Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим каждый случай отдельно и решим примеры неполных квадратных уравнений. А еще лучше — приходите сразу практиковаться в современную школу Skysmart.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Как решаем:

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

   −5x² = 0

   x² = 0

   x = √0

   x = 0

   Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а < 0;
• имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Как решать:

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   9x² = — 4

2. Разделим обе части на 9:

   x² = — 4/9

3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Как решаем:

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   -x² = -9

2. Разделим обе части на -1:

   x² = 9

3. Найти корни:

   x = √9

   x = -3

   x = 3

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Как решать:

1. Вынести х за скобки

   х(2x — 32) = 0

2. Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.
3. Решить линейное уравнение:

   2x = 32,

   х = 32/2

4. Разделить:

   х = 16

5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Как решать:

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Неполные квадратные уравнения. Примеры и решение

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида  ax² + bx = 0,  надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся  x  за скобки:

x(ax + b) = 0.

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0.

Чтобы  ax + b  было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение  ax² + bx = 0  имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида  ax² + bx = 0,  где  b ≠ 0,  решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a² — 12a = 0.

Решение:

Пример 2. Решите уравнение:

7x² = x.

Решение:

Чтобы решить уравнение вида  ax² + c = 0,  надо перенести свободный член уравнения  c  в правую часть:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид  x² — c = 0,  то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x² = c.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x₁ = +√c ,     x₂ = -√c .

Неполное квадратное уравнение вида  ax² + c = 0,  где  c ≠ 0,  либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y².

Решение:

Пример 2. Решите уравнение:

b² — 16 = 0.

Решение:

Уравнение вида  ax² = 0  всегда имеет только один корень:  x = 0.  Так как  a ≠ 0,  то из  ax² = 0  следует, что  x² = 0,  значит, и  x = 0.  Любое другое значение  x  не будет являться корнем данного уравнения.

Виды неполных квадратных уравнений

☰

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

• ax² + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
• ax² + c = 0, когда коэффициент b = 0.
• ax² = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Проще всего решаются уравнения вида ax² = 0. Если a по определению квадратного уравнения не может быть равно нулю, то очевидно, что нулю может быть равен только x², а значит, и сам x. У уравнений такого вида всегда есть один корень, он равен 0. Например:

–3x² = 0
x² = 0/–3
x² = 0
x = √0
x = 0

Уравнения вида ax² + c = 0 преобразуются к виду ax² = –c и решаются аналогично предыдущему. Однако корней здесь либо два, либо не одного.

ax² + c = 0
ax² = –c
x² = –c/a
x = √(–c/a)

Здесь если подкоренное выражение отрицательно, то корней у уравнения нет. Если положительно, то корней будет два: √(–c/a) и –√(–c/a). Пример решения подобного уравнения:

4x² – 16 = 0
4x² = 16
x² = 16 / 4
x² = 4
x = √4
x₁ = 2; x₂ = –2

Неполные квадратные уравнения вида ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя за скобку. В данном случае им является x. Получается уравнение x(ax + b) = 0. Это уравнение имеет два корня: либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая второе уравнение получаем x = –b/a. Таким образом, уравнения вида ax² + bx = 0 имеют два корня: x₁ = 0, x₂ = –b/a. Пример решения такого уравнения:

3x² – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x₁ = 0; x₂ = 10/3 = 3,(33)

Как решать неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид , где . Если или , то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.

а) случай

Неполное квадратное уравнение имеет вид , где .

Пример 1. .

В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях  положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.

Пример 2. .

Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.

Пример 3. .

Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.

Пример 4. .

Типичной ошибкой является ответ . На самом деле . То есть уравнение имеет два корня. Ответ:

Пример 5. .

Перенесем число в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда . Откуда . Остается немного упростить полученное выражение. Ответ: .

Пример 6. .

Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число , так как , поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что , ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Таким образом, в случае сначала упрощаем уравнение к виду , затем определяем знак числа . Если , то корней нет. Если , то . И если , то уравнение имеет два корня .

б) случай

Уравнение имеет вид , где .

Пример 7. .

Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части — произведение. Вынесем за скобки, тогда . Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому или , откуда или . То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ: .

Пример 8.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Далее разложим левую часть на множители.

Получим два линейных уравнения.

или , откуда или .

Ответ:

Таким образом, в случае неполное квадратное уравнение решается методом разложения на множители.

Если у вас трудности с арифметическими вычислениями, потренироваться можно здесь.

Задачи для самостоятельного решения

Ответы

1. 0; -3/7
2. 0; 5/4
3. -2; 2
4. -4; 4

еще задачи здесь (номера 1-4, 29-34, ответы в комментариях)

еще статья Как решать квадратные уравнения

все статьи по школьной математике

Неполные квадратные уравнения

Задача: ширина прямоугольника на 10 см меньше длины, а его площадь
равна 39 см². Определить длину прямоугольника?

Составим уравнение:

Пусть 𝑥 см – длина прямоугольника. Тогда (𝑥−10) см – ширина прямоугольника. Известно, что  – площадь
прямоугольника. Составим уравнение:

При решении данной задачи, мы столкнулись с вами с уравнением .

Его называют квадратным уравнением.
Обратите внимание, наибольшая степень переменной х в этом уравнении –
квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида , где  – переменная, ,  и  – некоторые числа, причём .

Например уравнения:

Каждое из этих уравнений является квадратным, т.к. каждое из
них имеет вид: .

Нужно отметить ещё, что квадратное уравнение
называют и уравнением второй степени, т.к. его левая часть есть
многочлен второй степени.

Если 𝒂=𝟎, то . В квадратном уравнении коэффициент .

В определении
сказано, что а не равно нулю. Почему так? Если а равно нулю, то мы
получим обычное линейное уравнение. Поэтому коэффициент а в квадратном
уравнении должен всегда присутствовать.

Квадратное
уравнение, в котором коэффициент при  равен 1,
называют приведённым квадратным
уравнением.

 Например: приведёнными квадратными уравнениями будут:

Если в
квадратном уравнении  хотя
бы один из коэффициентов  или
 равен нулю, то такое уравнение
называют неполным квадратным уравнением.

Например: неполными квадратными уравнениями будут:

Вообще неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

Рассмотрим, как
решают уравнения каждого вида.

Пример 1: решить уравнения.

Вывод: для решения неполного квадратного уравнения
вида: , где , надо:

1. Перенести
свободный член в правую часть.

2. Разделить
обе части уравнения на коэффициент .

Т.к. , то и .

Если выражение , то уравнение имеет два корня:  и .

Если выражение , то уравнение не имеет корней.

Пример 2: решить уравнения.

Вывод:  для решения неполного уравнения вида: , где , надо:

1. Разложить
его левую часть на множители.

Произведение
равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

 или  

2. Решить
уравнение

Следовательно,
корнями уравнения , где , будут:  и .

Пример 3: решить уравнение.

Вывод: неполное уравнение вида  равносильно уравнению
 и поэтому имеет единственный корень .

Итоги:

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где  – переменная, ,  и  – некоторые числа, причём
.

Числа ,  и  – коэффициенты квадратного уравнения.

Число  называют первым коэффициентом,
число  – вторым коэффициентом
и число  – свободным членом.

Квадратное
уравнение, в котором коэффициент при  равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Если
в квадратном уравнении  хотя бы один из
коэффициентов  или  равен нулю, то такое
уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1.               
ах² + с = 0,

2.               
ах² + bх = 0,

3.               
ах² = 0.

Причём
уравнения 1-ого вида имеют два корня, если выражение  и не имеют корней, если . Уравнения второго вида имеют корни число 0 и а. А уравнение 3-его вида имеет единственный корень
число 0.

Урок по теме «Неполные уравнения»

Конспект урока по алгебре 8 класс на тему «Неполные уравнения» с использованием здоровьесберегающих и информационных технологий

Учитель: Попова Марина Николаевна, учитель математики, высшая категория

Формируемые результаты:

Предметные: формировать умение решать математические задачи, используя неполные квадратные уравнения

Личностные: развивать готовность к самообразованию и решению творческих задач

Метапредметные: формировать умение определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией.

Коррекционные: развивать памяти и внимания учащихся. формировать навыков самоконтроля. осуществлять индивидуального подхода к детям, предотвращать наступления утомляемости.

(Примечание: в инклюзивном классе с детьми с ОВЗ в процессе обучения следует использовать те методы, с помощью которых можно максимально активизировать познавательную деятельность детей. Во время работы с детьми ОВЗ учитель должен проявлять особый педагогический такт. Важно подмечать и поощрять успехи детей, помогать каждому ребенку, развивать в нем веру в собственные силы и возможности)

Планируемые результаты: учащийся научится решать математические задачи, используя неполные квадратные уравнения

Основные понятия: уравнение первой степени, коэффициенты уравнения первой степени, квадратное уравнение, старший коэффициент, второй коэффициент, свободный член, приведённое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, виды неполных квадратных уравнений, решение неполных квадратных уравнений.

Тип урока: Комбинированный.

Оборудование: компьютер, экран, проектор, планшеты. Задания для самоконтроля (карточки), раздаточный материал (таблица), раздаточный игровой материал — домино; разноуровневые карточки.

Использование здоровьесберегающей технологии на моём уроке предполагает:

— увеличение двигательной активности на уроке (динамические паузы, физкультминутки)

— различные виды учебной деятельности: опрос учащихся, чтение, слушание, рассказ, ответы на вопрос, решение примеров, задач. Норма смены видов деятельности 4-8 за урок.

— наличие на уроке вопросов, связанных со здоровьем и здоровым образом жизни, формирование отношения к человеку и его здоровью как ценности.

— работа по профилактике стрессов, работа в парах.

— разноуровневые задания.

— расширение кругозора учащихся (стремление больше узнать интересного)

Использование информационных технологии на моём уроке предполагает:

— Использование карточек uchi.ru на этапе актуализации знаний (фронтальная работа)

— Проверочная работа (для менее мотивированных учеников) «Решение неполных квадратных уравнений»

— Интерактивное домашнее задание (из карточек) на сайте uchi.ru

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Постановка формируемых результатов и задач урока. Мотивация учебной деятельности (объяснение игрового замысла).

3. Проверка домашнего задания

4. Актуализация знаний.

5. Основная часть урока. Игровые действия, в процессе которых раскрывается познавательное содержание, решаются проблемные задачи; проводится диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий.

6. Разноуровневая самостоятельная работа

7. Рефлексия.

8. Подведение итогов урока.

Ход урока

I Организационный момент. Учитель с помощью наводящих вопросов к ученикам записывает тему урока «Неполные уравнения», напоминает о правильной осанке.

II Постановка формируемых результатов и задач урока

Формулировка темы и целей урока (Слайд 1,2). Постановка домашнего задания. Составление плана урока.

Но урок у нас с вами не совсем обычный. Какие у вас ассоциации со словом поезд?

(скорость, время, путь, красивый вид из окна, рельсы…)

Мы с вами сегодня отправимся в путешествие по железной дороге. Кому — то дорога покажется лёгкой и ровной, а кому-то извилистой и тяжёлой. (Слайд 3). Город, в который мы с вами отправимся – столица нашей Родины, Москва. И поедем мы на поезде «Янтарь». Учитель рассказывает об этом поезде (просит вычислить скорость поезда) и показывает его фотографии. (для учащихся с ОВЗ подготовлены опорные схемы «связь: скорость-время-расстояние»)

II Проверка домашнего задания

III Актуализация знаний

III Основная часть урока

Ребята, вы знаете, что товарные поезда перевозят различные товары, вещества (нефть, уголь и др.)

И точно также мы с вами сейчас разделим данные наши уравнения по разным вагонам в зависимости от типа неполного квадратного уравнения. Детям выдаются карточки, в которых они и выполняют задание (приложение 1) (Слайд №8).

А один из учеников у доски выписывает уравнения по 3 столбикам, записанными ранее учителем на обратной стороне доски. Когда все ученики справятся, идёт самопроверка. Каждый ученик проверяет правильно ли выполнил задание, а также исправляет ошибки, если они есть. (Слайд №8)

-Следующий город, в который мы с вами отправимся это столица Финляндии -Хельсинки. И поедем мы на поезде «Лев Толстой». Учитель рассказывает об этом поезде (просит вычислить скорость поезд) и показывает его фотографии. (Слайды №10).

-Задание с раздаточным материалом (приложение 2). Каждому ученику выдаётся карточка. Заполните таблицу, выписав коэффициенты квадратного уравнения, и подчеркните неполные квадратные уравнения.

После выполнения этого задания дети в парах меняются карточками и происходит взаимопроверка. Ошибки исправляются. (Слайд № 10)

(на коррекционных занятиях с детьми с ОВЗ предлагались аналогичные задания)

Динамическая пауза.

1) Отдых для глаз. Включается медленная музыка со звуком движущегося поезда. Дети мысленно, закрыв глаза, едут в приятное для них место. Ведь каждому ребёнку хочется куда-то мысленно перенестись. (Слайд № 11)

2) Игра с движением — домино (приложение 3). Ученикам случайным образом выдаются каточки, начинает тот, у кого оказывается уравнение Х²=49. Далее выходит ученик, у которого есть ответы на это уравнение. Дети по очереди выстраиваются у доски, показывая свои уравнения и ответы (класс инклюзивный, поэтому учащиеся с ОВЗ тоже вовлечены в эту игру, задания такого уровня разбирались на коррекционных занятиях, поэтому для ребят не составляет труда решить их)

— Следующее задание. Ученики возвращаются к карточкам, в которых подчеркивали неполные квадратные уравнения (приложение 2). И все неполные квадратные уравнения решают. На каждое уравнение учитель вызывает к доске по одному ученику. А все остальные решают в тетрадях и проверяют. (для учащихся с ОВЗ карточка «решение неполных уравнений», приложение 2.1)

— Далее к доске вызывается более сильный ученик из класса (ученик 3 уровня) и решает уравнение посложнее (Слайд №12).

x(x-15)= -3(-10+5x)

-Беседа учителя с классом:

-Задача (Слайд №14). К доске вызывается более сильный ученик (3 уровня) и решает задачу на составление уравнения. Остальные решают в тетради.

Задача: Мирайтова задумал число, квадрат которого равен удвоенному этому числу. Помогите Сомэйти найти число, которое задумал Мирайтова.

IV Разноуровневая самостоятельная работа по карточкам (3 уровня). Решение уравнений в тетради. (Приложение 4) (вариант 1 для отметки «3» и для учащихся с ОВЗ, вариант 2 для отметки «4», вариант 3 для самых подготовленных) несколько человек выполняют проверочную на uchi.ru

Решить уравнения:

V Рефлексия (Слайд №15)

Выберите утверждение, которое соответствовало вашему настроению на уроке:

1. Трудна была моя дорога…

2. Ах, как я устал от этой суеты…

3. Ну наконец-то я понял…

4. Урок понравился, недаром потрачено время…

VI Подведение итогов урока, выставление оценок.

Домашнее задание «Задание от учителя» (составлено из карточек неполные квадратные уравнения, квадратные корни)

Список использованных интернет- ресурсов.

1. «Здоровьесберегающие технологии на уроках математики» Шалкина С.В. http://festival.1september.ru/articles/311946/

2. «Здоровьесберегающие технологии» Данилова Т.В. http://neshki.ru/upload/Docs/Metodiki/Danilova/Zdoro_Sber_na_yrokah_matemat.pdf

3. «Физкультминутки на уроках математики» Филиппова Р.Ф.

filippovarf.ucoz.ru/publ/zdorovesberegajushhie_tekhnologii/fizkultminutki_na_urokakh_matematiki/3-1-0-6

1. «Здоровьесберегающие технологии на уроках математики» А.Г.Жирнова

http://kronnmc.ru/journal/1858/1859/2281

1. http://ru.wikipedia.org/ (информация о поездах)

УМК «Алгебра 8» Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 2.1

Приложение 3

Приложение 4

Неполные квадратные уравнения 🐲 СПАДИЛО.РУ

Определение

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где х – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0. Обычно его называют полным квадратным уравнением.

Если в таком уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, либо оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение при b=0: ax

²+c=0

Для решения такого вида уравнения надо выполнить перенос коэффициента с в правую часть, затем найти квадрат переменной (делим обе части на одно и то же число), найти два корня уравнения, либо доказать, что корней нет (если х² равен отрицательному коэффициенту; знаем, что квадрат любого числа равен только положительному числу).

Пример №1. Решить уравнение:

5х²–45=0

Выполним перенос числа –45 в правую часть, изменяя знак на противоположный: 5х²=45; найдем переменную в квадрате, поделив обе части уравнения на 5: х²=9. Видим, что квадрат переменной равен положительному числу, поэтому уравнение имеет два корня, находим их устно, извлекая квадратный корень из числа 9, получим –3 и 3. Оформляем решение уравнения обычным способом:

5х²–45=0

5х²=45

х²=9

Ответ: х=±3 или можно записать ответ так: х₁=–3, х₂=3 (обычно меньший корень записывают первым). Пример №2. Решить уравнение:

–6х²–90=0

Выполним решение уже известным способом: –6х²=90. х²=–15 Здесь видим, что квадрат переменной равен отрицательному числу, а это значит, что уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Пример №3. Решить уравнение:

х²–100=0

Здесь мы видим в левой части уравнения формулу сокращенного умножения (разность квадратов двух выражений). Поэтому, можем разложить данное выражение на множители, и найти корни уравнения: (х–10)(х+10)=0. Соответственно, вспомним, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х–10=0 или х+10=0. Откуда имеем два корня х₁=10, х₂=–10.

Неполное квадратное уравнение при с=0: ax

²+bx=0

Данного вида уравнение решается способом разложения на множители – вынесением за скобки переменной. Данное уравнение всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Рассмотрим данный способ на примерах.

Пример №4. Решить уравнение:

х²+8х=0

Выносим переменную х за скобки: х(х+8)=0. Получаем два уравнения х=0 или х+8=0. Отсюда данное уравнение имеет два корня – это 0 и –8.

Пример №5. Решить уравнение:

3х²–12х=0

Здесь кроме переменной можно вынести за скобки еще и коэффициент 3, который является общим множителем для данных в уравнении коэффициентов. Получим: 3х(х–4)=0. Получаем два уравнения 3х=0 и х–4=0. Соответственно и два корня – нуль и 4.

Неполное квадратное уравнение с коэффициентами b и с равными нулю: ax

²=0

Данное уравнение при любых значениях коэффициента а будет иметь один корень, равный нулю.

Пример №6. Решить уравнение:

–14х²=0

Обе части уравнения делим на (–14) и получаем х²=0, откуда соответственно и единственный корень – нуль. Пример №6. Решить уравнение:

23х²=0

Также делим обе части на 23 и получаем х²=0. Значит, корень уравнения – нуль.

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Решение уравнений — центральная тема алгебры. Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнений .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите квадратное уравнение.
2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
3. Решите квадратное уравнение, вычислив множители.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением.Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения.Возможно, что два решения равны.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — факторинг. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Шаг 2 Полностью разложить на множители.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x. Поскольку у нас (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении. Если x = 6, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть обозначены либо записью x = 6 и x = — 1, либо записью множества и записью {6, — 1}, что мы читаем: «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать обозначение набора.

Проверьте решения в исходном уравнении.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите неполное квадратное уравнение.
2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если, когда уравнение помещено в стандартную форму ax ² + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение представляет собой неполное квадратичное .

Пример 1

5x ² — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы встречаетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, так как факторизация будет возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решить относительно x, если x ² — 12 = 0.

Решение Поскольку x ² — 12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Используя эту теорему, мы имеем

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите трехчлен полного квадрата.
2. Завершите третий член, чтобы получить трехчлен в виде полного квадрата.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторинга вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена.Общая форма: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

1. Два из трех членов являются точными квадратами. 4x ² и 9 в первом примере, 25x ² и 16 во втором примере, а также ² и b ² в общем виде.
   
   

   Другими словами, первый и третий члены — это полные квадраты.

2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Термин -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x ² + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата.Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x ² и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и представляет собой квадратный корень из x ² , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x ² + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x ² + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пробел для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить никаких правил алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-либо к одной стороне, не добавляя то же самое к другой стороне.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 ² = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Теперь разложите на множитель полного квадрата трехчлена, что дает

Пример 6 Решите 2x ² + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность.Первый член, 2x ² , не является полным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2, и получим

Теперь добавим 2 к обеим сторонам, получив

Пример 7 Решите 3x ² + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все члены на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут затруднения, вам следует еще раз повторить арифметику при сложении чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Решите относительно x (два значения).

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение путем заполнения квадрата, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В каком-то смысле ax ² + bx + c = 0 представляет все квадратики. Если вы сможете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Чтобы использовать формулу квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c. Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите проблемы со словами, для решения которых требуется квадратное уравнение.
2. Решать текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы текстовых задач можно решить с помощью квадратных уравнений. Процесс обрисовки и постановки проблемы такой же, как описано в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме. Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше, чем в два раза больше ширины, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений.Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Пример 3 Если некоторое целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200 метров забора и желает оградить прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров.Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и заменить (100 — l) на w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
• Стандартная форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0, когда a 0.
• Неполное квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
• Квадратичная формула :

Процедуры

• Самый прямой и, как правило, самый простой метод поиска решений квадратного уравнения — это факторизация. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
• Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
  Шаг 1 Если коэффициент x ² не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
  Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x ² + bx + _____ = c + _____
  Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте это количество к обеим сторонам. уравнения.
  Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
  Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
  Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
• Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.
• Чтобы использовать квадратную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, укажите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения следует упростить.

Типы уравнений | Суперпроф

Если вы здесь, это означает, что вы знаете, что означает уравнение. В этом мире есть бесконечные уравнения. Нам потребуется много времени, чтобы понять их, если мы не разберем их по категориям. Вот почему математики разделили уравнения на разные типы, чтобы их было легче понять.Самым большим преимуществом категоризации уравнений является то, что с ними легко справиться. Как только мы найдем тип уравнения, мы сможем легко решить его, чтобы найти корни или решения. Например, если вы видите уравнение, подобное этому

, первое, что вы сделаете, — это поймете уравнение. Вы знаете, что это квадратное уравнение, и следующее, о чем вы подумаете, — это как решить это квадратное уравнение? С помощью среднесрочного разбиения или квадратичной формулы. Что ж, это история для другого блога, но мы знаем, что вам должно быть интересно, что такое квадратное уравнение? Продолжайте читать, чтобы узнать.

Поищите здесь выдающихся репетиторов по математике.

1. Полиномиальные уравнения

Полиномиальные уравнения имеют вид P (x) = 0, где P (x) — полином. Эти типы уравнений также известны как эквивалентные уравнения, потому что обе части уравнения имеют одно и то же решение. Кроме того, в уравнении может быть несколько неизвестных. Слово поли означает более одного, а номинальный означает количество терминов. Есть три типа полиномиальных уравнений.

Типы полиномиальных уравнений

1.1 Линейные уравнения

Линейные уравнения — это уравнения типа с

или любое другое уравнение, в котором члены могут быть использованы и упрощены в уравнение той же формы. Например:

Если ввести

в обе стороны уравнения:

График линейного уравнения всегда будет прямой линией. Степень линейного уравнения всегда будет

.

1.2 Квадратичные уравнения

Квадратные уравнения — это уравнения типа

, с. Квадратное уравнение всегда будет иметь 2 корня. Вы даже можете преобразовать другие уравнения в квадратные уравнения, мы называем их «биквадратными уравнениями» . Если вы нарисуете график квадратного уравнения, вы обнаружите, что график представляет собой U-образный график. На графике всегда будет либо точка максимума, либо минимума, и эта же точка также известна как точка симметрии. Это означает, что в этот момент, если вы объедините обе стороны, они будут перекрывать друг друга.Степень квадратного уравнения всегда будет.

Получите информацию об обучении математике в Великобритании.

1.3 Полиномиальное уравнение

Здесь вы, должно быть, задаетесь вопросом, что мы изучаем полином, и почему у полинома есть тип с таким же названием «полином»? Если уравнение не является линейным или квадратичным, мы называем это уравнение полиномиальным. Например,

, этот тип уравнения является полиномиальным уравнением. Степень этих типов уравнений всегда будет больше, чем.Кубическое уравнение, как и уравнение четвертой степени, является разновидностью полиномиального уравнения.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Неполные квадратные уравнения

Неполные уравнения — это разновидность квадратных уравнений. Если значение b или c (в некоторых случаях даже оба) равны нулю, результирующее уравнение будет неполным. Ниже приведены некоторые примеры неполных уравнений:

Решение неполных уравнений очень просто и не требует сложных математических вычислений (или различных формул) для решения.

1.3 Кубические уравнения

Кубические уравнения — это уравнения типа

, с. Степень кубического уравнения всегда будет.

1.4 Уравнения четвертой степени

Уравнения четвертой степени — это уравнения типа

. Кроме того, всегда будет полиномиальная степень уравнения четвертой степени.

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения — это уравнения четвертой степени, в которых нет членов с нечетной степенью. По сути, это уравнения с высокой степенью полинома, но они преобразованы в квадратное уравнение, что упрощает решение.

, с.

2. Рациональные полиномиальные уравнения

Рациональные полиномиальные уравнения имеют вид

, где и являются полиномами. Слово рациональное означает соотношение, что означает, что рациональные полиномиальные уравнения всегда будут дробными. К тому же и нулю не будет.

3. Иррациональные полиномиальные уравнения

Иррациональные уравнения — это те, у которых есть хотя бы полином под знаком радикала.

4.Трансцендентные уравнения

Трансцендентные уравнения — это уравнения, которые включают трансцендентные функции.

4.1 Экспоненциальные уравнения

Экспоненциальные уравнения — это уравнения, в которых неизвестное появляется в показателе степени.

4.2 Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых неизвестное зависит от логарифма.

4.3 Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых на неизвестное влияет тригонометрическая функция.

Узнайте больше от преподавателей математики рядом со мной на Superprof.

Оценка уравнений с неполными категориальными ковариатами в модели Кокса в JSTOR

Abstract

Неполные ковариантные данные — обычное явление во многих исследованиях, результатом которых является время выживания.Когда указано полное правдоподобие, полезным методом для получения оценок параметров является алгоритм EM. Мы предлагаем набор оценочных уравнений для оценки параметров модели пропорциональных рисков Кокса, когда отсутствуют некоторые ковариантные значения. Эти оценочные уравнения могут быть решены с помощью алгоритма, аналогичного алгоритму EM. Из-за вычислительной нагрузки, связанной с поиском решения этих оценочных уравнений, мы предлагаем получать оценки параметров с помощью методов Монте-Карло. Также выводятся асимптотические дисперсии оценок параметров.Мы представляем пример клинических испытаний с тремя ковариатами, две из которых имеют некоторые пропущенные значения.

Информация о журнале

Biometrics — это научный журнал, в котором подчеркивается роль статистики.
и математика в биологических науках. Его цель — продвигать и расширять
использование математических и статистических методов в чистой и прикладной биологии.
науки, описывая развитие этих методов и их приложений
в форме, легко усваиваемой учеными-экспериментаторами.JSTOR предоставляет цифровой архив печатной версии Biometrics.
Электронная версия биометрии доступна по адресу http://www.blackwell-synergy.com/servlet/useragent?func=showIssues&code;=biom.
Авторизованные пользователи могут иметь доступ к полному тексту статей на этом сайте.

Информация об издателе

Международное биометрическое общество — это международное сообщество по продвижению
биологической науки через развитие количественных теорий и
применение, разработка и распространение эффективных математических и статистических
техники.Общество приветствует в качестве членов биологов, математиков, статистиков,
и другие, заинтересованные в применении подобных методов.

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно.Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.
  Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
  браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.
  Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу.Чтобы предоставить доступ без файлов cookie
потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файлах cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.Например, сайт
не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к
остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Неполный расширенный лагранжев предобуславливатель для устойчивых несжимаемых уравнений Навье-Стокса

Предлагается неполный расширенный лагранжиан для стационарных уравнений Навье-Стокса, дискретизированных устойчивыми конечными элементами.Анализируются собственные значения предобусловленной матрицы. Численные эксперименты показывают, что предложенный неполный предобуславливатель на основе дополненного лагранжиана является очень надежным и достаточно хорошо работает при линеаризации Пикара или линеаризации Ньютона в широком диапазоне значений вязкости как на однородной, так и на растянутой сетке.

1. Введение

Мы рассматриваем численное решение для больших систем линейных уравнений, которые возникают в результате дискретизации методом конечных элементов стационарных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, управляющих потоком вязкой ньютоновской жидкости.Формулировка примитивных переменных стационарных уравнений Навье-Стокса имеет следующий вид:

где — открытая ограниченная область с достаточно гладкой границей, — интересующий интервал времени, — неизвестные поля скорости и давления, — кинематическая вязкость, — векторный лапласиан, — градиент, div — дивергенция, и,, — данные функции.

Мы отсылаем к [1] ​​за введением в численное решение уравнений Навье-Стокса. Неявная дискретизация по времени и линеаризация уравнений Навье-Стокса с помощью фиксированной итерации Пикара приводят к последовательности устойчивых задач Озеена.Пространственная дискретизация стационарных задач Озеена с использованием LBB-устойчивых конечных элементов (см. [1, 2]) сводится к серии больших разреженных линейных систем уравнений со следующей структурой матрицы перевала:

с участием

где и представляют собой дискретные скорость и давление соответственно. Эта матрица положительно определена в том смысле, что она является симметричной положительно определенной.

В последние несколько лет значительный объем работы был потрачен на разработку эффективных предварительных кондиционеров для решения проблем с потоком несжимаемой жидкости; подробный обзор см. в [1, 3].Большинство классических и недавних прекондиционеров основаны на приблизительной блочной факторизации. Этот класс включает множество блочно-диагональных и блочно-треугольных предобуславливателей. Важнейшим элементом всех этих методов является приближение к дополнению Шура. К этому классу относятся предварительные кондиционеры с конвекционной диффузией под давлением (PCD), предварительные кондиционеры с коммутаторами наименьших квадратов (LSC) и их варианты [4–6]. Другой подход основан на эрмитовом или косоэрмитовом расщеплении (HSS) (см. [7–10]), а размерное расщепление (DS) задачи по компонентам поля скорости и его релаксированная версия введены в [11, 12]. ].Совсем недавно в [13–17] были введены и проанализированы предобуславливатели для задачи о потоке несжимаемой жидкости, основанные на переформулировке расширенного лагранжиана (AL) уравнения (2).

Остальная часть документа организована следующим образом. В разделе 2 мы представляем новый предобуславливатель, основанный на неполной расширенной лагранжевой формулировке и исследовании спектра предобусловленной системы. В разделе 3 мы показываем результаты серии численных экспериментов, показывающих, что неполный расширенный предобуславливатель на основе лагранжиана был эффективно реализован для стационарных несжимаемых уравнений Навье-Стокса.

2. Неполный предобуславливатель на основе AL для стабильных конечных элементов

В этом разделе мы вводим неполный предобуславливатель на основе AL для устойчивой задачи Озеена, дискретизированной стабильными парами конечных элементов, такими как Q2-Q1 или Q2-P1. Здесь мы рассматриваем 2D-задачи следующим образом:

где,, и. Таким образом, с. Часто можно использовать расширенные методы Лагранжа для замены исходной системы седловых точек на эквивалентную, имеющую такое же решение; исходная система, приведенная в (4), заменяется неполной расширенной лагранжевой формой

где,, — СПД, а.Для формы (5) неполный расширенный лагранжиан (сокращенно IAL) определяется следующим образом:

где — приближение к дополнению Шура,, и. неявно определяется через обратный

где — диагональ матрицы масс давления.

Важно отметить, что предобуславливатель может быть записан в факторизованной форме как

Из тождества следует, что

Теорема 1. Предположим, что. Предварительно обусловленная матрица имеет собственное значение в 1 с кратностью не менее. Остальные собственные значения принадлежат матрице

где и.

Доказательство. У нас есть

где

Следовательно, мы можем видеть, что собственные значения задаются единицей по крайней мере с кратностью, а остальные собственные значения принадлежат матрице.

Лемма 2. Пусть,,, и, положительно определенные.Тогда положительно определенно.

Лемма 3. Пусть и. Пусть и предположим, что все матрицы,, и обратимы. Потом,

Отметим, что условия леммы 3 выполняются, если мы предполагаем, что он имеет полный ранг строки и является положительно определенным. Следовательно, оставшиеся собственные значения являются решениями обобщенной задачи о собственных значениях

Отметим, что, а из леммы 3 следует

Следовательно,

где удовлетворяет обобщенной задаче на собственные значения

Следовательно, неединичные собственные значения имеют вид

Теорема 4. Собственные значения имеют вид

где ‘удовлетворяют обобщенной задаче на собственные значения.

Так как является положительно определенным и является SPD (см. [1]), мы имеем, что собственные значения (17) заключены в прямоугольник, содержащийся в полуплоскости; используя этот результат и соотношение (19), мы можем заключить, что то же самое верно и для собственных значений. Если мы обозначим через и реальную и мнимую части, соответственно, несложные манипуляции приведут к следующим выражениям для действительной и мнимой частей:

Следующий результат является непосредственным следствием теоремы 4.

Теорема 5. Остальные собственные значения даются формулой (18), где удовлетворяет (17). Имеют место следующие оценки.

График собственных значений предварительно обусловленных матриц, полученных с помощью неполного расширенного лагранжевого предобуславливателя, показан на рисунке 1. Этот график подтверждает, что для неполного расширенного лагранжевого предобуславливателя собственные значения предварительно обусловленных матриц ограничены прямоугольной областью в половине -самолет ; то есть, и; Отметим, что появление нулевого собственного значения связано с особенностью системы перевала (4).В этих двух примерах, соответствующих вязкостям и, ясно, что неполный усиленный лагранжевый предобуславливатель дает благоприятное распределение собственных значений, и график показывает, что оставшиеся ненулевые собственные значения хорошо отделены от начала координат.

3. Численные эксперименты

В этом разделе мы проведем численные эксперименты для линейной системы, полученной в результате дискретизации методом конечных элементов двумерных линеаризованных моделей потока несжимаемой жидкости Стокса и Озеена, чтобы проверить производительность нашего предварительного кондиционера.Проблемой тестирования является проблема полости с протекающей крышкой, созданная программным пакетом IFISS [18]. Эти эксперименты проводились в MATLAB на ПК с частотой 2,20 ГГц и 2 ГБ памяти.

Если не указано иное, мы используем правильное предварительное кондиционирование с перезапущенным GMRES в качестве метода подпространства Крылова с максимальной размерностью подпространства, равной 30, все эти тесты запускаются с начальным предположением, равным нулевому вектору. Итерация останавливается, когда

где — неполная расширенная лагранжева система (5) вектора невязки на -й итерации.

Мы рассматриваем двумерную задачу резонатора с протекающей крышкой, дискретизированную конечными элементами на однородных и растянутых сетках [1]. Подзадачи, возникающие при применении неполного расширенного лагранжевого предобуславливателя, решаются прямыми методами. Мы используем технику переупорядочения AMD [19, 20] для степеней свободы, которая делает применение факторизации относительно быстрым.

3.1. Проблема с протекающей крышкой, управляемой полостью, дискретизированная конечными элементами Q2-Q1

Сравнение основано на тестовых задачах двух типов.Задача первого типа — это задача полости с управляемой крышкой, дискретизированная конечными элементами Q2-Q1 с линеаризацией по Пикару и Ньютону на униформе соответственно. Второй тип — та же задача, но дискретизированная на растянутой сетке для исследования влияния неоднородных элементов; численные эксперименты выполнены с использованием растянутых сеток с коэффициентами растяжения 1,2712 для сетки 16 × 16, 1,1669 для сетки 32 × 32, 1,0977 для сетки 64 × 64 и 1,056 для сетки 128 × 128. Растяжение выполняется как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении, в результате чего получаются довольно мелкие сетки около границ.

В таблицах 1 и 2 мы рассматриваем решение линеаризации Пикара для задачи полости с управляемой крышкой, дискретизированной на однородных и растянутых сетках, соответственно. Для вязкости, меньшей или равной 0,005, из этих результатов мы можем видеть, что производительность неполного усиленного лагранжевого предкондиционера не зависит от размера ячеек и вязкости; мы также можем заметить, что равномерная сетка и растянутая сетка приводят к аналогичным численным результатам. Кроме того, оптимальная вязкость не зависит от сетки и слегка зависит от вязкости.

Далее мы представляем некоторые результаты с использованием линеаризации Ньютона для задачи полости, управляемой крышкой, дискретизированной на однородных и растянутых сетках, соответственно.Из таблиц 3 и 4 следует, что метод Ньютона дает аналогичный численный результат на равномерной сетке и растянутой сетке, соответственно.

3.2. Проблема полости с протекающей крышкой, дискретизированная конечными элементами Q2-P1

Здесь мы показываем результаты некоторых тестов на задачах, созданных из дискретизации с использованием элементов Q2-P1. Предварительные кондиционеры проверяются на однородную растянутую сетку и изменяющуюся вязкость с помощью линеаризации Пикара или Ньютона. Численные результаты приведены в таблицах 5, 6, 7 и 8.Для вязкости не более 0,005 из этих таблиц мы снова можем видеть, что скорость сходимости для неполного дополненного лагранжевого предкондиционера не зависит от размера ячейки и вязкости; мы также можем заметить, что равномерная сетка и растянутая сетка приводят к аналогичным численным результатам.

3.3. Результаты для задачи обратного шага

В этом подразделе мы рассмотрим двумерную задачу обратного шага с использованием однородных сеток. Для ступенчатой ​​задачи количество ячеек в двух направлениях и неравно. Для этой задачи используется наименьшее значение вязкости, поскольку течение нестационарное при. Мы показываем эту проблему, потому что это стандартный тест и потому, что нам интересно увидеть эффект неквадратной области.Из таблиц 9, 10, 11 и 12 мы наблюдаем количество итераций, которые по существу не зависят от размера ячеек и слабо зависят от вязкости.

4. Выводы

Мы ввели новый неполный расширенный лагранжев предобуславливатель для решения систем седловой точки, возникающих в результате дискретизации методом конечных элементов несжимаемой устойчивой -состояние уравнения Навье-Стокса.Мы доказываем, что предобусловленная матрица имеет 1 как собственное значение не менее алгебраической кратности (напомним, что это число степеней свободы скорости), а остальные содержатся в коробке. Численные эксперименты показывают, что неполный предварительный кондиционер с расширенными лагранжевами очень надежен и достаточно хорошо работает с линеаризацией Пикара или линеаризацией Ньютона в широком диапазоне значений вязкости. Поведение сходимости также неплохо для задач, поставленных на растянутых сетках.

Благодарности

Авторы хотели бы выразить свою благодарность рецензентам за их предложения при редактировании этой статьи. Это исследование поддержано Программой 973 (2013CB329404), NSFC (61170309), Специализированным исследовательским фондом китайских университетов для докторской программы (20110185110020) и Исследовательским проектом науки и технологий провинции Сычуань (2012GZX0080).

Решение линейных уравнений с одним неизвестным

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Сжигание топлива — Продукты и эффекты сгорания — GCSE Chemistry (Single Science) Revision — Other

Полное сгорание

Топливо — это вещества, которые вступают в реакцию с кислородом с выделением полезной энергии.Большая часть энергии выделяется в виде тепла, но также выделяется световая энергия.

Около 21 процента воздуха состоит из кислорода. Когда топливо горит в большом количестве воздуха, оно получает достаточно кислорода для полного сгорания .

Для полного сгорания требуется обильный приток воздуха, чтобы элементы топлива полностью реагировали с кислородом.

Топливо, такое как природный газ и бензин, содержит углеводородов . Это только соединения водорода и углерода. Когда они полностью сгорают:

• углерод окисляется до диоксида углерода
• водород окисляется до воды (помните, что вода, H ₂ O, является оксидом водорода)

В общем, для полного сгорания:

углеводород + кислород → углекислый газ + вода

Вот уравнения для полного сгорания пропана , используемого в баллонном газе:

пропан + кислород → диоксид углерода + вода

C ₃ H ₈ + 5O ₂ → 3CO ₂ + 4H ₂ O

Неполное сгорание

Неполное сгорание происходит при недостаточной подаче воздуха или кислорода.Вода по-прежнему производится, но вместо диоксида углерода производятся окись углерода и углерод.

Обычно для неполного сгорания:

углеводород + кислород → окись углерода + углерод + вода

Углерод выделяется в виде сажи. Окись углерода — ядовитый газ, и это одна из причин, по которой полное сгорание предпочтительнее неполного сгорания.