Как решить графически систему уравнений 9 класс: Графический метод решения системы уравнений. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Содержание

Графический способ решения систем уравнений

Графиками
таких уравнений могут являться различные линии.

Решить
систему
— значит найти все её решения или доказать, что их
нет.

Определение:

Решением
системы
называется пара значений переменных, обращающая
каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство.

Пример.

Нужно
проверить, обращают ли пара значений уравнения системы в верные равенства.

1.               
Первая
пара (-2, 1). Подставим их в систему:

Первое
уравнение обратилось в верное равенство, а второе — нет. Значит, пара чисел
(-2;1) не является решением данной системы.

2.               
Вторая
пара (1;-2). Поставим эти значения в систему:

Получаем
два верных равенства. Значит, пара чисел (1;-2) является решением данной
системы.

Пример.

Решить
систему двух уравнений:

Изобразим
график системы:

Видим,
что графики пересеклись в двух точках. Их координаты и являются решением
системы. Данная система имеет два решения: (0;3) и (3;0).

Проверим,
действительно ли они являются решениями. Подставим эти значения в систему:

Проверка
необходима потому, что графический метод позволяет получить приближённые
значения. Иногда их сложно указать точно.

Получили
две пары значений: (0;3) и (3;0).

Пример.

Решить
систему уравнений:

Изобразим
график системы:

Точку
пересечения этих графиков имеет координаты (0;1). Подставим значения в систему:

Получили
верные равенства. Значит, решением данной системы является пара чисел (0;1).

Пример.

Решить
систему двух уравнений:

Изобразим
график системы:

Видим
две точки пересечения. Их координаты трудно указать точно. Поэтому прежде чем
записать ответ, полученные значения нужно подставить в систему:

Решением
системы будут две пары чисел(2,5;2,5) и (6,5;6,5).

Конспект урока по алгебре «Графический способ решения систем уравнений» 9 класс

Предмет: Алгебра

Тема: Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Класс: 9 класс
Педагог: Улицкая Ю.И.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока:

дидактические:

  • открыть совместно с учащимися новый способ решения систем уравнений;

  • вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;

  • уметь определять сколько решений имеет система уравнений;

  • учить находить решения системы уравнений графическим способом;

  • повторить построение графиков элементарных функций;

  • создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

воспитательные:

  • воспитание ответственного отношения к труду,

  • аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Повторение.

  1. Что такое функция? 

  2. Что называется графиком функции?

  3. Какие виды функций вы знаете?

  4. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?

  5. Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?

  6. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?

  7. Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?

  8. Каким уравнением задается уравнение окружности?

  9. Что называют графиком уравнения с двумя переменными;)

  10. Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой).

  11. Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.

  12. Выразите переменную у через переменную х:
    а) у – х² = 0
    б) х + у + 2 = 0
    в) 2х – у + = 0
    г) ху = -12

  13. Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
    а) х² +у = 1;
    б) ху + 3 = х;
    в) у(х +2) = 0.

  14. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

  15. Какая из пар чисел является решением системы уравнений   
    а) (6; 3)
    б) (- 3; — 6)
    в) (2; — 1)
    г) (3; 0)

  16. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
    а) 2х – у = 3
    б) 3х – 2у = 5
    в) х² + у² = 4
    г) ху = 2

III. Актуализация знаний учащихся по изученному материалу

Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

  • Что является графиком уравнения x² + y²=25?

  • Что является графиком уравнения y = — x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² +2x +5.

  • Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?

  • Сколько точек пересечения у данных графиков?

  • Сколько решений имеет данная система?

  • Назвать эти решения?

  • Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Применение изученного способа решения систем уравнений.

1. Решить графически систему уравнений 

Постановка наводящих вопросов:

  • Что является графиком уравнения ху = 3?

  • Что является графиком уравнения 3х – у =0?

  • Сколько точек пересечения имеют данные графики?

  • Сколько решений имеет данная система уравнений?

  • Назвать решения данной системы уравнений?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение.

Постановка наводящих вопросов:

  • Запишите систему, определяемую данными уравнениями?

  • Сколько точек пересечения имеют данные графики?

  • Сколько решений имеет данная система уравнений?

  • Назвать решения данной системы уравнений?

3. Выполнение задание из ОГЭ 

4. Решить графически систему уравнений 

а)   б) 

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

5. Тест. 

V. Итоги урока.

  • Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

  • С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными вы познакомились?

  • В чём его суть?

  • Дает ли данный способ точные результаты?

  • В каком случае система уравнений не будет иметь решений?

VI . Домашнее задание.

П. 11, № 11.33-11.36

Конспект урока для 9 класса «Графический способ решения систем уравнений»

Открытый бинарный урок (алгебра и информатика) по теме:

Графический способ решения систем уравнений

(9-й класс)

Учебник: Алгебра, 9 класс, под редакцией Теляковского С.А.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений, навыков.

Учитель информатики: Плинк Е.Н.

Цели урока:

Образовательные: Выработать умение самостоятельно применять знания в комплексе, переносить их в новые условия, в том числе работать с электронной таблицей для построения графиков функции и нахождения количества корней в заданных уравнениях.

Развивающие: Формировать у учащихся умение выделять основные признаки, устанавливать сходства и различия. Обогащать словарный запас. Развивать речь, усложняя её смысловую функцию. Развивать логическое мышление, познавательный интерес, культуру графического построения, память, любознательность.

Воспитательные: Воспитывать чувство ответственности за результат своего труда. Учить сопереживать успехам и неудачам одноклассников.

Средства обучения: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

План урока:

  1. Организационный момент. Домашнее задание – 2 мин.

  2. Актуализация, повторение, коррекция знаний — 8 мин.

  3. Изучение нового материала – 10 мин.

  4. Практическая работа – 20 мин.

  5. Подведение итогов – 4 мин.

  6. Рефлексия – 1 мин.

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент – 2 мин.

Постановка темы, целей и задач урока.

Учитель сообщает классу о том, что на уроке будет изучаться и ставит задачу научиться решать системы уравнений с двумя переменными графическим способом.

Задание на дом (П.18 № 416, 418, 419 а).

  1. Повторение теоретического материала – 8 мин.

А) Учитель математики: По готовым чертежам ответить на вопросы и обосновать свой ответ.

1). Найти график квадратичной функции D=0 (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3в).

2). Найти график обратно — пропорциональной функции при k>0 (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 3a).

3). Найти график окружности с центром O(-1; -5). (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 1б).

4). Найти график функции y=3x-2. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3б).

5). Найти график квадратичной функции D>0, a>0. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 1a).

Учитель математики: Любое уравнение с двумя переменными можно преобразовать так, чтобы выразить зависимую переменную Y через независимую X .

Б) Выразить Y через Х:

1) 3X+2Y=6;

2) XY=5;

3) Y-2X=2-X2.

Учитель математики: Обращаем внимание: так поступают, если Y записан в первой степени. Отдельно стоят уравнения, в которых зависимая переменная находится во второй степени. Это значит, что перед нами уравнение окружности и необходимо, чтобы оно было записано в виде:

Чем являются числа X0, Y0, R?

III Новый материал – 10 мин.

П.18 учебника излагается методом беседы.

Учитель математики: В курсе алгебры 7 класса мы рассматривали системы уравнений первой степени. Теперь займёмся решением систем, составленных из уравнений первой и второй степени.

1.Что называется системой уравнений?

2.Что значит решить систему уравнений?

Мы знаем, что алгебраический способ позволяет находить точные решения системы, а графический способ позволяет наглядно увидеть, сколько корней имеет система и найти их приблизительно. Поэтому учиться решать системы уравнений второй степени мы продолжим на следующих уроках, а сегодня основной целью урока будет практическое применение электронной таблицы Microsoft Excel для построения графиков функции и нахождения количества корней систем уравнений.

IV. Практическая работа – 20 мин. Решение систем уравнений графическим способом. Определение корней уравнений. (Построение графика на компьютере.)

Учитель информатики: У вас на рабочем столе находится файл, который называется «График». Все графики различны для каждой группы.

(Учитель раздаёт учащимся карточки с системами.)

Вам требуется достроить второй график из системы уравнений и определить, сколько корней имеет система. Максимальное время выполнения практической работы — 20 минут. Решение одной системы оценивается на «3», решение двух систем – на «4», пяти систем – на «5».

У каждого на компьютере построен по точкам готовый график – парабола. Вам нужно сначала занести в Таблицу №1 коэффициенты для линейной функции k и b, затем вбить в Таблицу №2 в пустые ячейки формулу для вычисления значения функции Y второго уравнения. После того, как вы получите точки пересечения двух графиков, запишите ответ в своей карточке. Затем сохраните этот файл в своей папке под названием «График 1». Для решения 2-й и 3-й системы проделайте то же самое, затем сохраните файлы под названием «График 2» и «График 3».

А для тех, кто быстрее справится с заданием, есть возможность получить дополнительно оценку, выполнив задание со звёздочкой. На вашем рабочем столе находится файл «Звёздочка», где требуется решить систему уравнений.

Все свои результаты и графики не забудьте сохранить на компьютере.

Задания выполняются учащимися на компьютерах. Решения проверяются во время работы.

Уравнения для 1-й группы учащихся:

    1. Подведение итогов урока. Выставление оценок– 4 мин.

Учитель информатики: Ребята, как вы думаете, что важно знать при вводе формулы в ячейку?

Ученики: Формула вводится в ячейки и начинается со знака «=».

Учитель информатики: Обратили ли вы внимание на то, что при построении графика в таблицу вводится формула, а не фиксированное значение Y. Поэтому при изменении хотя бы одного значения коэффициента автоматически пересчитывается весь график. А как вы делали? В этом и заключается практическое применение навыков работы с электронной таблицей, что и было целью нашего урока.

* Решение систем уравнений. (Задания со звёздочкой*.)

Уравнения для 1-й группы учащихся:

VI . Рефлексия – 1 мин.

ОЦЕНИТЕ ВАШУ РАБОТУ НА УРОКЕ

1

ВЫБЕРИТЕ ЭМОЦИОНАЛЬНУЮ СОСТАВЛЯЮЩУЮ УРОКА

НАСКОЛЬКО ВЫ ОЦЕНИВАЕТЕ УСВОЕНИЕ ВАМИ ДАННОЙ ИНФОРМАЦИИ

1

ОЦЕНОЧНАЯ ШКАЛА:

1 ВОПРОС: 123-НЕЗНАЧИТЕЛЬНО, 456- В БОЛЬШЕЙ СТЕПЕНИ, 789- ПОЛНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ, 10- АБСОЛЮТНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ.

2 ВОПРОС: 123- НИЗКИЙ, 456- СРЕДНИЙ, 789- ДОСТИГ MAX- ЗНАНИЙ, ВЫСОЧАЙШИЙ.

Уравнения для 2-й группы учащихся:

Уравнения для 3-й группы учащихся:

y = 2x2 + 5x+3

y = 4

y= -2x2 +5х+3

y = -3x + 4

y= -2x2 -5х-3

y = -4+2x

y = 4x2 + 5x+3

y = 2

y= -4x2 +5х+3

y = -3x + 2

y= -4x2 -5х-3

y = -2+2x

y = 4x2 + 5x+5

y = 3

y= -4x2 +5х+5

y = -x + 3

y= -4x2 -5х-5

y = -2+3x

Уравнения для 4-й группы учащихся:

Уравнения для 5-й группы учащихся:

Уравнения для 6-й группы учащихся:

y = x2 + 5x+3

y = 3

y= -2x2 +5х+3

y = -3x + 3

y= -3x2 -5х-3

y = -3+2x

y = 6x2 + 5x+3

y = 5

y= -6x2 +5х+3

y = -3x + 5

y= -6x2 -5х-3

y = -5+2x

y = x2 + 2x+3

y = 1

y= -x2 +2х+3

y = -3x + 1

y= -x2 -2х-3

y = -1+2x

Уравнения для 2-й группы учащихся:

Уравнения для 3-й группы учащихся:

x y = 6

x2 + y = 4

x2 + y = 3

x — y + 1= 0

x2 — y = 3

y = 6

Уравнения для 4-й группы учащихся:

Уравнения для 5-й группы учащихся:

Уравнения для 6-й группы учащихся:

y = -8/x

2x + y = -1

y = — 3/x

y + x = — 2

y x = 4

2x — y = 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Графический способ решения систем уравнений: алгоритм и пример решения

 

Рассмотрим следующие уравнения:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

3. x*y = -1;

4. 5*x3 + y2 = 8.

Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными.

График уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x2 + y2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.

У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая – нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.

Графический способ решения систем уравнения

Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{ x2 + y2 = 25

{y = -x2 + 2*x + 5.

Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.

Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.

Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое – точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Уравнения, приводимые к квадратным: биквадратные и рациональные
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПоследовательности: виды числовых последовательностей и примеры

6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 3.9k. Опубликовано

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  •  Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

 

Графический способ решения систем уравнений. Графический способ решения уравнений

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Поповская средняя общеобразовательная школа

имени Героя Советского Союза Н.К. Горбанева

Открытый урок

учителя математики

Ворониной Веры Владимировны,

по математике в 9 классе

по теме: «Графический способ решения систем уравнений»

Тип урока:
урок изучения нового материала.

2017/2018 учебный год

Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Воронина Вера Владимировна, учитель математики.

ли урока:

дидактические:

открыть совместнос учащимися новый способ решения систем уравнений;

вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;

уметь определять сколько решений имеет система уравнений;

учить находить решения системы уравнений графическим способом;

повторить построение графиков элементарных функций;

создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

воспитательные:

воспитание ответственного отношения к труду,

аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Что такое функция? (слайд 3-11)

Что называется графиком функции?

Какие виды функций вы знаете?

Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?

Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?

Каким уравнением задается уравнение окружности?

Что называют графиком уравнения с двумя переменными; (слайд 12)

Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой). (слайд 13-16)

Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.

Выразите переменную у через переменную х:
а) у — х² = 0
б) х + у + 2 = 0
в) 2х — у + 3 = 0
г) ху = -12

Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) х² +у = 1;
б) ху + 3 = х;
в) у(х +2) = 0.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Какая из пар чисел является решением системы уравнений
а) (6; 3)
б) (- 3; — 6)
в) (2; — 1)
г) (3; 0)

Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
а) 2х — у = 3
б) 3х — 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2

III. Актуализация знаний учащихся по изученному материалу
. (слайд 20, 21)

Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

Что является графиком уравнения x² + y²=25?

Что является графиком уравнения y = — x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² +2x +5.

Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?

Сколько точек пересечения у данных графиков?

Сколько решений имеет данная система?

Назвать эти решения?

Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ
применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Применение изученного способа решения систем уравнений.

1.
Решить графически систему уравнений (слайд 23)

Что является графиком уравнения ху = 3?

Что является графиком уравнения 3х — у =0?

2.
Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 24)

Постановка наводящих вопросов:

Запишите систему, определяемую данными уравнениями?

Сколько точек пересечения имеют данные графики?

Сколько решений имеет данная система уравнений?

Назвать решения данной системы уравнений?

3.
Выполнение задание из ГИА (слайд 25).

4.
Решить графически систему уравнений (слайд 26)

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

V. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными вы познакомились?

В чём его суть?

Дает ли данный способ точные результаты?

В каком случае система уравнений не будет иметь решений?

VI . Домашнее задание.

П. 18, №№ 420 (237), 425 (240)

Видеоурок «Графический способ решения систем уравнений» представляет учебный материал для освоения данной темы. Материал содержит общее понятие о решении системы уравнений, а также подробное объяснение на примере, каким образом решается система уравнений графическим способом.

Наглядное пособие использует анимацию для более удобного и понятного выполнения построений, а также разные способы выделения важных понятий и деталей для углубленного понимания материала, лучшего его запоминания.

Видеоурок начинается с представления темы. Ученикам напоминается, что такое система уравнений, и с какими системами уравнений им уже пришлось ознакомиться в 7 классе. Ранее ученикам приходилось решать системы уравнений вида ах+by=c. Углубляя понятие о решении систем уравнений и с целью формирования умения их решать в данном видеоуроке рассматривается решение системы, состоящей из двух уравнений второй степени, а также из одного уравнения второй степени, а второго — первой степени. Напоминается о том, что такое решение системы уравнений. Определение решения системы как пары значений переменных, обращающих ее уравнения при подстановке в верное равенство, выводится на экран. В соответствии с определением решения системы, конкретизируется задача. На экран выведено для запоминания, что решить систему — означает, найти подходящие решения или доказать их отсутствие.

Предлагается освоить графический способ решения некоторой системы уравнений. Применение данного способа рассматривается на примере решения системы, состоящей из уравнений х 2 +у 2 =16 и у=-х 2 +2х+4. Графическое решение системы начинается с построения графика каждого из данных уравнений. Очевидно, графиком уравнения х 2 +у 2 =16 будет окружность. Точки, принадлежащие данной окружности, являются решением уравнения. Рядом с уравнением строится на координатной плоскости окружность радиусом 4 с центром О в начале координат. График второго уравнения представляет собой параболу, ветви которой опущены вниз. На координатной плоскости построена данная парабола, соответствующая графику уравнения. Любая точка, принадлежащая параболе, представляет собой решение уравнения у=-х 2 +2х+4. Объясняется, что решение системы уравнений — точки на графиках, принадлежащие одновременно графикам обоих уравнений. Это значит, что точки пересечения построенных графиков будут являться решениями системы уравнений.

Отмечается, что графический метод состоит в нахождении приближенного значения координат точек, находящихся на пересечении двух графиков, которые отражают множество решений каждого уравнения системы. На рисунке отмечаются координат найденных точек пересечения двух графиков: А, B, C, D[-2;-3,5]. Данные точки — решения системы уравнений, найденные графическим способом. Проверить их правильность можно, подставив в уравнение и получив справедливое равенство. После подстановки точек в уравнение, видно, что часть точек дает точное значение решения, а часть представляет приближенное значение решения уравнения: х 1 =0, у 1 =4; х 2 =2, у 2 ≈3,5; х 3 ≈3,5, у 3 =-2; х 4 =-2, у 4 ≈-3,5.

Видеоурок подробно объясняет суть и применение графического способа решения системы уравнений. Это дает возможность использовать его в качестве видеопособия на уроке алгебры в школе при изучении данной темы. Также материал будет полезен при самостоятельном изучении учениками и может помочь объяснить тему при дистанционном обучении.

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.

Тема: Системы уравнений

Урок: Графический метод решения системы уравнений

Рассмотрим систему

Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений
.

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.

Пример 1. Решить систему

Решение:

Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).

Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.

Мы получили единственное решение линейной системы.

Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:

cистема имеет единственное решение — прямые пересекаются,

система не имеет решений — прямые параллельны,

система имеет бесчисленное множество решений — прямые совпадают.

Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) — линейные выражения от x и y.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:

График первого уравнения — прямая, график второго уравнения — окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).

Пример 3. Решить систему графически

Решение: Построим график первого уравнения — это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения — парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина — точка (0; 2) (Рис. 3).

Графики имеют одну общую точку — т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.

Пример 4. Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения — это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).

Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).

Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции

Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).

Получаем три точки пересечения — т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).

Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.

Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займемся на следующих уроках.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.

Графический способ решения систем уравнений

(9-й класс)

Учебник: Алгебра, 9 класс, под редакцией Теляковского С.А.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений, навыков.

Цели урока:

Образовательные:
Выработать умение самостоятельно применять знания в комплексе, переносить их в новые условия, в том числе работать с компьютерной программой для построения графиков функции и нахождения количества корней в заданных уравнениях.

Развивающие
: Формировать у учащихся умение выделять основные признаки, устанавливать сходства и различия. Обогащать словарный запас. Развивать речь, усложняя её смысловую функцию. Развивать логическое мышление, познавательный интерес, культуру графического построения, память, любознательность.

Воспитательные
: Воспитывать чувство ответственности за результат своего труда. Учить сопереживать успехам и неудачам одноклассников.

Средства обучения

: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

План урока:

    Организационный момент. Домашнее задание – 2 мин.

    Актуализация, повторение, коррекция знаний — 8 мин.

    Изучение нового материала – 10 мин.

    Практическая работа – 20 мин.

    Подведение итогов – 4 мин.

    Рефлексия – 1 мин.

ХОД УРОКА

    Организационный момент – 2 мин.

Здравствуйте, ребята! Сегодня урок по важной теме: «Решение систем уравнений».

Нет таких областей знаний в точных науках, где бы ни применялась данная тема. Эпиграфом к нашему уроку являются следующие слова: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле

». (Аристотель)

Постановка темы, целей и задач урока.

Учитель сообщает классу о том, что на уроке будет изучаться и ставит задачу научиться решать системы уравнений с двумя переменными графическим способом.

Задание на дом (П.18 № 416, 418, 419 а).

    Повторение теоретического материала – 8 мин.

А) Учитель математики:

По готовым чертежам ответить на вопросы и обосновать свой ответ.

1).
Найти график квадратичной функции D
=0 (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3в).

2).
Найти график обратно — пропорциональной функции при k
>0 (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 3
a

).

3).
Найти график окружности с центром O
(-1; -5). (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 1б).

4).
Найти график функции y
=3x
-2. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3б).

5).
Найти график квадратичной функции D
>0, a
>0. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 1
a

).

Учитель математики:


Для того, что бы успешно решать системы уравнений, давайте вспомним:

1). Что называется системой уравнений? (Системой уравнений называется несколько уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям).

2). Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений, значит найти все решения или доказать, что решений нет).

3). Что называется решением системы уравнений? (Решением системы уравнений называют пару чисел (x; у), при которой все уравнения системы обращаются в верные равенства).

4) Выясните, является ли решением системы уравнений
пара чисел: а) х = 1, у = 2;
(–)


б) х = 2, у = 4;
(+)

в) х = – 2, у = – 4?
(+)

III
Новый материал – 10 мин.

П.18 учебника излагается методом беседы
.

Учитель математики:

В курсе алгебры 7 класса мы рассматривали системы уравнений первой степени. Теперь займёмся решением систем, составленных из уравнений первой и второй степени.

1.Что называется системой уравнений?

2.Что значит решить систему уравнений?

Мы знаем, что алгебраический способ позволяет находить точные решения системы, а графический способ позволяет наглядно увидеть, сколько корней имеет система и найти их приблизительно. Поэтому учиться решать системы уравнений второй степени мы продолжим на следующих уроках, а сегодня основной целью урока будет практическое применение компьютерной программы для построения графиков функции и нахождения количества корней систем уравнений.

IV

.

Практическая работа – 20 мин. Решение систем уравнений графическим способом. Определение корней уравнений.
(Построение графика на компьютере.)

Задания выполняются учащимися на компьютерах. Решения проверяются во время работы.


y
= 2x
2 + 5x
+3

y
= 4

y
= -2x
2 +5х+3

y
= -3x
+ 4

y
= -2x
2 -5х-3

y
= -4+2x

y
= 4x
2 + 5x
+3

y
= 2

y

= -4
x

2
+5х+3

y
= -3x
+ 2

y
= -4x
2 -5х-3

y
= -2+2x

y

= 4
x

2
+ 5
x

+5

y
= 3

y
= -4x
2 +5х+5

y
= -x
+ 3

y
= -4x
2 -5х-5

y
= -2+3x

Перед Вами графики двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями, и её решение.

– Какие из перечисленных систем
можно решать с помощью данного рисунка?

– Были даны 4 системы, их нужно было соотнести с графиками. Сейчас задание обратное: есть графики
, их нужно соотнести с системой.

    1. Подведение итогов урока. Выставление оценок– 4 мин.

* Решение систем уравнений. (Задания со звёздочкой*
.)

Уравнения для 1-й группы учащихся:

Уравнения для 2-й группы учащихся:

Уравнения для 3-й группы учащихся:

x

y

= 6

x

2
+
y

= 4

x
2 + y
= 3

x
— y
+ 1= 0

x
2 — y
= 3

Система уравнений с двумя переменными, урок в 9 классе по алгебре, презентация

Дата публикации: .

Системы уравнений с двумя переменными

Ребята, сегодня мы с вами изучим тему: «Системы уравнений».

Определение. Если нужно найти пару чисел (x;y), таких, что они одновременно удовлетворяют рациональным уравнениям: $p(x;y)=0$ и $u(x;y)=0$, то принято говорить, что они образуют систему уравнений:
$\begin{cases}p(x;y)=0, \\u(x;y)=0\end{cases}$.

Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу двум нашим уравнениям.

Решить систему – это значит найти все ее решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.

Решение обычно записывают в круглых скобках, и представляет собой пару чисел. Например (2;5).
Для решения систем уравнений используют различные методы:

  • метод подстановки,
  • метод сложения,
  • замены переменой,
  • графический метод.

Все способы решения мы с вами изучим позже.

Переменные в системе можно обозначать любыми буквами, чаще всего обозначают латинскими буквами.2\\yx=1\end{cases}$.
Решение.
Давайте также построим два графика. Оба графика мы с вами прекрасно знаем. Первый график – парабола, а второй гипербола.
Как видно, наши графики пересекаются в точке (1;0), это и будет ответом.

Графический метод является не самым лучшим методом решения систем уравнений. Не всегда можно построить график уравнения, и не всегда два графика пересекаются в хороших точках, то есть решение может получится дробным, тогда точность решения уже будет зависеть от масштаба.

Неравенства с двумя переменными. Графический метод решения

Ребята, теперь давайте перейдем к теме неравенства и их системы.

Решением рационального неравенства $u(x;y)>0$ называется пара чисел (x;y), такая, что неравенство становится верным числовым выражением.

Например, рассмотрим неравенство $2х+2y>0$, при $х=1$ и $y=1$ наше неравенство верно. Тогда пара чисел (1;1) являются решение нашего неравенства. Однако, наша пара чисел является частным решением, а как же найти общее решение?
Для решения неравенств с двумя переменными, также удобно строить графики.2
Наше неравенство не выполняется.
Тогда очевидно, что решением будет область выше графика. Убедимся в этом, подставим точку (1;4).

$4>3$ – получим верное числовое выражение.

Система неравенств с двумя переменными

Если требуется найти два числа x и y, которые удовлетворяют сразу двум неравенствам, то говорят, что надо решить систему неравенств с двумя переменными:
$\begin{cases}p(x;y)>0\\u(x;y)>0\end{cases}$.
Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу двум нашим неравенствам.

Пример.
Решить систему неравенств: $\begin{cases}2x-y-2\end{cases}$.
Решение: Давайте решим это неравенство графическим методом, для этого построим два графика уравнений.
Построим график первого неравенства: $2x-y
$y>2x-3$ Нам необходимо выбрать область выше или ниже прямой, проходящей через точки (0;-3) и (1;-1). Проверим точку (2;2) которая выше нашей прямой. $2>1$ – значит, нам надо выбрать область выше прямой.

Построим график второго неравенства: $4x+2y>-2$.2\\yx=4\end{cases}$.

2. Решить неравенство графическим методом: $y
3. Решить систему неравенств графическим методом:$\begin{cases}24x-6y-4\end{cases}$.

Как решать системы линейных уравнений с помощью построения графиков — математический класс [видео 2021]

Построение графика линии линейного уравнения

Теперь, когда мы знаем, как распознать линейное уравнение, давайте рассмотрим, как построить график линии. Во-первых, вы хотите изменить уравнение так, чтобы оно выглядело в форме пересечения наклона. Давайте посмотрим, как это сделать с помощью этого уравнения:

3 y + 9 x = 18

Сначала вычтите 9x с обеих сторон:

3 y = -9 x + 18

Затем разделите обе стороны на 3:

y = -3 x + 6

Теперь вы можете сказать, что наклон линии ( м ) равен -3, а точка пересечения оси y ( b ) равна 6 .Чтобы построить график этой линии, вы можете использовать графический калькулятор или компьютер, но вы также можете сделать это вручную на бумаге. Во-первых, точка пересечения оси y — это точка, в которой линия пересекает ось y, поэтому вы можете сначала построить эту точку. Затем посмотрите на наклон. Уклон — это отношение того, насколько далеко линия идет вверх в направлении y , деленное на то, насколько далеко она проходит в направлении x .

наклон = изменение y / изменение x

Таким образом, наклон -3 означает, что вам следует понизиться на 3 единицы в направлении y на каждую 1 единицу, которую вы пройдете в x направление.Вы можете использовать это, чтобы построить вторую точку, а затем использовать линейку, чтобы соединить точки и построить прямую линию.

Решение систем линейных уравнений

Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков, вы нанесете на график обе линии, а затем увидите, где они пересекаются друг с другом. Координаты перекрестка x и y будут решением системы уравнений!

Почему эта точка пересечения является решением системы уравнений? Это единственная точка, которая попадает на и строк, так что это единственная комбинация значений x и y , которая сделает для каждого уравнения истинным.

Давайте посмотрим на пример. Вот два линейных уравнения, которые образуют систему уравнений:

y = -3 x + 6

y = 2 x + 16

Изобразите обе эти линии и посмотрите, где они пересекаются. друг с другом.

Мы уже видели, что для первого уравнения -3 — это наклон, а точка пересечения по оси Y — 6.

Для второго уравнения помните, что в y = mx + b, m — наклон прямой, а b — точка пересечения по оси y.Итак, в этом уравнении наклон равен 2, а точка пересечения оси Y равна 16.

Используя эту информацию для построения графика линий, вы можете увидеть, что линии пересекаются в точке (-2,12). Это означает, что решение системы линейных уравнений равно x = -2 и y = 12.

Практические задачи по линейному уравнению

Итак, почему бы вам не попробовать это? Найдите решение системы уравнений, показанной ниже. Попробуйте сделать это, прежде чем прокрутите страницу вниз, чтобы увидеть ответ.

y = 4 x + 9

y = 2 x + 3

Помните, что вам нужно построить график обеих линий и посмотреть, где они пересекаются, чтобы найти решение.

Вы получили решение: x = -3 и y = -3? Если да, то вы правы!

Давайте посмотрим, как найти решение с помощью графиков.

Сначала найдите наклон и точку пересечения по оси Y для каждого уравнения, используя формулу y = mx + b .

Затем нарисуйте обе линии:

На графике вы можете видеть, что линии пересекаются друг с другом в точках (-3, -3), поэтому решение системы линейных уравнений составляет x = -3 и y = -3.

Резюме урока

Хорошо, давайте сделаем небольшой обзор того, что мы узнали!

Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков, которые представляют собой системы, состоящие из двух линейных уравнений, во-первых, убедитесь, что у вас есть два линейных уравнения или уравнения, которые образуют линии при построении графика.Затем нарисуйте линию, представленную каждым уравнением, и посмотрите, где две линии пересекаются друг с другом. Координаты точки пересечения x и y будут решением системы уравнений!

Графический метод решения линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения линейных уравнений с двумя переменными

Пусть система пар линейных уравнений имеет вид
a 1 x + b 1 y = c 1 ….(1)
a 2 x + b 2 y = c 2 …. (2)
Мы знаем, что при наличии двух прямых на плоскости возможна только одна из следующих трех возможностей —
(i) Две линии пересекутся в одной точке.
(ii) Две прямые не будут пересекаться, как бы далеко они ни продолжались, т. Е. Параллельны.
(iii) Две линии совпадают.

Типы решений:
Есть три типа решений

  1. Уникальное решение.
  2. Бесконечно много решений
  3. Нет решения.

Подробнее:

(A) Согласованная: Если система одновременных линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то система называется согласованной.
(i) Согласованные уравнения с единственным решением: Графики двух уравнений пересекаются в единственной точке.
Для примера Рассмотрим
x + 2y = 4
7x + 4y = 18

Графики (линии) этих уравнений пересекают друг друга в точке (2, 1) i.е., x = 2, y = 1.
Следовательно, уравнения согласуются с единственным решением.
(ii) Согласованные уравнения с бесконечным числом решений: Графики (линии) двух уравнений будут совпадать.
Для примера Рассмотрим 2x + 4y = 9 ⇒ 3x + 6y = 27/2

Графики приведенных выше уравнений совпадают. Координаты каждой точки на прямых являются решениями уравнений. Следовательно, данные уравнения согласованы с бесконечным множеством решений.
(B) Несогласованное уравнение: Если система одновременных линейных уравнений не имеет решения, то система называется несовместимой.
Нет Решение: График (линии) двух уравнений параллельны.
Для примера Рассмотрим
4x + 2y = 10
6x + 3y = 6

Графики (линии) данных уравнений параллельны. Они никогда не встретятся в какой-то момент. Итак, решения нет. Следовательно, уравнения несовместимы.

Из приведенной выше таблицы видно, что если строка a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 являются

Примеры графических методов

Пример 1: Путь шоссе номер 1 задается уравнением x + y = 7, а шоссе номер 2 задается уравнением 5x + 2y = 20.Представьте эти уравнения геометрически.
Сол. Имеем, x + y = 7
⇒ y = 7 — x…. (1)
В табличной форме

и 5x + 2y = 20
⇒ y = \ (\ frac {20-5x} {2} \)…. (2)
В табличной форме

Постройте точки A (1, 6), B (4, 3) и соедините их, чтобы образовать линию AB.
Аналогичным образом постройте точки C (2, 5). D (4, 0) и присоединитесь к ним, чтобы получить линейный компакт-диск. Ясно, что две прямые пересекаются в точке C. Теперь каждая точка на прямой AB дает нам решение уравнения (1).Каждая точка на CD дает нам решение уравнения (2).

Пример 2: Отец говорит своей дочери: «Семь лет назад я был в семь раз старше тебя. Кроме того, через три года я буду в три раза старше тебя ». Представьте эту ситуацию алгебраически и графически.
Сол. Пусть нынешний возраст отца равен x лет, а возраст дочери = y лет
Семь лет назад возраст отца = (x — 7) лет
Семь лет назад возраст дочери = (y — 7) лет
Согласно задаче
( x — 7) = 7 (y — 7) или x — 7y = — 42….(1)
Через 3 года возраст отца = (x + 3) лет
Через 3 года возраст дочери = (y + 3) лет
Согласно условию, указанному в вопросе
x + 3 = 3 (y + 3) или x — 3y = 6…. (2)
x — 7y = –42 ⇒ \ (y = \ frac {x + 42} {7} \)

x 0 7 14
y 6 7 8
Очки А B С

x — 3y = 6 ⇒ \ (y = \ frac {x-6} {3} \)

x 6 12 18
y 0 2 4
Очки D E F

Постройте точки A (0, 6), B (7, 7), C (14, 8) и соедините их, чтобы получить прямую линию ABC.Аналогичным образом постройте точки D (6, 0), E (12, 2) и F (18, 4) и соедините их, чтобы получить прямую линию DEF.

Пример 3: 10 учеников класса X приняли участие в викторине по математике. Если девочек на 4 больше, чем мальчиков, найдите количество мальчиков и девочек, принявших участие в викторине.
Сол. Пусть количество мальчиков равно x, а количество девочек равно y.
Тогда формируются уравнения:
x + y = 10…. (1)
и y = x + 4….(2)
Построим графики уравнений (1) и (2), найдя два решения для каждого из уравнений. Приведено
решений уравнений.
x + y = 10 ⇒ y = 10 — x

у = х + 4

x 0 1 3
y 4 5 7
Очки С D E

Отрисовывая эти точки, мы проводим линии AB и CE, проходящие через них, чтобы представить уравнения.Две прямые AB и Ce пересекаются в точке E (3, 7). Итак, x = 3 и y = 7 — искомое решение пары линейных уравнений.

, т.е. количество мальчиков = 3
количество девочек = 7.
Проверка:
Подставляя x = 3 и y = 7 в (1), мы получаем
L.H.S. = 3 + 7 = 10 = R.H.S., (1) проверяется.
Полагая x = 3 и y = 7 в (2), получаем
7 = 3 + 4 = 7, (2) проверяется.
Следовательно, оба уравнения удовлетворяются.

Пример 4: Половина периметра сада, длина которого на 4 больше, чем его ширина, равная 36м.Найдите размеры сада.
Сол. Пусть длина сада равна x, а ширина сада равна y.
Тогда формируется уравнение
x = y + 4…. (1)
Полупериметр = 36
x + y = 36…. (2)
y = x — 4

у = 36 — х

x 10 20
y 26 16
Очки С D

Отрисовывая эти точки, мы проводим линии AB и CD, проходящие через них, чтобы представить уравнения.

Две прямые AB и CD пересекаются в точке (20, 16). Итак, x = 20 и y = 16 — необходимое решение пары линейных уравнений, т.е. длина сада составляет 20 м, а ширина сада. составляет 16 м.
Проверка:
Подставляем x = 20 и y = 16 в (1). Получаем
20 = 16 + 4 = 20, (1) проверяется.
Полагаем x = 20 и y = 16 в (2). получаем
20 + 16 = 36
36 = 36, (2) проверяется.
Следовательно, оба уравнения удовлетворяются.

Пример 5: Нарисуйте графики уравнений x — y + 1 = 0 и 3x + 2y — 12 = 0.Определите координаты вершин треугольника, образованного этими линиями и осью x, и закрасьте треугольную область.
Сол. Пара линейных уравнений:
x — y + 1 = 0…. (1)
3x + 2y — 12 = 0…. (2)
x — y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1

3x + 2y — 12 = 0 ⇒ y = \ (\ frac {12-3x} {2} \)

Постройте точки A (0, 1), B (4, 5) и соедините их, чтобы получить линию AB. Аналогичным образом постройте точки C (0, 6), D (2, 3) и соедините их, чтобы образовать линию CD.

Очевидно, две прямые пересекаются друг с другом в точке D (2, 3). Следовательно, x = 2 и y = 3 является решением данной пары уравнений
.
Линия CD пересекает ось x в точке
E (4, 0), а линия AB пересекает ось x в точке F (–1, 0).
Следовательно, координаты вершин треугольника равны; D (2, 3), E (4, 0), F (–1, 0).
Проверка:
Оба уравнения (1) и (2) удовлетворяются при x = 2 и y = 3. Следовательно, проверено.

Пример 6: Графически покажите, что система уравнений
x — 4y + 14 = 0; 3x + 2y — 14 = 0 согласуется с единственным решением.
Сол. Данная система уравнений имеет вид
x — 4y + 14 = 0…. (1)
3x + 2y — 14 = 0…. (2)
x — 4y + 14 = 0 ⇒ y = \ (\ frac {x + 14} {4} \)

3x + 2y — 14 = 0 ⇒ y = \ (\ frac {-3x + 14} {2} \)

Данные уравнения, представляющие две прямые, пересекаются друг с другом в единственной точке (2, 4). Следовательно, уравнения согласуются с единственным решением.

Пример 7: Графически покажите, что система уравнений
2x + 5y = 16; \ (3x + \ frac {15} {2} = 24 \) имеет бесконечно много решений.
Сол. Данная система уравнений:
2x + 5y = 16…. (1)
\ (3x + \ frac {15} {2} = 24 \)…. (2)
2x + 5y = 16 ⇒ y = \ ( \ frac {16-2x} {5} \)

\ (3x + \ frac {15} {2} = 24 \) ⇒ y = \ (\ frac {48-6x} {15} \)

x 1/2 11/2
y 3 1
Очки С D

Строки двух уравнений совпадают.Координаты каждой точки на этой линии являются решением.
Следовательно, данные уравнения согласованы с бесконечным числом решений.

Пример 8: Графически покажите, что система уравнений
2x + 3y = 10, 4x + 6y = 12 не имеет решения.
Сол. Данные уравнения:
2x + 3y = 10 ⇒ y = \ (\ frac {10-2x} {3} \)

4x + 6y = 12 ⇒ y = \ (\ frac {12-4x} {6} \)

Постройте точки A (–4, 6), B (2, 2) и соедините их, чтобы образовать линию AB.Аналогичным образом постройте точки C (–3, 4), D (3, 0) и соедините их, чтобы получить линию CD.

Ясно, что графики данных уравнений представляют собой параллельные прямые. Поскольку у них нет общей точки, нет и общего решения. Следовательно, данная система уравнений не имеет решения.

Пример 9: Учитывая линейное уравнение 2x + 3y — 8 = 0, напишите другое линейное уравнение с двумя переменными так, чтобы геометрическое представление
пары, образованной таким образом, было:
(i) пересекающиеся прямые
(ii) параллельные прямые
(iii) совпадающие линии
Sol. У нас есть, 2x + 3y — 8 = 0
(i) Другое линейное уравнение с двумя переменными, такое, что геометрическое представление пары, образованной таким образом, представляет собой пересекающиеся прямые:
3x — 2y — 8 = 0
(ii) Другие параллельные прямые к строке выше
4x + 6y — 22 = 0
(iii) Другая совпадающая строка с строкой выше
6x + 9y — 24 = 0

Пример 10: Решите следующую систему линейных уравнений графически;
3х + у — 11 = 0; x — y — 1 = 0
Закрасьте область, ограниченную этими линиями, а также осью y.Затем определите области области, ограниченные этими линиями и осью y.
Сол. Имеем,
3x + y — 11 = 0 и x — y — 1 = 0
(a) График уравнения 3x + y — 11 = 0
Имеем, 3x + y — 11 = 0
⇒ y = — 3x + 11
When, x = 2, y = –3 × 2 + 11 = 5
When, x = 3, y = — 3 × 3 + 11 = 2
Нанесение точек P (2, 5) и Q (3, 2) на миллиметровой бумаге и проведя линию, соединяющую их, мы получим график уравнения 3x + y — 11 = 0, как показано на рис.
(b) График уравнения x — y — 1 = 0
Имеем,
x — y — 1 = 0
y = x — 1
Когда, x = — 1, y = –2
Когда, x = 3, y = 2
Изобразив точки R (–1, –2) и S (3, 2) на одной миллиметровой бумаге и проведя линию, соединяющую их, мы получим график уравнения x — y — 1 = 0, как показано на рис.

Вы можете заметить, что две прямые пересекаются в точке
Q (3, 2). Итак, x = 3 и y = 2. Область, ограниченная линиями, представленными данными уравнениями, а также ось y заштрихована.
Итак, замкнутая область = Площадь заштрихованной части
= Площадь ∆QUT = 1/2 × основание × высота
= 1/2 × (TU × VQ) = 1/2 × (TO + OU) × VQ
= 1/2 (11 + 1) 3 = 1/2 × 12 × 3 = 18 кв. Единиц.
Следовательно, необходимая площадь составляет 18 кв.

Пример 11: Нарисуйте графики следующих уравнений
2x — 3y = — 6; 2х + 3у = 18; y = 2
Найдите вершины образовавшихся треугольников, а также площадь треугольника.
Сол. (а) График уравнения 2x — 3y = — 6;
У нас есть 2x — 3y = — 6 ⇒ y = \ (\ frac {2x + 6} {3} \)
When, x = 0, y = 2
When, x = 3, y = 4
Построение графика точки P (0, 2) и Q (3, 4) на миллиметровой бумаге и проведя линию, соединяющую их, мы получим график уравнения 2x — 3y = — 6, как показано на рис.
(б) График уравнения 2x + 3y = 18;
У нас есть 2x + 3y = 18 ⇒ y = \ (\ frac {-2x + 18} {3} \)
When, x = 0, y = 6
When, x = — 3, y = 8
Построение графика точки R (0, 6) и S (–3, 8) на одной миллиметровой бумаге и проведя линию, соединяющую их, мы получим график уравнения 2x + 3y = 18, как показано на рис.
(c) График уравнения y = 2
Ясно, что y = 2 для любого значения x. Мы можем взять точки T (3, 2), U (6, 2) или любые другие значения.
Построив точки T (3, 2) и U (6, 2) на одной миллиметровой бумаге и проведя линию, соединяющую их, мы получим график уравнения y = 2, как показано на рис.

Из рисунка видно, что пары, взятые попарно, пересекают друг друга в точках Q (3, 4), U (6, 2) и P (0, 2). Они образуют три вершины треугольника PQU.
Найти площадь сформированного таким образом треугольника
Треугольник, сформированный таким образом, равен PQU (см. Рис.)
В ∆PQU
QT (высота) = 2 единицы
и PU (основание) = 6 единиц
, поэтому площадь ∆ PQU = (основание × высота)
= 1/2 (PU × QT) = 1/2 × 6 × 2 кв.унтис
= 6 кв.

Пример 12: При сравнении соотношений \ (\ frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {2}}}, \ frac {{{b} _ {1}}} {{{b} _ {2}}} и \ frac {{{c} _ {1}}} {{{c} _ {2}}} \) и, не рисуя их, выясните, соответствуют ли линии следующие пары линейных уравнений пересекаются в точке, параллельны или совпадают.
(i) 5x — 4y + 8 = 0, 7x + 6y — 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0, 18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x — 3y + 10 = 0, 2x — y + 9 = 0
Сол. Сравнивая данные уравнения со стандартными формами уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и
a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 имеем ,
(i) a1 = 5, b 1 = — 4, c 1 = 8;
a 2 = 7, b 2 = 6, c 2 = — 9
\ (\ frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {2}}} = \ frac {5} {7}, \ frac {{{b} _ {1}}} {{{b} _ {2}}} = \ frac {-4} {6} \)
\ (\ Rightarrow \ frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {2}}} \ ne \ frac {{{b} _ {1}}} {{{b} _ {2}}} \)
Таким образом, прямые, представляющие пару линейных уравнений, пересекаются.
(ii) a1 = 9, b 1 = 3, c 1 = 12;
a 2 = 18, b 2 = 6, c 2 = 24
\ (\ frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {2}}} = \ frac {9} {18} = \ frac {1} {2}, \ frac {{{b} _ {1}}} {{{b} _ {2}}} = \ frac {3} {6} = \ frac {1} {2} и \ frac {{{c} _ {1}}} {{{c} _ {2}}} = \ frac {12} {24} = \ frac {1} { 2} \)
\ (\ Rightarrow \ frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {2}}} = \ frac {{{b} _ {1}}} {{{ b} _ {2}}} = \ frac {{{c} _ {1}}} {{{c} _ {2}}} \)
Таким образом, линии, представляющие пару линейных уравнений, совпадают.
(iii) a1 = 6, b 1 = — 3, c 1 = 10;
a 2 = 2, b 2 = — 6, c 2 = 9
\ (\ frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {2}}} = \ frac {6} {2} = 3, \ frac {{{b} _ {1}}} {{{b} _ {2}}} = \ frac {-3} {- 1} = 3и \ frac {{{c} _ {1}}} {{{c} _ {2}}} = \ frac {10} {9} \)
\ (\ Rightarrow \ frac {{{a} _ {1}} } {{{a} _ {2}}} = \ frac {{{b} _ {1}}} {{{b} _ {2}}} \ ne \ frac {{{c} _ {1} }} {{{c} _ {2}}} \)
Таким образом, прямые, представляющие пару линейных уравнений, параллельны.

Решение системных уравнений | Уравнения и неравенства

\ (- 10 x = -1 \) и
\ (- 4 х + 10 у = -9 \).

Решить относительно \ (x \):

\ begin {align *}
— 10х = -1 \\
\ поэтому x = \ frac {1} {10}
\ end {выровнять *}

Подставляем значение \ (x \) во второе уравнение и решаем относительно \ (y \):

\ begin {align *}
-4x + 10y & = -9 \\
-4 \ left (\ frac {1} {10} \ right) + 10y & = -9 \\
\ frac {-4} {10} + 10y & = -9 \\
100л & = -90 + 4 \\
y & = \ frac {-86} {100} \\
& = \ frac {-43} {50}
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = \ frac {1} {10} \ text {и} y = — \ frac {43} {50} \).

\ (3x — 14y = 0 \) и \ (x — 4y + 1 = 0 \)

Запишите \ (x \) через \ (y \):

\ begin {align *}
3х — 14лет & = 0 \\
3х & = 14л \\
x & = \ frac {14} {3} y
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (x \) во второе уравнение:

\ begin {align *}
х — 4у + 1 & = 0 \\
\ frac {14} {3} y — 4y + 1 & = 0 \\
14лет — 12лет + 3 & = 0 \\
2у & = -3 \\
y & = — \ frac {3} {2}
\ end {выровнять *}

Подставить значение \ (y \) обратно в первое уравнение:

\ begin {align *}
x & = \ frac {14 \ left (- \ frac {3} {2} \ right)} {3} \\
& = -7
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = -7 \ text {и} y = — \ frac {3} {2} \).

\ (x + y = 8 \) и \ (3x + 2y = 21 \)

Запишите \ (x \) через \ (y \):

\ begin {align *}
х + у & = 8 \\
х & = 8 — у
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (x \) во второе уравнение:

\ begin {align *}
3х + 2у & = 21 \\
3 (8 — у) + 2у & = 21 \\
24 — 3л + 2у & = 21 \\
y & = 3
\ end {выровнять *}

Подставить значение \ (y \) обратно в первое уравнение:

\ [x = 5 \]

Следовательно, \ (x = 5 \ text {и} y = 3 \).

\ (y = 2x + 1 \) и \ (x + 2y + 3 = 0 \)

Запишите \ (y \) через \ (x \):

\ [y = 2x + 1 \]

Подставьте значение \ (y \) во второе уравнение:

\ begin {align *}
х + 2у + 3 & = 0 \\
х + 2 (2х + 1) + 3 & = 0 \\
х + 4х + 2 + 3 & = 0 \\
5x & = -5 \\
х & = -1
\ end {выровнять *}

Подставить значение \ (x \) обратно в первое уравнение:

\ begin {align *}
у & = 2 (-1) + 1 \\
& = -1
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = -1 \ text {и} y = -1 \).

\ (5x-4y = 69 \) и \ (2x + 3y = 23 \)

Сделайте \ (x \) предметом первого уравнения:

\ begin {align *}
5х-4л & = 69 \\
5х & = 69 + 4у \\
x & = \ frac {69 + 4y} {5}
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (x \) во второе уравнение:

\ begin {align *}
2х + 3у & = 23 \\
2 \ left (\ frac {69 + 4y} {5} \ right) + 3y & = 23 \\
2 (69 + 4у) +3 (5) у & = 23 (5) \\
138 + 8л + 15л & = 115 \\
23лет & = -23 \\
\ поэтому y & = -1
\ end {выровнять *}

Подставить значение \ (y \) обратно в первое уравнение:

\ begin {align *}
x & = \ frac {69 + 4y} {5} \\
& = \ frac {69 + 4 (-1)} {5} \\
& = 13
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = 13 \ text {и} y = -1 \).

\ (x + 3y = 26 \) и \ (5x + 4y = 75 \)

Сделайте \ (x \) предметом первого уравнения:

\ begin {align *}
х + 3у & = 26 \\
x & = 26 — 3 года
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (x \) во второе уравнение:

\ begin {align *}
5х + 4у & = 75 \\
5 (26 — 3л) + 4л & = 75 \\
130 — 15л + 4л & = 75 \\
-11лет & = -55 \\
\ поэтому y & = 5
\ end {выровнять *}

Подставить значение \ (y \) обратно в первое уравнение:

\ begin {align *}
х & = 26 — 3г \\
& = 26 — 3 (5) \\
& = 11
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = 11 \ text {и} y = 5 \).

\ (3x — 4y = 19 \) и \ (2x — 8y = 2 \)

Если мы умножим первое уравнение на 2, то коэффициент при \ (y \) будет одинаковым в обоих уравнениях:

\ begin {align *}
3х — 4л & = 19 \\
3 (2) х — 4 (2) у & = 19 (2) \\
6x — 8 лет & = 38
\ end {выровнять *}

Теперь мы можем вычесть второе уравнение из первого:

\ [\ begin {array} {cccc}
& 6x — 8лет & = & 38 \\
— & (2x — 8y & = & 2) \\ \ hline
& 4x + 0 & = & 36
\ конец {массив} \]

Решить относительно \ (x \):

\ begin {align *}
\ поэтому x & = \ frac {36} {4} \\
& = 9
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (x \) в первое уравнение и решите относительно \ (y \):

\ begin {align *}
3х-4л & = 19 \\
3 (9) -4y & = 19 \\
\ поэтому y & = \ frac {19-3 (9)} {- 4} \\
& = 2
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = 9 \ text {и} y = 2 \).

\ (\ dfrac {a} {2} + b = 4 \) и \ (\ dfrac {a} {4} — \ dfrac {b} {4} = 1 \)

Сделайте \ (a \) предметом первого уравнения:

\ begin {align *}
\ frac {a} {2} + b & = 4 \\
а + 2b & = 8 \\
а & = 8 — 2b
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (a \) во второе уравнение:

\ begin {align *}
\ frac {a} {4} — \ frac {b} {4} & = 1 \\
а — б & = 4 \\
8 — 2б — б & = 4 \\
3b & = 4 \\
b & = \ frac {4} {3}
\ end {выровнять *}

Подставить значение \ (b \) обратно в первое уравнение:

\ begin {align *}
a & = 8 — 2 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \\
& = \ frac {16} {3}
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (a = \ frac {16} {3} \ text {и} b = \ frac {4} {3} \).

\ (- 10x + y = -1 \) и
\ (- 10x — 2y = 5 \)

Если мы вычтем второе уравнение из первого, то мы сможем решить для \ (y \):

\ [\ begin {array} {cccc}
& -10x + y & = & -1 \\
— & (-10x — 2y & = & 5) \\ \ hline
& 0 + 3г & = & -6
\ конец {массив} \]

Решить относительно \ (y \):

\ begin {align *}
3г & = -6 \\
\ поэтому y & = -2
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (y \) в первое уравнение и решите относительно \ (x \):

\ begin {align *}
-10x + y & = -1 \\
-10x — 2 & = -1 \\
-10x & = 1 \\
x & = \ frac {1} {- 10}
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = \ frac {-1} {10} \ text {и} y = -2 \).

\ (- 10 x — 10 y = -2 \) и \ (2 x + 3 y = 2 \)

Сделайте \ (x \) предметом первого уравнения:

\ begin {align *}
— 10 х — 10 у = -2 \\
5х + 5у & = 1 \\
5x & = 1 — 5л \\
\ поэтому x = -y + \ frac {1} {5}
\ end {выровнять *}

Подставляем значение \ (x \) во второе уравнение и решаем относительно \ (y \):

\ begin {align *}
2х + 3у & = 2 \\
2 \ left (-y + \ frac {1} {5} \ right) + 3y & = 2 \\
-2y + \ frac {2} {5} + 3y & = 2 \\
y & = \ frac {8} {5}
\ end {выровнять *}

Подставьте значение \ (y \) в первое уравнение:

\ begin {align *}
5х + 5у & = 1 \\
5x + 5 \ влево (\ frac {8} {5} \ right) & = 1 \\
5х + 8 & = 1 \\
5x & = -7 \\
x & = \ frac {-7} {5}
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = — \ frac {7} {5} \ text {и} y = \ frac {8} {5} \).

\ (\ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} = 3 \) и \ (\ dfrac {1} {x} — \ dfrac {1} {y} = 11 \)

Переставьте оба уравнения, умножив на \ (xy \):

\ begin {align *}
\ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} & = 3 \\
у + х & = 3xy \\\\
\ frac {1} {x} — \ frac {1} {y} & = 11 \\
у — х & = 11xy
\ end {выровнять *}

Сложите два уравнения вместе:

\ [\ begin {array} {cccc}
& y + x & = & 3xy \\
+ & (у — х & = & 11xy) \\ \ hline
& 2y + 0 & = & 14xy
\ конец {массив} \]

Решить относительно \ (x \):

\ begin {align *}
2y & = 14xy \\
у & = 7xy \\
1 & = 7x \\
х & = \ гидроразрыв {1} {7}
\ end {выровнять *}

Подставить значение \ (x \) обратно в первое уравнение:

\ begin {align *}
y + \ frac {1} {7} & = 3 \ left (\ frac {1} {7} \ right) y \\
7у + 1 & = 3у \\
4г & = -1 \\
y & = — \ frac {1} {4}
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (x = \ frac {1} {7} \ text {и} y = — \ frac {1} {4} \).2 + 1 \\
0 & = 0
\ end {выровнять *}

Поскольку это верно для всех \ (x \) в действительных числах, \ (x \) может быть любым действительным числом.

Посмотрите, что происходит с \ (y \), когда \ (x \) очень маленький или очень большой:

Наименьшее значение \ (x \) может быть равно 0. Когда \ (x = 0 \), \ (y = 2- \ frac {3} {2} = \ frac {1} {2} \).2 & = 3 — ab
\ end {выровнять *}

Обратите внимание, что это то же самое, что и второе уравнение

\ (a \) и \ (b \) может быть любым действительным числом, кроме \ (\ text {0} \).

Системы линейных уравнений: определения

Системы
линейных уравнений: определения
(стр.
1 из 7)

Разделы: Определения, Решение
путем построения графиков, подстановки, исключения / добавления, исключения Гаусса.

А «система»
уравнения — это набор или набор уравнений, с которыми вы работаете вместе
сразу. Линейные уравнения (те, которые отображаются в виде прямых линий) проще
чем нелинейные уравнения, и простейшая линейная система — это система с
два уравнения и две переменные.

Вспомните линейные уравнения.
Например, рассмотрим линейное уравнение y = 3 x — 5.Решение»
к этому уравнению была любая точка x , y , которая «работала»
в уравнении. Итак (2,
1) было решением, потому что,
подключение 2 для x :

С другой стороны, (1,
2) не было решением,
потому что, подключение 1 для x :

… что не равнялось y (что было 2,
для этого пункта).Конечно, в практическом плане решений вы не нашли
в уравнение, выбирая случайные точки, вставляя их и проверяя
чтобы увидеть, «работают» ли они в уравнении. Вместо этого вы выбрали значения x .
а затем вычислили соответствующие значения и .
И вы использовали ту же процедуру для построения графика
уравнение. Этот
указывает на важный факт: каждая точка на графике была решением
к уравнению, и любое решение уравнения отмечалось точкой на графике.

Теперь рассмотрим следующее
двухпараметрическая система линейных уравнений:

С
два приведенных выше уравнения составляют систему, мы решаем их вместе
в то же время. В частности, мы можем изобразить их вместе на
та же система осей, например:

Решение единственного уравнения — это любая точка, лежащая на линии этого уравнения.А
решение для системы уравнений — это любая точка, лежащая на каждой строке системы.
Например, красная точка справа не является решением системы,
потому что его нет ни в одной строке:

В
синяя точка справа не является решением системы, потому что она
лежит только на одной из линий, а не на на обеих из них:

В
фиолетовая точка справа — это решение системы, потому что она лежит
по обеим линиям:

В частности, этот фиолетовый
точка отмечает пересечение двух линий.Поскольку эта точка находится на
обе строки, таким образом, он решает оба уравнения, поэтому он решает всю систему
уравнения. И это соотношение всегда верно: для систем уравнений
«решения» — это «пересечения». Вы можете подтвердить
решение, подставив его в систему уравнений и подтвердив, что
решение работает в каждом уравнении.


    Проверить данные возможные
    решения, я просто подключаю x
    и y — координаты
    в уравнения и проверьте, работают ли они.

    Авторские права
    © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

    Поскольку данная точка работает в каждом уравнении,
    это решение системы. Теперь проверю другой пункт (который
    мы уже знаем, глядя на график, это не решение):

    Итак, решение работает в одном из уравнений.
    Но чтобы решить систему, она должна работать в обоих уравнениях.Продолжая
    чек:

    Но –2 не равно –6,
    так что это «решение» не проверяет. Тогда ответ:

      только точка (–1,
      –5)
      — это
      решение системы

Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Возвращаться
к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.«Системы линейных уравнений: определения». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/systlin1.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Решение одновременных уравнений | Помощь с математикой

Одновременные уравнения — это два уравнения, каждое с двумя одинаковыми неизвестными и «одновременные», потому что они решаются вместе.

Задания

Щелкните ниже, чтобы открыть Генератор рабочего листа одновременных уравнений, который предоставляет неограниченное количество вопросов для практики.

Проще говоря, решением пары одновременных уравнений являются значения x и y координат точки, в которой графики пересекаются или пересекаются. Пример ниже показывает это.

Графическое решение

Для каждого уравнения найдите координаты двух точек на графике. Легкий способ сделать это — найти соответствующие значения, когда x = 0 и когда y = 0.(Примечание: это даст 2 набора координат, что, поскольку уравнение является линейным, достаточно, хотя божественная идея проверить хотя бы еще одну точку на линии.)

Для 4x — 2y = 10 это дает (2,5, 0) и (0, -5), которые мы строим, а затем продлеваем прямую линию.

Для x + y = 4 это дает (0,4) и (4,0), которые мы строим, а затем продлеваем прямую линию.

Обратите внимание, что все координаты, через которые проходят линии, являются решениями каждого уравнения.А координаты точки, в которой они пересекаются, (3,1) — это решение пары одновременных уравнений.

Алгебраическое решение

Мы можем находить решения системных уравнений и алгебраически. Есть два распространенных метода. Какой из них вы выберете, может зависеть от задействованных ценностей или это может быть просто тот метод, который вам больше всего нравится. Мы будем использовать ту же пару уравнений, что и выше.

Метод исключения

4x — 2y = 10
x + y = 4
Умножьте x + y = 4 на 2, чтобы получить 2x + 2y = 8
4x — 2y = 10
2x + 2y = 8
6x = 18
x = 3
Затем мы складываем два уравнения, которые «исключают» 2y
(так как -2y + 2y = 0)
и оставляют 6x = 18, что после деления обеих сторон на 6 оставляет x = 3
3 + y = 4
y = 1
Затем мы можем заменить x в одном из уравнений значением 3.
(в этом примере сделать это в x + y = 4 проще, чем в 4x — 2y = 10)
4x — 2y = 10
(4 x 3) — (2 x 1) = 10
12-2 = 10

Всегда рекомендуется проверять значения x и y в другом уравнении.

Метод замещения

4x — 2y = 10
x + y = 4
Переставьте одно уравнение так, чтобы в уравнении получилось либо x, либо y
.В этом случае будет проще переставить
x + y = 4, которое мы можем переставить в y = 4 -x
, вычитая x из каждой стороны
4x — 2y = 10
4x — 2 (4 — x) = 10
4x — 8 + 2x = 10
6x — 8 (+8) = 10 (+8)
6x = 18
x = 3
Затем мы подставляем 4 — x вместо y в другое уравнение.
3 + y = 4
y = 1
Как и в случае с методом исключения, мы заменяем x в одном из
уравнений на значение 3.(в этом примере сделать это
в x + y = 4 проще, чем в 4x — 2y = 10)
4x — 2y = 10
(4 x 3) — (2 x 1) = 10
12-2 = 10

И для проверки попробуйте значения x и y в другом уравнении.

Дополнительные примеры с использованием алгебраических методов

Существует один пример каждого из методов исключения и замены для решения одновременных уравнений, показанных ниже.

Метод исключения

.

5x — 3y = 16
4x — 5y = 5
С этой парой уравнений нам нужно будет умножить оба
, чтобы получить общее кратное x или y.Умножим
верхнее уравнение на 5, а нижнее — на 3
25x — 15y = 80
12x -15y = 15
13x = 65
x = 5
Затем мы вычитаем два уравнения, что «исключает» -15y

и оставляет 13x = 65, что после деления обеих сторон на 13 оставляет x = 5

(5 x 5) — 3y = 16
25 — 3y = 16
-3y = 16-25
-3y = -9
y = 3
Затем мы заменяем x в верхних уравнениях на значение 5, чтобы найти y.
4x — 5y = 5
(4 x 5) — (5 x 3) = 5
20-15 = 5
Наконец, проверьте значения x и y в другом уравнении.
Два уравнения показаны ниже графически.

Метод замещения

3x + 4y = 5
x + 5y = 9
Переставьте одно уравнение так, чтобы в уравнении получилось либо x, либо y
.
В этом случае будет проще переставить x + 5y = 9
, которое мы можем переставить в
x = 9 — 5y, вычитая 5y с каждой стороны
3x + 4y = 5
3 (9 — 5y) + 4y = 5
27 — 15y + 4y = 5
27 — 11y = 5
-11y = 5-27
-11y = -22
y = 2
Затем мы заменяем 9 — 5y на x
в другом уравнении и решаем относительно y.
x + 5y = 9
x + (5 x 2) = 9
x + 10 = 9
x = -1
Как и в случае с методом исключения, мы заменяем y
в одном из уравнений на значение 2.
3x + 4y = 5
(3 x -1) + (4 x 2) = 5
-3 + 8 = 5
И для проверки попробуйте значения x и y в другом уравнении.
Оба уравнения показаны графически ниже.

Одновременные уравнения в реальной жизни

У Сэма и Джека между ними 50 долларов, а у Сэма на 5 долларов больше, чем у Джека.Сколько денег у каждого?

с + j = 50
с — j = 5

с = 27,50, j = 22,50

Этот пример довольно прост — вы могли бы решить его методом проб и ошибок — но вы можете использовать любой из вышеперечисленных методов для его решения.

И, наконец, …

Не забудьте попрактиковаться с вопросами из генератора листов одновременных уравнений.

Решите графически следующие системы линейных уравнений по математике класса 9 CBSE

Подсказка: — Сначала в этом вопросе мы должны найти как минимум две точки на заданных линиях, чтобы построить их линии на графике.После нанесения линий на графики с использованием полученных точек, мы должны найти точку, где эти две линии пересекаются, потому что это решение данной системы линейных уравнений.

Полный пошаговый ответ:
У нас есть две строки уравнений:
$
3x + 2y = 12 {\ text {eq}} {\ text {.1}} \\
5x — 2y = 4 {\ text {eq}} {\ text {.2}} \\
$
Теперь мы должны изобразить данные уравнения на графике; для этого нам потребуются по крайней мере две точки, которые лежат на этой линии.
Итак, рассмотрим уравнение 1
$ 3x + 2y = 12 {\ text {}} $
Теперь, поместив x = 0 в уравнение 1, мы получим
$
\ Rightarrow 2y = 12 \\
\ Rightarrow y = 6 \\
$
Следовательно, (0,6) лежит на прямой $ 3x + 2y = 12 $ выше.
Теперь, положив y = 0 в уравнение 1, мы получим
$
\ Rightarrow 3x = 12 \\
\ Rightarrow x = 4 \\
$
Следовательно, (4,0) лежит на строке $ 3x + 2y = 12 $.
Теперь поместите x = 2 в уравнение 1, мы получим
$
\ Rightarrow 3 \ times 2 + 2y = 12 \\
\ Rightarrow 2y = 6 \\
\ Rightarrow y = 3 \\
$
Следовательно, ( 2,3) лежит на прямой $ 3x + 2y = 12 $.
Теперь рассмотрим уравнение 2
$ 5x — 2y = 4 $
Теперь, положив x = 0 в уравнение 2, мы получим
$
\ Rightarrow 0 — 2y = 4 \\
\ Rightarrow y = — 2 \\
$
Следовательно, (0, -2) лежит на строке выше $ 5x — 2y = 4 $.
Теперь, положив y = 0 в уравнение 2, мы получим
$
\ Rightarrow 5x — 0 = 4 \\
\ Rightarrow x = \ left ({\ dfrac {4} {5}} \ right) \\
$
Следовательно, $ \ left ({\ dfrac {4} {5}, 0} \ right) $ лежит на прямой $ 5x — 2y = 4 $.
Теперь поместите x = 2 в уравнение 2, мы получим
$
\ Rightarrow 5 \ times 2 — 2y = 4 \\
\ Rightarrow 2y = 6 \\
\ Rightarrow y = 3 \\
$
Следовательно, ( 2,3) лежит на прямой $ 5x — 2y = 4 $.
Теперь начертите заданные линии на графике, используя полученные точки.

Следовательно, из графика видно, что x = 2 и y = 3 является решением данной системы уравнений.
Мы также можем заметить, что прямая $ 3x + 2y = 12 $ пересекает ось Y в точке (0,6).
И прямая $ 5x — 2y = 4 $ пересекает ось Y в точке (0, -2).

Примечание: — Всякий раз, когда вы получаете вопрос такого типа, ключевой концепцией для его решения является изучение концепции системы линейных уравнений, содержащей два уравнения. Решением такой системы является упорядоченная пара, которая является решением обоих уравнений системы.Графически решение — это точка пересечения, где пересекаются обе линии системы.

Проверка системы уравнений

Калькулятор систем уравнений — это калькулятор, который решает системы уравнений шаг за шагом. Пример (щелкните для просмотра) x + y = 7; x + 2y = 11 Попробуйте прямо сейчас. Введите свои уравнения в поля выше и нажмите Рассчитать! Алгебра 1 отвечает на главу 6 — Системы уравнений и неравенств — Подготовка к совокупному тесту — Множественный выбор — Страница 409 3, включая пошаговую работу, написанную такими же членами сообщества, как вы.Авторы учебника: Холл, Прентис, ISBN-10: 0133500403, ISBN-13: 978-0-13350-040-0, Издатель: Прентис Холл

29 июля 2019 г. · Система: 2t + w = ​​3,25. 3t + w = ​​4,50. Вы можете решить систему с помощью подстановки, но комбинация в этом вопросе быстрее, потому что вычитание первого уравнения из второго исключает w, и вы можете решить для t: 3t + w = ​​4,50 — (2t + w = ​​3,25) t = 1,25. Подставьте это значение вместо t в первое уравнение и решите для w: 2 (1,25) + w = ​​3,25 Практический тест по системам уравнений Решите следующую задачу с помощью ПОДСТАВКИ.Вы ДОЛЖНЫ показать свою работу, чтобы получить признание. 19 5x + 4) ‘= — = —3x —4 1.4 Решите следующее, используя УСТРАНЕНИЕ. Вы ДОЛЖНЫ показать свою работу, чтобы получить признание. 4. 7x — y = 3 5x + 3y = 15 lox + 6y = 20

Тест — фундаментальная математика. Тест — Фундаментальная математика 2; Тест — средний уровень математики. Тест — Промежуточная математика 2; Математический тест для 8 класса; Линейное уравнение. Линейное уравнение 2; Наклон линии; Одновременные уравнения; Функции. Область функции; Последовательности. Арифметические последовательности; Геометрические последовательности; Логарифмы… Как только решение переменной найдено, можно работать в обратном направлении по уравнениям, чтобы найти другие значения переменных. Используйте метод исключения, чтобы найти (x, y) или (x, y, z) в следующих системах уравнений {e1, e2, …}.

Решите следующую систему уравнений с помощью исключения Гаусса. В зависимости от курса вы теперь можете перейти к использованию матриц для решения систем уравнений. Если вы это сделаете, методы, которые вы будете изучать для матриц, скорее всего, будут очень похожи на то, что вы видели в этом уроке.Система уравнений 2×2 Уроки алгебры с множеством отработанных примеров и практических задач. Очень легко понять!

Учащимся снова потребуется умение манипулировать и преобразовывать уравнения в Блоке 5: Линейные отношения и Блоке 6: Системы линейных уравнений. Кроме того, эти навыки понадобятся на протяжении всей старшей школы, поскольку учащиеся знакомятся с новыми типами уравнений, включающими радикалы, показатели степени, множественные переменные и многое другое.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.