)) dx∫24 (f (x) −g (x)) dx

92.

∫02 (3f (x) −4g (x)) dx∫02 (3f (x) −4g (x)) dx

93.

∫24 (4f (x) −3g (x)) dx∫24 (4f (x) −3g (x)) dx

В следующих упражнениях используйте тождество − AAf (x) dx = ∫ − A0f (x) dx + ∫0Af (x) dx∫ − AAf (x) dx = ∫ − A0f (x) dx + ∫0Af (x) dx для вычисления интегралов.

94.

∫ − ππsint1 + t2dt∫ − ππsint1 + t2dt (Подсказка: sin (−t) = - sin (t)) (Подсказка: sin (−t) = - sin (t))

95.

∫ − ππt1 + costdt∫ − ππt1 + costdt

В следующих упражнениях найдите чистую зону со знаком между f (x) f (x) и осью x.

96.

∫13 (2 − x) dx∫13 (2 − x) dx ( Подсказка: Посмотрите на график f .)

97.

∫24 (x − 3) 3dx∫24 (x − 3) 3dx ( Подсказка: Посмотрите на график f .)

В следующих упражнениях, учитывая, что ∫01xdx = 12, ∫01x2dx = 13, ∫01xdx = 12, ∫01x2dx = 13 и 01x3dx = 14, ∫01x3dx = 14, вычислите интегралы.

98.

∫01 (1 + x + x2 + x3) dx∫01 (1 + x + x2 + x3) dx

99.

∫01 (1 − x + x2 − x3) dx∫01 (1 − x + x2 − x3) dx

100.

∫01 (1 − x) 2dx∫01 (1 − x) 2dx

101.

∫01 (1-2x) 3dx∫01 (1-2x) 3dx

102.

∫01 (6x − 43x2) dx∫01 (6x − 43x2) dx

103.

∫01 (7−5x3) dx∫01 (7−5x3) dx

В следующих упражнениях используйте теорему сравнения.

104.

Покажите, что ∫03 (x2−6x + 9) dx≥0.∫03 (x2−6x + 9) dx≥0.

105.

Покажите, что ∫ − 23 (x − 3) (x + 2) dx≤0.∫ − 23 (x − 3) (x + 2) dx≤0.

106.

Покажите, что ∫011 + x3dx≤∫011 + x2dx.∫011 + x3dx≤∫011 + x2dx.

107.

Покажите, что ∫121 + xdx≤∫121 + x2dx.∫121 + xdx≤∫121 + x2dx.

108.

Покажите, что ∫0π / 2sintdt≥π4.∫0π / 2sintdt≥π4. (Подсказка: sint≥2tπ (Подсказка: sint≥2tπ над [0, π2]) [0, π2])

109.

Покажите, что ∫ − π / 4π / 4costdt≥π2 / 4.∫ − π / 4π / 4costdt≥π2 / 4.

В следующих упражнениях найдите среднее значение f ave из f между a и b и найдите точку c , где f (c) = fave.f (c) = любимый.

110.

f (x) = x2, a = −1, b = 1 f (x) = x2, a = −1, b = 1

111.

f (x) = x5, a = −1, b = 1 f (x) = x5, a = −1, b = 1

112.

f (x) = 4 − x2, a = 0, b = 2f (x) = 4 − x2, a = 0, b = 2

113.

f (x) = (3− | x |), a = −3, b = 3f (x) = (3− | x |), a = −3, b = 3

114.

f (x) = sinx, a = 0, b = 2πf (x) = sinx, a = 0, b = 2π

115.

f (x) = cosx, a = 0, b = 2πf (x) = cosx, a = 0, b = 2π

В следующих упражнениях приблизьте среднее значение, используя суммы Римана L 100 и R 100 .Как ваш ответ соотносится с точным данным ответом?

116.

[T] y = ln (x) y = ln (x) в интервале [1,4]; [1,4]; точное решение ln (256) 3−1.ln (256) 3−1.

117.

[T] y = ex / 2y = ex / 2 в интервале [0,1]; [0,1]; точное решение 2 (e − 1) .2 (e − 1).

118.

[T] y = tanxy = tanx в интервале [0, π4]; [0, π4]; точное решение 2ln (2) π.2ln (2) π.

119.

[T] y = x + 14 − x2y = x + 14 − x2 в интервале [−1,1]; [- 1,1]; точное решение - π6.π6.

В следующих упражнениях вычислите среднее значение, используя левую сумму Римана L N для N = 1,10,100.N = 1,10,100. Как точность соотносится с заданным точным значением?

120.

[T] y = x2−4y = x2−4 в интервале [0,2]; [0,2]; точное решение -83.-83.

121.

[T] y = xex2y = xex2 в интервале [0,2]; [0,2]; точное решение - 14 (e4−1) .14 (e4−1).

122.

[T] y = (12) xy = (12) x в интервале [0,4]; [0,4]; точное решение - 1564ln (2).1564ln (2).

123.

[T] y = xsin (x2) y = xsin (x2) в интервале [−π, 0]; [- π, 0]; точное решение - cos (π2) −12π.cos (π2) −12π.

124.

Предположим, что A = ∫02πsin2tdtA = ∫02πsin2tdt и B = ∫02πcos2tdt.B = ∫02πcos2tdt. Покажем, что A + B = 2πA + B = 2π и A = B.A = B.

125.

Предположим, что A = ∫ − π / 4π / 4sec2tdt = πA = ∫ − π / 4π / 4sec2tdt = π и B = ∫ − π / 4π / 4tan2tdt.B = ∫ − π / 4π / 4tan2tdt. Покажем, что A − B = π2.A − B = π2.

126.

Покажите, что среднее значение sin2tsin2t на [0,2π] [0,2π] равно 1/2 Без дальнейших вычислений определите, равно ли среднее значение sin2tsin2t на [0, π] [0, π] до 1/2.

127.

Покажите, что среднее значение cos2tcos2t на [0,2π] [0,2π] равно 1 / 2,1 / 2. Без дополнительных вычислений определите, равно ли среднее значение cos2 (t) cos2 (t) по [0, π] [0, π] 1 / 2,1 / 2.

128.

Объясните, почему графики квадратичной функции (параболы) p (x) p (x) и линейной функции ℓ (x) ℓ (x) могут пересекаться не более чем в двух точках. Предположим, что p (a) = ℓ (a) p (a) = ℓ (a) и p (b) = ℓ (b), p (b) = ℓ (b), и что ∫abp (t) dt> Abℓ (t) dt.∫abp (t) dt> ∫abℓ (t) dt. Объясните, почему ∫cdp (t)> ∫cdℓ (t) dt∫cdp (t)> ∫cdℓ (t) dt, когда a≤c

129.

Предположим, что парабола p (x) = ax2 + bx + cp (x) = ax2 + bx + c открывается вниз (a <0) (a <0) и имеет вершину y = −b2a> 0. y = - b2a> 0. Для какого интервала [A, B] [A, B] ∫AB (ax2 + bx + c) dx∫AB (ax2 + bx + c) dx настолько велик, насколько это возможно?

130.

Предположим, что [a, b] [a, b] можно разделить на подинтервалы a = a0

1. Объясните, почему ∫abf (t) dt = A1 + A2 + ⋯ + AN. Abf (t) dt = A1 + A2 + ⋯ + AN.
2. Затем объясните, почему | ∫abf (t) dt | ≤∫ab | f (t) | dt. | ∫abf (t) dt | ≤∫ab | f (t) | dt.

131.

Предположим, что f и g - непрерывные функции, такие что ∫cdf (t) dt≤∫cdg (t) dt∫cdf (t) dt≤∫cdg (t) dt для каждого подынтервала [c, d] [c , d] из [a, b]. [a, b]. Объясните, почему f (x) ≤g (x) f (x) ≤g (x) для всех значений x .

132.

Предположим, что среднее значение f по [a, b] [a, b] равно 1, а среднее значение f по [b, c] [b, c] равно 1, где a f по [a, c] [a, c] также равно 1.

133.

Предположим, что [a, b] [a, b] можно разбить. взяв a = a0 f на каждом подынтервале [ai − 1, ai] = 1 [ai − 1, ai] = 1 равно 1 для каждого i = 1,…, Ni = 1,…, N. Объясните, почему среднее значение f по [a, b] [a, b] также равно 1.

134.

Предположим, что для каждого i такого, что 1≤i≤N1≤i≤N, имеется ∫i − 1if (t) dt = i.∫i − 1if (t) dt = i. Покажем, что ∫0Nf (t) dt = N (N + 1) 2. 0Nf (t) dt = N (N + 1) 2.

135.

Предположим, что для каждого i такого, что 1≤i≤N1≤i≤N, имеет место ∫i − 1if (t) dt = i2.∫i − 1if (t) dt = i2. Покажем, что ∫0Nf (t) dt = N (N + 1) (2N + 1) 6. 0Nf (t) dt = N (N + 1) (2N + 1) 6.

136.

[T] Вычислите левую и правую суммы Римана L 10 и R 10 и их среднее значение L10 + R102L10 + R102 для f (t) = t2f (t) = t2 за [0, 1]. [0,1]. Учитывая, что ∫01t2dt = 0,33–, ∫01t2dt = 0,33–, до какого числа десятичных знаков точность L10 + R102L10 + R102?

137.

[T] Вычислите левую и правую суммы Римана, L 10 и R 10 и их среднее значение L10 + R102L10 + R102 для f (t) = (4 − t2) f (t ) = (4 − t2) над [1,2]. [1,2]. Учитывая, что ∫12 (4 − t2) dt = 1.66–, ∫12 (4 − t2) dt = 1.66–, до скольки десятичных знаков точность L10 + R102L10 + R102?

138.

Если ∫151 + t4dt = 41.7133 ..., ∫151 + t4dt = 41.7133 ..., что такое ∫151 + u4du? ∫151 + u4du?

139.

Оцените ∫01tdt∫01tdt, используя суммы левой и правой конечных точек, каждая с одним прямоугольником.Как соотносится среднее этих сумм левой и правой конечных точек с фактическим значением ∫01tdt? ∫01tdt?

140.

Оцените ∫01tdt∫01tdt путем сравнения с площадью одиночного прямоугольника с высотой, равной значению t в средней точке t = 12.t = 12. Как эта средняя оценка соотносится с фактическим значением ∫01tdt? ∫01tdt?

141.

Из графика sin (2πx) sin (2πx) показано:

1. Объясните, почему ∫01sin (2πt) dt = 0. 01sin (2πt) dt = 0.
2. Объясните, почему в общем случае ∫aa + 1sin (2πt) dt = 0∫aa + 1sin (2πt) dt = 0 для любого значения a .

142.

Если f 1-периодический (f (t + 1) = f (t)), (f (t + 1) = f (t)), нечетный и интегрируемый на [0,1], [0 , 1], всегда ли верно, что ∫01f (t) dt = 0? ∫01f (t) dt = 0?

143.

Если f 1-периодично и ∫01f (t) dt = A, ∫01f (t) dt = A, обязательно ли, что ∫a1 + af (t) dt = A∫a1 + af (t) dt = A для всех A ?

Исчисление I - неопределенные интегралы

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-1: Неопределенные интегралы

В последних двух главах нам была задана функция \ (f \ left (x \ right) \), и мы спросили, какова производная этой функции.2} - 9x + c, \, \, \ hspace {0.25in} c {\ mbox {является константой}} \]

даст \ (f \ left (x \ right) \) при дифференцировании.

В последнем примере было два момента. Первым делом нужно было заставить вас задуматься о том, как решать эти задачи. Сначала важно помнить, что мы просто спрашиваем, что мы дифференцировали, чтобы получить данную функцию.

Другой момент - признать, что на самом деле существует бесконечное количество функций, которые мы могли бы использовать, и все они будут отличаться константой.

Теперь, когда мы разобрались с примером, давайте избавимся от некоторых определений и терминологии.

Определения

Для данной функции \ (f \ left (x \ right) \), антипроизводная от \ (f \ left (x \ right) \) является любой функцией \ (F \ left (x \ right) \) такой, что

\ [F '\ left (x \ right) = f \ left (x \ right) \]

Если \ (F \ left (x \ right) \) - любая антипроизводная от \ (f \ left (x \ right) \), то самая общая антипроизводная от \ (f \ left (x \ right) \) называется неопределенным интегралом и обозначается как

\ [\ int {{е \ left (x \ right) \, dx}} = F \ left (x \ right) + c, \ hspace {0.25in} \, \, \, \, c {\ mbox {любая константа}} \]

В этом определении \ (\ int {{}} \) называется интегральным символом , \ (f \ left (x \ right) \) называется подынтегральным выражением , \ (x \) называется переменная интегрирования и «\ (c \)» называется постоянной интегрирования . 4} + 3x - 9 \, dx}} \]

Показать решение

Поскольку здесь действительно запрашивается самая общая антипроизводная, нам просто нужно повторно использовать окончательный ответ из первого примера.2} - 9x + c \]

Теперь сделаем пару предупреждений. Одна из наиболее частых ошибок, которые студенты делают с интегралами (как неопределенными, так и определенными), - это опускать dx в конце интеграла. Это обязательно! Думайте о знаке интеграла и dx как о скобках. Вы уже знаете и, вероятно, вас вполне устраивает мысль о том, что каждый раз, когда вы открываете скобку, вы должны закрывать ее. При использовании интегралов воспринимайте знак интеграла как «открытую скобку», а dx - как «закрывающую скобку».5} + c + 3x - 9 \ end {align *} \]

Вы интегрируете только то, что находится между знаком интеграла и dx . Каждый из приведенных выше интегралов заканчивается в разных местах, поэтому мы получаем разные ответы, потому что каждый раз мы интегрируем разное количество членов. Во втором интеграле «-9» находится за пределами интеграла, поэтому остается отдельно и не интегрируется. Точно так же в третьем интеграле «\ (3x - 9 \)» находится вне интеграла и поэтому остается в покое.

Знание, какие члены нужно интегрировать, - не единственная причина для записи \ (dx \) вниз.В разделе «Правило замены» мы фактически будем работать с \ (dx \) в задаче, и если у нас нет привычки записывать его, о нем легко забыть, и тогда мы получим неправильный ответ на этот этап.

Мораль заключается в том, чтобы убедиться и вставить \ (dx \)! На данном этапе это может показаться глупым поступком, но это просто должно быть там, хотя бы по той причине, что знать, где заканчивается интеграл.

Кстати, обозначение \ (dx \) должно показаться вам немного знакомым.Мы видели подобные вещи пару разделов назад. Мы назвали \ (dx \) дифференциалом в этом разделе, и да, это именно то, что он есть. \ (Dx \), завершающий интеграл, - не что иное, как дифференциал. 2} - 9w + c \ end {align *} \]

Изменение переменной интегрирования в интеграле просто изменяет переменную в ответе.Однако важно отметить, что при изменении переменной интегрирования в интеграле мы также изменили дифференциал (\ (dx \), \ (dt \) или \ (dw \)), чтобы он соответствовал новой переменной. Это более важно, чем мы могли бы сейчас представить.

Еще одно использование дифференциала в конце интеграла - сказать нам, по какой переменной мы интегрируем. На данном этапе это может показаться несущественным, поскольку большинство интегралов, с которыми мы собираемся здесь работать, будут включать только одну переменную.Однако, если вы находитесь на пути к получению степени, который приведет вас к исчислению с несколькими переменными, это будет очень важно на этом этапе, поскольку в задаче будет более одной переменной. Вам нужно выработать привычку записывать правильный дифференциал в конце интеграла, чтобы, когда это станет важным в этих классах, вы уже будете иметь привычку записывать его.

Чтобы понять, почему это важно, взгляните на следующие два интеграла.

\ [\ int {{2x \, dx}} \ hspace {1.2} + c \]

Второй интеграл тоже довольно прост, но нам нужно быть осторожными. dx сообщает нам, что мы интегрируем \ (x \) ’s. Это означает, что мы интегрируем только те \ (x \), которые находятся в подынтегральном выражении, а все другие переменные в подынтегральном выражении считаются константами. Тогда второй интеграл равен

.

\ [\ int {{2t \, dx}} = 2tx + c \]

Таким образом, может показаться глупым всегда использовать dx , но это очень важная нотация, которая может привести к получению неправильного ответа, если мы не введем его.

Теперь есть несколько важных свойств интегралов, на которые мы должны обратить внимание.

Свойства неопределенного интеграла

1. \ (\ displaystyle \ int {{k \, f \ left (x \ right) \, dx}} = k \ int {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) где \ ( к \) - любое число. Итак, мы можем выделить мультипликативные константы из неопределенных интегралов.

   См. Раздел «Доказательство различных интегральных формул» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этого свойства.

2. \ (\ displaystyle \ int {{- f \ left (x \ right) \, dx}} = - \ int {{f \ left (x \ right) \, dx}} \). Это действительно первое свойство с \ (k = - 1 \), поэтому доказательства этого свойства не приводятся.
3. \ (\ Displaystyle \ int {{е \ влево (х \ вправо) \ пм г \ влево (х \ вправо) \, dx}} = \ int {{е \ влево (х \ вправо) \, dx}} \ pm \ int {{g \ left (x \ right) \, dx}} \). Другими словами, интеграл от суммы или разности функций - это сумма или разность отдельных интегралов.Это правило можно распространить на любое количество функций.

   См. Раздел «Доказательство различных интегральных формул» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этого свойства.

Обратите внимание, что когда мы работали с первым примером выше, мы использовали первое и третье свойство в обсуждении. Мы интегрировали каждый термин индивидуально, вернули все константы, а затем снова собрали все вместе с соответствующим знаком.

В приведенных выше свойствах не указаны интегралы от произведений и частных.Причина этого проста. Как и в случае с производными финансовыми инструментами, каждое из следующих действий НЕ будет работать.

\ [\ int {{f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) \, dx}} \ ne \ int {{f \ left (x \ right) dx}} \ int {{g \ left (x \ right) \, dx}} \ hspace {0.75in} \ int {{\ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \, dx }} \ ne \ frac {{\ int {{f \ left (x \ right) \, dx}}}} {{\ int {{g \ left (x \ right) \, dx}}}} \]

Что касается деривативов, у нас было правило продукта и правило частного, чтобы иметь дело с этими случаями. Однако для интегралов таких правил нет.Когда мы сталкиваемся с произведением и частным в интеграле, у нас будет множество способов справиться с этим, в зависимости от того, что такое подынтегральное выражение. 4} + 3x - 9 \), что было \ (f \ left (x \ right) \)?

Показать решение

К этому моменту в этом разделе это простой вопрос.2} - 9x + c \]

В этом разделе мы продолжали вычислять один и тот же неопределенный интеграл во всех наших примерах. Целью этого раздела было не делать неопределенные интегралы, а вместо этого познакомить нас с обозначениями и некоторыми основными идеями и свойствами неопределенных интегралов. Следующая пара разделов посвящена фактическому вычислению неопределенных интегралов.

Интегралы как умножение - лучше объяснение

Интегралы часто описываются как нахождение площади под кривой.Это описание слишком узкое: это как сказать, что умножение существует, чтобы найти площадь прямоугольников. Область поиска - это полезное приложение , но не цель умножения.

Ключевой вывод: интегралы помогают нам комбинировать числа, когда умножение не может.

Мне жаль, что у меня не было минутки по математике в старшей школе:

«Psst! Интегралы позволяют нам« умножать »изменяющиеся числа. Мы привыкли к« 3 x 4 = 12 », но что, если одна величина изменяется? Мы не можем умножать изменяющиеся числа, поэтому мы интегрируем.

Вы услышите много разговоров о площади - площадь - это всего лишь , один способ визуализировать умножение. Ключевым моментом является не область, а идея объединения количеств в новый результат. Мы можем объединить («умножить») длину и ширину, чтобы получить простую старую область, конечно. Но мы можем интегрировать скорость и время, чтобы получить расстояние, или длину, ширину и высоту, чтобы получить объем.

Когда мы хотим использовать обычное умножение, но не можем, мы обращаем внимание на серьезные проблемы и интегрируем. Area - это просто техника визуализации , не слишком увлекайтесь ею.А теперь иди учи математику! »

Это момент моего ага: интеграция - это «лучшее умножение», которое работает с вещами, которые меняются. Давайте научимся видеть интегралы в этом свете.

Что такое умножение

Наше понимание умножения со временем изменилось:

• С целыми числами (3 x 4) умножение составляет повторное сложение
• С действительными числами (3,12 x $ \ sqrt {2} $) умножение составляет , масштабирование
• С отрицательными числами (-2.3 * 4.3), умножение равно , переворачивая и масштабируя
• С комплексными числами (3 * 3i) умножение составляет , вращение и масштабирование

Мы развиваемся в направлении общего понятия «применения» одного числа к другому, и свойства, которые мы применяем (повторный подсчет, масштабирование, переворачивание или вращение), могут варьироваться. Интеграция - еще один шаг на этом пути.

Область понимания

Area - это тонкая тема. На сегодняшний день давайте рассмотрим площадь как визуальное представление умножения :

.

С каждым счетом на другой оси мы можем «применить их» (3 к 4) и получить результат (12 квадратных единиц).Свойства каждого входа (длина и длина) были перенесены в результат (квадратные единицы).

Просто, правда? Что ж, становится сложно. Умножение может привести к «отрицательной области» (3 x (-4) = -12), которой не существует.

Мы понимаем, что график представляет собой умножения, и используем аналогию, поскольку она нам служит. Если бы все были слепы и у нас не было диаграмм, мы все равно могли бы нормально размножаться. Площадь - это просто интерпретация.

Умножение по частям

Теперь умножим 3 х 4.5:

Что происходит? Что ж, 4,5 - это не счет, но мы можем использовать операцию «по частям». Если 3x4 = 3 + 3 + 3 + 3, то

3 x 4,5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3x0,5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1,5 = 13,5

Мы берем 3 (значение) в 4,5 раза. То есть мы объединили 3 с 4 целыми сегментами (3 x 4 = 12) и одним частичным сегментом (3 x 0,5 = 1,5).

Мы настолько привыкли к умножению, что забываем, насколько хорошо оно работает. Мы можем разбить число на единицы (целые и частичные), умножить каждую часть и сложить результаты.Обратите внимание, как мы поступили с дробной частью? Это начало интеграции.

Проблема с числами

Числа не всегда остаются на месте, чтобы мы могли их подсчитать. Сценарии вроде «Вы едете со скоростью 30 миль в час в течение 3 часов» предназначены для удобства, а не для реалистичности.

Формулы типа «расстояние = скорость * время» просто маскируют проблему; нам все еще нужно вставить статические числа и умножить. Так как же определить пройденное расстояние, если наша скорость меняется со временем?

Описание изменения

Наша первая задача - описать меняющееся число.Мы не можем просто сказать: «Моя скорость изменилась с 0 до 30 миль в час». Он недостаточно конкретен: насколько быстро он меняется? Это гладко?

А теперь давайте конкретизируем: каждую секунду я вдвое больше миль в час. За 1 секунду я разгоняюсь до 2 миль в час. Через 2 секунды, 4 мили в час. 3 секунды - 6 миль в час, и так далее:

Это хорошее описание, достаточно подробное, чтобы узнать мою скорость в любой момент. Формальное описание - «скорость - это функция времени», что означает, что мы можем подключиться в любое время (t) и найти нашу скорость в этот момент («2t» миль / ч).

(Это не говорит о , почему скорость и время связаны. Я мог ускоряться из-за гравитации или ламы, тянущей меня. Мы просто говорим, что с изменением времени меняется и наша скорость.)

Итак, умножение «расстояние = скорость * время», возможно, лучше записать:

где скорость (t) - это скорость в любой момент. В нашем случае скорость (t) = 2t, поэтому мы пишем:

Но это уравнение все равно выглядит странно! «t» по-прежнему выглядит как единичный момент, который нам нужно выбрать (например, t = 3 секунды), что означает, что скорость (t) примет одно значение (6 миль в час).Это не хорошо.

При обычном умножении мы можем взять одну скорость и предположить, что она выполняется для всего прямоугольника. Но изменение скорости требует, чтобы мы совмещали скорость и время по частям (секунда за секундой). В конце концов, каждое мгновение могло быть другим.

Это большой сдвиг в перспективе:

• Обычное умножение (прямоугольное): возьмите расстояние, пройденное за одну секунду, предположите, что оно одинаково для всех секунд, и «увеличьте его».
• Интеграция (по частям): смотрите на время как на серию мгновений, каждое со своей скоростью.Сложите пройденное расстояние посекундно.

Мы видим, что обычное умножение - это частный случай интегрирования, когда количества не меняются.

Насколько велик «кусок»?

Насколько велик "кусок" при переходе по частям? Второй? Миллисекунда? Наносекунда?

Быстрый ответ: Достаточно маленький, чтобы значение было одинаковым в течение всего времени. Нам не нужна безупречная точность.

Более подробный ответ: такие понятия, как пределы, были изобретены, чтобы помочь нам выполнять кусочное умножение.Хотя они полезны, они являются решением проблемы и и могут отвлекать от идеи «комбинирования вещей». Меня беспокоит, что ограничения вводятся в самом начале вычислений, прежде чем мы поймем проблему, для решения которой они были созданы (например, показать кому-то ремень безопасности, прежде чем он даже увидит машину). Конечно, это полезная идея, но Ньютон, похоже, неплохо разбирался в расчетах без них.

А как насчет начала и конца?

Допустим, мы смотрим на интервал от 3 до 4 секунд.

Скорость в начале (3x2 = 6 миль в час) отличается от скорости в конце (4x2 = 8 миль в час). Итак, какое значение мы используем при вычислении «скорость * время»?

Ответ состоит в том, что мы разбиваем наши части на достаточно маленькие части (от 3,00000 до 3,00001 секунды), пока разница в скорости между началом и концом интервала не станет для нас важна. Опять же, это более длинное обсуждение, но «поверьте мне», что есть период времени, который делает разницу бессмысленной.

Представьте на графике каждый интервал как одну точку на линии.Вы можете провести прямую линию до каждой скорости, и ваша «область» представляет собой набор линий, которые измеряют умножение.

Где находится «кусок» и какова его стоимость?

Отделение части от стоимости было для меня проблемой.

«Кусок» - это рассматриваемый нами интервал (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). «Позиция» - это то место, где начинается этот интервал в секунду, миллисекунду или наносекунду. Ценность - это наша скорость в этой позиции.

Например, рассмотрим интервал 3.От 0 до 4,0 секунд:

• «Ширина» отрезка времени 1.0 секунды
• Позиция (время начала) 3,0
• Значение (скорость (t)): скорость (3,0) = 6,0 миль / ч

Опять же, исчисление позволяет нам сокращать интервал до тех пор, пока мы не сможем определить разницу в скорости от начала и до конца интервала. Следите за общей картиной: мы умножаем коллекцию частей.

Общие сведения об интегральной системе счисления

У нас есть хорошее представление о «кусочном умножении», но мы не можем выразить его.«Расстояние = скорость (t) * t» по-прежнему выглядит как обычное уравнение, где t и скорость (t) принимают одно значение.

В исчислении мы записываем отношение следующим образом:

• Знак интеграла (s-образная кривая) означает, что мы умножаем вещи по частям и складываем их вместе.

• dt представляет собой конкретный «отрезок» времени, который мы рассматриваем. Это называется «дельта t», а не «d умножить на t».

• t представляет позицию dt (если dt - интервал от 3.0-4,0, t равно 3,0).

• скорость (t) представляет собой значение, на которое мы умножаем (скорость (3,0) = 6,0))

У меня есть несколько претензий к этому обозначению:

• Использование букв сбивает с толку. «dt» выглядит как «d умножить на t» в отличие от всех уравнений, которые вы видели ранее.
• Пишем скорость (t) * dt, а не скорость (t_dt) * dt. Последнее дает понять, что мы исследуем «t» в нашем конкретном фрагменте «dt», а не в некотором глобальном «t»

.

• Вы часто будете видеть $ \ int speed (t) $ с неявным значением dt.Это позволяет легко забыть, что мы производим поэтапное умножение на два элементов.

Слишком поздно менять способ записи интегралов. Просто помните высокоуровневую концепцию «умножения» чего-то, что меняется.

Чтение в голове

Когда я увижу

Я думаю: «Расстояние равно скорости, умноженной на время» (сначала прочтите левую часть) или «объедините скорость и время, чтобы получить расстояние» (сначала прочтите правую часть).

Я мысленно перевожу «скорость (t)» в скорость и «dt» во время, и это становится умножением, помня, что скорость может изменяться. Подобная абстрагирование интеграции помогает мне сосредоточиться на том, что происходит («Мы объединяем скорость и время, чтобы преодолеть расстояние!»), А не на деталях операции.

Бонус: дополнительные идеи

Интегралы - это глубокая идея, как и умножение. У вас могут возникнуть дополнительные вопросы, основанные на этой аналогии:

• Если интегралы перемножают изменяющиеся величины, есть ли что-то для их деления? (Да - производные)
• И отменяются ли интегралы (умножение) и производные (деление)? (Да, с некоторыми оговорками).
• Можем ли мы переставить уравнения с «расстояние = скорость * время» на «скорость = расстояние / время»? (Да.)
• Можем ли мы объединить несколько вещей, которые меняются? (Да - это называется множественной интеграцией)
• Имеет ли значение порядок совмещения нескольких вещей? (Обычно нет)

Когда вы видите интегралы как «лучшее умножение», вы начинаете искать такие понятия, как «лучшее деление», «повторное интегрирование» и так далее. Если придерживаться «области под кривой», эти темы кажутся несвязанными.(Для ботаников-математиков, когда ученик видит «площадь под кривой» и «наклон» как обратное, это очень много значит).

Считывание интегралов

У интегралов много применений. Один состоит в том, чтобы объяснить, что две вещи «умножаются» вместе для получения результата.

Вот как выразить площадь круга:

Мы бы хотели взять площадь круга умножением. Но мы не можем - высота меняется по мере продвижения. Если мы «развернем» круг, мы увидим, что площадь, вносимая каждой частью радиуса, равна «радиусу * окружности».Мы можем записать это соотношение, используя интеграл выше. (Подробнее см. Введение в исчисление).

А вот интеграл, выражающий идею «масса = плотность * объем»:

Что там написано? Rho: $ \ rho $ - это функция плотности, показывающая, насколько плотным является материал в определенном месте, r. dv - это объем, на который мы смотрим. Итак, мы умножаем небольшой кусок объема (dv) на плотность в этой позиции $ \ rho (r) $ и складываем их все, чтобы получить массу.

Мы бы хотели умножить плотность и объем, но если плотность меняется, нам нужно интегрировать. Нижний индекс V означает сокращение от «интеграла объема», который на самом деле является тройным интегралом для длины, ширины и высоты! Интеграл включает четыре «умножения»: 3 для определения объема и еще одно для умножения на плотность.

Мы можем не решить эти уравнения, но мы можем понять, что они выражают.

Вперед вверх

Сегодняшняя цель не в том, чтобы досконально разобраться в вычислениях.Это расширение нашей ментальной модели и осознание того, что есть еще один способ комбинировать вещи: мы можем складывать, вычитать, умножать, делить ... и интегрировать.

Рассматривайте интегралы как лучший способ умножения: исчисление станет проще, и вы будете ожидать таких понятий, как множественные интегралы и производная. Счастливая математика.

(PS Зак из SMBC разыграл ... эээ ... комикс об этой интуиции.)

Другие статьи из этой серии

1. Нежное введение в изучение исчисления
2. Понимание исчислений с помощью метафоры банковского счета
3. Доисторическое исчисление: открытие числа Пи
4. Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
5. Исчисление: построение интуиции для производных
6. Как понять деривативы: правила продукта, власти и цепочки
7. Как понимать производные: правило частного, экспоненты и логарифмы
8. Интуитивное знакомство с ограничениями
9. Интуиция к серии Тейлора (аналогия с ДНК)
10. Зачем нужны пределы и бесконечно малые?
11. Исчисление обучения: преодоление нашей искусственной потребности в точности
12. Дружеский чат о том, 0.