решите уравнение x 2 20 x

Вы искали решите уравнение x 2 20 x? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решите уравнение x 2 x 20, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «решите уравнение x 2 20 x».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как решите уравнение x 2 20 x,решите уравнение x 2 x 20,решите уравнение x2 20 x,решите уравнение х2 20 х,решите уравнение х2 х 20,решить уравнение х 2 20,х 2 20. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и решите уравнение x 2 20 x. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, решите уравнение x2 20 x).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же решите уравнение x 2 20 x Онлайн?

Решить задачу решите уравнение x 2 20 x вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.

Пример 2
Решить уравнение |x-2| — 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:

х-2=0     х-1=0    х-3=0
х=2        х=1      х=3

Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1];   (1; 2];  (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) — 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 — 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 — 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.

---

Рациональные уравнения

  Рациональным уравнением называется уравнение вида 

где P(x), Q(x)  — многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример 

Решить уравнение

Решение:

x²-4=0,                х-2≠0,

x²=4,                   х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.

---

УПРАЖНЕНИЯ

1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1;    |x-5|=2;   |x+3|=-6.    б) |1+x|=3;   |1-x|=-4;   8+|x|=2.

Решение:
а)  |x|+4=1 не имеет корней, т.к.  |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к.   модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.

---

2. Решите уравнение:

а) |5x|=15;    б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
    |5||x|=15;
     5|x|=15;
     |x|=3;
     x=3 или x=-3.

---

3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5;    б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;

Ответ: -1,2; 0,8.

---

4. Решите уравнение:

а) |5x²+3x-1|=-x²-36;    б) |3x²-5x-4|=-4x²-23.

Решение:
а) |5x²+3x-1|=-x²-36. Рассмотрим выражение  -x²-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x²+3x-1|=-x²-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней

---

5. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -1/3.

---

6. Решите уравнение:

Решение:

14х²-5x-1=0,

---

7. Решите уравнение:

Решение:

---

8. Решите уравнение:

Решение:

х ≠3.
Ответ: -4; 1.

---

9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения 
 равно:  а) -6;    б) 6.
Решение:

---

10. Решите уравнение:

Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х²-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х²=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).

---

11. Решите уравнение:

а) х²-6|x|=0;    б) х²+4|x|=0.   

Решение:
а) х²-6|x|=0; 
х≥0: х²-6x=0;   х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0:  х²+6x=0;   х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.

---

12.Решите уравнение:

а) х²-3|x|+2=0;    б) х²-2|x|+1=0.   

Решение:
а) х²-3|x|+2=0.
х≥0: х²-3x+2=0;   D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0:  х²+3x+2=0;   D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.

---

13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5;     б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 — нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.

---

14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5;   б) 8-|2 -|x|||=3. 

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5               или          3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 — нет решений            |4-|x||=8
                                                    4-|x|=8 или 4-|x|=-8
                                                    |x|=-4 — нет решений   |x|=12
                                                                                         х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.

---

15. Решите уравнение:

Решение:
а) 
3x-7≥0: х²-3x+10=0;   D=9-40=-31<0 — нет корней.

3x-7<0: х²-3x-10=0;   D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.

---

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какие из чисел -4; -1;  2;  1,5; 2,5 являются корнями уравнения:

а) |3x-1|=5;    б) |4-2x|=1?

2. Решите уравнение:

а) |3x|=21;    б) |2x|=-12.

3.  Решите уравнение:

а) |2x-5|=1;    б) |3x+6|=18.

4.  Решите уравнение:

5.  Решите уравнение:

6.  Решите уравнение:

7.  Решите уравнение:

8.  Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

а) 3(x-1) = |2x-1|;   б) |5-2x|=|x+4|.

10. Решите уравнение:

а) |х²+x|=12;    б) |х²-3x|=10.

---

Проверь себя

---

Способы решения квадратных уравнений | Творческие проекты и работы учащихся

Варианты решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения (Приложение 1).

Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно остановимся на каждом из них.

1 способ: разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х2 + 10х — 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х — 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х2 + 10х — 24 = 0.

2 способ: метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х — 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3 способ: решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

Примеры. Сколько корней имеет уравнение?

а) 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 — 4ac = 72 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 — 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 — 4ac = 32 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac < 0,

уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4 способ: решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 иx2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = — 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = — 7 иx2 = — 1, так какq = 7 > 0 иp= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Пример: x2 + 4x – 5 = 0; x1 = — 5 иx2 = 1, так какq= — 5 < 0 иp = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 иx2 = — 1, так какq = — 9 < 0 иp = — 8 < 0.

5 способ: решение уравнений способом «переброски»( Приложение 2).

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6 способ: свойства коэффициентов квадратного уравнения (Приложение 2)

А.Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1

х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = — b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = — 1• ( — c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней.

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7± 8,

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

7 способ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Все данные вводим в программу«Advanced Grapher» и получаем ответы [13].

Искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с=0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на оси ординат. [5, c.34]

Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
• прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
• прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4.

Ответ: х1 = — 1; х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8 способ:: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). [5, c.34]

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD.

Итак: 1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример. Решим уравнение х2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

9 способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990) [ 3, c.83] .

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корниz1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

(рис.12)

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 иz2 = 0,5.

3) Для уравнения

z2 — 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откудаz1 = 5t1 = 3,0 иz2 = 5t2 = 22,0.

10 способ: геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16,

или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаему2 — 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3)2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = — 2.

Заключение

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое.

Но это вопросы уже следующих работ. В результате изучения новых способов решения квадратных уравнений мы получили возможность решать уравнения не только по формуле, но и более интересными способами. Решили множество уравнений, изучили программу «Advanced Grapher». Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. Данная исследовательская работа может быть использована учителями математики на уроках и элективных курсах по математике при изучении темы «Квадратные уравнения» (Приложения 1-3), учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений. Любой учащийся, используя эту исследовательскую работу, может самостоятельно изучить данную тему (Приложения 1-2).

Литература

1. Алимов, Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. / Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. — М., Просвещение, 1981.
2. Арутюнян, Е.Б.Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.
3. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.
4. Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.
5. Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.
6. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.
7. Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.
8. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение,
9. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.
10. Энциклопедический словарь юного математика. – 2-е издание, испр. и доп. – М.:Педагогика, 1989.
11. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика.- М.: Аванта+, 1999.
12. Ресурсы сети Интернет.
13. Программы «Advanced Grapher» и «Открытая математика».

Перейти к разделу: 3. Что необходимо знать для решения квадратных уравнений?

Уравнения с параметром

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением
с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это
значит, для каждого значения а найти значения
х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

1. Если а = 0, то 0х = 0
   
                            
   х – любое действительное число
2. Если а 0, то х =
   
                           
   х = 0

Пример 2. ах = а

1. Если а = 0, то 0х = 0
   
                            
   х – любое действительное число
2. Если а 0, то х =
   
                          
   х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах

х – ах = -2

х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней
нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а² – 1) х = 2а² + а – 3

(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)

(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0

                         
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2

                         
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а
соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

2. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

3. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число,
кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

4. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

5. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

6. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = —с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х² = 2(2а + 1)х + 4а
+ 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0

х = –

В случае а 1 выделим
те значения параметра, при которых Д
обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))² – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а²
+ 16а + 4 – 4(4а² + 3а – 4а – 3) = 16а²
+ 16а + 4 – 16а² + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

a =

a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет
действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1,
то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

х = – = –

Пример 2. При каких значениях
параметра а уравнение

х² + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2
различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1)² – 4(9а – 5) = 4а²
– 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х₁ + х₂ = -2(а + 1)

                    
х₁х₂ = 9а – 5

По условию х₁ < 0, х₂ < 0 то
–2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0

а < 1: а > 6 а > — 1 а > 5/9

(Рис. 1) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а, при
которых данное уравнение имеет решение.

х² – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1)² – 4(2а + 10 = 4а²
– 8а + 4 – 8а – 4 = 4а² – 16а

4а² – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0

                
а = 4

(Рис. 2)

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах²
– (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х²
+ 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а²
– 6а + 8) х² + (а² – 4) х + (10
– 3а – а²) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х² + х
– а = 0 имеет хотя бы один общий корень с
уравнением 2х² – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х² +ах
+ 1 = 0 и х² + х + а = 0 имеют хотя бы
один общий корень?

Ответы:

1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = — 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а,
при которых уравнение

9^х – (а + 2)*3^х-1/х +2а*3^-2/х =
0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3^2/х,
получим равносильное уравнение

3^2(х+1/х) – (а + 2)*3^х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3^х+1/х = у, тогда уравнение (2)
примет вид у² – (а + 2)у + 2а = 0,
или

(у – 2)(у – а) = 0, откуда у₁ =2, у₂
= а.

Если у = 2, т.е. 3^х+1/х = 2 то х + 1/х =
log₃2 , или х² – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней,
так как его Д = log²₃2 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3^х+1/х = а то х +
1/х = log₃а, или х² – хlog₃а
+ 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и
только тогда, когда

Д = log²₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а
< -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2. При каких значениях а
уравнение 2^2х – (а – 3) 2^х – 3а = 0
имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело
решения, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение t² – (a – 3) t – 3a = 0
имело хотя бы один положительный корень. Найдем
корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂
= а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25^х – (2а + 5)*5^х-1/х + 10а * 5^-2/х
= 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2^{(а-1)х?+2(а+3)х+а} = 1/4 имеет единственный
корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4^х — (5а-3)2^х +4а² – 3а =
0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 < а
   3/4 и а = 1

Логарифмические уравнения с
параметром

Пример 1. Найти все значения а,
при которых уравнение

log_4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х
> 0, х 1/4 (3)

х = у

ау² –у + 1 = 0 (4)

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау²
– 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и
только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный
положительный корень х = 1, удовлетворяющий
условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4)
имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет
действительные корни разных знаков. Это условие
выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0
и 1/а < 0, т.е. при а < 0.

Пример 2. Найти все значения а,
при которых уравнение

log₅(x = 2-a ) – log_1/5(a-1-x)
= log₂₅9 имеет решение.

Решение. log₅(x + 2-a) –log₅(f – 1 – x) = log₅3

(1) х + 2 – а = 3(а
– 1 – х), если

(2) а – 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем
неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики
функций у = 2 – а и
у = 1 – а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀;
2), где а₀ < 0 и а₀ – корень
уравнения 2 – а = 1 – а.

Тогда 2 – а = (1– а)²

а² – а – 1 = 0

а₀ =

Ответ: < a
2

Дидактический материал

1. Найдите, при каких значениях а уравнение log ₃
   (9^x + 9a³)^{= x имеет ровно
   два корня.}
2. Найдите, при каких значениях а уравнение log ₂
   (4^x – a) = x имеет единственный корень.
3. При каких значениях а уравнение х – log ₃ (2а
   – 9^х) = 0 не имеет корней.

 

Ответы:

1. при а < 1/3 36
2. при а = -1/4
3. при а < -1/8

Литература

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика.
Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.

Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное
изучение курса алгебры и математического
анализа. – М.: Просвещение, 1990

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем
школьный курс алгебры и начал анализа. – М.:
Просвещение, 1990.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.
Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.

Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала
анализа. Решение экзаменационных задач. – М.:
Дрофа, 1998.

Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические
материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение,
2001.

Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи
по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. –
М.: Просвещение, 1990.

Журналы “Математика в школе”.

Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.:
Экзамен, 2001–2008.

Конспект урока » Уравнение х2=а»

Уравнение х² = а.

Цели урока:

Образовательные: повторить свойства квадратных корней; продолжить формировать умение извлекать квадратные корни; используя изученные свойства, научиться решать уравнения вида х² =a, повышать вычислительную культуру учащихся;

Развивающие: развивать умение пользоваться свойствами квадратных корней; грамотную речь; развитие памяти; навыков самостоятельной работы;

Воспитательные: воспитание аккуратности, дисциплины; воспитание настойчивости в достижении цели; воспитание ответственного отношения к учебе.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Здравствуйте! Садитесь! (Заполняется журнал, отмечается отсутствующие учащиеся).

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Проверка домашнего задания.

№ 303

№ 313

III. Актуализация знаний.

– Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) 0,3²; з) (–0,3)²; и) ; к) .

— Квадрат какого числа равен 4? 25? 12? -1? 0?

Мотивация

Ребята, восточная мудрость гласит: «Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить». И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он сам не старается узнать больше, не имеет желания работать над своим умственным развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью.

IV. Объяснение нового материала.

— Как с помощью уравнения записать последнее задание устного счета?

Ответ: х² = 4, х² =25, х² = 12, х² = -1, х² = 0

— Что объединяет эти уравнения?

Ответ: общий вид х² = а

— Умеем ли мы решать такие уравнения и каким способом?

Ответ: Да, умеем, способом подбора корней, опираясь на определение квадратного корня

— Что мы знаем о таких уравнениях?

Ответ: Что у них может быть один, два, или ни одного корня, но от чего это зависит, мы не выясняли.

— Сегодня мы с вами выясним, от чего зависит количество корней уравнения х² = а.

Для этого сначала выполните следующее задание: какие числа можно вписать в пустые карточки, чтобы равенство было верным?

а) ² = 25; б) ² = ; в) ² = –9;

г) ² = ; д) ² = 0; е) ² = .

Сформулируйте самостоятельно утверждение о различных случаях, возникающих при поиске корней таких уравнений.

На доску можно вынести з а п и с ь:

Уравнение х² = а

1) имеет 2 корня, если а > 0;

2) имеет 1 корень, если а = 0;

3) не имеет корней, если а < 0.

После этого перейти к графической интерпретации решения уравнения х² = а. Сделать вывод, что если а > 0, то корнями уравнения х² = а будут числа и –.

V. Формирование умений и навыков.

№ 319

№ 320.

а) x² = 36 ; x_1,2 = √36 х₁=6 , х₂= — 6

г) x² = 11; x_{1,2 =}√ 11 х₁= √11 х₂= -√11

д) x² = 8 ; x_{1,2 =}√8=2√2 х₁= 2√2 х₂= -2√2

№ 321 (а, в).

а) х_1,2=± х ≈ ± 1,7 а) х_1,2=± х ≈ ± 2,1

№ 322.

а) 80 + y² = 81

y² = 81− 80 = 1;

y_1,2 = ±1

б) 19 + c² = 10 ;

c² = 10 −19 = −9 ; уравнение корней не имеет;

д)

а²=40

а_1,2 =± = ± 2

№ 324 (а, в).

а) (х – 3)² = 25

х – 3 = 5 или

х = 8

х – 3 = –5

х = –2

О т в е т: –2; 8.

в) (х – 6)² = 7

х – 6 = √7 или

х = 6+√7

х – 6 = –√7

х = 6 –√7

О т в е т: 6+√7; 6 –√7 .

Даны уравнения:

х² = 16, х² = –100, х² = 5, х² = 0, х² = .

Выберите из них те, которые:

а) имеют два корня;

б) имеют два рациональных корня;

в) имеют два иррациональных корня;

г) имеют один корень;

д) не имеют корней.

Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни:

а) 7 и –7; б) 0,2 и –0,2; в) и –.

Необходимо, чтобы учащиеся составили к каждому случаю несколько уравнений. Можно устроить своеобразное соревнование: у кого из них получится больше различных уравнений.

Н а п р и м е р, в первом случае можно составить такие уравнения:

х² = 49, 2х² = 98, х² + 1 = 50, 10 – х² = –39 и т. п.

VI. Итоги урока.

– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа?

– Может ли в выражении число а быть отрицательным? Почему?

– Сколько корней может иметь уравнение х² = а? От чего это зависит?

– Какие корни имеет уравнение х² = а, если а > 0? а = 0?

VII.3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x² +x +1).

Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x³ -2x +1.

Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

Число «Пи» записывается, как pi

Тригонометрические функции: sin, cos, tan, ctan, arcsin, arccos, arctan, arcctan

Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

Производные и интегралы

Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim, а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity).8

Оператор factor раскладывает число на множители

! выводит факториал, например 123!

Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

Уравнения в целых числах — Математика

Файл к уроку 8

Уравнения в целых числах.

Диофант и история диофантовых уравнений.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.

1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , НОД , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , НОД  и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , НОД  и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х₀, у₀ – целое решение уравнения ,  — любое целое число.

Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b, 

если  и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если  и , то

1. Разделить почленно уравнение  на , получив при этом уравнение , в котором .

2. Найти целое решение (х₀, у₀) уравнения  путем представления 1 как линейной комбинации чисел  и ;

3. Составить общую формулу целых решений данного уравнения 

где х₀, у₀ – целое решение уравнения ,  — любое целое число.

Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Метод полного перебора.

2. Метод разложения на множители.

3. Выделение целой части и оценка дроби.

4. Выделение полного квадрата.

5. Решение уравнения с двумя переменными как квадратное относительно одной из переменных и др.

Задачи по теме:

1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями решения: 49x + 51y = 602.

Решение: Выразим из уравнения переменную х через у, получим: . Так как x и y – натуральные числа, то , тогда , отуда . Возможные значения у от 1 до 10. Перебором убеждаемся, что единственное решение у = 7, тогда х = 5. Ответ: (5; 7)

1. Решить в целых числах уравнение: 13x+41y=8

Решение: Вновь выразим одну переменную через другую, получим:

Чтобы решение было в целых числах, нужно, чтобы дробь была целым числом. Так как в числителе стоит четное число, а в знаменателе нечетное, то обозначим , где . Выразим через t у и х:

Ответ: (-12+41t; 4-13t), t.

1. Решить в натуральных числах уравнение: .

Решение: снова используем метод полного перебора. Рассмотрим левую часть уравнения. При левая часть будет содержать множитель от 1 до 5, и заканчиваться на 0. Посмотрим, при каких значениях y справа тоже может стоять число, оканчивающееся на 0. Рассмотрим таблицу:

Видим, что получить такое число ни при каких у нам не удастся, остается рассмотреть 4 значения х и подобрать для них у:

Чему равен х	Чему равен у2
1	13
2	14
3	18
4	36

Как видим, единственным натуральным решением будет х = 4, у = 6.

Ответ: (4; 6).

1. Решить в целых числах уравнение x² + 1 = 3y.

Решение: это еще один из вариантов перебора всех случаев. Выражение справа делится на 3. Рассмотрим выражение слева на предмет делимости на 3. Как мы знаем, число при делении на 3 может давать остатки 0, 1 и 2. Это же число в квадрате может давать остатки только 0 или 1. Тогда х²+1 не делится на 3 ни при каком значении х. А значит уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

1. Решить уравнение в натуральных числах:

Решение: Здесь используем метод разложения на множители. Преобразовав уравнение, получим: , или . Число 23 – простое, возможны варианты: разность равна -1, сумма 23.

Ответ: (11; 12)

1. Решить в целых числах уравнение: x + y = xy.

Подсказка: Используем метод разложения на множители.

Ответ: (2;2), (0;0).

1. Найти все целочисленные решения уравнения:

Решение: Используем метод выделения полных квадратов: Представим число 29 в виде двух слагаемых, являющихся полными квадратами, и при этом одно их них красно 4. Перебором убеждаемся, что это 4 и 25. Тогда

Ответ:

1. Решить в целых числах уравнение:

Решение: используем метод оценки. Разделим первую скобку на х, вторую на у, получим: . Применим неравенство Коши: . Равенство в неравенстве Коши возможно только при a = b. Тогда х = 2, у = 1, или х = -2, у = -1.

Ответ: (2;1), (-2;-1).

1. Решить в целых числах уравнение

Подсказка: Попробуйте рассмотреть уравнение как квадратное относительно х с параметром у.

Ответ: (-1; -1).

1. Решить уравнение в целых числах:

Подсказка: Выразить у через х и перебрать все возможные варианты.

Ответ: (2;-2), (0; -2).

1. Решить в целых числах уравнение: .

Ответ: (-10+97t; 2-19t) t – целое число.

1. Решить в целых числах: .

Ответ: (1750; -18), (-1944; -20), (-96; 1828), (-98; -1866).

1. Решить в целых числах уравнение: .

1. Решить в целых числах уравнение .

2. Решить уравнение в целых числах: 2х²-2ху +9х+у=2

3. Решить в натуральных числах уравнение: , где тп.

4. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

5. Найдите все пары (х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

Решение квадратных уравнений с факторингом

Purplemath

Этот урок охватывает множество способов решения квадратичных вычислений, таких как извлечение квадратного корня, вычисление квадрата и использование квадратичной формулы. Но начнем с решения по факторингу.

(Прежде чем перейти к теме решения квадратных уравнений, вы уже должны знать, как разложить квадратные выражения на множители.Если нет, сначала просмотрите, как учитывать квадратичные факторы.)

Вы уже разложили квадратные выражения на множители. Новым здесь является то, что квадратное выражение является частью уравнения, и вам предлагается найти значения переменной, которые делают уравнение истинным. Вот как это работает:

MathHelp.com

• Решите (

  x — 3) ( x — 4) = 0 с помощью факторизации.

Хорошо, эта квадратичная для меня уже учтена. Но как мне использовать эту факторизацию для решения уравнения?

Для решения квадратичных вычислений путем факторинга мы используем нечто, называемое «Свойство нулевого произведения». Это свойство говорит о том, что кажется довольно очевидным, но только после того, как нам на это указали; а именно:

Свойство нулевого произведения: если мы умножаем две (или более) вещи вместе и результат равен нулю, то мы знаем, что по крайней мере одна из тех вещей, которые мы умножили, также должно быть равно нулю.Другими словами, единственный способ получить ноль при умножении двух (или более) множителей состоит в том, чтобы один из множителей был равен нулю.

Итак, если мы умножаем два (или более) множителя и получаем нулевой результат, то мы знаем, что по крайней мере один из множителей сам был равен нулю. В частности, мы можем установить каждый из факторов равным нулю и решить полученное уравнение для одного решения исходного уравнения.

Мы можем сделать полезный вывод о факторах (а именно, что один из этих факторов должен был быть равен нулю, поэтому мы можем установить факторы равными нулю), только если сам продукт равен нулю.Если произведение факторов равно на все, что ненулевое, то мы не можем сделать какое-либо заявление о значениях факторов.

Следовательно, при решении квадратных уравнений путем факторизации мы должны всегда иметь уравнение в форме «(квадратное выражение) равно (нулю)», прежде чем мы попытаемся решить квадратное уравнение путем факторизации.

Возвращение к упражнению:

Принцип нулевого фактора говорит мне, что хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.Поскольку хотя бы один из коэффициентов должен быть равен нулю, я могу установить каждый из коэффициентов равным нулю:

x — 3 = 0 или x — 4 = 0

Это дает мне простые линейные уравнения, которые легко решить:

И эти два значения — то решение, которое они ищут:

Обратите внимание, что « x = 3, 4» означает то же самое, что и « x = 3 или x = 4»; единственная разница — это форматирование.Формат « x = 3, 4» является более распространенным.

---

• Решите

  x ² + 5 x + 6 = 0 и проверьте.

Это уравнение уже имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», но, в отличие от предыдущего примера, оно еще не учтено. Я ДОЛЖЕН сначала разложить квадратичный фактор на множители, потому что только когда я УМНОЖДАЮ и получаю ноль, я могу что-либо сказать о факторах и решениях.Я не могу сделать никаких выводов об отдельных членах квадратичной системы без учета факторов (например, 5 x или 6), потому что я могу добавить много всего, что в сумме равно нулю.

Итак, первое, что мне нужно сделать, это фактор:

x ² + 5 x + 6 = ( x + 2) ( x + 3)

Теперь я могу переформулировать исходное уравнение в терминах произведения факторов, при этом произведение равно нулю:

Теперь я могу решить каждый фактор, установив каждый из них равным нулю и решив получившиеся линейные уравнения:

x + 2 = 0 или x + 3 = 0

x = –2 или x = — 3

Эти два значения являются решением исходного квадратного уравнения.Итак, мой ответ:

Я еще не закончил, потому что в исходном упражнении мне предлагалось «проверить», что означает, что мне нужно вставить свои ответы обратно в исходное уравнение и убедиться, что оно получилось правильным. В этом случае я буду вставлять выражение в левой части исходного уравнения и проверять, что я получаю правую часть; а именно, с 0:

проверка x = –3:

[–3] ² + 5 [–3] + 6

9–15 + 6

9 + 6–15

15–15

0

проверка x = –2:

[–2] ² + 5 [–2] + 6

4–10 + 6

4 + 6 — 10

10–10

0

---

Когда в упражнении указано, что вы должны решить «и проверить» вышеуказанное plug-n-chug, они ищут вас, чтобы показать, что вы включили свой ответ в исходное упражнение и получили что-то, что сработало правильно.Выше, где я показал свои чеки, все, что им нужно. Но делайте свою работу аккуратно!

Между прочим, вы можете использовать эту технику «проверки», чтобы проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение. Так, например, если вы не уверены в своем ответе на вопрос «фактор и решение» в следующем тесте, попробуйте включить свои ответы в исходное уравнение и убедиться, что ваши решения приводят к истинным утверждениям.

---

Это уравнение не в форме «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я пока не могу его решить.Первое, что мне нужно сделать, это перевернуть все термины с одной стороны и оставить ноль с другой стороны. Только тогда я могу разложить на множители и решить:

x ² — 3 = 2 x

x ² — 2 x — 3 = 0

( x — 3) ( x + 1) = 0

x — 3 = 0, x + 1 = 0

x = 3, x = –1

Тогда мое решение:

---

• Решить (

  x + 2) ( x + 3) = 12.

Студенты часто видят уравнения такого типа и говорят:

«Круто! Это уже учтено! Я установлю множители равными 12 и решу, чтобы получить x = 10 и x = 9. Это было легко!»

Да, это было легко; это тоже было неправильно. Очень-очень неправильно.

Помимо того факта, что ни (10 + 2) (10 + 3), ни (9 + 2) (9 + 3) не равно 12, мы никогда не должны забывать, что мы должны иметь «(квадратичное) равно (нулю)», прежде чем мы сможем решить по факторингу.

Возвращение к упражнению:

Каким бы заманчивым это ни казалось, я не могу приравнять каждый из множителей в левой части уравнения к другой части уравнения и решить. В противном случае я бы получил совершенно неправильную путаницу.

Вместо этого мне сначала нужно умножить и упростить левую часть, затем вычесть 12 из левой и повторно разложить на множители. Только тогда я смогу решить.

( x + 2) ( x + 3) = 12

x ² + 5 x + 6 = 12

x ² + 5 x — 6 = 0

( x + 6) ( x — 1) = 0

x + 6 = 0, x — 1 = 0

x = –6, x = 1

Тогда мое решение:

---

Эту двухчленную квадратичную легче разложить на множители, чем предыдущие квадратичные: я сразу вижу, что могу разложить на множители x из обоих членов, взяв за основу x .Это дает мне:

Очень распространенная ошибка, которую делают ученики на этом этапе, — это «решить» уравнение для « x + 5 = 0» путем деления на x . Но это неверный шаг. Почему? Потому что мы не можем делить на ноль. Как это здесь играет роль?

При делении на коэффициент x делается неявное предположение, что x не равно нулю.Для такого предположения нет абсолютно никаких оснований! И такое предположение привело бы к потере половины нашего решения этого уравнения.

Возвращение к упражнению:

Мне нужно помнить, что фактор может содержать только переменную без добавления к другим терминам; в частности, « x » — вполне допустимый коэффициент. Мне нужно установить и коэффициентов равными нулю, а затем решить два результирующих линейных уравнения:

x ( x + 5) = 0

x = 0, x + 5 = 0

x = 0, x = –5

Тогда мое решение:

---

В предыдущем примере было два члена, и его легко разложить на множители.Есть еще один случай двухчленной квадратичной системы, который мы можем разложить на множители. Это только немного сложнее:

Это уравнение имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я могу его решить путем факторизации. Но как это учесть? Заметив, что это разница квадратов. Применим формулу разности квадратов, которую выучил:

x ² — 4 = 0

( x — 2) ( x + 2) = 0

x — 2 = 0, x + 2 = 0

x = 2, x = –2

Тогда мое решение:

---

Примечание. Приведенное выше решение также можно отформатировать как « x = ± 2».Это произносится как « x равно плюс-минус 2».

В последнем примере на следующей странице мы расскажем, как вычислить квадратный корень. 2».2-x- (12) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1.1 Факторинг x ² -x-12

Первый член: x ² его коэффициент равен 1.
Средний член, -x, его коэффициент -1.
Последний член, «константа», равен -12

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -12 = -12

Шаг-2: Найдите два множителя -12, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -1.

	-12	+	1	=	-11
	-6	+	2			-4	+	3	=	-1	Вот и все

Шаг 3: Перепишите полиномиальное разбиение среднего члена, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше, -4 и 3
x ² — 4x + 3x — 12

Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
x • (x-4)
Складываем последние 2 члена, вычитая общее коэффициенты:
3 • (x-4)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(x + 3) • (x-4)
Какой желаемый факторизат ion

Уравнение в конце шага 1:

 (x + 3) • (x - 4) = 0
 

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 2.2 Решите: x + 3 = 0 
 
 Вычтем 3 из обеих частей уравнения: 
 x = -3 
 
 
 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 2.3 Решите: x-4 = 0 
 
 Добавьте 4 к обеим сторонам уравнения: 
 x = 4 
 
 
 
 Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую 
 
 Решение x  2  -x-12 = 0 напрямую 
 Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. Давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу
 
 Парабола, найдя вершину: 
 3.1 Найдите вершину y = x  2  -x-12
 Параболы имеют наибольшее значение или самая низкая точка называется Вершиной.Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
 Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
 Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 0.5000
 Подставляя в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 12,0 
 или y = -12,250
 Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X: 
 Корневой график для: y = x  2  -x-12 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50} 
 Вершина в точке {x, y} = {0,50, -12,25} 
 x -Переходы ( Корни): 
 Корень 1 при {x, y} = {-3.00, 0.00} 
 Корень 2 при {x, y} = {4.00, 0.00}
 Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
 3.2 Решение x  2  -x-12 = 0, завершив Квадрат.
 Добавьте 12 к обеим сторонам уравнения: 
 x  2  -x = 12
 Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4
 Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения: 
 В правой части мы имеем: 
 12 + 1/4 или, (12/1) + (1/4) 
 Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (48/4) + (1/4) дает 49/4 
 Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем: 
 x  2  -x + (1/4) = 49/4
 Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат: 
 x  2  -x + (1/4) = 
 (x- (1/2)) • (x- (1/2)) = 
 ( x- (1/2))  2  
 Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как 
 x  2  -x + (1/4) = 49/4 и 
 x  2  -x + (1/4) = (x- (1/2))  2  
 то по закону транзитивности, 
 (x- (1/2))  2  = 49/4
 Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1
 Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
 Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x- (1/2))  2  равен 
 (x- (1/2))  2/2  = 
 (x- (1/2))  1  = 
 x- (1/2)
 Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 3.2.1 получаем: 
 x- (1/2) = √ 49/4
 Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 1/2 + √ 49/4
 Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
 x  2  — x — 12 = 0 
 имеет два решения: 
 x = 1/2 + √ 49/4 
 или 
 x = 1/2 — √ 49/4
 Обратите внимание, что √ 49/4 можно записать как 
 √ 49 / √ 4, что равно 7/2
 Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
 3.3 Решение x  2  -x-12 = 0 по квадратичной формуле.
 Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, определяется по формуле: 
   
 — B ± √ B  2  -4AC 
 x = ———————— 
 2A
 В нашем случае A = 1 
 B = -1 
 C = -12
 Соответственно B  2  — 4AC = 
 1 — (-48) = 
 49
 Применение квадратичной формулы:
 1 ± √ 49 
 x = ————— 
 2
 Можно ли упростить √ 49?
 Да! Разложение 49 на простые множители равно 
 7 • 7 
 Чтобы можно было удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.2-4x + 3} $ — Обмен стеков по математике
 Сеть обмена стеков 
 Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
 Посетить Stack Exchange
 0
 +0
 Авторизоваться
 Зарегистрироваться
 Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
 Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
 Кто угодно может задать вопрос
 Кто угодно может ответить
 Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
 Спросил
  1 год, 5 мес назад 
 Просмотрено
 422 раза
 $ \ begingroup $
 Как решить уравнение $ x ^ 2-2x = \ sqrt {2x ^ 2-4x + 3} $
 Приведет ли возведение в квадрат обеих сторон члена $ x ^ 4 $, который может усложнить уравнение?
 Н. 2 + 4x- 3 = 0 $.2-4x + 3) $ = $ (x-1) (x + 1) (x-1) (x-3) $ = 0. Итак, мы нашли четыре корня, но помните, поскольку мы возводили обе стороны в квадрат, мы ввели два новых решения. Подставляя обратно в исходное уравнение, мы видим, что x = 1 (повторяющийся корень) не является правильным решением, поскольку оно дает отрицательное значение под квадратным корнем.
 
 Создан 05 янв.
 ÄresÄres
 7,8779 золотых знаков1212 серебряных знаков2727 бронзовых знаков
 $ \ endgroup $
 $ \ begingroup $
 Чтобы ответить на ваш конкретный вопрос: да, возведение в квадрат вводит дополнительные «сол.2-2x + 1) = 0 $$, поэтому $ x = 1, -1 $ или 3 $.
 Но, проверяя, мы обнаруживаем, что $ x = 1 $ не является решением исходного уравнения.
 
 Создан 05 янв.
 альмагестальмагест
 17.5k1919 серебряных знаков3939 бронзовых знаков
 $ \ endgroup $
 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript
 Ваша конфиденциальность
 Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.
 Принимать все файлы cookie
 Настроить параметры
 Решение квадратного уравнения (ключевой этап 4) 
 Урок 
Квадратное уравнение — это уравнение в форме:
Решение квадратного уравнения означает нахождение значения  x , которое делает это уравнение истинным (т.е. делает левую часть равной 0.)
Значения  x , которые решают уравнение, называются корнями   уравнения.
 Понимание решения квадратных уравнений 
Решение квадратных уравнений легче понять на примере. Давайте посмотрим на квадратное уравнение.
  x  — переменная. Может принимать разные значения.
Давайте попробуем  x = 1 ,  x = 2  и  x = 3 .
 х = 1 
Подставляем  x = 1  в левую часть квадратного уравнения:
 x  2  — 3x + 2 = ( 1 )  2  — 3 ( 1 ) + 2
 x  2  — 3x + 2 =  1  ×  1  — 3 ×  1  + 2
 x  2  — 3x + 2 = 1-3 + 2
 x  2  — 3x + 2 = 0
Когда  x = 1 , левая часть уравнения равна  0 , что равно правой части уравнения. x = 1  решает уравнение. Это корень уравнения.
 х = 2 
Подставляем  x = 2  в левую часть квадратного уравнения:
 x  2  — 3x + 2 = ( 2 )  2  — 3 ( 2 ) + 2
 x  2  — 3x + 2 =  2  ×  2  — 3 ×  2  + 2
 x  2  — 3x + 2 = 4-6 + 2
 x  2  — 3x + 2 = 0
Когда  x = 2 , обе части уравнения равны. x = 2  решает уравнение. Это корень уравнения.
 х = 3 
Подставляем  x = 3  в левую часть квадратного уравнения:
 x  2  — 3x + 2 = ( 3 )  2  — 3 ( 3 ) + 2
 x  2  — 3x + 2 =  3  ×  3  — 3 ×  3  + 2
 x  2  — 3x + 2 = 9-9 + 2
 x  2  — 3x + 2 = 2 ≠ 0
Когда  x = 3 , левая часть уравнения равна  2 .Это , а не , равное правой части уравнения,  0 .
  x = 3  не решает уравнение.
  x = 1  и  x = 2  решают квадратное уравнение  x  2  — 3x + 2 = 0 .
Квадратное уравнение всегда будет иметь  2  значений  x , которые решают уравнение. Всегда есть  2  корень.
 Как решать квадратные уравнения 
Есть 3 способа решить квадратные уравнения.
 (1) Факторинг 
Квадратное уравнение иногда можно записать как произведение двух скобок.
Например:
отсюда мы можем прочитать два корня квадратного уравнения:
  х = 1 ,  х = 2 
 Подробнее о решении квадратных уравнений с использованием факторинга
 (2) Квадратичная формула 
Квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:
В этой формуле  a ,  b  и  c  — числа в квадратном уравнении в стандартной форме,  ax  2  + bx + c .
 Подробнее о решении квадратных уравнений по формуле корней квадратного уравнения.
 (3) График 
Квадратное уравнение можно решить, нанеся его на график и определив, где оно пересекает ось x:
На этом графике выше квадратичная кривая пересекает ось x в точках  x = 1  и  x = 2 . Это корни уравнения, которое решает уравнение.
 Интерактивный виджет 
Вы можете использовать этот интерактивный виджет   для создания графика квадратного уравнения.Используйте кнопки для изменения значений квадратного уравнения.
 Подробнее о решении квадратных уравнений с помощью графика
 Что в имени? 
Слово «квадратичный» происходит от слова «quad», что означает «квадрат», потому что  x  квадрат.
 Факторинг, Факторинг 
Записать квадратное уравнение как произведение двух скобок называется «факторизовать» или «разложить на множители» квадратное уравнение.Этот метод называется факторингом или факторингом.
 Есть 2 корня 
Квадратные уравнения всегда имеют два решения. Есть 2 значения  x , которые решают уравнение.
Мы можем визуализировать это, посмотрев на график квадратного уравнения.
Корни — это точки, в которых кривая пересекает горизонтальную ось абсцисс.
 Может быть два разных корня. Мы видим это, потому что кривая пересекает ось x в двух разных местах:
 Иногда кажется, что корень всего один.Но этот корень повторяется.
 Даже когда кажется, что корней нет, есть два сложных корня.
  Помогите нам улучшить математику Monster 
 Вы не согласны с чем-то на этой странице?
 Вы заметили опечатку?
 Сообщите нам, используя эту форму
 См. Также 
Что такое квадратное уравнение?
Что такое уравнение?
Что такое ось абсцисс?
 Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 
 Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения
   2008 Rasmus ehf и     Jhann sak  
 Уравнения III 
 Урок
 3
 Пересечение
 точек графиков
 Как приступить к поиску точек, в которых два графика
 y = f (x) и y = g (x) пересекаются?
 Мы уже знаем, где найти график
 f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая
 уравнение f (x) = 0. 
 Когда графики y = f (x) и y =
 g (x) пересекаются, оба графа имеют
 точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки
 пересечения путем решения уравнения f (x)
 = g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x
 точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для
 x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета
 либо f (x), либо g (x).
 Пример 1
 Рассчитать точку
 пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала
 давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл
 пересечение есть (2, 3).
 Рассчитываем точку пересечения по
 решение уравнения f (x) = g (x). То есть:
 2х — 1 = х + 1
 2х — х = 1 + 1
 х = 2
 Координата Y теперь может быть найдена
 вычисление f (2):
 f (2) = 2 × 2 — 1 =
 3
 Точка пересечения —  (2,
 3) .
 Пример показывает, что мы можем найти точку
 пересечения двумя способами. 
 Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо
 алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.
Решить уравнение графически легко с помощью
 графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel. 
 Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые
 исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и
 калькуляторы.
 Пример 2
 Решите уравнение x   2   — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, затем алгебраически.
 Рисуем графики f (x) = x   2   —
 2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график
 точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что
 графики пересекаются при x =  0  и x =  4 .
 Решает алгебраически:
 x   2   — 2x — 3 = 2x — 3
 x   2   — 4x = 0
 х (х — 4) = 0
 Даем решения x =  0  и x =  4 .
 Пример 3
 Решите уравнение x  2    — 1 = 2x — 3
 Сначала переместите все термины
 перейдите к левой части уравнения и упростите.
 Это дает x  2  — 2x + 2 = 0
 Мы используем формулу корней квадратного уравнения с a = 1, b =
 −2 и c = 2.
 Число под знаком квадратного корня:
 отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения. 
 Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала.
 уравнение
 f (x) = x   2   — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.
 Мы видим, что парабола
 f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы
 не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.
 Пример 4
 Решите уравнение x  3    — 3x + 2 = x  2    —
 2x + 1
 Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все
 слагаемые в левую часть уравнения.
 x  3  — 3x + 2 = x  2  — 2x + 1
 x  3    — x  2    — x + 1 = 0
 (x  3    — x  2 )   — (x — 1) = 0
 x  2  (x — 1) — (x — 1) = 0
 (х — 1) (х  2  —
 1) = 0
 (х — 1) (х — 1) (х
 + 1) = 0
 Расчеты показывают, что их всего два
 решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три
 решения.График показывает нам, что происходит.
 Графики f (x) =
 x   2   — 2x + 1 и g (x)
 = x  3  — 3x + 2 пересекаются
 только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями
 уравнение.
 Пример 5
 Решите уравнение x  2  =   x
 Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются
 решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень
 вероятно, но давайте посмотрим на графики.
 Назовите левую часть f (x) = x   2   и правую часть g (x) =   x.
 Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких
 отрицательные точки пересечения.
 На графике видно, что точек всего две
 пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х =
 1. 
 Вот как решить уравнение расчетом:
 x  2  =   x
 х  4  = х
 х  4  — х = 0
 x (x  3  — 1) = 0
   Квадрат
 обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня    . 
 Это дает решение x =  0  и x =  1 .
 Пример 6
 Решите уравнение ln x = x  2  — 1
 Это уравнение не так-то просто решить. Если мы
 вспомните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны
 уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем
 графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.
 График показывает нам, что есть два
 решения. Одно решение — ровно x
 = 1, поскольку e  0  = 1.
Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y
 становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы
 можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.
 Пример 7  
  
 EXCEL
 Если мы воспользуемся графическим калькулятором, то сможем найти
 решение уравнения ln x = x   2   — 1 намного проще.
 Рисуем графики обеих сторон
 уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти
 точка пересечения.
 Еще проще использовать G-Solve (F5) и
 затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку зрения
 пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к
 вторая точка пересечения. 2 − ln (B2)
 Теперь выберите Инструменты
 а затем «Поиск цели» в строке меню.В
 на экране появляется следующее:
 Пишем D2,
 1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным
 к значению 1, изменив значение в B2.
 Когда
 нажимаем ОК, появляется следующая информация.
 Это говорит нам о том, что
 аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно
 хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.
 Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.
 Не забудьте использовать контрольный список для
 следите за своей работой.
 Факторинговые квадратные уравнения — методы и примеры 
 Есть ли у вас представление о факторизации  многочленов ? Поскольку теперь у вас есть основная информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.
 Прежде всего, давайте кратко рассмотрим квадратное уравнение  .Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax  2  + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0. Термин «a» означает называется старшим коэффициентом, а «c» — абсолютным членом f (x).
 Каждое квадратное уравнение имеет  двух значений неизвестной переменной,  обычно называемых корнями уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.
 По этой причине факторизация  является фундаментальным шагом  на пути к решению любого уравнения в математике.Давай выясним.
 Как разложить квадратное уравнение на множители? 
 Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов. Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.
 Для решения квадратного уравнения ax  2  + bx + c = 0 путем факторизации используются следующие шаги : 
 Разверните выражение и при необходимости очистите все дроби.
 Переместите все члены в левую часть знака равенства.
 Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
 Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения
   Пример 1  
 Решите: 2 (x  2  + 1) = 5x
  Решение 
 Разверните уравнение и переместите все члены слева от знака равенства.
 ⟹ 2x  2  — 5x + 2 = 0
 ⟹ 2x  2  — 4x — x + 2 = 0
 ⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0
 ⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0
 Приравняем каждый множитель к нулю и решим
 ⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0
 ⟹ x = 2 или x = 1212
 Следовательно, решения x = 2, 1/2.
   Пример 2  
 Решить 3x  2  — 8x — 3 = 0
  Решение 
 3x  2  — 9x + x — 3 = 0
 ⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0
 ⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0
 ⟹ x = 3 или x = -13
   Пример 3  
 Решите следующее квадратное уравнение ( 2x — 3)  2  = 25
  Решение 
 Разверните уравнение (2x — 3)  2  = 25, чтобы получить;
 ⟹ 4x  2  — 12x + 9-25 = 0
 ⟹ 4x  2  — 12x — 16 = 0
 Разделите каждый член на 4, чтобы получить;
 ⟹ x  2  — 3x — 4 = 0
 ⟹ (x — 4) (x + 1) = 0
 ⟹ x = 4 или x = -1
 Существует множество методов факторизации квадратных уравнений.В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x  2  равен 1 или больше 1.
 Таким образом, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения.
 Факторинг, когда коэффициент x 
 2  равен 1
 Чтобы разложить квадратное уравнение вида x  2  + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.
  СЛУЧАЙ 1: Когда b и c положительны 
   Пример 4  
 Решите квадратное уравнение: x  2  + 7x + 10 = 0
 Перечислите множители 10:
 1 × 10, 2 × 5
 Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7:
 1 + 10 ≠ 7 
 2 + 5 = 7.
 Проверьте множители, используя распределительное свойство умножения.
 (x + 2) (x + 5) = x  2  + 5x + 2x + 10 = x  2  + 7x + 10
 Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)
 Приравнивание каждого множителя к нулю дает;
 x + 2 = 0 ⟹x = -2
 x + 5 = 0 ⟹ x = -5
 Следовательно, решение будет x = — 2, x = — 5
   Пример 5  
 х  2  + 10х + 25.
  Решение 
 Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10.
 5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10
 Проверьте факторы.
 x  2  + 10x + 25 = x  2  + 5x + 5x + 25
 = x (x + 5) + 5x + 25
 = x (x + 5) + 5 (x + 5)
 = (x + 5) (x + 5)
 Следовательно, x = -5 — это ответ.
  ВАРИАНТ 2: Когда b положительно, а c отрицательно 
   Пример 6  
 Решите x  2  + 4x — 5 = 0
  Решение 
 Запишите множители -5.
 1 × –5, –1 × 5
 Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.
 1 — 5 ≠ 4 
 –1 + 5 = 4
 Проверьте факторы, используя свойство распределения.
 (x — 1) (x + 5) = x  2  + 5x — x — 5 = x  2  + 4x — 5 
 (x — 1) (x + 5) = 0
 x — 1 = 0 ⇒ x = 1, или 
 x + 5 = 0 ⇒ x = -5
 Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.
  СЛУЧАЙ 3: Когда оба значения b и c отрицательны 
   Пример 7  
 x  2  — 5x — 6
  Решение 
 Запишите множители — 6:
 1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3
 Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:
 1 + (–6) = –5
 Проверьте коэффициенты используя распределительное свойство.
 (x + 1) (x — 6) = x  2  — 6 x + x — 6 = x  2  — 5x — 6
 Приравнять каждый множитель к нулю и решить, чтобы получить; 
 (x + 1) (x — 6) = 0
 x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или 
 x — 6 = 0 ⇒ x = 6
 Следовательно, решение x = 6, x = -1
  СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно 
   Пример 8  
 x  2  — 6x + 8 = 0
  Решение 
 Запишите все множители 8 .
 –1 × — 8, –2 × –4
 Определить факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6 
 –1 + (–8) ≠ –6 
 –2 + (–4) = –6
 Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.
 (x — 2) (x — 4) = x  2  — 4 x — 2x + 8 = x  2  — 6x + 8
 Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;
 (x — 2) (x — 4) = 0
 x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или 
 x — 4 = 0 ⇒ x = 4
   Пример 9  
 Разложить на множители x  2  + 8x + 12.
  Решение 
 Запишите множители 12;
 12 = 2 × 6 или = 4 × 3 
 Найдите множители, сумма которых равна 8:
 2 + 6 = 8 
 2 × 6 ≠ 8
 Используйте свойство распределения, чтобы проверить множители;
 = x  2  + 6x + 2x + 12 = (x  2  + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)
 = x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)
 Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить;
 (x + 6) (x + 2)
 x = -6, -2
 Факторинг, когда коэффициент x 
 2  больше 1
 Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.
 Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x  2  и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.
   Пример 10  
 Решите 2x  2  — 14x + 20 = 0
  Решение 
 Определите общие множители уравнения.
 2x  2  — 14x + 20 ⇒ 2 (x  2  — 7x + 10)
 Теперь мы можем найти множители (x  2  — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10:
 –1 × –10, –2 × –5
 Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7:
 1 + (–10) ≠ –7 
 –2 + (–5) = –7
 Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения.
 2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x  2  — 5 x — 2x + 10) 
 = 2 (x  2  — 7x + 10) = 2x  2  — 14x + 20
 Приравняйте каждый множитель к нулю и решите; 
 2 (x — 2) (x — 5) = 0
 x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или 
 x — 5 = 0 ⇒ x = 5
   Пример 11  
 Решить 7x  2  + 18x + 11 = 0
  Решение 
 Запишите множители 7 и 11.
 7 = 1 × 7
 11 = 1 × 11
 Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:
 (7x + 1) (x + 11) ≠ 7x  2  + 18x + 11
 (7x + 11) (x + 1) = 7x  2  + 7x + 11x + 11 = 7x  2  + 18x + 11
 Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;
 7x  2  + 18x + 11 = 0 
 (7x + 11) (x + 1) = 0
 x = -1, -11/7
   Пример 12  
 Решить 2x  2  — 7x + 6 = 3
  Решение 
 2x  2  — 7x + 3 = 0
 (2x — 1) (x — 3) = 0
 x = 1/2 или x = 3
   Пример 13  
 Решить 9x  2  + 6x + 1 = 0
  Решение 
 Разложить на множители, чтобы получить:
 (3x + 1) (3x + 1) = 0
 (3x + 1) = 0,
 Следовательно, x = −1 / 3
   Пример 14  
 Разложить на множители 6x  2  — 7x + 2 = 0
 Решение
 6x  2  — 4x — 3x + 2 = 0
 Разложите выражение на множители;
 ⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0
 ⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0
 ⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0
 ⟹ 3x = 2 или 2x = 1
 ⟹ x = 2/3 или x = ½
   Пример 15  
 Разложить на множители x  2  + (4 — 3y) x — 12y = 0
  Решение 
 Разверните уравнение;
 x  2  + 4x — 3xy — 12y = 0
 Разложить на множители;
 ⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0
 x + 4) (x — 3y) = 0
 ⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0
 ⟹ x = -4 или x = 3y
 Таким образом, x = -4 или x = 3y
 Практические вопросы 
 Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации:
 3x  2 -20 = 160 — 2x  2 
 (2x — 3)  2  = 49
 16x  2  = 25
 (2x + 1)  2  + (x + 1)  2  = 6x + 47
 2x  2  + x — 6 = 0
 3x  2  = x + 4
 (x — 7) (x — 9) = 195
 x  2  — (a + b) x + ab = 0
  x   2  + 5  x  + 6 = 0
  x   2  — 2  x  — 15 = 0
  Ответы 
 6, -6
-2, 5
 — 5/4, 5/4
-3, 3
-2, 3/2
-1 , 4/3
 -6, 22
 a, b
 –3, –2
 5, — 3
 Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок 
 Решение квадратного уравнения: примеры 
 Здравствуйте.В этом уроке я расскажу о нескольких примерах решения квадратных уравнений. Ничего особенного.
  Пример 1  Решите уравнение x  2  = 4.
  Решение  Easy. Сначала я разложу его на два линейных выражения, а затем приравняю каждый множитель к нулю, чтобы получить корни.
 Уравнение эквивалентно x  2  — 4 = 0 или (x — 2) (x + 2) = 0. Это дает нам  x = 2  и  x = –2 .
 Надеюсь, вы поняли, что этот шаг факторизации не требуется.Мы можем напрямую решить уравнение следующим образом:
 x  2  = 4 =>  x =   ± 2 
 То есть каждое квадратное уравнение вида x  2  = a имеет решение x = ± \ (\ sqrt {a} \). Больше нет необходимости в факторизации.
 Теперь я хотел бы обратить ваше внимание на распространенное заблуждение.
 Люди делают следующее: x  2  = 4 => x = \ (\ sqrt {4} \) (извлечение квадратного корня из обеих частей) => x = ± 2, а затем заключение, что \ (\ sqrt {4} \) = ± 2.
 Это неверно. \ (\ sqrt {4} \) равно 2, а не ± 2. Знак \ (\ sqrt {} \) обозначает положительный квадратный корень. Итак, какой же тогда правильный путь?
 x  2  = 4 => x = ± \ (\ sqrt {4} \) => x = ± 2. Знак ± происходит из квадратного уравнения, а не после «удаления» квадратного корня.
 Я объясню еще раз.
 x  2  — 4 = 0 => (x — \ (\ sqrt {4} \)) (x + \ (\ sqrt {4} \)) = 0 => x = \ (\ sqrt {4 } \) Или x = — \ (\ sqrt {4} \). Комбинируя их, мы получаем x = ± \ (\ sqrt {4} \) или x = ± 2.2} \) = | х |.
  Пример 2  Решите уравнение x  2  — 8x = 0.
  Решение  Это тоже несложно. Давайте снова разложим на множители.
 Уравнение принимает вид x (x — 8) = 0, что дает  x = 0  и  x = 8 .
 А вот еще одна типичная ошибка, которую делают люди: x  2  — 8x = 0 означает x  2  = 8x. И после «отмены» x с обеих сторон получаем x = 8.
 Что ж, это неправильно.Почему? Потому что мы потеряли там драгоценный корень (0) — квадратное уравнение должно иметь два корня.
 А что именно мы сделали не так? Отмена неизвестного термина, который мог быть нулевым.
 Вот правило: нельзя отменять любой член с обеих сторон уравнения, если он не является ненулевым членом.
 Иначе будут странные вещи: 0 = 0 => 4 x 0 = 5 x 0 => 4 x ø = 5 x ø => 4 = 5. Очень странные вещи.
 Чтобы перестраховаться, вы должны свести все члены в одну сторону, разложить на множители и приравнять все множители к нулю.
 Перейдем к следующему примеру.
  Пример 3  Решите уравнение x  2  + 6x + 5 = 0.
  Решение  Я пока не буду использовать формулу корней квадратного уравнения. Я попытаюсь преобразовать это уравнение в форму, аналогичную той, что в первом примере.
 Добавление 9 к обеим сторонам дает мне x  2  + 6x + 9 + 5 = 9. Это становится (x + 3)  2  + 5 = 9 или (x + 3)  2  = 4.
 Теперь вы знаете, что делать дальше, верно?
 Получаем x + 3 = ± 2.Или x = ± 2 — 3. Это дает  x =  —  1  и  x =  —  5 .
 Метод, который я использовал здесь, известен как завершение  идеального квадрата .
 То есть, если вы видите что-то вроде  2  + 2ab, сложите и вычтите b  2 , чтобы получить (a + b)  2  — b  2 , тем самым завершив идеальный квадрат (a + b)  2 .
 Всегда ли будет работать этот метод? Да.
 И это сама идея квадратной формулы (фактически, любой математической формулы).То есть составьте формулу из конечного результата метода (верного пути), чтобы сэкономить время.
 И это то, что я сделал на предыдущем уроке, когда я сложил и вычитал (\ (\ frac {b} {2a} \))  2   —  завершил идеальный квадрат, нашел корни и сохранил формула.
 Теперь мы официально сертифицированы для использования формулы квадратичного уравнения.