Неравенства с модулем и параметром: Неравенства с модулем и параметром

Содержание

Урок «Решение неравенств с модулем, содержащих параметр»

Тема: Решение неравенств с модулем, содержащих параметр.

Цели урока:

Обучающая познакомить с методом решения неравенств с модулем, содержащих параметр.
Развивающая — развитие познавательной активности, логического мышления.
Воспитательная — воспитание организованности, внимания, математической наблюдательности.

ТСО: Проектор, компьютер. Дискета со приложениями №1,№2.
Переносная доска.

Наглядность: таблица с формулами

Ход урока:

I. Актуализация знаний и проверка домашнего задания.

Вступительное слово учителя.

Задачи  с параметром встречаются на ЕГЭ в группе «С» под номерами 3 и 5.

Так как среди вас есть те, кто претендует на высокий балл, то тема важна для изучения. Начнем с повторения ключевых задач по теме «Решение  неравенств с модулем».

Назовите идею решения  неравенств, записанных на доске и решите их:



Ответы. Ученик.

Фёдоров С.

Свиршевская М.

Васильева А.

Михеев А.

На переносной доске работает Клинов А.

Решить неравенство:              

Приходилось ли вам встречать и другие способы решения неравенств?

Ответ: графический. Приложение 1.

Рассмотрим, в чем заключается графический способ решения.

Решить неравенство : 

Соловцов:  – строим графики функций   

Отмечаем точку пересечения графиков А.

Знак  >  понимаем так, что 1 график выше графика 2 и пишем ответ:
X < 2

Приложение 1.

Повторим алгоритм решения линейных неравенств с параметром: 

Клинов А. объясняет решение на переносной доске. 

x(a+1)<a

если  

если

если

II. Изучение новой темы:

Учитель: рассмотрим  методы решения типовых примеров.


В числовых неравенствах заменив число  на букву,  получим неравенство с параметром.

Рассмотрим методы решения  этих неравенств. Они аналогичны рассмотренным способам решения неравенств с модулем.


Т.к. знак модуля определён, т.е.    

Решение зависит от выражения  а+1

Учитель: решим следующее неравенство:

Ответ:

Если ;

Учитель: Решим 3 пример.


Какими способами можно решить неравенство, если бы вместо буквы а  стояло число?
Ответ: возведение обеих частей неравенства в квадрат, методом «промежутков».

Те же способы применяются и для неравенства с параметром.

Методом «промежутков» пойдет решать Семенова Д.

Методом возведения в квадрат- Федоров С.
,
,


Проверили решения данного примера.

Каким еще способом можно решить данное неравенство?
Ответ:  графический.

Показывается приложение 2.

1.Строим графики функций

Найдем те значения переменной Х, когда  первый график лежит выше второго.

Приложение 2.

Возможны варианты,  когда а < 5  и а > 5


Рассмотрев различные способы решения, сделаем вывод- какой метод наиболее рациональный? Какими методами можно решить неравенства с параметром?

Вывод:

Методы решения неравенств с модулем, содержащие параметр, аналогичны тем, что применяются при решении числовых неравенств с модулем: по определению модуля, возведение обеих частей в квадрат, метод интервалов, графический. Необходимо выбирать наиболее рациональный.

Домашнее задание:

Подобрать и решить 3 уравнения с модулем, 3 неравенства  с модулем и 3 неравенства с модулем, содержащие параметр. Можно придумать самим.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ – Репетитор по математике

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2016-04-24

24
Апр 2016

13 Задание (2016) (C1)Диагностические работыУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Задание 13 из Досрочного экзамена, резерв. 16.04.2016

Задание 13. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [].

Решение.

показать

а) Введем замену:  , получим уравнение:

Разложим левую часть на множители способом группировки:

или  

или .

Вернемся к исходной переменной:

или :

Отметим эти значения на линии тангенсов и получим корни:

Корни, лежащие во второй и третьей четверти отстоят от корней, лежащих в первой и четвертой четвертях на промежуток, равный , то есть на период функции :

б) Выберем корни, принадлежащие промежутку [].

Этот промежуток выделим дугой:

Получим значения , принадлежащие указанному промежутку:

Ответ: а) 

б)

И.В. Фельдман, репетитор по математике

 

Инна |
Отзывов (6)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2014-11-20

20
Ноя 2014

ВИДЕОЛЕКЦИИВИДЕОТЕКАУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеотека. Построение графиков функций, содержащих модуль

1. Видеолекция. Построение графиков функций, содержащих модуль Далее

Инна |
Отзывов (2)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2014-11-20

20
Ноя 2014

ВИДЕОТЕКАВИДЕОУРОКИУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеотека. Решение уравнений и неравенств с модулем

1. Видеолекция. Решение уравнений и неравенств с модулем. Далее

Инна |
Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2014-11-20

20
Ноя 2014

ВИДЕОТЕКАВИДЕОУРОКИУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеотека. Решение простейших уравнений с модулем.

Инна |
Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2014-04-14

14
Апр 2014

13 Задание (2016) (C1)ТРИГОНОМЕТРИЯУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Тригонометрическое уравнение с модулем

Решим тригонометрическое уравнение с модулем:

Так как уравнение содержит модуль, нам нужно этот модуль раскрыть по определению модуля.

Рассмотри два случая: Далее

Инна |
Отзывов (5)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2014-03-31

31
Мар 2014

15 Задание (2016) (C3)РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Решение системы неравенств с модулем

Решим систему неравенств с модулем из варианта №50 А. Ларина.

Далее

Инна |
Отзывов (2)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-11-19

19
Ноя 2012

ВИДЕОЛЕКЦИИУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеолекция 10. Комбинированные методы решения уравнений и неравенств с модулем

Содержание видеолекции:

1. Как правильно раскрывать модуль с учетом ОДЗ.

2. Решение уравнения

3. Как правильно учитывать условие существования корней при раскрытии модуля.

Далее

Инна |
Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-10-17

17
Окт 2012

18 Задание (2015) (C6)ВИДЕОЛЕКЦИИЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеолекция 7. «Графический метод решения задач с параметрами»

В видеолекции подробно разобрано 7 примеров задач с параметрами, начиная  с очень простых и заканчивая реальными заданиями С5 из ЕГЭ. Далее

Инна |
Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-10-17

17
Окт 2012

18 Задание (2015) (C6)ВИДЕОЛЕКЦИИЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеолекция «Графический метод решения задач с параметрами»

В видеолекции «Графический метод решения задач с параметрами» подробно разобрано 7 примеров задач с параметрами, начиная  с очень простых и заканчивая реальными задачами из Задания 18  ЕГЭ по математике. Далее

Инна |
Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-09-09

09
Сен 2012

ВИДЕОЛЕКЦИИОНЛАЙН КУРСЫУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Видеолекция «Построение графика функции, содержащей модуль»

Содержание Видеолекции «Построение графика функции, содержащей модуль»:

1. График функции y=|x|.

2. Построение графика функции y=|x+3|+|2x+1|-x  с помощью раскрытия модуля.

3. Построение графика функции y=|x+3|+|2x+1|-x по четырем точкам. Далее

Инна |
Отзывов (62)

Уравнения и неравенства с параметром. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.















1.

Линейное уравнение с параметром


Сложность:
лёгкое

4


2.

Уравнение с модулем и параметром


Сложность:
лёгкое

7


3.

Показательное уравнение с параметром


Сложность:
лёгкое

2


4.

Неравенство с модулем и параметром


Сложность:
лёгкое

7


5.

Линейное уравнение с двумя параметрами


Сложность:
среднее

8


6.

Квадратичная функция с параметром


Сложность:
среднее

2


7.

Линейное неравенство с параметром


Сложность:
среднее

6


8.

Квадратичное неравенство с параметром


Сложность:
среднее

7


9.

Неравенство n-ой степени с параметром


Сложность:
среднее

3


10.

Линейное уравнение с параметром (с разложением на множители)


Сложность:
среднее

3


11.

Наименьшее целочисленное значение параметра


Сложность:
сложное

3


12.

Логарифмическое неравенство с параметром


Сложность:
сложное

4


13.

Показательное уравнение с параметром


Сложность:
сложное

4

Рабочая программа элективного курса «Уравнения и неравенства с модулем и параметром» 10 класс

Пояснительная записка

Целью реализации основной образовательной программы основного общего образования по элективному курсу «Уравнения и неравенства с модулем и параметром» является усвоение содержания учебного предмета «Уравнения и неравенства с модулем и параметром» и достижение обучающимися результатов изучения в соответствии с требованиями, установленными Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования и основной образовательной программой основного общего образования образовательной организации.

Программа обучения рассчитана на 16 часов (1 час в неделю в 1 полугодие, 16 учебных недель).

Главными задачами реализации элективного курса «Уравнения и неравенства с модулем и параметром» являются:

— формирование математического представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулем и параметром;

— формирование умений применения аппарата алгебры к решению уравнений и неравенств с модулем и параметром;

— формирование опыта овладения рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.

Пособие для педагога:

Авторская программа Д. Ф. Айвазяна (Математика 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс / авт. Сост. Д. Ф. Айвазян. — Волгоград: Учитель, 2009. – 204с.

Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: [Текст], учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 1999. — 400 с.

Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: учебн. пособие/ П.И.Горнштейн, В.Б Полонский, М.С. Якир. –Дрофа, 1998. — 87с.

Дорофеев, Г. В. Решение задач, содержащих модули и параметры:/ [Текст], пособие для поступающих в вузы/ Г.В. Дорофеев, В.В. Затахавай.

— Просвещение: АО «Учеб. лит.» 1996. — 320 с.

Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: [Текст]: учебн. пособие/ В.Н.Литвиненко, А. Г Мордкович. — М.: Просвещение, 1998. — с 134-168.

Родионов, Е.М. Решение задач с модулями и параметрами [Текст]: пособие для поступающих в вузы/ Е.М. Родионов, М.: Просвещение, 1997. — 120 с.

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса

ФГОС основного общего образования устанавливает требования к результатам освоения учебного предмета:

– личностным;

– метапредметным;

– предметным.

Таблица 1

Планируемые личностные и метапредметные результаты освоения учебного предмета, курса

способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

формирование и развитие учебной и общепользовательской компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности)

формирование первоначальных представлений об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов

умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни

умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др. ) для иллюстрации, интерпретации, аргументации

умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки

умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач

понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом

умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем

умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера

Таблица 2

Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета, курса

решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;

применять аппарат алгебры и начал математического анализа к решению алгебраических задач;

приобретению знаний и опыта применения полученных знаний и умений для решения уравнений и неравенств с модулем и параметром

владеть знаниями:

— понятие модуля и параметра;

— алгоритмы решений задач с модулем и параметрами;

— зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем — от значений параметра;

— свойства функций в задачах с параметрами;

— свойства функций, содержащих модули;

— способы решений уравнений, неравенств и их систем, содержащих модуль.

пониманию и правильному использованию терминов

освоению приёмов работы с информацией, её осмыслению

Содержание элективного курса

10 класс (16 часов)

Раздел 1. Линейные и квадратные уравнения с модулем (4 часа)

Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+в|=0. Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с – любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|. Уравнения вида: |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t. Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину.

Раздел 2. Линейные неравенства с модулем. (3 часа)

Неравенство вида |ах+в|≤с. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

Неравенства вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т. Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Раздел 3. Линейное уравнение с параметрами (3 часа)

Понятие параметра. Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в. Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

Раздел 4. Линейные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в. Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Раздел 5. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена. Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

Тематическое планирование

Раздел 1. Линейные и квадратные уравнения с модулем (4 часа)

1.

Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+b|=0

Рассмотреть понятие модуля действительного числа. Познакомить учащихся с решением уравнения вида |х|= а, |ах+в|=0, основываясь на определение.

1

2.

Уравнений вида: |ах+b|=с, где с — любое действительное число, |ах+b|=|сх+d|

Познакомить учащихся с решением уравнения вида |ах+b|=с, где с — любое действительное число, |ах+b|=|сх+d|

1

3.

Уравнения вида: |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t

Познакомить учащихся с решением уравнения вида |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t

1

4.

Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину

Рассмотреть понятие квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину. Познакомить учащихся с решением квадратного уравнения, содержащего абсолютную величину.

1

Раздел 2. Линейные неравенства с модулем. (3 часа)

5.

Неравенство вида |ах+в|≤с. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

Рассмотреть понятие линейного неравенства, познакомить учащихся с алгебраическим методом решения неравенства для любых действительных значений с.

1

6.

Неравенства вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т. Графическая интерпретация.

Познакомить учащихся с решением неравенств вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т методом промежутков, графическим методом решения неравенства

1

7.

Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Рассмотреть графические и аналитические методы решения неравенств вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д

1

Раздел 3. Линейное уравнение с параметрами (3 часа)

8

Понятие параметра. Линейное уравнение с параметрами.

Рассмотреть вопросы: Что значит — решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит — исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры.

1

9.

Общий метод решения уравнения вида ах= в.

Рассмотреть варианты решения уравнения вида ах= в при в=0, в0.

1

10.

Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

Рассмотреть линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.).

1

Раздел 4. Линейные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

11.

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

Рассмотреть записи решения неравенства, при а<0, а>0, а=0.

1

12.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Познакомить учащихся с методом приведения к линейным уравнениям и неравенствам с параметрами, содержащих дополнительные условия.

1

13.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Познакомить учащихся с методом приведения к линейным уравнениям и неравенствам с параметрами, содержащих дополнительные условия.

Раздел 5. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

14

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром.

Познакомить учащихся с методом решения квадратных уравнений и неравенств с параметром.

1

15

Исследование квадратного трехчлена.

Рассмотреть исследование квадратного трехчлена.

1

16

Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

Рассмотреть зависимость количества корней от значения параметров. Рассмотреть параметр, как фиксированное число.

1

Календарно-тематическое планирование на 2020/2021 учебный год

10 класс, 16 часов

Уравнений вида: |ах+b|=с, где с — любое действительное число, |ах+b|=|сх+d|

1

11.09.20

3.

Уравнения вида: |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t

1

18. 09.20

4.

Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину

1

25.09.20

Раздел 2. Линейные неравенства с модулем. (3 часа)

5.

Неравенство вида |ах+в|≤с. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

1

02.10.20

6.

Неравенства вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т. Графическая интерпретация.

1

09.10.20

7.

Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

1

16.10.20

Раздел 3. Линейное уравнение с параметрами (3 часа)

8

Понятие параметра. Линейное уравнение с параметрами.

1

23.10.20

9.

Общий метод решения уравнения вида ах= в.

1

06.11.20

10.

Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

1

13.11.20

Раздел 4. Линейные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

11.

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

1

20.11.20

12.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

1

27.11.20

13.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

1

04. 12.20

Раздел 5. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

14

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром.

1

11.12.20

15

Исследование квадратного трехчлена.

1

18.12.20

16

Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

1

25.12.20

Уравнения и неравенства с модулем

Неравенства с модулем

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs. ru Содержание Неравенства с модулем Геометрический смысл модуля………………………… Замена переменной……………………………… Перебор

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Статья написана в соавторстве с А Г Малковой Уравнения и неравенства с модулем Данная статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих

Подробнее

Иррациональные неравенства

Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Иррациональные неравенства Учёт ОДЗ…………………………………… Равносильные преобразования………………………… Двукратное

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен.

2

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 3

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. В данной статье мы рассматриваем задачи с параметрами, так или иначе сводящиеся к исследованию квадратных уравнений и неравенств.

Подробнее

Ягубов.РФ. решаем неравенства

С. ШЕСТАКОВ [email protected] г. Москва решаем неравенства П О В Ы Ш Е Н И Е КВАЛИФИК А Ц И И / ЛЕКТО Р И Й 1.. Метод интервалов Перейдем теперь к описанию наиболее общих методов решения неравенств с одной

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

Иррациональные уравнения и системы

Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Знаки линейной функции

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Тренировочные задачи

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Тренировочные задачи Квадратные уравнения и неравенства с параметрами 2 Докажите, что уравнение имеет решение при любом a: а) a 2 + )x 2 + a + a 2 + a)x a 2

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

Логарифмические уравнения

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

Тема 03.

Уравнения с модулем

Тема. Уравнения с модулем Содержание.. Модуль.. Простейшие уравнения с модулем.. Метод интервалов.. Модуль Абсолютной величиной (модулем) числа называется расстояние на координатной прямой от точки до

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, [email protected] Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства 1. 1. Решите неравенство: Решим неравенство:. 2. 2. Решите неравенство: Найдём значения, при которых определены обе части неравенства: Для таких получаем: Тогда исходное неравенство

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÇÀÄÀ È Ñ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ

Â. À. Äàëèíãåð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÇÀÄÀ È Ñ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ àñòü УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО -е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà

Подробнее

Квадратные уравнения

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения………………………. 1 2 Выделение полного квадрата………………………….

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Тригонометрические уравнения с модулем

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Подробнее

Показательные неравенства

Показательные неравенства Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции Известно, что при основании, большем единицы, показательная функция возрастает, при положительном

Подробнее

Тригонометрические уравнения

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Задание С5 единого ГЭ 2005 года.

Даны два уравнения: Задание С5 единого ГЭ 2005 года. 2 (6p 70)x + 5p 42 = p 1 4x и (1 + 2 p 11 p 15 ) x = 28 3x. Значение параметра p 15 выбирается так, что при умножении числа различных корней первого

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÇÀÄÀ È Ñ ÌÎÄÓËÅÌ

 À Äàëèíãåð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÇÀÄÀ È Ñ ÌÎÄÓËÅÌ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО -е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà åñòâå ó åáíîãî

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs. ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОУ ДПО «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРА И НАЧАЛА

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

Квадратные уравнения

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения………………………. 1 2 Выделение полного квадрата………………………….

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Теоретический материал.

0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОЧНО ЗАОЧНАЯ ШКОЛА Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Ижевск

Подробнее

г. Классная работа.

5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Минимаксные задачи в тригонометрии

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

Подробнее

Курс по выбору «Задачи с модулями и параметрами» для учащихся 7-8 класса

Курс по
выбору

«Задачи с модулями и
параметрами»

для учащихся 7-8
класса

Курс по выбору «Задания с модулями и
параметрами» для учащихся 7- 8 классов
предполагает сквозное изучение материала
во втором полугодии 7 класса и 8 классе,
он рассчитан на учащихся, проявляющих
определенный интерес к математике, и
предполагающих в дальнейшем заняться
серьезным изучением математики.

Уравнения, неравенства и другие задачи,
связанные с модулем и параметрами, в
последние годы стали широко использоваться
как на школьных экзаменах, так и при
поступлении в высшие учебные заведения.
К сожалению, эти задачи либо мало, либо
вообще не представлены в учебниках для
массовых школ.  В последние годы в
связи со сменой парадигмы образования,
остро стоит вопрос об организации
учебного процесса, направленного на
развитие творческих способностей и
навыков исследовательской деятельности.
Решать эти проблемы  и призван
настоящий курс.

Задачи с модулями и параметрами играют
важную роль в формировании логического
мышления и математической культуры у
школьников, но их решение вызывает
значительные трудности. Это связано с
тем, что каждое уравнение или неравенство
с параметрами представляет собой целый
класс обычных уравнений и неравенств,
для каждого из которых должно быть
получено решение. Поэтому задачи в
данном курсе рассматриваются параллельно
с изучение соответствующих  вопросов
на уроках, вместе с тем происходит
систематизация знаний и углубление, 
как по содержанию, так и по практическому
применению и методам обоснований,
реализуются внутрипредметные связи.
Т.о. данный курс способствует лучшему
усвоению базового курса математики, а
с другой — служит для внутрипрофильной
дифференциации и построения индивидуального
образовательного пути, для раскрытия
основных закономерностей построения
математической теории. Решение задач
в математике является эквивалентом
эксперимента. Весь курс строится на
решении различных по степени важности
и сложности задач.

Целью данного курса является формирование
целостной системы решения упражнений
с модулями и параметрами, формированию
навыков организации учащимися
самостоятельных микроисследований.

В результате изучения курса учащиеся
должны  знать:

  • определение модуля и его геометрический 
    смысл,

  • алгоритм
    раскрытия модуля,

  • приемы
    решения уравнений и неравенств с
    модулем,

  • различные
    способы решения уравнений с параметрами,

  • приемы
    построения графиков уравнений, содержащих
    модуль.

Учащиеся должны уметь:

  • Решать упражнения на преобразование
    выражений, содержащих знак модуля,

  • Решать
    уравнения и неравенства определенных
    видов с модулем,

  • Решать
    линейные и квадратичные уравнения с
    параметрами.

Основными формами занятий с учащимися
являются практикумы по решению задач,
сообщения учащихся о результатах своих
исследований.

Учащиеся выполняют индивидуальные и
групповые задания по самостоятельному
решению задач, за что получают промежуточную
оценку за изучение курса. Курс завершается
результатов своей исследовательской
деятельности и рассчитан на  
часов.

Основное содержание
курса.
 7класс.
Раздел 1.

Задачи с модулем.( 6часов )

Определение модуля, его геометрический
смысл. Раскрытие знака модуля,
преобразование выражений, содержащих
модуль. Свойства модуля.

Уравнения вида ,
,

Построение графиков функций ,
,
,
.
Графики уравнений ,
.

Раздел 2

Задачи с параметрами. (10 часов)

Линейные уравнения с параметрами.
Уравнения, сводящиеся с линейным. Системы
линейных уравнений с параметрами.

Линейные неравенства с параметрами.
Уравнения с модулем и параметрами.

8 класс
Раздел 3.

Квадратные уравнения с параметрами.(6
часов)

Задачи о количестве корней квадратных
уравнений.

Решение квадратных уравнений

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Взаимное расположение корней квадратного
трехчлена

Необходимые условия в задачах с
параметрами

Раздел 4.
Задачи с модулями.(8
часов)

Определение модуля, его геометрический
смысл. Раскрытие знака модуля,
преобразование выражений, содержащих
модуль. Свойства модуля.

Уравнения вида ,
,

Построение графиков функций ,
,
,
.
Графики уравнений ,
.

(Рассматриваются более сложные упражнения
и включаются новые сведения)

Итоговое  занятие.
(2 часа)

Выступление учащихся с отчетами о
самостоятельной исследовательской
работе.
Литература

1. Изучение сложных тем курса алгебры
в средней школе: Учебно-методические
материалы по математике. М.: Илекса,
Ставрополь: Сервисшкола, 2002

2. В.В. Локоть. Задачи с параметрами.
Учебное пособие.- М.:АРКТИ, 2003

3. Ершова, А. П, и др. Тетрадь-конспект
по алгебре для 7, 8 классов — М.: Илекса.
2004

4. Ершова, А. П, и др Самостоятельные
и контрольные работы по алгебре  для
7,8 класса — М.: Илекса. 2004.

5. Лебединская Е. А. и др.  Задания
для обучения и развития учащихся,
М.:Интелект-центр, 2002.

6. Л.И. Звавич и др. Новые контрольные
и проверочные работы по алгебре для 7,
8 класса.

7. Зив, В.А. Гольдич.. Дидактические
материалы по алгебре для 7, 8 класса. —
СПб: ЧеРо-на Неве, 2003.

8. Журнал «Математика для школьников»

9. Газета «Математика».

10.И.И. Гайдуков. Абсолютная величина
— М.: Просвещение, 1968

Исследовательские задачи с параметрами и модулями

Тема 1. Аналитические решения основных типов задач (24 часа).

  • Введение. Задачи с параметрами.
  • Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем.
  • Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.
  • Параметр и свойство решений уравнений, неравенств и их систем.
  • Параметр как равноправная переменная.

Тема 2. Свойство функции в задачах с параметрами (10 часов).

  • Область значений функции.
  • Экспериментальные свойства функции.
  • Монотонность. Четность. Периодичность.

Тема 3. Графические приемы. Координатная плоскость (8 часов).

  • Параллельный перенос.
  • Поворот.

Тема 4. Уравнения и неравенства, содержащие параметры (18 часов).

  • Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.
  • Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным.
  • Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.
  • Квадратные неравенства.
  • Графическое решение некоторых уравнений и неравенств.

ПОВТОРЕНИЕ (4 часа).

Тема 5. Решение текстовых задач с параметрами (8 часов).

  • Решение текстовых задач с параметрами.

Тема 6. Задачи, содержащие неизвестное под знаком модуля (30 часов).

  • Алгебраический и геометрический способы решения неравенств с модулями.
  • Преобразование выражений с модулями.
  • Нахождение области определения функции, содержащей модуль.
  • Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
  • Решение уравнений с модулями графическим способом.
  • Решение систем, содержащих модуль.
  • Решение уравнений и неравенств, содержащих «модуль в модуле».

Тема 7. Системы уравнений и неравенств (22 часа).

  • Системы уравнений. Метод исключения.
  • Системы уравнений. Метод алгебраического сложения.
  • Системы уравнений. Метод замены переменных.
  • Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
  • Неравенства с двумя переменными.

ПОВТОРЕНИЕ   (4 часа).

Тема 8. Многочлены от нескольких переменных (10 часов).

  • Стандартный вид многочлена от нескольких переменных.
  • Симметрические многочлены.
  • Доказательство неравенств.
  • Геометрический смысл одного уравнения с двумя переменными.

Тема 9. Задачи с параметрами (30 часов).

  • Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем.
  • Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.
  • Параметр и свойства решений уравнений, неравенств и их систем.
  • Параметр как равноправная переменная.
  • Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.
  • Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным.
  • Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.
  • Квадратные неравенства.
  • Иррациональные уравнения.
  • Иррациональные неравенства.
  • Тригонометрические уравнения и неравенства.
  • Графическое решение некоторых уравнений и неравенств.

Тема 10. Неравенства (20 часов).

  • Неравенства, решаемые с помощью свойств показательной функции.
  • Неравенства, решаемые с помощью замены.
  • Иррациональные неравенства.
  • Тригонометрические неравенства.
  • Неравенства с модулями.

ПОВТОРЕНИЕ (4 часа).

Тема 11. Задачи, содержащие неизвестное под знаком модуля (26часов).

  • Алгебраический и геометрический способы решения неравенств с модулями.
  • Преобразование выражений с модулями.
  • Нахождение области определения функций, содержащих модули.
  • Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
  • Решение уравнений с модулями графическим способом.
  • Решение систем, содержащих модуль.
  • Решение систем и неравенств, содержащих  «модуль в модуле».

Тема 12. Применение производной в задачах с параметрами (18 часов).

  • Касательная к кривой.
  • Критические точки.
  • Монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции.
  • Построение графиков функций.

Решение физических и геометрических задач с параметрами.

Тема 13. Уравнения и неравенства с параметрами (16часов).

  • Изменение степени.
  • Изменение области допустимых значений.
  • Изменение свойств функций.
  • Использование графиков функций.

ПОВТОРЕНИЕ (4 часа).

абсолютных величин неравенств | Блестящая вики по математике и науке

Здесь мы рассмотрим определение абсолютного значения числа. Чтобы «отменить» знаки абсолютного значения, мы могли бы получить положительное или отрицательное значение, поскольку абсолютное значение −5-5 −5 совпадает с абсолютным значением 5 5 5, которое равно 5 5 5. Это становится методом, в котором у нас есть несколько случаев.

Основные шаги (для работы с линейными / множественными линейными неравенствами по абсолютным значениям):

  1. «Отменить» знаки абсолютного значения, сделав выражения внутри знака абсолютного значения отрицательными или положительными.
  2. Возьмите все полученные неравенства (все это наборы решений) и найдите набор решений. Чтобы выяснить набор решений с учетом набора наборов решений из случаев, которые вы разработали, рассмотрите исходную проблему как кусочную функцию, поэтому у вас есть варианты. Какие значения xx x делают левую часть отрицательной? Положительный? Нуль? Все это дополнительные ограничения на xx x, и вы будете пересекаться между этими дополнительными ограничениями на xx x и «окончательным» неравенством, полученным в результате работы над ситуацией, которую вы проделали.Это дает то, что я называю «ограниченным окончательным» неравенством.
  3. Наконец, вы берете объединение всех «ограниченных финальных» неравенств для вашего окончательного набора решений.

Мы рассмотрим, как это сделать, в следующих трех примерах.

Решить ∣x + 3∣ <7 | х + 3 | <7 ∣x + 3∣ <7.


Случай 1: x + 3x + 3x + 3 неотрицательно, или x⩾ − 3x \ geqslant -3x⩾ − 3
Свойство абсолютного значения говорит нам, что ∣a∣ = a | a | = a∣a∣ = a для неотрицательного aaa, поэтому в этом случае
∣x + 3∣ <7 ⟹ x + 3 <7 ⟹ x <4. | x + 3 | <7 \ следует x + 3 <7 \ следует x <4.∣x + 3∣ <7⟹x + 3 <7⟹x <4. Теперь у нас есть два неравенства, и решение для этого случая - пересечение обоих неравенств. Это потому, что xxx должен удовлетворять обоим, поскольку они зависят друг от друга ((((только потому, что x≥ − 3x \ geq -3x≥ − 3, мы имеем x <4) x <4) x <4). Следовательно, решение для этого случая: −3≤x <4-3 \ leq x <4−3≤x <4.

Случай 2: x + 3x + 3x + 3 отрицательно, или x <−3x <-3x <−3
Опять же, a∣ = −a | a | = -a∣a∣ = −a для отрицательного значения aaa, поэтому
∣x + 3∣ <7 ⟹ - (x + 3) <7 ⟹ x> −10.| x + 3 | <7 \ подразумевает - (x + 3) <7 \ подразумевает x> -10.∣x + 3∣ <7⟹− (x + 3) <7⟹x> −10.
По той же причине, что и выше, мы должны взять пересечение обоих неравенств, которое составляет −10

Наконец, мы возьмем объединение этих неравенств, поскольку они не зависят друг от друга:
-10 <х <4. □ -10 <х <4. \ _ \ квадрат-10 <х <4. □

Решить 2∣x + 2∣ − ∣x + 5∣⩽4 2 | x + 2 | — | x + 5 | \ leqslant 4 2∣x + 2∣ − ∣x + 5∣⩽4.


Случай 1: x + 2> 0 и x + 5> 0 ⟹ x> −2 x + 2> 0 \ text {and} x + 5> 0 \ подразумевает x> -2x + 2> 0 и x +5> 0⟹x> −2
В этом случае имеем
2 (x + 2) — (x + 5) ⩽42x + 4 − x − 5⩽4x − 1⩽4x⩽5⇒ − 2

Случай 2: x + 2> 0 и x + 5⩽0 x + 2> 0 \ text {and} x + 5 \ leqslant 0 x + 2> 0 и x + 5⩽0
Так как это всегда верно что x + 5> x + 2, x + 5> x + 2, x + 5> x + 2, этот случай невозможен.

Случай 3: x + 2⩽0 и x + 5> 0 ⟹ −5 0 \ подразумевает -5 0⟹ − 5 В этом случае имеем
−2 (x + 2) — (x + 5) ⩽4−2x − 4 − x − 5⩽4−3x − 9⩽4−3x⩽13x⩾ − 133⇒ − 133⩽x⩽ − 2.\ begin {выровнено}
-2 (x + 2) — (x + 5) & \ leqslant 4 \\
-2x — 4 — x — 5 & \ leqslant 4 \\
-3x — 9 & \ leqslant 4 \\
-3x & \ leqslant 13 \\
х & \ geqslant \ dfrac {-13} {3} \\
\ Rightarrow \ dfrac {-13} {3} \ leqslant x & \ leqslant -2.
\ end {align} −2 (x + 2) — (x + 5) −2x − 4 − x − 5−3x − 9−3xx⇒3−13 ⩽x ⩽4⩽4⩽4⩽13⩾3 −13 ⩽ −2.

Случай 4: x + 2⩽ и x + 5⩽ ⟹ x⩽ − 5 x + 2 \ leqslant \ text {and} x + 5 \ leqslant \ влечет x \ leqslant -5x + 2⩽ и x + 5⩽ ⟹x⩽ − 5
В этом случае имеем
−2 (x + 2) + (x + 5) ⩽4−2x − 4 + x + 5⩽4 − x + 1⩽4 − x⩽3x⩾3, \ begin {align}
-2 (x + 2) + (x + 5) & \ leqslant 4 \\
-2x — 4 + x + 5 & \ leqslant 4 \\
-x +1 & \ leqslant 4 \\
-x & \ leqslant 3 \\
х & \ geqslant 3,
\ end {align} −2 (x + 2) + (x + 5) −2x − 4 + x + 5 − x + 1 − xx ⩽4⩽4⩽4⩽3⩾3,
что невозможно, поскольку x⩽ − 5.2 — \ dfrac {1} {2} & <0 \\ \ left (x + 1 + \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ right) \ left (x + 1 - \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ right) & <0. \ end {align} (x + 2) 2−2 (x + 2) +1 (x + 2−1) 2 (x + 1) 2 (x + 1) 2−21 (x + 1 + 2). 1) (x + 1−2 1) <21 <21 <21 <0 <0. Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать диаграмму знакового анализа.

Мы знаем, что неравенство будет равно нулю, когда один множитель всего выражения равен нулю, а именно при −1−12-1 — \ frac {1} {\ sqrt {2}} −1−2 1 и −1 +12 -1 + \ frac {1} {\ sqrt {2}} −1 + 2 1, поэтому мы хотим знать, является ли каждый фактор положительным или отрицательным при определенных значениях xxx, которые меньше −1−12. -1 — \ frac {1} {\ sqrt {2}} −1−2 1, больше −1−12 -1 — \ frac {1} {\ sqrt {2}} −1−2 1 и меньше -1 + 12 -1 + \ frac {1} {\ sqrt {2}} -1 + 2 1 и больше -1 + 12 \ frac {1} {\ sqrt {2 }} 2 1.Мы также используем свойства, умноженные на отрицательные, дают положительные, положительные, умноженные на положительные, дают положительные, а отрицательные, умноженные на положительные, дают отрицательные. Чтобы убедиться, что левая часть меньше нуля, мы ищем xx x, которые дают нам отрицательные значения левой части.

Мы видим, что левая часть квадратного неравенства меньше нуля, когда −1−12
Снова делаем диаграмму знакового анализа:

Мы видим, что левая часть квадратного неравенства меньше нуля, когда −3−12 (((Обратите внимание, что эти неравенства удовлетворяют x <−2.) x <-2.) x <- 2.)

Теперь у нас есть два сложных неравенства (1) и (2), оба из которых являются решениями; xxx может лежать в любом интервале, в результате чего окончательное решение установлено

.

−3−12

8

-16

Ни один из других вариантов

16

Максимальное значение

для всех действительных чисел xxx.

∣3x + 8∣ − ∣4x∣? | 3x + 8 | — | 4x | ? ∣3x + 8∣ − ∣4x∣?

Отправьте свой ответ

Y = ∣x∣ − ∣x + 1∣ + ∣x + 2∣ − ∣x + 3∣ + ⋯ + ∣x + 2016∣ Y = | x | — | x + 1 | + | х + 2 | — | x + 3 | + \ cdots + | x + 2016 | Y = ∣x∣ − ∣x + 1∣ + ∣x + 2∣ − ∣x + 3∣ + ⋯ + ∣x + 2016∣

Найдите минимальное значение Y Y Y.

Обозначение : ∣⋅∣ | \ cdot | ∣⋅∣ обозначает функцию абсолютного значения.

Абсолютные неравенства

— объяснение и примеры

Абсолютное значение неравенств подчиняется тем же правилам, что и абсолютное значение чисел . Разница в том, что у нас есть переменная в априорном и константа во втором.

В этой статье будет представлен краткий обзор неравенств по абсолютным значениям, за которым будет следовать пошаговый метод для решения неравенств по абсолютным значениям .

Наконец, есть примеры различных сценариев для лучшего понимания.

Что такое абсолютное неравенство?

Прежде чем мы сможем научиться решать неравенства по абсолютным значениям, давайте напомним себе об абсолютном значении числа.

По определению, абсолютное значение числа — это расстояние значения от начала координат, независимо от направления. Абсолютное значение обозначается двумя вертикальными линиями, охватывающими число или выражение.

Например, , абсолютное значение x выражается как | х | = a, откуда следует, что x = + a и -a.Теперь давайте посмотрим, что влечет за собой неравенство абсолютных ценностей.

Абсолютное неравенство — это выражение с абсолютными функциями, а также со знаками неравенства. Например, выражение | x + 3 | > 1 — неравенство по абсолютной величине, содержащее символ «больше».

На выбор доступны четыре различных символа неравенства. Они меньше ( <), больше (> ), меньше или равны () и больше или равны ().Таким образом, неравенства по абсолютной величине могут иметь любой из этих четырех символов.

Как разрешить абсолютные неравенства?

Этапы решения неравенств абсолютных значений во многом аналогичны решению уравнений абсолютных значений. Однако есть некоторая дополнительная информация, которую следует иметь в виду при решении неравенств абсолютных значений.

Ниже приведены общие правила, которые следует учитывать при решении неравенств абсолютных значений:

  • Выделите слева выражение абсолютного значения.
  • Решите положительную и отрицательную версии неравенства абсолютных значений.
  • Когда число по другую сторону знака неравенства отрицательное, мы либо заключаем, что все действительные числа являются решениями, либо неравенство не имеет решения.
  • Когда число на другой стороне положительное, мы устанавливаем составное неравенство, удаляя столбцы абсолютных значений.
  • Тип знака неравенства определяет формат формируемого сложного неравенства.Например, если проблема содержит знак больше или больше / равно, настройте составное неравенство, которое имеет следующую форму:

(значения в полосах абсолютных значений) <- (число на другой стороне) ИЛИ (Значения в полосах абсолютных значений)> (Число на другой стороне).

  • Аналогично, если проблема содержит знак меньше или меньше / равно, задайте составное трехчастное неравенство следующего вида:

— (Число с другой стороны знака неравенства) <( количество в столбцах абсолютных значений) <(Число с другой стороны знака неравенства)

Пример 1

Решите неравенство для x: | 5 + 5x | — 3> 2.

Решение

Выделите выражение абсолютного значения, добавив 3 к обеим сторонам неравенства;

=> | 5 + 5x | — 3 (+ 3)> 2 (+ 3)

=> | 5 + 5x | > 5.

Теперь решите как положительную, так и отрицательную «версии» неравенства следующим образом;

Мы примем символы абсолютного значения, решив уравнение обычным способом.

=> | 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5.

=> 5 + 5_x_> 5

Вычтем 5 с обеих сторон

5 + 5x (- 5)> 5 (- 5) 5x> 0

Теперь разделим обе стороны на 5

5x / 5> 0/5

x > 0.

Таким образом, x > 0 — одно из возможных решений.

Чтобы найти отрицательную версию неравенства абсолютного значения, умножьте число с другой стороны знака неравенства на -1 и переверните знак неравенства:

| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x <- 5 => 5 + 5x <-5 Вычтем 5 с обеих сторон => 5 + 5x (−5) <−5 (- 5) => 5x <−10 => 5x / 5 < −10/5 => х <−2.

x > 0 или x <−2 - два возможных решения неравенства.В качестве альтернативы мы можем решить | 5 + 5x | > 5 по формуле:

(значения в столбцах абсолютных значений) <- (число на другой стороне) ИЛИ (значения в столбцах абсолютных значений)> (число на другой стороне).

Иллюстрация:

(5 + 5x) <- 5 OR (5 + 5x)> 5

Решите приведенное выше выражение, чтобы получить;

x <−2 или x > 0

Пример 2

Решить | x + 4 | — 6 <9

Решение

Выделите абсолютное значение.

| x + 4 | — 6 <9 → | x + 4 | <15

Так как в нашем выражении абсолютного значения знак неравенства меньше, мы задаем трехкомпонентное решение для составного неравенства как:

-15

-19

Пример 3

Решить | 2x — 1 | — 7 ≥ -3

Решение

Сначала выделите переменную

| 2x — 1 | — 7≥-3 → | 2x — 1 | ≥4

Мы установим составное неравенство «или» из-за знака «больше или равно» в нашем уравнении.

2 — 1≤ — 4 или 2x — 1 ≥ 4

Теперь решим неравенства;

2x — 1 ≤ -4 или 2x — 1 ≥ 4

2x ≤ -3 или 2x ≥ 5

x ≤ -3/2 или x ≥ 5/2

Пример 4

Решить | 5x + 6 | + 4 <1

Решение

Выделите абсолютное значение.

| 5x + 6 | + 4 <1 → | 5x + 6 | <-3

Поскольку число на другой стороне отрицательное, проверьте также противоположное, чтобы определить решение.

| 5x + 6 | <-3

Положительный <отрицательный (ложный). Следовательно, это абсолютное неравенство не имеет решения.

Пример 5

Решить | 3x — 4 | + 9> 5

Решение

Выделите абсолютное значение.

| 3x — 4 | + 9> 5 → | 3x — 4 | > -4

| 5x + 6 | <-3

Поскольку, положительное <отрицательное (истина). Следовательно, все решения этого неравенства по абсолютной величине - действительные числа.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Алгебра — Абсолютные неравенства

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-15: Неравенства абсолютных значений

В предыдущем разделе мы решили уравнения, содержащие абсолютные значения.В этом разделе мы хотим рассмотреть неравенства, содержащие абсолютные значения. Нам нужно будет рассмотреть два отдельных случая.

Неравенства с участием

<и \ (\ le \)

Как и в случае с уравнениями, давайте начнем с довольно простого случая.

\ [\ left | п \ право | \ le 4 \]

Это говорит о том, что независимо от того, что такое \ (p \), оно должно находиться на расстоянии не более 4 от начала координат. Это означает, что \ (p \) должно быть где-то в диапазоне

.

\ [- 4 \ le p \ le 4 \]

Мы могли бы получить аналогичное неравенство с <и получить аналогичный результат.

В общем, здесь используются следующие формулы:

\ [\ require {bbox} \ bbox [2pt, border: 1px сплошной черный] {\ begin {align *} {\ mbox {If}} \ left | п \ право | \ le b, \, \, \, b> 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} — b \ le p \ le b \\ {\ mbox {If}} \ left | п \ право | 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} — b

Обратите внимание, что требует, чтобы значение \ (b \) было положительным так же, как мы сделали с уравнениями.

Давайте взглянем на пару примеров.

Пример 1 Решите каждую из следующих задач.

  1. \ (\ влево | {2x — 4} \ вправо | <10 \)
  2. \ (\ left | {9m + 2} \ right | \ le 1 \)
  3. \ (\ left | {3 — 2z} \ right | \ le 5 \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (\ left | {2x — 4} \ right | Показать решение

На самом деле особо нечего делать, кроме как ввести формулу. Как и в случае с уравнениями, \ (p \) просто представляет все, что находится внутри столбцов абсолютных значений.Итак, с первым у нас есть

\ [- 10

Итак, это не что иное, как довольно простое двойное неравенство, которое нужно решить, так что давайте сделаем это.

\ [\ begin {array} {c} — 6

Обозначение интервала для этого решения — \ (\ left ({- 3,7} \ right) \).

b \ (\ left | {9m + 2} \ right | \ le 1 \) Показать решение

Здесь особо нечего делать.

\ [\ begin {array} {c} — 1 \ le 9m + 2 \ le 1 \\ — 3 \ le 9m \ le — 1 \\ \ displaystyle — \ frac {1} {3} \ le m \ le — \ frac {1} {9} \ end {array} \]

Обозначение интервала: \ (\ left [{- \ frac {1} {3}, — \ frac {1} {9}} \ right] \).

c \ (\ left | {3 — 2z} \ right | \ le 5 \) Показать решение

Нам нужно быть немного осторожнее с решением двойного неравенства с этим, но в остальном оно в значительной степени идентично предыдущим двум частям.

\ [\ begin {array} {c} -5 \ le 3 — 2z \ le 5 \\ — 8 \ le — 2z \ le 2 \\ 4 \ ge z \ ge — 1 \ end {array} \]

На последнем этапе не забудьте изменить направление неравенств, так как мы разделили все на отрицательное число.Обозначение интервала для этого решения \ (\ left [{- 1,4} \ right] \).

Неравенства с участием> и \ (\ ge \)

Давайте снова начнем с простого числового примера.

\ [\ left | п \ право | \ ge 4 \]

Это говорит о том, что каким бы ни был \ (p \), он должен находиться на расстоянии не менее 4 от начала координат, и поэтому \ (p \) должен находиться в одном из следующих двух диапазонов:

\ [p \ le — 4 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {или}} \ hspace {0.25 дюймов} п \ ge 4 \]

Перед тем, как дать общее решение, нам нужно обратиться к типичной ошибке, которую делают студенты при решении таких задач. Многие студенты пытаются объединить их в одно двойное неравенство следующим образом:

\ [- 4 \ ge p \ ge 4 \]

Хотя это может показаться логичным, мы не можем достаточно подчеркнуть, что ЭТО НЕПРАВИЛЬНО !! Вспомните, что говорит двойное неравенство. В двойном неравенстве требуется, чтобы оба неравенства выполнялись одновременно. Двойное неравенство выше означало бы, что \ (p \) — это число, которое одновременно меньше -4 и больше 4.Это просто не имеет смысла. Нет числа, которое бы этому соответствовало.

Эти решения нужно записать в виде двух неравенств.

Вот их общая формула.

\ [\ require {bbox} \ bbox [2pt, border: 1px сплошной черный] {\ begin {align *} {\ mbox {If}} \ left | п \ право | \ ge b, \, \, \, b> 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} p \ le — b {\ mbox {или}} p \ ge b \\ {\ mbox {If}} \ left | п \ право | > b, \, \, \, b> 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} pb \ end {align *}} \ ]

Опять же, потребует, чтобы было положительным числом \ (b \).Приведем пару примеров.

Пример 2 Решите каждую из следующих задач.

  1. \ (\ влево | {2x — 3} \ вправо |> 7 \)
  2. \ (\ влево | {6t + 10} \ вправо | \ ge 3 \)
  3. \ (\ влево | {2 — 6y} \ вправо |> 10 \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (\ left | {2x — 3} \ right |> 7 \) Показать решение

Опять же, \ (p \) представляет количество внутри столбцов абсолютных значений, поэтому все, что нам нужно сделать здесь, это вставить формулу, а затем решить два линейных неравенства.

\ [\ begin {align *} 2x — 3 & 7 \\ 2x & 10 \\ x & 5 \ end {align *} \]

Обозначения интервалов для них \ (\ left ({- \ infty, — 2} \ right) \) или \ (\ left ({5, \ infty} \ right) \).

b \ (\ left | {6t + 10} \ right | \ ge 3 \) Показать решение

Давайте просто подключим формулы и перейдем сюда,

\ [\ begin {align *} 6t + 10 & \ le — 3 & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {or}} & \ hspace {0.25 дюймов} 6t + 10 & \ ge 3 \\ 6t & \ le — 13 & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {or}} & \ hspace {0,25 дюйма} 6t & \ ge — 7 \\ t & \ le — \ frac {{13}} {6} & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {или}} & \ hspace {0,25 дюйма} t & \ ge — \ frac {7} {6} \ end { выровнять*}\]

Обозначения интервалов для них: \ (\ left ({- \ infty, — \ frac {{13}} {6}} \ right] \) или \ (\ left [{- \ frac {7} {6} , \ infty} \ right) \).

c \ (\ left | {2 — 6y} \ right |> 10 \) Показать решение

Опять же, здесь особо нечего делать.

\ [\ begin {align *} 2 — 6y & 10 \\ — 6y & 8 \\ y &> 2 & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {or}} & \ hspace {0,25in} y &

Обратите внимание, что нам пришлось изменить направление неравенств при делении на отрицательное число! Обозначение интервалов для этих решений — \ (\ left ({2, \ infty} \ right) \) или \ (\ left ({- \ infty, — \ frac {4} {3}} \ right) \).

Хорошо, теперь нам нужно быстро взглянуть на то, что происходит, если \ (b \) равно нулю или отрицательно.Мы сделаем это с помощью набора примеров и начнем с нуля.

Пример 3 Решите каждую из следующих задач.

  1. \ (\ влево | {3x + 2} \ вправо | <0 \)
  2. \ (\ слева | {x — 9} \ справа | \ le 0 \)
  3. \ (\ влево | {2x — 4} \ вправо | \ ge 0 \)
  4. \ (\ влево | {3x — 9} \ вправо |> 0 \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Эти четыре примера, кажется, охватывают все наши базы.

a \ (\ left | {3x + 2} \ right | Показать решение

Теперь мы знаем, что \ (\ left | p \ right | \ ge 0 \) и поэтому не может быть меньше нуля. Следовательно, в этом случае нет решения, поскольку невозможно, чтобы абсолютное значение было строго меньше нуля (, т.е. отрицательное значение).

b \ (\ left | {x — 9} \ right | \ le 0 \) Показать решение

Это почти то же самое, что и предыдущая часть. Мы по-прежнему не можем иметь абсолютное значение меньше нуля, однако оно может быть равно нулю.Так что решение будет только в том случае, если

\ [\ left | {x — 9} \ right | = 0 \]

, и мы знаем, как решить эту проблему из предыдущего раздела.

\ [x — 9 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = 9 \]

c \ (\ left | {2x — 4} \ right | \ ge 0 \) Показать решение

В этом случае давайте еще раз напомним, что независимо от того, что такое \ (p \), у нас гарантированно будет \ (\ left | p \ right | \ ge 0 \). Это означает, что независимо от того, что такое \ (x \), мы можем быть уверены, что \ (\ left | {2x — 4} \ right | \ ge 0 \) будет истинным, поскольку абсолютные значения всегда будут положительными или нулевыми.

Решением в этом случае являются все действительные числа или все возможные значения \ (x \). В обозначениях неравенства это будет \ (- \ infty

d \ (\ left | {3x — 9} \ right |> 0 \) Показать решение

Эта часть почти идентична предыдущей, за исключением того, что на этот раз обратите внимание, что мы не хотим, чтобы абсолютное значение когда-либо было равно нулю. Итак, нас не волнует, какое значение принимает абсолютное значение, если оно не равно нулю. Это означает, что нам просто нужно избегать значений \ (x \), для которых мы получаем

\ [\ left | {3x — 9} \ right | = 0 \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} 3x — 9 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = 3 \]

Решением в этом случае являются все действительные числа, кроме \ (x = 3 \).

А теперь давайте быстро разберем примеры с отрицательными числами.

Пример 4 Постановка задачи.

  1. \ (\ left | {4x + 15} \ right | <- 2 \) и \ (\ left | {4x + 15} \ right | \ le - 2 \)
  2. \ (\ left | {2x — 9} \ right | \ ge — 8 \) и \ (\ left | {2x — 9} \ right |> — 8 \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Обратите внимание, что мы работаем с ними парами, потому что на этот раз, в отличие от предыдущего набора примеров, решения будут одинаковыми для каждого.

Оба (все четыре?) Из них будут использовать тот факт, что независимо от того, что такое \ (p \), у нас гарантированно будет \ (\ left | p \ right | \ ge 0 \). Другими словами, абсолютные значения всегда положительны или равны нулю.

a \ (\ left | {4x + 15} \ right | Показать решение

Хорошо, если абсолютные значения всегда положительны или равны нулю, они не могут быть меньше или равны отрицательному числу.

Следовательно, ни для одного из них нет решения.

b \ (\ left | {2x — 9} \ right | \ ge — 8 \) и \ (\ left | {2x — 9} \ right |> — 8 \) Показать решение

В этом случае, если абсолютное значение положительное или нулевое, оно всегда будет больше или равно отрицательному числу.

Тогда решением для каждого из них будут все действительные числа.

Решение абсолютных уравнений и неравенств

Уравнения абсолютных значений

Напомним, что абсолютное значение расстояния от графика числа до до нуля на числовой прямой обозначается | a |.действительного числа a , обозначенное | a |, определяется как расстояние между нулем (началом координат) и графиком этого действительного числа на числовой прямой. Например, | −3 | = 3 и | 3 | = 3.

Кроме того, абсолютное значение действительного числа может быть определено алгебраически как кусочная функция.

| a | = {a, если a≥0 − a, если a <0

Учитывая это определение, | 3 | = 3 и | −3 | = — (- 3) = 3. Следовательно, уравнение | x | = 3 имеет два решения для x , а именно {± 3}.В общем, для любого алгебраического выражения X и любого положительного числа p :

Если | X | = p, то X = −p или X = p.

Другими словами, аргумент абсолютного значения Число или выражение внутри абсолютного значения. X может быть положительным или отрицательным p . Используйте эту теорему для алгебраического решения уравнений абсолютных значений.

Пример 1

Решить: | x + 2 | = 3.

Решение:

В этом случае аргумент абсолютного значения равен x + 2 и должен быть равен 3 или −3.

Следовательно, чтобы решить это уравнение абсолютного значения, установите x + 2 равным ± 3 и решите каждое линейное уравнение как обычно.

| x + 2 | = 3x + 2 = −3 или x + 2 = 3x = −5x = 1

Ответ: Решения — 5 и 1.

Чтобы визуализировать эти решения, нарисуйте функции по обе стороны от знака равенства на одном и том же наборе осей координат. В этом случае f (x) = | x + 2 | — функция абсолютного значения, сдвинутая на две единицы по горизонтали влево, а g (x) = 3 — постоянная функция, график которой представляет собой горизонтальную линию.Определите значения x , где f (x) = g (x).

Из графика видно, что обе функции совпадают, где x = −5 и x = 1. Решения соответствуют точкам пересечения.

Пример 2

Решить: | 2x + 3 | = 4.

Решение:

Здесь аргумент абсолютного значения равен 2x + 3 и может быть равен −4 или 4.

| 2x + 3 | = 42x + 3 = −4 или 2x + 3 = 42x = −72x = 1x = −72x = 12

Проверьте, удовлетворяют ли эти решения исходному уравнению.

Чек x = −72

Чек x = 12

| 2x + 3 | = 4 | 2 (−72) +3 | = 4 | −7 + 3 | = 4 | −4 | = 44 = 4 ✓

| 2x + 3 | = 4 | 2 (12) +3 | = 4 | 1 + 3 | = 4 | 4 | = 44 = 4 ✓

Ответ: Решения −72 и 12.

Для применения теоремы необходимо изолировать абсолютное значение. Общие шаги для решения уравнений абсолютных значений приведены в следующем примере.

Пример 3

Решите: 2 | 5x − 1 | −3 = 9.

Решение:

Шаг 1 : Выделите абсолютное значение, чтобы получить форму | X | = p.

2 | 5x − 1 | −3 = 9 Добавьте 3 к обеим сторонам 2 | 5x − 1 | = 12 Разделите обе части на 2.| 5x − 1 | = 6

Шаг 2 : Установите аргумент абсолютного значения равным ± p . Здесь аргумент 5x − 1 и p = 6.

5x − 1 = −6 или 5x − 1 = 6

Шаг 3 : Решите каждое из полученных линейных уравнений.

5x − 1 = −6 или 5x − 1 = 65x = −55x = 7x = −1x = 75

Шаг 4 : Проверить решения в исходном уравнении.

Чек x = −1

Чек x = 75

2 | 5x − 1 | −3 = 92 | 5 (−1) −1 | −3 = 92 | −5−1 | −3 = 92 | −6 | −3 = 912−3 = 99 = 9 ✓

2 | 5x − 1 | −3 = 92 | 5 (75) −1 | −3 = 92 | 7−1 | −3 = 92 | 6 | −3 = 912−3 = 99 = 9 ✓

Ответ: Решения: -1 и 75.

Попробуй! Решите: 2−7 | x + 4 | = −12.

Ответ: −6, −2

Не все уравнения абсолютных значений имеют два решения.

Пример 4

Решите: | 7x − 6 | + 3 = 3.

Решение:

Начните с выделения абсолютного значения.

| 7x − 6 | + 3 = 3 Вычтем 3 с обеих сторон.| 7x − 6 | = 0

Только ноль имеет нулевое абсолютное значение, | 0 | = 0. Другими словами, | X | = 0 имеет одно решение, а именно X = 0. Поэтому установите аргумент 7x − 6 равным нулю, а затем решите относительно x .

7x − 6 = 07x = 6x = 67

Геометрически одно решение соответствует одной точке пересечения.

Ответ: Решение 67.

Пример 5

Решите: | x + 7 | + 5 = 4.

Решение:

Начните с выделения абсолютного значения.

| x + 7 | + 5 = 4 Вычтем 5 с обеих сторон. | X + 7 | = −1

В этом случае мы видим, что изолированное абсолютное значение равно отрицательному числу. Напомним, что абсолютное значение всегда будет положительным. Следовательно, делаем вывод, что решения нет. Геометрически точки пересечения нет.

Ответ: Нет решения, Ø.

Если дано уравнение с двумя абсолютными значениями вида | a | = | b |, то b должно быть таким же, как a или наоборот. Например, если a = 5, то b = ± 5 и мы имеем:

| 5 | = | −5 | или | 5 | = | +5 |

В общем случае заданы алгебраические выражения X и Y :

Если | X | = | Y | тогда X = −Y или X = Y.

Другими словами, если два выражения абсолютного значения равны, то аргументы могут быть одинаковыми или противоположными.

Пример 6

Решить: | 2x − 5 | = | x − 4 |.

Решение:

Установите 2x − 5 равным ± (x − 4), а затем решите каждое линейное уравнение.

| 2x − 5 | = | x − 4 | 2x − 5 = — (x − 4) или 2x − 5 = + (x − 4) 2x − 5 = −x + 42x − 5 = x − 43x = 9x = 1x = 3

Для проверки подставляем эти значения в исходное уравнение.

Чек x = 1

Чек x = 3

| 2x − 5 | = | x − 4 || 2 (1) −5 | = | (1) −4 || −3 | = | −3 | 3 = 3 ✓

| 2x − 5 | = | x − 4 || 2 (3) −5 | = | (3) −4 || 1 | = | −1 | 1 = 1 ✓

В качестве упражнения используйте графическую утилиту для построения графиков f (x) = | 2x − 5 | и g (x) = | x − 4 | на одном наборе осей.Убедитесь, что графики пересекаются там, где x равно 1 и 3.

Ответ: Решения — 1 и 3.

Попробуй! Решите: | x + 10 | = | 3x − 2 |.

Ответ: −2, 6

Неравенства абсолютных значений

Начнем с рассмотрения решений следующего неравенства:

| х | ≤3

Абсолютное значение числа представляет собой расстояние от начала координат.Следовательно, это уравнение описывает все числа, расстояние от которых до нуля меньше или равно 3. Мы можем построить график этого набора решений, закрасив все такие числа.

Конечно, мы можем видеть, что существует бесконечно много решений для | x | ≤3, ограниченных −3 и 3. Выразите это множество решений, используя обозначение множества или обозначение интервала следующим образом:

{x | −3≤x≤3} Установить обозначение [−3,3] Интервальное обозначение

В этом тексте мы будем выражать решения в интервальной нотации.В общем, для любого алгебраического выражения X и любого положительного числа p :

Если | X | ≤p, то −p≤X≤p.

Эта теорема верна и для строгих неравенств. Другими словами, мы можем преобразовать любое неравенство абсолютных значений, включающее « меньше, чем », в составное неравенство, которое можно решить обычным образом.

Пример 7

Решите и изобразите набор решений: | x + 2 | <3.

Решение:

Ограничьте аргумент x + 2 числами −3 и 3 и решите.

| x + 2 | <3−3

Здесь мы используем открытые точки для обозначения строгих неравенств на графике следующим образом.

Ответ: Используя обозначение интервалов, (−5,1).

Решение | x + 2 | <3 можно интерпретировать графически, если мы положим f (x) = | x + 2 | и g (x) = 3, а затем определить, где f (x) f и g на одном и том же наборе осей.

Решение состоит из всех значений x , где график f находится ниже графика g. В этом случае мы видим, что | x + 2 | <3, где значения x находятся в диапазоне от −5 до 1. Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример 8

Решите: 4 | x + 3 | −7≤5.

Решение:

Начните с выделения абсолютного значения.

4 | х + 3 | −7≤54 | x + 3 | ≤12 | x + 3 | ≤3

Затем примените теорему и перепишите неравенство абсолютных значений как составное неравенство.

| х + 3 | ≤3−3≤x + 3≤3

Решить.

−3≤x + 3≤3−3−3≤x + 3−3≤3−3−6≤x≤0

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ в виде интервалов. Здесь мы используем закрытые точки для обозначения инклюзивных неравенств на графике следующим образом:

Ответ: Используя обозначение интервала, [−6,0]

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 3+ | 4x − 5 | <8.

Ответ: Обозначение интервалов: (0,52)

Затем мы исследуем решения неравенства, которое включает « больше », как в следующем примере:

| х | ≥3

Это неравенство описывает все числа, расстояние от которых до начала координат больше или равно 3. На графике мы можем заштриховать все такие числа.

Существует бесконечно много решений, которые можно выразить с помощью обозначений множеств и интервалов следующим образом:

{x | x≤ − 3 или x≥3} Установить обозначение (−∞, −3] ∪ [3, ∞) Интервальное обозначение

В общем случае для любого алгебраического выражения X и любого положительного числа p :

Если | X | ≥p, то X≤ − p или X≥p.

Теорема верна и для строгих неравенств. Другими словами, мы можем преобразовать любое неравенство абсолютных значений, включающее « больше », в составное неравенство, описывающее два интервала.

Пример 9

Решите и изобразите набор решений: | x + 2 |> 3.

Решить

Аргумент x + 2 должен быть меньше −3 или больше 3.

| x + 2 |> 3x + 2 <−3 или x + 2> 3x <−5x> 1

Ответ: Используя обозначение интервалов, (−∞, −5) ∪ (1, ∞).

Решение | x + 2 |> 3 можно интерпретировать графически, если мы положим f (x) = | x + 2 | и g (x) = 3, а затем определить, где f (x)> g (x), построив график f и g на одном и том же наборе осей.

Решение состоит из всех значений x , где график f находится над графиком g. В этом случае мы видим, что | x + 2 |> 3, где значения x меньше −5 или больше 1. Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример 10

Решите: 3 + 2 | 4x − 7 | ≥13.

Решение:

Начните с выделения абсолютного значения.

3 + 2 | 4x − 7 | ≥132 | 4x − 7 | ≥10 | 4x − 7 | ≥5

Затем примените теорему и перепишите неравенство абсолютных значений как составное неравенство.

| 4x − 7 | ≥54x − 7≤ − 5 или 4x − 7≥5

Решить.

4x − 7≤ − 5 или 4x − 7≥54x≤24x≥124x≤24x≥34x≤12

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ в виде интервалов.

Ответ: Используя обозначение интервалов, (−∞, 12] ∪ [3, ∞)

Попробуй! Решить и построить график: 3 | 6x + 5 | −2> 13.

Ответ: Используя обозначение интервалов, (−∞, −53) ∪ (0, ∞)

До этого момента наборы решений линейных неравенств по модулю состояли из одного ограниченного интервала или двух неограниченных интервалов.Это не всегда так.

Пример 11

Решить и построить график: | 2x − 1 | +5> 2.

Решение:

Начните с выделения абсолютного значения.

| 2x − 1 | +5> 2 | 2x − 1 |> −3

Обратите внимание, что у нас абсолютное значение больше отрицательного числа. Для любого действительного числа x абсолютное значение аргумента всегда будет положительным. Следовательно, любое действительное число решит это неравенство.

Геометрически мы можем видеть, что f (x) = | 2x − 1 | +5 всегда больше, чем g (x) = 2.

Ответ: Все числа действительные, ℝ.

Пример 12

Решить и построить график: | x + 1 | + 4≤3.

Решение:

Начните с выделения абсолютного значения.

| х + 1 | + 4≤3 | х + 1 | ≤ − 1

В этом случае мы видим, что изолированное абсолютное значение должно быть меньше или равно отрицательному числу.Опять же, абсолютное значение всегда будет положительным; отсюда можно сделать вывод, что решения нет.

Геометрически мы видим, что f (x) = | x + 1 | +4 никогда не меньше g (x) = 3.

Ответ: Ø

Таким образом, существует три случая для уравнений и неравенств абсолютных значений. Отношения =, <, ≤,> и ≥ определяют, какую теорему применять.

Случай 1 : Уравнение абсолютного значения:

Если | X | = p, тогда X = −p или X = p

Случай 2 : Неравенство абсолютных значений, предполагающее, что « меньше .”

Если | X | ≤pthen −p≤X≤p

Случай 3 : Неравенство абсолютных значений, включающее « больше ».

Если | X | ≥pt, то X≤ − p или X≥p

Основные выводы

  • Чтобы решить уравнение абсолютного значения, такое как | X | = p, замените его двумя уравнениями X = −p и X = p, а затем решите каждое из них как обычно.Уравнения абсолютных значений могут иметь до двух решений.
  • Чтобы решить неравенство абсолютных значений, включающее «меньше чем», например | X | ≤p, замените его составным неравенством −p≤X≤p, а затем решите как обычно.
  • Чтобы решить неравенство абсолютных значений, включающее «больше чем», например | X | ≥p, замените его составным неравенством X≤ − p или X≥p, а затем решите как обычно.
  • Не забудьте выделить абсолютное значение перед применением этих теорем.

Тематические упражнения

    Часть A: Решение уравнений абсолютных значений.

    1. | 12x − 23 | = 16

    2. | 23x + 14 | = 512

    3. 12 | х − 5 | −23 = −16

    4. 13 | х + 12 | + 1 = 32

    5. 12 | 2 (3x − 1) −3 | + 1 = 4

    6. 23 | 4 (3x + 1) −1 | −5 = 3

    7. | 23x + 12 | = | 32x − 13 |

    8. | 35x − 52 | = | 12x + 25 |

      Предположим, что все переменные в знаменателе ненулевые.

    1. Решите относительно x : p | ax + b | −q = 0

    2. Решите относительно x : | ax + b | = | p + q |

    Часть B: Неравенства абсолютных значений

      Решите и изобразите набор решений.Кроме того, укажите набор решений в интервальной записи.

    1. | 13x − 23 | ≤1

    2. | 112x − 12 | ≤32

    3. | 17x − 314 |> 12

    4. | 12x + 54 |> 34

      Решите и изобразите набор решений.

    1. | 13 (х + 2) −76 | −23≤ − 16

    2. | 110 (х + 3) −12 | +320> 14

    3. 32− | 2−13x | <12

    4. 54− | 12−14x | <38

      Предположим, что все переменные в знаменателе ненулевые.

    1. Решите относительно x , где a, p> 0: p | ax + b | — q≤0

    2. Решите относительно x , где a, p> 0: p | ax + b | −q≥0

      Учитывая график f и g , определите значения x , где:

      1. f (x) = g (x)
      2. f (x)> g (x)
      3. f (x)

    Часть C: Обсуждение

    1. Сделайте три карточки для заметок, по одной на каждый из трех случаев, описанных в этом разделе.На одной стороне напишите теорему, а на другой напишите полное решение типичного примера. Поделитесь своей стратегией выявления и решения абсолютных уравнений и неравенств на доске обсуждений.

    2. Создайте свои собственные примеры уравнений и неравенств абсолютных значений, не имеющих решения, по крайней мере, по одному для каждого случая, описанного в этом разделе.Проиллюстрируйте свои примеры графиком.

ответов

  1. (-5,5);

  2. [-4, -2];

  3. Ø;

  4. [-1,4];

  5. {35};

  6. [-1,5];

  7. (−∞, −5] ∪ [5, ∞);

  8. (−∞, −10) ∪ (6, ∞);

  9. ℝ;

  10. (−∞, −2] ∪ [7, ∞);

  11. (−∞, −32) ∪ (3, ∞);

  12. (−∞, −2) ∪ (5, ∞);

  13. (−∞, −2) ∪ (3, ∞);

  14. (1,7);

  15. (−∞, 3) ∪ (5, ∞);

  16. (−∞, −8) ∪ (3, ∞);

  17. (−∞, −19] ∪ [−6, ∞);

  18. ℝ;

  19. [23,2];

  20. (-12, -2);

  21. (−∞, 0) ∪ (6, ∞);

  22. [0,3];

  23. 12;

  24. (-12,32);

  25. (0,12);

  26. (−∞, 3) ∪ (9, ∞);

  27. −q − bpap≤x≤q − bpap

    1. −6,0;
    2. (−∞, −6) ∪ (0, ∞);
    3. (−6,0)

Абсолютное неравенство значений — ChiliMath

В этом уроке мы узнаем, как решать неравенства абсолютных значений, используя стандартный подход, который обычно преподается на уроках алгебры.То есть выучите правила и правильно их применяйте. При решении неравенств по абсолютным значениям используются четыре случая .

ВНИМАНИЕ: Во всех случаях предполагается, что значение «a» положительное, то есть a> 0.


Четыре (4) случая, которые следует учитывать при решении абсолютных неравенств

КОРПУС 1 :

КОРПУС 2 :

КОРПУС 3 :

Абсолютное значение любого числа равно нулю (0) или положительному, которое никогда не может быть меньше или равно отрицательному числу.

Ответ на этот случай всегда нет решения .

КОРПУС 4 :

Абсолютное значение любого числа равно нулю (0) или положительно. Имеет смысл, что оно всегда должно быть больше любого отрицательного числа.

Ответ в этом случае всегда , все действительные числа .


Примеры решения абсолютных неравенств

Пример 1 : Решите неравенство абсолютных значений.

Если вы еще не знакомы с различными случаями, я предлагаю вам сохранить копию приведенного выше списка случаев для справки.Это определенно поможет вам легко решить проблемы.

Проблема предполагает, что существует значение «x», которое может сделать утверждение истинным. Ну, абсолютное значение чего-либо всегда равно нулю или положительному, которое никогда не бывает меньше отрицательного числа. Это утверждение должно быть ложным, следовательно, нет решения . Это пример case 3 .

Выберите несколько тестовых значений для проверки:

  • Если x положительно, скажем, x = 5;
  • Если x отрицательно, скажем, x = -5;

Пример 2 : Решите неравенство абсолютных значений.

Если задуматься, любое значение «x» может сделать утверждение истинным. Проверьте несколько чисел, включая ноль, а также любые отрицательные или положительные числа. Что вы получаете?

Помните, что выражение абсолютного значения даст нулевой или положительный ответ, который всегда больше отрицательного числа. Следовательно, ответ , все действительные числа . Это корпус 4 .


Пример 3 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это неравенство «меньше чем» по абсолютному значению, которое является примером , случай 1 .Избавьтесь от символа абсолютного значения, применив правило. Затем решите возникшее линейное неравенство.

Цель состоит в том, чтобы изолировать переменную «x» посередине. Для этого вычтем левую, среднюю и правую части неравенства на 6.

Ответ в форме символа неравенства утверждает, что решения — это все значения x от -8 до -4, но не включая сами значения -8 и -4.

Мы также можем записать ответ в интервальной нотации, используя круглые скобки, чтобы обозначить, что -8 и -4 не являются частью решений.

Или напишите ответ в числовой строке, где мы используем белые кружки, чтобы исключить -8 и -4 из решения.


Пример 4 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это неравенство «меньше или равно» по абсолютной величине, которое все еще подпадает под случай 1 . Очистите символ абсолютного значения с помощью правила и решите линейное неравенство.

Выделите переменную «x» посередине, сложив все стороны на 6, а затем разделив на 3 (коэффициент при x).

Символ неравенства предполагает, что решением являются все значения x от -3 до 7, а также включая конечные точки -3 и 7. Мы включаем конечные точки, потому что мы используем символ «≤».

Чтобы записать ответ в виде интервалов, мы будем использовать квадратные скобки вместо обычных скобок, чтобы обозначить, что -3 и 7 являются частью решения.

И, наконец, мы будем использовать закрашенные или закрашенные кружки, чтобы показать, что включены -3 и 7.


Пример 5 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это пример неравенства «больше чем» по абсолютному значению, который является примером случая , случай 2 . Давайте удалим выражение абсолютного значения, используя приведенное ниже правило.

Как видите, мы решаем два отдельных линейных неравенства.

В обозначении интервалов слово « или » заменяется символом «\ чашка», означающим « объединение ». Объединение наборов означает, что мы собираем неперекрывающиеся элементы двух или более наборов решений.

Ответ в интервальной нотации станет более понятным, если вы посмотрите, как он выглядит на числовой строке. В случае 2 стрелки всегда будут в противоположных направлениях. Белые кружки означают, что -3 и 7 не включены в решения, которые являются следствием символа «>«.


Пример 6 : Решите неравенство абсолютных значений.

Разбейте это на два линейных неравенства и решите каждое отдельно. Вот правило для case 2 .

Вот решение.

Для обозначения интервалов мы используем квадратные скобки, чтобы включить в решение -2 и 3.

Закрашенные или закрашенные кружки означают, что -2 и 3 являются частью решения. В случае 2 стрелки всегда будут указывать в противоположных направлениях.


Возможно, вас заинтересует:

Решение уравнений абсолютных значений

Функции построения графиков абсолютных значений

неравенств | Безграничная алгебра

Введение в неравенство

Неравенства используются для демонстрации отношений между числами или выражениями.

Цели обучения

Объясните, что представляет собой неравенство и как оно используется

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Неравенство описывает взаимосвязь между двумя разными значениями.
  • Обозначение [латекс] a b [/ latex] ] означает, что [latex] a [/ latex] строго больше, чем [latex] b [/ latex].
  • Понятие [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex], а обозначение [latex] a \ geq b [ / latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex].
  • Неравенства особенно полезны для решения проблем, связанных с минимальными или максимальными возможными значениями.
Ключевые термины
  • числовая строка : визуальное представление набора действительных чисел в виде ряда точек.
  • неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.

В математике неравенства используются для сравнения относительного размера значений.Их можно использовать для сравнения целых чисел, переменных и различных других алгебраических выражений. Ниже приводится описание различных типов неравенств.

Строгое неравенство

Строгое неравенство — это отношение, которое выполняется между двумя значениями, когда они различны. Точно так же, как в уравнениях используется знак равенства =, чтобы показать, что два значения равны, в неравенствах используются знаки, чтобы показать, что два значения не равны, и описать их взаимосвязь. Символы строгого неравенства: [latex] <[/ latex] и [latex]> [/ latex].

Строгие неравенства отличаются от обозначения [латекс] a \ neq b [/ latex], что означает, что a не равно [latex] b [/ latex]. Символ [latex] \ neq [/ latex] не говорит о том, что одно значение больше другого или даже о том, что их можно сравнить по размеру.

В двух типах строгих неравенств [latex] a [/ latex] не равно [latex] b [/ latex]. Для сравнения размеров значений существует два типа отношений:

  1. Обозначение [латекс] a
  2. Обозначение [латекс] a> b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex].

Значение этих символов можно легко запомнить, заметив, что «большая» сторона символа неравенства (открытая сторона) обращена к большему числу. «Меньшая» сторона символа (точка) обращена к меньшему числу.

Указанные выше отношения можно продемонстрировать на числовой прямой. Вспомните, что значения на числовой строке увеличиваются по мере продвижения вправо.Следовательно, следующее представляет отношение [латекс] a [/ латекс] меньше, чем [латекс] b [/ латекс]:

[латекс] a

[латекс] a [/ latex] находится слева от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.

и следующее демонстрирует, что [латекс] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex]:

[латекс] a> b [/ латекс]

[latex] a [/ latex] находится справа от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.

В целом обратите внимание, что:

  • [латекс] a a [/ latex]; например, [latex] 7 <11 [/ latex] эквивалентно [latex] 11> 7 [/ latex].
  • [латекс] a> b [/ latex] эквивалентно [latex] b 6 [/ латекс].

Другое неравенство

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

  • Обозначение [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex] (или, что эквивалентно, «максимум» [латекс] б [/ латекс]).
  • Обозначение [латекс] a \ geq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex] (или, что то же самое, «по крайней мере» [ латекс] б [/ латекс]).

Неравенства с переменными

В дополнение к отображению отношений между целыми числами, неравенства могут использоваться для отображения отношений между переменными и целыми числами.

Например, рассмотрим [латекс] x> 5 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] больше 5 ″ и означает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может иметь любое значение больше 5, но не 5 сама по себе.Для визуализации этого см. Числовую строку ниже:

[латекс] x> 5 [/ латекс]

Обратите внимание, что кружок над цифрой 5 не заполнен, что означает, что 5 не входит в возможные значения [latex] x [/ latex].

В качестве другого примера рассмотрим [латекс] x \ leq 3 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] меньше или равно 3 ″ и указывает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может быть 3 или любым значением меньше 3. Для визуализации это, см. числовую строку ниже:

[латекс] x \ leq 3 [/ латекс]

Обратите внимание, что кружок над цифрой 3 закрашен, что означает, что 3 входит в возможные значения [latex] x [/ latex].

Неравенства демонстрируются раскрашиванием стрелки в соответствующем диапазоне числовой линии, чтобы указать возможные значения [latex] x [/ latex]. Обратите внимание, что открытый кружок используется, если неравенство строгое (т. Е. Для неравенств, использующих [latex]> [/ latex] или [latex] <[/ latex]), а закрашенный кружок используется, если неравенство не является строгим ( т.е. для неравенств с использованием [latex] \ geq [/ latex] или [latex] \ leq [/ latex]).

Решение проблем с неравенством

Напомним, что уравнения могут использоваться для демонстрации равенства математических выражений, включающих различные операции (например: [latex] x + 5 = 9 [/ latex]).Точно так же неравенства можно использовать для демонстрации взаимосвязи между различными выражениями.

Например, рассмотрим следующие неравенства:

  • [латекс] x — 7> 12 [/ латекс]
  • [латекс] 2x + 4 \ leq 25 [/ латекс]
  • [латекс] 2x

Каждое из них представляет отношение между двумя разными выражениями.

Одно из полезных применений неравенств, подобных этому, — в задачах, связанных с максимальными или минимальными значениями.

Пример 1

У Джареда есть лодка, максимальная масса которой составляет 2500 фунтов. Он хочет взять на лодку как можно больше друзей и предполагает, что он и его друзья в среднем весят 160 фунтов. Сколько людей могут одновременно кататься на его лодке?

Эту проблему можно смоделировать с помощью следующего неравенства:

[латекс] 160n \ leq 2500 [/ латекс]

где [latex] n [/ latex] — это количество людей, которые Джаред может взять на лодку. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим левую часть неравенства.Он представляет собой общий вес [латексных] n [/ латексных] людей весом 160 фунтов каждый. Неравенство гласит, что общий вес Джареда и его друзей должен быть на меньше или равен максимальному весу 2500, который является пределом веса лодки.

Есть шаги, которые можно выполнить, чтобы решить такое неравенство. На данный момент важно просто понять значение таких утверждений и случаев, в которых они могут быть применимы.

Правила разрешения неравенств

Арифметические операции могут использоваться для решения неравенств для всех возможных значений переменной.

Цели обучения

Решите неравенства, используя правила работы с ними

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Когда вы выполняете алгебраические операции с неравенствами, важно выполнять одну и ту же операцию с обеих сторон, чтобы сохранить истинность утверждения.
  • Если обе части неравенства умножаются или делятся на одно и то же положительное значение, результирующее неравенство истинно.
  • Если обе стороны умножаются или делятся на одно и то же отрицательное значение, направление неравенства изменяется.
  • Неравенства, связанные с переменными, могут быть решены, чтобы получить все возможные значения переменной, которые делают утверждение истинным.
Ключевые термины
  • неравенство : Утверждение, что из двух величин одна конкретно меньше или больше другой.

Операции с неравенствами

Когда вы выполняете алгебраические операции с неравенствами, важно проводить точно такие же операции с обеих сторон, чтобы сохранить истинность утверждения.

Каждая арифметическая операция подчиняется определенным правилам:

Сложение и вычитание

Любое значение [латекс] c [/ латекс] может быть добавлено или вычтено из обеих сторон неравенства. То есть для любых действительных чисел [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс]:

  • Если [латекс] a \ leq b [/ латекс], то [латекс] a + c \ leq b + c [/ латекс] и [латекс] a — c \ leq b — c [/ латекс].
  • Если [латекс] a \ geq b [/ латекс], то [латекс] a + c \ geq b + c [/ латекс] и [латекс] a — c \ geq b — c [/ латекс].

Пока одна и та же стоимость добавляется или вычитается с обеих сторон, результирующее неравенство остается верным.

Например, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] 12 <15 [/ латекс]

Давайте применим описанные выше правила, вычтя 3 с обеих сторон:

[латекс] \ begin {align} 12 — 3 & <15 - 3 \\ 9 & <12 \ end {align} [/ latex]

Это утверждение все еще верно.

Умножение и деление

В свойствах, связанных с умножением и делением, указано, что для любых действительных чисел [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и ненулевое значение [latex] c [/ latex]:

Если [latex] c [/ latex] положительное значение, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] не меняет неравенства:

  • Если [latex] a \ geq b [/ latex] и [latex] c> 0 [/ latex], то [latex] ac \ geq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ geq \ dfrac {b} {c} [/ latex].
  • Если [латекс] a \ leq b [/ latex] и [latex] c> 0 [/ latex], то [latex] ac \ leq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ leq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].

Если [latex] c [/ latex] отрицательно, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] меняет неравенство:

  • Если [latex] a \ geq b [/ latex] и [latex] c <0 [/ latex], то [latex] ac \ leq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ leq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].
  • Если [latex] a \ leq b [/ latex] и [latex] c <0 [/ latex], то [latex] ac \ geq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ geq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].

Обратите внимание, что умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет направление неравенства. Другими словами, символ больше становится символом меньше, и наоборот.

Чтобы увидеть применение этих правил, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] 5> -3 [/ латекс]

Умножение обеих сторон на 3 дает:

[латекс] \ begin {align} 5 (3) &> -3 (3) \\ 15 &> -9 \ end {align} [/ latex]

Мы видим, что это верное утверждение, потому что 15 больше 9.

Теперь умножьте то же неравенство на -3 (не забудьте изменить направление символа, потому что мы умножаем на отрицательное число):

[латекс] \ begin {align} 5 (-3) & <-3 (-3) \\ -15 & <9 \ end {align} [/ latex]

Это утверждение также верно. Это демонстрирует, насколько важно изменить направление символа «больше или меньше» при умножении или делении на отрицательное число.

Устранение неравенств

Решение неравенства, которое включает переменную, дает все возможные значения, которые может принимать переменная, которые делают неравенство истинным.Решение неравенства означает преобразование его таким образом, чтобы переменная находилась с одной стороны символа, а число или выражение — с другой. Часто для преобразования неравенства таким образом требуется несколько операций.

Сложение и вычитание

Чтобы увидеть, как правила сложения и вычитания применяются к решению неравенств, рассмотрим следующее:

[латекс] x — 8 \ leq 17 [/ латекс]

Сначала выделите [латекс] x [/ латекс]:

[латекс] \ begin {align} x — 8 + 8 & \ leq 17 + 8 \\ x & \ leq 25 \ end {align} [/ latex]

Следовательно, [латекс] x \ leq 25 [/ latex] является решением [латекса] x — 8 \ leq 17 [/ latex].Другими словами, [latex] x — 8 \ leq 17 [/ latex] верно для любого значения [latex] x [/ latex], которое меньше или равно 25.

Умножение и деление

Чтобы увидеть, как применяются правила умножения и деления, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] 2x> 8 [/ латекс]

Делим обе стороны на 2, получаем:

[латекс] \ begin {align} \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align } [/ латекс]

Таким образом, выражение [latex] x> 4 [/ latex] является решением для [latex] 2x> 8 [/ latex].Другими словами, [latex] 2x> 8 [/ latex] верно для любого значения [latex] x [/ latex] больше 4.

Теперь рассмотрим другое неравенство:

[латекс] — \ dfrac {y} {3} \ leq 7 [/ латекс]

Поскольку используется отрицательный знак, мы должны умножить его на отрицательное число, чтобы найти [латекс] y [/ latex]. Это означает, что мы также должны изменить направление символа:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle -3 \ left (- \ frac {y} {3} \ right) & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -21 \ end {align} [/ латекс]

Следовательно, решение [latex] — \ frac {y} {3} \ leq 7 [/ latex] — [latex] y \ geq -21 [/ latex].Таким образом, данное утверждение верно для любого значения [latex] y [/ latex], большего или равного [latex] -21 [/ latex].

Пример

Решите следующее неравенство:

[латекс] 3л — 17 \ geq 19 [/ латекс]

Сначала прибавьте 17 к обеим сторонам:

[латекс] \ begin {align} 3y — 17 + 17 & \ geq 19 + 17 \\ 3y & \ geq 36 \ end {align} [/ latex]

Затем разделите обе стороны на 3:

[латекс] \ begin {align} \ dfrac {3y} {3} & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq 12 \ конец {align} [/ latex]

Особые соображения

Обратите внимание, что было бы проблематично, если бы мы попытались умножить или разделить обе части неравенства на неизвестную переменную.Если какая-либо переменная [latex] x [/ latex] неизвестна, мы не можем определить, имеет ли она положительное или отрицательное значение. Поскольку правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел различаются, мы не можем следовать этому же правилу при умножении или делении неравенств на переменные. Однако переменные можно складывать или вычитать с обеих сторон неравенства.

Сложные неравенства

Составное неравенство включает в себя три выражения, а не два, но также может быть решено, чтобы найти возможные значения переменной.

Цели обучения

Решите сложное неравенство, уравновесив все три компонента неравенства

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Составное неравенство имеет следующий вид: [латекс] a
  • В составном неравенстве входят два утверждения. Первый оператор [латекс] a
  • Пример составного неравенства: [латекс] 4
  • Составное неравенство может содержать такое выражение, как [латекс] 1
Ключевые термины
  • сложное неравенство : Неравенство, состоящее из двух других неравенств в форме [латекс] a
  • неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.
Определение сложных неравенств

Сложное неравенство имеет следующий вид:

[латекс] a

На самом деле здесь есть два утверждения. Первый оператор [латекс] a

Составное неравенство [латекс] a a [/ latex]. Следовательно, форма [латекс] a

Рассмотрим [латекс] 4

[латекс] 4

Указанное выше неравенство по числовой прямой.

Аналогичным образом рассмотрим [латекс] -2

[латекс] -2

Указанное выше неравенство по числовой прямой.

[латекс] [/ латекс] Решение сложных неравенств

Теперь рассмотрим [латекс] 1 , а не число, лежит между двумя точками? Не волнуйтесь — мы все равно можем найти все возможные значения не только выражения, но и самой переменной [latex] x [/ latex].

Утверждение [латекс] 1

Чтобы найти возможные значения [latex] x [/ latex], нам нужно получить [latex] x [/ latex] отдельно:

[латекс] 1 — 6

[латекс] -5

Следовательно, мы обнаруживаем, что если [latex] x [/ latex] — любое число строго между -5 и 2, утверждение [latex] 1

Пример 1

Решите [латекс] -3 <\ dfrac {-2x-7} {5} <7 [/ latex].

Умножьте каждую часть, чтобы удалить знаменатель из среднего выражения:

[латекс] -3 \ cdot (5) <\ dfrac {-2x-7} {5} \ cdot (5) <7 \ cdot (5) [/ латекс]

[латекс] -15 <-2x-7 <35 [/ латекс]

Изолировать [латекс] x [/ латекс] в середине неравенства:

[латекс] — 15 + 7 <-2x -7 + 7 <35 + 7 [/ латекс]

[латекс] — 8 <-2x <42 [/ латекс]

Теперь разделите каждую часть на -2 (и не забудьте изменить направление символа неравенства!):

[латекс] \ displaystyle \ frac {-8} {- 2}> \ frac {-2x} {- 2}> \ frac {42} {- 2} [/ латекс]

[латекс] 4> x> -21 [/ латекс]

Наконец, принято (хотя и не обязательно) писать неравенство так, чтобы стрелки неравенства указывали влево (т.е., чтобы числа шли от наименьшего к наибольшему):

[латекс] -21

Неравенства с абсолютным значением

Неравенства с абсолютными значениями можно решить, думая об абсолютном значении как о числовом расстоянии от 0 на числовой прямой.

Цели обучения

Решите неравенства с абсолютным значением

Основные выводы

Ключевые моменты
  • К проблемам, связанным с абсолютными значениями и неравенствами, можно подойти по крайней мере двумя способами: путем проб и ошибок или путем представления абсолютного значения как представления расстояния от 0 с последующим поиском значений, удовлетворяющих этому условию.
  • При решении неравенств, которые включают абсолютное значение в более крупном выражении (например, [latex] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]), необходимо алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для переменной.
Ключевые термины
  • абсолютное значение : величина действительного числа без учета его знака; формально, -1 умножается на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
  • неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.
  • числовая строка : Линия, которая графически представляет действительные числа как последовательность точек, расстояние от которых до начала координат пропорционально их значению.

Рассмотрим следующее неравенство, которое включает абсолютное значение:

[латекс] | x | <10 [/ латекс]

Зная, что решение [latex] \ left | x \ right | = 10 [/ latex] — это [latex] x = ± 10 [/ latex], многие студенты отвечают на этот вопрос [latex] x <± 10 [/ latex ].Однако это неверно.

Вот два разных, но оба совершенно правильных подхода к решению этой проблемы.

Пробная версия и ошибка

Какие номера работают? То есть, для каких чисел [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] верное утверждение? Давай попробуем.

4 работы. -4 тоже. 13 не работает. Как насчет -13? Нет: Если [латекс] x = -13 [/ латекс], то [латекс] \ left | x \ right | = 13 [/ latex], что не менее 10.

Играя с числами таким образом, вы сможете убедить себя, что работающие числа должны быть где-то между -10 и 10.Это один из подходов к поиску ответа.

Абсолютное значение как расстояние

Другой способ — думать об абсолютном значении как о расстоянии от 0. [latex] \ left | 5 \ right | [/ latex] и [latex] \ left | -5 \ right | [/ latex] равны 5, потому что оба числа на 5 от 0.

В данном случае [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] означает «расстояние между [latex] x [/ latex] и 0 меньше 10». Другими словами, вы находитесь в пределах 10 единиц от нуля в любом направлении.Еще раз делаем вывод, что ответ должен быть между -10 и 10.

Этот ответ можно визуализировать в числовой строке, как показано ниже, в которой выделены все числа, абсолютное значение которых меньше 10.

Решение для [латекса] \ left | x \ right | <10 [/ latex]: Все числа, абсолютное значение которых меньше 10.

Нет необходимости использовать оба этих метода; используйте тот метод, который вам легче понять.

Абсолютное решение неравенств

К более сложным задачам абсолютного значения следует подходить так же, как к уравнениям с абсолютными значениями: алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для [латекс] x [/ латекс].

Например, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] \ влево | 2x \ вправо | + 3> 8 [/ латекс]

Трудно сразу представить себе значение этого абсолютного значения, не говоря уже о самом значении [latex] x [/ latex]. Необходимо сначала выделить неравенство:

[латекс] \ begin {align} \ left | 2x \ right | + 3 — 3 &> 8 — 3 \\ \ left | 2x \ right | &> 8 \ end {align} [/ латекс]

А теперь подумайте о числовой прямой. В этих терминах это утверждение означает, что выражение [latex] 2x [/ latex] должно находиться более чем в 8 разрядах от 0.Следовательно, оно должно быть больше 8 или меньше -8. Выражая это неравенствами, имеем:

[латекс] 2x> 8 [/ латекс] или [латекс] 2x <-8 [/ латекс]

Теперь у нас есть 2 отдельных неравенства. Если каждая из них решается отдельно для [latex] x [/ latex], мы увидим полный диапазон возможных значений [latex] x [/ latex]. Рассмотрим их самостоятельно. Первый:

[латекс] \ begin {align} 2x &> 8 \\ \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align} [/ latex]

Секунда:

[латекс] \ begin {align} 2x & <-8 \\ \ dfrac {2x} {2} & <\ dfrac {-8} {2} \\ x & <-4 \ end {align} [/ latex ]

Теперь у нас есть два диапазона решений исходного неравенства абсолютных значений:

[латекс] x> 4 [/ латекс] и [латекс] x <-4 [/ латекс]

Это также можно визуально отобразить в числовой строке:

Решение для [латекса] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]: Решение — любое значение [latex] x [/ latex] меньше -4 или больше 4.

Пример

Решите следующее неравенство:

[латекс] \ влево | x-2 \ вправо | + 10> 7 [/ латекс]

Во-первых, алгебраически выделите абсолютное значение:

[латекс] \ begin {align} \ left | x-2 \ right | + 10-10 &> 7-10 \\ \ left | x-2 \ right | &> — 3 \ end {align} [/ latex]

А теперь подумайте: абсолютное значение выражения больше –3. Чему могло быть равно выражение? 2 работы. –2 тоже работает. И 0. И 7. И –10. Абсолютные значения всегда положительны, поэтому абсолютное значение чего-либо больше –3! Поэтому все числа работают.

Об обобщенном модуле | SpringerLink

  • 1.

    Альцер, Х., Ричардс, К .: О модуле кольца Грёча. J. Math. Анальный. Прил. 432 , 134–141 (2015)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 2.

    Андерсон Г.Д., Ваманамурти М.К., Вуоринен М .: Конформные инварианты, неравенства и квазиконформные отображения. Уайли, Нью-Йорк (1997)

    Google Scholar

  • 3.

    Андерсон, Г.Д., Цю, С.-Л., Ваманамурти, М.К., Вуоринен, М .: Обобщенные эллиптические интегралы и модульные уравнения. Pac. J. Math. 192 , 1–37 (2000)

    MathSciNet
    Статья

    Google Scholar

  • 4.

    Баласубраманян, Р., Поннусами, С., Вуоринен, М .: Функциональные неравенства для частных гипергеометрических функций. J. Math. Анальный. Прил. 218 , 256–268 (1998)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 5.

    Берндт, Б.С., Бхаргава, С., Гарван, Ф.Г .: Теории Рамануджана об эллиптических функциях для альтернативных базисов. Пер. Являюсь. Математика. Soc. 347 , 4163–4244 (1995)

    MathSciNet
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 6.

    Borwein, J.M., Borwein, P.B .: Pi and the AGM. Уайли, Нью-Йорк (1987)

    Google Scholar

  • 7.

    Chu, Y.-M., Wang, G.-D., Zhang, X.-H., Qiu, S.-Л .: Обобщенная выпуклость и неравенства со специальными функциями. J. Math. Анальный. Прил. 336 , 768–776 (2007)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 8.

    Хакула, Х., Расила, А., Вуоринен, М .: О модулях колец и четырехугольников: алгоритмы и эксперименты. SIAM J. Sci. Comput. 33 , 279–302 (2011)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 9.

    Хейккала В., Линден Х., Ваманамурти М.К., Вуоринен М .: Обобщенные эллиптические интегралы и \ (M \) — функция Лежандра. J. Math. Анальный. Прил. 338 , 223–243 (2008)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 10.

    Хейккала В., Ваманамурти М.К., Вуоринен М .: Обобщенные эллиптические интегралы. Comput. Методы Функц. Теория 9 , 75–109 (2009)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 11.

    Олвер, Ф. У. Дж., Лозье, Д. У., Бойсвер, Р. Ф., Кларк, К. В. (ред.): Справочник по математическим функциям NIST. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2010)

    Google Scholar

  • 12.

    Цю, С.-Л., Вуоринен, М .: Бесконечные произведения и нормированные частные гипергеометрических функций. SIAM J. Math. Анальный. 30 , 1057–1075 (1999)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 13.

    Wang, G.-D., Zhang, X.-H., Jiang, Y.-P .: Вогнутость по Гельдеру означает использование обобщенной функции Грётча. J. Math. Анальный. Прил. 379 , 200–204 (2011)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 14.

    Чжан, X.-H., Ван, Г.-Д., Чу, Й.-М .: Замечания об обобщенных эллиптических интегралах. Proc. R. Soc. Edinb. Разд. A 139 , 417–426 (2009)

    MathSciNet
    Статья
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 15.
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.