Иррациональное уравнение как решать – подробная инструкция от А до Я — ЕГЭ/ОГЭ

Иррациональное уравнение: как решать, как проверять ответы на «вшивость», как справляться с несколькими корнями – обо всем расскажу в статье.

Иррациональное уравнение вводит школьников во взрослую жизнь. Напоминает, что все не так уж просто. Только делает это математическим путем…через ОДЗ (область допустимых значений).

Если вы искали подробные схемы решения иррациональных уравнений. Объяснение простыми словами. Наглядный разбор типов. То попали по правильному адресу)

1. Что такое иррациональность?

2. Как решать иррациональное уравнение? – главная фишка

3. «4 шага» решения Иррационального любого уравнения

4.

Различные виды корней:

[su_list icon=»icon: arrow-right» icon_color=»#2a1ae3″ indent=»21″]

[/su_list]

5. Еще 2 подковырки иррациональных уравнений

Давайте сначала введем определение иррационального уравнения.

Опр: Иррациональные уравнения – это уравнения, содержащие неизвестную в корне или в дробной степени. Не важно какой степени – главное его наличие.

Поиск иррациональности

Кстати, вы же помните, что корень – это просто представление дробной степени? Например, квадратный корень – это степень 1/2.
А кубический корень – это степень 1/3 .

Посмотрите на пример. Тут показано разное представление одной и той же степени.

Следовательно, уравнения с переменными в дробных степенях
также являются иррациональными.

Таким образом, можно разделить иррациональные уравнения на 2 вида – по принципу написания степени: с корнем и с дробью.

1. Явный вид {корень виден}:

2. Неявный вид {корень представлен в виде дробной степени}:

Хотел вам напомнить о разных маскировках корня. Пригодится НЕ испугаться необычной записи.

А теперь переходим к сладкому – будем разбираться почему же иррациональные уравнения выделяют в отдельный тип. В чем их подковырка?

Как решить иррациональное уравнение – главная фишка

На математическом пути школьника есть несколько главных преград. Все они связаны с ОДЗ.

Первый капкан – делить на ноль нельзя.
Второй – подкоренное выражения не может быть отрицательным (при условии, что корень четной степени: квадратный, 4 степени, 6-ой…).
Третий – узнаете в статье про логарифмы.

Иррациональное уравнение затаскивает во второй капкан – подкоренное выражение не может быть отрицательным. Равным нулю – ок, может. Но не отрицательным.

Подкоренное выражение не может быть отрицательным

f(x) ⩾ 0

Еще раз оговорюсь, что «неотрицательность» распространяется только на корни четной степени. Кубический корень крутите, как хотите – ему все равно. А вот квадратный – нельзя, математика запрещает.

Что это вам дает при решении иррациональных уравнений? Вы должны проверять корни – действительно ли они существуют. Или с ними подкоренное выражение становится отрицательным?

«4 шага» решения Иррационального любого уравнения

Решение любого иррационального уравнения включает в себя 4 шага:

1) Выписывание и решение ОДЗ

2) Возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень (квадратный корень возводим во 2 степень, кубический – в 3, и т.д.).

3) Решение получившегося рационального уравнения (мы избавились от корней, а значит, можем решать уравнение привычным способом).

4) Проверка корней, сверившись с ОДЗ (Вот это самый важный момент. Большинство школьников останавливается на предыдущем этапе – ох, уж эта безответственность к существованию корней!)

Есть 2 способа проверки корней:

            – Подстановка корней в исходное уравнение (Первый метод проверки корней: старая добрая подстановочка. Получившиеся корни подставить в исходное уравнение и посмотреть: не появится ли отрицательное число под корнем).

            – Проверка корней по ОДЗ (Для тех, кто вышел на новый уровень в математике. Подходит, если корней много: тогда не нужно просчитывать каждый корень по методу подстановки).

Если небеса послали вам корень НЕчетной степени – 4-ий шаг пропускаем. Вам повезло отделаться без проверки.

Пора посмотреть, как теория справляется с уравнениями на практике.

К любому иррациональному уравнению можно применить теорию-скальпель «4 шага». Разберу каждый тип по отдельности. Так вы еще раз увидите закономерности в решении иррациональных уравнений и выстроите свой способ логической расправы с корнями.

Начнем с малого: корень равен числу. Как решить популярную звезду школьных учебников и экзаменов.

Различные виды корней:

1) Корень равен числу

По своему опыту могу сказать, что составителям гос. экзаменов
не надоедает это уравнение. Видимо, школьники все еще попадаются в капкан
корней.

Просто возведи обе части в квадрат

x – 3 = 9

x = 11

Ответ: 11

Повышаем уровень прокаченности в иррациональных уравнениях далее…

2) Уравнение с двумя корнями – всего один капкан

Снова применяем технику «4 шага»

1) Запишем ОДЗ

Сколько корней, столько и уравнений в ОДЗ

Нужно, чтоб корни удовлетворялись ОДЗ обоих корней. Поэтому в начале решаем систему неравенств.

2) Возведем обе части во 2 степень {степень корня}

x + 6 = x²

3) Решение получившегося рационального уравнения

x² – x – 6 = 0

По Т. Виетте (Если вы считали это уравнение через дискриминант – то обязательно просмотрите статью «Как решить квадратное уравнение – 6 трюков ». Я привел простые приемы решения квадратных уравнений – в школе такое не расскажут).

x₁ = 3 x₂ = –2

4) Проверка корней. Обратите внимание, что мы записали ОДЗ для обоих корней. Нужно, чтоб корни удовлетворялись ОДЗ обоих корней. Поэтому в начале решаем систему неравенств.

x₁ = 3  x₂ = –2   оба корня входят в ОДЗ

Ответ: –2 ; 3.

Особенность уравнений с двумя квадратными корнями –  в развернутом ОДЗ. Несколько ОДЗ должны быть объединены.

А теперь переходим к правилу, продолжение которого знает всего 10% школьников. А ведь именно в концовке зарыт ключик правильного решения.

3)

Произведение корня и функции

Давайте вспомним золотое правило: «Если произведение двух множителей равно нулю, то каждый из множителей равен нулю и оба они должны существовать»

Первая часть правила понятна: нужно приравнять оба множителя к нулю и найти корни – вуаля, уравнение решено.

Так было раньше в светлом прошлом без ограничений ОДЗ. Теперь
нужно считаться еще и с существованием множителей – о чем и говорит вторая часть правила.

В случае с иррациональными уравнениями вы должны позаботиться о неотрицательности выражения, стоящего под корнем.

Теперь разберем как в реальных условиях выглядит решение подобного примера!

А теперь перейдем к одному из самых опасных видов уравнений в школьной программе.

4) Корень равен функции

Одно из самых сложных уравнений. Его опасность лежит опять-таки в ОДЗ.

Чтоб научиться его решать –  важно понять, что не только подкоренное выражение неотрицательно. Но и то, чему равен корень не может быть отрицательным.

Раскрывается полное ОДЗ корня

Помните, уравнения «корень равен числу»? Корень четной степени никогда не приравнивался к отрицательному значению. Потому что так не бывает в этом мире.

Вот и с этими уравнениями также – только условие неотрицательности нужно прописать ручками в ОДЗ.

Давайте посмотрим на примере:

1) Запишем и решим ОДЗ примера – сделаем самое сложное сначала

2) Возведем обе части в квадрат

3) Решим уравнение

Если б не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень.  

4) Выберем корни подходящие в ОДЗ

Если бы мы не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень  

Ответ: 3

Осталось всего пару важных нюансов – и вас можно будет назвать Мастером в области решения иррациональных уравнений!

Еще 2 подковырки иррациональных уравнений

Теперь пришло время перестать считать и немножко включить воображение.
Оно может помочь не только на литературе, но и в математике.

Расслабьтесь с ОДЗ

Надеюсь, что я достаточно настращал вас ужасными несуществующими корнями (которые проникают в личное пространство корня и делают его отрицательным). Теперь ОДЗ наконец станет вашим другом?

Но все-таки бывают случаи, когда ОДЗ можно не выписывать. Это такие примеры, где выражение будет неотрицательным при любом значении переменных. Какой бы х вы не подставили – все равно выражение останется положительным или равным нулю.

 Разберем на примере.

Когда очевидно, что подкоренное выражение всегда >= 0, то ОДЗ этого корня можно ны выписывать

в данных примерах нет смысла записывать ОДЗ: функции
1) (x² + 6)
2) (x² + x + 6)  — всегда положительны.

В случае 1. Квадрат + положительное число (попробуйте подставить хоть даже -120 миллионов – все равно ответ будет положительным).

В случае 2. Отрицательный дискриминант. Дискриминант говорит нам, что график этой квадратичной функции – парабола, которая существует, только над осью Ох: значит, вообще не принимает отрицательные значения.

(Если вы не в курсе, почему отрицательный дискриминант стал причиной приведенных рассуждений – читайте статью «6 простых трюков как решить квадратное уравнение ». В ней все доходчиво написано, да еще и узнаете пару способов быстрого решения квадратного уравнения).

Вы поняли: можно сначала окинуть взором подкоренное выражение – мало ли оно всегда неотрицательное. Вам меньше трудов – ОДЗ не надо писать.

Уже попадались уравнения, которые НЕ стоит решать возведением? О них далее…

5) Сумма Корней

Некоторые уравнения НЕ решаются простым возведением в лоб. Если их поставить в квадрат – получаются слишком сложные выражения (и снова с корнями!).

Что делать в таких случаях – немного усовершенствовать.

Посмотрите не примеры:

Вы же помните, что возводим в квадрат мы по формуле квадрата разности/суммы, а не по вандальным способом «школьника, который НЕ выучил правила сокращенного умножения»?))

Возведение в квадрат применяется ко всей части уравнения.

И если потребуется, по формулам квадрата суммы и разности!!!

И поверьте мне, я не зря заостряю на этом внимание

Как делают и как не надо делать….

Это была типичная ошибка новичка. Но в любом случае сразу возводить не стоит

Подробно о том, как просто и правильно возводить в квадрат и решать квадратные уравнения рассказываю в статье: 6 трюков — как решить квадратное уравнение без Дискриминанта.

Сразу возводить в квадрат нет никакого смысла, корни останутся, а пример усложнится

Стоит разбить корни и числа по разным частям уравнения и после возводить в квадрат!

ОДЗ в данных примерах опущено для простоты разбора

5) Двойное возведение

И все-таки бывают случаи, когда
приходится пару раз возводить в квадрат. Но сначала – неизменно нужно раскинуть уравнение по две стороны от равно.

Виды уравнений для возведения 2 раза и более

1. Матрешечный корень

Дважды (а то и трижды) придется возводить в степень уравнения с матрешечными корнями (под внешним корнем спрятался внутренний).

Пример решения уравнения

Заметили, что прописали ОДЗ для внутреннего и внешнего корня?

Кстати, корни могут быть разной степени. Например, внешний в степени 1/3, а внутренний — 1/8. Подход остается неизменным: сверху вниз снимайте скорлупу корней возведением в соответствующую степень (в нашем примере сначала возведите в 3 степень (избавьтесь от внешнего корня), а потов в 8.

Далее разберемся с уравнениями, в которых ну просто полно корней.

2. Иррациональное уравнение, в котором корней как грязи

Придется несколько раз возводить уравнения в которых слишком много корней. Еще они бывают намиксованы со свободными числами.

Действуйте по уже знакомому вам принципу: разнесите члены по разные стороны от равно. Постарайтесь сделать так, чтоб одинокий корень остался в одной части уравнения, а оставшиеся свободные от «иррациональности» члены в другой.

Пример решения уравнения

Сделайте так: корень остается в одной части уравнения, а оставшиеся свободные от «иррациональности» члены в другой.

Уравнения с несколькими корнями противные (тратите время на последовательное возведение), но несложные. Следуйте инструкции — это самый быстрый и простой метод.

Я постарался не только показать вам шаблоны-способы решения. Но и прояснить логику как решать иррациональное уравнение.

С ним нужно быть аккуратным (ОДЗ), в остальном иррациональное уравнение не такое уж неприступное, как может показаться.

Надеюсь, статья помогла вам разобраться еще в одной непростой теме математики: «Иррациональное уравнение как решить».

Заинтересованы в личном обучении со мной – пишите в сообщения! Я с удовольствием проведу первое занятие бесплатно.

До встречи,
Ваш Михаил

Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?

Анна Малкова

Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.

Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.

По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство,

Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень . Он определен
при .

В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.

Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:

1.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, — повторите эту тему.

или

В ответ запишем меньший из корней: — 9.

Теперь уравнение, в котором есть ловушка.

2.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Что получилось у вас? Правильный ответ: . Если у вас получилось – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
не может быть корнем этого уравнения.

3.Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

4.Решите уравнение:

Ответ: или .

А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.

Причем новая переменная будет не одна, а целых две.

5.Решите уравнение

Найдем ОДЗ:
.

Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.

Есть короткий путь!

Сделаем замену: , .

Выразим через и :

и . Это выражения можно приравнять друг к другу.

Получим систему

Решим одно из уравнений. Все равно, какое, — ведь нам надо найти .

Ответ: . Заметим, что является также и корнем уравнения

Иррациональные уравнения

    Иррациональные уравнения. Продолжаем рассматривать задачи части В ЕГЭ по математике. В этой рубрике уже опубликованы статьи «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений», «Логарифмические уравнения». Здесь мы разберём иррациональные уравнения.

Подобные примеры, как и большинство уравнений из данной части, справедливо можно назвать простыми заданиями на ЕГЭ. Необходимо уметь выполнять с уравнениями простейшие преобразования, в том числе «избавляться» от корня. Что делать, если в одной из частей у нас имеется выражение под знаком корня? Всё просто:

Если корень квадратный, то обе части уравнения возводим в квадрат.

Если корень третьей степени, то обе части возводим в третью степень.

Здесь работает следующее свойство:

В случае, когда m = n, получаем что  m делённое на n равно единице.

Например, возведём в квадрат выражение:

Если привести пример в числах:

Даже без знания формул и свойств понятно, что если

Ещё раз напоминаю, ОБЯЗАТЕЛЬНО делайте проверку после того, как нашли корни. Рассмотрим задания, которые входят в открытый банк заданий ЕГЭ.

Найдите корень уравнения:

Для того, чтобы избавится от корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

Сделайте проверку.

Ответ: 607

Найдите корень уравнения:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Сделайте проверку.

Ответ: 16

Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Здесь необходимо отметить, что   – х ≥ 0, то есть х ≤ 0, так как результат подкоренного выражения есть число неотрицательное. Это означает, что если при решении уравнения получим корни большие нуля, то они не будут являться решением, так как не попадают в область определения.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Сделайте проверку.

Оба корня удовлетворяют неравенству. Выберем меньший.

Меньший из них  – 8.

Ответ: – 8

Найдите корень уравнения:

Возведём обе части уравнения в третью степень:

Сделайте проверку.

Ответ: 120

Решите уравнение:

Возводим в квадрат обе части, чтобы избавится от корня:

Ответ: –183

26660. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

26661. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

26668. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Посмотреть решение

27466.Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

77373. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

Как вы увидели, особых сложностей при решении нет. В будущем рассмотрим показательные уравнения, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения, которые встречаются в задании В6 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике имеют  такой вид:

Чтобы решить  уравнение такого вида, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Внимание! Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как корни уравнения будут найдены, нужно сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение и проверить, получим ли мы верное равенство.

Давайте рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений из Задания В7.

1. Задание В6 (№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение:

— верно.

Ответ: 3

2. Задание В6(№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Перенесем дробь в левую часть уравнения и приведем к общему заменателю:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не  равен нулю. Приравняем к нулю числитель:

Сделаем проверку:

 — верно

Ответ: 87.

3. Задание В6 (№ 26668)

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

, 

Cделаем проверку:

— верно.

— верно.

Оба корня нас устраивают. В ответе требуется указать меньший корень.

Ответ: -9

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

дробно иррациональные уравнения

Вы искали дробно иррациональные уравнения? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и иррациональное уравнение, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «дробно иррациональные уравнения».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как дробно иррациональные уравнения,иррациональное уравнение,иррациональное уравнение как решать,иррациональное уравнение это,иррациональные уравнения,иррациональные уравнения 10 класс примеры с решениями,иррациональные уравнения как решать,иррациональные уравнения примеры с решениями,иррациональные уравнения простейшие,иррациональные уравнения решение,иррациональные уравнения решить уравнения,иррациональные уравнения решу егэ,иррациональные уравнения с корнями,иррациональные уравнения формулы,как в уравнении избавиться от корня,как в уравнении избавиться от корня в,как избавиться от корня в уравнении,как решается уравнение с корнем,как решать иррациональное уравнение,как решать иррациональные уравнения,как решать иррациональные уравнения с корнями,как решать корень уравнения,как решать подкоренные уравнения,как решать уравнение под корнем,как решать уравнение с корнем,как решать уравнение с корнями,как решать уравнения под корнем,как решать уравнения с корнем,как решать уравнения с корнем в степени,как решать уравнения с корнем квадратным,как решать уравнения с корнями,как решаются иррациональные уравнения,как решаются уравнения с корнями,как решить иррациональное уравнение,как решить иррациональное уравнение с корнем,как решить уравнение с корнем,как решить уравнение с корнями,корни уравнения как решать,под корнем уравнение,примеры иррациональных уравнений и их решения,примеры с корнями уравнения,примеры уравнения с корнями,простейшие иррациональные уравнения,решение иррационального уравнения,решение иррациональные уравнения,решение иррациональных,решение иррациональных уравнений,решение иррациональных уравнений с подробным решением,решение с корнем уравнения,решение систем иррациональных уравнений с двумя переменными,решение уравнение с корнями,решение уравнений под корнем,решение уравнений с квадратным корнем,решение уравнений с квадратными корнями,решение уравнений с корнем,решение уравнений с корнем квадратным,решение уравнений с корнями,решение уравнений с корнями квадратными,решение уравнений с степенями и корнями,решение уравнения иррациональные,решение уравнения с корнем,решение уравнения с корнями,решения иррациональных уравнений,решения уравнения с корнем решения,решите иррациональное уравнение,решите уравнение и укажите рациональными или иррациональными числами,решите уравнение иррациональное,решить иррациональное уравнение,решить уравнение иррациональное,решить уравнение с квадратным корнем,решить уравнение с корнем,сложные иррациональные уравнения,уравнение под корнем,уравнение под корнем как решать,уравнение с корнем,уравнение с корнем как решать,уравнение с корнями,уравнение с корнями как решать,уравнение с корнями как решить,уравнение с корнями решение,уравнения под корнем как решать,уравнения подкоренные как решать,уравнения с двумя корнями,уравнения с корнем,уравнения с корнем как решать,уравнения с корнем решение,уравнения с корнями,уравнения с корнями иррациональные,уравнения с корнями как решать,уравнения с корнями примеры,уравнения с корнями примеры и решения,уравнения с корнями решение,формулы иррациональные уравнения. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и дробно иррациональные уравнения. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, иррациональное уравнение как решать).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же дробно иррациональные уравнения Онлайн?

Решить задачу дробно иррациональные уравнения вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Уравнения иррациональные и способы их решения

Изучая алгебру, школьники сталкиваются с уравнениями многих видов. Среди тех из них, которые наиболее простые, можно назвать линейные, содержащие одну неизвестную. Если переменная в математическом выражении возводится в определенную степень, то уравнение называют квадратным, кубическим, биквадратным и так далее. Указанные выражения могут содержать рациональные числа. Но существуют также уравнения иррациональные. От прочих они отличаются наличием функции, где неизвестное находится под знаком радикала (то есть чисто внешне переменную здесь можно увидеть написанной под квадратным корнем). Решение иррациональных уравнений имеет свои характерные особенности. При вычислении значения переменной для получения правильного ответа их следует обязательно учитывать.

«Невыразимые словами»

Не секрет, что древние математики оперировали в основном рациональными числами. К таковым относятся, как известно, целые, выражаемые через обыкновенные и десятичные периодические дроби представители данного сообщества. Однако ученые Среднего и Ближнего Востока, а также Индии, развивая тригонометрию, астрономию и алгебру, иррациональные уравнения тоже учились решать. К примеру, греки знали подобные величины, но, облекая их в словесную форму, употребляли понятие «алогос», что означало «невыразимые». Несколько позднее европейцы, подражая им, называли подобные числа «глухими». От всех остальных они отличаются тем, что могут быть представлены только в форме бесконечной непериодической дроби, окончательное числовое выражение которой получить просто невозможно. Поэтому чаще подобные представители царства чисел записываются в виде цифр и знаков как некоторое выражение, находящееся под корнем второй или большей степени.

На основании вышесказанного попробуем дать определение иррациональному уравнению. Подобные выражения содержат так называемые «невыразимые числа», записанные с использованием знака квадратного корня. Они могут представлять собой всевозможные довольно сложные варианты, но в своей наипростейшей форме имеют такой вид, как на фото ниже.

Преступая к решению иррациональных уравнений, перво-наперво необходимо вычислить область допустимых значений переменной.

Имеет ли смысл выражение?

Необходимость проверки полученных значений вытекает из свойств арифметического квадратного корня. Как известно, подобное выражение приемлемо и имеет какой-либо смысл лишь при определенных условиях. В случаях корня четной степени все подкоренные выражения должны быть положительными или равняться нулю. Если данное условие не выполняется, то представленная математическая запись не может считаться осмысленной.

Приведем конкретный пример, как решать иррациональные уравнения (на фото ниже).

В данном случае очевидно, что указанные условия ни при каких значениях, принимаемых искомой величиной, выполняться не могут, так как получается, что 11 ≤ x ≤ 4. А значит, решением может являться только Ø.

Метод анализа

Из вышеописанного становится понятно, как решать иррациональные уравнение некоторых типов. Здесь действенным способом может оказаться простой анализ.

Приведем ряд примеров, которые снова наглядно это продемонстрируют (на фото ниже).

В первом случае при внимательном рассмотрении выражения сразу оказывается предельно ясно, что истинным оно быть не может. Действительно, ведь в левой части равенства должно получаться положительное число, которое никак не способно оказаться равным -1.

Во втором случае сумма двух положительных выражений может считаться равной нулю, лишь только когда х — 3 = 0 и х + 3 = 0 одновременно. А подобное опять невозможно. И значит, в ответе снова следует писать Ø.

Третий пример очень похож на уже рассмотренный ранее. Действительно, ведь здесь условия ОДЗ требуют, чтобы выполнялось следующее абсурдное неравенство: 5 ≤ х ≤ 2. А подобное уравнение аналогичным образом никак не может иметь здравых решений.

Неограниченное приближение

Природа иррационального наиболее ясно и полно может быть объяснена и познана только через нескончаемый ряд чисел десятичной дроби. А конкретным, ярким примером из членов этого семейства является πи. Не без оснований предполагается, что эта математическая константа была известна с древних времен, используясь при вычислении длин окружности и площади круга. Но среди европейцев ее впервые применили на практике англичанин Уильям Джонс и швейцарец Леонард Эйлер.

Возникает эта константа следующим образом. Если сравнивать самые разные по длине окружности, то отношение их длин и диаметров в обязательном порядке равны одному и тому же числу. Это и есть πи. Если выразить его через обыкновенную дробь, то приблизительно получим 22/7. Впервые это сделал великий Архимед, портрет которого представлен на рисунке выше. Именно поэтому подобное число получило его имя. Но это не явное, а приближенное значение едва ли не самого удивительного из чисел. Гениальный ученый с точностью до 0,02 нашел искомую величину, но, по сути, данная константа не имеет реального значения, а выражается как 3,1415926535… Она представляет собой бесконечный ряд цифр, неограниченно приближаясь к некоему мифическому значению.

Возведение в квадрат

Но вернемся к иррациональным уравнениям. Чтобы отыскать неизвестное, в данном случае очень часто прибегают к простому методу: возводят обе части имеющегося равенства в квадрат. Подобный способ обычно дает хорошие результаты. Но следует учитывать коварство иррациональных величин. Все полученные в результате этого корни необходимо проверять, ведь они могут не подойти.

Но продолжим рассмотрение примеров и постараемся найти переменные вновь предложенным способом.

Совсем несложно, применив теорему Виета, найти искомые значения величин после того, как в результате определенных оперций у нас образовалось квадратное уравнение. Здесь получается, что среди корней будут 2 и -19. Однако при проверке, подставив полученные значение в изначальное выражение, можно убедиться, что ни один из этих корней не подходит. Это частое явление в иррациональных уравнениях. Значит, наша дилемма вновь не имеет решений, а в ответе следует указать пустое множество.

Примеры посложней

В некоторых случаях требуется возводить в квадрат обе части выражения не один, а несколько раз. Рассмотрим примеры, где требуется указанное. Их можно увидеть ниже.

Получив корни, не забываем их проверять, ведь могут возникнуть лишние. Следует пояснить, почему такое возможно. При применении подобного метода происходит в некотором роде рационализация уравнения. Но избавляясь от неугодных нам корней, которые мешают производить арифметические действия, мы как бы расширяем существующую область значений, что чревато (как можно понять) последствиями. Предвидя подобное, мы и производим проверку. В данном случае есть шанс убедиться, что подходит только один из корней: х = 0.

Системы

Что же делать в случаях, когда требуется осуществить решение систем иррациональных уравнений, и у нас в наличии не одно, а целых два неизвестных? Здесь поступаем так же, как в обычных случаях, но с учетом вышеперечисленных свойств данных математических выражений. И в каждой новой задаче, разумеется, следует применять творческий подход. Но, опять же, лучше рассмотреть все на конкретном примере, представленном ниже. Здесь не просто требуется найти переменные х и у, но и указать в ответе их сумму. Итак, имеется система, содержащая иррациональные величины (см. фото ниже).

Как можно убедиться, подобная задача не представляет ничего сверхъестественно сложного. Требуется лишь проявить сообразительность и догадаться, что левая часть первого уравнения представляет собой квадрат суммы. Подобные задания встречаются в ЕГЭ.

Иррациональное в математике

Каждый раз потребность в создании новых видов чисел возникала у человечества тогда, когда ему не хватало «простора» для решения каких-то уравнений. Иррациональные числа не являются исключением. Как свидетельствуют факты из истории, впервые великие мудрецы обратили на это внимание еще до нашей эры, веке в VII. Сделал это математик из Индии, известный под именем Манава. Он отчетливо понимал, что из некоторых натуральных чисел невозможно извлечь корень. К примеру, к таковым относятся 2; 17 или 61, а также многие другие.

Один из пифагорейцев, мыслитель по имени Гиппас, пришел к тому же выводу, пытаясь производить вычисления с числовыми выражениями сторон пентаграммы. Открыв математические элементы, которые не могут быть выражены цифровыми значениями и не обладают свойствами обычных чисел, он настолько разозлил своих коллег, что был выброшен за борт корабля, в море. Дело в том, что другие пифагорейцы сочли его рассуждения бунтом против законов вселенной.

Знак радикала: эволюция

Знак корня для выражения числового значения «глухих» чисел стал использоваться при решении иррациональных неравенств и уравнений далеко не сразу. Впервые о радикале начали задумываться европейские, в частности итальянские, математики приблизительно в XIII веке. Тогда же для обозначения придумали задействовать латинскую R. Но немецкие математики в своих работах поступали иначе. Им больше понравилась буква V. В германии вскоре распространилось обозначение V(2), V(3), что призвано было выражать корень квадратный из 2, 3 и так далее. Позднее в дело вмешались нидерландцы и видоизменили знак радикала. А завершил эволюцию Рене Декарт, доведя знак квадратного корня до современного совершенства.

Избавление от иррационального

Иррациональные уравнения и неравенства могут включать в себя переменную не только под знаком квадратного корня. Он может быть любой степени. Самым распространенным способом от него избавиться является возможность возвести обе части равенства в соответствующую степень. Это основное действие, помогающее при операциях с иррациональным. Действия в четных случаях особенно не отличаются от тех, которые были уже разобраны нами ранее. Здесь должны быть учтены условия неотрицательности подкоренного выражения, а также по окончании решения необходимо производить отсев посторонних значений переменных таким образом, как было показано в рассмотренных уже примерах.

Из дополнительных преобразований, помогающих найти правильный ответ, часто используется умножение выражения на сопряженное, а также нередко требуется введение новой переменной, что облегчает решение. В некоторых случаях, чтобы отыскать значение неизвестных, целесообразно применять графики.

Решение иррациональных уравнений — Решение

Решение
иррациональных уравнений

Ступина
Л.В., шк.№ 616

Константинова Е.И.,
ОМЦ

Иррациональным
уравнением называют уравнение, в котором
неизвестная величина содержится под
знаком радикала. Как правило, решение
иррациональных уравнений связано с
возведением в степень обеих его частей.
При этом если обе части уравнения
возвести в нечетную степень, то получим
уравнение, равносильное данному. Если
же обе части возвести в четную степень,
то в общем случае получим уравнение,
являющееся следствием исходного.

Уравнения,
имеющие одни и те же корни, называют
равносильными.

В
процессе решения заданное уравнение
заменяют более простым, при этом
используют следующие правила преобразований
уравнения в равносильное ему:

а)
перенос слагаемого из одной части
уравнения в другую с противоположным
знаком;

б)
обе части уравнения можно умножить или
разделить на одно и то же, отличное от
0 число;

в)
уравнение

можно заменить равносильной системой

или решить f(x)=0,
а затем отбросить те корни, которые
обращают в 0 знаменатель.

1. Простейшие
иррациональные уравнения

Правила
равносильного перехода для простейших
иррациональных уравнений:

а)
если a>0, то

f(x)=a²
(здесь проверять область допустимых
значений f(x)
не надо, так как f(x)=a²
— проверяется автоматически).

б)
если
xǾ.

в)
если квадратный корень равен нулю, то
и подкоренное выражение равно нулю:

f(x)=0.

Уравнения
вида

при n=2m
решаются по аналогичным правилам.

г)
если n=2m+1,
то
f(x)=aⁿ.

Пример
1.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Отметим,
что равносильные переходы предпочтительнее,
так как если при решении получаем
иррациональные корни, то проверка может
занять больше времени, чем было потрачено
на собственно решение уравнения.

Так
как 2>0, то возведение в квадрат приведет
к равносильному уравнению:

x²
– 5 = 4

x²=9

Ответ:
-3; 3.

Пример
2.

Решить
уравнение:
.

Решение:

xǾ,
не имеет решения, так как по определению
арифметического квадратного корня:

— это неотрицательное число, квадрат
которого равен a, a-2<0.

Ответ:
решений нет

Пример
3.

Решить
уравнение:

x+8= (-5)³
x+8= -125

x= -133.

Ответ:
-133.

Пусть
в результате преобразований уравнения
f₁(x)=g₁(x)
(1) получено уравнение f₂(x)=g₂(x)
(2).

Если
каждый корень уравнения (1) является
корнем уравнения (2), то уравнение
(2) называют следствием уравнения
(1): (1)

(2).

Корни
уравнения (2), которые не удовлетворяют
уравнению (1) называются посторонними
и не считаются решениями уравнения.

К
появлению посторонних корней могут
привести (не обязательно всегда приводят)
следующие преобразования:

-возведение
в квадрат (или четную степень) обеих
частей уравнения;

-умножение
обеих частей уравнения на алгебраическое
выражение, содержащее переменную.

Чтобы
выяснить, имеются ли среди корней
уравнения-следствия посторонние корни,
необходимо проверить каждый из найденных
корней подстановкой его в исходное
уравнение. Но (как уже было сказано
ранее) иногда проверка занимает больше
времени, чем само решение уравнения.
Поэтому можно поступить следующим
образом: на каждом этапе решения уравнения
определить промежутки, в которых могут
находиться корни уравнения. Все корни,
не принадлежащие этим промежуткам,
являются посторонними и должны быть
отброшены.

При
изучении этой темы следует обратить
особое внимание на использование ОДЗ
(области допустимых значений) уравнения,
ОДЗ уравнения
определяется
как общая часть областей определения
функций f(x) и g(x).
Однако, основываясь на определении,
часто при решении уравнений допускаются
неправильные рассуждения. Пусть найдена
ОДЗ уравнения f(x)=g(x). Затем
преобразуют его к уравнению f₁(x)=g₁(x)
и находят корни последнего. После этого
проверяют, какие из них принадлежат ОДЗ
исходного уравнения, и все принадлежащие
ОДЗ корни считают решениями первоначального
уравнения. Самый простой пример показывает
ошибочность данного рассуждения:

ОДЗ
уравнения
есть
промежуток
.
Оба числа
,
полученные при решении уравнения
возведенного в квадрат, принадлежат
ОДЗ, но –4 не является корнем первоначального
уравнения. Причина в этом случае ясна:
x- корень уравнения только
при
,
поскольку левая часть при любом x
, удовлетворяющем этому условию
неотрицательна. Поэтому мы не рекомендуем
уделять большое внимание исследованию
ОДЗ уравнений. Главное – это выработать
четкие представления у учащихся о том,
какое уравнение получено после
преобразования: равносильное или
следствие.

Если
уравнение имеет вид f(x)*h(x)=g(x)*h(x),
то деление обеих частей на h(x),
(а это часто делают учащиеся) недопустимо,
так как может привести к потери корней
(h(x)=0, если
они существуют).

2. Уравнения
с одним радикалом вида

Здесь
в правой части выражение g(x)
может принимать как отрицательные, так
и положительные значения. Возведение
в квадрат является равносильным
преобразованием, если g(x)
.
Если g(x)<0,
то уравнение решений не имеет.

;
(условие f(x)

на область допустимых значений не
включается в систему, оно проверяется
автоматически, так как правая часть
уравнения системы неотрицательна).

На
что обратить внимание: часто учащиеся
начинают решение с определения области
допустимых значений и записывают: ОДЗ:

— это неправильная формулировка условий.

Правильнее
сформулировать условие лучшее следующим
образом:

ОДЗ:
f(x)
,
условие, возникающее при возведении в
квадрат: g(x)
.

Пример
4.

Решить
уравнение:
.

Решение:

x=3.

Ответ:
3

Пример
5.

Решить
уравнения:
.

Решение:

x=-2+,

Так
как -2-<1.

Ответ:
-2+

3. Уравнения
с одним радикалом вида

Уравнение
вида

равносильно уравнению без радикала
f(x)=g³(x).

f(x)=g³(x).

Пример
6.

Решить
уравнение:
.

Решение:

x+8=
(2-x)³
x+8=8-12x+6x²-x³x³-6x²+13x=0
x(x²-6x+13)=0
x=0,
(x²-6x+13>0
для всех x, так как
дискриминант <0).

4. Уравнение
вида

Часто
встречаются иррациональные уравнения
вида (или приводятся к такому виду
разложением на множители)
.
Это уравнение равносильно совокупности
двух систем:

, или
системе:
.

Пример
7.

Решить
уравнение:

Решение:

Произведение
равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы из сомножителей равен нулю, а
другие при этом имеют смысл.

Ответ:

Пример
8.

Решить
уравнение:

Решение:

x=-2.

Ответ:
-2

Пример
9.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Можно
найти ОДЗ, и отбросить корни, которые
не удовлетворяют ОДЗ, а можно подставить
корни в неравенство и отбросить
посторонние, что займет меньше времени:

x=3:
9-15+5<0 – не подходит

x=4:
16-20+5=1>0 — подходит

x=1;4.

x=1:
1-5+5=1>0 – подходит

Ответ:
1; 4

5. Методы
замены переменных

Еще
одним часто встречающимся методом
преобразования уравнения является
метод замены переменных. Для уравнений
этот метод состоит в следующем: данное
уравнение приводят к виду g(f(x))=0,
где z=g(f(x))
– сложная функция, являющаяся композицией
двух функций y=f(x)
и z=g(y).
Если y=y₁;
y=y₂;…y=y_n;

все
корни уравнения g(x)=0,

f(x)=y₁

f(x)=y₂

то
g(f(x))=0

…….

f(x)=y_n

Пример
11.

Решить
уравнение:
.

Решение:

. Замена

приводит

к
уравнению y²-4y=0

.

Таким
образом, данное в примере уравнение
равносильно совокупности уравнений

Так
как были использованы только равносильные
переходы, отдельная проверка корней, а
также нахождение ОДЗ не требуется.

Ответ:2;7;

Пример
12.

Решить
уравнение:
.

Решение:

,
применяя замену
,
уравнение можно переписать в виде
равносильной системы:

Обратная
замена:

Ответ:
-7;2

6. Линейные
комбинации двух и более радикалов.

Если
уравнение содержит два и более радикала,
то необходимо придерживаться следующих
правил:

1. указать
   область допустимых значений уравнения

2. распределить
   радикалы по обеим частям, чтобы обе
   части уравнения стали неотрицательными

3. только
   после этого возводить в квадрат левую
   и правую части уравнения.

Пример
13.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Здесь
были использованы только равносильные
переходы, поэтому проверка корней и
нахождение непосредственно ОДЗ
необязательно.

Ответ:
28

Пример
14.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Еще одно
правило равносильного перехода:

Вернемся
к решению нашего уравнения с учетом
рассмотренного перехода:

Ответ:
1,5

Пример
15.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Проверим,
удовлетворяют ли полученные решения
условию
.
Подставляя их в неравенство, мы гораздо
быстрее осуществим отбор, чем, решая
это неравенство.

,
следовательно, x=0 не
удовлетворяет нашему условию.

,
следовательно, x=2
удовлетворяет нашему условию.

,
следовательно, x=-2 не
удовлетворяет нашему условию.

Ответ:
2

Пример
16.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Заметим,
что x=4/15 принадлежит ОДЗ
уравнения, но не удовлетворяет условию
,
возникшему при втором возведении в
квадрат. Таким образом, делая равносильные
переходы на каждом этапе решения
уравнения, мы внимательно отслеживаем
промежутки, в которых должны находиться
корни уравнения. Корни, которые не
попадают в указанные промежутки, мы
отбрасываем, как посторонние.

Ответ:
1

7. Метод
   сведения иррационального уравнения с
   помощью замены к системе рациональных
   уравнений.

Пример
17.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Пусть

Тогда
.

Наше
исходное уравнение примет вид:

Решим
второе уравнение системы:

Итак,
имеем:
.

Ответ:
3

7. Метод
   мажорант и экстремальных оценок.

Пример
18.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Заметим,
что

Аналогично,
.
Следовательно, левая часть уравнения
.

Рассмотрим
правую часть уравнения:
.

Таким
образом, равенство двух частей возможно
тогда и только тогда, когда они одновременно
равны 2, т.е.

.

Ответ:
0

7. Умножение
   на сопряженное выражение.

Умножением
на сопряженное выражение часто пользуются,
чтобы избавиться от иррациональности
в знаменателе. Для решения иррациональных
уравнений также можно использовать
умножение на сопряженное выражение, но
обязательно нужно помнить о том, что мы
получаем уравнение-следствие, поэтому
необходима проверка корней.

Пример
19.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Помножим
исходное уравнение на сопряженное
выражение

Проверка:

.

x=9

.

.

Проверка
показала, что все решения являются
корнями исходного уравнения.

Ответ:
6; 7,5; 9

7. Метод
   решения уравнений путем нахождения и
   исследования ОДЗ.

Следует
объяснить учащимся, что если уравнение
кажется на первый взгляд достаточно
сложным, то следует начать его решения
с нахождения ОДЗ.

Пример
20.

Решить
уравнение:
.

Решение:

ОДЗ:

Область
допустимых значений состоит из
единственного значения. Проверим,
является ли это значение корнем уравнения.

.
Следовательно, x=1 корень
нашего уравнения.

Ответ:
1

7. Метод
   решения уравнений путем выделения
   полных квадратов под знаком радикала.

Пример
21.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Заметим,
что подкоренные выражения представляют
собой полные квадраты. Действительно:

Напомним,
что
,
пользуясь этим равенством, получим:

.
Пусть
.
Тогда уравнение примет вид:

Вернемся
к замене:

Ответ:

7. Метод
   решения уравнений путем нетривиальной
   замены.

Пример
22.

Решить
уравнение:
.

Решение:

Будем
преобразовывать уравнение, выделяя
полные квадраты:

Введем
новую переменную
,
тогда уравнение будет выглядеть следующим
образом:

Найдем
ОДЗ данного уравнения:
.

Заметим,
что область значений cosa
на

сщвпадает с областью значений нашей
переменной t. Воспользуемся
этим и введем замену
.
Тогда уравнение примет вид:

Воспользуемся
известными тригонометрическими
соотношениями:

Заметим,
что при

и

, тогда уравнение принимает следующий
вид:

Выберем
те значения
,
которые удовлетворяют условию
:

целых
нет.

Таким
образом, удовлетворяет условиям
.

Обратная
замена:
.

Ответ:

Решение радикальных уравнений: концепции | Purplemath

Purplemath

«Радикальное» уравнение — это уравнение, в котором по крайней мере одно выражение переменной заключено внутри радикала, обычно это квадратный корень. Большую часть этого урока мы будем работать с квадратными корнями.

Например, это радикальное уравнение, потому что переменная находится внутри квадратного корня:

Однако это уравнение не является радикальным:

…потому что внутри радикала нет переменной.

MathHelp.com

Обычно мы решаем уравнения, выделяя переменную; то есть мы манипулируем уравнением, чтобы получить переменную с одной стороны от знака «равно» с числовым значением с другой стороны.Общий процесс изоляции в некотором смысле отменяет все, что было сделано с переменной в исходном уравнении.

Например, предположим, что нам дано следующее линейное уравнение:

Чтобы решить, мы должны отменить сложение 2; то есть мы бы вычли 2 из другой части уравнения:

С другой стороны, учитывая уравнение –3 x = 12, мы можем решить, отменив умножение; то есть мы разделим на –3:

Когда у нас есть переменная внутри квадратного корня, мы отменяем корень, делая противоположное; то есть мы возводим обе части уравнения в квадрат.Например, для уравнения

мы бы решили возвести в квадрат обе части уравнения:

Прежде чем мы углубимся в отработанные примеры, нам нужно обсудить пару вопросов.

Выпуск 1: Квадратные стороны, а не термины

При решении уравнения мы должны проделать то же самое с обеими сторонами уравнения; в частности, мы ничего не делаем с каждым членом в уравнении.В первом примере выше, решая « x + 2 = 5», я вычитал 2 с каждой стороны, а не со всех трех членов.

При решении радикального уравнения мы должны возвести в квадрат обе стороны ; мы никогда не должны пытаться уравнять каждый член. Например, я могу начать с истинного уравнения:

… а затем возвести обе стороны в квадрат:

Возводя в квадрат обе стороны уравнения, я получаю истинное уравнение.Вот как должна работать математика. Но если я попытаюсь возвести в квадрат члены в левой части исходного утверждения выше, я не получу правильное значение.

Очевидно, это неправильно.

В каждом случае я начал с верного утверждения. Когда я возложил в квадрат обе стороны этого истинного утверждения, я закончил истинным утверждением. Но когда я возложил в квадрат члена в левой части, я получил неверное утверждение: «25 = 49».

Самая распространенная ошибка при решении радикальных уравнений — это возведение членов в квадрат. Всегда квадратные стороны, а не термины.

Проблема 2. Проверьте свои ответы

Мы всегда можем проверить наше решение уравнения, вставив это решение обратно в исходное уравнение и убедившись, что оно приводит к истинному утверждению. Например, в моем первом примере выше « x + 2 = 5» я получил решение x = 3.Я могу подтвердить это решение, подключив его обратно к исходному уравнению:

Вы, вероятно, уже проверяли этот тип, когда впервые узнали о решении линейных уравнений. Но со временем вы отточили свои навыки и перестали проверять.

Трудность решения радикальных уравнений состоит в том, что мы можем делать каждый шаг правильно, но все равно получать неправильный ответ. Это потому, что сам акт сопоставления сторон может создать решения, которых никогда раньше не было.Например, я мог бы заявить следующее:

Это, конечно, чушь. Но посмотрите, что происходит, когда я возведу в квадрат обе стороны:

Я начал с того, что было , а не истинным, возложил в квадрат обе его стороны и закончил тем, что было истинным . Это не хорошо.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат — это «необратимый» шаг в том смысле, что, сделав этот шаг, мы не можем обязательно вернуться к тому, с чего начали.Возводя в квадрат, мы могли потерять часть исходной информации. (Это лишь одна из многих возможных ошибок в математике.)

Чтобы увидеть, как это работает в нашем текущем контексте, давайте рассмотрим очень простое радикальное уравнение:

Это уравнение не более верно, чем та чушь «–2 = 2», которую мы рассмотрели ранее, и это ерунда по той же причине: никакое положительное значение (в данном случае квадратный корень) никогда не может равняться отрицательное число .

Но предположим, что я не заметил, что это уравнение не может иметь никакого решения, и вместо этого бездумно продолжил возведение в квадрат обеих сторон:

Возведя обе стороны в квадрат, я избавился от проблемного знака «минус», волшебным образом создав решение, которого раньше не существовало и которое фактически недействительно. Но я не обнаружу эту ошибку, если не забуду проверить свое решение! Вставляя значение моего решения в левую часть исходного уравнения, я проверяю, получаю ли я требуемое значение исходной правой части:

Теперь я ясно вижу, что что-то не так.У меня не может быть отрицательного числа, равного положительному. Теперь я вижу, что реальный ответ для этого уравнения:

.

Есть другой способ взглянуть на эту трудность «без решения». Когда мы решаем уравнение, мы можем рассматривать процесс как попытку найти пересечение двух линий на графике. Левую часть уравнения можно изобразить как одну кривую, а правую часть уравнения можно изобразить как другую кривую. Решение исходного уравнения — это пересечение двух кривых.(Да, это означает, что вы можете использовать свой графический калькулятор, чтобы проверить свою работу.)

Когда я решал « x + 2 = 5» выше, можно также сказать, что я пытался найти пересечение двух кривых:

На графике показано, где пересекаются эти две линии:

Точка пересечения находится на x = 3, что было значением решения, которое я нашел ранее.Точно так же, когда я решал уравнение

, вы могли рассматривать это как попытку найти пересечение следующих двух кривых:

График этих двух функций выглядит следующим образом:

Как и раньше, решение — x = 16.

Но когда я пытался решить бессмысленное уравнение

, я пытался найти пересечение графика радикальной функции y ₁ = sqrt ( x ) и постоянной функции y ₂ = –3, которые не пересекаются:

Филиал

Так что же произошло, когда я возложил в квадрат обе части этого бессмысленного уравнения? В некотором смысле, я как бы «возводил в квадрат» оба линейных уравнения и получил две новые строки:

И, как видно на графике, эти две новые линии на самом деле действительно пересекаются!

Как видите, возведение в квадрат обеих сторон исходного уравнения привело к решению, которому не место.И решение после возведения в квадрат 9022, а не , работало в уравнении до возведения в квадрат, потому что исходные линии не пересекались. Это иллюстрирует, почему мне пришлось проверить свое решение, чтобы понять, что на самом деле ответ был «нет решения».

Предупреждение: многие преподаватели не показывают много примеров (в классе или в домашнем задании) радикальных уравнений, решения которых на самом деле не работают. Но затем они проведут следующий тест по одному или нескольким из них. Вы должны ожидать, что будет радикальным уравнением «без решения» в тесте, поэтому не забудьте проверить свои решения.

URL: https://www.purplemath.com/modules/solverad.htm

Решение радикальных уравнений

Радикальные уравнения

Радикальное уравнение: Любое уравнение, которое содержит один или несколько радикалов с переменной в подкоренном выражении. — любое уравнение, которое содержит один или несколько радикалов с переменной в подкоренном выражении.Ниже приведены некоторые примеры радикальных уравнений, все из которых будут решены в этом разделе:

Начнем с возведения в квадрат свойства равенства даных действительных чисел a и b , где a = b, затем a2 = b2 .; учитывая действительные числа a и b , мы имеем следующее:

Другими словами, равенство сохраняется, если возвести обе части уравнения в квадрат.

Обратное, с другой стороны, не обязательно верно:

Это важно, потому что мы будем использовать это свойство для решения радикальных уравнений.Рассмотрим очень простое радикальное уравнение, которое можно решить путем осмотра:

Здесь мы видим, что x = 9 — решение. Чтобы решить это уравнение алгебраически, воспользуйтесь свойством возведения в квадрат равенства и тем фактом, что (a) 2 = a2 = a, когда a положительно. Исключите квадратный корень, возведя в квадрат обе части уравнения следующим образом:

В качестве проверки мы видим, что 9 = 3, как и ожидалось. Поскольку обратное к квадрату свойства равенства не обязательно верно, решения возведенного в квадрат уравнения могут не быть решениями исходного.Следовательно, возведение в квадрат обеих сторон уравнения вводит возможность посторонних решений: решение, которое не решает исходное уравнение, или решения, которые не решают исходное уравнение. По этой причине мы должны проверять ответы, полученные при возведении в квадрат обеих частей уравнения.

Пример 1: Решить: x − 1 = 5.

Решение: Мы можем исключить квадратный корень, применив свойство возведения в квадрат равенства.

Далее мы должны проверить.

Ответ: Решение — 26.

Пример 2: Решить: 5−4x = x.

Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Осталось квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации.

Поскольку вы соединили обе стороны в квадрат, вы должны проверить свои решения.

После проверки вы можете увидеть, что x = −5 было посторонним; он не решал исходное радикальное уравнение. Не обращайте внимания на этот ответ. Это оставляет x = 1 в качестве единственного решения.

Ответ: Решение x = 1.

Обратите внимание, что в двух предыдущих примерах радикал изолирован с одной стороны уравнения. Обычно это не так. Шаги для решения радикальных уравнений, включающих квадратные корни, описаны в следующем примере.

Пример 3: Решить: 2x − 5 + 4 = x.

Раствор:

Шаг 1: Выделите квадратный корень. Начните с вычитания 4 из обеих частей уравнения.

Шаг 2: Выровняйте обе стороны. Возведение в квадрат обеих сторон исключает квадратный корень.

Шаг 3: Решите полученное уравнение. Здесь у вас остается квадратное уравнение, которое можно решить путем факторизации.

Шаг 4: Проверьте решения в исходном уравнении. Квадрат с обеих сторон вводит возможность посторонних решений; следовательно, требуется проверка.

После проверки видим, что x = 3 — посторонний корень; он не решает исходное радикальное уравнение. Это оставляет x = 7 как единственное решение.

Ответ: Решение x = 7.

Пример 4: Решить: 3x + 1−2x = 0.

Решение: Начните с выделения термина с радикалом.

Несмотря на то, что у члена слева есть коэффициент, он все равно считается изолированным. Напомним, что термины разделяются операторами сложения или вычитания.

Решите полученное квадратное уравнение.

Поскольку мы возведем обе стороны в квадрат, мы должны проверить наши решения.

После проверки мы видим, что x = −34 было посторонним.

Ответ: Решение — 3.

Иногда оба возможных решения не имеют отношения к делу.

Пример 5: Решить: 4−11x − x + 2 = 0.

Решение: Начните с выделения радикала.

Поскольку мы возведем обе стороны в квадрат, мы должны проверить наши решения.

Поскольку оба возможных решения являются посторонними, уравнение не имеет решения.

Ответ: Нет решения, Ø

Свойство возведения в квадрат равенства распространяется на любую степень положительного целого числа n . Учитывая действительные числа a и b , мы имеем следующее:

Это часто называют степенным свойством равенства Для любого положительного целого числа n и действительных чисел a и b , где a = b, затем an = bn .. Используйте это свойство вместе с тем фактом, что ( an) n = ann = a, когда a положительно, для решения радикальных уравнений с индексами больше 2.

Пример 6: Решить: x2 + 43−2 = 0.

Решение: Выделите радикал и затем возьмите кубики обеих частей уравнения.

Проверить.

Ответ: Решения — 2 и 2.

Попробуй! Решить: 2x − 1 + 2 = x.

Ответ: x = 5 (x = 1 — посторонний)

Может случиться так, что уравнение имеет два радикальных выражения.

Пример 7: Решить: 3x − 4 = 2x + 9.

Решение: Оба радикала считаются изолированными в разных частях уравнения.

Проверить x = 13.

Ответ: Решение — 13.

Пример 8: Решить: x2 + x − 143 = x + 503.

Решение: Удалите радикалы, срезав кубики с обеих сторон.

Проверить.

Ответ: Решения -8 и 8.

Мы узнаем, как решать некоторые из более сложных радикальных уравнений в следующем курсе, Промежуточная алгебра.

Попробуй! Решите: 3x + 1 = 2x − 3.

Ответ: 13

Основные выводы

• Решите уравнения с квадратными корнями, сначала выделив радикал, а затем возведя в квадрат обе части.Возведение квадратного корня в квадрат устраняет радикал, оставляя нас с уравнением, которое можно решить, используя методы, изученные ранее при изучении алгебры. Однако возведение обеих сторон уравнения в квадрат приводит к появлению посторонних решений, поэтому проверьте свои ответы в исходном уравнении.
• Решите уравнения, содержащие кубические корни, сначала выделив радикал, а затем построив кубы с обеих сторон. Это устраняет радикал и приводит к уравнению, которое можно решить с помощью техник, которые вы уже освоили.

Тематические упражнения

Часть A: Решение радикальных уравнений

Решить.

1. х = 2

2. х = 7

3. х + 7 = 8

4. х + 4 = 9

5. х + 6 = 3

6. х + 2 = 1

7. 5x − 1 = 0

8. 3x − 2 = 0

9. х − 3 = 3

10.х + 5 = 6

11. 3x + 1 = 2

12. 5x − 4 = 4

13. 7x + 4 + 6 = 11

14. 3x − 5 + 9 = 14

15. 2x − 1−3 = 0

16. 3x + 1-2 = 0

17. x3 = 2

18. x3 = 5

19. 2x + 93 = 3

20. 4x − 113 = 1

21. 5x + 73 + 3 = 1

22. 3x − 63 + 5 = 2

23. 2 х + 23−1 = 0

24.2 2х − 33−1 = 0

25. 8x + 11 = 3x + 1

26. 23x − 4 = 2 (3x + 1)

27. 2 (x + 10) = 7x − 15

28,5 (х − 4) = х + 4

29. 5x − 23 = 4×3

30. 9 (x − 1) 3 = 3 (x + 7) 3

31. 3x + 13 = 2 (x − 1) 3

32. 9×3 = 3 (x − 6) 3

33. 4x + 21 = x

34. 8x + 9 = x

35,4 (2x − 3) = x

36,3 (4x − 9) = x

37.2х − 1 = х

38. 32x − 9 = x

39. 9x + 9 = x + 1

40. 3х + 10 = х + 4

41. х − 1 = х − 3

42. 2x − 5 = x − 4

43. 16−3x = x − 6

44. 7−3x = x − 3

45. 32x + 10 = x + 9

46. 22x + 5 = x + 4

47. 3x − 1−1 = x

48. 22x + 2−1 = x

49. 10x + 41−5 = x

50.6 (х + 3) −3 = х

51. 8×2−4x + 1 = 2x

52. 18×2−6x + 1 = 3x

53. 5х + 2 = х + 8

54. 42 (х + 1) = х + 7

55. x2−25 = x

56. х2 + 9 = х

57. 3 + 6x − 11 = x

58. 2 + 9x − 8 = x

59. 4x + 25 − x = 7

60. 8x + 73 − x = 10

61. 24x + 3−3 = 2x

62. 26x + 3−3 = 3x

63.2x − 4 = 14−10x

64. 3x − 6 = 33−24x

65. x2−243 = 1

66. x2−543 = 3

67. x2 + 6×3 + 1 = 4

68. x2 + 2×3 + 5 = 7

69. 25×2−10x − 73 = −2

70. 9×2−12x − 233 = −3

71. 2×2−15x + 25 = (x + 5) (x − 5)

72. x2−4x + 4 = x (5 − x)

73. 2 (x2 + 3x − 20) 3 = (x + 3) 23

74. 3×2 + 3x + 403 = (x − 5) 23

75.х1 / 2−10 = 0

76. x1 / 2−6 = 0

77. x1 / 3 + 2 = 0

78. x1 / 3 + 4 = 0

79. (x − 1) 1 / 2−3 = 0

80. (x + 2) 1 / 2−6 = 0

81. (2x − 1) 1/3 + 3 = 0

82. (3x − 1) 1 / 3−2 = 0

83. (4x + 15) 1 / 2−2x = 0

84. (3x + 2) 1 / 2−3x = 0

85. (2x + 12) 1/2 − x = 6

86. (4x + 36) 1/2 − x = 9

87.2 (5x + 26) 1/2 = x + 10

88,3 (х − 1) 1/2 = х + 1

89. Квадратный корень из 1 меньше двойного числа равен 2 меньше числа. Найдите номер.

90. Квадратный корень из 4 меньше двойного числа равен 6 меньше числа. Найдите номер.

91. Квадратный корень двойного числа равен половине этого числа. Найдите номер.

92. Квадратный корень двойного числа равен одной трети этого числа.Найдите номер.

93. Расстояние, d , измеренное в милях, до которого человек может увидеть объект, определяется по формуле

д = 6х3

, где h — высота человека над уровнем моря, измеренная в футах. Насколько высоко должен быть человек, чтобы увидеть объект на расстоянии 5 миль?

94. Ток I , измеренный в амперах, определяется по формуле

I = PR

, где P, — потребляемая мощность, измеренная в ваттах, а R — сопротивление, измеренное в омах.Если лампочка требует 1/2 ампера тока и потребляет 60 Вт мощности, то каково сопротивление лампы?

Период маятника T в секундах определяется формулой

Т = 2πL32

, где L — длина в футах. Для каждой задачи ниже рассчитайте длину маятника с учетом периода. Укажите точное значение и округлите приблизительное значение до ближайшей десятой доли фута.

95. 1 секунда

96,2 секунды

97. 1/2 секунды

98. 1/3 секунды

Время, t , в секундах, в котором объект находится в свободном падении, определяется формулой

т = s4

, где s представляет собой расстояние в футах, на которое упал объект. Для каждой задачи ниже рассчитайте расстояние, на которое объект упадет, учитывая количество времени.

99. 1 секунда

100. 2 секунды

101. 1/2 секунды

102. 1/4 секунды

Интерцепты x для любого графика имеют вид ( x , 0), где x — действительное число. Следовательно, чтобы найти x -перехватывания, установите y = 0 и найдите x .Найдите x -перехватывания для каждого из следующего.

103. y = x − 3−1

104. у = х + 2−3

105. у = х − 13 + 2

106. y = x + 13−3

Часть B: Обсуждение

107. Обсудите причины, по которым мы иногда получаем посторонние решения при решении радикальных уравнений. Существуют ли условия, при которых нам не нужно проверять наличие посторонних решений? Почему?

ответы

1: 4

3: 1

5: Ø

7: 1/25

9: 12

11: 1

13: 3

15: 13/4

17: 8

19: 9

21: −3

23: −15/8

25: 2

27: 7

29: 2

31: −3

33: 7

35: 2, 6

37: 2

39: -1, 8

41: 5

43: Ø

45: −3, 3

47: 2, 5

49: −4, −4

51: 1/2

53: 2, 7

55: Ø

57: 10

59: −6, −4

61: -1/2, 3/2

63: Ø

65: −5, 5

67: −9, 3

69: 1/5

71: 5, 10

73: −7, 7

75: 100

77: −8

79: 10

81: −13

83: 5/2

85: −6, −4

87: -2, 2

89: 5

91: 8

93: 1623 футов

95: 8 / π2≈0.8 футов

97: 2 / π2≈0,2 фута

99:16 футов

101: 4 фута

103: (4, 0)

105: (−7, 0)

Решите радикальные уравнения — промежуточная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите радикальные уравнения
• Решите радикальные уравнения с двумя радикалами
• Использовать радикалы в приложениях

Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

1. Упростить:

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

2. Решить:

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

3. Решить

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите радикальные уравнения

В этом разделе мы решим уравнения, у которых есть переменная в подкоренном выражении радикального выражения. Уравнение этого типа называется радикальным уравнением.

Радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в подкоренном выражении радикального выражения, называется радикальным уравнением .

Как обычно, при решении этих уравнений, то, что мы делаем с одной стороной уравнения, мы должны делать и с другой стороной. Как только мы изолировали радикал, наша стратегия будет заключаться в возведении обеих сторон уравнения в степень индекса. Это устранит радикал.

Решение радикальных уравнений, содержащих четный индекс, путем возведения обеих частей в степень индекса может привести к алгебраическому решению, которое не было бы решением исходного радикального уравнения. Опять же, мы называем это посторонним решением, как и при решении рациональных уравнений.

В следующем примере мы увидим, как решить радикальное уравнение. Наша стратегия основана на подъёме радикала с индексом n до n ^th степени. Это устранит радикал.

Как решить радикальное уравнение

Решить:

Решить:

Решить:

Решите радикальное уравнение с одним радикалом.

1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
2. Возвести обе части уравнения в степень индекса.
3. Решите новое уравнение.
4. Проверьте ответ в исходном уравнении.

Когда мы используем знак корня, он указывает на главный или положительный корень. Если в уравнении есть радикал с четным индексом, равным отрицательному числу, это уравнение не будет иметь решения.

Решить:

Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения.

Решить:

Решить:

Если одна сторона уравнения с квадратным корнем является биномом, мы используем образец произведения биномиальных квадратов, когда возводим его в квадрат.

Биномиальные квадраты

Не забывайте про средний семестр!

Решить:

Решить:

Решить:

Когда индекс радикала равен 3, кубим обе стороны, чтобы удалить радикал.

Решить:

Решить:

Решить:

Иногда уравнение может содержать рациональные показатели вместо радикала. Мы используем те же методы для решения уравнения, что и в случае радикала. Возводим каждую часть уравнения в степень знаменателя рациональной экспоненты. Так как у нас, например,

Помните и

Решить:

Решить:

Решить:

Иногда решение радикального уравнения приводит к двум алгебраическим решениям, но одно из них может быть посторонним решением!

Решить:

Решить:

Решить:

Когда перед радикалом стоит коэффициент, мы также должны возвести его в степень индекса.

Решить:

Решить:

Решить:

Решите радикальные уравнения с двумя радикалами

Если в радикальном уравнении есть два радикала, мы начинаем с выделения одного из них. Часто бывает проще сначала выделить более сложный радикал.

В следующем примере, когда один радикал изолирован, второй радикал также изолирован.

Решить:

Решить:

Решить:

Иногда после возведения обеих частей уравнения в степень у нас все еще остается переменная внутри радикала.Когда это произойдет, мы повторяем шаги 1 и 2 нашей процедуры. Выделяем радикал и снова возводим обе части уравнения в степень индекса.

Как решить радикальное уравнение

Решить:

Решить:

Решить:

Мы резюмируем шаги здесь. Мы скорректировали наши предыдущие шаги, чтобы включить в уравнение более одного радикала. Теперь эта процедура будет работать для любых радикальных уравнений.

Решите радикальное уравнение.

1. Выделите один из радикальных членов на одной стороне уравнения.
2. Возвести обе части уравнения в степень индекса.
3. Есть еще радикалы?

   Если да, повторите шаги 1 и 2 еще раз.

   Если нет, решите новое уравнение.

4. Проверьте ответ в исходном уравнении.

Будьте осторожны при возведении биномов в квадрат в следующем примере. Помните, что шаблон или

Решить:

Решить:

Решить:

Использование радикалов в приложениях

По мере прохождения курсов в колледже вы будете сталкиваться с формулами, которые включают радикалы во многих дисциплинах.Мы немного изменим нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений, чтобы дать нам план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

Используйте стратегию решения проблем для приложений с формулами.

1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
2. Определите то, что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
5. Решите уравнение , используя хорошую алгебру.
6. Отметьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Одно применение радикалов связано с действием силы тяжести на падающие предметы.Формула позволяет определить, сколько времени потребуется упавшему предмету, чтобы ударить его по земле.

Падающие предметы

На Земле, если объект падает с высоты h футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле

Например, если объект падает с высоты 64 фута, мы можем вычислить время, необходимое для достижения земли, подставив его в формулу.

Чтобы объект, упавший с высоты 64 фута, достиг земли, потребуется 2 секунды.

Марисса сбросила солнцезащитные очки с моста на высоте 400 футов над рекой. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы добраться до реки.

Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты 1296 футов. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось, чтобы пакет достиг земли.

Мойщик окон сбросил ракель с платформы на высоте 196 футов над тротуаром. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд прошло, чтобы ракель достиг тротуара.

секунды

Сотрудники полиции, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре. Затем они используют квадратные корни для определения скорости в милях в час, которую машина ехала до того, как затормозила.

Следы заноса и скорость автомобиля

Если длина следов заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были применены тормоза, может быть определена по формуле

После автомобильной аварии следы заноса одной машины достигли 190 футов.Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следователь ДТП измерил следы заноса автомобиля.Длина следов заноса составляла 76 футов. Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

футов

Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были длиной 122 фута. Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

футов

Ключевые понятия

• Биномиальные квадраты

• Решите радикальное уравнение
  1. Выделите один из радикальных членов на одной стороне уравнения.
  2. Возвести обе части уравнения в степень индекса.
  3. Есть еще радикалы?

     Если да, повторите шаги 1 и 2 еще раз.

     Если нет, решите новое уравнение.

  4. Проверьте ответ в исходном уравнении.
• Стратегия решения проблем для приложений с формулами
  1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
  2. Определите, что мы ищем.
  3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
  4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
  5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
  6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.
• Падающие предметы
  • На Земле, если объект падает с высоты х футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле
• Следы заноса и скорость автомобиля
  • Если длина следов заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были задействованы тормоза, может быть определена по формуле

Практика ведет к совершенству

Решите радикальные уравнения

В следующих упражнениях решите.

Решите радикальные уравнения с двумя радикалами

В следующих упражнениях решите.

Использование радикалов в приложениях

В следующих упражнениях решите.Округление до одного десятичного знака.

Ландшафтный дизайн Рид хочет иметь квадратный сад на заднем дворе. У него достаточно компоста, чтобы покрыть площадь в 75 квадратных футов. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны его сада. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

футов

Ландшафтный дизайн Винс хочет сделать квадратный внутренний дворик в своем дворе. У него достаточно бетона, чтобы вымостить площадь в 130 квадратных футов. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны его внутреннего дворика.Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Gravity Дельтаплан сбросил свой мобильный телефон с высоты 350 футов. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось мобильному телефону, чтобы достичь земли.

секунды

Gravity Строитель уронил молот, строя мостик к Гранд-Каньону на высоте 4000 футов над рекой Колорадо. Воспользуйтесь формулой, чтобы узнать, сколько секунд потребовалось молоту, чтобы достичь реки.

Расследование ДТП Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, достигли 216 футов. Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Расследование происшествий Следователь измерил следы заноса одного из автомобилей, попавших в аварию. Длина следов заноса составляла 175 футов. Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза.Округлите ответ до ближайшей десятой.

Письменные упражнения

Объясните, почему уравнение вида не имеет решения.

ⓐ Решите уравнение

ⓑ Объясните, почему одно из найденных «решений» на самом деле не было решением уравнения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глоссарий

радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в подкоренном выражении радикального выражения, называется радикальным уравнением.

Решение радикальных уравнений

Радикальное уравнение — это уравнение, в котором

Переменная

появляется под

квадратный корень

знак. (В настоящее время мы беспокоимся только о квадратных корнях, а не о кубических корнях или других интересных вещах.) Общий метод решения радикального уравнения заключается в следующем: изолировать знак квадратного корня (и все, что под ним) на одной стороне уравнения. Затем выровняйте обе стороны. У вас должно получиться уравнение, которое можно решить обычными методами.

Пример 1:

Решать.

Икс

+

2

знак равно

3

Квадрат с обеих сторон:

(

Икс

+

2

)

2

знак равно

3

2

Икс

+

2

знак равно

9

Решите уравнение:

Икс

+

2

знак равно

9

Всегда проверяйте свое решение:

7

+

2

знак равно

?

3

9

знак равно

?

3

3

знак равно

3

Следовательно,

7

является решением уравнения.

Пример 2:

Решать.

12

Икс

+

4

+

5

знак равно

Икс

Получите квадратный корень только с одной стороны, вычитая

5

с обеих сторон.

12

Икс

+

4

знак равно

Икс

—

5

Выровняйте обе стороны.

(

12

Икс

+

4

)

2

знак равно

(

Икс

—

5

)

2

12

Икс

+

4

знак равно

Икс

2

—

10

Икс

+

25

Упрощать.

Икс

2

—

22

Икс

+

21 год

знак равно

0

В этом случае результат

квадратное уровненеие

, которую можно решить с помощью

факторинг

.

(

Икс

—

21 год

)

(

Икс

—

1

)

знак равно

0

Итак, по

свойство нулевого продукта

,

Икс

знак равно

21 год

или же

Икс

знак равно

1

.

Важная заметка:

Шаг, когда мы возводим обе стороны в квадрат, может внести некоторые »

посторонние решения

«. Ты

должен

проверить правильность решений.

Подстановка

Икс

знак равно

21 год

:

12

(

21 год

)

+

4

+

5

знак равно

?

21 год

256

+

5

знак равно

?

21 год

21 год

знак равно

21 год

Итак, первое решение подтвердилось.

Подстановка

Икс

знак равно

1

:

12

(

1

)

+

4

+

5

знак равно

?

1

16

+

5

знак равно

?

1

9

≠

1

Итак, второе решение

не

проверить.Следовательно

Икс

знак равно

1

это постороннее решение. Единственное верное решение —

Икс

знак равно

21 год

.

Как решать радикальные уравнения. Видеоурок и пошаговое занятие

Как решить радикальные уравнения

• 1) Изолировать радикал на одной стороне уравнения
• 2) Возвести в квадрат обе части уравнения, чтобы исключить радикал
• 3) Упростите и решите, как любые уравнения
• 4) Подставьте ответы обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что ваши решения верны (могут быть какие-то посторонние корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению и которые вы должны выбросить)

Видео ниже и наши примеры объясняют эти шаги, а затем вы можете попробовать наши практические задачи ниже.

Видео о том, как решать радикальные уравнения

Проблема 1

Задача 2

Задача 3

Шаг 1

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 2

Шаг 4

Подставьте ответ в исходное радикальное уравнение, чтобы убедиться, что ответ — действительное число.

Шаг 4

$$
\ sqrt {3x -11} = 3x -x
\\
\ sqrt {3 (\ color {Red} {4}) -11} = 3 \ cdot (\ color {Red} {4}) — \ color {Red} {4}
\\
\ sqrt {1} = 8
\\
1 \ color {красный} {\ ne} 8
$$

Следовательно, отклонить 4 как решение, проверить 5 .

$$
\ sqrt {3x -11} = 3x -x
\\
\ sqrt {3 (\ color {Red} {5}) -11} = 3 (\ color {Red} {5}) — \ color {Red} {5}
\\
\ sqrt {15-11} = 15–5
\\
\ sqrt {15-11} = 15–5
\\
\ sqrt {4} = 10
\\
2 = 10
\\
\ color {красный} {\ ne} 10
$$

Следовательно, отклонить 5 как решение.

Поскольку оба наших решения были отвергнуты, реальных решений этого уравнения нет.

Как решать радикальные уравнения

Уравнение, содержащее радикальное выражение, называется радикальным уравнением, и в этом сообщении блога мы научим вас решать этот тип уравнений.

Связанные темы

Пошаговое руководство по решению радикальных уравнений

• Выделите радикал на одной стороне уравнения.
• Возведите обе части уравнения в квадрат, чтобы удалить радикал. 2 \), тогда \ (x + 3 = 100 → x = 97 \)
  Заменить \ (x \) на 97 в исходном уравнении и проверьте ответ:
  \ (x = 97 → 4 \ sqrt {x + 3} = 4 \ sqrt {97 + 3} = 4 \ sqrt {100} = 4 ( 10) = 40 \)
  Итак, значение 97 для \ (x \) правильное.

  Упражнения для радикальных уравнений

  Решите радикальные уравнения.

  1. \ (\ color {blue} {\ sqrt {x} + 6 = 8} \)
  2. \ (\ color {blue} {\ sqrt {x} -7 = 4} \)
  3. \ (\ color {синий} {\ sqrt {x + 2} = 10} \)
  4. \ (\ color {blue} {2 \ sqrt {x-9} = 14} \)
  5. \ (\ color {blue} {\ sqrt {2x-5} = \ sqrt {x-1}} \)
  6. \ (\ color {blue} {\ sqrt {x + 8} = \ sqrt {2x + 1}} \)
  1. \ (\ color {blue} {x = 4} \)
  2. \ (\ color {blue} {x = 121} \)
  3. \ (\ color {blue} {x = 98} \)
  4. \ (\ цвет {синий} {x = 58} \)
  5. \ (\ color {синий} {x = 4} \)
  6. \ (\ color {синий} {x = 7} \)

  Реза — опытный преподаватель математики и специалист по подготовке к экзаменам, который занимается со студентами с 2008 года.Он помог многим студентам поднять результаты стандартизированных тестов и поступить в колледжи своей мечты. Он работает со студентами индивидуально и в группах, преподает как живые, так и онлайн-курсы математики и математическую часть стандартизированных тестов. Он предоставляет индивидуальный индивидуальный план обучения и индивидуальное внимание, которое влияет на то, как учащиеся относятся к математике.

  2 месяца назад

  Math 1010 on-line — корни и радикалы

  Math 1010 on-line — Корни и радикалы

  Кафедра математики

  —

  Колледж наук

  —

  Университет Юты

  Корни и радикалы

  Корни и радикалы заслуживают отдельной главы и домашнего задания, потому что
  они часто встречаются в приложениях.

  Пусть будет
  натуральное число, и пусть будет
  настоящий номер . -й корень из
  это число, которое удовлетворяет
  Номер обозначается

  Например,

  с тех пор, и

  поскольку .

  Символ
  называется радикальным символом , и
  выражение, включающее его, называется радикалом (выражение) .

  Если тогда это квадратный корень из, и это число обычно опускается. Например,

  Если, то кубический корень из.Например,
  кубический корень из есть и кубический корень из есть.

  Если четное и положительное, то есть два -го числа.
  корни, каждый из которых является отрицательным для другого. Например,
  поскольку
  есть два квадратных корня из. В
  в этом случае условно символ
  означает положительный
  -й корень, и он называется главный (-й) корень
  из .

  Если отрицательное и нечетное, то есть только корень 1/4, и он также отрицательный. Например,

  На этом этапе нам неизвестен корень -й степени, если он даже
  и отрицательный.Это приводит к теме
  комплексные числа, которые мы рассмотрим позже в этом курсе.

  Радикалы — это просто частные случаи полномочий , и вы
  Помните об этом факте, что может упростить ваше мышление:

  Непосредственно из этого наблюдения и свойств
  полномочия, которые

  Решение радикальных уравнений

  Уравнение, включающее радикалы, называется радикальным уравнением
  (естественно).
  Чтобы решить эту проблему, вы просто применяете нашу общую
  принцип:

  Чтобы решить уравнение, выясните, что вас беспокоит, а затем сделайте то же самое.
  вещь по обе стороны уравнения, чтобы избавиться от него.

  Чтобы избавиться от радикала, вы приводите его к власти, которая изменит
  рациональный показатель до натурального числа. Это будет работать, если
  радикал сам по себе находится на одной стороне уравнения .

  Давайте посмотрим на несколько простых примеров :

  Предполагать

  Действуем следующим образом:

  Вот немного более сложная проблема:

  Мы получаем

  Наш последний пример показывает, как избавиться от более чем одного радикала:

  Чтобы избавиться от квадратных корней, мы изолируем их и возведем в квадрат
  время:

  В каждом случае мы проверяем наш ответ, подставляя его в исходный.