Почему нельзя делить на ноль, даже если очень хочется? / Хабр

Недавно на Хабре появилась удивительная статья «Папа, а почему на ноль делить нельзя?», которая собрала массу не менее удивительных комментариев.

Детские вопросы обычно очень сложны («Почему небо ночью темное?», «Почему яблоки падают на землю?») и у взрослых обычно не хватает времени, чтобы их доходчиво объяснить. Да и не всегда взрослые знают ответ на эти вопросы.

Однако, вопрос о делении на ноль ни разу не относится к числу сложных вопросов, и для меня остается загадкой, почему с ним возникает столько проблем. Наверное, виной тому какие-то изъяны в методике преподавания математики в средней школе, в трудностях перехода от изучения арифметики к изучению буквенной алгебры и свойств элементарных функций.

Самые серьезные сомнения появляются, я думаю, после изучения рациональных чисел, когда для любого числа x, кроме нуля, вводится понятие обратного числа 1/x, и графика гиперболы y(x)=1/x.

Очевидно, что при делении 1 на очень маленькие числа появляются очень большие числа, и чем меньше мы берем x, тем больше становится 1/x. Почему же мы не можем сказать, что 1/x=∞ — есть некоторое число?

Алгебраическое возражение против этого состоит в следующем. Предположим, что ∞=1/x является числом. Тогда на это число должны распространяться все правила, которые имеют место быть для обычных чисел. В частности, с одной стороны должно быть верно соотношение 0⋅∞=1, а с другой стороны поскольку 0=1−1 должно быть выполнено 0⋅∞=1⋅∞−1⋅∞=0. Таким образом, имеем 1=0, а из этого уже следует, что все числа равны между собой и равны нулю. В самом деле, поскольку для любого числа x верно 1⋅x=x, то 1⋅x=0⋅x=0.

«Ну разве это не полная чушь?» — спросим себя, добравшись до этого места.

Разумеется, это полная чушь, если мы говорим об обычных числах. Но я недаром подчеркнул выше слово «правила». К ним мы вернемся чуть позже, после рассмотрения арифметического возражения против деления на ноль, и поможет нам в этом фасоль.

Вернемся в те времена, когда не было ни компьютеров, ни калькуляторов, ни логарифмических линеек, и поставим перед собой задачу разделить некоторое случайное число, например, на 5.

Для этого берем чашу с фасолью, символизирующую натуральный ряд, и высыпаем из нее какое-то количество зерен на разлинованный лист бумаги:

Тем самым, мы установили делимое на нашем бобовом калькуляторе.

Задача состоит в том, чтобы разложить эти зерна на пять рядов. Чтобы не запутаться отмечаем эти ряды, то есть, устанавливаем делитель:

Теперь раскладываем зерна из кучи на пять рядов в столбик. Это значительно дольше, чем на обычном калькуляторе, зато позволяет почувствовать всю прелесть арифметики до изобретения позиционной системы счисления.

Алгоритм завершается, когда мы получаем некоторое прямоугольное число и (возможно) остаток:

В данном примере осталось 2 зерна, а рядов по 5 зерен образовалось 18. Получается, что случайное число было 18⋅5+2=92.

Ясно, что мы можем выполнить этот алгоритм для любого натурального делимого и любого натурального делителя, отличного от нуля; если же делитель равен 0, то этот алгоритм выполнить попросту невозможно.

«Подождите!» — скажет внимательный читатель. — «В рассмотренном примере мы получили остаток 2, что с ним делать?»

Это, на самом деле, очень важное замечание. Вообще говоря, мы не можем делить фасолины, не испортив наш бобовый калькулятор — мало того, что разделить 2 фасолины на 5 одинаковых частей проблематично, даже если мы их раздробим подобающим образом, мы уже не сможем их собрать.

Поэтому достаточно долго люди старались обходиться без дробей. Например, в анонимной арабской рукописи XII века описана следующая задача: «разделить 100 фунтов между 11 человеками». Поскольку 100=11⋅9+1, средневековый математик предлагает сначала раздать каждому по 9 фунтов, а затем обменять оставшийся фунт на яйца, которых, как оказывается по курсу обмена, получается ровно 91. Но 91=11⋅8+3, поэтому арабский ученый предлагает раздать каждому по 8 яиц, а три оставшихся яйца отдать тому, кто производит раздел, или же обменять на соль к яйцам.

Говоря современным математическим языком, деление проводилось в полукольце натуральных чисел. Впрочем, с таким же успехом, используя красную и белую фасоль, мы могли бы определить деление с остатком и в кольце целых чисел — в изложенном алгоритме появились бы дополнительные правила для выбора цветов используемых для вычислений зерен фасоли, но точно так же остались бы бессмысленными операции вида x/0 и 5/2.

Очевидно, что для того, чтобы придать символу 5/2 конкретный смысл, нужно изменить правила игры, и перейти к полю рациональных дробей, пополнив множество целых чисел всевозможными выражениями m/n, где m — целое, а n — натуральное.

Важно заметить, что сделать это можно не единственным способом, однако в классической арифметике рассматривается такое пополнение, в котором символ 1/n означает долю от деления 1 на n, т. е. такое число, для которого верно выражение n⋅1/n=1; при чем доли имеют смысл не при подсчете штучных предметов (например, зерен фасоли), а при измерении величин, которые предполагаются непрерывными (или хотя бы неограниченно делимыми) — длин отрезков, площадей фигур и т. д.

В поле рациональных дробей уже нет смысла рассматривать неполное частное и остатки, так как частное от любого ненулевого делителя является какой-то рациональной дробью. Более того, как и в случае с натуральными числами, мы можем использовать для деления фасоль без изменения алгоритма.

В самом деле, пусть требуется разделить рациональное число α=p/q на β=r/s. Это равносильно выполнению следующих действий:

α:β=p/q:r/s=p⋅s/q⋅r

и задача при любых рациональных α и β свелась к уже известной процедуре деления целых чисел. Это еще раз показывает, что деление на ноль не имеет никакого арифметического смысла.

«Получается, делить на ноль нельзя, даже если очень хочется?» — увы, ответ на этот вопрос положительный: мы не можем определить операцию деления на ноль исходя их естественных потребностей счета и измерений. Правда, есть две лазейки.

Первая: вместо «обычных» чисел (т.е. кольца натуральных и поля рациональных, а также поля действительных чисел, о котором я, кстати, до сих пор не сказал ни слова и расскажу как-нибудь в другой раз) рассмотреть вырожденный случай — тривиальное кольцо {0}, и положить по определению 0/0=0. В этом случае, когда нам говорят: «Все числа равны между собой и равны нулю!» — мы можем сказать невозмутимым тоном: «Ну и что? Это всегда было так».

Вторая: отказаться от некоторых привычных правил умножения. В частности, от аксиомы 0⋅x=0. Говорят, что это возможно (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory). Разумеется, этот вариант гораздо интереснее первого, но и он представляет собой такое изменение правил игры, которое сразу выводит нас за рамки классической арифметики.

В заключение этой заметки хочу привести список литературы для тех, кто заинтересовался числовыми системами:

— И.В. Арнольд «Теоретическая арифметика», М, ОГИЗ 1938 — очень подробная и детальная книга, в которой можно найти описания классических числовых систем, включая кватернионы.

— Е. Г. Гонин «Теоретическая арифметика», М, 1959 — эта книга покороче и посовременнее, и тоже очень хороша, хотя не так подробна, как книга И.В. Арнольда.

— С. Феферман «Числовые системы» — классическая монография, местами достаточно сложная; в ней изложены некоторые частные вопросы, которых нет в двух других книгах по теоретической арифметике.

— А. А. Кириллов «Что такое число?» (1993) — небольшая брошюра, рассчитанная на подготовленного читателя.

— Е. Б. Дынкин, В. А. Успенский «Математические беседы» — популярная книга, рассчитанная на школьников. Содержит массу информации и задач по такой «нестандартной» теме, как p-адические числа.

Почему нельзя делить на ноль?

«Делить на ноль нельзя!» – большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики – сложение, вычитание, умножение и деление – на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них – сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 – это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача – найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 – это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее – у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Ответил: Александр Сергеев

https://elementy.ru/email/1530320/Pochemu_nelzya_delit_na_nol?from=bxblock

Почему нельзя делить на ноль

Одно из первых правил, которые мы познаем в школе после того, как учим умножение и деление: на ноль делить нельзя. Откройте любой калькулятор, и он без сомнений ответит вам ошибкой, выдаст что-то маловразумительное, оставляя любопытство неудовлетворенным. Мы можем умножить на ноль и получить в результате вполне очевидный ноль. Ведь, взяв ничего любое количество раз или взяв что-то нулевое количество раз, мы получаем один и тот же ответ. Но с делением тут получается небольшой парадокс.

Cамый лучший ответ, с точки зрения простоты, подачи, языка и визуала дал на него видеоблогер Артур Шарифов. За восемь с половиной минут с драматичной музыкой, которая в какой-то момент начинает играть уже не просто в ролике, но и на нервах, становится понятно, почему же нам запрещали делить на ноль в школе. Видео — ниже.

Артур Шарифов

Ноль в делителе — необратимое действие

Как мы уже говорили, умножение и деление — тесно взаимосвязанные между собой действия. Если мы захотим что-то увеличить в несколько раз, полученное число мы всегда можем разделить на столько же, чтобы вернуться к исходным. В этом суть деления — оно устроено таким образом, что все процессы обратимы. Взяв четыре и умножив его на два, мы получим восемь. И чтобы снова получить четыре, нужно провести обратное действие. С нулем так не получится.

То самое золотое правило, от которого мы все отталкиваемся

Какое бы число ни брал человек, если допустит, что на ноль делить все-таки можно, он получит странный ответ. Все числа, согласно законам математики, становятся равны нулю. Если мы берем пример 3 × 0 = 0, то исходя из этого, какое число ни подставляй, мы получим, что ноль разделить на ноль равняется этому числу. На лицо парадокс, который обесценивает практическую ценность заданий.

Физика не оценит

Может показаться, что все это не так уж и важно. Цифры и правила математики придуманы людьми, а значит, при желании мы можем творить все что угодно в этом выдуманном мире. Но в реальности проблема такова, что эти числа подкрепляют важную часть нашей жизни — физику. Она строится на различных измерениях и вычислениях, поэтому любой парадокс приводит ее в негодность, делает некачественной, а любая ошибка в расчетах может стать причиной чьей-то гибели. Например, на МКС. Так что во избежание всякого делить на ноль нет никакого смысла.

Физические явления невозможно описать в математических моделях, которые допускают такие ошибки

Есть числа, которые все-таки можно делить на ноль

Любое правило не было бы таковым, если бы в нем не имелось место исключениям. Математика не просто говорит «не делите на ноль», это вам объясняют учителя. В действительности же при делении любого числа на ноль получается бесконечность, а при делении друг на друга — неопределенность. И так как ответы не удовлетворят учеников, а могут даже и всплывать в качестве серьезной ошибки дальше, нас на всякий случай предостерегают от совершения этого действия.

почему нельзя делить на ноль. И здесь нюанс с двумя нулями

В математике число ноль
занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить. Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметк
и начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

Ноль
широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль
делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

Примеры вычисления

С нулем
осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

СЛОЖЕНИЕ

При прибавлении нуля
к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

Пример 1

Двадцать четыре плюс ноль
равняется двадцать четыре.

Пример 2

Семнадцать целых три восьмых плюс ноль
равняется семнадцать целых три восьмых.

УМНОЖЕНИЕ

При умножении любого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) на ноль
получается ноль
.

Пример 1

Пятьсот восемьдесят шесть умножить на ноль
равняется ноль
.

Пример 2

Ноль
умножить на сто тридцать пять целых шесть седьмых равняется ноль
.

Пример 3

Ноль
умножить на ноль
равняется ноль
.

ДЕЛЕНИЕ

Правила деления чисел друг на друга в тех случаях, когда одно из них представляет собой ноль, различаются в зависимости от того, в какой именно роли выступает сам ноль: делимого или делителя?

В тех случаях, когда ноль
представляет собой делимое, результат всегда равен ему же, причем вне зависимости от значения делителя.

Пример 1

Ноль
разделить на двести шестьдесят пять равняется ноль
.

Пример 2

Ноль
разделить на семнадцать пятьсот девяносто шестых равняется ноль
.

Делить ноль на ноль
согласно правилам математики нельзя. Это означает, что при совершении такой процедуры частное является неопределенным. Таким образом, теоретически оно может представлять собой абсолютно любое число.

0: 0 = 8 ибо 8 × 0 = 0

В математике такая задача, как деление нуля на ноль
, не имеет никакого смысла, поскольку ее результат представляет собой бесконечное множество. Это утверждение, однако, справедливо в том случае, если не указаны никакие дополнительные данные, которые могут повлиять на итоговый результат.

Таковые, при их наличии, должны состоять в том, чтобы указывать на степень изменения величины как делимого, так и делителя, причем еще до наступления того момента, когда они превратились в ноль
. Если это определено, то такому выражению, как ноль
разделить на ноль
, в подавляющем большинстве случаев можно придать некий смысл.

Моя трёхлетняя дочка София в последнее время частенько упоминает «ноль», например, в таком контексте:

— Соня, вот ты вроде сначала не послушалась, а затем послушалась, что же получается?..
— Ну… ноль!

Т. е. ощущение отрицательных чисел и нейтральности нуля уже имеет, о как. Скоро поинтересуется: почему же это на ноль делить нельзя?
И вот решил я простыми словами записать всё, что я ещё помню про деление на ноль и всё такое.

Деление вообще лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Ну, или один разделить на икс раз увидеть…

Тут сразу видно, что ноль — это центр жизни, вселенной и всего такого. Ответом на главный вопрос про всё это пусть себе будет 42, а вот центр — по-любому 0. У него даже знака нет, ни плюс (послушалась), ни минус (не послушалась), он таки реально ноль. И в поросятах знает толк.

Потому что если любого поросёнка умножить на ноль, то поросёнка засасывает в эту круглую чёрную дыру, и получается опять ноль. Не такой уж этот ноль и нейтральный, когда дело от сложения-вычитания доходит до умножения, не говоря уже про деление… Там если ноль сверху «0/x» — то опять чёрная дыра. Всё поедает в ноль. А вот если при делении, да ещё и снизу — «x/0», то начинается… следуй за белым кроликом, Соня!

В школе тебе скажут «на ноль делить нельзя» и не покраснеют. В доказательство тыкнут на калькуляторе «1/0=» и обычный калькулятор, тоже не покраснев, напишет «E», «Error», мол, «нельзя — значит нельзя». Хотя что там у тебя будет считаться обычным калькулятором — ещё вопрос. Мне вот сейчас, в 2014-ом, стандартный калькулятор на телефоне-андроиде пишет совсем другое:

Ничего себе бесконечность. Скользи себе взглядом, круги нарезай. Вот тебе и нельзя. Оказывается можно. Если осторожно. Потому что не осторожно мой Android пока тоже не согласен: «0/0=Error», опять нельзя. Попробуем ещё разок: «-1/0 = -∞», о как. Интересное мнение, но я с ним не согласен. Как не согласен и с «0/0=Error».

Кстати, JavaScript, который питает нынешние сайты, тоже не согласен с калькулятором андроида: зайди в консоль браузера (ещё F12?) и напиши там: «0/0» (ввод). JS тебе ответит: «NaN». Это не ошибка. Это «Not a Number» — т.е. какая-то штука такая, но не число. При том что «1/0» JS тоже понимает как «Infinity». Это уже ближе. Но пока только тепло…

В университете — высшая математика. Там пределы, полюса, и прочее шаманство. И всё усложняется, усложняется, ходят вокруг да около, но только бы не нарушать хрустальные законы математики. А вот если не пытаться вписать деление на ноль в эти существующие законы, то можно прочувствовать эту фантастику — на пальцах.

Для этого посмотрим-ка ещё раз на деление:

Следи за правой линией, справа налево. Чем ближе икс к нулю, тем сильнее взлетает вверх разделённое на икс. И где-то там в облаках «плюс бесконечность». Она всегда дальше, как горизонт, её не догонишь.

А теперь следи за левой линией, слева направо. Та же история, только теперь разделённое улетает вниз, бесконечно вниз, в «минус бесконечность». Отсюда и мнение, что «1/0= +∞», а «-1/0 = 1/-0 = -∞».

Но фокус в том, что «0 = -0», нету у нуля знака, если не усложнять с пределами. И вот если поделить единицу на такой «простой» ноль без знака, то не логично ли предположить, что получится и бесконечность — «просто» бесконечность, без знака, как ноль. Где она — сверху или снизу? Она везде — бесконечно далеко от нуля во всех направлениях. Это и есть ноль, вывернутый наизнанку. Ноль — нет ничего. Бесконечность — есть всё. И положительное, и отрицательное. Вообще всё. И сразу. Абсолют.

Но там что-то было про «0/0», что-то другое, не бесконечность… Сделаем такой трюк: «2*0=0», ага, скажет учительница в школе. Ещё: «3*0=0» — опять ага. И немного наплевав на «на ноль делить нельзя», мол, весь мир и так потихоньку делит, получим: «2=0/0» и «3=0/0». В каком там классе это проходят, только без нуля, конечно.

Минуточку, получается «2 = 0/0 = 3», «2=3»?! Вот поэтому и боятся, вот поэтому и «нельзя». Страшнее «1/0» только «0/0», его даже калькулятор андроида боится.

А мы не боимся! Потому что у нас есть сила математики воображения. Мы можем представить себя бесконечным Абсолютом где-то там в звёздах, посмотреть оттуда на грешный мир конечных чисел и людей и понять, что с этой точки зрения они все одинаковые. И «2» c «3», и даже «-1», и училка в школе, возможно, тоже.

Так вот, я скромно предполагаю, что 0/0 — это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота.

Вот как выглядит ноль, делённый на икс, в моих фантазиях, далёких от официальной математики. На самом деле похоже на 1/х, только перегиб не в единице, а в нуле. Кстати, у 2/x перегиб в двойке, а у 0.5/x — в 0.5.

Получается, 0/x при x=0 принимает все конечные значения — не бесконечности, не пустоту. Там в графике дырочка в нуле, оси проглядывают.

Можно конечно возразить, что «0*0 = 0», а значит ноль (пустота) тоже попадает в категорию 0/0. Чуть забегу вперёд — там будут степени нуля и это возражение разлетится в осколки.

Упс, единичка-то в бесконечности тоже может быть тоже записана как 0/0, получится (0/0)/0 — бесконечность. Вот теперь порядок, всё можно выразить соотношением нулей.

Например, если к бесконечности прибавить конечное, то бесконечность поглотит конечное, останется бесконечностью:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

А если бесконечность умножить на пустоту, то они поглощают друг друга, и получается конечный мир:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0. 0)» — вполне.

Какую из всего этого можно вынести пользу? Ведь даже чуть менее безумные «мнимые числа», что тоже рвут калькуляторы в Error = √-1, и те смогли стать официальной математикой и теперь упрощают расчёты сталеварения.

Как листья на дереве издалека кажутся одинаковыми, но если рассмотреть их внимательнее — они все разные. А если задуматься, то опять одинаковые. И мало чем отличаются от тебя или меня. Вернее, вообще ничем не отличаются, если крепко задуматься.

Польза тут в умении и фокусироваться на отличиях и абстрагироваться. Это очень полезно и в работе, и в жизни, и даже в отношении к смерти.

Вот такие путешествия в кроличью нору, Соня!

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль — яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность — это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление — это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

• бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
• бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
• единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
• бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
• некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь — французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

У математиков специфический юмор и некоторые вопросы, связанные с вычислениями, уже давно не воспринимаются серьезно. Не всегда понятно, пытаются тебе на полном серьезе объяснить, почему нельзя делить на ноль или это очередная шутка. А ведь сам вопрос не такой уж очевидный, если в элементарной математике до его решения можно дойти чисто логически, то вот в высшей вполне могут быть другие исходные условия.

Когда появился ноль?

Цифра ноль таит в себе множество загадок:

• В Древнем Риме этого числа не знали, система отсчета начиналась с I.
• За право называться прародителями ноля долгое время спорили арабы и индийцы.
• Исследования культуры Майя показали, что эта древняя цивилизация вполне могла быть первой, в плане употребления ноля.
• Ноль не обладает никаким числовым значением, даже минимальным.
• Он буквально означает ничто, отсутствие предметов для счета.

В первобытном строе не было особой нужды для такой цифры, отсутствие чего-либо можно было объяснить при помощи слов. Но с зарождением цивилизаций повысились и потребности человека, в плане архитектуры и инженерии.

Для осуществления более сложных расчетов и выведения новых функций понадобилось число, которое обозначало бы полное отсутствие чего-либо
.

Можно ли делить на ноль?

На этот счет существуют два диаметрально противоположных мнения
:

В школе, еще в младших классах учат тому, что на ноль делить нельзя ни в коем случае. Объясняется это предельно просто:

1. Представим, что у вас есть 20 долек мандарина.
2. Поделив их на 5, вы раздадите пятерым друзьям по 4 дольки.
3. Разделить на ноль не получится, ведь самого процесса деления между кем-то не будет.

Конечно же, это образное объяснение, во многом упрощенное и не совсем соответствующее действительности. Но оно предельно доступно поясняет бессмысленность деления чего-либо на ноль.

Ведь, по сути, таким образом можно обозначать факт отсутствия деления. А зачем усложнять математические вычисления и записывать еще и отсутствие деления?

Можно ли ноль делить на число?

С точки зрения прикладной математики, любое деление, в котором принимает участие ноль, имеет не так уж много смысла. Но школьные учебники однозначны в своем мнении:

• Ноль можно делить.
• Для деления следует использовать любое число.
• Нельзя делить ноль на ноль.

Третий пункт может вызвать легкое недоумение, ведь всего несколькими абзацами выше указывалось, что такое деление вполне возможно. На самом деле, все зависит от дисциплины, в рамках которой вы проводите вычисления.

Школьникам в таком случае действительно лучше писать, что выражение невозможно определить

, а, следовательно, оно и не имеет смысла. Но в некоторых ответвлениях алгебраической науки допускается запись такого выражения, с делением ноля на ноль. Особенно когда речь идет о вычислительных машинах и языках программирования.

Потребность делить ноль на число может возникнуть во время решения каких-либо равенств и поиска исходных значений. Но в таком случае, в ответе всегда будет ноль
. Здесь, как и с умножением, на какое число вы бы не делили ноль, больше ноля в итоге не получите. Поэтому если в огромной формуле заметили это заветное число, постарайтесь быстро «прикинуть», а не сведутся ли все вычисления к очень простому решению.

Если бесконечность делить на ноль

О бесконечно больших и бесконечно малых значениях необходимо было упомянуть чуть раньше, ведь это тоже открывает некоторые лазейки для деления, в том числе и с использованием ноля. Вот правда и тут есть небольшая загвоздка, ведь бесконечно малое значение и полное отсутствие значения — понятия разные
.

Но этой небольшой разницей в наших условиях можно пренебречь, в конечном счете, вычисления проходят с использованием абстрактных величин:

• В числители должен быть знак бесконечности.
• В знаменатели символическое изображение стремящегося к нулю значения.
• В ответе выйдет бесконечность, отображающая бесконечно большую функцию.

Следует обратить внимание на то, что речь все же идет о символическом отображении бесконечно малой функции, а не об использовании ноля. С этим знаком ничего не поменялось, на него все так же нельзя делить, только в качестве очень и очень редких исключений.

В большинстве своем ноль используется для решения задач, которые находятся в чисто теоретической плоскости
. Возможно, по прошествии десятилетий или даже столетий, всем современным вычислениям найдется практическое применение, и они обеспечат какой-то грандиозный прорыв в науке.

А пока что большинство гениев от математики о всемирном признании лишь мечтают. Исключение из этих правил — наш соотечественник, Перельман
. Но его знают благодаря решению действительно эпохальной задачи с доказательством гипотезы Пуанкере и экстравагантному поведению.

Парадоксы и бессмысленность деления на ноль

Деление на ноль, в большинстве своем, не имеет никакого смысла:

• Деление представляют как функцию, обратную умножению
  .
• Мы можем умножить на ноль любое число и получить в ответе ноль.
• По той же логике, можно было бы делить любое число на ноль.
• В таких условиях несложно было бы прийти к выводу, что любое число, умноженное или деленное на ноль, равно любому другому числу, над которым провели эту операцию.
• Откидываем математическое действие и получаем интереснейшее заключение — любое число равно любому числу.

Помимо создания таких вот казусов, деление на ноль не имеет практического значения
, от слова вообще. Даже при возможности выполнения этого действия, не выйдет получить никакой новой информации.

С точки зрения элементарной математики, во время деления на ноль происходит разделение целого предмета ноль раз, то есть ни одного раза. Проще говоря — процесса деления не происходит
, следовательно, и результата этого события быть не может.

Находясь в одном обществе с математиком, всегда можно задать пару банальных вопросов, по примеру, почему нельзя делить на ноль и получить интересный и доступный для понимания ответ. Или раздраженность, ведь у человека наверняка это спрашивают не в первый раз. И даже не в десятый. Так что берегите своих друзей-математиков, не заставляйте их повторять по сотне раз одно объяснение.

Видео: делим на ноль

В этом видео математик Анна Ломакова расскажет, что произойдет, если поделить какое-либо число на ноль и почему этого делать нельзя, с точки зрения математики:

Деление на ноль
в математике — деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано ⁄ 0 , где — это делимое.

В обычной арифметике (с вещественными числами) данное выражение не имеет смысла, так как:

• при ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт, поэтому ни одно число не может быть принято за частное ⁄ 0 ;
• при = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 0 ⁄ 0 .

Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения ⁄ 0 содержится в критике Джорджа Берклиисчисления бесконечно малых.

Логические ошибки

Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения × 0 = × 0, верного вне зависимости от значения и, на 0 получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение = . Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма .

В информатике

В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:

• Попытка целочисленного
  деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
• В вещественной
  арифметике последствия могут быть различным в разных языках:

• генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
• получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄ 0 , где ≠ 0 — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — или, а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу .

См. также

Примечания

Функция = 1 ⁄ . Когда стремится к нулю справа, стремится к бесконеч­ности; когда стремится к нулю слева, стремится к минус бесконечности

Если на обычном калькуляторе поделить какое-либо число на ноль, то он вам выдаст букву Е или слово Error, то есть «ошибка».

Калькулятор компьютера в аналогичном случае пишет (в Windows XP) : «Деление на нуль запрещено».

Всё согласуется с известным со школы правилом, что на ноль делить нельзя.

Разберёмся, почему.

Деление — это математическая операция, обратная умножению. Деление определяется через умножение.

Поделить число a
(делимое, например 8) на число b
(делитель, например число 2) — значит найти такое число x
(частное), при умножении которого на делитель b
получается делимое a
(4 · 2 = 8), то есть a
разделить на b
значит решить уравнение x · b = a.

Уравнение a: b = x равносильно уравнению x · b = a.

Мы заменяем деление умножением: вместо 8: 2 = x пишем x · 2 = 8.

8: 2 = 4 равносильно 4 · 2 = 8

18: 3 = 6 равносильно 6 · 3 = 18

20: 2 = 10 равносильно 10 · 2 = 20

Результат деления всегда можно проверить умножением. Результатом умножения делителя на частное должно быть делимое.

Аналогично попробуем поделить на ноль.

Например, 6: 0 = … Нужно найти такое число, которое при умножении на 0 даст 6. Но мы знаем, что при умножении на ноль всегда получается ноль. Не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы что-то другое кроме нуля.

Когда говорят, что на ноль делить нельзя или запрещено, то имеется в виду, что не существует числа, соответствующего результату такого деления (делить-то на ноль можно, разделить — нельзя:)).

Зачем в школе говорят, что на ноль делить нельзя?

Поэтому в определении
операции деления a на b сразу подчёркивается, что b ≠ 0.

Если всё выше написанное вам показалось слишком сложным, то совсем на пальцах: Разделить 8 на 2 означает узнать, сколько нужно взять двоек, чтобы получилось 8 (ответ: 4). Поделить 18 на 3 означает узнать, сколько нужно взять троек, чтобы получить 18 (ответ: 6).

Поделить 6 на ноль означает узнать, сколько нужно взять нулей, чтобы получить 6. Сколько ни бери нулей, всё равно получится ноль, но никогда не получится 6, т. е. деление на ноль не определено.

Интересный результат получается, если попробовать поделить число на ноль на калькуляторе андроида. На экране отобразится ∞ (бесконечность) (или — ∞, если делите отрицательное число). Данный результат является неверным, т. к. не существует числа ∞. По-видимому, программисты спутали совершенно разные операции — деление чисел и нахождение предела числовой последовательности n/x, где x → 0. При делении же нуля на нуль будет написано NaN (Not a Number — Не число).

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 — 3
? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 — 3
означает такое число, которое при сложении с числом 3
даст число 5
. То есть 5 — 3
— это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5
. В этом уравнении нет никакого вычитания.

Деление на ноль

Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4
можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8
.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0
— это сокращение от 0 · x = 5
. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0
даст 5
. Но мы знаем, что при умножении на 0
всегда получается 0
. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0
даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0
не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль?

В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0
благополучно решается. Например, можно взять x = 0
, и тогда получаем 0 · 0 = 0
. Выходит, 0: 0=0
? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1
. Получим 0 · 1 = 0
. Правильно? Значит, 0: 0 = 1
? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5
, 0: 0 = 317
и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0
. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0
; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Функция «деление» не определена для области значений, в которой делитель равен нулю. Делить можно, но результат — не определён

Дельть на ноль нельзя. Математика 2 класса средней школы.

Если мне не изменяет память, то ноль можно представить как бесконечно малую величину, так что бесконечность будет. А школьное «ноль — ничего» — это просто упрощение, их таких в школьной математике ууууууу сколько) . Но без них никак, все в свое время.

Войдите, чтобы написать ответ

Деление на ноль

Частное от деления на ноль
какого-либо числа, отличного от нуля, не существует.

Рассуждения здесь следующие: так как в этом случае никакое число не может удовлетворить определению частного.

Напишем, например,

какое бы число ни взять на пробу (скажем, 2, 3, 7), оно не годится потому что:

\[ 2 · 0 = 0 \]

\[ 3 · 0 = 0 \]

\[ 7 · 0 = 0 \]

Что будет если поделить на 0?

д., а нужно получить в произведении 2,3,7.

Можно сказать, что задача о делении на нуль числа, отличного от нуля, не имеет решения. Однако число, отличное от нуля, можно разделить, на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на

\[ \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, \frac{1}{10000} \]

то получим частные 70, 700, 7000, 70 000 и т. д., которые неограниченно возрастают.

Поэтому часто говорят, что частное от деления 7 на 0 «бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут

\[ 7: 0 = \infin \]

Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается.

Деление на ноль

Правда:

Деление на ноль равно undefined .

Разделение

Чтобы понять, почему, давайте посмотрим, что подразумевается под «делением»:

Дивизия разбивается на равные части или группы.

Это результат «честного обмена».

Пример: есть 12 шоколадных конфет, и 3 друга хотят ими поделиться, как они делят шоколадные конфеты?

Таким образом, они получают по 4: 12/3 = 4

Деление на ноль

Теперь давайте попробуем разделить 12 шоколадных конфет между ноль человек, сколько получит каждый человек?

Есть ли смысл в этом вопросе? Нет, конечно, нет.

Мы не можем делиться среди нулевых людей, и мы не можем делить на 0.

Еще одна хорошая причина

Можем ли мы умножить после деления, чтобы снова вернуться?

Но умножение на 0 дает 0, так что это не сработает.

И снова деление на ноль доставляет нам трудности!

Представьте, что мы можем разделить на ноль

Хорошо, давайте, представим , мы можем разделить на ноль и посмотрим, что получится.

Это означает, что такие вещи, как ¹ / ₀ и ⁰ / ₀ , будут вести себя как обычные числа.

Попробуйте умножить на ноль

Итак, попробуем использовать наши новые «числа».

Например, мы знаем, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю:

Пример: 0 × 1 = 0, 0 × 2 = 0 и т. Д.

Таким образом, это также должно быть верно для ¹ / ₀ :

0 × ( ¹ / ₀ ) = 0

Но мы могли бы его немного переставить так:

0 × ( ¹ / ₀ ) = ( ⁰ / ₀ ) × 1 = 1

(Осторожно! Я , а не , говорю, что это правильно! Мы предполагаем , что мы можем делить на ноль, поэтому 0/0 должно работать так же, как 5/5, что равно 1).

Arrggh! Если мы умножим ¹ / ₀ на ноль, мы получим 0 или 1.

На самом деле у нас не может быть обоих вариантов, поэтому мы не можем определить ¹ / ₀ как число.

Значит, это undefined .

Итак, что такое 0/0?

0/0 — это как спросить «сколько нулей в 0?»

А нулей в нуле вообще нет? А может, в нуле ровно один ноль? Или много нулей?

Итак, 0/0 — это неопределенное значение (это может быть любое значение).

В заключении:

Когда мы пытаемся разделить на ноль, все теряет смысл

Вот и все.

Но подождите …

Есть специальный метод, при котором мы приближаем , и , приближаем к нулю … просто прочтите Пределы (Введение), чтобы узнать больше.

Деление на ничто

Альберто Мартинес

Хорошо известно, что число нельзя делить на ноль.Учителя математики пишут, например, 24 ÷ 0 = undefined . Они используют аналогии, чтобы убедить студентов, что это невозможно и бессмысленно, что «нельзя ничего поделить ни на что». Но мы также узнаем, что можем умножать на ноль, добавлять ноль и вычитать ноль. Некоторые учителя объясняют, что ноль на самом деле не есть ничто, что это просто число с определенными и отчетливыми свойствами. Так почему бы не разделить на ноль? В прошлом так поступали многие математики.

В 628 году нашей эры индийский математик и астроном Брахмагупта утверждал, что «ноль, деленный на ноль, равняется нулю.Примерно в 850 г. другой индийский математик, Махавира, более четко утверждал, что любое число, деленное на ноль, оставляет это число неизменным, поэтому тогда, например, 24 ÷ 0 = 24. Позже, около 1150 года, математик Бхаскара дал еще один результат. для таких операций. Он утверждал, что величина, деленная на ноль, становится бесконечной величиной. Эта идея сохранялась веками, например, в 1656 году английский математик Джон Уоллис также утверждал, что 24 ÷ 0 = ∞, вводя этот извилистый символ для обозначения бесконечности. Уоллис писал, что для все меньших значений n частное 24 ÷ n становится все больше (например, 24 ÷ 0,001 = 24000), и поэтому он утверждал, что оно становится бесконечным, когда мы делим на ноль.

Символ бесконечности , написанный разными шрифтами (Изображение: Wikimedia Commons)

Общее отношение к таким старым представлениям состоит в том, что математики прошлого были явно неправы, сбиты с толку или «боролись» с делением на ноль. Но такое отношение игнорирует то, до какой степени даже чрезвычайно опытные математики вдумчиво придерживались таких представлений.В частности, швейцарский математик Леонард Эйлер широко известен как один из величайших математиков в истории, внесший выдающийся вклад во многие области математики, физики и астрономии в сотнях великолепных работ, написанных даже в годы его слепоты. Книга Эйлера «Полное введение в алгебру » (опубликована на немецком языке в 1770 году) получила высокую оценку как наиболее широко издаваемая книга в истории алгебры. Сюда мы включаем страницы на немецком языке и из английского перевода, в которых Эйлер обсуждал деление на ноль.Он утверждал, что это дает бесконечность.

Титульный лист Леонарда Эйлера, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (издание 1771 г., впервые опубликовано в 1770 г.) и стр. 34 статьи 83, где Эйлер объясняет, почему число, деленное на ноль, дает бесконечность.

Распространенное и разумное мнение состоит в том, что, несмотря на свою известность, Эйлер явно ошибался, потому что если любое число, деленное на ноль, дает бесконечность, то все числа равны, что нелепо. Например:

, если 3 ÷ 0 = ∞ и 4 ÷ 0 = ∞,

, то ∞ x 0 = 3 и ∞ x 0 = 4.

Здесь одна операция, ∞ x 0, имеет несколько решений, так что, очевидно, 3 = 4. Это абсурд, поэтому можно представить, что в Алгебре Эйлера было что-то «досовременное», что история математики включает длительные периоды, когда математики еще не нашли правильного ответа на определенные проблемы. Однако у Эйлера были веские причины для своих аргументов. Множественные решения одного уравнения не казались невозможными. Эйлер утверждал, например, что операция извлечения корней дает множественные результаты.Например, число 1 имеет три кубических корня, любой из которых, умноженный на себя три раза, дает 1. Сегодня все математики согласны с тем, что извлечение корня может дать несколько результатов.

Титульный лист английского издания «Алгебры Эйлера», опубликованного в 1810 г. (перевод с французского перевода немецкого оригинала), и статья 83, с. 34, с дополнениями в сносках.

Так почему бы также не допустить множественных результатов при умножении нуля на бесконечность?

Другой способ понять исторические разногласия по поводу деления на ноль — сказать, что определенные математические операции со временем развиваются.В древности математики не делили на ноль. Позже некоторые математики разделили на ноль, получив либо ноль, либо дивиденд (например, 24 ÷ 0 = 24). Затем другие математики веками утверждали, что правильное частное на самом деле есть бесконечность. И в наши дни математики снова учат, что деление на ноль невозможно, что оно «не определено». Но с середины 1800-х годов алгебраисты осознали, что определенные аспекты математики устанавливаются условно, определениями , которые устанавливаются по желанию и иногда уточняются или переопределяются.Если да, может ли снова измениться результат деления на ноль?

В 2005 году я показал студентам UT, как компьютер в нашем классе, Apple iMac, выполняет разделение. Я набрал 24 ÷ 0, затем клавишу ввода. Компьютер ответил «бесконечность!» Странно, что там был восклицательный знак. Некоторые студенты жаловались, что это был компьютер Apple, а не ПК с Windows. В следующем году аналогичный компьютер Apple, более новая модель, также ответил «бесконечность», но без восклицательного знака.В 2010 году та же операция на более новом компьютере в классе дала ответ: «РАЗДЕЛЕНИЕ НА НОЛЬ». Тем не менее, тот же компьютер имеет дополнительный калькулятор, так называемый научный калькулятор, и та же операция на этом более сложном калькуляторе дала «бесконечность».

Калькуляторы студентов, например, в их мобильных телефонах, выдавали другие результаты: «ошибка» или «не определено». Калькулятор одного студента, сотовый телефон Droid, ответил: «Бесконечность.«Ни один из этих ответов не является случайным, каждый был тщательно запрограммирован в каждый калькулятор математически подготовленными программистами и инженерами. Ученые-информатики сталкиваются с основной и старой алгебраической проблемой: используя переменные и арифметические операции, иногда компьютеры сталкиваются с делением, в котором делитель имеет нулевое значение — что же тогда делать компьютерам? Стоп, сломаться?

21 сентября 1997 года линкор «Йорктаун» испытывал технологии «умного корабля» на побережье мыса Чарльз, штат Вирджиния.В какой-то момент член команды ввел набор данных, которые по ошибке включали ноль в одно поле, в результате чего компьютерная программа Windows NT делила на ноль. В результате произошла ошибка, в результате которой произошел сбой в компьютерной сети, в результате чего вышла из строя силовая установка корабля, и крейсер был парализован более чем на сутки.

Эти вопросы показывают, что мы неоправданно предполагаем, что нам посчастливилось жить в эпоху, когда все основные математические операции выполнены, когда результат деления на ноль, в частности, не может снова измениться.Вместо этого, когда мы смотрим на страницы из старых учебников по математике, таких как «Алгебра » Эйлера , нам следует напомнить, что некоторые части математики включают в себя операции и концепции, связанные с двусмысленностями, которые допускают разумные разногласия. Это не просто ошибки, а вероятные альтернативные направления, которые математика ранее выбрала и может принять. В конце концов, другие операции, которые веками казались невозможными, такие как вычитание большего числа из меньшего или извлечение корней из отрицательных чисел, теперь стали обычным явлением.В математике иногда невозможное становится возможным, часто не без оснований.

Хотите узнать больше об отрицательных числах?

Альберто А. Мартинес, Отрицательная математика: как математические правила могут быть положительно искажены

Арифметика, в которой можно делить на ноль

Совет: См. Мой список самых распространенных ошибок на английском языке. Он научит вас избегать ошибок с запятыми, предлогами, неправильными глаголами и многим другим.

Когда я еще учился в начальной школе, я был очарован тем, чего нельзя делать в математике, и разработал «теорию» деления на ноль. В то время я действительно этого не видел, но я определил новый набор, который содержал (копию) $ ℝ $ в качестве подмножества, и изменил правила умножения на ноль, чтобы он был совместим с моими предлагаем деление на ноль. Оказалось, что вроде сработало, но были серьезные ограничения.

Я сделал следующее: вместо простых чисел наши объекты — это пары $ (x, n) $, где $ x ∈ ℝ \ setminus \ {0 \} $ и $ n ∈ ℤ $.{-1} = (1, -1) $. Используя приведенное выше определение деления и определение $ ∞ $, получаем, что

$$
÷ {1} {0} = ∞, \ quad ÷ {1} {∞} = 0 \ ,.
$$

Что еще интереснее, получаем

$$
∞⋅0 = 1 \ ,.
$$

Значит, арифметика вполне последовательна. В целом верно, что

$$
÷ {x} {0} ⋅0 = x⋅∞⋅0 = x⋅1 = x \ ,,
$$

и аналогично

$$
÷ {x} {∞} ⋅∞ = x \ ,.
$$

Получили ли мы хорошую теорию деления на ноль?

Чем мы должны были пожертвовать, чтобы получить это? Первая странность заключается в том, что сложение больше не является вообще ассоциативным, например:

$$
(∞ + (- ∞)) + 5 = 0 + 5 = 5 \ quad \ text {vs.} \ quad ∞ + ((- ∞) +5) = ∞ + (- ∞) = 0 \ ,.
$$

Однако более серьезная проблема заключается в том, что дистрибутивность нарушается при упрощении выражений, содержащих разницу в форме $ x-x $:

$$
3⋅ (x-x) = 3⋅0 ≠ 0 = 3x -3x \ ,.
$$

Проблема с неассоциативностью вдобавок, казалось бы, может быть решена, если не забывать члены более низкого порядка, но на самом деле она стала бы еще хуже; например, $ -2 + 2 + 2 $ ассоциативно с забыванием, но если мы не забудем члены более низкого порядка, мы получим $ (- 2 + 2) +2 = 0 + 2 ≠ 2 = -2+ ( 2 + 2) $, не говоря уже о том, что тот факт, что $ 0 + 2 ≠ 2 $, сам по себе несколько неудовлетворителен.

Проблема с дистрибутивностью не может быть решена в принципе , если $ x-x $ не является «абсолютным нулем», т.е. то, что умножается на что-либо, дает тот же ноль, как показано выше. Однако, как только в теории существует «абсолютный ноль», невозможно определить $ ÷ {1} {0} $. Единственный другой способ заставить дистрибутивность работать — это определить $ xx = x⋅0 $ (это непосредственно следует из уравнения $ x⋅0 $ $ = $ $ x (1-1) $ $ = $ $ xx $), но это нарушит коммутативность, потому что $ -x + x = (-x) ⋅0 $, тогда как $ xx = x⋅0 $.

Мораль истории такова: Мы можем определить арифметику, в которой возможно деление на ноль. Однако для этого мы жертвуем некоторыми из самых фундаментальных арифметических правил, к которым мы привыкли. Это было бы неплохо, как таковой, , если бы мы получили взамен что-нибудь интересное. Проблема в том, что я не знаю ни одной математической или реальной проблемы, где эта новая структура была бы более полезной, чем классическая.

Как разделить на ноль

2.Меньше фруктов, больше математики

Попробуем другой подход. Вначале вы узнаете, что любое предложение о делении можно преобразовать в эквивалентное предложение о умножении на . Поэтому, когда мы говорим \ (10 ​​\ div 2 = 5 \), это также означает \ (5 \ times 2 = 10 \).

А как насчет деления на ноль? Если мы скажем, что \ (10 ​​\ div 0 \) — некоторое число, тогда это число умноженное на \ (0 \) должно быть \ (10 ​​\). Это невозможно, потому что все, что угодно, умноженное на ноль, должно быть равно нулю — так что снова деление на ноль не определено, и ситуация выглядит довольно мрачной.

Вот что математики часто делают, когда застревают, — это ищут образец и смотрят, что он может раскрыть. Возможно, вместо прямого деления на ноль мы можем просто разделить на все меньшие и меньшие числа, чтобы приблизилось к нулю! Эту идею мы бы назвали пределом в математике. Итак, давайте попробуем разделить \ (1 \) на все меньшие числа.

\ [
\ begin {align *}
1 \ div \ frac {1} {10} & = 10 \\
1 \ div \ frac {1} {100} & = 100 \\
1 \ div \ frac {1} {1, \! 000, \! 000} & = 1, \! 000, \! 000 \\
& \ vdots
\ end {align *}
\]

Поскольку число, которое мы делим на, становится на меньше и меньше , наш ответ становится на больше и больше .Но это означает … эти ответы снова приближаются к бесконечности? Может быть, мы находимся в чем-то с этой бесконечностью! Все наши доказательства, кажется, предполагают, что \ (1 \ div 0 = \ infty \).

Есть только одна проблема. Мы забыли о важном:

Отрицательные числа.

Если мы приблизимся к нулю с другой стороны, разделив на все меньшие и меньшие отрицательные числа , наш ответ будет все больше и больше, но в отрицательном направлении :

\ [
\ begin {align *}
1 \ div \ frac {-1} {10} & = -10 \\
1 \ div \ frac {-1} {100} & = -100 \\
1 \ div \ frac {-1} {1, \! 000, \! 000} & = -1, \! 000, \! 000 \\
& \ vdots
\ end {align *}
\]

Итак, теперь наш ответ приближается к отрицательной бесконечности.Это проблема — как решить, что правильно? Это \ (+ \ infty \) или \ (- \ infty \)?

Кажется, мы в очередной тупиковой ситуации, но на самом деле мы добились некоторого прогресса. Мы вошли в эту мысль, что деление на ноль невозможно … теперь, глядя на пределы, мы получили двух возможных ответов. И они оба что-то вроде бесконечности .

Почему нельзя делить на ноль?

Ветеран комика Стивен Райт однажды пошутил, что черные дыры — это место, где Бог делится на ноль.С тех пор, как математика возникла несколько тысячелетий назад, человек оспаривал и реформировал многие условности, чтобы сохранить свою любовь к математике. Столетия назад считалось, что квадратный корень из отрицательных чисел не существует, пока Джероламо Кардано в 16 веке не представил миру комплексных чисел , раздел математики, полностью основанный на квадратном корне из отрицательных чисел.

Джироламо Кардано, математик, стоящий за концептуализацией комплексных чисел, уникального раздела математики.(Фото: Yazhang / Wikimedia Commons)

Однако есть одно правило, которое еще не нарушено, а именно деление на ноль. И если деление числа на ноль — кощунство, возможно, смертный грех, то каков результат деления нуля на ноль? Если бы кто-нибудь вычислил это, не начала бы Вселенная немедленно схлопнуться сама по себе? Давайте выясним, почему операция деления на ноль «не определена» или, проще говоря, «вздор».

Действительно ли оно равно бесконечности?

Для удобства дробь, знаменатель которой равен нулю, часто приравнивается к бесконечности.Этот аргумент имеет некоторые достоинства, учитывая природу обратной функции. Вы, вероятно, заметили, что деление числа на все меньшие и меньшие числа дает все большие и большие числа. Например, рассмотрим эти дроби:

По мере того, как числа становятся бесконечно меньшими, можно проследить тенденцию к бесконечности. Однако стремится к бесконечности и равно бесконечности — это два очень разных понятия.Кажется, что результат приближается к бесконечности, но он никогда не приходит.

Бесконечность — это не жесткое число, а, скорее, идея; он существует только в абстракции. Однако, если мы будем рассматривать бесконечность как отдельное число и приравнять ее к дроби 1/0, мы столкнемся с абсурдными математическими аномалиями, в частности, с наиболее ошибочной из всех максим в математике:

для

Можно определить, почему эта дробь бессмысленна, обратившись к определению деления.Самым основным определением деления является, конечно, разбиение чего-либо на части определенного размера. Например, когда мы делим 20 на два, получаем две части размером 10 каждая. Что тогда значит разделить 20 на ноль? В результате детали больше не имеют конечного размера. Оно было бы конечным и очень большим, даже если мы разделим его на 0,000000000000001, но в тот момент, когда мы разделим его на ноль, логика деления больше не сохраняется, и результат неясен.

Другой способ определить деление — это прославленное вычитание.Результат деления 100 на 10 — это количество раз, которое мы можем вычесть 10 из 100 до тех пор, пока результат не станет 0. Я надеюсь, вы знаете, что результат равен 10. Однако, опять же, деление 100 на 0 кажется бесконечным, поскольку вычитание продолжается вечно.

Деление — это прославленное вычитание

Следовательно, результат бесконечен? Не совсем. Как упоминалось ранее, логика работы не согласуется с нашими аксиомами. Чтобы проверить, действительно ли 100, разделенное на 10, равно 10, мы можем добавить 10 десять раз, чтобы проверить, действительно ли сумма равна 100, и это так.Мы просто добавляем вычитаемое число, сколько раз мы получили от деления. Следовательно, чтобы проверить, является ли 100, деленное на 0, бесконечностью, мы должны добавить ноль бесконечное количество раз. Однако как сумма 0 + 0 + 0 +… может быть равна 100?

Это подводит нас ко второму вопросу.

Что такое 0/0?

Предположим, что результатом является не бесконечность, а конечное значение, которое мы обозначим буквой «x». Затем операция подразумевает, что x, умноженный на 0, равен 100, что так же нелепо, как и противоречия, которые мы получили в предыдущем разделе.

Что не является противоречивым и нелогичным, так это утверждение, что все, что умножено на ноль, равно нулю. Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

Это можно переконфигурировать и записать как:

Обратите внимание, как это верно для любого значения x. Не имеет значения, является ли x целым числом, рациональным числом, целым или комплексным числом. Это ужасно, учитывая, что для того, чтобы это было правдой, не только одно должно быть равно двум, но и одно должно быть равно любому другому числу, которое существует! Бесконечные противоречия приводят к тому, что вся система счисления разрушается, и Вселенная немедленно начинает схлопываться сама по себе!

Статьи по теме

Статьи по теме

Хотя достичь этого физически невозможно, математики вместо этого говорят, что деление «не определено», потому что оно противоречиво или парадоксально.Математика логична, как замысловатый карточный домик. Согласованность структуры зависит от согласованности структуры ниже нее, которая зависит от согласованности структуры ниже нее. По сути, вся структура построена на самой первой структуре, скажем, 1 + 1 = 2. Деление на ноль противоречит самому основополагающему принципу.

Посмотрите, что происходит, когда вы делите на ноль на механическом калькуляторе

Кредит: Youtube

Деление на ноль — однозначное запрещение, когда вы занимаетесь математикой.Это просто не имеет никакого смысла с арифметической точки зрения, поскольку не существует числа, которое могло бы вывести числитель при умножении на ноль. Итак, когда что-то делится на ноль, математики просто заявляют, что ответ «не определен». Это не совсем абстрактная идея, поскольку вы можете увидеть ее в действии в реальном мире. Например, компьютерные программисты, которые случайно делят на ноль, застревают в своем коде в бесконечном цикле. Но, пожалуй, самая впечатляющая иллюстрация неопределенного деления на ноль — это попробовать его на механическом калькуляторе.

Пользователь Youtube MultiGlizda сделал это на Facit ESA-01, древней, но очень сложной машине с точки зрения механических калькуляторов. Он работает по принципу колесика и может выводить ответы длиной до 13 цифр. Он продавался с 1949 по 1952 год шведской компанией Facit Calculators.

https://www.youtube.com/watch?v=443B6f_4n6k

Почему деление на ноль не определено

Деление на ноль — недопустимая операция, потому что вы не можете найти ответ. Например:

 12 разделить на 6 равно 2, потому что
    6 умножить на 2 будет 12

   12, деленное на 0, это x, означает, что
    0 раз x = 12
Не существует возможного числа «x», которое умножается на 0, что является ничем, и может вывести 12, а это что-то.

Если вы все еще не уверены, давайте вернемся к основам. И умножение, и деление — это не что иное, как последовательное сложение и вычитание соответственно. Например, 12, разделенное на 6, можно записать как:

 12-6 = 6
6-6 = 0

Потребовалось два шага, поэтому ответ - два. Точно так же 10 разделить на 2:

10-2 = 8
8-2 = 6
6-2 = 4
4-2 = 2
2-2 = 0

Это пять шагов, поэтому правильный ответ - 5.

Однако деление 10 на ноль будет выглядеть так:

10-0 = 10
10-0 = 10
.....

 

Ознакомьтесь с этим более подробным объяснением, почему ответ на деление на ноль не определен.

Тайная магия деления на ноль

MathologerYouTube

Никогда не делите на ноль. Нас всех этому учили в школе, и в большинстве повседневных ситуаций это хороший совет.Редко есть смысл делить что-либо на ноль, и если вы попытаетесь попросить Сири сделать это, она скажет, что у вас нет друзей.

Но почему деление на ноль — такая плохая идея? И есть ли случаи, когда деление на ноль может быть хорошим делом? Если в старшей школе вы не обращали внимания, быстрое освежение знаний может открыть вам глаза на одно из многих чудес математики.

Деление на ноль не имеет смысла, потому что в арифметике деление на ноль также можно интерпретировать как умножение на ноль.3/0 = X — это то же уравнение, что и 0 * X = 3. Очевидно, что нет числа, которое можно было бы подключить к X, чтобы это уравнение работало.

Похожая ситуация возникает, если вы попытаетесь разделить ноль на себя. 0/0 = X можно переписать как 0 * X = 0, и проблема здесь в том, что работает на каждые числа. X может быть любым, поэтому это уравнение не очень полезно.

Этот контент импортирован с YouTube. Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

Но бывают случаи, когда деление на ноль действительно работает и действительно важно для решения проблемы. Это было прозрение Ньютона, когда он изобрел исчисление.

Скажем, например, у вас есть кривая, и вы пытаетесь найти наклон кривой ниже в определенной точке. Это то же самое, что и попытка найти наклон линии, которая касается кривой только в этой точке, называемой касательной. Во многих случаях невозможно найти этот наклон, используя только алгебру.

Чтобы найти наклон касательной, найдите наклон прямой, проходящей через две точки, и сдвиньте точки ближе друг к другу. Когда они пересекаются, вы получите свой ответ.

MathologerYouTube

Но есть уловка, использующая исчисление и магию деления на ноль. Вместо того, чтобы найти касательную, гораздо проще найти наклон линии, которая касается кривой в двух точках. Если вы сдвинете эти две точки все ближе и ближе друг к другу, вы получите линию, близкую к той, которую вы хотели.

Если вы переместите две точки так, чтобы они располагались друг над другом — так, чтобы практически оставалась только одна — вы получите исходную касательную линию, которую хотели, только на этот раз вы сможете найти наклон. По сути, вы делите ноль на себя и получаете ответ.

Уловка деления на ноль заключается, по сути, в создании некоторого дополнительного контекста. Первоначальная проблема с 0/0 заключается в том, что каждое число потенциально может быть ответом, поэтому введение некоторых ограничивающих факторов может сузить возможные ответы.

И как только вы сможете разделить на ноль, перед вами откроется совершенно новый мир математики. Игра с нулями, бесконечностями и всевозможными невозможными уравнениями становится обычным делом. Научитесь делить на ноль, и математика уже никогда не будет прежней.

Источник: Mathologer

Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты.