Когда квадратное уравнение имеет один корень: Квадратное уравнение | Алгебра

Содержание

Квадратное уравнение | Алгебра

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

   

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

   

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

   

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

   

3) Если D<0, квадратное уравнение не имеет корней в действительных числах.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Если c=0

   

Общий множитель x выносим за скобки

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

откуда

   

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

   

Если знаки a и с разные (например, a>0, c<0), левую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов

   

   

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

Отсюда

   

Если -a<0, c>0, обе части уравнения делим на -a

   

и получаем то же уравнение

   

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a<0, c<0, то ax²≤0 (в примерах этого вида ax²<0). Сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

В дальнейшем обычно решают короче:

   

   

   

   

или

   

   

корней нет.

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

   

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

   

   

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

Квадратные трехчлены и параметры

Вводные замечания и простейшие примеры

Пример 1. При каких
значениях a уравнение ax2 + 2x + 1 = 0 имеет два
различных корня?

Решение.

Данное уравнение
является квадратным относительно переменной x
при a№ 0 и
имеет различные корни, когда его дискриминант
 

т. е. при a < 1.

Кроме того, при a = 0
получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.

Таким образом, a О (–Ґ; 0) И (0; 1).

Правило 1. Если коэффициент при x2
многочлена второй степени содержит параметр,
необходимо разбирать случай, когда он обращается
в нуль.

Пример 2. Уравнение ax2
+ 8x + c = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему
равны a и c?

Решение. Начнем решение
задачи с особого случая a = 0, уравнение имеет
вид  8x + c = 0. Это линейное уравнение имеет
решение x0 = 1 при c = – 8.

При a № 0 квадратное уравнение имеет
единственный корень, если

Кроме того, подставив
корень x0 = 1 в уравнение, получим a + 8 + c = 0.

Решая систему двух
линейных уравнений, найдем a = c = – 4.

Теорема 1.

Для приведенного
квадратного трехчлена y = x2 + px + q (при
условии p2і 4q)
сумма корней x1 + x2 = – p,
произведение корней x1x2 = q, разность
корней равна  
а сумма квадратов корней x12 + x22
= p2 – 2q.

Теорема 2.

Для квадратного
трехчлена y = ax2 + bx + c с двумя корнями x1
и x2 имеет место
разложение ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),
для трехчлена с одним корнем x0
разложение
ax2 + bx + c = a(x – x0)2.

Замечание. Часто про квадратные уравнения с
дискриминантом, равным нулю и имеющим,
соответственно, один корень, говорят, что оно
имеет два совпадающих корня (?). Это связано с
разложением многочлена на множители,
приведенным в теореме 2. (Правильно говорить и
понимать в этом случае нужно «один корень
кратности два». – Прим. ред.)

Будем обращать внимание
на эту тонкость и выделять случай единственного
корня кратности 2.

Пример 3. В уравнении x2
+ ax + 12 = 0 определить a таким образом, чтобы
разность корней уравнения равнялась единице.

Решение. Разность корней
откуда a = ± 7.

Пример 4. При каких a сумма
квадратов корней уравнения 2x2 + 4x + a = 0 равна
6?

Решение. Запишем
уравнение в виде
откуда x12 + x22 = 4 – a = 6 и a =
– 2.

Пример 5. При всех a решить
уравнение ax2 – 2x + 4 = 0.

Решение. Если a = 0, то x = 2.
  Если a № 0, то уравнение становится квадратным. Его
дискриминант
равен D = 4 – 16a. Если D < 0, т. е. a > ,
уравнение решений не имеет. Если D = 0, т. е. a = ,
x = 4. Если D > 0, т. е. a < ,
уравнение имеет два корня

Расположение
корней квадратного трехчлена

Графиком квадратного
уравнения является парабола, а решениями
квадратного уравнения – абсциссы точек
пересечения этой параболы с осью Ox. Основой
решения всех задач этого параграфа является
изучение особенностей расположения парабол с
заданными свойствами на координатной плоскости.

Пример 6. При каких a корни
уравнения x2 – 2ax + a2 – a – 6 = 0 имеют
разные знаки?

Решение (рис. 1).

Квадратное уравнение
либо не имеет решений (график – парабола вида D),
либо имеет один или два положительных корня
(парабола C), либо имеет один иди два
отрицательных корня (парабола A), либо имеет корни
разных знаков (парабола B).

Легко сообразить, что
последний тип парабол, в отличие от прочих,
характеризуется тем, что f(0) < 0. Таким образом, f(0)
= a2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Данное решение допускает
обобщение, которое мы сформулируем как следующее
правило.

Правило 2.
Для того чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0

имело два разных корня x1
и x2 таких, что x1 < M < x2,
необходимо и достаточно, чтобы a•f(M) < 0.

Пример 7. При каких a
уравнение x2 – 2ax + a2 – a – 6 = 0 имеет два
разных корня одного знака?

Решение. Нас интересуют
параболы типа A и C (см. рис. 1). Они
характеризуются тем, что

откуда a О (– 6; – 2) И (3; + Ґ).

Пример 8. При каких a
уравнение x2 – 2ax + a2 – a – 6 = 0 имеет два
разных положительных корня?

Решение. Нас интересуют
параболы типа C на рис. 1.

Чтобы уравнение имело
корни, потребуем

Так как оба корня
уравнения по условию должны быть положительными,
то и абсцисса вершины параболы, лежащая между
корнями, положительна: x0 = a > 0.

Ордината вершины f(x0)
< 0 в силу того, что мы потребовали существование
корней, поэтому если, кроме того, потребовать
выполнение условия f(x0) > 0, то в силу
непрерывности исследуемой функции найдется
точка x1О (0; x0) такая, что f(x1) = 0.
Очевидно, что это меньший корень уравнения.

Итак, f(0) = a2 – a – 6 >
0, и, собирая все условия вместе, получим систему

с решением a О (3; + Ґ).

Пример 9. При каких a
уравнение x2 – 2ax + a2 – a – 6 имеет два
разных отрицательных корня?

Решение. Изучив параболы
типа A на рис. 1, получим систему

откуда a О (– 6; – 2).

Обобщим решение
предыдущих задач в виде следующего правила.

Правило 3.
Для того чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 имело
два разных корня x1 и x2, каждый из
которых больше (меньше) M, необходимо и
достаточно, чтобы

Пример 10. Функция f(x)
задается формулой

Найдите все значения
параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет
хотя бы одно решение.

Решение. Все возможные
решения данного уравнения получаются как
решения квадратного уравнения

x2 – (4a + 14)x + 4a2
+ 33a + 59 = 0

с дополнительным
условием, что хотя бы один (очевидно, больший)
корень x2і a.

Естественно, чтобы
уравнение имело корни, должно быть = – 5(a + 2) і 0,
откуда a Ј – 2.

Графиком левой части
выделенного уравнения является парабола,
абсцисса вершины которой равна x0 = 2a + 7.
Решение задачи дают два типа парабол (рис. 2).

A: x0і a, откуда a і – 7. В этом
случае больший корень многочлена x2і x0і a.

B: x0 < a, f(a) Ј 0, откуда .
В этом случае также больший корень многочлена x2і a.

Окончательно .

 

Три решения
одного неравенства

Пример 11. Найти все
значения параметра a, при которых неравенство x2
– 2ax + a2 + 2a – 3 > 0

выполняется:

1) при всех значениях x;
2) при всех положительных значениях x;
3) при всех значениях x О [– 1; 1].

Решение.

Первый способ.

1) Очевидно данное
неравенство выполняется при всех x, когда
дискриминант отрицателен, т. е.

= a2 – (a2 + 2a – 3) = – 2a + 3 <
0,

откуда a >.

2) Чтобы лучше понять то,
что требуется в условии задачи, применим простой
прием: на координатной плоскости нарисуем
какие-нибудь параболы, а потом возьмем и закроем
левую относительно оси Oy полуплоскость. Та часть
параболы, которая останется видимой, должна быть
выше оси Ox.

Условие задачи
выполняется в двух случаях (см. рис. 3):

A: график функции y = x2
– 2ax + a2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D < 0,
откуда a > ;

B: оба корня (может быть,
один, но двукратный) уравнения x2 – 2ax + a2
+ 2a – 3 = 0 находятся левее начала координат. По
правилу 3 это условие эквивалентно системе
неравенств D і 0, x0Ј 0 и f(0) і 0.

Однако при решении данной
системы первое неравенство можно опустить, так
как если даже какое-то значение a не
удовлетворяет условию D і 0, то оно автоматически попадает в
решение пункта A. Таким образом, решаем систему

откуда a Ј – 3.

Объединяя решения
пунктов A и B, получим

ответ:

3) Условие задачи
выполняется в трех случаях (см. рис. 4):

A: график функции y = x2
– 2ax + a2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D < 0,
откуда a > ;

B: оба корня (может быть,
один кратности 2) уравнения x2 – 2ax + a2 +
2a – 3 = 0 находятся левее – 1. Это условие
эквивалентно, как мы знаем из правила 3, системе
неравенств D і 0, x0 < – 1, f(– 1) > 0;

C: оба корня уравнения x2
– 2ax + a2 + 2a – 3 = 0 находятся правее 1.
Это условие эквивалентно D і 0, x0 > 1, f(1) > 0.

Однако в пунктах B и C,
также как и в решении предыдущей задачи,
неравенство, связанное с дискриминантом, можно
опустить.

Соответственно получаем
две системы неравенств

Рассмотрев все случаи,
получим результат: a >
в пункте
в C.
Ответ задачи – объединение этих трех множеств.

Второй способ. Для того
чтобы выполнялось условие каждого из трех
пунктов задачи, наименьшее значение функции
y = x2 – 2ax + a2 + 2a – 3 на каждом из
соответствующих промежутков должно быть
положительно.

1) Вершина параболы y = x2
– 2ax + a2 + 2a – 3 находится в точке (a; 2a – 3),
поэтому наименьшее значение функции на всей
числовой прямой равно 2a – 3, и a > .

2) на полуоси xі 0 наименьшее
значение функции равно f(0) = a2 + 2a – 3, если a
< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Разбирая оба случая, получим

3) Наименьшее на отрезке
[– 1; 1] значение функции равно

Поскольку наименьшее
значение должно быть положительно, получаем
системы неравенств

Решение этих трех систем
– множество

Третий способ. 1) Вершина
параболы y = x2 – 2ax + a2 + 2a – 3

находится в точке (a; 2a – 3).
Нарисуем на координатной плоскости множество,
которое образуют вершины всех парабол при
различных a (рис. 5).

Это – прямая y = 2x – 3.
Напомним, что каждой точке этой прямой
соответствует свое значение параметра, и из
каждой точки этой прямой «выходит» парабола,
соответствующая данному значению параметра.
Параболы, целиком находящиеся над осью Ox,
характеризуются условием 2a – 3 > 0.

2) Решениями этого пункта
являются все решения первого пункта, и, кроме
того, параболы, для которых a – отрицательны, и f(0)
= a2 + 2a – 3 і 0.

3) Из рис. 5 видно, что
нас интересуют параболы, для которых либо a
отрицательно и f(– 1) = a2 + 4a – 2 > 0,
либо a положительно и f(1) = a2 – 2 > 0.

Уравнения и
неравенства, сводящиеся к квадратным

Пример 12. При каких
значениях a уравнение 2x4 – 2ax2 + a2
– 2 = 0 не имеет решений?

Решение. Сделав замену y = x2,
получим квадратное уравнение f(y) = 2y2 – 2ay + a2
– 2 = 0.

Полученное уравнение не
имеет решения, когда D < 0. Кроме того,
первоначальное уравнение не имеет решений, когда
корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Эти условия могут быть
записаны в виде совокупности

откуда

Пример 13. При каждом
значении параметра a решить уравнение
cos x sin 2x = asin 3x.

Решение. Так как
2cos x sin 2x = sin x + sin 3x  и  sin 3x =
3sin x – 4sin3 x,

то уравнение запишется в
виде sin x (sin2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.

Отсюда получаем решения x
= pn, n О Z при любом a.
Уравнение

имеет решения

не совпадающие с
решениями первого уравнения, только при условии

Последние ограничения
эквивалентны

Ответ: x = pn, n О Z при любом a; кроме
того,

Пример 14. Найти все
значения параметра a, при каждом из которых
неравенство
a2 + 2a – sin2 x – 2acos x > 2 выполняется
для любого числа x.

Решение. Преобразуем
неравенство к виду cos2 x – 2acos x + a2
+ 2a – 3 > 0

и сделаем замену t = cos x.
Важно заметить, что параметр t пробегает значения
от – 1 до 1, поэтому задача переформулируется в
таком виде: найти все a такие, что

t2 – 2at + a2
+ 2a – 3 > 0

выполняется при всех t О [– 1; 1]. Эту
задачу мы уже решили ранее.

Пример 15. Определить, при
каких значениях a уравнение log3 (9x +
9a3) = x имеет решения, и найти их.

Решение. Преобразуем
уравнение к виду 9x – 3x + 9a3 = 0

и, сделав замену y = 3x,
получим y2 – y + 9a3 = 0.

В случае, когда
дискриминант отрицательный, уравнение решений
не имеет. Когда дискриминант

D = 1 – 36a3 = 0,
  уравнение имеет единственный корень ,
и x = – log3 2. Наконец, когда
дискриминант положительный, т. е. ,
исходное уравнение имеет один корень  ,
а если, кроме того, выражение 1 – положительно,
то уравнение имеет еще второй корень  .

Итак, окончательно
получаем  

,

решений нет при остальных
a.

Пример 16. Для каждого
значения параметра a решить уравнение sin4 x +
cos4 x + sin 2x + a = 0.

Решение. Так как
уравнение перепишем в виде sin2 x – 2sin x
– 2a – 2 = 0.
Пусть y = sin 2x, тогда y2 – 2y – 2a – 2 = 0
(| y | Ј 1).

График функции, стоящей в
левой части уравнения, – парабола с вершиной,
абсцисса которой y0 = 1; значение функции в
точке y = – 1 равно 1 – 2a; дискриминант уравнения
равен 8a + 12. Это означает, что больший корень y2
уравнения y2 – 2y – 2a – 2 = 0, даже если он
существует, больше 1, и соответствующее уравнение
sin 2x = y2 решений не имеет.

Случай 1. если
дискриминант отрицательный, т. е. a < – ,
уравнение решений не имеет.

Случай 2. Если
дискриминант равен
получаем уравнение

Случай 3. Если
дискриминант больше 0, т. е.
и, кроме того, f(– 1) > 0, то уравнение y2
2y – 2a – 2 = 0 имеет корень
лежащий между – 1 и 1. Соответствующее
уравнение –
имеет решения.

Случай 4. Если f(– 1) = 0,
т. е. получаем
уравнение

Случай 5. Если
дискриминант больше 0, т. е. и, кроме того, f(– 1) < 0, то
уравнение y2 – 2y – 2a – 2 = 0 имеет корни
а уравнения не
имеют решений.

Ответ: если то решений нет;

если 

если

если

(Случаи отдельно выделять не следует:

 

описывает все возможные
решения. – Прим. ред.)

Задачи для
самостоятельного решения

1. При каких значениях a
уравнение ax2 – 4x + 5 = 0 не имеет корней?
2. При каких значениях a уравнение x2 – 2ax – 1 =
0 имеет два различных корня?
3. При каких значениях a уравнение 2x2 + (3a + 1)x +
a2 + a + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
4. Уравнение ax2 + bx + 5 = 0 имеет единственный
корень, равный 1. Чему равны a и b?
5. При каких значениях параметра a корни
квадратного уравнения 5x2 – 7x + a = 0 относятся
как 2 к 5?
6. В уравнении ax2 + 8x + 3 = 0 определить a таким
образом, чтобы разность корней уравнения
равнялась единице.
7. При каких a сумма квадратов корней уравнения x2
– 2ax + 2(a + 1) = 0 равна 20?
8. При каких b и c уравнение c + bx – 2x2 = 0 имеет
один положительный и один отрицательный корень?
9. Найти все значения параметра a, при которых один
корень уравнения x2 – (a + 1)x + 2 = 0 больше a, а
другой меньше a.
10. Найти все значения параметра a, при которых
уравнение x2 + (a + 1)x + 2 = 0 имеет два разных
корня одного знака.
11. При каких значениях a все получающиеся корни
уравнения (a – 3)x2 – 2ax + 6a = 0 положительны?
12. При каких a все получающиеся корни уравнения (1 +
a)x2 – 3ax + 4a = 0 больше 1?
13. Найти все значения параметра a, для которых оба
разных корня уравнения x2 + x + a = 0 будут
больше, чем a.
14. При каких значениях a оба корня уравнения 4x2
– 2x + a = 0 заключены между – 1 и 1?
15. При каких значениях a уравнение x2 + 2(a – 1)x
+ a + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?
16. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения
параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет
хотя бы одно решение.
17. При каких a неравенство (a2 – 1)x2 + 2(a
– 1)x + 2 > 0 верно для всех x?
18. При каких значениях параметра a неравенство ax2
+ 2x > 1 – 3a справедливо для всех положительных x?
19. При каких значениях a уравнение x4 + (1 – 2a)x2
+ a2 – 1 = 0 не имеет решений?
20. При каких значениях параметра a уравнение 2x4
– 2ax2 + a2 – 2 = 0 имеет одно или два решения?
21. При каждом значении a решить уравнение
acos x cos 2x = cos 3x.
22. Найти все значения параметра a, при каждом из
которых неравенство cos2 x + 2asin x – 2a < a2
– 4 выполняется для любого числа x.
23. При всех a решить уравнение log2 (4x
+ a) = x.
24. При каждом значении параметра a решить
уравнение sin2 x + asin2 2x = sin .

Ответы.

Квадратные уравнения — Kid-mama

Из этой статьи вы узнаете:

 

1Квадратные уравнения — это уравнения вида  ax2 + bx + c = 0

где  x — переменная,  a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0 .

2Коэффициенты квадратного уравнения

Числа   a, b, c называют коэффициентами уравнения, причем каждое из них  имеет свое название:

Число а называют первым (или старшим) коэффициентом. Число b — вторым коэффициентом, а число c — свободным членом.

Пример 1:

квадратное уравнение   – 3x2 + 4x + 7 = 0   имеет следующие коэффициенты :

a = –3,  b = 4,  c = 7.

Пример 2:

квадратное уравнение    6x2 – 4x – 7 = 0 имеет следующие коэффициенты :

a = 6,  b = –4,  c = –7.

3Неполные квадратные уравнения и их решение

Если в квадратном уравнении   хотя бы один из коэффициентов  b и c  равен нулю, то такое уравнение называется неполным.

Существует три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax2 = 0 ( в случае, когда  b = 0,   с = 0)
  • ax2 + bx = 0 ( в случае, когда  b ≠ 0,   с = 0)
  • ax2 + c = 0 ( в случае, когда  b = 0,   с ≠ 0)

Неполные квадратные уравнения легко решаются, рассмотрим решение каждого вида:

Поскольку a ≠ 0, то данное уравнение имеет всего один корень  x = 0.

Например, квадратное уравнение  –19 x2 = 0 имеет один корень :  x = 0.

Для решения такого уравнения выносят x за скобки и получают уравнение вида

x (ax + b) = 0

Это уравнение имеет всегда два корня (так как в левой части у нас два множителя    x  и (ax + b), а если хотя бы один из множителей равен нулю, то и все произведение равно нулю) .

x1 = 0, а   x2 можно найти, решив простое линейное уравнение в скобках :

ax + b = 0

ax = –b

x2 = –b/a

Например, решим квадратное уравнение  5x2  + 2x = 0

x(5x + 2)= 0  Сразу напишем, что x1 = 0.  Далее найдем x2.

Для этого решим уравнение 5x + 2 = 0

5x = –2

x =  –2/5

Ответ:   x1 = 0,  x2 = –2/5

Это уравнение также нужно преобразовать:

ax2 =–c

x2 = –c/a

Так как с ≠ 0, то возможны два случая: –c/a < 0,   и  –c/a > 0.

В первом случае уравнение x2 = –c/a  корней не имеет, так как квадрат числа всегда положительный.  Во втором случае, то есть когда –c/a > 0, уравнение имеет два корня:

 

 

Пример 1:

2x2  + 8 = 0

2x2 = -8

x2 = –8/2

x2 = –4   Корней нет.

Пример 2:

3x2  – 15 = 0

3x2 = 15

x2 = 15/3

x2 = 5

 

4Приведённое квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении коэффициент a = 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведенные уравнения также могут быть неполными.

Примеры приведённых уравнений:

 

 

 

 

Любое неприведённое квадратное уравнение можно  преобразовать в приведённое, разделив обе части уравнения  на коэффициент a, (поскольку в левой части уравнения сумма, то на а делим каждое слагаемое):

 

 

 

Пример 1:

Преобразуем неприведённое квадратное уравнение 2x2 – 6x + 8 = 0 в приведённое, для этого делим левую и правую часть уравнения на 2, получаем приведённое уравнение:

x– 3x + 4 = 0

Пример 2:

–4x2 + 12x = 0  Делим обе части уравнения на -4, и получаем приведённое уравнение:

x2 – 3x = 0

5Решение  квадратного уравнения    ax2 + bx + c = 0     

Для того, чтобы решить квадратное уравнение, нужно сначала найти его дискриминант (D)      по формуле:

При этом возможны три случая:

__________________________________________________

  • Если D < 0, то уравнение корней не имеет.
  • Если D = 0, то уравнение имеет один корень :

  • Если D > 0, то уравнение имеет два корня:

————————————————————————————————————-

6Формула корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит и для второго случая, когда D = 0, так как

Алгоритм решения квадратного уравнения

  • Найти дискриминант D
  • Если D < 0, написать, что корней нет
  • Если D ≥ 0 , найти корни по формуле корней квадратного уравнения.

_________________________________________________________________

Пример 1:

Для данного уравнения   a = 3,  b = -2,  с = -16

Дискриминант  уравнения:

 

 

Дискриминант больше нуля, находим корни:

 

 

 

Пример 2 :

Для данного уравнения   a = -0,5    b = 2     c = -2

Дискриминант  уравнения:

 

Уравнение имеет один корень.2 + b*x + c = 0
,где x

переменная, a,b,c
– константы; a0
. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х)
. Из этого следует, что есть три возможных случая:
1)
парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2)
парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох
. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3)
Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс.2
и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0
При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p
, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q
. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а
отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.2+x-6=0
.

Решение:
В случаях когда есть малые коэффициенты при х
целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6
. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}
. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5.
Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18
см, а площадь 77
см 2 .

Решение:
Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х
– большую сторону, тогда 18-x
меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;

или
х 2 -18х+77=0.

Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11
,
то 18-х=7
,
наоборот тоже справедливо (если х=7
, то 21-х=9
).

Задача 6.
Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0
уравнения на множители.

Решение:
Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.2+(2а+6)х-3а-9=0
имеет более одного корня?

Решение:
Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0
и а=-3
. При а=0
уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2
и будет один корень. При а= -3
получим тождество 0=0
.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а
при котором оно положительно

С первого условия получим а>3
. Для второго находим дискриминант и корни уравнения

Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0
получим 3>0
.
Итак, за пределами промежутка (-3;1/3)
функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0
,
которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

  • в решении будет два корня;
  • ответом будет одно число;
  • корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

  • Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.
  • Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
  • Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0.
Применим к квадратному трехчлену ах 2 + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах 2 + bх + с является парабола.
Имеем

Обычно выражение b 2 — 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).

Таким образом

Значит, квадратное уравнение ах 2 + их + с = О можно переписать в виде

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Доказательство. Если D

Пример 1.
Решить уравнение 2x 2 + 4х + 7 = 0.
Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
Так как D

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид

— единственный корень уравнения.

Замечание 1.

Помните ли вы, что х = — — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах 2 + их + с? Почему именно это
значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах 2 + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,

Графиком же функции является парабола с вершиной в точке (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

Пример 2.
Решить уравнение 4x 2 — 20x + 25 = 0.
Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b 2 — 4ас = (-20) 2 — 4 . 4 . 25 = 400 — 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

Ответ: 2,5.

Замечание 2.

Обратите внимание, что 4х 2 — 20х +25 — полный квадрат: 4х 2 — 20х + 25 = (2х — 5) 2 .
Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х — 5) 2 = 0, значит, 2х — 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то

ах 2 + bх + с = — это мы отметили ранее в замечании 1.
Если D > 0, то квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам

Доказательство
. Перепишем квадратное уравнение ах 2 + Ь х + с = 0 в виде (1)

Положим
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Замечание 3.

В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое
понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отноше-
ние к различным пюдям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Пример 3.
Решить уравнение Зх 2 + 8х — 11 = 0.
Решение. Здесь а = 3, b = 8, с = — 11,
D = b 2 — 4ас = 8 2 — 4 . 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

Правило решения уравнения

ах 2 + bх + с = 0

Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.

Пример 4.
Решить уравнения:

а) х 2 + Зх — 5 = 0; б) — 9x 2 + 6х — 1 = 0; в) 2х 2 -х + 3,5 = 0.

Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, b = 3, с = — 5,
D = b 2 — 4ас = З 2 — 4 . 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам (3)

Б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положителен. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим

9x 2 — 6x + 1 = 0.
Здесь а = 9, b = -6, с = 1, D = b 2 — 4ас = 36 — 36 = 0.
Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле х = — . Значит,

Это уравнение можно было решить по-другому: так как
9х 2 — 6x + 1 = (Зх — IJ, то получаем уравнение (Зх — I) 2 = 0, откуда находим Зх — 1 = 0, т. е. х = .

в) Здесь а = 2, b = — 1, с = 3,5, D = b 2 — 4ас = 1 — 4 . 2 . 3,5= 1 — 28 = — 27. Так как D

Математики — люди практичные, экономные. Зачем, говорят они, пользоваться таким длинным правилом решения квадратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу:

Если окажется, что дискриминант D = b 2 — 4ас — отрицательное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем

Т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня:

Наконец, если окажется, что b 2 — 4ас > 0, то получаются два корня х 1 и х 2 , которые вычисляются по тем же формулам (3), что указаны выше.

Само число в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двойной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х 1) это положительное число прибавляется к числу — b, а в другом случае (при отыскании х 2) это положительное число вы-
читается из числа — b.

У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированное выше правило; хотите — запишите сразу формулу (4) и с ее помощью делайте необходимые выводы.

Пример 5
. Решить уравнения:

Решение, а) Конечно, можно использовать формулы (4) или (3), учитывая, что в данном случае Но зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравнения на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами уравнения. Получим

откуда 8х 2 + 10x — 7 = 0.

А теперь воспользуемся формулой (4)

Б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, b = — 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами:
300x 2 — 20x + 277 = 0.
Далее воспользуемся формулой (4):

Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкоренное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней.

Пример 6.
Решить уравнение
Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной формуле (4).

Имеем а = 5, b = -, с = 1, D = b 2 — 4ас = (- ) 2 — 4 . 5 . 1 = 60 — 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам (3)

Пример 7.
Решить уравнение
х 2 — (2р + 1)x +(р 2 +р-2) = 0

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.
Найдем дискриминант:

Пример 8
. Решить уравнение рx 2 + (1 — р) х — 1 = 0.
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам (4) или (3). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда
уравнение примет вид 0 . x 2 + (1-0)x- 1 = 0, т. е. х — 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно, что , то можно применять формулы корней квадратного уравнения:

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
2 + bx
+ c
= 0, где коэффициенты a
, b
и c
— произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант
.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax
2 + bx
+ c
= 0. Тогда дискриминант — это просто число D
= b
2 − 4ac
.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D
  2. Если D
    = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D
    > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x
    2 − 8x
    + 12 = 0;
  2. 5x
    2 + 3x
    + 7 = 0;
  3. x
    2 − 6x
    + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
> 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D
= 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

  1. x
    2 − 2x
    − 3 = 0;
  2. 15 − 2x
    − x
    2 = 0;
  3. x
    2 + 12x
    + 36 = 0.

Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D
> 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D
> 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x
    2 + 9x
    = 0;
  2. x
    2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax
2 + bx
+ c
= 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
= 0 или c
= 0, т.е. коэффициент при переменной x
или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
= c
= 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
= 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
= 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
2 + c
= 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
/a
) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax
    2 + c
    = 0 выполнено неравенство (−c
    /a
    ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c
    /a
    )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
/a
) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax
2 + bx
= 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x
    2 − 7x
    = 0;
  2. 5x
    2 + 30 = 0;
  3. 4x
    2 − 9 = 0.

x
2 − 7x
= 0 ⇒ x
· (x
− 7) = 0 ⇒ x
1 = 0; x
2 = −(−7)/1 = 7.

5x
2 + 30 = 0 ⇒ 5x
2 = −30 ⇒ x
2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x
2 − 9 = 0 ⇒ 4x
2 = 9 ⇒ x
2 = 9/4 ⇒ x
1 = 3/2 = 1,5; x
2 = −1,5.

Библиографическое описание:
Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Ельков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Способы решения квадратных уравнений // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..03.2019).



Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение
— уравнение вида ax
2
+ bx + c = 0
, где a
, b
, c
— некоторые числа (a ≠ 0
), x
— неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободным членом.

А кто же первый «изобрёл» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта
(Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми
дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи
. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли
среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона
и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Разложение левой части уравнения на множители.

  2. Метод выделения полного квадрата.

  3. Решение квадратных уравнений по формуле.

  4. Графическое решение квадратного уравнения.

  5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример.
x
2
-5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x
1
=2, x
2
=3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример.
3x
2
+2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 +2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна — 2. Эти числа — 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x
1
=-5/3, x
2
=1

6. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

2
— 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 — 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 =2,5 ;у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Ответ: х
1
=2,5; х
2
= 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1.

2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = — 1.

Пример.
345х
2
— 137х — 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Ответ: х
1
=1; х
2
= -208/345
.

Пример.
132х
2
+ 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то х 1 = — 1, х 2 = — 115/132

Ответ: х
1
= — 1; х
2
=- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0
. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а
(все в см), из рис.1 подобия треугольников САН
и CDF
получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0,
причем буква z
означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z
2
— 9z + 8 = 0
номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z
2
— 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример.
х
2
+ 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х 2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x — α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример.
х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х
1
=2, х
2
=3.

Вывод:
Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.

Литература:

  1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.
  2. Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2015
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. — М.: Просвещение, 1964.

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

1)

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

2)

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

3) .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и  – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит,   или .

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Рассмотрим уравнение
.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Разложение квадратного трехчлена на множители

.

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Его корни
,
.

.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

 

Смотри также: Квадратичная функция

Квадратные уравнения с параметром.

Презентация на тему:

«Уравнения второй степени с параметром»

Выполнили ученицы 9 В класса:

Возиянова Светлана

Галиева Анастасия

Цели:

  • Определение количества корней квадратного уравнения в зависимости от параметра;
  • Решение уравнений с параметром.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ах²+bx+с=0, где а, b, с Є R, а ≠ 0 называется квадратным уравнением. D=b²-4ac – дискриминант квадратного уравнения.

Если D0, то уравнение имеет два различных корня:

Если D=0, то уравнение имеет один корень.

Алгоритм решения квадратных уравнений с параметром

1)Если в квадратном уравнении главный коэффициент содержит параметр, то обязательно нужно выяснить, при каких значениях параметра главный коэффициент равен нулю. В этом случае квадратное уравнение превращается в линейное, которое имеет один корень.

2) Если в квадратном уравнении главный коэффициент не содержит параметра, то количество корней зависит только от значения дискриминанта.

Примеры:

Пример 1. При каком значение параметра b уравнение 2х²-bx+18=0 имеет единственный корень?

Решение: Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

D=b²-4*2*18 = b²-144;

b²-144=0;

b= -12 или b= 12.

Ответ: b= -12, или b=12

Пример 2. При каком значение параметра b уравнение (b+6)x²-(b-2)x+1=0 имеет единственный корень?

Решение: Считать такое уравнение квадратным является ошибкой. Это уравнение степени не выше второй.

При b= -6 получаем линейное уравнение 8x+1=0, имеющее один корень.

При b ≠ -6 данное уравнение является квадратным; оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

D=(b-2)²-4(b+6) = b²-4b+4-4b-24 = b²-8b-20

Имеем: b²-8b-20=0, отсюда b= -2 или b=10.

Ответ: b= -2, или b=10, или b= -6


0. Отсюда а-1/3. Однако промежуток (-1/3;+∞) содержит значение а=0, при котором исходное уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.  Ответ: а= -3, или -1/30 «

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение a(a+3)х²+(2a+6)x-3a-9=0 имеет больше одного корня?

 

Решение: При а=0 получаем линейное уравнение 6х-9=0, имеющее единственный корень. 

При а=-3 получаем линейное уравнение 0х=0, имеющее бесконечно много корней. 

Если а≠0 и а≠ -3, то, разделив обе части уравнения на а+3, получим квадратное уравнение ах²+2х-3=0. Дискриминант этого уравнения равен 4(1+3а). Для выполнения условия задачи он должен быть положительным, т.е. 4(1+3а)0. Отсюда а-1/3. Однако промежуток (-1/3;+∞) содержит значение а=0, при котором исходное уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи. 

Ответ: а= -3, или -1/30

Пример 4. Решить уравнение (a²-b²)х²-2ax+1=0.

 

Решение: Рассмотрим три случая:

1) a=b=0. Уравнение 0x+1=0 решений не имеет.

2) a²=b²≠0. Уравнение -2ax+1=0 имеет один корень x=1/2a.

3) a²-b²≠0. Корни уравнения: x1= 1/a-b, x2= 1/a+b.

При b=0 D=b²=0, поэтому уравнение имеет один корень x=1/a (a ≠0).

Ответ: x=1/2a при a²=b²≠0; x=1/a при a ≠0, b=0; ∅ при a=0, b=0; x1= 1/a-b, x2= 1/a+b при a ² ≠ b ², b ≠0

Пример 5. Решить уравнение (4a/x²-a²)+ (x-a/x(x+a))=(1/x(x-a))

Решение: При x≠0, x≠a, x≠-a уравнение приведём к равносильному 4ax+x²-2ax+a²-x-a=0.

(x+a)²-(x+a)=0

(x+a)(x+a-1)=0

Так как x≠-a, то уравнение имеет одно решение x=1-a. Условия x≠0, x≠a влекут за собой требования a≠1, a≠1/2. Уравнение 1-a=-a решений не имеет.

Ответ: x=1-a при a≠1/2; a≠1; ∅ при a=1/2, a=1

Пример 6. При каких значениях a уравнение aх²-x+3=0 имеет единственное решение? 

Решение: Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи: 

1)a=0. При этом уравнение принимает вид -x+3=0, откуда x=3, т.е. решение единственно. 

2) a≠0, тогда aх²-x+3=0 – квадратное уравнение, дискриминант D=1-12a. Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы D=0, откуда a=1/12. 

Ответ: a=0 или a=1/12

Пример 7. Один из корней квадратного уравнения х²+2ах+2-3а=0 равен 1. Найдите значение параметра а и второй корень уравнения.

Решение: х1=1 подставим его в уравнение и получим верное равенство: 1²+2а*1+2-3а=0 или 3-а=0, откуда а=3. Подставим это значение параметра а в данное уравнение: х²+2*3*х²+2-3*3=0 или х²+6х-7=0.

Решим это квадратное уравнение: х1=1 и х2= -7.

Получили а=3 и х2= -7

Ответ: а=3; х2= -7

Пример 8. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x²+ax+a=0 равна 3?

 

Решение: Пусть x1 и x2 – корни данного уравнения. По условию x1² + x2²=3, т.е. (x1+x2)²-2x1x2 = 3. Применяя теорему Виета, можно записать (-a)²-2a=3; a²-2a-3=0. Отсюда a=-1 или a=3.

Казалось бы, решение завершено. Однако теорема Виета «работает» лишь для тех квадратных уравнений, у которых есть корни. А данное квадратное уравнение имеет корни не при всех значениях параметра a. Существование корней определяется условием D ≥0. Для данного уравнения D=a ²-4a. Следовательно, найденные значения a= -1 и a=3 должны удовлетворять неравенству a²-4a≥0. Легко установить, что подходит только a= -1.

Ответ: а= -1

Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение (a+6)х²+2ax+1=0 имеет единственное решение?

 

Решение: По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому рассмотрим два случая: 

1) а+6=0; а=-6 

Если а = -6, то -12х+1=0, х = 1/12. 

2) Если а ≠ -6, то квадратное уравнение имеет единственное решение, если D =0 D=4a²-4(a+6)=4(a²-a-6) a²-a-6=0 a1=3, a2=-2.

Ответ: при a ∈ {-6, -2, 3}


0. Из неравенства (2a+3)²-4(a²-a+5)0 следует, что 16a-110, откуда a11/16. Наименьшее целое значение a ∈ (11/16; +∞) равно 1. Ответ: a=1. «

Пример 10. Найти наименьшее целое a, при котором уравнение x²+(2a+3)x+a²-a+5=0 имеет два различных корня.

Решение: Уравнение имеет два различных корня, если D0. Из неравенства (2a+3)²-4(a²-a+5)0 следует, что 16a-110, откуда a11/16. Наименьшее целое значение a ∈ (11/16; +∞) равно 1.

Ответ: a=1.

Источники:

  • 1) Алгебра. Углублённый уровень. 8 класс (Мерзляк А. Г., Поляков В. М.) 
  • 2) Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы

Корни квадратного уравнения

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1)   .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
;   .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
;   .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
;   .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках (см. рисунок ⇓).
При , график касается оси абсцисс в одной точке (см. рисунок ⇓).
При , график не пересекает ось абсцисс (см. рисунок ⇓).

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1)   ;
(f.2)   ;
(f.3)   .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):

,
где
;   .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:
(1.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции   y = 2x 2 + 7x + 3   пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
  и   .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции   y = x 2 – 4x + 4   касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Ответ

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1)   .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда

.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Примечания к редакции квадратных уравнений

Он утверждает, что если многочлен P (x) делится на линейную функцию (x — k), то остаток равен P (k).

P (x) / (x — k) = Q (x) + R / (x — k), где Q (x) — частное, а R — остаток.

Итак, P (x) = Q (x) (x-k) + R при x = k, P (k) = R.

Пусть P (x) = (x — k) Q (x) + R

, когда P (k) = 0, P (x) = (x — k) Q (x). Следовательно, P (x) точно делится на (x — k).

  • Чтобы решить квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c, нам сначала нужно вычислить дискриминант с помощью формулы D = b 2 — 4ac.

  • Решение квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 дается выражением x = [- b ± √ b 2 — 4ac] / 2a

  • Если α и β являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, то для суммы и произведения корней мы имеем следующие результаты:

α + β = -b / a

α.β = с / а

α — β = √D / а

Рассмотрим уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c ∈ R и a ≠ 0, тогда мы имеем следующие случаи:

(a) D> 0 тогда и только тогда, когда корни действительны и различны i.е. корни неравные

(b) D = 0 тогда и только тогда, когда корни действительны и совпадают, т.е. равны

(c) D <0, если корни мнимые

(d) Мнимые корни всегда встречаются парами, т.е. если a + ib является одним корнем квадратного уравнения, то другой корень должен быть сопряженным, то есть a-ib, где a, b ∈ R и i = √-1.

Рассмотрим уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c ∈ Q и a ≠ 0, тогда

(a) Если D> 0 и также является полным квадратом, то корни рациональны и неравны.

(b) Если α = p + √q является корнем уравнения, где ‘p’ рационально, а √q — сурд, то другой корень должен быть сопряженным с ним, т.е. β = p — √q и наоборот. наоборот.

  • Корни в отдельных случаях:

(a) Ровно один корень находится на бесконечности:

Если ровно один корень равен ∞, а другой корень конечен, то коэффициент x 2 должен стремиться к нулю, а коэффициент при x не должен быть равным нулю.

(б) Оба корня в бесконечности:

Когда оба корня уравнения равны бесконечности, тогда коэффициент x 2 и коэффициент x должны стремиться к нулю, а c не должно быть равным нулю.

  • Квадратное уравнение и его график:

Наиболее общая форма квадратного уравнения — это ax 2 + bx + c, где a не равно нулю. Теперь обсудим различные формы полученных графиков, соответствующие различным значениям a, b и c.

Случай 1: Если a> 0 и D> 0

Тогда квадратное уравнение имеет два корня, и график пересекает ось x в двух разных точках.

Случай 2: Если a> 0 и D = 0

Затем кривая касается оси x и, следовательно, оба нуля полинома совпадают.

Случай 3: Если a> 0 и D <0

Тогда кривая полностью лежит выше оси абсцисс.

Случай 4: Если a <0 и D> 0

Затем график направлен вниз, и кривая пересекает ось x в двух различных точках.

Случай 5: Если a <0 и D = 0

Затем график касается оси абсцисс снизу.

Случай 6: Если a <0 и D <0

Тогда график лежит полностью ниже оси x и y <0 при x ∈ R.

На следующем рисунке четко показано положение графика в этих случаях:

x 2 — (Сумма корней) x + (Произведение корней) = 0.

Итак, если α и β являются корнями уравнения, то квадратное уравнение равно

x 2 — (α + β) x + α β = 0

  • Для квадратичного выражения y = ax 2 + bx + c, где a, b, c ∈ R и a ≠ 0, тогда график между x и y всегда является параболой.

(a) Если a> 0, то форма параболы вогнута вверх

(b) Если a <0, то форма параболы вогнута вверх

При решении таких неравенств необходимо предпринять следующие шаги

(a) Разложите данное выражение на линейные множители.

(b) Сделайте коэффициент при x положительным во всех факторах.

(c) Нанесите точки, в которых данное выражение исчезает или становится неопределенным, на числовой прямой в порядке возрастания.

(d) Начните числовую строку справа налево, принимая положительное или отрицательное значение.

(a) y ∈ [(4ac-b 2 ) / 4a, ∞], если a> 0

(b) Если a <0, то y ∈ [-∞, (4ac-b 2 ) / 4a]

  • Квадратичная функция вида f (x, y) = ax 2 + by 2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0 может быть разложена на два линейных фактора при условии, что она удовлетворяет следующему условию: abc + 2fgh –Af 2 — bg 2 — ch 2 = 0

  • В общем, если α 1 , α 2 , α 3 , ……, α n являются корнями уравнения

f (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + …….+ a n-1 x + a n , затем

(а) Σ α 1 = — а 1 / а 0

(б) Σ α 1 α 2 = a 2 / a 0

(в) Σ α 1 α 2 α 3 = — a 3 / a 0

……… ……….

Σ α 1 α 2 α 3 …… α n = (-1) n a n / a 0

  • Каждое уравнение степени n и имеет ровно n корней (n ≥1), и если оно имеет более n корней, то уравнение становится тождественным.

  • Если есть два действительных числа ‘a’ и ‘b’, такие что f (a) и f (b) имеют противоположные знаки, тогда f (x) = 0 должен иметь по крайней мере один действительный корень между ‘a’ и ‘ б ‘.

  • Каждое уравнение f (x) = 0 нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень со знаком, противоположным корню его последнего члена.

  • Условие для общего корня:

(a) Пусть a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = 0 и a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = 0 имеют общий корень α, то требуемое условие определяется выражением:

α = (b 1 c 2 — b 2 c 1 ) / (a ​​ 2 c 1 — a 1 c 2 ) = (a 2 c 1 — a 1 c 2 ) / (a ​​ 1 b 2 — a 2 b 1 )

(b) Если оба корня данного уравнения общие, то a 1 / a 2 = b 1 / b 2 = c 1 / c 2 .

(a) Для a> 1, если log a x> log a y, то это дает x> y, то есть, если base больше единицы, неравенство остается неизменным при удалении журнала.

(b) Для 0 a x> log a y, то это дает x

(c) Если a> 1, логарифм a x P .

(d) Если a> 1, логарифм a x> P, тогда x> a P .

(e) Если a <1, log a x a P .

(f) Если a <1, log a x> P, тогда x P .

  • Для решения неравенства журнала при постоянном основании:

Прежде всего найдите, что основание положительное, выражение внутри журнала положительное и основание не равно единице. Тиос известен как начальное состояние

.

Проверить, больше ли основание единицы или меньше единицы.

Если основание больше единицы, удалите журнал без изменения неравенства, а если основание меньше единицы, измените неравенство при удалении журнала.

Решите неравенство и определите его как окончательное условие.

Взгляните на начальное и конечное состояние.

  • Для решения неравенства журнала при переменной базе:

(a) Определите журнал, т.е. найдите, что основание положительное, выражение внутри журнала положительное и основание не равно единице.Тиос известен как исходное состояние.

(b) Возьмем случай I, когда основание больше единицы, и назовем его условием I.

(c) Решите неравенство в соответствии со случаем I, т.е. удалите журнал без изменения неравенства, обозначьте его как условие I (я).

(d) Возьмите пересечение условия I, I (s) и начального условия и назовите его условием L.

(e) Возьмем случай 2, когда основание меньше единицы, и обозначим его как условие 2.

(f) Решите неравенство, как для случая 2 i.2 + kx-6 = 0 $ равно 3 $, а $ k $ — константа.

Кол-во A $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ Кол-во B
$ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $
Стоимость тыс. $ $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ $ -1
  1. Количество A больше.
  2. Количество B больше.
  3. Эти две величины равны.
  4. Связь не может быть определена на основе предоставленной информации

Итак, вы пытались хорошо сдать экзамены и практиковаться в GRE с помощью PowerPrep online. Но тогда у вас возникло несколько вопросов о количественном разделе — в частности, вопрос 8 раздела 4 практического теста 1. Эти вопросы, проверяющие наши знания Solving Quadratic Equations , могут быть довольно сложными, но не бойтесь, PrepScholar поможет вам!

Изучите вопрос

Давайте поищем в проблеме ключи к разгадке того, что она будет тестировать, поскольку это поможет нам задуматься о том, какие математические знания мы будем использовать для решения этого вопроса.2) $, мы должны ожидать, что проблема будет связана с нашим навыком Решение квадратных уравнений . Давайте будем держать в голове то, что мы узнали об этом навыке, когда мы подойдем к этому вопросу.

Что мы знаем?

Давайте внимательно прочитаем вопрос и составим список того, что мы знаем.

  1. У нас есть квадратное уравнение с $ x $ и $ k $
  2. Один корень уравнения составляет 3 доллара США
  3. долларов США

  4. Мы хотим сравнить $ k $ с определенным значением

Разработайте план

Давайте начнем с нисходящего подхода, когда мы начнем с того, что мы ищем, и перейдем к деталям того, что нам дано в этом вопросе.2 + kx-6 = 0 $. Мы знаем, что если бы у нас было значение $ x $ для включения в это уравнение, то мы могли бы просто решить его для $ k $. Итак, , давайте посмотрим, сможем ли мы найти значение для $ x $, удовлетворяющее квадратному уравнению .

Мы знаем, что корень квадратного уравнения говорит нам, что если мы подставим значение корня для $ x $, то уравнение будет равно $ 0 $ . Итак, давайте решим этот вопрос, вставив $ x = -1 $, а затем упростим уравнение до тех пор, пока мы не сможем решить для $ k $, а затем сравним $ k $ с $ -1 $.2 + к · 3-6 $ $ =

$

$ 0 $ $ 9 + 3k-6 $ $ =

$

$ 0 $ 3 + 3 тыс. $ $ =

$

$ 0 $ 3 тыс. Долл. США $ =

$

$ -3 $ тыс. $ $ =

$

$ -1

Поскольку величина A ($ k $) равна $ -1 $, мы можем видеть, что обе величины равны. Итак, правильный ответ — C, две величины равны .2 $). Корень квадратного уравнения говорит нам, что когда мы подставляем корень для $ x $, уравнение становится равным $ 0 $.

Хотите более квалифицированную подготовку к GRE? Подпишитесь на пятидневную бесплатную пробную версию нашей онлайн-программы PrepScholar GRE, чтобы получить доступ к своему индивидуальному плану обучения с 90 интерактивными уроками и более 1600 вопросами GRE.

Есть вопросы? Оставьте комментарий или отправьте нам письмо по адресу [электронная почта защищена].

Если один корень уравнения равен 2, найдите другой корень класса 10 по математике CBSE

Подсказка: здесь дан один корень квадратного уравнения $ {{x} ^ {2}} — 5x + 6 = 0 $.{2}} — 5x + 6 = 0 $, где $ a = 1, b = -5, c = 6 $
Здесь дан один корень, который равен 2. Теперь, чтобы найти другой корень, рассмотрим сумму корней квадратное уравнение:
$ \ begin {align}
& \ alpha + \ beta = \ dfrac {-b} {a} \\
& 2+ \ beta = \ dfrac {- (- 5)} {1} \ \
& 2+ \ beta = \ dfrac {5} {1} \\
& 2+ \ beta = 5 \\
\ end {align} $
Теперь, переместив 2 вправо, получится -2, следовательно, мы получаем:
$ \ begin {align}
& \ beta = 5-2 \\
& \ beta = 3 \\
\ end {align} $
Следовательно, мы получим другой корень как 3.{2}
корни отображаются в следующей строке.
Если D = 0, программа отображает сообщение «Уравнение имеет один корень», а
root отображается в следующей строке.
Если D

[математика] \ sinh [/ математика]

[math] \ sinh [/ math]

[math] \ ch [/ math]

[math] \ tanh [/ math]

[math] \ operatorname {sech} [/ math]

[math] \ operatorname {csch} [/ math]

[math] \ coth [/ math]

[математика] \ in [/ математика]

[математика] \ notin [/ математика]

[математика] \ подмножество [/ математика]

[математика] \ substeq [/ математика]

[математика] \ cap [/ математика]

[математика] \ чашка [/ математика]

[математика] \ существует [/ математика]

[математика] \ forall [/ математика]

[математика] \ грех [/ математика]

[математика] \ sin [/ математика]

[математика] \ cos [/ математика]

[math] \ tan [/ math]

[математика] \ сек [/ математика]

[математика] \ csc [/ математика]

[math] \ cot [/ math]

[математика] \ arcsin [/ математика]

[математика] \ arcsin [/ математика]

[математика] \ arccos [/ математика]

[математика] \ arctan [/ математика]

[математика] \ OperatorName {arcsec} [/ математика]

[math] \ operatorname {arccsc} [/ math]

[math] \ operatorname {arccot} [/ math]

[math] \ theta [/ math]

[математика] \ phi [/ математика]

[математика] \ varphi [/ математика]

[математика] \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx [/ math]

[математика] \ bigg | _ {a} ^ {b} [/ math]

[математика] \ left [\ right] _ {a} ^ {b} [/ math]

иррациональных корней квадратного уравнения | сопрягает

Иррациональные корни квадратного уравнения имеют вид $ \ alpha + \ sqrt {\ beta} $
и $ \ alpha — \ sqrt {\ beta} $.{2} $ + bx + c = 0 равно $ \ alpha + \ sqrt {\ beta} $, тогда другой иррациональный корень равен $ \ alpha — \ sqrt {\ beta} $.
Таким образом, ($ \ alpha + \ sqrt {\ beta} $) и ($ \ alpha — \ sqrt {\ beta} $) являются сопряженными корнями. Таким образом, иррациональные корни квадратного уравнения встречаются попарно.

Примеры иррациональных корней квадратного уравнения

1) Найдите квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, у которого 1 + $ \ sqrt {3} $ в качестве корня.
Решение: Как известно, иррациональные корни квадратного уравнения встречаются попарно.{2} $ — 2x — 2 = 0

2) Найдите квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, у которого
5 — 2 $ \ sqrt {5} $ в качестве корня.
Решение: Как известно, иррациональные корни квадратного уравнения встречаются попарно.
Если один корень равен 5-2 $ \ sqrt {5} $, тогда другой корень должен быть
5 + 2 $ \ sqrt {5} $.
$ \ alpha = 5 — 2 \ sqrt {5} $ и $ \ beta = 5 + 2 \ sqrt {5} $
∴ сумма корней = $ \ alpha + \ beta = 5 — 2 \ sqrt {5} + 5 + 2 \ sqrt {5} $ = 10
Произведение корней = $ \ alpha. {2} $ + (сумма корней).{2} $ — 10x + 5 = 0

Математика 11-го класса

От иррациональных корней квадратного уравнения к дому

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Квадратичная формула — обзор

VI.C Приложения к разрешимости и конструктивности

Проблема решения квадратных уравнений восходит, по крайней мере, к вавилонянам. В девятом веке мусульманский математик Аль-Хоресми дал версию современной квадратной формулы. В середине шестнадцатого века итальянские математики привели решение кубического уравнения к виду

x3 + mx = n

, разделив его на коэффициент x 3 и заменив x на некоторые x c .Затем они решили это как

x = a − ba = (n / 2) + (n / 2) 2+ (m / 3) 33b = — (n / 2) + (n / 2) 2+ (m / 3) 3,3

Они приступили к решению уравнений четвертой степени, сводя их к кубикам. Но никто не смог решить общую квинтику, используя корни n -й степени, и в 1824 году Н.Х. Абель доказал, что это невозможно. Э. Галуа за свою короткую жизнь доказал это также в рамках общей теории, применимой ко всем многочленам. Это основано на теории поля, и мы опишем это далее.

В расширениях F ( t ) один корень многочлена p ( t ) был добавлен или присоединен к F .Расширения, полученные сложением всех корней многочлена, называются нормальными расширениями. Корни можно добавлять по одному в любом порядке.

Конечномерные нормальные расширения можно изучать с помощью конечных групп, называемых группами Галуа. Группа Галуа нормального расширения F E — это группа всех полевых автоморфизмов E , тождественных на F . По сути, он переставляет корни многочлена, корни которого порождают расширение.Например, пусть F = Q (ξ) и пусть E = F (23), где ξ = (- 1 + i3) / 2. Тогда существует автоморфизм E , который принимает 23 → ξ23 ξ23 → ξ 2 (23), ξ 2 (23) → 23. Группа Галуа является циклической группой порядка 3, порожденной этим автоморфизмом. Поскольку отношение ξ двух корней идет само на себя, оно является тождеством на Q (ξ).

Порядок группы Галуа равен степени нормального расширения. Более того, существует соответствие 1–1 между подполями F K E и подгруппами H G , группой Галуа E над F .С подгруппой H связано поле k = { x E : f ( x ) = x для всех f K }.

Поле разделения полинома p над полем F является минимальным расширением F , над которым p делится на факторы степени 1. Это нормальное расширение, и любые два поля разделения изоморфны.

Предположим, что многочлен p разрешим с помощью радикалов над Q .Пусть E будет полем разделения p на Q . Каждый раз, когда мы извлекаем радикал, корни радикала генерируют нормальное расширение F 1 предыдущего поля F 2 . Пусть E i = F i E . Тогда F 2 более F 1 имеет циклическую группу Галуа, поэтому E 2 более E 1 также.

Отсюда следует, что существует ряд расширений Q = D 0 D 1 ⊂ ⋯ ⊂ D n = E каждое нормальное по сравнению с предыдущим, так что группы Галуа друг над другом циклические. Отсюда следует, что группа Галуа G имеет ряд подгрупп G n = { e } ⊂ G n − 1 ⊂ ⋯ ⊂ G 0 = G таких, что g i — нормальная подгруппа G i − 1 с циклической факторгруппой.Такая группа называется разрешимой.

Симметрическая группа степени 5 имеет единственную нетривиальную собственную нормальную подгруппу — простую знакопеременную группу. Следовательно, это не разрешимо. Если F ( x ) является неприводимым полиномом 5 степени над Q с ровно двумя невещественными корнями, в его группе Галуа существует элемент порядка 5 только потому, что 5 делит степень поля расщепления. Комплексное сопряжение дает транспозицию. Следовательно, группа Галуа — это L 5 .Таким образом, многочлены степени 5 не могут быть решены радикалами.

Наоборот, верно, что любое нормальное расширение E F с циклической группой Галуа может быть порождено радикалами. Можно показать, что существует единственный элемент θ такой, что E = F (θ) ( c с учетом всех линейных комбинаций θ базиса для E по F , и существует конечное число промежуточных полей).

Пусть расширение будет циклическим порядка n и пусть τ будет таким, что τ n = 1, но не меньшей степени.Пусть автоморфизм g порождает группу Галуа. Пусть t = θ + τ g (θ) + ⋯ + τ n-1 g n-1 (θ). Тогда t имеет n различных конъюгатов ( a ss при τu ∈ F ) g i (θ) + τ g i + 1 (θ) + ⋯ + τ n-1 g n-1 + i (θ), поэтому его минимальный многочлен имеет степень n . Поскольку g ( t ) = τ — 1 ( t ), элемент t n = a инвариантен в группе Галуа и лежит в F .Итак, θa, g (θ),…, g n-1 (θ) лежат в поле разделения x n = a , которое должно быть E .

Геометрические конструкции обеспечивают применение теории поля. Предположим, нам дан единичный отрезок прямой. Какие фигуры можно построить из него с помощью линейки и циркуля? Пусть отрезок будет взят за единицу длины или ось x . Везде, где мы строим новую точку из существующих с помощью линейки и циркуля, это пересечение линии или круга с линией или кругом.Такие пересечения приводят к квадратным уравнениям. Следовательно, если точка P может быть построена, каждая координата должна быть получена из рациональных чисел путем сложения, вычитания, умножения, деления или извлечения квадратного корня. Такие величины лежат в поле расширения E Q , так что существуют поля E 0 = Q E 1 ⊂ ⋯ ⊂ E k = E и En = En − 1a для a E n −1 .Степень [ E : Q ] = [ E n : E n -1 ] ⋯ [ E 1 : E 0 ] является степенью 2.

Следовательно, если x — координата конструктивной точки, x лежит в расширении степени 2 n , фактически нормальное расширение степени 2 n . Но если [ Q ( x ): Q ] имеет степень, а не степень 2, это невозможно, поскольку [ E : Q ] = [ E : Q ( x )] [ Q ( x ): Q ].

В частности, копирование куба ( p , равное кубу объема ровно 2) и деление на три части под углом 60 ° приводят к корням неприводимых кубиков x 3 — 2 = 0 и 4cos 3 θ− 3cosθ − cos 60 ° = 0 и не может быть выполнено. Поскольку π i не удовлетворяет никакому моническому полиному с коэффициентами в Q , круг не может быть возведен в квадрат.

Определение и решение квадратного уравнения

Этот урок посвящен определению и решению квадратного уравнения.

Определение квадратного уравнения

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 известно как квадратное уравнение. Здесь x — переменная, а a, b и c — константы, где a 0.

Почему ≠ 0? Хорошо, потому что если a = 0, то уравнение больше не остается квадратным уравнением. Определяющей чертой квадратных уравнений является член x 2 . Точно так же в кубическом уравнении (ax 3 + bx 2 + cx + d = 0) коэффициент при x 3 должен быть ненулевым.

Идем дальше.

Значения переменной x, которые удовлетворяют уравнению, известны как корни уравнения. Каждое квадратное уравнение имеет ровно два корня. Это следствие основной теоремы алгебры.

Проще говоря, квадратичное выражение всегда можно выразить как произведение двух линейных выражений. Приравнивание квадратного выражения нулю эквивалентно приравниванию этого произведения к нулю. Это всегда дает нам два корня.

Я не собираюсь доказывать эту теорему. Вы можете поискать доказательства в другом месте. Перейдем к содержательной части — решению квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения

Решение квадратного уравнения включает разложение его на два линейных выражения. Это также отчасти продемонстрирует основную теорему алгебры.

Для начала рассмотрим несколько частных случаев, а затем перейду к общему случаю.

Случай 1 : c = 0

В этом случае квадратное уравнение выглядит примерно так: ax 2 + bx = 0.Это легко разложить на множители как x (ax + b) = 0.

Итак, x (ax + b) = 0 означает, что либо x = 0, либо ax + b = 0. А поскольку a ≠ 0, второе линейное уравнение дает корень x = — b / a. 2 \) = 0, и теперь его можно разложить на множители как (x + \ (\ sqrt {-c / a} \)) (х — \ (\ sqrt {-c / a} \)) = 0.

И снова получаем два корня x = \ (\ sqrt {-c / a} \) и x = — \ (\ sqrt {-c / a} \).

Если c также равно 0, то оба корня будут равны 0. (Назовем этот случай Случай 0 .)

Не пугайтесь отрицательного знака внутри корня. Кроме того, вам не нужно запоминать результаты (пока).

Перейдем к общему случаю, когда и b, и c не равны нулю.

Случай 3 : b ≠ 0 и c ≠ 0

Наша цель снова состоит в том, чтобы разложить квадратичное выражение на два линейных.2-4ac}} {2a} \).

Этот результат, известный как квадратная формула , вы должны запомнить.

Я остановлюсь на этом и продолжу в следующем уроке несколькими примерами.

Резюме урока

  1. Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, известно как квадратное уравнение.
  2. Каждое квадратное уравнение имеет два корня.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *