Как самому выучить математику? — Хабр Q&A

Изучать школьную математику, значит уметь решать задачи. Берешь любой задачник и решаешь. Сначала будет тяжко, но потом мозг включится. Начинай с самого начала. С первых классов. В математике знания накладываются одни на другие и буз базы ничего не получится. Хороший сайт: interneturok.ru, и подобные. Отличные сайты на английском. Здесь учебники www.alleng.ru/.
Школьная математика, всего лишь запоминание правил и определений и потом их быстрое применение при решении задач. Ничего сложного. Но она основа, для всего остального. Вот здесь хорошо расписано: viripit.ru/index.htm . Купи старую книгу типа «Энциклопедия юного математика». Читай для удовольствия. Вообще процесс должен занять несколько месяцев, чтобы осилить школьную программу.

Натыкайся на те задачи которые не можешь решить и уделяй им время. Потом пойдет все быстрее и быстрее. Не слушай никого, кто говорит, что учить поздно. У каждого своя судьба, и свои стартовые условия. Но каждый в итоге получает то, что он действительно хочет. Осилить школьную математику, нармально любому человеку. Это общий культурный багаж, без понимания которого, человек будет ограничен. На самом деле все школьные предметы, развивают разные способности мышления. Потом неплохо повторить и физику — чтобы понимать, почему вокруг все так происходит.

Математика программисту в большинстве случаев не нужна. Но нужно знание основ, чтобы быстро разобраться в новом. Обязательно знание некоторых важных разделов:, типа логики и др. Без математики ты не сможешь зазкончить нормальное обучение по ComputerScience.
И самое главное, мозг должен уметь думать и решать задачи. Именно это и развивает в чистом виде — математика.

Но в реальности программисту, кроме умения думать, нужно и воображение, и абстрактное мышление, отличная память, знание английского, и умение общаться; еще умение постоянно учиться, хорошая общая эрудированность и вкус и тд. А так же крепкое здоровье. Так- что не циклись на математике, это всего лишь часть большого целого.

PS: Забудь про криптографию. Ты это не осилишь. Разберись, сейчас — как делить столбиком 🙂

Можно ли изучать математику самому? — Образование на vc.ru

Приветствую! Думаю, стоит согласиться, что математика нужна в различных сферах жизни: строительстве, IT, физике и так далее. Скорее всего, если Вы заинтересованы в изучении математики, то уже знаете, зачем она Вам.

2978

просмотров

По своему опыту могу сказать, что самостоятельное изучение математики — это довольно сложно, но более чем возможно. Необходимо иметь большое желание.

Могу ли я не тратить деньги на курсы?

Да, конечно. Сейчас мы живём в такое время, когда многое можно добыть в интернете, причём абсолютно бесплатно.

Сколько времени нужно для изучения математики?

Вообще это довольно размытый вопрос, это зависит от нескольких факторов: как часто Вы занимаетесь, насколько глубоко Вы хотите изучить математику (например, только школьный курс или ещё высшую математику).

Могу сказать, что для того, чтобы повторить весь школьный курс, то на это нужно ориентировочно полгода. Весьма долго, не правда ли? Никто не говорил, что всё будет быстро.

Где мне изучать математику?

Если Вы не очень любите пользоваться учебниками, то можно и во многом обойтись без них. Однако, всё же иногда придётся их почитать.

В этой статье я не буду конкретизировать, какими сайтами пользоваться и какие книги читать, об этом я буду писать в своём телеграм канале(@become_datascientist).

Настоятельно рекомендую популярные курсы математики на английском, потому что там, как правило, объясняют понятнее, а ещё это очень часто бесплатно. Да, знание английского не будет лишним. Существует много уроков на ютубе и сайтов.

Для практики можно найти задачи так же в интернете, или купить любой учебник/сборник задач, тоже подойдёт.

Топ советов

1. Не бойтесь, если не будете что то понимать, это нормально. Если что-то непонятно, то перечитайте/переслушайте материал несколько раз, и/или обратитесь к другому ресурсу.

2. Решайте трудные задачи и много практикуйтесь. Только так вы сможете лучше всего понять тему. Если не можете решить задачу, то попробуйте отдохнуть, и попробовать снова.

3. Занимайтесь каждый день, хотя бы по часу. Изучение математики должно стать привычкой, как, например, чистка зубов.

4. Не забывайте про отдых, но помните, что у всего есть границы.

5. Не зубрите материал, а старайтесь понять его. Важно именно понимать математику, то есть уметь выводить формулы и применять их, доказывать теоремы и так далее. Очень полезным будет постоянно задавать вопросы в стиле «а почему именно так?» и отвечать на них. Переходите к следующей теме только тогда, когда будете уверены, что вы точно поняли предыдущую и отработали её на практике.

6. Найдите себе наставника. Это не всегда бывает легко, но если Вы сможете, то будет очень круто. Наставник будет всегда подбадривать Вас.

7. Не бойтесь менять ресурсы для изучения математики, очень важно найти тот, который подходит именно Вам.

Итак, математику можно изучать самостоятельно, главное иметь большое желание. Это были мысли, которыми я хотел поделиться. Желаю удачи в изучении математики. Не сдавайтесь, и у Вас всё получится.

13 ресурсов, чтобы выучить математику

Среди разработчиков часто возникают споры о том, необходимо ли изучать математику. Если вас мучает ее незнание, то скорее читайте нашу статью.

Одни утверждают, что знать математику совсем не нужно и что и без нее все будет прекрасно. Другие же напротив считают, что фундаментальные знания математики – основа осваивания ремесла программиста.

Как бы то ни было, некоторые области ИТ требуют определённых опыта и навыков. Например, криптография. Ее изучение будет максимально сложным и практически невозможным, если вы не имеете никакого представления о царице наук.
Теперь возникает другой вопрос: как учить то, чего не знаешь? С чего лучше начать? Пользователи toster.ru ответили на этот вопрос, а мы собрали все воедино в нашей статье.

Курсы по математике от Khan academy помогут вам изучить математику, даже если у вас нет никаких, даже базовых знаний.

Курсы по школьной программе математики.

1. Наращивайте мощность постепенно. Начните с элементарных, базовых вещей. Например, научитесь оперировать простыми числами, изучите способы вычисления суммы натуральных чисел, разберитесь с тем как находятся степени чисел и прочее.
2. Подберите для себя связку: теория, справочник, задачник. Теория поможет вам обрести знания, справочник – освежить информацию, найти нужную формулу, задачник поможет отработать все то, что вы уже изучили.
3. Не бойтесь если что-то не ясно. Эта ситуация абсолютно естественна. Если вы не понимаете какое-то предложение, формулировку, то постарайтесь ее перечитать, разбить на части. Можно так же перейти к чему-то другому, но затем обязательно вернитесь назад. В случае, если ничего не поможет, задайте вопрос на форуме или портале подходящей тематики.
4. Применяйте приобретенные знания на практике. Так уж устроен наш мозг, что некоторые вещи мы постепенно забываем. Поэтому следует закреплять определенные темы после того, как вы их прошли. Придумывайте для себя задачи, пытайтесь доказывать какие-либо теоремы самостоятельно.
5. Производите вычисления самостоятельно, без помощи калькулятора. Конечно звучит немного нецелесообразно, но поверьте, вам это обязательно поможет.
6. Делайте перерывы. После окончания темы, главы, раздела делайте паузу и проверяйте себя.

Как понять, что вы на верном пути? Если вы при виде задачи можете легко определить алгоритм ее решения, то все идет как надо.

Книга от одного из самых лучших преподавателей мира об основах математики. После прочтения вы начнете видеть математику не только в учебниках, но и во всем что вас окружает.

Автор, увлеченный красотой математики, погрузит вас в этот мир с головой. Самое главное, что вам это понравится и вы узнаете, что математика окружает нас абсолютно везде.

В этой книге легко и понятно рассказано как об элементарных понятиях математики, так и о важных, сложных областях науки.

Книги Владимира Левшина

Книги выдающегося математика и педагога, которые написаны в стиле «математических сказок» расскажет о математике совершено, с другой стороны.

Книги Якова Перельмана

Еще один выдающийся математик, который внес свою лепту в популяризацию точных наук. Его работы пробудили любовь к математике ни у одного поколения.

Книги Мартина Гарднера

После прочтения книг Гарднера вы перестанете думать, что математика — это скучно.
Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства, Леонард Млодинов
Вас ожидает путешествие в тысячелетнюю историю математической мысли. Вы узнаете о том, как устроено пространство, о том, как от камешков и палочек на теплом песке люди добрались до энтропии черных дыр

Книга о величайших математических задачах, которые до сих пор терзают величайшие умы человечества.

Великий математик откроет вам дверь в мир, который позволит вам понять законы Вселенной.

Книга расскажет о том, как в математике появляются новые идеи. Большое внимание уделено анализу задач.

Эта книга прольет свет на процесс математического творчества. Расскажет о том, как появляются новые теории и гипотезы и о том, как их принимать.

Книга откроет новые миры, где музыка Баха, картины Эшера, физика математика, биология психология, нейропсихология и дзен буддизм связаны между собой.

Другие материалы для того, чтобы изучить математику

4 книги, которые разбудят в вас математика

Математика с нуля. Пошаговое изучение математики

«Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих» – это новый проект, предназначенный для людей, которые хотят изучить математику самостоятельно с нуля.

Сразу скажем, здесь нет лёгких решений и таких заявлений как «Купи эту книгу и сдай математику на 5» или «Освой математику за 12 часов» вы тут не увидите. Математика довольно большая наука, которую следует осваивать последовательно и очень медленно.

Сайт представляет собой уроки по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». Каждый урок затрагивает одну или несколько тем из математики. Уроки разбиты на шаги. Начинать изучение следует с первого шага, и так далее по возрастанию.

Каждый изученный урок должен быть понятным. Поэтому, не поняв одного урока, нельзя переходить к следующему, поскольку каждый урок в математике основан на понимании предыдущего. Если вы с первого раза урок не поняли – не расстраивайтесь. Некоторые люди потратили месяцы и годы, чтобы понять хотя бы одну единственную тему. Отчаяние и уныние точно не ваш путь. Читайте, изучайте, пробуйте и снова пробуйте.

Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открыв учебник, учит самогó себя. При этом вырабатывается определенная дисциплина, которая очень помогает в будущем. Если вы будете придерживаться принципа «от простого к сложному», то с удивлением обнаружите, что математика не так уж и сложна. Возможно даже она покажется вам интересной и увлекательной.

Что даст вам знание математики? Во-первых, уверенность. Математику знает не каждый, поэтому осознание того, что вы знаете хоть какую-то часть этой серьёзной науки, делает вас особенным. Во-вторых, освоив математику, вы с лёгкостью освоите другие науки и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет овладеть такими профессиями как программист, бухгалтер, экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.

В общем, дерзай друг!

Желаем тебе удачи в изучении математики!

Новые уроки будут скоро. Оставайся с нами!

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Основные операции

Основные операции, которые используются в математике это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций существуют ещё и операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Вообще, операции можно разделить на два вида:

1. операции действия;
2. операции отношения.

Операции действия это:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (×)
• деление ( ÷ ).

Операции отношения это:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠).

Операции отношения

Начнем с операций отношения. Слово «отношение» говорит само за себя. Примеры из жизни: что-то имеет отношение к чему-то. Папа имеет отношение к маме. Это отношение называют браком:

Примеров отношений множество. Можно сказать, что наш красивый мир, который развивается гармонично, тоже состоит из отношений.

Если пятёрка больше тройки, то мы говорим, что «пятерка больше по отношению к тройке» и записываем как 5 > 3 (читается: пять больше, чем три). Острый угол знака отношения должен быть направлен в сторону меньшего числá. В нашем примере число 3 было меньше, чем число 5, поэтому острый угол знака отношения был направлен в сторону числа 3.

Ещё пример. Число 11 меньше, чем число 15. Эту фразу можно записать так:

11 < 15

В математике с помощью отношений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Можно записать, что одно выражение равно другому, либо какое-то действие недопустимо по отношению к какому-нибудь объекту, числу, закону.

Например, знаменитая фраза «на ноль делить нельзя» записывается следующим образом:

Не будем опережать события и забегать вперёд. Просто скажем, что в этом выражении вместо a и b могут стоять любые числа. Но потом говорится, что b не должно быть равным нулю.

Знак равенства = стáвится между величинами и говорит о том, что эти величины равны между собой.

Например, «пять равно пять» записывается как 5 = 5. Понятно, что две пятерки равны между собой. Помимо простых чисел, знаком равенства могут соединяться более сложные выражения, например: 9 + x + y = 4 + 5 + x + y.

Ещё пример: если один большой арбуз весит 20 кг, а два маленьких арбуза весят по 10 кг каждый, то между арбузом в 20 кг и двумя арбузами по 10 кг можно поставить знак равенства. Это отношение можно прочитать так: «один арбуз весом в 20 килограмм равен весу двух арбузов, каждый из которых весит 10 кг». Ведь 20 кг = 10 кг + 10 кг.

Знак не равно ≠ ставится между величинами тогда, когда они не равны между собой.

Например, 5 ≠ 7. Ясно, что пятёрка не равна семёрке. Ещё примеры: отличник не равен двоечнику, собака не равна кошке, мандарин это не апельсин:

отличник  ≠  двоечник

собака  ≠  кошка

мандарин  ≠  апельсин

Вы можете осмотреться вокруг себя и найти множество примеров отношений, которые можно истолковать с точки зрения математики.

Операция сложения

Операция сложения обозначается знаком «плюс» (+) и используется, когда складывают числа.

Числа, которые складывают называются слагаемыми. Число, которое получается в результате их сложения, называется суммой.

Например, сложим числа 3 и 2.

Записываем 3 + 2 = 5

В этом примере 3 − это слагаемое, 2 − второе слагаемое, 5 − сумма.

В будущем придётся складывать довольно большие числа. Но сложение этих больших чисел в конечном итоге будет сводиться к тому, чтобы сложить маленькие.

Поэтому нужно научиться складывать маленькие числа в диапазоне от 0 до 9. Например:

2 + 2 = 4

3 + 4 = 7

7 + 2 = 9

0 + 7 = 7

Можете потренироваться, записав в тетради несколько простых примеров. Поверьте, ничего в этом постыдного нет.

Операция вычитания

Операция вычитания обозначается знаком «минус» (−) и используется тогда, когда из одного числа вычитают другое.

Число, из которого вычитают другое число, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают из уменьшаемого числа, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате, называется разностью.

Например, вычтем из числа 10 число 2.

10 − 2 = 8

В этом примере число 10 − это уменьшаемое, число 2 − вычитаемое, а число 8 − разность.

Операция умножения

Обозначается знаком умножения (×) и используется, когда одно число умножается на другое. Слово умножение говорит само за себя — какое-то число увеличивается в определенное количество раз, то есть множится.

Например, запись 4 × 3 означает, что четверка в ходе операции умножения будет увеличена в три раза.

Число, которое увеличивают, называется множимым. Число, которое показывает во сколько раз нужно увеличить множимое, называется множителем. Число, которое получается в результате называется произведением.

Например, умножим число 4 на 3.

4 × 3 = 12

В этом примере 4 − это множимое, 3 − множитель, 12 − произведение.

Запись 4 × 3 можно понимать как «повторить число 4 три раза». Например, если у нас имеются четыре конфеты и мы повторим их три раза, то полýчится двенадцать конфет:

Другими словами, умножение 4 на 3 можно представить как сумму трёх четвёрок. Схематически это выглядит следующим образом:

Умножение можно понимать и другим образом, а именно как взятие чего-то определенное количество раз. Допустим, в вазе лежат конфеты. Возьмём четыре конфеты один раз:

4 конф. × 1 = 4 конф.

У нас в руках окажется четыре конфеты.

Попробуем взять четыре конфеты 2 раза:

4 конф × 2 = 8 конф.

У нас в руках окажется восемь конфет.

Попробуем взять четыре конфеты ноль раз, то есть ни разу:

4 × 0 = 0

У нас на руках не окажется конфет, поскольку мы ни разу их не взяли. Поэтому умножение любого числа на ноль даёт в ответе ноль.

В некоторых книгах множимое и множитель называют одним общим словом — сомножители. Например, в записи 4 × 3 множимым является 4, а множителем 3, но эти два числа ещё можно назвать сомножителями. Ошибкой это не будет.

В будущем мы будем умножать довольно большие числа. Но умножение больших чисел свóдится к тому, чтобы умножить маленькие. Поэтому сначала нужно научиться умножать маленькие числа. Благо, они уже перемножены и записаны в специальную таблицу, которую называют таблицей умножения. Если вы живёте в России или в странах бывшего СССР, то наверняка знаете эту таблицу наизусть. Если не знаете, обязательно выучите!

Операция деления

Обозначается знаком деления (÷ или : ) и используется тогда, когда делят числа.

Число, которое делят называют делимым. Число, которое указывает на сколько частей делят делимое, называется делителем. Число, которое получается в результате, называется частным.

Например, разделим число 10 на 2.

10 :­ 2 = 5

В этом примере число 10 − это делимое, число 2 − делитель, число 5 − частное.

Если у нас имеются десять конфет и мы разделим их на две равные части, то в каждой части полýчится по пять конфет:

Так можно понять смысл записи 10 :­ 2 = 5.

Задания для самостоятельного решения

Большинство людей решат эти задания в уме что конечно похвально. Однако, рекомендуется выполнить эти задания именно в тетради, взяв в руку карандаш. К математике следует привыкать посредством решения простых примеров.

Задание 1. Запишите в тетради, что 2 больше, чем 1

Задание 2. Запишите в тетради, что 2 меньше, чем 3

Задание 3. Запишите в тетради, что 5 больше, чем 2

Задание 4. Запишите в тетради, что 8 больше, чем 5

Задание 5. Запишите в тетради, что 10 больше, чем 8

Задание 6. Запишите в тетради, что 1 равно 1

Задание 7. Запишите в тетради, что 10 равно 10

Задание 8. Запишите в тетради, что 7 не равно 8

Задание 9. Запишите в тетради, что 15 не равно 12

Задание 10. Запишите в тетради, что 3 не равно 2

Задание 11. Сложите числа 2 и 3

Задание 12. Сложите числа 7 и 2

Задание 13. Сложите числа 4 и 3

Задание 14. Сложите числа 10 и 5

Задание 15. Сложите числа 12 и 8

Задание 16. Вычесть из числа 5 число 2

Задание 17. Вычесть из числа 9 число 4

Задание 18. Вычесть из числа 10 число 8

Задание 19. Вычесть из числа 12 число 4

Задание 20. Вычесть из числа 20 число 12

Задание 21. Умножьте 2 на 3

Задание 22. Умножьте 3 на 4

Задание 23. Умножьте 5 на 3

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Выражения

Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.

Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.

Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:

Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы. Например, следующие выражения являются буквенными:

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.

Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы  и способность понимать, что там написано. А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.

Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой. Например, запишем следующее выражение:

a + 5

Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5

a = 5 

Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.

Значение переменной a подставляется в исходное выражение.

В результате имеем: 5 + 5 = 10

Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.

В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5. Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.

Значение переменной x подставляется в выражение x + 10

Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.

Вспомните второй урок «Основные операции». Чтобы понять, что такое сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7, и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но мы могли бы понять эту тему и без примера, если бы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с. Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и мы бы сказали, что a и b — это слагаемые, c — сумма.

И вот, имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того, какие числа мы подставим вместо a и b

В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.

Решение:

a + b = c

10 + 6 = 16

Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.

Значение выражения

Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия. В учебниках младших классов часто можно встретить задания следующего содержания: выполнить действия, и далее перечисляются примеры, которые нужно решить. Когда перед вами подобное задание, вы сразу должны понимать, что от вас требуют решить пример. В народе это звучит как «решить пример«, но если быть более  грамотным, то надо говорить «найти значение выражения». Решить пример и найти значение выражения это фактически одно и то же.

Например, дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения. Это означает, что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:

10 + 6 = 16

Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.

Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.

Рассмотрим еще примеры:

• 16 это значение выражения 4 × 4, поскольку 4 × 4 = 16
• 20 это значение выражения 10 + 10, поскольку 10 + 10 = 20
• 5 это значение выражения 10 ÷ 2, поскольку 10 ÷ 2 = 5

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения 5 + x при x = 4

Задание 2. Найдите значение выражения a + 3 при a = 7

Задание 3. Найдите значение выражения a + a + a при a = 10

Задание 4. Найдите значение выражения a + b при a = 10 и b = 20

Задание 5. Найдите значение выражения b + b + b при b = 5

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Дроби

Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.

Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Что такое дробь?

Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.

Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?

Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):

Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».

Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.

Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».

Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:

Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:

Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?

Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».

Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.

Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

где a — это числитель, b — знаменатель.

Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь  и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.

Допустим, мы хотим съестьпиццы.  В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.

Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».

Выделение целой части дроби

Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

Схематически это выглядит так:

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере мы выделили целую часть дроби  и получили новую дробь .  Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это

Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:

После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.

Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби 

Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:

Получили:

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:

2 × 3 = 6

Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:

6 + 1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:

Подробное решение выглядит так:

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:

Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь .  Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь .  Если верить основному свойству дроби, то дроби   и  равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби  и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим,  нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями  и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!

Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .

Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1. Сократить дробь

Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби  надо разделить на 2

В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.

На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.

Пример 2. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.

НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20

Пример 3. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.

НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4

Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.

Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:

Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.

Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби  на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

 Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:

Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:

Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части

Задание 10. Сократите следующую дробь на 3

Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом

Задание 12. Сократите следующую дробь на 5

Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом

Задание 14. Сократите следующие дроби:

Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:

Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Мои 9 шагов к самообучению

Если вы понимаете простой английский и имеете доступ к Интернету, то вы определенно можете изучать математику самостоятельно .

После того, как вы реализуете все, что описано в этом руководстве, вы поймете, что никто не может научить вас быстрее и лучше, чем вы сами. (Особенно если использовать Anki!)

Просто небольшое предупреждение: хотя я сказал, что может сделать любой , я на 100% уверен, что не все, .

На самом деле, это немного неудобно, особенно если вы делаете это впервые. (Но очень полезно.)

В этом посте вы точно узнаете 9-шаговый подход, который я использовал, чтобы научить себя математике, не полагаясь на кого-то, кто меня научит.

• Образ мышления №1, который многие упускают из виду при самостоятельном изучении математики
• Лучшие ресурсы для самостоятельного изучения математики
• Как вывести свои математические навыки на новый уровень

Давайте начнем.

Можете ли вы действительно самостоятельно изучать математику?

Во-первых, если вы думаете, что вы не «математик» (как, черт возьми, выглядит человек-математик), вы можете подумать, что вам понадобится кто-то другой, чтобы научить вас математике в классе.

Но разве это не то же самое, что использование онлайн-инструментов? Главное здесь — просто создать свою собственную структуру, подобную программам, которые вы используете в школе.

Благодаря обилию бесплатной информации, лекций, учебных программ, электронных книг и MOOCS вы, безусловно, можете самостоятельно изучать математику, как если бы вы учились в колледже.

Самое приятное то, что вы делаете это в своем собственном темпе .

Никаких строгих графиков, только самоотдача.

Однако вы должны думать об этом иначе, если хотите пожинать плоды.

То есть признать , что умственные усилия, которые вы тратите на изучение темы математики, — это цена, которую вы платите за то, чтобы упростить будущие математические навыки .

Или, точнее, это цена, которую вы платите, чтобы не усложнять обучение для себя в будущем.

Математика — это все о накопленных знаниях.

В отличие от школы, вы будете чувствовать себя как дерьмо, потому что вы не меняете темы относительно времени — теперь вы меняете темы в зависимости от , насколько быстро вы овладеваете навыком .

Шаги к самостоятельному изучению математики

Я собираюсь ненадолго прервать вас, чтобы кое-что прояснить: я создал это руководство, чтобы помочь людям, которые чувствуют, что они отстают в своих математических навыках и хотят его пересмотреть, или людям, которые просто хотят изучать математику на своих владеть по какой-то причине.

Каждый пример, который я вам дам, всего лишь пример, который поможет вам понять то, что я пытаюсь донести. Вы все еще должны применить эти шаги в своей ситуации.

Шаг 1. Сначала определите, где вы хотите закончить.

Математика строится сама по себе, поэтому, если вы хотите выучить предмет, например, математический анализ, всегда спрашивайте:

Какие предметы являются предпосылками для этого предмета?

В моем собственном исследовании я часто задаю себе вопрос, основанный на «навыках», а не актуальный.

«Какие навыки мне нужно изучить, чтобы улучшить это?»

В конце концов, решение проблем — это навык. Вы не сможете лучше решать проблемы, если у вас нет инструментов; индивидуальное владение необходимыми темами.

Это подводит меня к следующему пункту.

Шаг 2. Определите, с чего начать, очевидно,

Теперь, когда вы определили конечную тему, пора решить, с какой общей темы начать.

Например, исчисление и его приложения станут проще, если у вас есть знания в области аналитической геометрии и тригонометрии.

Но в аналитическую геометрию включены некоторые элементы тригонометрии.

Итак, вы можете начать с тригонометрии.

Однако, если вы не знаете, «что является предпосылкой для чего», я настоятельно рекомендую вам найти учебную программу в Интернете.

Вот хороший план для тех, кто изучает математику для науки о данных.

Шаг 3. Найдите программу, чтобы избежать излишней глубины

Если вы заблудились, зайдите на Google Карты.

Итак, что вы делаете, когда у вас нет дорожной карты или последовательности для изучения математики?

Используйте уже разработанный Syllabus.Они станут дорожной картой к вашему успеху в самообучении.

Как я уже упоминал ранее, их легко найти в Интернете.

Я имею в виду, что всего один поиск в Google даст вам то, что вы ищете.

Или вы можете просто просмотреть ресурсы своего университета и проверить планы по математике.

Шаг 4. Соберите ссылки, руководства по решениям и типы книг «Решенные проблемы»

Обычное обучение математике требует, чтобы вы ходили в школу, посещали уроки, выполняли домашнее задание, а затем ждали его проверки, прежде чем завершить цикл обратной связи.

Я говорю, что это очень неэффективно.

Когда есть руководства по решениям или книги типа «Решенные проблемы», лучше фактически использовать их бок о бок с вашей собственной рутиной решения проблем.

В данном случае Мне нравится серия книг «Очерки Шаума».

Проблемы довольно сложные, обсуждения краткие и по существу, но вы, безусловно, научитесь решать проблемы ЛЕГКО.

Для ясности, я не говорю, что вам следует искать решения каждый раз, когда вы решаете проблему, но , когда вы застряли, вы можете легко выйти и фактически быстрее изучить решения.

Этот жесткий цикл обратной связи — это то, что позволит нам изучать математику БЫСТРО и в нашем СОБСТВЕННОМ темпе.

«Что делать, если я не понимаю материала?»

Либо вы не освоили предварительные требования (или совсем не освоили), либо используете слишком сложную книгу.

Наконец, здравый смысл подсказывает, что это руководство не является «конечной целью» самостоятельного изучения математики. Вы всегда можете проконсультироваться с другими, когда действительно застряли, даже если у вас есть руководство по решению (возможно, в нем есть опечатка или что-то в этом роде).

Шаг 5. Сделайте ставку на глубокое концептуальное обучение

Это вызвано вышеупомянутым вопросом, который заключается в использовании руководств по решениям для изучения математики для создания быстрого цикла обратной связи.

Однако некоторые студенты его неправильно понимают.

Они считают, что когда они могут запомнить, как решается трудная проблема, это хорошо.

Это БОЛЬШАЯ ошибка — запоминать то, чего вы не понимаете.

Соответственно, это тоже БОЛЬШАЯ ошибка — просто понимать что-то, но не практиковать это.

Узнайте, ПОЧЕМУ шаги работают, потому что если вы сделаете это, вы узнаете один раз и решите многие.

Шаг 6. Поместите ссылки на ресурсы в одном месте

Поскольку вы собираетесь в основном заниматься самообучением с использованием цифровых ресурсов, удобно собрать их все в одном месте.

Возможно, сделайте их домашней страницей вашего браузера.

Сделайте ярлык или что-то в этом роде.

Дело в том, что нужно НАСТОЛЬКО упростить вам доступ к своим ресурсам, чтобы у вас не возникало трений, когда вы хотите учиться самостоятельно.

Так легче сформировать учебу, что всегда лучше в долгосрочной перспективе.

Шаг 7. Выделите время ОБЕИМ для изучения и решения проблем

Как я уже упоминал ранее, простого понимания недостаточно.

Вы должны практиковать то, что вы узнали.

Точно так же, как новичок не может играть на пианино сразу после того, как кто-то хороший научит его этому, так и изучение новых вещей в математике не происходит в моменты «ага».

Обучение происходит, когда вы вспоминаете информацию из головы, а не когда пытаетесь что-то туда вложить.

Итак, помимо вашего «увлекательного» времени, выделите время для практики.

Шаг 8. Развивайте глубокую работу

Во время практики важно, чтобы вы не отвлекались.

Работа без внутренних и внешних отвлекающих факторов и сознательное сосредоточение на выполняемой задаче, также известной как «Глубокая работа», улучшает совместное срабатывание нейронов при активации.

Это происходит потому, что оболочка под названием миелин образуется всякий раз, когда вы извлекаете информацию или практикуете навык.

Когда ваше внимание направлено на практику решения проблем, вы эффективно говорите своему мозгу, что ТОЛЬКО те нейроны, которые активируются во время решения проблем, должны быть покрыты миелином.

Однако, когда вы отвлекаетесь, это происходит плохо, и блоки обучения формируются не очень хорошо.

Шаг 9. Избегайте «Практика, практика, практика», сделайте это вместо этого

Это, наверное, самый распространенный совет, который дают ученикам, которые спрашивают «как мне улучшить математику?».

Нам не нужно больше времени для практики. Нам просто нужно потренироваться лучше .

Практика, безусловно, жизненно важна, но есть два вида практики: Непродуктивная и Продуктивная.

Если вы делаете все в течение длительного периода времени, нечасто в течение недели, и просто повторяете одну и ту же задачу несколько раз, пока не «поймете», прежде чем переходить к следующей, то это непродуктивная практика.

Производственная практика — разумная практика.

Вот как это сделать. Два ЛЕГКИХ шага.

• Распространяйте свою практику в течение дня и в течение недели.
• Когда вы получите базовое представление о концепции, не отвечайте на несколько проблем одним и тем же решением; ответьте на несколько несвязанных задач. (Чередование)

Делая это, вы экономите ТОННУ времени и энергии на изучении математики.

Один из простых способов сделать это — использовать Anki , но вам придется проявить немного творчества в создании своих колод и настроек.

Ключ — изучить основы, поэтому я создал бесплатный курс.

Кто сказал, что изучение математики должно быть утомительным и трудоемким?

Ресурсы для самостоятельного изучения математики

Пока я работаю над этой статьей, я нашел несколько ресурсов, которые, я думаю, определенно помогут вам в вашем поиске самообучения.

Вот некоторые из лучших, которые я нашел:

Справочник:

Как научиться математике, Скотт Янг

Скотт Янг — это человек .

Когда дело доходит до самообучения, он определенно лучший парень.

В конце концов, он закончил четырехлетний курс CS в Массачусетском технологическом институте всего за 12 месяцев, так что я почти уверен, что он знает, о чем говорит.

Учебники:

MOOCS:

Как узнать больше по высшей математике (БЕСПЛАТНЫЕ ресурсы)

Если вы хотите поднять свои знания математики на новый уровень, вот несколько полезных ссылок.

Я не могу научить вас сам, поэтому вот лучшие ресурсы, которые обсуждают эту тему:

Как научить себя математике

Немногие предметы вызывают столько воспоминаний о боли и тревоге, сколько уроки математики.Запутанные символы, сложные процедуры и ужасающие графики и диаграммы.

Некоторые люди сейчас даже предполагают, что изучение математики может быть травмирующим опытом, что-то пережитое, а не усвоенное.

Жаль, что у многих людей была болезненная история с математикой, потому что математика невероятно полезна. Многие из лучших профессий происходят из областей науки, науки и техники, и полагаются на понимание математики. Понимание новостей и мировых событий все чаще становится уроком статистики.Наконец, математика, если ее правильно понимать, позволяет решать многие ваши собственные проблемы.

В этой статье я хотел бы объяснить, как можно научиться любой математике, будь то статистика, алгебра или алгоритмы.

Шаг первый: начните с объяснения

Первый шаг к изучению любой математики — получить предварительное объяснение темы.

Есть много мест, где вы можете получить эту информацию. Вот несколько хороших ресурсов, охватывающих широкий круг тем:

• KhanAcademy — Огромные бесплатные ресурсы видео почти по каждой математической теме
• MIT OCW — Они начинаются на уровне университета, но обрабатывают много сложной математики
• Coursera — много уроков по математике

Кроме того, есть еще и специализированные ресурсы.Они, как правило, не охватывают все мыслимые темы, но часто более интересны, интуитивно понятны и полезны для тех, кто занимается:

• BetterExplained — отличные статьи, дающие интуитивное понимание исчисления, алгебры, экспонент и многого другого
• 3Blue1Brown — отличные видеоролики на YouTube, в которых подробно рассматриваются математические концепции
• Numberphile — Беседы с математиками на интересные математические темы

Где бы вы ни получили свое объяснение, ваш первый шаг — посмотреть его один раз, чтобы вы почувствовали, что понимаете основы того, как это работает.

Что делать, если я не понимаю объяснения?

Если вы посмотрите объяснение, но не поняли его, есть две возможные проблемы:

1. У вас отсутствуют некоторые предпосылки для понимания этой части математики . Это означает, что вам нужно сделать резервную копию и пройти через это снова. Если вам кажется, что это «пошло слишком быстро» или вы не знаете, что делает учитель, вам, возможно, придется вернуться на несколько уроков назад и выучить их лучше, прежде чем продолжить.
2. Вы слишком много пытаетесь охватить, не переходя на тренировку .Хороший образец — просмотреть отрывок объяснения, а затем попробовать его самостоятельно. Если вы только смотрите, но никогда не тренируетесь, это все равно что смотреть видео о лыжах и никогда не кататься на склонах. В конце концов, объяснения потеряют смысл, потому что у вас не будет личного опыта.

Попробуйте следующее: посмотрите объяснение один раз полностью в качестве отправной точки.

Шаг второй: практические задачи

Математика — это не то, что вы смотрите и запоминаете, а то, что вы делаете.

Если вы проводите все свое время за просмотром видео, а затем решаете ряд задач, вам может быть очень трудно применить свои математические знания. Это может привести к ощущению, что вы «плохо разбираетесь в математике», даже если проблема только в том, что вы используете паршивый метод для ее изучения.

Вы можете исправить это, приступив к решению проблем как можно скорее. Хорошая проблема должна казаться сложной, но не невозможной. Если вы видите решение и даже не понимаете, как оно было получено, скорее всего, вы слишком быстро двигаетесь — вернитесь и изучите некоторые основы, прежде чем двигаться дальше.

Что делать, если у меня нет проблем, которые нужно решать?

Если у вас нет указанных проблем, вы можете сделать несколько вещей:

• Работа над проблемами выполняется в объяснении, но не глядя на ответ.
• Создавайте собственные проблемы и пытайтесь их решить.
• Попробуйте доказать концепции в классе. Это продвинутая техника, но она необходима для настоящего понимания более сложной математики.

Попробуйте следующее: после просмотра вашего объяснения решите достаточно задач, чтобы чувствовать себя комфортно и понимать процедуру.

Шаг третий: узнайте, почему математика работает

Интуитивное понимание очень важно для математики в отличие от других предметов. Хотя интуиция словарного запаса слов на иностранном языке может помочь, их все же необходимо запомнить. Однако запоминание математики может быть опасным, если из-за этого вы изучаете ее, не понимая.

Следующий шаг — убедить себя в том, что вы знаете, почему математика работает. Моя любимая техника для этого — техника Фейнмана, которую я демонстрирую здесь:

Техника Фейнмана требует времени, поэтому вам не нужно полностью применять ее к каждому аспекту каждой математической задачи, с которой вы сталкиваетесь.Скорее применяйте его выборочно к наиболее важным концепциям и тем, которые кажутся вам запутанными, несмотря на достаточную практику.

Попробуйте следующее: определите основные концепции математики, которую вы изучаете, и используйте технику Фейнмана, чтобы убедить себя, что вы их понимаете.

Шаг четвертый: поиграйте с математикой

Практика — это хорошо, понимание лучше, но лучше всего играть с математикой.

После того, как вы ответили на несколько заданных вам вопросов и убедились, что понимаете их, естественным продолжением будет попытка поиграть с математикой, которую вам предложили.Как все меняется, когда вы пытаетесь изменить числа или применить это к другим задачам?

Например, предположим, что вы совсем недавно научились рассчитывать сложные проценты. Вы можете самостоятельно произвести простой расчет процентов и понять, почему они работают. Как вы могли играть с этой математикой?

• Вы могли видеть, что происходит, когда увеличивается скорость начисления сложных процентов.
• Что произойдет, если процент будет отрицательным?
• Вы можете попытаться подсчитать свои собственные сбережения, если бы вы вложили их по разным ставкам.
• Попробуйте представить, какую часть ипотечного кредита вы платите в виде процентов по сравнению с основной суммой.

Excel — это хороший способ поиграть с математикой, поскольку вы можете вводить формулы напрямую, без необходимости выполнять столько алгебры или повторения вычислений.

Попробуйте следующее: возьмите тему математики, которую вы недавно изучили, и посмотрите, как вы можете изменять переменные, применять их к разным вещам и изменять формулы.

Шаг пятый: применение математики вне класса

В конечном счете, целью изучения математики должно быть ее использование, а не просто сдача теста.Однако для этого вам нужно освободить свое понимание от примеров из учебника и применить его к ситуациям реального мира.

Это сложнее, чем просто решить проблему. Когда вы решите проблему, вы начнете запоминать схему решения. Это часто позволяет решать проблемы, не понимая принципов их работы.

Применение математики к реальной жизни, напротив, требует распознавания ситуации, перевода ее в математику и затем решения созданной вами проблемы.Это строго сложнее, чем решать проблемы, поэтому, если вы хотите действительно использовать то, что вы узнали, вам нужно попрактиковаться в этом.

Попробуйте следующее: возьмите тему, которую вы недавно изучили по математике, и попытайтесь найти реальную ситуацию, в которой вы могли бы ее вычислить, используя свои собственные числа или оценки, если они недоступны.

Все это звучит как слишком много работы!

Выполнение всех этих пяти шагов по каждому предмету, который вы изучаете по математике, займет много времени.Это нормально, вам не нужно делать это для каждой мелочи, которую вам нужно изучить.

Считайте это индикатором выполнения. Каждая математическая концепция, которую вы изучаете, может проходить от первого до пятого шагов, с каждым разом углубляя ваши знания и повышая полезность математики. Некоторые концепции будут настолько важны, что вы захотите применить их полностью. Другие будут достаточно редки, чтобы просто посмотреть объяснение — это все, что вы можете сэкономить.

В частности, вы должны попытаться сосредоточиться на наиболее важных концепциях для каждой идеи.Математика имеет тенденцию быть глубокой, поэтому часто на занятиях в течение всего семестра может быть только горстка действительно больших идей, а все остальные идеи являются просто различными проявлениями этой основной концепции.

Большинство курсов по математике первого года обучения, например, все сосредоточены вокруг концепции производной, где все преподается просто как различные расширения и приложения этой основной идеи. Если вы действительно понимаете, что такое производная и как она работает, эти другие части будет намного легче изучить.

Выучить математику никогда не поздно! : math

Это, вероятно, не обязательно должно быть отдельное сообщение, но каждый второй день появляется сообщение, будь то здесь или r / learnmath, спрашивающее, не слишком ли поздно для кого-то изучать математику или он недостаточно умен. выучить математику. Ответ всегда: «никогда не поздно!» поэтому я считаю, что это может быть полезно для многих людей, которые борются с проблемами мотивации, когда дело доходит до изучения математики.

Любой человек любого возраста может выучить столько математики, сколько пожелает, при условии, что он будет делать это в правильном порядке (нет смысла начинать с расчетов, если вы еще не сделали предварительный расчет) и готовы потратить время, чтобы по-настоящему понять это.Говоря словами моего любимого видео на YouTube (которое я настоятельно рекомендую посмотреть, особенно если вы изучаете физику), если вы хотите чего-то достаточно плохого, вы можете это получить.

Для почти каждого, Khan Academy — фантастическая отправная точка. Другие каналы YouTube, в частности, PatrickJMT и MIT OpenCourseWare, особенно полезны для более продвинутой математики (существует , множество, других каналов, но это первые несколько, которые приходят на ум, гораздо больше источников находится в FAQ).Если вам сложно эффективно учиться на видео на YouTube, у вас по-прежнему много вариантов! Учебники по математике — очень ценный источник информации по специализированной , некоторые из них также находятся в FAQ.

Для людей, которым Khan Academy не принесет пользы (т.е. тех, кто уже изучил содержание), отлично подойдут учебники по продвинутым темам и университетские курсы по этим темам. MIT OpenCourseWare, упомянутый ранее, содержит лекционные материалы из многих курсов MIT, однако главный недостаток этого заключается в том, что у вас часто нет доступа к наборам задач, которые имеют решающее значение для изучения математики, что приводит к моему следующему абзацу.

Очень важно помнить, что если вы хотите «хорошо» освоить математику (реально вы становитесь лучше в решении задач, а не конкретно в самой математике), тогда вам понадобится ЕСТЬ для выполнения практических задач. Ничто так не укрепляет ваше понимание темы, как решение задач. В зависимости от темы найти практические задачи может быть довольно сложно, однако все задачи, от арифметики до сложного исчисления, должны быть относительно простыми. Вот несколько полезных способов найти такие проблемы:

Фразы, такие как «Тема x практические задачи» или «Тема x экзаменационные вопросы», часто достаточны для поиска проблем.

Почти все учебники включают разделы в конце каждой главы, в которых есть некоторые проблемы, которые помогут вам получить контекстное приложение для темы. Иногда у этих проблем может не быть решений, в этих случаях вы можете подключить проблему к WolframAlpha или задать вопрос в r / learnmath или другом математическом форуме (например, Mathematics Stack Exchange.

В большинстве случаев (если не всегда) ), Видео YouTube будет работать с несколькими проблемами. Настоятельно рекомендуется попытаться решить проблему до того, как покажет работу или решение.Это очень поможет вашей математической интуиции, навыку, которому можно научиться только , решая задачи.

Всем, кто считает, что они «плохие» в математике, или недостаточно «умны», чтобы изучать математику, или им уже слишком поздно изучать математику, это не так, пока вы хотите, чтобы выполнил выучить математику, вы можете выучить математику.

В заключение, если вы не знаете, с чего начать свое математическое путешествие, у Khan Academy есть услуга, которая позволяет вам пройти несколько миниатюрных математических тестов, чтобы определить, есть ли пробелы в ваших знаниях.Если вы недавно вернулись к математике, скажем, через несколько лет после окончания средней школы, я настоятельно рекомендую пройти тест на определение уровня в Академии Хана. Если вы все еще учитесь в старшей школе, это также полезно, так как поможет вам понять, чему вы можете научиться дальше.

Хотя окончательного порядка изучения математики нет, довольно логичная последовательность:

Хотя это очень просто, технически это отправная точка.

Применение и расширение арифметики в общей системе.

Применение базовой алгебры для установления отношений между формой на плоскости и ее физическими величинами.

Изучение степеней, квадратных корней и логарифмов, а затем изучение алгебраических операций над этими функциями.

Применение того, что было изучено в базовой геометрии, к более сложным структурам, при изучении соотношений сторон треугольников.

Расширяя все от алгебры до тригонометрии при подготовке к исчислению.

Традиционно начинается с исследования пределов, рядов и непрерывности, а затем формирования классических определений для производных и соотнесения производных со скоростью изменения.

Начнем с сумм Римана, а затем изучим классическое определение интеграла «площадь под кривой», а затем свяжем это с производной.

Обобщение алгебры до n измерений, изучение векторного представления, матричное представление, а затем решение алгебраических систем с использованием матриц.

Обобщение дифференциального и интегрального исчисления для многомерных измерений, изучение частичного дифференцирования, двойных и тройных интегралов, а также пределов и рядов в нескольких измерениях.

Чрезвычайно полезный для моделирования систем, дифференциальные уравнения используют методы исчисления и линейной алгебры для решения систем, изменяющихся во времени и пространстве.

Начинает с параметрических уравнений и исследует векторные величины в изменяющихся векторных полях. Обычно включает анализ векторного поля, теорему Грина, теорему Гаусса, интегралы по траекториям, поверхностные интегралы и интегралы потока.

Обобщение дифференциальных уравнений на множественные измерения.

Это в основном бессвязный разговор, так что я закончу на этом.Почти вся эта информация находится на боковой панели. Вы не слишком стары, чтобы изучать математику, вы не слишком молоды, чтобы изучать математику, вы не слишком глупы, чтобы изучать математику, вы можете это сделать! Еще не поздно, не бойтесь просить о помощи. Но изучения математики недостаточно, вам понадобится , чтобы убедиться, что вы научитесь его применять, иначе вы забудете.

TL; DR

Еще не поздно выучить математику, любой может сделать это, если потратит время, просто из любви к Гауссу, выполняйте практические задачи!

Как выучить высшую математику, не отправляясь в университет — Часть 1

В электронных письмах меня часто спрашивают, как продолжить изучение математики, необходимой для работы в области количественных финансов или науки о данных, если невозможно поступить в университет .Эта статья — ответ на такие письма. Я хочу обсудить, как можно стать математическим самоучкой, не используя ничего, кроме ряда относительно недорогих учебников и ресурсов в Интернете. Несмотря на то, что поддерживать необходимые усилия для достижения такой задачи вне формальных условий далеко не просто, это возможно с помощью ресурсов (как платных, так и бесплатных), которые сейчас доступны.

Мы начнем с обсуждения причин, по которым мы хотим изучать математику на высшем уровне, будь то карьера, получение доступа к формальному образованию или даже в качестве хобби.Затем мы обозначим время, необходимое для каждого этапа процесса, от неполной средней школы (эквивалент GCSE в Великобритании) до аспирантуры / исследовательского уровня. Затем я расскажу о различных учебных материалах, доступных для эквивалента курса бакалавриата, о том, как получить к ним доступ и как использовать их наилучшим образом. Наконец, я опишу математическую программу, которая проведет вас через современный четырехлетний курс бакалавриата по математике в британском стиле для магистров, который применим в основном к количественным финансам, науке о данных или разработке научного программного обеспечения.

В этой статье мы рассмотрим первый год обучения в бакалавриате. В каждой из оставшихся статей будут обсуждаться последующие годы.

Почему вы хотите изучать математику?

Первый вопрос, который нужно задать себе, — почему вы вообще хотите изучать математику. Это чрезвычайно серьезное мероприятие, требующее значительных долгосрочных обязательств в течение нескольких лет, поэтому абсолютно необходимо наличие сильной мотивации, иначе вы вряд ли продолжите заниматься самообучением в течение длительного времени.

Для большинства из вас на этом сайте, это потому, что вы хотите получить работу и / или продолжить формальное обучение в области количественных финансов, науки о данных или разработки научного программного обеспечения.

Возможно, вы в начале своей образовательной карьеры решаете, поступать ли в официальную университетскую программу по математике. Возможно, вы проработали в технической сфере 10-15 лет, но ищете новую должность и хотите понять необходимый предварительный материал для смены карьеры.Возможно, вам также нравится учиться в свободное время, но вам не хватает структурированного подхода и вы хотите, чтобы у вас был достаточно линейный путь.

Одна из основных причин желания изучать высшую математику — стать «квантом». Однако, если ваша единственная причина, по которой вы хотите изучать эти темы, — это получить работу в этом секторе, особенно в инвестиционном банке или количественном хедж-фонде, я настоятельно рекомендую вам заниматься математикой в ​​формальной обстановке (например, в университете). Это не потому, что самообучение будет менее ценно или научит вас меньше, чем в формальной обстановке, а потому, что сертификат от ведущего университета, к сожалению, часто имеет значение при прохождении собеседований, по крайней мере, для тех, кто рано карьера.

Альтернативная причина для изучения математики состоит в том, что вы хотите глубже понять, как устроена Вселенная. Математика — это, в конечном счете, формализация систем и понимание пространства, формы и структуры. Это «язык природы», который широко используется во всех количественных науках. Это тоже увлекательно само по себе. Если вы сильно заинтересованы в том, чтобы узнать больше о более глубоких областях математики, но не можете выполнить это в формальной обстановке, эта серия статей поможет вам достичь необходимой математической зрелости, если вы готовы приложить усилия.

Обязательство

Я хочу подчеркнуть, что изучение математики от уровня младшего школьника до уровня аспирантуры (при желании) потребует огромных затрат времени, вероятно, порядка 10-15 лет . Ясно, что это ошеломляющее обязательство, которое необходимо предпринять, и без четкого плана исследования оно, скорее всего, не будет выполнено из-за того простого факта, что «жизнь часто мешает».

Однако есть вероятность, что если вы подумываете об изучении продвинутой математики, у вас уже будет формальная квалификация по основам, особенно по математике, изучаемой в младших и старших классах средней школы (GCSE и A-Level для тех из нас, кто живет в Великобритании!).В этом случае вполне вероятно, что вы сможете начать обучение на уровне бакалавриата или, возможно, на уровне продвинутого старшеклассника.

Даже если у вас есть эквивалентная квалификация по математике A-Level или A-Level Additional Mathematics, вам все равно предстоит долгий путь. По моим оценкам, потребуется примерно 3-4 года очного обучения или 6-8 лет заочного обучения, чтобы иметь эквивалентную базу знаний, полученную человеком, который прошел формальное обучение математике в бакалавриате Великобритании. программа до уровня магистров.

Хотя я не думаю, что для того, чтобы стать специалистом по количественному анализу, необходимо иметь аспирантуру, это полезно и, безусловно, может поставить вас впереди конкурентов. Однако не стоит откладывать время, затраченное на учебу в аспирантуре. Это не является абсолютно необходимым и, скорее всего, будет проводиться в официальной обстановке на постоянной основе.

Если вас устраивает этот общий уровень приверженности, то широкий путь, по которому вы пойдете, должен выглядеть примерно так:

• GCSE по математике или эквивалент — 1-2 года неполный рабочий день
• A-Level Mathematics / Дополнительная математика или эквивалент — 1-3 года неполный рабочий день
• Эквивалент степени магистра математики (Великобритания) — 3-4 года полный рабочий день или 6-8 лет неполный рабочий день
• Аспирантура / аттестация / исследования — 1-4 года полный рабочий день или 1-8 лет неполный рабочий день (в зависимости от квалификации / исследовательского проекта)

Как видите, математическое образование на высоком уровне может занять от 3 лет до примерно 15 лет (или больше!) В зависимости от выбранного вами пути.Следовательно, к этому нельзя относиться легкомысленно. Вы должны серьезно обдумать это и убедиться, что вознаграждение (финансовое или иное) от учебы будет стоить требуемых серьезных усилий.

Учебные материалы

В наши дни можно учиться, используя смесь видео-лекций, конспектов лекций и учебников, находящихся в свободном доступе. Кто-то лучше учится, просматривая видео и делая заметки, а кто-то любит методично работать с учебником.Ниже я перечислил наиболее полезные ресурсы.

Учебники

На уровне бакалавриата я большой поклонник серии учебников Springer по математике для бакалавриата, которые охватывают практически все основные курсы, которые вы найдете на высших курсах бакалавриата по математике в Великобритании. Я подробно расскажу о выборе книг для конкретных модулей ниже.

Я также считаю, что серия книг Schaum’s Outlines чрезвычайно полезна, особенно для тех, кто любит учиться, отвечая на вопросы.Хотя они не вдавались в подробности, которые могли бы сделать другие (особенно книги SUMS выше), они помогают консолидировать основы, прорабатывая множество вопросов. Я очень рекомендую их, если вы раньше не видели ни одного материала.

Конспект лекций

Многие университеты предоставляют общедоступные страницы курсов, которые содержат свободно доступные конспекты лекций, часто в формате PDF, набранные в LaTeX или подобном. Где это уместно, я перечислил свободно доступные конспекты лекций по конкретным курсам.Однако я предпочитаю рекомендовать учебники, поскольку они, как правило, охватывают более широкий круг материалов. Они не являются «выборочным материалом» в том смысле, в каком лектор должен это делать, чтобы уместить материал в семестровые курсы. Несмотря на эту проблему, в Интернете есть несколько очень хороших конспектов лекций.

МООК / YouTube

Рост массовых открытых онлайн-курсов (МООК) коренным образом изменил способ взаимодействия студентов с лекторами, независимо от того, зачислены они на конкретный курс или нет.Лидерами в этой области являются MIT Open Courseware, Coursera и Udacity. Некоторые МООК бесплатные, другие — платные. В целом, я считаю, что МООК являются отличным механизмом обучения, поскольку они похожи на то, как студенты учатся в университете в лекционной обстановке.

Они предоставляют дополнительные преимущества, заключающиеся в возможности приостанавливать видео, перематывать их, взаимодействовать с лекторами на онлайн-порталах, а также обеспечивать легкий доступ к дополнительным материалам. Некоторые предполагают, что качество МООК не так хорошо, как в университетских условиях, но я с этим не согласен.В целом, большинство МООК — это на самом деле лекций, снятых в университетских условиях , поэтому я считаю, что этот момент несколько спорный.

Есть несколько очень хороших МООК по науке о данных, машинному обучению и количественным финансам. Однако я обнаружил, что не хватает более фундаментальных курсов, и поэтому вы увидите, что я рекомендую учебники для большинства курсов, перечисленных здесь. По мере того, как основное внимание будет уделяться количественному финансированию (в 3 и 4 классах, а также на уровне MFE), я смогу порекомендовать больше MOOC в дополнение к традиционным учебникам.

Программа бакалавриата

На этом этапе вашей математической карьеры вы будете знакомы с основами дифференциального и интегрального исчисления, тригонометрическими тождествами, возможно, с некоторой элементарной линейной алгеброй и, возможно, с некоторой элементарной теорией групп, полученной в средней школе или в результате самообучения.

Тем не менее, при переходе от математики A-Level / старшей школы к математике, изучаемой по типичной британской программе бакалавриата, наблюдается существенный сдвиг в мышлении.Методы обучения математике в старших классах в основном механические по своей природе и не требуют глубокого мышления. В университете математика в основном сводится к формальным системам аксиом и делает упор на формальные доказательства.

Это означает, что мышление смещается от механического решения проблем с использованием «набора инструментов» методов к глубокому размышлению о разрозненных областях математики, которые могут быть связаны друг с другом, чтобы доказать результаты. Это фундаментальное различие между математикой старшей школы и математикой бакалавриата.

Фактически, именно этот особый образ мышления делает математику столь востребованной в мире количественных финансов.

Самостоятельное изучение математики университетского уровня в любом случае — непростая задача. Требуется значительный уровень дисциплины и усилий, чтобы не только осуществить когнитивный сдвиг в математику «теоремы и доказательства», но и сделать это в качестве полного самоучки.

Для тех из вас, кто не может или не желает заниматься формальным обучением в университете и желает пройти полный курс математики на бакалавриате, я создал комплексный план обучения ниже, чтобы вы могли перейти от математики на уровне средней школы к эквивалентной четырехлетний курс магистра математики для бакалавриата.Я представил его в формате от года к году, модуль за модулем, с множеством дополнительных справочных материалов для изучения в своем собственном темпе.

Поскольку курс на получение степени часто адаптируется к желаниям человека в последние два года, я создал программу, которая широко отражает темы, которые должен знать будущий количественный анализ. Однако вы, очевидно, можете добавить свой собственный выбор для вашей конкретной ситуации. С этой целью я внес предложения там, где это уместно.

Эта статья будет посвящена первому году программы на получение степени с последующими статьями, каждая из которых охватывает целый год.

Год 1

Первый год бакалавриата по математике — это прежде всего переход вашего мышления от «механического» подхода, преподаваемого в старшей школе / A-Level, к подходу «формальных систем», который изучается в университете. Следовательно, существует гораздо более строгий акцент на математических основах, включая формальные описания множеств, отображений / функций, непрерывности и симметрии, а также теорем и доказательств.

Курсы первого года обучения в значительной степени отражают этот переход, при этом особое внимание уделяется следующим основным темам:

Вот список курсов для 1 года:

Фонды

Большинство курсов бакалавриата высшего уровня в Великобритании имеют модуль «Основы» с некоторым описанием.Цель курса — предоставить вам подробный обзор природы университетской математики, включая понятия доказательства (например, доказательство индукцией и доказательство противоречием), концепцию карты или функции, а также различные такие типы, как инъекция, сюръекция и биекция.

В дополнение к этим темам формально описывается концепция множества, а также структура, индуцированная на таких множествах операциями, что приводит к концепции групп.Эти основные темы и идеи подготовят вас к более глубоким темам анализа, линейной алгебры и дифференциальных уравнений, которые образуют оставшуюся часть учебной программы первого года обучения.

Самостоятельное изучение математических основ может оказаться сложной задачей, поскольку зачастую вы впервые сталкиваетесь с концепцией доказательства. Поначалу может быть непонятно, как можно строить доказательства, но, как и во всем остальном в жизни, можно научиться структурировать доказательства, много читая и попрактиковавшись.

Возможно, лучший способ выучить основы математики — это «чтение у постели больного» или, возможно, более тщательное изучение некоторых из наиболее известных учебников. Я сам узнал из следующих двух книг, перечисленных ниже в Учебных материалах . Я очень рекомендую их, так как они, безусловно, дают хорошее представление о том, что такое университетская математика.

Учебные материалы

Реальный анализ — последовательности и серии

Реальный анализ — это основной курс математики на первом курсе бакалавриата.Это чрезвычайно важная тема, особенно для квантов, поскольку она формирует основу для последующих курсов стохастического исчисления и уравнений в частных производных. Предмет в основном посвящен действительным числам и функциям между наборами действительных чисел. Основные обсуждаемые темы включают последовательности, ряды, сходимость, пределы, исчисление и непрерывность.

Основное преимущество изучения реального анализа состоит в том, что оно обеспечивает мягкое введение в доказательства с использованием примеров, которые не слишком незнакомы с математикой A-Level (школьный эквивалент).Таким образом, курсы реального анализа обучают не только «мышлению» формирования доказательств, но также вводят более абстрактные концепции, такие как «правильные» определения бесконечности, аксиомы (такие как аксиома полноты) и некоторый хороший опыт работы с непрерывными функциями и их производные.

Чтобы самостоятельно изучить настоящий анализ, я бы посоветовал взглянуть на учебник «Числа и функции: шаги в анализе».
перечислено ниже. Я использовал это, чтобы изучить настоящий анализ, когда учился в университете, и нашел его чрезвычайно полезным.Книга учит вас, заставляя вас отвечать на большое количество вопросов, вместо того, чтобы бросать вам огромное количество текста. Таким образом, вы узнаете , выполняя . В дополнение к этой книге я перечислил еще несколько полезных. Наконец, я перечислил серию плейлистов на YouTube из колледжа Харви Мадда профессора Фрэнсиса Су. Качество видео невысокое, но содержание очень хорошее.

Учебные материалы

Линейная алгебра

Линейная алгебра — один из самых важных, если не самый важный, предметов, которым должен научиться будущий специалист по количеству или анализу данных.

В абстрактном смысле линейная алгебра изучает линейные отображения между векторными пространствами. Это учит нас тому, что в некоторых случаях линейные карты и матрицы фактически эквивалентны. Этот последний результат делает его чрезвычайно полезным при работе с матричными уравнениями, которых много в количественных финансах и науке о данных.

Большинство методов статистического машинного обучения основаны на принципах линейной алгебры и исчисления, как и многие количественные теории финансов, такие как ковариационная матрица и модель ценообразования капитальных активов.Следовательно, потенциальным квантам необходимо хорошо его усвоить.

К счастью, линейная алгебра имеет настолько широкое применение в математике, физике, инженерии и науке в целом, что существует множество отличных ресурсов для ее изучения. Одна из лучших книг, чтобы узнать об этом, написана Гилбертом Стренгом, профессором Массачусетского технологического института. В дополнение к его учебнику вы также можете найти набор видеолекций, представленных им на MIT Open Courseware.

Учебные материалы

Обыкновенные дифференциальные уравнения — Введение

Тема дифференциальных уравнений пронизывает широкие области количественных финансов.Они являются чрезвычайно важным предметом для изучения будущим квантом, поскольку стохастические дифференциальные уравнения играют большую роль в теории ценообразования опционов.

Формально дифференциальное уравнение — это связь между функцией и ее производными. Неформально это уравнения, которые описывают, как скорость изменения функции по отношению к некоторой другой величине влияет на саму функцию.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE) — это первый тип, рассматриваемый в университете (а также в A-Level / Highschool).ODE — это дифференциальное уравнение, в котором основная функция имеет одну независимую переменную. Например, ODE может представлять скорость изменения роста населения как функцию самого уровня населения.

Как количественный специалист, необходимо понимать основы ODE и способы их решения. Поскольку более сложные дифференциальные уравнения в частных производных (PDE) и стохастический дифференциал, уравнения (SDE) широко используются в количественном анализе и торговле, понимание решения более простых ODE помогает понять решения этих проблем.

Некоторые ОДУ могут быть решены аналитически , то есть с помощью решения в замкнутой форме с использованием элементарных функций. Однако решение многих ОДУ можно записать только в виде ряда или интегрального отношения. ОДУ можно решить «численно» на компьютере приближенными методами. Большая часть количественных финансов включает в себя численное решение дифференциальных уравнений таким образом.

Нет недостатка в учебных материалах, доступных для ODE, поскольку они являются основным продуктом первого года программы бакалавриата по математике.Я воспользовался книгой, написанной моим преподавателем в университете, и обнаружил, что она доступна для студентов первого года обучения (см. Робинсон ниже). Кроме того, есть знаменитый курс «Boyce & DiPrima» (уже 10-й выпуск!), Который является основным продуктом многих курсов ODE. Кроме того, существует серия бесплатных видеолекций по MIT Open CourseWare:

.

Учебные материалы

Геометрия — Евклидова

Геометрия — одна из самых фундаментальных областей математики.Это абсолютно необходимо для многих областей более глубокой математики, в том числе связанных с количественными финансами. Многие курсы бакалавриата знакомят студентов с евклидовой геометрией на первом курсе, и это также подходящее место для начала для самоучки.

Основной настройкой часто является евклидова геометрия в трех измерениях, а именно геометрия «повседневной жизни». Изучая геометрию, вы многое узнаете о построении доказательств, особенно в отношении проективной геометрии на плоскости и геометрии сферы.

В старших классах (или на GCSE!) Учащихся часто учат треугольной геометрии, и вводный университетский модуль по геометрии формализует эти концепции, в конечном итоге с идеей получения практического понимания и написания геометрических доказательств.

Евклидова геометрия в конечном итоге приводит к более общим геометриям, таким как сферическая геометрия или гиперболическая геометрия, где знакомые результаты евклидовой геометрии не работают. Кроме того, что, возможно, более актуально для кванта, хорошее понимание тригонометрии необходимо для более поздних курсов, таких как анализ Фурье, который играет существенную роль в анализе сигналов и анализе временных рядов.

Учебные материалы

Геометрия — сложный предмет для введения, поскольку она чрезвычайно широка и охватывает столь разнообразные области математики. Тем не менее, я обнаружил, что следующая книга из серии Springer по математике для студентов-бакалавров оказалась очень полезной:

Алгебра — теория групп

Группы — одна из важнейших алгебраических структур математики. Они обеспечивают основу для изучения более сложных структур, таких как кольца, поля, векторные пространства (о которых мы упоминали выше в линейной алгебре).Они также сильно связаны с идеей математической симметрии.

Хотя можно было бы подумать, что группы — это скорее тема «чистой математики» и, следовательно, менее прикладная, на самом деле это не так. Группы находят применение в химии (кристаллизация), физике (симметрия и законы сохранения), а также в криптографии.

Однако актуальны ли они для количественного аналитика? Это сложный вопрос. Хотя неясно, как прямое изучение групп и симметрии может применяться на повседневной основе в мире квантов, изучение групп действительно формирует основу для многих более сложных математических тем, особенно для продвинутых линейных Алгебра.

Для самоучка, у которого мало времени, я бы сказал, что стоит изучить их на вводном уровне, чтобы «осознавать их существование», поскольку многие продвинутые количественные методы будут косвенно относиться к ним.

Обратите внимание, однако, что один из самых успешных хедж-фондов в истории, Renaissance Technologies, был основан Джимом Саймонсом, известным математиком, который провел значительный объем работы с многообразиями (что требует твердого понимания теории групп).Прочтите, что хотите!

Учебные материалы

Нет недостатка в элементарных учебниках по теории групп. Поскольку это обычная тема для студентов первого курса, многие авторы пытались написать вводные книги. Я нашел полезным следующее:

Вероятность

Наряду с линейной алгеброй и реальным анализом (исчислением) вводный курс «Вероятность» является наиболее важным курсом первого года обучения, который должен знать квант.Это относится к количественным трейдерам, количественным аналитикам (ценообразователям деривативов), риск-менеджерам (VaR, CVA и т. Д.) И специалистам по анализу данных. Я не могу не подчеркнуть, насколько важно для практикующего кванта интуитивное понимание вероятностных концепций. Время, проведенное здесь за обучением, принесет дивиденды карьере кванта.

Вводные курсы вероятности для бакалавров обычно начинаются с обсуждения законов вероятности, включая теорему Байеса, распределения вероятностей, дискретные случайные величины, математическое ожидание, ковариацию и непрерывные случайные величины.Это всех необходимых тем для количественного аналитика.

Вероятностные курсы естественно ведут к более продвинутым курсам по (классической) статистике, байесовской статистике, случайным процессам, стохастическому анализу, эконометрике и анализу временных рядов.

Учебные материалы

Как и в случае с группами, нет недостатка в учебниках по вероятности для студентов бакалавриата, да и в МООК в этом отношении. Я узнал о вероятности в первую очередь от Росс (см. Ниже), а также из Руководства Шаума (я предпочитаю учиться на практике!).Существует также курс Coursera по теории вероятностей, который ведет Пенсильванский университет:

.

Математические вычисления

Что такое «математические вычисления»? В широком смысле, он выполняет математический анализ с помощью компьютерных программ. По сути, это определение кванта! Следовательно, абсолютно необходимо, чтобы вы приобрели основы программирования алгоритмов на как можно более ранней стадии.

Для самоучки такой курс может показаться немного ненужным, поскольку он достаточно прост, чтобы научиться программировать из различных источников в Интернете, а также из большого количества учебников.Однако я скажу, что «научиться программировать» и понять, как взять математический алгоритм и превратить его в эффективный компьютерный код, — это совершенно разные наборы навыков.

Одним из ключевых преимуществ получения степени доктора философии в области научных вычислений является то, что он учит вас, как использовать сложные алгоритмы, которые можно найти в статьях, которые часто не учитывают важные детали, и записывать их в полностью рабочие части программного обеспечения. в разумные сроки.Курсы бакалавриата, такие как математические вычисления, часто являются первым шагом в обучении научным вычислениям.

Но что вы на самом деле узнаете? Обычно преподается смесь MATLAB, Mathematica, Maple, Python, Java или C ++, а также более простые алгоритмы, такие как базовая численная интеграция обыкновенных дифференциальных уравнений, символьные манипуляции, поиск корней, оптимизация и т. Д. Все это ключевые навыки для квант.

Учебные материалы

Трудно предложить учебные материалы для такого курса, как «Математические вычисления», поскольку учебные программы могут существенно различаться в зависимости от университета.Введение в MATLAB или Mathematica часто является хорошим первым шагом, и следующие книги отражают это:

Следующие шаги

Первый год обучения в программе бакалавриата — это знакомство студента с новыми идеями, а также формализация старых. Обычно это «решающая ситуация» для тех, кто проходит формальное обучение, и часто студенты переходят на другие курсы, такие как физика, информатика или экономика. Это значительный шаг вперед по сравнению с математикой в ​​средней школе, и его нельзя недооценивать.

Тем не менее, самоучка обладает гораздо большей гибкостью, поскольку «курс» и «модули» могут быть адаптированы к конкретной карьере или желанию учиться в хобби. Для потенциальных квантов легко выбрать такие курсы, как линейная алгебра, дифференциальные уравнения, вероятностный и реальный анализ (исчисление), чтобы удовлетворить более конкретные темы количественных финансов.

В следующей статье, посвященной 2-му году обучения, мы рассмотрим более сложные темы в указанных выше предметных областях, включая интеграл Римана в реальном анализе, более сложные темы в теории групп, введение в метрические пространства (предшественник топологии). , Векторный расчет и статистика (абсолютно необходимый предмет для практикующего количественного трейдера или риск-менеджера).Мы также впервые познакомимся со стохастическими процессами в качестве предшественника более фундаментального изучения стохастики в стохастическом анализе.

Прочтите следующую статью из серии: Как выучить высшую математику, не отправляясь в университет — Часть 2

Статьи по теме

образование — Самостоятельное обучение высшей математике

Я экономист, и на протяжении трех лет я самостоятельно изучаю чистую математику, от анализа и алгебры несколько лет назад до функционального анализа, дифференциальной геометрии, алгебраической топологии и алгебраической геометрии сейчас.Я никогда не ходил на какие-либо курсы математики, кроме исчисления, линейной алгебры и теории вероятностей, которые требуются для получения образования по специальности «Эконом». Уверяю вас, крепостничество совсем не сложно. Это самое приятное, что мне нравится в колледже. Но вам действительно нужен кто-то, кто направит вас и предоставит вам соответствующую информацию, укажет вам, какие книги вам следует прочитать. По мере того, как вы становитесь все более и более зрелыми в математике, вы становитесь все более и более независимыми и сможете самостоятельно находить ресурсы. Моя цель здесь — поделиться своим опытом и дать рекомендации всем, кто хочет изучать математику самостоятельно.После того, как у человека будет прочное математическое образование, он или она может перейти к изучению более важных областей.

Общая консультация

1. Обучение математике — длительный процесс. Нет никакого ярлыка. Вам нужно приложить серьезные усилия, узнать как можно больше и построить прочную основу знаний. Не ждите, что вы просто выберете нужные поля (например, оптимизацию), изучите их и проигнорируете другие. В противном случае вы, скорее всего, столкнетесь с множеством пробелов, затем забудете то, что вы узнали, и затем снова и снова будете обращаться к этим старым материалам без какого-либо нового понимания.Время — это обязательное вложение для успеха в обучении математике.
2. Чем глубже вы погрузитесь в чистую математику, тем лучше вы поймете те
   элементарные понятия в исчислении, линейной алгебре и другой математике
   инструменты, используемые учеными. Например, если вы не изучаете топологию,
   то есть вероятность, что вы запутаетесь со многими совпадениями
   теоремы, которые встречаются повсюду, и вы, вероятно, их забудете. А также
   без топологии невозможно получить истинное представление об исчислении.
   После того, как у вас есть теоретическая глубина, часто оказывается тривиальным
   важно помнить, что происходит на самом деле.

Общие указания

Есть два важных ресурса для самообучения:

1. Вам нужны хорошие книги, и вы должны серьезно их изучать
   самостоятельно;
2. Используйте Интернет, чтобы задавать вопросы и находить конспекты лекций.

И после того, как вы на некоторое время усвоите знания из книг, после того, как вы достигнете некоторой математической зрелости, вы должны постепенно стать активным учеником ：

Формулируйте и задавайте свои собственные вопросы, самостоятельно доказывайте теоремы, перечисленные в учебниках, используя свои собственные обозначения, или ведите математические блоги, чтобы исследовать свои собственные идеи.

Итак, путь таков: Читайте хорошие книги, чтобы получить знания и зрелость $ \ Longrightarrow $ В то же время используйте Интернет, чтобы найти конспекты лекций, графику и видео, которые могут дать вам менее формальные и интуитивно понятные объяснения $ \ Longrightarrow $ У вас есть свои идеи и ваше собственное понимание того, чему вы научились, и в то же время более опытны в решении математических задач.

Специальное руководство

После исчисления и некоторых основных понятий линейной алгебры самообучающийся может начать свое первое путешествие по строгой математике.Первая книга, которую я рекомендую, —

.

С. Акслер, Линейная алгебра Done Right

Это книга, которая привела меня в фантастический мир чистой математики. Я помню, как был удивлен, когда впервые увидел прекрасные доказательства и мощные абстракции, и как мне нравится читать его днем ​​и ночью на свежем году (я даже читал его вечером перед выпускным экзаменом по экономическому курсу 🙂 сосредоточиться на теории линейной алгебры вместо детерминантного подхода и вычислений матриц.Идеи и доказательства в книге могут быстро повысить математическую зрелость. И, кстати, линейная алгебра широко используется во многих областях математики, таких как дифференциальная геометрия и функциональный анализ, поэтому хорошее ее понимание очень важно.

Одновременно с чтением книги Акслера «Линейная алгебра. Сделано правильно» вы также можете прочитать

Т. Апостол, Математический анализ

Лично я самостоятельно изучил «Принципы математического анализа Рудина» на первом курсе, а потом прочитал «Апостол».Но, оглядываясь назад, я бы порекомендовал самоучке сначала проглотить что-нибудь попроще. Самый важный урок, который я усвоил для самостоятельной работы, — это : не надо торопиться.

После этого вас ждут абстрактная алгебра, реальный анализ, ODE, комплексный анализ и топология. Вы можете начать изучение топологии с

Дж. Мункрес, Топология

сразу после завершения математического анализа. Эта книга очень подходит для самообучения, а также может значительно повысить математическую зрелость.

Для абстрактной алгебры рекомендую:

М. Артин, Алгебра

, который довольно хорошо известен. Он также содержит материалы по линейной алгебре, которые отсутствуют в книге Акслера. Я также читал «Даммита и Фута», «Абстрактная алгебра», но я не рекомендую его в качестве первого знакомства, поскольку, хотя его материалы подробны, в нем гораздо меньше мотивов, которые могут причинить боль самообучающемуся.

Для комплексного анализа рекомендую

Р. Эш, Комплексные переменные

Самообучающиеся, пожалуйста, не читайте знаменитый «Комплексный анализ» Альфорса для того, чтобы впервые изучить комплексный анализ.Для тебя это совершенно бесполезно. Я также рекомендую отложить чтение двух других книг Рудина (реальный и комплексный анализ, функциональный анализ) на более позднее время, когда у вас будет достаточно опыта и мотивации.

Хорошая книга по ODE —

У. Адкинс и М. Дэвидсон. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Для реального анализа я настоятельно рекомендую книгу для выпускников:

Дж. Йе, Реальный анализ: теория измерения и интеграции

, который представляет собой сверхдетализированных с нулевым зазором.Настоящая жемчужина. Но предупреждаю: хотя книга чрезвычайно полезна, вы не должны баловаться удобными корректурами и долго пролистывать материал, не задумываясь. Всегда спрашивайте: какую теорию я изучил, какие методы доказательства освоил, и могу ли я запомнить и воспроизвести всю машину самостоятельно?

После всего этого вы можете приступить к изучению более сложных предметов. Здесь я перечисляю несколько книг по каждой теме

Э. Крейсциг, Вводный функциональный анализ с приложениями

С.Алипрантис и К. Бордер, Анализ бесконечных измерений: Путеводитель автостопом

П. Лакс, Функциональный анализ

Дж. Конвей, Курс функционального анализа

Р. Меггинсон, Введение в теорию банахового пространства

Р. Эш, Теория вероятностей и меры

Дж. Розенталь, Первый взгляд на строгую теорию вероятностей

Резник С., Вероятностный путь

Д. Вильямс, Вероятность с мартингалами

Р. Дадли, Реальный анализ и вероятность

К.Чанг, Курс теории вероятностей

П. Биллингсли, Вероятность и мера

Э. Чинлар, Вероятность и стохастика

Биллингсли П., Сходимость вероятностных мер

Дж. Ли, Введение в гладкие многообразия

М. Спивак, Комплексное введение в дифференциальную геометрию

К. Яних, Топология

Ботт Р., Ту Л. Дифференциальные формы в алгебраической топологии

М. Рид, бакалавриат по алгебраической геометрии

К.Смит и др., Приглашение к изучению алгебраической геометрии

Д. Мамфорд, Красная книга сортов и схем

Проект стэков

Г. Харди, Э. Райт, Введение в теорию чисел

Р. Дистель, Теория графов (бесплатно!)

К. Адамс, Книга узлов

Л. Эванс, Уравнения в частных производных

Дж. Мункрес, Анализ на многообразиях

В. Рудин, Реальный и комплексный анализ

Рудин В. Функциональный анализ

Д.Кон, Теория меры

Э. Вайс, Г. Штейн, Введение в анализ Фурье в евклидовом пространстве

Принстонские лекции по анализу Э. Стейна и Р. Шакарчи

См., Например, отличные видео, сделанные Джосом Лейсом:

http://www.josleys.com/galleries.php?catid=13

Виртуальный математический музей

Личный сайт Пола Ниландера

Блог Теренса Тао

Проект научной графики

Savoir Sans Frontieres

Брэд Осгуд — Преобразование Фурье и его приложения

Пол Гаррет — Абстрактная алгебра

Андреас Гатманн — Алгебраическая геометрия

$ \ hspace {3cm}

$

Удачи всем самоучкам !!!

мягкий вопрос — Никто не говорил мне, что самообучение может быть настолько разрушительным…

Я думаю, что ваша проблема в том, что вы относитесь к академическим кругам.

Я годами критиковал, что люди неправильно относятся к академическим кругам. «В свое время» люди ходили в школу учиться. Теперь люди ходят в школу, потому что они хотят пройти через все движения, часто слепо, и, по сути, купить себе степень … они думают, что имеют право на учебу в колледже, право на получение степени и право на лучшую работу и лучшую оплату. что они автоматически предполагают, приходит вместе со степенью.К черту обучение. Студенты всегда отказываются от того, чему они научились после экзамена, или после прохождения курса, или после получения степени. Они почти не учатся, слишком много играют, а потом и впихивают. Для большинства людей, которые действительно хотят ходить в школу, речь идет не об обучении. И те, кто не хочет ходить в школу, также против учебы. К сожалению, это по-американски. В конце концов, «компьютерщик» — это якобы уничижительное слово.

Видите ли, студенты идут в колледж, несмотря на влезшие в них долги, потому что считают, что это даст им право на лучшую оплату.Они играют в капиталистическую игру. Это искажение хорошего морального чутья, в отличие от идеального студента и идеальной академии. Плохой стимул к самосовершенствованию, измеряемый не интеллектом или навыками, а карьерой и доходом.

Каждый хочет этого шанса в нашей культуре, основанной на деньгах. Общество чувствует себя морально подвергнутым шантажу и вынужденным дать каждому «этот шанс». И что же происходит? Колледжи наводняются абитуриентами, и качество выпускников падает. Учителя становятся перегруженными, и качество их преподавания еще больше падает, а качество выпускников падает еще больше.Это бесконечный цикл.

Чтобы поддерживать высокое качество, колледжи стараются поддерживать спрос на минимально возможном уровне … как они это делают? Как любая система спроса и предложения в экономике, они взвинчивают цены. Студенты относятся к академическому сообществу как к товару. Школы вынуждены делать то же самое со временем. Мы любим критиковать колледжи за спекуляцию, но на самом деле это вина студентов, это вина общества … и это вина работодателей, которые предпочли бы нанять кого-то со степенью, которая им не нужна, подразумевая навыки, которые они не нужны, а навыков у них, честно говоря, вероятно, даже нет, вместо соискателя без ученой степени, который действительно знает, что делает.

Вот и ты. Вы думаете, что колледж обязан дать вам что-то … то, на что вы имеете право. Но позвольте мне отметить, что независимо от того, являетесь ли вы платным студентом или просто постоянным читателем публичной библиотеки, вам все равно придется открывать эти книги и учиться самостоятельно. В школе не учат. Школа дает вам возможность учиться самостоятельно. Затем они ставят вам оценку и оценивают вашу способность двигаться вперед. Ничто не мешает вам продолжить обучение самостоятельно вне плана урока.Почему ВЫ сдерживаете собственное обучение? Если бы вы действительно хотели учиться, вы бы не остановились из-за медлительных одноклассников. Вы уже признаете, что учитесь самостоятельно, но прекращаете учиться просто потому, что учитесь в колледже? Это похоже на полную противоположность тому, что вы должны делать.

Вот важный вопрос. Вы действительно понимаете все, чему учили себя? Вы доказали математику? Или вы просто запомнили список или процедуры? Заучивание наизусть далеко не уедешь, особенно в математике.Если вы лучше всех следите за процессами решения проблем, это не значит, что вы умеете решать проблемы. Умение решать проблемы не означает, что вы понимаете математику, стоящую за этим, или почему теоремы, которые вы вызываете, вообще работают. Вы можете быть одним из лучших учеников на некоторых курсах, но вы определенно не так умны, как думаете. Держите свою гордость и высокомерие под контролем. Неважно, что вы знаете или что думаете, что знаете, всегда есть что знать.

Вы слишком сосредоточены на том, кто получит докторскую степень в более молодом возрасте.Зачем так соревноваться? Дело не в докторской степени. Кого волнует, получат ли они докторскую степень еще до того, как вы закончите с бакалавриатом? Дело в том, что если вы почти так же умны, как утверждаете, вы будете знать материал намного лучше и получите гораздо более престижную докторскую степень. Грызуны со степенями на стенках все равно остаются грызунами.

Я во многом похож на вас. Я самоучка. Я узнал чертовски много об очень многом. Почему? Не потому, что мне нужна степень, а потому, что я хочу познавать мир.Я не тороплюсь выпускать учебу. Чем больше времени я провожу в школе, тем лучше …, тем больше я узнаю и тем лучше буду это знать. Меня не волнует, если люди получат высшее образование раньше меня. Я по-прежнему уверен в своих силах больше, чем они когда-либо будут.

И, честно говоря, я не против легкой оценки. Я получаю пятерки практически по каждому предмету. Так что, если уроки — легкий ветерок? Все это означает, что мой средний балл будет высоким. И это также означает, что я высвободил больше времени в течение семестров колледжа, чтобы учиться дальше.Зачем изучать материал для следующего квартала в следующем квартале, если я могу выучить его в этом квартале? Зачем в следующем квартале возлагать на себя бремя изучения концепций, которые я еще не понимаю, если вместо этого я мог бы просто пересмотреть? Мне, например, не нравится проблема, связанная с нехваткой времени. Тем не менее, мне нравится понимать новые концепции.

обучения — Как начать с математики?

Хочу отметить, что существуют тематические пути, отличные от наиболее предлагаемого стандартного пути:

Как заметил «jmoy», время ограничено — комментарии, предлагающие вам сначала изучить физику или программирование, или в пути, похоже, несколько игнорируют это.Конечно, наличие этих вещей в качестве фона — это хорошо и окупится, но это не обязательно. По-видимому, вы уже обнаружили свое увлечение математикой, поэтому вам не нужно подкреплять это тем, что связано с математикой. Физика и программирование могут дать вам хорошую интуицию, но также и сама математика.

Кроме того, прохождение всей стандартной учебной программы с большим количеством вычислений и координатной геометрии — далеко не единственный способ войти в математику !! Конечно, базовые знания об этих вещах будут необходимы в какой-то момент .Если вам действительно нравится изучать математический анализ, тогда займитесь им, это отличное начало! Но не делайте это просто потому, что это стандартная учебная программа в колледжах США. Часто люди, которые прошли через это, не могут представить себе, что они научились чему-то по-другому, но это вполне возможно и нормально во многих странах (я прошел немецкую школу и университет и по пути выучил гораздо меньше математических расчетов, чем средний американец. студент — мне это не повредило).

В конце концов, вы хотите изучать математику, чтобы получить полезный опыт, и хотя на пути вас ждет некоторое разочарование, с самого начала это должно быть несколько полезным.

Итак, вот три альтернативных маршрута — на случай, если они разыграют ваше любопытство:

Теория чисел — это область, которая кажется идеальной для самостоятельного изучения: она связана с объектами, которые вы уже очень хорошо знаете — натуральными числами — но это глубокая и сложная область, связанная практически со всеми остальными разделами математики. Это математика совершенно другого оттенка, чем вы могли бы увидеть, следуя по пути исчисления, и она может завести вас так же далеко. В частности, это приведет вас к тому моменту, когда вы захотите изучать исчисление, потому что оно расскажет вам кое-что о теории чисел.Для этого пути возьмите книгу по элементарной теории чисел (например, (1), которую можно загрузить бесплатно, но если это слишком сложно, есть и более простые), и пройдите через нее. Сопроводите его книгой «Бесстрашная симметрия» (2) — отличным популярным учебником по математике, а не пустой тратой времени! Он очень далеко ведет вас к тому, что связано с текущими исследованиями (так называемая «программа Ленглендса»), но написано очень дружелюбно. Это дает вам путь, по которому следует идти; вы получаете интуитивные идеи, например, о «теории групп», и всякий раз, когда вы дойдете до такой точки, где вводится новое понятие (например, «группа»), вы должны сопровождать его более формальным подходом, где вы можете увидеть основные теоремы об этой структуре и получите несколько упражнений для решения.Я предлагаю «Алгебру» Майкла Артина (3), которая содержит все, что вам нужно знать на долгое время на этом пути. Он начинается с низкого уровня, который либо уже подходит для вас, либо потребует лишь небольших промежуточных значений, чтобы преодолеть разрыв.
(Если вы начинаете недоумевать, когда приходит время исчисления, возьмите «Курс арифметики» Серра (4) и переходите ко второй части, но только после того, как вы почувствуете, что находится в первой половине «Алгебры» Артина)

Комбинаторика (например, с книгой «Доказательства, которые действительно важны» (5)) — это также тема, которая не требует мотивации из физики или любой другой области, в которой вам нужно было бы сначала изучить вещи.Как и в теории чисел, вы можете увидеть, как человек развивает математические рассуждения, чтобы сразу же отвечать на вопросы, которые имеют смысл. И снова это может привести вас к тому моменту, когда вы захотите изучать другую математику, например исчисления, потому что имеет смысл преследовать эти вопросы в контексте того, что вы уже знаете …

Логика , например начиная с Карниелли, Эпштейна: «Вычислимость» (6) — это базовое введение в логику и теорию вычислимости, написанное для философов и поэтому начинающееся очень мягко.