4dv=2. $$

Объём цилиндроида.

Объём цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью $z=f(x, y)\geq 0,$ снизу плоскостью $z=0$ и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из плоскости $O_{xy}$ квадрируемую область $\Omega$ равен $$V=\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy.$$ 

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Рассмотрим примеры вычисления площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Пример №31.1.

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области

равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования , будем использовать формулу: .

В нашем случае областью интегрирования

является фигура, ограниченная линиями Вычислим .

Для этого построим область интегрирования

в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Линии, задаваемые уравнениями

, — прямые, параллельные оси и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением — гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу можно получить из гиперболы с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.

Описание линий, задающих область интегрирования

, позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.

Изображенная на рис. 31.1 область интегрирования

является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае

. Следовательно, .

Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге,

. Следовательно, .

Ответ:

.

Пример №31.2.

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

и .

Решение:

Плоскую фигуру, ограниченную линиями

и , обозначим . В силу геометрического смысла двойного интеграла от единичной функции, для нахождения площади плоской фигуры будем использовать формулу: .

Вычислим

. Для этого построим фигуру (рис. 31.2), представляющую собой область интегрирования, в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Линия, задаваемая уравнением

— парабола, «ветви» которой направлены вниз. Построим ее с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат графика функции на 3 единицы вверх. Линия, задаваемая уравнением — прямая. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

Построим эту прямую по двум точкам:

Изображенная на рис. 31.2. область интегрирования

является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае

. Найдем и как абсциссы точек пересечения линий и . Для этого решим уравнение . Корни приведенного квадратного уравнения найдем по теореме, обратной теореме Виета: или . Следовательно, . Таким образом, . Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге,

. Следовательно, .

Ответ:

.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Двойной интеграл. Пределы интегрирования

Двойные интегралы используют в математике, механике, физике. С его помощью можно решить огромное количество непростых задач. Ниже приведено 10 примеров на двойные и тройные интегралы, которые в значительной степени облегчат подготовку к контрольной работе или экзамену. Примеры взяты из индивидуальной работы по высшей математики.

ВАРИАНТ — 12

Двойной интеграл

ЗАДАНИЕ 1.18 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Сначала записываем область интегрирования, которая ограничена границами

где y=2/x — гипербола.
y=-x²-4x-3 — парабола с вершиной в точке S (-2;1), ветками вниз.
Чтобы знать, как расставить пределы интегрирования при изменении порядка интегрирования изобразим область интегрирования на плоскости
Выражаем полученные функции через переменную y: 
y=2/x, отсюда x=2/y; y=-x²-4x-3, отсюда , перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x=-2) части полуплоскости.
Из рисунка видим, что при изменении порядка интегрирования область необходимо разделить на три части: D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:

Изменяем порядок интегрирования функции
Как видите ничего сложного нет, главное представлять график функции и иметь точки их пересечения — пределы интегрирования.

ЗАДАНИЕ 2.19 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : y=2^x, y=5, 2x-2y+3=0.
Решение: Прежде всего выполняем построение всех кривых, чтобы видеть как будут изменяться пределы интегрирования
Дальше найдем точки пересечения графиков заданных функций :
1 и 2

отсюда

Дальше точки пересечения 2 и 3 функций

отсюда

Напоследок пересечение 1 и 3 ф-й

отсюда

Заданную область будем разбивать на две области: D=D₁+D₂.
Расставим пределы для каждой из областей:

Через двойной интеграл находим площадь фигуры которая  ограничена заданными кривыми, :
Функции не тяжелые для интегрирования, поэтому в предпоследнем выражении подставьте пределы самостоятельно.
При округлении площадь криволинейной трапеции равна 2,037 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 3.20 Найти двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями: D: y=x²-1, y=3.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций: y=x²-1 и y=3:
3=x²-1, x²-4=0, (x-2)(x+2)=0, x=-2; x=2.
Параболу и прямую изобразим графически
Расставим пределы интегрирования в заданной области D:

Вычислим двойной интеграл по области которая ограничена параболой и прямой:
Определенный интеграл равен I=224/15=14,9 (3).

ЗАДАНИЕ 4.21 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми

где y=R²— x², x²+y²=R²

Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом R (нижняя половина).
Используя замену переменных

перейдем к полярной системе координат (СК).
При этом подынтегральную функцию следует умножить на якобиан перехода, который находим через определитель из производных:

Перепишем подинтегральную функцию в полярной СК :

Пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат изменятся на следующие:

Вычислим двойной интеграл:
Он равен I=Pi/4*sin (R²).

ЗАДАНИЕ 5.22 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями: D: x³=3y, y²=3x.
Решение: Найдем точку пересечения двух графиков : x₁=0, y₁=0; x₂=3, y₂=3.
Графики кривой в декартовой системе координат имеет вид
Расставим пределы интегрирования в области D:

Найдем площадь криволинейной трапеции которая ограничена указанными линиями:
Площадь равна 3 единицы квадратные.

ЗАДАНИЕ 6.23 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x²+y²)³=4a²xy (x²-y²).
Решение: Сначала построим чотирёх лепесток

Перейдем к полярной системе координат:

Якобиан перехода из предыдущих примеров равен I=r.
Найдем пределы интегрирования в новой системе координат

Переменные приобретают значение:

Расставляем пределы интегрирования в двойном интеграле, таким образом найдем четверть площади плоской фигуры.
Дальше результат умножим на 4:
Площадь равна S=a² единиц квадратных.

Внимательно проанализируйте как определять пределы интегрирования. Это тяжелее всего, что может быть в подобных задачах.
Как вычислить определенный интеграл, как правило, должны знать все студенты. Здесь лишь расширяется его приложение.

Тройной интеграл

ЗАДАНИЕ 8.25 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями: V: x=2 y=3x, z=4 (x²+y²).
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Уравнение поверхности в пространстве z=4 (x²+y²) — эллиптический параболоид.
График параболоида и проекция в декартовую плоскость тела имеют вид
Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
Расставляем пределы интегрирования в соответствии с областью

ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы:

где V:
Решение: Выполним построение области интегрирования
Заданная область V является параллелепипедом, поэтому без трудностей расставляем пределы интегрирования и от внутреннего к внешнему находим интеграл

Вычисления не сложны, поэтому превращение в формуле проанализируйте самостоятельно.

ЗАДАНИЕ 10.7 Используя тройной интеграл, вычислить объем тела : где z=x², x — 2y+2=0, x+y=7 .
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Забегая наперёд, изобразим тело и его проекцию
Это поможет определить пределы интегрирования

С помощью тройного интеграла вычисляем объём тела, ограниченного поверхностями, :

Определенные интегралы не тяжелые, после их нахождений имеем объём 32 единицы кубические.

На этом расчетная работа по высшей математике решена.
Больше примеров на применение интеграла ищите на страницах сайта.
Если трудно решить контрольную работу или индивидуальное задание — обращайтесь за помощью!

Вычисление двойных и тройных интегралов

Правильно расставить пределы интегрирования в двойном и тройном интегралах не такое тяжелое задание, особенно если выполнено построение области интегрирования или имеете представление пространственного тела. Но в большинстве случаев — на практике, контрольной или экзамене студенты не имеют возможности качественно выполнить графический анализ, визуально проанализировать области, а еще большая проблема, что многие из них не владеют техникой изменения порядка интегрирования. В отдельных задачах такой подход позволяет возвести вычисление от интегрирования по 2 -3 областям к одной. В результате быстро удается найти площадь криволинейной трапеции (фигуры на плоскости) или объема тела. Для круговых, эллиптических и разных лепестковых фигур целесообразно выполнять переход к полярным координатам, а уже в них через несколько определенных интегралов найти площадь или объем. Детальный разбор готовых ответов к указанным примерам позволяет в быстрый срок выучить методику и лучше понимать теоретический материал на кратные интегралы. Все задания взяты из индивидуальной работы для студентов ЛНУ им. І. Франко, варианты хорошо подобраны и охватывают несколько тем из высшей математики.

ВАРИАНТ — 5

Вычисление двойных интегралов

ЗАДАНИЕ 1.23 Поменять порядок интегрирования в двойном интеграле:
Решение: Методика вычислений к подобным задачам заключается в следующем:
сначала выписываем область интегрирования из интеграла, которая ограничена кривыми

Дальше превращаем функции, чтобы найти их канонический вид.
Верхний предел y=2-x²/2 — парабола с вершиной в точке O(0;2) и ветками вниз.
Возводим к каноническому виду нижний предел интегрирования

Получили полуелипс с центром в точке S (0;0) и полуосями a=2, b=3.
Изобразим кривые в декартовой системе координат (СК)
Выражаем полученные функции через переменную y:
Из первой получим корневую зависимость , перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x) части плоскости;
Для эллипса будем иметь
При изменении порядка интегрирования область нужно разбить на две части: D=D₁+D₂.
Расставим пределы интегрирования в каждой половине:

Изменяем пределы в двойном интеграле

ЗАДАНИЕ 2.24 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями: y=x²-4x+3, y=x+1, y=-2x+5.
Решение: Задание достаточно творческое, ведь искомая фигура имеет следующий график. Но это забегая наперед
На практике Вы этого не знаете, потому начинаете анализ с поиска точек пересечения графиков заданных функций:
Сначала 1 и 2

отсюда

Дальше 2 и 3

отсюда

И напоследок 1 и 3

Координаты точек пересечения содержат корень, ето значит что преподаватель, который готовил задание особенно не старался, чтобы облегчить работу студентам и получить напоследок хороший ответ.
Заданную область можно разбивать на 2-4 части, все зависит от порядка интегрирования.
Мы же заданную область будем разбивать на две области:
D=D₁+D₂, как на рисунке.
Расставим пределы в каждой области:

С помощью двойного интегралу вычислим площадь фигуры, ограниченной параболой и линиями, :

Интегрировать не трудно, однако комментировать пределы во второй раз не будем.

ЗАДАНИЕ 3.25 Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
, D: x+y=1, y=x²— 1 .

Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций : y=1 — x и y=x²— 1:
1 — x=x²-1, x²+x-2=0, (x-1)(x+2)=0, x=1, y=0.
Изобразим область интегрирования в декартовой СК
Расставим пределы интегрирования при переходе от параболы к прямой:

Вычислим двойной интеграл заданной функции :
.
Получили отрицательный интеграл I=-1/6.

ЗАДАНИЕ 4.6 Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Сведем функции пределов интегрирования к каноническому виду

Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом корень из двух (нижняя половина).
Для перехода к полярной системе координат применяем замену переменных :

При этом подинтегральную функцию следует умножить на якобиан перехода:
Превратим подинтегральную функцию под полярные координаты:

Запишем пределы интегрирования в полярной системе координат :

Вычислим двойной интеграл в полярной СК:
Он равен 0, это значит, что подинтегральная функция непарная в заданной области. Это легко видеть из ее начальной записи.

ЗАДАНИЕ 5.7 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями:
D: y²=4x, x²=4y.

Решение: За инструкцией находим точку пересечения двух графиков
x₁=0, y₁=0; x₂=4; y₂=4.
Расставим пределы интегрирования в заданной области D:

Построим график фигуры за известными уравнение функций
Площадь фигуры находим за формулой:
Внутренний интеграл предусматривает подстановку пределов интегрирования и только во внешнем придется использовать формулы интегрирования.
Площадь фигуры ровна S=16/3 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 6.8 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры :

Решение: Уравнение rho=a (1 — cos (phi)) описывает кардиоиду в полярной системе координат.
График кардиоиды имеет вид
Поскольку заданная функция парная, то вычислим половину площади и результат умножим на 2.
Записываем пределы интегрирования для верхней половины фигуры :

Через двойной интеграл находим площадь кардиоиды :
Под интегралом пришлось использовать формулы понижения степени для квадрату косинуса.
Также, обратите внимание, что во всех примерах при нахождении интегралов в полярных координатах функция под интегралом должна содержать множителем якобиан перехода.

 Вычисление тройных интегралов

ЗАДАНИЕ 7.9 Найти объем тела, заданного поверхностями, что его ограничивают:
x²/9+y²/4+z²=1, x²+y²=2x, z=0

Решение: Первая поверхность x²/9+y²/4+z²=1 — эллипсоид с полуосями a=3, b=2, c=1.
Вторую сведем к каноническому виду x²+y²=2x, (x-1)²+y²=1² — коловий цилиндр вытянут вдоль оси Oz.
Запишем функции заданных поверхностей в той плоскости, где будем искать объем тела :

Построим трехмерную модель тела и его проекцию в декартовую плоскость

Объем тела, которое ограничено заданными поверхностями, найдем как разницу объемов полэллипсоида и полуцылидндра, который ограничен снизу плоскостью z=-1. При расстановке пределов интегрирования будем учитывать четность заданных функций и результат умножим на 2.
Сначала найдем объем тела, которое ограничено півеліпсоїдом.
Расставим пределы интегрирования в заданной области:

 через двойной интеграл найдем объем полэллипсоида
согласно рекомендаций, для упрощения вычислений перейдем к полярной системе координат (запишем формулы перехода и якобиан)
Найдем объем полцилиндра, который ограничен плоскостью z=-1.
Поверхность ограничена следующими пределами:

Подставляем их в формулу объема тела и рассчитываем
Конечный объем вычисляем как разницу между полуелипсом и полуцылиндром :

он равен V=3pi кубических единиц.

ЗАДАНИЕ 8.10 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями:

V: x=2, y=4x
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Уравнение поверхности в пространстве запишем из последнего условия: z=y²/4 — это параболический цилиндр.
Пересечение поверхностей в пространстве и проекция тела в декартовую плоскость изображено на рисунку ниже
Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
Записываем тройной интеграл с учетом найденных пределов

ЗАДАНИЕ 9.11 Вычислить тройные интегралы: , где V: .

Решение: Выполняем построение поверхностей интегрирования

Заданная область V является параллелепипедом, кроме этого подинтегральная функция задана в явном виде xy+2z.
Подставляем пределы в тройной интеграл и находим его значение

Формулы интегрирования для примера не тяжелые и его по силам найти всем.

ЗАДАНИЕ 10.12 Используя тройной интеграл, вычислить объем тела : где y=2x, y=3,
Нарисовать область интегрирования.

Решение: Сначала выполняем построение вспомогательного рисунка. Проекция тела на плоскость дает прямоугольный треугольник

Запишем пределы интегрирования, учитывая условие и выполненный рисунок :

Подставим пределы в тройной интеграл и найдем объем тела :

Само интегрирование расписано в деталях, потому проанализируйте расчеты из формулы.2=4y (двойной интеграл). Помогите

Как пишется 12 и 11 на английском языке?

решите пожалуйста !!!1!!1

решите пожалуйста быстрей

коли максу був 1 місяць, він мав довжину тіла 56см, і це 1\3 зросту його мами. Який зріст мами

Музей представляет собой 25 квадратных залов в форме квадрата 5×5, схему которого вы можете видеть на картинке ниже.
В каждом зале музея нужно повесит
…

ь табличку «Продолжение осмотра», которая указывает в один из чётырёх соседних залов. Направление осмотра будем обозначать одной из четырёх букв: «L» (влево), «R» (вправо), «U» (вверх), «D» (вниз), обозначающей, в какой из четырёх соседних залов можно пройти из данного зала.
Утром музей заполняется посетителями, но ввиду ограничений на численность в каждом зале первоначально располагается ровно один человек. После этого посетители музея начинают перемещаться в соседние залы в направлении стрелок.
Для того, чтобы посетители музея как можно больше приобщились к прекрасному, необходимо разместить таблички так, чтобы суммарное число залов, в которых побывает каждый посетитель, было как можно больше. Считается, что посетитель может побывать в каком-либо зале, если он может попасть в этот зал, перемещаясь по стрелкам. Вам необходимо придумать такое размещение табличек. При этом не следует беспокоиться о выходах из музея: если посетителю надоест блуждать по музею, он всегда сможет выйти из него, игнорируя таблички (но уже не осматривая залы).
В ответе запишите план музея — пять строк по пять символов в каждой. Каждый символ — направление обхода из соответствующего зала. Чем больше будет сумма осмотренных залов всеми посетителями музея, тем больше баллов вы получите (для каждого посетителя считается количество осмотренных им залов и берётся сумма по всем посетителям).
Пример записи ответа (не являющегося оптимальным) для музея размера 3×3:
UUD
LLR
RRD

решите пожалуйста !11!1!

в) Сколько будет стоить куртка, цена которой 6700 руб, если она будет продаваться со скидкой 5% ?г) Дневной план завода 800 деталей. Какой процент пла
…

на был сделан в первой половине дня, если было изготовлено 384 детали ? д) В спортивном клубе занимаются 200 человек. Из них 60 человек – футболисты . Сколько процентов от всего клуба занимаются футболом ? ​

памогите пажалуйста! .

З точки А проведено перпендикуляр АВ до прямої а. Два промені з початком А перетинають пряму а у точках С і D, причому AC=AD. Знайдіть кутCAB , кутAB
…

C і кутADB , якщо кутDAB дорівнює 10град. Пж помогите. ​

|-3,6+2,1|•|-4).А)-22,8; Б)6; В)-6; Г)22,8​

Двойные интегралы, примеры решений

Теория по двойным интегралам

Двойной интеграл от функции двух переменных по области G обозначается

Для вычисления двойного интеграла, его нужно свести к повторному интегралу. Возможны два случая. Пусть область интегрирования – элементарна относительно оси (рис. 1). Тогда двойной интеграл по области выражается через повторные по формуле:

Если же область интегрирования – элементарна относительно оси (рис. 2), то двойной интеграл по области выражается через повторные следующим образом:

При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Примеры

ПРИМЕР 3

ПРИМЕР 5

3.2: Площадь путем двойного интегрирования

В этом разделе мы научимся вычислять площадь ограниченной области, используя двойные интегралы, и используя эти вычисления, мы можем найти среднее значение функции двух переменных.

Области ограниченных областей на плоскости

Используя суммы Реймана, объем или поверхностная масса равняется сумме площадей в каждой точке \ (k \), \ (\ Delta A_k \), умноженной на высоту или поверхность плотность массы в каждой точке, описываемая функцией \ (f (x, y) \).n \ Delta A_k \]

Используя это обозначение, чтобы найти площадь, мы устанавливаем \ (f (x, y) \) (высота или плотность поверхностной массы) равным 1.

Объем = Площадь x Высота Поверхностная масса = Площадь x Плотность поверхностной массы

, если высота = 1, объем = площадь x 1, если поверхностная масса = 1, поверхностная масса = площадь x 1

Итак, объем = площадь Итак, поверхностная масса = площадь

Таким образом, мы просто суммируем все Значения \ (\ Delta A_k \), позволяющие найти площадь границы.n \ Delta A_k = \ iint_R dA \]

Следовательно, площадь замкнутой ограниченной плоской области R определяется как

\ [A = \ iint_R dA \]

Среднее значение

Использование двойных интегралов для нахождения обоих по объему и площади можно найти среднее значение функции \ (f (x, y) \).

\ [\ text {Среднее значение} \ f \ \ text {over} \ R = \ frac {1} {\ text {area} \ \ text {of} \ R} \ iint_R f \ dA \]

\ [\ bar {f} = \ frac {\ iint_R f (x, y) \ dA} {\ iint_R (1) \ dA} \]

Значение описывает среднюю высоту расчетного объема или среднюю поверхность масса расчетной общей массы.1 \\ & = (e-1) \ — \ (1-0) \\ & = (e-2). \ end {align} \]

\ [\ begin {align} \ bar {f} & = \ frac {\ iint_R f (x, y) \ dA} {\ iint_R (1) \ dA} \\ & = \ frac {0.8} {3.63886} = 0,2198. \ end {align} \]

\ [\ begin {align} \ bar {f} & = \ dfrac {\ iint_R f (x, y) \ dA} {\ iint_R (1) \ dA} \\ & = \ dfrac {128.333} {649.25} = 0,1976. \ end {align} \]

Авторы и авторство

• (UCD)

• Интегрировано Джастином Маршаллом.

Исчисление I — площадь между кривыми

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6-2: Площадь между кривыми

В этом разделе мы собираемся найти область между двумя кривыми.На самом деле есть два случая, которые мы собираемся рассмотреть.

В первом случае мы хотим определить область между \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{ яркий]\). Мы также будем предполагать, что \ (f \ left (x \ right) \ ge g \ left (x \ right) \). Взгляните на следующий рисунок, чтобы понять, на что мы изначально будем смотреть. 2} \) и \ (y = \ sqrt x \).Показать решение

Прежде всего, что мы подразумеваем под «замкнутой территорией». Это означает, что интересующая нас область должна иметь одну из двух кривых на каждой границе области. Итак, вот график двух функций с заштрихованной областью.

Обратите внимание, что мы не берем какую-либо часть области справа от точки пересечения этих двух графиков. В этой области нет границы с правой стороны и поэтому она не является частью замкнутой области.2} \) является верхней функцией, и они будут правильными для подавляющего большинства \ (x \) ‘s. Однако в данном случае это младшая из двух функций.

Пределы интегрирования для этого будут точками пересечения двух кривых. В этом случае довольно легко увидеть, что они будут пересекаться в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \), так что это пределы интегрирования.

Итак, интеграл, который нам потребуется вычислить, чтобы найти площадь, равен

. 2} \, dx}} \\ & = \ left.1 \\ & = \ frac {1} {3} \ end {align *} \]

Прежде чем перейти к следующему примеру, следует отметить несколько важных моментов.

Во-первых, почти во всех этих задачах граф требуется. Часто ограничивающую область, которая дает пределы интегрирования, трудно определить без графика.

Кроме того, без графика часто бывает трудно определить, какая из функций является верхней, а какая нижней функцией.Это особенно верно в случаях, подобных последнему примеру, где ответ на этот вопрос фактически зависел от диапазона значений \ (x \), которые мы использовали.

Наконец, в отличие от площади под кривой, которую мы рассматривали в предыдущей главе, площадь между двумя кривыми всегда будет положительной. Если мы получим отрицательное число или ноль, мы можем быть уверены, что где-то допустили ошибку, и нам нужно будет вернуться и найти ее.

Также обратите внимание, что иногда вместо того, чтобы говорить «регион, заключенный в», мы говорим «регион, ограниченный».2}}} \), \ (y = x + 1 \), \ (x = 2 \) и ось \ (y \) -.

Показать решение

В этом случае последние две части информации, \ (x = 2 \) и ось \ (y \), сообщают нам правую и левую границы области. Также напомним, что ось \ (y \) задается линией \ (x = 0 \). Вот график с заштрихованной областью.

Здесь, в отличие от первого примера, две кривые не пересекаются. Вместо этого мы полагаемся на две вертикальные линии, чтобы ограничить левую и правую стороны области, как мы отметили выше

.

Вот интеграл, который даст площадь.2} + 10 \) и \ (y = 4x + 16 \).

Показать решение

В этом случае точки пересечения (которые нам в конечном итоге понадобятся) будет нелегко идентифицировать по графику, так что давайте продолжим и получим их сейчас. Обратите внимание, что для большинства этих проблем вы не сможете точно определить точки пересечения на графике, и вам придется определять их вручную. 2} — 4x — 6 & = 0 \\ 2 \ left ({x + 1} \ right) \ left ({x — 3} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Итак, похоже, что две кривые пересекутся в точках \ (x = — 1 \) и \ (x = 3 \).Если они нам нужны, мы можем получить значения \ (y \), соответствующие каждому из них, вставив значения обратно в любое из уравнений. Мы предоставим вам проверить, что координаты двух точек пересечения на графике равны \ (\ left ({- 1,12} \ right) \) и \ (\ left ({3,28} \ right) ) \).

Также обратите внимание, что если вы не умеете строить графики, знание точек пересечения может помочь хотя бы в начале построения графика. Вот график региона.

С помощью графика мы теперь можем идентифицировать верхнюю и нижнюю функцию, и теперь мы можем найти замкнутую область.2} + 10 \), \ (y = 4x + 16 \), \ (x = — 2 \) и \ (x = 5 \).

Показать решение

Итак, функции, используемые в этой задаче, идентичны функциям из первой задачи. Разница в том, что мы расширили ограниченную область за пределы точек пересечения. Поскольку это те же функции, которые мы использовали в предыдущем примере, мы больше не будем утруждать себя поиском точек пересечения.

Вот график этого региона.

Хорошо, у нас тут небольшая проблема.Наша формула требует, чтобы одна функция всегда была верхней функцией, а другая функция всегда была нижней функцией, а здесь этого явно нет. Однако на самом деле проблема не в этом, как может показаться на первый взгляд. Есть три области, в которых одна функция всегда является верхней функцией, а другая всегда является нижней функцией. Итак, все, что нам нужно сделать, это найти площадь каждой из трех областей, что мы можем сделать, а затем сложить их все.

Вот площадь.5 \\ & = \ frac {{14}} {3} + \ frac {{64}} {3} + \ frac {{64}} {3} \\ & = \ frac {{142}} {3 } \ end {align *} \]

Пример 5 Определите площадь области, заключенной в \ (y = \ sin x \), \ (y = \ cos x \), \ (x = \ frac {\ pi} {2} \) и \ ( у \) — ось. 2} — 2y — 8 \\ 0 & = \ left ({y — 4} \ right) \ left ({y + 2} \ right) \ end {align *} \]

Итак, похоже, что две кривые пересекутся в точках \ (y = — 2 \) и \ (y = 4 \), или, если нам нужны полные координаты, они будут: \ (\ left ({- 1, — 2 } \ right) \) и \ (\ left ({5,4} \ right) \).

Вот эскиз двух кривых.

Если мы не будем осторожны, у нас возникнет серьезная проблема. До сих пор мы использовали верхнюю функцию и нижнюю функцию. Для этого обратите внимание, что на самом деле есть две части региона, которые будут выполнять разные нижние функции. В диапазоне \ (\ left [{- 3, — 1} \ right] \) парабола фактически является как верхней, так и нижней функцией.

Чтобы использовать формулу, которую мы использовали до сих пор, нам нужно решить параболу для \ (y \).Это дает,

\ [y = \ pm \ sqrt {2x + 6} \]

, где «+» означает верхнюю часть параболы, а «-» — нижнюю часть. {{\, 5}} {{- x + 1 \, dx}} \\ & = \ left.{{\, d}} {{\ left (\ begin {array} {c} {\ mbox {right}} \\ {\ mbox {function}} \ end {array} \ right) — \ left (\ begin {array} {c} {\ mbox {left}} \\ {\ mbox {function}} \ end {array} \ right) \, dy}}, \ hspace {0,5in} c \ le y \ le d \ ]

, и в нашем случае у нас есть одна функция, которая всегда слева, а другая всегда справа. Так что в данном случае это определенно правильный путь. Обратите внимание, что нам нужно будет переписать уравнение линии, поскольку оно должно быть в форме \ (x = f \ left (y \ right) \), но это достаточно легко сделать.4 \\ & = 18 \ end {align *} \]

Это то же самое, что мы получили, используя первую формулу, и это было определенно проще, чем первый метод.

Итак, в этом последнем примере мы видели случай, когда мы могли использовать любую формулу для определения площади. Однако второе было определенно легче.

Студенты часто приходят в класс по математике с мыслью, что единственный простой способ работать с функциями — использовать их в форме \ (y = f \ left (x \ right) \). 2} + 4y + 6 \, dy} } \\ & = \ left.3 = \ frac {{64}} {3} \ end {align *} \]

Двойные повторные интегралы для вычисления площадей областей на плоскости

Вот как вычислить площади с помощью двукратных интегралов. Мы увидим, как рассчитать площади в зависимости от выбранного порядка интеграции, с пошаговыми решениями упражнений.

.

Поехали!

Вычисляет площади с двукратным повторением интегралов с порядком интегрирования dy.dx

Рассмотрим плоскую область R, ограниченную:

Которая представлена ​​графически:

Эта область R состоит из бесконечных прямоугольников dx, представленных в виде вертикального прямоугольника:

Этот вертикальный прямоугольник dx имеет две очень важные характеристики:

1. 1. Перемещается по горизонтали между пределами x a и b.
   2. В зависимости от положения его высота изменяется, адаптируясь к функциям g2 (x) и g1 (x), всегда оставаясь в пределах обеих функций, поэтому его высота ограничена сверху функцией выше g2 (x) и ниже функцией g1 ( Икс).

Следовательно, с помощью этого прямоугольника мы можем вывести пределы интегрирования для переменной x, которые являются двумя пределами, между которыми прямоугольник может перемещаться по горизонтали, поэтому площадь этой области задается определенным интегралом:

С другой стороны, мы можем переписать интегрирующий g2 (x) -g1 (x) как новый определенный интеграл, но интегрированный для переменной «y».

Посмотрим, как это сделать.

Пределы этого интеграла определяются высотой прямоугольника dx, то есть между функциями g2 (x) и g1 (x) и будучи переменной интегрирования «y», дифференциал в этом случае равен dy:

Мы решаем этот интеграл, используя правило Барроу, и он подходит:

Следовательно, заменив в интеграле, определенном выше, подынтегральное выражение g2 (x) -g1 (x) на интеграл по «y», площадь области R может быть выражена как повторный интеграл:

Вертикальный прямоугольник означает порядок интегрирования dy.dx.

Вычисляет площади с двукратным повторением интегралов с порядком интегрирования dx.dy

Аналогичным образом мы можем вычислить площадь области, изменив порядок интегрирования на dy.dx.

В этом случае область R ограничена:

Обратите внимание, что теперь функции, среди которых ограничена переменная x, зависят от «y».

Как и раньше, эта область R состоит из бесконечных прямоугольников, но на этот раз прямоугольники горизонтальны и соответствуют dy.Следовательно, dy представляется в виде горизонтального прямоугольника:

Этот горизонтальный прямоугольник dy имеет две очень важные характеристики:

1. 1. Перемещается по вертикали между пределами «y» c и d.
   2. В зависимости от положения, его длина изменяется, адаптируясь к функциям h3 (y) и h2 (y), всегда оставаясь в пределах обеих функций, поэтому его длина ограничена сверху функцией h3 (y) и ниже функцией h2 (y ).

.

Следовательно, с помощью этого прямоугольника мы можем вывести пределы интегрирования для переменной и, которые являются двумя пределами, между которыми прямоугольник может перемещаться по вертикали.

Пределы интегрирования для переменной x определяются длиной прямоугольника, то есть обеими функциями.

В этом случае площадь области R может быть выражена повторным интегралом:

Горизонтальный прямоугольник, подразумевает порядок интегрирования dx.dy ..

Двойные повторные интегралы для вычисления площади

Таким образом, если мы хотим вычислить значение площади области на плоскости с помощью повторного интеграла, это будет равно:

1- Если R определяется по:

, где g1 и g2 непрерывны в [a, b], тогда площадь R будет:

2- Если R определяется по:

, где h2 и h3 непрерывны в [c, d], тогда площадь R будет:

Как узнать, какой повторный интеграл использовать для вычисления площадей?

Когда функции, между которыми определяется область, задаются как функция от x, прямоугольник, представляющий область, будет вертикальным, и, следовательно, порядок интегрирования будет dy.dx.

С другой стороны, если функции заданы как функция «y», репрезентативный прямоугольник будет горизонтальным, а порядок интегрирования будет dy.dx.

Однако мы можем изменить порядок интегрирования, изменив границы области.

Для каждой конкретной задачи один из двух заказов упростит расчеты. Выбранный порядок интегрирования влияет на сложность вычислений, но не на результат. В каждом случае выбирается наиболее удобный порядок интеграции.

Пойдем, посмотрим на него несколько решительных упражнений.

Решенные упражнения по вычислению площадей с двукратными повторениями интегралов

Задача решена 1

Вычислить площадь, ограниченную этими двумя функциями, с помощью двойного итерационного интеграла:

Поскольку функции определены в функции x, мы собираемся использовать порядок интегрирования dy.dx

Прежде всего, мы собираемся вычислить точки отсечения этих двух функций, так как точки отсечения будут пределами интегрирования переменной x, то есть пределами, между которыми вертикальный прямоугольник dx перемещается по горизонтали.

Чтобы найти точки отсечения, мы сопоставляем две функции:

У нас осталось уравнение второй степени, поэтому мы передаем все члены одному члену и равняемся нулю:

Упрощаем термины:

И решаем уравнение. Решения:

Итак, пределы для dx равны -2 и 1. Мы всегда помещаем в нижний предел наименьшее число, а в верхний предел — наивысший предел.

Пределы для переменной «y» определяются высотой прямоугольника, который перемещается между двумя функциями.Функция вверху — это верхний предел, а функция внизу — нижний предел.

Чтобы узнать это, мы можем нарисовать обе функции:

Видим, что над функцией:

Таким образом, именно эта функция определяет верхний предел, а другая функция — нижний предел.

Мы также можем подставить одно и то же значение x для каждой функции, и чье значение функции больше, будет функция, указанная выше.Мы собираемся заменить, например, x = 0 в обеих функциях:

Мы снова видим, что функция 4-x² дает значение больше x + 2, поэтому показано, что 4-x² является верхним пределом.

Следовательно, когда мы знаем пределы, мы можем записать в двукратный итерационный интеграл:

Осталось:

Теперь мы сначала интегрируем оставшийся внутри интеграл, то есть тот, который зависит от dy, с помощью правила Барроу:

Заменим результат интеграла на верхний предел и вычтем результат замены результата интеграла на нижний предел:

Мы оперируем в скобках:

Остается интеграл, зависящий от переменной x.Мы интегрируем, применяя правило Барроу:

Вычитаем, подставив верхний предел минус нижний предел:

Мы работаем и придумываем решение:

Не забывайте, что решение должно быть в квадратных единицах, так как мы вычисляем площади.

Упражнение решено 2

Нарисуйте область, площадь которой дается интегралом:

Представьте ту же область, изменив порядок интегрирования на dy.dx или убедитесь, что два интеграла дают одинаковый результат.

Мы видим, что порядок интегрирования — dx.dy и что область определяется пределами:

Это означает, что в этом случае dy представлен горизонтальным прямоугольником, что внешние пределы двойного интеграла, 0 и 2, являются пределами, между которыми dy может перемещаться по вертикали, а внутренние пределы и² и 4 являются пределами, между которыми длина прямоугольника dy адаптирована.

Другими словами, площадь ограничена слева функцией y², а справа линией x = 4.Его размер также ниже по оси x (y = 0) и выше на значение 4 (y = 4):

Рассчитаем значение этого интеграла:

Мы интегрируем и применяем правило Барроу для внутреннего интеграла, интегрированного по x:

Теперь проделаем то же самое для оставшегося интеграла, проинтегрированного по и:

Теперь изменим порядок интеграции на dy.dx.

Для этого мы сначала определяем функцию в терминах x, очищая y:

Теперь в предыдущей области разместим вертикальный треугольник dx:

Мы видим, что треугольник можно перемещать по горизонтали между значениями x 0 и 4:

Каковы внешние пределы суммирования для переменной x.

Мы также видим, что высота прямоугольника dx перемещается между осью x (y = 0) и функцией (теперь определяемой как функция от x):

Каковы внутренние пределы интегрирования для переменной «и», тогда площадь области определяется интегралом:

Мы собираемся показать, что результат такой же, как и с предыдущим интегралом.

Интегрируем внутренний интеграл и применяем правило Барроу:

Проделаем то же самое с оставшимся интегралом:

И мы видим, что действительно результат такой же.

Расчет площадей с более чем одним двунаправленным интегралом

Иногда невозможно вычислить площадь области с помощью одного интеграла. В этих случаях область может быть разделена на подобласти, площади которых могут быть вычислены с использованием двукратных повторных интегралов.

Общая площадь будет суммой площадей.

Рассмотрим пример:

Вычислите площадь области R между параболой y = 4x-x², осью x и над прямой y = -3x + 6:

Сначала мы делим площадь на две части в точке, где линия пересекает ось x:

В обоих регионах удобно использовать вертикальный прямоугольник dx, поэтому порядок интегрирования будет dy.dx.

Область слева определяется между точками 1 и 2 (точки отсечения линии с параболой и осью x соответственно), где прямоугольник может перемещаться по горизонтали:

и соответствуют внешним пределам.

Внутренние пределы интегрирования относительно и определяются высотой прямоугольника, который ограничен прямой линией внизу и параболой вверху:

В области справа вертикальный треугольник dx может перемещаться между точками 2 и 4 (точка отсечения линии с осью x и параболы с осью x):

Высота прямоугольника определяется осью x (y = o) и параболой. Для которых внутренние пределы интегрирования относительно «и» составляют:

Следовательно, площадь будет определяться суммой двух интегралов:

Вот мы их решаем и все:

MathScene — Интеграция — Урок 3

MathScene — Интеграция — Урок 3

Урок 3

.

Области между графиками
функции

Области, ограниченные графиками функций, можно найти интегрированием.Для
Например, мы найдем площадь, ограниченную двумя графиками f (x) = x ² + 5x 3
и y = x.
Это площадь, показанная в калькуляторе:

Начнем с
найти точки пересечения двух графиков, чтобы дать нам границы
площади:

х ² + 5х 3 = х

х ² + 4х 3 = 0

Упрощать.

(x ² 4x + 3) = 0 Взять
1 из кронштейна.

(x 1) (x 3) = 0 Факторизация .

(x ² 4x + 3) = 0

(х 1) (х 3) = 0

Точки пересечения — x = 1 и x = 3.Они лежат на прямой y = x, поэтому
координаты y такие же, как координаты x, то есть (1, 1) и (3, 3).

Нам нужно только
используйте координаты x для вычисления площади между каждой кривой и осью x.

Интеграл
дает площадь
между осью x и функцией
f (x) = x ² + 5x 3 на интервале от 1 до 3.

Это
заштрихованная область графика ниже

Таким же образом

это область
между y = x и x — на том же интервале.На графике снова показана площадь
нашел.

Если мы сложим эти два графика вместе, мы увидим, что область, которую мы хотим найти, — это
разница между двумя выше.

Итак, мы просто
нужно взять разницу между двумя интегралами, чтобы найти площадь, которую мы
требовать.

Теперь посмотрим
если этот метод работает, если мы сдвинем оба графика вниз на две единицы так, чтобы
требуемая область находится как выше, так и ниже оси x.

Новое уравнение
параболы будет f (x) = x ² + 5x 3 2
= x ² + 5x 5 и прямой y = x
2. На диаграмме показана новая ситуация.

Точки пересечения остаются такими же, поскольку мы добавили 2 к обеим сторонам
уравнение. Ниже приведены расчеты, если вы не уверены!

х ² + 5х 5 = х 2

х ² + 4х 3 = 0

Упростим .

(х ²
4x + 3) = 0

(x 1) (x 3) = 0 Факторизация.

Снова решения

x = 1 и x = 3. Интегрируя таким же образом, вы видите, что 2
снова упрощается, поэтому мы получаем тот же результат, что и раньше.

Это означает
что при расчете площади между кривыми нам не нужно беспокоиться о
независимо от того, находится ли область выше или ниже оси x, метод всегда один и тот же.

Пример
1

Найдите площадь между параболами f (x) = x ²
4 и прямая y = x 2.

Начнем с
решение уравнения x ² 4 = x 2
найти область
границы

х ² 4 = х 2

х ²
4 х + 2 = 0

х ² х 2 = 0

(х + 1) (х
2) = 0

Решения x = 1
и x = 2.

Хорошая идея — посмотреть на график и область, вовлеченную в
калькулятор.

Мы видим, что
линия ограничивает область выше, поэтому мы вычитаем интеграл от
парабола от линии.

Пример
2

Найдите площадь, заключенную между графиками f (x) = sin x и g (x) = cos x
на интервале 0 ≤ x <2p
Калькулятор показывает нам область, которую мы собираемся найти.

Снова мы должны
начните с поиска точек пересечения двух графиков.

Решение уравнения
грех х = соз х.

грех х / соз х
= 1

Разделить на
cos x

загар х = 1

х = загар ¹
1 = / 4
+ п

Это означает
что x = / 4
и х = 5/4
на интервале 0 ≤ x <2

График f (x) = sin x лежит над графиком g (x) = cos x на всех
интервал между точками пересечения, поэтому расчет площади выполняется как
следует:

Сейчас
потому что
/ 4
= грех / 4
знак равно
и cos 5/4
= грех 5/4
знак равно

Таким образом, точная стоимость площади составляет

.

Пример
3

Найдите площадь, ограниченную графиками прямой y = 3x + 1 и
многочлен f (x) = ⅓ x ³ 2x ² + 3x + 1.

Сначала граф
нарисован с помощью калькулятора. Следующие значения окна должны работать

Вот график:

Теперь вычислите точки пересечения.

⅓ x ³ 2x ² + 3x + 1 = 3x + 1

⅓ x ³ 2x ² = 0

х ² (⅓ х 2) = 0

Решения

x = 0 и x = 6 необходимых нам границ. Линия верхняя
функция.

Вы можете проверить свой ответ в калькуляторе (с помощью RUN, OPTN, F4 и F4).

Практика
затем эти методы проходят тест 3 на интеграцию.

Запомните контрольный список !!

APEX Двойная интеграция и том

Раздел 14. bf (x) \, dx = \ lim _ {\ norm {\ Delta x} \ to 0} \ sum f (c_i) \ dx_i \ text {,}
\ end {уравнение *}

, соединяющий площадь под кривой с суммами площадей прямоугольников.

Мы используем аналогичный подход в этом разделе, чтобы найти объем под поверхностью.

Рисунок 14.2.1. Введение двойного интеграла

Пусть \ (R \) — замкнутая ограниченная область на \ (xy \) — плоскости и пусть \ (z = f (x, y) \) — непрерывная функция, определенная на \ (R \ text {.} \) Мы хотим найти подписанный том под поверхностью \ (f \) над \ (R \ text {.} \) (Мы используем термин «подписанный том» для обозначения этого пространства над \ ( xy \) — плоскость, под \ (f \ text {,} \) будет иметь положительный объем; пространство над \ (f \) и под \ (xy \) — плоскостью будет иметь «отрицательный» объем, аналогичный понятие подписанной области использовалось ранее.)

Начнем с разделения \ (R \) на \ (n \) прямоугольные подобласти, как показано на рисунке 14.2.2. (A). Для простоты мы позволяем всем ширинам быть \ (\ dx \) и всем высотам \ (\ dy \ text {.} \). Обратите внимание, что сумма площадей прямоугольников не равна площади \ (R \ text {,} \), а скорее является близким приближением. Произвольно пронумеруйте прямоугольники от 1 до \ (n \ text {,} \) и выберите точку \ ((x_i, y_i) \) в \ (i \) -м подобласти.

а)

Рисунок 14.2.2. Разработка метода нахождения подписанного объема под поверхностью

Объем прямоугольного твердого тела, основанием которого является \ (i \) -я подобласть, а высота — \ (f (x_i, y_i) \), равен \ (V_i = f (x_i , y_i) \ dx \ dy \ text {.п f (x_i, y_i) \ dx \ dy \ text {.}
\ end {уравнение *}

Это аппроксимирует подписанный объем под \ (f \) над \ (R \ text {.} \). Как мы делали раньше, чтобы получить лучшее приближение, мы можем использовать больше прямоугольников для аппроксимации области \ (R \ text {. } \)

В общем, каждый прямоугольник может иметь разную ширину \ (\ dx_j \) и высоту \ (\ dy_k \ text {,} \), давая \ (i \) -ому прямоугольнику площадь \ (\ Delta A_i = \ dx_j \ dy_k \) и \ (i \) th прямоугольного тела объемом \ (f (x_i, y_i) \ Delta A_i \ text {.} \). Пусть \ (\ norm {\ Delta A} \) обозначает длину самая длинная диагональ из всех прямоугольников в разделе \ (R \ text {;} \) \ (\ norm {\ Delta A} \ to 0 \) означает, что ширина и высота каждого прямоугольника приближаются к 0.mf (x_i, y_j) \ Delta x_i \ right) \ Delta y_j \ text {.}
\ end {уравнение *}

Сумма в скобках указывает сумму высот × ширину, которая дает площадь; Умножение этих площадей на толщину \ (\ Delta y_j \) дает объем. Иллюстрация на рис. 14.2.6 относится к этому пониманию.

Определение 14.2.3. Двойной интеграл, объем со знаком.

Пусть \ (z = f (x, y) \) — непрерывная функция, определенная над замкнутой ограниченной областью \ (R \) на плоскости \ (xy \). Том со знаком \ (V \) под \ (f \) над \ (R \) обозначается двойным интегралом

\ begin {уравнение *}
V = \ iint_R f (x, y) \, dA \ текст {.}
\ end {уравнение *}

Альтернативное обозначение двойного интеграла:

\ begin {уравнение *}
\ iint_R f (x, y) \, dA = \ iint_R f (x, y) \, dx \, dy = \ iint_R f (x, y) \, dy \, dx \ text {.}
\ end {уравнение *}

Рисунок 14.2.4. Определение двойного интеграла

Определение 14.2.3 не указывает, как найти подписанный том, хотя обозначение дает подсказку. Чтобы вычислить двойные интегралы и найти объем, нам понадобятся следующие две теоремы.

Теорема 14.2.5. Двойные интегралы и знаковый объем.n f (x_i, y_i) \ Delta A_i \ text {.}
\ end {уравнение *}

Эта теорема утверждает, что мы можем найти точный объем со знаком, используя предел сумм. Разделение области \ (R \) не указано, поэтому любое разделение, при котором диагональ каждого прямоугольника сокращается до 0, дает тот же ответ.

Однако это не совсем удовлетворительный способ вычисления объема. Наш опыт показал, что оценка пределов сумм может быть утомительной. Мы ищем более прямой метод.

Напомним теорему 7.{g_2 (x)} f (x, y) \, dy \ text {.}
\ end {уравнение *}

Помните, что хотя подынтегральное выражение содержит \ (x \ text {,} \), мы рассматриваем \ (x \) как фиксированное. {g_2 (x)} f (x, y) \, dy \, dx \ text {.}
\ end {уравнение *}

Это дает конкретный метод поиска подписанного объема под поверхностью. Мы могли бы проделать аналогичную процедуру, в которой мы начали с фиксированным \ (y \), что привело бы к повторному интегралу с порядком интегрирования \ (dx \, dy \ text {.} \). Следующая теорема утверждает, что оба метода дают одинаковые результат, который является значением двойного интеграла. Это настолько важная теорема, что с ней связано название.

Теорема 14.2.7. Теорема Фубини.

Пусть \ (R \) — замкнутая ограниченная область на \ (xy \) — плоскости и пусть \ (z = f (x, y) \) — непрерывная функция на \ (R \ text {.{h_2 (y)} f (x, y) \, dx \, dy \ text {.}
\ end {уравнение *}

Обратите внимание, что границы интегрирования снова соответствуют шаблону «кривая к кривой, от точки к точке», рассмотренному в предыдущем разделе. Фактически, одним из основных моментов предыдущего раздела является развитие навыка описания области \ (R \) с границами повторного интеграла. Как только этот навык будет развит, мы сможем использовать двойные интегралы для вычисления многих величин, а не только объема со знаком под поверхностью.

Рисунок 14.2 + 6 \ big) \, dA \ text {,} \) где \ (R \) — треугольник, ограниченный \ (x = 0 \ text {,} \) \ (y = 0 \) и \ (x / 2 + y = 1 \ text {,} \), как показано на рисунке 14.2.12.

Рисунок 14.2.12. Нахождение подписанного объема под поверхностью в примере 14.2.11
Решение

Хотя не указано, какой порядок мы должны использовать, мы оценим двойной интеграл, используя оба порядка, чтобы помочь понять, что не имеет значения, какой порядок мы используем.

Использование порядка \ (dy \, dx \ text {:} \) Границы \ (y \) переходят от «кривой к кривой», т.1 \\
\ amp = \ frac {17} 3 = 5. \ overline {6} \ text {.}
\ end {выровнять *}

Мы получили тот же результат, используя оба порядка интегрирования.

Рисунок 14.2.13. Дополнительные примеры двойных интегралов по прямоугольникам

Обратите внимание, что в этих примерах границы интегрирования зависят только от \ (R \ text {;} \). Границы интегрирования не имеют ничего общего с \ (f (x, y) \ text {.} \) Это важное понятие, поэтому мы включаем его в качестве ключевой идеи.

Перед тем, как перейти к другому примеру, мы приведем некоторые свойства двойных интегралов.Каждый должен иметь смысл, если мы рассмотрим их в контексте нахождения подписанного объема под поверхностью, над регионом.

Теорема 14.2.15. Свойства двойных интегралов.

Пусть \ (f \) и \ (g \) — непрерывные функции над замкнутой ограниченной плоской областью \ (R \ text {,} \) и пусть \ (c \) — константа.

1. \ (\ ds \ iint_Rc \, f (x, y) \, dA = c \ iint_Rf (x, y) \, dA \ text {.} \)

2. \ (\ Displaystyle \ ds \ iint_R \ big (е (х, y) \ pm g (x, y) \ big) \, dA = \ iint_R f (x, y) \, dA \ pm \ iint_R g (х, у) \, дА \)

3. Если \ (f (x, y) \ geq 0 \) на \ (R \ text {,} \), то \ (\ ds \ iint_R f (x, y) \, dA \ geq 0 \ text {.} \)

4. Если \ (f (x, y) \ geq g (x, y) \) на \ (R \ text {,} \), то \ (\ ds \ iint_R f (x, y) \, dA \ geq \ iint_R g (x, y) \, dA \ text {.} \)

5. Пусть \ (R \) будет объединением двух неперекрывающихся областей, \ (R = R_1 \ bigcup R_2 \) (см. Рисунок 14.2.16). Тогда

   \ begin {уравнение *}
   \ iint_R f (x, y) \, dA = \ iint_ {R_1} f (x, y) \, dA + \ iint_ {R_2} f (x, y) \, dA \ text {.}
   \ end {уравнение *}

   Рисунок 14.2.16. \ (R \) — это объединение двух неперекрывающихся областей, \ (R_1 \) и \ (R_2 \)

Рисунок 14.2.17. Вычисление двойного интеграла по более общей области

Пример 14.2.18. Вычисление двойного интеграла.

Пусть \ (f (x, y) = \ sin (x) \ cos (y) \) и \ (R \) будет треугольником с вершинами \ ((- 1,0) \ text {,} \) \ ((1,0) \) и \ ((0,1) \) (см. Рисунок 14.2.19). Вычислить двойной интеграл \ (\ iint_Rf (x, y) \, dA \ text {.} \)

Рисунок 14.2.19. Нахождение подписанного тома под поверхностью в примере 14.2.18
Решение

Если мы попытаемся интегрировать, используя повторный интеграл с порядком \ (dy \, dx \ text {,} \), обратите внимание, что есть две верхние границы на \ (R \), что означает, что нам нужно использовать два повторных интеграла. 2/4 \ leq x \ leq 2 \ sqrt y, \ text {и} 0 \ leq y \ leq 4 \ text {.4 \\
\ amp = \ frac {176} {15} = 11.7 \ overline {3} \ text {.}
\ end {выровнять *}

Подписанный объем под поверхностью \ (f \) составляет около 11,7 кубических единиц.

Рисунок 14.2.23. Вычисление двойного интеграла по общей области

В предыдущем разделе мы практиковали изменение порядка интегрирования заданного повторного интеграла, где область \ (R \) не была явно указана. Изменение границ интеграла — это больше, чем просто проверка понимания. Скорее, есть случаи, когда интегрирование в одном порядке действительно сложно, если не невозможно, тогда как интеграция с другим порядком возможна.2} \, dx \, dy \) с порядком \ (dy \, dx \ text {.} \). Прокомментируйте возможность вычисления каждого интеграла.

Решение

Еще раз мы делаем набросок области, по которой мы интегрируем, чтобы облегчить изменение порядка. Границы на \ (x \) от \ (x = y \) до \ (x = 3 \ text {;} \) границы на \ (y \) от \ (y = 0 \) до \ ( y = 3 \ text {. b f (x) \, dx;
\ end {уравнение *}

, то есть это «площадь под \ (f \) в интервале, деленная на длину интервала.”Мы делаем аналогичное утверждение здесь: среднее значение \ (z = f (x, y) \) по области \ (R \) — это объем под \ (f \) над \ (R \), деленный на площадь \ (R \ text {.} \)

Определение 14.2.28. Среднее значение \ (f \) на \ (R \).

Пусть \ (z = f (x, y) \) — непрерывная функция, определенная над замкнутой ограниченной областью \ (R \) на плоскости \ (xy \). Среднее значение для \ (f \) на \ (R \) равно

.

\ begin {уравнение *}
\ text {среднее значение \ (f \) на \ (R \)} = \ frac {\ ds \ iint_R f (x, y) \, dA} {\ ds \ iint_R \, dA} \ text {.{2 \ sqrt {y}} \, dx \, dy = \ frac {16} {3} \ text {.}
\ end {уравнение *}

Если разделить объем под поверхностью на площадь, получим среднее значение:

\ begin {уравнение *}
\ text {среднее значение \ (f \) на \ (R \)} = \ frac {176/15} {16/3} = \ frac {11} 5 = 2.2 \ text {.}
\ end {уравнение *}

В то время как поверхность, как показано на рисунке 14.2.30, покрывает \ (z \) — значения от \ (z = 0 \) до \ (z = 4 \ text {,} \), «среднее» \ (z \ ) -значение на \ (R \) равно 2.2.

Рисунок 14.2.30. Нахождение среднего значения \ (f \) в примере 14.2,29

В предыдущем разделе был представлен повторный интеграл в контексте определения площади плоских областей. Этот раздел расширил наше понимание повторных интегралов; теперь мы видим, что их можно использовать для поиска подписанного тома под поверхностью.

Это новое понимание позволяет нам вернуться к тому, что мы сделали в предыдущем разделе. Учитывая область \ (R \) на плоскости, мы снова вычислили \ (\ iint_R 1 \, dA \ text {;} \), наше понимание в то время заключалось в том, что мы находим область \ (R \ text { .} \) Однако теперь мы можем рассматривать график \ (z = 1 \) как поверхность, плоскую поверхность с постоянным \ (z \) — значением 1. Двойной интеграл \ (\ iint_R 1 \, dA \) находит объем под \ (z = 1 \ text {,} \) над \ (R \ text {,} \), как показано на рисунке 14.2.31. Базовая геометрия говорит нам, что если основание общего правого цилиндра имеет площадь \ (A \ text {,} \), его объем равен \ (A \ cdot h \ text {,} \), где \ (h \) — высота . В нашем случае высота равна 1. Мы «фактически» вычисляли объем твердого тела, хотя мы интерпретировали это число как площадь.

Рисунок 14.2.31. Показано, как повторный интеграл, используемый для нахождения площади, также находит определенный объем

В следующем разделе мы расширяем наши возможности по поиску «объемов под поверхностями». В настоящее время некоторые интегралы трудно вычислить, потому что либо область \ (R \), по которой мы интегрируем, трудно определить с помощью прямоугольных кривых, либо трудно иметь дело с самим интегралом. Некоторые из этих проблем можно решить, переведя все в полярные координаты.

Упражнения Упражнения

Термины и понятия

1.{g_2 (y)} f (x, y) \, dx \, dy \ text {.}
\ end {уравнение *}

3.

Объясните, почему если \ (f (x, y) \ gt 0 \) над регионом \ (R \ text {,} \), то

\ (\ iint_Rf (x, y) \, dA \ gt 0 \ text {. 2 \ text {.2 (y)} {1+ \ ln (y)} \, dy \, dx \)

В следующих упражнениях найдите среднее значение \ (f \) по области \ (R \ text {.} \). Обратите внимание, как эти функции и области связаны с повторными интегралами, приведенными в упражнениях 14.2.5 — Упражнение 14.2. .8.

23.

\ (\ ds f (x, y) = \ frac xy + 3 \ text {;} \) \ (R \) — прямоугольник с противоположными углами \ ((- 1,1) \) и \ ((1 , 2) \ text {.} \)

24.

\ (\ ds f (x, y) = \ sin (x) \ cos (y) \ text {;} \) \ (R \) ограничено \ (x = 0 \ text {,} \) \ (x = \ pi \ text {,} \) \ (y = — \ pi / 2 \) и \ (y = \ pi / 2 \ text {.2 \ text {;} \) \ (R \) ограничено \ (y = x \ text {,} \) \ (y = 1 \) и \ (x = 3 \ text {.} \)

% PDF-1.4
5 0 obj
>
эндобдж
8 0 объект
(Управляющее резюме)
эндобдж
9 0 объект
>
эндобдж
12 0 объект
(1. Двойной интеграл и повторный интеграл)
эндобдж
13 0 объект
>
эндобдж
16 0 объект
(1.1. Что такое двойной интеграл?)
эндобдж
17 0 объект
>
эндобдж
20 0 объект
(1.2. Линейность)
эндобдж
21 0 объект
>
эндобдж
24 0 объект
(1.3. Что такое повторный интеграл?)
эндобдж
25 0 объект
>
эндобдж
28 0 объект
(1.4. Теорема Фубини о двойных и повторных интегралах на прямоугольниках)
эндобдж
29 0 объект
>
эндобдж
32 0 объект
(1.5. Интуитивное объяснение теоремы Фубини)
эндобдж
33 0 объект
>
эндобдж
36 0 объект
(1.6. Частный случай мультипликативно разделимых функций)
эндобдж
37 0 объект
>
эндобдж
40 0 объект
(1.7. Концепция первообразной)
эндобдж
41 0 объект
>
эндобдж
44 0 объект
(2. Двойные интегралы по областям, отличным от прямоугольников)
эндобдж
45 0 объект
>
эндобдж
48 0 объект
(2.1. Определение такого двойного интеграла с помощью прямоугольника)
эндобдж
49 0 объект
>
эндобдж
52 0 объект
(2.2. Регионы типа I и типа II)
эндобдж
53 0 объект
>
эндобдж
56 0 объект
(2.3. Выпуклые области)
эндобдж
57 0 объект
>
эндобдж
60 0 объект
(2.4. Разделение региона на регионы типа I и типа II)
эндобдж
61 0 объект
>
эндобдж
64 0 объект
(3. На практике: вычисление повторных и двойных интегралов)
эндобдж
65 0 объект
>
эндобдж
68 0 объект
(3.1. Теория против практики: кошмар с одной переменной)
эндобдж
69 0 объект
>
эндобдж
72 0 объект
(3.2. Дальнейшие плохие новости)
эндобдж
73 0 объект
>
эндобдж
76 0 объект
(3.3. Еще плохие новости для непрямоугольных регионов)
эндобдж
77 0 объект
>
эндобдж
80 0 объект
(3.4. Хорошие новости: используйте Fubini для изменения порядка интеграции)
эндобдж
81 0 объект
>
эндобдж
84 0 объект
(3.5. Интегрирующие многочлены)
эндобдж
85 0 объект
>
эндобдж
88 0 объект
(3.6. Интегрирование рациональных функций)
эндобдж
89 0 объект
>
эндобдж
92 0 объект
(3.7. Экспоненциальные и тригонометрические функции)
эндобдж
93 0 объект
>
эндобдж
96 0 объект
(4. Интерпретация площади и объема)
эндобдж
97 0 объект
>
эндобдж
100 0 объект
(4.1. Двойной интеграл равен объему)
эндобдж
101 0 объект
>
эндобдж
104 0 объект
(4.2. Интерпретация срезов и повторного интегрирования)
эндобдж
105 0 объект
>
эндобдж
108 0 объект
(5. Свойства двойных интегралов)
эндобдж
109 0 объект
>
эндобдж
112 0 объект
(5.1. Неравенства, которые можно использовать для оценки)
эндобдж
113 0 объект
>
эндобдж
116 0 объект
(5.2. Идеи, основанные на симметрии)
эндобдж
117 0 объект
>
эндобдж
120 0 obj>
поток
x [[s ~ ϯ [SsNi զ nV ڙ 6 yX + cR + s_sB2 変]

Применение двойных интегралов

Этот раздел охватывает …

В главе, посвященной линейному интегралу, мы ввели понятия среднего значения, центроида и центра масс. Теперь точно таким же образом мы распространяем эти идеи на регионы на плоскости. Например, формула среднего значения в секции линейного интеграла была \ (\ bar f = \ dfrac {\ int_C fdx} {\ int_C ds} \ text {.} \) Для двойных интегралов мы просто заменяем \ (ds \) на \ (dA \ text {,} \) и добавляем интеграл. Это дает формулу \ (\ bar f = \ dfrac {\ iint_R fdA} {\ iint_R dA}. \) Такая же подстановка работает со всеми предыдущими интегралами. Теперь у нас есть \ (dm = \ delta dA \) вместо \ (dm = \ delta ds \ text {,} \), поскольку теперь плотность — это масса на площадь, а не масса на длину. Мы получили длину дуги кривой \ (C \) путем вычисления \ (s = \ int_C ds \ text {,} \), поскольку мы просто складываем маленькие биты длины дуги. Мы можем получить площадь области \ (R \), вычислив \ (A = \ iint_R dA \ text {,} \), поскольку мы просто складываем маленькие биты площади.

Формула среднего значения

Центроид области \ (R \) на плоскости равен:

\ begin {уравнение *}
\ left (\ bar x = \ frac {\ iint_R x dA} {\ iint_R dA},
\ bar y = \ frac {\ iint_R y dA} {\ iint_R dA} \ right)
\ end {уравнение *}

Формула центроида

и центр масс

\ begin {уравнение *}
\ left (\ bar x = \ frac {\ iint_R x dm} {\ iint_R dm},
\ bar y = \ frac {\ iint_R y dm} {\ iint_R dm} \ right), \ text {где \ (dm = \ delta dA \)}.
\ end {уравнение *}

Формула центра масс

Одна из основных причин, по которой мы изучаем массу, центр масс, центроиды и т. Д.2.
\ end {уравнение *}

Если объект имеет большую массу, требуется много работы (передача энергии), чтобы заставить объект двигаться. Масса — это сопротивление объекта прямолинейному движению.

Когда что-то вращается, нам нужен удобный способ вычисления его кинетической энергии. 2,
\ end {уравнение *}

где \ (I \) — (второй) момент инерции.2) dm (дм)
.
\ end {уравнение *}

Если вы никогда раньше не работали с кинетической энергией, вы можете пропустить следующее упражнение и просто попрактиковаться в использовании этих формул.

Упражнение 11.2.1

Предположим, что объект с массой \ (m \ text {,} \) прикреплен к строке (масса которой настолько мала, что мы проигнорируем ее). Мы вращаем объект вокруг точки, угловая скорость которой равна \ (\ omega \) радианам в секунду. Длина строки (расстояние от точки до центра вращения) равна \ (d \ text {.2) \ delta dA \ text {.} \)

Мы можем представить себе область \ (R \) на плоскости как тысячи точек \ (P (x, y) \ text {,} \), каждая из которых имеет массу \ (dm = \ delta dA \ text {.} \) Когда мы вращаем весь объект вокруг оси \ (x \) с угловой скоростью \ (\ omega \ text {,} \), каждый маленький кусочек вносит небольшой вклад кинетической энергии. Объясните, почему полная кинетическая энергия области \ (R \ text {,} \) при вращении вокруг оси \ (x \) с угловой скоростью \ (\ omega \ text {,} \) составляет

. 2
\ end {уравнение *}

.

(д)

Не стесняйтесь спросить в классе, как это связано с фигурным катанием.

Как изменится приведенная выше формула, если вместо этого мы повернемся вокруг оси \ (y \)? Что, если мы повернемся относительно начала координат?

Упражнение 11.2.2 Центроид и инерция треугольной области

Рассмотрим треугольную область \ (R \) в первом квадранте, ограниченную линией \ (\ ds \ frac {x} {5} + \ frac {y} {7} = 1 \ text {.} \) Предположим что плотность объекта постоянна \ (\ delta = c \ text {.} \)

(а)

Нарисуйте область \ (R \ text {,} \) и дайте границы для выполнения двойных интегралов по этой области. Проверьте свой ответ с помощью Sage (используйте любое \ (f \) для подынтегрального выражения, это не имеет значения, поскольку вы просто хотите убедиться, что вы правильно поняли границы).

(б)

Помните, что вы можете проверить свою работу с помощью Sage.

Создайте интегральную формулу для вычисления центра масс \ (\ bar x \) области \ (R \ text {.} \) Вычислите любые интегралы вручную, чтобы показать, что \ (\ bar x = \ frac { 5} {3} \ text {.} \) Затем сформулируйте предположение для \ (\ bar y \ text {.} \)

(c)

Установите интегральную формулу для вычисления моментов инерции \ (I_x \ text {,} \) \ (I_y \ text {,} \) и \ (I_z \ text {.} \) Используйте технологию для вычисления \ (I_x \ text {.} \)

(г)

Вы можете сравнить свои ответы с известными списками, такими как этот список в Википедии.

Если треугольная область имела углы в \ ((0,0) \ text {,} \) \ ((b, 0) \ text {,} \) и \ ((0, h) \ text {, } \) задают центр масс \ (\ bar x \) и момент инерции \ (I_x \ text {.} \) Вы сможете завершить эту часть, заменив 5 и 7 в своей формуле на \ (b \) и \ (h \), при условии, что вы сначала разложите на множители действительно большие числа, например \ (1715 = 5 \ cdot 343 = 5 \ cdot 7 \ cdot? … \) (Я дам вам закончить факторинг).

Когда мы нашли среднее значение, нам нужна была такая высота \ (\ bar f \), чтобы область под \ (f \) и область под \ (\ bar f \) были одинаковыми. В качестве уравнения мы написали

\ begin {уравнение *}
\ iint_R \ bar f dA = \ iint_R f dA,
\ end {уравнение *}

, а затем, поскольку \ (\ bar f \) является постоянным, мы вытащили его из интеграла, а затем решили для \ (\ bar f \), чтобы получить

\ begin {уравнение *}
\ бар f \ iint_R dA = \ iint_R f dA
\ text {или}
\ bar f = \ frac {\ iint_R f dA} {\ iint_R dA}
.\ end {уравнение *}

Этот же процесс дает центр масс. Мы могли бы заменить переменное расстояние \ (x \) в \ (\ int_C x dm \) постоянным расстоянием \ (\ bar x \ text {,} \), а затем решить для \ (\ bar x \) в уравнении \ (\ int_C \ bar xdm = \ int_C x dm \ text {.} \) Если бы вся масса была расположена в одном месте, каким должно быть это место, чтобы первые моменты массы были одинаковыми. Радиусы вращения получаются точно так же. Мы будем думать о радиусе вращения как о вращающемся центре масс.2) dm} {\ iint_R dm}}.
\ end {уравнение *}

где \ (dm = \ delta (x, y) dA \ text {.} \) Обратите внимание, что в двух измерениях у нас есть \ (z = 0 \ text {,} \), поэтому формулы для \ (R_x \) и \ (R_y \) проще.

Упражнение 11.2.4

Рассмотрим прямоугольную область \ (R \) в плоскости \ (xy \), описываемую формулой \ (\ {(x, y) \ | \ 2 \ leq x \ leq 11, 3 \ leq y \ leq 7 \} \ text {.} \)

(а)

Установите интегральную формулу, которая даст \ (\ bar y \) для центроида \ (R \ text {.} \). Затем вычислите интеграл.2 = 9 \ pi \ text {.} \) Мы можем использовать этот факт для упрощения многих интегралов, которые требуют интегрирования по области \ (R \ text {.} \)

(a)

Compute \ (\ iint_R 3dA = 3 \ iint_RdA \ text {.} \) [Чем может вам помочь область?]

(b)

Объясните, почему \ (\ iint_R x dA = \ bar x A \) для любой области \ (R \ text {,} \), а затем вычислите \ (\ iint_R x dA \) для круглого диска. [Вам вообще не нужно устанавливать какие-либо интегралы.]

(c)

Вычислите интеграл \ (\ iint_R 5x + 2y dA \), используя факты центроида и площади.

Упражнение 11.2.7

Рассмотрим область \ (R \) в плоскости \ (xy \), образованную двумя прямоугольными областями. Первая область \ (R_1 \) удовлетворяет \ (x \ in [-2,2] \) и \ (y \ in [0,7] \ text {.} \). Вторая область \ (R_2 \) удовлетворяет \ (x \ in [-5,5] \) и \ (y \ in [7,10] \ text {.} \) Найдите центроиды \ (R_1 \ text {,} \) \ (R_2 \) и затем, наконец, \ (R \ text {.} \)

Упражнение 11.2.8

Пусть \ (R \) будет областью на плоскости с \ (a \ leq x \ leq b \) и \ (g (x) \ leq y \ leq f (x) \ text {.} \) Пусть \ (A \) будет площадью \ (R \ text {.} \)

Когда вы используете двойные интегралы для поиска центроидов, формулы для центроидов одинаковы для \ (\ bar x \) и \ (\ bar y \ text {.} \). В других курсах вы можете увидеть формулы на слева, потому что идеи будут представлены без знания двойных интегралов. Интегрирование внутреннего интеграла из формулы двойного интеграла дает формулы с одной переменной.

(а)

Установите повторный интеграл для вычисления площади \ (R \ text {.2) \ дельта (х) dx.
\ end {уравнение *}

Одна из основных причин, по которой мы изучаем массу, центр масс, центроиды и т. 2,
\ end {уравнение *}

где \ (I \) — (второй) момент инерции.2) dm (дм)
.
\ end {уравнение *}

Если вы никогда раньше не работали с кинетической энергией, вы можете пропустить следующее упражнение и просто попрактиковаться в использовании этих формул.

Упражнение 11.2.9

Предположим, что объект с массой \ (m \ text {,} \) прикреплен к строке (масса которой настолько мала, что мы проигнорируем ее). Мы вращаем объект вокруг точки, угловая скорость которой равна \ (\ omega \) радианам в секунду. Длина строки (расстояние от точки до центра вращения) равна \ (d \ text {.2) \ delta dA \ text {.} \)

Мы можем представить себе область \ (R \) на плоскости как тысячи точек \ (P (x, y) \ text {,} \), каждая из которых имеет массу \ (dm = \ delta dA \ text {.} \) Когда мы вращаем весь объект вокруг оси \ (x \) с угловой скоростью \ (\ omega \ text {,} \), каждый маленький кусочек вносит небольшой вклад кинетической энергии. Объясните, почему полная кинетическая энергия области \ (R \ text {,} \) при вращении вокруг оси \ (x \) с угловой скоростью \ (\ omega \ text {,} \) составляет

.