{2}}-17t+6=0\)

имеет три корня:

\( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

\( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy² + s²,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x⁴ + 4x³ – 4x² – 20x – 5 =
= (y – 1)⁴ + 4(y – 1)³ –
– 4(y – 1)² – 20(y – 1)– 5 =
= y⁴ – 4y³ + 6y² – 4y + 1 +
+ 4y³ – 12y² + 12y – 4 –
– 4y² + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y⁴ – 10y² – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.

(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s³ + 10s² – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y² – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y² + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Степенные или показательные уравнения.

Приветствую вас дорогие учащиеся!

Рекомендуем подписаться на канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=aⁿ

1. a⁰ = 1 (a ≠ 0)

2. a¹ = a

3. aⁿ • a^m = a^{n + m}

4. (aⁿ)^m = a^nm

5. aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

6. a^-n= 1/aⁿ

7. aⁿ/a^m= a^{n — m}

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

6^x=36

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2^x*5=10
16^x — 4^x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2^х = 2³

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2^х = 2³
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

2^х+2 = 2⁴

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3^3х — 9^х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

3^3х = 9^х+8

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3² . Воспользуемся формулой степеней (aⁿ)^m = a^nm.

3^3х = (3²)^х+8

Получим 9^х+8 =(3²)^х+8 =3 ^2х+16

3^3х = 3 ^2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2^2х+4 — 10•4^х = 2⁴

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (aⁿ)^m = a^nm.

4^х = (2²)^х = 2^2х

И еще используем одну формулу aⁿ • a^m = a^{n + m}:

2^2х+4 = 2^2х•2⁴

Добавляем в уравнение:

2^2х•2⁴ — 10•2^2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2^2х ,вот и ответ — 2^2х мы можем вынести за скобки:

2^2х(2⁴ — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2⁴ — 10 = 16 — 10 = 6

6•2^2х = 24

Все уравнение делим на 6:

2^2х = 4

Представим 4=2²:

2^2х = 2² основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9^х – 12*3^х +27= 0

Преобразуем:
9^х = (3²)^х = 3^2х

Получаем уравнение:
3^2х — 12•3^х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем. В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3^х = t

Тогда 3^2х = (3^х)² = t²

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t² — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t₁:
t₁ = 9 = 3^х

Стало быть,

3^х = 9
3^х = 3²
х₁ = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:
t₂ = 3 = 3^х
3^х = 3¹
х₂ = 1
Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу ВКОНТАКТЕ

Решение показательных уравнений. Основы | О математике понятно

Что такое показательное уравнение? Примеры.

        Итак, показательное уравнение… Новый уникальный экспонат на нашей общей выставке самых разнообразных уравнений!) Как это почти всегда бывает, ключевым словом любого нового математического термина является соответствующее прилагательное, которое его характеризует. Так и тут. Ключевым словом в термине «показательное уравнение» является слово «показательное». Что оно означает? Это слово означает, что неизвестное (икс) находится в показателях каких-либо степеней. И только там! Это крайне важно.

        Например, такие простые уравнения:

        3^x+1 = 81

        5^x + 5^x+2 = 130

        4·2^2x-17·2^x+4 = 0

        Или даже такие монстры:

        2^sinx = 0,5

        И так далее, и тому подобное…

        Прошу сразу обратить внимание на одну важную вещь: в основаниях степеней (снизу) — только числа. А вот в показателях степеней (сверху) — самые разнообразные выражения с иксом. Совершенно любые.) Всё от конкретного уравнения зависит. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь ещё, помимо показателя (скажем, 3^x = 18+x²), то такое уравнение будет уже уравнением смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Поэтому в данном уроке мы их рассматривать не будем. На радость ученикам.) Здесь мы будем рассматривать только показательные уравнения в «чистом» виде.

        Вообще говоря, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не все и не всегда. Но среди всего богатого многообразия показательных уравнений есть определённые типы, которые решать можно и нужно. Вот именно эти типы уравнений мы с вами и рассмотрим. И примеры обязательно порешаем.) Так что устраиваемся поудобнее и — в путь! Как и в компьютерных «стрелялках», наше путешествие будет проходить по уровням.) От элементарного к простому, от простого — к среднему и от среднего — к сложному. По пути вас также будет ждать секретный уровень — приёмы и методы решения нестандартных примеров. Те, о которых вы не прочитаете в большинстве школьных учебников… Ну, а в конце вас, разумеется, ждёт финальный босс в виде домашки.)

Уровень 0. Что такое простейшее показательное уравнение? Решение простейших показательных уравнений.

        Для начала рассмотрим какую-нибудь откровенную элементарщину. С чего-то же надо начинать, верно? Например, такое уравнение:

        2^х = 2²

        Даже безо всяких теорий, по простой логике и здравому смыслу ясно, что х = 2. Иначе же никак, верно? Никакое другое значение икса не годится… А теперь обратим наш взор на запись решения этого крутого показательного уравнения:

        2^х = 2²

        х = 2

        Что же у нас произошло? А произошло следующее. Мы, фактически, взяли и… просто выкинули одинаковые основания (двойки)! Совсем выкинули. И, что радует, попали в яблочко!

        Да, действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, то эти числа можно отбросить и просто приравнять показатели степеней. Математика разрешает.) И дальше можно работать уже отдельно с показателями и решать куда более простое уравнение. Здорово, правда?

        Вот и ключевая идея решения любого (да-да, именно любого!) показательного уравнения: с помощью тождественных преобразований необходимо добиться того, чтобы слева и справа в уравнении стояли одинаковые числа-основания в различных степенях. А дальше можно смело убрать одинаковые основания и приравнять показатели степеней. И работать с более простым уравнением.

        А теперь запоминаем железное правило: убирать одинаковые основания можно тогда и только тогда, когда в уравнении слева и справа числа-основания стоят в гордом одиночестве.

        Что значит, в гордом одиночестве? Это значит, безо всяких соседей и коэффициентов. Поясняю.

        Например, в уравнении

        3·3^x-5 = 3^2x+1

        тройки убирать нельзя! Почему? Потому что слева у нас стоит не просто одинокая тройка в степени, а произведение 3·3^x-5. Лишняя тройка мешает: коэффициент, понимаешь.)

        То же самое можно сказать и про уравнение

        5^3x = 5^2x+5^x

        Здесь тоже все основания одинаковые — пятёрка. Но справа у нас не одинокая степень пятёрки: там — сумма степеней!

        Короче говоря, убирать одинаковые основания мы имеем право лишь тогда, когда наше показательное уравнение выглядит так и только так:

        a^f(x) = a^g(x)

        Такой вид показательного уравнения называют простейшим. Или, по-научному, каноническим. И какое бы накрученное уравнение перед нами ни было, мы его, так или иначе, будем сводить именно к такому простейшему (каноническому) виду. Или, в некоторых случаях, к совокупности уравнений такого вида. Тогда наше простейшее уравнение можно в общем виде переписать вот так:

        f(x) = g(x)

        И всё. Это будет эквивалентным преобразованием. При этом в качестве f(x) и g(x) могут стоять совершенно любые выражения с иксом. Какие угодно.

        Возможно, особо любознательный ученик поинтересуется: а с какой такой стати мы вот так легко и просто отбрасываем одинаковые основания слева и справа и приравниваем показатели степеней? Интуиция интуицией, но вдруг, в каком-то уравнении и для какого-то основания данный подход окажется неверным? Всегда ли законно выкидывать одинаковые основания? К сожалению, для строгого математического ответа на этот интересный вопрос нужно довольно глубоко и серьёзно погружаться в общую теорию устройства и поведения функций. А чуть конкретнее — в явление строгой монотонности. В частности, строгой монотонности показательной функции y=a^x. Поскольку именно показательная функция и её свойства лежат в основе решения показательных уравнений, да.) Развёрнутый ответ на этот вопрос будет дан в отдельном спецуроке, посвящённом решению сложных нестандартных уравнений с использованием монотонности разных функций.)

        Объяснять подробно этот момент сейчас — это лишь выносить мозг среднестатистическому школьнику и отпугивать его раньше времени сухой и грузной теорией. Я этого делать не буду.) Ибо наша основная на данный момент задача — научиться решать показательные уравнения! Самые-самые простые! Посему — пока не паримся и смело выкидываем одинаковые основания. Это можно, поверьте мне на слово!) А дальше уже решаем эквивалентное уравнение f(x) = g(x). Как правило, более простое, чем исходное показательное.

        Предполагается, конечно же, что решать хотя бы линейные, квадратные и дробные уравнения, уже без иксов в показателях, народ на данный момент уже умеет.) Кто до сих пор не умеет — смело закрывайте эту страницу, гуляйте по соответствующим ссылочкам и восполняйте старые пробелы. Иначе несладко вам придётся, да…

        Я уж молчу про иррациональные, тригонометрические и прочие зверские уравнения, которые также могут всплыть в процессе ликвидации оснований. Но не пугайтесь, откровенную жесть в показателях степеней мы с вами пока рассматривать не будем: рано ещё. Будем тренироваться лишь на самых простых уравнениях.)

        Теперь рассмотрим уравнения, которые требуют некоторых дополнительных усилий для сведения их к простейшим. Для отличия назовём их простыми показательными уравнениями. Итак, двигаемся на следующий уровень!

Уровень 1. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Натуральные показатели.

        Ключевыми правилами в решении любых показательных уравнений являются правила действий со степенями. Без этих знаний и умений ничего не получится. Увы. Так что, если со степенями проблемы, то для начала милости прошу сюда. Кроме того, ещё нам понадобятся базовые тождественные преобразования уравнений. Эти преобразования (целых два!) — основа решения всех уравнений математики вообще. И не только показательных. Так что, кто забыл, тоже прогуляйтесь по ссылочке: я их не просто так ставлю.

        Но одних только действий со степенями и тождественных преобразований мало. Необходима ещё личная наблюдательность и смекалка. Нам ведь требуются одинаковые основания, не так ли? Вот и осматриваем пример и ищем их в явном или замаскированном виде!

        Например, такое уравнение:

        3^2x — 27^x+2 = 0

        Первый взгляд на основания. Они… разные! Тройка и двадцать семь. Но паниковать и впадать в отчаяние рано. Самое время вспомнить, что

        27 = 3³

        Числа 3 и 27 — родственнички по степени! Причём близкие. ) Стало быть, имеем полное право записать:

        27^x+2 = (3³)^x+2

        А вот теперь подключаем наши знания о действиях со степенями (а я предупреждал!). Есть там такая очень полезная формулка:

        (a^m)ⁿ = a^mn

        Если теперь запустить её в ход, то вообще отлично получается:

        27^x+2 = (3³)^x+2 = 3^3(x+2)

        Исходный пример теперь выглядит вот так:

        3^2x — 3^3(x+2) = 0

        Отлично, основания степеней выровнялись. Чего мы и добивались. Полдела сделано.) А вот теперь запускаем в ход базовое тождественное преобразование — переносим 3^3(x+2) вправо. Элементарных действий математики никто не отменял, да.) Получаем:

        3^2x = 3^3(x+2)

        Что нам даёт такой вид уравнения? А то, что теперь наше уравнение сведено к каноническому виду: слева и справа стоят одинаковые числа (тройки) в степенях. Причём обе тройки — в гордом одиночестве. Смело убираем тройки и получаем:

        2х = 3(х+2)

        Решаем это линейное уравнение и получаем:

        x = -6

        Вот и все дела. Это правильный ответ.)

        А теперь осмысливаем ход решения. Что нас спасло в этом примере? Нас спасло знание степеней тройки. Как именно? Мы опознали в числе 27 зашифрованную тройку! Этот приёмчик (шифровка одного и того же основания под разными числами) — один из самых популярных в показательных уравнениях! Если только не самый популярный. Да и в логарифмах тоже, кстати. Именно поэтому в показательных уравнениях так важна наблюдательность и умение распознавать в числах степени других чисел!

        Практический совет:

        Степени популярных чисел надо знать. В лицо!

        Конечно, возвести двойку в седьмую степень или тройку в пятую может каждый. Не в уме, так хотя бы на черновике. Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот — узнавать, какое число и в какой степени скрывается за числом, скажем, 128 или 243. А это уже посложнее, чем простое возведение, согласитесь. Почувствуйте разницу, что называется!

        Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:

        Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

        4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

        Ответы (вразброс, естественно):

        27²; 2¹⁰; 3⁶; 7²; 2⁶; 9²; 3⁴; 4³; 10²; 2⁵; 3⁵; 7³; 16²; 2⁷; 5³; 2⁸; 6²; 3³; 2⁹; 2⁴; 2²; 4⁵; 25²; 4⁴; 6³; 8²; 9³.

        Да-да! Не удивляйтесь, что ответов побольше, чем заданий. Например, 2⁸, 4⁴ и 16² — это всё 256.

        А теперь движемся дальше.)

Уровень 2. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Отрицательные и дробные показатели.

        На этом уровне мы уже используем наши знания о степенях на полную катушку. А именно — вовлекаем в сей увлекательный процесс отрицательные и дробные показатели! Да-да! Нам же надо наращивать мощь, верно?

        Например, такое страшное уравнение:

        Опять первый взгляд — на основания. Основания — разные! Причём на этот раз даже отдалённо не похожие друг на друга! 5 и 0,04… А для ликвидации оснований нужны одинаковые… Что же делать?

        Ничего страшного! На самом деле всё то же самое, просто связь между пятёркой и 0,04 визуально просматривается плохо. Как выкрутимся? А перейдём-ка в числе 0,04 к обычной дроби! А там, глядишь, всё и образуется.)

        0,04 = 4/100 = 1/25

        Ух ты! Оказывается, 0,04 — это 1/25! Ну кто бы мог подумать!)

        Ну как? Теперь связь между числами 5 и 1/25 легче углядеть? Вот то-то и оно…

        А теперь уже по правилам действий со степенями с отрицательным показателем можно твёрдой рукой записать:

        Вот и отлично. Вот мы и добрались до одинакового основания — пятёрки. Заменяем теперь в уравнении неудобное нам число 0,04 на 5^-2 и получаем:

Опять же, по правилам действий со степенями, теперь можно записать:

(5^-2)^x-1 = 5^-2(x-1)

        На всякий случай, напоминаю (вдруг, кто не в курсе), что базовые правила действий со степенями справедливы для любых показателей! В том числе и для отрицательных.) Так что смело берём и перемножаем показатели (-2) и (х-1) по соответствующему правилу. Наше уравнение становится всё лучше и лучше:

        Всё! Кроме одиноких пятёрок в степенях слева и справа больше ничего нет. Уравнение сведено к каноническому виду. А дальше — по накатанной колее. Убираем пятёрки и приравниваем показатели:

        x²–6x+5=-2(x-1)

        Пример практически решён. Осталась элементарная математика средних классов — раскрываем (правильно!) скобки и собираем всё слева:

        x²–6x+5 = -2x+2

        x²–4x+3 = 0

        Решаем это квадратное уравнение и получаем два корня:

        x₁ = 1; x₂ = 3

        Вот и всё.)

        А теперь снова поразмышляем. В данном примере нам вновь пришлось распознать одно и то же число в разной степени! А именно — увидеть в числе 0,04 зашифрованную пятёрку. Причём на этот раз — в отрицательной степени! Как же нам это удалось? С ходу — никак. А вот после перехода от десятичной дроби 0,04 к обыкновенной дроби 1/25 всё и высветилось! И дальше всё решение пошло как по маслу.)

        Поэтому очередной зелёный практический совет.

        Если в показательном уравнении присутствуют десятичные дроби, то переходим от десятичных дробей к обыкновенным. В обыкновенных дробях гораздо проще распознать степени многих популярных чисел! После распознавания переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.

        Имейте в виду, что такой финт в показательных уравнениях встречается очень и очень часто! А человек не в теме. Смотрит он, например, на числа 32 и 0,125 и огорчается. Неведомо ему, что это одна и та же двойка, только в разных степенях… Но вы-то ведь уже в теме!)

        Дальше — больше! Развлекаться, так развлекаться.)

        Решить уравнение:

        Во! На вид — тихий ужас… Однако внешность обманчива. Это простейшее показательное уравнение, несмотря на его устрашающий внешний вид. И сейчас я вам это покажу.)

        Конечно, возиться да считать побольше придётся, но ведь и наш с вами уровень тоже растёт, не правда ли? Итак, ничего не боимся и приступаем.)

        Во-первых, разбираемся со всеми чиселками, сидящими в основаниях и в коэффициентах. Они, ясное дело, разные, да. Но мы всё же рискнём и попробуем сделать их одинаковыми! Попробуем добраться до одного и того же числа в разных степенях. Причём, желательно, числа самого возможно малого. Итак, начинаем расшифровку!

        Ну, с четвёркой сразу всё ясно — это 2². Так, уже кое-что.)

        С дробью 0,25 — пока непонятно. Проверять надо. Используем практический совет — переходим от десятичной дроби к обыкновенной:

        0,25 = 25/100 = 1/4

        Уже гораздо лучше. Ибо теперь уже отчётливо видно, что 1/4 — это 2^-2. Отлично, и число 0,25 тоже сроднили с двойкой.)

        Пока всё идёт хорошо. Но осталось самое нехорошее число из всех – корень квадратный из двух! А с этим перцем что делать? Можно ли его тоже представить как степень двойки? А кто ж его знает…

        Что ж, снова лезем в нашу сокровищницу знаний о степенях! На этот раз дополнительно подключаем наши знания о корнях. Из курса 9-го класса мы с вами должны были вынести, что любой корень, при желании, всегда можно превратить в степень с дробным показателем. 

        Вот так:

        В нашем случае:

        Во как! Оказывается, корень квадратный из двух – это 2^1/2. Вот оно что!

        Вот и прекрасно! Все наши неудобные числа на самом деле оказались зашифрованной двойкой.) Не спорю, где-то весьма изощрённо зашифрованной. Но и мы ведь тоже повышаем свой профессионализм в разгадке подобных шифров! А дальше уже всё очевидно. Заменяем в нашем уравнении числа 4, 0,25 и корень из двух на степени двойки:

        Всё! Основания всех степеней в примере стали одинаковыми — двойка. А теперь в ход идут стандартные действия со степенями:

        a^m·aⁿ = a^m+n

        a^m:aⁿ = a^m-n

        (a^m)ⁿ = a^mn

        Для левой части получится:

        2^-2·(2²)^5x-16 = 2^-2+2(5x-16)

        Для правой части будет:

        И теперь наше злое уравнение стало выглядеть вот так:

        Кто не врубился, как именно получилось это уравнение, то тут вопрос не к показательным уравнениям. Вопрос — к действиям со степенями. Я же просил срочно повторить тем, у кого проблемы!

        Вот и финишная прямая! Получен канонический вид показательного уравнения! Ну как? Убедил я вас, что не всё так страшно? 😉 Убираем двойки и приравниваем показатели:

        Осталось всего лишь решить это линейное уравнение. Как? С помощью тождественных преобразований, вестимо.) Дорешайте, чего уж там! Умножайте обе части на двойку (чтобы убрать дробь 3/2), переносите слагаемые с иксами влево, без иксов вправо, приводите подобные, считайте — и будет вам счастье!

        Должно всё получиться красиво:

        x = 4

        А теперь снова осмысливаем ход решения. В данном примере нас выручил переход от квадратного корня к степени с показателем 1/2. Причём только такое хитрое преобразование нам помогло везде выйти на одинаковое основание (двойку), которое и спасло положение! И, если бы не оно, то мы бы имели все шансы навсегда зависнуть и так и не справиться с этим примером, да…

        Поэтому не пренебрегаем очередным практическим советом:

        Если в показательном уравнении присутствуют корни, то переходим от корней к степеням с дробными показателями. Очень часто только такое преобразование и проясняет дальнейшую ситуацию.

        Конечно же, отрицательные да дробные степени уже гораздо сложнее натуральных степеней. Хотя бы с точки зрения визуального восприятия и, особенно, распознавания справа налево!

        Понятно, что напрямую возвести, например, двойку в степень -3 или же четвёрку в степень -3/2 не такая уж и большая проблема. Для знающих.)

        А вот поди, например, с ходу сообрази, что

        0,125 = 2^-3

        или

        Тут только практика и богатый опыт рулят, да. И, конечно же, чёткое представление, что такое отрицательная и дробная степень. А также — практические советы! Да-да, те самые зелёные.) Надеюсь, что они всё-таки помогут вам лучше ориентироваться во всём разношёрстном многообразии степеней и значительно увеличат ваши шансы на успех! Так что не пренебрегаем ими. Я не зря зелёным цветом пишу иногда.)

        Зато, если вы станете на «ты» даже с такими экзотическими степенями, как отрицательные и дробные, то ваши возможности в решении показательных уравнений колоссально расширятся, и вам уже будет по плечу практически любой тип показательных уравнений. Ну, если не любой, то процентов 80 всех показательных уравнений — уж точно!  Да-да, я не шучу!

        Итак, наша первая часть знакомства с показательными уравнениями подошла к своему логическому завершению. И, в качестве промежуточной тренировки, я традиционно предлагаю немного порешать самостоятельно.)

        Задание 1.

        Чтобы мои слова о расшифровке отрицательных и дробных степеней не пропали даром, предлагаю сыграть в небольшую игру!

        Представьте в виде степени двойки числа:

        Ответы (в беспорядке):

        Получилось? Отлично! Тогда делаем боевое задание — решаем простейшие и простые показательные уравнения!

        Задание 2.

        Решить уравнения (все ответы — в беспорядке!):

        5^2x-8 = 25

        2^5x-4 — 16^x+3 = 0

        Ответы:

        x = 16

        x₁ = -1; x₂ = 2

        x = 5

       Получилось? Действительно, уж куда проще-то!

        Тогда решаем следующую партию:

        (2^x+4)^x-3 = 0,5^x·4^x-4

        35^1-x = 0,2^—x·7^x

        Ответы:

        x₁ = -2; x₂ = 2

        x = 0,5

        x₁ = 3; x₂ = 5

        И эти примеры одной левой? Отлично! Вы растёте! Тогда вот вам на закуску ещё примерчики:

        Ответы:

        x = 6

        x = 13/31

        x = -0,75

        x₁ = 1; x₂ = 8/3

        И это решено? Что ж, респект! Снимаю шляпу.) Значит, урок прошёл не напрасно, и начальный уровень решения показательных уравнений можно считать успешно освоенным. Впереди — следующие уровни и более сложные уравнения! И новые приёмы и подходы. И нестандартные примеры. И новые сюрпризы.) Всё это — в следующем уроке!

        Что-то не получилось? Значит, скорее всего, проблемы в действиях со степенями. Или в тождественных преобразованиях. Или в том и другом сразу. Тут уж я бессилен. Могу в очередной раз предложить лишь одно — не лениться и прогуляться по ссылочкам.)

        Продолжение следует.)

Калькулятор онлайн — Решение показательных уравнений

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа.n} \)

6) aⁿ > 0

7) aⁿ > 1, если a > 1, n > 0

8) aⁿm, если a > 1, n

9) aⁿ > a^m, если 0

В практике часто используются функции вида y = a^x, где a — заданное положительное число, x — переменная.
Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является
показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a^x, где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень a^x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a^x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней,
если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a^x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и
убывающей, если 0
Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = a^x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a^x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и
расположен выше оси Oх.

Если х x при a > 0.

Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a^x при 0
Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является
горизонтальной асимптотой графика.

Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a^x = a^b где а > 0, \( a \neq 1\),
х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны
тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2^3x • 3^x = 576

Так как 2^3x = (2³)^x = 8^x, 576 = 24², то уравнение можно записать в виде
8^x • 3^x = 24², или в виде 24^x = 24², откуда х = 2.

Ответ х = 2

Решить уравнение 3^{х + 1} — 2 • 3^{x — 2} = 25

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3^{х — 2}, получаем 3^{х — 2}(3³ — 2) = 25,
3^{х — 2} • 25 = 25,

откуда 3^{х — 2} = 1, x — 2 = 0, x = 2

Ответ х = 2

Решить уравнение 3^х = 7^х

Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac{3^x}{7^x} = 1 \), откуда \( \left( \frac{3}{7} \right) ^x = 1 \), х = 0

Ответ х = 0

Решить уравнение 9^х — 4 • 3^х — 45 = 0

Заменой 3^х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t² — 4t — 45 = 0.{x-2} = 1 \)

x — 2 = 0

Ответ х = 2

Решить уравнение 3^{|х — 1|} = 3^{|х + 3|}

Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|

Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1)² = (х + 3)², откуда

х² — 2х + 1 = х² + 6х + 9, 8x = -8, х = -1

Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.

Ответ х = -1

Уравнения высших степеней

Методы решения уравнений высших степеней

1. Решение уравнений с
   помощью деления в столбик
2. Возвратные уравнения и к
   ним сводящиеся

·        
Возвратные уравнения четной степени

·        
Возвратные уравнения нечетной степени

3. Уравнения вида, где
4. Замена переменных по явным
   признакам
5. В следующих уравнениях
   используется “идея однородности”

·               
Пример №1

·               
Пример №2

·               
Пример №3

6. Уравнения вида, где
7. В уравнениях вида  и в уравнениях к
   ним сводящимся
8. В уравнениях вида
9. Выделение полного квадрата
10. Решение уравнений с
    помощью формулы
11. Уравнения вида  и к ним
    сводящиеся
12. Решение уравнений
    относительно коэффициентов
13. Метод разложения на
    простейшие дроби

I)               
Решение уравнений с помощью деления в столбик

Очевидно  — корень уравнения

Очевидно  — корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

II) Возвратные
уравнения и к ним сводящиеся

Уравнение называется возвратным,
если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1)    Возвратные
уравнения четной степени.

т.к.  — не является корнем
уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

                    ;

Вернемся к замене.

                  или                

                                 корней
нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения
нечетной степени

Любое возвратное уравнение
нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого
возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  — корень уравнения.

            или    

                                   т.к
 — не является корнем
уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

            или                                           или                

корней нет                                                                

Ответ: , ,

II)          
Уравнения вида, где

решаются как
возвратные.

IV) Замена
переменных по явным признакам

V) В
следующих уравнениях используется “идея однородности”

Пример №1

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения
на , получим

Решим последнее уравнение, как
квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

                    или                

                                               корней нет

Ответ:

Пример №2

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой,
получим

                                  или                            

корней нет                                                               ;

Ответ: ;

Пример №3

 — не является корнем
уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                        или                            

;                                                            ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения
вида, где

эффективно
решать перемножением  и , а затем делать замену.

VII) В
уравнениях вида  

и в уравнениях к ним сводящимся

в знаменателях обоих дробей
необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

                  (1)                              

             (2)

При переходе  область определения
уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не
является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                        или                            

Ответ: ;

VIII) В
уравнениях вида

 обе части уравнения делятся на

 — не является корнем
уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                                или                            

Ответ: ;

IX) Выделение
полного квадрата

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                               или                            

                                                          корней
нет

Ответ:

X) Решение
уравнений с помощью формулы

                                   или                            

                                                                    корней
нет

XI) Уравнения
вида  и к ним сводящиеся

решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

                                    или                             корней нет

;

Вернемся к замене.

                     или                

Ответ: ;

XII) Решение
уравнений относительно коэффициентов

                               или                            

;                                           — посторонний корень

корней нет                                                   

Ответ: ;

XIII) Метод
разложения на простейшие дроби

Ответ:

© Gussnick corp.
 2009 Н.В. Гусятников [email protected]

Решение уравнений высших степеней

Условие: найдите решение уравнения x4+x3+2×2-x-3=0.

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1, -1, 3 и -3. Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x, равном единице, мы получим 14+13+2·12-1-3=0, значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x4+x3+2×2-x-3 на (х-1) в столбик:

Значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x3+2×2+4x+3=0:

13+2·12+4·1+3=10≠0(-1)3+2·(-1)2+4·-1+3=0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный -1.

Делим многочлен x3+2×2+4x+3 на (х+1) в столбик:

Получаем, что 

x4+x3+2×2-x-3=(x-1)(x3+2×2+4x+3)==(x-1)(x+1)(x2+x+3)

Подставляем очередной делитель в равенство x2+x+3=0, начиная с -1:

-12+(-1)+3=3≠032+3+3=15≠0(-3)2+(-3)+3=9≠0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x2+x+3.

D=12-4·1·3=-11<0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x=-12±i112.

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

После нахождения следующего корня, равного -1, мы получаем следующее:

Далее мы приходим к разложению x-1x+1×2+x+3=0. Потом, проверив оставшиеся делители равенства x2+x+3=0, вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х=-1, х=1, x=-12±i112.

x} = 9 \) Показать решение

Хорошо, поэтому мы сказали выше, что если бы у нас был логарифм перед левой частью, мы могли бы получить \ (x \) из экспоненты. Сделать это достаточно просто. Мы просто поставим логарифм перед левой частью. Однако, если мы поместим туда логарифм, мы также должны поставить логарифм перед правой частью. Это обычно обозначается как , как логарифм обеих сторон .

Мы можем использовать любой логарифм, поэтому давайте попробуем использовать натуральный логарифм.x} & = \ ln 9 \\ x \ ln 7 & = \ ln 9 \ end {align *} \]

Теперь нам нужно найти \ (x \). Это проще, чем кажется. Если бы у нас было \ (7x = 9 \), то мы все могли бы решить для \ (x \), просто разделив обе части на 7. Здесь это работает точно так же. И ln7, и ln9 — просто числа. По общему признанию, потребуется калькулятор, чтобы определить, что это за числа, но это числа, и поэтому мы можем сделать то же самое здесь.

\ [\ begin {align *} \ frac {{x \ ln 7}} {{\ ln 7}} & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \\ x & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ end {align *} \]

Это технически точный ответ.Однако в этом случае обычно лучше получить десятичный ответ, так что давайте сделаем еще один шаг.

\ [x = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} = \ frac {{2.19722458}} {{1.945

}} = 1.12915007 \]

Обратите внимание, что ответы на эти вопросы чаще всего являются десятичными.

Также будьте осторожны, чтобы не допустить следующей ошибки.

\ [1.12915007 = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ ne \ ln \ left ({\ frac {9} {7}} \ right) = 0.y} = 0 \) Показать решение

В этом случае мы не можем просто поставить логарифм перед обеими сторонами. На это есть две причины. Сначала в правой части у нас есть ноль, и мы знаем из предыдущего раздела, что не можем логарифмировать ноль. Затем, чтобы переместить показатель вниз, он должен быть на всем члене внутри логарифма, а этого не будет с этим уравнением в его нынешнем виде.

Итак, первым делом переместим члены на другую сторону от знака равенства, затем мы возьмем логарифм обеих сторон, используя натуральный логарифм.y} \\ \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \ end {align *} \]

Ладно, это выглядит неаккуратно, но опять же, это действительно не так уж и плохо. Давайте сначала посмотрим на следующее уравнение.

\ [\ begin {align *} 2 \ left ({4y + 1} \ right) & = 3y \\ 8y + 2 & = 3y \\ 5y & = — 2 \\ y & = — \ frac {2} { 5} \ end {align *} \]

Мы все можем решить это уравнение, а это значит, что мы можем решить то, что у нас есть. Опять же, ln2 и ln3 — это просто числа, поэтому процесс точно такой же.Ответ будет сложнее, чем это уравнение, но процесс идентичен. Вот работа для этого.

\ [\ begin {align *} \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 + \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 — y \ ln 3 & = — \ ln 2 \\ y \ left ({4 \ ln 2 — \ ln 3} \ right) & = — \ ln 2 \\ y & = — \ frac {{\ ln 2} } {{4 \ ln 2 — \ ln 3}} \ end {align *} \]

Итак, мы получили все члены с \ (y \) в них с одной стороны и всеми другими членами с другой стороны.{е \ влево (х \ вправо)}} = е \ влево (х \ вправо) \]

Мы видели это в предыдущем разделе (в более общем виде), и, используя это здесь, мы значительно упростим нашу жизнь. Использование этого свойства дает

\ [\ begin {align *} t + 6 & = \ ln 2 \\ t & = \ ln \ left (2 \ right) — 6 = 0,69314718 — 6 = — 5,30685202 \ end {align *} \]

Обратите внимание на скобки вокруг 2 в логарифме на этот раз. Они нужны для того, чтобы мы не допустили следующей ошибки.{2z + 4}} & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) \\ 2z + 4 & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right ) \\ 2z & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4 \\ z & = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4} \ right) = \ frac {1} {2} \ left ({0,470003629 — 4} \ right) = — 1,76499819 \ end {align *} \]

Решение уравнений с показателями — Подготовка к оценке TSI

Решение уравнений с показателями.

Рассмотрим эти два уравнения:

Уравнение 1: x ² = 4 и Уравнение 2: x ³ = 27

Уравнение 1 имеет два решения : 2 и -2, поскольку 2 ² = 4 и (-2) ² = 4.

Уравнение 2 имеет только , одно решение : x = 3.

Каждый раз, когда уравнение содержит все четные показатели, вы должны рассматривать как положительные, так и отрицательные решения. Если показатель степени — нечетная степень, есть только одно решение.

Решение уравнений с показателями: x ^m = k

Если m четное: x = ± ^m √ k

Если m нечетное: x = ^m √ k

Для уравнений, которые включают корни, отличные от квадратного корня, вы хотите удалить корни путем (1) выделения корневого члена на одной стороне уравнения и (2) возведения обеих сторон уравнения в соответствующую степень.

Пример 1. Решить ( x ² + 6 x ) ^1/4 = 2

Решение

Напомним, что дробная экспонента на самом деле является корнем: a ^{m / n} = ( ⁿ √ a) ^m

Удалите корень 4-й степени, возведя каждую часть уравнения в 4-ю степень.

[( x ² + 6 x ) ^1/4 ] ⁴ = 2 ⁴

Упростите каждую часть уравнения.

x ² + 6 x = 16

Установите уравнение равным нулю.

x ² + 6 x — 16 = 0

Разложите на множители левую часть уравнения.

( x + 8) ( x — 2) = 0

Установите коэффициенты равными нулю и решите.

0 = x + 8 или 0 = x — 2

x = — 8 или x = 2

Наши возможные решения: x = — 8 и x = 2.Оба этих решения необходимо проверить, используя исходное уравнение.

Чек x = — 8:

[(- 8) ² + 6 (- 8)] ^1/4 = 2

[64–48] ^1/4 = 2

[16] ^1/4 = 2

4√16 = 2

2 = 2 — истинное утверждение. Следовательно, x = — 8 — это решение.

Чек x = 2:

[(2) ² + 6 (2)] ^1/4 = 2

[4 + 12] ^1/4 = 2

[16] ^1/4 = 2

4√16 = 2

2 = 2 — истинное утверждение.Следовательно, x = 2 — это решение.

Решения уравнения ( x ² + 6 x ) ^1/4 = 2: x = — 8 и x = 2.

Пример 2 : Решить относительно w: 5 w ^2/3 + 3 = 23

Решение.

Выделите член w в левой части уравнения. Вычтите 3 из каждой части уравнения.

5 w ^2/3 = 23 — 3

5 w ^2/3 = 20

Разделите каждую часть уравнения на 5.

w ^2/3 = 20 ÷ 5

w ^2/3 = 4

Изолируйте w , возведя обе части уравнения в степень 3/2. Поскольку числитель экспоненты четный, будет два ответа.

w = ± 4 ^3/2 = ± (√ 4) ³

w = ± 2 ³ = ± 8

Два ответа на уравнение, 5 w ^2/3 + 3 = 23, равны 8 и -8.{\ frac {1} {3}} [/ latex] — это еще один способ написания [latex] \ text {} \ sqrt [3] {8} [/ latex]. Умение работать с рациональными показателями — полезный навык, так как он очень применим в исчислении.

Мы можем решить уравнения, в которых переменная возведена в рациональный показатель степени, возведя обе части уравнения до обратной степени. Причина, по которой мы возводим уравнение к обратной величине экспоненты, заключается в том, что мы хотим исключить показатель степени в переменной составляющей, а число, умноженное на обратную величину, равно 1.{\ frac {3} {2}} = 8 [/ латекс].

Решение

экспоненциальных уравнений | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Решите экспоненциальное уравнение с общим основанием.
• Перепишите экспоненциальное уравнение так, чтобы все члены имели общую основу, а затем решите.
• Определите, когда у экспоненциального уравнения нет решения.
• Используйте логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.

Экспоненциальные уравнения

Первый метод, который мы представим для решения экспоненциальных уравнений, включает две функции с одинаковыми основаниями.{T} [/ latex] тогда и только тогда, когда S = T .

Другими словами, когда экспоненциальное уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, экспоненты должны быть равны. Это также применимо, когда показатели являются алгебраическими выражениями. Следовательно, мы можем решить множество экспоненциальных уравнений, используя правила экспонент, чтобы переписать каждую сторону как степень с тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции взаимно однозначны, чтобы установить показатели равными друг другу и найти неизвестное.{2x — 1} \ hfill & \ text {Использовать свойство деления экспонент} \ text {.} \ Hfill \\ 4x — 7 \ hfill & = 2x — 1 \ text {} \ hfill & \ text {Применить одно -to-one свойство экспонент} \ text {.} \ hfill \\ 2x \ hfill & = 6 \ hfill & \ text {Вычесть 2} x \ text {и добавить 7 к обеим сторонам} \ text {. {x + 1} = — 2 [/ latex].{x} = — 100 [/ латекс].

Показать решение

Уравнение не имеет решения.

Использование логарифмов для решения экспоненциальных уравнений

Иногда члены экспоненциального уравнения нельзя переписать с общим основанием. В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону. Напомним, что поскольку [latex] \ mathrm {log} \ left (a \ right) = \ mathrm {log} \ left (b \ right) [/ latex] равно a = b , , мы можем применять логарифмы с одинаковым основанием к обеим сторонам экспоненциального уравнения.

Практическое руководство: дано экспоненциальное уравнение. Если общая база не может быть найдена, решите неизвестное.

1. Примените логарифм к обеим частям уравнения.
   • Если один из членов уравнения имеет основание 10, используйте десятичный логарифм.
   • Если ни один из членов уравнения не имеет основания 10, используйте натуральный логарифм.
2. Используйте правила логарифмов, чтобы найти неизвестное. {x} [/ latex].{x} \ hfill & \ text {Взять ln с обеих сторон}. \ hfill \\ \ text {} \ left (x + 2 \ right) \ mathrm {ln} 5 = x \ mathrm {ln} 4 \ hfill & \ text {Используйте правило мощности для журналов}. \ hfill \\ \ text {} x \ mathrm {ln} 5 + 2 \ mathrm {ln} 5 = x \ mathrm {ln} 4 \ hfill & \ text {Используйте распространяемое свойство}. \ hfill \\ \ text {} x \ mathrm {ln} 5-x \ mathrm {ln} 4 = -2 \ mathrm {ln} 5 \ hfill & \ text {Получить термины, содержащие} x \ text { с одной стороны, термины без} x \ text {с другой}. \ hfill \\ x \ left (\ mathrm {ln} 5- \ mathrm {ln} 4 \ right) = — 2 \ mathrm {ln} 5 \ hfill & \ text {С левой стороны вычтите множитель} x.{x} [/ латекс]?

   Да. Решение: x = 0.

   Уравнения, содержащие [латекс] е [/ латекс]

   Один из распространенных типов экспоненциальных уравнений — это уравнения с основанием e . Эта константа снова и снова встречается в природе, математике, науке, технике и финансах. Когда у нас есть уравнение с основанием e с обеих сторон, мы можем использовать натуральный логарифм для его решения. {x} [/ latex] и [latex] y = \ mathrm {ln} \ left (x \ right) [/ latex] являются обратными функциями.{2т} [/ латекс].

   Показать решение

   [латекс] t = \ mathrm {ln} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) = — \ frac {1} {2} \ mathrm {ln} \ left (2 \ right ) [/ латекс]

   Посторонние решения

   Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение , которое является решением, которое является алгебраически правильным, но не удовлетворяет условиям исходного уравнения. Одна такая ситуация возникает при решении, когда логарифмируют обе части уравнения. В таких случаях помните, что аргумент логарифма должен быть положительным.{x} = 8 \ hfill & \ text {Отклонить уравнение, в котором степень равна отрицательному числу}. \ hfill \\ x = \ mathrm {ln} 8 \ hfill & \ text {Решите уравнение, в котором степень равна положительное число}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Анализ решения

   Когда мы планируем использовать факторинг для решения проблемы, мы всегда получаем ноль на одной стороне уравнения, потому что ноль имеет уникальное свойство: когда продукт равен нулю, один или оба фактора должны быть равны нулю. {x} = — 7 [/ latex], потому что положительное число никогда не равно отрицательному.{x} +2 [/ латекс].

   Показать решение

   [латекс] x = \ mathrm {ln} 2 [/ латекс]

   Вопросы и ответы

   У каждого логарифмического уравнения есть решение?

   Нет. Имейте в виду, что мы можем применить логарифм только к положительным числам. Всегда проверяйте наличие посторонних решений.

   Внесите свой вклад!

   У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

   Улучшить эту страницуПодробнее

   Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов

   Показательное уравнение включает в себя неизвестную переменную в показателе степени.В этом уроке мы сосредоточимся на экспоненциальных уравнениях, которые не требуют использования логарифма . В алгебре эта тема также известна как решение экспоненциальных уравнений с той же базой. Почему? Причина в том, что мы можем решить уравнение, заставив обе части экспоненциального уравнения иметь одинаковое основание. {\ color {red} N}}

   , затем {\ color {blue} M} = {\ color {red} N}

   • Другими словами, если вы можете выразить экспоненциальные уравнения так, чтобы они имели одинаковое основание с обеих сторон, то можно установить их степени или показатели равными друг другу.

   Вы также должны помнить о свойствах экспонент, чтобы успешно решать экспоненциальные уравнения.

   ---

   Основные свойства экспонент

   1) Нулевая собственность

   2) Свойство с отрицательной экспонентой

   3) Правило продукта

   4) Правило частного

   5) Правило власти над властью

   Давайте взглянем на несколько примеров!

   ---

   Примеры решения экспоненциальных уравнений без логарифмов

   Пример 1: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.3}.

Примените свойство отрицательной экспоненты.

• На этом этапе основания одинаковы, поэтому установите одинаковые мощности.

• Это простое линейное уравнение с одним шагом.

• Чтобы найти x, разделите обе части на 3. Вот и все!

Окончательный ответ здесь x = — 1.

Пример 2: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.8}.

Примените правило продукта слева, а правило мощности — справа.

• Здесь мы готовы установить равные силы друг другу, так как мы можем создавать единые базы, одинаковые с обеих сторон.

• Решите простое линейное уравнение.

• Вычтите обе стороны на 7x, чтобы выделить x. Сделанный!

Окончательный ответ: x = 3.

Пример 3: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.0} с использованием нулевого свойства экспоненты.

• Теперь у нас есть желаемая конфигурация — одинаковые основания с обеих сторон.

• Установите показатель степени в левой части уравнения равным степени в правой части, затем решите уравнение для переменной x.

• Чтобы решить уравнение, начните с добавления обеих частей на 12, чтобы переместить константу вправо.

• Наконец, разделите обе стороны на 4, чтобы получить значение x.3}
  • Примените свойство отрицательной экспоненты к левой части уравнения.
  • Умножьте внутренние показатели степени на внешние, используя Правило степени на степень.
  • Так как у них общая основа, сложите экспоненты с помощью правила продукта.
  • Очевидно, что, имея одну и ту же базу с обеих сторон, мы теперь можем установить каждую степень равной друг другу.
  • Решите линейное уравнение, сложив обе части на 6, чтобы получить x = 9.3}
    • Умножьте внутренний и внешний экспоненты, применив Степень к Правилу мощности.
    • На этом этапе мы можем добавить показатели в левой части уравнения, потому что теперь они имеют общие основания.
    • Примените правило произведения, добавляя экспоненты, когда основания равны.
    • Очевидно, мы можем положить степени обеих частей уравнения равными друг другу.
    • В результате получается простое многоступенчатое уравнение.
    • Итак, мы сначала добавляем 6x с обеих сторон. Затем вычтите на 4. И, наконец, разделите на — 1, чтобы полностью выделить x отдельно!

    Ответ: x = 7. Легкий!

    ---

    Пример 6: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

    Решение :

    • Выразите каждое число с основанием 2.

    Затем умножьте внутренний показатель степени на внешний показатель, используя правило степени на степень.

    • Чтобы сгенерировать единственное основание с левой стороны, используйте правило продукта — скопируйте общее основание 2 и добавьте экспоненты.
    • Это когда мы применяем Правило продукта.
    • После сложения экспонент мы получим по одной базе с каждой стороны.

    Пришло время установить равные мощности.

    • Приравняв степени, мы приходим к квадратному уравнению.

    Нам нужно переместить все члены на одну сторону, заставляя противоположную сторону равняться нулю.

    • Решите квадратное уравнение, используя метод разложения. Выносим за скобки 5 в трехчлене, затем выносим простой трехчлен как произведение двух биномов.
    • Используя свойство Zero, мы получаем эти значения для x.

    Правильные ответы: x = 2 и x = — 1.

    ---

    Пример 7: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

    Решение :

    • Выразите каждое число как экспоненциальное число с основанием 7.
    • Примените свойство отрицательной экспоненты с левой стороны.

    Кроме того, символ квадратного корня можно переписать как показатель степени \ large {1 \ over 2}.

    • Примените силу к правилу мощности с левой стороны.
    • Выразите левую часть одной базой с помощью правила произведения, скопировав общую базу и добавив экспоненты.
    • Теперь мы можем установить степени равными друг другу, а затем решить.
    • Чтобы решить относительно x, вычтите обе части на 2.
    • Чтобы закончить это, разделите обе стороны на 12.

    Окончательное решение: x = — {\ large {1 \ over 8}}.

    ---

    Пример 8: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

    Решение :

    • Выразите числа, используя основание 5.

    Затем умножьте внутреннюю и внешнюю экспоненты с помощью правила степени на степень.

    • Похоже, мы можем использовать правило частных, потому что у нас одинаковые основания числителя и знаменателя.
    • Вычтите показатель степени в числителе на показатель степени в знаменателе.

    Теперь можно установить «степени» или показатели равными друг другу, а затем решить квадратное уравнение.

    • Решите квадратное уравнение, разложив трехчлен на два бинома. Затем установите каждый бином равным 0, чтобы найти x.
    • Используя свойство нулевого произведения, мы получаем эти значения x.

    Окончательные ответы: x = — 3 и x = 2.

    ---

    Вам также может понравиться:

    Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов

    ---

    Практика с рабочими листами

    Как избавиться от экспонентов в алгебраическом уравнении

    Обновлено 30 ноября 2020 г.

    Лиза Мэлони

    Мало что вселяет страх в начинающего студента алгебры, например, видеть экспоненты — такие выражения, как y ² , x ³ или даже ужасающий y ^x — всплывают в уравнениях.Чтобы решить уравнение, вам нужно как-то убрать эти показатели. Но по правде говоря, этот процесс не так уж и сложен, если вы изучите ряд простых стратегий, большинство из которых основаны на основных арифметических операциях, которые вы использовали в течение многих лет. 2 + 4

    Вычтем 2 x ² из обеих частей уравнения.Поскольку вы выполнили одну и ту же операцию с обеими сторонами уравнения, вы не изменили его значение. Но вы фактически удалили показатель степени, в результате чего осталось:

    y — 5 = 4

    При желании вы можете завершить решение уравнения для y , добавив 5 к обеим сторонам уравнения, что даст вам:

    y = 9

    Часто проблемы не так просты, но это возможность, на которую стоит обратить внимание.

    Ищите возможности для разложения на множители

    Со временем, практикой и большим количеством математических классов вы соберете формулы для разложения на множители определенных типов многочленов.Это очень похоже на сбор инструментов, которые вы храните в ящике для инструментов, пока они вам не понадобятся. Хитрость заключается в том, чтобы научиться определять, какие многочлены можно легко разложить на множители. 3 — 25 = 2

    . Выделите показатель степени, прибавив 25 к обеим частям уравнения.3} = \ sqrt [3] {27}

    Что, в свою очередь, упрощается до:

    z = 3

    Степени и корни: экспоненциальные уравнения

    В следующем видео из нашей серии о полномочиях и корнях обсуждаются экспоненциальные уравнения. Так что смотрите! Расшифровка стенограммы ниже для справки.

    Экспоненциальные уравнения. Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменные указаны в показателях степени. Для решения большинства экспоненциальных уравнений требуется сложная математика, и они не участвуют в тесте.Тест даст нам только уравнения, которые можно решить, используя основные законы экспонент или корней, которые мы обсуждали в этом модуле.

    Так, например, 2 перед x равняется 16, это очень простое экспоненциальное уравнение. Это намного проще, чем вы могли бы увидеть на тесте. И, конечно же, мы можем решить эту проблему, если узнаем, что 16 — это степень двойки. Поэтому мы просто запишем 16 как 2 в четвертую. И тогда мы можем установить равные степени с обеих сторон, потому что основания равны с обеих сторон.

    Если вы видите экспоненциальное уравнение в тесте, скорее всего, у них будут переменные в показателях степени на каждой стороне уравнения. Итак, у нас есть переменные с одной стороны и просто константа с другой. Вы, вероятно, этого не увидите. Тем не менее, понимание последней проблемы можно обобщить. Если две степени с одинаковым основанием равны, тогда степени должны быть равны.

    Основная идея, используемая для решения экспоненциальных уравнений

    Итак, b к x = b к y, должно быть верно, что x = y.Это основная идея, которую мы будем использовать для решения экспоненциальных уравнений. Это правило работает для всех оснований, кроме 0 или + или — 1. И тест не даст вам экспоненциального уравнения с одним из этих чисел в качестве основы.

    Пример вопроса

    Вот практический вопрос, поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

    Итак, эти основания уже равны, у нас есть основание 7 с обеих сторон уравнения. Все, что нам нужно сделать, это установить равные степени и затем решить.

    Добавим x к обеим сторонам, разделим на 3, получим x = 2. Хорошо, если

    _{Image by New Africa}

    разобрались с этой проблемой. Но все же это легче, чем то, что тест ожидает от вас, чтобы узнать об экспоненциальных уравнениях. Тест никогда не выдаст вам экспоненциальное уравнение, в котором два основания уже равны. Видите ли, в той последней задаче он как бы вручил нам это на серебряном блюде?

    Настоящие тестовые задачи этого не делают. Они всегда будут давать вам две разные основы по разные стороны уравнения.Конечно, мы не можем применить одно и то же правило ловкости, если две базы не совпадают. Но тест всегда дает нам две базы, чтобы мы могли изменить одну или обе базы, чтобы сделать базы одинаковыми с обеих сторон.

    Так что я имею в виду? Давайте вернемся к последней проблеме, но представим ее так, как ее может выявить тест. Они могут дать вам нечто подобное. Если 49 до x = 7 до 6- x, то решите относительно x. Итак, обратите внимание, что две базы с каждой стороны уравнения больше не равны.У нас есть две разные базы.

    Но, конечно, это не так уж и плохо. Мы просто должны, конечно, признать, что 49 можно выразить как степень 7. Итак, я начну с этого уравнения и заменю это 49 на 7 в квадрате. И, конечно, я могу умножить на показатель степени, и теперь это похоже на реальную проблему, которую мы уже решили.

    Другими словами, просто сделав эту одну замену, мы сможем уравнять основания. Теперь мы можем приравнять показатели и решить.

    Дробные экспоненты: практическая задача первая

    Вот еще одна проблема в этом роде. Поставьте видео на паузу и работайте над этим.

    _{Изображение Стюарта Майлза}

    Конечно, мы должны переписать этот корень как дробную экспоненту, как мы узнали в предыдущем уроке. Итак, корень 5-й степени из 3, мы должны переписать его как 3 в степени одной пятой. Теперь умножим экспоненты. Теперь у нас равные базы. Итак, мы просто установим равные показатели, умножим на 5, а затем просто решим обычную алгебру.

    Иногда ни одна из основ не может быть записана как степень другой.

    Вместо этого обе базы можно записать как степень некоторого другого меньшего числа. На самом деле это самый распространенный сценарий теста. Безусловно, подавляющее большинство экспоненциальных уравнений в тесте имеют именно такую ​​форму. Два основания, и ни одно из них не может быть легко записано как степень другого, но оба могут быть записаны как степени третьего числа.

    Например, если бы у нас была некоторая степень 8 и некоторая степень 16, мы не можем записать 16 как степень 8, и мы не можем записать 8 как степень 16.Мы должны начать с признания того, что и 8, и 16 можно переписать как степень двойки. Таким образом, мы должны переписать каждое основание как степень общего меньшего числа. А затем, используя законы экспонент, мы можем привести все к равным основаниям и установить равные показатели.

    Дробные экспоненты: практическая задача два

    Вот практическая задача в этом роде. Итак, это проблема, которая может показаться на тесте. Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

    _{Изображение Bjoern Wylezich}

    Хорошо, хорошо, 27 и 81 — мы не можем записать 27 как степень 81 или 81 как степень 27.Первый шаг — признать, что и 27, и 81 являются степенями 3, и мы можем переписать их в степени 3.

    27 от 3 до 3-го, 81 от 3 до 4-го. Итак, мы просто перепишем уравнение в терминах степеней 3, умножив показатели с обеих сторон. Что ж, теперь у нас равные базы. Поскольку базы теперь равны, мы можем установить равные степени. А теперь это просто обычная алгебра.

    Мы раздадим, и мы получим 2x = 10, разделим на 2. x = 5 и вот ответ.Чтобы решить экспоненциальные уравнения, мы должны получить равные основания с обеих сторон. Это может включать выражение данных баз в виде полномочий меньших баз. Когда основания с обеих сторон равны, мы можем приравнять показатели и решить.

    О Майке MᶜGarry

    Майк создает уроки для экспертов и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания, специализирующегося на математике, естественных науках и стандартизированных экзаменах.Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы поддержать Нью-Йорк Метс.

    .