Как решать уравнения с параметром егэ: Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ

Содержание

Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня


Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.


Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.


«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.



Чему нужно научиться, решая задачи с параметром


В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.


Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.


Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.
  • Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром


    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т. д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.


    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.


    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.


    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.



    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач


    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.

    Вы можете:

    • Начать заниматься бесплатно.

    • Купить доступ к этой задаче в составе
      экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.


    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.


    Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
    Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

    Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике. Все секреты решений

    Анна Малкова

    Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

    И знать здесь действительно нужно много.

    Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики»

    Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно-обратные.

    Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

    Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.

    И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

    Вот основные типы задач с параметрами:

    Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

    Базовые элементы для решения задач с параметрами

    Графический способ решения задач с параметрами

    Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

    Использование четности функций в задачах с параметрами

    Условия касания в задачах с параметрами

    Метод оценки в задачах с параметрами 

    Вот пример решения и оформления задачи с параметром:

    Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

    Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

    Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

    Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

    Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

    Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

     

     

    И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

    1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

    — Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

    — Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

    2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

    Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

    3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

    4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

    На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

    уравнения и неравенства с параметром

    Существует ровно три генеральных метода решения задач 18:

    • Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
    • Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 18 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
    • Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

    Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

    Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

    Глава 1.
    Графический подход
    § 1.
    Вебинар по задачам 18: модуль и окружности
    § 2.
    Как решать задачу 18: графический подход
    § 3.
    Задача 18: две окружности и модуль
    § 4.
    Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля
    § 5.
    Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.
    Глава 2.
    Аналитический подход
    § 1.
    Задачи 18: Аналитическое решение
    § 2.
    Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами
    § 3.
    Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов
    Глава 3.
    Нестандартные приемы
    § 1.
    Задача 18: метод симметричных корней
    § 2.
    Как увидеть симметрию корней в задаче 18?
    § 3.
    Метод мажорант в задаче 18
    § 4.
    Графическое решение сложных задач 18 с модулем
    § 5.
    Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений
    § 6.
    Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18
    § 7.
    Применение производной для отыскания точек пересечения графиков
    § 8.
    Продвинутый метод симметричных корней
    § 9.
    Новая задача 18 с графическим решением

    Уравнения, параметры, неравенства: что нужно знать, чтобы точно сдать профильную математику

    На что обращать внимание при подготовке к профильной математике, как подступиться к сложным задачам и какими пособиями пользоваться при подготовке. Об этом на онлайн-консультации в официальной группе ЕГЭ во «ВКонтакте» рассказал Алексей Доронин — учитель математики и лауреат конкурса «Учитель года России- 2011».

    Полезная рассылка «Мела» два раза в неделю: во вторник и пятницу

    ЕГЭ-2018 по профильной математике (будут сдавать 1 июня) состоит из двух частей:

    • Часть первая — восемь заданий (1–8) базового уровня сложности с кратким ответом.
    • Часть вторая — четыре задания (9–12) повышенного уровня сложности с кратким ответом и семь заданий (13–19) высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.

    Во время подготовки к экзамену важно не только научиться решать задачи, но и правильно рассчитать время, за которое вы эти задания выполняете. Как это сделать? Попробуйте в спокойной обстановке решить 12 первых задач из демоверсии ЕГЭ по профильной математике и посмотрите, сколько времени на это тратите. Хорошо, если у вас получается решать эти задания за 40 минут и ещё оставить 10 минут на проверку (всего на экзамен даётся 235 минут). Старайтесь придерживаться этой планки, иначе не будете успевать и рискуете сделать нелепые ошибки из-за невнимательности. Например, видите геометрическую задачу: тут же рисуете треугольник на клетчатой бумаге и на автомате начинаете вычислять площадь. А задание вообще может быть связано с нахождением средней линии, высоты, биссектрисы или медианы.

    И ни в коем случае не превращайте подготовку к экзамены в нарешивание огромного количества вариантов. Надеяться на то, что вы прорешаете сто вариантов и великолепно справитесь с экзаменом — не совсем правильно. Лучше сначала сосредоточиться на решении первых 12 задач, и только после того, как поймёте, что вы без проблем решаете задания повышенной сложности, можно приступать к отработке решения самых сложных.

    О том, как их выполнять и на что обращать внимание, расскажу подробнее.

    Задания № 13 и 15 — проверяют, как вы решаете уравнения и неравенства

    Есть много ресурсов с типовыми заданиями, где мы в разных примерах видим одно и то же неравенство. Поменяют три на пять основание логарифма, и выпускники снова и снова их решают. Но в этом году будет другое содержание части С и другое неравенство, поэтому лучше изучить разные методы решения неравенств. Тут вам поможет методический курс Шарыгина «Решение задач» — в нём очень много неравенств. Можно найти страницу, где есть показательные решения логарифмических неравенств — около тридцати вариантов. Попробуйте их все решить. Если у вас получится, то проблем на экзамене, думаю, не будет.

    Ещё важно следить за вычислительной частью. Потому что арифметическая ошибка, которая повлияла на ход решения, — сразу плохо, и вряд ли задание будет вообще как-то оцениваться. Поэтому когда вы выполняете соответствующие преобразования, всё-таки смотрите, как вы находите дискриминант, как раскладываете на множитель квадратный трёхчлен. Следите за коэффициентом, за тем, как умножаете на отрицательное или положительно число, потому что именно такие нелепые ошибки приводят к неправильному ответу.


    Задания № 14 и 16 — проверяют, как вы решаете задачи с геометрическими фигурами, координатами и векторами

    В задачах № 14 и 16 есть пункты «а» и «б». Обычно в пункте «а» нужно доказать, в пункте «б» — вычислить. Часто ученики пытаются доказать пункт «а», вязнут в доказательстве и бросают задачу. При этом они не читают пункт «б», хотя его можно было бы решить, используя пункт «а», и получить один балл. Так было в прошлом году: те ребята, которые не смогли справиться с доказательством пункта «а», но вычислили пункт «б», получили один балл.

    Часто спрашивают, нужно ли помнить названия теорем, которые используются при доказательстве. Сами названия использовать не нужно, но если вы доказываете взаимную перпендикулярность двух плоскостей, то, конечно, должны прописать условия, при которых признак перпендикулярности плоскостей срабатывает.

    Формулировки вроде «прямая теорема Пифагора» или «обратная теорема Пифагора» прописывать не обязательно, потому что проверять будут именно содержание: смогли ли вы заметить те моменты, которые помогают выполнить доказательство пункта «а».

    Как правильно решать стереометрическую задачу № 14? Расскажу на примере одного из своих любимых учебников «Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия.10 класс» (авторы Е. В. Потоскуев и Л. И. Звавич). В конце учебника можно найти список основных теоретических фактов и посмотреть, что вы по ним знаете. Например, как доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, как найти расстояние между скрещивающимися прямыми. На все факты, которые есть в учебниках, на экзамене можно ссылаться без доказательств. Даже если в одном учебнике описан какой-то интересный приём решения задач, а в другом — нет. Главное, чтобы учебники входили в федеральный перечень.


    Задача № 17 — проверяет, как вы применяете знания на практике (тут может быть разное)

    При решении задачи № 17 нужно составить математическую модель. Обычно это или уравнение, или неравенство. Иногда бывает функция, которую нужно исследовать. Здесь, скорее всего, функция будет не сложнее, чем квадратичная (из первых 12 заданий ЕГЭ). Но есть важный момент: чтобы получить один балл за решение экономической задачи, нужно прописать, что является переменной x, переменной p и переменной s. Не нужно сразу записывать в бланк само уравнение без этой преамбулы — один балл как раз и ставится за то, как вы сумели правильно составить математическую модель. На этот момент обратите особенное внимание. Даже если у вас получилось очень сложное уравнение, которое, возможно, вы не сможете решить, но составлено оно было правильно, — вы законно получите один балл.

    Во всех практикоориентированных задачах, хоть в профильном экзамене, хоть в базовом, числа и значения реальные. Если у вас появляется какая-то нереальная скорость, нереальные размеры объекта, то стоит ещё раз посмотреть на решение — может быть, что-то здесь не так.


    Задание № 18 — проверяет, как вы решаете уравнения и неравенства (задача с параметром)

    Решение задач с параметром — вопрос сложный. Готовиться к такой задаче есть смысл, только если вы блестяще решаете все другие задачи (в том числе задание № 19). При подготовке стоит посмотреть, какие есть способы решения задачи с параметром, потому что вы можете решить 100 задач одним и тем же способом, а на экзамене будет совсем другой.

    В принципе либо это аналитический способ, где задачу с параметром нужно разбить на несколько задач, либо это графический или геометрический способ, когда у вас есть некая геометрическая конструкция, и вы её анализируете. Для подготовки можно использовать замечательную книгу «Задачи с параметрами» Горнштейна. И есть совсем новый сборник «Я сдам ЕГЭ! Математика. Практикум и диагностика. Профильный уровень» И. В. Ященко.


    Задание № 19 — проверяет, как вы строите и исследуете простейшие математические модели

    Есть мнение, что задача № 19 — олимпиадная, но это не так. Я бы сказал, что это сложная задача школьного учебника по математике. Никаких знаний, никаких утверждений, которые касаются олимпиадной математики, вам не потребуется. В задаче есть три пункта — «а», «б», «в». В пункте «а» вам нужно будет построить пример, в пункте «б» — доказать утверждение, в пункте «в» — не только найти пример и дать ответ (например, 25), но и доказать, что больше 25 в ответе получиться не может. И не забывайте обращать внимание на формулировки «найдите натуральные числа» или «найдите целые числа» — это правда частая ошибка.

    Чем пользоваться при подготовке ЕГЭ

    Как решать задания с параметром егэ. Математика, которая мне нравится

    Доклад на ГМО учителя математики МБОУ СОШ №9

    Молчановой Елены Владимировны

    «Подготовка к ЕГЭ по математике: задачи с параметрами ».

    Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

    Определение


    . Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

    Что означает «решить задачу с параметром»?

    Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

    Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

    Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

    Какие основные типы задач с параметрами?

    Тип 1.

    Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

    Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

    Тип 2.

    Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

    Обращаю внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

    Тип 3.

    Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

    Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

    Тип 4.

    Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

    Например, найти значения параметра, при которых:

    1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
    2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

    Комментарий.

    Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

    Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

    Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

    Способ I

    (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

    Комментарий.

    Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

    Способ II

    (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром
    a

    ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x;
    a

    ).

    Комментарий.

    Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

    Способ III

    (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

    Перейду теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий данного типа.

    Проанализировав все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с параметрами начинаю с заданий ЕГЭ В7 2002 года:

    При


    каком целом значении к уравнение 45х – 3х


    2

    – х

    3

    + 3к = 0 имеет ровно два корня?

    Эти задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

    На последующих занятиях я пользуюсь подборкой легких и средних по уровню конкурсных задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ, уравнений с модулем. Эти задания можно рекомендовать учителям по математике в качестве стартового комплекта упражнений для обучения работе с параметром, заключенным под знак модуля. Большинство номеров решаются графическим способом и предоставляют учителю готовый план урока (или двух уроков) с сильным учеником. Начальная подготовка к ЕГЭ по математике на упражнениях, близких по сложности к реальным номерам С5. Многие из предложенных заданий взяты из материалов для подготовки к ЕГЭ 2009 года, а некоторые – из интернета из опыта коллег.

    1) Укажите все значения параметра
    p

    , при которых уравнение
    имеет 4 корня?
    Ответ:

    2) При каких значениях параметра
    а

    уравнение

    не имеет решений?
    Ответ:

    3) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
    имеет ровно 3 корня?
    Ответ: а=2

    4) При каких значениях параметра
    b

    уравнение

    имеет единственное решение? Ответ:

    5) Найдите все значения
    m

    , при которых уравнение
    не имеет решений.
    Ответ:

    6) Найдите все значения а, при которых уравнение
    имеет ровно 3 различных корня. (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму.)

    Ответ: 3

    7) При каких значениях
    b

    уравнение

    имеет ровно 2 решения?
    Ответ:

    8) Укажите такие параметры
    k

    , при которых уравнение
    имеет не менее двух решений.
    Ответ:

    9) При каких значениях параметра
    p

    уравнение

    имеет только одно решение?
    Ответ:

    10)

    Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (х + 1)
    имеет ровно 2 корня? Если значений а окажется несколько, то в ответ запишите их сумму.

    Ответ: — 3

    11) Найдите все значения а, при которых уравнение
    имеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответ запишите их сумму).

    Ответ: 4

    12) При каком наменьшем натуральном значении параметра а уравнение

    = 11 имеет только положительные корни?

    Ответ: 19

    13) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
    = 1 имеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму).

    Ответ:- 3

    14) Укажите такие значения параметра
    t

    , при которых уравнение
    имеет 4 различных решения. Ответ:

    15) Найдите такие параметры
    m

    , при которых уравнение
    имеет два различных решения. Ответ:

    16) При каких значениях параметра
    p

    уравнение

    имеет ровно 3 экстремума? Ответ:

    17) Укажите все возможные параметры n, при которых функция
    имеет ровно одну точку минимума. Ответ:

    Опубликованный комплект регулярно используется мной для работы со способным, но не самым сильным учеником, претендующим, тем не менее, на высокий балл ЕГЭ за счет решения номера С5. Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра. Номера 16 и 17 составлены по образцу реального уравнения с параметром на ЕГЭ 2011г. Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.

    Задание C5 по математике ЕГЭ 2012

    Здесь мы имеем традиционную задачу с параметром, требующую умеренного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем. Это задание является одним из самых сложных заданий Единого государственного экзамена по математике. Оно рассчитано, прежде всего, на тех, кто собирается продолжать образование в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Для успешного решения задачи важно свободно оперировать изученными определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях, анализировать условие и находить возможные пути решения.

    На сайте подготовки к ЕГЭ Александра Ларина с 11.05.2012 года были предложены тренировочные варианты №1 – 22 с заданиями уровня «С», С5 некоторых из них были аналогичны тем заданиям, которые были на реальном экзамене. Например, найдите все значения параметра а, при каждом из которых графики функций
    f

    (х) =

    и

    g

    (х) = а(х + 5) + 2 не имеют общих точек?

    Разберем решение задания С5 из экзамена 2012 года.

    Задание С5 из ЕГЭ-2012

    При каких значениях параметра a уравнение

    имеет не менее двух корней.

    Решим эту задачу графически. Построим график левой части уравнения:
    и график правой части:
    и сформулируем вопрос задачи так: при каких значениях параметра a графики функций
    и

    имеют две или более общих точки.

    В левой части исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график функции
    .

    Будем строить это график с помощью
    функции

    :

    1. Сдвинем график функции
    на 3 единицы вниз вдоль оси OY, получим график функции
    :

    2. Построим график функции
    . Для этого часть графика функции
    , расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

    Итак, график функции
    имеет вид:

    График функции

    Почему-то в последнее время задачи с параметрами вызывают у школьников почти священный ужас, иногда тихий, а иногда и не очень Проблема, видимо, опять же в том, что так их учат. В общем, бедные дети… Выучить наизусть кучу задач с одним, двумя и больше параметрами, прорешать их бесчисленное множество раз непонятно зачем, а на том же пресловутом ЕГЭ получить условие такой задачи с параметром, какую еще никогда в глаза не видели и впасть в ступор от невозможности даже начать ее решать, понять, в какую сторону двигаться. Ну как тут не пожалеть выпускников!

    Поскольку я очень люблю описывать свои школьные годы, свою учебу, (что, впрочем, вы уже, наверное, заметили))), то напишу, как это было у нас. Внимание, вы не поверите: нас никто никогда ни разу в жизни не учил решать задачи с параметрами! Вот, написала очередную крамолу))) Нас просто учили решать задачи, и все. Не существовало отдельного класса/вида/группы задач, которые назывались бы задачами с параметрами. И при этом такие задачи никого не удивляли и не заставляли трепетать. Все их просто решали, как и любые другие задачи. Вот так.

    И не было различных учебных пособий, в которых написано, что делать при виде параметров, в какую сторону переносить и куда подставлять… Просто для каждой задачи нужно было понимать, как прийти к ее решению, что, зачем и почему, в какой последовательности делать, чтобы получить ответ. И именно понимание, зачем и почему, было главным. Нет в этих задачах ничего хитрого, поверьте, пожалуйста! Никаких особенных специальных приемов решения их тоже нет. Да, можно показать какие-то методы, которые при полном непонимании происходящего (зачем и почему) помогут справиться с десятью, пятнадцатью, ста одинаковыми задачами, но вот найдется же сто первая, которая таким методом не решится!

    Что отсюда следует? Вот что. Если вы почему-то побаиваитесь задач с параметрами, если у вас начинают дрожать коленки при их упоминании, нужно брать задачи без параметров на ту же тему, которые вы считаете, что умеете решать, и пытаться понять, что к чему, посимвольно разбираясь, что, зачем, почему и как делается. В случае, если вы с этим подробно и обстоятельно разберетесь, четко начнете представлять, что происходит, вам не нужны будут никакие специальные учебные пособия, в которых приводятся такие “полезные” методы решения, и репетиторы, многие из которых научены по тем же самым пособиям. А в качестве бонуса вы сможете, не боясь и не трепеща, приступать к решению любой задачи, в которой есть такие, казалось бы, страшные параметры, а на самом деле – всего лишь буквы, за которыми могут стоять только обыкновенные числа, и больше ничего!

    К сожалению, того, что все будет легко, обещать не могу. Тем более, если вы себе никогда не пытались задавать эти коварные вопросы: почему? зачем? откуда это взялось? и что из этого следует? Тем не менее, если вы хотите научиться решать задачи, хотите понять , вам это следует сделать. Да, думать тяжело, но без этого никак нельзя! Попробуйте, и вы увидите, насколько интереснее стало жить!

    Внимание:


    мелкие насыщенные графики можно увеличить, щелкнув по ним мышью.


    Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

    Что такое уравнение с параметром?

    Рассмотрим пример.

    Допустим нам нужно решить уравнение 2х
    + 5 = 2 − x
    .

    Решение: 2x
    + x
    = 2 − 5; 3x
    = −3; x
    = −3/3 = −1.

    Теперь нужно решить уравнение 2x
    + 5 = 3 − x
    .

    Решение: 2x
    + x
    = 3 − 5; 3x
    = −2; x
    = −2/3 ~ −0,67.

    Затем нужно решить уравнение 2x
    + 5 = 0,5 − x
    .

    Решение: 2x
    + x
    = 0,5 − 5; 3x
    = −4,5; x
    = −4,5/3 = −1,5.

    А потом может потребоваться решить уравнение 2x
    + 5 = 10,7 − x

    или уравнение 2x
    + 5 = −0,19 − x
    .

    Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать одно и то же?

    Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a

    .
    Получим уравнение 2х
    + 5 = a
    х
    ,

    где a

    переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение.

    Эта переменная и называется параметром.

    Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
    Решение: 2х
    + 5 = a
    x
    ; 2x
    + x
    = a
    − 5; 3x
    = a
    − 5; x
    = (a
    − 5)/3.

    Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х
    числовое значение параметра а
    :
    x
    = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;

    x
    = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

    Таким образом, под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений»

    , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению.


    Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a
    , чтобы получить решение любого такого уравнения.

    Рассмотрим еще один пример.

    Нужно решить несколько уравнений:
    2х
    + 5 = 2 − x
    ;

    3х
    + 5 = 2 − x
    ;

    −4х
    + 5 = 2 − x
    ;

    17х
    + 5 = 2 − x
    ;

    0,5х
    + 5 = 2 − x
    .

    Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k
    .
    Решим уравнение
    + 5 = 2 − x

    с параметром k
    .

    Решение:

    + 5 = 2 − x
    ;


    + х
    = 2 − 5;

    (k
    + 1)x
    = −3;

    x
    = −3/(k
    + 1).

    С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
    x
    = −3/(2 + 1) = −1

    x
    = −3/(3 + 1) = −0,75

    x
    = −3/(−4 + 1) = 1

    x
    = −3/(17 + 1) = −1/6 ~ −0,167

    x
    = −3/(0,5 + 1) = −2

    Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
    Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
    Например, если введём k
    = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188,
    если k
    = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.

    Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k
    = −1, то компьютер зависнет.
    Почему?

    Посмотрим внимательнее на формулу x
    = −3/(−1 + 1) = −3/0.
    Деление на ноль?!!


    Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х
    + 5 = 2 − x
    .

    Преобразуем его −х
    + x
    = 2 − 5.

    Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3
    (?!!

    ) и не может иметь корней.
    Таким образом, из общего подхода к решению «почти одинаковых уравнений» могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

    Графические способы решения уравнений

    Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).

    Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x)
    . Построим графики функций y = f(x)
    и y = g(x)
    и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

    Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз которые изучаются в школьном курсе математики, и

    Рассмотрим примеры.

    1.
    Решить уравнение
    2х
    + 5 = 2 − x

    Ответ: x
    = −1
    .

    2.
    Решить уравнение
    2х
    2 + 4х
    − 1 = 2х
    + 3

    Ответ: x
    1 = -2; x
    2 = 1
    .

    3.
    Решить уравнение
    l
    og 2 х
    = −0,5х
    + 4

    Ответ: x
    = 2
    .

    Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

    Внимание:

    Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х
    = 4
    , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже «от руки» разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

    1. Предварительный вывод: х
      ≈ 4.
    2. Проверка: l
      og 2 4
      = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
    3. Окончательный вывод х
      = 4.

    Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

    Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

    Задача 1.

    q

    при которых уравнение
    |x
    + 1| − |x
    − 3| − x
    = q
    2 − 8q
    + 13

    имеет ровно 2 корня.

    При каждом значении параметра q
    можно вычислить значение выражения q
    2 − 8q
    + 13
    . Результат обозначим переменной а
    .
    Т.е. примем q
    2 − 8q
    + 13 = a


    и
    решим уравнение с параметром |x
    + 1| − |x
    − 3| − x
    = a

    Строим график функции y
    = |x
    + 1| − |x
    − 3| − x


    , расположенной в левой части уравнения.
    Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

    |x
    + 1| = 0; x
    = −1;
    |x
    − 3| = 0; x
    = 3.

    Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
    Вспомним:

    по определению |x
    | = x

    ,
    если х
    ≥ 0
    ,
    и |x
    | = −x

    ,
    если х
    .

    Чтобы проверить знаки модулей на участке достаточно подставить любое промежуточное значение x
    из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

    Таким образом на участке I
    , где −∞ х

    ≤ −1,
    имеем
    −(x
    + 1) + (x
    − 3) − x
    = − x
    − 4.

    Следовательно, должны построить график функции y
    = − x
    − 4

    .
    Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x
    = 0, y
    = −4
    и у
    = 0, x
    = −4.
    Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

    Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

    На участке II
    , где −1 х

    3, имеем (x
    + 1) + (x
    − 3) − x
    = x
    − 2

    y
    = x
    − 2

    .

    На участке III
    , где 3 х
    ≤ ∞
    , имеем
    (x
    + 1) − (x
    − 3) − x
    = − x
    + 4

    и должны построить соответствующую часть графика функции y
    = − x
    + 4

    .

    Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

    Замечание:

    если вы освоили тему , то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

    Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

    График функции y
    = a


    представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox
    ), и пересекающую ось ординат (Oy
    ) в точке а

    . Так как а

    — параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y
    = a


    показаны красным цветом.

    Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а

    . Прямые, расположенные ниже y
    = −3
    , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 y
    y
    = 1
    , снова имеют только по одной точке пересечения.
    Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y
    = 1
    и y
    = −3
    . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

    Однако мы нашли значения введённого нами параметра а
    , при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q

    . Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

    Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.

    Таким образом, окончательный ответ: {2;4;6}.

    Задача 2.

    Найти все значения параметра a

    , при которых уравнение
    (2 − x
    )x
    (x
    − 4) = a

    имеет ровно 3 корня.

    Рассмотрим функцию y
    = (2 − x
    )x
    (x
    − 4)

    . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет х
    3
    . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x
    , стремящемcя к +∞, y
    → −∞, а при x
    , стремящемся к −∞, y
    → +∞.
    Поскольку уравнение (2 − x
    )x
    (x
    − 4) = 0

    имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
    Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной». Строим от руки эскиз графика.

    Правая часть уравнения y
    = a


    такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

    Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y
    max и y
    min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x

    и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

    Ответ:

    Задача для самостоятельного решения

    Задача 3.

    При каком наибольшем отрицательном значении параметра а

    уравнение имеет один корень?

    Показать решение.

    Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.

    Переносим 2x
    в правую часть уравнения, в результате получим две элементарные функции, графики которых изучались в школе.
    По рисунку видим, что условию задачи удовлетворяет линия, которая касается графика. Поэтому для дальнейших вычислений используем условия:
    1) тангенс угла наклона касательной равен производной функции в точке касания;
    2) искомая параметрическая прямая и график имеют общую точку.
    При вычислениях игнорируем модуль, поскольку проводим их для правого участка кривой (x
    > 0
    ).

    Ответ: -1,625

    Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

    Есть вопросы? пожелания? замечания?
    Обращайтесь —

    Внимание, ©mathematichka
    . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

    Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами.
    Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами
    решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений,
    уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для
    развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных
    10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический
    практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с
    параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного
    плана школы.

    Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь
    элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с
    параметрами”.

    Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

    1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для
      любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих
      определенному множеству.
    2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить
      количество решений в зависимости от значения параметра.
    3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те
      значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства)
      имеют заданное число решений.
    4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях
      параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области
      определения.

    Методы решений задач с параметрами.

    1. Аналитический метод.

    Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения
    ответа в задачах без параметра.

    Пример 1. Найдите все значения параметра
    a
    , при которых уравнение:

    (2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более
    одного корня.

    При 2a

    – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай
    a
    =1/2 разбираем отдельно.

    Если a
    = 1/2, то уравнение принимает вид
    1/2x
    – 2 = 0, оно имеет один корень.

    Если a
    ≠ 1/2,
    то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня
    необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

    D
    = a
    2 – 4(2a
    – 1)(2a
    – 3) = -15a
    2
    + 32a
    – 12;

    Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

    2. Графический метод.

    В зависимости от задачи (с переменной x

    и параметром a
    )
    рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y
    )
    или в плоскости (x;a
    ).

    Пример 2. Для каждого значения параметра a

    определите количество решений уравнения
    .

    Заметим, что количество решений уравнения

    равно количеству точек пересечения графиков функций

    и y = a.

    График функции

    показан на рис.1.

    y = a
    – это горизонтальная прямая. По графику несложно
    установить количество точек пересечения в зависимости от a

    (например, при a
    =
    11 – две точки пересечения; при a

    = 2 – восемь точек пересечения).

    Ответ: при a
    a

    = 0 и a
    = 25/4 – четыре решения; при
    0 a
    a

    = 6 – семь решений; при

    6 a
    a
    >
    25/4 – два решения.

    3. Метод решения относительно параметра.

    При решении этим способом переменные х
    и а
    принимаются
    равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое
    решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному
    смыслу переменных х
    и а
    и закончить решение.

    Пример 3. Найти все значения параметра а
    , при каждом из которых
    уравнение
    = —ax
    +3a
    +2 имеет единственное решение.

    Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть
    = t
    , t
    ≥ 0
    , тогда x
    = t
    2 + 8 и
    уравнение примет вид at
    2 + t
    + 5a
    – 2 = 0
    . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а
    ,
    при которых уравнение at
    2 + t
    + 5a
    – 2 =
    0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет
    место в следующих случаях.

    1) Если а
    = 0, то уравнение имеет единственное решение t

    = 2.

    Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

    Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в
    приобретении навыков исследовательской деятельности.

    Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального,
    нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких
    задач.

    . Линейные уравнения.

    Задача № 1.
    При каких значениях параметра b

    уравнение
    не имеет корней?

    . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

    Задача №2. Найти все значения параметра a
    ,
    при которых множество решений неравенства:

    содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

    Преобразуем обе части неравенства.

    Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и
    достаточно выполнение условия:

    Рис.4

    При a
    > 6 множество
    решений неравенства:
    .

    Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка
    длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в
    интервале (5; a
    ).

    . Показательные уравнения, неравенства и системы.

    Задача № 3. В области определения функции
    взяли
    все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых
    такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

    1) Графиком дробно-линейной функции

    является гипербола. По условию x
    > 0. При
    неограниченном возрастании х
    дробь
    монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z
    возрастают
    и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

    2) По определению степени область определения D(y)

    состоит из решений неравенства
    .
    При a
    = 1 получаем неравенство, у которого решений
    нет. Поэтому функция у
    нигде не определена.

    3) При 0 a
    показательная функция с
    основанием а
    убывает и неравенство
    равносильно неравенству
    . Так как x
    > 0 , то z
    (x
    ) >
    z
    (0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х

    является решением неравенства
    . Поэтому для таких а
    указанную в условии сумму нельзя найти.

    4) При a
    > 1 показательная функция с основанием
    а
    возрастает и неравенство
    равносильно неравенству
    . Если a
    ≥ 5,
    то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму
    нельзя найти. Если 1 a
    x
    0)
    , где a
    = z
    (x
    0) .

    5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим
    суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3
    = 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только
    если число 3 лежит в интервале (0;x
    0),
    а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 x
    0
    ≤ 4 . Так как
    возрастает на
    ,
    то z
    (3) z
    (x
    0)
    z
    (4) .

    Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств
    и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

    Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого
    алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с
    неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых
    не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом
    множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и
    технический ход решения задачи и форму ответа.

    По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с
    параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению
    таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%,
    поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе
    задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

    Решение уравнений с параметром | Творческие проекты и работы учащихся

    В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Решение уравнений с параметром» учеником 11 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные способы решения задач с параметрами, решить ряд аналогичных заданий, чтобы подготовиться к решению примеров с параметрами на ЕГЭ.

    Подробнее о проекте:

    В ученической исследовательской работе по математике «Решение уравнений с параметром» автор рассматривает аналитический и графический метод решения уравнений с параметром, а также метод решения задачи относительно параметра. В работе подробно описаны виды уравнений с параметром и варианты решения уравнений с параметром, а также предложены задания для самостоятельного решения таких примеров.

    В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Решение уравнений с параметром» автор анализирует задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет, систематизирует все задания по видам, показывает способы решения в общем виде, подбирает по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения. К концу учебного года 19/20 автор планирует создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ.

    Оглавление

    Введение
    1. Методы решения заданий с параметром.
    1.1. Аналитический метод.
    1.2. Графический метод.
    1.3. Метод решения относительно параметра.
    2. Виды уравнений с параметром.
    3. Решение уравнений с параметром.
    4. Задания для самостоятельного решения.
    Заключение
    Литература

    Введение

    В данной работе описываются основные способы решения одного из заданий ЕГЭ — задания с параметром. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений. Решение задач с параметрами способствуют формированию логического мышления, помогают в приобретении навыков исследовательской деятельности, стимулируют познавательную деятельность. Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

    На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».

    И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

    Противоречие: многие ученики не приступают к решению задания с параметром на ЕГЭ, даже несмотря на то, что оно высоко оценивается.

    Проблема: как подготовиться к решению заданий с параметрами из ЕГЭ

    Цель проекта: изучение различных способов решения задач с параметрами.

    Задачи:

    • Проанализировать задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет
    • Систематизировать все задания по видам
    • Показать способы решения в общем виде
    • Подобрать по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения
    • к концу учебного года 19/20 создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ

    Данная методическая разработка «Решение уравнений с параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.

    Актуальность проекта обусловлена тем, что многим ученикам будет гораздо легче подготовиться к ЕГЭ, используя эту разработку.

    По данным только около 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент верного решения всего 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

    Продукт проекта: методическая разработка для подготовки к ЕГЭ (задание с параметром).

    Этапы работы над проектом:

    Этап Срок Результат
    Определение темы, цели, задач, актуальности проекта Сентябрь-Октябрь 2018 Тема проекта «Решение уравнений с параметром»
    Поставлены цели и задачи, определена актуальность
    Сбор материала по проекту Октябрь 2018-Май 2019 Получение нужных сведений для написания проектной работы
    Обобщение материала Май 2019-Ноябрь 2020 Готовый проект и презентация
    Представление проекта Февраль 2020 Защита проекта

    Текст проекта представлен в формате Word внизу этой страницы!

    Заключение

    Во время создания данного проекта я взялся за детальное рассмотрение параметра на примерах математических задач. Ведь параметры встречаются гораздо чаще, чем мы себе представляем. Изучение многих процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Включая такое большое количество столкновений, пусть и косвенных, с параметром, я пришел к выводу, что необходимо изучать данную тему более детально. Также, решение уравнений с параметром способствует развитию логического и вариативного мышление человека, что позволит ему улучшить свои знания и умения. В моей работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и я надеюсь, что знания, которые я получил в процессе работы, а также использовал при выполнении данной проектной работы, помогут мне и другим одиннадцатиклассникам при сдаче ЕГЭ. Выполняя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рациональных способов решения. На мой взгляд, графо-аналитический метод является самым удобным и наглядным способом решения уравнений с параметрами, так как при таком решении можно наглядно увидеть все корни и гораздо легче заметить ошибки.

    Использованная литература

    1. СдамГИА/РешуЕГЭ – образовательный портал для подготовки к экзаменам.
    2. ИНФОУРОК – ведущий образовательный портал России.
    3. Википедия.
    4. Учителя.com — учительский портал
    5. А. Шахмейстер «Задачи с параметрами в ЕГЭ» – «Петроглиф», №1 2004 г.
    6. Е.А.Ефимов «Задачи с параметром» – Самарский гос. аэрокосмический университет, 2006г.
    7. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами» – РИА, 2002г.

    Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

    Квадратные уравнения с параметром | О математике понятно

    Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

            Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

            Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

            — Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

            — Что такое дискриминант и куда его пристроить?

            — Что такое теорема Виета и где её можно применить?

            Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% — это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

            Итак, приступим!

            Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂

     

            Пример 1

           

            Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:      

            a = 1

            b = -(a-1)

            c = a-2

            Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.

            Так и пишем:

            D = 0

            Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

           

            Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

           

           Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3)2!

            Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3)2, то уравнение будет решаться в уме!

            (a — 3)2 = 0

            a 3 = 0

            a = 3

            Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

            Ответ: 3

     

            Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

     

            Пример 2

            

            Вот такая задачка. Начинаем распутывать.  Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

            0,5x2 — 2x + 3a + 1,5 = 0

            Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

             

            

            Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

              a = 1

              b = -4

              c = 6a+3

             Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

             А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

             «Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным

             Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

              D = (-4)2 — 4·1·(6a+3) = 16-24a-12 = 4-24a

              4-24a > 0

              -24a > -4

              a < 1/6

            Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

            Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

             

            Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

             

            А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

            Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

             

            Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28: 

              

            А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

            Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

            

            

            А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

             

            Итого:

            

            Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

            

            Чему здесь равен коэффициент при x2? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

             

            Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

             

            

             Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

              4·(16-18a-9) < 28

              64–72a+36 < 28

              -72a < 28-64+36

              -72a < 0

              a > 0

              Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a < 1/6. Значит, наше полученное множество a > 0 необходимо пересечь с условием a < 1/6. Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

             

              Ответ:

             

              Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

              Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

     

              Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

              Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

     

              Пример 3

              

              Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

              Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

              

              a = 1

              b = -6

              c = a2-4a

              А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

              D ≥ 0

              Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

              D = (-6)2 — 4·1·(12 + a2-4a) = 36 — 48 — 4а+ 16а = -4а2+16а-12.

              А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

             

             

              

              

              Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

              А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

             

             принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x1 — x2. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

              Что ж, считаем корни по общей формуле:

              Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

     

              Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

            

             И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

             Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

             

             

             Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

             

              Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию  мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

              Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

              Ответ: 2.

     

              Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

     

              Пример 4

              

              Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

     

      

              Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

              Итак, а ≠ 0.

              При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

              А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

              D = 4(a-1)2 — 4a(a-4) = 4a2-8a+4-4a2+16a = 4+8a

             

              Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

              Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

            

             Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

              Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

             

              Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

              

              Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

             

             Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

             

             Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

              Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

             

             Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

              Итак!

              Случай 1 (a>0, |a|=a)

              В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

             

              Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

             

              Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.

              Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

             

             А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 и a<0 — это два взаимно исключающих требования.

              Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

             

             Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

            

             

            

            

             Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

            

             Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

             

             Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

             

             Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

     

              Случай 2 (a<0, |a|=-a)

             В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

             

             Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

              

             С учётом общего требования a<0, мы снова, как и в предыдущем случае, проводим максимальные упрощения: вычёркиваем вторую систему в силу противоречивости двух требований -3а < 0 и нашего общего условия a<0 для всего случая 2.

             

              А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

              

             

              И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

             

              Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a<0.

              Пересекаем:

             

              Вот и второй кусочек ответа готов:

             

              Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

            

             с нулём. Вот так:

             

              А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

             

             Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

             

             Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

             Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

             

             Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

             

             Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

             

              Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

             

              Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

              Ответ:

            

     

             Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

     

             1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

             ax2 + 3x +5 = 0 

             имеет единственный корень.

     

             2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

             x2 — (14a-9)x + 49a2 — 63a + 20 = 0

             меньше 9.

     

             3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

             x2 — 4ax + 5a = 0

             равна 6.

     

             4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

             x2 + 2(a-2)x + a + 3 = 0

             имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

     

              Ответы (в беспорядке):

              

    Как решать задачи с параметром ege. Математика мне нравится

    Отчет по ГМО учитель математики МБОУ СШ №9

    Молчанова Елена Владимировна

    «Подготовка к экзамену по математике: задачи с параметрами».

    Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, предлагаю за основу взять следующий простейший вариант.

    Определение

    .Параметр — это независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом или числом, принадлежащим заранее определенному набору.

    Что значит «решить проблему с параметром»?

    Естественно, это зависит от вопроса в проблеме. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или комбинацию, то это означает представление аргументированного ответа либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее определенному набору.

    Если необходимо найти значения параметров, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. Д. Удовлетворяет заявленному условию, то, очевидно, решением задачи является поиск указанного параметра значения.

    Более прозрачное понимание того, что значит решить проблему с параметром, у читателя сложится после прочтения примеров решения задач на следующих страницах.

    Какие основные типы задач с параметрами?

    Тип 1.

    Уравнения, неравенства, их системы и наборы, которые необходимо решать либо для любого значения (значений) параметра, либо для значений параметров, принадлежащих заранее определенному набору.

    Этот тип задач является базовым при освоении темы «Задачи с параметрами», так как вложенный труд определяет успех в решении задач всех остальных базовых типов.

    Тип 2.

    Уравнения, неравенства, их системы и множества, для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значения параметра (ов).

    Обращаю внимание на то, что при решении задач такого типа нет необходимости ни решать данные уравнения, неравенства, их системы и агрегаты и т. Д., Ни приводить эти решения; такая лишняя работа в большинстве случаев является тактической ошибкой, ведущей к неоправданной трате времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, поскольку иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным способом получить ответ при решении проблемы типа 2.

    Тип 3.

    Уравнения, неравенства, их системы и множества, для которых необходимо найти все те значения параметров, для которых указанные уравнения, неравенства, их системы и множества имеют заданное количество решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное количество решений).

    Легко видеть, что задачи типа 3 в некотором смысле обратны задачам типа 2.

    Тип 4.

    Уравнения, неравенства, их системы и множества, для которых для искомых значений параметров множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

    Например, найти значения параметров, при которых:

    1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного интервала;
    2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. Д.

    Комментарий.
    Разнообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (как алгебры, так и геометрии), но подавляющее большинство из них на выпускных и вступительных экзаменах относятся к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине называются базовыми.

    Самый распространенный класс задач с параметром — это задачи с одним неизвестным и одним параметром. В следующем абзаце указаны основные методы решения задач именно этого класса.

    Каковы основные способы (методы) решения проблем с параметром?

    Метод I

    (аналитический). Это метод так называемого прямого решения, повторяющий стандартные процедуры поиска ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «дерзкого» решения.

    Комментарий.
    Аналитический способ решения задач с параметром — самый сложный способ, требующий высокой грамотности и больших усилий для его усвоения.

    Метод II

    (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a

    ) графики рассматриваются либо в координатной плоскости (x; y), либо в координатной плоскости (x; a

    ).

    Комментарий.
    Исключительная наглядность и красота графического метода решения задач с параметром настолько увлекают изучающих тему «Проблемы с параметром», что они начинают игнорировать другие методы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать задачу, которая блестяще решена этим способом и с колоссальными трудностями — другими способами.Поэтому на начальном этапе изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

    Метод III

    (решение по параметру). При решении таким образом переменные x и a принимаются равными и выбирается та переменная, в отношении которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений мы возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и завершаем решение.

    Теперь я перейду к демонстрации указанных методов решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения задач этого типа.

    Проанализировав все задачи с параметрами, решаемыми графическим методом, начинаю знакомство с параметрами с заданий ЕГЭ V7 2002 года:

    На


    каково полное значение уравнения k 45x — 3x

    2

    — х

    3

    + 3k = 0 имеет ровно два корня?

    Эти задания позволяют, во-первых, вспомнить, как строить графики с использованием производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой y = k.

    В последующих классах использую подборку легких и средних соревновательных заданий с параметрами для подготовки к экзамену, уравнения с модулем. Эти задания можно рекомендовать учителям математики в качестве начального набора упражнений для обучения работе с параметром, заключенным в знак модуля. Большинство чисел решаются графически и предоставляют учителю готовый план урока (или двух уроков) с сильным учеником. Начальная подготовка к экзамену по математике с упражнениями, близкими по сложности к действительным числам С5.Многие из предложенных заданий взяты из материалов по подготовке к ЕГЭ 2009, а некоторые из Интернета — из опыта коллег.

    1) Укажите все значения параметров p

    для которого уравнение имеет 4 корня?
    Ответ:

    2) При каких значениях параметров а

    уравнение не имеет решений?
    Ответ:

    3) Найти все значения a, для каждого из которых уравнение имеет ровно 3 корня?
    Ответ: a = 2

    4) При каких значениях параметра b

    уравнение имеет единственное решение? Ответ:

    5) Найдите все значения м

    для которого уравнение не имеет решений.
    Ответ:

    6) Найдите все значения a, для которых уравнение имеет ровно 3 разных корня. (Если значений a больше единицы, то запишите их сумму в ответ.)

    Ответ: 3

    7) При каких значениях b

    уравнение имеет ровно 2 решения?
    Ответ:

    8) Указать такие параметры к

    для которого уравнение имеет не менее двух решений.
    Ответ:

    9) При каких значениях параметров p

    уравнение имеет только одно решение?
    Ответ:

    10)

    Найти все значения a, для каждого из которых уравнение (x + 1) имеет ровно 2 корня? Если значений a несколько, то в ответ запишите их сумму.

    Ответ: — 3

    11) Найти все значения a, для которых уравнение имеет ровно 3 корня? (Если значений а больше единицы, то в ответ запишите их сумму).

    Ответ: 4

    12) Для которого наименьшее натуральное значение параметра уравнение —

    = 11 имеет только положительные корни?

    Ответ: 19

    13) Найти все значения a, для каждого из которых уравнение = 1 имеет ровно 3 корня? (Если значений а больше единицы, то запишите их сумму в ответе).

    Ответ: — 3

    14) Задайте такие значения параметров t

    для которого уравнение имеет 4 различных решения. Ответ:

    15) Найдите такие параметры м

    для которого уравнение имеет два разных решения. Ответ:

    16) При каких значениях параметров р

    уравнение имеет ровно 3 экстремума? Ответ:

    17) Укажите все возможные параметры n, для которых функция имеет ровно одну точку минимума. Ответ:

    Опубликованный комплект регулярно используется мной для работы с способным, но не самым сильным учеником, который, тем не менее, претендует на высокий балл на экзамене, решая число C5.Преподаватель готовит такого ученика в несколько этапов, выделяя для тренировки индивидуальные навыки, необходимые для поиска и реализации длительных решений, индивидуальных занятий. Эта подборка подходит для этапа формирования представлений о плавающих паттернах в зависимости от параметра. Номера 16 и 17 смоделированы на основе реального уравнения с параметром на ЕГЭ 2011. Задачи расположены в порядке возрастания сложности.

    Задача C5 по математике USE 2012

    Здесь мы имеем традиционную задачу с параметром, требующим умеренного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем.Это задание — одно из самых сложных заданий ЕГЭ по математике. Он предназначен, в первую очередь, для тех, кто собирается продолжить обучение в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Для успешного решения задачи важно свободно оперировать изученными определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях, анализировать состояние и находить возможные решения.

    С 11.11.2012 варианты обучения No.На сайте для подготовки к ЕГЭ Александра Ларина предлагались 1-22 с заданиями уровня «С», часть из них С5 была аналогична тем, что были на реальном экзамене. Например, найти все значения параметра a, для каждого из которых графики функций f (x) = и g (x) = a (x + 5) + 2 не имеют общих точек?

    Разберем решение задачи C5 с экзамена 2012 года.

    Задание C5 с ЕГЭ-2012

    Для каких значений параметра а
    имеет как минимум два корня.

    Решаем эту задачу графически. Построим левую часть уравнения: и график правой части: и сформулируем проблемный вопрос следующим образом: для каких значений параметра а графика функции и есть две и более общих точки.

    В левой части исходного уравнения нет параметра, поэтому мы можем построить график функции.

    Мы построим этот график с помощью функций:

    1. Сдвинув график функции на 3 единицы вниз по оси OY, мы получим график функции:

    2.Строим график функции. Для этого часть графика функции, расположенная ниже оси OX, отображается симметрично относительно этой оси:

    Итак, график функции имеет вид:

    График функции

    Почему-то в последнее время задания с параметрами вызывают у школьников чуть ли не священный ужас, то тихий, то не очень. Проблема, видимо, опять же в том, что их так учат. В общем, бедные дети … Чтобы запомнить кучу задач с одним, двумя или более параметрами, решить их бесчисленное количество раз, непонятно зачем, и на том же пресловутом экзамене получить условие такой задачи с параметром, который вы никогда раньше не видели, и падаете в ступор от невозможности даже начать ее решать, понять, в какую сторону двигаться. Ну как же не пожалеть выпускников!

    Так как мне очень нравится описывать свои школьные годы, учебу (что, впрочем, вы, наверное, уже заметили))), то напишу, как было у нас.Внимание, вы не поверите: никто в нашей жизни не учил нас решать задачи с параметрами! Вот написал очередную крамолу))) Нас просто учили решать задачи и все. Не было отдельного класса / типа / группы задач, которые назывались бы задачами с параметрами. И в то же время такие задачи никого не удивляли и не заставляли трепетать. Все они решаются просто, как и любые другие задачи. Как это.

    И не было различных учебников, в которых было бы написано, что делать при просмотре параметров, в какую сторону передавать и где заменять… Просто для каждой задачи нужно было понять, как прийти к ее решению, что, почему и почему, в какой последовательности делать, чтобы получить ответ. И именно понимание того, почему и почему это главное. В этих задачах нет ничего хитрого, поверьте, пожалуйста! Для их решения тоже нет специальных специальных методов. Да, вы можете показать какие-то методы, которые при полном непонимании происходящего (почему и почему) помогут справиться с десятью, пятнадцатью, сотней одинаковых задач, но есть сто и одна, которую нельзя решить этим методом. !

    Что отсюда следует? Это то что.Если по какой-то причине вы боитесь задач с параметрами, если у вас начинают дрожать колени, когда вы их упоминаете, вам нужно брать задачи без параметров на ту же тему, которую, как вы думаете, вы можете решить, и попытаться понять, что к чему, персонаж по персонаж понимает, что, зачем, зачем и как это делать. Если вы разберетесь с этим подробно и основательно, начнете четко представлять себе, что происходит, вам не понадобятся ни специальные учебные пособия, которые предоставляют такие «полезные» методы решения, ни наставники, многие из которых обучаются по одним и тем же пособиям.А в качестве бонуса можно без страха и трепета приступить к решению любой задачи, имеющей такие, казалось бы, устрашающие параметры, а на самом деле — просто буквы, за которыми могут стоять только обычные цифры, и не более того!

    К сожалению, не могу обещать, что все будет легко. Более того, если вы сами никогда не пробовали задавать эти коварные вопросы: почему? зачем? откуда это? и что из этого следует? Однако, если вы хотите научиться решать проблемы, хотите понять, вы должны это сделать.Да, сложно думать, но без этого не обойтись! Попробуйте, и вы убедитесь, насколько интереснее стала жизнь!

    Внимание:

    мелкую насыщенную графику можно увеличить, щелкнув по ним мышкой.


    Изучение и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако параметр как понятие часто воспринимается школьниками как гораздо более сложный, чем он есть на самом деле.В первом абзаце представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого данная концепция не очень сложна, могут сразу переходить к решению задач, представленных ниже.

    Что такое уравнение с параметром?

    Рассмотрим пример.

    Допустим, нам нужно решить уравнение 2 x + 5 = 2 — x .

    Решение: 2 x + x = 2 — 5; 3 х = −3; х = −3/3 = −1.

    Теперь вам нужно решить уравнение 2 x + 5 = 3 — x .

    Решение: 2 x + x = 3-5; 3 х = −2; x = −2/3 ~ −0,67.

    Затем нужно решить уравнение 2 x + 5 = 0,5 — x .

    Решение: 2 x + x = 0,5 — 5; 3 х = −4,5; х = −4,5 / 3 = −1,5.

    И тогда вам может потребоваться решить уравнение 2 x + 5 = 10,7 — x
    или уравнение 2 x + 5 = −0,19 — x .
    Понятно, что уравнения похожи, и поэтому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что и выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать то же самое?

    Сократите наши затраты на рабочую силу. Обратите внимание, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначьте это число символом a
    .
    Получаем уравнение 2 x + 5 = a x ,

    Где а
    переменная, вместо которой можно подставить желаемое числовое значение и получить желаемое уравнение.
    Эта переменная называется параметром.

    Решаем это уравнение так же, как и все предыдущие.
    Решение: 2 x + 5 = a x ; 2 x + x = a — 5; 3 x = a — 5; x = ( a — 5) / 3.

    Теперь, чтобы найти ответы на последние два примера, мы не можем полностью повторить все решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу числовое значение x параметра a :
    х = (10,7 — 5) / 3 = 5,7 / 3 = 1,9;

    x = (−0,19 — 5) / 3 = −5,19 / 3 = −1,73.

    Таким образом, под термином «уравнение с параметром», по сути, лежит целое семейство «почти идентичных уравнений»
    которые отличаются друг от друга только одним числом (одним членом или одним коэффициентом) и решаются одинаково. Параметр — это число, которое изменяется от уравнения к уравнению.

    Полученную формулу для корня уравнения можно запрограммировать на компьютере. Достаточно ввести значение параметра a , чтобы получить решение любого такого уравнения.

    Рассмотрим другой пример.

    Необходимо решить несколько уравнений:
    2 x + 5 = 2 — x ;

    3 x + 5 = 2 — x ;

    −4 x + 5 = 2 — x ;

    17 x + 5 = 2 — x ;

    0,5 x + 5 = 2 — x .

    Заметим, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k .
    Решите уравнение kx + 5 = 2 — x
    с параметром k .

    Решение:
    kx + 5 = 2 — x ;

    kx + x = 2-5;

    ( k + 1) x = −3;

    x = −3 / ( k + 1).

    Используя эту формулу, мы вычисляем все ответы на приведенные выше уравнения.
    х = −3 / (2 + 1) = −1

    х = −3 / (3 + 1) = −0,75

    х = −3 / (- 4 + 1) = 1

    x = −3 / (17 + 1) = −1/6 ~ −0,167

    х = −3 / (0,5 + 1) = −2

    Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что ее можно использовать для решения любого подобного уравнения?
    Мы умеем программировать.Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициентов, так и с очень маленькими.
    Например, если ввести k = 945739721, то для уравнения заданной формы будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768 .

    Но, если ввести в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
    Почему?

    Давайте подробнее рассмотрим формулу x = −3 / (- 1 + 1) = −3/0.
    Деление на ноль ? !!


    Давайте посмотрим на соответствующее уравнение −1 x + 5 = 2 — x .

    Преобразуйте его — x + x = 2 — 5.

    Оказывается, это эквивалентно уравнению 0 = −3 ( ? !!

    ) и не может иметь корней.
    Таким образом, могут быть исключения из общего подхода к решению «почти идентичных уравнений», о которых нужно позаботиться отдельно.Те. провести предварительное изучение всего семейства уравнений. Это то, чему они учатся в математике с помощью так называемых задач с параметрами.

    Графические методы решения уравнений

    Во-первых, вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
    Пусть дано уравнение вида f (x) = g (x). Строим графики функций y = f (x) и y = g (x) и находим точки пересечения этих графиков.Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения.

    Для быстрого рисования графиков повторить еще раз те, которые изучаются в школьном курсе математики, и

    Давайте рассмотрим несколько примеров.

    1.
    Решите уравнение
    2 x + 5 = 2 — x

    Ответ: x = −1
    .

    2.
    Решите уравнение
    2 x 2 + 4 x — 1 = 2 x + 3

    Ответ: x 1 = -2; х 2 = 1
    .

    3.
    Решите уравнение
    l og 2 x = −0,5 x + 4

    Ответ: x = 2
    .

    Первые два из этих уравнений можно решить аналитически, поскольку это обычные линейные и квадратные уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенные (здесь линейные) и трансцендентные (здесь логарифмические). Для таких случаев выбор решений для студентов очень ограничен.Фактически, единственный доступный способ — это графическое решение.

    Внимание:
    Для корней, найденных графически, проверка обязательна! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение находится именно в точке х = 4, а не в 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности достаточно точно построить расписание? На рисунке от руки разброс может быть даже больше. Следовательно, алгоритм действий должен быть таким:

    1. Предварительный вывод: x ≈ 4.
    2. Поверка: l og 2 4
      = −0,5 · 4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
    3. Окончательный вывод x = 4.

    Для графического решения уравнений с параметрами необходимо строить не отдельные графы, а их семейства.

    Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

    Задача 1

    q
    , для которого уравнение | x + 1 | — | x — 3 | — x = q 2-8 q + 13

    имеет ровно 2 корня.

    Для каждого значения параметра q можно вычислить значение выражения q 2-8 q + 13
    . Обозначим результат переменной a .
    Тех. примет q 2-8 q + 13 = a

    и решим уравнение с параметром | x + 1 | — | x — 3 | — x = a

    Построить график функции y = | x + 1 | — | x — 3 | — х

    расположен в левой части уравнения.
    Для этого разделим числовую ось на сегменты по точкам, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

    | x + 1 | = 0; х = -1;
    | x — 3 | = 0; x = 3.

    По каждому из этих разделов мы раскроем модули с учетом знаков.
    Отзыв:
    по определению | x | = х
    , г.
    если x ≥ 0
    и | x | = — х
    , г.
    если x .Чтобы проверить признаки модулей на сайте, достаточно подставить любое промежуточное значение x из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

    Так на графике I где −∞ x
    ≤ -1,
    имеем — ( x + 1) + ( x — 3) — x = — x — 4.

    Следовательно, необходимо построить график функции y = — x — 4

    .
    Это линейная функция. Ее график представляет собой прямую линию, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4.
    и при = 0, x = -4.Мы рисуем всю линию бледной линией, а затем выбираем ту часть графика, которая относится только к рассматриваемой области.

    Аналогично поступаем с двумя оставшимися разделами.

    Местоположение на II , где −1 x ≤
    3, имеем ( x + 1) + ( x — 3) — x = x — 2

    y = x — 2

    .

    Расположение на III , где 3 x ≤ ∞
    , имеем ( x + 1) — ( x -3) — x = — x + 4

    и должна построить соответствующую часть графика функции y = — x + 4

    .

    Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

    Комментарий:
    , если вы освоили тему, то справитесь с этой частью задачи быстрее, чем показано в примере.

    Итак, мы завершили построение графика функции, расположенной в левой части уравнения. Посмотрим, что на правой стороне.

    График функций y = a
    представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс ( Ox, ) и пересекающейся ординате ( Oy ) в точке a .
    .Потому что a
    — это параметр, который может принимать разные значения, тогда вам нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, мы не можем построить все графы семейства, так как их бесконечное количество. Например, нарисуем несколько кусочков в области уже построенного графика функции. Ниже приведены прямые семейства y = a
    показан красным.

    На рисунке видно, что количество точек пересечения каждой из красных линий с ранее построенным (зеленым) графиком зависит от высоты, на которой эта линия расположена, то есть от параметра a
    . Непосредственно ниже y = −3 они пересекают график в одной точке, а значит, эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3y y = 1, снова имеют только одну точку пересечения.
    Ровно две точки пересечения с зеленым графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3.Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, которые требовалось определить в задаче.

    Однако мы нашли значения введенного нами параметра a , в которых данное уравнение имеет 2 корня, и вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q
    . Для этого вам необходимо решить следующую систему уравнений:

    Это обычные квадратные уравнения, которые решаются с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

    Таким образом, окончательный ответ : (2; 4; 6).

    Задача 2

    Найти все значения параметров a
    , для которого уравнение (2 — x ) x ( x — 4) = a

    имеет ровно 3 корня.

    Рассмотрим функцию y = (2 — x ) x ( x — 4)

    . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет х 3
    .Те. график функции должен быть кубической параболой, и при x , стремящемся к + ∞, y → −∞, и при x , стремящемся к −∞, y → + ∞.
    Поскольку уравнение (2 — x ) x ( x — 4) = 0

    имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции трижды пересечет ось абсцисс.
    Понятно, что при указанных условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной».Создайте графический эскиз вручную.

    Правая часть уравнения y = a
    то же, что и в предыдущем задании. Поэтому дальнейшие конструкции в комментариях не нуждаются. Смотрите картинки. Для увеличения используйте щелчок мышью.

    Из рисунков видно, что линии, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Следовательно, мы определяем значения y max и y min через производную.(Полностью исследовать функцию нет необходимости, так как мы видим примерное положение точек экстремума на эскизе графика.) Учтите, что точные значения используются для расчета значений функция x
    и сокращенные формулы умножения. Приблизительные значения в промежуточных расчетах не используются.

    Ответ:

    Проблема для независимого решения

    Задача 3.

    При наибольшем отрицательном значении параметра a
    уравнение имеет один корень?

    Показать решение.

    Чтобы увеличить рисунок, щелкните его левой кнопкой мыши.
    Переместим 2 x в правую часть уравнения, в результате мы получим две элементарные функции, графики которых изучали в школе.
    Из рисунка мы видим, что линия графика соответствует условию задачи. Поэтому для дальнейших вычислений воспользуемся условиями:
    1) тангенс угла наклона касательной равен производной функции в точке касания;
    2) искомая параметрическая линия и график имеют общую точку.
    В расчетах модуль игнорируем, так как тратим их на правый участок кривой ( x > 0
    ).

    Ответ: — 1625

    Задание реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

    Есть вопросы? пожелания? Комментарии?
    Контакты —

    Внимание © математичка . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

    Целью данной работы является изучение различных способов решения задач с параметрами.Умение и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретической информации, уровень логического мышления и стимулируют познавательную деятельность. Развитие этих навыков требует больших усилий, поэтому в специализированных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс «Математический практикум», частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами.Курс входит в число дисциплин, включенных в школьную программу.

    Элективные или факультативные курсы, либо компонент за сеткой на тему: «Задачи с параметрами» могут помочь успешному изучению методов решения задач с параметрами.

    Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

    1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решать для любого значения параметра или для значений параметров, принадлежащих определенному набору.
    2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значения параметра.
    3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметров, для которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное количество решений.
    4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых для требуемых значений параметров множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

    Методы решения задач с параметрами.

    1. Аналитический метод.

    Это метод прямого решения, повторяющий стандартные процедуры поиска ответа в задачах без параметра.

    Пример 1. Найдите все значения параметров и , в которых уравнение:

    (2a — 1) x 2 + ax + (2a — 3) = 0 имеет не более одного корня.

    При 2 а — 1 = 0 это уравнение не является квадратичным, поэтому корпус а = 1/2 разбираем отдельно.

    Если а = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2 х -2 = 0, имеет один корень.

    Если a ≠ 1/2, то уравнение квадратное; чтобы у него было не более одного корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположительным:

    D = a 2-4 (2 a -1) (2 a -3) = -15 a 2
    + 32 a — 12;

    Чтобы записать окончательный ответ, нужно понимать

    2.Графический метод.

    В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) графики рассматриваются в координатной плоскости ( x; y ) или в плоскости ( x; a ).

    Пример 2. Для каждого значения параметра и определяют количество решений уравнения.

    Отметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функции и y = a.

    Функциональный график, показанный на рис. 1.

    у = — это горизонтальная линия. По графику легко установить количество точек пересечения в зависимости от а (например, при а = 11 — две точки пересечения; при а = 2 — восемь точек пересечения).

    Ответ: при а а = 0 и а = 25/4 — четыре решения; при 0а а = 6 — семь решений; на

    6 а> 25/4 — два решения.

    3. Метод решения параметра.

    При решении этого метода переменные x и a принимаются как равноправные, и выбирается та переменная, в отношении которой аналитическое решение упрощается. После упрощений вам нужно вернуться к исходному значению переменных x и a и завершить решение.

    Пример 3. Найти все значения параметров a , для каждого из которых уравнение = — ax +3 a +2 имеет единственное решение.

    Мы решим это уравнение, заменив переменные. Пусть = t , t ≥ 0, тогда x = t 2 + 8 и уравнение принимает вид при 2 + t + 5 a -2 = 0. Теперь задача состоит в том, чтобы найти все a , для которого уравнение при 2 + t + 5 a -2 = 0 имеет уникальное неотрицательное решение. Это происходит в следующих случаях.

    1) Если a = 0, то уравнение имеет единственное решение t
    = 2.

    Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

    Задания с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

    Решение каждой проблемы уникально и требует индивидуального, нестандартного подхода, так как единого способа решения таких проблем не существует.

    . Линейные уравнения.

    Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

    .Силовые уравнения, неравенства и их системы.

    Задача № 2. Найти все значения параметров и , при которых выполняется множество решений неравенства:

    содержит число 6, а также два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

    Преобразуем обе части неравенства.

    Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнить условие:

    Рис.4

    У а > 6 много решений неравенства:
    .

    Интервал (0; 5) не может содержать ни одного сегмента длины 6. Следовательно, два непересекающихся сегмента длины 6 должны содержаться в интервале (5; a ).

    . Экспоненциальные уравнения, неравенства и системы.

    Задача № 3. В поле определения функции взяли все положительные целые числа и сложили их. Найдите все значения, для которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

    1) График дробно-линейной функции — это гипербола. По условию x > 0. При неограниченном увеличении x дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z увеличиваются и приближаются к 5. При этом z (0) = 1

    2) По определению степени, область действия D (y) состоит из решений неравенства. При а = 1 получаем неравенство, для которого нет решений.Следовательно, функция по адресу нигде не определена.

    3) При 0aa неравенство также уменьшается, что равносильно неравенству. Поскольку x > 0, то z ( x )>
    z (0) = 1. Итак, каждое положительное значение x — это решение неравенства. Следовательно, для таких a сумма, указанная в условии, не может быть найдена.

    4) Когда — это экспоненциальная функция > 1 с основанием , а и неравенство равносильно неравенству.Если a ≥ 5, то его решением является любое положительное число, и сумма, указанная в условии, не может быть найдена. Если 1a x 0), где a = z ( x 0).

    5) В этом интервале в строке располагаются целые числа, начиная с 1. Вычисляем сумму последовательных натуральных чисел начиная с 1: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; … Следовательно, указанная сумма будет больше 5 и меньше 10 только в том случае, если цифра 3 лежит в интервале (0; x 0), а цифра 4 не лежит в этом интервале.Среднее 3x 0 ≤ 4. При увеличении на z (3) z ( x 0)
    z (4).

    Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули, рассматривается в Приложении 1.

    Задачи с параметрами сложны из-за отсутствия единого алгоритма их решения. Специфика таких задач состоит в том, что наряду с неизвестными величинами в них появляются параметры, числовые значения которых конкретно не указываются, а считаются известными и заданными на определенном числовом наборе.Причем значения параметров существенно влияют на логический и технический прогресс решения задачи и форму ответа.

    По статистике многие выпускники не начинают решать задачи с параметрами на экзамене. По данным FIPI, только 10% выпускников начинают решать такие задачи, и процент их правильного решения невысок: 2-3%, поэтому приобретение навыков для решения сложных, нестандартных задач, в том числе задач с параметрами, школа студенты по-прежнему остаются актуальными.

    Оценка параметров одного уравнения в полной системе стохастических уравнений в JSTOR

    Abstract

    Приведен метод оценки коэффициентов одного уравнения в полной системе линейных стохастических уравнений (см. Выражение (2.1)) при условии, что число коэффициентов выбранного уравнения заведомо равно нулю. При условии знания всех переменных в системе и предположении, что возмущения в уравнениях системы имеют нормальное распределение, точечные оценки выводятся из регрессий совместно зависимых переменных от заранее определенных переменных (теорема 1).Вектор оценок коэффициентов совместно зависимых переменных является характеристическим вектором матрицы, включающей коэффициенты регрессии и оценку ковариационной матрицы остатков от функций регрессии. Берется вектор, соответствующий наименьшему характеристическому корню. Эффективный метод вычисления этих оценок приведен в разделе 7. Асимптотическая теория этих оценок изложена в следующей статье [2]. Когда заранее определенные переменные можно рассматривать как фиксированные, доверительные интервалы для коэффициентов могут быть получены на основе теории малых выборок (теорема 3).Статистическая проверка гипотезы чрезмерной идентификации единственного уравнения может быть основана на характеристическом корне, связанном с вектором точечных оценок (теорема 2), или на выражении для доверительной области малой выборки (теорема 4). Эта гипотеза эквивалентна гипотезе о том, что коэффициенты, принимаемые равными нулю, на самом деле равны нулю. В следующей статье [2] показано, что асимптотическое распределение критерия совпадает с распределением χ2.

    Информация об издателе

    Целью Института математической статистики (IMS) является содействие
    развитие и распространение теории и приложений статистики
    и вероятность.Институт сформирован на встрече заинтересованных лиц.
    12 сентября 1935 года в Анн-Арборе, штат Мичиган, вследствие чувства
    что теория статистики будет продвинута с образованием организации
    тех, кто особенно интересуется математическими аспектами предмета.
    Летопись статистики и Анналы вероятности
    (которые заменяют «Анналы математической статистики»), статистические
    Наука и Анналы прикладной вероятности — это научные
    журналы института.Они и Бюллетень IMS включают
    официальные журналы института.
    Институт имеет индивидуальное и организационное членство. Сборы
    оплачиваются ежегодно и включают подписку на информационный бюллетень организации,
    Бюллетень IMS. Участники также получают приоритетные цены на все
    другие публикации IMS.

    Парабола | Колледж алгебры

    Результаты обучения

    • Графические параболы с вершинами в начале координат.
    • Напишите уравнения парабол в стандартной форме.
    • Изобразите параболы с вершинами не в начале координат.
    • Решать прикладные задачи с параболами.

    Знаете ли вы, что олимпийский факел зажигается за несколько месяцев до начала игр? Обрядовый метод зажигания пламени такой же, как и в древности. Церемония проходит в храме Геры в Олимпии, Греция, и уходит своими корнями в греческую мифологию, отдавая дань уважения Прометею, который украл огонь у Зевса, чтобы раздать его всем людям.Одна из одиннадцати действующих жриц помещает факел в фокус параболического зеркала, которое фокусирует световые лучи от солнца, чтобы зажечь пламя.

    Олимпийский факел завершает свое кругосветное путешествие, когда его зажигают в олимпийском котле во время церемонии открытия. (Источник: Кен Хэкман, ВВС США)

    Параболические зеркала (или отражатели) способны улавливать энергию и фокусировать ее в одной точке. О преимуществах этого свойства свидетельствует обширный список параболических объектов, которые мы используем каждый день: спутниковые антенны, подвесные мосты, телескопы, микрофоны, прожекторы, автомобильные фары и многие другие.Параболические отражатели также используются в устройствах альтернативной энергетики, таких как солнечные плиты и водонагреватели, поскольку они недороги в производстве и не требуют значительного обслуживания. В этом разделе мы рассмотрим параболу и ее использование, включая недорогие, энергоэффективные солнечные конструкции.

    Параболы с вершинами в начале

    В «Эллипсе» мы видели, что эллипс образуется, когда плоскость пересекает правый круговой конус. Если плоскость параллельна краю конуса, образуется неограниченная кривая.Эта кривая представляет собой параболу .

    Парабола

    Подобно эллипсу и гиперболе , парабола также может быть определена набором точек в координатной плоскости. Парабола — это набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой направляющей , и фиксированной точкой ( focus ) не на директрисе.

    Ранее мы узнали о вершине параболы и оси симметрии.Теперь мы расширяем обсуждение, чтобы включить другие ключевые особенности параболы. Обратите внимание, что ось симметрии проходит через фокус и вершину и перпендикулярна направляющей. Вершина — это середина между направляющей и фокусом.

    Линейный сегмент, проходящий через фокус и параллельный директрисе, называется latus rectum, также называется фокусным диаметром . Концы фокусного диаметра лежат на кривой. По определению, расстояние [latex] d [/ latex] от фокуса до любой точки [latex] P [/ latex] на параболе равно расстоянию от [latex] P [/ latex] до направляющей.

    Ключевые особенности параболы

    Для работы с параболами в координатной плоскости мы рассматриваем два случая: с вершиной в начале координат и с вершиной в точке, отличной от начала координат. Начнем с первого.

    Пусть [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] будет точкой параболы с вершиной [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex], focus [latex] \ left ( 0, p \ right) [/ latex] и directrix [latex] y = -p [/ latex], как показано на рисунке 4. {2} = 4py [/ latex] [латекс] \ left (0, \ text {} p \ right) [/ latex] [латекс] y = -p [/ латекс] [латекс] \ left (\ pm 2p, \ text {} p \ right) [/ latex]

    (a) Когда [латекс] p> 0 [/ latex] и ось симметрии совпадает с осью x, парабола открывается вправо.(b) Когда [латекс] p <0 [/ латекс] и ось симметрии является осью x, парабола открывается влево. (c) Когда [латекс] p <0 [/ латекс] и ось симметрии является осью y, парабола раскрывается. (d) Когда [latex] \ text {} p <0 \ text {} [/ latex] и ось симметрии является осью Y, парабола открывается вниз.

    Ключевые особенности параболы — ее вершина, ось симметрии, фокус, директриса и фокусный диаметр. Имея стандартное уравнение для параболы с центром в начале координат, мы можем легко определить ключевые особенности для построения графика параболы.{2} = 4px [/ latex], тогда

    • ось симметрии — ось x , [латекс] y = 0 [/ латекс]
    • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту x в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
    • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (p, 0 \ right) [/ latex]
    • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] x = -p [/ latex]
    • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (p, \ pm 2p \ right) [/ latex].{2} = 4py [/ latex], тогда
      • ось симметрии — ось y , [латекс] x = 0 [/ латекс]
      • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту y в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
      • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (0, p \ right) [/ latex]
      • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] y = -p [/ latex]
      • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (\ pm 2p, p \ right) [/ latex]
  • Постройте фокус, директрису и фокусный диаметр и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = 4 пикселя [/ латекс]. Таким образом, ось симметрии — это ось x . Отсюда следует, что:

    • [латекс] 24 = 4p [/ latex], поэтому [latex] p = 6 [/ latex]. Поскольку [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо, координаты фокуса [latex] \ left (p, 0 \ right) = \ left (6,0 \ right) [/ latex]
    • уравнение директрисы [латекс] x = -p = -6 [/ latex]
    • конечные точки фокусного диаметра имеют одинаковую координату x в фокусе. Чтобы найти конечные точки, подставьте [latex] x = 6 [/ latex] в исходное уравнение: [latex] \ left (6, \ pm 12 \ right) [/ latex]

    Затем мы строим фокус, директрису и диаметр фокуса и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу .{2} = 4py [/ latex]. Таким образом, ось симметрии — это ось y . Отсюда следует, что:

    • [латекс] -6 = 4p [/ latex], поэтому [latex] p = — \ frac {3} {2} [/ latex]. Поскольку [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
    • координаты фокуса [latex] \ left (0, p \ right) = \ left (0, — \ frac {3} {2} \ right) [/ latex]
    • уравнение директрисы [латекс] y = -p = \ frac {3} {2} [/ latex]
    • конечные точки фокусного диаметра можно найти, подставив [latex] \ text {} y = \ frac {3} {2} \ text {} [/ latex] в исходное уравнение, [latex] \ left (\ pm 3, — \ frac {3} {2} \ right) [/ latex]

    Затем мы строим фокус, директрису и широчайшую прямую кишку и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу .{2} = 8лет [/ латекс]. Определите и обозначьте фокус, директрису и конечные точки фокусного диаметра.

    Показать решение

    Фокус: [латекс] \ влево (0,2 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] y = -2 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [latex] \ left (\ pm 4,2 \ right) [/ latex].

    Написание уравнений парабол в стандартной форме

    В предыдущих примерах мы использовали уравнение стандартной формы параболы, чтобы вычислить расположение ее ключевых характеристик. {2} = 4px [/ latex].{2} = 14лет [/ латекс]

    Параболы с вершинами не в начале координат

    Как и другие графики, с которыми мы работали, график параболы можно преобразовать. Если парабола переведена на [латекс] h [/ латекс] единиц по горизонтали и [латекс] k [/ латекс] единиц по вертикали, то вершина будет [латекс] \ влево (h, k \ right) [/ latex]. Этот перевод приводит к стандартной форме уравнения, которое мы видели ранее, когда [latex] x [/ latex] заменено на [latex] \ left (xh \ right) [/ latex] и [latex] y [/ latex] заменено на [ латекс] \ влево (yk \ right) [/ латекс].{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex] для парабол, ось симметрии которых параллельна оси y . Эти стандартные формы представлены ниже вместе с их общими графиками и ключевыми характеристиками.

    Общее примечание: стандартные формы парабол с вершиной (

    h , k )

    В таблице приведены стандартные характеристики парабол с вершиной в точке [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]. {2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex] [латекс] \ left (h, \ text {} k + p \ right) [/ latex] [латекс] y = k-p [/ латекс] [латекс] \ left (h \ pm 2p, \ text {} k + p \ right) [/ latex]

    (a) Когда [латекс] p> 0 [/ латекс], парабола открывается вправо.{2} = 4p \ left (x-h \ right) [/ latex], тогда:

    • используйте данное уравнение для определения [латекс] h [/ латекс] и [латекс] k [/ латекс] для вершины, [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]
    • используйте значение [latex] k [/ latex] для определения оси симметрии, [latex] y = k [/ latex]
    • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту [latex] \ left (x-h \ right) [/ latex] в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex], тогда:
      • используйте данное уравнение для определения [латекс] h [/ латекс] и [латекс] k [/ латекс] для вершины, [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]
      • используйте значение [latex] h [/ latex] для определения оси симметрии, [latex] x = h [/ latex]
      • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту [latex] \ left (y-k \ right) [/ latex] в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
      • используйте [latex] h, k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (h, \ text {} k + p \ right) [/ латекс]
      • используйте [latex] k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] y = k-p [/ latex]
      • используйте [latex] h, k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (h \ pm 2p, \ text {} k + p \ справа) [/ латекс]
    • Постройте вершину, ось симметрии, фокус, директрису и диаметр фокуса и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = 4p \ left (x-h \ right) [/ латекс]. Таким образом, ось симметрии параллельна оси x . Отсюда следует, что:

      • вершина [латекс] \ left (h, k \ right) = \ left (-3,1 \ right) [/ latex]
      • ось симметрии [латекс] y = k = 1 [/ latex]
      • [латекс] -16 = 4p [/ latex], поэтому [latex] p = -4 [/ latex]. Поскольку [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
      • координаты фокуса [латекс] \ left (h + p, k \ right) = \ left (-3+ \ left (-4 \ right), 1 \ right) = \ left (-7,1 \ справа) [/ латекс]
      • уравнение директрисы [латекс] x = h-p = -3- \ left (-4 \ right) = 1 [/ latex]
      • конечные точки фокусного диаметра: [латекс] \ left (h + p, k \ pm 2p \ right) = \ left (-3+ \ left (-4 \ right), 1 \ pm 2 \ left (-4 \ right) \ right) [/ latex], или [latex] \ left (-7, -7 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (-7,9 \ right) [/ latex]

      Затем мы рисуем вершину, ось симметрии, фокус, директрису и диаметр фокуса и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = 4 \ left (x — 8 \ right) [/ латекс]. Определите и обозначьте вершину, ось симметрии, фокус, направляющую и конечные точки фокусного диаметра.

      Показать решение

      Вершина: [латекс] \ влево (8, -1 \ вправо) [/ латекс]; Ось симметрии: [латекс] y = -1 [/ латекс]; Фокус: [латекс] \ влево (9, -1 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] x = 7 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [латекс] \ слева (9, -3 \ справа) [/ латекс] и [латекс] \ слева (9,1 \ справа) [/ латекс]. {2} -8x — 28y — 208 = 0 [/ latex].{2} = 4 \ cdot 7 \ cdot \ left (y + 8 \ right) \ end {gather} [/ latex]

      Отсюда следует, что:

      • вершина [латекс] \ left (h, k \ right) = \ left (4, -8 \ right) [/ latex]
      • ось симметрии [латекс] x = h = 4 [/ latex]
      • , так как [latex] p = 7, p> 0 [/ latex] и парабола открывается.
      • координаты фокуса [латекс] \ left (h, k + p \ right) = \ left (4, -8 + 7 \ right) = \ left (4, -1 \ right) [/ latex]
      • уравнение директрисы [латекс] y = k-p = -8 — 7 = -15 [/ latex]
      • конечные точки фокусного диаметра: [латекс] \ left (h \ pm 2p, k + p \ right) = \ left (4 \ pm 2 \ left (7 \ right), — 8 + 7 \ right) [/ латекс], или [латекс] \ left (-10, -1 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (18, -1 \ right) [/ latex]

      Затем мы рисуем вершину, ось симметрии, фокус, директрису и диаметр фокуса и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = — 20 \ влево (у — 3 \ вправо) [/ латекс]. Определите и обозначьте вершину, ось симметрии, фокус, направляющую и конечные точки фокусного диаметра.

      Показать решение

      Вершина: [латекс] \ влево (-2,3 \ вправо) [/ латекс]; Ось симметрии: [латекс] x = -2 [/ латекс]; Фокус: [латекс] \ влево (-2, -2 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] y = 8 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [латекс] \ влево (-12, -2 \ вправо) [/ латекс] и [латекс] \ влево (8, -2 \ вправо) [/ латекс].

      Решение прикладных задач с использованием парабол

      Как мы упоминали в начале раздела, параболы используются для проектирования многих объектов, которые мы используем каждый день, таких как телескопы, подвесные мосты, микрофоны и радарное оборудование.Параболические зеркала, такие как то, которое используется для освещения олимпийского факела, обладают уникальным отражающим свойством. Когда лучи света, параллельные оси симметрии параболы , направляются к любой поверхности зеркала, свет отражается прямо в фокус. Вот почему олимпийский факел зажигается, когда он находится в фокусе параболического зеркала.

      Отражающее свойство парабол

      Параболические зеркала способны фокусировать энергию солнца в одну точку, повышая температуру на сотни градусов за считанные секунды.Таким образом, параболические зеркала используются во многих недорогих, энергоэффективных солнечных устройствах, таких как солнечные плиты, солнечные обогреватели и даже разжигатели огня для путешествий.

      Пример: решение прикладных задач с использованием парабол

      Поперечный разрез конструкции путевого солнечного стартера. Солнечные лучи отражаются от параболического зеркала в направлении объекта, прикрепленного к воспламенителю. Поскольку воспламенитель расположен в фокусе параболы, отраженные лучи заставляют объект гореть всего за секунды.{2} = 6,8 года && \ text {Заменить 2} \ text {0,25 вместо} x. \\ & y \ приблизительно 0,74 && \ text {Решить для} y. \ end {align} [/ latex]

      Блюдо имеет глубину около 0,74 дюйма.

      Попробуй

      Солнечные плиты размером с балкон были разработаны для семей, живущих в Индии. Верх тарелки имеет диаметр 1600 мм. Солнечные лучи отражаются от параболического зеркала в сторону «плиты», расположенной на расстоянии 320 мм от основания.

      1. Найдите уравнение, моделирующее поперечное сечение солнечной плиты.{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ латекс]

        Ключевые понятия

        • Парабола — это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой директрисой, и фиксированной точки (фокус ) не на директрисе.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] и осью симметрии x может использоваться для построения графика параболы. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо.Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] и осью симметрии y может использоваться для построения графика параболы. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
        • Когда заданы фокус и направляющая параболы, мы можем записать ее уравнение в стандартной форме.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (h, k \ right) [/ latex] и осью симметрии, параллельной оси x , может быть использована для построения графика параболы.Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (h, k \ right) [/ latex] и осью симметрии, параллельной оси y , может быть использована для построения графика параболы. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
        • Реальные ситуации можно моделировать с помощью стандартных уравнений парабол. Например, учитывая диаметр и фокус поперечного сечения параболического отражателя, мы можем найти уравнение, моделирующее его стороны.

        Глоссарий

        направляющая линия, перпендикулярная оси симметрии параболы; линия такая, что отношение расстояния между точками на конике и фокусе к расстоянию до директрисы постоянно

        фокус (параболы) неподвижная точка внутри параболы, лежащая на оси симметрии

        фокусный диаметр (прямая мышца) отрезок прямой, который проходит через фокус параболы параллельно директрисе, с концами на параболе

        парабола набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой директрисой, и фиксированной точки (фокус) не на директриксе

        % PDF-1.kik ޛ l8N]. & GISI-`Ea% F`C
        P] l $, v) mHφy1 & -t4 [I: t’mt [KOU; E9
        RD ݫ tl5acN-Hhi p- MlnXa h6GRta # Wi {& mꛄsa Ճ VxD ݮڰ A2 ᝰ Isa` «ؠ h | 3QtV (3w + $ b0WRl0IҴI
        id} [8mI 鰉 K` | V 1TH0%) l1X ׵3 YaX0R * i.DDXAF
        0Agјae! ²5m [Jԝ & GVD [jN4

        Выполнение линейной регрессии с использованием нормального уравнения | Роберт Квятковски

        Не всегда необходимо запускать алгоритм оптимизации для выполнения линейной регрессии. Вы можете решить конкретное алгебраическое уравнение — нормальное уравнение — чтобы получить результаты напрямую.Хотя для больших наборов данных он даже близко не является оптимальным с точки зрения вычислений, это все же один из вариантов, о котором следует знать.

        Фото Антуана Даутри на Unsplash

        1. Введение

        Линейная регрессия — один из наиболее важных и популярных методов прогнозирования в анализе данных. Это также один из старейших — знаменитых C.F. Гаусс в начале 19 века использовал его в астрономии для расчета орбит (подробнее).

        Его цель состоит в том, чтобы подогнать лучшую линию (или гипер- / плоскость) к набору заданных точек (наблюдений) путем вычисления параметров функции регрессии, которые минимизируют конкретную функцию стоимости (ошибку), например.грамм. среднеквадратичная ошибка (MSE).

        Напоминаем, что ниже приведено уравнение линейной регрессии в развернутом виде.

        Ур. 1: Уравнение линейной регрессии

        В векторизованной форме это выглядит так:

        Eq. 2: Уравнение линейной регрессии в векторизованной форме

        , где θ — вектор весов параметров.

        Обычно поиск лучших параметров модели выполняется с помощью какого-либо алгоритма оптимизации (например, градиентного спуска) для минимизации функции стоимости. Однако можно получить значения (веса) этих параметров, решив также алгебраическое уравнение, называемое нормальным уравнением.Это определено ниже.

        Ур. 3: нормальное уравнение

        2. Ручные вычисления

        В этой статье мы выполним линейную регрессию для очень простого случая, чтобы избежать длительных ручных вычислений. Кстати, если вы думаете, что вам нужно освежить свои навыки линейной алгебры, в Интернете есть много хороших ресурсов (например, я рекомендую серию YouTube).

        В этом примере есть только три точки (наблюдения) только с одной переменной (X₁). На графике они выглядят так, как показано ниже.

        Диаграмма рассеяния, показывающая точки, используемые в этом примере.

        В этом случае уравнение линейной регрессии имеет вид:

        Eq. 4: Уравнение линейной регрессии для этого примера

        Функции (X) и метки (y):

        Матрицы функций и меток

        Обратите внимание, что мы добавляем член смещения по умолчанию, равный 1 — он будет обновляться во время наших вычислений. Не добавление этого термина приведет к неправильному решению.

        Шаг 1: Транспонирование матрицы X

        Это относительно простая задача — строки становятся новыми столбцами.

        Шаг 2: Умножение транспонированной матрицы и матрицы X

        Шаг 3: Инверсия результирующей матрицы

        Чтобы инвертировать простую матрицу 2×2, мы можем использовать формулу:

        Следовательно, мы получаем:

        Примечание: для больших матриц (больше 3×3) их инвертирование становится гораздо более громоздкой задачей, и обычно используется алгоритмический подход — например, исключение Гаусса. Об этом важно помнить!

        Шаг 4: Умножение инвертированной матрицы с транспонированным X

        Шаг 5: Окончательное умножение для получения вектора наилучших параметров

        Наконец, наши уравнения линейной регрессии принимают форму:

        Eq.5: Уравнение линейной регрессии с лучшими весами

        Нанесение этой линии на предыдущий график выглядит так, как показано ниже.

        Диаграмма рассеяния с исходными точками и линией регрессии (красная)

        3. Реализация в Python

        Те же вычисления могут быть реализованы в Python с использованием библиотеки Numpy, которая содержит набор функций линейной алгебры в коллекции numpy.linalg.

         import numpy as npX = np.c _ [[1,1,1], [1,2,3]] # определение функций 
        y = np.c _ [[1,3,2]] # определение меток
        theta = np.linalg.inv (X.T.dot (X)). dot (X.T) .dot (y) # нормальное уравнение
        print (theta)

        Результаты выполнения кода выше

        Теперь мы можем определить новые функции, для которых мы хотели бы прогнозировать значения.

         X_new = np.c _ [[1,1,1,1], [0, 0.5,1.5,4]] # новые функции 

        Реализуя уравнение 2, мы получаем прогнозируемые значения.

         y_pred = X_new.dot (theta) # создание прогнозов 
        print (y_pred)

        Прогнозируемые значения

        4. Комментарии

        Как видите, довольно просто использовать обычное уравнение и реализовать его на Python — это всего одна строчка кода.Так почему же он не используется повсеместно?

        Проблема в ее числовой сложности. Решение этого уравнения требует инвертирования матрицы, и это дорогостоящая операция с точки зрения вычислений — в зависимости от реализации в нотации большого O это O (n³) или немного меньше. Это означает, что масштабирование ужасно, практически означает, что когда вы удваиваете количество функций, время вычислений увеличивается в 2³ = 8 раз. Также есть некоторая вероятность, что результат шага 2 вообще не обратим, что вызовет большие проблемы.Это причины, по которым на практике такой подход необычен.

        С другой стороны, этот подход рассчитывается всего за один шаг, и вам не нужно выбирать параметр скорости обучения. Кроме того, с точки зрения использования памяти этот подход является линейным O (m), что означает, что он эффективно хранит огромные наборы данных, если они помещаются только в память вашего компьютера.

        Страница не найдена — Khoury College Development

        В мире, где информатика (CS) присутствует повсюду, CS для всех.CS пересекает все дисциплины и отрасли.

        Колледж компьютерных наук Хури стремится к созданию и развитию разнообразной инклюзивной среды.

        Первый в стране колледж компьютерных наук, основанный в 1982 году, Khoury College вырос в размерах, разнообразии, образовательных программах и передовых исследовательских достижениях.

        В наших региональных кампусах, расположенных в промышленных и технологических центрах, Khoury College предлагает сильные академические программы в ярких городах для жизни, работы и учебы.

        Колледж Хури — это сообщество людей, посвятивших себя обучению, наставничеству, консультированию и поддержке студентов по каждой программе.

        Программы награждения колледжей и университетов проливают свет на выдающихся преподавателей, студентов, выпускников и партнеров по отрасли.

        Наши исследования в реальном мире, выдающиеся преподаватели, выдающиеся спикеры, динамичные выпускники и разнообразные студенты рассказывают свои истории и попадают в новости.

        В колледже Хури обучение происходит в классе и за его пределами. Мероприятия в нашей сети кампусов обогащают образовательный опыт.

        Информатика повсюду.Студенты колледжа Хури занимаются соответствующей работой, исследованиями, глобальными исследованиями и опытом оказания услуг, которые помогают им расти.

        Студенты магистратуры углубляют свои знания благодаря проектной работе, профессиональному опыту работы и исследовательской работе.

        Работа над исследованиями с преподавателями занимает центральное место в опыте докторантуры.Докторанты колледжа Хури также могут заниматься исследованиями вместе с партнерами по отрасли.

        Преподаватели и студенты колледжа Хури проводят эффективную работу по различным дисциплинам. Обладая широтой областей исследований, мы каждый день решаем новые проблемы в сфере технологий.

        Наши институты и исследовательские центры объединяют ведущих академических, промышленных и государственных партнеров, чтобы использовать мощь вычислений.

        Исследовательские проекты, разработанные и возглавляемые преподавателями мирового класса Khoury College, привлекают студентов и других исследователей к получению новых знаний.

        Исследовательские лаборатории и группы сосредотачиваются на наборе проблем в конкретном контексте, предлагая исследования и сотрудничество.

        Эта новая инициатива направлена ​​на устранение рисков для конфиденциальности и личных данных коллективными усилиями на низовом уровне с упором на прозрачность и подотчетность.

        Современные помещения, бесшовные системы, инновационные лаборатории и помещения позволяют нашим преподавателям и студентам проводить передовые исследования.

        Колледж Хури гордится нашим коллективным и инклюзивным сообществом. Каждый день мы стремимся создавать программы, которые приветствуют самых разных студентов в CS.

        Более 20 компьютерных клубов в колледже Хури и Северо-Востоке предлагают что-то для каждого студента.Мы всегда рады новым членам на всех уровнях.

        Студенты учатся в современных классах, конференц-залах для совместной работы, а также в ультрасовременных лабораториях и исследовательских центрах.

        Сети обеспечивают безопасную и бесперебойную работу кода, современное и надежное оборудование, а наша квалифицированная системная команда управляет поддержкой и обновлениями.

        Заинтригованы колледжем Хури и высшим образованием на северо-востоке? Начните здесь, чтобы увидеть общую картину — академические науки, экспериментальное обучение, студенческую жизнь и многое другое.

        Готовы сделать следующий шаг в технической карьере? Наши магистерские программы сочетают академическую строгость, высокое качество исследований и значимые возможности для получения опыта.

        Добро пожаловать в магистерскую программу Align, предназначенную для людей, готовых добавить информатику (CS) к своим навыкам или переключиться на новую карьеру в сфере технологий.

        Будучи аспирантом Хури, вы погрузитесь в строгий учебный план, будете сотрудничать с известными преподавателями и окажете влияние в выбранной вами области исследования.

        Где бы вы ни находились на пути бакалавриата Хури, у нас есть консультанты, ресурсы и возможности, которые помогут вам добиться успеха и сделать информатику для всех.

        Где бы вы ни находились в аспирантуре Хури, наши консультанты, информационные ресурсы и возможности помогут вам выработать индивидуальный путь.

        На любом этапе пути Align — и в любом из наших университетских городков — консультанты, ресурсы и возможности Khoury поддержат ваш путь к карьере в сфере технологий.

        Консультанты и преподаватели помогут вам сориентироваться в докторской степени в колледже Хури — от исследовательских пространств и междисциплинарных проектов до студенческой жизни и ресурсов.

        Преподаватели и сотрудники вносят исключительный вклад в Колледж Хури — и в будущее информатики. Мы здесь, чтобы поддержать вас на каждом шагу.

        Python3 Вычисления в науке и технике

        Сообщение Matlab

        Неизвестно, что у Пикассо был короткий период синего сюжета с Matlab, прежде чем он перешел к своим более известным картинам.Все началось с раздражения по поводу цветов по умолчанию, доступных в Matlab для построения графиков. После того, как его друг Ван Гог отрезал себе ухо, разочаровавшись в уродливых цветах по умолчанию, Пикассо пришлось сделать что-то другое.

         импортировать numpy как np
        импортировать matplotlib.pyplot как plt
        
        # это строит горизонтальные линии для каждого значения y m.
        для m в np.linspace (1, 50, 100):
            plt.plot ([0, 50], [м, м])
        
        plt.savefig ('images / blues-1.png')
         

        Пикассо скопировал таблицу, доступную по адресу http: // en.wikipedia.org/wiki/List_of_colors и преобразовал его в словарь шестнадцатеричных кодов для новых цветов. Это позволило ему составить список прекрасных блюзов для своего графика. В конце концов Пикассо отказался от питона как формы искусства и перешел к живописи.

         импортировать numpy как np
        импортировать matplotlib.pyplot как plt
        
        c = {}
        с open ('color.table') как f:
            для строки в f:
                поля = line.split ('\ t')
                colorname = fields [0] .lower ()
                шестнадцатеричный код = поля [1]
                c [название цвета] = шестнадцатеричный код
        
        имена = c.ключи ()
        имена = отсортировано (имена)
        
        печать (имена)
        
        блюз = [c ['alice blue'],
                 c ['голубой'],
                 c ['голубой'],
                 c ['светло-голубой'],
                 c ['maya blue'],
                 c ['васильковый'],
                 c ['bleu de france'],
                 c ['лазурный'],
                 c ['синий сапфир'],
                 c ['кобальт'],
                 c ['синий'],
                 c ['египетский синий'],
                 c ['синий герцог']]
        
        топор = plt.gca ()
        ax.set_color_cycle (блюз)
        
        # это строит горизонтальные линии для каждого значения y m.
        для i, m в перечислении (np.linspace (1, 50, 100)):
            plt.plot ([0, 50], [м, м])
        
        plt.savefig ('images / blues-2.png')
         
        ['aero', 'aero blue', 'african violet', 'air force blue (raf)', 'air force blue (usaf)', 'air superiority blue', 'alabama crimson', 'alice blue', '» ализарин малиновый, сплав оранжевый, миндаль, амарант, амазонка, янтарь, американская роза, аметист, зеленый андроид, белый с защитой от вспышки, античная латунь. , «античная бронза», «античная фуксия», «античный рубин», «антично-белый», «ао (английский)», «яблочно-зеленый», «абрикос», «аква», «аквамарин», «армейский зеленый», «мышьяк», «арилид желтый», «пепельно-серый», «спаржа», «атомный мандарин», «каштановый», «ауреолин», «золотистый завр», «авокадо», «лазурный», «лазурный туман / паутина», "b'dazzled blue", "baby blue", "baby blue eyes", "baby pink", "детская присыпка", "baker-miller pink", "ball blue", "banana mania", "banana yellow", 'barbie pink', 'barn red', 'battleship grey', 'bazaar', 'beau blue', 'beaver', 'бежевый', 'big dip o'ruby', 'биск', 'бистр', 'бистр коричневый, горький лимон, горький лайм, горьковато-сладкий, сладко-горький мерцание, черный, черная фасоль, черная кожа куртка »,« черный оливковый »,« бланшированный миндаль »,« blast-off bronze »,« bleu de france »,« blizzard blue »,« блондин »,« синий »,« синий (crayola) »,« синий (munsell ) ',' синий (ncs) ',' синий (пигмент) ',' синий (ryb) ',' синий колокольчик ',' синий сапфир ',' синий вондер ',' сине-серый ',' сине-зеленый ' , 'сине-фиолетовый', 'черника', 'блюбоннет', 'румянец', 'боле', 'бонди синий', 'кость', 'красный бостонский университет', 'бутылочно-зеленый', 'бойзеновая ягода', 'брандейс синий ',' латунь ',' кирпично-красный ',' ярко-лазурный ',' ярко-зеленый ',' ярко-лавандовый ',' ярко-бордовый ',' ярко-розовый ',' ярко-бирюзовый ',' 'яркий убэ', '' блестящий лавандовый ' , «блестящая роза», «розовый край», «британский гоночный зеленый», «бронзовый», «бронзово-желтый», «коричневый (традиционный)», «коричневый (паутина)», «коричнево-носовой», «коричневый (зеленый)» , «жевательная резинка», «пузыри», «бафф», «болгарская роза», «бордовый», «бурливуд», «жженый апельсин», «жженая сиена», «жженая умбра», «византийский», «византия», «кадет», «кадетский синий», «кадетский серый», «кадмиевый зеленый», «кадмиевый оранжевый», «кадмиевый красный», «кадмиевый желтый», «кафе». au lait, cafe noir, cal poly green, cambridge blue, camel, cameo pink, camouflage green, canary yellow, candy apple red, конфеты розовый, 'capri', 'caput mortuum', 'cardinal', 'карибский зеленый', 'кармин', 'кармин (m & p)', 'карминный розовый', 'карминно-красный', 'гвоздичный розовый', 'сердолик', 'каролина синий ',' морковно-оранжевый ',' зеленый кастлтон ',' каталина синий ',' катавба ',' кедровый сундук ',' ceil ',' селадон ',' синий селадон ',' зелёный селадон ',' селеста (цвет) ',' небесно-голубой ',' вишневый ',' вишнево-розовый ',' лазурный ',' лазурный синий ',' лазурный мороз ',' cg blue ',' cg red ',' chamoisee ',' шампанское ',' уголь ',' чарльстон зеленый ',' очаровательный розовый ',' шартрез (традиционный) ',' шартрез (паутина) ',' вишня ',' розовый цвет вишни ',' каштан ',' розовый фарфор ',' китайская роза ', «китайский красный», «китайский фиалка», «шоколадный (традиционный)», «шоколадный (паутина)», «хромово-желтый», «синерезовый», «киноварь», «корица», «цитрин», «цитрон», « бордовый ',' классическая роза ',' кобальт ',' коричневый какао ',' кокосовый ',' кофе ',' c olumbia blue »,« congo pink »,« холодный черный »,« холодный серый »,« медный »,« медный (crayola) »,« медный пенни »,« медно-красный »,« медная роза »,« coquelicot »,« коралл »,« кораллово-розовый »,« кораллово-красный »,« кордован »,« кукурузный »,« корнелл красный »,« васильковый »,« корнсилк »,« космический латте »,« сахарная вата »,« сливки »,« малиновый »,« малиновый слава »,« голубой »,« голубой (процесс) »,« кибер-виноград »,« кибер-желтый »,« нарцисс »,« одуванчик »,« темно-синий »,« темно-сине-серый »,« темно-коричневый, темно-византийский, темно-карамельный, красный, темно-лазурный, темно-каштановый, темно-коралловый, темно-голубой, темно-синий, темно-золотистый, темно-серый. ',' темно-зеленый ',' темно-синий ',' темно-зеленый ',' темно-хаки ',' темно-лава ',' темно-лавандовый ',' темно-печеночный ',' темно-печеночный (лошади) ',' темно-пурпурный ',' темно-темно-синий ',' темно-зеленый мох ',' темно-оливковый ',' темно-оранжевый ',' темно-орхидейный ',' темно-пастельный синий ',' темно-пастельный зеленый ',' темно-пастельный фиолетовый ',' темно-синий пастельный красный, темно-розовый, темно-синий, темно-малиновый, темно-красный, темный лосось. n ',' темно-алый ',' темно-морской зеленый ',' темно-синий ',' темно-голубой ',' темно-сланцево-синий ',' темно-шиферно-серый ',' темно-весенний зеленый ',' темно-коричневый ',' темно tangerine ',' темно-серый ',' темно-терракотовый ',' темно-бирюзовый ',' темно-ванильный ',' темно-фиолетовый ',' темно-желтый ',' дартмутский зеленый ', "серый Дэви",' красный дебиан ',' глубокий кармин, глубокий карминный розовый, глубокий морковный апельсин, глубокий вишневый, глубокий шампанское, глубокий каштан, глубокий кофе, глубокий фуксия, глубокий зеленый цвет джунглей, глубокий лимон ',' темно-сиреневый ',' темно-пурпурный ',' темно-лиловый ',' темно-зеленый ',' темно-персиковый ',' темно-розовый ',' темно-рубиновый ',' темно-шафрановый ',' темно-голубой ',' Deep Space Sparkle »,« темно-серый »,« темно-тосканский красный »,« олень »,« джинсовая ткань »,« пустыня »,« песок пустыни »,« алмаз »,« тускло-серый »,« грязь »,« додж-синий » , 'кизиловая роза', 'долларовая банкнота', 'коричневый осел', 'тусклый', 'синий герцог', 'пыльная буря', 'земляно-желтый', 'черное дерево', 'экрю', 'баклажан', 'яичная скорлупа' , «египетский синий», «электрический синий», «электрический малиновый», «электрический голубой», «электрический зеленый», «электрический инд. igo ',' электрическая лаванда ',' электрик лайм ',' электрический фиолетовый ',' электрический ультрамарин ',' электрический фиолетовый ',' электрический желтый ',' изумрудный ',' английский зеленый ',' английская лаванда ',' английский красный ',' английский фиолетовый ',' итонский синий ',' эвкалипт ',' пара ',' красный фалу ',' фанданго ',' розовый фанданго ',' модная фуксия ',' палевый ',' feldgrau ',' полевой шпат ' , "зеленый папоротник", "красный феррари", "серое поле", "красный цвет пожарной машины", "огнеупорный кирпич", "пламя", "розовый фламинго", "лесть", "сияние", "лен", "флирт" , «цветочный белый», «флуоресцентный оранжевый», «флуоресцентный розовый», «флуоресцентный желтый», «глупый», «лесной зеленый (традиционный)», «лесной зеленый (паутина)», «французский бежевый», «французский бистр» , «французский синий», «французский лиловый», «французский лайм», «французский лиловый», «французский малиновый», «французская роза», «французский небесно-голубой», «французское вино», «свежий воздух», «фуксия». , 'fuchsia (crayola)', 'fuchsia pink', 'fuchsia rose', 'fulvous', 'fuzzy wuzzy', 'gainsboro', 'gamboge', 'ghost white', 'giants orange', 'рыжий', ' сизый ',' блеск ',' зеленеть ',' золото (металл lic) ',' gold (паутина) (золотой) ',' gold fusion ',' золотой коричневый ',' золотой мак ',' золотисто-желтый ',' золотарник ',' яблоко гренни смит ',' виноград ',' серый ',' серый (html / css серый) ',' серый (x11 серый) ',' серый-спаржевый ',' серо-синий ',' зеленый (цветовой круг) (x11 зеленый) ',' зеленый (crayola) ' , 'green (html / css color)', 'green (munsell)', 'green (ncs)', 'green (пигмент)', 'green (ryb)', 'зелено-желтый', 'grullo', ' guppie green, halayà úbe, han blue, han purple, hansa yellow, harlequin, harvard crimson, урожай золото, сердце золото, гелиотроп, голливудская вишня ',' медовая роса ',' гонолулу синий ', "зеленый проститутки",' ярко-пурпурный ',' ярко-розовый ',' охотничий зеленый ',' айсберг ',' иктерин ',' светящийся изумруд ',' империал ',' императорский синий »,« императорский фиолетовый »,« императорский красный »,« дюймовый червь »,« индийский зеленый »,« индийский красный »,« индийский желтый »,« индиго »,« индиго (краситель) »,« индиго (паутина) », 'международный кляйн синий', 'международный оранжевый (аэрокосмический)', 'международный оранжевый (инженерный)', 'международный оранжевый (золотые ворота bridge) ',' iris ',' irresistible ',' isabelline ',' islamic green ',' italian sky blue ',' ivory ',' jade ',' японский индиго ',' японский фиалка ',' жасмин ',' jasper ',' jazzberry jam ',' jelly bean ',' jet ',' jonquil ',' june bud ',' jungle green ',' kelly green ',' кенийская медь ',' кеппель ',' хаки (html / css) (хаки) ',' хаки (x11) (светлый хаки) ',' kobe ',' kobi ',' ku crimson ',' la salle green ',' томная лаванда ',' лазурит ',' лазерный лимон ',' лавровый зеленый ',' лава ',' лавандовый (цветочный) ',' лавандовый (паутина) ',' лавандовый синий ',' лавандовый румянец ',' лавандовый серый ',' лавандовый индиго ',' лавандовый пурпурный ', «лавандовый туман», «лавандовый розовый», «лавандовый пурпурный», «лавандовый розовый», «зеленый газон», «лимонный», «лимонный шифон», «лимонное карри», «лимонный ледник», «лимонный лайм», « лимонное безе »,« лимонно-желтый »,« лакричный »,« светлый абрикос »,« голубой »,« светло-коричневый »,« светло-карминно-розовый »,« светло-коралловый »,« светло-васильковый »,« светло-малиновый », "светло-голубой", "светло-розовый", "светло-желтый золотарник", "светло-серый", "светлый". зеленый, светлый хаки, светлая средняя орхидея, светло-зеленый мох, светлая орхидея, светло-пастельно-фиолетовый, светло-розовый, светло-красная охра, светлый лосось, светлый лосось. розовый, светло-морской зеленый, светло-голубой, светло-серый, светло-стальной синий, светло-серо-коричневый, светло-розовый, светло-желтый, сиреневый, салатовый ( цветовой круг) ',' лайм (паутина) (x11 зелёный) ',' лаймовый зелёный ',' лимерик ',' линкольн зелёный ',' лён ',' лев ',' голубой мальчик ',' печень ',' печень (собаки) ',' печень (орган) ',' печеночный каштан ',' древесина ',' похоть ',' пурпурный ',' пурпурный (crayola) ',' пурпурный (краситель) ',' пурпурный (пантон) ', «пурпурный (процесс)», «волшебная мята», «магнолия», «красное дерево», «кукуруза», «мажорель синий», «малахит», «ламантин», «манго танго», «богомол», «марди гра» , 'maroon (crayola)', 'maroon (html / css)', 'maroon (x11)', 'mauve', 'mauve taupe', 'mauvelous', 'maya blue', 'мясной коричневый', 'средний аквамарин ',' средний синий ',' средний сладкий яблочно-красный ',' средний кармин ',' средний шампанское ',' средний электрический синий ',' средний джунгли gr een ',' средний лавандовый пурпурный ',' средний орхидея ',' средний персидский синий ',' средний фиолетовый ',' средний красно-фиолетовый ',' средний рубиновый ',' средний морской зеленый ',' средний небесно-голубой ',' средний сланцево-синий, средний весенний бутон, средний весенний зеленый, средний серо-коричневый, средний бирюзовый, средний тосканский красный, средний киноварь, средний фиолетово-красный, спелый абрикос, "мягкий желтый", "дыня", "металлические водоросли", "металлические солнечные лучи", "мексиканский розовый", "темно-синий", "темно-зеленый (орлино-зеленый)", "мидори", "желтый микадо", "мята" , «мятный крем», «мятно-зеленый», «туманная роза», «мокасины», «бежевый», «синий лунный камень», «протравный красный 19», «зеленый мох», «горный луг», «розовый маунтбэттен».

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *