Функция «Косинус-квадрат» — Исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена ​​в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Для функций, включающих углы (тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и т. Д.) мы следуем соглашению, согласно которому все углы измеряются в радианах. Так, например, угол измеряется как.

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции косинуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Основные данные

Двойные и полуугловые идентификаторы

Двойные и полуугловые идентичности

Частные случаи формул суммы и разности для синуса и косинуса дают то, что известно как двойное угловое тождество и полуугловое тождество .Во-первых, используя тождество суммы для синуса,

грех 2α = грех (α + α)

sin 2α = sin α cos α + cos α sin α

sin 2α = 2 sin α cos α

Аналогично косинусу

Используя тождество Пифагора, sin ² α + cos ² α = 1, можно получить два дополнительных косинусных тождества.

и

Тождества половинного угла для синуса и косинуса получены из двух тождеств косинуса, описанных ранее.

Знак двух предыдущих функций зависит от квадранта, в котором находится результирующий угол.

Пример 1: Найдите точное значение sin 105 °, используя тождество половинного угла.

При следующей проверке помните, что 105 ° находится во втором квадранте, а синусоидальные функции во втором квадранте положительны. Кроме того, 210 ° находится в третьем квадранте, а функции косинуса в третьем квадранте отрицательны. На Рисунке 1 контрольный треугольник 210 ° в третьем квадранте представляет собой треугольник 30 ° –60 ° –90 °.Следовательно, cos 210 ° = −cos 30 °.

Рисунок 1
Чертеж для примера 1.

Использование идентичности половинного угла для синуса,

Пример 2: Найдите точное значение cos 165 °, используя тождество половинного угла.

При следующей проверке помните, что 165 ° находится во втором квадранте, а функции косинуса во втором квадранте отрицательны. Кроме того, 330 ° находится в четвертом квадранте, а функции косинуса в четвертом квадранте положительны.На Рисунке 2 контрольный треугольник 330 ° в четвертом квадранте представляет собой треугольник 30 ° –60 ° –90 °. Следовательно, cos 330 ° = cos 30 °.

Рисунок 2
Чертеж для примера 2.

Используя тождество половинного угла для косинуса,

Пример 3: Используйте тождество двойного угла, чтобы найти точное значение для cos 2 x , учитывая, что sin x =.

Поскольку sin x положителен, угол x должен находиться в первом или втором квадранте.Знак cos 2 x будет зависеть от размера угла x . Если 0 ° < x <45 ° или 135 ° < x <180 °, то 2 x будет в первом или четвертом квадранте, а cos2 x будет положительным. С другой стороны, если 45 ° < x <90 ° или 90 ° < x <135 ”, то 2 x будет во втором или третьем квадранте, а cos 2 x будет отрицательным.

Пример 4: Проверить идентичность 1 — cos 2 x = tan x sin 2 x .

различные виды тригонометрической идентичности

Введение
Треугольники
Единичная окружность
Среднеквадратичный
Матрица вращения
Определитель
Ортонормированный базис
Комбинаторные тождества
Экспоненциальная функция
Алгебра
Факторизация
Параметризованные производные кривой
Интеграл
Сохранение энергии
Гиперболические аналоги
Обратная связь

Мы рассмотрим различные интерпретации указанного выше тождества.Более поздние части
это эссе не часто зависит от более ранних частей, поэтому не стесняйтесь бегать бегло
пропустите непонятный текст, пока не найдете то, что вам удобно.

Обычно идентичность понимается через Пифагора.
теорема. В прямоугольном треугольнике со сторонами
a , b , c и угол t при вершине
где a и c пересекаются, cos (t) по определению
a / c , sin (t) по определению b / c , и поэтому
cos ² (t) + sin ² (t) есть
(a / c) ² + (b / c) ² , что простым
алгебраические манипуляции
(a ² + b ² ) / c ² .Пифагор’
Теорема утверждает, что a ² + b ² является
c ² , так что это упрощается до 1.

Традиционно (то есть, как я это усвоил) следующим шагом является
поймите, что единичный круг с центром в (0,0) в
(x, y) плоскость определяется как
x ² + y ² = 1 . Вышеупомянутая идентичность затем может быть
интерпретируется как утверждение, что точка (cos (t), sin (t)) находится на
единичный круг.Кроме того, этот подход приводит к определению
cos (t) и sin (t) для всех реальных t .

Другой способ понять это тождество — использовать тригонометрические тождества.

Между прочим, эти личности в значительной степени выпрыгивают на вас из
глядя на графики y = cos ² (x) и y =
грех ² (х) .

Другой способ взглянуть на это — вспомнить, что среднеквадратичное значение
cos составляет 1 / √2 , как и среднеквадратичное значение
грех . Это означает, что cos ² составляет 1/2 +
вариация, и sin ² составляет 1/2 +
вариация , и удивительно вариация
cos ² — это как раз отрицательное значение вариации
грех ² . Собственно, это согласуется с тем, что
что sin и cos являются просто сдвинутыми по фазе версиями
друг друга, так что sin ² и
cos ² являются сдвинутыми по фазе версиями друг друга, поэтому
их вариации должны быть как-то связаны.
Так или иначе, теперь у нас есть это
cos ² (t) + sin ² (t) имеет вид (1/2
+ отклонение) + (1/2 — отклонение) , так что это 1 .

Еще один способ понять идентичность — использовать матрицы 2 на 2. В
линейная матрица, представляющая поворот против часовой стрелки на угол
т это

Матрица

имеет определитель ad-bc , поэтому матрица вращения имеет определитель
cos (t) cos (t) — (- sin (t)) sin (t) , что является
cos (t) cos (t) + sin (t) sin (t) , т.е.
cos ² (t) + sin ² (t) .Определитель
квадратная матрица имеет простую геометрическую интерпретацию. Это область
коэффициент масштабирования. Для вращения площадь не изменяется, поэтому определитель
должно быть 1 . Итак, личность
cos ² (t) + sin ² (t) = 1 можно интерпретировать
как выражение довольно очевидного факта, что вращение объекта в
Плоскость (x, y) не меняет своей площади.

Матрица вращения отправляет точку (1,0) в
(cos (x), sin (x)) и точка (0,1) от до (-sin (x),
соз (х)) .Стандартный базис e ₁ = (1,0) ,
e ₂ = (0,1) является ортонормированным базисом, что означает, что

e ₁ .e ₁ = 1 (проверка: 1,1 + 0,0 = 1 )

e ₁ .e ₂ = 0 (проверка: 0,1 + 1,0 = 0 )

e ₂ .e ₂ = 1 (проверка: 0,0 + 1,1 = 1 )

Поскольку вращение является «жестким движением», оно преобразует ортонормированный базис в
другой ортонормированный базис.Это означает, что указанные выше три уравнения будут
истина, когда e ₁ равно (cos (t), sin (t)) и
e ₂ есть
(-sin (t), cos (t)) . Два уравнения
e ₁ .e ₁ = 1
и e ₂ .e ₂ = 1
являются пересчетом cos ² (t) + sin ² (t) =
1 , а e ₁ .e ₂ = 0
является заявлением о личности
cos (t) (- sin (t)) + sin (t) cos (t) = 0 .Как ни странно, даже выражение e ₁ .e ₂ является
проявление личности, как показано ниже.

Другой способ взглянуть на идентичность — через расширение степенного ряда
cos (x) и sin (x).

Это значит, что

В этом контексте идентичность
cos ² (t) + sin ² (t) = 1 действительно кодирует
бесконечное количество тождеств, включающих факториалы, а именно

Эти тождества можно переформулировать в терминах комбинаторных
коэффициенты ( ⁿ C _r = n! / (n-r)! r! )

Они говорят, что четные комбинаторные коэффициенты в сумме составляют
тот же результат, что и нечетные комбинаторные коэффициенты.Этот результат может
быть доказанным напрямую. Это легче всего увидеть, посмотрев на
треугольник, и складывая члены подряд в двух разных
способами. Кроме того, использование расширений степенного ряда для расширения
определение cos и sin к комплексным числам, мы
Теперь знаю, что тож актуален для комплекса т . Благодаря
Боб Ува за указание на это.

Во-первых, понять, что единственное уравнение e ^ix =
cos (x) + isin (x) дает нам уравнение e ^-ix =
cos (x) -isin (x) и из этих двух уравнений мы можем решить для
cos (x) и sin (x) , чтобы получить

cos (x) = (e ^ix + e ^-ix ) / 2

sin (x) = (e ^ix -e ^-ix ) / 2i .

Пусть w представляет e ^ix , так что
1 / w — это e ^-ix , мы имеем
cos ² (x) + sin ² (x) есть
(ш + 1 / ш) ² /4 — (ш-1 / ш) ² /4 .Этот
упрощается до 1 . Итак, тригонометрическое тождество можно рассматривать
как алгебраическое тождество (w + 1 / w) ² —
(ш-1 / ш) ² = 4 .

Второй — быть умными (по-другому) и понимать, что мы можем
разложить на множители a ² + b ² как
(a-ib) (a + ib) . Если вы не видели этого раньше, это
пересчет a ² -b ² = (a-b) (a + b) .
Используя комплексные числа, мы получаем, что -b ² — это
(ib) ² , что приводит к
a ² + b ² = a ² — (- b ² ) =
а ² — (ib) ² = (a-ib) (a + ib) .Кстати,
конечно также верно, что a ² + b ² =
(b-ia) (b + ia) . В любом случае, применяя факторизацию к
cos ² (x) + sin ² (x) , получаем
(cos (x) + isin (x)) (cos (x) -isin (x)) , что является
e ^ix e ^-ix . Использование w для представления
e ^ix , факт, что
cos ² (x) + sin ² (x) = 1 — это просто
запутанный способ сказать w (1 / w) = 1 .

Рассмотрим параметризованную кривую c (t) = (cos (t), sin (t)) . В
identity говорит нам, что эта параметризованная кривая всегда находится на единице
кружок о происхождении. Дифференцируя, получаем c ‘(t) =
(-sin (t), cos (t)) . c ‘(t) . c ‘(t) равно (-sin (t)) (- sin (t))
+ cos (t) cos (t) , что просто
cos ² (t) + sin ² (t) . Тот факт, что это
1 говорит нам, что параметризованная кривая на самом деле
параметризуется длиной дуги.Итак, тригонометрическое тождество можно
рассматривается как просто констатация того факта, что радианы проходят через единицу
круг с единичной скоростью. Наконец, снова дифференцируя, получаем
c » (t) = (-cos (t), -sin (t)) . Очевидно, что c » (t) .c » (t) =
cos ² (t) + sin ² (t) , так что тождество
говорит нам, что равномерное движение по кругу приводит к
ускорение постоянной величины.

Наконец, еще один подход к установлению того, что
cos ² (x) + sin ² (x) is 1 is to
поймите, что на самом деле он заявляет о двух отдельных свойствах, а именно о том, что
cos ² (x) + sin ² (x) — постоянная величина, и что
константа оказывается равной 1, т.е.для некоторого значения x ,
cos ² (x) + sin ² (x) равно 1 . В
последнее свойство устанавливается быстро: принимая x = 0 ,
cos (x) = 1 и sin (x) = 0 . Четко
1 ² +0 ² = 1 .

Учитывая функцию f , чтобы установить, что f является
постоянной функции, достаточно установить, что производная
f равно нулю. Применяя эту технику к
f = cos ² + sin ² , первый шаг — использование
цепное правило, чтобы получить производную от
cos ² (x) + sin ² (x) равно 2cos (x) cos’x +
2sin (x) sin ‘(x) .Через производные тождества cos ‘(x) =
-sin (x) и sin ‘(x) = cos (x) , имеем
2cos (x) cos’x + 2sin (x) sin ‘(x) упрощается до
2cos (x) (- sin (x)) + 2sin (x) cos (x) , что равно нулю. Итак
идентичность можно рассматривать как интегрированную версию тривиального
личность

cos (x) (- sin (x)) + sin (x) (cos (x)) = 0 , который мы видели ранее в
совершенно другой контекст.

Еще один способ увидеть, что cos ² + sin ²
константа — это понять, что она представляет собой сумму потенциальных
и кинетические энергии решения x = cos (t) уравнения
для простого гармонического движения x » (t) + x (t) = 0 .

Для частицы массы 1 кинетическая энергия равна
(1/2) x ‘(t) ² , а потенциальная энергия равна
(1/2) x (t) ² (с точностью до аддитивной постоянной).
Сохранение энергии говорит нам, что
(1/2) x ‘(t) ² + (1/2) x (t) ²
является константой, и поэтому
x ‘(т) ² + x (т) ²
также является константой.
Принимая решение x (t) = cos (t) (или x (t) = sin (t) )
мы получаем личность.

Я должен отметить, что ни одна из вышеперечисленных математических задач не зависит от
лежащая в основе физика.Если x (t) — решение второго порядка
уравнение x » (t) + F (x (t)) = 0 ,
тогда (1/2) x ‘(t) ² + V (x (t)) ,
где V является первообразной F , является константой.
Простое дифференцирование подчеркивает это.

Между прочим, поскольку x (t) = acos (t) + bsin (t), является общим решением
к уравнению второго порядка имеем
(acos (t) + bsin (t)) ² + (- asin (t) + bcos (t)) ²
— константа a ² + b ²

Следующим шагом к пониманию идентичности является сравнение и сопоставление
это тождество для гиперболического косинуса и гиперболического синуса, а именно
cosh ² (t) — sh ² (t) = 1 .Я отложу
это к более позднему эссе.

Вернуться к началу страницы

формул сумма-произведение и произведение-сумма | Precalculus II

Выражение произведений в виде сумм

Мы уже изучили ряд формул, полезных для расширения или упрощения тригонометрических выражений, но иногда нам может потребоваться выразить произведение косинуса и синуса в виде суммы.Мы можем использовать формулы произведения на сумму , которые выражают произведения тригонометрических функций в виде сумм. Давайте сначала исследуем тождество косинуса, а затем тождество синуса.

Выражение произведений в виде сумм для косинуса

Мы можем вывести формулу произведения на сумму из тождеств суммы и разности для косинуса . Если сложить два уравнения, получим:

[латекс] \ begin {array} {l} {\ begin {array} {c} \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta = \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ справа) \\\ подчеркивание {+ \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta = \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right)} \ end {array}} \ end {array } \\ [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 2 \ cos \ alpha \ cos \ beta = \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Затем мы делим на [латекс] 2 [/ латекс], чтобы выделить произведение косинусов:

[латекс] \ cos \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) ) \ справа] \\ [/ латекс]

Как: дано произведение косинусов, выразите как сумму.

1. Напишите формулу произведения косинусов.
2. Подставить указанные углы в формулу.
3. Упростить.

Пример 1: Запись произведения в виде суммы с использованием формулы произведения произведения суммы для косинуса

Запишите следующее произведение косинусов в виде суммы: [latex] 2 \ cos \ left (\ frac {7x} {2} \ right) \ cos \ frac {3x} {2} \\ [/ latex].

Решение

Начнем с написания формулы произведения косинусов:

[латекс] \ cos \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) ) \ справа] \\ [/ латекс]

Затем мы можем подставить данные углы в формулу и упростить.

[латекс] \ begin {array} {l} 2 \ cos \ left (\ frac {7x} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {3x} {2} \ right) = \ left (2 \ right) \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left [\ cos \ left (\ frac {7x} {2} — \ frac {3x} {2} \ right) + \ cos \ left (\ frac {7x} {2} + \ frac {3x} {2} \ right) \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ cos \ left (\ frac {4x} {2} \ right) + \ cos \ left (\ frac {10x} {2} \ right) \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ cos 2x + \ cos 5x \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуй 1

Используйте формулу произведения к сумме, чтобы записать произведение как сумму или разность: [латекс] \ cos \ left (2 \ theta \ right) \ cos \ left (4 \ theta \ right) \\ [/ latex] .

Решение

Выражение произведения синуса и косинуса в виде суммы

Затем мы выведем формулу произведения к сумме для синуса и косинуса из формул суммы и разности для синуса . Если сложить тождества суммы и разницы, получим:

[латекс] \ begin {массив} {l} {\ begin {array} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ text {} \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ hfill \ end {array} \ hfill \\\ underline {+ \ text {} \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta} \ hfill \ end {array}} \\ \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) + \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) = 2 \ sin \ alpha \ cos \ beta \ end {array} \\ [/ latex]

Затем мы делим на 2, чтобы изолировать произведение косинуса и синуса:

[латекс] \ sin \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) + \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) ) \ справа] \\ [/ латекс]

Пример 2: Запись произведения в виде суммы, содержащей только синус или косинус

Выразите следующее произведение как сумму, содержащую только синус или косинус, но без произведений: [латекс] \ sin \ left (4 \ theta \ right) \ cos \ left (2 \ theta \ right) \\ [/ latex].

Решение

Напишите формулу произведения синуса и косинуса. Затем подставьте указанные значения в формулу и упростите.

[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) + \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) \ right] \ hfill \\ \ sin \ left (4 \ theta \ right) \ cos \ left (2 \ theta \ right) = \ frac {1} {2} \ left [ \ sin \ left (4 \ theta +2 \ theta \ right) + \ sin \ left (4 \ theta -2 \ theta \ right) \ right] \ hfill \\ = \ frac {1} {2} \ left [ \ sin \ left (6 \ theta \ right) + \ sin \ left (2 \ theta \ right) \ right] \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуй 2

Используйте формулу произведения к сумме, чтобы записать произведение в виде суммы: [латекс] \ sin \ left (x + y \ right) \ cos \ left (x-y \ right) \\ [/ latex].

Решение

Выражение произведений синусов через косинус

Выражение произведения синусов через косинус также получается из тождеств суммы и разности для косинуса. В этом случае мы сначала вычтем две формулы косинуса:

[латекс] \ begin {массив} {l} {\ begin {array} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ text {} \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \ hfill \ end {array} \ hfill \\\ underline {- \ text {} \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) = — \ left (\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta \ right)} \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right ) — \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) = 2 \ sin \ alpha \ sin \ beta \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Затем мы делим на 2, чтобы выделить произведение синусов:

[латекс] \ sin \ alpha \ sin \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) — \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right ) \ справа] \\ [/ латекс]

Точно так же мы могли бы выразить произведение косинусов через синус или вывести другие формулы произведения произведения на сумму.

Общее примечание: формулы произведения на сумму

Формулы произведения на сумму имеют следующий вид:

[латекс] \ cos \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) ) \ справа] \\ [/ латекс]

[латекс] \ sin \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) + \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) ) \ справа] \\ [/ латекс]

[латекс] \ sin \ alpha \ sin \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) — \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right ) \ справа] \\ [/ латекс]

[латекс] \ cos \ alpha \ sin \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) — \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) ) \ справа] \\ [/ латекс]

Пример 3. Выразите произведение в виде суммы или разницы

Запишите [латекс] \ cos \ left (3 \ theta \ right) \ cos \ left (5 \ theta \ right) \\ [/ latex] как сумму или разность.

Решение

У нас есть произведение косинусов, поэтому мы начнем с написания соответствующей формулы. Затем подставляем заданные углы и упрощаем.

[латекс] \ begin {array} {ll} \ text {} \ cos \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) \ right] \ hfill & \ hfill \\ \ cos \ left (3 \ theta \ right) \ cos \ left (5 \ theta \ right) = \ frac {1 } {2} \ left [\ cos \ left (3 \ theta -5 \ theta \ right) + \ cos \ left (3 \ theta +5 \ theta \ right) \ right] \ hfill & \ hfill \\ \ text {} = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (2 \ theta \ right) + \ cos \ left (8 \ theta \ right) \ right] \ hfill & \ text {Используйте четно-нечетное личность}.\ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуй 3

Используйте формулу произведения к сумме, чтобы вычислить [латекс] \ cos \ frac {11 \ pi} {12} \ cos \ frac {\ pi} {12} \\ [/ latex].

Решение

Выражение сумм в виде произведений

Для некоторых задач требуется обратный процесс, который мы только что использовали. Формула суммы к произведению позволяет нам выражать суммы синусов или косинусов в виде произведений. Эти формулы могут быть получены из тождеств произведения к сумме. Например, с помощью нескольких замен мы можем вывести идентичность суммы к произведению для синус .Пусть [latex] \ frac {u + v} {2} = \ alpha [/ latex] и [latex] \ frac {u-v} {2} = \ beta [/ latex].

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} \ alpha + \ beta = \ frac {u + v} {2} + \ frac {uv} {2} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {2u } {2} \ hfill \\ \ text {} = u \ hfill \\ \ hfill \\ \ alpha — \ beta = \ frac {u + v} {2} — \ frac {uv} {2} \ hfill \ \ \ text {} = \ frac {2v} {2} \ hfill \\ \ text {} = v \ hfill \ end {array} [/ latex]

Таким образом, заменив [latex] \ alpha [/ latex] и [latex] \ beta [/ latex] в формуле произведения на сумму заменяющими выражениями, мы получим

[латекс] \ begin {array} {lll} \ text {} \ sin \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} \ left [\ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) + \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) \ right] \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text {} \ sin \ left (\ frac {u + v} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {uv} {2} \ right) = \ frac {1} {2} \ left [\ sin u + \ sin v \ right] \ hfill & \ hfill & \ text {Заменить} \ left ( \ alpha + \ beta \ right) \ text {and} \ left (\ alpha — \ beta \ right) \ hfill \\ 2 \ sin \ left (\ frac {u + v} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {uv} {2} \ right) = \ sin u + \ sin v \ hfill & \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Остальные тождества суммы к продукту выводятся аналогично.

Общее примечание: формулы суммы к произведению

Формулы суммирования суммы к произведению имеют следующий вид:

[латекс] \ sin \ alpha + \ sin \ beta = 2 \ sin \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ alpha — \ beta} { 2} \ справа) [/ латекс]

[латекс] \ sin \ alpha — \ sin \ beta = 2 \ sin \ left (\ frac {\ alpha — \ beta} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} { 2} \ справа) [/ латекс]

[латекс] \ cos \ alpha — \ cos \ beta = -2 \ sin \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ right) \ sin \ left (\ frac {\ alpha — \ beta} {2} \ right) [/ латекс]

[латекс] \ cos \ alpha + \ cos \ beta = 2 \ cos \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ alpha — \ beta} { 2} \ справа) [/ латекс]

Пример 4: Запись разности синусов в виде произведения

Запишите в качестве произведения следующую разницу выражений синусов: [латекс] \ sin \ left (4 \ theta \ right) — \ sin \ left (2 \ theta \ right) [/ latex].

Решение

Начнем с написания формулы для разности синусов.

[латекс] \ sin \ alpha — \ sin \ beta = 2 \ sin \ left (\ frac {\ alpha — \ beta} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} { 2} \ справа) [/ латекс]

Подставьте значения в формулу и упростите.

[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (4 \ theta \ right) — \ sin \ left (2 \ theta \ right) = 2 \ sin \ left (\ frac {4 \ theta -2 \ theta} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {4 \ theta +2 \ theta} {2} \ right) \ hfill \\ \ text {} = 2 \ sin \ left (\ frac {2 \ theta} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {6 \ theta} {2} \ right) \ hfill \\ \ text {} = 2 \ sin \ theta \ cos \ left (3 \ theta \ справа) \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробовать 4

Используйте формулу суммы к произведению, чтобы записать сумму в виде произведения: [латекс] \ sin \ left (3 \ theta \ right) + \ sin \ left (\ theta \ right) [/ latex].{\ circ} \ right) \ hfill \\ \ text {} = — 2 \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (- \ frac {1} {2} \ right ) \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Пример 6: Подтверждение личности

Подтверждаю личность:

[латекс] \ frac {\ cos \ left (4t \ right) — \ cos \ left (2t \ right)} {\ sin \ left (4t \ right) + \ sin \ left (2t \ right)} = — \ тан т [/ латекс]

Решение

Мы начнем с левой стороны, более сложной части уравнения, и перепишем выражение, пока оно не совпадет с правой частью.

[латекс] \ begin {array} {l} \ frac {\ cos \ left (4t \ right) — \ cos \ left (2t \ right)} {\ sin \ left (4t \ right) + \ sin \ left (2t \ right)} = \ frac {-2 \ sin \ left (\ frac {4t + 2t} {2} \ right) \ sin \ left (\ frac {4t — 2t} {2} \ right)} { 2 \ sin \ left (\ frac {4t + 2t} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {4t — 2t} {2} \ right)} \ hfill \\ \ text {} = \ frac { -2 \ sin \ left (3t \ right) \ sin t} {2 \ sin \ left (3t \ right) \ cos t} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {- \ overline {) 2} \ overline {) \ sin \ left (3t \ right)} \ sin t} {\ overline {) 2} \ overline {) \ sin \ left (3t \ right)} \ cos t} \ hfill \\ \ text {} = — \ frac {\ sin t} {\ cos t} \ hfill \\ \ text {} = — \ tan t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ решения

Напомним, что проверка тригонометрических тождеств имеет свой собственный набор правил.{2} \ theta [/ латекс].

Решение

Ключевые уравнения

Ключевые понятия

• Из тождеств суммы и разности мы можем вывести формулы произведения к сумме и формулы суммы к произведению для синуса и косинуса.
• Мы можем использовать формулы произведения на сумму, чтобы переписать произведения синусов, косинусов и произведений синусов и косинусов в виде сумм или разностей синусов и косинусов.
• Мы также можем вывести тождества суммы к продукту из тождеств продукта к сумме, используя подстановку.
• Мы можем использовать формулы суммы к произведению, чтобы переписать сумму или разность синусов, косинусов или произведений синусов и косинусов как произведений синусов и косинусов.
• Тригонометрические выражения часто проще вычислить с помощью формул.
• Идентичность можно проверить с помощью других формул или путем преобразования выражений в синусы и косинусы. Чтобы проверить идентичность, мы выбираем более сложную сторону знака равенства и переписываем ее до тех пор, пока она не превратится в другую сторону.

Глоссарий

Формула произведения на сумму

тригонометрическое тождество, которое позволяет записать произведение тригонометрических функций в виде суммы или разности тригонометрических функций

формула суммы к произведению

тригонометрическое тождество, которое позволяет с помощью подстановки записать сумму тригонометрических функций как произведение тригонометрических функций

Упражнения по разделам

1.\ circ \ right) [/ latex], один из которых использует продукт для суммирования. Какой способ проще?

3. Объясните ситуацию, в которой мы преобразовали бы уравнение из суммы в произведение, и приведите пример.

4. Объясните ситуацию, в которой мы преобразовали бы уравнение из произведения в сумму, и дайте пример.

Для следующих упражнений перепишите произведение как сумму или разность.

5. [латекс] 16 \ sin \ left (16x \ right) \ sin \ left (11x \ right) [/ latex]

6. [латекс] 20 \ cos \ left (36t \ right) \ cos \ left (6t \ right) [/ latex]

7.[латекс] 2 \ sin \ left (5x \ right) \ cos \ left (3x \ right) [/ latex]

8. [латекс] 10 \ cos \ left (5x \ right) \ sin \ left (10x \ right) [/ latex]

9. [латекс] \ sin \ left (-x \ right) \ sin \ left (5x \ right) [/ latex]

10. [латекс] \ sin \ left (3x \ right) \ cos \ left (5x \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений перепишите сумму или разницу как произведение. {2} x [/ latex]

36.{2} x \ right) = \ cos \ left (3x \ right) + \ cos x [/ латекс]

37. [латекс] 2 \ tan x \ cos \ left (3x \ right) = \ sec x \ left (\ sin \ left (4x \ right) — \ sin \ left (2x \ right) \ right) [/ латекс]

38. [латекс] \ cos \ left (a + b \ right) + \ cos \ left (a-b \ right) = 2 \ cos a \ cos b [/ latex]

Для следующих упражнений перепишите сумму как произведение двух функций или произведение как сумму двух функций. Дайте свой ответ в виде синусов и косинусов. Затем оцените окончательный ответ численно с округлением до четырех знаков после запятой.{\ circ} \ right) [/ латекс]

Для следующих упражнений алгебраически определите, является ли каждое из данных выражений истинным тождеством. Если это не идентичность, замените правую часть выражением, эквивалентным левой части. Проверьте результаты, построив графики обоих выражений на калькуляторе.

44. [латекс] 2 \ sin \ left (2x \ right) \ sin \ left (3x \ right) = \ cos x- \ cos \ left (5x \ right) [/ latex]

45. [латекс] \ frac {\ cos \ left (10 \ theta \ right) + \ cos \ left (6 \ theta \ right)} {\ cos \ left (6 \ theta \ right) — \ cos \ left (10 \ theta \ right)} = \ cot \ left (2 \ theta \ right) \ cot \ left (8 \ theta \ right) [/ latex]

46.[латекс] \ frac {\ sin \ left (3x \ right) — \ sin \ left (5x \ right)} {\ cos \ left (3x \ right) + \ cos \ left (5x \ right)} = \ tan х [/ латекс]

47. [латекс] 2 \ cos \ left (2x \ right) \ cos x + \ sin \ left (2x \ right) \ sin x = 2 \ sin x [/ latex]

48. [латекс] \ frac {\ sin \ left (2x \ right) + \ sin \ left (4x \ right)} {\ sin \ left (2x \ right) — \ sin \ left (4x \ right)} = — \ tan \ left (3x \ right) \ cot x [/ latex]

В следующих упражнениях упростите выражение до одного члена, затем изобразите исходную функцию и свою упрощенную версию, чтобы убедиться, что они идентичны.

49. [латекс] \ frac {\ sin \ left (9t \ right) — \ sin \ left (3t \ right)} {\ cos \ left (9t \ right) + \ cos \ left (3t \ right)} [/ латекс]

50. [латекс] 2 \ sin \ left (8x \ right) \ cos \ left (6x \ right) — \ sin \ left (2x \ right) [/ latex]

51. [латекс] \ frac {\ sin \ left (3x \ right) — \ sin x} {\ sin x} [/ latex]

52. [латекс] \ frac {\ cos \ left (5x \ right) + \ cos \ left (3x \ right)} {\ sin \ left (5x \ right) + \ sin \ left (3x \ right)} [/ латекс]

53. [латекс] \ sin x \ cos \ left (15x \ right) — \ cos x \ sin \ left (15x \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений докажите следующие формулы суммирования произведений.

54. [латекс] \ sin x- \ sin y = 2 \ sin \ left (\ frac {xy} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {x + y} {2} \ right) [ / латекс]

55. [латекс] \ cos x + \ cos y = 2 \ cos \ left (\ frac {x + y} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {xy} {2} \ right) [/ латекс]

Для следующих упражнений подтвердите личность.

56. [латекс] \ frac {\ sin \ left (6x \ right) + \ sin \ left (4x \ right)} {\ sin \ left (6x \ right) — \ sin \ left (4x \ right)} = \ загар \ влево (5x \ вправо) \ кроватка x [/ латекс]

57. 2}}} {{2t}} \ normalsize } \)