О раннем введение геометрии в курсе математики 5–6-х классов

В школе №962 г. Москвы прошел эксперимент по
раннему введению геометрии в курсе математики 5-6-х
классов, идея которого принадлежит доктору
педагогических наук, профессору МГОПУ Левитасу
Г.Г. Под его руководством создана и опробована
программа этого курса.

Курс рассчитан на преподавание геометрии,
начиная с 5 класса. Он делится на две части:

1) Пропедевтическое обучение геометрии в 5-6
классах, имеющее целью подготовить учащихся к
восприятию систематического курса геометрии, в
котором сделана попытка учесть историю
математики, открывшей много фактов задолго до
того, когда была осмыслена необходимость строгих
доказательств;

2) Систематический курс геометрии, начиная с 7
класса, в котором планиметрия и стереометрия
изучаются совместно.

Традиционный курс геометрии начинается с 7
класса, причем изучается только планиметрия,
когда уже поздно развивать у детей
пространственное воображение, так как оно
формируется в возрасте 8-12 лет, а с
геометрическими фигурами ребенок знакомится уже
в первые 5-6 лет своей жизни. Геометрический опыт
шестилетнего ребенка необыкновенно многогранен:
он многое знает, многое умеет делать руками, ему
доставляет удовольствие занятие играми,
развивающими пространственное воображение
(рисование, конструирование, лепка). Придя в
школу, ребенок вынужден забыть о своем интересе к
геометрии.

Основной целью обучения геометрии в
экспериментальном курсе является желание
показать красоту обычных вещей, научить ребят
внимательно смотреть вокруг, смотреть и думать,
думать и делать выводы. Учащиеся на практике
должны увидеть необходимость изучения
геометрии. Геометрическое мышление в своей
основе является разновидностью
пространственно-образного мышления. Отсюда
важность геометрии в интеллектуальном развитии
ребенка. Геометрия – самый гуманитарный из всех
негуманитарных предметов. Занятие геометрией
способствует развитию интуиции, воображения и
других качеств, лежащих в основе любого
творческого процесса. Поэтому задача курса –
заинтересовать, привлечь внимание всех
школьников. Ведущей методической линией
является организация разнообразной
практической деятельности: наблюдение,
экспериментирование, конструирование.

Изучение курса начинается с решения задач на
измерение отрезков, углов, площадей, объектов.
Для нахождения площадей сначала используется
палетка. Формулы появляются позднее. Опытным
путем учащиеся приходят к выводу, что для
вычисления, например, объема призмы площадь
основания надо умножить на высоту. Ребятам
предлагается склеить куб и вычислить площадь его
поверхности и объем. Сразу встает вопрос о
единицах измерения. Склеиваем кубы с объемом 1
куб. дм (1 литр).

Потом происходит знакомство с прямоугольным
параллелепипедом, нахождение его объема,
вычисление площади поверхности. Но ведь в жизни
люди часто встречаются с призмами, в основании
которых лежат треугольники, четырехугольники,
произвольные многоугольники. Значит, нужно
вычислять площади всех фигур, чтобы можно было
узнать, какое количество материала было
потрачено на изготовление той или иной фигуры,
какой она будет иметь объем. Поэтому нужно
изучить треугольники, параллелограммы, трапеции,
многогранники и получить формулы для вычисления
их площадей. При этом вводится понятие высоты -
это “рост” треугольника, параллелограмма,
трапеции. Высота призмы – тоже “рост” (призмы
рассматриваются только прямые).

Далее встает вопрос об изготовлении емкости,
объем которой в 3 раза меньше, чем объем

любой из предложенных призм. Ребята предлагают
разделить высоту на три части и взять одну такую
призмочку. Конечно, ее объем будет в три раза
меньше, чем у первоначальной.

Некоторые ребята предлагают разрезать на три
части основание, а высоту оставить без изменения,
что тоже правильно. В этот момент учитель
показывает пирамиду с таким же, как у
предложенной призмы основанием и такой же
высотой, дает ее определение, с помощью
“ростомера” показывает высоту пирамиды и
говорит, что ее объем в три раза меньше объема
призмы, предлагая убедиться в этом практическим
путем (либо переливанием жидкости, либо
пересыпанием крупы). Так получается формула для
вычисления объема пирамиды. Точно так же
выводятся формулы в 6 классе при изучении объемов
конуса и цилиндра.

При изучении темы “Подобие” в 6 классе ребятам
предлагается вспомнить “Приключение Гулливера
в стране лилипутов” Джонатана Свифта. В 12 раз
отличаются размеры между одноименными точками у
Гулливера и лилипута (расстояние между глазами,
между мочками ушей и т.д.). С подобием каждый
человек сталкивается очень часто в повседневной
жизни: фотографии, географические карты разного
масштаба, чертежи. Изучение подобия дает
возможность говорить про усеченную пирамиду и
усеченный конус, их объемы и площадь поверхности.

Последний вопрос курса “Преобразование
плоскости” очень нравится ребятам, так как дает
возможность проявить свою фантазию: после
изучения параллельного переноса, центральной и
осевой симметрии они придумывают бордюры и
создают орнаменты необыкновенной красоты.

Экспериментальная программа по математике 5 – 6
классах содержит два отдельных курса.

I. Курс “Математика” — 4 часа в неделю в 5
классе, 5 часов в неделю в 6 классе. Математика
преподается по действующим учебникам:
“Математика 5 класс”, “Математика 6 класс” (под
редакцией Н.Я. Виленкина) – и содержит
традиционные вопросы.

В 5 классе: 1) натуральные числа; 2) десятичные
дроби; 3) уравнения; 4) обыкновенные дроби; 5)
проценты. Понятие десятичных дробей вводится
нетрадиционно, начиная с сентября месяца.
Действие с натуральными числами повторяются
параллельно. Раннее введение десятичных дробей
дает возможность лучше отработать навыки
выполнения действий с десятичными дробями,
являющиеся основным вопросом программы
математики 5 класса.

В 6 классе изучаются: 1)обыкновенные дроби 2)
рациональные числа и действия над ними.

II. Курс “Введение в геометрию” — 2 часа в
неделю в 5 классе, 1 час в неделю в 6 классе. Курс
практический, логичный, содержит только три типа
задач: на построение, на измерение, на вычисление.
Задачи на доказательство будут рассматриваться
в систематическом курсе геометрии, начиная с 7
класса.

В 5 классе учащиеся знакомятся с формулами для
вычисления площадей треугольника,
параллелограмма, трапеции. Площади квадрата и
прямоугольника они вычисляли в начальной школе.
Кроме этого, они сначала склеят модели
прямоугольного параллелепипеда, куба, призм и
пирамид с различными основаниями, а потом
вычислят площадь их поверхности. Учащиеся
научатся вычислять объемы фигур, познакомившись
с формулами для вычисления объема
многогранников. Традиционные вопросы: прямая,
отрезок, луч, углы и их виды- изучаются в самом
начале курса геометрии.

В курсе 6 класса предлагается знакомство с
формулами для вычисления длины окружности и
площади круга, нахождения площади поверхности и
объемов “круглых тел”: цилиндра, конуса, шара; а
также подобные фигуры, их свойства и
преобразованиями плоскости.

Таким образом, раннее введение курса геометрии
дает возможность выработать графическую
культуру учащихся, развить пространственное
мышление, не давая укорениться двумерным
стереотипам, опасность возникновения которых
существует при ведении традиционного курса
геометрии.

Об изучении геометрии в 7 – 9 классах.

В курсе геометрии 7 – 9 классов продолжена
идея совместного изучения планиметрии и
стереометрии. Планиметрия изучается по учебнику
А.С. Атанасяна “Геометрия 7-9”, а в тех темах,
которые можно применить при решении задач с
объемными фигурами, эти задачи обязательно
предлагаются. Точно так же, как в
экспериментальном курсе геометрии 5 – 6 классов,
при решении задач в 7 – 9 классах используются
модели объемных фигур (каркасные, стеклянные).
Формулы для вычисления площадей и объемов
ребятам уже знакомы, но они обязательно
записываются на доске. Обоснование и
доказательство сложных моментов, связанных с
применением понятий параллельности и
перпендикулярности прямых и плоскостей в
пространстве, а также угла между прямой и
плоскостью – отсутствуют. Решение всех задач
показывается на моделях и дается на
наглядно-интуитивном уровне. Примерное
планирование уроков математики и геометрии в 5 –
6 классах помещено в “Приложении”.

Методические рекомендации для 5 класса по
изучению темы “Пирамида и ее объем”

Целью изучения этой темы является знакомство с
пирамидой, выведение формулы для вычисления ее
объема, умение применять формулу при решении
задач.

На первом уроке проводится беседа с
классом.

На предыдущих уроках мы познакомились с
фигурами, объем которых был равен одному литру и
половине литра.

Как называется эта фигура?

Ответ: призмы.

Вспомните, пожалуйста, как из литровой емкости
можно получить пол-литровую.

Ответ:

1) разрезать высоту пол-литровой призмы пополам,
основание оставить без изменения и взять только
одну часть. Это и будет объем в пол-литра.

2) разделить основание пополам, а высоту
оставить без изменений. Эта призма тоже будет
иметь объем в пол-литра.

Ребята, а теперь подумайте, как можно получить
фигуру, объем которой равен 1/3 литра.

Ответ:

1) разрезать высоту на 3 равные части, основание
оставить без изменений. Взять одну такую призму.

2) разрезать на 3 равные части основание, а
высоту оставить без изменений. Взять одну такую
часть.

Но коробку, вместимостью 1/3 литра, можно сделать
совсем иначе – в форме не призмы, а пирамиды.

Пирамида – многогранник, у нее одно основание.
Расстояние от вершины пирамиды до основания
называют ее высотой. Все грани, кроме основания
называются боковыми гранями.

Изображаем пирамиду в тетрадях.

На столе стоят прямые и наклонные призмы,
пирамиды, другие многогранники.

Задание 1. Выбери из предложенных фигур
пирамиды и найди их высоту.

Учитель показывает, как практически измерить
высоту (“рост”) пирамиды.

Задание 2. На рисунке изображены пирамиды.
Какую форму имеют их основания и какую – боковые
грани?

Пирамиды известны людям давно. В Египте
сохранились с древних времен величественные
сооружения, имеющие форму пирамиды. Это
усыпальницы египетских фараонов. Они носят
название пирамид Хеопса, потому что этот фараон
их построил.

В основании пирамиды лежит квадрат со стороной
233 м, высота пирамиды 146,5 м. Наклон боковых граней,
все ходы внутри связаны с различными
астрономическими и математическими законами.
Это говорит об очень высоком развитии науки в
Египте. В то время не было подъемных кранов, и
говорят, что пирамиды сначала имели ступени на
боковых гранях, которые потом стесали. При
строительстве надо было решить очень важную
задачу: сколько камня пойдет для строительства,
т.е. найти объем камня, который потребуется.
Древние египтяне уже умели вычислять объем
пирамиды. Они находили объем призмы с таким же
основанием и делили на 3. Эта формула верна и
сейчас.

Убедимся в этом практически. Для этого возьмем
модели призмы и пирамиды, имеющие одинаковое
основание и высоту. Пересыпая зерно или
переливая воду, определяем, что в объеме призмы
уместилось три объема пирамиды. Получаем
формулу:

Vпир. = S * H / 3,

где V– объем, S – площадь основания, Н – высота
пирамиды.

Задание 3. Вычислить объем пирамиды с
площадью основания 4 кв. см и высотой 6 см.

Решение: V = 4 * 6/ 3 = 8 (куб. см)

Задание 4. Определите объем U пирамиды, у
которой S – площадь основания, Н – высота, если

а) S = 48 кв.дм, Н = 5 дм;

б) S = 500 кв.см; Н = 6 дм

Домашнее задание. Вычислите объем пирамиды
Хеопса. Ответ округлите до сотен тысяч.

Второй урок начать с проверки домашнего
задания. Объем пирамиды Хеопса:

V = 233² * 146,5 = 2 651 112,8 (куб.м) = 2 700 000
(куб.м).

Решить задачи:

1) Объем прямой призмы равен 150 куб.м. Чему равен
объем пирамиды с таким же основанием и такой же
высотой, как у этой призмы?

2) Объем пирамиды равен 63 куб.м. Чему равен объем
прямой призмы с такой же высотой и таким же
основанием, как у этой пирамиды?

3) Объем пирамиды равен 48 куб.м, а высота равна 3
см. Чему равна площадь основания этой пирамиды?

4) На рисунке изображены прямая призма и
пирамида и указаны их размеры. Вычисли объем
каждой из них.

5) Вычислить объем пирамиды с высотой 12 см, если
в основании лежит:

а) прямоугольник со сторонами 5 см и 6 см;

б) треугольник с основание 6 см и высотой 4 см;

в) ромб с диагоналями 9 см и 4 см.

Формулы для вычисления площади основания
учитель записывает на доске.

Закончить урок можно практической работой на
вычисление объема правильной четырехугольной
пирамиды по готовой модели (желательно раздать
одинаковые модели).

Домашнее задание. Склеить пирамиду по
вариантам:

• I вариант: все грани – правильные треугольники
  со стороной 6 см.
• II вариант: четырехугольную пирамиду, в
  основании которой лежит квадрат со стороной 6 см,
  а боковые грани – правильные треугольники.

Учитель обязательно показывает развертку
пирамиды учащимся, объясняя, как ее сделать и как
потом склеить нужную фигуру.

На третьем уроке продолжается решение
задач на вычисление объема пирамиды.

Вычислить объем пирамиды с высотой 15 см, если:

а) в основании лежит треугольник со стороной 7
см и высотой 6 см;

б) параллелограмм со стороной 9 см и высотой,
проведенной к ней и равной 6 см;

в) трапеция с основанием 8 см и 10 см и высотой
трапеции 5 см.

Формулы для вычисления площади основания
записаны на доске. Сильным учащимся предложить
сделать чертежи к задачам. Потом показать эти
чертежи всему классу.

Закончить урок практической работой на
вычисление объема треугольной пирамиды по
готовым моделям. Сильным учащимся предложить
вычислить, сколько материала пошло на
изготовление этой модели.

После этого в классе обсудить вопрос о
вычислении площади поверхности тетраэдра.

Дома ребята вычисляют площадь поверхности и
объем своих моделей.

Приложение.

Литература.

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная
геометрия 5 – 6 классы. М., 2001

2. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть I. М.,
1996

3. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть II.
М., 1996

4. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть III.
М., 1996

5. Левитас Г.Г. “Введение в геометрию”.
Математика в школе. М., 1990, № 6

6. Атанасян А.С. “Геометрия 10-11”. М., 2008.

7. Виленкин Н.Я. “Математика 5 класс”. М.2010г.

8. Виленкин Н.Я. “Математика. 6 класс”. М.2010г.
9.Левитас Г.Г. Занимательная математика. М. 2002.

10.Тапилина Л.А. “Математика 5класс поурочные
планы”. Волгоград, изд. “Учитель”, 2003.

11.Тапилина Л.А. “Математика 6класс поурочные
планы”. Волгоград, изд. “Учитель”, 2003.

12. Выговская В.В. “Поурочные разработки по
математике 5класс”. М., “Вако”, 2008.

13. Выговская В.В. “Поурочные разработки по
математике 6класс”. М., “Вако”, 2008.

14. Под ред. Соловейчик И.Л.“Я иду на урок
математики 5класс”, М., “Первое сентября”, 2002

15. Под ред. Соловейчик И.Л.“Я иду на урок
математики 6класс”, М., “Первое сентября”, 2002.

Методические аспекты решения задач методом площадей при подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Достижимые результаты

Результатом реализации технологии «Мировое кафе» стала защита проектов с решениями экономических кейсов командами участников семинара. Получены не только формальные ответы к задачам, но и реальные решения практических вопросов встречающихся в управленческой практике директора школы, которые были положены в основу заготовленных организаторами кейсов, так называемые часто встречающиеся сложные и нестандартные ситуации.

Общие выводы

Несмотря на то, что предлагаемые источники дополнительного финансирования образовательных структур столь очевидны и кажутся доступными и весьма удобными, есть определённые трудности в их получении. Трудности преимущественно связаны с навыком деловых коммуникаций или общения в деловой сре-

Библиографический список

де. Успешную хозяйственную деятельность любая организация или предприятие может осуществлять только при постоянных связях с другими предприятиями. У общения должна быть понятная цель, в достижении которой заинтересованы все вовлеченные в процесс лица. Бизнес — это игра в команде, и именно руководитель общеобразовательной организации должен позаботиться о том, чтобы деловая коммуникация была управляемой. Необходимо мотивировать участников образовательного процесса на поиск решения. Представленный алгоритм поиска источников финансирования — это готовый рабочий инструмент, следуя которому, совершаются вполне конкретные действия: постановка целей, определение болевых точек, обучение персонала, налаживание внешних связей, знакомство с трендами или развитие навыков, а также открываются возможности получать финансирование.

1. Об утверждении Стратегии повышения финансовой грамотности в Российской Федерации на 2017 — 2023 гг. Распоряжение Правительства РФ от 25.09.17 № 2039-р.

2. Концепция долгосрочного социально-экономического развития Российской Федерации на период до 2020 года. Распоряжение Правительства РФ от 17.11.2008 № 1662-р (ред. от 10.02.2017).

3. Об образовании в Российской Федерации. Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-Ф3 (ред. от 13.07.2015) (с изм. и доп., вступ. в силу с 24.07.2015).

4. Об утверждении проекта профессионального стандарта «Руководитель образовательной организации». Проект Приказа Министерства труда и социальной защиты РФ (подготовлен Минтрудом России 23.06.2016 г

5. Гуров В.Н., Иванцова Н.А., Мазитов РГ. Характеристика основных компонентов инновационной школы: учебное пособие: Современная инновационная школа в мегагороде: проектирование и реализация модели. Москва, 2016: 66 — 108.

6. Гуров В.Н., Мазитов РГ., Гуров Д.В., Исламов РР, Гурова Е.В., Хамзина Е.В. и др. Теория и практика повышения качества деятельности образовательных комплексов муниципалитетов и отдельных образовательных организаций: учебное пособие. Уфа: 2019.

7. Гуров В.Н., Хамзина Е.В. Формирование финансовой грамотности руководителя образовательной организации. Мир науки, культуры, образования. 2019; 2 (75): 172 — 174.

8. Гуров В.Н., Хамзина Е.В. Финансовая грамотность как инструмент эффективного управления школой, функционирующей в неблагоприятных социальных условиях. Мир науки, культуры, образования. 2019; 3 (76): 148 — 150.

9. Гуров В.Н., Хамзина Е.В. Формирование финансово-хозяйственной компетенции руководителей образовательных организаций общей школы (на примере фрагмента тренингового занятия). Педагогическая наука и педагогическое образование в классическом вузе: материалы международной научно-практической конференции. 2018: 61 — 70.

References

1. Ob utverzhdenii Strategiipovysheniya finansovoj gramotnosti v Rossijskoj Federacii na 2017 — 2023 gg. Rasporyazhenie Pravitel’stva RF ot 25.09.17 № 2039-r.

2. Koncepciya dolgosrochnogo social’no-‘ekonomicheskogo razvitiya Rossijskoj Federacii na period do 2020 goda. Rasporyazhenie Pravitel’stva RF ot 17.11.2008 N 1662-r (red. ot 10.02.2017).

3. Ob obrazovanii v Rossijskoj Federacii. Federal’nyj zakon ot 29.12.2012 N 273-FZ (red. ot 13.07.2015) (s izm. i dop., vstup. v silu s 24.07.2015).

4. Ob utverzhdeniiproektaprofessional’nogo standarta «Rukovoditel’obrazovatel’nojorganizacii». Proekt Prikaza Ministerstvatruda i social’noj zaschity RF (podgotovlen Mintrudom Rossii 23.06.2016 g.

5. Gurov V.N., Ivancova N.A., Mazitov R.G. Harakteristika osnovnyh komponentov innovacionnoj shkoly: uchebnoe posobie: Sovremennaya innovacionnaya shkola v megagorode: proektirovanie i realizaciya modeli. Moskva, 2016: 66 — 108.

6. Gurov V.N., Mazitov R.G., Gurov D.V., Islamov R.R., Gurova E.V., Hamzina E.V. i dr. Teoriya i prakíika povysheniya kachestva deyatel’nosti obrazovatel’nyh kompleksov municipalitetov i otdel’nyh obrazovatel’nyh organizacij: uchebnoe posobie. Ufa: 2019.

7. Gurov V.N., Hamzina E.V. Formirovanie finansovoj gramotnosti rukovoditelya obrazovatel’noj organizacii. Mirnauki, kul’tury, obrazovaniya. 2019; 2 (75): 172 — 174.

8. Gurov V.N., Hamzina E.V. Finansovaya gramotnost’ kak instrument ‘effektivnogo upravleniya shkoloj, funkcioniruyuschej v neblagopriyatnyh social’nyh usloviyah. Mir nauki, kul’tury, obrazovaniya. 2019; 3 (76): 148 — 150.

9. Gurov V.N., Hamzina E.V. Formirovanie finansovo-hozyajstvennoj kompetencii rukovoditelej obrazovatel’nyh organizacij obschej shkoly (na primere fragmenta treningovogo zanyatiya). Pedagogicheskaya nauka i pedagogicheskoe obrazovanie v klassicheskom vuze: materialy mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. 2018: 61 — 70.

Статья поступила в редакцию 12.07.19

УДК 51(07)

Magomedgadjieva A.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Department of Methods of Teaching Mathematics and Informatics, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: [email protected]

Lahikova Z.G., senior teacher, Department of Methods of Teaching Mathematics and Informatics, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: [email protected]

Vakilov Sh.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Department of Methods of Teaching Mathematics and Informatics, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: [email protected]

Paizulaeva R.K., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior teacher, Department of Methods of Teaching Mathematics and Informatics, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: [email protected]

METHODOLOGICAL ASPECTS OF SOLVING PROBLEMS WITH A METHOD OF SQUARES WHEN PREPARING STUDENTS TO TAKE A MATH EXAM.

Geometry course is one of problematic courses for students throughout their schooling. Not all children can easily make correct constructions of the desired section, finding the angle with additional constructions, etc. The purpose of teaching mathematics according to the requirements of the GEF is the formation of systematic knowledge about flat shapes and their properties, ideas about the simplest spatial bodies. Teaching students to solve geometric problems with a method of square significantly expands possibilities of children in passing an exam in mathematics, allows in many cases to ensure the development of students of the basic general education program in geometry. The article explains how to use the method of areas in training students for the exam in mathematics. Key words: methodical aspect, geometrical problem, method of squares, unified state examination.

А.М. Магомедгаджиева, канд. пед. наук, доц., доц. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: [email protected]

З.Г. Лахикова, ст. преп. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: [email protected]

Ш.М. Вакилов, канд. пед. наук, доц., зав. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: waksham @mail.ru

Р.К. Пайзулаева, канд. пед. наук, ст. преп. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: [email protected]

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К СДАЧЕ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Курс геометрии является одним из проблемных для учащихся на протяжении обучения в школе. Не всем детям легко даётся правильное построение искомого сечения, нахождения угла при дополнительных построениях и т. д. Целью обучения математике по требованиям ФГОС является формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах. Обучение учащихся решению геометрических задач методом площадей значительно расширяет возможности детей в сдаче ЕГЭ по математике, позволяет во многих случаях обеспечить освоение обучающимся основной общеобразовательной программы по геометрии в полном объеме. Данная статья посвящена использованию метода площадей при подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

Ключевые слова: методические аспекты, геометрическая задача, метод площадей, единый государственный экзамен.

Школьный курс математики делится на геометрию и алгебру, причём геометрия изучается на протяжении всего времени обучения в школе. На курс геометрии приходится около 40% учебного времени, она занимает большое место и играет важную роль в школьном математическом образовании.

Основное содержание школьного курса геометрии сохраняется стабильным почти 200 лет и своими истоками имеет «Начала» Евклида. В геометрии на плоскости (планиметрии) изучают взаимное расположение прямых; свойства треугольников, четырехугольников и окружности; отношения равенства (конгруэнтности) и подобия фигур; измерение длин, величин углов и площадей [1, с. 26].

Вместе с этим, согласно ФГОС основного общего образования, который ориентирован на становление личностных характеристик выпускника, владеющего математическими рассуждениями, умениями решения учебных задач; применяющего математические знания при решении задач, изучение ими геометрии должно отражать: 1) формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах; 2) развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, решения геометрических и практических задач: решение задач на нахождение геометрических величин (длина и расстояние, величина угла, площадь) по образцам или алгоритмам [2, с. 15 — 16].

Среди всех заданий ЕГЭ задачи по теме «Площади фигур» в части первой встречаются в заданиях № 10-12, а во второй части — в заданиях № 24-26.

При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, а выбирать наиболее подходящую в данном случае теорему непросто.

Метод площадей сейчас особенно актуален в связи с введением геометрических задач в тестах на экзаменах. Изучение этой темы позволяет ученикам более успешно решать задачи даже второй части экзамена.

Решение планиметрических задач и стереометрических задач методом площадей и объёмов отличаются лишь числом измерений, характеризующих фигуры, поэтому этот метод помогает также при изучении планиметрии, и нахождению объемов геометрических фигур.

Поэтому, в каждой теме геометрии, желательно, вовремя знать любому, решающему задачи, какие-то общие положения. Один из алгоритмов решения многих задач является метод площадей. В этом заключается актуальность исследования.

Проблема исследования заключается в недостаточной разработанности педагогических, методических и организационных основ использования метода площадей к решению геометрических задач на уроках математики в общеобразовательной школе.

Целью нашего исследования явились теоретическое обоснование, разработка и практическая реализация демонстрации алгоритма решения задач методом площадей; систематизация задач из ЕГЭ, решаемых методом площадей.

Объект исследования является процесс обучения математике в общеобразовательной школе.

Предмет исследования: использование метода площадей к решению геометрических задач на уроках математики в общеобразовательной школе.

Гипотеза: использование в учебном процессе метода площадей к решению геометрических задач на уроках математики позволит повысить эффективность и качество преподавания в области математического образования, в том числе и при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике.

Для достижения поставленной цели исследования и проверки гипотезы были определены следующие задачи:

1. Провести анализ психолого-педагогической литературы зарубежных и отечественных авторов, информационных ресурсов Интернет по теме исследования;

2. Изучить ФГОС по математике.

3. Выявить педагогические возможности использования метода площадей в учебном процессе общеобразовательной школы.

4. Изучить специфику применения метода площадей к решению геометрических задач в курсе математики общеобразовательной школы.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

1. Нами изучены ФГОС по математике.

2. Рассмотрено использование метода площадей к решению геометрических задач в курсе математики общеобразовательной школы на уроках математики в общеобразовательной школе.

3. Изучена специфика применения метода площадей к решению геометрических задач в курсе математики общеобразовательной школы.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что оно вносит вклад в развитие содержательных и технологических составляющих в работе с детьми на уроках математики и открывает перспективы дальнейшего совершенствования учебного процесса.

Практическая значимость исследования: результаты исследования могут быть использованы студентами педагогических вузов и учителями математики в учебном процессе образовательных учреждений разных профилей.

Метод площадей редко встречается в методической и научно-исследовательской литературе, несмотря на то, что в олимпиадной и конкурсной практике часто встречаются задачи, решаемые методом площадей.

Метод площадей состоит в применении различных свойств площадей соответственно для составления соотношений, связывающих данные задачи и неизвестные. Обычно используют свойства аддитивности площади или объема и отношений площадей или объемов, которые помогают свести задачу либо к решению уравнения, либо к прямому вычислению.

Следует отметить, что задачи на площадь имеют практическую направленность и могут быть полезны в практической жизни человека.

Под методом площадей понимают такой метод решения задачи, когда нахождение площади не является непременно вопросом задачи, но когда площадь применяется как некая «вспомогательная» величина, используемая для получения информации о геометрической конфигурации задачи, о соотношении между различными величинами.

Задачи на применение методов измерения площадей в ЕГЭ по математике встречаются ежегодно, поэтому при подготовке к сдаче ЕГЭ учащимся обязательно стоит повторить теорию по данной теме. Неважно, какой уровень сдачи ЕГЭ выбрали учащиеся — базовый или профильный, решать и справляться с такими заданиями обязательно должны все учащиеся 11 классов. Основное требование успешной сдачи экзамена по математике — это знание основного теоретического материала и умение выполнять практические упражнения на вычисление площадей плоских фигур.

На базе ЧОУ «Гимназия «Сахаб» нами проводятся с учащимися 11 классов факультативные занятия по подготовке к сдаче ЕГЭ по математике. Занятия проводятся во внеурочное время следующим образом:

Сентябрь — октябрь — повторение школьного курса алгебры;

Ноябрь — декабрь — повторение школьного курса геометрии;

Январь — февраль — решение заданий части 1 из ЕГЭ;

Март — апрель — решение заданий № 13 и № 15 части 2 из ЕГЭ;

Май — решение задач по геометрии № 14, № 16 части 2 из ЕГЭ.

Задачи по геометрии решаются различными способами: это и метод координат, и аналитический метод, метод площадей и др.

Цель наших занятий — не только подготовка к ЕГЭ, но и развитие пространственного воображения, логики, мышления и, конечно, реализация требований ФГОС, о которых говорилось нами выше.

Рассмотрим ряд примеров задач, используемых нами в работе с учащимися гимназии «Сахаб».

Перечислим важные свойства площадей фигур. Доказательства этих свойств очень просты, не будем их приводить, а только перечислим эти свойства [3, с. 138].

Свойство 1. Площади треугольников, имеющих одно и то же основание, пропорциональны высотам.

Свойство 2. Площади треугольников, имеющих одну и ту же высоту, пропорциональны основаниям.

Свойство 3. Площади треугольников, имеющих общий угол, пропорциональны произведениям сторон, заключающих этот угол.

Свойство 4. Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Свойство 5. Средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.

Свойство 6. Площадь фигуры аддитивна, т. е. с ней можно совершать простейшие арифметические операции — сложение, вычитание, умножение на число, деление на число, отличное от нуля. Равенство площадей фигур, имеющих общую часть, равносильно равенству площадей фигур без общей части.

Свойство 7. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. При этом отношение периметров, а также

соответствующих линейных элементов этих фигур равно коэффициенту подобия.нт: Nirctg

зЫР

Таких примеров можно привести ещё много. После изучения каждого из разделов геометрии, мы предлагаем учащимся систему задач на закрепление изученныхформул,правилиспособоврешений.

Использование метода площадей позволяет учителю сделать уроки геометрии более эффективными, привлекательными и запоминающимися для учащихся, а, следовательно, повышают интерес к обучению. Дети могут работать самостоятельно и приучаться к организованности и ответственности при подготовке к урокам ик ЕГЭ.

Следует только учитывать возрастные особенности и уровень подготовленности обучающихся. Использование метода площадей в учебном процессе — это не цель, а средство, позволяющие оптимизировать учебный процесс, поднять интерес школьников к изучению предмета, реализовать идеи развивающего обучения, повысить темп урока, увеличить объём самостоятельной работы.

Применение метода площадей на уроке математики способствует разви-тиюгармоничнойличностииотвечаетпотребностям современногообщества:

• принятия самостоятельныхрешений;

• умениеставитьзадачи изадаватьвопросы;

• поиск нестандартных,оригинальныхрешений;

• способностьпривлечь,заинтересоватьвыбраннойтемойокружающих;

• раскрытиеиндивидуальногопотенциала.

B

у

В данной статье нами была предпринята попытка раскрытия применения метода площадей на уроках математики. Проведённая работа показывает, что его применение при обучении математике, как одного из путей учета индивидуальных особенностей учащихся, необходимо и возможно. Возможность применения метода площадей, а также её эффективность, подтверждается проводимыми нами факультативными занятиями по математике в гимназии «Сахаб».

Метод площадей способствует более прочному и глубокому усвоению знаний, развитию индивидуальных способностей, развитию самостоятельного творческого мышления. Наблюдения и опытное преподавание показало, что данный

Библиографический список

метод решения геометрических задач имеет большее преимущество в сравнении с традиционной методикой обучения. От того, как учитель сможет реализовать данный метод, будет зависеть весь дальнейший ход обучения.

Выдвинутая в начале исследования гипотеза, что использование в учебном процессе метода площадей к решению геометрических задач на уроках математики позволит повысить эффективность и качество преподавания в области математического образования, в том числе и при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике, подтвердилась.

Цели исследования достигнуты, задачи исследования решены.

1. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. Книга для учителя. Москва Просвещение, 2010.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. М-во образования и науки Рос. Федерации. Москва. Просвещение, 2011.

3. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений. Москва. Просвещение, 2000.

4. ЕГЭ 2016. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко. Москва. Издательство «Национальное образование», 2016.

5. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко. Москва. Издательство «Национальное образование», 2019.

References

1. Grudenov Ya.I. Sovershenstvovanie metodikiraboty uchitelya matematiki. Kniga dlya uchitelya. Moskva Prosveschenie, 2010.

2. Federal’nyj gosudarstvennyj obrazovatel’nyj standart osnovnogo obschego obrazovaniya. M-vo obrazovaniya i nauki Ros. Federacii. Moskva. Prosveschenie, 2011.

3. Atanasyan L.S. Geometriya 7-9: uchebnik dlya obscheobrazovatel’nyh uchrezhdenij. Moskva. Prosveschenie, 2000.

4. EG’E 2016. Matematika. Profil’nyj uroven’: tipovye ‘ekzamenacionnye varianty: 36 variantov. Pod redakciej I.V. Yaschenko. Moskva. Izdatel’stvo «Nacional’noe obrazovanie», 2016.

5. EG’E 2019. Matematika. Profil’nyj uroven’: tipovye ‘ekzamenacionnye varianty: 36 variantov. Pod redakciej I.V. Yaschenko. Moskva. Izdatel’stvo «Nacional’noe obrazovanie», 2019.

Статья поступила в редакцию 30.07.19

УДК 371.134.02:004

Makaiikhina I.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (Novosibirsk, Russia),

E-mail: [email protected]

DEVELOPMENT OF EDUCATIONAL ACTIVITIES OF NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE AND CIVIL ENGINEERING (SIBSTRIN) IN THE INTERNATIONAL MARKET. The objective of the study is to substantiate an approach to creation of a professional foreign language educational environment in Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering and to identify features of training multilingual specialists to solve problems of integrating the university into the international educational process. In order to achieve the goal, the following tasks are set and solved: to analyze existing educational universities activities in the international market; to study theoretical and methodological foundations and principles for the development of educational activities of Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering in the international market; to develop educational activities of Sibstrin in the international market. The object of our study is foreign language educational activities of universities in the international market.

Key words: foreign language environment, Civil Engineering University, multilingual specialist, international educational process.

И.М. Макарихина, канд. пед. наук, доц., Новосибирский государственный архтектурно-строительный университет (Сибстрин), г. Новосибирск,

E-mail: [email protected]

РАЗВИТИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НОВОСИБИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА (СИБСТРИН) НА МЕЖДУНАРОДНОМ РЫНКЕ

В статье освещается подход к формированию профессиональной образовательной иноязычной среды в Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете (Сибстрин) и выявлению особенностей подготовки мультиязычных специалистов для решения задач интеграции вуза в международный образовательных процесс. Объектом исследования является иноязычная образовательная деятельность вузов на международном рынке. Предмет исследования составляет совокупность теоретических, методических и практических вопросов, связанных с процессом развития образовательной деятельности НГАСУ (Сибстрин) на международном рынке.

Ключевые слова: иноязычная среда, строительный университет, мультиязычный специалист, международный образовательный процесс.

Introduction. Substantial modernization of higher education content in accordance with the requirements of society and the state to the level of specialists education, including in foreign languages is necessary in the conditions of the of economic, socio-political and social relations transformation. The revision of traditional paradigm in the general system of higher education is due to the objective need of society for an individual, aware and practically realizing his vocation and purpose in various types and international practice arising [1, p. 5].

Modern-day English is the language of world science and advanced technologies, global politics, economics, trade and transport. The prevalence of the English language in Russia and the level of its proficiency are markedly different from world indicators. Russia has consistently been included in the group of countries with a low level of English according to «Ef EPI Index» report of the international company Education First, compiled from the results of standardized testing, which was conducted in 72 countries around the world for the past six years. Studies show that many Russians do not have the need to speak foreign languages, about 54% of citizens do not feel the desire to study them, 13% are convinced that it is enough to know only Russian [1; 2].

But, world practice shows that about 80% of all information is stored in English, more than 50% of Internet websites are English-speaking. World science is considered monolingual, as up to 70% of scientific publications as a whole and 99% of publications on natural sciences are published in English by the EF EPI Index of the international company Education First. In 2016, the number of national English bilinguals is from 603,163.010 to 1 billion people, significantly exceeding the number of native speakers — 339,370,920 people, according to various estimates [1; 2].

English studding program is gaining momentum with increasing demand for English-language scientific products (English-language courses in disciplines, lectures, textbooks, books) [3].

The subject of the study is a set of theoretical, methodological and practical issues related to the educational activities Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (Sibstrin) development in the international market.

The theoretical basis of the research work is the scientific works of well-known domestic and foreign scientists, which analyze theoretical and practice issues of the universities’ educational activities development in the international market in the conditions of a scientific product commercialization.

Проект по геометрии «Геометрия пчелиных сот» – Документ 1 – УчМет

МОУСОШ№2
имени Героя Советского Союза
А.В.Ляпидевского гЕйска МО Ейский район.

«Геометрия
пчелиных сот»

Выполнила:

Дроздова
Яна , ученица 8Б класса

Руководитель:

Бобровникова
Т.В.

учитель
математики

гЕйск 2012г

Актуальность
работы. Умение применять
знания школьного курса геометрии в
жизни, что способствует расширению
кругозора и уделение более пристального
внимания школьному материалу.

Цель
работы. Для полного раскрытия темы
ставится следующая цель: умение решать
задачи практического характера, с
применением приобретенных знаний в
школе; расширение кругозора в ходе
исследования, а так же показать связь
математики с жизнью и эффективность
математики.

Постановка
задач. Достижение поставленной цели
возможно путем рассмотрения следующих
задач: 1) доказательство составления
паркета из правильных многоугольников:
2) выявления правильного многоугольника
с наименьшим периметром; 3) применение
геометрических построений при рассмотрении
пчелиных ячеек сот;

4)
выявление наименьшей площади поверхности
многогранника.

Объект
исследования. Объектом изучения
работы является пчела, ее соты.

Содержание работы.

—
начало исследования – знакомство с
интересной задачей про пчел, а так же
наблюдение

за строительством пчелиных сот;

—
причины, по которым строительство ячеек
сот соответствует правильному

шестиугольнику;

—
принцип построения паркетов из правильных
многоугольников;

—
выявление наименьшего периметра
правильного многоугольника с применением
формул

нахождения площадей, сторон и периметров
этих многоугольников;

—
построение одной ячейки с применением
геометрических построений и знанием

пространственных тел- многогранников.

—
сравнение площадей поверхности
многогранников и пчелиной ячейки;

—
геометрические способности пчел помогают
им экономить время, воск и силы.

Выводы
по работе.

В заключении
мне бы хотелось сказать, что геометрический
подход к природным явлениям позволяет
увидеть внутренний мир, гармонию,
структуру этого явления.

А исследования,
проведенные в ходе работы, знакомят и
сближают нас с гармонией

и целесообразностью
природы.

Оглавление.

1.
Вступление.

Связывая
природу, математику, и искусство, можно
убедиться

в
том, что для тех, кто стоял у истоков
искусства, природа и

человек
были образцами для подражания. Есть
такие творения

природы,
которых человек порой не
замечает___________________стр2.

2.
Основная часть.

1) Сеть правильных
шестиугольников_______________________стр3.

2) Паркет:

а) формулировка задачи
о составлении паркета____________стр3.

б) доказательство
задачи_______________________________стр4.

в) составление паркета из
правильного треугольника,

квадрата и правильного
шестиугольника_______________стр5.

3) Расчетливая геометрия:

а) доказательство того,
что периметр правильного

шестиугольника наименьший
из периметров

остальных правильных
многоугольников ______________стр6.

б) построение ячейки пчелиных
сот, и их проекции_________стр8.

в) доказательство
того, что площадь поверхности

пчелиной ячейки наименьшая
из поверхностей

других многогранников,
имеющих одинаковый

объем____________________________________________стр10.

3.
Заключение.

Всесторонняя эффективность
математики___________________стр11.

4.
Список литературы
____________________________________стр12

1. Введение

Пчёлы – удивительные творения
природы. Геометрические способности
пчёл проявляются при построении сот.
Если разрезать пчелиные соты плоскостью,
перпендикулярной их рёбрам, то будет
видна сеть правильных шестиугольников,
уложенных в виде паркета.

Возникает вопрос: «Почему пчёлы
строят соты именно так, почему они
предпочли сеть правильных шестиугольников,
а не правильных треугольников или
квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо
проще сконструировать?»

В учебнике за пятый класс есть
очень интересная задача о пчёлах. А так
как мы сами разводим пчёл, то я решила
обратить на неё наиболее пристальное
внимание.

Задача №1:

Чтобы собрать 100 грамм мёда,
пчела доставляет в улей 16 тысяч нош
нектара. Вопрос задачи: какова масса
одной ноши?

Решение:

100
: 16000=0,00625 (г) -масса одной ноши.

Ответ: 0,00625 грамм.

А
умещает пчела свою ношу на своей ножке
в мешочке.

Решив эту задачу, можно сделать
следующий вывод: пчела очень трудолюбива,
прикладывает огромные усилия для того
чтобы, собрать мёд.

Собирая нектар с цветков, пчела
«налетает» около трёхсот километров,
посетив при этом девятнадцать миллионов
цветков. А несколько килограммов мёда
– это уже несколько километров. Скорость
полёта пчелы – 6,5 километров в час.
Продолжительность жизни пчелы 30-35 дней.

2.Основная
часть.

Теперь попытаемся ответить на
вопрос: «Почему пчелы строят соты именно
так, почему они предпочли сеть правильных
шестиугольников, а не правильных
треугольников или квадратов?

Чтобы ответить на этот вопрос,
необходимо предварительно выяснить,
какими правильными многоугольниками
можно заполнить плоскость так, чтобы
не было пропусков, то есть уложить их в
виде паркета.

Выполняя несложные расчёты,
убеждаемся, что такими многоугольниками
могут быть только квадраты, правильные
треугольники и правильные шестиугольники.

Квадрат правильный
треугольник правильный шестиугольник.

Задача №2:

Действительно, сумма внутренних
углов выпуклого n-угольника
равна

(n-2)·180º,
где n-число
сторон многоугольника. Сумма углов
правильных n-угольников,
сходящихся в одной вершине паркета,
равна 360º. Тогда приравняв сумму
внутренних углов к числу 360, мы получим
следующее равенство:

.

Решаем
это уравнение относительно числа к,
тогда получим:

,

или
,

где
k — число углов, сходящихся
в одной вершине паркета.

Отсюда
.

Рассмотрим некоторые правильные
многоугольники.

1).
Возьмём треугольник с количеством
сторон равным трём.

Тогда,
если n=3, то k=6.
А это значит, что в одной вершине паркета
могут сходиться шесть правильных
шестиугольников;

2). Возьмём квадрат с количеством
сторон равным четырём.

Тогда, если n=4, то
k=4, то есть в одной вершине
паркета могут сходиться четыре квадрата.

3).
Возьмём пятиугольник с количеством
сторон равным пяти.

Если
n=5, то k=3,3.
А так как k получили не
целое число, то не существует паркета
из правильных пятиугольников.

4).
Возьмём шестиугольник с количеством
сторон равным шести.

Тогда,
если n=6, то k=3,
то есть в одной вершине паркета могут
сходиться три правильных шестиугольника;

5).
Возьмём семиугольник с количеством
сторон равным семи.

Если
n=7, то k=2,8.
А так как k получили не
целое число, то не существует паркета
из правильных семиугольников. И так
можно продолжать дальше.

Теперь рассуждаем следующим
образом:
,так
как внутренний угол правильного
многоугольника меньше 180º;

значит,

или

По
смыслу задачи значения n,
k и

могут быть только целыми , поэтому 4
делится нацело на (n-2).
Отсюда n
= 3,4,6.

Итак, мы выяснили, что заполнить
плоскость без пропусков можно, используя
или правильные треугольники, или
квадраты, или правильные шестиугольники.
Только ими можно уложить паркет без
пропусков.

Паркеты:

1) из
правильных треугольников

2)
из правильных четырехугольников

3)
из правильных шестиугольников

Попробуем дальше развить
«пчелиную» тему.

Для
того чтобы выяснить, почему пчела строит
соты, перпендикулярное сечение которых
есть правильный шестиугольник, а не
правильный треугольник или квадрат,
рассмотрим вспомогательную задачу.

Задача №3: Даны три
равновеликие друг другу фигуры –
правильный треугольник, квадрат,
правильный шестиугольник. Какая из
данных фигур имеет наименьший периметр?

Дано:
правильный треугольник, квадрат,
правильный треугольник. S
– из правильных
многоугольников. . S=4
см²

Найти:
периметр каждого правильного
многоугольника.

Решение:

Пусть S
– площадь каждой из данных фигур.

а₃,
а₄,
а₆
—
стороны соответствующих многоугольников.

S=4
см².

1).
Тогда вычислим площадь треугольника
по формуле:

Подставив
данные правильного треугольника в эту
формулу, получим:

2).
Площадь квадрата вычислим по формуле:

3).
Площадь правильного шестиугольника
состоит из шести площадей правильного
треугольника. Тогда получим:

Теперь
нетрудно вычислить периметр каждой
фигуры, зная её площадь.

Сначала
выразим сторону каждого многоугольника
через его площадь, затем найдем периметр
этого многоугольника:

,
тогда
.

Подставив
в формулу значение площади, равное 4
см²,
получим, что

Р ≈ 9,1 см.

Аналогично
выразим сторону квадрата через его
площадь и найдем периметр квадрата при
заданном значении его площади:

,
тогда
,
значит

Р
= 8 см.

Осталось
выразить сторону правильного шестиугольника
через его площадь и найти периметр:

,
тогда
,
получим:

Р ≈ 4,6 см.

Для
сравнения периметров фигур найдём их
отношение:

Мы
видим, что из трёх правильных многоугольников
с одинаковой площадью наименьший
периметр имеет правильный шестиугольник.
Стало быть, выбрав правильный шестиугольник,
мудрые пчёлы экономят воск и время для
построения сот.

Надо сказать, что на этом
математические секреты пчёл не
заканчиваются. Интересно и дальше
исследовать строение пчелиных сот.

Соты
в улье свешиваются сверху вниз наподобие
занавесок:

пчёлы
прикрепляют их к потолку смесью воска
или пчелиного клея (прополиса).
Ячейки уложены в пласты и соприкасаются
общими донышками.

Но
донышки ячеек не плоские, а представляют
собой части трёхгранных углов, гранями
которых являются равные ромбы.

Рис.2.

Рис.
1.

На
рисунке 1 изображена пчелиная ячейка в
общем виде, а на рисунке 2 – её проекции:
вид сверху, вид спереди и вид сбоку.

Попробуем
построить развёртку многогранника

(одна ячейка сот). Но прежде чем начать
построение сот развёрстки, необходимо
рассмотреть чисто геометрически, как
получается ячейка.

Сначала
построим изображение правильной
шестиугольной призмы. Проведём диагонали

верхнего основания призмы и на оси
призмы

возьмём некоторую точку S.
Через прямые
и точку S
проводим три плоскости, которые отсекают
от призмы три равные треугольные пирамиды
.
Получившийся многогранник

и является пчелиной ячейкой.

Поскольку боковая поверхность
многогранника представляет собой шесть
равных между собой трапеций, то для
получения развёртки построим эти
трапеции. Их размеры возьмём такими же,
как на рисунке 2 , причём отрезок MS
на рисунке 2, a-это диагональ
ромба в верхней части ячейки.

Построим
отрезок AA´=AB+BC+CD+DE+EF+FA
(рисунок 4). На продолжении ребра CL
от точки L
отложим отрезок LS
и из точки L
проведём окружность радиусом, равным,
например, отрезку.
После этого построим середину отрезка
LS,
проведём через неё перпендикулярную к
нему

Рис. 4.

прямую,
которая пересекает дугу окружности в
двух вершинах ромба. Два других ромба
строим следующим образом: из вершины
ромба
проводим
окружность радиусом, равным стороне
построенного ромба, а из вершины S
– окружность, радиус которой равен
диагонали ромба. Эти окружности в
пересечении дают ещё одну вершину ромба.
Остальные построения очень просты.
Развёртка пчелиной ячейки показана на
рисунке 4.

.
А на рисунке 5 можно увидеть, как
соприкасаются ячейки в улье; их общая
часть является ромбом.

Когда
говорят о пчёлах, то чаще всего
демонстрируют рисунок 6 , показывающий
соты в разрезе плоскостью, перпендикулярной
боковому ребру и пересекающей все соты
по правильным шестиугольникам.

Рис.6.

Если
продолжить одну из боковых граней ячейки
так, чтобы она пересекала остальные
соты, то сечение будет таким, как показано
на рисунке 7.

Рис.
7.

Небезынтересен
вопрос, почему пчёлы строят донышки
своих ячеек в форме части трёхгранного
угла, в качестве граней которого служат
ромбы. Нельзя ли было поступить проще,
сделать дно сот плоским, то есть обычным
правильным шестиугольником? Какая же
здесь выгода для пчёл?

Вернёмся к ячейке-многограннику
на рисунке 3. Объём многогранника

равен
объёму правильной шестиугольной призмы.
Как нетрудно заметить, объём пирамиды

равен утроенному объёму одной из равных
пирамид.

Пирамиды

и

равны (они симметричны относительно
точки Т). Мы можем самостоятельно
провести доказательство равенства
названных пирамид, оно несложно. Итак,
объёмы пчелиной ячейки и правильной
шестиугольной призмы

равны.

Зато
площадь ее поверхности меньше площади
поверхности шестиугольной призмы.

3. Заключение.

В
имеющейся литературе приводятся сведения
о том, что благодаря такой «математической»
работе расчётливые «геометры» экономят
около 2 % воска. Количество воска,
сэкономленного при постройке 54 ячеек,
может быть использовано для одной такой
же ячейки.

В
итоге необходимо сказать, что пчелиные
соты представляют собой пространственный
паркет, поскольку заполняют пространство
так, что не остаётся просветов.

Как в заключение не согласиться
с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна
ночь»:

«Мой
дом построен по законам самой строгой
архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться,
познавая геометрию моих сот».

Так с помощью геометрии и
математического анализа мы прикоснулись
к тайне математических шедевров из
воска, ещё раз убедившись во всесторонней
эффективности математики.

4. Список литературы:

1)
А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии»
— гуманитарно – математический

цикл;

2)Журнал:
«Математика в школе» №1 1995 г.

3) Журнал:
«Пчеловод», подшивка за 2001 год.;

4) Детская
энциклопедия: «Что? Где? Почему?»

5)
Учебник: «Геометрия 7-11 класс» Погорелов;

6)
Учебник: « Математика 5 класс» Виленкин.

Трапеция сторона делится в отношении. Что такое Трапеция

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства
»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

Определения 3

Свойства равнобедренной трапеции 4

Вписанные и описанные окружности 7

Свойства вписанных и описанных трапеций 8

Средние величины в трапеции 12

Свойства произвольной трапеции 15

Признаки трапеции 18

Дополнительные построения в трапеции 20

Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

Доказательства некоторых свойств трапеции 27

Задачи для самостоятельных работ

Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

Определения

Трапеция
– четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются
основаниями.
Другие две —
боковые стороны
.
Если боковые стороны равны, трапеция называется
равнобедренной
.

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется
прямоугольной
.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется
средней линией трапеции
.

Расстояние между основаниями называется высотой
трапеции
.

2

. Свойства равнобедренной трапеции

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4

1

0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.

3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4
. Свойства вписанных и описанных трапеций

2.Если в равнобедренную
трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4

.
Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.

Е
сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m
и n,
тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

1

0
. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.

5.
Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое

В любой трапеции с основаниями

a



и


b



для






a

>

b

справедливо неравенство


:

b
˂
h
˂
g
˂
m
˂
s
˂
a

6.
Свойства произвольной трапеции

1

. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5.
При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.
Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

d

1

2

+

d

2

2

=

c

2

+

d

2

+ 2

ab

7

.

В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований

d

1

2

—

d

2

2

=

a

2

–

b

2

8
. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7
. Признаки трапеции

8
. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2

. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3

. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7

.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1

1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1

2
. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13.
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1

. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
S

= ½(a

+
b

)
h

или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S

=
m

h

.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным
r
и углом при основании
α:

10.
Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN
5-89155-188-3

Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках
K

и

L

.

Доказать, что если основания трапеции равны

а

и

b

, то

длина отрезка

KL

равна среднему геометрическому оснований трапеции.

Доказательство

Пусть

О

— точка пересечения диагоналей,
AD

=

а, ВС

=

b

.

Пря­мая

KL

параллельна основанию
AD

, следовательно,

K

О

║

AD

,

треугольники

В

K

О

и

BAD

подобны, поэтому

(1)

(2)

Подставим (2) в (1)
, получим KO =

Аналогично LO

= Тогда K

L

=

KO

+

LO

=

В


о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке
К.


Через точку

К


и точку

О


пересечения диагоналей
проведём прямую


КО.

Д

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим
ВМ

=

х, МС

=

у,

AN

=

и,

ND

=

v

.

Имеем:

∆

ВКМ

~

∆AKN

→

M

x

B

C

Y

∆
MК

C

~

∆NKD

→

→

O

v

u

A

N

D

∆BMO

∆DNO

∆CMO


∆
ANO

поэтому .

Перемножая полученные равенства, получим , откуда следует

x


=

y


,
но тогда и u

=
v

.

дачи для самостоятельных работ и их решения

3. Задачи по теме «Трапеция»
повышенной сложности.

Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252.

1 . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий сере­дины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Ответ:
S
= 6.

2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р.
Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ.

psina

3. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в тра­пецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины основа­ний трапеции.

Ответ: 1и 7.

Основание
АВ

трапеции
ABCD

вдвое длиннее основания
CD

и вдвое длиннее боковой стороны
AD.

Длина диагонали
АС

равна
а,

а длина боковой стороны
ВС

равна
b
.

Найти площадь трапеции.

Ответ:
S

= 3

ab

В трапеции PQRS
длина основания QR
равна 10, длина диагона­ли QS
равна 19, а величина угла QSP
равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR
или длина стороны RS.

Ответ:
RS > QR.

В трапеции ABCD
сторона АВ
параллельна CD.
Диагонали BD
и АС
трапеции пересекаются в точке О,
причем треугольник ВОС
явля­ется равносторонним. Найти длину стороны ВС,
если АВ
= 5 и CD-
3.

В трапеции ABCD
основание AD
равно 16, сумма диагоналей АС
и BD
равна 36, угол CAD
равен 60°. Отношение площадей тре­угольников AOD
и ВОС,
где О
— точка пересечения диагоналей, рав­но 4. Найти площадь трапеции.

Ответ:
S=

90√3.

Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238..

12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию. [√2
S
ctg а]

Около круга радиуса
R

описана равнобедренная трапеция с острым утлом а при основании. Найти периметр этой трапеции.

В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к.
Найти углы трапеции и допустимые значения к.

На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании трапе­ции.

Основания равнобедренной трапеции равны а и 6 (а > 6), угол при боольшем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около грапеции. [
(√/а
2
+Ь
2
+2а
b
cos2а
)
:(2sin2а)].

Площадь равнобедренной трапеции равна
S
, угол между ее диагонапями, противолежащий боковой стороне, равен ɑ. Найти высоту трапе­ции…

[√
Stg
(½ ɑ)]

4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ √185. Площадь трапеции составляет

В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны
Ь,

а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна

1

51 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради­уса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно

Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности. Синус угла трапеции равен

20] Основания равнобочной трапеции относятся как 3: 7, а диагональ делит острый угол пополам.25
j
В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая

диагональ равна

29
j
Равнобедренная трапеция с острым углом
а

описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно

Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ­ней. Тангенс острого угла трапецииравен

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией
.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями
, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами
. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN
средняя линия, AB
и CD

— основания, AD
и BC
— боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача
: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC
=>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

– это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 — AD
и BC
), две другие – боковыми (на рисунке AB
и CD
).

Средняя линия трапеции
– это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL
).

Свойства средней линии трапеции

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Доказать
, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Дана трапеция ABCD
со средней линией KL
. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B
и L
. На рисунке 2 это прямая BQ
. А также продолжить основание AD
до пересечения с прямой BQ
.

Рассмотрим полученные треугольники LBC
и LQD
:

1. По определению средней линии KL
   точка L
   является серединой отрезка CD
   . Отсюда следует, что отрезки CL
   и LD
   равны.
2. ∠ BLC
   = ∠ QLD
   , так как эти углы вертикальные.
3. ∠ BCL
   = ∠ LDQ
   , так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD
   и BC
   и секущей CD
   .

Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC
и LQD
равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC
= ∠ LQD
, BC=DQ
и самое главное — BL=LQ
=> KL
, являющаяся средней линией трапеции ABCD
, также является и средней линией треугольника ABQ
. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ
получаем:

1. KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC)
   
2. KL || AD
   по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC
   по определению трапеции, то KL || BC
   .

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет
.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями
. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер 1 и 2), и более интересные.

1. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины В.

2. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150. Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы АВН и ВАН — односторонние, значит, их сумма равна 180°, и тогда угол ВАН равен 30°. Из треугольника АВН найдем высоту ВН. Катет, лежащий напротив угла в 30, равен половине гипотенузы. Получаем, что ВН = 3,5 и площадь трапеции равна 42.

3. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция АВСD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, АВС и АСD, в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника АВD находим: х = 5.

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

4. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5. Легко доказать, что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки РМ и NQ, являющиеся средними линиями треугольников ABC и BCD, а затем отрезок MN. Он равен 0,5.

5. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть a + b + c.
Периметр трапеции равен а + b + 4 + c + 4.
На сколько периметр трапеции больше периметра треугольника? Чему равен периметр трапеции?

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

Общие сведения

Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…

Виды трапеции

Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

Главные принципы методики изучения свойств трапеции

К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем тупой угол аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

Доказательство теоремы

Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

Выводы подобия

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Давайте перечислим особенности таких фигур:

1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

.

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+Б)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:

М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

4. Через площадь и высоту: М = П/Н.

Обзор курса геометрии Rightstart

RightStart Geometry (или RightStart ^TM Mathematics: A Hands-On Geometric Approach) — это полный год обучения геометрии, предназначенный в первую очередь для уровня средней школы. Это очень практично, включая рисование почти на каждом уроке. Этот рисунок выполняется с помощью соответствующих инструментов (Т-образный квадрат и треугольные линейки) для большей точности. На мой взгляд, — лучший способ изучать геометрию: обучение по ЧЕРТЕЖУ .

Курс начинается с некоторых основ рисования, а затем исследуется равносторонний треугольник и то, как разделить его на половины, шестые, трети, четвертые, восьмерки, девятые и т. Д.(Уроки 4-9) Во время этих начальных уроков ученика часто просят сравнить, во сколько раз одна цифра больше другой. Это, конечно, открывает путь к концепции области .

Делительный равносторонний треугольник

Уроки 10-17 знакомят с сантиметрами, дюймами, периметром, рисованием пареллограмм, прямоугольников, ромбов и квадратов. Я не могу не восхищаться красотой этого подхода: после рисования всех этих специальных прямоугольников в различных ситуациях ученик (урок 17) хорошо готов анализировать и классифицировать различные типы четырехугольников.

Дроби — это тема уроков 18-19 с помощью дробной диаграммы, которую студент должен заполнить. Они открывают путь к изучению 16-й части и дюймовой линейки в уроке 20. Уроки 21-22 рассматривают дроби как части геометрических фигур и обучают штриховке.

Соотношения площадей — это концепция, изучаемая в уроке 23 с таблицей вложенных квадратов. На следующих нескольких уроках учащиеся заполняют узоры сетки, чтобы заполнить прямоугольник, сначала квадратными сантиметрами, а затем квадратными дюймами.Очевидно, это приводит к формуле Площадь прямоугольника и некоторым вычислениям.

Я нашел два следующих урока (28-29) очень умными. В первом исследовании учащийся перемещает часть прямоугольника, чтобы сформировать квадрат, а во втором учащийся увеличивает квадрат, соединяя геометрию с образцами умножения и даже алгеброй.

На самом деле, в RightStart Geometry есть такие лакомые кусочки.(Например, позже мы находим «Прямоугольники, вписанные в треугольник».) Я чувствовал, что такие уроки походили на GEMS — маленькие увлекательные темы , выходящие за рамки основ, но все еще доступные ученикам. Возможно, вы можете пропустить их, если торопитесь, но они особенно хороши, если ребенок действительно интересуется геометрией или одарен.

Есть короткий урок по периметру , а затем уроки по Площадь параллелограмма и треугольника, по площади трапеций, шестиугольников, восьмиугольников и соотношений площадей (31-41).

Обычно учебники по математике концентрируются на задачах , вычисляя площадь фигур с заданными их размерами. Рабочие листы RightStart Geometry (в большинстве случаев) дают учащемуся только цифры — он должен сам измерить, а также решить, ЧТО измерять или нужны ли какие-либо вспомогательные линии. Такой практический подход наверняка заставит эти формулы для определения площади лучше закрепиться в памяти ребенка.

И я не имею в виду, что это были единственные проблемы на листах — далеко не все.Проблемы очень разные. Например, на площади восьмиугольника ученик должен ПОКАЗАТЬ много разных способов НАЙТИ площадь восьмиугольника без каких-либо вычислений. Или, используя соотношение площадей, ученик должен нарисовать фигуры с такими же размерами, что и данная фигура, но вдвое или вдвое больше площади (или наоборот).

Затем идут сечения на углов (уроки 42-47), равных треугольников (48-50) и медиан в треугольниках (51-53). Обсуждение здесь ведется на исследовательской основе, с открытием свойств и теорем.

Конгруэнтные треугольники или медианы в треугольниках обычно не встречаются в вашей типичной математике средней школы. Здесь RightStart Geometry оказывает большую услугу учащимся, потому что, когда они уже столкнулись и исследовали теоремы конгруэнтности треугольников в средней школе, им будет намного проще изучать геометрию в старших классах. На самом деле, старшеклассникам, у которых проблемы с геометрией, вероятно, будет очень полезно сначала изучить RightStart Geometry.

Следующие уроки посвящены теореме Пифагора (56-61).Опять же, я обнаружил, что обсуждение было более тщательным и глубоким, чем в обычных школьных учебниках. Студент может исследовать и рисовать квадраты на сторонах треугольника в течение двух уроков, строить геометрические доказательства теоремы, изучать понятие квадратного корня, применять теорему Пифагора в задачах со словами — и рисовать спираль квадратного корня!

по кругов . Точно так же Pi не просто бросается туда на одном уроке, но концепция хорошо подготовлена: на одном уроке ученик измеряет диаметры и окружности круглых объектов, на двух других он рисует вписанные или описанные правильные многоугольники, прежде чем столкнуться с Pi и формула для окружности.

Кроме того, при изучении касательных и касательных кругов можно рисовать круговые рисунки, символ инь-ян, трилистник, круговую спираль и т.д.

Далее идут биссектрисы и биссектрисы. После этого снова что-то особенное: Удивительный девятиконечный круг. Как рисовать дуги обязательно понравится всем начинающим художникам. Курс продолжает изучение углов в дугах и длины дуги — опять же, темы, которые обычно не встречаются в геометрии средней школы.

Область круга (уроки 77-80) и приложения — следующая важная тема.Опять же, есть один предварительный урок с геометрическим способом оценки площади и другой способ (сектора в параллелограмме), чтобы найти площадь.

Урок вращений из RightStart Geometry

Геометрические преобразования (уроки 83-96) — непростая тема для понимания. В большинстве учебников по математике приводится несколько примеров и есть несколько проблем с различными преобразованиями, но RightStart Geometry позволяет учащимся столкнуться с множеством ситуаций рисования на нескольких уроках для каждого из преобразований (отражение, вращение и перенос), которые затем могут построить твердое тело. понимание этой области геометрии.

Например, ученик использует гониометр и рисунок танграма, чтобы понять, как вращается рисунок. Создание конструкции колес позволяет проявить некоторую креативность, одновременно углубляя понимание геометрии вращения.

После основ, уроки также включают «обратные» операции: нахождение линии отражения или центра вращения. Тема преобразований закрывается более глубоким исследованием темы симметрии (такие темы, как линии симметрии, вращательная симметрия, порядок вращательной симметрии) и того, как она связана с геометрическими преобразованиями.

Затем курс переходит к нескольким увлекательным и интересным темам, таким как мозаика, фракталы, золотое сечение, платоновые тела и многое другое.

Этот курс охватывает геометрию средней школы, да, но в нем также есть много тем из курса геометрии средней школы (но не все). Кроме того, это не требует доказательств. Однако некоторые домашние школьники могут заменить этот курс курсом геометрии в средней школе (спросите в своей местной группе домашнего обучения).

Цены (на 2012 год): базовый стартовый комплект 120 долларов, стартовый комплект Делюкс 200 долларов.

Посетите веб-сайт здесь: RightStart Geometry.

Отзыв от Марии Миллер

Учебный план по геометрии для старших классов

Ниже приведены необходимые навыки и ссылки на ресурсы, которые помогут в освоении этого навыка. Мы также поощряем множество упражнений и работу с книгами. Curriculum Home

Важно: это только руководство.
Обратитесь в местный орган управления образованием, чтобы узнать их требования.

Геометрия средней школы | Размер

☐ Определить радиан

☐ Преобразование радианов в градусы

☐ Определите стерадиан и узнайте его отношение к квадратным градусам.

Геометрия средней школы | Геометрия (плоскость)

☐ Найдите площадь и / или периметр фигур, состоящих из многоугольников и кругов или секторов круга
Примечание. Рисунки могут включать треугольники, прямоугольники, квадраты, параллелограммы, ромбы, трапеции, круги, полукруги, четверти окружности и правильные многоугольники (только по периметру).

☐ Определить длину дуги окружности по ее радиусу и величине центрального угла

☐ Постройте биссектрису заданного угла, используя линейку и циркуль, и выровняйте конструкцию

☐ Постройте серединный перпендикуляр данного сегмента, используя линейку и циркуль, и выровняйте конструкцию

☐ Постройте прямые, параллельные (или перпендикулярные) заданной линии через заданную точку, используя линейку и циркуль, и выровняйте конструкцию

☐ Постройте равносторонний треугольник, используя линейку и циркуль, и выровняйте конструкцию

☐ Изучить и применить совпадение медиан, высот, биссектрис угла и серединных перпендикуляров треугольников

☐ Решать проблемы с помощью составных локусов

☐ Обозначить соответствующие части совпадающих треугольников и других фигур

☐ Исследовать, обосновать и применить теорему о равнобедренном треугольнике и ее обратную

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о геометрических неравенствах, используя теорему о внешнем угле

☐ На основе измерения заданных пар углов, образованных трансверсалью и прямыми, определите, параллельны ли две отрезанные трансверсалью прямые.

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о сумме мер внутренних и внешних углов многоугольников

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о каждой внутренней и внешней угловой мере правильных многоугольников

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о параллелограммах с указанием их углов, сторон и диагоналей

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о специальных параллелограммах (прямоугольниках, ромбах, квадратах), касающихся их углов, сторон и диагоналей

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о трапециях (включая равнобедренные трапеции), включая их углы, стороны, медианы и диагонали

☐ Обоснуйте, что некоторые четырехугольники представляют собой параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты или трапеции

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о подобных треугольниках

☐ Дана одна или несколько прямых, параллельных одной стороне треугольника и пересекающих две другие стороны треугольника, исследуйте, выровняйте и примените теоремы о пропорциональных отношениях между сегментами сторон треугольника.

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о средней пропорциональности:
* высота до гипотенузы прямоугольного треугольника — это среднее значение, пропорциональное между двумя сегментами вдоль гипотенузы.
* высота до гипотенузы прямоугольного треугольника делит гипотенузу таким образом, что любой катет прямоугольного треугольника является средним, пропорциональным между гипотенузой и сегментом гипотенузы, примыкающим к этому катету

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы относительно хорд круга:
* биссектрисы хорд
* относительные длины хорд по сравнению с их расстоянием от центра окружности

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о касательных к окружности:
* перпендикуляр к касательной в точке касания
* две касательные к окружности от одной и той же внешней точки
* общие касательные двух непересекающихся или касательных окружностей

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о дугах, определяемых лучами углов, образованными двумя прямыми, пересекающими окружность, когда вершина:
* внутри круга (две хорды)
* по окружности (касательная и хорда)
* вне круга (две касательные, две секущие или касательная и секущая)

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы относительно отрезков, пересекаемых кругом:
* по двум касательным от одной внешней точки
* по двум секущим от одной внешней точки
* по касательной и секущей от одной внешней точки
* по двум пересекающимся хордам данной окружности

☐ Определите, исследуйте, выровняйте и примените изометрии в плоскости (повороты, отражения, перемещения, отражения скольжения) Примечание. Используйте правильные обозначения функций.

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте свойства, которые остаются неизменными при перемещениях, поворотах, отражениях и отражениях скольжения

☐ Обоснование геометрических соотношений (перпендикулярность, параллельность, конгруэнтность) с использованием трансформационных методов (смещения, вращения, отражения)

☐ Определить, исследовать, обосновать и применить сходства (расширения и состав расширений и изометрий)

☐ Изучить, обосновать и применить свойства, которые остаются неизменными при сходствах

☐ Определите конкретные сходства, наблюдая за ориентацией, количеством инвариантных точек и / или параллелизмом

☐ Изучите, выровняйте и примените аналитические представления для сдвигов, вращений вокруг начала координат 90 ° и 180 ° отражений по линиям x = 0, y = 0 и y = x, а также растяжений с центром в начале координат

☐ Постройте центр круга с помощью линейки и циркуля.

☐ Вычислить площадь сегмента круга с учетом меры центрального угла и радиуса круга

☐ Постройте окружность, касающуюся трех точек, с помощью линейки и циркуля.

☐ Обведите круг на треугольнике с помощью линейки и циркуля.

☐ Постройте треугольник с тремя известными сторонами, используя линейку и циркуль, и выровняйте конструкцию

☐ Разрежьте линию на n равных отрезков с помощью линейки и циркуля и выровняйте конструкцию

☐ Постройте окружность, вписанную в треугольник (вписанную окружность), используя линейку и циркуль, и выровняйте конструкцию.

☐ Постройте пятиугольник с помощью линейки и циркуля и обоснуйте конструкцию.

☐ Постройте касательную от точки к окружности с помощью линейки и циркуля и выровняйте конструкцию.

☐ Знайте, что апофема правильного многоугольника — это радиус его вписанной окружности, и знайте его отношение к радиусу описанной окружности многоугольника или длине стороны многоугольника.

☐ Расчет площади правильного многоугольника по количеству сторон и либо по длине стороны, либо по радиусу описанной окружности, либо по длине апофемы.

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о количестве диагоналей правильных многоугольников.

☐ Исследуйте свойства пентаграммы и ее отношение к золотому сечению.

☐ Используйте линейку и чертежный треугольник, чтобы построить линию, параллельную заданной линии и проходящую через заданную точку, или построить линию, перпендикулярную заданной линии в заданной точке.

☐ Помните, что плоскость — это плоская поверхность без толщины, которая может длиться вечно.

☐ Знайте, как найти соотношение площадей одинаковой формы, учитывая соотношение их длин.

☐ Исследуйте и поймите теоремы об окружности, включая теорему об угле в центре, углы, составляемые теоремой о той же дуге, и угол в теореме о полукруге.

☐ Исследуйте вписанные четырехугольники и знайте, что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.

Геометрия средней школы | Геометрия (твердое тело)

☐ Используйте формулы для расчета объема и площади поверхности прямоугольных твердых тел и цилиндров

☐ Знайте и применяйте, что если линия перпендикулярна каждой из двух пересекающихся линий в их точке пересечения, то эта линия перпендикулярна плоскости, определенной ими

☐ Знайте и применяйте, что боковые края призмы совпадают и параллельны

☐ Знайте и применяйте, что две призмы имеют равные объемы, если их основания имеют равную площадь и их высота равна

☐ Знайте и применяйте, что объем призмы — это произведение площади основания и высоты

☐ Примените свойства обычной пирамиды, в том числе:
# боковые края совпадают
# боковые грани представляют собой равнобедренные равнобедренные треугольники.
# объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

☐ Применить свойства цилиндра, в том числе:
* базы совпадают
* объем равен произведению площади основания и высоты
* боковая площадь правого кругового цилиндра равна
* произведение высоты и окружности основания

☐ Примените свойства правого кругового конуса, в том числе:
* поперечная площадь равна половине произведения высоты склона на окружность его основания
* объем составляет одну треть произведения площади основания на высоту

☐ Примените свойства сферы, в том числе:
* пересечение плоскости и сферы представляет собой круг
* большой круг — это самый большой круг, который можно нарисовать на сфере
* две плоскости, равноудаленные от центра сферы и пересекающие сферу, образуют конгруэнтные окружности
* площадь поверхности составляет 4 пи р ²
* объем (4/3) pi r ³

☐ Знайте и применяйте, что через данную точку проходит одна и только одна плоскость, перпендикулярная данной линии

☐ Знайте и применяйте, что через данную точку проходит одна и только одна линия, перпендикулярная данной плоскости

☐ Знайте и применяйте, что две прямые, перпендикулярные одной плоскости, копланарны

☐ Знайте и применяйте, что две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда одна плоскость содержит линию, перпендикулярную второй плоскости

☐ Знайте и применяйте, что если прямая перпендикулярна плоскости, то любая прямая, перпендикулярная данной прямой в точке пересечения с данной плоскостью, находится в данной плоскости

☐ Знайте и применяйте, что если линия перпендикулярна плоскости, то каждая плоскость, содержащая эту линию, перпендикулярна данной плоскости

☐ Знайте и применяйте, что если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то пересечение будет двумя параллельными линиями

☐ Знайте и применяйте, что если две плоскости перпендикулярны одной и той же линии, они параллельны

☐ Поймите, что подразумевается под поперечным сечением призмы, цилиндра, пирамиды, сферы или тора, и узнайте форму поперечного сечения.

☐ Поймите, что означает двугранный угол между двумя плоскостями.

☐ Поймите формулу Эйлера, соединяющую количество граней, вершин и ребер Платоновых тел и многих других тел.

☐ Поймите, почему Платоновых тел ровно пять.

☐ Знать свойства тора, включая формулы для площади поверхности и объема.

☐ Используйте формулы для расчета площади поверхности и объема додекадра, икосаэдра, октаэдра и тетраэдра

Геометрия средней школы | Тригонометрия

☐ Найдите отношения синуса, косинуса и тангенса (или их обратные величины) угла прямоугольного треугольника, учитывая длины сторон

☐ Определите угол прямоугольного треугольника по длине любых двух сторон треугольника

☐ Найдите размер стороны прямоугольного треугольника по острому углу и длине другой стороны

☐ Определите размер третьей стороны прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора, учитывая длины любых двух сторон

☐ Выразите и примените шесть тригонометрических функций как отношения сторон прямоугольного треугольника и узнайте тригонометрические тождества: tan (x) = sin (x) / cos (x) и т. Д.

☐ Знать точные и приблизительные значения синуса, косинуса и тангенса углов 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° и 270 °

☐ Нарисуйте и используйте исходный угол для углов в стандартном положении

☐ Знать и применять кофункцию и взаимные отношения между тригонометрическими отношениями

☐ Используйте взаимные отношения и отношения ко-функции, чтобы найти значения секанса, косеканса и котангенса для углов 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° и 270 °

☐ Нарисуйте единичную окружность и представьте углы в стандартном положении

☐ Найдите значение тригонометрических функций, если задана точка на конечной стороне угла (тета)

☐ Ограничьте область определения функций синуса, косинуса и тангенса, чтобы гарантировать существование обратной функции

☐ Используйте обратные функции, чтобы найти величину угла с учетом его синуса, косинуса или тангенса

☐ Нарисуйте графики обратных функций синуса, косинуса и тангенса

☐ Определите тригонометрические функции любого угла, используя технологию

☐ Обоснование пифагорейской идентичности

☐ Решите простые тригонометрические уравнения для всех значений переменной от 0 ° до 360 ° (четыре квадранта)

☐ Определить амплитуду, период, частоту и фазовый сдвиг по графику или уравнению периодической функции

☐ Нарисовать и распознать один цикл функции вида y = A sin (Bx) или y = A cos (Bx)

☐ Нарисуйте и узнайте графики функций y = sec (x), y = csc (x), y = tan (x) и y = cot (x)

☐ Запишите тригонометрическую функцию, которая представлена ​​заданным периодическим графиком

☐ Найдите неизвестную сторону или угол, используя закон синусов

☐ Определите площадь треугольника или параллелограмма, учитывая размер двух сторон и прилегающий угол.

☐ Определите решение (я) треугольников из ситуации SSA (неоднозначный случай)

☐ Применить формулы суммы и разности углов для тригонометрических функций

☐ Примените формулы двойного угла и половинного угла для тригонометрических функций

☐ Определите конгруэнтность двух треугольников, используя один из пяти методов конгруэнтности (SSS, SAS, ASA, AAS, HL), учитывая достаточную информацию о сторонах и / или углах двух конгруэнтных треугольников

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о сумме углов треугольника

☐ Исследовать, обосновать и применить теорему о неравенстве треугольника

☐ Определите либо самую длинную сторону треугольника по трем углам, либо наибольший угол по длинам трех сторон треугольника.

☐ Исследуйте, обосновывайте и применяйте теоремы о центроиде треугольника, разделяя каждую медиану на сегменты, длина которых находится в соотношении 2: 1

☐ Установите подобие треугольников, используя следующие теоремы: AA, SAS и SSS

☐ Исследовать, обосновать и применить теорему Пифагора и ее обратную

☐ Нарисуйте и узнайте графики функций y = sin (x), y = cos (x) и y = tan (x)

☐ Найдите площадь треугольника по длинам трех его сторон, используя формулу Герона.

☐ Помните, что треугольник AAA невозможно решить.

☐ Используйте симметричные свойства равностороннего треугольника для решения треугольников путем отражения.

☐ Ознакомьтесь с тождествами треугольников, которые верны для всех треугольников: Закон синусов, закон косинусов и закон касательных.

☐ Знать и применять тождества противоположных углов: sin (-A) = -sin (A), cos (-A) = cos (A) и
загар (-А) = -тан (А)

☐ Уметь находить значения синуса, косинуса и тангенса в каждом из четырех квадрантов; в том числе определение правильного знака.

☐ Найдите неизвестную сторону или угол, используя закон косинусов

☐ Решите треугольник по законам синусов и косинусов

☐ Используйте магический шестиугольник, чтобы запомнить тригонометрические тождества

Подразделение учебной программы / описания курсов

* В 2020-2021 учебном году учащиеся будут изучать интегрированную математику II вместо геометрии, поскольку мы постепенно отказываемся от интегрированной программы.

курсов, предлагаемых в избранных школах: сжатая математика 7-8, количественное мышление, статистика через социальную справедливость, статистика AP, CSCC Int Coll Bridge, курсы IB.
Студенты могут пройти несколько курсов по математике 4 (предварительное вычисление, математика для финансовой грамотности и т. Д.).
Студенты могут посещать курсы CCP в любое время после сдачи вступительных экзаменов в школу.

Math 6
Предварительное условие: успешное завершение MATH 5.

Время обучения должно быть сосредоточено на четырех критических областях:

1. соединение коэффициента и коэффициента с умножением и делением целых чисел и использование концепций коэффициента и коэффициента для решения задач;
2. завершает понимание деления дробей и расширяет понятие числа до системы рациональных чисел, которая включает отрицательные числа;
3. написание, интерпретация и использование выражений и уравнений;
4. развитие понимания статистического мышления.Студенты, изучающие математику 6, также основывают свою работу с площадью, рассуждая о взаимосвязях между формами, чтобы определить площадь, площадь поверхности и объем.

Math 7
Предварительное условие: успешное завершение MATH 6.

Время обучения должно быть сосредоточено на четырех критических областях:

1. развитие понимания и применение пропорциональных отношений;
2. развитие понимания операций с рациональными числами и работа с выражениями и линейными уравнениями;
3. решение задач, связанных с масштабными чертежами и неформальными геометрическими конструкциями, и работа с двух- и трехмерными формами для решения задач, связанных с площадью, площадью поверхности и объемом;
4. делает выводы о популяциях на основе выборок.

Математика 8
Предварительные условия: Успешное завершение МАТЕМАТИКИ 7. Этот курс также можно пройти одновременно с МАТЕМАТИЧЕСКИМ 7 с зачислением на ускоренный курс математики в средней школе.

Время обучения должно быть сосредоточено на трех критических областях:

1. формулирование и обоснование выражений и уравнений, включая моделирование связи двумерных данных с линейным уравнением и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений;
2. понимание концепции функции и использование функций для описания количественных отношений;
3. анализ двух- и трехмерного пространства и фигур с использованием расстояния, угла, сходства и совпадения, а также понимание и применение теоремы Пифагора.

Компактная математика 7-8
Необходимое условие: зачисление на курс ускоренного обучения математике в средней школе.

Студенты пройдут комбинированный курс по математике 7 / математике 8 в течение одного периода дня. Доступно в некоторых школах.

Интегрированная математика I (последний раз предлагалась в 2019-2020 гг.)
1 Кредит по математике
9 класс

Интегрированная математика I формализует и расширяет математику, которую ученики изучали в средних классах.Критические области, организованные в блоки, углубляют и расширяют понимание линейных отношений, частично противопоставляя их экспоненциальным явлениям, а частично применяя линейные модели к данным, которые демонстрируют линейный тренд. Студенты будут изучать функции, уравнения (линейные и экспоненциальные), неравенства и выполнять геометрические построения. Интегрированная математика I использует свойства теорем, включающих совпадающие фигуры, чтобы углубить и расширить понимание геометрических знаний из предыдущих классов.Последний раздел курса связывает воедино изучаемые алгебраические и геометрические идеи. Стандарты математической практики вместе со стандартами содержания обеспечивают математический опыт последовательным, полезным и логичным способом, который помогает учащимся разобраться в проблемных ситуациях. Критические области, в которых необходимо сосредоточить внимание:

1. Взаимоотношения между величинами
2. Линейные и экспоненциальные отношения
3. Рассуждение с помощью уравнений
4. Описательная статистика
5. Сравнение, доказательство и конструкции
6. Соединение алгебры и геометрии через координаты
7. Круги

Алгебра 1 (новый 2020-2021)
1 зачет по математике
9 класс
Необходимое условие: математика 8

Студенты будут изучать отношения между величинами, рассуждения с помощью уравнений, линейные и экспоненциальные отношения, описательную статистику, квадратичные функции и моделирование.Студенты будут создавать и решать уравнения, линейные неравенства и системы уравнений, включающие квадратные уравнения. Они будут использовать такие технологии, как Desmos, чтобы помочь в решении проблем. Они будут использовать модель GAISE в контексте реальных приложений и интерпретировать арифметические последовательности как линейные функции, а геометрические последовательности как экспоненциальные функции. Они будут интерпретировать функции графически, численно, символически и устно, используя нотацию функций.

Алгебра 1 — Часть 1 (новинка 2020-2021 гг.)
1 Кредит по математике
9 класс
Предварительные требования: Математика 8

Этот курс предназначен для студентов, изучающих алгебру 1 в течение двух лет.Темы, охваченные в первый год, включают выражения и величины, уравнения с одной переменной, отношения и функции, линейные и нелинейные функции, создание линейных уравнений и неравенств, а также показатели степени. Студенты получат один зачет по математике за этот курс и один зачет по математике за следующий курс, Алгебра 1 — Часть 2.

Интегрированная математика II (последний раз предлагалась в 2020-2021 гг.)
1 зачет по математике
9–10 классы
Необходимое условие: зачетная оценка за комплексную математику I или ее эквивалент

Integrated Mathematics II фокусируется на квадратных выражениях, уравнениях и функциях; сравнение их характеристик и поведения с характеристиками линейных и экспоненциальных отношений из Интегрированной математики, которые я организовал в критические области или единицы.Возникает необходимость выхода за пределы набора рациональных чисел, и вводятся действительные и комплексные числа, так что все квадратные уравнения могут быть решены. Связь между вероятностью и данными исследуется с помощью методов условной вероятности и подсчета, включая их использование при принятии и оценке решений. Изучение подобия приводит к пониманию тригонометрии прямоугольного треугольника и соединяется с квадратичностью через отношения Пифагора. Круги с их квадратичными изображениями завершают курс.Стандарты математической практики вместе со стандартами содержания обеспечивают логический, полезный и логичный математический опыт, который помогает учащимся разобраться в проблемных ситуациях. Критические области, в которых необходимо сосредоточить внимание:

1. Вероятностные приложения
2. Выражения и уравнения
3. Квадратичные функции и моделирование
4. Сходство, тригонометрия прямоугольного треугольника и доказательства
5. Круги с координатами и без них
6. Расширение трех измерений

Алгебра 2 (заменена на Int Math III в течение 2020-2021 гг.)
1 зачет по математике
9–12 классы
Необходимое условие: зачет за экзамен INTEGRATED MATHEMATICS II или его эквивалент

Интегрированная математика III / Алгебра 2 предоставляет возможности объединить и применить накопленный опыт предыдущих курсов математики, с содержанием, сгруппированным в четыре критических области, организованных в блоки.Учащиеся применяют методы вероятности и статистики, чтобы делать выводы и заключения на основе данных. Они расширяют свой набор функций, включая полиномиальные, рациональные и радикальные функции. Стандарты математической практики вместе со стандартами содержания обеспечивают математический опыт последовательным, полезным и логичным способом, который помогает учащимся разобраться в проблемных ситуациях. Студенты объединяют весь свой опыт работы с функциями и геометрией для создания моделей и решения контекстных задач.Этот курс соответствует требованиям по алгебре II или эквивалентному зачету для окончания учебы. Критические области, в которых необходимо сосредоточить внимание:

1. Выводы и выводы из данных
2. Полиномы, рациональные и радикальные отношения
3. Тригонометрия общего треугольника и тригонометрические функции
4. Моделирование с помощью функций

CSCC Integrated College Bridge Math III
1 кредит по математике
классы 10–12
Необходимое условие: кредит, полученный за комплексную математику II или ее эквивалент плюс рекомендация учителя

Этот годичный курс объединяет традиционное обучение в классе (под руководством учителя) с онлайн-модульным цифровым подходом к овладению знаниями (ALEKS), при котором учащиеся учатся с некоторым элементом контроля над временем и темпами.Студенты, успешно завершившие этот курс, имеют право подать заявку на прохождение курсов по математике на уровне колледжа через Columbus State Community College. Этот курс позволяет учащимся выполнить их требования по математике III и готовит их к возможному доступу к математике на уровне колледжа до окончания средней школы. Изучаемые темы включают уравнения и неравенства, линейные отношения и функции, системы уравнений и неравенств, полиномы, статистику и вероятность. За этот курс не начисляются кредиты колледжа.

Precalculus
1 зачет по математике
классы 10–12
Предварительное условие: зачет, полученный за INTEGRATED MATHEMATICS III или его эквивалент

Precalculus расширяет понимание учащимися функций и фундаментальных концепций, изученных на предыдущих курсах математики. Темы будут включать: полиномиальные, степенные, рациональные, экспоненциальные, кусочные и тригонометрические функции; параметрические, полярные и тригонометрические уравнения. Используя технологии и различные представления, студенты будут исследовать и изучать математические идеи для анализа сложных ситуаций, которые имеют значимые связи с опытом реального мира.Этот курс может считаться четвертым зачетом по математике.

Финансовая грамотность Математика
1 зачет по математике
10–12 классы
Необходимое условие: зачет по программе INTEGRATED MATHEMATICS III или ее эквиваленту

Области обучения математике финансовой грамотности включают источники дохода, составление бюджета, банковское дело, потребительский кредит, кредитные законы и права, личное банкротство, страхование, расходы, налоги, инвестиционные стратегии, сберегательные счета, паевые инвестиционные фонды и фондовый рынок, покупка автомобиль, и живущий самостоятельно.Этот курс может считаться четвертым зачетом по математике.

Количественное мышление
1 зачет по математике
классы 10–12
Предварительное условие: зачет, полученный за INTEGRATED MATHEMATICS III или его эквивалент

Количественное мышление предназначено для содействия рассуждению, решению проблем и моделированию с помощью тематических блоков, ориентированных на математические практики, при одновременном усилении и расширении содержания в Числах и количествах, Алгебре, Функциях, Статистике и вероятности и Геометрии.Это годичный пилотный курс ODE, преподаваемый с использованием педагогики, ориентированной на студентов. Учителя будут посещать занятия по повышению квалификации летом и в течение учебного года. Доступно для избранных школ. Этот курс может считаться четвертым зачетом по математике.

Статистика через социальную справедливость
1 зачет по математике
10–12 классы
Необходимое условие: зачет, полученный по программе INTEGRATED MATHEMATICS III или ее эквиваленту

Используя статистику в качестве основы, студенты будут исследовать проблемы социальной, политической и экономической несправедливости в обществе в целом и в своей собственной жизни.Студентам будут предоставлены возможности использовать математику, чтобы лучше понять причины и следствия этих проблем, а также возможности для разработки математически обоснованных решений. Учащиеся научатся понимать свою силу как активных граждан в построении демократического общества и научатся играть активную роль, используя математику в качестве ресурса. Доступно в некоторых школах. Этот курс может считаться четвертым зачетом по математике.

В 2021-2022 гг .: Геометрия

Coming 2021-2022: Data Science Math (в некоторых школах)

Существуют и другие курсы в зависимости от предложения каждой школы.Другие курсы могут включать Calculus AB / BC, AP Statistics, IB Math и курсы, предлагаемые в местных колледжах.

Обновлено 12.04.2021

Оценки в США воняют из-за того, как в школах преподают уроки

ЗАКРЫТЬ

Недавнее исследование показало, что позитивный разговор с самим собой об усилиях помогает детям повысить успеваемость по математике.

Buzz60

Американские студенты с трудом справляются с математикой.

По последним результатам международного экзамена среди подростков США заняли девятое место по чтению и 31 место по математической грамотности из 79 стран и экономик.В Америке доля учащихся-математиков с лучшими успеваемостями ниже среднего, и их результаты практически не меняются в течение двух десятилетий.

Одна из вероятных причин: в средних школах США математика преподается иначе, чем в других странах.

Классы здесь часто сосредоточены на формулах и процедурах, а не на обучении студентов творческому мышлению при решении сложных задач, включающих все виды математики, говорят эксперты. Из-за этого студентам становится труднее соревноваться в глобальном масштабе, будь то на международном экзамене или в колледжах и по специальности, где ценят сложное мышление и науку о данных.

Учитель математики Стефани Хэнсон работает с учениками 11-го класса в средней школе Бертон в Сан-Франциско во время урока алгебры II / предварительного исчисления 10 февраля. (Фото: Мартин Э. Климек, США СЕГОДНЯ)

Растет хор математиков, которые рекомендуют способы перенести американские учебные программы по математике в XXI век, чтобы они больше отражали то, что изучают дети в странах с более высокими показателями. Некоторые школы экспериментируют, пытаясь сделать математику более увлекательной, практичной и инклюзивной.

«Есть много исследований, которые показывают, что когда вы преподаете математику по-другому, дети добиваются большего успеха, в том числе по результатам тестов», — сказал Джо Боулер, профессор математики Стэнфордского университета, который стоит за серьезным толчком к изменению учебной программы по математике в Америке .

Стандартные тесты: Сколько экзаменов должны сдать дети?

Вот несколько идей по его улучшению:

Прекратите преподавать «бутерброд с геометрией»

В большинстве американских средних школ преподают алгебру I в девятом классе, геометрию в 10 классе и алгебру II в 11 классе — то, что Болер называет «бутербродом с геометрией» .

В других странах три года подряд преподают комплексную математику — I, II и III — в рамках которой вместе преподаются понятия алгебры, геометрии, вероятности, статистики и науки о данных, что позволяет студентам глубоко погрузиться в сложные проблемы.

Географическое неравенство: штатов с лучшими (и худшими) школами

В странах с более высокими показателями производительности статистика или наука о данных — компьютерный анализ данных, часто в сочетании с кодированием — составляет большую часть учебной программы по математике. — сказал Булер.По ее словам, большинство американских классов сосредоточено на обучении механическим процедурам.

В следующем году Болер и группа исследователей планируют рекомендовать Калифорнии постепенно отказаться от курса алгебры и геометрии в пользу интегрированной математики для всех учащихся — что она предложила руководителям образования по всему штату.

Некоторые штаты, например Юта, перешли на такой переход. Академические стандарты Common Core, версия которых принята в большинстве штатов, гласят, что математику в старших классах можно преподавать в любом формате.

Работает ли Common Core? Несмотря на новые стандарты и большее количество тестов, результаты по чтению и математике не росли за десять лет.

Этот шаг требует дополнительного времени и ресурсов для обучения учителей.В Грузии с 2008 года в старших классах школ было введено обязательное преподавание комплексной математики. После противодействия учителей и родителей это дало школам возможность вернуться к старой последовательности в 2016 году. В одном большом опросе учителя Джорджии заявили, что не хотят специализироваться на других предметах. чем одна математическая область.

Одиннадцатиклассница Джер-Зуээль Маллари (в центре) принимает участие в уроке алгебры II / предварительном исчислении в средней школе Бертона в Сан-Франциско. (Фото: Мартин Э. Климек, США СЕГОДНЯ)

В октябрьском подкасте Freakonomics был показан выпуск об особенностях американской математической программы.Организованный экономистом Чикагского университета Стивом Левиттом, он подчеркнул работу Болера и получил значительную обратную связь, учитывая специфику темы, сказал Левитт USA TODAY.

Левитт занимается движением, чтобы перевернуть традиционное обучение математике. Он сказал, что средние школы могут рассмотреть возможность сокращения наиболее полезных элементов геометрии и второго года алгебры до одногодичного курса. Тогда у студентов будет больше места в расписании для более подходящих математических классов.

«Когда вы разговариваете с людьми из сферы математического образования, они называют это безумно радикальным», — сказал Левитт.«Я думаю, что большинство родителей не сочли бы радикальным преподавать только лучшие из двух предметов, которые не нравятся большинству людей».

Освободите место для науки о данных

«Девяносто процентов данных, которыми мы располагаем сейчас в мире, были созданы за последние два года», — сказал Болер. «Мы находимся в той точке этого мира, где все меняется, и нам нужно помочь студентам ориентироваться в этом новом мире».

Другие страны быстрее отреагируют на эту идею. Студенты из Эстонии заняли первое место среди европейских стран по математике, чтению и естествознанию в Программе международной оценки учащихся 2018 года.Многие факторы могли помочь: страна предлагает высококачественное дошкольное образование для всех детей, размеры классов небольшие, а также мало тестов с высокими ставками, что оставляет больше времени для обучения.

В отличие от других стран, Эстония преподает компьютерное программирование на всех уровнях обучения — стратегия, начатая в старших классах в конце 90-х и распространенная на начальные школы примерно в 2012 году. Страна экспериментирует с внедрением новой компьютерной учебной программы по математике.

Компьютерная математика: Как это выглядит и почему это важно

В США около 3300 студентов в этом году в 15 школьных округах Южной Калифорнии проходят новый курс «Введение в науку о данных», который включает данные и статистику. сбор и кодирование реальных данных для анализа данных.Курс был разработан Калифорнийским университетом в Лос-Анджелесе и Объединенным школьным округом Лос-Анджелеса, и он считается статистическим зачетом.

В классе есть составленная по сценарию учебная программа с увлекательными упражнениями, например, когда учащиеся записывают, сколько времени они тратят на уход за собой, а затем сравнивают это с национальными данными, собранными для американского исследования использования времени.

Учителей готовят вести класс, так как многие из них раньше не знакомы с программированием, — сказала Суйен Мачадо, директор проекта Introduction to Data Science.

Ученики, прошедшие новый курс, показали значительный рост своего понимания статистики за год, как показывают исследования. Студенты сказали, что они считают обучение программированию ценным навыком.

«Многие студенты сообщают, что они считают, что содержание более применимо к реальной жизни», — сказал Мачадо. «Одна из самых сложных задач курса — это изучение программирования. Говорят, это сложно, но они хотят это сделать ».

Прекратите так сильно разделять учащихся и не торопитесь с учебной программой

На протяжении многих лет некоторые школы пытались повысить успеваемость по математике, опустив алгебру до восьмого класса.Учащиеся с высоким уровнем подготовки могут адаптироваться и иметь возможность посещать более продвинутые классы средней школы. Ускорение учебной программы может увеличить разрыв в успеваемости между учащимися с более низким уровнем успеваемости, включая экономически неблагополучных и расовых меньшинств.

Практика отражает давнюю особенность американского математического образования: уже в средней школе учеников часто разбивают на «следы», что предопределяет, кто будет посещать продвинутые классы в старшей школе. В продвинутых классах часто бывают белые или азиатские ученики, посещающие пригородные школы, в то время как черные и латиноамериканские ученики по-прежнему недопредставлены, как показывают исследования.

Около шести лет назад руководители школ Сан-Франциско пытались решить эту проблему. В восьмом классе они перестали преподавать алгебру I. По словам Лиззи Халл Барнс, супервайзера по математике Объединенного школьного округа Сан-Франциско, учащиеся проходят одинаковую трехлетнюю последовательность курсов математики в средней школе, и все обучаются в классах с разной степенью способностей.

В старшей школе все ученики изучают алгебру в девятом классе и геометрию в 10 классе. После этого студенты могут выбрать свой путь: одни могут выбрать алгебру II, другие могут выбрать курс, сочетающий алгебру II и предварительное исчисление.Некоторые могут ускориться до статистики AP.

Учительница математики средней школы Бертона Стефани Хэнсон работает с учениками 11 класса. Школьный округ Сан-Франциско прекратил разделять учащихся на ускоренные и не ускоренные курсы по математике в средней школе, а успеваемость старшеклассников по математике улучшилась, особенно среди учащихся с низким доходом и учащихся из числа меньшинств. (Фото: Мартин Э. Климек, США СЕГОДНЯ)

До изменений 40% выпускников в Сан-Франциско должны были повторять алгебру I в своей академической карьере.Для Класса 2019 года, первой когорты студентов, которые следовали новой последовательности, только 8% студентов должны были повторить курс.

Эти изменения привели к значительному увеличению числа учащихся из неблагополучных семей, поступающих в старшие и младшие классы математики в старшие и младшие классы, сказал Барнс. Повышение успеваемости чернокожих и латиноамериканских студентов не повредило успеваемости белых и азиатских студентов, добившихся высоких результатов.

«Это был сейсмический сдвиг», — сказал Барнс.

В Нью-Йорке поднялся шум по поводу исключения одаренных треков: Эта школа все равно этим занимается

Измените то, как учителя начальных классов думают о математике

Улучшение математических способностей старшеклассников в США связано с сообщениями, которые слышат ученики почему математика важна и кто хорошо разбирается в ней, когда они моложе.

Эти сообщения часто исходят от учителей начальной школы, многие из которых сами не любили математику.

«Математическая фобия реальна. Математическая тревога реальна», — сказала ДеАнн Хьюнкер, профессор математического образования в Университете Висконсин-Милуоки, которая обучает будущих учителей начальной и средней школы.

Новое исследование показывает, что когда учителя улучшают свое отношение к математике, это может помочь поднять результаты тестов учащихся. В Стэнфорде Болер и ее команда разработали онлайн-курс для учителей, в котором представлены исследования, показывающие, что любой может выучить математику с достаточной практикой, интеллект не фиксирован, а математика связана со всеми видами повседневной деятельности.

Они наняли учителей пятого класса из округа в центральной Калифорнии, чтобы они прослушали курс и обсудили его. В течение года ученики участвовавших учителей показали значительно более высокие баллы по математике по сравнению с предыдущими годами. По словам Болера, скачки были особенно значительными для девочек и студентов из малообеспеченных семей.

Ободряющие вывески размещены в классе алгебры II / предварительном исчислении в средней школе Бертона в Сан-Франциско. (Фото: Мартин Э. Климек, США СЕГОДНЯ)

«Они думали, что им нужно обучать процедурам, а затем поняли, что могут обучать этим открытым, визуальным и творческим способом», — сказал Болер.«Многие исследования показывают, что для того, чтобы изменения произошли, требуется много времени. В этом случае все произошло быстро».

Сделайте так, чтобы математика средней школы отражала реальную жизнь

Помимо науки о данных, некоторые округа разрабатывают курсы, которые включают больше реальной математики и такие темы, как финансовая алгебра и математическое моделирование.

Этот подход привел к успеху другие страны. Подростки в В Нидерландах одни из самых высоких результатов по математике в мире по результатам оценки PISA. Это в значительной степени потому, что на экзамене отдается приоритет применению математических концепций в реальных жизненных ситуациях, а голландцы учат математику, основанную на реальности и актуальную для общества.

Некоторые давние голландские эксперты по математике принимали участие в разработке PISA, которая началась в 2000 году и проводится каждые три года среди 15-летних студентов из развитых стран и стран.

В средней школе Sweetwater в Чула-Виста, Калифорния, учитель математики Мелоди Моррис ведет новый курс для 12-го класса, который исследует такие темы, как игры для двух игроков, теория графов, последовательности, ряды и криптография. Курс под названием Discrete Math был разработан в сотрудничестве с Государственным университетом Сан-Диего.

В одном упражнении Моррис учит студентов играть в игру в стиле «захват флага», показанную в телешоу «Survivor». Они узнают, что используя математику, они могут выигрывать каждый раз.

«Выживший: Победители на войне»: Предыдущие чемпионы соревнуются в 40 сезоне

«Их типичный ответ:« Это математика? »- сказал Моррис. «Они думают, что это значит играть в игры и развлекаться. Но на самом деле они учатся разбивать большие проблемы на мелкие, а также выдвигать гипотезы и проверять их.”

Учащиеся Sweetwater все еще проходят традиционный« бутерброд с геометрией »с девятого по одиннадцатый класс. Моррис сказала, что многие из тех, кто выбирает ее класс в старшем классе, гораздо больше увлечены материалом. По словам Морриса, они разрабатывают инструментарий, который позволит им подойти к любой жизненной проблеме.

«Многое из того, что мы создаем, — это привычки», — сказала она.

Кто лучше всех разбирается в технологиях и инжиниринге? Девочки превосходят мальчиков на экзамене, «независимо от того, идут они в класс или нет»

Автозапуск

Показать миниатюры

Показать подписи

Последний слайдСледующий слайд

Охват образования в США СЕГОДНЯ стал возможен частично благодаря гранту от Bill & Фонд Мелинды Гейтс.Фонд Гейтса не предоставляет редакционных материалов.

Прочтите или поделитесь этой историей: https://www.usatoday.com/story/news/education/2020/02/28/math-scores-high-school-lessons-freakonomics-pisa-algebra-geometry/4835742002 /

Учебная программа 10-го класса — Государственные школы Вустера, Массачусетс (n)

Английский язык II

Учащиеся овладеют рядом навыков и приложений, чтобы они могли читать и понимать сложные тексты на уровне своего класса, писать для различных целей , участвуйте в совместных обсуждениях и правильно используйте условные обозначения английского языка.

Геометрия

В рамках этого курса геометрии 10-го класса обучение студентов будет сосредоточено на шести критических областях:

1. установят критерии конгруэнтности треугольников на основе жестких движений;
2. установят критерии подобия треугольников на основе растяжения и пропорционального рассуждения. ;
3. неформально разрабатывают объяснения формул окружности, площади и объема;
4. применяют теорему Пифагора к координатному плану;
5. доказывают основные геометрические теоремы; и
6. расширяют работу с вероятностью.

Компьютерные науки

В рамках этого курса студенты будут решать задачи путем написания, запуска и отладки компьютерных программ; использовать общепринятые алгоритмы и структуры данных; и разработать и выбрать подходящие алгоритмы и структуры данных для решения проблем. Студенты также будут свободно писать код в объектно-ориентированной парадигме с использованием Java. Кроме того, студенты будут читать и понимать большую программу, состоящую из нескольких классов и взаимодействующих объектов, демонстрируя способность читать и понимать описание процесса проектирования и разработки, ведущего к такой программе.

Финансовая грамотность

В рамках этого курса студенты начнут развивать навыки и стратегии, которые способствуют развитию личной и финансовой ответственности, связанной с финансовым планированием, сбережениями, инвестициями и благотворительностью в глобальной экономике. В основу курса будут положены пять широких тем: планирование колледжа и карьеры, управление деньгами, сбережения и инвестирование, доход и расходы. Курс научит студентов искать и оценивать возможности колледжа и карьерного роста, определять и расставлять приоритеты для своих личных целей управления деньгами, разрабатывать планы личных расходов и сбережений, понимать влияние времени на стоимость денег, понимать стоимость использования кредита и защищать ресурсы.

Темы по алгебре и геометрии

В этом курсе студенты будут изучать предалгебру, алгебру и вводные темы геометрии, включая изучение и применение формул, алгебраических выражений, линейных уравнений и неравенств; прямоугольная система координат; площадь, периметр и объем геометрических фигур; и свойства треугольников и окружностей. Особое внимание будет уделено концепциям и навыкам, необходимым для успеха в алгебре II.

10 класс История и обществознание

In U.S. История I, студенты исследуют историческое и интеллектуальное происхождение Соединенных Штатов в эпоху революции и конституции. Студенты изучают основы американской демократии и основные концепции американского правительства, а также экспансию Америки на запад, создание политических партий, экономические и социальные перемены, частные конфликты, гражданскую войну и реконструкцию.

Прикладная физика: Введение в инженерное дело

В этом лабораторном курсе по науке и технике студенты будут участвовать в лабораторных занятиях, которые применяют понимание принципов физических наук и математики для проектирования, создания и тестирования прототипов.Студенты узнают о свойствах материалов, силах, теплопередаче, электричестве и магнетизме, цифровых / аналоговых сигналах, лазерной и волоконной оптике, робототехнике и системах автоматизации. Эти принципы будут применяться для понимания: инженерного проектирования; строительных технологий; энергетики и энергетических технологий; коммуникационных технологий; производственных технологий и биотехнологий.

Ресурсы для семьи

Биология

В этом лабораторном курсе студенты будут изучать фундаментальные концепции жизни, чтобы получить представление о живом мире, который их окружает и включает в себя.Темы будут включать: химию жизни, клеточную биологию, генетику, анатомию и физиологию, биоразнообразие, эволюцию и экологию. Студенты будут проводить лабораторные исследования, собирать и анализировать данные, а также изучать информацию о содержании из различных текстовых и мультимедийных источников.

Ресурсы для семьи

Биология II

В этом лабораторном курсе студенты будут изучать избранные темы биологии, чтобы лучше понять биологические концепции. Студенты будут проводить лабораторные исследования, собирать и анализировать данные, а также изучать информацию о содержании из различных текстовых и мультимедийных источников.Исследование карьеры в области наук о жизни и новых технологий, используемых в исследованиях, охране окружающей среды или здравоохранении, будет связано с каждой единицей обучения. Этические и юридические последствия будут рассмотрены по мере того, как учащиеся исследуют применение биологических знаний в современном обществе.

В курсе для отличников содержание будет изучаться в ускоренном темпе. Студенты будут изучать темы на более глубоком уровне, и от них ожидается выполнение более самостоятельных курсовых работ и заданий.

Ресурсы для семьи

Химия

В этом лабораторном курсе студенты будут изучать состав, свойства и организацию материи. Темы будут включать: атомную структуру; поведение твердых тел, жидкостей и газов; химические формулы, уравнения и реакции. Студенты будут проводить лабораторные исследования, собирать и анализировать данные, а также изучать информацию о содержании из различных текстовых и мультимедийных источников.

Ресурсы для семьи

Наука об окружающей среде

В этом вводном лабораторном курсе студенты будут изучать взаимоотношения между организмами и окружающей их средой и изучать такие темы, как переработка и регенерация, экосистемы, исследования населения и роста, загрязнение и сохранение природных ресурсов.Студенты будут проводить лабораторные исследования, собирать и анализировать данные, а также изучать информацию о содержании из различных текстовых и мультимедийных источников.

Ресурсы для семьи

Криминалистика

В этом вводном лабораторном курсе студенты изучат, как биология, химия и физика используются для анализа и интерпретации доказательств. Темы будут включать: следы, отпечатки, серологические исследования, распространение болезней, подделки документов, поджоги и преступления против дикой природы и окружающей среды. Студенты будут проводить аутентичные и виртуальные лабораторные исследования, собирать и анализировать данные, а также изучать информацию о содержании из различных текстовых и медиа-источников.

Ресурсы для семьи

Анатомия и физиология человека

В этом лабораторном курсе студенты будут изучать клетки, ткани, органы и системы органов человеческого тела и могут участвовать в препарировании образцов позвоночных. Студенты изучат анатомическую терминологию и изучат различные заболевания человеческого тела.

Ресурсы для семьи

Физика

В этом лабораторном курсе студенты изучают основные физические концепции материи и энергии, а также регулирующие их законы.Темы будут включать: силы и законы природы, равновесие, движение, импульс, звук и свет, а также магнитные и электрические явления. Студенты будут проводить лабораторные исследования, собирать и анализировать данные, а также изучать информацию о содержании из различных текстовых и мультимедийных источников.

Ресурсы для семьи

Здоровье I (Часть I)

Этот курс дает студентам навыки, необходимые для ведения здорового и продуктивного образа жизни, а также способность быть сообразительным потребителем здоровья. Молодые люди получают информацию о различных предотвратимых заболеваниях / болезнях, вопросах, связанных с питанием и фитнесом, а также информацию об алкоголе, табаке и других наркотиках, а также о сексуальности, репродуктивности и рождении.Кроме того, в курсе рассматриваются вопросы предотвращения насилия и травм среди подростков. Цель состоит в том, чтобы дать студентам возможность изучить свои собственные методы здоровья и понять последствия нездорового образа жизни в будущем. Этот курс предоставит знания и навыки, необходимые для повышения способности студентов делать безопасный и здоровый выбор в жизни.

Здоровье I (Часть II)

Этот курс дает студентам навыки, необходимые для ведения здорового и продуктивного образа жизни, а также способность быть здравомыслящим потребителем здоровья.Молодые люди получают информацию о различных предотвратимых заболеваниях / болезнях, вопросах, связанных с питанием и фитнесом, а также информацию об алкоголе, табаке и других наркотиках, а также о сексуальности, репродуктивности и рождении. Кроме того, в курсе рассматриваются вопросы предотвращения насилия и травм среди подростков. Цель состоит в том, чтобы дать студентам возможность изучить свои собственные методы здоровья и понять последствия нездорового образа жизни в будущем. Этот курс предоставит знания и навыки, необходимые для повышения способности студентов делать безопасный и здоровый выбор в жизни.

Здоровье II (Часть I)

Этот курс направлен на предоставление студентам навыков, необходимых для ведения здорового и продуктивного образа жизни. Он учит молодых людей различным отношениям с семьей и друзьями, жить с чувствами и справляться со стрессом, понимать сексуальность, репродуктивную жизнь и роды, справляться с проблемами в отношениях, а также развивать навыки для предотвращения беременности, ЗППП и ВИЧ и, наконец, перехода к взрослой жизни. Курс учит студентов развивать навыки, повышающие их способность делать осознанный выбор во всех этих областях.

Здоровье II (Часть II)

Этот курс направлен на предоставление студентам навыков, необходимых для ведения здорового и продуктивного образа жизни. Он учит молодых людей различным отношениям с семьей и друзьями, жить с чувствами и справляться со стрессом, понимать сексуальность, репродуктивную жизнь и роды, справляться с проблемами в отношениях, а также развивать навыки для предотвращения беременности, ЗППП и ВИЧ и, наконец, перехода к взрослой жизни. Курс учит студентов развивать навыки, повышающие их способность делать осознанный выбор во всех этих областях.

10 класс Физическое воспитание

Физическое воспитание в 10 классе делает упор на пригодность для здоровья и развитие навыков и привычек, необходимых для жизнедеятельности. Эти курсы предоставляют студентам возможность достичь и поддерживать оздоровительный уровень физической подготовки и расширить свои знания о концепциях фитнеса. Программа включает развитие навыков и применение правил и стратегий сложной сложности в следующих различных формах движений: (1) фитнес-упражнения, связанные со здоровьем (кардиореспираторная выносливость, мышечная сила и выносливость, гибкость и состав тела), (2) аэробика упражнения, (3) командные виды спорта, (4) индивидуальные и парные виды спорта и (5) развлекательные игры.Текущая оценка включает как письменную оценку навыков, так и оценку навыков на основе успеваемости.

Хор / вокал I

Хор / вокал II

Хор / вокал III

Хор / вокал IV

Группа / оркестр I

Студенты изучают стандартный репертуар средней школы и развивают технику, интонацию, производство тона , сбалансированное ансамблевое мастерство, чтение нот и музыкальная терминология. Студенты обязаны выступить в нескольких вечерних концертах.Ожидается ежедневная практика и рекомендуется частное обучение.

Band / Orchestra II

В этом курсе студенты будут развивать инструментальную технику; интонация; сбалансированный ансамбль и музыкальная грамотность. Студент будет участвовать в нескольких представлениях вне школы. Содержание курса с отличием будет проходить в ускоренном темпе. Студенты будут изучать темы на более глубоком уровне, и от них ожидается выполнение более самостоятельных курсовых работ и заданий.

Band / Orchestra III

В этом курсе студенты будут развивать инструментальную технику; интонация; соло и малые навыки; музыкальная грамотность.Учащиеся будут участвовать во многих внеклассных представлениях. Содержание курса с отличием будет проходить в ускоренном темпе. Студенты будут изучать темы на более глубоком уровне, и от них ожидается выполнение более самостоятельных курсовых работ и заданий

Band / Orchestra IV

В этом курсе студенты будут развивать навыки дирижирования; инструментальная техника; интонация; и музыкальный анализ. Учащиеся будут участвовать во многих внеклассных представлениях. Содержание курса с отличием будет проходить в ускоренном темпе.Студенты будут изучать темы на более глубоком уровне, и от них ожидается выполнение более самостоятельных курсовых работ и заданий.

Dance I

Этот курс предназначен для студентов, имеющих базовые знания в области танцев. Учебная программа состоит из классов начального / среднего уровня по классическому балету и современному джазу. Эти области будут интенсивно изучаться и применяться в сочетании с вводными занятиями по импровизации и хореографическим навыкам. Требования: сольные и ансамблевые выступления, самостоятельная хореография и исследовательские проекты.

Танец II

Учебная программа продолжает изучение классического балета, знакомство с современным джазом и историей танца. Требования включают сольные и ансамблевые выступления, выступления танцевальных ансамблей, а также независимую хореографию и исследовательские проекты.

Dance III

Этот курс предназначен для студентов, которые серьезно относятся к изучению танцев. Учебная программа состоит из классов продвинутого уровня по классическому балету и современному джазу, классов среднего уровня по современным танцам и продолжению изучения истории танца.Требования: сольные и ансамблевые выступления, самостоятельная хореография и исследовательские проекты. Ожидается ежедневная практика и настоятельно рекомендуется частное обучение.

Dance IV

Этот курс предназначен для студентов, которые серьезно относятся к изучению танцев. Учебная программа продолжает обучение классам продвинутого уровня по классическому балету и современному джазу, классы среднего уровня по современным танцам и продолжение изучения истории танца. Требования: сольные и ансамблевые выступления, самостоятельная хореография и исследовательские проекты.Ожидается ежедневная практика и настоятельно рекомендуется частное обучение.

Введение в театр (0,5 единиц)

Введение в театр знакомит студентов с основами актерского мастерства, драматургии и дизайна.

Джазовый ансамбль (.25)

Студенты изучают многие стили джазовой музыки с упором на импровизацию. Студенты должны совершать несколько выступлений ежегодно. Ожидается ежедневная практика и приветствуется частное обучение.

Джазовый ансамбль

Студенты изучают многие стили джазовой музыки с упором на импровизацию.Студенты должны совершать несколько выступлений ежегодно. Ожидается ежедневная практика и приветствуется частное обучение.

Теория музыки I

В центре внимания этого курса — развитие базовых музыкальных навыков в области пения с листа, чтения и записи нот, интервалов, гамм, трезвучий, ритма, гармонии, навыков игры на клавиатуре и диктовки, а также введение в история музыки и признательность. Посещение концертов и критика требуется ежеквартально.

Фортепиано I (1 ед.)

Студенты изучают стандартный репертуар от Моцарта до Шостаковича.Каждому ученику будет предоставлен репертуар, предназначенный для развития их музыкальных навыков и художественного самовыражения. Сольный концерт обязателен.

Написание песен (0,5 единиц)

Студенты будут изучать искусство написания песен, анализируя стандартные формы песен, стили и текстовые структуры. Материал будет охватывать Шуберта, Гершвина, блюз, Tin Pan Alley, Вуди Гатри, поп, рок и хип-хоп. Кульминацией курса станет запись студентами собственных авторских произведений.

Струнный оркестр (.25)

Студенты изучают стандартную литературу для струнного оркестра на уровне 6 стандартов NYSSMA. Ожидается, что ученики будут тщательно подготовлены к репетициям и будут участвовать в нескольких вечерних и школьных представлениях ежегодно.

Театр I Магнит

Этот курс направлен на дальнейшее развитие актерских навыков посредством изучения сцены, импровизации с особым упором на развитие персонажей, введения в анализ текста и техник начала прослушивания. Студенты также будут изучать технический театр, сценографию, декорации, освещение и сценический дизайн, костюмы и грим, а также историю театра от Греции до падения Рима.Ожидается, что студенты будут участвовать в постановках семинаров, а также посещать и просматривать профессиональные театральные постановки.

Ветряная камера (0,25 единицы)

Студенты проходят еженедельные тренировки по подготовке к нескольким выступлениям в год. Основное внимание в курсе уделяется развитию навыков камерного исполнения посредством изучения традиционного репертуара духовой камеры.

2D-дизайн

2D-дизайн будет использовать элементы и принципы дизайна для изучения работ на двухмерной плоскости.Студенты начнут понимать разницу между выражением и общением, а также аспекты исследования и решения проблем. В проектах будут представлены работы, в которых исследуются эксперименты, изобретения и техническое мастерство. Они будут использовать традиционные и цифровые медиа, чтобы понять творческий процесс полной реализации успешного проекта от концепции до завершения.

Advanced 2D Design

2D Design продолжит использовать элементы и принципы дизайна для изучения работ на двумерной плоскости.Студенты укрепят разницу между выражением и общением, а также аспектами исследования и решения проблем. В проектах будут представлены работы, в которых исследуются эксперименты, изобретения и техническое мастерство. Они будут использовать традиционные и цифровые медиа, чтобы понять творческий процесс полной реализации успешного проекта от концепции до завершения. Курс будет разделен на иллюстрации, коммерческий дизайн, цифровую фотографию и мультимедиа.

Magnet 2D Design

2D Design будет использовать элементы и принципы дизайна для изучения работ на двухмерной плоскости.Студенты начнут понимать разницу между выражением и общением, а также аспекты исследования и решения проблем. В проектах будут представлены работы, в которых исследуются эксперименты, изобретения и техническое мастерство. Студенты будут использовать традиционные и цифровые носители, чтобы понять творческий процесс полной реализации успешного проекта от концепции до завершения. Курс будет разделен на иллюстрации, коммерческий дизайн, цифровую фотографию и мультимедиа. Студенты будут критиковать, обосновывать и представлять свой выбор в процессе анализа, отбора, кураторства и представления произведений искусства для конкретной выставки или мероприятия.

Magnet Advanced 2D Design

2D Design продолжит использовать элементы и принципы дизайна для изучения работ на двумерной плоскости. Студенты укрепят разницу между выражением и общением, а также аспектами исследования и решения проблем. В проектах будут представлены работы, в которых исследуются эксперименты, изобретения и техническое мастерство. Студенты будут использовать традиционные и цифровые носители, чтобы понять творческий процесс полной реализации успешного проекта от концепции до завершения.Курс будет разделен на иллюстрации, коммерческий дизайн, цифровую фотографию и мультимедиа. Студенты будут курировать коллекцию разработанных объектов или проектов, чтобы повлиять на понимание зрителем социального, культурного и / или политического опыта.

3D-дизайн

Студенты будут использовать элементы и принципы дизайна для визуализации, проектирования и построения работ в трехмерной плоскости, будь то физическая или виртуальная. Они будут расширять свои технологии изготовления, исследуя ряд материалов.Студенты будут решать вопросы понимания и представления пространства, объектов, масштаба и искусственной среды. Эта студия будет включать в себя задания и критические замечания, в которых студентам предлагается продумать трехмерные работы аддитивным и / или вычитающим методом. Будут рассмотрены исследования, размышления и критика современных скульптурных практик.

Расширенный трехмерный дизайн

Студенты будут продолжать использовать «Элементы и принципы дизайна» для визуализации, проектирования и создания работ в трехмерной плоскости, будь то физическая или виртуальная.Они будут овладевать своими технологиями изготовления с помощью самостоятельно выбранных проектов с использованием нескольких материалов. Студенты будут решать вопросы понимания и представления пространства, объектов, масштаба и искусственной среды. Будут рассмотрены исследования, размышления и критика современных и исторических скульптурных практик.

Magnet 3D Design

Студенты будут использовать элементы и принципы дизайна для визуализации, проектирования и построения работ в трехмерной плоскости, будь то физическая или виртуальная.Они будут расширять свои технологии изготовления, исследуя ряд материалов. Студенты будут решать вопросы понимания и представления пространства, объектов, масштаба и искусственной среды. Эта студия будет включать в себя задания и критические замечания, в которых студентам предлагается продумать трехмерные работы аддитивным и / или вычитающим методом. Будут рассмотрены исследования, размышления и критика современных скульптурных практик. Студенты будут критиковать, обосновывать и представлять свой выбор в процессе анализа, отбора, кураторства и представления произведений искусства для конкретной выставки или мероприятия.

Магнит Расширенный трехмерный дизайн

Студенты будут продолжать использовать «Элементы и принципы дизайна» для визуализации, проектирования и создания работ в трехмерной плоскости, будь то физическая или виртуальная. Они будут овладевать своими технологиями изготовления с помощью самостоятельно выбранных проектов с использованием нескольких материалов. Студенты будут решать вопросы понимания и представления пространства, объектов, масштаба и искусственной среды. Будут рассмотрены исследования, размышления и критика современных и исторических скульптурных практик.Студенты будут собирать коллекцию предметов, артефактов или произведений искусства, чтобы повлиять на понимание зрителем социального, культурного или политического опыта.

Рисунок

Учащиеся научатся создавать двухмерные рисунки, выраженные посредством ряда индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов. Будет исследована различная классификация рисунков: линия, настроение и ценность, натюрморт, пейзаж, орнамент. Студенты будут передавать идеи на основе наблюдений, памяти и воображения.Рецензирование на современную и историческую тематику будет использоваться для повышения способности студентов интерпретировать, отвечать и понимать различные концепции в среде.

Расширенный рисунок

Учащиеся будут продолжать создавать двухмерные рисунки, выраженные посредством ряда индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов. Будут рассмотрены различные классификации рисунков: линия, настроение и ценность, натюрморт, пейзаж, орнамент, портреты и иллюстрации. Студенты будут передавать идеи на основе наблюдений, памяти и воображения.Рецензирование на современную и историческую тематику будет использоваться для повышения способности студентов интерпретировать, реагировать и понимать различные концепции в среде.

Рисунок магнита

Студенты научатся создавать двухмерные рисунки, выраженные с помощью ряда индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов. Будут рассмотрены различные классификации рисунков: линия, настроение и ценность, натюрморт, пейзаж, орнамент, портреты и иллюстрации. Студенты будут передавать идеи на основе наблюдений, памяти и воображения.Рецензирование на современную и историческую тематику будет использоваться для повышения способности студентов интерпретировать, реагировать и понимать различные концепции в среде. Студенты будут критиковать, обосновывать и представлять свой выбор в процессе анализа, отбора, кураторства и представления произведений искусства для конкретной выставки или мероприятия.

Магнитный расширенный рисунок

Учащиеся продолжат создавать двухмерные чертежи, выраженные с помощью ряда индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов.Будут рассмотрены различные классификации рисунков: линия, настроение и ценность, натюрморт, пейзаж, орнамент, портреты и иллюстрации. Студенты будут передавать идеи на основе наблюдений, памяти и воображения. Рецензирование на современную и историческую тематику будет использоваться для повышения способности студентов интерпретировать, реагировать и понимать различные концепции в среде. Студенты будут собирать коллекцию предметов, артефактов или произведений искусства, чтобы повлиять на понимание зрителем социального, культурного или политического опыта.

Основы Изобразительного искусства

Живопись

Студенты научатся создавать двухмерные картины, выраженные с помощью ряда индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов. Студенты будут обмениваться идеями в живописи, которые исследуют стили представления, непредставления и абстракции. Концепции рисования исследуют элементы двухмерного дизайна и концепции критического мышления. Будут использоваться современные и исторические ссылки, чтобы повысить способность студентов интерпретировать, реагировать и понимать различные концепции в среде.

Продвинутая живопись

Студенты будут продолжать создавать двумерные картины, выраженные через ряд индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов. Студенты будут обмениваться идеями в живописи, которые исследуют стили представления, непредставления и абстракции. Концепции рисования исследуют элементы двухмерного дизайна и концепции критического мышления. Будут использоваться современные и исторические ссылки, чтобы повысить способность студентов интерпретировать, реагировать и понимать различные концепции в среде.

Магнитная живопись

Студенты будут создавать двухмерные картины, выраженные через ряд индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов. Студенты будут обмениваться идеями в живописи, которые исследуют стили представления, непредставления и абстракции. Концепции рисования исследуют элементы двухмерного дизайна и концепции критического мышления. Будут использоваться современные и исторические ссылки, чтобы повысить способность студентов интерпретировать, реагировать и понимать различные концепции в среде.Критикуйте, обосновывайте и представляйте варианты выбора в процессе анализа, отбора, кураторства и представления произведений искусства для конкретной выставки или мероприятия.

Магнит Продвинутая живопись

Студенты будут продолжать создавать двумерные картины, выраженные с помощью ряда индивидуальных концепций, современных проблем и различных материалов. Студенты будут обмениваться идеями в живописи, которые исследуют стили представления, непредставления и абстракции. Концепции рисования исследуют элементы двухмерного дизайна и концепции критического мышления.Будут использоваться современные и исторические ссылки, чтобы повысить способность студентов интерпретировать, реагировать и понимать различные концепции в среде. Студенты будут собирать коллекцию картин, чтобы повлиять на понимание зрителем социального, культурного и / или политического опыта.

Французский I

Этот курс направлен на развитие коммуникативных навыков, включая аудирование, говорение, чтение и письмо. Студенты также изучат различные аспекты культуры франкоязычного мира.

Французский II

После успешного завершения французского I студенты продолжат развивать коммуникативные навыки, включая аудирование, говорение, чтение и письмо. Студенты также продолжат изучать различные аспекты культуры франкоязычного мира.

Французский III

Французский IV

Латинский I

В этом курсе особое внимание уделяется лексике и грамматическим элементам языка. Перевод осуществляется как с латыни на английский, так и с английского на латынь.Студенты получат знания о жизни, обычаях, географии и культуре древних римлян. Подчеркивается латинская лексика как источник английских производных.

Latin II

Этот курс продолжает акцент на лексике и грамматических элементах языка, начатых с латыни I. Перевод осуществляется как с латыни на английский, так и с английского на латынь. Студенты получат знания о жизни, обычаях, географии и культуре древних римлян с акцентом на историческое влияние Юлия Цезаря.Подчеркивается латинская лексика как источник английских производных.

Latin III

Latin IV

Mandrin Chinese I

Студенты начнут развивать коммуникативные навыки, включая аудирование, говорение, чтение и письмо на китайском языке. Они также начнут определять отличительные культурные аспекты Китая. Они узнают приветствия / ответы, числа до 100, время дня, дни недели, месяцы, год, простые предложения-утверждения, простые вопросительные предложения, семью и членов семьи, то, что мы используем каждый день, что мы делаем для развлечения, место мы живем, включая географию Китая, города и знаменитые национальные парки.К концу учебного года ученики будут знать около 250-300 китайских иероглифов.

Mandrin Chinese II

Студенты продолжат развивать коммуникативные навыки, включая аудирование, говорение, чтение и письмо на китайском языке. Они рассмотрят то, что они узнают из китайского 1, а затем узнают больше о транспорте, еде и напитках, погоде и путешествиях, покупках и планах на лето. К концу учебного года ученики выучат не менее 500 китайских иероглифов и смогут правильно и надлежащим образом вести повседневную беседу на китайском языке.

Испанский I

Студенты начнут развивать коммуникативные навыки, включая аудирование, говорение, чтение и письмо. Они будут исследовать различные культуры испаноязычного мира.

Испанский II

Студенты будут продолжать развивать коммуникативные навыки, включая аудирование, говорение, чтение и письмо. Они продолжат изучать различные культуры испаноязычного мира.

Испанский III

Испанский IV

Продвинутый уровень Испанский

Учебная программа — Международная академия

MYP с отличием по биологии 9
(9-й класс, обязательно)
(Y) Кредиты: 1.0
Номер курса: 55000

Пререквизиты: Нет

Описание курса:
Этот одногодичный курс фокусируется на основных концепциях, необходимых для понимания биологических наук, а также на развитии навыков экспериментальной лабораторной работы. Курс разделен на следующие темы: биология как наука, организация живых существ, клеточная биология, наследственность, эволюция и экология. Студенты будут разрабатывать и проводить свои собственные лабораторные исследования, анализировать наборы данных и размышлять о влиянии науки на наше общество.

MYP с отличием по физике 10
(10-й класс, обязательно)
(S) Кредиты: 1.0
Номер курса: 55104

Пререквизиты: нет
Описание курса:

Physics — это увлекательный концептуальный научный опыт с упором на физические принципы и лабораторные эксперименты. Темы включают измерение, метрическую систему, научный метод, законы Ньютона, кинематику, механическую и электрическую энергию, электростатику, электрические цепи и волны. Курс будет соответствовать требованиям, предъявляемым к частям физики Общей базовой учебной программы штата Мичиган.Курс также подготовит студентов к изучению физики в качестве опции в учебной программе IB.

MYP с отличием по химии 10
(10-й класс, обязательно)
(Y) Кредиты: 1.0
Номер курса: 55200
Пререквизиты: биология
Описание курса:
Химия дает сложный концептуальный научный опыт с упором на химические принципы и лабораторные эксперименты. Темы включают атомную структуру, элементы, периодическую таблицу, химические связи, состояния вещества, электроны, соединения, а также химические реакции и уравнения.После успешного завершения этого курса студенты будут подготовлены к объему и темпам IB Chemistry или первоклассному курсу химии в колледже.

DP I и II по биологии
(11, 12 классы)
(Y) Кредиты: 1.0
Номер курса: 55001 и 55002

Предварительные требования: MYP по биологии, MYP по химии и интегрированной математике 3

Описание курса:
Этот двухгодичный курс исследует концепции, являющиеся неотъемлемой частью понимания биологических наук и экспериментальной лабораторной работы.Курс затрагивает следующие темы: клеточная биология, биохимия, наследственность, биотехнология, эволюция, экология, ботаника, анатомия человека, физиология, нейробиология и поведение животных. Кроме того, студенты проводят в лаборатории от 40 до 60 часов. Студенты также будут развивать навыки для разработки и проведения собственных исследований и будут участвовать в междисциплинарном проекте, позволяющем сотрудничать между студентами всех наук. Этот курс готовит студентов к сдаче экзамена по биологии HL или SL IB к концу 12 класса.

Итоговая оценка IB:

Внешний — 3 экзамена общей продолжительностью 4 ½ часа;

Внутренний — независимое биологическое исследование

DP I и II Химия
(Y) Кредиты: 1,0 каждый год
Номера курсов: 55202 и 55205
Пререквизиты: Физические науки, химия и комплексная математика 3
Описание курса:
Этот двухгодичный курс подготовит студентов к программе IB Экзамен HL по химии в конце двенадцатого класса.Темы, рассматриваемые в этом курсе, будут включать термодинамику, стехиометрию, атомную теорию, периодичность, связь, состояния вещества, энергетику, кинетику, равновесие, кислоты и основания, окисление и восстановление и органическую химию. Кроме того, студенты будут выполнять два дополнительных варианта из следующих: биохимия человека, химия окружающей среды, химическая промышленность, топливо и энергия, современная аналитическая химия и дополнительная органическая химия. Курс будет включать 60 часов работы в лаборатории.Студенты будут использовать навыки мышления более высокого уровня, навыки решения проблем и логику. Следуя программе IB, могут быть охвачены химические аспекты воспроизводства человека и противозачаточные средства.

Итоговая оценка IB:
Внешняя — 3 экзамена общей продолжительностью 4 ½ часа;
Internal — портфолио исследований

DP I и II Physics
(Y) Кредиты: 1.0 каждый год
Номера курсов: 55400 и 55405
Пререквизиты: MYP Honors Physics 10 и MYP Integrated Math 3 или разрешение факультета
Описание курса:
Этот двухлетний курс будет исследовать такие темы, как измерение, механика, теплофизика и свойства материи, волны, электричество и магнетизм, а также атомная и ядерная физика.Студенты также изучат два дополнительных варианта из следующего: биомедицинская физика, историческая физика, астрофизика, специальная и общая теория относительности и оптика. Большая часть физики сосредоточена на проведении экспериментов и проверке теорий. Студенты проводят в лаборатории от 40 до 60 часов. В дополнение к обширной лабораторной работе студенты будут участвовать в совместном междисциплинарном исследовательском проекте, который сочетает в себе работу по химии и биологии с физикой.
Итоговые экзамены по программе IB:
Внешние — 3 экзамена общей продолжительностью 4 ½ часа;
Внутренний — тщательное и подробное независимое лабораторное исследование
DP Environmental Systems and Soccies
(Y) Кредиты: 1.0 каждый год
Пререквизиты: Биология
Описание курса:
Основная цель этого годичного курса состоит в том, чтобы обеспечить последовательную перспективу взаимоотношений между экологическими системами и обществами; тот, который позволяет вам осознанно реагировать на широкий спектр насущных экологических проблем, с которыми сталкивается наш мир. Вы исследуете свои отношения с окружающей средой и значение выбора и решений, которые вы принимаете. Цель этого курса — дать вам возможность оценить научные, этические и социально-политические аспекты экологических проблем.
Курс разделен на 8 тем: экологические системы и общества, экосистемы, биоразнообразие и сохранение, водные системы, почвенные системы, атмосфера, использование энергии и изменение климата, а также население и использование ресурсов.

Описание теста по математике | АКТ

Описание теста по математике для ACT

Тест по математике ACT представляет собой 60-минутный 60-минутный тест, предназначенный для оценки математических навыков, которые учащиеся обычно приобретают на курсах, продолжающихся до начала 12 класса.

В тесте представлены вопросы с несколькими вариантами ответов, которые требуют от вас умения рассуждать для решения практических задач по математике. Большинство вопросов самодостаточны. Некоторые вопросы могут принадлежать к набору из нескольких вопросов (например, несколько вопросов об одном графике или диаграмме). Знание основных формул и вычислительные навыки предполагаются в качестве основы для решения проблем, но вспоминание сложных формул и обширных вычислений не требуется.

Материал, включенный в тест, подчеркивает основные области содержания, которые являются предпосылками для успешной успеваемости на начальных курсах математики в колледже. Для теста ACT по математике сообщается девять баллов: общий балл за тест, основанный на всех 60 вопросах, и баллы восьми отчетных категорий, основанные на конкретных математических знаниях и навыках.

Примечание: Вы можете использовать калькулятор на тесте по математике. Подробную информацию о разрешенных и запрещенных калькуляторах см. В Политике использования калькуляторов ACT. Если вы воспользуетесь запрещенным калькулятором, вас уволят, а ваш ответный документ не будет оценен. Калькулятор использовать не обязательно. Все математические задачи можно решить без использования калькулятора.

Содержание, охватываемое тестом ACT по математике

В тесте по математике рассматриваются восемь категорий отчетности. Краткое описание и примерный процент теста, посвященный каждой категории отчетов, приведены ниже.

Подготовка к высшей математике (57–60%)

Эта категория охватывает новейшие математические науки, которые изучают студенты, начиная с того момента, когда студенты начинают использовать алгебру как общий способ выражения и решения уравнений.Эта категория разделена на следующие пять подкатегорий.

• Число и количество (7–10%)

Продемонстрировать знание действительных и комплексных систем счисления. Студенты будут понимать и рассуждать с числовыми величинами во многих формах, включая целые и рациональные показатели, а также векторы и матрицы.

Решайте, составляйте график и моделируйте несколько типов выражений. Студенты будут использовать множество различных видов уравнений, включая, помимо прочего, линейные, полиномиальные, радикальные и экспоненциальные отношения. Студент найдет решения систем уравнений, даже если они представлены простыми матрицами, и применит свои знания в приложениях.

Вопросы этой категории проверяют знание определения, обозначения, представления и применения функций. Вопросы могут включать линейные, радикальные, кусочные, полиномиальные и логарифмические функции, но не ограничиваются ими. Студенты будут управлять функциями и переводить их, а также находить и применять важные особенности графиков.

Определение и применение знаний о формах и твердых телах, таких как отношения конгруэнтности и подобия или измерения площади поверхности и объема. Понимание состава объектов и поиск пропущенных значений в треугольниках, кругах и других фигурах, в том числе с использованием тригонометрических соотношений и уравнений конических сечений.

• Статистика и вероятность (8–12%)

Опишите центр и разброс распределений, примените и проанализируйте методы сбора данных, поймите и смоделируйте отношения в двумерных данных и вычислите вероятности, включая соответствующие пространства выборок.

Интеграция основных навыков (40–43%)

Эти вопросы касаются понятий, которые обычно изучаются до 8-го класса, таких как ставки и проценты; пропорциональные отношения; площадь, площадь поверхности и объем; средний и средний; и выражать числа по-разному.Студенты будут решать задачи возрастающей сложности, комбинировать навыки в более длинных цепочках шагов, применять навыки в более разнообразных контекстах, понимать больше связей и становиться более беглыми.

Моделирование (> 25%)

В этой категории представлены все вопросы, связанные с созданием, интерпретацией, пониманием, оценкой и улучшением моделей.Каждый вопрос также учитывается в других соответствующих категориях отчетности выше. Эта категория является общим показателем того, насколько хорошо учащиеся используют навыки моделирования в математических темах.

См. Пример вопросов и советы по тестированию.

.