{2} + \frac{99}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \log{\left (- x + 25 \right )} + \log{\left (- 2 x + 5 \right )} > \log{\left (x + 5 \right )} — 2$$

   /      /        __________________          \\      /             __________________          \      /        __________________              \    
   |      |       /           2    4     2   1 ||      |            /           2    4     2   1 |      |       /           2    4     2   1     |    
log|5 - 2*|10 - \/  225 + 15*e  + e   + e  - --|| - log|25 - 10 - \/  225 + 15*e  + e   + e  - --| > log|10 - \/  225 + 15*e  + e   + e  - -- + 5| - 2
   \      \                                  10//      \                                       10/      \                                  10    /    

     /         __________________     \      /                   __________________\           /         __________________     \
     |151     /           2    4     2|      |  74      2       /           2    4 |           |149     /           2    4     2|
- log|--- + \/  225 + 15*e  + e   - e | + log|- -- - 2*e  + 2*\/  225 + 15*e  + e  | > -2 + log|--- - \/  225 + 15*e  + e   + e |
     \ 10                             /      \  5                                  /           \ 10                             /
   

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.{2} + 225}$$

Информатика — B5 математика с ege.yandex.ru

B5.1        B5.2      B5.3     B5.4      B5.5        B5.6       B5.7          B5.8       B5.9          B5.10

B5.11      B5.12      B5.13     B5.14     B5.15      B5.16     B5.17    B5.18      B5.19        B5.20

B5.21      B5.22     B5.23      B5.24    B5.25       B5.26    B5.27    B5.28     B5.29        B5.30

B5.31     B5.32        B5.33

Справочные материалы от Д. Гущина 

№1
Найдите sinα, если cosα=−\(\) и π<α<\(\)

Решение

\(\)

=> \(\)

из условия: π<α<\(\), или третья четверть, где и синус и косинус отрицательны.

=>\(\)

Ответ -0,8

№2
Найдите значение выражения: \(\)

Решение

\(\)

Ответ 16807

№3
Найдите значение выражения: \(\).
Решение
\(\)

Ответ 54

№4
Найдите значение выражения \(\)
Решение  
log₁₁(12,1) + log₁₁10 = log₁₁(12,1*10) =  log₁₁(121) = log₁₁(11²) = 2

Ответ 2

№5
Найдите значение выражения \(\).
Решение
\(\).

Ответ 5

№6

Найдите значение выражения

\[\]

.

Решение 

(4x²−25) / (2x+5) −2x= ((4x²−25) – 2x*(2x+5) ) / (2x+5) = (4x²−25 — 4x²−10x) / (2x+5) = — (10x+25)/ (2x+5) = -5

Ответ -5

№7

Найдите 25cos2α, если sinα=−0,7.

Решение 

cos(2α) = 1 – 2sin²α = 1 – 2*(-0,7)² = 1 – 2*0,49 = 1 – 0,98 = 0,02

25* cos(2α) = 25*0,02 = 0,5

Ответ 0,5

№8

Найдите значение выражения

\[\]

.

Решение 

(6sin27°cos27°)  / sin54° = 3*(2sin27°cos27°) / sin54°  = 3*sin54° / sin54° = 3

Ответ 3

№9

Решение.  

Имеем:                                                            

\[\]

\[\]

\[\]

Ответ -0,5

№10

Найдите значение выражения \(\), если tga=\(\).

Решение 

cos²α = 1/(1+tg²α) = 1/(1+11) = 1/12

36*cos²α = 36*(1/12) = 3

Ответ 3

№11

Найдите значение выражения \(\).

Решение 

39⋅:65 = 39*26: (3⁵ *2⁵) = 3^9-5 * 2^6-5 = 81*2 = 162

Ответ 162

№12

Найдите значение выражения \(\).

Решение

\(\).

Ответ 9

№13

Найдите значение выражения \(\).

Решение

\(\)

\(\).

Ответ -10

№14

Найдите значение выражения: \(\).

Решение

\(\).

Ответ 81

№15

Найдите значение выражения \(\).

Решение

\(\)
Ответ 16

№16  Найдите значение выражения: log₄9 /  log₆₄9.

log₄9 /  log₆₄9 = (log₄64 * log₆₄9) / log₆₄9 = log₄64 = 3

Ответ. 3

Примечание. Докажем формулу   log_ax = log_ab * log_bx

Пусть (a^p)^q=x. Обозначим a^pчерез b. Имеем:

                                                         x= (a^p)^q= a^pq

                                                           b = a^p

                                                           x = b^q

Поэтому

log_ax   = pq                            (1)

log_ab   = p                              (2)

log_bx   = q                               (3)

Из (1), (2) и (3) следует:

log_ax = log_ab * log_bx

№17

Найдите значение выражения \(\).

Решение
(9+√77) /(√11+√7)2 = (9+√77) /(11+2*√11*√7 + 7) = (9+√77) /(18+2*√77) = ½ = 0,5
Ответ 0,5

№18

Вычислите:

\[\]

.

Решение

\(\)

=>\(\)

Ответ 31

№19

Найдите значение выражения \(\).

Решение 

log₇ (⁴√24) / log₇ (24) = log₇ (24^1/4 ) / log₇ (24) = ¼ *log₇ (24) / log₇ (24) = ¼

Ответ 0,25

№20

Вычислите: \(\).

Решение 

log7log₂128 = log7log₂(2⁷) = log77 = 1

Ответ 1

№21

Вычислите: \(\).

Решение 

30*cos33^∘/sin57^∘ = 30*cos(90^∘ — 57^∘)/sin57^∘ = 30*sin57^∘/sin57^∘ = 30

Ответ 30

№22

Решение.Обозначим квадратный корень из 13 через r. Имеем:

(7^r)*(2^r)/(14^r-3) = (14³) )/(14^r-3) = 14^r-(r—3)= 14³=2744

 Ответ   2744

№23 

Вычислите log_0,52

Решение. Имеем:

0,5 = ½

2 = (½)^-1

Поэтому log_0,52 = -1 

Ответ  -1

№24

Вычислите \(\).

Решение

см №2 №23

Ответ 25

№25

Вычислите \(\).

Решение Имеем: 216 = 6³ = ( (√6)²)³ =(√6)^2*3= (√6)⁶  . Поэтому log_√6 (216)  = 6 и log²_√6 (216) = 6² = 36.

Ответ 36

№26

Решение

Обозначим значение, которое нужно вычислить, через Z.

Имеем:                           5+3/5 = 28/5;  12+3/5 = 63/5;

Z = ( √(28/5) — √(63/5) ) / √(7/45) =

=  ( √(28/5) / √(7/45) ) – (√(63/5) / √(7/45))

Вычислим отдельно уменьшаемое и вычитаемое.

√(28/5) / √(7/45) = √(28/5  : 7/45) =

= √(28*45/(5*7) = √( (4 *9 )= 2*3 =6

√(63/5) / √(7/45) = √(63/5  : 7/45) =

= √ (63*45/(5*7) = √( 9* 9 )= 9

Таким образом,

Z = 6 – 9 = -3

 Ответ   -3

№27

Решение

Ответ

№28

Решение .  Кубический корень из x обозначается: rt(x).

Имеем:

( rt(6)*rt(4) ) / rt(3) = rt(6*4/3) = rt(4*2) = rt (2³) = 2

 Ответ  3

№29  

Решение 

(8+2/11) : (9/11) = (90/11) : (9/11) = (90*11) /(11*9)   = 90 / 9 = 10

Ответ

№30

Найдите значение выражения

3^2z+1:9^z:z

при z=1/12.

Решение     9^z = (3² ) ^z     =  3^2z .  Поэтому:

3^2z+1:9^z:z  = 3^2z+1:3^2z:z = 3^(2z+1)-2z:z = 3^2z+1-2z:z = 3:z

При z =  1/12 это равно 3:1/12 = 3*12 = 36

Ответ:  36

№31   

Решение.  

(√200)* cos²(5π/8) — (√50) = (√50) * ((√4)*cos²(5π/8) – 1) =

= (√50) * (2*cos²(5π/8) – 1) = (√50) * (cos²(5π/8) – sin²(5π/8)) = (√50) * (cos(2*5π/8) = (√50) * (cos(5π/4) = (√50) * (-(√2)/2) = — (√100)/2 = -10/2 = -5

Ответ 

№32

Решение.

Ответ 1

№33 

Решение.

log₂ (4√2) + log₃12 — log₃4 = log₂ (2^2+1/2) + log₃(12/4) = 2+1/2 + 1 = 3,5

Ответ 

Рабочая тетрадь по математике. Логарифмы. Свойства логарифмов.

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
Саратовской области
«Саратовский колледж кулинарного искусства»
О.В. Улитина
преподаватель математики ГАПОУ СО СККИ
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО МАТЕМАТИКЕ
Логарифмы. Свойства логарифмов.
Учебное пособие для студентов ОУ СПО 
по учебной дисциплине «Математика» Математика
2017 г
АННОТАЦИЯ
В данном пособии представлен раздел математики 1 курса   «Логарифмы.
Свойства   логарифмов»   в   учреждениях   среднего   профессионального
образования. При изучении данного раздела студентами появляется множество
проблем, которые связаны не только со слабой базовой подготовкой студентов
по основным темам школьного курса, но и с недостаточностью   упражнений,
предлагаемых учебниками.
Необходимо   увеличить   количество   упражнений,   тестов   решаемых
студентами   на   уроках   для   лучшего   понимания   раздела.   В   данном   учебном
пособии представлены упражнения, разработанные по принципу «от простого к
сложному», позволяющие решить проблемы количества упражнений и качества
знаний по данному разделу.  Решение задач  является одним из видов учебной
работы обучающихся. Поэтому основные цели создания данного пособия:
  самостоятельности,
­   систематизация   и   закрепление   теоретических   знаний   и   практических
умений обучающихся;
­ углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений
использовать справочную документацию и дополнительную литературу;
­   развитие   познавательных   способностей   и   активности   обучающихся,
творческой   инициативы,
  ответственности   и
организованности;
­ формирование самостоятельного мышления.
Содержание учебного пособия соответствует образовательным стандартам
профессионального   образования   и   может   быть   использовано   для   различных
специальностей   и   профессий.   В   данном   пособии   представлены   упражнения,
тесты,   задания,   которые   автор   в   течение   многих   лет   использовала   на   своих
уроках   и   полученные   результаты   позволяют   сделать   следующий   вывод:
используемые упражнения помогают студентам восстановить пробелы в знаниях
по   темам   «Степени»,   «Корни»   и   понять   темы   «Логарифмы»,   «Свойства
логарифмов». Пособие содержит как небольшой теоретический материал для
изучения тем раздела, так и решенные примеры в качества образца.
.
2 Математика
ЛОГАРИФМ
Операцию   нахождения   логарифма   числа   называют   логарифмированием.   Эта
операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим
основанием.
Определение логарифма 
Логарифмом числа  b  по основанию  a, где  a  > 0,  a  ≠ 1, называется показатель
степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b:
log
a
b

b
a
x
x
 при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Например: 
2
2
5
3
log

25

9
16
log
log
3

2
4
2

25

2

2
16
5
9
4
Задание1: Запишите с помощью логарифма
1
2
1)3
3
3
5
7)32

8)3
2)2
3)4
1
8
16




2;

9;

3

2
1
2
1
5
;
2
1
;
5)9

3;
0
6)7

1
4)5

1
25
;
3
10)81
4

27;
11)32

8;
2
3

9
9)27
12)125
2
3

25
Задание 1
3 Математика
Задание 2:  Запишите в виде степенного выражения
1) log
1
81
4)log 16
3
1
2
 
4;
 
4;
2) log 256 4;

4
5) log 729 3;

9
3) log 343 3;

7
6) log 1 0;

14
7) log
9
16
3
4

2;
8) log
7
4
7

1
4
;
9) log
13
3
2
13

2
3
;
10) log 32 5

2
Определение   логарифма   можно   записать   на   математическом   языке
следующим образом: 
, где 
a

,0
a

,1
b

0
. 
, где 
к
a

,0
a

,1
b

0
к
log
a 
b
a
b
Задание 2
, к0 
a
log
ba 
b
Полученное равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Если основное логарифмическое тождество усложнить, то получим формулу:
4 Математика
log 5
12
Задание 3: Найдите значение выражения
1)12
6)9
3) 2
8)7
;

2log 11
2)4
7)11
log 6
;
3log 6
11
4)8
2log 4
log 7
2
7
;
;
;
;
4
9
log 13
8
9)6
;

4log 3
6
5)5
;
5
log 11
;
10)3
5log 2
.
3
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается  
,
blg
  называется натуральным логарифмом и обозначается
логарифм по основанию  
( ee
…)7,2
.
bln
Задание 3
5 Математика
При вычислении логарифмов используется таблица степеней:
10
1024
59049
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
9
16
25
36
49
64
81
10
0
6
64
729
4096
15625
46656
117649
7
128
2187
16 384
78125
279936
823543
3
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
8
256
6561
65 536
390625
1679616
5764801
9
512
19683
262 144
1953125
1007696
4035360
7
5
4
32
16
243
81
1024
256
3125
625
1296
7776
2401 16807
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
Степень (результат логарифмирования)
Таблица квадратов
А 11
26
13
А2 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676
10 48576
9765625
60466176
282475249
1000 000
100 000
10 000
12
21
22
14
23
24
25
18
19
20
15
16
17
Примеры с решениями
1. Вычислите 
.
log 2
1
125,0
Решение. 
log
2
1
125,0

log
)5,0(
2

3

log
2
3




1
2



log
2
3
2

log3
2
2

.3
Ответ: 
.
log 2
1
125,0

3
2. Вычислите 
Решение. 
3
1,0lg
100
.
1,0lg
3
100

lg(
10
3. Вычислите 

13
log13
04,0
.
2
3

1

10
)

lg
10

1
3

lg
10

1
3
 
1
3
.
Решение. 

log
13
04,0

13
4. Вычислите 

2
1
log
4
10
10
Решение. Т. к. выражение 
1
2
log
13
04,0

13
log
13
04,0
1
2
1
2

04,0

04,0

.2,0
13

.
1
log
4
10

log
log
4
4
10
4
, то решение принимает вид:

4lg
6 Математика

2
1
log
4
10
10

100
4lg
10

100
4

.25
Задание 4:  Вычислите, используя таблицу степеней
1)log 1024;
2
2)log
3
1
243
;
3)log
1
5
5)log
4
1
256
;
9)log
4
5
13)log
2
4;
1
2
3
;
4
Задание 4
1
625
1
512
;
;
4)log 512;
2
8)log 216;
6
6
7 ;
12)log
6
3
2
6 ;
6)log 729;
1
3
10)log
3
4
5
3 ;
7)log
1
8
11)log
7
14) log
11
1
11
;
15) log
15
5
1
11
;
16)log
7
1
7
3
.
7 Математика
 
3
1) log
Задание 5:  Выберите номер правильного ответа
81
7)3

) log 3 81;
a

b
) log 81 4;

)log 4 3
c
3
4)8
)log 8 512;
a
b
)log 512 3;
)log
c


8 3
512




3
4
4
4
3
8
512
3
81
4
1
64

64;

64;


3
4
)4
a

b
)3
)64
c

243

5
2)3
)log 3 243;
a
b
)log 243 5;
) log 243 3
c


5
3
5
3)log 216 3
6
)3
a
3
)6
b

216;
216;
6


5

10)2
)log 2 32;
a
b
)log 32 5;
) log 32 2
c
32



5
2
5
21



5) log 441 2
2
441;
)21
a
21
441;
)2
b

c
) 441 21
1
49

49;

49;
1
49
)2
a

2
)7
b
6)log
)7

c

7
;

2
7
 
2

729;
729;

9
8) log 729 3
9

9
)3
a

3
)9
b
3
)729
c

9) log 144 2
12

144;
)12
a

12
144;
b
)2

) 144 12
c
2

20
11) log 400 2
20

400;
)2
a

400;
b
)20

) 400
20
c
2
Задание 5
8 Математика
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
5
1
3
1
5
1
9
1
8
1
2
3
4
Задание6: Выпишите номера примеров, решенных неверно

1)log 27
3

2
2)log 16

0, 4 2
3) log

4)log 125 3

2
5) log 9

4

0,09 2
1
625

2
11) log 36
7)log 729
8)log 16
9) log
10) log

0,2

4
9
2
3
0,3
5
1
6
12) log
0,5

0,125 3

0, 25 2
0,5
6) log
Задание 6
Задание 7. Найдите логарифмы данных чисел по основанию α:
1)25,
, 5
а

5
2)64,
, 2
а

8
3)16,
1
4
, 2
а

2
4)27,
, 3
а

3
5)2,
,1,0
а

4
Задание 7
Задание 8. Заполни таблицу, используя определение логарифма:
a x 
N
log
xNa 
log10
1000

3
9
Найти х по заданным условиям
Неизвестное
Условие
х
log 3
1 Математика
log 7 х
2
х
log11
2
2

36,0
log
log х
5
2
1
х
4
625
log
log
2
х
х

4
2
log 6 
36
log 8 
01
log 3
1
81

4
log 3
х
1
343
х125
log 2,0
log 2
log10
х16
х01,0
7 3 
4 3 
343
1
64
10 2 
01,0
1
32 5

2
2

125 3
25
2,0 3 
008,0

1 3


3

27



Задание 9. Используя определение логарифма выберите номер правильного ответа:
ВАРИАНТ 1                                                                                        ВАРИАНТ 2
10 Математика
4
;
x


1)log
)
b x
)
a x
1
64

3;
1
3

)
c x
3

5
2)3
243

) log 3 243;
a

) log 243 5;
b

) log 243 3
c

3)log 25
2
)
a x
)
b x
3
5
5
;

)
c x
x

5;

5;
1
5

5
)
d x

4)log
x
3
6

)
a x
18;

)
b x
2;

)
c x
216;

9
)
d x

5)log
x
7

14;
)
a x

)
49;
b x
1
49
)
c x

;
2
2

2
6)log 144
12

)12
144;
a

12
144;
)2
b

c
) 144 12
1
225

x
7) log
)
a x
)
b x
15

;

2;
1
2

2

512

3
)
c x
3
8)8
) log 8 512;
a
) log 512 3;
b
)log
c
9)log 64
)
a x
)
b x


8 3

512
2
8

6
;

)
c x
x

8;

8;
1
8

8
)
d x
10) log
x
2

12;
)
a x

)
3;
b x

64;
)
c x

)
8
d x
11) log
x
13

26;
)
a x

)
169;
b x
1
169
)
c x

;

2

12) log 441 2
21

2
441;
)2
a
1

21
441;
)2
b

) 441
21
c
x
2
1) log
3
4
4
;
81



)
b x
)
a x
1
256
4;
1
4

)
c x
4

4
2)3
81

)log 3 81;
a

)log 81 4;
b

) log 4 3
c

3) log 36
x

)
6;
a x

)
6;
b x
1
6

6
)
d x

x
3
4)log
7

21;
)
a x

10;
)
b x

343;
)
c x

5) log
x
11

22;
)
a x

121;
)
b x
1
121
)
c x
)
c x


;
;
2

6)log 243 3
9

9
243;
a
)3

3
2
b
43;
)9

3
)243
c
9
x
;


)
b x
)
a x
7) log
1
5
125

3;
1
3

)
c x
3

5
8)2
32

)log 2 32;
a

)log 32 5;
b

)log 32 2
c

9) log 484
)
a x
)
b x
x

22;

22;
1
22

)
c x
;
5
2
5
2

2


22
)
d x
10)log
x
25

)
a x
27;

)
b x
50;

)
c x
625;

23
)
d x
11)log
x
17

)
a x
34;

)
289;
b x
1
289
)
c x

;
20
12)log 400
20

400;
)2
a

)20
400;
b

) 400
c
20
2
2

2
Ответы запишите в таблицу:
1­
5­
3­
4­
2­
6­
7­
8­
9­
10­
11­
12­
11 Математика
Для всех свойств логарифмов выполняются соответствующие условия:
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
log aa
1
log a
01
 при 
 при 
a

a

;
a
,0 
1
;
a
,0 
1
 при 
c
a
 при 
log
a
bc
(
)

log
b
a

log
a

,0
a

,1
b

,0
c
log
a
b
c

log
a
b

log
a
c
b
a
 при 
log
a
p
b

p
log
log 
b
a
log
log
c
c
b
a
a

,0
a

,1
b

,0
c

 при 
a

,0
a

,1
b

0
;
a

,0
a

,1
b

,0
c

,0
ñ

0
;

0
;
0
.
Полезно также знать и другие свойства логарифмов:
log 
b
a
 при 
a

,0
a

,1
b

,0
b

1
;
1
log
b
a
log
an
m
b

m
n
log
a
b
 при 
log
an
b

log
a
b
1
n
 при 
a

,0
a

,1
b

0
;
a

,0
a

,1
b

0
.
Полезно также знать и «хитрости» свойств логарифмов:
log
a
b
2 
log2
b
a
 при 
a

,0
a
;

0
log
a
bc
(
)

log
a



b

log
a


a

,0
a

,1
b

,0
c
log
a
b
c

log
a
a
c
log 
b
c
log
b
a

b


при 

log
a


c
a

,0
a

,1
b

,0
c

a

,0
b

,0
b

,0
c

0
.
;

0
.
0

b
,1
 при 
c
 при 
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом:
log10 
a
lg
a
Десятичным логарифмом называется  логарифм по основанию 10. Он обозначается  lg , 
т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, … pавны соответственно 1,  2,  3, …,  т.е. 
имеют столько положительных
единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1,
0.01, 0.001, … pавны соответственно –1,  –2,  –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, 
сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). 
Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть 
логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные 
логарифмы наиболее удобны.
 
12 Математика
Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln , 
т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 
2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n  при 
неограниченном возрастании  n
Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом:
log 
ae
ln
a
Примеры с решениями
1. Найдите значение выражения 
log
2 
6
log
2
10
2
3
.
log
2,0
75

log
.3
2,0
Решение. 
log
2
6

log
10
2
2. Найдите значение выражения 
2
3

log
2
6

log
2
32
3

log
2
6

32
3

log
2
64

.6
Решение. 
log
2,0
75

log
2,0
3

log
2,0
)3:75(

log
2,0
25

log
 



1
5
2




1
5
.2
3. Вычислите 
Решение. 
log 9
.27
log
9
27

log
3
log
27
9
3

log
log
3
3
3
2
3
3

log3
log2
3
3
3
3

3
2
.
4. Известно, что 
log 5
a2
. Найдите 
log 2
.80
Решение. 
log
2
80

log
2
16(

)5
log
16

log
2
2
5

4
5. Найдите значение выражения 

log
8
log
2
8 4
4

4
1
log
5
2
5
2
5
5
log
log
.

4
1
a
1
.
4

a
a
Решение. 

log
8
log
2
8 4
4

log
8
log
2
32
2
2

log
8
log
2
2
1
16

log
8
1
16

log
8
16
 1


log
8
16

6. Найдите 
lg
45
log
2
log
2
.

16
4
3
8
, если 
3lg

a
2lg,

b
.
13 Математика
5lg

3lg
2

lg
10
2

3lg2

lg
10

2lg
Решение. 
lg
45

)59lg(

9lg
Задание 10:

1
2
a
.
b
Используя свойства логарифмов найдите значение выражения:
Вариант 1
Вариант 2



4
4

2) log 5 log
1)log 2 log 32
1
5
1
54
3)log
log
1
2

2
3
2
3
7
7

log
7
log 7
4) log
5
196

5) log 5 log 35

6)3

8) log 9
10)log 36

81
7
3
6
12)6
5log 3
6
14)log
7 3

1
7
2

Задание 10


5
4

7)49
log 3
7

27
3
3log 4
21


9)log

11)21
13)log
5
6
5
5

15)125
log 7
25


1)log 32 log
1
2
2)log 4 log 64

4
4
16


16
1
3
5

log
5
1
75

3)log

3
5

9
7
6

log
4)log
3
180

5)log 4 log 36

6)8

8)log 3
27
49
10)log
log 12

9
8
7
log 5
8
7)64
9)log

11)13

125

13
5
4log 3

12)9
4log 2
9
14)log
6
4

1
6
3
13)log
8
7
3
8


15)625
log
125
4

14 Математика
Задание 11:
ГРУППА А: Найдите значение выражения
log)2
2
5

log
2

log)2
2
22

log
Вариант 1

log)1
2
4
log
4

8
8
5
54

2
196

5

3
3
7
2
7
log)3
log)4
log)5
log
3)6
3
log)8
81
log)10
log)11
8

25

5
64
log

log
3
log

4

35

log
2
2
56
log
25)7
5

3

8

log)9
2

log)12
243
81

Вариант 2

log)1
128
4
log

4
2

2
32
11

45

3
8

5
192
log

3
log
log)3
log)4
log)5
3
8
5
8

log
5
2

log
5

25
4
36)7
log)9
log
6
7

16

4


log)12
81
27

50
log
50)6
log)8
125
log)10
log)11
6


5
49
7
128
16
Задание 11 гр А
15 Математика
ГРУППА Б: Найдите значение выражения
Вариант 1
Вариант 2
16 25
log
4

1
4
764
log)5
5
log
4)6
log2
5


2
3
)7
log
 
1
2


2
125
4
9
log
5
154

log
16)8
log)10
52

2327

log)9
49

343
8log)11
log
512

1
4
1
7
log)12
25
log
625

7)13
7
7

Математика
log)1
2
7

log
2
14

log)2
3
72

log
3
log2)3
2
6

log
2

log)4
4
5

log
4
63
log
36

2

log
3
18


log
2
35


16
27
35
9

log)1
3
log28

2

log
3
3
log2)2
log)3
5
log)4
4
32
7

22
1
5


log
log
5
256

7
11
log
4
36

log)5
2
12

log
2
5
3
log
2)6
94

)7

log
 
1
2

log
1
2

9
2
log2
7

10
25
81

4
5
2
4
5
52
log
log

log
8)8
125
2

log)10

327
log)9
216
log)11
4
256

36

log
6)13
1
3
1
6
243

7
3

log)12
9
log
3)14
Задание 11 гр Б
7)14
17 Математика
Задание 12:
Задание 1: Вычислить
Задание 2: Найти х
18 8lg)1

lg
;125
log)2
2
7

log
2

;
lg)4
13
16
log
3
log
4
3
log)8
3,0

lg
lg
16
8lg
3lg
2lg

16,3lg
:
у
)13

;
;
через
4,0lg)10
27
lg
3lg
;
)12
3lg
;
)15
12
)5

log
4
log)3
12

18
8lg
lg

2lg2
3lg

11
log
2

;7,2lg
log)7
lg)9
;
;3
;44
)6
;
2
27
4lg
2lg
15
lg
lg
)11
)14

25
Выразите
lg)1

x
х

y
;1

2
lg5,0
1
3
.2lg
lg
y

y
;
lg)2
x
lg)3
x
Задание 12
4

log
1
3

4,2lg

12
lg2
1
2

50
72
lg
lg


;15
lg
lg
;18
;4lg

;3lg
lg)5
lg)7
x
x


lg)8
x

lg)9
x

1
3

;2lg3

lg
125
1
3

;2lg35lg2
1
2
5lg
3lg
1
2




;5,3lg
Математика
;
7
16
;130
log)1
6
x
lg)2
x

lg

1
2
log3
log5,02

25

6
6
log2
6
;3
5lg
a

lg3
b

lg4
;
c
lg)3
x

lg5
m

lg
n

2
3
1
4
lg
p
;

log29
;40
;10
3,0
log)4
4
x
216

log2
4
10

log4
;3
4
lg)6
x

6,9lg

;4,2lg
lg)10
x
lg)11
x
lg)12
x
19 Математика
Задание 13: Восстановите равенство

log
(…
…

log
2
30(
5,3
8
15
7
9

)5,3
8

15

log
)
9
)…3
log
3
log

log
2
3
21
7

log
…
)7…21(

Вариант 1
log)1
7
14

log
log)2
2
…

log
…
2

21
1
2
log
…

56
7
log
2
log
3
log)4
log)5

2
3)6
25)7
log)8
log)9
5,0
log)10
216
5
196
…5
7
3
125
…
49
…
log
3

log
log
70
2

…
3
…

log
…
)5(
…

log2

log


4
log
2

7


6
216
…
5
)2(
…
5
…
log
625
3
…
…

196
log
…

5(

4….
…

70
log
)56
(….)

20 Математика
Вариант 2
log
)…1
1
2
log)3
)2
log
3
5

log
45
1
3
256

log
2
log
4
256
…
121

log
2

log
2
(…
4

2
32
…
11

log
5
3

….
4
2
log
32

11
log
5(
)
…

log
4
(
256
)2…


)45
log)4
8
96

1
3
log
2
3

log
8
96

log
…
3

log
8
96(
)3…


log
18(
…
25
4


5,4
)
25
4
log)5
5
18
…
log
5
…5,4
log
5
log
13
6

1
169)6
log
36)7
log)8
216
25,0
log)9
3
log)10
7
7

256

…
3
49

…
169
log
…
)6(
…

log
…
169

7
256
…
…
3
)3(


…
log

Задание 13 В­
21 Математика
Тренировочные упражнения
Базовый уровень
1. Вычислите 
2. Вычислите 
3. Вычислите 
4. Вычислите 
5. Вычислите 
6. Вычислите 
7. Вычислите 
log
2
3
2
.
5,0

2
.
log
3
log 2
.
3
39
82

.
log2
5,0
9
5,0
.
log3
2
27
log 2,0
3
125
.
1
log
5
5,0
.
16
.
  Найдите   значение   выражения

8.

9. Найдите значение выражения
log6
01,0
6
.
25,0
log36
6
10. Найдите значение выражения 
.
3lg210 
22
11. Найдите значение выражения
.

24
log
1
3



1
3



12. Вычислите 
13. Вычислите 
14. Вычислите 
15. Вычислите 
16. Вычислите 
log
18
27

log
.12
18
log
1 
2
log
12
.72
1
12
log
2
36

log
29
2
.
log
7
log
256
2
7
.
log
log
6,0
6,0
27
243
.
17. Вычислите 
log
1
3 
2
log
9
.4
25
.
18.
64
19.

1
  Найдите   значение   выражения
log5,0
4
  Найдите   значение   выражения
1
log
7
2
49
14
. 20. Найдите 
log 2
21. Найдите 
log 7
6
22. Известно, что 
, если 
1
81
, если 
Найдите 
.
lg
175
Тренировочные упражнения
23. Известно, что 
2lg

m
7lg,

n
. 
Найдите 
.
log14
56
24. Вычислите 
log
81
25

3
log
5
4
6
.
2
25. Найдите значение выражения
.
4
log
5
2,1
2,1
log
7
3

3
Математика
.
log 2
m3
log 7
5lg

a
7lg,
.
k42
. 

b
23 Тесты
Математика
Тест 1
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
А1. Вычислите 
.
log
5
1 5
5
1) 
;
2) 5;
3) 
;
1
5
4) –5.
1
5
1) 0,7;
А2. Найдите значение выражения 
.
log3
49,0

3
А3. Найдите значение выражения 
.
5 
log32
5
2
1) 17;
А4. Найдите 
log 5
1) 
;
2a
2) 0,07;
2) 
;
28,0
2) 
;
a
2
25
8
, если известно, что 
3) 0,245;
4) 0,2401.
3) 
;
25
6
log 5
3) 
a7
;
a
5
.
4) 19.
4) 
 .
5a
4) 2,5.
4) 4.
А5. Найдите значение выражения 
1) 4,5;
А6. Вычислите 
2) 9,5;
.
128
lg
8lg
1) 
;
lg
120
А7. Известно, что 
2) 
;
7
3
lg
m

lg,3
n

8
log
3
72
.8
3

3
log
3) 1;
3) 
;
lg
16
. Найдите 
1) 
;
lg
375
2) 8;
3) 1;
lg
n
1000
m
.
4) 
.
8lg
Ответом в заданиях В8 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной 
дроби число.
В8. Вычислите 
.
В9. Найдите значение выражения 
10
64
log16
81

2lg2

1
log
2 125
8

log
В10. Найдите значение выражения 
log
4
3
baa
24
.
3
4
log
3
1
2
, если 
.
log ba
14 Математика
Решения заданий В8­В10
Тест 2
Базовый уровень 
.
5
1. Вычислите 
1) 
;
5,3
2. Вычислите 
1) 2;
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
log 5
125
2) 
;
5,1
1,0lg
.
1000
2) –1,5;
.
1
3

log3
12
12
3. Найдите значение выражения 
1) –1;
4. Вычислите 
1) 2;
5. Вычислите 
2) 
1
27
;
log
20
.5
20

log
80
2) 400;
log
1 
9
log
15
.25
1
15
4) 
.
5,2
4) 
1
3
.
4) 
.
3 3
4) 85.
3) 
;6
3) 0,5;
3) 27;
3) 
log 20
;85
25

Логарифмы. Решение заданий №10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике

1. Решение заданий №10 ЛОГАРИФМЫ по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2015 года http://mathege.ru/or/ege/Main.html

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
г. Радужный
Решение заданий
№10 
ЛОГАРИФМЫ
по материалам открытого банка 
задач ЕГЭ по математике 2015 года
http://mathege.ru/or/ege/Main.html
учитель математики Е.Ю. Семёнова
Задания открытого банка задач
log2 16 log 6 36 .
1. Найдите значение выражения                         
Решение. 
log2 16 log 6 36 log2 24 log 6 62 4 2 8
Использована формула:
loga a n n .
log5 4
7 5
.
2. Найдите значение выражения                            
Решение. 
7 5log5 4 7 4 28
Использована формула:
a loga b b.
Задания открытого банка задач
36log6 5.
3. Найдите значение выражения
Решение. 
log6 5
36
6
2 log6 5
log6 5 2
6
Использованы формулы:
52 25.
a
n m
a
m n
;
a loga b b.
4. Найдите значение выражения log 0 ,25 2.
Решение. 
1
log 0 ,25 2 log 2 2 2 0,5.
2
1
Использована формула:   logаk a .
k
Задания открытого банка задач
log 4 8.
5. Найдите значение выражения                                
Решение. 
3
log 4 8 log 22 2 1,5.
2
3
n
Использована формула:   logаk a .
k
n
log5 60 log 5 12.
6. Найдите значение выражения                                
Решение. 
log 5 60 log5 12 log5
60
log 5 5 1.
12
b
Использованы формулы:  logа b logа c logа ;
c
logа a 1.
Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения log5 0,2 log 0 ,5 4.
Решение. 
2
log 5 0,2 log 0 ,5 4 log 5 5 1 log 2 1 22 1 3.
1
n
n
Использована формула:   logаk a .
k
log 3 25
.
8. Найдите значение выражения                                
log 3 5
Решение. 
log 3 25
log5 25 log 5 52 2.
log 3 5
logс b
loga b ;
Использованы формулы:  
logс a
loga a n n .
9. Найдите значение выражения
log5 9 log 3 25.
Решение. 
log5 9 log 3 25 log 3 9 log 5 25 log 3 32 log 5 52 2 2 4.
Использованы формулы:   logа b logd c logd b loga c ;
1
logаk a .
k
log 7 13
.
10. Найдите значение выражения                               
log 49 13
 
Решение. 
log 7 13
log 7 13
log 7 13
2.
log 49 13 log 72 13 1 log 13
7
2
1
Использована формула:   logаk a .
k
Задания открытого банка задач
11. Найдите значение выражения
1 log 2 12 1 log 6 12 .
Решение. 
1 log 2 12 1 log 6 12
2
6
log 2 2 log 2 12 log 6 6 log 6 12 log 2
log 6
12
12
1
1
log 2 log 6 log 6 6 1 log 2 2 1 1 1 1.
6
2
Использованы формулы:  
logа a 1;
b
logа b logа c logа ;
c
logа a 1 1.
Задания открытого банка задач
log 5 50
9
12. Найдите значение выражения                               
.
log 2
9
 
Решение. 
5
log 50
50
log 5
9 5
log 5 50 log 52
log 525
2
2
9
9
9
9
81.
log 52
9
an
n m
Использованы формулы:  
a
;
m
a
logа a n n .
b
logа b logа c logа .
c
Задания открытого банка задач
6 log 7 3 7.
13. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
6 log 7
3
1
3
1
7 6 log 7 7 6 2.
3
Использованы формулы:  
n
a
m
m
n
a ;
logа a n n .
log 13 13.
14. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
6
log 6 13 13 log
1 13
13 6
1
log 13 13 6.
1
6
Использованы формулы:  
n
a
m
m
n
a ;
1
logаk a .
k
Задания открытого банка задач
log 3 18
.
15. Найдите значение выражения                               
2 log 3 2
 
Решение. 
log 3 18
2 log 3 2
2 log 3 2
2 log 3 2
log 3 9 2
2 log 3 2
log 3 9 log 3 2
2 log 3 2
log 3 32 log 3 2
2 log 3 2
1.
Использованы формулы:   logа bc logа b logа c ;
logа a n n.
Задания открытого банка задач
log 3 5
log 7 0,2.
16. Найдите значение выражения                               
log 3 7
 
Решение. 
log 3 5
log 3 7
log 7 0,2 log 7 5 log 7 0,2 log 7 5 0,2 log 7 1 0.
Использованы формулы:   logс b
logс a
loga b ;
logа b logа c logа bc ;
logа 1 0.
Задания открытого банка задач
log 0 ,8 3 log 3 1,25.
17. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
5
log 0 ,8 3 log 3 1,25 log 3 3 log 0 ,8 1,25 1 log 4 1.
5 4
Использованы формулы:   logа b logd c logd b loga c ;
logа a 1;
1
logа 1.
a
Задания открытого банка задач
log
49
5 25 .
18. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
log 25 49
5
log
5
52
72
5
2
log 5 7
2
log 5 7
5
7.
n
Использованы формулы:   logak b loga b ;
k
n
a loga b b.
log 27 49.
19. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
log
2
49 log
7
2
7
7
4
log
Использована формула:  
7
7
4 2
42 16.
loga a n n .
Задания открытого банка задач
3 log 2
5
5
.
20. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
5
3 log 5 2
log 5 2
5 5
3
125 2 250.
Использованы формулы:  
a m n a m a n ;
a loga b b.
2 log8 3
8
.
21. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
8
2 log8 3
log8 32
8
32 9.
n
Использованы формулы:   n loga b loga b ;
a loga b b.
Задания открытого банка задач
log 8 3
64
.
22. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
log 8 3
64
8
2 log 8 3
log 8 3
8
Использованы формулы:  
3
2
a
m n
2
a
3.
n m
;
a loga b b.
log 4 log 5 25.
23. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
1
2
log 4 log5 25 log 4 log5 5 log 4 2 log 2 2 0,5.
2
1
n
Использованы формулы:   loga a n ; loga k a .
k
2
Задания открытого банка задач
24
.
24. Найдите значение выражения                               
log 2
3
 
Решение. 
3
24
24
12.
log 3 2
2
3
Использована формула:   a
loga b
b.
log 1 13.
25. Найдите значение выражения                               
13
 
Решение. 
1
1
1
2
2
log 1 13 log13 13
0,5.
1
2
13
1
Использована формула:  
logak a n
n
.
k
Задания открытого банка задач
log 3 8,1 log 3 10.
26. Найдите значение выражения                               
 
Решение. 
log 3 8,1 log 3 10 log 3 8,1 10 log 3 81 log 3 34 4.
Использованы формулы:   logа b logа c logа bc ;
logа a n n .
log 6 13
.
27. Найдите значение выражения                               
log 6 13
 
Решение. 
1
log 6 13
1
log13 13 log13 13 2 0,5.
log 6 13
2
logc b
Использованы формулы:  
loga b ;
logc a
loga a n n .
Задания открытого банка задач
log ab
28. Найдите значение выражения                , если     
                           
log b a
Решение. 
1
.
7
3
a
log a ab 3 log a a log a b 3 1 3 log a b 1
3
log b a
3
1 1 21 22.
1
7
Использованы формулы:  
logа bc logа b logа c ;
n
logа b n logа b ;
1
loga b
.
logb a
Задания открытого банка задач
a
log
29. Найдите значение выражения              , если       
a
b3
                         
log b a 5.
Решение. 
a
3
3
log a 3 log a a log a b 1 3 log a b 1
b
logb a
3 2
1 0,4.
5 5
Использованы формулы:   logа
b
logа b logа c ;
c
n
logа b n logа b ;
logа a 1;
1
loga b
.
logb a
Задания открытого банка задач
log a b
30. Найдите значение выражения                 , если    
                             log a 2.
b
a
2
3
Решение. 
log a a 2b 3 log a a 2 log a b 3 2 3 log a b 2
3
log b a
3
2
2 1,5 0,5.
2
Использованы формулы:   logа bc logа b logа c ;
n
logа b n logа b ;
1
loga b
.
logb a
Задания открытого банка задач
log 2 3 log 3 2
3
.
31. Найдите значение выражения                 
Решение (1 способ). 
3
log 2 3 log 3 2
log 3 2 log 2 3
3
log 2 3
2
Использованы формулы:  
3.
a
m n
a
n m
;
a loga b b.
Решение (2 способ). 
3
log 2 3 log 3 2
log 3 2 log 2 3
3
log 2 2 log 3 3
3
Использованы формулы:   a m
n
31 3.
a mn ;
loga b logd c logd b loga c .
Используемые материалы
http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка 
заданий по математике 2013 года 

Найдите значение числового логарифмического выражения – как решать

Формулировка задачи: Найдите значение числового логарифмического выражения.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 5 (Вычисления и преобразования).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на логарифмы на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите значение выражения log_0,310 – log_0,33

Решение:

Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:

log_0,310 – log_0,33 = log_0,3(10/3)

Возведем 10/3 в степень -1, вынесем степень из под логарифма (логарифм степени):

log_0,3(10/3) = -log_0,3(3/10) = -1

Ответ: -1

Пример задачи 2:

Найдите значение выражения log₇13 / log₄₉13

Решение:

Преобразуем знаменатель: для этого вынесем степень основания из под логарифма:

log₄₉13 = log_(7)²13 = 1/2 ⋅ log₇13

Тогда значение выражения равно:

log₇13 / log₄₉13 = 2 ⋅ log₇13 / log₇13 = 2

Ответ: 2

Пример задачи 3:

Найдите значение выражения 9^log₅50 / 9^log₅2

Решение:

Преобразуем выражение:

9^log₅50 / 9^log₅2 = 9^{log₅50 – log₅2}

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:

log₅50 – log₅2 = log₅(50/2) = log₅25 = 2

Тогда значение выражения равно:

Ответ: 81

Пример задачи 4:

Найдите значение выражения 6log₇∛7

Решение:

Вынесем корень за пределы логарифма:

6log₇∛7 = 6 ⋅ 1/3 ⋅ log₇7 = 2

Ответ: 2

Пример задачи 5:

Найдите значение выражения log₃5 / log₃7 + log₇0,2

Решение:

Преобразуем частное с помощью формулы перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании:

Сумма логарифмов с одним основанием равна логарифму произведения:

log₇5 + log₇0,2 = log₇1 = 0

Ответ: 0

Пример задачи 6:

Найдите значение выражения log_0,83 ⋅ log₃1,25

Решение:

Преобразуем второй множитель и приведем его к тому же основанию:

log₃1,25 = log₃(5/4) = -log₃(4/5) = -log₃0,8 = -1 / log_0,83

И найдем значение выражения:

log_0,83 ⋅ log₃1,25 = -log_0,83 / log_0,83 = -1

Ответ: -1

Пример задачи 7:

Найдите значение выражения 5^log₂₅49

Решение:

Вынесем степень основания логарифма за его пределы:

Внесем ее обратно как логарифм корня:

1/2 ⋅ log₅49 = log₅(49)^1/2 = log₅7

И воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

Ответ: 7

Пример задачи 8:

Найдите значение выражения log₄(log₂16)

Решение:

Вычислим значение выражения в скобках:

Тогда значение выражения равно:

Ответ: 1

Пример задачи 9:

Найдите значение выражения log₄2 + log_0,258

Решение:

Найдем значения каждой части выражения и получим результат:

log₄2 =1/2 ⋅ log₂2 = 1/2 ⋅ 1 = 0,5

log_0,258 = log_1/48 = 1/2 ⋅ log_1/28 = 1/2 ⋅ log_1/22³ = 1/2 ⋅ (-3) = -1,5

Тогда значение выражения равно:

log₄2 + log_0,258 = 0,5 – 1,5 = -1

Ответ: -1

Пример задачи 10:

Найдите значение выражения 2^{log₂6 – 3}

Решение:

Разложим число на множители:

2^{log₂6 – 3} = 2^log₂6 ⋅ 2^–3

Применим основное логарифмическое тождество к первому множителю и выполним оставшиеся вычисления:

2^log₂6 ⋅ 2^-3 = 6 ⋅ 1/8 = 0,75

Ответ: 0,75

Пример задачи 11:

Найдите значение выражения 7^–2log₇2

Решение:

Вынесем множитель перед логарифмом в степень, чтобы избавиться от него:

–2log₇2 = log₇2^–2 = log₇0,25

И применим основное логарифмическое тождество:

7^–2log₇2 = 7^log₇0,25 = 0,25

Ответ: 0,25

Пример задачи 12:

Найдите значение выражения (3^log₂3)^log₃2

Решение:

Если мы возведем число сначала в степень log₃2, а потом уже в степень log₂3, то сможем применить основное логарифмическое тождество:

(3^log₂3)^log₃2 = (3^log₃2)^log₂3 = 2^log₂3 = 3

Ответ: 3

Пример задачи 13:

Найдите значение выражения (1 – log₂12) ⋅ (1 – log₆12)

Решение:

Преобразуем логарифмы:

log₂12 = log₂(2 ⋅ 6) = log₂2 + log₂6 = 1 + log₂6

log₆12 = log₆(2 ⋅ 6) = log₆2 + log₆6 = log₆2 + 1

Подставим полученные значения в выражение:

(1 – (1 + log₂6)) ⋅ (1 – (log₆2 + 1)) = (1 – 1 – log₂6) ⋅ (1 – log₆2 – 1) = – log₂6 ⋅ (– log₆2) = log₂6 ⋅ log₆2

Преобразуем второй множитель, чтобы логарифмы имели одинаковые основания, и выполним остальные действия:

log₂6 ⋅ log₆2 = log₂6 ⋅ 1/log₂6 = 1

Ответ: 1

Пример задачи 14:

Найдите значение выражения log₃18 / (2 + log₃2)

Решение:

Преобразуем 2 в знаменателе в логарифм с основанием 3 (возведем 3 в степень 2 и получим число под логарифмом):

Сумма логарифмов с одним основанием в знаменателе равна логарифму произведения:

2 + log₃2 = log₃9 + log₃2 = log₃(9 ⋅ 2) = log₃18

Осталось сократить числитель и знаменатель:

Ответ: 1

ЕГЭ по математике. В 7. Логарифмические выражения.

1. Найдите значение выражения log₇ 28 – log₇ 4 = log₇ (28: 4) = log ₇ 7 = 1

2. Найдите значение выражения log₅₃ 2 + log₅₃ 3 +log₅₃ 7= log₅₃ 42

3. Найдите значение выражения log₂₃ ²/₃ + log₂₃ 6 – log₂₃4 = log₂₃ 1 = 0.

4. Найдите значение выражения log₃ 90 – log₃ 2 – log₃5 = log₃ 9 = 2.

5. Найдите значение выражения 2log₇₂ 3 + 3log₇₂ 2 = log₇₂ 9 + log₇₂ 8 =log₇₂ 72 = 1.

6. Найдите значение выражения ^?log_?21 9 + log ₂₁ 49 = log₂₁ 9 + log ₂₁ 49 =  log₂₁ 9 + log ₂₁ 49  = log₂₁ 441 = 2

7. Найдите значение выражения log₆5 •log₅8 + log₆27 = log₅ 8 / log₅ 6 + log₆ 27 = log₆8 + log₆ 27 = log₆ 216 = 3.

8. Найдите значение выражения 4log₇ 2 / log₇ 80 + log₈₀ 5 = 4log₈₀ 2 + log₈₀ 5 = log₈₀ 16+ log₈₀ 5= log₈₀ 80 = 1

9. Найдите значение выражения log₇(3³•7⁵) – 2 log₇ 3 – 5 = 3log₇3+ 5 – 2log₇3 -5 =log₇3.

10. Найдите значение выражения log₁₅ 5³ + log₁₅3⁴ + log₁₅ 5⁶3⁵= log₁₅ 5³ + log₁₅3⁴ + log₁₅ 5⁶ + log₁₅3⁵ =  log₁₅ 5³5⁶ + log₁₅3⁴3⁵ = log₁₅ 5⁹ + log₁₅ 3⁹ = 9(log₁₅5 + log₁₅3) = 9.

11. Найдите значение выражения  log₅ ?7 + 2log₂₅ ?7 = log₅ ?7 + log₅ ?7 = log₅ 7

12. Найдите значение выражения ^?log₂48 – log₄3 = log₂?48 – log₂?3 = log₂?16 = log₂4 = 2.

13. Найдите значение выражения log₁₀₅12 + log₁₀₅5 +log₁₀₅7 – log₁₀₅4 = log₁₀₅105 = 1.

14. Найдите значение выражения2^log₁₇^375•log₅^{17 –log}₅³ = 2^log₁₇^{375 / log}₁₇^{5 –log}₅³ = 2 ^log₅^{375 –log}₅³ = 2 ^log₅¹²⁵ = 2³ =8 .

15. Найдите значение выражен ( log₃28 • log₁₅₄3 + log₁₇11 •log₁₅₄17 – log₅2 • log₁₅₄5 )² + 7 = (log₁₅₄ 28 + log₁₅₄ 11– log₁₅₄ 2)² + 7 = log₁₅₄² 154 + 7 = 8.

16. Найдите значение выражения (lg900-2lg3)(ln49•log₇e + 1) = (lg 900 – lg 9)((ln 49 / ln 7) + 1) = lg100 (log₇ 49 + 1) = 2 ^. 3 = 6.

Десятичный логарифм

Навигация по странице:

Определение. Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтоб получить число b.

Определение. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10^x = b.

Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x.

Калькулятор десятичных логарифмов

lg 2

Свойства десятичного логарифмов

Для любых x > 0 и y > 0 выполняются следующие свойства десятичных логарифмов.

1. lg x = log₁₀x — так как основание десятичного логарифма равно 10.

2. 10^{lg b} = b.

3. lg 1 = 0

4. lg 10 = 1

5. lg 10ⁿ = n

6. lg(x · y) = lg x + lg y

7. lg xy = lg x — lg y

8. lg xⁿ = n lg x

9. График функции y = lg x
   

10. (lg x)′ = 1x ln 10

11. ∫	lg x dx = x lg x — xln 10 + C

Пример 1. Найти значения десятичного логарифма от чисел 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001.

lg 100 = lg 10² = 2

lg 1000 = lg 10³ = 3

lg 0.1 = lg 10^-1 = -1

lg 0.01 = lg 10^-2 = -2

lg 0.001 = lg 10^-3 = -3

Пример 2.

Доказать равенство: a ^{lg b} = b ^{lg a}.

Запишем очевидное равенство:

lg b · lg a = lg a · lg ab

Возведем 10 в соответствующие степени

10^{lg b · lg a} = 10^{lg a · lg b}

(10^{lg b})^{lg a} = (10^{lg a})^{lg b}

b^{lg a} = a^{lg b}

Равенство доказано.

Пример 3.

Зная, что lg 2 = a, lg 3 = b, lg 5 = c, выразить lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Используем формулы логарифма произведения и степени получим:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c;

lg 16 = lg 2⁴= 4 · lg 2 = 4a.

Пример 4.

Вычислить log₉ 5 · log₂₅ 27.

Перейдем к основе 10:

log₉ 5 · log₂₅ 27 = lg 5lg 9 · lg 27lg 25

Используем свойство логарифма степени lg xⁿ = n lg x:

lg 5lg 9 · lg 27lg 25 = lg 5lg 3² · lg 3³lg 5² = lg 52 lg 3 · 3 lg 32 lg 5 = 34

Пример 5.

Вычислить log₃₀ 8, если lg 5 = a, lg 3 = b.

Перейдем к основе 10:

log ₃₀ 8 = lg 8lg 30 = lg 2³lg (3 · 10) =

Используем свойство логарифма степени, произведения, частного и то что 2= 105:

= 3 lg 2lg 3 + lg 10 = 3 lg 2lg 3 + 1 = 3 lg 105lg 3 + 1 = 3(lg 10 — lg 5)lg 3 + 1 = 3(1 — lg 5)lg 3 + 1 =

Подставим lg 5 = a, lg 3 = b:

= 3(1 — a)b + 1

Ответ:

log₃₀ 8 = 3(1 — a)b + 1

Калькулятор логарифма базы 2

Добро пожаловать в калькулятор базы логарифма компании Omni . Ваш любимый инструмент для вычисления значения log₂ (x) для произвольных (положительных) x . Операция представляет собой частный случай логарифма, т.е. когда основание журнала равно 2 . Поэтому мы иногда называли его двоичным логарифмом .

Так что же такое, например, журнал с базой 2 из 8 ? Или log₂ 16 ? Или log₂ 32 ? Что ж, давайте сразу перейдем к статье и узнаем!

Что такое логарифм?

Как только человечество научилось складывать числа, оно нашло способ упростить запись для , добавив одно и то же число несколько раз: умножение.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 * 5

Тогда возник очевидный вопрос: как мы могли написать , умножая одно и то же число несколько раз? И снова пришел какой-то умный математик, который ввел экспоненты.

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 5⁸

Однако всегда есть один любопытный человек, который задает самые дикие вопросы. В этом случае они задавались вопросом, есть ли способ инвертировать все эти операции .К счастью для нас, математики и всего мира науки, другие любопытные люди нашли ответ.

Для сложения это было просто: обратная операция — , вычитание . Для умножения все еще довольно просто: это деление. Однако для экспонентов история усложняется . В конце концов, мы знаем, что 5 + 8 = 8 + 5 и 5 * 8 = 8 * 5 , но 5⁸ сильно отличается от 8⁵ . Так что же должна дать обратная операция? Если у нас есть 5⁸ , должно ли оно вернуть 5 или 8 ?

Логарифм (по основанию 5 ) был бы операцией, если бы мы выбрали вариант 8 .Другими словами, это функция , которая сообщает вам показатель степени, необходимый для получения значения . Символически мы можем записать определение так:

Для сравнения обратная операция, которая вернет 5 из 5⁸ , будет просто корнем ( 8 -й).Если бы мы хотели получить немного более технический , то мы могли бы сказать, что, в общем, если бы у нас было выражение xʸ , то корень — это обратная операция для x , а логарифм — это для y. . И если бы мы хотели получить еще более технический , мы бы сказали, что первая инвертирует полиномиальную функцию, а вторая — экспоненциальную.

Прежде чем мы двинемся дальше, давайте составим список из , содержащий несколько важных сведений о нашем новом друге, логарифмической функции .

• Есть два очень частных случая логарифма , которые имеют уникальную запись: натуральный логарифм и логарифм с основанием 10 . Обозначим их ln (x) и log (x) (второй просто без малого 10 ), а их основаниями являются, соответственно, число Эйлера e и (сюрприз, сюрприз!) номер 10 .
• Функция логарифма определена только для положительных чисел. Другими словами, всякий раз, когда мы пишем logₐ (b) , нам требуется, чтобы b было положительным.
• Независимо от основания, логарифм 1 равен 0 . В конце концов, что бы мы ни возводили в степень 0 , мы получаем 1 .
• Логарифмы чрезвычайно важны. И мы имеем в виду ЧРЕЗВЫЧАЙНО важных. Вне математики они используются в статистике (например, логнормальное распределение), экономике (например, логнормальное распределение).g., индекс ВВП), , медицина, (например, индекс QUICKI) и , химия, (например, распад периода полураспада). Кроме того, довольно несколько физических единиц основаны на логарифмах, например, шкала Рихтера, шкала pH и шкала дБ.

Сегодня мы сосредоточимся на , очень частном случае логарифма , то есть на базе 2 , которую мы иногда называем двоичным логарифмом . По сути, мы сосредоточимся на использовании степеней 2 и… Ну, если подумать, почему бы нам не посвятить этому целый раздел?

Двоичный логарифм

Как упоминалось в конце предыдущего раздела, двоичный логарифм является частным случаем логарифмической функции с основанием 2 . Это означает, что у нас будут выражения вида log₂ (x) , и мы спросим себя, до какой степени мы должны возвести 2 , чтобы получить x . Например, мы легко можем заметить, что log₂ 4 = 2 .

По-видимому, 2 — это , такое же число, как и любой другой . Однако у него есть некоторые интересные свойства. Например, это наименьшее простое число и единственное четное число. Более того, это база для любых компьютерных операций через двоичное представление.

Поскольку это так важно, давайте вспомним несколько основных степеней 2 . Помните, что показатель степени также может быть 0 или даже отрицательным.

Теперь мы можем увидеть , еще несколько примеров , чем просто log₂ 4 = 2 сверху.Например, можно сказать, что журнал с базой 2 из 8 равен 3 . Аналогично, log₂ 16 = 3 или log₂ 32 = 5 .

Но что такое, скажем, log₂ 5 ? Конечно, 5 не является степенью 2 .

Если быть точным, это не целая степень 2 . Мы должны помнить, что есть также дробные показатели, и здесь нам действительно нужен один из них.К сожалению, не так-то просто угадать . В некоторых случаях мы можем попробовать использовать такие приемы, как изменение базовой формулы, но в целом лучше использовать внешний инструмент — что-то вроде нашего калькулятора log base 2 .

В нем вы можете увидеть двух переменных окна : x и log₂ (x) . Будем надеяться, что эти обозначения не требуют пояснений. Например, если вы хотите найти log₂ 16 , вам нужно ввести 16 под x , и калькулятор даст вам ответ в другом окне.Если вам требуется log₂ 32 , введите 32 . Также обратите внимание на то, как калькулятор Omni с основанием 2 работает в обоих направлениях : вы можете либо ввести значение x и получить log₂ (x) , либо наоборот.

Этого хватит на сегодняшний урок. Иди, мой юный падаван, и не забудь поиграть с калькулятором или любым другим инструментом, связанным с алгеброй, который у нас есть в продаже.

1.11a. Логарифмические функции и их свойства

Поскольку нам понадобятся логарифмы в этих модулях, я сохранил эти функции до сих пор.

Ожидается, что популяция из 50 мух будет удваиваться каждую неделю, что приведет к функции вида
f ( x ) = 50 (2) ^x , где x представляет количество недель, в течение которых прошли. Когда это население достигнет 500? Попытка решить эту проблему приводит к 500 = 50 (2) ^x

Разделив обе стороны на 50, чтобы изолировать экспоненциальные отведения, получим 10 = 2 ^x

Хотя мы создали экспоненциальные модели и использовали их для прогнозов, вы, возможно, заметили, что решение экспоненциальных уравнений еще не упоминалось.Причина проста: ни один из рассмотренных до сих пор алгебраических инструментов не достаточен для решения экспоненциальных уравнений. Рассмотрим уравнение 2 ^x = 10 выше. Мы знаем, что 2 ³ = 8 и 2 ⁴ = 16, поэтому ясно, что x должно быть некоторым значением от 3 до 4, поскольку g ( x ) = 2 ^x — это увеличивается. Мы могли бы использовать технологию для создания таблицы значений или графика, чтобы лучше оценить решение.

Судя по графику, мы могли бы лучше оценить решение как около 3.3. Этот результат все еще довольно неудовлетворителен, и, поскольку экспоненциальная функция взаимно однозначна, было бы здорово иметь обратную функцию. Ни одна из функций, которые мы уже обсуждали, не может служить обратной функцией, поэтому мы должны ввести новую функцию с именем
log как обратную функцию экспоненциальной. Поскольку экспоненциальные функции имеют разное основание, мы также определим соответствующие логарифмы с разным основанием.

Логарифм

Функция логарифма (основание b ), записанный журнал _b ( x ), является обратной экспоненциальной функции (основание b ), b ^x .{{{{log} _ {{b}} {x}}}} = {x} [/ latex]

Вспомните также из определения обратной функции, что если
f ( a ) = c , то f ^–1 ( c ) = a . Применяя это к экспоненциальной и логарифмической функциям:

Логарифм, эквивалентный экспоненте

Оператор
b ^a = c эквивалентен журналу операторов _b ( c ) = a .

В качестве альтернативы, мы могли бы показать это, начав с экспоненциальной функции
c = b ^a , затем взяв логарифмическую основу b с обеих сторон, получив log _b ( c ) = журнал _b b ^a . Используя обратное свойство журналов, мы видим, что log _b ( c ) = a .

Поскольку журнал является функцией, его наиболее правильно записать как журнал
_b ( c ), используя круглые скобки для обозначения оценки функции, как в случае с f (c) .{1/2} = \ sqrt {6}} [/ латекс]

Попробовать 1

Запишите экспоненциальное уравнение 4 ² = 16 в виде логарифмического уравнения.

Установив связь между экспоненциальными и логарифмическими функциями, теперь мы можем решать основные логарифмические и экспоненциальные уравнения путем переписывания.

Пример 3

Журнал решения ₄ ( x ) = 2 для x .

Переписав это выражение в экспоненту,

4 ² = x , поэтому x = 16

Пример 4

Решить

2 ^x = 10 для x .

Переписав это выражение в виде логарифма, мы получим
x = log ₂ (10)

Хотя это действительно определяет решение, и к тому же точное решение, вы можете найти его несколько неудовлетворительным, поскольку трудно сравнить это выражение с десятичной оценкой, которую мы сделали ранее.Кроме того, предоставление точного выражения для решения не всегда полезно — часто нам действительно нужно десятичное приближение к решению. К счастью, это задача калькуляторов и компьютеров. К несчастью для нас, большинство калькуляторов и компьютеров оценивают только логарифмы двух оснований. К счастью, это не проблема, как мы вскоре увидим.

Обычный и натуральный логарифмы

Общий журнал
— это логарифм с основанием 10, обычно записываемый в журнал ( x ).

Натуральный логарифм
— это логарифм с основанием e , обычно записывается как ln ( x ).

Пример 5

Оцените журнал (1000), используя определение общего журнала.

Чтобы оценить log (1000), мы можем сказать
x = log (1000), а затем переписать его в экспоненциальную форму, используя общий логарифм, равный 10.

10 ^x = 1000

Из этого мы можем понять, что 1000 — это куб 10, поэтому
x = 3.{1/2}}}}} [/ latex] = 1/2

Пример 7

Оцените журнал (500) с помощью калькулятора или компьютера.

Используя компьютер, мы можем оценить log (500) ≈ 2,69897

Чтобы использовать функции общего или натурального логарифма для вычисления таких выражений, как log ₂ (10), нам необходимо установить некоторые дополнительные свойства.

Свойства бревен: экспоненциальное свойство

журнал _b ( A ^r ) = r журнал _b ( A )

Чтобы показать, почему это так, мы предлагаем доказательство.{{r}})}} = {r} {{log} _ {{b}} {A}} [/ latex]

Пример 8

Перепишите журнал ₃ (25), используя свойство экспоненты для журналов.

Поскольку 25 = 5 ² , журнал ₃ (25) = журнал ₃ (5 ² ) = 2log ₃ 5

Пример 9

Перепишите 4ln ( x ), используя свойство экспоненты для журналов. {{2}}}})}}} [/ latex].

Свойство экспоненты позволяет найти способ изменения основания логарифмического выражения.

Свойства журналов: изменение базы

[латекс] \ displaystyle {{log} _ {{b}} {({A})}} = \ frac {{{{log} _ {{c}} {({A})}}}} { {{{log} _ {{c}} {({b})}}}} [/ latex]

Проба

Пусть log _b ( A ) = x . Преобразование в экспоненту дает b ^x = A . Взяв за основу логарифм c обеих частей этого уравнения, получаем log _c b ^x = log _c A .

Теперь используем свойство экспоненты для журналов слева,
x log _c b = log _c A

Делим, получаем

[латекс] \ displaystyle {x} = \ frac {{{{log} _ {{c}} {A}}}} {{{{log} _ {{c}} {b}}}} [/ латекс]

С этим изменением базовой формулы мы наконец можем найти хорошее десятичное приближение к нашему вопросу с начала раздела.

Пример 10

Оцените журнал ₂ (10), используя изменение базовой формулы.

Согласно формуле изменения базы, мы можем переписать логарифм по основанию 2 как логарифм любого другого основания. Поскольку наши калькуляторы могут вычислять натуральный логарифм, мы можем использовать натуральный логарифм, который является логарифмической базой
e :

[латекс] \ displaystyle {{log} _ {{{2}}} {10}} = \ frac {{{{log} _ {{e}} {10}}}} {{{{log} _ {{e}} {2}}}} = \ frac {{{ln {{10}}}}} {{{ln {{2}}}}} [/ латекс]

Используя наши калькуляторы, чтобы оценить это,

[латекс] \ displaystyle \ frac {{{ln {{10}}}}} {{{ln {{2}}}}} {≈} {3.3219} [/ латекс]

Это, наконец, позволяет нам ответить на наш первоначальный вопрос — популяция мух, которую мы обсуждали в начале раздела, вырастет за 3,32 недели до 500.

Пример 11

Оцените журнал ₅ (100), используя изменение базовой формулы.

Мы можем переписать это выражение, используя любую другую основу. Если наши калькуляторы умеют вычислять десятичный логарифм, мы могли бы переписать его, используя общий журнал с основанием 10.

[латекс] \ displaystyle {{log} _ {{5}} {({100})}} = \ frac {{{{log} _ {{{10}}} {100}}}} {{{ {log} _ {{{10}}} {5}}}} {≈} {2.861} [/ латекс]

Хотя мы смогли решить основное экспоненциальное уравнение 2 ^x = 10, переписав его в логарифмической форме, а затем используя изменение базовой формулы для вычисления логарифма, доказательство изменения базовой формулы освещает альтернативный подход к решение экспоненциальных уравнений.

• Логарифмическая функция как обратная экспоненциальной функции
• Написание логарифмических и экспоненциальных выражений
• Свойства журналов
• Общий журнал
• Натуральное бревно

Попробовать сейчас Ответы

Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции», под лицензией CC BY-SA 3.0 лицензия.

В предыдущем разделе мы вывели два важных свойства логарифмов, которые позволили нам решить некоторые основные экспоненциальные и логарифмические уравнения.

Свойства бревен

Обратные свойства :

Экспоненциальное свойство :

Изменение базы :

Хотя эти свойства позволяют нам решать большое количество задач, их недостаточно для решения всех задач, связанных с экспоненциальными и логарифмическими уравнениями.

Свойства бревен

Сумма бревен Свойство :

Разница между бревнами и собственностью :

Так же важно знать, каким логарифмам свойств удовлетворяют
, а не , как и запоминать допустимые свойства, перечисленные выше. В частности, логарифм не является линейной функцией, что означает, что он не распределяет: log ( A + B ) ≠ log ( A ) + log ( B ).

Чтобы помочь в этом процессе, мы предлагаем доказательство, которое поможет укрепить наши новые правила и показать, как они вытекают из свойств, которые вы уже видели.

Пусть
a = log _b ( A ) и c = log _b ( C ), поэтому по определению логарифма b ^a = A и b ^c = C

Используя эти выражения,
AC = b ^a b ^c

Используя правила экспоненты справа,
AC = b ^{a + c}

Взяв бревно с обеих сторон и используя обратное свойство бревен, лог
_b ( AC ) log _b ( b ^{a + c} ) = a + c

Замена
a и c на их определение создает журнал результатов _b ( AC ) = log _b A + log _b C

Доказательство свойства различия очень похоже.

С помощью этих свойств мы можем переписать выражения, включающие несколько журналов, в один журнал или разбить выражение, включающее один журнал, на выражения, содержащие несколько журналов.

Пример 1

Записать журнал ₃ (5) + журнал ₃ (8) — журнал ₃ (2) как один логарифм.

Используя свойство суммы журналов на первых двух членах, log
₃ (5) + log ₃ (8) = log ₃ (5 × 8) = log ₃ (40)

Это сокращает наше исходное выражение до log ₃ (40) — log ₃ (2)

Затем, используя свойство разницы журналов,

Пример 2

Вычислите 2log (5) + log (4) без калькулятора, сначала переписав его как единственный логарифм.

Для первого члена мы можем использовать свойство экспоненты журналов, чтобы записать 2log (5) = log (5 ² ) = log (25)

С выражением, сокращенным до суммы двух журналов, log (25) + log (4), мы можем использовать сумму свойств журналов log (25) + log (4) = log (4 × 25) = log (100 )

Поскольку 100 = 10 ² , мы можем оценить этот журнал без калькулятора: log (100) = log (10 ² ) = 2

Попробовать 1

Без калькулятора оцените, сначала переписав его как единственный логарифм: log ₂ (8) + log ₂ (4)

Пример 3

Записываем
как сумму или разность бревен

.

Во-первых, заметив, что у нас есть частное двух выражений, мы можем использовать свойство разницы журналов для записи

Затем, увидев произведение в первом члене, мы используем свойство суммы

ln ( x ⁴ y ) — ln (7) = ln ( x ⁴ ) + ln ( y ) — ln (7)

Наконец, мы могли бы использовать свойство экспоненты для первого члена

ln ( x ⁴ ) + ln ( y ) — ln (7) = 4ln ( x ) + ln ( y ) — ln (7)

Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «
Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции», под лицензией CC BY-SA 3.0 лицензия.

Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений

Мы уже видели, что каждое логарифмическое уравнение
log _b ( x ) = y эквивалентно экспоненциальному уравнению b ^y = x . {{3}} = {6} {x} — {10} [/ latex] Рассчитать 2
³ [латекс] \ displaystyle {8} = {6} {x} — {10} [/ latex] Прибавить 10 к обеим сторонам [латекс] \ displaystyle {18} = {6} {x} [/ latex] Разделить на 6 [латекс] \ displaystyle {x} = {3} [/ latex]

Для любого алгебраического выражения
S и действительных чисел b и c , где b > 0, b ≠ 1,
log
_b ( S ) = c c тогда и только тогда, когда b ^c = S

Пример 1

Использование алгебры для решения логарифмического уравнения

1. Решить [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{x}}} + {3} = {7} [/ latex]
   1. Вычтите 3:
      [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{x}}} = {4} [/ latex]
   2. Разделить на 2:
      [латекс] \ displaystyle {ln {{x}}} = {2} [/ latex]
   3. Записываем в экспоненциальной форме:
      [latex] \ displaystyle {x} = {e} ^ {{2}} [/ latex]
2. Решить [латекс] \ displaystyle {6} + {ln {{x}}} = {10} [/ latex]

Использование алгебры до и после использования определения натурального логарифма

1. Решить [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{({6} {x})}}} = {7} [/ latex]
   1. Разделить на 2:
      [латекс] \ displaystyle {ln {{({6} {x})}}} = \ frac {{7}} {{2}} [/ latex]
   2. Используйте определение ln:
      [латекс] \ displaystyle {6} {x} = {e} ^ {{{(\ frac {{7}} {{2}})}}} [/ latex]
   3. Разделить на 6:
      [латекс] \ displaystyle {x} = \ frac {{1}} {{6}} {e} ^ {{{(\ frac {{7}} {{2}})}} } [/ латекс]
2. Решите [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{({x} + {1})}}} = {10} [/ latex]
3. Используя график, чтобы понять решение логарифмического уравнения, решите [latex] \ displaystyle {ln {{x}}} = {3} [/ latex] Графики y = ln x и y = 3 крестик в точке ( e ³ , 3), что приблизительно равно (20.0855, 3).
4. Используйте графический калькулятор, чтобы оценить приблизительное решение логарифмического уравнения 2 ^x = 1000, решите с точностью до 2 десятичных знаков.
   x ≈ 9,97

Как и в случае с экспоненциальными уравнениями, мы можем использовать свойство однозначности для решения логарифмических уравнений. Однозначное свойство логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел
x > 0, S > 0, T > 0 и любого положительного действительного числа b , где b ≠ 1,

журнал _b S = журнал _b T тогда и только тогда, когда S = T

Например,

Если журнал ₂ ( x — 1) = log ₂ (8), то x — 1 = 8.

Итак, если
x — 1 = 8,
, тогда мы можем решить для
x , и мы получим x = 9. Чтобы проверить, мы можем заменить x = 9 в исходное уравнение: log ₂ (9 — 1) = log ₂ (8) = 3. Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Следовательно, когда дано уравнение с журналами с одинаковым основанием на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать каждую сторону как единый логарифм.Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции взаимно однозначны, чтобы установить аргументы, равные друг другу, и найти неизвестное.

Например, рассмотрим уравнение
[латекс] \ displaystyle {log {{({3} {x} — {2})}}} — {log {{({2})}}} = {log {{ ({x} + {4})}}} [/ латекс]. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать левую часть как единый логарифм, а затем применить свойство «один к одному», чтобы найти
[латекс] \ displaystyle {log {{({3} { x} — {2})}}} — {log {{({2})}}} = {log {{({x} + {4})}}} [/ latex]

Чтобы проверить результат, замените
на

[латекс] \ displaystyle {журнал {{({3} {({10})} — {2})}}} — {журнал {{({2})}}} = {журнал {{({( {10})} + {4})}}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {log {{({28})}}} — {log {{({2})}}} = {log {{({14})}}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {журнал {{(\ frac {{28}} {{2}})}}} = {журнал {{({14})}}} [/ латекс]

Решение проверяет.

Использование однозначного свойства логарифмов для решения логарифмических уравнений

Для любых алгебраических выражений
S и T и любого положительного действительного числа b , где b ≠ 1, log _b S = log _b T тогда и только тогда, когда S = т

Обратите внимание: при решении уравнения, включающего логарифмы, всегда проверяйте, правильный ли ответ или является ли это посторонним решением. {{2}} — {2} {x} — {3} = {0} [/ latex]

 журнал  2  (8) = 3 (лог по основанию 2 из 8)
Экспонента равна 2  3  = 8
 

 журнал  b  (x · y) = журнал  b  (x) + журнал  b  (y)
журнал  2  (5 · 7) = журнал  2  (5) + журнал  2  (7) 

 журнал  b  (x / y) = журнал  b  (x) - журнал  b  (y)
журнал  2  (5/7) = журнал  2  (5) - журнал  2  (7) 

 журнал  b  (x  y ) = y · журнал  b  (x)
журнал  2  (5  7 ) = 7 · журнал  2  (5) 

 журнал  b  (x) = (журнал  k  (x)) / (журнал  k  (b))