Линейные уравнения 8 класс как решать: Линейные и квадратные уравнения — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Линейные и квадратные уравнения

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\]Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой $x$.

Замечание

Заметим, что $x$ — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида $(1)$ будем называть множество значений переменной $x$, при которых определены (то есть не теряют смысла) функции $f(x)$ и $g(x)$.

Пример

Уравнение $\dfrac {10}{x-1}=5$ определено при всех значениях переменной $x$, кроме $x=1$, потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения $x\in
(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$.

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение $x$, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число $x=3$, потому как тогда уравнение принимает вид $\dfrac{10}{3-1}=5$ или, что то же самое, $5=5$, что является верным равенством.

Замечание

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение $\dfrac 1x=0$ ни при каких значениях $x$ не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель $1\ne 0$.

2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.3=64\) является $x=4$.

Как решать линейное неравенство. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Решение строгого линейного неравенства

Сложность:
лёгкое

Решение неравенства

Сложность:
лёгкое

Положительные или отрицательные значения двучлена

Сложность:
лёгкое

Неотрицательные или неположительные значения двучлена

Сложность:
лёгкое

Дробное неравенство, сводимое к линейному (числитель — одночлен)

Сложность:
лёгкое

Значения двучлена, большие или меньшие 2

Сложность:
среднее

Решение линейного неравенства

Сложность:
среднее

Решение строгого, дробного линейного неравенства

Сложность:
среднее

Тест по решению нестрогого неравенства

Сложность:
среднее

10.

Решение линейного неравенства

Сложность:
среднее

11.

Значение, которое является решением неравенства

Сложность:
среднее

12.

Значения двучлена, не меньшие или не большие значений другого двучлена

Сложность:
среднее

13.

Сумма дробей

Сложность:
среднее

14.

Линейное неравенство (распределительный закон умножения)

Сложность:
среднее

15.

Линейное неравенство (минус перед скобками)

Сложность:
среднее

16.

Наименьшее целое решение неравенства

Сложность:
среднее

17.

Решение линейного неравенства

Сложность:
среднее

18.

Выбор интервала как решения строгого неравенства

Сложность:
среднее

19.

Решение двойного неравенства

Сложность:
среднее

20.

Область допустимых значений выражения, линейное уравнение

Сложность:
сложное

21.

Область допустимых значений выражения, дробь

Сложность:
сложное

22.

Текстовая задача

Сложность:
сложное

Решение линейных уравнений с примерами

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х — любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — .

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

Урок 43. решение линейных уравнений с одним неизвестным — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 43

Решение линейных уравнений с одним неизвестным

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Линейные уравнения.

• Корень уравнения.

• Решение линейных уравнений.

Тезаурус:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте вспомним, что называется корнем уравнения?

Корнем уравнения называют, такое значение переменной, при которой уравнение преобразуется в верное числовое равенство.

А что же означает решить уравнение?

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Давайте попробуем сформулировать теперь, как решать линейные уравнения и подумаем, а какие у нас могут быть случаи?

Решение линейного уравнения – это приведение его путем тождественных преобразований к стандартному виду.

Давайте решим уравнение:

Следовательно, уравнение не имеет корней.

А теперь давайте решим другое уравнение:

Попробуем решить уравнение:

При любом значении переменной, уравнение принимает вид верного равенства:

0 = 0, следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Отсюда можно сделать вывод, что возможные варианты решения уравнения, зависят от того, какие значения принимает свободный член и коэффициент при переменной.

При решении уравнения вида возможны следующие три случая:

Замечательно, а теперь узнаем, можно ли проверить, является число корнем уравнения не решая его?

Да, конечно можно. Для этого нужно подставить в уравнение вместо переменной это число, если после упрощения, мы получаем верное равенство, то данное число будет являться корнем уравнения.

Давайте проверим, так ли это. Узнаем, является ли число

Замечательно. А теперь давайте попробуем порешать линейные уравнения первой степени.

является корнем уравнения.

уравнение к стандартному виду. Слагаемые, зависящие от икс, перенесём в левую часть уравнения, числа – в правую, изменяя их знаки на противоположные.

Разбор заданий тренировочного модуля.

содержащие переменной в правую часть, меняя знак на противоположный;

слагаемые, содержащие переменную в левую часть, не содержащие переменной, в правую часть, меняя знак на противоположный;

Простейшие линейные уравнения | Математика

Простейшие линейные уравнения — это уравнения вида

где a и b — некоторые числа.

Чтобы решить линейное уравнение, надо обе части уравнения разделить на число, стоящее перед x:

Но делить на нуль нельзя. Поэтому линейные уравнения вида ox = b и ox =o решаются иначе.

Рассмотрим уравнение

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, при умножении его на нуль в левой части получится нуль. А в правой — число, отличное от нуля. То нет значений x, при которых уравнение обратилось бы в верное числовое равенство. Значит, это уравнение не имеет корней.

Какое бы значение мы не подставили вместо x в данное уравнение, в левой части при умножении на нуль получится нуль. В правой части — также нуль. Значит, решением данного линейного уравнения является любое число.

Таким образом, решение и количество корней линейного уравнения зависит от числа, стоящего перед x:

Замечание:

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые можно представить только в виде произведения двоек и пятерок (например, 10=2∙5, 40=2∙2∙5). При делении на все остальные числа ответ записываем не в виде десятичной, а в виде обыкновенной дроби или смешанного числа.

Примеры простейших линейных уравнений:

1) 3x=-24

Это — линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

x=24:3

x=8.

Ответ: 8.

2) -7x=5

Это — линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом. Ответ записываем в виде обыкновенной дроби:

Ответ: -5/7.

3) 12y=20

Это — линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед y:

Сокращаем дробь на 4:

Получили неправильную дробь. Выделяем целую часть:

Ответ: 1 2/3.

4) 0x=8

Данное уравнение не имеет решений, поскольку при умножении на нуль любого числа в левой части получится нуль, а в правой — 8, то есть нет таких значений x, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

Ответ: корней нет.

Презентация на тему: Алгебра
8 класс
«Решение систем
двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Первый слайд презентации

Алгебра
8 класс
«Решение систем
двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Изображение слайда

Слайд 2

Определите, какая из пар чисел
(1; 2) (-1; 2) (-8/7;-7) (1; -2)
является решением системы уравнений:
7х – 3у = 13,
2х + 5у = -8.

Изображение слайда

Слайд 3

Определи ть, какая из пар чисел
( 1 ; 2 ) (-1; 2) (-8/7;-7) (1; -2)
является решением системы уравнений.
Решение:
7 1 – 3 2 = 13,
2 1 + 5 2 = -8
.
.
.
.
7 (-1) – 3 2 = 13,
2 (-1) + 5 2 = -8
.
.
.
.
(ложь)
(ложь)
Образец оформления решения:

Изображение слайда

Слайд 4

Решите систему графически:
у – 3х = 0,
3х + у = -6.

Изображение слайда

Слайд 5

Реши ть систему графически:
у – 3х = 0,
3х + у = -6.
Образец оформления решения:
Решение:
Даны линейные уравнения. Их графиками являются прямые.
Для построения прямых необходимо знать координаты двух точек, принадлежащих каждой прямой.
Построим таблицу значений для каждой прямой:
х
0
1
у
0
3
х
0
-2
у
-6
0

Изображение слайда

Слайд 6

Решить систему графически:
у – 3х = 0,
3х + у = -6.
Образец оформления решения:
Решение:
х
0
1
у
0
3
х
0
-2
у
-6
0
1
3
-6
-1
-2
у – 3х = 0
3х + у = -6
Р (-1; -3)
Ответ: (-1; -3)

Изображение слайда

Слайд 7

Решите систему методом подстановки:
у – 3х = 8,
3х + 2у = 7.

Изображение слайда

Слайд 8

Реши ть систему методом подстановки:
у – 3х = 8,
3х + 2у = 7.
Образец оформления решения:
Решение:
у – 3х = 8,
3х + 2у = 7;
= >
у = 8 + 3х,
3х + 2у = 7;
= >
у = 8+3x,
3х + 2 (8+3x) = 7;
= >
у = 8+3x,
3х + 16+6x = 7;

Изображение слайда

Слайд 9

Решить систему методом подстановки:
у – 3х = 8,
3х + 2у = 7.
Образец оформления решения:
Решение:
у – 3х = 8,
3х + 2у = 7;
= >
у = 8 + 3х,
3х + 2у = 7;
= >
у = 8+3x,
3х + 2 (8+3x) = 7;
= >
у = 8+3x,
3х + 16+6x = 7;
= >
у = 8+3x,
9 х = 7 -16 ;
= >
у = 8+3x,
9 х = -9 ;
= >
у = 8+3 (-1),
х = -1 ;
.

Изображение слайда

Слайд 10

Решить систему методом подстановки:
у – 3х = 8,
3х + 2у = 7.
Образец оформления решения:
Решение:
у – 3х = 8,
3х + 2у = 7;
= >
= >
у = 5,
х = -1.
…
Ответ: (-1; 5 )
у = 8+3 (-1),
х = -1 ;
.
= >

Изображение слайда

Слайд 11

Решите систему методом
алгебраического сложения:
3х + 2у = 6,
5х + 3у = 11.

Изображение слайда

Слайд 12

Реши ть систему методом
алгебраического сложения:
3х + 2у = 6,
5х + 3у = 11;
Образец оформления решения:
Решение:
= >
9 х + 6 у = 18,
-10 х +( -6 у) = -22 ;
х 3
х (-2)
= >
9х + 6у = 18,
— х = — 4 ;
= >
9х+ 6у = 18,
х = 4 ;
= >
9 4 + 6у = 18,
х = 4 ;
.
= >
6у = 18 — 36,
х = 4;
= >
у = -3,
х = 4.
Ответ: (4; -3)

Изображение слайда

Слайд 13

Прямая у= kx+m проходит через точки
А(2;-1) и В ( 3;4).
Найдите уравнение прямой.

Изображение слайда

Слайд 14

Най ти уравнение прямой, проходящей
через точки А(2;-1) и В ( 3;4).
-1=2k+m,
4=3k+m.
Образец оформления решения:
Решение:
Запишем уравнение всех прямых, проходящих через точку А (2;-1):
-1 = 2 k + m
Запишем уравнение всех прямых, проходящих через точку В (3;4):
4 = 3 k + m
Уравнение искомой прямой удовлетворяет обоим равенствам.
Составим и решим систему уравнений:

Изображение слайда

Последний слайд презентации: Алгебра
8 класс
«Решение систем
двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Най ти уравнение прямой, проходящей
через точки А(2;-1) и В ( 3;4).
-1=2k+m,
4=3k+m ;
Образец оформления решения:
Решение:
= >
х (-1)
-1=2k+m,
— 4= — 3k — m ;
= >
-1=2k+m,
-5 = — k ;
= >
-1= 10 +m,
k = 5 ;
= >
m= -11,
k = 5.
Ответ: y= 5 x -11

Изображение слайда

Сценарий урока алгебры в 7 классе по теме «Решение линейных уравнений»

Вынесение множителя из-под знака корня

ГБОУ ГИМНАЗИЯ 190 Технологическая карта урока алгебры, 8 класс Вынесение множителя из-под знака корня Фролова Любовь Алексеевна, учитель математики 01.02.2016 Урок алгебры в 8классе Тема «Вынесение множителя

Подробнее

y 12 = 2y 7,5 y 2y = 12 7,5 -y = 4,5 y = — 4,5

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа 7г. Белгорода Разработка урока по теме «Решение уравнений» (6 класс) Подготовила учитель математики Гриценко Т.Г.

Подробнее

Тема урока «Теорема Виета» 8 класс

Тема урока «Теорема Виета» 8 класс Учитель: Демина Т.В. Цели урока: 1. Познакомить учащихся с теоремой Виета; 2. Научить применять теорему Виета для составления квадратных уравнений; 3. Сформулировать

Подробнее

Ход урока: 1 Организационный момент.

Цель: Организовать деятельность учащихся по закреплению графического метода решения уравнений с параметром, проводить исследование на наличие корней уравнения для каждого значения параметра. Задачи: 1.

Подробнее

Занятие 1 (2 часа) Ход занятия.

Тема Целая и дробная части числа Занятие 1 ( часа) Цель занятия Дидактическая Познакомить учащихся с целой и дробной частью числа Установить их свойства и соотношения между ними Научить строить простейшие

Подробнее

( урок математики в 5 классе)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЁННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 3» ул.чугунова,д.4,г.людиново Калужской области, 249400 Телефон:(48444) 6-19-43, 6-18-79, 6-62-99 Факс:(48444) 6-19-43

Подробнее

Оборудование: проектор, ноутбуки, рабочие листы, тетради, учебники, раздаточный материал

Достаточно часто в школах мы встречаем ситуацию, когда учитель прекрасно объясняет материал, учащиеся его внимательно слушают, но через несколько минут, выходя из кабинета, забывают, о чем шла речь на

Подробнее

Методическая разработка открытого урока

Довлатбегян Виктория Александровна, учитель математики МБОУ «Лицей» г.протвино, МО Методическая разработка открытого урока «Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов» Алгебра.

Подробнее

Учебник: Алгебра (Дорофеев Г.В.) гг.

Класс 9.3.1, 9.3.2 (база) Учебник: Алгебра (Дорофеев Г.В.) 2018-2019 гг. Тема модуля: «Уравнения и системы уравнений» Основные теоретические сведения, необходимые для успешного выполнения теста: 1. Понятие

Подробнее

ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 9-А КЛАССЕ.

113 Учитель математики Кузнецова Г. Ю. ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 9-А КЛАССЕ. Тип урока Тема: Объяснения нового материала и первичного закрепления полученных знаний. «Целое уравнение и его корни». Цели урока:

Подробнее

Конспект урока, 7 класс.

Конспект урока алгебры в 7 классе. Взаимное расположение графиков линейных функций Автор: Дмитриева Наталья Анатольевна, Московская область, город Подольск, МОУ «Лицей 26». Описание материала: Предлагаю

Подробнее

Тема: Решение систем уравнений

Цель урока: МОУ гимназия 11 г. Елец Липецкой области Разработчик: учитель информатики Губина Т.Н. Методическая разработка системы интегрированных уроков по информатике и математике в 10 классе Урок 7 Тема:

Подробнее

ПЛАН УРОКА. ЮКО, Отырарский район, с. Шаульдер, ШГ им. Ш. Калдаякова, 8 класс Уравнения, приводящие к квадратным уравнениям

ПЛАН УРОКА Предмет Алгебра Учитель Тəшімбет З. М. Школа, класс Тема урока ЮКО, Отырарский район, с. Шаульдер, ШГ им. Ш. Калдаякова, 8 класс Уравнения, приводящие к квадратным м Цель обучения: изучив данную

Подробнее

IV. Актуализация опорных знаний

КАЛЕЙДОСКОП КОП УРОКОВ ОВ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Подготовка к государственной итоговой аттестации 9 класс Т В Желтуха Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся об уравнениях и неравенствах; закрепить

Подробнее

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

Методическая разработка по алгебре (8 класс) ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Амосова Галина Владимировна, учитель математики и информатики ГБОУ СОШ 2 Василеостровского района Санкт-Петербурга «Метод

Подробнее

Бутыгина Татьяна Федоровна Аннотация

Бутыгина Татьяна Федоровна, учитель математики высшей квалификационной категории МОУ «СОШ 11 с углубленным изучением иностранных языков» г. Ноябрьска ЯНАО Тюменской области. Аннотация Все знают: «Повторение

Подробнее

Уровень 8 — Решение линейных уравнений

Математика 8 класс Выражения и уравнения
Сформулируйте и рассмотрите выражения и уравнения, включая моделирование связи двумерных данных с линейным уравнением, и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений
Студенты используют линейные уравнения и системы линейных уравнения для представления, анализа и решения различных задач.Студенты распознают уравнения пропорций ( y / x = m или y = m x ) как специальные линейные уравнения ( y = mx + b ), понимая, что постоянная пропорциональность ( м ) — наклон, а графики — линии, проходящие через Происхождение. Они понимают, что наклон ( м ) линии — это постоянная скорость изменения, поэтому что если вход или координата x изменится на величину A , то выход или координата y изменится на величину м · A .Студенты также используют линейное уравнение, чтобы описать связь между двумя величинами в двумерных данных (например, размах рук по сравнению с ростом для учащихся в классе). В этом классе подходит Модель и оценка ее соответствия данным выполняются неформально. Устный перевод модель в контексте данных требует, чтобы студенты выражали отношения между двумя рассматриваемыми величинами и интерпретировать компоненты взаимосвязи (такие как наклон и пересечение y ) с точки зрения ситуации. Студенты выбирают стратегически и эффективно реализовать процедуры для решения линейных уравнений с одной переменной, понимая что когда они используют свойства равенства и концепцию логического эквивалентность, они сохраняют решения исходного уравнения. Студенты решить системы двух линейных уравнений с двумя переменными и связать системы парам линий на плоскости; они пересекаются, параллельны или являются та же линия. Студенты используют линейные уравнения, системы линейных уравнений, линейные функции, и их понимание наклона линии для анализа ситуаций и решать проблемы.
Анализировать и решать линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.			Ресурсы
	8.EE.7. Решать линейные уравнения с одной переменной.	Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной с одним решение, бесконечно много решений или нет решений.Покажите, какие из этих возможностей — это случай последовательного преобразования данного уравнения в более простые формы, пока не будет получено эквивалентное уравнение вида x = a , a = a или a = b (где a и b — разные числа).	Algebra Help Save the Zogs Balance Beam Balance Beam II Решатель линейных уравнений Easy Algebra Уравнения и неравенства Linear Equation Study Guide Word Problem Equations One Unknown One Step Уравнения
		Решите линейные уравнения с рациональными числовыми коэффициентами, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с помощью распределительная собственность и собирание подобных терминов.	Линейные уравнения Регента Прозрачная алгебра Расширяющиеся выражения Расширяемые и упрощающие Расширяемые и факторизованные
	8.EE.8. Анализировать и решать пары одновременных линейных уравнений.	Поймите, что решения системы двух линейных уравнения с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графики, потому что точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.	Виртуальная математическая лаборатория Линейные отношения Пересечение двух линий Математические вопросы Одновременные уравнения
		Решите системы двух линейных уравнений с двумя переменными. алгебраически и оценивать решения, графически отображая уравнения. Решить просто случаи осмотром. Например, 3x + 2y = 5 и 3x + 2y = 6 не имеют решения потому что 3x + 2y не могут быть одновременно 5 и 6.	2 Упражнения по уравнениям Решатель линейных уравнений Решатель линейных уравнений II Веб-калькулятор 2 Уравнения, 2 неизвестных Метод замены Учебное пособие по системам
		Решать реальные и математические задачи, приводящие к двум линейные уравнения с двумя переменными. Например, по координатам двух пар точек определить пересекает ли линия, проходящая через первую пару точек, линию, проходящую через вторая пара.	Проблемы со словами, которые приводят к одновременным уравнениям Графические системы Класс алгебры Проблемы со словами Накачивайте! Задания

Линейные уравнения. Рабочие листы по математике для 8-го класса, учебные пособия и ключ с ответами.

Алгебра (NCTM)

Представляйте и анализируйте математические ситуации и структуры с помощью алгебраических символов.

Изучите взаимосвязи между символическими выражениями и графиками линий, уделяя особое внимание значению пересечения и наклона.

Координаторы учебной программы 8-го класса (NCTM)

Алгебра: анализ и представление линейных функций и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений

Учащиеся используют линейные функции, линейные уравнения и системы линейных уравнений для представления, анализа и решения множество проблем. Они признают пропорцию (y / x = k или y = kx) как частный случай линейного уравнения вида y = mx + b, понимая, что константа пропорциональности (k) — это наклон, а результирующий график линия, проходящая через начало координат.Учащиеся понимают, что наклон (m) линии — это постоянная скорость изменения, поэтому, если входная или x-координата изменяется на определенную величину, a, выходная или y-координата изменяется на величину ma. Учащиеся переводят между вербальными, табличными, графическими и алгебраическими представлениями функций (понимая, что табличные и графические представления обычно являются лишь частичными представлениями), и они описывают, как такие аспекты функции, как наклон и Y-пересечение, появляются в различных представлениях.Учащиеся решают системы двух линейных уравнений с двумя переменными и связывают системы с парами прямых, которые пересекаются, параллельны или образуют одну и ту же линию на плоскости. Учащиеся используют линейные уравнения, системы линейных уравнений, линейные функции и свое понимание наклона прямой для анализа ситуаций и решения проблем.

Соединения с координационными точками 8-го класса (NCTM)

Геометрия: Имея линию в координатной плоскости, учащиеся понимают, что все «наклонные треугольники» — треугольники, образованные вертикальным сегментом «подъема» (показывающим изменение y) , горизонтальный «беговой» отрезок линии (показывающий изменение x) и отрезок самой линии — аналогичны.Они также понимают связь этих похожих треугольников с постоянным наклоном прямой.

Приложения линейных уравнений — Задачи с ответами для 8 класса

Вопросы для 8-го класса о приложениях линейных уравнений с решениями и пояснениями.

Трехкратное число, увеличенное на десять, равно двадцати меньшему, чем шестикратное число. Найдите номер.

Если двойная разница числа и 3 прибавить к 4, результат будет на 22 больше, чем в четыре раза больше числа.Найдите номер.

Сумма двух чисел равна 64. Разница между двумя числами равна 18. Какие числа?

Длина прямоугольника на 10 метров больше, чем в два раза его ширины. Какова длина и ширина прямоугольника, если его периметр 62 метра.

Среднее значение 35, 45 и x равно на пять больше, чем в два раза x. Найдите x.

Разница в размерах двух дополнительных углов составляет 102 ^o. Найдите два угла.

Два дополнительных угла таковы, что один на 14 ^o больше, чем второй угол, более чем в три раза.Какова мера большего угла.

Сумма положительного четного целого числа и следующего третьего четного целого числа равна 150. Найдите это число.

Среднее значение трех нечетных последовательных чисел равно 129. Какое наибольшее из трех чисел?

Два числа таковы, что одно число на 42 больше второго, а их среднее значение равно 40. Что это за два числа?

Дополнительные ссылки и ссылки

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше математики в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше математики в начальной школе (4 и 5 классы ) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами сообщить об этом объявлении

Иди по математике для 8-го класса. Ключ ответов на вопросы Глава 8. Решение систем линейных уравнений. Иди по математике.

Go Math 8 класс Ответы на ключевые вопросы Глава 8 «Решение систем линейных уравнений» для передового опыта в математике.Все ответы и объяснения даны лучшими математиками. Все студенты могут быстро открыть наш сайт и начать заниматься прямо сейчас. Если у вас нет подключения к Интернету, загрузите бесплатный PDF-файл Go Math Grade 8 Chapter 8 Solving Systems of Linear Equations Answer Key и начните практиковаться в автономном режиме. Чтобы получить ключ с ответом на 8-й класс по математике, оплата не требуется.

Иди по математике, 8 класс, Решение систем линейных уравнений, ключ к ответам

Иногда действительно сложно выбрать лучшую математику для ответа, чтобы узнать правильные ответы.Надежное руководство поможет вам в совершенстве учиться и улучшить свои математические навыки. Одно из таких лучших онлайн-руководств — это математика для 8-го класса. Ответьте на главу 8 «Решение систем линейных уравнений». Обратитесь к Ключу решения для 8-го класса по математике, чтобы узнать, как легко практиковаться в математике.

Урок 1: Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков

Урок 2: Решение систем заменой

Урок 3: Решение систем путем исключения

Урок 4: Решение систем методом исключения с умножением

Урок 5: Решение Решение особых систем

Тест модели

Обзор

Практическое руководство — Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков — стр.232

Решите каждую систему, построив график.

Вопрос 1.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 3 x-4 \\ y = x + 2 \ end {array} \ right. \)

Введите ниже:
______________

Ответ:

Пояснение:
y = 3x — 4
y = x + 2
Решение линейной системы уравнений является точкой пересечения двух уравнений.
(3, 5) — решение системы уравнений.
Если x = 3, y = 3 (3) — 4 = 9 — 4 = 5; у = 3 + 2 = 5
5 = 5; Правда

Вопрос 2.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x-3 y = 2 \\ — 3x + 9y = -6 \ end {array} \ right. \)

Введите ниже:
______________

Ответ:

Бесконечно много решений

Пояснение:
x — 3y = 2
-3x + 9y = -6
x — 3y — x = -x + 2
-3y = -x + 2
y = 1/3. x — 2/3
-3x + 9y + 3x = 3x — 6
9y = 3x — 6
y = 3/9. х — 6/9
у = 1/3. x — 2/3
Решение линейной системы уравнений является пересечением двух уравнений.
Бесконечно много решений

Вопрос 3.
Г-жа Моралес написала тест из 15 вопросов, касающихся орфографии и лексики. Вопросы по правописанию (x) оцениваются в 5 баллов, а вопросы по лексике (y) оцениваются в 10 баллов. Максимально возможное количество баллов за тест — 100.
a. Напишите уравнение в форме пересечения наклона, чтобы обозначить количество вопросов в тесте.

Тип ниже:
______________

Ответ:
y = -x + 15

Пояснение:
Mrs.Моралес написал тест из 15 вопросов, касающихся орфографии и лексики. Вопросы по правописанию (x) оцениваются в 5 баллов, а вопросы по лексике (y) оцениваются в 10 баллов.
x + y = 15
x + y — x = -x + 15
y = -x + 15

Вопрос 3.
б. Напишите уравнение в форме пересечения наклона, чтобы представить общее количество точек теста.
Введите ниже:
______________

Ответ:
y = -1/2. х + 10

Пояснение:
Общее количество баллов на тесте составляет 100
5x + 10y = 100
5x + 10y — 5x = -5x + 100
10y = -5x + 100
y = -5/10.х + 100/10
у = -1/2. х + 10

Вопрос 3.
c. Изобразите графики решений обоих уравнений.
Введите ниже:
______________

Ответ:

Вопрос 3.
г. Используйте свой график, чтобы определить, сколько вопросов каждого типа находится в тесте.
_________ вопросы по правописанию
_________ вопросы по лексике

Ответ:
10 вопросов по правописанию
5 вопросов по лексике

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ РЕГИСТРАЦИОННЫЙ ВОПРОС

Вопрос 4.
Когда вы строите график системы линейных уравнений, почему пересечение двух линий представляет собой решение системы?
Введите ниже:
______________

Ответ:
Решить систему линейных уравнений означает найти решения, удовлетворяющие всем уравнениям этой системы. Когда мы строим график системы линейных уравнений, точка пересечения лежит на линии каждого уравнения, что означает, что оно удовлетворяет всем уравнениям. Следовательно, это считается решением этой системы.

Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков — Страница № 233

Вопрос 5.
Словарь
A_________________ — это набор уравнений с одинаковыми переменными.
______________

Ответ:
система уравнений

Пояснение:
Система уравнений — это набор уравнений, которые имеют одинаковые переменные.

Вопрос 6.
Восемь друзей открыли свой бизнес. Во время работы они будут носить бейсболку или рубашку с отпечатанным их логотипом.Они хотят потратить ровно 36 долларов на рубашки и кепки. Рубашки стоят 6 долларов каждая, а кепки — 3 доллара.
а. Напишите систему уравнений, описывающую ситуацию. Пусть x представляет количество рубашек, а y — количество кепок.
______________

Ответ:
6x + 3y = 36

Пояснение:
Сумма кепок и рубашек — 8. Общая стоимость кепок и рубашек — 36 долларов.
х + у = 8
6х + 3у = 36

Вопрос 6.
б. Изобразите систему. Какое решение и что оно собой представляет?

Тип ниже:
______________

Ответ:
Решение: (4, 4)

Пояснение:
x + y — x = -x + 8
y = -x + 8
6x + 3y — 6x = -6x + 36
3y = -6x + 36
y = -6/2.х + 36/3
y = -2x + 12
(4, 4). Они должны заказать 4 рубашки и 4 кепки.

Вопрос 7.
Multistep В таблице указана стоимость боулинга на двух дорожках для боулинга.

а. Напишите систему уравнений, в которой одно уравнение описывает стоимость игры в Bowl-o-Rama, а другое — стоимость игры в Bowling Pinz. Для каждого уравнения пусть x представляет количество сыгранных игр, а y представляет общую стоимость.
Введите ниже:
______________

Ответ:
y = 2.5x + 2
y = 2x + 4

Пояснение:
Стоимость в Bowl-o-Rama => y = 2,5x + 2
Стоимость в Bowling Pinz => y = 2x + 4

Вопрос 7.
б. Изобразите систему. Какое решение и что оно собой представляет?

Тип ниже:
______________

Ответ:

Пояснение:
Решение линейной системы уравнений является пересечением двух уравнений.
(4, 12)
Когда сыграно 4 игры, общая стоимость составляет 12 долларов.

Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков — Страница № 234

Вопрос 8.
Multi-Step Джереми пробегает 7 миль в неделю и увеличивает свою дистанцию на 1 милю каждую неделю. Тони пробегает 3 мили в неделю и увеличивает дистанцию на 2 мили каждую неделю. Через сколько недель Джереми и Тони будут пробегать одинаковую дистанцию? Какое это будет расстояние?
Введите ниже:
______________

Ответ:
Через 4 недели Джереми и Тони будут пробегать такое же расстояние, и это расстояние составит 11 миль.

Пояснение:
Multi-Step Джереми пробегает 7 миль в неделю и увеличивает свою дистанцию на 1 милю каждую неделю.
y = x + 7
Тони пробегает 3 мили в неделю и каждую неделю увеличивает свое расстояние на 2 мили.
y = 2x + 3

Решение системы линейного уравнения — (4, 11), что означает, что через 4 недели Джереми и Тони будут пробегать такое же расстояние, и это расстояние будет 11 миль.

Вопрос 9.
Критическое мышление Напишите реальную ситуацию, которая может быть представлена системой уравнений, показанной ниже.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 4 x + 10 \\ y = 3x + 15 \ end {array} \ right. \)
Введите ниже:
______________

Ответ:
Плата за вход в первый тренажерный зал составляет 10 долларов, и за каждый час, проведенный в нем, вы платите дополнительно 4 доллара. Если обозначить через x количество часов, которые кто-то проводит в тренажерном зале, а через y общая стоимость составит
y = 4x + 10
Входной взнос во второй тренажерный зал составляет 15 долларов, и за каждый час, проведенный в нем, вы платите дополнительно 3 доллара. Если обозначить через x количество часов, которые кто-то проводит в тренажерном зале, а через y, общая стоимость составит
y = 3x + 15
y = 4x + 10
y = 3x + 15

Сосредоточение внимания на мышлении высшего порядка

Вопрос 10.
Multistep В таблице показаны два варианта, предоставляемые провайдером высокоскоростного Интернета.

а. Через сколько месяцев общая стоимость обоих вариантов будет одинаковой? Сколько это будет стоить?
________ мес
$ ________

Ответ:
5 месяцев
$ 200

Пояснение:
Пусть y будет общей стоимостью после x месяца
y = 30x + 50
Пусть y будет общей стоимостью после x месяца
y = 40x
Заменить y = 40x на y = 30x + 50
40x = 30x + 50
40x — 30x = 50
10x = 50
x = 50/10
x = 5
Общая стоимость обоих вариантов будет одинаковой через 5 месяцев.Общая стоимость составит y = 40 (5) = 200 долларов.

Вопрос 10.
б. Если вы планируете отказаться от подключения к Интернету через 9 месяцев, какой вариант дешевле? Объяснять.
______________

Ответ:
Когда x = 9 месяцев
y = 30 (9) + 50 = 320 долларов
y = 40 (9) = 360 долларов
320 долларов <360 долларов
Вариант 1 дешевле, так как общая стоимость меньше для варианта 1

Вопрос 11.
Сделайте выводы Сколько решений имеет система, образованная x — y = 3 и ay — ax + 3a = 0, для ненулевого числа a? Объяснять.
Введите ниже:
______________

Ответ:
x — y = 3
ay — ax + 3a = 0
ay — ax + 3a — 3a = 0 — 3a
ay — ax = — 3a
a (y — x) = -3a
y — x = -3
x — y = 3
Оба уравнения одинаковы. Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

Управляемая практика — Решение систем путем замены — Стр. № 240

Решите каждую систему линейных уравнений подстановкой.

Вопрос 1.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-2y = 9 \\ y = 2x-7 \ end {array} \ right.\)
x = ________
y = ________

Ответ:
x = 5
y = 3

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-2y = 9 \\ y = 2x-7 \ end {array} \ right. \)
Заменить 2x — 7 в 3x — 2y = 9
3x — 2 (2x — 7) = 9
3x — 4x + 14 = 9
-x + 14 = 9
-x + 14-14 = 9-14
-x = -5
x = -5 / -1 = 5
y = 2 (5) — 7 = 3
Решение: (5, 3)

Вопрос 2.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = x-4 \\ 2x + y = 5 \ end {array} \ right. \)
x = ________
y = ________

Ответ:
x = 3
y = -1

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = x-4 \\ 2x + y = 5 \ end {array} \ right.\)
2x + x — 4 = 5
3x — 4 = 5
3x — 4 + 4 = 5 + 4
3x = 9
x = 9/3 = 3
y = 3-4 = -1
Решение это (3, -1)

Вопрос 3.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y = 6 \\ y = -x + 3 \ end {array} \ right. \)
x = ________
y = ________

Ответ:
x = 2
y = 1

Объяснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y = 6 \\ y = -x + 3 \ end {array} \ right. \)
Заменить y = -x + 3 в x + 4y = 6
x + 4 (-x + 3) = 6
x — 4x + 12 = 6
-3x + 12 = 6
-3x + 12-12 = 6-12
-3x = -6
x = -6 / -3 = 2
y = -2 + 3 = 1
Решение: (2, 1)

Вопрос 4.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 6 \\ x-y = 3 \ end {array} \ right. \)
x = ________
y = ________

Ответ:
x = 4
y = 1

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 6 \\ xy = 3 \ end {array} \ right. \)
y = x — 3
Заменить y = x — 3 в x + 2y = 6
x + 2 (x — 3) = 6
x + 2x — 6 = 6
3x = 12
x = 12/3
x = 4
4 — y = 3
-y = 3-4
-y = -1
y = 1
Решение: (4, 1)

Решите каждую систему.Сначала оцените решение.

Вопрос 5.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x + y = 4 \\ x-4y = 19 \ end {array} \ right. \)
Оценка ______________
Решение ______________
Введите ниже :
______________

Ответ:
Оценка (2, -5)
Решение (1,4, -4,4)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x + y = 4 \\ x-4y = 19 \ end {array} \ right. \)
Давайте найдем оценку, построив уравнения
Оценка: (2, -5)

x = 4y + 19
6 (4y + 19) + y = 4
24y + 114 + y = 4
25y + 114 = 4
25y = 4 — 114
25y = — 110
y = -110/25
y = -4.4
x + 4 (-4,4) = 19
x + 17,6 = 19
x = 19 — 17,6
x = 1,4
Решение: (1,4, -4,4)

Вопрос 6.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 8 \\ 3x + 2y = 6 \ end {array} \ right. \)
Оценка ______________
Решение ______________
Введите ниже :
______________

Ответ:
Оценка (-1, 5)
Решение (-1, 4.5)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 8 \\ 3x + 2y = 6 \ end {array} \ right. \)
Давайте найдем оценку, построив уравнения
Оценка: (-1, 5)

x = -2y + 8
Подставляем уравнение x = -2y + 8 в 3x + 2y = 6
3 (-2y + 8) + 2y = 6
-6y + 24 + 2y = 6
-4y = 6-24
-4y = -18
y = -18 / -4
y = 4.5
x + 2 (4.5) = 8
x + 9 = 8
x = 8-9
x = -1
Решение: (-1, 4.5)

Вопрос 7.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 4 \\ 5x-y = 22 \ end {array} \ right. \)
Оценка ______________
Решение ______________
Введите ниже :
______________

Ответ:
Оценка (3, -6)
Решение (3,25, -5,75)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 4 \\ 5x-y = 22 \ end {array} \ right. \)
Найдите оценку, построив уравнения на графике.
Оценка: (3, -6)

y = -3x + 4
Заменить y = -3x + 4 в 5x — y = 22
5x — (-3x + 4) = 22
5x + 3x -4 = 22
8x = 26
x = 26/8
x = 3,25
3 (3,25) + y = 4
9,75 + y = 4
y = 4 — 9,75
y = -5,75
Решение (3,25, -5,75)

Вопрос 8.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 7y = 2 \\ x + y = -1 \ end {array} \ right. \)
Оценка ______________
Решение ______________
Тип ниже:
______________

Ответ:
Оценка (-2, 1)
Решение (-1.8, 0,8)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 7y = 2 \\ x + y = -1 \ end {array} \ right. \)
Найдите оценку, построив уравнения на графике.
Оценка: (-2, 1)

y = -x -1
Заменить y = -x — 1 в 2x + 7y = 2
2x + 7 (-x — 1) = 2
2x — 7x -7 = 2
-5x = 2 + 7
-5x = 9
x = -9/5
x = -1,8
-1,8 + y = -1
y = -1 + 1,8
y = 0,8
Решение (- 1,8, 0,8)

Вопрос 9.
Билеты для взрослых в парк развлечений «Космический город» стоят x долларов.Детские билеты стоят y долларов. Семья Хенсонов купила 3 взрослых и 1 детский билет за 163 доллара. Семья Гарсиа купила 2 взрослых и 3 детских билета за 174 доллара.
а. Напишите уравнения, чтобы представить стоимость Хенсонов и Гарсиа.
Стоимость Hensons: ________________
Стоимость Гарсиаса: __________________
Введите ниже:
______________

Ответ:
Стоимость Хенсона: 3x + y = 163
Стоимость Гарсиаса: 2x + 3y = 174

Пояснение:
Стоимость Хенсона
3x + y = 163
Стоимость Гарсии
2x + 3y = 174

Вопрос 9.
г. Решите систему. Цена
взрослого билета: _________
долларов США Стоимость билета Гарсиаса: _________

долларов США.

Ответ:
Цена взрослого билета: 45 долларов
Стоимость билета Гарсиаса: 28

долларов

Объяснение:
y = -3x + 163
Заменить y = -3x + 163 на 2x + 3y = 174
2x + 3 (-3x + 163) = 174
2x -9x + 489 = 174
-7x = -315
x = -315 / -7 = 45
3 (45) + y = 163
135 + y = 163
y = 163-135
y = 28
цена взрослого билета: 45 долларов
Стоимость билета Гарсиаса: 28

долларов США

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ РЕГИСТРАЦИОННЫЙ ВОПРОС

Вопрос 10.
Как вы можете решить, какую переменную решать в первую очередь, когда вы решаете линейную систему с помощью подстановки?
Введите ниже:
______________

Ответ:
Переменная с единичным коэффициентом должна быть решена первой при решении линейной системы путем подстановки.

8.2 Независимая практика — Решение систем путем замены — Стр. № 241

Вопрос 11.
Проверка на разумность Зак решает систему
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y = -3 \\ x-y = 1 \ end {array} \ right.\)
и находит решение (1, -2). Используйте график, чтобы объяснить, разумно ли решение Зака.

Тип ниже:
______________

Ответ:

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y = -3 \\ xy = 1 \ end {array} \ right. \)
Координата x решения отрицательна, поэтому Решение Зака неразумно.

Представление реальных проблем Анджело купил яблоки и бананы в фруктовом киоске. Он купил 20 фруктов и потратил 11 долларов.50. Яблоки стоят 0,50 доллара, а бананы — 0,75 доллара за штуку.
а. Напишите систему уравнений для моделирования проблемы. (Подсказка: одно уравнение представляет количество кусочков фруктов. Второе уравнение представляет деньги, потраченные на фрукты.)

Введите ниже:
______________

Ответ:
x + y = 20
0,5x + 0,75y = 11,5

Пояснение:
x + y = 20
0,5x + 0,75y = 11,5
где c — количество яблок, а y — количество бананов.

Вопрос 12.
г. Решите систему алгебраически. Расскажите, сколько яблок и бананов купил Анджело.
________ яблоки
________ бананы

Ответ:
14 яблок
6 бананов

Пояснение:
y = -x + 20
Заменить y = -x + 20 в 0,5x + 0,75y = 11,5
0,5x + 0,75 (-x + 20) = 11,5
0,5x — 0,75x + 15 = 11,5
-0,25x + 15 = 11,5
-0,25x = 11,5 — 15
-0,25x = -3,5
x = -3,5 / -0,25
x = 14
14 + y = 20
y = 6
Анджело купил 14 яблок и 6 бананов.

Вопрос 13.
Представляют проблемы реального мира Баночка содержит n пятак и десять центов. Всего в банке 200 монет. Стоимость монет составляет 14 долларов США. Сколько пятаков и сколько десять центов в банке?
________ никели
________ копейки

Ответ:
120 никель
80 копейки

Пояснение:
В банке n никелей и десять центов. Всего в банке 200 монет. Стоимость монет составляет 14 долларов США.
14 долларов = 1400 центов
n + d = 200
5n + 10d = 1400
d = -n + 200
5n + 10 (-n + 200) = 1400
5n — 10n + 2000 = 1400
-5n = -600
n = -600 / -5
n = 120
120 + d = 200
d = 200 — 120
d = 80
В банке 120 пятаков и 80 пятаков.

Вопрос 14.
Multistep На графике показан треугольник, образованный осью x, линией 3x − 2y = 0 и линией x + 2y = 10. Выполните следующие действия, чтобы найти площадь треугольника.
а. Найдите координаты точки A, решив систему
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-2y = 0 \\ x-2y = 10 \ end {array} \ right. \)
Point A : ____________________

Тип ниже:
______________

Ответ:
Точка A: (2,5, 3,75) Координата A: (2,5, 3,75)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-2y = 0 \\ x-2y = 10 \ end {array} \ right.\)
x = -2y + 10
Заменить x = -2y + 10 в 3x — 2y = 0
3 (-2y + 10) -2y = 0
-6y + 30 — 2y = 0
-8y = -30
y = -30 / -8 = 3,75
x + 2 (3,75) = 10
x + 7,5 = 10
x = 10 — 7,5
x = 2,5
Координата A равна (2,5, 3,75)

Вопрос 14.
б. Используйте координаты точки A, чтобы найти высоту треугольника.
высота: __________________
высота: \ (\ frac {□} {□} \) единиц

Ответ:
высота: 3,75
высота: \ (\ frac {15} {4} \) единиц

Пояснение:
Высота треугольника — это координата y для A
Высота = 3.75

Вопрос 14.
c. Какова длина основания треугольника?
цоколь: ________________
цоколь: ______ шт.

Ответ:
база: 10 шт.

Пояснение:
Длина основания = 10

Вопрос 14.
г. Какая площадь у треугольника?
A = ______ \ (\ frac {□} {□} \) квадратных единиц

Ответ:
A = 18,75 квадратных единиц
A = 18 \ (\ frac {3} {4} \) квадратных единиц

Пояснение:
Площадь треугольника = 1/2.Высота . База
Площадь = 1/2. 3.75. 10 = 18,75

Решение систем путем замены — Стр. № 242

Вопрос 15.
Джед рисует дизайн воздушного змея на координатной сетке. Четыре вершины воздушного змея находятся в точках A (- \ (\ frac {4} {3} \), \ (\ frac {2} {3} \)), B (\ (\ frac {14} {3} \), — \ (\ frac {4} {3} \)), C (\ (\ frac {14} {3} \), — \ (\ frac {16} {3} \)) и D (\ (\ frac {2} {3} \), — \ (\ frac {16} {3} \)). Одна стойка кайта соединит точки A и C. Другой соединит точки B и D. Найдите точку пересечения стоек.

Тип ниже:
______________

Ответ:
Распорки перекрещиваются как (8/3, 10/3)

Пояснение:
1. Из AC
Наклон = (y2 — y1) / (x2 — x1) = [(-16/3) — (2/3)] ÷ [(14/3) — (-4/3 )] = (-18/3) ÷ (18/3) = -1
y = mx + b
2/3 = -1 (-4/3) + b
2/3 = 4/3 + b
1. Из BD
Наклон = (y2 — y1) / (x2 — x1) = [(-16/3) — (- 4/3)] ÷ [(2/3) — (144/3)] = ( -12/3) ÷ (-12/3) = 1
y = mx + b
-4/3 = 1 (14/3) + b
-4/3 = 14/3 + b
-18/3 = b
-6 = b
y = mx + b
y = x -6
3.y = -x -2/3
y = x — 6
4. y = -x — 2/3
x — 6 = -x — 2/3
x = -x — 2/3 + 6
x = — x + 16/3
2x = 16/3
x = 16/6
x = 8/3
, затем y = x — 6
y = 8/3 — 18/3
y = -10/3
подкосы крестообразные (8/3, 10/3)

Сосредоточение внимания на мышлении высшего порядка

Вопрос 16.
Анализ взаимосвязей Рассмотрим систему
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x-3y = 15 \\ x + 3y = -8 \ end {array} \ right. \)
Describe три различных метода подстановки, которые можно использовать для решения этой системы.Затем решите систему.
Введите ниже:
______________

Ответ:
(1, -3) — это ответ.

Explanation:
Поскольку существует три различных метода подстановки, мы можем написать
Решить для y в первом уравнении, а затем подставить это значение во второе уравнение.
Найдите x во втором уравнении, затем подставьте это значение в первое уравнение.
Решите любое уравнение для 3y, затем подставьте это значение в другое уравнение.
Из Второго метода
x + 3y = -8
x = -3y — 8
6x — 3y = 15
6 (-3y — 8) -3y = 15
-18y — 48 -3y = 15
-21y — 48 = 15
-21y = 63
y = -3
x + 3y = -8
x + 3 (-3) = -8
x — 9 = -8
x = 1
(1, -3) это ответ.

Вопрос 17.
Сообщайте математические идеи Объясните преимущества, если таковые имеются, решения системы линейных уравнений с помощью подстановки по сравнению с решением той же системы с помощью построения графиков.
Введите ниже:
______________

Ответ:
Преимущество решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков состоит в том, что это относительно легко сделать и требует очень мало алгебры.

Вопрос 18.
Настойчиво решайте проблемы Создайте систему уравнений вида
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} Ax + By = C \\ Dx + Ey = F \ end {array} \ верно.\)
, решением которой является (7, −2). Объясните, как вы нашли систему.
Введите ниже:
______________

Ответ:
x + y = 5
x — y = 9
решает в:
x = (5 + 9) / 2 = 7
y = 5-9) / 2 = -2
A = 1, B = 2, C = 5
D = 1, E = -1, F = 9
x = 7
y = -2
ЯВЛЯЕТСЯ системой (даже если она тривиальная) уравнений, поэтому этот ответ будет приемлемым.
Цель системы состоит в том, чтобы найти ее НАБОР РЕШЕНИЙ, а не заключить с x = a и y = b

Управляемая практика — Решение систем путем исключения — Стр.248

Вопрос 1.
Решите систему
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 3y = 1 \\ x-3y = -11 \ end {array} \ right. \)
, добавив.

Тип ниже:
______________

Ответ:
4x + 3y = 1
x — 3y = -11
Сложите два приведенных выше уравнения
4x + 3y = 1
+ (x — 3y = -11)
Добавьте, чтобы исключить переменную y
5x + 0y = -10
Упростите и решите относительно x
5x = -10
Разделите обе стороны на 5
x = -10/5 = -2
Подставьте в одно из исходных уравнений и решите относительно y.
4 (-2) + 3y = 1
-8 + 3y = 1
3y = 9
y = 9/3 = 3
Итак, (-2, 3) — решение системы.

Решите каждую систему уравнений путем сложения или вычитания.

Вопрос 2.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = -2 \\ — 3x + 2y = -10 \ end {array} \ right. \)
x = ________
y = ________

Ответ:
x = 2
y = -2

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = -2 \\ — 3x + 2y = -10 \ end {array} \ right. \)
Вычтите уравнения
x + 2y = -2
— (- 3x + 2y = -10)
y исключается, поскольку он изменил коэффициенты.Решить относительно x
x + 2y + 3x — 2y = -2 + 10
4x = 8
x = 8/4 = 2
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
2 + 2y = -2
2 + 2y -2 = -2 -2
2y = -4
y = -4/2 = -2
(2, -2) — это ответ.

Вопрос 3.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 23 \\ 3x-2y = 8 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(6, 5)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 23 \\ 3x-2y = 8 \ end {array} \ right. \)
Вычтите уравнения
3x + y = 23
— (3x — 2y = 8)
x исключается, поскольку он изменил коэффициенты.Решить относительно y
3x + y — 3x + 2y = 23-8
3y = 15
y = 15/3 = 5
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
3x + 5 = 23
3x + 5-5 = 23-5
3x = 18
x = 18/3 = 6
Решение: (6, 5)

Вопрос 4.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -4x-5y = 7 \\ 3x + 5y = -14 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(7, -7)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -4x-5y = 7 \\ 3x + 5y = -14 \ end {array} \ right. \)
Добавьте уравнения
-4x — 5y = 7
+ (3x + 5y = -14)
y исключается, поскольку у него были обратные коэффициенты.Решить относительно x
-4x -5y + 3x + 5y = 7-14
-x = -7
x = -7 / -1 = 7
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
3 (7) + 5y = -14
21 + 5y -21 = -14-21
5y = -35
y = -35/5 = -7
Ответ: (7, -7)

Вопрос 5.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x-2y = -19 \\ 5x + 2y = 1 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(-3, 8)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x-2y = -19 \\ 5x + 2y = 1 \ end {array} \ right.\)
Складываем уравнения
x — 2y = -19
+ (5x + 2y = 1)
y исключается, так как у него были обратные коэффициенты. Решить относительно x
x — 2y + 5x + 2y = -19 + 1
6x = -18
x = -18/6 = -3
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
-3-2y = -19
-3-2y + 3 = -19 + 3
-2y = -16
y = -16 / -2 = 8
Ответ: (-3, 8)

Вопрос 6.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 18 \\ — 2x + 4y = 8 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(2, 3)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 18 \\ — 2x + 4y = 8 \ end {array} \ right.\)
Вычтите уравнения
3x + 4y = 18
— (- 2x + 4y = 8)
y исключается, поскольку он изменил коэффициенты. Решите относительно x
3x + 4y + 2x — 4y = 18-8
5x = 10
x = 10/5 = 2
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
3 (2) + 4y = 18
6 + 4y — 6 = 18-6
4y = 12
y = 12/4 = 3
Решение: (2, 3)

Вопрос 7.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -5x + 7y = 11 \\ — 5x + 3y = 19 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(-5, -2)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -5x + 7y = 11 \\ — 5x + 3y = 19 \ end {array} \ right.\)
Вычтите уравнения
-5x + 7y = 11
— (- 5x + 3y = 19)
x исключается, поскольку он изменил коэффициенты. Решить относительно y
-5x + 7y + 5x — 3y = 11-19
4y = -8
y = -8/4 = -2
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
-5x + 7 (-2 ) = 11
-5x -14 + 14 = 11 + 14
-5x = 25
x = 25 / -5 = -5
Решение: (-5, -2)

Вопрос 8.
Автострада Грин-Ривер имеет минимальное и максимальное ограничение скорости. Тони ехал 2 часа на минимальной скорости и 3 часа.5 часов на максимуме, дистанция 355 миль. Рэй ехала 2 часа на минимальной скорости и 3 часа на максимальной, расстояние в 320 миль. Какие два ограничения скорости?
а. Напишите уравнения, чтобы обозначить расстояние до Тони и расстояние до Рэй.
Введите ниже:
______________

Ответ:
Расстояние Тони: 2x + 3,5y = 355
Расстояние Рэя: 2x + 3y = 320
, где x — минимальная скорость, а y — максимальная скорость.

Вопрос 8.
б. Решите систему.
ограничение минимальной скорости: ______________
ограничение максимальной скорости ______________
ограничение минимальной скорости: ________ миль / ч
ограничение максимальной скорости: ________ миль / ч

Ответ:
минимальное ограничение скорости: 55
максимальное ограничение скорости 70
минимальное ограничение скорости: 55 миль / ч
максимальное ограничение скорости: 70 миль / ч

Пояснение:
Вычтите уравнения
2x + 3,5y = 355
— (2x + 3y = 320)
x исключается, поскольку он изменил коэффициенты. Решить относительно y
2x + 3.5y — 2x — 3y = 355-320
0.5y = 35
y = 35 / 0,5 = 70
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
2x + 3 (70) = 320
2x + 210-210 = 320-210
2x = 110
x = 110 / 2 = 55
Минимальное ограничение скорости: 55 миль в час
Максимальное ограничение скорости: 70 миль в час

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ РЕГИСТРАЦИОННЫЙ ВОПРОС

Вопрос 9.
Можете ли вы использовать сложение или вычитание для решения любой системы? Объяснять.
________

Ответ:
Нет. Одна из переменных должна иметь одинаковый коэффициент, чтобы складывать или вычитать систему.

8.3 Независимая практика — Решение систем путем исключения — Стр. № 249

Вопрос 10.
Представьте проблемы реального мира Марта купила новых рыбок для своего домашнего аквариума. Она купила 3 гуппи и 2 тарелки на общую сумму 13,95 долларов. Хэнк также купил гуппи и тарелки для своего аквариума. Он купил 3 гуппи и 4 тарелки на общую сумму 18,33 доллара. Узнайте цену гуппи и цену пластинки.

Гуппи: $ ________
Плати: $ ________

Ответ:
Гуппи: 3 доллара.19
Platy: 2,19 доллара США

Объяснение:
3x + 2y = 13,95
3x + 4y = 18,33
где x — цена единицы гуппи, а y — цена единицы пластинки
Вычтите уравнения
3x + 2y = 13,95
— (3x + 4y = 18,33 )
x исключен, поскольку он изменил коэффициенты. Решите относительно y
3x + 2y — 3x — 4y = 13,95 — 18,33
-2y = -4,38
y = -4,38 / -2 = 2,19
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
3x + 2 (2,19) = 13,95
3x + 4,38 — 4,38 = 13.95 — 4,38
3x = 9,57
x = 9,57 / 3 = 3,19
Цена гуппи составляет 3,19 доллара, а цена пластинки — 2,19 доллара

Вопрос 11.
Представляют проблемы реального мира Правило для количества рыб в домашнем аквариуме — 1 галлон воды на каждый дюйм длины рыбы. Аквариум Марты вмещает 13 галлонов, а аквариум Хэнка — 17 галлонов. В зависимости от количества рыб, купленных в упражнении 10, какой длины будет гуппи и какой длины пластинка?
Длина гуппи = ________ дюймов
Длина пластинки = ________ дюймов

Ответ:
Длина гуппи = 3 дюйма
Длина плиты = 2 дюйма

Пояснение:
3x + 2y = 13
3x + 4y = 17
где x — длина гуппи, а y — длина пластинки
Вычтите уравнения
3x + 2y = 13
— (3x + 4y = 17)
x исключен, поскольку он изменил коэффициенты.Решить относительно y
3x + 2y — 3x — 4y = 13-17
-2y = -4
y = -4 / -2 = 2
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
3x + 2 (2) = 13
3x + 4-4 = 13-4
3x = 9
x = 9/3 = 3
Длина гуппи 3 дюйма, а цена пластинки 2 дюйма

Вопрос 12.
Линия m проходит через точки (6, 1) и (2, -3). Линия n проходит через точки (2, 3) и (5, -6). Найдите точку пересечения этих линий.
Введите ниже:
________________

Ответ:
Пересечение этих линий есть (3.5, -1,5)

Пояснение:
Найдите наклон прямой m = (y2 — y1) / (x2 — x1), где (x2, y2) = (2, -3) и (x1, y1) = (6, 1)
Наклон = (-3-1) / (2-6) = -4 / -4 = 1
Подставьте значение m и любую из заданной упорядоченной пары (x, y) в форму уравнения точка-наклон: y — y1 = m (x — x1)
y — 1 = 1 (x — 6)
y — 1 = x — 6
y = x — 6 + 1
x — y = 5
Найдите наклон прямой n = (y2 — y1) / (x2 — x1) где (x2, y2) = (5, -6) и (x1, y1) = (2, 3)
Наклон = (-6-3) / (5-2) = — 9/3 = -3
Подставьте значение m и любую из заданной упорядоченной пары (x, y) в форму уравнения точечного уклона: y — y1 = m (x — x1)
y — 3 = -3 ( x — 2)
y — 3 = -3x + 6
y = -3x + 6 + 3
3x + y = 9
Сложите уравнения
x — y = 5
+ (3x + y = 9)
y равно исключен, поскольку он изменил коэффициенты.Решите относительно x
x — y + 3x + y = 5 + 9
4x = 14
x = 14/4 = 3,5
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
3,5 — y = 5
3,5 — y — 3,5 = 5 — 3,5
-y = 1,5
y = -1,5
Пересечение этих прямых равно (3,5, -1,5)

Вопрос 13.
Представляют проблемы реального мира Две машины заменили масло в одном и том же автомагазине. Магазин взимает с покупателей каждую кварту масла плюс фиксированную плату за труд. Замена масла в одной машине потребовала 5 литров масла и стоила 22 доллара.45. Замена масла в другой машине потребовала 7 литров масла и стоила 25,45 доллара. Сколько стоит оплата труда и сколько стоит каждая кварта масла?
Оплата труда: ________ $
Кварта масла: ________ $

Ответ:
Оплата труда: 14,95 доллара
Кварта нефти: 1,5 доллара

Объяснение:
5x + y = 22,45
7x + y = 25,45
где x — стоимость единицы кварты нефти, а y — фиксированная плата за труд
Вычтите уравнения
5x + y = 22,45
— (7x + y = 25,45)
y исключается, так как у него были обратные коэффициенты.Решите относительно x
5x + y — 7x — y = 22,45 — 25,45
-2x = -3
x = -3 / -2 = 1,5
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
5 (1,5) + y = 22,45
7,5 + y — 7,5 = 22,45 — 7,5
y = 14,95
Плата за рабочую силу составляет 14,95 долларов США, а стоимость единицы кварты нефти составляет 1,5 доллара США

Вопрос 14.
Представляют проблемы реального мира Менеджер по продажам заметил, что количество проданных единиц футболок двух стилей, стиля A и стиля B, было одинаковым в течение июня и июля. В июне общие продажи двух стилей составили 2779 долларов, а цена A — 15 долларов.95 за рубашку, а B продается по 22,95 доллара за рубашку. В июле общий объем продаж этих двух стилей составил 2385,10 доллара, причем A продается по той же цене, а B продается со скидкой в 22% от июньской цены. Сколько футболок каждого стиля было продано в июне и июле вместе взятых?
________ Футболки стиля A и стиля B продавались в июне и июле.

Ответ:
15,95x + 22,95y = 2779
15,95x + 17,9y = 2385,10
где x — номер рубашки стиля A, а y — номер рубашки стиля B
В июле цена рубашки стиля B составляет 22%. от цены рубашки стиля B в июне, следовательно, 0.78 (22,95) = 17,90
Вычтите уравнения
15,95x + 22,95y = 2779
— (15,95x + 17,9y = 2385,10)
x исключается, так как он меняет коэффициенты. Решите относительно y
15,95x + 22,95 — 15,95x — 17,9y = 2779 — 2385,10
5,05y = 393,9
y = 393,9 / 5,05 = 78
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
15,95x +22,95 (78) = 2779
15,95x + 1790,1 — 1790,1 = 2779 — 1790,1
15,95x = 988,9
x = 988,9 / 15,95 = 62
В июне было продано 62 стильных футболки AT.
Поскольку количество проданных футболок в обоих числах одинаково, общее количество = 2. 62 = 124.
Количество футболок стиля B, проданных в июне, составляет 78.
Поскольку количество проданных футболок в обоих числах одинаковое общее число = 2. 78 = 156.

Вопрос 15.
Представьте проблемы реального мира Билеты для взрослых на баскетбольный матч стоят 5 долларов. Студенческие билеты стоят 1 доллар. Всего от продажи 1246 билетов было собрано 2 874 доллара. Сколько билетов каждого типа было продано?
img 14
________ взрослые билеты
________ студенческие билеты

Ответ:
407 взрослых билетов
839 студенческих билетов

Пояснение:
x + y = 1246
5x + y = 2874
где x — количество проданных билетов для взрослых, а y — количество проданных студенческих билетов.
Вычтите уравнения
x + y = 1246
— (5x + y = 2874)
y исключается, так как у него были обратные коэффициенты. Решите относительно x
x + y — 5x — y = 1246-2874
-4x = -1628
x = -1628 / -4 = 407
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
407 + y = 1246
407 + y — 407 = 1246-407
y = 839
Количество проданных билетов для взрослых составляет 407, а для студентов — 839.

Сосредоточение внимания на мышлении высшего порядка — решение систем путем исключения — стр.250

Вопрос 16.
Сообщите математические идеи Можно ли решить систему
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-2y = 10 \\ x + 2y = 6 \ end {array} \ right. \)
с помощью подстановки? Если да, объясните, как это сделать. Какой метод, замена или исключение, более эффективен? Почему?
________

Ответ:
Система может быть решена путем подстановки, поскольку x в уравнении 2 может быть изолирован.
3x — 2y = 10
x + 2y = 6
Решите уравнение относительно x в уравнении.
x = -2y + 6
Подставьте выражение для x в другое уравнение и решите.
3 (-2y + 6) -2y = 10
-6y + 18 — 2y = 10
-8y + 18 = 10
-8y = -8
y = -8 / -8 = 1
Подставьте значения y в одно из уравнений и решите для другой переменной x.
x + 2 (1) = 6
x = 4
Решение: (4, 1)
Поскольку cofficient, если переменная y противоположна, она будет исключена и решена для x за меньшее количество шагов.
Устранение было бы более эффективным.

Вопрос 17.
Дженни использовала подстановку для решения системы
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 8 \\ x-y = 1 \ end {array} \ right.\). Ее решение показано ниже.
Шаг 1: y = -2x + 8 Решите первое уравнение относительно y.
Шаг 2: 2x + (-2x + 8) = 8 Подставьте значение y в исходное уравнение.
Шаг 3: 2x — 2x + 8 = 8 Используйте свойство распределения.
Шаг 4: 8 = 8 Упростить.
а. Объясните ошибку. Объясните ошибку, которую допустила Дженни. Опишите, как это исправить.
Введите ниже:
______________

Ответ:
2x + y = 8
x — y = 1
Переписанное уравнение следует подставить в другое исходное уравнение.
Ошибка состоит в том, что Дженни решила относительно y в первом уравнении и подставила его в исходное уравнение.
x — (-2x + 8) = 1
3x — 8 = 1
3x = 9
x = 9/3 = 3
x = 3

Вопрос 17.
б. Сообщайте математические идеи. Было бы добавление уравнений лучшим методом решения системы? Если да, объясните почему.
________

Ответ:
Да

Explanation:
В качестве коэффициента, если переменная y противоположна, она будет исключена и решена для x за меньшее количество шагов.

Управляемая практика — Решение систем методом исключения с умножением — стр.256

Вопрос 1.
Решите систему
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-y = 8 \\ — 2x + 4y = -12 \ end {array} \ right. \)
умножением и добавление.

Тип ниже:
______________

Ответ:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-y = 8 \\ — 2x + 4y = -12 \ end {array} \ right. \)
Умножьте каждый член в первом уравнении на 4, чтобы получить противоположные коэффициенты для y-членов.
4 (3x — y = 8)
12x — 4y = 32
Добавьте второе уравнение к новому уравнению
12x — 4y = 32
+ (- 2x + 4y = -12)
Добавьте, чтобы исключить переменную y
10x = 20
Разделите обе стороны на 10
x = 20/10 = 2
Подставьте в одно из исходных уравнений и решите относительно y
y = 3 (2) — 8 = -1
S0, (2, -2) равно решение системы.

Решите каждую систему уравнений, сначала умножив.

Вопрос 2.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y = 2 \\ 2x + 5y = 7 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(6, -1)

Объяснение:
x + 4y = 2
2x + 5y = 7
Чтобы исключить члены x, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (x + 4y = 2)
2x + 8y = 4
Вычтите уравнения
2x + 8y = 4
— (2x + 5y = 7)
x исключается, так как он изменил коэффициенты.Решить относительно y
2x + 8y — 2x — 5y = 4-7
3y = -3
y = -3/3 = -1
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
x + 4 (-1) = 2
x — 4 + 4 = 2 + 4
x = 6
Решение: (6, -1)

Вопрос 3.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = -1 \\ 2x + 3y = 18 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(-3, 8)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = -1 \\ 2x + 3y = 18 \ end {array} \ right. \)
Чтобы исключить члены y, умножьте 1-е уравнение на 3
3 (3x + y = -1)
9x + 3y = -3
Вычтите уравнения
9x + 3y = -3
— (2x + 3y = 18)
y исключается, так как он изменил коэффициенты.Решите относительно x
9x + 3y — 2x — 3y = -3-18
7x = -21
x = -21/7
x = -3
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
3 (-3) + y = -1
-9 + y + 9 = -1 + 9
y = 8
Решение: (-3, 8)

Вопрос 4.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 8y = 21 \\ 6x-4y = 14 \ end {array} \ right. \)
Введите ниже:
______________

Ответ:
Душа (3.5, 1.75)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 8y = 21 \\ 6x-4y = 14 \ end {array} \ right.\)
Чтобы исключить члены y, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (6x — 4y = 14)
2x + 8y = 21
Добавьте уравнения
2x + 8y = 21
+ (12x — 8y = 28)
y устраняется он имеет обратные коэффициенты. Решите относительно x
2x + 8y + 12x — 8y = 21 + 28
14x = 49
x = 49/14 = 3,5
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
6 (3,5) — 4y = 14
21 — 4y — 21 = 14-21
-4y = -7
y = -7 / -4 = 1,75
Soultion (3,5, 1,75)

Вопрос 5.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 3 \\ — x + 3y = -12 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 3 \\ — x + 3y = -12 \ end {array} \ right. \)
Чтобы исключить члены x, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (-x + 3y = -12)
-2x + 6y = -24
Складываем уравнения
2x + y = 3
+ (- 2x + 6y = -24)
x исключается, оно имеет обратные коэффициенты. Решить относительно y
2x + y — 2x + 6y = 3-24
7y = -21
y = -21/7 = -3
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
-x + 3 (-3) = -12
-x -9 + 9 = -12 + 9
-x = -3
x = 3
Душа (3, -3)

Вопрос 6.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x + 5y = 19 \\ 2x + 3y = 5 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
Душа (4, -1)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x + 5y = 19 \\ 2x + 3y = 5 \ end {array} \ right. \)
Чтобы исключить члены x, умножьте 2-е уравнение на 3
3 (2x + 3y = 5)
6x + 9y = 15
Вычтите уравнения
6x + 5y = 19
— (6x + 9y = 15)
x исключается, это изменяет коэффициенты. Решить относительно y
6x + 5y — 6x — 9y = 19-15
-4y = 4
y = 4 / -4 = -1
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
2x + 3 (-1) = 5
2x — 3 + 3 = 5 + 3
2x = 8
x = 8/2 = 4
Душа равна (4, -1)

Вопрос 7.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 5y = 16 \\ — 4x + 3y = 20 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
Душа (-2, 4)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 5y = 16 \\ — 4x + 3y = 20 \ end {array} \ right. \)
Чтобы исключить x членов, умножьте 1-е уравнение на 2
2 (2x + 5y = 16)
4x + 10y = 32
Сложите уравнения
4x + 10y = 32
+ (- 4x + 3y = 20)
x исключено, это обратные коэффициенты. Решить относительно y
10y + 3y = 32 + 20
13y = 52
y = 52/13 = 4
Подставив y в любое из уравнений, найти x
2x + 5 (4) = 16
2x + 20-20 = 16-20
2x = -4
x = -4/2 = -2
Душа равна (-2, 4)

Вопрос 8.
Брайс потратил 5,26 доллара на яблоки по 0,64 доллара за каждое и на груши по 0,45 доллара за штуку. В другом магазине он мог бы купить такое же количество яблок по 0,32 доллара за штуку и такое же количество груш по 0,39 доллара за штуку на общую сумму 3,62 доллара. Сколько яблок и сколько груш купил Брайс?
а. Напишите уравнения, чтобы представить расходы Брайса в каждом магазине
Первый магазин: _____________
Второй магазин: _____________
Введите ниже:
_____________

Ответ:
Первый магазин: 0.64x + 0,45y = 5,26
Второй запас: 0,32x + 0,39y = 3,62

Пояснение:
Первый накопитель = 0,64x + 0,45y = 5,26
Второй накопитель = 0,32x + 0,39y = 3,62
, где x — количество яблок, а y — количество груш.

Вопрос 8.
б. Решите систему.
Количество яблок: _______
Количество груш: _______

Ответ:
Количество яблок: 4
Количество груш: 6

Пояснение:
Первый накопитель = 0,64x + 0,45y = 5,26
Второй накопитель = 0.32x + 0,39y = 3,62
Умножить на 100
64x + 45y = 526
32x + 39y = 362
Чтобы исключить члены x, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (32x + 39y = 362)
64x + 45y = 526
Вычтите уравнения
64x + 45y = 526
— (64x + 78y = 724)
x исключается, это изменяет коэффициенты. Решите относительно y
64x + 45y — 64x — 78y = 526-724
-33y = -198
y = -198 / -33 = 6
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
32x + 39 (6) = 362
32x + 234 — 234 = 362 — 234
32x = 128
x = 128/32 = 4
Он купил 4 яблока и 6 груш.

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ РЕГИСТРАЦИОННЫЙ ВОПРОС

Вопрос 9.
Решая систему путем умножения, а затем сложения или вычитания, как вы решаете, прибавлять или вычитать?
Введите ниже:
_____________

Ответ:
Если переменная с тем же коэффициентом, но с обратным знаком, мы складываем, а если у них такой же знак, мы вычитаем.

Решение систем методом исключения с умножением — Стр. № 257

Вопрос 10.
Объясните ошибку. Гвен использовала метод исключения с умножением для решения системы.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 6y = 3 \\ x-3y = -1 \ end {array} \верно.\)
Показана ее работа по поиску x. Объясните ее ошибку. Затем решите систему.
2 (x — 3y) = -1
2x — 6y = -1
+ 2x + 6y = 3
_____________
4x + 0y = 2
x = \ (\ frac {1} {2} \)
Введите ниже :
____________

Ответ:
2x + 6y = 3
x — 3y = -1
Чтобы исключить члены x, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (x — 3y = -1)
2x — 6y = -2
Ошибка Gnew не умножает все выражение на 2.
Сложите уравнения
2x + 6y = 3
+ (2x — 6y = -2)
y исключено, это обратные коэффициенты.Решите относительно x
2x + 6y + 2x — 6y = 3-2
4x = 1
x = 1/4
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
x — 3y = -1
1/4 — 3y — 1/4 = -1 -1/4
-3y = -5/4
y = -5/4 (-3) = 5/12

Вопрос 11.
Представляют проблемы реального мира В Raging River Sports спальные мешки с наполнителем из полиэстера продаются за 79 долларов. Пуховые спальные мешки продаются по цене 149 долларов. За неделю в магазине было продано 14 спальных мешков за 1 456 долларов.
а. Пусть x представляет количество проданных пакетов с наполнителем из полиэстера, а y — количество проданных пакетов с наполнителем.Напишите систему уравнений, которую вы сможете решить, чтобы найти количество проданных товаров каждого типа.

Тип ниже:
____________

Ответ:
x + y = 14
79x + 149y = 1456
где x — мешки с полиэфирным наполнителем, а y — количество мешков с наполнителем

Вопрос 11.
б. Объясните, как можно решить систему относительно y путем умножения и вычитания.
Тип ниже:
____________

Ответ:
x + y = 14
79x + 149y = 1456
Умножьте второе уравнение на 79.Вычтите новое уравнение из первого уравнения и решите полученное уравнение относительно y.

Вопрос 11.
c. Объясните, как можно решить систему для y с помощью подстановки.
Тип ниже:
____________

Ответ:
Решите второе уравнение относительно x. Подставьте выражение для x в первое уравнение и решите полученное уравнение относительно y.

Вопрос 11.
г. Сколько сумок каждого типа было продано?
_______ наполнитель полиэфирный
_______ наполнитель

Ответ:
9 полиэфирная заливка
5 заливка

Объяснение:
x + y = 14
79x + 149y = 1456
Чтобы исключить члены x, умножьте 2-е уравнение на 2
79 (x + y = 14)
79x + 149y = 1456
Вычтите уравнения
79x + 79y = 1106
— (79x + 149y = 1456)
x исключено, это обратные коэффициенты.Решите относительно y
79x + 79y — 79x — 149y = 1106-1456
-70y = -350
y = -350 / -70 = 5
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
x + 5 = 14
x = 14 — 5
x = 9
Было продано 9 пакетов с полиэфирным наполнителем и 5 пакетов с наполнителем.

Вопрос 12.
Дважды число плюс дважды второе число — это 310. Разница между числами равна 55. Найдите числа, написав и решив систему уравнений. Объясните, как вы решили эту систему.
x = _______
y = _______

Ответ:
x = 105
y = 50

Объяснение:
2x + 2y = 310
x — y = 55
Чтобы исключить члены y, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (x — y = 55)
2x — 2y = 110
Сложите уравнения
2x + 2y = 310
+ (2x — 2y = 110)
y исключается, это имеет обратные коэффициенты.Решите относительно x
2x + 2y + 2x — 2y = 310 + 110
4x = 420
x = 420/4 = 105
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
105 — y = 55
y = 105-55
y = 50
Решение: (105, 50)

Решение систем методом исключения с умножением — Стр. № 258

Вопрос 13.
Представляют проблемы реального мира На ферме продаются яблочные пироги и банки с яблочным пюре. В таблице указано количество яблок, необходимое для приготовления пирога и банки яблочного пюре.Вчера на ферме было собрано 169 яблок Granny Smith и 95 яблок Red Delicious. Сколько пирогов и банок яблочного пюре может сделать ферма, если использовать каждое яблоко?

_______ пироги
_______ баночки яблочного пюре

Ответ:
21 пирожок
16 банок яблочного пюре

Пояснение:
5x + 4y = 169
3x + 2y = 95
где x — количество яблок, необходимых для пирога, а y — количество яблок для банки с яблочным пюре
Чтобы исключить члены y, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (3x + 2y = 95)
6x + 4y = 190
Вычтите уравнения
5x + 4y = 169
— (6x + 4y = 190)
y удаляется, это меняет коэффициенты.Решите относительно x
5x + 4y — 6x — 4y = 169-190
-x = -21
x = -21 / -1 = 21
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
5 (21) + 4y = 169
105 + 4y — 105 = 169 — 105
4y = 64
y = 64/4 = 16
Количество яблок, необходимых для пирога, составляет 21, а количество яблок для банки с яблочным пюре — 16.

Сосредоточение внимания на мышлении высшего порядка

Вопрос 14.
Сделайте гипотезу Лена попыталась решить систему линейных уравнений алгебраически и в процессе нашла уравнение 5 = 9.Лена подумала, что что-то не так, поэтому изобразила уравнения и обнаружила, что они параллельны линиям. Объясните, что могут означать график и уравнение Лены.
Тип ниже:
____________

Ответ:
Граф Лены представляет собой параллельную линию, что означает, что графы не пересекаются друг с другом, следовательно, у них нет решений. Уравнение 5 = 9 означает, что переменные исключаются, а это утверждение неверно. Эта линейная система не имеет решения.

Вопрос 15.
Рассмотрим систему
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 3y = 6 \\ 3x + 7y = -1 \ end {array} \ right.\)
а. Сообщите математические идеи. Опишите, как решить систему, умножая первое уравнение на константу и вычитая. Почему этот метод не идеален?
Тип ниже:
____________

Ответ:
Умножение первого уравнения на константу и вычитание
2x + 3y = 6
3x + 7y = -1
Умножьте первое уравнение на 1,5 и вычтите. Это было бы далеко не идеально, потому что вы добавили бы десятичные дроби в процесс решения.

Вопрос 15.
г. Сделайте выводы. Можно ли решить систему, умножив оба уравнения на целые константы? Если да, объясните, как это сделать.
Тип ниже:
____________

Ответ:
Да

Пояснение:
Умножьте первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2. Оба коэффициента x-члена будут равны 6. Решите, исключив x-члены с помощью вычитания.

Вопрос 15.
c. Используйте свой ответ из части b, чтобы решить систему.
(_______, _______)

Ответ:
(9, -4)

Объяснение:
2x + 3y = 6
3x + 7y = -1
Умножьте первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2.
3 (2x + 3y = 6)
2 (3x + 7y = -1)
Вычтите уравнения
6x + 9y = 18
— (6x + 14y = -2)
x исключается, это изменяет коэффициенты. Решить относительно y
6x + 9y — 6x — 14y = 18 + 2
-5y = 20
y = 20 / -5 = -4
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
2x + 3 (-4) = 6
2x = 18
x = 18/2 = 9
Решение: (9, -4)

Управляемая практика — Решение специальных систем — Стр. № 262

Используйте график для решения каждой системы линейных уравнений

Вопрос 1.
A. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x-2y = -6 \\ 2x-y = 4 \ end {array} \ right. \)
B. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x-2y = -6 \\ x + y = 6 \ end {array} \ right. \)
C. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x-y = 4 \\ 6x-3y = -12 \ end {array} \ right. \)
ШАГ 1 Решите, пересекаются ли графики уравнений в каждой системе, параллельны ли они или представляют собой одну и ту же линию.

Система A: Графики __________
Система B: Графики __________
Система C: Графики __________

Ответ:
Система A: графики параллельны
Система B: графики пересекаются
Система C: графики представляют собой ту же линию

Пояснение:
Система A: 4x — 2y = -6
2x — y = 4
Система B: 4x — 2y = -6
x + y = 6
Система C: 2x — y = 4
6x — 3y = 12

Вопрос 1.
ШАГ 2 Определите, сколько точек на графиках общего.
а. Пересекающиеся линии имеют _______________ общих точек.
г. Параллельные линии имеют _______________ общих точек.
г. В одних и тех же строках есть ___________ общих точек.
а. __________
б. __________
г. __________

Ответ:
а. Пересекающиеся линии имеют одну общую точку (точки).
г. У параллельных линий нет общих точек.
г. У одних и тех же линий бесконечно много общих точек.

Пояснение:
На графиках:
Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку
Параллельные прямые не имеют общих точек
У одних и тех же прямых бесконечно много общих точек

Вопрос 1.
ШАГ 3 Решите каждую систему.
Система A имеет __________ общих точек, поэтому у нее есть __________ решение.
Система B имеет __________ общих точек. Это решение, __________.
Система C имеет __________ общих точек. ________ упорядоченных пар на линии сделает оба уравнения верными.
Введите ниже:
___________

Ответ:
Система А не имеет общих точек, поэтому у нее нет решения. Система B имеет одну общую черту. Это решение (1,5). Система C имеет бесконечное количество общих точек. Все упорядоченные пары на линии делают оба уравнения верными.

Explanation:
Количество решений для каждой системы
Система A не имеет общих точек, поэтому у нее нет решения. Система B имеет одну общую черту. Это решение (1,5).Система C имеет бесконечное количество общих точек. Все упорядоченные пары на линии делают оба уравнения верными.

Решите каждую систему. Расскажите, сколько решений есть в каждой системе.

Вопрос 2.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x-3y = 4 \\ — 5x + 15y = -20 \ end {array} \ right. \)
___________

Ответ:
бесконечно много решений

Объяснение:
x — 3y = 4
-5x + 15y = -20
Чтобы исключить члены y, умножьте 1-е уравнение на 5
5 (x — 3y = 4)
5x — 15y = 20
Добавьте уравнения
5x — 15y = 20
+ (- 5x + 15y = -20)
x и y исключаются, поскольку у него были обратные коэффициенты.
5x — 15y — 5x + 15y = 20-20
0 = 0
Утверждение верно, следовательно, решение имеет бесконечно много решений.

Вопрос 3.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x + 2y = -4 \\ 3x + y = 4 \ end {array} \ right. \)
___________

Ответ:
нет решения

Объяснение:
6x + 2y = -4
3x + y = 4
Чтобы исключить члены y, умножьте 2-е уравнение на 5
2 (3x + y = 4)
6x + 2y = 8
Вычтите уравнения
6x + 2y = -4
— (6x + 2y = 8)
x и y исключаются, поскольку у него были обратные коэффициенты.
6x + 2y — 6x — 2y = -4-8
0 = -12
Утверждение неверно, следовательно, решение не имеет решения.

Вопрос 4.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x-2y = -10 \\ 3x + 4y = -25 \ end {array} \ right. \)
___________

Ответ:
одно решение

Объяснение:
6x — 2y = -10
3x + 4y = -25
Чтобы исключить члены y, умножьте 1-е уравнение на 2
2 (6x — 2y = -10)
12x — 4y = -20
Добавьте уравнения
12x — 4y = -20
+ (3x + 4y = -25)
y исключается, так как он изменил коэффициенты.Решите для x.
12x — 4y + 3x + 4y = -20-25
15x = -45
x = -45/15 = -3
Подставьте x в любое из исходных уравнений и решите относительно y
3 (-3) + 4y = -25
-9 + 4y + 9 = -25 + 9
4y = -16
y = -16/4
y = -4
Есть одно решение, (-3, -4)

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ РЕГИСТРАЦИОННЫЙ ВОПРОС

Вопрос 5.
Когда вы решаете систему уравнений алгебраически, как вы можете определить, имеет ли система ноль, один или бесконечное число решений?
Введите ниже:
___________

Ответ:
Когда x и y исключены и утверждение верно, система имеет бесконечно много решений.
Когда x и y исключены и утверждение ложно, у системы нет решений.
Когда система имеет одно решение путем решения, система имеет одно решение.

8.5 Независимая практика — Решение специальных систем — Стр. № 263

Решите каждую систему, построив график. Проверьте свой ответ алгебраически.

Вопрос 6.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -2x + 6y = 12 \\ x-3y = 3 \ end {array} \ right. \)

Решение: ______________
___________

Ответ:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -2x + 6y = 12 \\ x-3y = 3 \ end {array} \ right.\)
Изобразите уравнения на той же координатной плоскости
Нет решения, поскольку уравнения параллельны

Чтобы исключить члены y, умножьте 2-е уравнение на 2
2 (x — 3y = 3)
2x — 6y = 6
Добавьте уравнения
-2x + 6y = 12
2x — 6y = 6
x и y исключается, так как он изменил коэффициенты.
-2x + 6y + 2x — 6y = 12 + 6
0 = 18
Утверждение неверно, следовательно, у системы нет решения.

Вопрос 7.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 15x + 5y = 5 \\ 3x + y = 1 \ end {array} \ right.\)

Решение: ______________
___________

Ответ:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 15x + 5y = 5 \\ 3x + y = 1 \ end {array} \ right. \)
Изобразите уравнения на той же координатной плоскости

Бесконечно много решений, поскольку уравнения перекрываются
Чтобы исключить члены y, умножьте 2-е уравнение на 5
5 (3x + y = 1)
15x + 5y = 5
Вычтите уравнения
15x + 5y = 5
— (15x + 5y = 5)
x и y исключаются, так как у него были обратные коэффициенты.
15x + 5y -15x — 5y = 5 — 5
0 = 0
Утверждение верно, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Для Exs. 8–

14, укажите количество решений для каждой системы линейных уравнений

Вопрос 8.
Система, графики которой имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения по оси Y
___________

Ответ:
Нет решений

Пояснение:
Уравнения параллельны
Нет решений

Вопрос 9.
Система, графики которой имеют одинаковые точки пересечения по оси Y, но разные наклоны
___________

Ответ:
Одно решение

Пояснение:
Уравнения пересекаются
Одно решение

Вопрос 10.
система, графики которой имеют одинаковые точки пересечения по оси Y и одинаковые наклоны
___________

Ответ:
Бесконечно много решений

Пояснение:
Уравнения перекрываются
Бесконечно много решений

Вопрос 11.
Система, графики которой имеют разные точки пересечения по оси Y и разные наклоны
___________

Ответ:
Одно решение

Пояснение:
Уравнения пересекаются
Одно решение

Вопрос 12.
система
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2 \\ y = -3 \ end {array} \ right. \)
___________

Ответ:
Нет решений

Пояснение:
Уравнения параллельны
Нет решений

Вопрос 13.
система
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2 \\ y = -3 \ end {array} \ right. \)
___________

Ответ:
Одно решение

Пояснение:
Уравнения пересекаются
Одно решение

Вопрос 14.
система, графики которой были построены с использованием этих таблиц значений:

___________

Ответ:
Нет решений

Пояснение:
Уравнения параллельны Наклон одинаков для обоих уравнений, но точка пересечения по оси Y различается.
Нет решений

Вопрос 15.
Сделайте выводы График линейной системы появляется в учебнике. Вы можете видеть, что линии не пересекаются на графике, но и не кажутся параллельными. Можно ли сделать вывод, что у системы нет решения? Объяснять.
___________

Ответ:

Нет; хотя линии не пересекаются на графике, они пересекаются в точке, которой нет на графике. Чтобы доказать, что система не имеет решения, вы должны сделать это алгебраически

Решение Решение особых систем — стр.264

Вопрос 16.
Представьте проблемы реального мира Две школьные группы идут на каток. Одна группа платит 243 доллара за 36 входных билетов и 21 прокат коньков. Другая группа платит 81 доллар за 12 входных билетов и 7 прокатов коньков. Пусть x представляет собой стоимость входа, а y представляет стоимость проката коньков. Достаточно ли информации, чтобы найти значения для x и y? Объяснять.

___________

Ответ:
36x + 21y = 243
12x + 7y = 81
где x — стоимость приема, а y — стоимость аренды доли.
Хотя информацию можно использовать для разработки системы линейных уравнений, где каждое уравнение имеет две переменные, когда система решена, количество решений бесконечно, значения x и y не могут быть определены.
№

Вопрос 17.
Представляют проблемы реального мира Хуан и Тори готовятся к соревнованиям по легкой атлетике. Они начинают свои тренировочные заезды с той же точки, но Тори начинает через 1 минуту после Хуана. Оба бегают со скоростью 704 фута в минуту. Догоняет ли Тори Хуана? Объяснять.
___________

Ответ:
Нет; И Хуан, и Тори бегают с одинаковой скоростью, поэтому линии, обозначающие пройденные ими расстояния, параллельны. Нет решения для системы

Сосредоточение внимания на мышлении высшего порядка

Вопрос 18.
Обоснование рассуждений Линейная система без решения состоит из уравнения y = 4x — 3 и второго уравнения вида y = mx + b. Что вы можете сказать о значениях m и b? Объясните свои рассуждения.
Введите ниже:
___________

Ответ:
y = 4x — 3
y = mx + b
Поскольку система не имеет решений, два уравнения параллельны.Значение наклона m будет таким же, т.е. 4. Значение y-точки пересечения b может быть любым числом, кроме -3, поскольку b отличается для параллельных линий.

Вопрос 19.
Обоснование рассуждений Линейная система с бесконечным числом решений состоит из уравнения 3x + 5 = 8 и второго уравнения вида Ax + By = C. Что вы можете сказать о значениях A, B и C ? Объясните свои рассуждения.
Введите ниже:
___________

Ответ:
3x + 5 = 8
Ax + By = C
Поскольку система имеет бесконечно много решений, значения A, B и C должны быть одинаковыми кратными 3, 5 и 8 соответственно.Два уравнения представляют собой одну линию, поэтому коэффициенты и константы одного уравнения должны быть кратны другому.

Вопрос 20.
Сделайте выводы Обе точки (2, -2) и (4, -4) являются решениями системы линейных уравнений. Какие выводы вы можете сделать об уравнениях и их графиках?
Введите ниже:
___________

Ответ:
Если система имеет более одного решения, уравнения представляют одну и ту же линию и имеют бесконечно много решений.

Готовы продолжить? — Тест модели — Страница № 265

8.1 Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков

Решите каждую систему, построив график.

Вопрос 1.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = x-1 \\ y = 2x-3 \ end {array} \ right. \)

(________, ________)

Ответ:
(2, 1)

Пояснение:
y = x — 1
y = 2x — 3
Изобразите уравнения на одной и той же координатной плоскости

Решение системы — точка пересечения
Решение: (2, 1)

Вопрос 2.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 1 \\ — x + y = 2 \ end {array} \ right. \)

(________, ________)

Ответ:
(-1, 1)

Пояснение:
x + 2y = 1
-x + y = 2
Изобразите уравнения на той же координатной плоскости

Решение системы — точка пересечения
Решение: (-1, 1)

8.2 Решение систем заменой

Решите каждую систему уравнений путем подстановки.

Вопрос 3.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2x \\ x + y = -9 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(-3, -6)

Объяснение:
y = 2x
x + y = -9
Подставьте y из уравнения 1 в другое уравнение.
x + 2x = -9
3x = -9
x = -9/3
x = -3
Тогда y = 2 (-3) = -6
Решение: (-3, -6)

Вопрос 4.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-2y = 11 \\ x + 2y = 9 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(5, 2)

Объяснение:
3x — 2y = 11
x + 2y = 9
Решите относительно x в уравнении 2
x = — 2y + 9
Подставьте x из уравнения 2 в другое уравнение
3 (-2y + 9) — 2y = 11
-6y + 27 -2y = 11
-8y = -16
y = -16 / -8 = 2
Подставьте y в любое из уравнений, чтобы найти x
x + 2 (2) = 9
x + 4 — 4 = 9 — 4
x = 5
Решение: (5, 2)

8.3 Системы решения путем исключения

Решите каждую систему уравнений путем сложения или вычитания.

Вопрос 5.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 9 \\ 2x + y = 5 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(4, -3)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 9 \\ 2x + y = 5 \ end {array} \ right. \)
Вычтите уравнения
3x + y = 9
— (2x + y = 5)
y исключен, поскольку он изменил коэффициенты. Решить относительно x
3x + y — 2x — y = 9-5
x = 4
Подставив x в любое из уравнений, найти y
2 (4) + y = 5
8 + y — 8 = 5-8
y = -3
Решение: (4, -3)

Вопрос 6.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -x-2y = 4 \\ 3x + 2y = 4 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(4, -4)

Объяснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -x-2y = 4 \\ 3x + 2y = 4 \ end {array} \ right. \)
Добавьте уравнения
-x — 2y = 4
+ (3x + 2y = 4)
y исключается, так как у него были обратные коэффициенты. Решите относительно x
-x — 2y + 3x + 2y = 4 + 4
2x = 8
x = 8/2 = 4
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
3 (4) + 2y = 4
12 + 2y — 12 = 4-12
2y = -8
y = -8/2 = -4
Решение: (4, -4)

8.4 Решение систем методом исключения с умножением

Решите каждую систему уравнений, сначала умножив.

Вопрос 7.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 3y = -2 \\ 3x + 4y = -1 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(1, -1)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 3y = -2 \\ 3x + 4y = -1 \ end {array} \ right. \)
Вычтите уравнения
3x + 9y = -6
— (3x + 4y = -1)
x исключается, поскольку он изменил коэффициенты.Решите относительно y
3x + 9y — 3x — 4y = -6 + 1
5y = -5
y = -5/5
y = -1
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
x + 3 (- 1) = -2
x — 3 = -2
x = -2 + 3
x = 1
Решение: (1, -1)

Вопрос 8.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 8y = 22 \\ 3x-2y = 5 \ end {array} \ right. \)
(________, ________)

Ответ:
(3, 2)

Объяснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + 8y = 22 \\ 3x-2y = 5 \ end {array} \ right. \)
Умножьте уравнение 2 на 4, чтобы y мог быть исключено
4 (3x — 2y = 5)
12x — 8y = 20
Сложить уравнения
2x + 8y = 22
+ (12x — 8y = 20)
y исключается, так как имеет обратные коэффициенты.Решите относительно x
2x + 8y + 12x — 8y = 22 + 20
14x = 42
x = 42/14
x = 3
Подставляя y в любое из уравнений, чтобы найти x
2 (3) + 8y = 22
6 + 8y = 22
8y = 22-6
8y = 16
y = 16/8
y = 2
Решение: (3, 2)

8.5 Решение особых систем

Решите каждую систему. Расскажите, сколько решений есть в каждой системе.

Вопрос 9.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -2x + 8y = 5 \\ x-4y = -3 \ end {array} \ right.\)
_____________

Ответ:
нет решения

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} -2x + 8y = 5 \\ x-4y = -3 \ end {array} \ right. \)
Умножьте уравнение 2 на 2, чтобы y можно исключить
2 (x — 4y = -3)
2x — 8y = -6
Складываем уравнения
-2x + 8y = 5
+ (2x — 8y = -6)
x и y удаляем
— 2x + 8y + 2x — 8y = 5-6
0 = -1
Утверждение неверно. Следовательно, у системы нет решения.

Вопрос 10.
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x + 18y = -12 \ x + 3y = -2 \ end {array} \ right.\)
_____________

Ответ:
бесконечно много решений

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 6x + 18y = -12 \\ x + 3y = -2 \ end {array} \ right. \)
Умножьте уравнение 2 на 6, чтобы x можно исключить
6 (x + 3y = -2)
6x + 18y = -12
Вычтите уравнения
6x + 18y = -12
— (6x + 18y = -12)
x и y удалите
6x + 18y -6x -18y = -12 + 12
0 = 0
Утверждение верно. Следовательно, у системы бесконечно много решений.

ОСНОВНОЙ ВОПРОС

Вопрос 11.
Каковы возможные решения системы линейных уравнений и что они представляют графически?
Введите ниже:
___________

Ответ:
Система линейных уравнений не может иметь решения, которое изображается параллельными линиями; одно решение, которое представлено пересекающимися линиями; и бесконечно много решений, которые представлены перекрывающимися линиями.

Выбранный ответ — смешанный обзор — стр.266

Вопрос 1.
График какого уравнения показан?

Варианты:
A. y = −2x + 2
B. y = −x + 2
C. y = 2x + 2
D. y = 2x + 1

Ответ:
В. y = 2x + 2

Пояснение:
Варианты A и B исключены, так как наклон графика равен 2.
Вариант D исключен, поскольку точка пересечения оси Y на графике должна быть 2.
Вариант C — это уравнение графика

Вопрос 2.
Что лучше всего описывает решения системы
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y = -4 \\ — 2x-2y = 0 \ end {array} \ right.\)
Варианты:
A. одно решение
B. нет решения
C. бесконечно много
D. (0, 0)

Ответ:
Б. решения нет

Объяснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y = -4 \\ — 2x-2y = 0 \ end {array} \ right. \)
Умножьте уравнение 1 на 2, чтобы x можно исключить
2 (x + y = -4)
2x + 2y = -8
Сложить уравнения
2x + 2y = -8
-2x — 2y = 0
x и y исключить
2x + 2y — 2x -2y = -8 + 0
0 = -8
Утверждение неверно.Следовательно, у системы нет решения.

Вопрос 3.
Что из следующего представляет 0,000056023, записанное в экспоненциальном формате?
Варианты:
A. 5.6023 × 10 ⁵
B. 5.6023 × 10 ⁴
C. 5.6023 × 10 ^-4
D. 5.6023 × 10 ^-5

Ответ:
D. 5.6023 × 10 ^-5

Пояснение:
Переместите десятичную дробь на 5 точек вправо, чтобы получить уравнение.
Д. 5.6023 × 10 ^-5

Вопрос 4.
Что является решением для
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x-y = 1 \\ 4x + y = 11 \ end {array} \ right. \)
Параметры:
A. ( 2, 3)
Б. (3, 2)
В. (-2, 3)
Д. (3, -2)

Ответ:
А. (2, 3)

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x-y = 1 \\ 4x + y = 11 \ end {array} \ right. \)
Добавьте уравнения
2x — y = 1
4x + y = 11
y исключается, так как он изменил коэффициенты. Решите для x.
2x — y + 4x + y = 1 + 11
6x = 12
x = 12/6 = 2
Подставляя x в любое из уравнений, чтобы найти y
4 (2) + y = 11
8 + y = 11
y = 11-8
y = 3
Решение: (2, 3)

Вопрос 5.
Какое выражение вы можете подставить в указанное уравнение для решения?
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-y = 5 \\ x + 2y = 4 \ end {array} \ right. \)
Варианты:
A. 2y — 4 для x в 3x — y = 5
B. 4 — x для y в 3x — y = 5
C. 3x — 5 для y в 3x — y = 5
D. 3x — 5 для y в x + 2y = 4

Ответ:
D. 3x — 5 для y в x + 2y = 4

Пояснение:
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x-y = 5 \\ x + 2y = 4 \ end {array} \ right. \)
Решите относительно y в уравнении 1
y = 3x — 5
Подставить в другое уравнение x + 2y = 4

Вопрос 6.
Каково решение системы линейных уравнений, показанной на графике?

Параметры:
A. -1
B. -2
C. (-1, -2)
D. (-2, -1)

Ответ:
В. (-1, -2)

Пояснение:
Точка пересечения — (-1, -2), что является решением системы

Вопрос 7.
Какой шаг вы могли бы использовать, чтобы начать решение
\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x-6y = 8 \\ 2x-5y = 3 \ end {array} \ right. \)
Параметры:
A. Добавьте 2x — 5y = 3 к x — 6y = 8.
B. Умножьте x — 6y = 8 на 2 и прибавьте к 2x — 5y = 3.
C. Умножьте x — 6y = 8 на 2 и вычтите его из 2x — 5y = 3.
D. Замените x = 6y — 8 для x в 2x — 5y = 3.

Ответ:
C. Умножьте x — 6y = 8 на 2 и вычтите это из 2x — 5y = 3.

Пояснение:
x — 6y = 8
2x — 5y = 3
Умножьте 1-е уравнение на 2, чтобы коэффициент переменной x был одинаковым в обоих уравнениях.
Вычтите уравнения, так как x имеет одинаковый знак.

Мини-задание

Вопрос 8.
Воздушный шар начинает подниматься от земли со скоростью 4 метра в секунду, в то же время парашютистский парашют открывается на высоте 200 метров. Парашютист спускается со скоростью 6 метров в секунду.
а. Определите переменные и напишите систему, которая представляет ситуацию.
Введите ниже:
_____________

Ответ:
y представляет собой расстояние от земли, а x представляет время в секундах
y = 4x
y = -6x + 200

Вопрос 8.
б. Найти решение.Что это значит?
Введите ниже:
_____________

Ответ:
Заменить y из уравнения 1 в уравнение 2
4x = -6x + 200
4x + 6x = -6x + 200 + 6x
10x = 200
x = 200/10 = 20
Заменить x на любое из уравнений и решите для x
y = 4 (20) = 80
Решение: (20, 80)
Баллон и парашют встречаются через 20 секунд на высоте 80 м от земли.

Вывод:

Go Math 8 класс Ответы на ключевые вопросы Глава 8 Решение систем линейных уравнений PDF для всех студентов, которые хотят изучать математику.См. Вопросы 8-го класса к главе 8 вместе с ответами и пояснениями. Немедленно приступайте к практике.

Решение линейных уравнений с одной переменной

Уровень 8: Решение линейных уравнений с одной переменной

Рейтинг:

http://map.mathshell.org/materials/download.php?fileid=1286

Общие основные стандарты

Стандарты содержания

8.EE.7 Решите линейные уравнения с одной переменной.

8.EE.7a Приведите примеры линейных уравнений от одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или без решений. Покажите, какая из этих возможностей верна, путем последовательного преобразования данного уравнения в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b (где a и b — разные числа).

8.EE.7b Решите линейные уравнения с рациональными числовыми коэффициентами, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства распределения и сбора подобных членов.

Стандарты математической практики

MP.1 — Разбирать проблемы и настойчиво их решать.

MP.3 — Создание жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других

MP.7 — Найдите и используйте структуру

Описание урока

В этом уроке под названием «Решение линейных уравнений с одной переменной» с сайта map.mathshell.org учащиеся начинают с выполнения предварительной оценки, на которой учащиеся начинают изучать, что означает истинность уравнения.Студентов просят критиковать работы двух выборочных студентов для этой оценки. Урок переходит к обсуждению того, как узнать, что уравнение истинно, и определению значений, чтобы уравнение стало истинным. Учащиеся вместе определяют, будет ли уравнение всегда, иногда или никогда не быть истинным, что представляет три возможных решения линейного уравнения (одно решение, нет решения, бесконечно много решений). Урок также включает в себя упражнение по сопоставлению карточек, в котором учащиеся сопоставляют разные уравнения с другими уравнениями с тем же решением.Уроки содержат массу информации для наводящих вопросов, чтобы способствовать рассуждению и развитию концептуального понимания.

Предупреждения

Некоторые из предостережений этого урока включают отсутствие поддержки для изучающих английский язык. Также отсутствует поддержка культурного разнообразия. На уроке отсутствует дополнительная поддержка для учащихся, которые работают как выше, так и ниже своего класса. Есть примеры решений, но нет критериев для предоставления объективных оценок. Отсутствует приложение к реальным сценариям и возможности для продвижения передачи.Также должен быть добавлен способ приспособить это для большего количества мультикультурных студентов.

Обоснование выбора

Урок представляет собой насыщенный урок, в котором учащиеся работают на уровне строгости CCSS. Студенты активно участвуют в этой деятельности, используя практические манипуляторы для сопоставления различных карточек и используя несколько представлений концепции. Есть сбалансированный подход к работе с концепциями и процедурами. Студенты должны выражать свое понимание в различных форматах, обосновывать свои рассуждения и критиковать рассуждения других.Самый ценный ресурс урока — это вопросы учителям, которые помогают учащимся рассуждать. Эти стратегии вопросов, а также потенциальные области недопонимания ценны для учителей, помогая им предвидеть и исправлять недопонимание учащихся.

Общие основные стандарты 8-го класса

Вот общие основные стандарты для 8-го класса со ссылками на ресурсы, которые их поддерживают. Мы также поощряем множество упражнений и работу с книгами.

8 класс | Система счисления

Знайте, что есть числа, которые не являются рациональными, и аппроксимируйте их рациональными числами.

8.NS.A.1 Знайте, что числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными. Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; для рациональных чисел показывают, что десятичное представление в конечном итоге повторяется, и преобразует десятичное расширение, которое в конечном итоге повторяется, в рациональное число. 3) = 1/27.9, и определяют, что население мира более чем в 20 раз больше.

Индексное обозначение — степень 10

8.EE.A.4 Выполнять операции с числами, выраженными в экспоненциальном представлении, включая задачи, в которых используются как десятичные, так и экспоненциальные представления. Используйте научную нотацию и выбирайте единицы подходящего размера для измерений очень больших или очень малых количеств (например, используйте миллиметры в год для растекания по морскому дну). Интерпретируйте научные обозначения, созданные с помощью технологий.

Индексное обозначение — степень 10

Поймите связи между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями.

8.EE.B.5 Изобразите пропорциональные зависимости, интерпретируя единичную ставку как наклон графика. Сравните два разных пропорциональных отношения, представленных по-разному. Например, сравните график расстояние-время с уравнением расстояние-время, чтобы определить, какой из двух движущихся объектов имеет большую скорость.

8.EE.B.6 Используйте аналогичные треугольники, чтобы объяснить, почему наклон m одинаков между любыми двумя разными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение y = mx для линии, проходящей через начало координат, и уравнение y = mx + b для линии, пересекающей вертикальную ось в точке b.

Анализируйте и решайте линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.

8.EE.C.7 Решите линейные уравнения с одной переменной.
а. Приведите примеры линейных уравнений от одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или без решений. Покажите, какая из этих возможностей верна, путем последовательного преобразования данного уравнения в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b (где a и b — разные числа).
г. Решайте линейные уравнения с рациональными числовыми коэффициентами, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства распределения и сбора похожих членов.

Баланс при сложении и вычитании
Коммутативные ассоциативные и распределительные законы

8.EE.C.8 Анализируйте и решайте пары одновременных линейных уравнений.
а. Поймите, что решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графиков, потому что точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
г. Решите системы двух линейных уравнений с двумя переменными алгебраически и оцените решения, построив уравнения. Решайте простые случаи путем осмотра. Например, 3x + 2y = 5 и 3x + 2y = 6 не имеют решения, потому что 3x + 2y не могут одновременно быть 5 и 6.
c. Решайте реальные и математические задачи, приводящие к двум линейным уравнениям с двумя переменными. Например, учитывая координаты двух пар точек, определите, пересекает ли линия, проходящая через первую пару точек, линию, проходящую через вторую пару.

Системы линейных уравнений
График функций и калькулятор

Grade 8 | Функции

Определение, оценка и сравнение функций.

8.F.A.1 Поймите, что функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. График функции — это набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода. (Обозначение функции не требуется для 8-го класса.)

Диапазон доменов и кодомен
Инъективный сюръективный и биективный

8.F.A.2 Сравнивают свойства двух функций, каждая из которых представлена по-разному (алгебраически, графически, численно в таблицах или посредством словесных описаний).2, дающий площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейным, потому что его график содержит точки (1,1), (2,4) и (3,9), которые не лежат на прямой линии.

График функций и калькулятор

Используйте функции для моделирования отношений между количествами.

8.F.B.4 Создайте функцию для моделирования линейной зависимости между двумя величинами. Определите скорость изменения и начальное значение функции по описанию взаимосвязи или по двум (x, y) значениям, включая чтение их из таблицы или графика.Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции в терминах моделируемой ситуации, а также в терминах ее графика или таблицы значений.

8.F.B.5 Качественно описать функциональную взаимосвязь между двумя величинами, анализируя график (например, где функция увеличивается или уменьшается, линейная или нелинейная). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, которая была описана устно.

График функций и калькулятор
Функции увеличения и уменьшения

Grade 8 | Геометрия

Понимание соответствия и сходства с помощью физических моделей, прозрачных пленок или программного обеспечения для работы с геометрией.

8.G.A.1 Проверить экспериментально свойства вращений, отражений и перемещений:
a. Линии преобразуются в линии, а сегменты линий — в сегменты линии одинаковой длины.
г. Углы принимаются к углам той же меры.
г. Параллельные прямые переходят в параллельные.

8.G.A.2 Понимать, что двумерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью вращений, отражений и перемещений; учитывая две совпадающие фигуры, опишите последовательность, которая демонстрирует соответствие между ними.

8.G.A.3. Опишите влияние растяжения, сдвига, вращения и отражения на двумерные фигуры с помощью координат.

Симметрия — отражение и вращение

8.G.A.4 Понимать, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.

Головоломка жонглера Сэма Лойда
Симметрия — отражение и вращение

8.G.A.5. Используйте неформальные аргументы для установления фактов о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образованных, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол. Например, расположите три копии одного и того же треугольника так, чтобы казалось, что эти три угла образуют линию, и дайте аргумент в терминах трансверсалей, почему это так.

Понять и применить теорему Пифагора.

8.G.B.6 Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращения.

8.G.B.7 Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон прямоугольных треугольников в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях.

8.G.B.8 Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.

Расстояние между 2 точками
Задание: Прогулка по пустыне

Решать реальные и математические задачи, связанные с объемом цилиндров, конусов и сфер.

8.G.C.9 Знать формулы объемов конусов, цилиндров и сфер и использовать их для решения реальных и математических задач.

Площадь круга, треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, эллипса и сектора

, класс 8 | Статистика и вероятность

Исследуйте закономерности ассоциации в двумерных данных.

8.SP.A.1. Постройте и интерпретируйте графики рассеяния для двумерных данных измерений, чтобы исследовать закономерности связи между двумя величинами. Опишите шаблоны, такие как кластеризация, выбросы, положительная или отрицательная ассоциация, линейная ассоциация и нелинейная ассоциация.

8.SP.A.2 Знайте, что прямые линии широко используются для моделирования отношений между двумя количественными переменными. Для диаграмм рассеяния, которые предполагают линейную связь, неформально установите прямую линию и неформально оцените соответствие модели, судя о близости точек данных к линии.

8.SP.A.3 Используйте уравнение линейной модели для решения задач в контексте данных двумерных измерений, интерпретируя наклон и точку пересечения. Например, в линейной модели для биологического эксперимента интерпретируйте наклон 1.5 см / час, что означает, что дополнительный час солнечного света каждый день связан с дополнительными 1,5 см высоты зрелого растения.

8.SP.A.4 Поймите, что закономерности ассоциации можно также увидеть в двумерных категориальных данных, отображая частоты и относительные частоты в двухсторонней таблице. Постройте и интерпретируйте двустороннюю таблицу, суммирующую данные по двум категориальным переменным, собранным от одних и тех же субъектов. Используйте относительные частоты, рассчитанные для строк или столбцов, чтобы описать возможную связь между двумя переменными.Например, соберите данные от учащихся вашего класса о том, установлен ли у них комендантский час по вечерам в школе и назначены ли им обязанности по дому. Есть ли свидетельства того, что те, у кого установлен комендантский час, также склонны выполнять работу по дому?

Сводные таблицы и графики

Standards Toolkit »Математика 8-й класс Общие основные стандарты

В 8-м классе учебное время должно быть сосредоточено на трех критических областях: (1) формулирование и рассуждение о выражениях и уравнениях, включая моделирование связи двумерных данных с линейным уравнением, и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений; (2) понимание концепции функции и использование функций для описания количественных отношений; (3) анализ двух- и трехмерного пространства и фигур с использованием расстояния, угла, сходства и совпадения, а также понимание и применение теоремы Пифагора.

1. Учащиеся используют линейные уравнения и системы линейных уравнений для представления, анализа и решения различных задач. Учащиеся распознают уравнения для пропорций (y / x = m или y = mx) как специальные линейные уравнения (y = mx + b), понимая, что константа пропорциональности (m) — это наклон, а графики — это линии, проходящие через начало координат. Они понимают, что наклон (m) линии — это постоянная скорость изменения, так что, если входная или x-координата изменяется на величину A, выходная или y-координата изменяется на величину m · A.Учащиеся также используют линейное уравнение для описания связи между двумя величинами в двумерных данных (например, размах рук и росте для учащихся в классе). На этом уровне подгонка модели и оценка ее соответствия данным выполняются неформально. Интерпретация модели в контексте данных требует, чтобы учащиеся выразили взаимосвязь между двумя рассматриваемыми величинами и интерпретировали компоненты взаимосвязи (например, наклон и точку пересечения по оси Y) с точки зрения ситуации.

Студенты стратегически выбирают и эффективно применяют процедуры для решения линейных уравнений с одной переменной, понимая, что, когда они используют свойства равенства и концепцию логической эквивалентности, они сохраняют решения исходного уравнения.Студенты решают системы двух линейных уравнений с двумя переменными и связывают системы с парами линий на плоскости; они пересекаются, параллельны или составляют одну и ту же линию. Учащиеся используют линейные уравнения, системы линейных уравнений, линейные функции и свое понимание наклона линии для анализа ситуаций и решения проблем.

2. Студенты понимают понятие функции как правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. Они понимают, что функции описывают ситуации, когда одна величина определяет другую.Они могут переводить между представлениями и частичными представлениями функций (отмечая, что табличные и графические представления могут быть частичными представлениями), и они описывают, как аспекты функции отражаются в различных представлениях.

3. Учащиеся используют представления о расстоянии и углах, о том, как они себя ведут при перемещениях, поворотах, отражениях и растяжениях, а также представления о конгруэнтности и подобии для описания и анализа двумерных фигур и решения задач.Учащиеся показывают, что сумма углов в треугольнике — это угол, образованный прямой линией, и что различные конфигурации линий приводят к образованию похожих треугольников из-за углов, возникающих, когда поперечная линия разрезает параллельные линии. Студенты понимают формулировку теоремы Пифагора и ее обратное и могут объяснить, почему теорема Пифагора верна, например, разложив квадрат двумя разными способами. Они применяют теорему Пифагора, чтобы находить расстояния между точками на координатной плоскости, определять длины и анализировать многоугольники.Студенты завершают свою работу над объемом, решая задачи, связанные с конусами, цилиндрами и сферами.

Домен	Кластер	Код	Единое ядро ГОСТ
Система счисления	Знайте, что есть числа, которые не являются рациональными, и округлите их рациональными числами.	8.NS.1	Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; рациональные числа имеют десятичные разложения, которые заканчиваются нулями или в конечном итоге повторяются, и наоборот.9, и определяют, что население мира более чем в 20 раз больше.
Система счисления		8.EE.4	Выполнять операции с числами, выраженными в экспоненциальном представлении, включая задачи, в которых используются как десятичные, так и экспоненциальные представления. Используйте научную нотацию и выбирайте единицы подходящего размера для измерений очень больших или очень малых количеств (например, используйте миллиметры в год для растекания по морскому дну). Интерпретируйте научные обозначения, созданные с помощью технологий.
Поймите связи между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями.	8.EE.5	График пропорциональных соотношений, интерпретируя удельный вес как наклон графика. Сравните два разных пропорциональных отношения, представленных по-разному. Например, сравните график расстояние-время с уравнением расстояние-время, чтобы определить, какой из двух движущихся объектов имеет большую скорость.
	8.EE.6	Используйте аналогичные треугольники, чтобы объяснить, почему наклон m одинаков между любыми двумя разными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение y = mx для линии, проходящей через начало координат, и уравнение y = mx + b для линии, пересекающей вертикальную ось в точке b.
Анализируйте и решайте линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.	8.EE.7	Решите линейные уравнения с одной переменной. а. Приведите примеры линейных уравнений от одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или без решений. Покажите, какая из этих возможностей является случаем , последовательно преобразовав данное уравнение в более простые формы, пока эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b не даст результат (где a и b — разные числа). г. Решите линейные уравнения с рациональными числовыми коэффициентами, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием распределительного свойства и сбора одинаковых членов
	8.EE.8	Анализируйте и решайте пары одновременных линейных уравнений. а. Поймите, что решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графиков, , потому что точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. г. Решите системы двух линейных уравнений с двумя переменными алгебраически и оцените решения, построив уравнения. Решите простых случая путем осмотра. Например, 3x + 2y = 5 и 3x + 2y = 6 не имеют решения, потому что 3x + 2y не могут одновременно быть 5 и 6. c. Решайте реальные и математические задачи, приводящие к двум линейным уравнениям с двумя переменными. Например, учитывая координаты двух пар точек , определите, пересекает ли линия, проходящая через первую пару точек, линию, проходящую через вторую пару.
Функции	Определение, оценка и сравнение функций.	8.Ф.1	Поймите, что функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. График функции — это набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода. (Обозначение функций не требуется для 8-го класса.)
		8.F.2	Сравните свойства двух функций, каждая из которых представлена по-разному (алгебраически, графически, численно в таблицах или словесных описаниях).2, дающий площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейным, потому что его график содержит точки (1,1), (2,4) и (3,9), которые не лежат на прямой линии.
		Используйте функции для моделирования отношений между количествами.	8.Ф.4	Создайте функцию для моделирования линейной зависимости между двумя величинами. Определите скорость изменения и начальное значение функции по описанию взаимосвязи или по двум (x, y) значениям, включая чтение их из таблицы или графика.Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции в терминах моделируемой ситуации, а также в терминах ее графика или таблицы значений.
	8.F.5		Опишите качественно функциональную взаимосвязь между двумя величинами, анализируя график (например, где функция увеличивается или уменьшается, линейная или нелинейная). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, которая была описана устно.
	Геометрия	Понимание соответствия и сходства с помощью физических моделей, прозрачных пленок или программного обеспечения для работы с геометрией.	8.G.1	Проверить экспериментально свойства вращения, отражения и перемещения: a. Линии преобразуются в линии, а сегменты линий — в сегменты линии одинаковой длины. г. Углы принимаются к углам той же меры. г. Параллельные прямые переходят в параллельные.
8.G.2			Поймите, что двумерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью вращений, отражений и перемещений; учитывая две совпадающие фигуры, опишите последовательность, которая демонстрирует соответствие между ними.
8.G.3			Опишите эффект расширения, сдвига, поворота и отражения на двумерные фигуры, используя координаты.
8.G.4			Поймите, что двумерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.
8.G.5			Используйте неформальные аргументы, чтобы установить факты о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образованных, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол. Например, расположите три копии одного и того же треугольника так, чтобы казалось, что эти три угла образуют линию, и дайте аргумент в терминах трансверсалей, почему это так.
Понять и применить теорему Пифагора.		8.G.6	Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращения.
		8.G.7	Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон прямоугольных треугольников в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях.
		8.G.8	Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.
Решение реальных и математических задач, связанных с объемом цилиндров, конусов и сфер.		8.G.9	Знать формулы объема конусов, цилиндров и сфер и использовать их для решения реальных и математических задач.
Статистика и вероятность	Изучите закономерности ассоциации в двумерных данных.	8.СП.1	Постройте и интерпретируйте графики рассеяния для данных двумерных измерений, чтобы исследовать закономерности связи между двумя величинами. Опишите шаблоны, такие как кластеризация, выбросы, положительная или отрицательная ассоциация, линейная ассоциация и нелинейная ассоциация.
		8.SP.2	Знайте, что прямые линии широко используются для моделирования отношений между двумя количественными переменными.Для диаграмм рассеяния, которые предполагают линейную связь, неформально установите прямую линию и неформально оцените соответствие модели, судя о близости точек данных к линии.
		8.СП.3	Используйте уравнение линейной модели для решения проблем в контексте данных двумерных измерений, интерпретируя наклон и точку пересечения. Например, в линейной модели для биологического эксперимента интерпретируйте наклон 1,5 см / час как означающий, что дополнительный час солнечного света каждый день связан с дополнительным 1.Высота зрелого растения 5 см.
		8.СП.4	Поймите, что закономерности ассоциации также можно увидеть в двумерных категориальных данных, отображая частоты и относительные частоты в двухсторонней таблице. Постройте и интерпретируйте двустороннюю таблицу, суммирующую данные по двум категориальным переменным, собранным от одних и тех же субъектов. Posted in Разное Навигация по записям Эпитеты это и примеры в русском языке: Что такое эпитеты в русском языке Причастия совершенного и несовершенного вида правило: Совершенный и несовершенный вид причастия, образованного от глагола Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Без рубрики Дет Полезн Разное Родител Семья Успокоит Уход 2024 © Все права защищены.

Линейные и квадратные уравнения

Как решать линейное неравенство. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Решение линейных уравнений с примерами

Урок 43. решение линейных уравнений с одним неизвестным — Алгебра — 7 класс

Простейшие линейные уравнения | Математика

Презентация на тему: Алгебра 8 класс «Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Первый слайд презентации

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Последний слайд презентации: Алгебра 8 класс «Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Сценарий урока алгебры в 7 классе по теме «Решение линейных уравнений»

Вынесение множителя из-под знака корня

y 12 = 2y 7,5 y 2y = 12 7,5 -y = 4,5 y = — 4,5

Тема урока «Теорема Виета» 8 класс

Ход урока: 1 Организационный момент.

Занятие 1 (2 часа) Ход занятия.

( урок математики в 5 классе)

Оборудование: проектор, ноутбуки, рабочие листы, тетради, учебники, раздаточный материал

Методическая разработка открытого урока

Учебник: Алгебра (Дорофеев Г.В.) гг.

ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 9-А КЛАССЕ.

Конспект урока, 7 класс.

Тема: Решение систем уравнений

ПЛАН УРОКА. ЮКО, Отырарский район, с. Шаульдер, ШГ им. Ш. Калдаякова, 8 класс Уравнения, приводящие к квадратным уравнениям

IV. Актуализация опорных знаний

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

Бутыгина Татьяна Федоровна Аннотация

Уровень 8 — Решение линейных уравнений

Анализировать и решать линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.

Линейные уравнения. Рабочие листы по математике для 8-го класса, учебные пособия и ключ с ответами.

Приложения линейных уравнений — Задачи с ответами для 8 класса

Дополнительные ссылки и ссылки

Иди по математике для 8-го класса. Ключ ответов на вопросы Глава 8. Решение систем линейных уравнений. Иди по математике.

Иди по математике, 8 класс, Решение систем линейных уравнений, ключ к ответам

Практическое руководство — Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков — стр.232

Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков — Страница № 233

Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков — Страница № 234

Управляемая практика — Решение систем путем замены — Стр. № 240

8.2 Независимая практика — Решение систем путем замены — Стр. № 241

Решение систем путем замены — Стр. № 242

Управляемая практика — Решение систем путем исключения — Стр.248

8.3 Независимая практика — Решение систем путем исключения — Стр. № 249

Сосредоточение внимания на мышлении высшего порядка — решение систем путем исключения — стр.250

Управляемая практика — Решение систем методом исключения с умножением — стр.256

Решение систем методом исключения с умножением — Стр. № 257

Решение систем методом исключения с умножением — Стр. № 258

Управляемая практика — Решение специальных систем — Стр. № 262

8.5 Независимая практика — Решение специальных систем — Стр. № 263

Решение Решение особых систем — стр.264

Готовы продолжить? — Тест модели — Страница № 265

Выбранный ответ — смешанный обзор — стр.266

Вывод:

Решение линейных уравнений с одной переменной

Уровень 8: Решение линейных уравнений с одной переменной

Общие основные стандарты

Описание урока

Предупреждения

Обоснование выбора

Общие основные стандарты 8-го класса

Standards Toolkit »Математика 8-й класс Общие основные стандарты

Добавить комментарий Отменить ответ

Презентация на тему: Алгебра
8 класс
«Решение систем
двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Последний слайд презентации: Алгебра
8 класс
«Решение систем
двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Анализировать и
решать линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.