2 — 4 \cdot5\cdot5= 69\]

\[x_1 = \frac {13 + \sqrt 69}{2\cdot5}= 13/10 + \sqrt69/10\]

\[x_2 = \frac {13 — \sqrt 69}{2\cdot5}= 13/10 — \sqrt69/10\]

Получим ответ: \[x_1 = 13/10 + \sqrt69/10, x_2 = 13/10 — \sqrt69/10, x_3 = -1\]

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Онлайн калькулятор: Кубическое уравнение

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.
Канонический вид кубического уравнения:

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.
Формула Виета — способ решения кубического уравнения вида

Соответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

Кубическое уравнение

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

Итак, формула Виета (из Википедии)

Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1

Вычисляем:

Вычисляем:

Если S > 0, то вычисляем:

и имеем три действительных корня:

Если S < 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q

Q > 0:

(действительный корень)

(пара комплексных корней)

Q < 0:

(действительный корень)

(пара комплексных корней)

Если S = 0, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

По этим формулам калькулятор и работает. Решает вроде правильно, хотя решения с мнимой частью не проверял. Если что, пишите.

Как решать кубические уравнения? 3 способа, которые помогут на ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадах. | Открытый дневник репетитора

Рада приветствовать всех на своем канале!

Сегодня поговорим о важной теме — кубических уравнениях и способах их решений. В школах им несправедливо уделяется куда меньшее внимание по сравнению с другими типами уравнений (конечно же, я намекаю на линейные и квадратные ;)). Однако на экзаменах и олимпиадах без навыка решения кубических уравнений обойтись практически невозможно.

На ОГЭ, например, уравнения данного типа периодически встречаются в самом первом номере второй части. На ЕГЭ умение раскладывать кубический многочлен на множители может понадобиться в номерах 13, 15 или 18. Про олимпиады и говорить нечего: навык решения уравнений третьей степени просто необходим всем, кто хочет быть в призерах!

Ну что, начнём???

Кубическое уравнение имеет общий вид:

Рассмотрим 3 возможных способа его решения.

1-й способ — группировка

В отдельных случаях при удачном подборе коэффициентов с помощью группировки удается разложить кубический многочлен на множители, после чего легко находятся все корни уравнения.

Внимание! Любое кубическое уравнение всегда имеет от одного до трех действительных корней.

Рассмотрим пример, в котором удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

откуда находим, что уравнение имеет единственный корень x = 2,
так как вторая скобка при любом значении x принимает исключительно положительные значения.

Но в самом общем случае коэффициенты уравнения могут быть подобраны менее удачно, тогда решить его подобным способом не получится. В этом случае применим следующий алгоритм.

Более универсальный 2-й способ

• Ищем такой x, при котором вся левая часть уравнения обращается в ноль, т.е. находим подбором первый корень x_1. Практически всегда подходит одно из чисел: 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, 0.5, -0.5.
• Производим операцию деления многочлена на многочлен в столбик: делим исходный кубический многочлен на(x−x_1),
  где x_1 — корень, найденный в предыдущем пункте. В результате деления получаем квадратичную функцию, корни которой находятся без труда (дискриминант или теорема Виета всем в помощь).
• В ответ записываем корень x_1 и корни квадратичной функции, найденной во 2-м пункте.

Пример:

подбором находим, что корнем уравнения является число 1, т.е. y_1=1. Далее в столбик делим кубический четырехчлен, стоящий в левой части уравнения, на y−1 и получаем квадратичную функцию

Приравниваем её к нулю, решаем квадратное уравнение и находим еще два корня. В данном случае это числа 2 и 1. Таким образом, весь кубический многочлен можно записать в виде произведения:

Теперь прекрасно видно, что корнями исходного кубического уравнения являются числа 1 и 2, причем корень 1 имеет кратность, равную двум!

А как быть, если первый корень не находится подбором?

В этом случае помочь может только одно…

3-й способ — формула Кардано

Эта формула 100% сможет расколоть любое кубическое уравнение, даже с самыми страшными коэффициентами! Правда, есть у неё один минус… Она громоздкая и сложная. Настолько, что порой Вы задумаетесь, а так ли сильно хотите решить рассматриваемое уравнение 🙂

Если не испугались, то делюсь полезной ссылкой, по которой Вы сможете подробно ознакомиться с формулой Кардано, её выводом и примерами использования.

Именно эта формула, а точнее целый набор формул, находится внутри всех компьютерных программ, которые за считанные доли секунды способны выдать корни кубического уравнения. Однако, на экзаменах и олимпиадах полагаться приходится только на себя — никаких калькуляторов и прочих чудес техники…

В заключении статьи хочу предложить Вам проверить свои силы и закрепить пройденный материл. Для этого я приготовила три кубических уравнения. Попробуйте решить их разными способами 😉 Ответы жду в комментариях!

До скорых встреч!

P.s. На канале есть и другие публикации, которые могут быть Вам интересны:

Простые советы для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Разбираем самое «опасное» уравнение из первой части ЕГЭ по математике.

Лиге чемпионов посвящается. Подборка задач из ЕГЭ по математике с футбольным сюжетом.

Всё ли Вы знаете о ЕГЭ по математике?

ЕГЭ по математике 2020. Как это было. Подводим итоги.

Топ-5 отличий потенциального СТОбалльника ЕГЭ от обычного школьника

ЕГЭ 2021. Что год грядущий нам готовит.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

где a₀, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

      В развернутой форме эти решения записываются так:

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

      Таким образом,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

      Тогда получим

x³ – 6x² – 6x – 2 =
= (y + 2)³– 6(y + 2)² –
– 6(y + 2) – 2 =
= y³ + 6y² + 12y + 8 – 6y² –
– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
= y³ – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решение кубических уравнений методом разложения на множители

Пример 2. Решить уравнение -2x³ + 3x² — 4x — 9 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,

.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.

Таким образом, -2x³ + 3x² — 4x — 9 = (x + 1)(-2x² + 5x — 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x² + 5x — 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x² + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант

Ответ: -1.

Пример 3. Решить уравнение 2x³ — x² — 8x + 4 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x — 2.

Таким образом, 2x³ — x² — 8x + 4 = (x — 2)(2x² + 3x — 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 2) (2x² + 3x — 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x² + 3x — 2 = 0, получаем,

Ответ: -2,

, 2.

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x² + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Решить уравнение x³ + 2x² — 5x — 6 = 0.

Решение.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x — 2)(x² — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x + 1)(x² + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6=(x + 3)(x² — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x — 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Ответ: -3, -1, 2.

Пример 5. Решить уравнение 2x³ + x² — 5x + 2 = 0.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ = 

и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:

Если b=2, то c=-4, x₀ = 

. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x — )(2x² + 2x — 4) = 2(x — )(x — 1)(x + 2).

Если b = 3, то c = -2, x₀ = 1. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x — 1)(2x² + 3x — 2)=2(x — 1)(x — 

)(x + 2).

Если b = -3, то c = 1, x₀ = -2. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x + 2)(2x² — 3x + 1) = 2(x + 2)(x — 

)(x — 1).

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x — 

)(x — 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x = 

, x = 1.

Ответ: -2,

, 1.

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения  и  равносильны. Их корни совпадают:  или 

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Решим уравнение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену  Тогда 

С новой переменной уравнение стало проще:

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

Корни этого уравнения:  или 

Вернемся к переменной 

Если , то 

Отсюда 

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если , то  Получим квадратное уравнение для :

У этого уравнения два корня:  или  Это ответ.

Решим уравнение

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки 

Сделаем замену , тогда .

Тогда:

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

И еще одна замена: .

Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что

;  отсюда  ,  .

Если , то нет решений.

Если , то Тогда или

Если , то .

Если , то .

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

3. Решите уравнение

Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

.

Получили квадратное уравнение:

Если , то

Если , то

Ответ:

Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.

4. Решите уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:

.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

Ответ: -2; 1; 4.

У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.

Такой знак означает «или».

Запись читается как « или или ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

, где .

Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

Ответ: 2; 3; 4.

6. Решите уравнение

группируем слагаемые:

А если сделать замену ?

Тогда .

Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!

Если , то , нет решений.

Если , то

, .

Ответ: .

7. Решите уравнение

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим.

Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.

Теперь группируем слагаемые:

Сделаем замену .

Тогда

Получили уравнение . Легко!

Ответ:

Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные,  а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0   с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0

Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен — x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2×3-3=0x3-32=0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0

Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x=3326.

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Вид квадратного уравнения — Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A

Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0

Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:

5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910

Ответ:

x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.

Пример 3

Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.

Решение

Упростим выражение.

3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0

Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х=0.

Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:

Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что

2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0

Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:

±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36

Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида

13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0

Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.

Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:

Имеем, что

2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.

Ответ: x1=-12, x2,3=3.

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.

После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.

Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.

Отсюда следует, что

p=-B123+B2=—11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327—112·63+92=343108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y=-q2+q24+p3273+-q2—q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163

-3432163  имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

-3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2

Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32

Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76

Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.

Тогда получим пары: 7612+i·32  и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76

Значит,

x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3

Ответ: x1=-12,  x2,3=3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решение кубических уравнений — методы и примеры

Решение полиномиальных уравнений высшего порядка — важный навык для любого, кто изучает естественные науки и математику. Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.

В этой статье будет обсуждаться, как решать кубические уравнения, используя различные методы, такие как метод деления, теорема о множителях и факторизация по группировке.

Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма многочлена: ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены. Примеры полиномов: 3x + 1, x ² + 5xy — ax — 2ay, 6x ² + 3x + 2x + 1 и т. Д.

Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение третьей степени.
Общий вид кубической функции: f (x) = ax ³ + bx ² + cx ¹ + d. Кубическое уравнение имеет вид ax ³ + bx ² + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — постоянная.

Как решать кубические уравнения?

Традиционный способ решения кубического уравнения — свести его к квадратному уравнению, а затем решить его либо факторизацией, либо квадратной формулой.

Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два действительных корня , кубическое уравнение может иметь три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь реального решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

Два других корня могут быть действительными или мнимыми.

Всякий раз, когда вам задают кубическое уравнение или любое уравнение, вы всегда должны сначала преобразовать его в стандартную форму.

Например, если вам дано что-то вроде этого, 3x ² + x — 3 = 2 / x, вы перегруппируете в стандартную форму и запишете это как, 3x ³ + x ² — 3x — 2 = 0.Тогда вы сможете решить эту проблему любым подходящим способом.

Для лучшего понимания рассмотрим несколько примеров ниже:

Пример 1

Определите корни кубического уравнения 2x ³ + 3x ² — 11x — 6 = 0

Решение

Поскольку d = 6, то возможны множители 1, 2, 3 и 6.

Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.

f (1) = 2 + 3 — 11 — 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 — 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 — 22 — 6 = 0

Следовательно, x = 2 — это первый корень.

Мы можем получить другие корни уравнения, используя метод синтетического деления.
= (x — 2) (ax ² + bx + c)
= (x — 2) (2x ² + bx + 3)
= (x — 2) (2x ² + 7x + 3 )
= (х — 2) (2x + 1) (x +3)

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = -1/2 и x = -3.

Пример 2

Найдите корни кубического уравнения x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0

Решение

x ³ — 6x ² + 11x — 6

(x — 1) — один из факторов.

Разделив x ³ — 6x ² + 11x — 6 на (x — 1),

⟹ (x — 1) (x ² — 5x + 6) = 0

⟹ (х — 1) (х — 2) (х — 3) = 0

Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.

Пример 3

Решить x ³ — 2x ² — x + 2

Решение

Факторизуйте уравнение.

x ³ — 2x ² — x + 2 = x ² (x — 2) — (x — 2)

= (х ² — 1) (х — 2)

= (х + 1) (х — 1) (х — 2)

х = 1, -1 и 2.

Пример 4

Решите кубическое уравнение x ³ — 23x ² + 142x — 120

Решение

Сначала разложите многочлен на множители.

x ³ — 23x ² + 142x — 120 = (x — 1) (x ² — 22x + 120)

Но x ² — 22x + 120 = x ² — 12x — 10x + 120

= х (х — 12) — 10 (х — 12)
= (х — 12) (х — 10)

Следовательно, x ³ — 23x ² + 142x — 120 = (x — 1) (x — 10) (x — 12)

Приравняйте каждый множитель к нулю.

х — 1 = 0

х = 1

х — 10 = 10

х — 12 = 0

х = 12

Корни уравнения равны x = 1, 10 и 12.

Пример 5

Решите кубическое уравнение x ³ — 6 x ² + 11x — 6 = 0.

Решение

Чтобы решить эту задачу методом деления, возьмем любой множитель константы 6;

пусть x = 2

Разделите многочлен на x-2 до

.

(x ² — 4x + 3) = 0.

Теперь решите квадратное уравнение (x ² — 4x + 3) = 0, чтобы получить x = 1 или x = 3

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = 1 и x = 3.

Пример 6

Решите кубическое уравнение x ³ — 7x ² + 4x + 12 = 0

Решение

Пусть f (x) = x ³ — 7x ² + 4x + 12

Поскольку d = 12, возможные значения: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Методом проб и ошибок находим, что f (–1) = –1 — 7 — 4 + 12 = 0

Итак, (x + 1) — коэффициент функции.

x ³ — 7x ² + 4x + 12
= (x + 1) (x ² — 8x + 12)
= (x + 1) (x — 2) (x — 6)

Следовательно, x = –1, 2, 6

Пример 7

Решите следующее кубическое уравнение:

x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Решение

x ³ + 3x ² + x + 3
= (x ³ + 3x ² ) + (x + 3)
= x ² (x + 3) + 1 (x + 3 )
= (х + 3) (х ² + 1)

Следовательно, x = -1, 1-3.

Пример 8

Решить x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0

Решение

Разложить на множители

x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0 ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

Приравнивание каждого коэффициента к нулю дает;

х = 1, х = 2 и х = 3

Пример 9

Решить x ³ — 4x ² — 9x + 36 = 0

Решение

Факторизуйте каждый набор из двух терминов.

x ² (x — 4) — 9 (x — 4) = 0

Извлеките общий множитель (x — 4), чтобы получить

(x ² — 9) (x — 4) = 0

Теперь разность двух квадратов разложите на множители

(х + 3) (х — 3) (х — 4) = 0

Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

х = −3, 3 или 4

Пример 10

Решите уравнение 3x ³ −16x ² + 23x — 6 = 0

Решение

Разделите 3x ³ −16x ² + 23x — 6 на x -2, чтобы получить 3x ² — 1x — 9x + 3

= х (3x — 1) — 3 (3x — 1)

= (х — 3) (3x — 1)

Следовательно, 3x ³ −16x ² + 23x — 6 = (x- 2) (x — 3) (3x — 1)

Приравняйте каждый множитель к нулю, чтобы получить,

x = 2, 3 и 1/3

Пример 11

Найдите корни 3x ³ — 3x ² — 90x = 0

Решение

разложите на множитель 3x

3x ³ — 3x ² — 90x ⟹3x (x ² — x — 30)

Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Перепишите уравнение, заменив член «bx» выбранными множителями.

⟹ 3x [(x ² — 6x) + (5x — 30)]

Разложите уравнение на множители;

⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

= 3х (х — 6) (х + 5)

Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

х = 0, 6, -5

Решение кубических уравнений графическим методом

Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графически.Для этого вам необходимо иметь точный набросок данного кубического уравнения.

Точка (точки), где его график пересекает ось x, является решением уравнения. Количество реальных решений кубических уравнений равно количеству пересечений его графиком оси абсцисс.

Пример 12

Найдите корни x ³ + 5x ² + 2x — 8 = 0 графически.

Решение

Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:

f (x) = x ³ + 5x ² + 2x — 8

Вы можете видеть, что график срезает ось x в 3 точках, следовательно, есть 3 реальных решения.

На графике решения следующие:

х = 1, х = -2 и х = -4.

Практические вопросы

Решите следующие кубические уравнения:

1. x ³ — 4x ² — 6x + 5 = 0
2. 2x ³ — 3x ² — 4x — 35 = 0
3. x ³ — 3x ² — x + 1 = 0
4. x ³ + 3x ² — 6x — 8 = 0
5. x ³ + 4x ² + 7x + 6 = 0
6. 2x ³ + 9x ² + 3x — 4 = 0
7. x ³ + 9x ² + 26x + 24 = 0
8. x ³ — 6x ² — 6x — 7 = 0
9. x ³ — 7x — 6 = 0
10. x ³ — 5x ² — 2x + 24 = 0
11. 2x ³ + 3x ² + 8x + 12 = 0
12. 5x ³ — 2x ² + 5x — 2 = 0
13. 4x ³ + x ² — 4x — 1 = 0
14. 5x ³ — 2x ² + 5x — 2 = 0
15. 4x ³ — 3x ² + 20x — 15 = 0
16. 3x ³ + 2x ² — 12x — 8 = 0
17. x ³ + 8 = 0
18. 2x ³ — x ² + 2x — 1 = 0
19. 3x ³ — 6x ² + 2x — 4 = 0
20. 3x ³ + 5x ² — 3x — 5 = 0

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Как решать кубические уравнения

Обновлено 30 ноября 2018 г. 2 = 0

Решение с использованием Теорема о факторах и синтетическое деление

Самый простой способ решить кубическое уравнение включает в себя немного догадок и процесс алгоритмического типа, называемый синтетическим делением.2 — 2x + 24 = 0

Вы должны угадать одно из значений для x , но, поскольку a = 1, в этом случае вы знаете, что какое бы значение ни было, оно должно быть множителем 24. сначала такой множитель равен 1, но это оставит:

Что не равно нулю, а −1 оставит:

Что снова не равно нулю. Затем x = 2 даст:

Еще одна ошибка. Попытка x = −2 дает:

Это означает, что x = −2 является корнем кубического уравнения.Это показывает преимущества и недостатки метода проб и ошибок: вы можете получить ответ, не задумываясь, но это требует много времени (особенно если вам нужно перейти к более высоким коэффициентам, прежде чем найти корень). К счастью, когда вы нашли один корень, вы можете легко решить остальную часть уравнения.

Ключевым моментом является включение теоремы о множителях. Это означает, что если x = s является решением, то ( x — s ) является фактором, который может быть исключен из уравнения.2 + ax + b) = 0

Члены во второй группе скобок имеют форму квадратного уравнения, поэтому, если вы найдете подходящие значения для a и b , уравнение можно решить.

Этого можно достичь с помощью синтетического разделения. Сначала запишите коэффициенты исходного уравнения в верхней строке таблицы с разделительной линией и затем известным корнем справа:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline & & & & \ end {array}

Оставьте одну свободную строку, а затем добавьте горизонтальную линию под ней.Сначала возьмите первое число (в данном случае 1) до строки под горизонтальной линией

\ def \ arraystretch {1. 5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {array}

Теперь умножьте полученное вами число на известный корень. В этом случае 1 × −2 = −2, и это записывается под следующим числом в списке, как показано ниже:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {array}

Затем сложите числа во втором столбце и поместите результат под горизонтальной линией :

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {array}

Теперь повторите процесс, который вы только что прошли, с новым числом под горизонтальной линией: умножьте на корень, поместите ответ в пустое место в следующем столбце, а затем добавьте столбец, чтобы получить новое число в Нижний ряд. Это оставляет:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {array}

И затем пройдите процесс в последний раз. 2 — 7x + 12) = (x — 3) (x — 4)

Вы можете умножить это, чтобы проверить, если хотите. Не расстраивайтесь, если вы не можете сразу увидеть факторизацию; это требует немного практики. Это оставляет исходное уравнение как:

(x + 2) (x — 3) (x — 4) = 0

, которое, как вы можете сразу увидеть, имеет решения при x = −2, 3 и 4 (все из которых множители 24, исходная константа). Теоретически можно также увидеть всю факторизацию, начиная с исходной версии уравнения, но это намного сложнее, поэтому лучше найти одно решение методом проб и ошибок и использовать описанный выше подход, прежде чем пытаться обнаружить причину. факторизация.2}

r = {c \ above {1pt} 3a}

Использование этой формулы занимает много времени, но если вы не хотите использовать метод проб и ошибок для решения кубического уравнения, а затем квадратную формулу, это действительно работает, когда вы проходите через все это.

Кубическая формула

Кубическая формула

Кубическая формула
(Решите любое полиномиальное уравнение 3-й степени)

Я размещаю это в Интернете, потому что некоторые студенты могут
нахожу это интересным. Это легко можно было бы упомянуть в
много курсов по математике, хотя это не кажется
появиться в большинстве учебников, используемых для этих курсов.
Ни один из этих материалов я не обнаружил. —
ES

Вы должны знать, что решение ax ² + bx + c = 0 равно

Аналогичная формула существует для многочленов степени
три: Решение ax ³ + bx ² + cx + d = 0 является

(Подобная формула была впервые опубликована Кардано в 1545 году.)
Или, короче,

х = {q + [q ²
+ (р-п ² ) ³ ] ^1/2 } ^1/3
+ {Q — [q ²
+ (р-п ² ) ³ ] ^1/2 } ^1/3
+ П

где

p = -b / (3a), q = p ³ + (bc-3ad) / (6a ² ), r = c / (3a)

Но я не , а не рекомендую вам запомнить эти формулы.

Помимо того, что это слишком сложно, там
другие причины, по которым мы не обучаем этой формуле
студентам-математикам. Одна из причин в том, что
мы стараемся не учить их сложным
числа. Комплексные числа (т. Е. Точки лечения
в самолете цифрами) — это более сложная тема,
лучше оставить для более продвинутого курса. Но тогда
только числа, которые нам разрешено использовать в исчислении
являются действительными числами (т. е. точками на линии).
Это накладывает на нас некоторые ограничения — например,
мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного
номер. Теперь у формулы Кардана есть недостаток
что он может принести в игру такие квадратные корни
на промежуточных этапах вычислений, даже если те
числа не фигурируют в задаче или ответе на нее.

Например, рассмотрим кубическое уравнение
х ³ -15x-4 = 0. (Этот пример был
упомянутый Бомбелли в его книге в 1572 году.)
У этой проблемы есть настоящая
коэффициенты, и он имеет три действительных корня
за его ответы. (Подсказка: один из корней
небольшое положительное целое число; теперь ты можешь найти все
три корня?)
Но если мы применим к этому примеру формулу Кардано,
мы используем a = 1, b = 0, c = -15, d = -4, и мы находим, что
нам нужно извлечь квадратный корень из -109 в
итоговое вычисление. В конечном счете,
квадратные корни отрицательных чисел сократят
позже в вычислении, но это вычисление
не может быть понят изучающим математику без
дополнительное обсуждение комплексных чисел.

Аналогичная формула существует и для многочленов от
степень 4, но записывать гораздо хуже; Я не буду
даже попробуйте здесь.

Не существует аналогичной формулы для многочленов степени
5.Я не имею в виду, что никто не нашел формулы
еще; Я имею в виду, что в 1826 году Абель доказал, что не может
быть такой формулой. Проблема в том, что функции
не делай достаточно того, что тебе нужно
решение всех уравнений 5-й степени. (Представьте себе калькулятор
в нем не хватает нескольких кнопок; есть несколько видов
расчеты, которые вы не можете сделать на нем.) Вам нужно как минимум
еще одна функция. Одна из таких функций, например,
функция, обратная f (x) = x ⁵ + x.(Есть
другие функции, которые также будут работать, и некоторые из них
математикам интереснее по разным
причины, но мне нравится этот, потому что его можно описать
в довольно элементарных терминах. ) Эта функция вместе
с функциями
и сложение, вычитание,
умножения и деления достаточно, чтобы получить формулу
для решения общего многочлена 5-й степени
уравнение через коэффициенты многочлена
— я.е., аналог квадратичной формулы 5-й степени.
Но это ужасно сложно; Я даже не хочу думать
о записи.

Решение многочленов

Полином выглядит так:

Решение

«Решить» — значит найти «корни» …

… «корень» (или «ноль») — это когда функция равна нулю :

Между корнями функция либо полностью выше,
, либо полностью ниже, ось x

Пример: −2 и 2 — корни функции x

² -4

Проверим:

• , если x = −2, тогда x ² — 4 = (−2) ² — 4 = 4 — 4 = 0
• , если x = 2, то x ² — 4 = 2 ² — 4 = 4 — 4 = 0

Как, , мы решаем многочлены? Это зависит от градуса !

Степень

Первый шаг решения полинома — найти его степень.

Степень полинома с одной переменной …

… наибольший показатель этой переменной.

Когда мы знаем степень, мы также можем дать многочлену имя:

Степень	Имя	Пример	График выглядит как
0	Константа	7
1	Линейный	4x + 3
2	Квадратичный	x 2 −3x + 2
3	Кубический	2x 3 −5x 2
4	Quartic	x 4 + 3x − 2	…
и т. Д.	…	…	…

Как решить

Итак, теперь мы знаем степень, как решить?

• Прочтите, как решить линейные многочлены (степень 1), используя простую алгебру.
• Прочтите, как решить квадратичные полиномы (степень 2), не прикладывая усилий,
• Может быть трудно решить уравнения кубической (степень 3) и четвертой (степень 4),
• И, кроме того, может быть невозможно решать многочлены напрямую.

Итак, что нам делать с теми, которые мы не можем решить? Попробуйте решить их по частям!

Если мы найдем один корень, мы можем затем уменьшить многочлен на одну степень (пример ниже), и этого может быть достаточно, чтобы решить весь многочлен.

Вот несколько основных способов найти корни.

1. Основы алгебры

Мы можем решить, используя основную алгебру:

Пример:

2x + 1

2x + 1 — линейный многочлен:

График y = 2x + 1 представляет собой прямую линию

Он линейный, поэтому корень один.

Решите по алгебре:

«Корень» — это когда y равно нулю: 2x + 1 = 0

Вычтем 1 из обеих частей: 2x = −1

Разделим обе части на 2: x = −1/2

И вот решение:

х = -1/2

(Вы также можете это увидеть на графике)

Мы также можем решать квадратичные многочлены, используя базовую алгебру (прочтите эту страницу для объяснения).

2. Опытным путем или просто догадками.

Всегда полезно посмотреть, сможем ли мы сделать простой факторинг:

Пример: x

³ + 2x ² −x

Это кубический размер … но подождите … мы можем вычесть «x»:

x ³ + 2x ² −x = x (x ² + 2x − 1)

Теперь у нас есть один корень (x = 0), а то, что осталось, является квадратичным, и мы можем точно решить его.

Или мы можем заметить знакомую закономерность:

Пример: x

³ −8

Опять же, это куб. .. но это еще и «разница двух кубиков»:

x ³ −8 = x ³ −2 ³

Итак, мы можем превратить это в следующее:

x ³ −8 = (x − 2) (x ² + 2x + 4)

Имеется корень в x = 2, потому что:

(2−2) (2 ² + 2 × 2 + 4) = (0) (2 ² + 2 × 2 + 4)

И затем мы можем решить квадратичную x ² + 2x + 4, и мы закончили

3.Графически.

Изобразите полином и посмотрите, где он пересекает ось x.

Построение графиков — хороший способ найти приблизительные ответы, и нам также может повезти и мы найдем точный ответ.

Внимание: прежде чем приступить к построению графика, вы должны действительно знать, как ведут себя полиномы, чтобы найти все возможные ответы!

Факторы

Это полезно знать: Когда многочлен разложен на множители следующим образом:

f (х) = (х-а) (х-б) (х-с). ..

Тогда a, b, c и т. Д. — это корни !

Итак, линейные факторы и корни связаны, мы знаем один и можем найти другой.

(Подробности см. В Теореме о множителях.)

Пример: f (x) = (x

³ + 2x ² ) (x − 3)

Мы видим «(x − 3)», и это означает, что 3 является корнем (или «нулем») функции.

Конечно?

Что ж, поставим «3» вместо x:

f (x) = (3 ³ + 2 · 3 ² ) (3−3)

f (3) = (3 ³ + 2 · 3 ² ) (0)

Да! f (3) = 0, поэтому 3 — корень.

Как проверить

Нашли рут? Проверь!

Просто поместите корень вместо «x»: многочлен должен быть равен нулю.

Пример: 2x

³ −x ² −7x + 2

Многочлен имеет степень 3, и его может быть сложно решить. Итак, давайте сначала построим график:

Кривая пересекает ось x в трех точках, и одна из них может находиться в 2 . Мы можем легко проверить, просто поставьте «2» вместо «x»:

f (2) = 2 (2) ³ — (2) ² −7 (2) +2
= 16−4−14 + 2
= 0

Да! f (2) = 0 , значит, мы нашли корень!

Как насчет того, где он пересекает около −1,8 :

f (−1,8) = 2 (−1,8) ³ — (- 1,8) ² −7 (−1,8) +2
= −11,664−3,24 + 12,6 + 2
= −0,304

Нет, не равно нулю, поэтому −1.8 не будет рутом (но может и близко!)

Но мы, , действительно, обнаружили один корень, и мы можем использовать это, чтобы упростить многочлен, например, этот

Пример (продолжение): 2x

³ −x ² −7x + 2

Итак, f (2) = 0 является корнем … это означает, что мы также знаем коэффициент:

(x − 2) должен быть множителем 2x ³ −x ² −7x + 2

Затем разделите 2x ³ −x ² −7x + 2 на (x − 2), используя полиномиальное деление в длину, чтобы найти:

2x ³ −x ² −7x + 2 = (x − 2) (2x ² + 3x − 1)

Итак, теперь мы можем решить 2x ² + 3x − 1 как квадратное уравнение, и мы будем знать все корни.

Последний пример показал, насколько полезно найти только один корень. Помните:

Если мы найдем один корень, мы сможем уменьшить многочлен на одну степень , и этого может быть достаточно, чтобы решить весь многочлен.

Как далеко влево или вправо

При попытке найти корни, , как далеко мы должны идти влево и вправо от нуля?

Есть способ сказать, , и нужно сделать несколько вычислений, но все это простая арифметика.Прочтите Границы нулей, чтобы узнать все подробности.

У нас есть все корни?

Существует простой способ узнать , сколько существует корней . В фундаментальной теореме алгебры говорится:

Многочлен степени n …
…
имеет n корней (нулей)
, но нам может потребоваться использовать комплексные числа

Итак: количество корней = степень полинома .

Пример: 2x

³ + 3x — 6

Степень равна 3 (поскольку наибольший показатель степени равен 3), поэтому:

Всего 3 корней.

Но некоторые корни могут быть сложными

Да, действительно, некоторые корни могут быть комплексными числами (т. Е. Иметь мнимую часть) и поэтому не будут отображаться как простое «пересечение оси x» на графике.

Но есть интересный факт:

Сложные корни всегда попадают в пары !

Таким образом, мы получаем либо без комплексных корней , либо 2 комплексных корней, либо 4 и т. Д. … Никогда нечетное число.

Это означает, что мы знаем это автоматически:

Степень	Корни	Возможные комбинации
1	1	1 Настоящий корень
2	2	2 настоящих корня, или 2 сложных корня
3	3	3 действительных корня, или 1 действительный и 2 комплексных корня
4	4	4 действительных корня, или 2 действительных и 2 комплексных корня, или 4 комплексных корня
и т. Д.		и т. Д.!

Положительные или отрицательные корни?

Существует также специальный способ узнать, сколько корней отрицательных или положительных , называемое Правилом знаков, о котором вы, возможно, захотите прочитать.

Кратность корня

Иногда фактор встречается более одного раза. Мы называем это Кратность :

Кратность — это частота, с которой определенный корень участвует в факторинге.

Пример: f (x) = (x − 5)

³ (x + 7) (x − 1) ²

Это можно было бы записать более подробно, например:

f (x) = (x − 5) (x − 5) (x − 5) (x + 7) (x − 1) (x − 1)

(x − 5) используется 3 раза, поэтому кратность корня «5» равна 3 , аналогично (x + 7) появляется один раз, а (x − 1) появляется дважды.Итак:

• корень +5 имеет кратность 3
• корень −7 имеет кратность 1 («простой» корень)
• корень +1 имеет кратность 2

Q: Почему это полезно?
A: Это заставляет график вести себя особым образом!

Когда мы видим такой множитель, как (x-r) ⁿ , «n» — это кратность, а

• четная кратность просто касается оси в точке «r» (и в противном случае остается на одной стороне оси x)
• нечетная кратность пересекает ось в точке «r» (изменяется от одной стороны оси x к другой)

Это видно на графике:

Пример: f (x) = (x − 2)

² (x − 4) ³

(x − 2) имеет четную кратность , поэтому он просто касается оси в точке x = 2

(x − 4) имеет нечетную кратность , поэтому он пересекает ось в точке x = 4

Как это:

Сводка

• Мы можем напрямую решать многочлены степени 1 (линейная) и 2 (квадратичная)
• Для степени 3 и выше могут быть полезны графики
• Также полезно:
  • Знайте, насколько далеко вправо или влево могут быть корни
  • Знать, сколько корней (равно его степени)
  • Оценить, сколько может быть сложных, положительных или отрицательных
• Множественность — это то, как часто определенный корень является частью факторинга.

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2 — Квадратные уравнения

Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени

Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение
показано здесь?

x ³ — x ² 4x + 4 = 0

Существует чрезвычайно сложная формула решения
кубические уравнения.Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут
использоваться для решения кубических уравнений.

Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью
факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a,
b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом:

x ³ — x ² 4x + 4 = (x
— а) (х — б) (х — в) = 0

Умножая скобки, видим, что константа
Член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе.

abc = 4

Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому
не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать.

У нас есть только следующие возможности:

1, 2 и 4

Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них
являются решениями уравнения.

f (1) = 1 ³ — 1 ² 4 × 1 +
4 = 0 1 — решение

f (-1) = (-1) ³ — (-1) ²
4 × (-1) + 4 = 6

f (2) = 2 ³ — 2 ² 4 × 2 +
4 = 0 2 — решение

f (−2) = (−2) ³ — (−2) ²
4 × (−2) + 4 = 0 −2 — решение

Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно
попробуйте 4 и −4 как кубический
уравнение имеет максимум три решения.

Эти три числа дают нам значения a, b и c и
мы можем факторизовать уравнение.

x ³ — x ² 4x + 4 = (x
— 1) (х — 2) (х + 2) = 0

Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями
(можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти
целые числа являются решениями уравнения.
К сожалению, мы не можем предполагать, что решения уравнения третьей степени являются
все целые числа.
Однако, если мы можем найти одно целочисленное решение, допустим, что это x = a, тогда
Теорема остатка, мы знаем, что (x — a) является фактором уравнения. Мы
можно найти другой множитель, квадратичный множитель, путем деления. Затем мы можем решить квадратное уравнение, используя
формула решения квадратиков.

Пример 1

Решите уравнение x ³ — 3x ² 2x + 4 = 0

Ставим числа, кратные 4
в уравнение, чтобы проверить, верны ли какие-либо из них.

f (1) = 1 ³ — 3 × 1 ²
2 × 1 + 4 = 0 1 — решение

f (−1) = (−1) ³ — 3 × (−1) ²
2 × (-1) + 4 = 2

f (2) = 2 ³ — 3 × 2 ²
2 × 2 + 4 = −4

f (−2) = (−2) ³ — 3 × (−2) ²
2 × (−2) + 4 = −12

f (4) = 4 ³ — 3 × 4 ²
2 × 4 + 4 = 12

f (−4) = (−4) ³ — 3 × (−4) ²
2 × (−4) + 4 = −100

Единственное целочисленное решение — x = 1. Когда мы
нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять другие числа, потому что
теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x — 1) и попытавшись решить
квадратичный получаем из деления.

Теперь мы можем разложить наши
выражение следующим образом:

x ³ — 3x ² 2x + 4 =
(х — 1) (х ² —
2х — 4) = 0

Теперь нам остается решить квадратичную
уравнение.

x ² — 2x — 4 = 0

Используем формулу квадратиков с a = 1, b =
−2 и c = −4.

Мы нашли все три решения
уравнение x ³ — 3x ² 2x + 4 =
0. Это: эфтирфаранди:

.

х = 1

x = 1 + 5

x = 1 — 5

Пример 2

Мы можем легко использовать тот же метод для решения
уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени. Решите уравнение f (x) = x ⁴ — x ³ — 5x ² + 3x + 2 = 0.

Сначала мы находим целые множители
постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1
и 2.

f (1) = 1 ⁴ — 1 ³ — 5 × 1 ² + 3 × 1 + 2 = 0
1 — это решение

f (−1) = (−1) ⁴ — (−1) ³ — 5 × (−1) ² + 3 × (−1) + 2 = −4

f (2) = 2 ⁴ — 2 ³ — 5 × 2 ² + 3 × 2 + 2 = −4

f (−2) = (−2) ⁴ — (−2) ³ — 5 × (−2) ² + 3 × (−2) + 2 = 0 ср. нашли вторую
решение.

Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x —
1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа.
Сначала разделим на x + 2

Теперь разделите полученное
кубический коэффициент по x — 1.

Теперь мы разложили
f (x) = x ⁴ — x ³ — 5x ² + 3x + 2 на
f (x) = (x + 2) (x — 1) (x ² — 2x — 1) и только
Осталось решить квадратное уравнение

x ² — 2x — 1 = 0.Мы используем
формула с a = 1, b = −2 и c = −1.

Всего найдено четыре решения.
Их:

х = 1

х = -2

х = 1 +

х = 1 —

Иногда мы можем решить
уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель
что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере.

Пример 3.

Решите уравнение x ³ — 2x ² — 4x + 8 = 0

x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0 (x 3 — 2x 2 ) — (4x — 8) = 0 [x 2 (x — 2) — 4 (x — 2)] = 0 (x — 2) [x 2 — 4] = 0 (х — 2) (х — 2) (х + 2) = 0

Здесь скобка (x — 2) является общим множителем и может быть вынесена за пределы общая скобка.

Обратите внимание, что скоба (x
— 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 — это
поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это:

х = 2 и х = -2 .

Лауснир: x = 2 og x = −2 .

Примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, являются
уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1.

Как мы
иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент — какое-то другое число?

Общая форма — f (x)
= ax ³ + bx ² + cx + d, где a, b, c и d — целые числа.

Мы можем искать целочисленные решения в том же
как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем
целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше.

Если ни один из факторов d не дает нам решения
затем мы ищем решения, которые являются дробями.
Предположим, есть дробное решение, и назовем его
решение x = t / n.

Это означает, что x — t / n является фактором
f (x), или, если мы умножаем на n, то xn — t является множителем.

Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn.
— t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его
Ax ² + Bx + C.

Теперь у нас есть результат

ax ³ + bx ² + cx + d = (xn
— t) (Ax ² + Bx + C)

сравнение коэффициентов х ³ на
обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем
а.
Аналогично, сравнивая постоянные члены, мы видим, что
d = −tC и, следовательно, t является множителем d.

Мы заключаем, что любая дробь является решением
кубическое уравнение ax ³ +
bx ² + cx + d должен иметь вид t / n, где t — множитель числа d, а n —
фактор числа a.

Обобщение для функции степени n:

ф (х)
= a _n x ⁿ + a _{n − 1} x ^{n − 1} +
× × × × + а ₁ х
+ ₀

с коэффициентами a ₀ ,
a ₁ , a ₂ , × × × × × a _{n − 2} ,
_{n − 1} и _n .

Если эта функция имеет рациональное решение,
скажем, t / n, тогда t — коэффициент ₀ , а n — коэффициент _n .

Пример 4

Решите уравнение f (x) = 2x ³ — 7x ² + 4x + 3 = 0.

Возможные целые корни f (x) — это
делители 3, они равны 1
и 3.
Дроби, которые могут быть корнями, — это эти четыре числа, разделенные на множители
2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам нужно рассмотреть, — это , 1, ³ / ₂ и 3.

Сразу видно, что нам не нужно
рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не
0.

Теперь попробуем другие возможности

f () = 2 () ³ — 7 () ² + 4 × + 3 = 3

f (1) = 2 × 1 ³ — 7 × ² + 4 × 1 + 3 = 2

ф ( ³ / ₂ )
= 2 ( ³ / ₂ ) ³ — 7 ( ³ / ₂ ) ² + 4 × ³ / ₂ + 3 = 0, поэтому мы нашли решение.

x = ³ / ₂ — это решение, поэтому (x — ³ / ₂ ) является фактором.
Разделение на (x — ³ / ₂ ) может быть трудным. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x — 3). Если (x
— ³ / ₂ ) является
фактор

, тогда (2x — 3).

Теперь нам нужно решить уравнение x ² — 2x — 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2.
Решения: 1 + 2 og 1 — 2.

Итак, мы нашли три решения. Их:

х = ³ / ₂ = 1

х = 1 + 2

х = 1 — 2

Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для
следите за своей работой.

Решение кубических уравнений

Решение кубических уравнений

Эта страница предназначена для чтения после двух других: одна на
что значит решить уравнение
а другой об алгебраических числах,
расширения полей и связанные с ними идеи.

Представим, что мы сталкиваемся с кубической
уравнение x ³ + ax ² + bx + c = 0. Решить
это уравнение означает записать формулу для его корней,
где формула должна быть выражением, построенным из
коэффициенты a, b и c и фиксированные действительные числа (то есть
числа, не зависящие от a, b и c) с использованием только сложения,
вычитание, умножение, деление и извлечение
корнеплоды.

Как и на других страницах, я постараюсь показать, что
такую ​​формулу можно получить, следуя стандартным
математические инстинкты, без загадочных
вспышки вдохновения.Я, конечно, не утверждаю, что
любой здравомыслящий человек должен уметь вывести формулу
через час или два — найти правильный `стандартный математический
инстинкт »обычно включает в себя несколько попыток, которые не работают.
Тем не менее, список подходящих, которые можно попробовать в любом конкретном
ситуация обычно не слишком долгая. Если ты молод и амбициозен
и пока не умею решать кубики, я бы порекомендовал иметь
или, возможно, прочитав краткий путь к этой странице, а затем
имея ходьбу. Ваши шансы на успех через несколько часов равны
наверное выше, чем вы думаете.

Начнем с одного из самых полезных (и очевидных)
общие принципы решения задач в математике.

Если вы пытаетесь решить проблему, посмотрите, не
может адаптировать известное вам решение к аналогичной проблеме.

Используя этот принцип, можно избежать начала
чесать каждую новую проблему. Важно не
сложность самой проблемы, но сложность
разница между проблемой и прочими
проблемы, решения которых известны.

Решение квадратичных

В этом случае совершенно очевидно, что аналогичный
Проблема, которую мы должны решить, — это найти решение
квадратное уравнение x ² + 2ax + b = 0. (у меня
поставьте множитель 2 просто для удобства — конечно, это
математически не имеет значения.) Как мы это делаем?
Что ж, «наблюдаем», что

x ² + 2ax + b = (x + a) ² + b-a ²

, что быстро приводит к решению

x = -a +/- (a ² -b) ^1/2

Было ли это замечание умным? Будет полезно остановиться на
это более элементарный вопрос, прежде чем продолжить с кубической. Итак, давайте представим, что мы даже не умеем решать квадратичные уравнения.
Одна из идей, которая может привести нас к решению, заключается в следующем.
После просмотра общего уравнения x ² + 2ax + b = 0
и не имея идей, мы возвращаемся к следующему вопросу.

Есть ли особые случаи, которые я знаю, как решить?

Затем, смущаясь, мы замечаем, что мы
может решить уравнение, когда a = 0. То есть мы можем решить
уравнение x ² + b = 0 (потому что нам разрешено брать
квадратные корни).Далее, возможно, отметим, что если b = a ² , то
у нас есть уравнение x ² + 2ax + a ² = 0,
которое можно переписать (x + a) ² = 0. Как только мы
заметили это, мы поймем, что помогает не то, что
правая часть равна нулю, но левая часть равна
идеальный квадрат. Следовательно, мы можем решить (x + a) ² = b
для любого b. Это дает нам целое семейство квадратиков, которые
мы можем решить, поэтому мы были бы зол, если бы не задали следующий вопрос.

Существуют ли квадратные уравнения, которые не могут быть
записывается в виде (x + a) ² = b?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вернуть его в исходное
формы, умножив скобку и
переходя b в левую сторону.Это дает нам уравнение
x ² + 2ax + a ² -b = 0. Тогда ясно
что мы можем сделать 2a любое число, какое захотим, и что, выполнив
Итак, мы можем сделать ² -b любое другое число, какое захотим. Так
квадратичная решена.

Если вы думаете, что он просил слишком многого, чтобы заметить это
уравнение x ² + 2ax + a ² = 0 может
быть решенным, то вот другой путь. Это не займет много времени
любопытство задаться вопросом, является ли 1 + 2 ^1/2 алгебраическим
число или много таланта, чтобы заметить, что если x = 1 + 2 ^1/2
тогда (x-1) ² = 2.Обобщение этого примера приводит к
быстро к наблюдению, что уравнения вида
(x + a) ² = b можно решить.

Предварительное упрощение куб.

Каким было бы естественное обобщение на кубики
процесс завершения квадрата? Чтобы ответить на вопрос
такого рода часто бывает полезна следующая тактика.

Дайте общее описание того, что это
хотелось бы обобщить.

Я попытаюсь проиллюстрировать, что я имею в виду, просто делая это.Чтобы завершить квадрат, нужно отметить, что
(x + a / 2) ² = x ² + ax + a ² /4,
так что мы можем написать любую квадратичную, которая начинается x ² + ax
как (x + a / 2) ² плюс константа. Чтобы поставить это другое
Таким образом, если мы положим y = x + a / 2, то y удовлетворяет квадратному уравнению
особенно простой формы y ² + C = 0. Из
Конечно, как только мы решили уравнение для y, это
легко получить решение для x, так как x очень простой
линейная функция от y.

Что было проще в уравнении для y? Есть два
разумные ответы на этот вопрос, и это стоит
глядя на них обоих. Во-первых, следует отметить, что
уравнение для y включает только y ² и константу
термин — поэтому замена x на y позволяет нам предположить, что
коэффициент линейного члена равен нулю. Второй
очевиднее — это проще, потому что, позволяя себе
извлекать квадратные корни мы заявили, что уравнения
форма y ² + C = 0 может быть решена одним штрихом.

Эта мысль приводит к двум вопросам.

1. Есть ли аналогичный способ упростить кубический
чтобы некоторые коэффициенты стали равными нулю?

2.Есть ли аналогичный способ упростить кубический
так что он принимает вид y ³ + C = 0?

Ответ на вопрос 1 найти несложно. Если
y = x + t, затем y ³ = x ³ + 3tx ²
+ 3т ² x + т ³ . Следовательно, если t = a / 3, то
кубический x ³ + ax ² + bx + c банка
можно переписать как y ³ + py + q, где (для
сколько стоит) р = б-3т ² и
q = c-bt + 2t ³ . Написав это с точки зрения
a имеем p = b-a ² /3 и q = c-ab / 3 + 2a ³ /27.

Что касается второго вопроса, мы можем начать думать о
это, задав себе следующее прямое обобщение
вопроса, который мы задавали о квадратиках.

Существуют ли кубические уравнения, которые не могут быть
записывается в виде (x + a) ³ = b, и
если да, то какие?

Расширяя и вычитая, мы обнаруживаем, что легко можем
решить уравнения вида

x ³ + 3ax ² + 3a ² x
+ a ³ — b = 0

Когда уравнение

x ³ + ax ² + bx + c = 0

такого типа? Сравнивая его с предыдущим
мы видим, что он имеет требуемый вид, если пара (a, b) имеет
form (3s, 3s ² ) для некоторого s, что есть тогда и только
если ² = 3b.Естественно возникает следующий вопрос.

Можно ли заменить x некоторым y = x + t таким образом, чтобы
y удовлетворяет кубике с a ‘ ² = 3b’ (где a ‘и b’ —
коэффициенты при y ² и y соответственно).

Этот подход выглядит многообещающим, поскольку t дает нам одну степень
свободы, и все, что мы хотим, это одно условие — чтобы ‘ ² -3b’
должно быть равно нулю. Ответить на вопрос очевидно, поэтому позвольте
мы идем и делаем это. Записывая x = y-t и подставляя, получаем
уравнение

(y-t) ³ + a (y-t) ² + b (y-t) + c = 0

, который преобразуется в

y ³ + (a-3t) y ²
+ (b-2at + 3t ² y) + c-bt + at ² + t ³

Это дает нам a ‘= a-3t и b’ = b-2at + 3t ² .Следовательно,

a ‘ ² -3b’ = a ² -6at + 9t ²
-3b + 6at-9t ² = a ² -3b.

Мы показали, что не может изменить количество
a ² -3b, сделав замену вида y = x + t. В другом
словами, ответ на вопрос 2 выше — нет, по крайней мере, когда «подобным образом»
означает, что мы должны использовать такую ​​замену. Слегка
Более изящный способ сказать, что ² -3b не меняется, — это позвонить
это инвариант .

Это досадная случайность, что ² -3b является инвариантом?
Дальнейшее размышление дает нам причину этого явления и показывает, что
было глупо ожидать, что кубик может быть решен так просто.
Возможно, вы уже заметили, что ² -3b = -3p, где p было
коэффициент при линейном члене, который мы получили при преобразовании
cubic x ³ + ax ² + bx + c в более простую кубическую
y ³ + py + q. Мы выбрали y равным x + a / 3, и легко увидеть
что никакой другой выбор не привел бы к коэффициенту y ²
быть нулевым.Следовательно, обнаруженный нами инвариант имеет интерпретацию
(как и следовало ожидать): это коэффициент линейного
срок, когда квадратичный член был удален заменой
форма y = x + t.

Но теперь очевидно, что эта величина является инвариантом. После
все, если я заменяю y = x + s (на любые s), а затем спрашиваю, что
дальнейшая замена z = y + r удалит квадратичный член, ответ
состоит в том, что z = x + r + s и r + s должно быть a / 3. Следовательно, p, которое я получаю
для y совпадает с p, которое я получаю для x.

Тупик и как его выйти.

Собственно, заранее было очевидно, что второй подход
к решению кубики было обречено на провал, так как если бы это было возможно
чтобы «завершить куб», тогда каждый кубик будет иметь форму
(х + а) ³ + б. Но если бы это было правдой, то почему бы нам
замучили преобразовать кубический в ту форму?
Итак, кубик не только собрать невозможно, но и невозможно.
по простым и веским причинам. С другой стороны, не
завершение куба естественное обобщение завершения
квадрат? Теперь, когда мы попробовали и потерпели неудачу, это как
хотя мы упустили наш главный шанс решить кубику (которая была
чтобы увидеть, как мы решили квадратичную и адаптировать наш метод).

Однако такое пораженческое отношение часто бывает ошибкой.
Возможно, можно даже выразить эту точку зрения с другим генералом
принцип.

Может быть много способов адаптировать или обобщить доказательство.

Но как, спросить, искать разные
обобщения? Позвольте мне изменить предыдущее предложение.

Опишите аргумент, что
хотелось бы обобщить. Объясните, почему это сработало. Делать
объяснение более расплывчатое и более общее, а затем попытайтесь найти
разные аргументы, которые работают по одним и тем же (более расплывчатым) причинам.

Чтобы мы могли применить это на практике, позвольте мне еще раз
опишите, как решить квадратичную.

Пусть y = x + a / 2. Тогда y удовлетворяет квадратному уравнению
особенно простой формы y ² + C = 0.
После того, как мы решили это уравнение относительно y, мы получим
легко получить решение исходного уравнения для x,
поскольку x — очень простая линейная функция от y.

Почему в целом это сработало? Нам нужно два
свойства y. Во-первых, y должен удовлетворять уравнению, которое
мы знали, как решать, а во-вторых, x должен зависеть от y
простым способом — чтобы, узнав y, мы могли
Икс.

Если мы хотим перенести этот подход на кубическую, то
у нас должны быть четкие ответы на следующие два вопроса.

(i) Какие уравнения мы можем решить?

(ii) Как мы готовы позволить y зависеть от x?

Ответ на первый вопрос, который мы более или менее знаем
уже. Мы можем решать линейные и квадратные уравнения, и
также кубические уравнения, если они имеют красивую форму
х ³ + С = 0. Что касается второго, то до сих пор мы рассматривали
подстановки вида y = x + t.Какие еще замены
могло ли там быть?

Я отвечу на этот вопрос еще одним освященным веками
метод, который встречается во всей математике.

Сделайте самое общее, что только можете вообразить.
Затем, когда вы обнаружите, что вам нужны определенные свойства, сделайте
что вы сделали более конкретным, представив эти свойства.

Предположим, что мы делаем замену y = f (x). (Это
трудно понять, как мы можем быть более общими, чем это.) Разрешите нам
Предположим, что это приводит к уравнению для y, которое мы можем решить.
Когда знание y будет полезно? Ответ очевиден — когда
мы можем решить уравнение y = f (x) относительно x через y. Но мы
знать, какие уравнения мы можем решить — линейные, квадратичные и
простые кубические уравнения. Мы уже пробовали линейные замены
и увидели их ограничения, поэтому остались два разумных
возможности для f (x). Один — x ² + ax + b (это не
трудно понять, что давая x ² другой коэффициент
не будет иметь существенного значения), а другой
это x ³ + c.

Следуя некоторым очень общим методам решения проблем, мы
к идее, которая определенно нова. Немного отойдя, мы
понял, что важная вещь о замене y = x + t в
решение квадратичного не в том, что оно волшебным образом сработало, или что оно
был линейным, но обратимым в том смысле, что мы могли дать
формула для x через y. Тупик теперь сломан в смысле
что у нас есть подход, который можно попробовать с кубикой. Может и не сработать, но
иметь подход, который может работать или не работать, намного лучше, чем иметь
вообще никакого подхода.

Замена, решающая кубический.

Если линейная подстановка сработала для квадратных уравнений,
то, что звучит более вероятно для кубических уравнений —
квадратичная подстановка или особый вид кубической
подмена? Почему-то квадратичный более перспективен,
поскольку это соответствует общему описанию получения степени один
меньше, чем у уравнения, которое вы пытаетесь решить.
Это не особо убедительный аргумент, но
худшее, что может случиться, это то, что мы пробуем это, а это не так.
Работа.Итак, давайте посмотрим, что мы можем получить с заменой
y = x ² + ux + v.

Теперь мы столкнулись с проблемой. Мы надеемся, что вы
удовлетворить кубику особенно простой формы. Но разве это
очевидно, что удовлетворяет любой куб? Если вы это сделаете
не нахожу это очевидным, тогда это тот момент, когда он будет
помогите прочитать мою страницу на
алгебраические числа, потому что там я неоднократно использовал
уловка, которая работает и здесь (и которая, я подчеркиваю,
естественно возникла в этом контексте).

Мы знаем, что x удовлетворяет уравнению

x ³ + ax ² + bx + c = 0

Но это означает, что каждый раз, когда мы записываем многочлен
в x мы можем заменить x ³ на -ax ² -bx-c,
x ⁴ by -ax ³ -bx ² -cx и так далее.
То есть каждое полиномиальное выражение от x равно некоторому
квадратичная функция от x. Но у ² и у ³
являются полиномиальными функциями от x и, следовательно, равны квадратичным
единицы.Это тривиально верно и для 1 и y. Следовательно
числа 1, y, y ² и y ³ — все
форма rx ² + sx + t. Чтобы y удовлетворял кубике, мы
нужна нетривиальная линейная комбинация 1, y, y ²
и y ³ равняется нулю. Чтобы получить это, нам нужно решить
три однородных линейных уравнения с четырьмя неизвестными, которые мы
всегда можно сделать.

Итак, теперь мы можем более точно описать возможный метод:
пусть y = x ² + ux + v, выработайте y ² и
y ³ через x, свести их к квадратикам
используя тот факт, что x ³ = -ax ² -bx-c,
найти нетривиальную линейную связь между
1, y, y ² и y ³ , выпишите
соответствующая кубическая y ³ + dy ² + ey + f in y
и наконец (самая важная часть) ловко выберите u и
v таким образом, чтобы d ² = 3e.

У нас нет гарантии, что это сработает, потому что это
может случиться так, что, как это случилось с линейными подстановками, там
просто — это без выбора u и v, что делает
d ² равно 3e, а может быть и так, хотя
такой выбор существует, зависимость u и v от
a, b и c настолько сложны, что мы не знаем, как
решить полученные уравнения. Разумно не
слишком беспокоиться о первой потенциальной трудности,
потому что теперь у нас есть дополнительная степень свободы, и
похоже, нет аргументов, говорящих нам, что
это никак не может помочь.Однако, если ты сейчас уйдешь
и попытайтесь проработать детали изложенного аргумента
выше, вы увидите, что усложнение — это что-то одно
обязательно стоит побеспокоиться. Действительно, может показаться, что после
некоторое время, чтобы проработать u и v у вас будет
для решения квинтики .

Позвольте мне понять, что просто погрузиться в
плохая идея. В любом случае это еще одно хорошее решение проблемы.
стратегия, чтобы попробовать более простые (но менее общие) подходы
во-первых, на всякий случай они работают. Итак, как мы можем сделать
вышеприведенные расчеты выполнимы?

Одна очевидная идея — использовать упрощение, которое мы получили ранее:
с таким же успехом можно предположить, что a = 0.Это позволит нам заменить
x ³ по -px-q. На самом деле немного приятнее сказать, что
x ³ = px + q, что мы можем сделать, изменив определения p
и q. А как насчет замены y = x ² + ux + v? Хорошо,
помня об обнаруженном ранее инварианте, мы должны реализовать
что y удовлетворяет кубике, которую мы можем легко решить тогда и только тогда, когда y-v
делает. Так что мы могли бы также сэкономить на алгебре, установив v = 0. В другом
словами, мы не только упростим вычисления, установив
y = x ² + ux, мы даже не теряем общности.

Вот некоторые вычисления, которые возникают, когда начинаешь с
уравнение x ³ = px + q, устанавливает y = x ² + ux и
пытается найти кубику, удовлетворяющую y. Делая это напрямую (что
есть, вычислив y ² и y ³ и решив
некоторые системы уравнений) по-прежнему неприятно, но
расчетами можно управлять, упрощая их по мере продвижения
вдоль, как это сделано ниже. Я также сэкономлю время, написав C на
означают константу (в зависимости от p, q и u), которая может варьироваться от
от строки к строке.

x ³ = px + q

y = x ² + ux

y ² = x ⁴ + 2x ³
+ u ² x ²

= (u ² + p) x ² + (2up + q) x + 2uq

= (u ² + p) y + (up + q-u ³ ) x + 2uq

y ³ = (u ² + p) y ²
+ (вверх + q-u ³ ) xy + 2uqy

= (u ² + p) y ²
+ (вверх + q-u ³ ) (x ³ + ux ² ) + 2uqy

= (u ² + p) y ²
+ (вверх + q-u ³ ) (ux ² + px) + 2uqy + C

= (u ² + p) y ²
+ (up + q-u ³ ) (uy + (p-u ² ) x) + 2uqy + C

Из предыдущей строки у нас есть

(up + q-u ³ ) x
= y ² — (u ² + p) y + C

, значит это равно

(u ² + p) y ²
+ (up + q-u ³ ) uy + (p-u ² ) (y ² — (u ² + p) y)
+ 2uqy + C

= 2py ² + (u ² p + 3uq-p ² ) y + C

Таким образом, y удовлетворяет кубическому уравнению

y ³ -2py ²
— (u ² p + 3uq-p ² ) y-C = 0

, и все, что осталось решить, это выбрать ли u
таким образом, что

(-2p) ² = -3 (u ² p + 3uq-p ² )

, то есть такое, что

3pu ² + 9qu + p ² = 0

Это, будучи квадратичным по u, может быть решено.Используя это
При значении u получается кубика по y, которую можно «дополнить».
Это дает решение y. Тогда x можно вычислить из
y, решив еще одну квадратичную.

Конечно, получившаяся формула, если ее вычислить,
было бы довольно неприятно, и теперь я должен сказать это лучше
были обнаружены методы (с различными заменами)
которые позволяют упростить вычисления и получить более точные ответы. Они
легко найти в Интернете, но у всех есть
«волшебное» качество в них.Я также должен сказать, что я не
обсудили досадную проблему, что не все «решения»
которые возникают с помощью вышеуказанного метода, обязательно будут решениями,
поскольку знание y не определяет x однозначно.

Просто чтобы посмотреть, как могут быть другие разумные замены,
вернемся к вопросу о том, какие из них позволяют рассчитать
Икс. Мы отметили, что мы могли бы это сделать, если бы y была квадратичной функцией
из х. Но это не было абсолютно необходимо, даже если бы мы могли
решать только квадратные уравнения.Например, если y были определены
неявно на x ² + uxy + v = 0, тогда зная y, все равно
позволяют нам определить x.

На самом деле, самый простой метод работает полностью
другая причина. Это предполагает замену другим способом — на
установка x = w + p / 3w (когда уравнение x ³ = px + q)
и обнаружив, что полученное уравнение относительно w является квадратичным
в ш ³ . Этот метод описан более подробно.

здесь . У меня нет убедительного объяснения того, как
это было обнаружено.

Как решать уравнения 1-й, 2-й и 3-й степени

При изучении математики мы можем столкнуться с задачей решения различных типов уравнений, поэтому в этом посте мы увидим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.

Содержание:

• Возможные варианты решений
• Решение уравнений первой степени
• Решение уравнений второй степени
• Решение уравнений третьей степени
• Заключение

Возможные варианты решений

Во-первых, нам нужно понять, каковы возможные решения для решения уравнений, вот они:

Мы определяем как набор возможных решений уравнения.

1-Нет решения: некоторые уравнения не имеют решения, т. Е. Для переменной невозможно значение, позволяющее сделать уравнение проверенным или истинным. Вот пример:

Упростим уравнение, умножив на круглые скобки, получим

и вычитая из обеих частей, мы получаем 6 = 10, что неверно, и поэтому мы делаем вывод, что для этого уравнения нет решения, т.е. пусто или.

2- Уникальное решение: уравнения могут иметь уникальное решение, которое его проверяет, что означает, что существует одно и только одно значение, которое переменная должна принимать, чтобы уравнение стало истинным.Вот несколько примеров:

Пример 1:

, вычитая 5 с обеих сторон, получаем

и разделив на 3 обе стороны, получим

Вот это решение, которое мы ищем, и оно уникальное. — единственное значение, при котором уравнение становится истинным,.

Пример 2:

Путем вычитания из обеих частей, чтобы исключить в правой части уравнения, получаем

и прибавив 14 к обеим сторонам, мы получим, разделив на 4, мы получим одно и только одно значение для i.е. .

3- Множественные решения: уравнения могут иметь несколько решений, где есть несколько значений для проверки уравнения, вот пример этого:

мы можем произвести умножение скобок и получить

Используя факторизованную запись уравнения, чтобы правая часть была равна 0, одна из двух круглых скобок должна быть равна 0, и для этого у нас есть два случая:

Либо, вычитая 5, получаем, а при делении на 2 получаем

или прибавив 3 для обеих сторон, получим.

Итак, у нас есть два возможных решения этого уравнения.

4- Бесконечные решения. Уравнение с бесконечными решениями — это уравнение, которое всегда проверяется независимо от значения. Давайте взглянем на следующий пример:

, упростив обе стороны, получаем

, а затем

путем вычитания с обеих сторон получим.

Путем упрощения уравнения, которое мы получили, оно всегда верно, оно не зависит от значения, поэтому независимо от значения уравнения всегда верно, и, поскольку он имеет бесконечное количество возможных значений, у нас есть бесконечные решения для этого уравнения. .

Теперь, увидев различные варианты количества возможных решений, давайте посмотрим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.

Решение уравнений первой степени

Определение

Мы называем уравнением первой степени каждое уравнение, записанное следующим образом:

Где — переменная, и — действительные числа, отличные от 0.

Обратите внимание, что некоторых уравнений первой степени нет в этой форме, но после упрощения она всегда заканчивается формой, приведенной выше.

Мы называем это уравнением первой степени из-за того, что переменная начинается в степени 1, и это наивысшая степень переменной в уравнении, то есть.

Алгебраический метод

Чтобы решить уравнение первой степени, мы сначала упростим его, если оно не упрощено, чтобы получить форму, а затем все, что нам нужно, это передать b в другую сторону и разделить на a, то есть

и вот решение уравнения

Пример:

Упростим уравнение

, то получаем форму

, а решение — i.е. .

Геометрический метод

Мы можем решить уравнение геометрически, рассматривая обе части уравнения как уравнение с прямой линией, что означает, что левая часть является линейным уравнением, а правая часть — линейным уравнением.

Затем мы можем нарисовать обе линии в ортометрической плоскости, и мы проведем линию и линию, которые эквивалентны оси x (потому что ось x является линией с)

(т.е.) означает точку, где две линии пересекаются, поэтому, нарисовав линию и выбрав место пересечения с осью x, мы получим наше решение, и это то же самое, что и алгебраический метод.

Пример:

Решим уравнение

Проведем линию по уравнению

Мы выбираем 2 значения и получаем соответствующее значение, а затем наносим на график две точки на плоскости, и на новой рисуем линию, проходящую через две точки, и координату точки пересечения линии и оси x является решением уравнения.

Решение уравнений второй степени

Определение

Мы называем уравнением второй степени, каждое уравнение стандартной формы с и является действительными числами, отличными от нуля.Это уравнение называется уравнением второй степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 2 (т. Е.).

Факторинг до умножения двух уравнений первой степени

Метод решения уравнения второй степени состоит в том, чтобы записать его в форме умножения двух уравнений первой степени и решить его, найдя решение для двух уравнений первой степени.

Как разложить на множители уравнение второй степени?

Если мы рассмотрим уравнение второй степени, например, следующее

Итак, чтобы перейти от правой формы к левой факторизованной форме, нам нужно выяснить значения и знать значение и из правой формы.Давайте попробуем пример:

Нам нужно разделить на 2, чтобы убрать множитель и получить форму

итак, получаем:

Теперь, имея эту форму, мы знаем, что и.

Итак, нам нужно найти два числа, их сумма равна 10, а их произведение равно 21.

У нас есть и 21 может быть записано как произведение как или, а поскольку должно быть равно 10, то у нас есть значения и, которые составляют и.

После этого все, что нам нужно сделать, это написать уравнение в форме.

итак, получаем:

Теперь решение простое, так как у нас есть произведение двух первой степени, равное нулю, тогда мы точно знаем, что либо первый член произведения равен нулю, либо второй равен нулю, то есть либо, либо, мы решаем каждую член первой степени левой части, получаем:

и, следовательно, у нас есть два решения уравнения второй степени,.

Мы можем проверить, указав значение или, как показано ниже:

Решение уравнения второй степени с использованием дискриминанта

Дискриминант уравнения мы называем выражением, обычно оно обозначается буквой i.е. .

В зависимости от знака дискриминанта мы можем определить количество и значение — если оно есть — из решений, и возможные случаи следующие:

1- Если дискриминант строго положительный (), то уравнение имеет два разных решения, и решениями являются:

.

Пример:

Определим решения уравнения:

Мы оцениваем:

, так что у нас

Мы заключаем, что уравнение имеет два различных решения, и они следующие:

2- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один двойной корень, что означает, что уравнение имеет два одинаковых решения, поэтому одно повторное (или удвоенное) решение.Решение дается следующим образом:

Пример:

Определим решения уравнения:

, оценивая получаем:

Мы заключаем, что уравнение имеет одно решение, и решение:; .

Причина, по которой мы называем это решение двойным корнем или повторяющимся решением, потому что уравнение на самом деле может быть записано как произведение одного и того же многочлена первой степени и, следовательно, того же решения для двух многочленов первой степени.

Если мы возьмем предыдущий пример, у нас будет:

3-Если дискриминант строго отрицательный (), то уравнение не имеет решений.

Пример:

Решим уравнение

, оценивая получаем:

У нас есть, поэтому мы заключаем, что уравнение не имеет решения (потому что мы не можем извлечь квадратный корень из дельты, поскольку он отрицательный).

Решение уравнения второй степени с использованием алгебраических тождеств

В этом методе мы используем алгебраическое тождество

,

где — переменное, а — действительное число.

Чтобы решить уравнение, выполните следующие действия:

1- Делим обе стороны на, получаем:.

2- Отнимаем с каждой стороны, получаем:.

3- Мы прибавляем значение (т.е. квадрат одной половины) к обеим сторонам, и получаем:

.

4- Теперь у нас есть левая часть, записанная как Расширение алгебраического тождества, поэтому мы можем записать левую часть следующим образом:

.

5- Мы извлекаем квадратный корень из обеих частей и решаем уравнение.

Для лучшего объяснения воспользуемся этим методом на примере:

Сначала делим на 3, получаем:.

Во-вторых, отнимаем 4 с обеих сторон, получаем:.

В-третьих, прибавляем к обеим сторонам, получаем:.

Упрощаем правую часть:

,

,

.

Далее, запишем левую часть как алгебраическое тождество, получим:.

В-пятых, извлекаем квадратный корень из обеих частей, получаем:.

В-шестых, вычитаем с обеих сторон, получаем:.

И поэтому у нас есть два решения уравнения второй степени, решения:

.

Геометрическое решение

, мы можем построить график функции и искать значения, используя программное обеспечение для построения графиков или графический калькулятор.

Построив график функции, мы получим график, представляющий собой параболу, решение уравнения эквивалентно определению значения для точек пересечения графика с осью x.Всего три корпуса:

• Во-первых, график пересекается с осью x в двух точках, что означает, что уравнение имеет два различных решения (соответствует случаю, когда).
• Во-вторых, график пересекается с осью x только в одной точке, что означает, что уравнение имеет одно двойное решение (соответствует случаю, когда).
• В-третьих, график не пересекается с осью x, что означает, что уравнение не имеет решений (соответствует случаю, когда).

На следующем рисунке показаны три возможных случая:

Решение уравнений третьей степени

Определение

Мы называем уравнением третьей степени или кубическим уравнением, каждое упрощенное уравнение имеет следующую стандартную форму:

где ,,, и — действительные числа, отличные от 0.

Это называется уравнением третьей степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 3 (т. Е.).

Решение уравнения третьей степени

По количеству возможных решений, в отличие от уравнений первой и второй степени, уравнение третьей степени имеет по крайней мере одно решение. Алгебраически причина в том, что член с наивысшей степенью, т.е. перерастает остальные члены и стремится к бесконечности с обеих сторон в зависимости от знака, что означает, что для очень малых отрицательных значений для () стремятся, а для очень больших положительных значения для () имеют тенденцию к (или наоборот, в зависимости от знака коэффициента члена), это означает переход от одной бесконечности к другой, пройдя через ноль хотя бы один раз.Возможны три случая: одно, два или три решения.

Для решения уравнения третьей степени было бы полезно знать одно решение (или корень) для начала. Зная одно решение (помните, что каждое кубическое уравнение имеет по крайней мере одно решение), мы переходим к факторизации уравнения третьей степени в произведение многочлена первой степени (используя известное нам решение) на многочлен второй степени. На данный момент мы не знаем коэффициентов многочлена второй степени, поэтому мы выясняем их значение, а затем решаем уравнение второй степени и, следовательно, получаем решения уравнения третьей степени.

Для лучшего понимания давайте попробуем решить это уравнение:

зная, что это решение.

Так как это решение, то левая часть уравнения третьей степени может быть разложена на произведение полинома первой степени на полином второй степени, что означает, что мы можем записать уравнение в форме:

Теперь нам нужно найти значения и, чтобы сделать это, мы используем первую развернутую форму полинома третьей степени, т.е.е.

, развернув левую часть, получим:

Поскольку обе стороны теперь находятся в стандартной форме, необходимо выяснить значения, и. Все, что нам нужно сделать, это приравнять каждый коэффициент слева к соответствующему коэффициенту справа, другими словами:

Теперь определяем значения и:

Итак, у нас

тоже так

мы имеем, заменив a на 1, мы находим, что

Следовательно, имеем значения,,.

, поэтому теперь факторизованная форма выглядит следующим образом:

Теперь осталось решить уравнение второй степени

, используя любой из методов, которые мы видели ранее, мы получаем два решения

Следовательно, уравнение третьей степени имеет три различных решения, и уравнение может быть записано в факторизованной форме

.

Как мы упоминали ранее, есть три возможных случая для количества решений: одно, два или три решения, и, поскольку мы начинаем с известного решения, для определения количества решений приходит полином второй степени, и он идет следующим образом:

• Если многочлен второй степени не имеет решения, то у нас есть только одно решение, с которого мы начали.
• В случае, если многочлен второй степени имеет одно решение (удвоенный корень), то для уравнения третьей степени у нас есть всего два решения: одно, с которого мы начали, и одно, полученное от многочлена второй степени.
• Если многочлен второй степени имеет два различных решения, то у нас всего три решения: одно, с которого мы начали, плюс два из многочлена второй степени.

Обратите внимание, что в случае, если константа в стандартной форме третьего уравнения равна нулю, это означает, что уравнение имеет форму

, мы знаем, что это решение, так как каждый термин имеет

, следовательно, нам не нужно проходить весь процесс, чтобы определить коэффициенты второй степени, мы просто берем фактор и получаем нашу факторизованную форму, как показано ниже

с, а уже известны и определять их не нужно, поэтому приступаем непосредственно к решению уравнения второй степени.

Пример:

решим уравнение

, поскольку константы нет, принимаем в качестве множителя

Мы знаем, что это решение, поэтому приступаем к решению уравнения второй степени

, используя один из методов, показанных до того, как мы получим два решения или.

Мы заключаем, что уравнение имеет три решения, и факторизованная форма есть.

геометрическое решение

Геометрически причина, по которой уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение, состоит в том, что график переходит от к или наоборот (от к), и поэтому мы уверены, что график пересекается с осью x по крайней мере один раз.

Чтобы решить уравнение третьей степени, мы можем построить график функции и искать значения, используя программное обеспечение для построения графиков или графический калькулятор.

Решение уравнения эквивалентно определению значения для точки пересечения графика и оси x. Возможны три случая:

1. График пересекается только в одной точке с осью x, поэтому уравнение имеет только одно решение.