Уравнение касательной к графику функции

2 апреля 2011

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ’(x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x³)’ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ’(x₀) = f ’(2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x₀ = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x₀) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x₀) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

1. Правила вычисления производных
2. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
4. Площадь круга
5. Иррациональные неравенства. Часть 1
6. Задача B5: вычисление площади методом обводки

Касательная к графику ункции: уравнение касательной

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f — это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

y = k*x + b.

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0), то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0)*x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) – f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ – 2*x² + 1 в точке х = 2.

1. х0 = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2² — 2*2² + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x² – 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2² – 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x — 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x — 7.

Ответ: y = 4*x — 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

4. Вычислить f’(x0)

5. Подставить полученные значения в уравнение касательной y= f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Применения непрерывности: метод интервалов и примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКритические точки функции: максимумы и минимумы

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике

Отсюда

Или

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания 

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

а) Найдем значение функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных  прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

Приравняем производную к числу -1.

или

или

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

Ответ:

4. Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки   в уравнение функции.

. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение .

Пусть — точка касания. Точка  принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

.

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

или

Второй корень не удовлетворяет условию , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение   — мы его уже записывали.

Получим:

Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале «Молодой ученый»

Чтобы
правильно и рационально решать задачи, связанные
с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое
касательная, владеть техникой составления
уравнения касательной к графику функции и
представлять себе, для решения каких задач (в том
числе и задач с параметрами) можно использовать метод касательной.

Опр.
1. Касательной к графику функции у
= f(x)
называется
предельное положение секущей MN
при

(рис. 1).

Рис. 1

Касательная к кривой может
иметь с ней несколько общих точек или пересекать ее. Можно дать и
другое определение касательной к кривой.

Опр.
2. Касательной к графику функции у
= f(x) в
точке A₀(x₀;
f(x₀))
называется
прямая, проходящая через точку A₀,
угловой
коэффициент которой
равен значению производной функции у
=f(x)
в точке
с абсциссой x₀.

Уравнение
касательной
к кривой у =
f(x)
в точке с
абсциссой х_{0имеет вид:
.}

Между
понятием касательной и понятие производной имеется тесная
связь. Геометрический
смысл производной можно выразить так: если функция
у = f(x)
в точке
х₀
имеет
производную, то в точке с этой абсциссой определена касательная к
графику функции
,
причем ее
угловой коэффициент
равен
.
Вывод: если в точке х₀
есть производная
функции
,
то в точке с
этой абсциссой есть касательная к графику
функции

и наоборот; если
в точке х₀
нет производной
функции
,
то в точке с
этой абсциссой нет касательной к графику функции

и наоборот.

Укажем
случаи, когда
функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не
имеет и производной. Таких случаев три: угловая точка, точка
возврата, узловая точка
(рис. 2 а, б, в). Особо
отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную
производную (рис. 2 г).

угловая точка
точка возврата узловая
точка

а) б) в) г)

Рис. 2

Рассмотрим решение
некоторых задач.

Задачи,
связанные с определением того, является ли прямая
у = kx
+ b
касательной к графику функции
у = f(x).
Можно указать два способа решения таких задач.

1. 
   Находим общие
   точки графиков, т. е. решаем уравнение f(x)
   = kx
   + b,
   а затем для каждого из его решений
   вычисляем
   .
   В тех случаях, когда
   
   = k,
   имеет место касание, в других —
   пересечение.

2. 
   Находим корни
   уравнения
   
   = k
   и для каждого из них проверяем, выполняется ли
   равенство f(x)
   = kx
   + b.
   При его выполнении получаем абсциссы точек
   касания.

Обобщая
оба способа, заметим, что для того чтобы прямая у
= kx
+ b
была касательной к графику функции
у = f(x),
необходимо и достаточно существование хотя
бы одного числа х₀,
для которого выполняется система

1. 
   При каких
   значениях b
   прямая у = 3х +b
   является касательной к графику функции у
   =?

Решение.
Записав условие касания

получим

Ответ:
_.

1. 
   При каких
   значениях а прямая
   у=ах+2
   является касательной к графику функции

Указание.

Ответ:
а = e^-3

1. 
   При каких
   значениях а прямая
   
   является касательной к графику функции

Указание.

Ответ:
а = 7 или а =
-1.

1. 
   Является ли
   прямая
   
   касательной к графику функции
   ?
   Если является, то найти координаты точки касания.

Решение.
Пусть
.
Из условия следует, что должны выполняться равенство
,
где
-
возможная абсцисса точки касания. Имеем:

Если теперь
составить уравнение касательной к графику заданной функции в каждой
из двух найденных точек, то окажется, что в точке

как раз и получится
.
Значит, точка касания имеет координаты (1;-1).

1. 
   К графику
   функции
   проведена
   касательная, параллельная прямой
   .
   Найти ординату точки касания.

Решение.
.
Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению
.
Имеем:

Таким образом,
.
Значит,
-
абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания
преобразуем выражение, задающее функцию:

Ответ: 1.

1. 
   Написать
   уравнение всех касательных к графику функции
   ,
   параллельных прямой
   .

Решение.
Так как касательная должна быть параллельна прямой
,
то ее угловой коэффициент, равный у'(х₀),
где х₀
— абсцисса точки касания, совпадает с
угловым коэффициентом данной прямой, т. е.
.
Отсюда

или
.
Далее составляем уравнение касательной для каждой точки.

Ответ:
,.

1. 
   Найти все
   значения
   ,
   при каждом из которых касательная к графикам функций
   
   и
   в
   точках с абсциссой
   
   параллельны.

Решение.
Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функций

в точке с абсциссой

равен
.
Следовательно, все искомые значения

будут корнями уравнения
,
откуда
.
Используя формулу разности синусов углов, будем иметь
.
Решая полученное уравнение, получаем

1. 
   Найти
   расстояние между касательными к графику функции
   ,
   расположенными параллельно оси
   .

Решение.
Найдем критические точки заданной функции:

Так как,
производная в точках
<sub>и

равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими
абсциссами, параллельны оси
.
Найдем значения функций в этих точках.</sub>

Итак,
расстояние d
между касательными, параллельными оси
,
равно

С составлением
уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о
нахождении кратчайшего расстояния между графиком
некоторой функции f(x)
и прямой
.

Во многих
случаях удается найти касательную к графику
,
параллельную данной прямой

и делящую плоскость на две части, в одной из
которых расположен график функции, а в другой — заданная
прямая. Тогда кратчайшим расстоянием между графиком функции и прямой

является расстояние от точки М(х₀;
у₀),
в которой проведена параллельная касательная,
до заданной прямой у =
kx
+ b;
это расстояние можно вычислить по формуле

1. 
   Найти
   кратчайшее расстояние между параболой
   
   и прямой

Решение.
Убедившись, что графики не имеют общих
точек (уравнение

не имеет решений), запишем
уравнение такой касательной к графику функции
,
которая параллельна прямой

Уравнение касательной имеет
вид

касание происходит в точке

Прямая у =
х
– 2 и парабола у
= х²
расположены по разные
стороны от касательной. Таким образом, кратчайшее
расстояние между параболой и прямой равно
расстоянию от точки М до
прямой
.

Ответ:

Довольно
сложной является задача составления уравнения всех касательных к
графику функции у = f(x),
проходящих через заданную точку М(х₀;
у₀),
вообще говоря, не лежащую на графике.
Приведем алгоритм решения этой задачи.

1. Составляем
уравнение касательной к графику функции
у = f(x)
в произвольной
точке графика с абсциссой
t:

2. Решаем
относительно t
уравнение

и для каждого его
решения t
записываем
соответствующую
касательную в виде
.

1. 
   Написать
   уравнение всех касательных к графику функции
   ,
   проходящих через точку
   М(2; -2).

Указание.
Уравнение касательной в точке с абсциссой t
имеет вид
.
Так как эта
касательная проходит через точку
(2; -2), то
,
откуда
.

Ответ:
.

1. 
   Найти
   площадь треугольника, образованного касательными, проведенными
   к графику функции
   
   через точку
   
   и секущей,
   проходящей через точки касания.

Указание.
Уравнение

дает два
решения: t₁
= 1, t₂
= 4. Таким
образом, точки K₁
(1;1) и
K₂(4;2)
являются точками касания.

Ответ:
0,25.

Говорят, что
прямая

является общей касательной графиков функции


и
,
если она касается как одного, так и другого
графиков (но совершенно не обязательно в одной и той же точке).
Например, прямая

является общей касательной графиков функций

(в точке М(2; 5) и

(в точке K(0,5;
-1)). Заметим, что графики функций
и

имеют в точке их пересечения М(х₀;
у₀)
общую невертикальную касательную тогда и
только тогда, когда
.

1. 
   Доказать,
   что параболы
   
   и
   имеют
   в их общей точке общую касательную. Найти
   уравнение этой общей касательной. Решение.
   Уравнение
   имеет
   единственный корень х=2,
   т. е. параболы имеют единственную общую точку
   М(2;0). Убедимся, что значения производных для
   обеих функций в точке х =
   2 равны; действительно,
   и
   .
   Далее составляем уравнение касательной.

Ответ:.

В завершении рассмотрим
решение еще нескольких задач на касательную с параметром.

1. При
   каких значениях параметра
   касательная
   к графику функции
   
   в точке
   
   проходит через точку (2;3)?

Решение.
Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке
:

Так как эта прямая проходит через точку (2;3), то имеет место
равенство
,
откуда находим:
.

1. 
   Может ли
   касательная к кривой
   
   в какой-либо ее точке составлять острый угол с положительным
   направлением оси
   ?

Решение.
Найдем производную функции
.
В любой точке, в которой функция определена, производная
отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а
так как он отрицателен, то угол тупой.

Ответ: Не
может.

1. 
   Найти
   значение параметра
   ,
   при котором касательная к графику функции
   
   в точке
   
   проходит через точку М(1;7).

Решение.
Пусть
тогда
.
Составим уравнение касательной:

По условию эта
касательная проходит через точку М(1;7), значит,
,
откуда получаем:

1. 
   При каких
   значениях параметра
   
   прямая
   
   является касательной к графику функции
   ?

Решение.
Из условия следует, что должно выполнятся равенство
где

абсцисса
точки касания. Значит,
и

связаны между собой равенством

(1). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в
точке

Из условия
следует, что должно выполняться равенство
.
Решив это уравнение, получим
.
Тогда из (1) получаем, что
.

1. 
   При каком
   значении
   
   прямая
   
   является касательной у графику
   ?

Решение.
Так как прямая

является касательной к графику функции
,
то в точке касания угловой коэффициент касательной равен 3. Но
угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в
этой точке, то есть
,
откуда
,
следовательно,
-
абсцисса точки касания. Найдем теперь
из
условия равенства значений функций
и

при
.
Имеем
,
откуда
.

1. 
   При каких
   значениях параметра а касательные к графику функции
   ,
   проведенные в точках его пересечения с осью оx,
   образуют между собой угол 60^о?

Решение.
В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику
функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно
использовать геометрический смысл производной, то есть угловые
коэффициенты касательных. Графиком данной функции является парабола с
ветвями, направленными вверх, пересекающая ось оx
в двух точках (случай а=0
нас не устраивает):

и
учитываем,
что х₂>0
(рис. 3)

Рис. 3

Касательные АМ
и ВМ пересекаются под углом 60^о
в точке М, лежащей на оси параболы, причем возможны два случая: либо
,
либо смежный угол равен 60^о.
в первом случае угол между касательной АО и осью х равен 120^о,
следовательно, угол коэффициента касательной равен tg120^o,
то есть равен

Далее имеем:
.
Таким образом, получаем, что
,
то
.
Во втором случае
,
поэтому угол между касательной АО и остью ох
равен 150^о.
Значит, угловой коэффициент касательной равен tg150^o
, то есть он равен
.
Таким образом, получаем, что
,
то есть

Ответ:
.

Литература:

1. 
   Далингер,
   В.А. Начала математического анализа в задачах [Текст]: учебное
   пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ГОУ ОМГПУ, 2009. –
   312 с.

2. 
   Звавич, Л.И. Алгебра и
   начала анализа. 8-11 кл. [Текст]: пособие для школ и классов с
   углубл. изучением математики / Л. И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В.
   Чинкина.– М.: Дрофа, 1999. – 352 с.

Как получить уравнение касательной к графику функции. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Касательная к графику тригонометрической функции Сложность: лёгкое	2
2.	Касательная к графику квадратичной функции Сложность: лёгкое	2
3.	Нахождение приближённого значения числового выражения Сложность: лёгкое	1
4.	Уравнение касательной к графику квадратичной функции Сложность: среднее	1
5.	Тангенс угла наклона касательной Сложность: среднее	1
6.	Уравнение касательной к графику Сложность: среднее	1
7.	Точка касания прямой параллельно заданной Сложность: среднее	2
8.	Уравнение параллельной касательной Сложность: среднее	4
9.	Уравнение касательной к двум параболам Сложность: сложное	4
10.	Параметрическая функция к двум касательным Сложность: сложное	2
11.	Нахождение значения параметров прямой Сложность: сложное	2

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Секущая графика функции.

Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

      Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

B → A

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x₁ → x₀ .

      Определение 2. Если при   x₁ → x₀   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x₀;  f (x₀))  (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x₁ → x₀   отношение

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x₀ ,   обозначают   f ′(x₀)   или и записывают так:

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x₀ ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x₀;  f (x₀))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁)) (рис. 4).

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x₀;  f (x₀))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x₀   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x₀;  f (x₀)) :

f′(x₀) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Итоговый урок по теме «Уравнение касательной» – Документ 1 – УчМет

Ковалева Елена Ивановна

Учитель 1 категории

МБОУ
СОШ№5 г.Рославль, Смоленская область

Учебник
Алгебра и начала анализа. 10кл. В 2 ч.
(профильный уровень)  Мордкович
А.Г., Семенов П.В.

ПЛАН-КОНСПЕК УРОКА
Итоговый урок
по теме «Уравнение касательной»

10 класс

Цель
урока:

• систематизировать
  и обобщить сведения, полученные учащимися
  на предыдущем уроке;

• расширить
  представления учащихся о теме;

• дополнить
  и обобщить представления учащихся о
  применении данной темы в жизни;

• познакомить
  с историей данного вопроса.

9. Задачи:

1. — обучающие: научиться
   распознавать сложные функции, знать
   правила дифференцирования, уметь
   применять формулу производной сложной
   функции при решении задач; совершенствовать
   предметные, в том числе вычислительные,
   умения и навыки; навыки работы с
   компьютером.

2. -развивающие развивать
   познавательные интересы через применение
   информационных технологий.

3. -воспитательные воспитывать
   адаптивность к современным условиям
   обучения.

Тип урока урок закрепления
изучаемого материала и выработки
практических умений и навыков

Формы
работы учащихся самостоятельная,
индивидуальная, фронтальная работа.

Необходимое техническое
оборудование компьютер, проектор,
экран, презентация для сопровождения
занятия, раздаточный материал для
учащихся.

I.
Организационный момент
(0.5 мин.).

II.
Постановка
целей урока. Мотивация учащихся
( 2 мин). (слайд 1)

III.
Обобщение знаний учащихся по теме
«Производная. Уравнение касательной»(15
мин)(слайд 2)

Учитель приветствует учащихся
и объявляет цель урока и план, используя
презентационное сопровождение.
Зачитывается эпиграф к уроку.

Учитель. Сегодня на уроке мы
обобщим и закрепим идею геометрического
смысла производной, сформируем начальное
представление о приложениях производной
в математике и истории их развития,
«откроем» зависимость между свойствами
монотонности функции, экстремумами и
значениями производной; эпиграфом к
уроку служат слова французского
философа-материалиста Дени Дидро (1713 –
1784) – современника Декарта, Лейбница,
личного библиотекаря Екатерины Великой.

«Начинать исследования можно
по-разному… Все равно начало почти
всегда оказывается весьма несовершенной,
нередко безуспешной попыткой. Есть
истины, как страны, наиболее удобный
путь, к которым становится известным
лишь после того, как мы испробуем все
пути. Кому-то приходится, рискуя собой,
сходить с проторенной дороги, чтобы
указать другим правильный путь… На
пути к истине мы почти всегда обречены,
совершать ошибки» (Дени Дидро)

Сегодня мы закрепим материал на
тему «Уравнение касательной» решением
ключевых или опорных задач, проверим
усвоение техники нахождения производной
и исследуем связь уравнения касательной
с исследованием свойств графика функции
, что в дальнейшем нам даст аппарат для
построения практически графика любой
функции и нахождения ее свойств. Приведет
к решению задач на оптимизацию, те
нахождения наибольшего и наименьшего
значения некоторого конкретного тела,
…

Итак, для проверки техники
вычисления производной приглашаются
учащиеся к компьютерам ( тесты на два
варианта)

На местах ребята обсуждают
предложенные незавершенные предложения
( слайды 3-4)

1.В чем состоит геометрический
смысл производной?

2.В любой ли точке можно построить
касательную?

3.Какая функция называется
дифференцируемой в точке?

4.Касательная наклонена к под
тупым углом к положительному направлению
оси Ох ….

5.Кастельная наклонена под острым
углом к оси ох…

6.Касательная наклонена под
прямым углом к положительному направлению
оси Ох…

7.Касательная параллельна оси
Ох, следовательно…

8. Что называется секущей для
графика функции y=f(x)?

9. Какая прямая называется
касательной к графику функции?

10. Какая из отмеченных точек
является точкой касания?

11. Записать уравнение касательной
к графику функции в заданной точке в
общем виде. 12. Чему равен угол наклона
касательной к графику функции в заданной
точке? 6. Как найти угловой коэффициент
касательной?

13. Известно, что угловой коэффициент
касательной к графику функции в точке
с абсциссой х_о, равен 0,6. Чему равно
значение производной в этой точке?

14. Касательная к графику функции
f(x) в точке с абсциссой х_о образует
с положительным направлением оси ох
угол 45^о. Найти f^/(x_o).

Затем обсуждаем решение ключевых
задач. (слайд 5)

• Задание из предложенных ключевых
  задач составить свою задачу.

• после обсуждения, решенных у
  доски задач , учащимся предлагается
  составить алгоритм решения из ключевых
  задач.

Учитель. Математический анализ,
ядро которого составляют дифференциальное
и интегральное исчисления, — самая тонкая
область всей математики. Раздел
математики, в котором изучаются
производные и их применения к исследованию
функций, называется дифференциальным
исчислением, а раздел математики, в
котором изучается операция интегрирования
функции, то есть восстановления функции
по её производной, называется интегральным
исчислением.

Немного истории ( небольшое
сообщение ученицы) (слайды 6-10)

Дифференциальное исчисление
создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно
недавно, в конце XVII столетия.

Большой вклад в развитие
дифференциального исчисления внесли:

Архимед, который задолго до
этого решил задачу на построение
касательной к спирали, сумел найти
максимум функции f(x) = х² (а — х),

Пьер Ферма (1601 -1665), математическое
определение производной, которого было
принято всеми математиками, успешно
применявшими в своём методе нахождения
экстремумов многочленов задачи о
построениях касательных к кривым,

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646 -1716), который установил геометрический
смысл производной, как тангенс угла
наклона касательной. «Штрихи к портрету»
Готфрида Лейбница : в своей работе
«Новый метод максимумов и минимумов»,
используя геометрическое истолкование,
он кратко разъясняет признаки возрастания
и убывания, максимума
и минимума, выпуклости
и вогнутости (следовательно, и
достаточные условия экстремума
для простейшего случая), а также точки
перегиба. Его знаменитая фраза: «Без
настоящих единиц не может быть и
множества». С ним связаны имена
выдающихся личностей, термины и понятия:
Эпоха Просвещения, Петр I,
Россия, Ньютон, рококо, арифмометр,
кратер на Луне, подводная лодка,
«Философский век». Подумайте над этим
дома.

V
I.
Решение задач с практическим
содержанием ( слайд 11)

Учитель . Обсуждая успехи своего
ученика, учитель математики так отозвался
о нем: «Он очень мало знает, но у него
положительная производная». Все поняли,
что хотел сказать учитель: скорость
приращения знаний у ученика положительна,
а это есть залог того, что его знания
возрастут. Подумайте, как вы могли бы
охарактеризовать три кривые роста
знаний.

Ответ:I -ого знания не растут т.к.
производная в каждой точке прямой равна
нулю, знания II-го растут быстрее, чем
III-го т.к. угол наклона касательных будет
больше, а следовательно и больше
производная, потому что тангенс функция
возрастающая. (слайд 10-анимированный ,
в музыкальном сопровождении)

У вас на столах график некоторой
функции, проведите в указанных точках
схематично касательные и охарактеризуйте
данную функцию у учетом изученного в
10 и 9-ом классах.

А теперь послушайте музыку,
которая сейчас помогала исследованию
В чем связь? ( слайд12) Почему именно
музыку и график функции мы сегодня
связываем?

Не
всякую музыку можно слушать легко, для
восприятия необходимо произвести
усилия, вслушаться , представить действие
, проникнуться настроением, поймать
мысль композитора.

«Здесь
мало увидеть,

Здесь нужно всмотреться,

Здесь
мало услышать,

Здесь вслушаться нужно,»
Н. Рыленков «Все в тающей дымке»

А может быть
и с графиком , его надо не только увидеть,
но в него надо всмотреться, почувствовать
всю гармонию мелодии графика.

Такую мелодию нам предложит
Семченкова Настя( на гитаре попыталась
проиграть мелодию, повторяющую
предложенный график).

А теперь
попробуйте сами. Звучит вальс из балета
«Лебединое озеро»

П.И.Чайковского.

Учитель.
Ребята, а зачем нужно изучать данную
тему.

Выберем ответы из левого столбца:

Нужна ли производная для будущей
профессии?

Российский математик 19века
Панфутий Львович Чебышев говорил, что
«особенную важность имеют те методы
науки, которые позволяют решать задачу,
общую для всей практической деятельности
человека, например, как располагать
своими средствами для достижения
наибольшей выгоды».

С такими задачами в наше время
приходится иметь дело представителям
самых разных специальностей:

• Инженеры технологи стараются
  так организовать производство, чтобы
  выпускалось как можно больше продукции;

• Конструкторы пытаются разработать
  прибор для космического корабля так,
  чтобы масса прибора была наименьшей;

• Экономисты стараются спланировать
  связи завода с источниками сырья так,
  чтобы транспортные расходы оказались
  минимальными.

Вам предложены задачи из жизни,
необходимо применить для решения
свойства касательной.

1.Профиль моста имеет форму
параболы с высотой центральной части
10 м и длиной основания 120м. Какой должен
быть наклон насыпи на концах моста?
(слайд13-анимированный –этапы рассуждений)

2.Вертикальный разрез теплицы
имеет форму пятиугольника ABCDE,
в котором FT=8м, AB=DE=1м.
Из точки Р, расположенной на высоте 2м,
подается горизонтально вытекающая
струя воды, которая при максимальном
напоре достигает точки Е(илиА). Какую
высоту h нужно придать
центральной части теплицы , если
желательно, чтобы струя воды( она имеет
форму параболы с вершиной в точке

Р) не достигла крыши теплицы?

Во многих приложениях встречается
понятие касания кривых между собой.
Кривые называются касающимися ,если
они имеют в этой точке общую касательную.

3.Каково необходимое и достаточное
условие двух функций у =f(x)
и y=g(x)
касаются друг друга в точке х₀

4.Покажите, что кривые у=4х²+2х-8
и у=-х³-х+10 касаются в точке А(3;34).
Будут ли они касаться в точке В(2;-4)

5. При каких соотношениях парабола
ах²+вх+с-0 касается оси Ох?

6. Найдите те значения х, при
которых касательные в соответствующих
точках параллельны между собой. При
каком значении а кривые будут касаться
друг друга?

Вам было предложено дома решить
не менее творческую задачу: составления
алгоритма решения нестандартной задачи
, по теме «Уравнение касательной»

Обсуждаем данные алгоритмы.

Как вы уже заметили, что в данных
алгоритмах повторяющиеся блоки,
перечислите их: составление уравнения
касательной
в
точке; нахождения точки касания по углу
наклона касательной к положительному
направлению оси Ох, по известному
угловому коэффициенту, который может
быть известен по условию параллельности
прямых ,описанию условия нахождения
точек касания

А теперь перейдем к выполнению
практической работы , при выполнении
которой вы должны применить все на
практике. (Приложение1)

V. Постановка
дифференцированного домашнего задания

Учитель раздает карточки
с вариантами заданий (4 варианта) , которые
содержат обязательную и необязательную
части домашнего задания, делает
соответствующие пояснения о том, что
результаты будут необходимы на следующем
уроке.

VI. Итог урока.

Учитель предлагает обобщить
учащимся свои исследования, демонстрирует
на слайдах результаты подведения итогов
и дальнейший план изучения темы. На
экране непрерывно идут титрами новые
математические понятия: необходимое
условие, достаточное условие, необходимое
и достаточное условие.

Учащиеся высказывают свое
мнение, подводят общий итог исследованию

Список используемой литературы

1. Алгебра и начала анализа. 10
   класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный
   уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.
   – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб.
   Для 10-11 кл. общеобразоват.
   учреждений
   /А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов,
   Ю.П.Дудницын и др.; Под ред.
   А.Н.Колмогорова-
   10-е изд.- М..:
   Просвещение,2000. – стр. 160-166

3. Единый государственный экзамен:
   Математика: Контрол. измерит.
   материалы
   /Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко,
   Ю.А.Глазков и.др.; М-во образования
   Рос.
   Федерации.- М.: Просвещение, 2003.

4. Производная и её применение:
   Дидакт. матер, по курсу алгебры и начал
   анализа
   для 10-11 кл.ср.шк./Под ред.
   М.И.Башмакова — СПб, Свет, 1995.

5. Клайн М. Математика. Утрата
   определённости: Пер. с англ./ Под ред. С
   предисл. И
   примеч. И.М.Яглома.- М.: Мир,
   1984.

6. Степанова М.В. Учебно-исследовательская
   деятельность школьников в профильном
   обучении: учебно-методическое пособие
   для учителя/ Под ред. А.П.Тряпининой. –
   СПб.: КАРО, 2005.

7. Маркова В. Что такое исследовательская
   деятельность школьников / Математика
   (приложение к 1 сентября), №12, 2007.

Интернет – источники

Музыка «Балет «Лебединое
озеро» — Вальс A-dur, акт 1» — (Пётр Ильич
Чайковский)http://www.rusmusic.su/instrumental.php

Дени Дидро

http://books.atheism.ru/gallery/Diderot/

Екатерина Великая

http://mail.spb.fio.ru/archive/group15/c3wu3/pagehistory1.htm

Лейбниц

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%2C_%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D0%B8%D0%B4_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Архимед

http://ru. wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%B4

Лагранж

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%2C_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8

Ферма

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%2C_%D0%9F%D1%8C%D0%B5%D1%80

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Приложения к плану-конспекту
урока

Итоговый урок по теме «Уравнение
касательной»

Приложение 1

Геометрическое
приложение производной

1.Профиль моста имеет форму
параболы с высотой центральной части
10 м и длиной основания 120м. Какой должен
быть наклон насыпи на концах моста?

2. Вертикальный разрез теплицы
имеет форму пятиугольника ABCDE,
в котором FT=8м, AB=DE=1м.
Из точки Р , расположенной на высоте 2м,
подается горизонтально вытекающая
струя воды, которая при максимальном
напоре достигает точки Е (или А ). Какую
высоту h нужно придать
центральной части теплицы, если
желательно, чтобы струя воды ( она имеет
форму параболы с вершиной в точке Р) не
достигла крыши теплицы?

C

Р

В D

А Е

• Во многих приложениях
  встречается понятие касания кривых
  между собой. Кривые называются касающимися
  , если они имеют в этой точке общую
  касательную.

3.Каково необходимое и
достаточное условие двух функций у
=f(x) и y=g(x)
касаются друг друга в точке х₀

4. Покажите, что кривые у=4х²+2х-8
и у=-х³-х+10 касаются в точке А
(3;34). Будут ли они касаться в точке В
(2;-4)

5. При каких соотношениях
парабола ах²+вх+с-0 касается оси О
х?

Приложение 2

Приложение 3

Как найти уравнение касательной

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Касательная функция в прямоугольных треугольниках

Касательная — это тригонометрическое соотношение двух сторон прямоугольного треугольника. Касательная обычно укорачивается до желтовато-коричневого, но она явно выражена.Эта функция может использоваться для определения длины стороны треугольника, если задана хотя бы одна сторона треугольника и один из острых углов.

Быстрый просмотр: три основных триггерных отношения: синус, косинус и тангенс. Их можно запомнить с помощью SOH CAH TAH Что это значит? Это означает, что касательная — это отношение противоположной стороны к смежной стороне.

Tanθ =

Давайте посмотрим на примере того, как по касательной можно найти длину противоположной стороны.

Чтобы найти x, напишите уравнение, используя коэффициент тангенса, а затем решите для x

tan 30 ° = умножьте обе части уравнения на 15

(15) tan 30 = (15) Вам понадобится калькулятор, чтобы найти значение tan 30 °

(15) (.5774) = xУбедитесь, что ваш калькулятор работает в градусном режиме, проверив, что tan 30,5774 (округлено до 4 знаков после запятой)

8,661 = x Противоположная сторона имеет приблизительную длину 8,661 или 8,7 при округлении до ближайшей десятой.

Теперь давайте посмотрим, как по касательной можно найти длину соседней стороны.

Чтобы найти x, напишите уравнение, используя тангенциальный коэффициент, а затем решите относительно x

Tan 20 ° = Умножьте обе части уравнения на x.

(x) tan 20 ° = (x) Вам нужно будет использовать калькулятор, чтобы найти значение tan 20 °.Округлите до 4 десятичных знаков

Убедитесь, что ваш калькулятор работает в градусном режиме, убедившись, что (x) (.3634) = 10 tan 20 .3634

Разделите обе стороны на 0,3634, чтобы выделить x

x = 27,5179 с точностью до десятых

x = 27,5 длина соседней стороны составляет приблизительно 27,5

Триггерные отношения имеют множество реальных и практических применений в таких областях, как авиация, архитектура, геодезия. Использование тригонометрических соотношений, таких как тангенс, позволяет измерять вещи, которые нельзя определить с помощью обычных измерительных инструментов.

Как найти уравнения касательных и нормальных прямых

Краткий обзор

• Чтобы найти уравнение прямой, вам нужна точка и наклон.
• Наклон касательной — это значение производной в точке касания.
• Нормальная линия — это линия, которая перпендикулярна касательной и проходит через точку касания.2) = 12
  $$

  Наклон касательной составляет $$ m = 12 $$.

  Шаг 3

  Найдите форму точки с уклоном прямой с уклоном $$ m = 12 $$, проходящей через точку $$ (2,8) $$.

  $$
  \ begin {align *}
  y — y_1 & = m (x-x_1) \\ [6pt]
  у — 8 & = 12 (х-2)
  \ end {выровнять *}
  $$

  Отвечать

  $$ y — 8 = 12 (x-2) $$

  Для справки, вот график функции и касательная, которую мы только что нашли. 2 — х $$. Найдите уравнение касательной с наклоном $$ m = -3 $$.

  Шаг 1

  Найдите производную.

  $$
  f ‘(x) = 2x -1
  $$

  Шаг 2

  Найдите $$ x $$ — значение, где $$ f ‘(x) $$ равно наклону.

  $$
  \ begin {align *}
  f ‘(x) & = 2x -1 \\ [6pt]
  -3 & = 2x -1 \\ [6pt]
  -2 & = 2x \\ [6pt]
  х & = -1
  \ end {выровнять *}
  $$

  Шаг 3

  Найдите точку на функции, где $$ x = -1 $$.2 — (-1) = 1 + 1 = 2
  $$

  Дело в $$ (- 1, 2) $$.

  Шаг 4

  Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $$ (- 1,2) $$ с наклоном $$ m = -3 $$.

  $$
  \ begin {align *}
  y -y_1 & = m (x-x_1) \\ [6pt]
  y — 2 & = -3 (x — (-1)) \\ [6pt]
  у — 2 & = -3 (х + 1)
  \ end {выровнять *}
  $$

  Отвечать

  $$
  у — 2 = -3 (х + 1)
  $$

  Для справки, вот график функции и касательная, которую мы только что нашли.2 & = 12 \\ [6pt]
  y & = \ pm \ sqrt {12} \\ [6pt]
  y & = \ pm \ sqrt {4 \ cdot 3} \\ [6pt]
  у & = \ pm2 \ sqrt 3
  \ end {выровнять *}
  $$

  Поскольку в задаче говорится, что нас интересует $$ y> 0 $$, мы используем $$ y = 2 \ sqrt 3 $$.

  Точка касания — $$ (2, 2 \ sqrt 3) $$.

  Шаг 2

  Найдите уравнение для $$ \ frac {dy} {dx} $$.

  Поскольку уравнение определено неявно, мы используем неявное дифференцирование.

  $$
  \ begin {align *}
  2x + 2y \, \ frac {dy} {dx} & = 0 \\ [6pt]
  2y \, \ frac {dy} {dx} & = -2x \\ [6pt]
  \ frac {dy} {dx} & = — \ frac {2x} {2y} \\ [6pt]
  \ frac {dy} {dx} & = — \ frac x y
  \ end {выровнять *}
  $$

  Шаг 3

  Найдите наклон касательной в точке касания.

  В точке $$ (2,2 \ sqrt 3) $$ наклон касательной составляет

  $$
  \ begin {align *}
  \ frac {dy} {dx} \ bigg | _ {(\ blue {2}, \ red {2 \ sqrt 3})} & = — \ frac {\ blue 2} {\ red {2 \ sqrt 3}} \\ [6pt]
  & = — \ frac 1 {\ sqrt 3} \\ [6pt]
  & = — \ frac 1 {\ sqrt 3} \ cdot \ blue {\ frac {\ sqrt 3} {\ sqrt 3}} \\ [6pt]
  & = — \ frac {\ sqrt 3} 3
  \ end {выровнять *}
  $$

  Наклон касательной равен $$ m = — \ frac {\ sqrt 3} 3 $$.

  Шаг 4

  Найдите уравнение касательной, проходящей через $$ (2,2 \ sqrt 3) $$ с наклоном $$ m = — \ frac {\ sqrt 3} 3 $$.

  В точке $$ (2,2 \ sqrt 3) $$ наклон касательной составляет

  $$
  \ begin {align *}
  y — y_1 & = m (x-x_1) \\ [6pt]
  y — 2 \ sqrt 3 & = — \ frac {\ sqrt 3} 3 (x-2)
  \ end {выровнять *}
  $$

  Отвечать

  Уравнение касательной: $$ y — 2 \ sqrt 3 = — \ frac {\ sqrt 3} 3 (x-2) $$

  Для справки график кривой и найденная касательная линия показан ниже.

  Нормальные линии

  Предположим, у нас есть касательная к функции. Функция и касательная пересекаются в точке касания. Линия, проходящая через ту же точку, которая перпендикулярна касательной, называется нормальной линией .

  Напомним, что когда две прямые перпендикулярны, их наклоны обратно пропорциональны.Поскольку наклон касательной равен $$ m = f ‘(x) $$, наклон нормальной линии равен $$ m = — \ frac 1 {f’ (x)} $$.

  Пример 4

  Предположим, что $$ f (x) = \ cos x $$. Найдите уравнение прямой к функции в $$ x = \ frac \ pi 6 $$.

  Шаг 1

  Найдите точку на функции.

  $$
  f \ left (\ frac \ pi 6 \ right) = \ cos \ frac \ pi 6 = \ frac {\ sqrt 3} 2
  $$

  Это $$ \ left (\ frac \ pi 6, \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right) $$.

  Шаг 2

  Найдите значение производной в $$ x = \ frac \ pi 6 $$.

  $$
  f ‘(x) = — \ sin x \ longrightarrow f’ \ left (\ frac \ pi 6 \ right) = — \ sin \ frac \ pi 6 = — \ frac 1 2
  $$

  Наклон касательной равен $$ m = — \ frac 1 2 $$. Поскольку мы ищем прямую, перпендикулярную касательной, мы хотим использовать $$ m = 2 $$.

  Шаг 3

  Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $$ \ left (\ frac \ pi 6, \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right) $$ с наклоном $$ m = 2 $$.

  $$
  \ begin {align *}
  y -y_1 & = m (x-x_1) \\ [6pt]
  y — \ frac {\ sqrt 3} 2 & = 2 \ left (x — \ frac \ pi 6 \ right)
  \ end {выровнять *}
  $$

  Отвечать

  Линия, нормальная к функции в $$ x = \ frac \ pi 6 $$, это $$ y — \ frac {\ sqrt 3} 2 = 2 \ left (x — \ frac \ pi 6 \ right) $$.

  Для справки, вот график функции и нормальной линии, которую мы нашли.

  Продолжить практические задачи

  Ошибка: Пожалуйста, нажмите «Не робот», затем повторите попытку.

  Уравнение касательной линии: проблемы и решения — Matheno.com

  В этих задачах всегда указывается, что вы найдете касательную или нормальную (= перпендикулярную) линию в определенной точке функции. Назовем эту точку $ (x_0, y_0) $.

  Чтобы ответить на эти вопросы, вы почти всегда будете использовать форму линии «точка-уклон». Напомним, что если линия имеет уклон м и и содержит точку $ (x_0, y_0) $, то вы можете записать ее уравнение в виде:

  Угловая форма линии:
  $$ \ bbox [желтый, 5px] {y — y_0 = m (x — x_0)} $$

  В постановке задачи обычно указывается точка $ (x_0, y_0) $, поэтому на самом деле эти проблемы сводятся к определению наклона м линии — о чем мы поговорим ниже.

  Вы будете использовать это уравнение снова и снова; запомните это, если вы этого еще не знаете.

  (Это просто вариант определения наклона: $ m = \ dfrac {y — y_0} {x — x_0}.) $

  I. Касательная линия к кривой

  Очень часто в начале Расчет Вам будет предложено найти уравнение для прямой , касательной к кривой в определенной точке. Мы называем эту точку $ (x_0, y_0) $.

  Чтобы найти уравнение линии, вам просто нужно помнить, что касательная линия к кривой имеет наклон, равный производной функции, вычисленной в интересующей точке:

  $$ \ bbox [желтый, 5px] {m_ \ text {касательная линия} = f ‘(x_0)} $$

  То есть найдите производную функции $ f’ (x) $, а затем вычислите ее как $ x = x_0 $.Это значение $ f ‘(x_0), $ равно наклону касательной.

  Следовательно, мы можем записать уравнение для касательной в точке $ (x_0, y_0) $ как

  \ [\ bbox [10px, border: 2px сплошной синий] {
  \ begin {align *}
  y — y_0 & = m_ \ text {касательная} (x — x_0) \\ [8px]
  y — y_0 & = f ‘(x_0) (x — x_0)
  \ end {align *}} \]

  Если эти уравнения кажутся вам абстрактными, не волнуйтесь. Мы обещаем, что как только вы решите несколько проблем, процесс обретет смысл.

  II.Нормальная линия к кривой

  Иногда вместо этого вам будет предложено найти прямую нормальную к кривой. Это то же самое, что запросить линию , перпендикулярную кривой.

  Вы снова будете использовать форму линии «точка-уклон». Но теперь, чтобы вычислить наклон прямой, вспомним, что наклоны перпендикулярных прямых являются отрицательными величинами, обратными друг другу ($ m_2 = — \ dfrac {1} {m_1} $). Нам нужен наклон линии, которая перпендикулярна кривой в точке и, следовательно, перпендикулярна касательной к кривой в этой точке:

  \ [\ bbox [yellow, 5px] {
  \ begin {align *}
  m_ \ text {нормальная линия} & = \ frac {-1} {m_ \ text {касательная линия}} \\ [12px]
  & = \ frac {-1} {f ‘(x_0)}
  \ end {align *}} \]

  Следовательно, мы можем записать уравнение для нормальной линии в $ (x_0, y_0) $ как

  \ [\ bbox [10px, граница: сплошной синий 2px] {
  \ begin {align *}
  y — y_0 & = m_ \ text {нормальная линия} (x — x_0) \\ [8px]
  y — y_0 & = \ frac {-1} {f ‘(x_0)} (x — x_0)
  \ end {align *}} \]

  ---

  Мы рекомендуем , а не , пытаясь запомнить все приведенные выше формулы. Вместо этого запомните форму линии «точка-наклон», а затем используйте то, что вы знаете о производной, сообщающей вам наклон касательной в данной точке. Приведенные ниже проблемы иллюстрируют.

  Задача 1 иллюстрирует процесс объединения различных фрагментов информации для нахождения уравнения касательной.

  Задача 2 требует, чтобы вы нашли фрагменты информации перед тем, как собрать их воедино.

  [свернуть]

  AC Аппроксимация касательной линии

  Подраздел 1.8.1 Касательная линия
  

  Для функции \ (f \), дифференцируемой в точке \ (x = a \ text {,} \), мы знаем, что можем определить наклон касательной к \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) путем вычисления \ (f ‘(a) \ text {.} \) Уравнение результирующей касательной прямой дается в форме точечного уклона как

  \ begin {уравнение *}
  y — f (a) = f ‘(a) (x-a) \ \ \ text {или} \ \ y = f’ (a) (x-a) + f (a) \ text {.}
  \ end {уравнение *}

  Обратите внимание: в этом контексте существует большая разница между \ (f (a) \) и \ (f (x) \). Первая является константой, которая возникает в результате использования заданного фиксированного значения \ (a \ text {,} \), а вторая является общим выражением правила, определяющего функцию. То же самое верно для \ (f ‘(a) \) и \ (f’ (x) \ text {:} \), мы должны тщательно различать эти выражения. Каждый раз, когда мы находим касательную, нам нужно вычислить функцию и ее производную при фиксированном \ (a \) — значении.

  На рисунке 1.8.2 мы видим график функции \ (f \) и его касательную линию в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \) Обратите внимание, как при увеличении масштаба мы видим, что локальная линейность \ (f \) более четко выделяется. Функция и касательная к ней почти неотличимы вблизи. Локальную линейность также можно увидеть динамически в java-апплете по адресу http://gvsu.edu/s/6J.

  Рисунок 1.8.2. Функция \ (y = f (x) \) и ее касательная линия в точке \ ((a, f (a)) \ text {:} \) слева, на расстоянии и справа, вблизи. Справа мы помечаем функцию касательной линии \ (y = L (x) \) и замечаем, что для \ (x \) около \ (a \ text {,} \) \ (f (x) \ приблизительно L ( х) \ текст {. } \)

  Подраздел 1.8.2 Локальная линеаризация
  

  Небольшое изменение перспективы и обозначений позволит нам более точно обсудить, как касательная линия приближает \ (f \) около \ (x = a \ text {.} \). Решая для \ (y \ text {, } \) уравнение касательной можно записать как

  \ begin {уравнение *}
  y = f ‘(a) (x-a) + f (a)
  \ end {уравнение *}

  Эта строка сама является функцией \ (x \ text {.} \). Заменяя переменную \ (y \) выражением \ (L (x) \ text {,} \), мы называем

  \ begin {уравнение *}
  L (x) = f ‘(a) (x-a) + f (а)
  \ end {уравнение *}

  локальная линеаризация \ (f \) в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \) В этих обозначениях \ (L (x) \) — не что иное, как новое имя для касательной. Как мы видели выше, для \ (x \), близкого к \ (a \ text {,} \) \ (f (x) \ приблизительно L (x) \ text {.} \)

  Пример 1.8.3.
  

  Предположим, что функция \ (y = f (x) \) имеет аппроксимацию касательной, заданную формулой \ (L (x) = 3-2 (x-1) \) в точке \ ((1,3) \ text {,} \), но мы ничего не знаем о функции \ (f \ text {. } \) Чтобы оценить значение \ (f (x) \) для \ (x \) около 1, например \ (f (1.2) \ text {,} \) мы можем использовать тот факт, что \ (f (1.2) \ приблизительно L (1,2) \) и, следовательно,

  \ begin {уравнение *}
  f (1,2) \ приблизительно L (1,2) = 3–2 (1,2–1) = 3–2 (0,2) = 2,6 \ text {.}
  \ end {уравнение *}

  Подчеркнем, что \ (y = L (x) \) — это просто новое имя для функции касательной. Используя это новое обозначение и наше наблюдение, что \ (L (x) \ приблизительно f (x) \) для \ (x \) near \ (a \ text {,} \), мы можем записать

  \ begin {уравнение *}
  f (x) \ приблизительно f (a) + f ‘(a) (x-a) \ \ text {for} \ x \ \ text {near} \ a \ text {.}
  \ end {уравнение *}

  Мероприятие 1.8.2.
  

  Предположим, что известно, что для данной дифференцируемой функции \ (y = g (x) \ text {,} \) ее локальная линеаризация в точке, где \ (a = -1 \) задается выражением \ (L (x) = -2 + 3 (x + 1) \ text {.} \)

  1. Вычислить значения \ (L (-1) \) и \ (L ‘(- 1) \ text {.} \)

  2. Какими должны быть значения \ (g (-1) \) и \ (g ‘(- 1) \ text {?} \) Почему?

  3. Ожидаете ли вы, что значение \ (g (-1.03) \) будет больше или меньше значения \ (g (-1) \ text {?} \) Почему?

  4. Используйте локальную линеаризацию, чтобы оценить значение \ (g (-1.03) \ text {.} \)

  5. Предположим, что вы также знаете, что \ (g » (- 1) = 2 \ text {.} \) Что это говорит вам о графике \ (y = g (x) \) в \ (a = -1 \ text {?} \)

  6. Для \ (x \) около \ (- 1 \ text {,} \) нарисуйте график локальной линеаризации \ (y = L (x) \), а также возможный график \ (y = g ( x) \) по осям, указанным на рисунке 1.8.4.

  Рисунок 1.8.4. Оси для построения \ (y = L (x) \) и \ (y = g (x) \ text {.} \)

  Из действия 1.8.2 мы видим, что локальная линеаризация \ (y = L (x) \) является линейной функцией, которая имеет два важных значения с функцией \ (y = f (x) \), из которой она получена.В частности,

  • , поскольку \ (L (x) = f (a) + f ‘(a) (xa) \ text {,} \) следует, что \ (L (a) = f (a) \ text {;} \ ) и
  • , поскольку \ (L \) — линейная функция, ее производная — это наклон.

  Следовательно, \ (L ‘(x) = f’ (a) \) для каждого значения \ (x \ text {,} \) и, в частности, \ (L ‘(a) = f’ (a) \ text {.} \) Следовательно, мы видим, что \ (L \) — линейная функция, которая имеет то же значение и тот же наклон, что и функция \ (f \) в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \)

  Таким образом, если мы знаем линейное приближение \ (y = L (x) \) для функции, мы знаем значение исходной функции и ее наклон в точке касания.Однако остается неизвестным, как выглядит функция \ (f \) в точке касания. По сути, существует четыре возможности, как показано на рисунке 1.8.5.

  Рисунок 1.8.5. Четыре возможных графика для нелинейной дифференцируемой функции и то, как она может быть расположена относительно ее касательной в точке.

  Эти возможные формы являются результатом того факта, что существует три варианта значения второй производной: либо \ (f » (a) \ lt 0 \ text {,} \) \ (f » (a) = 0 \ text {,} \) или \ (f » (a) \ gt 0 \ text {.} \)

  • Если \ (f » (a) \ gt 0 \ text {,} \), то мы знаем, что график \ (f \) вогнут вверх, и мы видим первую возможность слева, где касательная линия лежит полностью ниже кривой.
  • Если \ (f » (a) \ lt 0 \ text {,} \), то \ (f \) вогнута вниз, а касательная линия проходит над кривой, как показано на втором рисунке.
  • Если \ (f » (a) = 0 \) и \ (f » \) изменит знак в \ (x = a \ text {,} \), вогнутость графика изменится, и мы увидим либо третья или четвертая цифра. ² .
  • Пятый вариант (который не очень интересен) может возникнуть, если функция \ (f \) сама по себе линейна, так что \ (f (x) = L (x) \) для всех значений \ (x \ text { .} \)

  Возможно, что \ (f » (a) = 0 \), но \ (f » \) не меняет знак в \ (x = a \ text {,} \), и в этом случае график будет выглядеть вроде один из первых двух вариантов.

  Графики на рис. 1.8.5 подчеркивают еще одну важную вещь, которую мы можем узнать из вогнутости графика около точки касания: лежит ли касательная линия выше или ниже самой кривой.Это ключевой момент, потому что он сообщает нам, будут ли значения аппроксимации касательной линии слишком большими или слишком маленькими по сравнению с истинным значением \ (f \ text {.} \). Например, в первой ситуации на крайнем левом графике на рис. 1.8.5, где \ (f » (a)> 0 \ text {,} \), поскольку касательная линия опускается ниже кривой, мы знаем, что \ (L (x) \ le f (x) \) для все значения \ (x \) рядом с \ (a \ text {.} \)

  Мероприятие 1.8.3.
  

  Это действие касается функции \ (f (x) \), о которой известна следующая информация:

  • \ (f \) — дифференцируемая функция, определенная для каждого действительного числа \ (x \)

  • \ (\ Displaystyle f (2) = -1 \)

  • \ (y = f ‘(x) \) имеет график, показанный на рисунке 1.8,6

  Рисунок 1.8.6. В центре график \ (y = f ‘(x) \ text {;} \) слева, оси для построения \ (y = f (x) \ text {;} \) справа, оси для построения \ (y = f » (x) \ text {.} \)

  Ваша задача — определить как можно больше информации о \ (f \) (особенно около значения \ (a = 2 \)), отвечая на вопросы ниже.

  1. Найдите формулу аппроксимации касательной, \ (L (x) \ text {,} \) к \ (f \) в точке \ ((2, -1) \ text {.} \)

  2. Используйте приближение касательной, чтобы оценить значение \ (f (2.07) \ text {.} \) Покажите свою работу внимательно и ясно.

  3. Нарисуйте график \ (y = f » (x) \) в правой сетке на рис. 1.8.6; обозначьте это соответствующим образом.

  4. Наклон касательной к \ (y = f (x) \) увеличивается, уменьшается или не уменьшается, когда \ (x = 2 \ text {?} \) Объясните.

  5. Нарисуйте возможный график \ (y = f (x) \) рядом с \ (x = 2 \) в левой сетке на рисунке 1.8.6. Включите эскиз \ (y = L (x) \) (находится в части (а)). Объясните, откуда вы знаете, что график \ (y = f (x) \) выглядит так, как будто вы его нарисовали.

  6. Ваша оценка в (b) переоценивает или занижает истинное значение \ (f (2.07) \ text {?} \) Почему?

  Идея о том, что дифференцируемая функция выглядит линейной и может быть хорошо аппроксимирована линейной функцией, является важной идеей, которая находит широкое применение в исчислении. Например, аппроксимируя функцию с ее локальной линеаризацией, можно разработать эффективный алгоритм для оценки нулей функции. Локальная линейность также помогает нам лучше понять некоторые сложные ограничения.Например, мы видели, что предел

  \ begin {уравнение *}
  \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x}
  \ end {уравнение *}

  является неопределенным, потому что его числитель и знаменатель стремятся к 0. Хотя нет алгебры, которую мы могли бы сделать, чтобы упростить \ (\ frac {\ sin (x)} {x} \ text {,} \), это просто показать, что линеаризация \ (f (x) = \ sin (x) \) в точке \ ((0,0) \) задается выражением \ (L (x) = x \ text {.} \) Следовательно , для значений \ (x \) около 0, \ (\ sin (x) \ приблизительно x \ text {,} \) и, следовательно,

  \ begin {уравнение *}
  \ frac {\ sin (x)} {x} \ приблизительно \ frac {x} {x} = 1 \ text {,}
  \ end {уравнение *}

  , что делает правдоподобным тот факт, что

  \ begin {уравнение *}
  \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1 \ text {. 2 \)), вы можете ожидать, что частные производные могут быть использованы для определения касательной плоскости к графику поверхности \ (z = f (х, у) \).3 \) определяют плоскость, то две касательные к поверхности \ (z = f (x, y) \) в направлениях \ (x \) и \ (y \), описанные на рисунке 2.3.1, содержатся в касательная плоскость в этой точке, , если касательная плоскость существует в этой точке . Существование этих двух касательных линий само по себе не гарантирует существования касательной плоскости. Возможно, что если мы возьмем след поверхности в плоскости \ (x — y = 0 \) (которая составляет угол 45 ° с положительной осью \ (x \)), полученная кривая в этой плоскости может иметь касательную линию, которая не находится в плоскости, определяемой двумя другими касательными линиями, или она может вообще не иметь касательной в этой точке.К счастью, оказывается, что если \ (\ dfrac {∂f} {∂x} \) и \ (\ dfrac {∂f} {∂y} \) существуют в области вокруг точки \ ((a, b) \) и непрерывны в точке \ ((a, b) \), то касательная плоскость к поверхности \ (z = f (x, y) \) будет существовать в точке \ ((a, b, f (a, б)) \). В этом тексте эти условия будут выполняться всегда.

  Предположим, что нам нужно уравнение касательной плоскости \ (T \) к поверхности \ (z = f (x, y) \) в точке \ ((a, b, f (a, b)) \) . Пусть \ (L_x \) и \ (L_y \) — касательные линии к следам поверхности в плоскостях \ (y = b \) и \ (x = a \) соответственно (как на рисунке 2.3.2) и предположим, что условия существования \ (T \) выполняются. Тогда уравнение для \ (T \) равно

  \ [A (x− a) + B (y− b) + C (z — f (a, b)) = 0 \ label {Eq2.4} \]

  , где \ (n = (A, B, C) \) — вектор нормали к плоскости \ (T \). Поскольку \ (T \) содержит линии \ (L_x \) и \ (L_y \), то все, что нам нужно, это векторы \ (v_x \) и \ (v_y \), которые параллельны \ (L_x \ text {и} L_y \) соответственно, а затем пусть \ (n = v_x × v_y \).

  Рисунок 2.3.2: Касательная плоскость

  Поскольку наклон \ (L_x \) равен \ (\ dfrac {∂f} {∂x} (a, b) \), то вектор \ (v_x = (1,0, \ dfrac {∂f} {∂x} (a, b)) \) параллельно \ (L_x \) (поскольку \ (v_x \) лежит в \ (xz \) — плоскости и лежит на прямой с наклоном \ (\ dfrac {\ dfrac {∂f} {∂x} (a, b)} {1} = \ dfrac {∂f} {∂x} (a, b) \).См. Рисунок 2.3.3). Аналогично, вектор \ (v_y = (0,1, \ dfrac {∂f} {∂y} (a, b)) \) параллелен \ (L_y \). Следовательно, вектор

  \ [\ textbf {n} = \ mathbf {v_x} × \ mathbf {v_y} = \ begin {vmatrix} \ textbf {i} & \ textbf {j} & \ textbf {k} \\ [4pt] 1 & 0 & \ dfrac {∂f} {∂x} (a, b) \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {∂f} {∂y} (a, b) \ end {vmatrix} = — \ dfrac {∂f} {∂x} (a, b) \ textbf {i} — \ dfrac {∂f} {∂y} (a, b) \ textbf {j} + \ textbf {k} \ nonumber \]

  нормально к растению \ (T \). Таким образом, уравнение \ (T \) равно

  \ [- \ dfrac {∂f} {∂x} (a, b) (xa) — \ dfrac {∂f} {∂y} (a, b) (yb) + zf (a, b) = 0 \ label {Eq2.2 \) имеем \ (\ dfrac {∂f} {∂x} = 2x \) и \ (\ dfrac {∂f} {∂y} = 2y \), поэтому уравнение касательной плоскости в точке \ ((1,2,5) \) равно

  \ [\ nonumber 2 (1) (x − 1) +2 (2) (y − 2) — z +5 = 0 \ text {, или} \]

  \ [\ nonumber 2x + 4y− z −5 = 0 \]

  Аналогичным образом можно показать, что если поверхность определяется неявно уравнением вида \ (F (x, y, z) = 0 \), то касательная плоскость к поверхности в точке \ ( (a, b, c) \) задается уравнением

  \ [\ dfrac {∂F} {∂x} (a, b, c) (x− a) + \ dfrac {∂F} {∂y} (a, b, c) (y− b) + \ dfrac {∂F} {∂z} (a, b, c) (z — c) = 0 \ label {Eq2.2 −9 \) имеем \ (\ dfrac {∂F} {∂x} = 2x \), \ (\ dfrac {∂F} {∂y} = 2y \) и \ (\ dfrac {∂F } {∂z} = 2z \), поэтому уравнение касательной плоскости в точке (2,2, −1) равно

  \ [\ nonumber 2 (2) (x − 2) +2 (2) (y − 2) +2 (−1) (z +1) = 0 \ text {, или} \]

  \ [\ nonumber 2x + 2y− z −9 = 0 \]

  Авторы и авторство

  Нахождение уравнения прямой, касательной к функции | Ретт Аллен | The Startup

  Нет особой причины для этого поста. Я просто собираюсь решить математическую задачу.Почему? Потому что я думаю, это весело. Вот в чем проблема.

  Найдите уравнение прямых, которые проходят через точку (-1, -4) и касаются функции f (x) = 3x².

  Вот и все. Это проблема. Вот план. Я собираюсь решить эту конкретную проблему, а затем покажу вам отличный способ сделать это с помощью Python (для удовольствия).

  Итак, давайте разберемся с вопросом. Во-первых, что это вообще значит? Что ж, будет линия, проходящая через точку (-1, -4) — это ясно.Но это также должно касаться функции. Касательная к функции линия «коснется» ее всего в одной точке. Наклон линии будет равен производной этой функции в точке, которой она касается.

  На всякий случай, если вы не помните деривативы, вот краткий обзор.

  Хорошо, а теперь набросок, чтобы мы «грокнули» все это. Вот функция, точка (-1, -4) и точка касания (которую мы еще не знаем).

  О, обратите внимание, что неизвестная точка функции имеет значение x, равное «x», и значение y, равное f (x).Теперь есть два способа найти наклон этой касательной. Первый способ — просто использовать определение уклона вместе с двумя нашими известными точками. Я собираюсь использовать букву «m» для наклона.

  Второй способ найти наклон — использовать производную функции. Я назову производную «f’ (x) ». Мы можем найти производную, используя правило мощности.

  Поскольку оба этих метода должны иметь одинаковый наклон, я могу установить их равными друг другу.

  Теперь мне просто нужно решить относительно x.Я умножу обе стороны на (x + 4), а затем переместу все члены в одну сторону.

  Используя квадратное уравнение, я получаю ДВА ответа. Это:

  Ради удовольствия, позвольте мне построить точки функции, соответствующие этим двум значениям x.

  Ага. Выглядит хорошо. Если вы проведете прямую линию из точки (-1, -4), похоже, что она просто коснется функции в обеих этих точках. Теперь нам просто нужно уравнение для этой линии (ну, обеих линий). Здесь я могу использовать формулу угла наклона линии, чтобы получить следующее.Ой, погоди. Во-первых, мне нужно поместить значения x BACK в исходную функцию, чтобы получить значения y этих точек. Кроме того, мне нужно ввести это значение x, чтобы найти наклон. Делая это, СЕЙЧАС я получаю:

  Это выглядит безумно, но ТЕХНИЧЕСКИ, это уравнение линии. Я не собираюсь это упрощать. Я должен был выбрать лучшие ценности, чтобы дать более хороший ответ, — но жизнь не всегда хороша (я говорю с вами, 2020 год).

  Вы можете сделать то же самое для другого значения x и получить вторую строку.Но теперь по-другому.

  Путь Python

  Я просто хочу это сделать. Это будет весело. Я не буду вдаваться в подробности программы, поэтому позвольте мне дать вам обзор.

  • Сначала я просто построю график функции и точки (точно так же, как график выше, который также был создан на Python).
  • Затем я могу переместить точку вдоль кривой функции. Это означает, что у меня будет два очка.
  • С этими двумя точками я сделаю две вещи.Сначала вычислите наклон от фиксированной точки до точки на кривой. Во-вторых, найдите производную функции в этой точке (в данном случае я использую числовую производную, если вы не можете найти фактическую производную функции). Вот руководство по числовым производным с помощью Python.
  • Поскольку я не смотрю на КАЖДУЮ единственную точку функции (потому что она числовая), я собираюсь искать такие значения x, чтобы разница между наклоном и производной была сверхмалой (но не обязательно нулевой).
  • О, мне просто нужно было научиться создавать анимированные графики в VPython — теперь я знаю, как это делать.