Корень n ой степени через степень с рациональным показателем: Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства [wiki.eduVdom.com]

m }


Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

Содержание

Карточки по теме: «Корень степени n. Степень с рациональным показателем» | Методическая разработка по математике (10 класс):

li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-6,decimal) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-7>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-7,lower-latin) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-7}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-5{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-6{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_2-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-1}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-0{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_2-4>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-4,lower-latin) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-5>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-5,lower-roman) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-8>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-8,lower-roman) «. «}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-1{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-2{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_1-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-1}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-6 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-8 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-3 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-5 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-7{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_1-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-7}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-8{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-5 0}#doc20196052 .lst-kix_list_2-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-0}#doc20196052 .lst-kix_list_2-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-3}#doc20196052 .lst-kix_list_2-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-6}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-7 0}#doc20196052 . lst-kix_list_1-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-2}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-2 0}#doc20196052 .lst-kix_list_1-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-5}#doc20196052 .lst-kix_list_1-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-8}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-4 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-1 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-2{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-3{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-4{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-5{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_1-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-4}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-0{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_2-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-4}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-6 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-1{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-3. start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-3 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-8 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-2 0}#doc20196052 .lst-kix_list_1-0>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-0,decimal) «. «}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-6{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_1-1>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-1,lower-latin) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_1-2>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-2,lower-roman) «. «}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-0 0}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-7{list-style-type:none}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-8{list-style-type:none}#doc20196052 .lst-kix_list_1-3>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-3,decimal) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_1-4>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-4,lower-latin) «. «}#doc20196052 ol.lst-kix_list_1-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-0 0}#doc20196052 . lst-kix_list_1-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-0}#doc20196052 .lst-kix_list_1-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-6}#doc20196052 .lst-kix_list_1-7>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-7,lower-latin) «. «}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-7 0}#doc20196052 .lst-kix_list_1-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-3}#doc20196052 .lst-kix_list_1-5>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-5,lower-roman) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_1-6>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-6,decimal) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-0>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-1>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-1,lower-latin) «. «}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-1 0}#doc20196052 .lst-kix_list_2-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-5}#doc20196052 .lst-kix_list_2-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-8}#doc20196052 . lst-kix_list_1-8>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-8,lower-roman) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-2>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-2,lower-roman) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-3>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_2-3,decimal) «. «}#doc20196052 .lst-kix_list_2-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-2}#doc20196052 ol.lst-kix_list_2-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-4 0}#doc20196052 ol{margin:0;padding:0}#doc20196052 table td,table th{padding:0}#doc20196052 .c14{padding-top:0pt;border-bottom-color:#000000;border-bottom-width:1.5pt;padding-bottom:1pt;line-height:1.0;border-bottom-style:solid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 .c9{padding-top:0pt;border-bottom-color:#000000;border-bottom-width:1.5pt;padding-bottom:1pt;line-height:1.1500000000000001;border-bottom-style:solid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 .c0{color:#000000;font-weight:400;text-decoration:none;vertical-align:baseline;font-size:14pt;font-family:»Times New Roman»;font-style:normal}#doc20196052 . c1{color:#000000;font-weight:400;text-decoration:none;vertical-align:sub;font-size:18.3pt;font-family:»Times New Roman»;font-style:normal}#doc20196052 .c8{color:#000000;font-weight:400;text-decoration:none;vertical-align:baseline;font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»;font-style:normal}#doc20196052 .c4{color:#000000;font-weight:400;text-decoration:none;vertical-align:sub;font-size:23.3pt;font-family:»Times New Roman»;font-style:normal}#doc20196052 .c13{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;widows:2;text-align:center}#doc20196052 .c10{color:#000000;font-weight:700;text-decoration:none;vertical-align:baseline;font-family:»Times New Roman»;font-style:normal}#doc20196052 .c7{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.0;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 .c2{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 .c12{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.0;orphans:2;widows:2;text-align:center}#doc20196052 . c15{background-color:#ffffff;max-width:523.3pt;padding:36pt 36pt 36pt 36pt}#doc20196052 .c6{vertical-align:sub;font-size:23.3pt}#doc20196052 .c11{font-size:12pt}#doc20196052 .c5{height:12pt}#doc20196052 .c3{font-size:14pt}#doc20196052 .title{padding-top:24pt;color:#000000;font-weight:700;font-size:36pt;padding-bottom:6pt;font-family:»Times New Roman»;line-height:1.0;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 .subtitle{padding-top:18pt;color:#666666;font-size:24pt;padding-bottom:4pt;font-family:»Georgia»;line-height:1.0;page-break-after:avoid;font-style:italic;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 li{color:#000000;font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»}#doc20196052 p{margin:0;color:#000000;font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»}#doc20196052 h2{padding-top:24pt;color:#000000;font-weight:700;font-size:24pt;padding-bottom:6pt;font-family:»Times New Roman»;line-height:1.0;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 h3{padding-top:18pt;color:#000000;font-weight:700;font-size:18pt;padding-bottom:4pt;font-family:»Times New Roman»;line-height:1. 0;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 h4{padding-top:14pt;color:#000000;font-weight:700;font-size:14pt;padding-bottom:4pt;font-family:»Times New Roman»;line-height:1.0;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 h5{padding-top:12pt;color:#000000;font-weight:700;font-size:12pt;padding-bottom:2pt;font-family:»Times New Roman»;line-height:1.0;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 h5{padding-top:11pt;color:#000000;font-weight:700;font-size:11pt;padding-bottom:2pt;font-family:»Times New Roman»;line-height:1.0;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 h6{padding-top:10pt;color:#000000;font-weight:700;font-size:10pt;padding-bottom:2pt;font-family:»Times New Roman»;line-height:1.0;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc20196052 ]]>

Корень степени n.  Степень с рациональным показателем.

Вариант № 1

№ 1. Вычислите: а)    б)    в)  

№ 2.  Расположите числа в порядке убывания:

№3. Упростите выражение и найдите его значение:, при

№ 4.Вычислите:   а);     б);     в);     г);   д).    

№ 5.Упростите выражение:   а)     б)     в);     г).

№ 6. Решите уравнение:   а)   б)

   

Корень степени n.  Степень с рациональным показателем.

Вариант № 2

№ 1. Вычислите:   а)    б)    в)

№ 2. Расположите числа в порядке возрастания:

№ 3.Упростите выражение и найдите его значение:при

№ 4. Вычислите:   а);     б);     в);     г);   д).

№ 5. Упростите выражение:   а)     б)     в);     г)

№ 6. Решите уравнение:      а);     б)

Степень с рациональным показателем — Алгебра и геометрия

Свойства степеней с рациональными показателями

Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

  1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями  при a>0, а если  и , то при a≥0;
  2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями  при a>0;
  3. свойство произведения в дробной степени  при a>0 и b>0, а если  и , то при a≥0 и (или) b≥0;
  4. свойство частного в дробной степени  при a>0 и b>0, а если , то при a≥0 и b>0;
  5. свойство степени в степени  при a>0, а если  и , то при a≥0;
  6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство ap<bp, а при p<0 – неравенство ap>bp;
  7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq.

Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

По определению степени с дробным показателем  и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство ap<bp, а при p<0 – неравенство ap>bp. Запишем рациональное число p как m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a<b по свойству степени с целым положительным показателем должно выполняться неравенство am<bm. Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, ap<bp.

Аналогично, при m<0 имеем am>bm, откуда , то есть,  и ap>bp.

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq. Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q, пусть при этом мы получим обыкновенные дроби  и , где m1 и m2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0<a<1 должно быть справедливо неравенство am1<am2, а при a>1 – неравенство am1>am2. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как  и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам  и  соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq.

«Корень n-й степени из действительного числа»

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ (ЗАДАНИЯ)

МАТЕРИАЛЫ для подготовки к тестированию по математике 8 класс Учитель: (Субач М.В., Авершина Л.А., Данилова А.Р.) ТЕМА Знать Уметь 6 Множество рациональных и множество действительных П. 16. Рациональные

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 1

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Свойства корней й степени Свойства корней Свойства степеней с рациональным показателем Примеры 5 Свойства корней -й степени Арифметическим корнем й степени

Подробнее

Как пользоваться справочником

3 Уважаемый читатель! В ваших руках современный справочник, который поддержит вас при обучении в 5 11 классах, поможет подготовиться к экзаменам, даст возможность без труда поступить в вуз. В справочнике

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

1 Степень с целым показателем

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному

Подробнее

ISBN К 22.

14я721 ISBN

ДК 373:512 К 22.14721 49 49 аа, аьяа Маа.. 7 9 /.М.. М : Э, 2018. 128. (. ). ISBN 978-5-04-093533-8, 7 9-. П ё -. П,. П 7 9-,, -. ДК 373:512 К 22.14я721 ISBN 978-5-04-093533-8 аа.м., 2018 О. ООО «Иаь «Э»,

Подробнее

Пояснительная записка

Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

Глава 6 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-60 Вычисление квадратного корня Т-60 Свойства квадратных корней Т-60 Удобная запись корня Т-60 Корень из квадрата Т-60 Внесение множителя под знак корня Т-606 Освобождение

Подробнее

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Гущин Д. Д. http://www.mthnet.spb.ru ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Основные факты. Показательными уравнениями (неравенствами) называются уравнения (неравенства), содержащие переменную в показателе

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Учителя математики МБОУ «СОШ 2»

Учителя математики МБОУ «СОШ 2» Общие сведения Образование высшее Закончила в 1982 г. Нижнетагильский государственный педагогический институт Квалификация учитель математики и физики Педагогический стаж

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая программа учебного предмета «Математика (алгебра и начала анализа)» составлена в соответствии с Основной образовательной программой среднего общего образования муниципального

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) =

В школьном курсе математики иррациональные уравнения решают методом возведения обеих частей в соответствующую степень сведением с помощью замены переменной к системе уравнений или используют монотонность

Подробнее

1.

Множества и операции над ними

Раздел I. Множества и числа 1. Множества и операции над ними Множество и его элементы Под множеством понимают совокупность любых предметов, объек тов, объединенных между собой некоторым общим для них признаком.

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по алгебре для 8 класса соответствует Федеральному компоненту государственного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования,

Подробнее

Теоретические сведения

Задание В5 Теоретические сведения…2 Линейное и квадратное уравнения…2 Дробно-рациональные уравнения…3 Иррациональные уравнения… 5 Тригонометрические уравнения… 7 Показательные уравнения…9 Разбор

Подробнее

Содержание. Неравенства.

.. 20

Содержание Уравнение…………………………………….. Целые выражения………………………………. Выражения со степенями……………………….. 3 Одночлен………………………………………

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: — Федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике — Примерные программы по математике.

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Тематическое планирование

Тематическое планирование Тема урока Колво часов Тип урока Характеристика деятельности учащихся или виды учебной деятельности Виды контроля, измерители Требования к уровню подготовки обучающихся Домашнее

Подробнее

Иррациональные уравнения и системы

Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Определение степени с дробным показателем.

Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем 9 класс


Тема 16.


Определение степени с дробным показателем и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.


Мы знаем, какой смысл имеет выражение an, где a ≠ 0, если показатель n – целое число. Например, (-2)5 означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен (-2). А степень 2-5 означает число, обратное степени 25. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.


Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a > 0 верно равенство amn=amn.


Например, 5217=5217=53=125,


так как 537=521.


Определение: Если a – положительное число, mn – дробное число (m – целое, n – натуральное), то


amn=amn.


Степень с основанием, равным 0, определяется только для положительного дробного показателя: если mn – дробное положительное число (m и n – натуральные), то 0mn=0.


Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как -234 или -813 не имеют смысла.


Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: 34;68;912 и т.д


Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например,


268=268=234=234.


В общем случае это выглядит так:


пусть a > 0, m-целое, n и k-натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:


amknk=amknk=amn=amn


Свойства степени с рациональным показателем.


Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.


Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q:


  1. apaq=ap+q

  2. ap:aq=ap-q

  3. apq=apq


Для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального числа p:


  1. abp=apbp

  2. abp=apbp


Из первого свойства следует, что для любого a > 0 и любого рационального p


a-p=1ap


Например,


27∙6413=2713∙6413=3∙4=12

Степень с рациональным показателем и ее свойства

1. Степень с рациональным показателем и ее свойства.

2. «Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть… при помощи названной

науки».
Г.В.Лейбниц

3. История возникновения степени числа

В знаменитой книге
«Арифметике»
Диофант
Александрийский
описывал первые
натуральные
степени
Одним из первых, кто в конце XYI-начале XYII века
принял шаги к построению современной теории степеней,
был Нидерландский математик Симон Стевин.
Он обозначал неизвестную величину кружком
, а внутри его указывал
показатель степени.
1 , 2 ,
Например:
3
,
В его записи обозначали x,
x², x³.
У Рене Декарта в
его «Геометрии»
(1637) мы находим
современное
обозначение
степеней а2,а3,…
n
а
Повторение
Степень с целым показателем
a a a … a
n
1)3 27
3
2)5 125
3
3)2 16
4
4)3 3
1
Степенью числа а с
натуральным показателем n,
большим 1, называется
произведение n множителей,
каждый из которых равен а
m
n m
n
n
1)a a a
n
m
n m
2)a : a m a
n
n m
3) a a
n
n
n
4) a b a b
n
a a
5) n
b b
1
a n
a
a 0
n
a 1
0
1
1
а) 10 6
;
10
1000000
1
1
2
б) 9 2 ;
9
81
1
1
в) а 1 ;
а
1
20
г) х 20 ;
х
1
3
д) ав
;
3
ав
1
4
е) а в
.
4
а в
6
1)3 1
0
2)5 1
0
3)22222222 1
0
4)100000 1
0

10. Арифметический корень натуральной степени Определение

Корнем n-ой степени из числа a
называется такое число, n-я
степень которого равна a.
n
a x,
то есть x a
n
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ
n-Й
СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА
а
а – ПОДКОРЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
Тождества
ДЕЙСТВИЕ, ПОСРЕДСТВОМ КОТОРОГО
ОТЫСКИВАЕТСЯ КОРЕНЬ
СТЕПЕНИ, НАЗЫВАЕТСЯ
ИЗВЛЕЧЕНИЕМ КОРНЯ
n
–Й
n – Й СТЕПЕНИ.

13. Примеры

3
1)
27 3; 33 27
2)
4
256 4 ;
3)
5
0,00243 0,3;
4)
3
1000000 100 ;
5)
3
64000 40 ;
6)
6
1
1
;
64 2
4 4 256
0,35 0,00243
100 3 1000000
40 64000
3
6
1
1
64
2

14. Устно:

Вычислите:
4
16 2
7
5
32 2
3
10
4
1 1
81 3
0 256 0 2
8
125 4 81 5 3 8
64 243 8 3 5
5
6
64 4 625 2 5 7
2

15.

Свойства корня n-ой степени (для n ∈ N, m ∈ N, n > 1, m > 1)

Свойства корня n-ой степени
(для n ∈ N, m ∈ N, n > 1, m > 1)
1
2
3
4
ab n a
n
n
n
a na
n ,
b
b
a
n
n m
m
b,
где a 0 , b 0
где a 0 , b 0
n a m , где a 0
a nm a , где a 0

16. Понятие степени с рациональным показателем

m
n
a a , где a 0, n N , m Z
n
m
Примеры
a
p
1)
2)
3)
2
3
5 3 5 2 3 25
7
5
121,4 12 5 127
4
9
2
2
5
4
9
12
5
4
9
5
12
12
9
4
5

17. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

2
3
1.
2
2.
1
3
3
3
2
1
1
3
2
1
3
3
3
3. ( 8) не имеет смысла
1,5
4.
5.
1
2
5а 5 а
2
2
3
х у 3 х у

18.

Представьте в виде степени с дробным показателем:

n
а a
m
7 7
1.
2.
m
n
9
1
2
а а
4
4
9
1
3
3 2 2
3.
2
1
4.
5.
Представьте в
виде степени с
дробным
показателем:
b b b b b
2
х у
3
1, 5
x y x y
3
2
1,5
m
n
a a
km
kn
nk
а
mk
где a 0, n, k N , m Z
2
3
4
6
2 2 2
10
15

20. Свойства степени с рациональным показателем (для p ∈ R, q ∈ R)

1
a 0 1,
2
a1 a
где a 0
6
7
1
3 a , где a 0
a
1
р
4 a р , где a 0
a
1
a
10
b
a
p q
a pq
8 a p b p ab
p
9
5 a p a q a p q
p
ap
p q
a
, где a 0
q
a
p
p
ap a
, где b 0
p
b
b
b
, где a 0, b 0
a
Если вы хотите научиться
плавать, то смело входите в воду, а
если хотите научиться решать
задачи, то решайте их
(Д. Пойа)

% PDF-1.4
%
195 0 объект
>
эндобдж

xref
195 93
0000000016 00000 н.
0000003035 00000 н.
0000003120 00000 н.
0000003843 00000 н.
0000004105 00000 н.
0000004360 00000 н.
0000007436 00000 н.
0000007822 00000 н.
0000008223 00000 п.
0000008493 00000 п.
0000013040 00000 п.
0000013432 00000 п.
0000013847 00000 п.
0000014068 00000 п.
0000014312 00000 п.
0000017919 00000 п.
0000018300 00000 п.
0000018701 00000 п.
0000019028 00000 п.
0000019292 00000 п.
0000019643 00000 п.
0000026598 00000 п.
0000027079 00000 п.
0000027497 00000 п.
0000027672 00000 н.
0000028464 00000 п.
0000028766 00000 п.
0000029118 00000 п.
0000029429 00000 п.
0000030083 00000 п.
0000030849 00000 п.
0000030927 00000 п.
0000031003 00000 п.
0000031652 00000 п.
0000032306 00000 п.
0000032687 00000 п.
0000032735 00000 п.
0000032772 00000 п.
0000032979 00000 н.
0000034014 00000 п.
0000034216 00000 п.
0000034269 00000 п.
0000034745 00000 п.
0000035151 00000 п.
0000036517 00000 п.
0000037548 00000 н.
0000038608 00000 п.
0000039716 00000 п.
0000039987 00000 н.
0000040405 00000 п.
0000040701 00000 п.
0000040778 00000 п.
0000040853 00000 п.
0000041274 00000 п.
0000042552 00000 п.
0000042706 00000 п.
0000044051 00000 п.
0000044342 00000 п.
0000044656 00000 п.
0000044825 00000 п.
0000047366 00000 п.
0000047674 00000 п.
0000048051 00000 п.
0000048701 00000 п.
0000049082 00000 п.
0000049133 00000 п.
0000050473 00000 п.
0000050735 00000 п.
0000051114 00000 п.
0000051847 00000 п.
0000052356 00000 п.
0000056214 00000 п.
0000066678 00000 п.
0000068350 00000 п.
0000080268 00000 п.
0000082993 00000 п.
0000083754 00000 п.
0000086793 00000 п.
0000089485 00000 п.
00000

00000 п.
00000

00000 п.
00000

00000 п.
0000095961 00000 п.
0000098681 00000 п.
0000099808 00000 п.
0000117406 00000 н.
0000119138 00000 п.
0000136736 00000 н.
0000138498 00000 п.
0000156096 00000 н.
0000157854 00000 н.
0000159058 00000 н.
0000002156 00000 н.
трейлер
] / Назад 724459 >>
startxref
0
%% EOF

287 0 объект
> поток
hb«d`8X Ȁ

Показатели и радикалы Пошаговое решение математических задач

ГЛАВА 5
Показатели и радикалы

5.2 = -9. Различные случаи для корней n-й степени действительного числа a заключаются в следующем.

1. Если n четно и a положительно, то имеется два корня n-й степени, и один из них отрицательный. Положительный корень n-й степени называется главным корнем n-й степени числа a.

2. Если n четно и a отрицательно, то у a нет действительных корней n-й степени.

3. Если n нечетно, то для всех a существует ровно один корень n-й степени из a, который называется главным корнем n-й степени.

4. Если a = 0, то для всех n 0 является единственным корнем n-й степени из 0, и, таким образом, 0 является главным корнем n-й степени из 0.(1/4)

= корень (4,27)

В общем, выражение, содержащее радикалы, называется стандартным, если выполняются следующие три условия.
1. У подкоренного выражения нет множителей с показателями, равными или превышающими индекс.
2. Индекс радикала как можно меньше.
3. Знаменатель рационализирован.
Обратите внимание, что в примерах с 3 по 9 мы упростили данные выражения, изменив их на стандартную форму.

5.5 Сложение и вычитание радикалов

Некоторые выражения, содержащие радикалы, можно складывать и вычитать с помощью закона распределения. Например,

2 корня (5) + 7 корня (5) -3 корня (5)

= (2 + 7-3) корень (5)

= 6 корень (5)

Бывают случаи, когда данные термины в выражении не похожи, но когда они записаны в стандартной форме, появляются общие множители.

Пример 1. Упростить корень (50) + корень (98).

корень (50) + корень (98)

= корень (25 * 2) + корень (49 * 2)

= 5 корень (2) + 7 корень (2)

= 12 корень (2)

Пример 2.2xroot (2x)

= (- 1 / x + 28x) корень (2x)

5.6 Умножение и деление радикалов

Из правил R.2 и R3 раздела 5.4 ясно, что два радикала с одинаковым индексом можно умножить или разделить, выполнив операцию под знаком радикала.

Пример 1.

(a) корень (3) корень (5) = корень (3 * 5) = корень (15)

(b) (корень (3,81)) / (корень (3,3)) = корень (3,81 / 3) = корень (3,27) = 3

Если радикалы имеют разные индексы, измените выражения на экспоненциальную форму для упрощения.2

= 2-3

= -1

Сопряжения можно использовать для упрощения некоторых дробей, знаменатели которых имеют вид a√x + b√y, путем удаления радикалов из знаменателей. Как и в разделе 5.4, это также называется рационализацией знаменателя.

Пример 4. Упростим (корень (3) + корень (5)) / (корень (3) -корень (5)), рационализируя знаменатель.

(корень (3) + корень (5)) / (корень (3) -корень (5))

= (корень (3) + корень (5)) / (корень (3) -корень (5)) * (корень (3) + корень (5)) / (корень (3) + корень (5))

= (3 + 2sqrt (3) sqrt (5) +5) / (3-5)

= (8 + 2 корень (15)) / (- 2)

= -4-корень (15)

5.м

При рассмотрении отрицательных подкормок есть определенные трудности. В случае, когда n нечетно, вышеупомянутые уравнения sh ‘] _ l остаются в силе, и законы степеней и радикалов по-прежнему применяются. В частности, если n нечетное,

корень (n, -a) = — корень (n, a)

Это равенство выполняется с

корень (n, -a)

= корень (n, (- 1) a)

= корень (n, -1) корень (n, a)

= (- 1) корень (n, a)

= -корень (n, a)

Например, root (3, -8) = — root (3,8) = — 2.2.

5.8 Комплексные числа.

В наших предыдущих обсуждениях действительной системы счисления и радикалов было указано, что корень (a) не является действительным числом в случае, когда n четно, а a отрицательно. Например, корень (-2), корень (4, -8) и корень (6, -3) не представляют собой действительные числа. Однако теперь мы вводим новые числа, называемые комплексными числами, которые придают смысл этим выражениям. Удивительно, но у комплексных чисел есть приложения в инженерных и физических задачах.

Мы вводим новое число i, квадрат которого равен -1. Таким образом,

-1 = я

Если b — любое положительное действительное число, то

корень (-b)

= корень (b (-1))

= корень (b) корень (-1)

= корень (б) я

Следовательно, квадратный корень любого отрицательного действительного числа может быть представлен как произведение действительного числа и числа i. Например,

корень (-16) = корень (16) корень (-1) = 4i

и

корень (-5) = корень (5) корень (-1) = корень (5) i

Число i называется мнимой единицей, а любое число в форме bi, где b — действительное число, называется мнимым числом.
Теперь рассмотрим все выражения вида a + bi, где a и b — действительные числа. Эти числа называются комплексными числами. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью a + bi. Например, 2-3i — это комплексное число, действительная часть которого равна 2, а мнимая часть — -3. С

а = а + 0i

Каждое действительное число a — комплексное число. Точно так же каждое мнимое число bi является комплексным числом, так как

би = 0 + би

Два комплексных числа a + bi и c + di равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d, то есть тогда и только тогда, когда действительные части равны, а мнимые части равны.

Сумма и разность двух комплексных чисел определены способом, совместимым с тем, как мы выполняли эти операции с другими радикалами. У нас

(а + би) + (с + ди)

= (а + с) + (би + ди)

= (а + в) + (б + г) я

и

(а + би) — (с + ди)

= (а-с) + (би-ди)

= (а-в) + (б-г) я

Например,

(2 + 3i) + (- 3 + 4i)

= (2-3) + (3i + 4i)

= -1 + 7i

и

(2-3i) — (- 2-i)

= (2 + 2) + (- 3i + i)

= (4-2i)

Пример 1. Запишите каждое из следующих значений в форме a + bi: (a) 5-корень (-9) (b) (2 + root (-8)) / (2)

(а) 5-корень (-9)

= 5-корень (9) корень (-1)

= 5-3i

(б) (2 + корень (-8)) / (2)

= (2 + корень (8) корень (-1)) / (2)

= (2 + 2 корень (2i)) / 2

= 1 + корень (2i)

Пример 2. Упростить (2 + корень (-4)) + (3 + корень (-25)) — (- 6-корень (-9)).

(2 + корень (-4)) + (3 + корень (-25)) — (- 6-корень (-9))

= (- 2 + корень (4) корень (-1)) + (3 + корень (25) корень (-1)) — (- 6-корень (9) корень (-1))

= 2 + 2i + 3 + 5i + 6 + 3i

= 11 + 10i

Произведение двух комплексных чисел определяется таким образом, что оно соответствует произведению двух биномов.2) я

Рационализация знаменателя с помощью высших корней — концепция

Когда знаменатель имеет более высокий корень, умножение на подкоренное выражение не удаляет корень. Вместо этого, чтобы рационализировать знаменатель , мы умножаем на число, которое даст новый член, который может происходить из корня. Например, умножьте кубический корень на число, которое даст кубическое число, такое как 8, 27 или 64.

Рационализация знаменателя — это, по сути, способ получить квадратный корень снизу.Хорошо. Мы можем спросить, почему он внизу. Не совсем уверен, почему, но по какой-то причине мы не можем, и когда мы это делаем, нам нужно на что-то умножить, чтобы избавиться от квадратного корня.
Итак, мы собираемся сделать пример, будем надеяться, что вы помните, как это делать. И это будет 4 больше квадратного корня из 8, хорошо? Мы могли бы умножить его на квадратный корень из 8 на квадратный корень из 8, тогда квадратный корень из 8 будет отменен, и мы получим 8. Но я хочу, чтобы вы привыкли делать это, чтобы посмотреть, есть ли способ что мы можем сначала упростить знаменатель.Хорошо? Я имею в виду, что у нас квадратный корень меньше, чем мы имеем дело. Квадратный корень из 8 — это то же самое, что квадратный корень из 4, умноженного на квадратный корень из 2, который равен 2-кратному корню 2. Итак, это выражение то же самое, что 4, 2 корня 2. Хорошо? Так что упростите это, и теперь нас интересует только квадратный корень из 2, который находится в знаменателе. Люди часто хотят умножить на весь знаменатель. Не надо, тебе не нужно этого делать. Корень 2 — единственное, что создает проблему, поэтому вы можете оставить 2 как есть.Хорошо?
Итак, чтобы рационализировать знаменатель, умножьте корень 2 на корень 2. Наш числитель становится 4, корень 2, наша 2 все еще там, а затем у нас корень 2, умноженный на корень 2, что составляет всего 2. Вы можете упростить это до 4 на 2. умножая на 2, они все отменяют, просто оставляя нас с квадратным корнем из 2, хорошо. Так что, надеюсь, для вас в этом нет ничего нового.
Сейчас я в основном хочу поговорить о знаменателе, когда вы имеете дело с корнем, отличным от 2. Итак, в этом примере мы говорим о кубическом корне.И одна из распространенных ошибок состоит в том, что люди хотят умножить кубический корень из 2 на кубический корень из 2. Хорошо? Когда мы умножаем радикалы, мы [IB] основываем корни одинаковыми. Мы комбинируем это. Таким образом, мы фактически получаем кубический корень из 2 в квадрате или 4. Это нам совсем не помогает, потому что кубический корень из 4 мы не знаем. Итак, что вам действительно нужно подумать, так это о том, сколько этого термина вам нужно, чтобы получить его из кубического корня? Хорошо? Чтобы получить что-то из кубического корня, вам нужно их 3 штуки, понятно? Кубический корень из 2 в кубе равен 2, кубический корень из 8 равен 2.Итак, чтобы получить что-то из кубического корня, вам нужно 3 элемента], а чтобы получить что-то из корня четвертой степени, вам нужно 4. Подумав об этом, мне нужен кубический корень из 2 в квадрате. У меня есть один 2, затем мне нужно еще два, чтобы сделать три. Хорошо? Умножив верхнюю и нижнюю часть на то же самое, получим кубический корень из 2 в квадрате. Теперь у нас есть 3-кратный кубический корень из 2, возведенный в квадрат над кубическим корнем из 2 в третьем. Кубический корень от 2 до третьего равен 2. Итак, мы получаем всего 3, кубический корень из 4 над 2. Это 3 выглядит не очень хорошо, давайте перепишем это.
Итак, всякий раз, когда мы имеем дело с корнем, отличным от квадратного корня, вам нужно серьезно подумать о своем индексе. Подумайте о корне и убедитесь, что у вас есть тот номер элемента, чтобы вытащить его, хорошо? Вы не можете просто использовать тот же подход, что и этот, умноженный на корень чего угодно. Тебе действительно нужно поразмыслить над этим, скажи хорошо. У меня пятый корень, поэтому мне понадобится 5 элементов для всего, что есть под рукой.

Рациональные экспоненты

Определение рациональных экспонентов

До сих пор экспоненты были ограничены целыми числами.В этом разделе мы определим, какие рациональные (или дробные) показатели степени Дробный показатель m / n , который указывает радикал с индексом n и показателем m : am / n = amn. имею ввиду и как с ними работать. Применяются все правила для экспонентов, разработанные до этого момента. В частности, вспомните правило произведения для экспонент. Учитывая любые рациональные числа m и n , тогда

Например, если у нас показатель степени 12, то правило произведения для показателей подразумевает следующее:

Здесь 51/2 — это один из двух равных делителей 5; следовательно, это квадратный корень из 5, и мы можем написать

Кроме того, мы можем видеть, что 21/3 — это один из трех равных делителей 2.

Следовательно, 21/3 — это кубический корень из 2, и мы можем написать

В общем случае это верно, учитывая любое ненулевое действительное число a ,

Другими словами, знаменатель дробной экспоненты определяет индекс корня n -й степени.

Пример 1: Перепишите как радикал.

а. 71/2

г.71/3

Решение:

а. 71/2 = 7

г. 71/3 = 73

Пример 2: Перепишите как радикал, а затем упростите.

а. 811/2

г. 811/4

Решение:

а. 811/2 = 81 = 9

г. 811/4 = 814 = 344 = 3

Пример 3: Перепишите как радикал, а затем упростите.

а. (125×3) 1/3

г. (−32y10) 1/5

Решение:

а.

г.

Затем рассмотрим дробные показатели, где числитель является целым числом, отличным от 1. Например, рассмотрим следующее:

Это показывает, что 52/3 является одним из трех равных делителей 52. Другими словами, 52/3 является кубическим корнем из 52, и мы можем записать:

Как правило, при любом действительном числе на ,

Выражение с рациональной степенью эквивалентно радикалу, где знаменатель — это индекс, а числитель — это показатель степени.Любое радикальное выражение может быть записано с рациональной степенью, которую мы называем экспоненциальной формой Эквивалентное выражение, записанное с использованием рациональной экспоненты ..

Пример 4: Перепишите как радикал.

а. 72/5

г. 23/4

Решение:

а. 72/5 = 725 = 495

г. 23/4 = 234 = 84

Пример 5: Перепишите как радикал, а затем упростите.

а. 82/3

г. (32) 3/5

Решение:

а.

г. Часто можно избежать очень больших целых чисел, работая с их разложением на простые множители.

Учитывая радикальное выражение, нас попросят найти эквивалент в экспоненциальной форме. Предположим, что все переменные положительны.

Пример 6: Перепишите, используя рациональные показатели: x23.

Решение: Здесь индекс равен 3, а степень равна 2. Мы можем написать

Ответ: x2 / 3

Пример 7: Перепишите, используя рациональные показатели: y36.

Решение: Здесь индекс равен 6, а степень равна 3. Мы можем написать

Ответ: y1 / 2

Важно отметить, что следующие эквиваленты.

Другими словами, не имеет значения, применяем ли мы сначала мощность или сначала корень. Например, мы можем применить мощность перед корнем:

Или мы можем применить корень n th перед power:

Результаты такие же.

Пример 8: Перепишем как радикал, а затем упростим: (−8) 2/3.

Решение: Здесь индекс равен 3, а степень равна 2.(2/3) ≈1,587, мы бы набрали

Операции с использованием правил экспонент

В этом разделе мы рассмотрим все правила экспонент, которые распространяются на рациональные показатели. Если даны любые рациональные числа m и n , то мы имеем

Правило продукта: xm⋅xn = xm + n
Правило частного: xmxn = xm − n, x ≠ 0
Правило власти: (xm) n = xm⋅n
Правило мощности для продукта: (ху) п = xnyn
Правило степени для частного: (ху) п = xnyn, у ≠ 0
Отрицательные показатели: х − n = 1xn
Нулевой показатель степени: х0 = 1, х ≠ 0

Эти правила позволяют нам выполнять операции с рациональными показателями.

Пример 9: Упростить: 22 / 3⋅21 / 6.

Решение:

Ответ: 25/6

Пример 10: Упростить: x1 / 2×1 / 3.

Решение:

Ответ: x1 / 6

Пример 11: Упростить: (y3 / 4) 2/3.

Решение:

Ответ: y1 / 2

Пример 12: Упростить: (16a4b8) 3/4.

Решение:

Ответ: 8a3b6

Пример 13: Упростить: 25-3 / 2.

Решение:

Ответ: 1/125

Попробуй! Упростить: (8a3 / 4b3) 2 / 3a1 / 3.

Ответ: 4a1 / 6b2

Радикальные выражения с разными индексами

Чтобы применить правило произведения или частного для радикалов, индексы участвующих радикалов должны быть одинаковыми.Если индексы разные, то сначала перепишите радикалы в экспоненциальной форме, а затем примените правила для показателей.

Пример 14: Умножить: 2⋅23.

Решение: В этом примере индекс каждого радикального фактора отличается. Следовательно, правило произведения для радикалов не применяется. Начните с преобразования радикалов в эквивалентную форму с помощью рациональных показателей. Затем примените правило произведения для экспонент.

Ответ: 256

Пример 15: Разделить: 4325.

Решение: В этом примере индекс радикала в числителе отличается от индекса радикала в знаменателе. Следовательно, правило частного для радикалов не применяется. Начните с преобразования радикалов в эквивалентную форму с использованием рациональных показателей степени, а затем примените правило частного для показателей.

Ответ: 2715

Пример 16: Упростить: 43.

Решение: Здесь подкоренное выражение квадратного корня — это кубический корень.Переписав это выражение с использованием рациональных показателей, мы увидим, что применяется правило степеней для показателей.

Ответ: 23

Ключевые выводы

  • При преобразовании дробных показателей в радикалы используйте числитель в качестве степени, а знаменатель — в качестве индекса радикала.
  • Все правила экспонент применяются к выражениям с рациональными показателями.

Тематические упражнения

Часть A: Рациональные экспоненты

Экспресс с использованием рациональных показателей.

1. 6

2. 10

3. 113

4. 24

5. 523

6. 234

7. x5

8. x6

9. x76

10. х45

Экспресс в радикальной форме.

11. 21/2

12. 51/3

13. 72/3

14.23/5

15. x3 / 4

16. x5 / 6

17. х − 1/2

18. х − 3/4

19. (1x) −1/3

20. (1x) −3/5

Напишите радикал, а затем упростите.

21. 251/2

22. 361/2

23. 1211/2

24. 1441/2

25. (14) 1/2

26.(49) 1/2

27. 4−1 / 2

28. 9−1 / 2

29. (14) −1/2

30. (116) −1/2

31. 81/3

32. 1251/3

33. (127) 1/3

34. (8125) 1/3

35. (−27) 1/3

36. (−64) 1/3

37. 161/4

38. 6251/4

39. 81−1 / 4

40.16−1 / 4

41. 100,0001 / 5

42. (−32) 1/5

43. (132) 1/5

44. (1243) 1/5

45. 93/2

46. 43/2

47. 85/3

48. 272/3

49. 163/2

50. 322/5

51. (116) 3/4

52. (181) 3/4

53. (−27) 2/3

54.(2/3) года «. Помогите Марку определить, сколько лет Марси.

Часть B: Рациональные экспоненты

Выполняйте операции и упрощайте. Оставляйте ответы в экспоненциальной форме.

65. 22 / 3⋅24 / 3

66. 33 / 2–31 / 2

67. 51 / 2⋅51 / 3

68. 21 / 6–23 / 4

69. y1 / 4⋅y2 / 5

70. x1 / 2⋅x1 / 4

71. 57/351/3

72.29/221/2

73. 2a2 / 3a1 / 6

74. 3b1 / 2b1 / 3

75. (81/2) 2/3

76. (36) 2/3

77. (x2 / 3) 1/2

78. (y3 / 4) 4/5

79. (4x2y4) 1/2

80. (9x6y2) 1/2

81. (2×1 / 3y2 / 3) 3

82. (8×3 / 2y1 / 2) 2

83. (a3 / 4a1 / 2) 4/3

84. (b4 / 5b1 / 10) 10/3

85.(4×2 / 3y4) 1/2

86. (27×3 / 4y9) 1/3

87. y1 / 2⋅y2 / 3y1 / 6

88. x2 / 5⋅x1 / 2×1 / 10

89. xyx1 / 2y1 / 3

90. x5 / 4yxy2 / 5

91. 49a5 / 7b3 / 27a3 / 7b1 / 4

92. 16a5 / 6b5 / 48a1 / 2b2 / 3

93. (9×2 / 3y6) 3 / 2×1 / 2y

94. (125x3y3 / 5) 2 / 3xy1 / 3

95. (27a1 / 4b3 / 2) 2 / 3a1 / 6b1 / 2

96.(25a2 / 3b4 / 3) 3 / 2a1 / 6b1 / 3

Часть C: Смешанные индексы

Выполните операции.

97. 93⋅35

98. 5⋅255

99. x⋅x3

100. y⋅y4

101. x23⋅x4

102. x35⋅x3

103. 100310

104. 16543

105. a23a

106. b45b3

107.x23x35

108. x34x23

109,165

110. 93

111. 253

112. 553

113,73

114. 33

Часть D: Обсуждение

115. Кому принадлежит заслуга в разработке обозначений для рациональных показателей? Какие еще его достижения?

116. При использовании текста лучше всего передавать корни n -й степени, используя рациональные показатели.Привести пример.

ответов

1: 61/2

3: 111/3

5: 52/3

7: x1 / 5

9: x7 / 6

11: 2

13: 723

15: x34

17: 1x

19: x3

21: 5

23: 11

25: 1/2

27: 1/2

29: 2

31: 2

33: 1/3

35: −3

37: 2

39: 1/3

41: 10

43: 1/2

45: 27

47: 32

49: 64

51: 1/8

53: 9

55: −8

57: 1.68

59: 1,38

61: Неверное число

63: В первом выражении квадратный корень отрицательного числа создает ошибку в калькуляторе. Квадратный корень отрицательного числа не является действительным. Во втором выражении, из-за порядка операций, отрицательный знак применяется к ответу после того, как 4 возведено в степень (3/2).

65: 4

67: 55/6

69: y13 / 20

71: 25

73: 2a1 / 2

75: 2

77: x1 / 3

79: 2xy2

81: 8xy2

83: a1 / 3

85: 2×1 / 3y2

87: y

89: x1 / 2y2 / 3

91: 7×2 / 7y5 / 4

93: 27×1 / 2y8

95: 9b1 / 2

97: 31315

99: x56

101: x1112

103: 106

105: a6

107: x15

109: 45

111: 215

113: 76

корней

А

квадратный корень

ряда

б

, написано

б

, является решением уравнения

Икс

2

знак равно

б

.

Пример:

49

знак равно

7

, так как

7

2

знак равно

49

.

Точно так же

кубический корень

ряда

б

, написано

б

3

, является решением уравнения

Икс

3

знак равно

б

.

Пример:

64

3

знак равно

4

, так как

4

3

знак равно

64

.

В более общем плане

п

th

корень

б

, написано

б

п

, это число

Икс

что удовлетворяет

Икс

п

знак равно

б

.

В

п

th

root также можно записать в виде дробной экспоненты:

б

п

знак равно

б

1

п

Когда

п

th

корень существует, а сколько их?

Если вы работаете только в системе счисления, тогда

  • Если

    п

    четное целое число,

    п

    th

    корень

    б

    существует всякий раз, когда

    б

    положительный

    ; и для всех

    б

    .

  • Если

    п

    нечетное целое число,

    п

    th

    корень

    б

    существует для всех

    б


Примеры:

81 год

4

не настоящее число.

32

5

знак равно

2

Если вы работаете в

комплексная система счисления

, тогда все становится еще сложнее.

Здесь

каждый

номер имеет

2

квадратные корни,

3

кубические корни,

4

четвертые корни,

5

пятый корень и т. д.

Например,

4

корни четвертой степени числа

81 год

находятся

3

,

3

,

3

я

а также

3

я

. Так как:

3

4

знак равно

81 год

(

3

)

4

знак равно

81 год

(

3

я

)

4

знак равно

3

4

я

4

знак равно

81 год

(

3

я

)

4

знак равно

(

3

)

4

я

4

знак равно

81 год

радикалов и рациональных показателей

радикалов и рациональных показателей

радикалов и рациональных показателей

рациональных показателей и N

th корней

Рассмотрим на мгновение возможность рациональных показателей, то есть показателей, которые могут принимать рациональные (т.{\ textrm {th}} $ power как множитель, отличный от $ \ pm 1 $

  • подкоренное выражение не содержит дробей
  • в знаменателе нет радикалов
  • Наличие радикального выражения в такой форме обычно упрощает приближение его значения.

    Напомним, любое радикальное выражение всегда можно переписать, используя рациональные показатели. Таким образом, мы можем вывести некоторые удобные правила для упрощения радикальных выражений непосредственно из некоторых соответствующих правил работы с показателями степени.{\ frac {1} {mn}}} $ мы видим, что
    $$ \ в штучной упаковке {\ displaystyle {\ sqrt [m] {\ sqrt [n] {x}} = \ sqrt [m n] {x}}} $$

    8.2: Определить и упростить корни

    Цели обучения

    • Квадратные корни
      • Используйте запись квадратного корня для записи главных квадратных корней
      • Упростите главные квадратные корни с помощью факторизации
    • Корни куба
      • Использовать нотацию корня куба для записи корней куба
      • Упростить корни куба с помощью факторизации
    • Упростите квадратные корни
      • Упростите квадратные корни с помощью переменных
      • Определите, когда для упрощенного корня требуется абсолютное значение
    • Рациональные экспоненты
      • Преобразование между радикальной нотацией и показателем
      • Используйте законы показателей для упрощения выражений с рациональными показателями
      • Используйте рациональные показатели для упрощения радикальных выражений

    Мы умеем возводить в квадрат число:

    \ (\ влево (-5 \ вправо) ^ 2 = 25 \)

    Извлечение квадратного корня противоположно возведению в квадрат, поэтому мы можем сделать следующие утверждения:

    • 5 — неотрицательный квадратный корень из 25
    • -5 — отрицательный квадратный корень из 25

    Найдите квадратные корни из следующих чисел:

    1. 36
    2. 81
    3. -49
    4. 0
    1. Мы хотим найти число, квадрат которого равен 36.2 = 81 \), поэтому неотрицательный квадратный корень из 81 равен 9, а отрицательный квадратный корень из 81 равен -9
    2. .

    3. Мы хотим найти число, квадрат которого равен -49. Когда вы возводите в квадрат действительное число, результат всегда положительный. Остановитесь и подумайте об этом на секунду. Само отрицательное число, умноженное на себя, является положительным, а положительное число, умноженное на само, положительно. Следовательно, -49 не имеет квадратных корней, у этого вопроса нет вещественных решений.
    4. Мы хотим найти число, квадрат которого равен 0.2 = 0 \), поэтому неотрицательный квадратный корень из 0 равен 0. Мы не присваиваем 0 знак, поэтому он имеет только один квадратный корень, и это 0.

    Обозначение, которое мы используем для выражения квадратного корня для любого действительного числа a, выглядит следующим образом:

    Запись квадратного корня

    Символ квадратного корня называется радикальным символом . Для действительного числа a квадратный корень из a записывается как \ (\ sqrt {a} \)

    Число, которое написано под радикальным символом, называется подкоренным числом .

    По определению, символ квадратного корня \ (\ sqrt {\ hphantom {5}} \) всегда означает нахождение неотрицательного корня, называемого главным корнем .

    \ (\ sqrt {a} \) определено для \ (a> 0 \)

    Давайте рассмотрим пример, аналогичный приведенному выше, но на этот раз с использованием записи квадратного корня. Обратите внимание, что использование записи квадратного корня означает, что вы находите только главный корень — неотрицательный корень.

    Пример

    Упростите следующие квадратные корни:

    1. \ (\ sqrt {16} \)
    2. \ (\ sqrt {9} \)
    3. \ (\ sqrt {-9} \)
    4. \ (\ sqrt {5 ^ 2} \)

    [show-answer q = ”614386 ″] Показать решение [/ show-answer]
    [hidden-answer a =” 614386 ″]

    1. \ (\ sqrt {16} = 4 \).2} = a \) означает нахождение главного квадратного корня.

      Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=140

      Что делать, если вы работаете с числом, квадрат которого вы не знаете сразу? Мы можем использовать факторинг и правило произведения для квадратных корней, чтобы найти квадратные корни, такие как \ (\ sqrt {225} \).

      Правило произведения для квадратных корней

      Учитывая, что a и b — неотрицательные действительные числа, \ (\ sqrt {a \ cdot {b}} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} \)

      В следующих примерах мы объединим эти идеи, чтобы упростить квадратные корни из чисел, которые не очевидны на первый взгляд:

      • квадратный корень из квадрата,
      • правило произведения для квадратных корней
      • факторинг

      Пример

      Упростить \ (\ sqrt {144} \)

      [show-answer q = ”620082 ″] Показать решение [/ show-answer]
      [hidden-answer a =” 620082 ″]

      Определите простые множители 144.2} \\\\ = 2 \ cdot3 \ cdot2 \\\\ = 12 \ end {array} \)

      Ответ

      \ (\ sqrt {144} = 12 \)

      [/ hidden-answer]

      Пример

      Упростить \ (\ sqrt {225} \)
      [показать-ответ q = ”686109 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
      [скрытый-ответ a =” 686109 ″]

      Во-первых, фактор 225:

      \ (\ begin {array} {c} \ sqrt {225} \\\\ = \ sqrt {5 \ cdot45} \\\\ = \ sqrt {5 \ cdot5 \ cdot9} \\\\ = \ sqrt {5 \ cdot5 \ cdot3 \ cdot3} \ end {array} \)

      Поскольку мы находим квадратный корень, мы группируем эти множители в квадраты.2} \\\\ = 5 \ cdot3 = 15 \ end {array} \)

      Ответ

      \ (\ sqrt {225} = 15 \)

      [/ hidden-answer]

      Осторожно! Квадратный корень из правила произведения применяется, когда у вас есть умножение ТОЛЬКО на квадратный корень. Вы не можете применить правило к суммам:

      \ (\ sqrt {a + b} \ ne \ sqrt {a} + \ sqrt {b} \)

      Докажите это себе с помощью некоторых действительных чисел: пусть a = 64 и b = 36, затем используйте порядок операций, чтобы упростить каждое выражение.

      \ (\ begin {array} {c} \ sqrt {64 + 36} = \ sqrt {100} = 10 \\\\\ sqrt {64} + \ sqrt {36} = 8 + 6 = 14 \\\\ 10 \ ne14 \ end {array} \)

      До сих пор вы видели примеры, которые представляют собой идеальные квадраты. То есть каждое из них представляет собой число, квадратный корень которого является целым числом. Но многие радикальные выражения не являются идеальными квадратами. Некоторые из этих радикалов все еще можно упростить, найдя точные квадратные множители. В приведенном ниже примере показано, как разложить на множители подкоренное выражение, ища пары факторов, которые можно выразить в виде квадрата.2} \\\\ = \ sqrt {7} \ cdot3 \)

      Поскольку 7 — простое число и мы не можем записать его в виде квадрата, оно должно оставаться под знаком корня. По соглашению мы пишем константу 3 перед радикалом. Это помогает читателю понять, что тройка больше не находится под радикалом.

      \ (3 \ cdot \ sqrt {7} \)

      Ответ

      \ (\ sqrt {63} = 3 \ sqrt {7} \)

      [/ hidden-answer]

      Окончательный ответ \ (3 \ sqrt {7} \) может показаться немного странным, но он дан в упрощенной форме.2} \ cdot \ sqrt {5} \\\\ = 10 \ cdot4 \ cdot \ sqrt {5} \)

      Умножить.

      \ (20 \ cdot \ sqrt {5} \)

      Ответ

      \ (\ sqrt {2,000} = 20 \ sqrt {5} \)

      [/ hidden-answer]

      В этом последнем видео мы показываем примеры упрощающих радикалов, которые не являются идеальными квадратами.

      Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=140

      Кубические корни

      Цюн Рубика

      Хотя квадратные корни, вероятно, являются наиболее распространенным радикалом, вы также можете найти корень третьей, пятой, десятой или любой другой n -й корень числа.3 = 27 \)

    2. Мы хотим найти число, куб которого равен 8. \ (2 \ cdot2 \ cdot2 = 8 \) кубический корень из 8 равен 2.
    3. Мы хотим найти число, куб которого равен -8. Мы знаем, что 2 — это кубический корень из 8, поэтому, возможно, мы можем попробовать -2. \ (- 2 \ cdot {-2} \ cdot {-2} = — 8 \), поэтому кубический корень -8 равен -2. Это отличается от квадратного корня, потому что умножение трех отрицательных чисел вместе дает отрицательное число.
    4. Мы хотим найти число, куб которого равен 0. \ (0 \) сам по себе, вы всегда получите \ (0 \).

    Кубический корень числа записывается с помощью небольшого числа 3, называемого индексом , сразу за радикальным символом и над ним. Это похоже на \ (\ sqrt [3] \). Эта маленькая тройка отличает кубические корни от квадратных корней, которые записываются без маленького числа снаружи и над символом корня.

    \ (3 \ sqrt {x} \), три умножить на , получится квадратный корень из x . Сначала они могут выглядеть похожими, но они приводят вас к совершенно разным выражениям!

    Мы также можем использовать факторинг для упрощения кубических корней, например \ (\ sqrt [3] {125} \).Вы можете прочитать это как «корень третьей степени из 125» или «кубический корень из 125». Чтобы упростить это выражение, найдите число, которое при умножении на себя два раза (всего три одинаковых множителя) равно 125. Давайте разложим 125 на множители и найдем это число.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [3] {125} \)

    [показать-ответ q = ”517592 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 517592 ″] 125 оканчивается на 5, так что вы знаете, что 5 — фактор. Разверните 125 в \ (5 \ cdot25 \).{3} \). Кубический корень числа в кубе — это само число, поэтому \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [3] / div / p [3] / span, строка 1, столбец 3
     

    = 5 \). Вы нашли кубический корень, три одинаковых множителя, которые при умножении дают 125. 125 известен как идеальный куб , потому что его кубический корень является целым числом.

    Вот пример того, как упростить радикал, который не является идеальным кубом.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [3] {32

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [1] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [показать-ответ q = ”617053 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 617053 ″] Разложите 32 на простые множители.

    \ (\ sqrt [3] {2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [3] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \)

    Поскольку вы ищете кубический корень, вам нужно найти множители, которые появляются 3 раза под корнем. Rewrite \ (

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [4] / span, строка 1, столбец 2
     

    \).

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [5] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    Rewrite \ (

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [6] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [6] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \).

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [7] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    Перепишем выражение как произведение нескольких радикалов.

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [9] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [3] {2 \ cdot 2} \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [9] / span [2], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [9] / span [3], строка 1, столбец 3
     

    \)

    Упрощайте и умножайте.

    \ (2 \ cdot \ sqrt [3] {4} \ cdot m \ cdot \ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / p [11] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    Ответ

    \ (\ sqrt [3] {32

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    } = 2 м \ sqrt [3] {4ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [/ hidden-answer]

    В приведенном ниже примере мы используем следующую идею:

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [4] / div / p [4] / span, строка 1, столбец 6
     

    = -1 \)

    для упрощения радикала.Вам не обязательно этого делать, но это может помочь вам легче распознать кубики, если они неотрицательны.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [3] {- 27

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [показать-ответ q = ”670300 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 670300 ″] Разложите выражение на кубики.

    Разделите кубические множители на отдельные радикалы.

    \ (\ begin {array} {r} \ sqrt [3] {- 1 \ cdot 27 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [4] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [4] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } \\\ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [4] / span [3], строка 1, столбец 6
     

    \\\ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [4] / span [4], строка 1, столбец 6
     

    \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [4] / span [5], строка 1, столбец 5
     

    \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [4] / span [6], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [3] {x} \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / p [4] / span [7], строка 1, столбец 3
     

    \ конец {массив} \)

    Упростите кубические корни.

    \ (- 1 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y \ cdot \ sqrt [3] {x} \)

    Ответ

    \ (\ sqrt [3] {- 27

    ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } = — 3xy \ sqrt [3] {x} \)

    [/ hidden-answer]

    В следующем видео мы покажем больше примеров упрощения кубических корней.

    Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=140

    Вы можете проверить свой ответ, выполнив обратную операцию. Если вы правы, при создании куба \ (- 27

    ParseError: ожидался EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [4] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [4] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \).

    \ (\ begin {array} {l} \ left (-3xy \ sqrt [3] {x} \ right) \ left (-3xy \ sqrt [3] {x} \ right) \ left (-3xy \ sqrt [ 3] {x} \ right) \\ — 3 \ cdot -3 \ cdot -3 \ cdot x \ cdot x \ cdot x \ cdot y \ cdot y \ cdot y \ cdot \ sqrt [3] {x} \ cdot \ sqrt [3] {x} \ cdot \ sqrt [3] {x} \\ — 27 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [5] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [5] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [5] / span [3], строка 1, столбец 3
     

    \\ — 27ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [5] / span [4], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [5] / span [5], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot x \\ — 27ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [5] / span [6], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [5] / div / p [5] / span [7], строка 1, столбец 2
     

    \ конец {массив} \)

    Вы можете найти нечетный корень отрицательного числа, но не можете найти четный корень отрицательного числа. Это означает, что вы можете упростить радикалы \ (\ sqrt [7] {- 2187} \), но не можете упростить радикалы \ (\ sqrt [6] {- 2,500} \).

    Давайте посмотрим на другой пример.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [3] {- 24

    ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [1] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [раскрыть-ответ q = ”473861 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 473861 ″] Фактор \ (- 1 \) и 8 — идеальные кубики.

    \ (\ sqrt [3] {- 1 \ cdot 8 \ cdot 3 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [3] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \)

    Факторные переменные.{2} \).

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [5] / span, строка 1, столбец 6
     

    \)

    Разделите факторы на отдельные радикалы.

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [7] / span [1], строка 1, столбец 6
     

    \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [7] / span [2], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [7] / span [3], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [3] {3 \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [7] / span [4], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    Упростите, используя свойство \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [8] / span, строка 1, столбец 3
     

    = х \).

    \ (- 1 \ cdot 2 \ cdot a \ cdot \ sqrt [3] {3 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [9] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \)

    Это простейшая форма этого выражения; все кубики были вытащены из радикального выражения.

    \ (- 2a \ sqrt [3] {3

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / p [11] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \)

    Ответ

    \ (\ sqrt [3] {- 24

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [1] / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    } = — 2a \ sqrt [3] {3ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [1] / p [1] / span [2 ], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [/ hidden-answer]

    Шаги, которые следует учитывать при упрощении радикала, описаны ниже.

    Упрощение радикала

    При работе с экспонентами и радикалами:

    • Если n нечетное, \ (\ sqrt [n] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для получения подробностей)
       Стек вызовов:
          в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [1] / div / div / ul / li [ 1] / span, строка 1, столбец 3
       

      = х \).

    • Если n четное, \ (\ sqrt [n] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)
       Стек вызовов:
          в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [1] / div / div / ul / li [2] / span, строка 1, столбец 3
       

      = \ влево | х \ право | \). (Абсолютное значение учитывает тот факт, что если x отрицательно и возведено в четную степень, это число будет положительным, как и главный корень n -й степени этого числа.)

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt {100

    ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / p [1] / span [2 ], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [раскрыть-ответ q = ”982628 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 982628 ″] Разделить факторы; ищите числа и переменные в квадрате.Разложите 100 на \ (10 ​​\ cdot10 \).

    \ (\ sqrt {10 \ cdot 10 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / p [3] / span [1 ], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{2} \). 

    \ (\ sqrt {10 \ cdot 10 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / p [5] / span [1 ], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot ParseError: "}" ожидается (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / p [5] / span [2 ], строка 1, столбец 3
     

    } \)

    Разделите квадратные множители на отдельные радикалы.

    \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / p [7] / span [1 ], строка 1, столбец 4
     

    \ cdot \ sqrtParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / p [7] / span [2 ], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrtParseError: "}" ожидается (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{2} \)
         

    Ответ

    \ (\ sqrt {100

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } = 10 \ left | x \ right | ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / div / p [1] / span [3], строка 1, столбец 2
     

    \)

    [/ hidden-answer]

    Вы можете проверить свой ответ, возведя его в квадрат, чтобы убедиться, что он равен \ (100

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / div / p [3] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [2] / div / p [3] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \).

    В последнем видео мы приводим примеры нахождения кубических корней с отрицательными подкоренными элементами.

    Элемент YouTube был исключен из этой версии текста.Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=140

    Упростите квадратный корень с помощью переменных

    Радикальные выражения - это выражения, содержащие радикалы. Радикальные выражения бывают разных форм, от простых до знакомых, например \ (\ sqrt [3] {250

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [11] / p / span, строка 1, столбец 2
     

    г} \).Используя факторинг, вы также можете упростить эти радикальные выражения.

    Радикал

    Упрощение квадратного корня

    Радикальные выражения иногда включают не только числа, но и переменные. Рассмотрим выражение \ (\ sqrt {9

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / p [1] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \).Упростить радикальное выражение с помощью переменных не так просто, как в уже показанных нами примерах с целыми числами.

    Рассмотрим выражение \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / p [2] / span, строка 1, столбец 3
     

    \). Похоже, оно должно быть равно x , верно? Давайте проверим некоторые значения для x и посмотрим, что произойдет.

    В приведенной ниже таблице просмотрите каждую строку и определите, совпадает ли значение x со значением \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / p [3] / span, строка 1, столбец 3
     

    \). Где они равны? Где они не равны?

    После этого для каждой строки посмотрите еще раз и определите, соответствует ли значение \ (\ left | x \ right | \).{2}} = \ left | x \ right | \).

    Примеры: \ (\ sqrt {16

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [1] / div / p [2] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [1] / div / p [2] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } = 4 \ влево | ху \ вправо | \)

    Давай попробуем.
    Цель состоит в том, чтобы найти множители под корнем, которые являются точными квадратами, чтобы вы могли извлечь из них квадратный корень.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt {9

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / p [1] / span, строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [show-answer q = ”41297 ″] Показать решение [/ show-answer]
    [hidden-answer a =” 41297 ″] Фактор для поиска идентичных пар.

    \ (\ sqrt {3 \ cdot 3 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8. 2 \) 

    \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / p [5] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    Разделить на отдельные радикалы.

    \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / p [7] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrtParseError: "}" ожидается (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / p [7] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \)

    Упростите, используя правило \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / p [8] / span, строка 1, столбец 3
     

    = \ влево | х \ вправо | \).

    \ (3 \ left |

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / p [9] / span, строка 1, столбец 2
     

    \ справа | \)

    Ответ

    \ (\ sqrt {9

    ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    } = 3 \ left | ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \ справа | \)

    [/ hidden-answer]

    Переменные множители с четными показателями можно записать в виде квадратов. В приведенном выше примере \ (

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / div / p [3] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    = ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{2} \) и
       

    \ (

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / div / p [4] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    = ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [2] / div / p [4] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \ cdotParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{2} \).
       

    Попробуем упростить другое радикальное выражение.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt {49

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{4} \). 

    \ (\ sqrt {7 \ cdot 7 \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [3] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ cdotParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [3] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \ cdotParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [3] / span [3], строка 1, столбец 2
     

    \ cdotParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [3] / span [4], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    Записываем пары квадратами.

    \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.2} \)
         

    Извлеките квадратный корень из каждого радикала, используя правило \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [8] / span, строка 1, столбец 3
     

    = \ влево | х \ вправо | \).

    \ (7 \ cdot \ left |

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [9] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ right | \ cdotParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [9] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \)

    Умножить.

    \ (7 \ left |

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [11] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ right | ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [11] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \)

    Ответ

    \ (\ sqrt {49

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } = 7 \ left | ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [1] / span [3], строка 1, столбец 2
     

    \ right | ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [1] / span [4], строка 1, столбец 2
     

    \)

    [/ hidden-answer]

    Вы обнаружите, что квадратный корень из \ (7 \ left |

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ right | ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \). Чтобы проверить этот расчет, вы можете возвести в квадрат \ (49ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [3], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [4], строка 1, столбец 2
     

    \). Фактически, вы получили бы это выражение, если бы вычислили \ ({\ left ({7 \ left | ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack):
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{2}} \).
       

    В следующем видео мы покажем несколько примеров упрощения радикалов с помощью переменных.

    Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=140

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [1] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    [show-answer q = ”141094 ″] Показать решение [/ show-answer]
    [hidden-answer a =” 141094 ″] Фактор для поиска переменных с четными показателями.{2} \).

    \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [5] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    Разделите квадратные множители на отдельные радикалы.

    \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [7] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrtParseError: "}" ожидается (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [7] / span [2], строка 1, столбец 4
     

    \ cdot \ sqrtParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [7] / span [3], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt {а \ cdot b} \)

    Извлеките квадратный корень из каждого радикала. Помните, что \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [8] / span, строка 1, столбец 3
     

    = \ влево | а \ право | \).

    \ (\ left | a \ right | \ cdot

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.2 \) в любом случае будет положительным. 

    \ (\ left |

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [11] / span, строка 1, столбец 2
     

    c \ right | \ sqrt {ab} \)

    Ответ

    \ (\ sqrt

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    = \ влево | aParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    c \ right | \ sqrt {ab} \)

    [/ hidden-answer]

    В следующем разделе мы исследуем кубические корни и воспользуемся показанными здесь методами для их упрощения.Кубические корни отличаются от квадратных корней тем, что под корнем может быть отрицательное число, например \ (\ sqrt [3] {- 125} \).

    Рациональные экспоненты

    Корни также могут быть выражены дробными показателями. Квадратный корень из числа может быть записан с помощью символа корня или возведением числа в степень \ (\ frac {1} {2} \). Это показано в таблице ниже.

    Форма экспоненты Корневая форма Корень квадрата Упрощенный
    \ (\ sqrt {25} \) \ (ParseError: ожидается EOF (подробности можно узнать по телефону):

    )
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [1] / tbody / tr [1] / td [2] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    \ (\ sqrtParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [1] / tbody / tr [1] / td [3] / td [3] / , строка 1, столбец 3
     

    \)

    4
    \ (\ sqrt {100} \) \ (\ sqrtParseError: ожидается двоеточие (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [1] / tbody / tr [2] / td [2] / span, строка 1, столбец 4
     

    \)

    10

    Используйте приведенный ниже пример, чтобы ознакомиться с различными способами записи квадратных корней.

    Пример

    Заполните недостающие ячейки в таблице.

    912RT \ ожидаемая ошибка щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / div [1] / table [1] / tbody / tr [2] / td [3] / span, строка 1, столбец 4
     

    \)

    Экспонентная форма Корневая форма Корень квадрата Упрощенный
    \ (\ sqrt {81} \)

    [show-answer q = ”9

    ″] Показать решение [/ show-answer]
    [hidden-answer a =” 9

    ″]

    Форма экспоненты Корневая форма Корень квадрата Упрощенный
    \ (\ sqrt {36} \) \ (ParseError: ожидается EOF (подробности можно узнать по телефону):

    )
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / div [1] / table [2] / tbody / tr [1] / td [2] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    \ (\ sqrtParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8. {\ frac {1} {2}} \) на кубические корни.Помните, что вычисление числа возводит его в степень до трех. Обратите внимание, что в этих примерах знаменателем рациональной экспоненты является число 3. 

    Радикальная форма

    Экспонентная форма

    Целое число

    \ (ParseError: ожидается EOF (подробности нажмите)
     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [2] / tbody / tr [1] / td [1] / td [1] / , строка 1, столбец 2
     

    \)

    2
    \ (ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [2] / tbody / tr [2] / td [1] / span, строка 1, столбец 4
     

    \)

    5
    \ (ParseError: ожидается EOF (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [2] / tbody / tr [3] / td [1] / td [1] / , строка 1, столбец 5
     

    \)

    10

    Эти примеры помогают нам смоделировать взаимосвязь между радикалами и рациональными показателями: а именно, что корень n -й степени числа может быть записан как \ (

    ParseError: ожидалось EOF (щелкните подробнее)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / p [5] / span, строка 1, столбец 2
     

    \).

    Радикальная форма

    Экспонентная форма

    \ (ParseError: ожидается EOF (подробности нажмите)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [1] / td / span, line , столбец 2
     

    \)

    \ (ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [2] / td / span, строка 1, столбец 2
     

    \)

    \ (ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [3] / td / span, line , столбец 2
     

    \)

    \ (ParseError: ожидается EOF (подробности нажмите)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [5] / td / span, строка 1, столбец 2
     

    \)

    Преобразование между радикальным и экспоненциальным представлением

    Столкнувшись с выражением, содержащим рациональную экспоненту, вы можете переписать его, используя радикал. В приведенной выше таблице обратите внимание, как знаменатель рациональной экспоненты определяет индекс корня. Итак, показатель степени \ (\ frac {1} {5} \) переводится в корень пятой степени или \ (\ frac {1} {8} \) переводится в корень восьмой степени, или \ (\ sqrt [8]

    ParseError : неверный DekiScript (нажмите, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / p / span, строка 1, столбец 1
     

    \).

    Пример

    Запись \ (\ sqrt [4] \) можно переписать как показатель степени \ (\ frac {1} {4} \). Удалите радикал и поместите показатель степени рядом с основанием.

    \ (

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [1] / p [2] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    Ответ

    \ (\ sqrt [3] {81} =

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [1] / div / p [1] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    [/ hidden-answer]

    Пример

    Ожидается

    Express \ (

    ParseError: ")" (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [2] / p [1] / span, строка 1, столбец 3
     

    \) в радикальной форме.

    [раскрыть-ответ q = ”581351 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 581351 ″] Перепишите выражение с дробной степенью как радикал.Знаменатель дроби определяет корень, в данном случае кубический корень.

    \ (\ sqrt [3] {2x} \)

    Скобки в \ (

    ParseError: недопустимый DekiScript (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [2] / p [4] / span, строка 1, столбец 1
     

    \) указывают на то, что показатель степени относится ко всему, что находится в круглых скобках.

    Ответ

    Ожидается

    \ (

    ParseError: ")" (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [2] / div / p [1] / span, строка 1, столбец 3
     

    = \ sqrt [3] {2x} \)

    [/ hidden-answer]

    Помните, что экспоненты относятся только к количеству непосредственно слева от них, если не используется символ группировки. Пример ниже очень похож на предыдущий с одним важным отличием - скобок нет! Посмотри, что происходит.

    Пример

    Express \ (2

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [3] / p [1] / span, строка 1, столбец 2
     

    \) в радикальной форме.

    [show-answer q = ”236347 ″] Показать решение [/ show-answer]
    [hidden-answer a =” 236347 ″] Перепишите выражение с дробной степенью как радикал.Знаменатель дроби определяет корень, в данном случае кубический корень.

    \ (2 \ sqrt {x} \)

    Показатель степени относится только к той части выражения, которая находится непосредственно слева от показателя степени, в данном случае x, , но не 2.

    Ответ

    \ (2

    ParseError: ожидается EOF (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [3] / div / p [1] / span, строка 1, столбец 2
     

    = 2 \ sqrt {x} \)

    [/ hidden-answer]

    Следующий пример предназначен для того, чтобы помочь вам попрактиковаться в размещении рациональной экспоненты на соответствующих членах в выражении, записанном в радикальной форме

    Пример

    Выражение \ (4 \ sqrt [3] {xy} \) с рациональными показателями.

    [показать-ответ q = ”527560 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 527560 ″] Перепишите радикал, используя рациональный показатель степени.Корень определяет дробь. В этом случае индекс радикала равен 3, поэтому рациональный показатель будет \ (\ frac {1} {3} \).

    \ (4

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [4] / p [3] / span, строка 1, столбец 5
     

    \)

    Поскольку 4 находится вне радикала, он не включается в символ группировки, и показатель степени не относится к нему.

    Ответ

    \ (4 \ sqrt [3] {xy} = 4

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [4] / div / p [1] / span, строка 1, столбец 5
     

    \)

    [/ hidden-answer]

    В следующем видео мы покажем примеры преобразования радикальной формы в показательную.

    Элемент YouTube был исключен из этой версии текста.{\ frac {1} {n}} \).

    Упрощение радикальных выражений с помощью рациональных экспонент и законов экспонент

    Давайте теперь исследуем некоторые радикальные выражения и посмотрим, как их упростить. Начнем с упрощения этого выражения: \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / p [1] / span, строка 1, столбец 3
     

    \).{3} \), как показано ниже в этом примере.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / p [1] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    [раскрыть-ответ q = ”235013 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 235013 ″] Перепишите, разложив кубики на множители.

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / p [3] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    Запишите каждый множитель под собственным радикалом и упростите.

    \ (\ begin {array} {r} \ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / p [5] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [3] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / p [5] / span [2], строка 1, столбец 3
     

    \\ a \ cdot {a} \ end {array} \)

    Ответ

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    = ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \)

    [/ hidden-answer]

    Вы также можете упростить это выражение, рассматривая радикал как выражение с рациональной экспонентой и используя принцип, согласно которому любой радикал в форме \ (

    ParseError: EOF ожидался (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / div / p [3] / span, строка 1, столбец 2
     

    \).

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [2] / p [1] / span, строка 1, столбец 3
     

    \)

    [раскрыть-ответ q = ”898415 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 898415 ″] Перепишите радикал, используя рациональный показатель степени.

    \ (

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [2] / p [3] / span, строка 1, столбец 2
     

    \)

    Упростите показатель степени.

    \ (

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [2] / p [5] / span, строка 1, столбец 2
     

    \)

    Ответ

    \ (\ sqrt [3]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [2] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    = ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{2} \). В зависимости от контекста проблемы может быть проще использовать тот или иной метод, но пока вы заметите, что вы смогли упростить это выражение быстрее, используя рациональные показатели, чем при использовании «вытягивания». метод. 

    Давайте попробуем другой пример.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [4] {81

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)
     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [раскрыть-ответ q = ”324337 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 324337 ″] Перепишите радикал, используя рациональные показатели.

    \ (

    ParseError: "}" ожидается (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [3] / span, строка 1, столбец 5
     

    \)

    Используйте правила экспонент, чтобы упростить выражение.

    \ (\ begin {array} {r}

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [3], строка 1, столбец 2
     

    \\ ParseError: ")" ожидается (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [4], строка 1, столбец 3
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [5], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [6], строка 1, столбец 2
     

    \\ ParseError: "}" ожидается (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [7], строка 1, столбец 3
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [8], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [9], строка 1, столбец 2
     

    \\ 3ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [10], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [5] / span [11], строка 1, столбец 2
     

    \ конец {массив} \)

    Заменить выражение с рациональной степенью обратно на радикальную форму.

    \ (3

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [7] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    \ sqrt [4] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / p [7] / span [2], строка 1, столбец 3
     

    \)

    Ответ

    \ (\ sqrt [4] {81

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / div / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / div / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } = 3ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / div / p [1] / span [3], строка 1, столбец 2
     

    \ sqrt [4] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [3] / div / p [1] / span [4], строка 1, столбец 3
     

    \)

    [/ hidden-answer]

    Опять же, альтернативный метод - работать над упрощением под корнем с использованием факторинга. Для примера, который вы только что решили, это выглядит так.

    Пример

    Упростить. \ (\ sqrt [4] {81

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [1] / span [1], строка 1, столбец 2
     

    ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [1] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    } \)

    [показать-ответ q = ”295348 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
    [скрытый-ответ a =” 295348 ″] Перепишите выражение.

    \ (\ sqrt [4] {81} \ cdot \ sqrt [4]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [3] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [4] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [3] / span [2], строка 1, столбец 3
     

    \)

    Разложите на множители каждое подкоренное выражение.

    \ (\ sqrt [4] {3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3} \ cdot \ sqrt [4]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [5] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [4] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [5] / span [2], строка 1, столбец 3
     

    \)

    Упростить.

    \ (\ begin {array} {r} \ sqrt [4]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [7] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    \ cdot \ sqrt [4] ParseError: "}" ожидается (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [7] / span [2], строка 1, столбец 4
     

    \ cdot \ sqrt [4] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [7] / span [3], строка 1, столбец 3
     

    \\ 3 \ cdot ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [4] / p [7] / span [4], строка 1, столбец 2
     

    \ cdot \ sqrt [4] ParseError: ожидается двоеточие (щелкните для подробностей)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.{3}} \)
         

    [/ hidden-answer]

    В следующем видео показано больше примеров того, как упростить радикальное выражение с помощью рациональных степеней.

    Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=140

    Сводка

    Квадратный корень числа - это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Главные квадратные корни всегда положительны, а квадратный корень из 0 равен 0.Вы можете извлечь квадратный корень только из неотрицательных значений. Квадратный корень из полного квадрата будет целым числом. Другие квадратные корни можно упростить, определив множители, которые являются точными квадратами, и взяв их квадратный корень.

    Радикальное выражение - это математический способ представления корня n -й степени числа. Квадратные корни и кубические корни являются наиболее распространенными радикалами, но корень может быть любым числом. Чтобы упростить радикальные выражения, ищите экспоненциальные множители внутри радикала, а затем используйте свойство \ (\ sqrt [n]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)
     Callstack:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [16] / p [2] / span, строка 1, столбец 3
     

    = \ влево | x \ right | \), если n - это даже, чтобы вытащить количества. При упрощении радикальных выражений применяются все правила целочисленных операций и экспонент.

    Радикал может быть выражен как выражение с дробной степенью, следуя соглашению \ (\ sqrt [n]

    ParseError: ожидается двоеточие (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) / 08: _Roots_and_Rational_Exponents / 8.02: _Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [16] / p [3] / span [1], строка 1, столбец 3
     

    = ParseError: ожидается EOF (щелкните, чтобы узнать подробности)

     Стек вызовов:
        в (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [16] / p [3] / span [2], строка 1, столбец 2
     

    \). Переписывание радикалов с использованием дробных показателей степени может быть полезно для упрощения некоторых радикальных выражений. При работе с дробными показателями помните, что дробные показатели подчиняются всем тем же правилам, что и другие показатели, когда они появляются в алгебраических выражениях.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2021 © Все права защищены.