2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

• Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел. (1/2).
• Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
• Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.

Содержание

Некоторые частные случаи


В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:


1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

Приведенное уравнение второй степени


Приведенным именуют
такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k». 2 + 18 * i * j * k * m.

Допустим, дискриминант превосходит ноль
. Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D

Видео


Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .

Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения — положительное и отрицательное значение корня квадратного.

Обратите внимание

При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей.2 — 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt — это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.

Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.

Элементы решения квадратных уравнений

По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.

Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю.2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.

В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

Разобьём выражение на составляющие множители

Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax 2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax 2 , оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax 2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

Пример

x=0 или 8х — 3 = 0

В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v 0 t + gt 2 /2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

Разложение выражения на множители

Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

X 2 — 33x + 200 = 0

Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

Например: 2x 3 + 2x 2 — 18x — 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

Извлечение квадратного корня

Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax 2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

Вычисление пощади земельного участка

Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м 2 .

Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

Дискриминант

Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x 2 + 16x — 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.

Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b 2 — 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D

О корнях и их формуле

В нашем случае дискриминант равен: 256 — 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к , решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.

Это значит, что в представленном случае: x 1 =18, x 2 =-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м 2).

Примеры и задачи

Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.

15x 2 + 20x + 5 — 12x 2 — 27x — 1 = 0

Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 — 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.

2) Теперь раскроем загадки другого рода.

Выясним, есть ли вообще здесь корни x 2 — 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 — 20 = -4, а значит, корней действительно нет.

Теорема Виета

Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.

Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

3x 2 + 21x — 54 = 0

Для простоты преобразуем выражение:

x 2 + 7x — 18 = 0

Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.

График и уравнение параболы

Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.

Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a

Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x 0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y 0 , то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у 0 принимает отрицательные значения. А для a0. В противном случае D

По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.

Из истории

С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.

Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.

Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b 2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x 2 + px + q = 0 будет справедливо значение x 1 + x 2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x 1 x x 2 = q.

Может ли дискриминант быть меньше нуля

При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

Поясняющее видео:

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений


Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1.

История развития квадратных уравнений


1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне


Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X

2

+

X

= ¾;

X

2

—

X

= 14,5


Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.


В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х

, другое же меньше, т.е. 10 — х

. Разность между ними 2х

.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 — х) = 96



100 — х 2
= 96



х 2
— 4 = 0 (1)



Отсюда х = 2

. Одно из искомых чисел равно 12

, другое 8

. Решение х = -2

для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 — у) = 96,


у 2
— 20у + 96 = 0. (2)


Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3

Квадратные уравнения в Индии


Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2
+

b

х = с, а > 0. (1)


В уравнении (1) коэфиценты, кроме а

, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.


«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(
x

/8) 2
+ 12 =

x


Бхаскара пишет под видом:

х 2
— 64х = -768


и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2

, получая затем:

х 2
— 64х + 32 2
= -768 + 1024,


(х — 32) 2
= 256,


х — 32 = ± 16,


х 1
= 16, х 2
= 48.


1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми


В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2
+ с =

b

х.


2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2
= с.


3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.


4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2
+ с =

b

х.


5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2
+

bx

= с.


6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

bx

+ с = ах 2
.


Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2
+ 21 = 10х).


Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе

XIII

—

XVII

вв


Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2
+

bx

= с,


при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b

, с

было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета


Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B

+

D

, умноженное на A

—

A

2

, равно BD

, то A

равно В

и равноD

».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А

, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х
), гласные же В,

D

— коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а +

b

)х — х 2
=

ab

,


х 2
— (а +

b

)х + а

b

= 0,


х 1
= а, х 2
=

b

.


Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений


Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

Квадратные уравнения. дискриминант., калькулятор онлайн, конвертер

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

• ax3 + bx2 + cx +d = 0 , (1)
• где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• Δ (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q1, y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

• α = β, и
• y₁=2α,
• y₂= y₃ = — α.

Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Тригонометрическая формула Виета решения кубических уравнений (нахождения корней).

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

1. Вычисляем

2. Вычисляем

3. a) Если S>0, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

б) Если S

Тогда единственный корень (вещественный): x₁= -2sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

• x₂= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3 +(3|Q|)1/2 sh(φ)i
• x₃= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3 -(3|Q|)1/2sh(φ)i

Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

• если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
• если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
• если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
• и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант.2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac{11-1}{2 \cdot 15}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}x_2= \frac{11+1}{2 \cdot 15}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}Ответ: \frac{1}{3}, \frac{2}{5}.

• Решите уравнение x2 + 9x + 20 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = -4, x_2 = -5.Ответ: -4, -5.

• Решите уравнение x2 – 7x – 30 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 10, x_2 = -3.Ответ: 10, -3.

• Решите уравнение x2 – 19x + 18 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = -19, c = 18. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{18}{1}=18.Ответ: 1, 18.

• Решите уравнение x2 + 7x + 6 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = 7, c = 6. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{6}{1}=-6.Ответ: -1, -6.

• Решите уравнение x2 – 8x + 12 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 6, x_2 = 2.Ответ: 6, 2.

• Решите уравнение x2 – x – 6 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 3, x_2 = -2.Ответ: 3, -2.

• Решите уравнение x2 – 15x – 16 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = -15, c = -16. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-16}{1}=16.Ответ: -1, 16.

• Решите уравнение x2 + 11x – 12 = 0

  Просмотреть решение и ответ

  См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = 11, c = -12. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1}=-12.Ответ: 1, -12.

Дискриминант

Эту формулу надо знать наизусть

Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение

А именно:

1. Если
2. Если = 0, есть ровно один корень;
3. Если > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:. Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: = 1, = −8, = 12; = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: = 1, = −8, = 12; = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение: = 5; = 3; = 7; = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение: = 1; = −6; = 9; = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок

Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Общие сведения

Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий»

Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных

При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2×2 = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

4 × 2 = 8 м2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

40 × 30 = 1200 м2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

Смысл дискриминанта

Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a2 +2ab + b2 = (a+b)2. Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1)2 — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1)2 = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.

В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

Уравнение am2 + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m2 + bm / a + c / a = 0.
Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m2 + 2bm / 2a + c / a = 0.
Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m 2 + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a)2. В итоге получится m2 + 2m * (b/2a) + (b/2a)2 — (b/2a)2 + c/a = 0.
Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a)2 = (b/2a)2 — c/a.
Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a)2 = b 2 -4 ac /4 a 2.
Умножив на 4a2 обе части. Выражение примет вид (2 am + b)2 = b 2 — 4 ac.

Вычисления на онлайн-калькуляторе

Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

• Math.semestr;
• Kontrolnaya-rabota;
• Onlinemschool;
• Wpcalc;
• Webmath.

Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

Предыдущая
МатематикаТранспортир — как правильно пользоваться инструментом для построения и измерения углов?
Следующая
МатематикаКак решать пропорции — правила, методы и примеры вычислений

Пример неравенства через дискриминант

Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4

Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а, b и c.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками  значений  a, b и с.  Вернее, не с их знаками (где там путаться?),  а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте!

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Или так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с.

Сообразили? В первом примере  a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с, а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать:
х₁ = 0, х₂ = 4.

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х₁ — то, что меньше, а х₂ — то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х₁ = -3, х₂ = 3.

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).  И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль.  Тогда получается:

\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.2-4x+4\) будет выглядеть вот так:

Типовые примеры

Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

Дано равенство 6×2 — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b2 — 4ac = (-13)2 — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.

Определить возможность решения уравнения 4m2 — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m2 — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.

Решить уравнение: x /3 — x2 / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4×2 / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x2 / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12×2) / 3. Получится 4 x — 3 x 2 + 2 = 18 x — 16 x 2. Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x 2 + 2 — 18 x + 16 x 2 = 13 x 2 — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14)2 — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.

Лайфхак третий (теорема, обратная теореме Виета). Если a = 1, то \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

Рассмотрим уравнение x2 – 12x + 35 = 0. В нём a = 1, b = -12, c = 35. Ни под первый, ни под второй лайфхак оно не подходит – условия не соблюдаются. Если бы оно подходило под первый или под второй, то мы бы обошлись без теоремы Виета.

Само использование теоремы Виета подразумевает понимание некоторых полезных приёмов.

Первый приём. Не стоит стесняться записывать саму систему вида \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases} , которая получается при использовании теоремы Виета. Не нужно пытаться во что бы ты ни стало решить уравнение абсолютно устно, без письменных пометок, как это делают “продвинутые пользователи”.

Для нашего уравнения x2 – 12x + 35 = 0 эта система имеет вид

\begin{cases} x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases}

Теперь нам нужно устно подобрать числа x_1 и x_2 , которые удовлетворяют нашей системе, т.е. в сумме дают 12, а при умножении 35.

Так вот, второй приём заключается в том, что начинать подбор нужно не с суммы, а с произведения. Посмотрим на второе уравнение системы и зададимся вопросом: какие числа при умножении дают 35? Если всё в порядке с таблицей умножения, то сразу приходит на ум ответ: 7 и 5. И только теперь подставим эти числа в первое уравнение: будем иметь 7 + 5 = 12, что является верным равенством. Итак, числа 7 и 5 удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы сразу пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Третий приём заключается в том, что если числа не удаётся подобрать быстро (в течение 15-20 секунд), то вне зависимости от причины нужно считать дискриминант и использовать формулу корней. Почему? Потому что корни могут не подбираться, если уравнение их вообще не имеет (дискриминант отрицательный), или же корни представляют собой числа, не являющиеся целыми.

Задача на определение дискриминанта

Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. 2 + 9 = 0;
2. 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: = = 0. В этом случае уравнение принимает вид a2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида 2 + = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−/) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида 2 + = 0 выполнено неравенство (−/) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−/)

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−/) ≥ 0. Достаточно выразить величину 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида 2 + = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

2 − 7 = 0 ⇒ · ( − 7) = 0 ⇒ ₁ = 0; ₂ = −(−7)/1 = 7.

52 + 30 = 0 ⇒ 52 = −30 ⇒ 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

42 − 9 = 0 ⇒ 42 = 9 ⇒ 2 = 9/4 ⇒ ₁ = 3/2 = 1,5; ₂ = −1,5.

1. Теорема Виета
2. Следствия из теоремы Виета
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Правила комбинаторики в задаче B6
5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией

Как объяснить ученику 8-9 класса, что такое дискриминант квадратного уравнения, как его получили, почему оно работает?

На самом деле дискриминант — штука достаточно нетривиальная и объяснить его непросто.2] 

(еще раз хочется сказать много теплых матерных слов разработчикам сайта, которые за хз сколько лет так и не сделали возможность верхних и нижних индексов)

Давайте посмотрим на эту формулу внимательно. Что можно про нее сказать? Во-первых, сразу видно, что если корни кв. уравнения совпадают (в общем случае уравнения n-ой степени — если хоть два из n корней совпадают), то дискриминант сразу обращается в ноль. Ненулевой дискриминант уравнения показывает нам, что все корни уравнения различны.
Дальше мы видим, что все множители, составляющие выражение дискриминанта, являются квадратами  — квадрат коэффициента и квадраты разностей корней. Это значит, что если все корни уравнения являются действительными числами, то дискриминант никак не может быть меньше нуля, поскольку квадрат любого действительного числа, равно как и разности любых двух действительных чисел, — это обязательно положительное число (или ноль). То есть, если дискриминант меньше нуля, то хотя бы один из корней обязательно является комплексным числом. В случае квадратного уравнения — оба корня.

То есть, дискриминант есть некоторый математический инструмент, который позволяет подразделить (отсюда и название) все n-степенные уравнения на три вида: 1) те, у которых есть совпадающие действительные корни, 2) те, у которых все корни разные и все действительные, и 3) те, у которых все корни разные и некоторые из них комплексные. Это бывает очень полезно для различных практических задач, когда нужно быть уверенным, что все решения уравнения — это действительные числа, поскольку (например!) иначе уравнение не имеет физического смысла. Или нужно видеть, в каком случае задача вырождена (некоторые корни совпадают). И так далее.

Теперь относительно формулы вычисления значения дискриминанта из коэф. квадратного уравнения. Эта формула получена обратным путем и не несет какого-то своего собственного глубокого смысла.2 — 4ac. Таким образом, оно никак не объясняет, что такое дискриминант. Это просто частный случай для квадратного уравнения, поскольку его (как и кубическое) еще можно решить алгебраически.

значение, формула, решение, примеры / Справочник :: Бингоскул

Математические равенства с одной, несколькими неопределенными величинами называют уравнением. Решить задачу – означает определить числовые значения так, чтобы получить достоверное равенство после подстановки в исходный конструктив. Выражения с
неизвестными имеют определенную степень. Она устанавливается наивысшей степенью,
присущей переменной.

Выражение считается квадратным, если степень искомого элемента – вторая. Возможно наличие одного или нескольких искомых корней.

Решение сложной системы с Х во второй степени предполагает предварительный расчет дискриминанта. Используется установленная формула D = b² − 4ac.

Дискриминант, равный 0, – присутствует один Х. D меньше 0 – отсутствуют корни. D больше 0 – в формуле две основных переменных.

Главный признак любого примера с неизвестной величиной рассматриваемой группы – наличие. Допускается присутствие простого искомого определителя параметра Х, свободных членов.

Максимальная степень больше 2 – структура не относится к данной категории. Общий вид стандартного выражения:

ах² + bx + c = 0

Переменные Х – свободные. Числовыми определителями являются a, b и c, «а» не может иметь значение нуль.

Что такое неполное квадратное уравнение, как его решать, примеры

Неполная конструкция – квадратное уравнение без «с», имеет стандартный вид ах² + bx + c = 0.

Минимум один числовой элемент приравнивается к 0. Это может быть с, b или оба числа. Отсюда следует, что структура имеет вид:

• При «c» нулевом: ах² + bx + c = 0
• При «b» нулевом: ах² + c = 0
• Оба коэффициента равны нулю: ах² = 0

Как решить пример с неизвестными неполного типа

Для решения системы ах² + bx  = 0 левая часть структуры представляется в виде множителей. Скобка разделяет между собой х. Получается: х*(ах + b) = 0. Получить ноль при умножении можно только при условии наличия одного нулевого множителя. Следовательно, х = 0, ах + b = 0.

Для достоверности комбинации ах + b = 0 необходимо выполнение условия:  X = — \frac {b} {a}. Тогда в ах² + bx  = 0 присутствуют 2 корня. Первый Х1 = 0, второй X2 = — \frac {b} {2a}.

Правило: неполный функционал , равный 0. Показатель – ненулевая часть, предусматривается разложение левого элемента на множители. Всегда присутствует несколько основ, одна = 0.

Решение системы стандартного типа:
 x² — 15x = 0
 x(x — 15) = 0
 x1 = 0,
 x — 15 = 0
 x2 = 15

Полное квадратное уравнение: решение, примеры

Полный вариант конструкции предполагает наличие коэффициентов, все показатели положительные, больше нуля. Такие квадратные уравнения ОГЭ выглядят следующим образом: ax² + bx + c = 0, «а» не может быть равным нулю.2-4ac } } { 2a} = \frac { -b \pm \sqrt d } {2a}

Дискриминант нулевой – для расчета единственной основной составляющей используется
выражение X = — \frac {b} {2a}

При решении подобных задач полного типа с положительным дискриминантом важно
учитывать наличие минуса.

 

Корень квадратного уравнения — это… Что такое Корень квадратного уравнения?

Корень квадратного уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b² − 4ac:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

         (1)

• при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

• при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Мнемонические правила

• Из «Радионяни»:

  «Минус» напишем сначала,
  Рядом с ним p пополам,
  «Плюс-минус» знак радикала,
  С детства знакомого нам.

  Ну, а под корнем, приятель,
  сводится всё к пустяку:
  p пополам и в квадрате
  Минус несчастное прекрасное q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

  p, со знаком взяв обратным,
  на два мы его разделим,
  и от корня аккуратно
  знаком «минус-плюс» отделим.

  А под корнем очень кстати
  половина p в квадрате
  минус q — и вот решенья,
  то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

См. также

Ссылки

• Решение квадратных уравнений онлайн [1],[2],[3]

Wikimedia Foundation.
2010.

• Корень женьшеня
• Корень квадратный

Смотреть что такое «Корень квадратного уравнения» в других словарях:

• Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

• Корень (в математике) — Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое ), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …   Большая советская энциклопедия

• Квадратный корень — У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения). Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими… …   Википедия

• Разложение Квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Разложение квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Квадратные уравнения — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Кубический корень — График функции y = Кубический (кубичный) корень из a  решение уравнения (обычно п …   Википедия

• Sqrt — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

• Метод Мюллера — итерационный численный метод для вычисления корня заданной функции f(x) = 0. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году. Метод Мюллера основан на методе секущих, который строит на каждом шаге итерации прямые, проходящие через две точки на… …   Википедия

• ИСТИННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ — еcтественного прироста нас., собственный коэффициент естественного прироста, коэффициент прогрессивности режима воспроиз ва, коэффициент Лотки, коэфф. естеств. прироста стабильного населения, соответствующего данному режиму воспроиз ва нас. И. к …   Демографический энциклопедический словарь

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/Equations

Решение
квадратных уравнений. Дискриминант.
Формула дискриминанта. Теорема Виета.


Квадратным
уравнением
называется уравнение вида

                 
,

Где
x
— переменная, a,
b, c
— постоянные (числовые) коэффициенты.

В
общем
случае
решение квадратных уравнений сводится
к нахождению дискриминанта: 

Формула дискриминанта:

.

О
корнях квадратного уравнения можно
судить по знаку дискриминанта (D)
:

• D>0
  — уравнение имеет 2 различных вещественных
  корня

• D=0
  — уравнение имеет 2 совпадающих
  вещественных корня

• D<0
  — уравнение имеет 2 мнимых корня (для
  непродвинутых пользователей — корней
  не имеет)

В
общем случае корни уравнения равны:

.

Очевидно,
в случае с нулевым
дискриминантом,
оба корня равны

.

Если
коэффициент при х четный,
то имеет смысл вычислять не дискриминант,
а четверть
дискриминанта:

В
таком случае корни уравнения вычисляются
по формуле:

 

Теорема
Виета.

Приведенным
квадратным уравнением
называется уравнение вида
 
,

то
есть квадратное уравнение с единичным
коэффициентом при старшем члене.

В
этом случае целесообразно применять
теорему Виета, которая позволяет получить
относительно корней уравнения следующую
систему уравнений:

Следует
заметить, что любое квадратное уравнение
может стать приведенным, если его
поделить на коэффициент при старшем
члене,

то
есть при х².

Квадратное
уравнение имеет вид:

Стандартный
метод нахождения корней уравнения
происходит в два этапа. Сначала вычисляется
дискриминант уравнения по формуле

Затем
считаются корни по формуле

Данный
онлайн калькулятор решает квадратные
уравнения именно таким способом.

**********

Если
известны корни уравнения, то исходный
многочлен можно разложить на множители:

В
ряде задач удобно использовать теорему
Виета, которая
выглядит следующим образом:

********************************************************************

Как
решать квадратные уравнения? Дискриминант.
http://www.egesdam.ru/page221.html

Поработаем
с квадратными
уравнениями.
Это очень популярные уравнения! В самом
общем виде квадратное уравнение выглядит
так:

Например:

Здесь
 а
=1; b
= 3; c
= -4

Или:

Здесь
 а
=2; b
= -0,5; c
= 2,2

Или:

Здесь
а
=-3; b
= 6; c
= -18

Ну,
вы поняли…

Как
решать квадратные уравнения?
Если перед вами квадратное уравнение
именно в таком виде, дальше уже всё
просто. Вспоминаем волшебное слово
дискриминант.
Редкий старшеклассник не слышал этого
слова! Фраза  «решаем через дискриминант»
вселяет уверенность и обнадёживает.
Потому что ждать подвохов от дискриминанта
не приходится! Он прост и безотказен в
обращении. Итак, формула для нахождения
корней квадратного уравнения выглядит
так:

Выражение
под знаком корня – и есть тот самый
дискриминант.
Как видим, для нахождения икса, мы
используем только
a, b и с.
Т.е. коэффициенты из квадратного
уравнения. Просто аккуратно подставляем
значения a,
b и с
в это формулу и считаем. Подставляем со
своими знаками!
Например, для первого уравнения  а
=1; b
= 3; c
= -4. Вот и записываем:

Пример
практически решён:

Вот
и всё.

Какие
случаи возможны при использовании этой
формулы? Всего три случая.

1.
Дискриминант положительный. Это значит,
из него можно извлечь корень. Хорошо
корень извлекается, или плохо – вопрос
другой. Важно, что извлекается в принципе.
Тогда у вашего квадратного уравнения
– два корня. Два различных решения.

2.
Дискриминант равен нулю. Тогда у вас
одно решение. Строго говоря, это не один
корень, а два
одинаковых.
Но это играет роль в неравенствах, там
мы поподробнее вопрос изучим.

3.
Дискриминант отрицательный. Из
отрицательного числа квадратный корень
не извлекается. Ну и ладно. Это означает,
что решений нет.

Всё
очень просто. И что, думаете, ошибиться
нельзя? Ну да, как же…

Самые
распространённые ошибки – путаница со
знаками  значений  a,
b и с. 
Вернее, не с их знаками (где там путаться?), 
а с подстановкой отрицательных значений
в формулу для вычисления корней. Здесь
спасает подробная запись формулы с
конкретными числами. Если есть проблемы
с вычислениями, так
и делайте!

Предположим,
надо вот такой примерчик решить:

Здесь
a
= -6; b = -5; c = -1

Допустим,
вы знаете, что ответы у вас редко с
первого раза получаются.

Ну
и не ленитесь. Написать лишнюю строчку
займёт секунд 30. А количество ошибок
резко
сократится.
Вот и пишем подробно, со всеми скобочками
и знаками:

Это
кажется невероятно трудным, так тщательно
расписывать. Но это только кажется.
Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше,
быстро, или правильно? Кроме того, я вас
обрадую. Через некоторое время отпадёт
нужда так тщательно всё расписывать.
Само будет правильно получаться.
Особенно, если будете применять
практические приёмы, что описаны чуть
ниже. Этот злой пример с кучей минусов
решится запросто и без ошибок!

Итак,
как
решать  квадратные уравнения
через дискриминант мы вспомнили. Или
научились, что тоже неплохо. Умеете
правильно определять a,
b и с.
Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и
внимательно
считать результат. Вы поняли, что ключевое
слово здесь – внимательно?

Однако
частенько квадратные уравнения выглядят
слегка иначе. Например, вот так:

Или
так:

Это
неполные
квадратные уравнения.
Их тоже можно решать через дискриминант.
Надо только правильно сообразить, чему
здесь равняются a,
b и с.

Сообразили?
В первом примере  a
= 1; b = -4;
а c?
Его вообще нет! Ну да, правильно. В
математике это означает, что c
= 0!
Вот и всё. Подставляем в формулу ноль
вместо c,
и всё у нас получится. Аналогично и со
вторым примером. Только ноль у нас здесь
не с,
а b
!

Но
неполные квадратные уравнения можно
решать гораздо проще. Безо всякого
дискриминанта. Рассмотрим первое
неполное уравнение. Что там можно сделать
в левой части? Можно икс вынести за
скобки! Давайте вынесем.

И
что из этого? А то, что произведение
равняется нулю тогда, и только тогда,
когда какой-нибудь из множителей
равняется нулю! Не верите? Хорошо,
придумайте тогда два ненулевых числа,
которые при перемножении ноль дадут!

Не
получается? То-то…

Следовательно,
можно уверенно записать: х
= 0,
или х
= 4

Всё.
Это и будут корни нашего уравнения. Оба
подходят. При подстановке любого из них
в исходное уравнение, мы получим верное
тождество 0 = 0. Как видите, решение куда
проще, чем через дискриминант.

Второе
уравнение тоже можно решить просто.
Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся
корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже
два корня.
х = +3 и х = -3.

Так
решаются все неполные квадратные
уравнения. Либо с помощью вынесения
икса за скобки, либо простым переносом
числа вправо с последующим извлечением
корня.

Спутать эти приёмы крайне
сложно. Просто потому, что в первом
случае вам придется корень из икса
извлекать, что как-то непонятно, а во
втором случае выносить за скобки нечего…

А
теперь примите к сведению практические
приёмы, которые резко снижают количество
ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… 
За которые потом бывает больно и обидно…

Приём
первый.
Не ленитесь перед решением квадратного
уравнения привести его к стандартному
виду. Что это означает? Допустим, после
всяких преобразований вы получили вот
такое уравнение:

Не
бросайтесь писать формулу корней! Почти
наверняка, вы перепутаете коэффициенты
a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала
икс в квадрате, потом без квадрата, потом
свободный член. Вот так:

И
опять не бросайтесь! Минус перед иксом
в квадрате может здорово вас огорчить.
Забыть его легко… Избавьтесь от минуса.
Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо
умножить всё уравнение на -1. Получим:

А
вот теперь можно смело записывать
формулу для корней, считать дискриминант
и дорешивать пример. Дорешайте
самостоятельно. У вас должны получиться
корни 2 и -1.

Приём
второй.
Проверяйте корни! По теореме Виета. Не
пугайтесь, я всё объясню! Проверяем
последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы
записывали формулу корней. Если (как в
этом примере) коэффициент а
= 1,
проверить корни легко. Достаточно их
перемножить. Должен получиться свободный
член, т.е. в нашем случае -2. Обратите
внимание, не 2, а -2! Свободный член со
своим знаком.
Если не получилось – значит уже где-то
накосячили. Ищите ошибку. Если получилось
— надо сложить корни. Последняя и
окончательная проверка. Должен получиться
коэффициент b
с противоположным
знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент
b,
который перед иксом,  равен -1. Значит,
всё верно!

Жаль, что это так просто
только для примеров, где икс в квадрате
чистый, с коэффициентом а
= 1.
Но хоть в таких уравнениях проверяйте!
Всё меньше ошибок будет.

Приём
третий.
Если в вашем уравнении есть дробные
коэффициенты,  —  избавьтесь от
дробей! Домножьте уравнение на общий
знаменатель, как описано в предыдущем
разделе. При работе с дробями ошибки,
почему-то так и лезут…

Кстати,
я обещал злой пример с кучей минусов
упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы
не путаться в минусах, домножаем уравнение
на -1. Получаем:

Вот
и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак,
подытожим тему.

Практические
советы:

1.
Перед решением приводим квадратное
уравнение к стандартному виду, выстраиваем
его правильно.

2.
Если перед иксом в квадрате стоит
отрицательный коэффициент, ликвидируем
его умножением всего уравнения на -1.

3.
Если коэффициенты дробные – ликвидируем
дроби умножением всего уравнения на
соответствующий множитель.

4.
Если икс в квадрате – чистый, коэффициент
при нём равен единице, решение можно
легко проверить по теореме Виета. Делайте
это!

Справочник по математике

Алгебра

Кубические уравнения

Схема
метода Кардано

      Целью
данного раздела является вывод формулы
Кардано для решения уравнений третьей
степени (кубических уравнений)

(1)

где
 

—  произвольные вещественные числа,

      Вывод
формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На
первом этапе
кубические уравнения вида (1) приводятся
к кубическим уравнениям, у которых
отсутствует член со второй степенью
неизвестного. Такие кубические уравнения
называют трёхчленными кубическими
уравнениями.

      На
втором этапе
трёхчленные кубические уравнения
решаются при помощи сведения их к
квадратным
уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим
уравнение (1) на старший коэффициент

.
Тогда оно примет вид

(2)

где

— 
произвольные вещественные числа.

      Заменим
в уравнении (2) переменную

 
на новую переменную

 по
формуле:

(3)

      Тогда,
поскольку

то
уравнение (2) примет вид

(4)

      Если
ввести обозначения

то
уравнение (4) примет вид

(5)

где

— 
вещественные числа.

      Уравнения
вида (5) и являются трёхчленными кубическими
уравнениями, у которых отсутствует член
со второй степенью неизвестного.

      Первый
этап вывода формулы Кардано  завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям

      Будем
искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где

 — 
новая переменная.

      Поскольку

то
выполнено равенство:

      Следовательно,
уравнение (5) переписывается в виде

(7)

      Если
теперь уравнение (7) умножить на

,
то мы получим квадратное
уравнение
относительно

:

(8)

Формула Кардано

      Решение
уравнения (8) имеет вид:

      Следовательно,

      В
соответствии с (6), отсюда вытекает, что
уравнение (5) имеет два решения:

(9)

      В
развернутой форме эти решения записываются
так:

	(10)
	(11)

      Покажем,
что, несмотря на кажущиеся различия,
решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С
другой стороны,

      Таким
образом,

и
для решения уравнения (5) мы получили
формулу

(12)

которая
и называется «Формула Кардано».

      Замечание.
Поскольку у
каждого комплексного числа, отличного
от нуля, существуют три  различных
кубических корня,
то, для того, чтобы избежать ошибок при
решении кубических уравнений в области
комплексных чисел, рекомендуется
использовать формулу Кардано в виде
(10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример.
Решить уравнение

(13)

      Решение.
Сначала приведем уравнение (13) к
трехчленному виду. Для этого в соответствии
с формулой (3) сделаем в уравнении (13)
замену

(14)

      Тогда
получим

      Следовательно,
уравнение (13) принимает вид

		(15)
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену	(16)

      Тогда
поскольку

то
уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее
из (17) получаем:

      Отсюда
по формуле (16) получаем:

(18)

      Заметим,
что такое же, как и в формуле (18), значение
получилось бы, если бы мы использовали
формулу

или
использовали формулу

      Далее
из равенства (18) в соответствии с (14)
получаем:

      Таким
образом, мы нашли у уравнения  (13)
вещественный корень

      Замечание
1.2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Примеры: Задание 4 (Алгебра)

кубический дискриминант | Блестящая вики по математике и науке

Поскольку дискриминант симметричен в корнях многочлена, мы можем выразить его как элементарные симметричные многочлены, то есть коэффициенты P (x) P (x) P (x). Хотя существует общий метод получения дискриминанта любого многочлена, это элементарный и алгебраический подход.

По формуле Виета имеем

x1 + x2 + x3 = −bax1x2 + x1x3 + x2x3 = cax1x2x3 = −da. \ Begin {выровнено}
x_1 + x_2 + x_3 & = — \ dfrac {b} {a} \\\\
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 & = \ dfrac {c} {a} \\\\
x_1x_2x_3 & = — \ dfrac {d} {a}.2Δ = a4 (m − n) 2. Мы не можем напрямую вычислить mmm и nnn, но поскольку они являются циклическими многочленами, оказывается, что элементарные симметричные многочлены от mmm и nnn симметричны по x1, x2, x_1, x_2, x1, x2 и x3x_3x3 и следовательно, выражается через коэффициенты P (x) P (x) P (x). Итак, найдем их:

m + n = x1x2 (x1 + x2) + x2x3 (x2 + x3) + x3x1 (x3 + x1) = (x1 + x2 + x3) (x1x2 + x1x3 + x2x3) −3x1x2x3 = −bc + 3ada2. 4}.2 + 18abcd}.
\ end {align} Δ = a4 (m − n) 2 = a4 (a2 − bc + 3ad) 2−4a4 (a4ac3−6abcd + 9a2d2 + b3d) = b2c2−6abcd + 9a2d2−4ac3 + 24abcd − 36a2d2 −4b3d = b2c2−4ac3−4b3d − 27a2d2 + 18abcd.

Квадратичная формула — Джеймс Бреннан

Квадратичная формула

Решения квадратного уравнения можно найти непосредственно из формулы корней квадратного уравнения.

Уравнение топор 2 + bx + c = 0 имеет решения

Преимущество использования формулы в том, что она всегда работает.Недостатком является то, что это может занять больше времени, чем некоторые из ранее обсужденных методов. Как правило, вы должны смотреть на квадратичный и посмотреть, можно ли его решить, извлекая квадратный корень; если нет, то если это можно легко разложить на множители; и, наконец, используйте формулу корней квадратного уравнения, если нет более простого способа.

· Обратите внимание на знак плюса или минуса (±) в формуле. Вот как вы получаете два разных решения: одно со знаком плюс, а другое со знаком минус.

· Убедитесь, что уравнение записано в стандартной форме, прежде чем считать a , b и c .

· Самое главное, убедитесь, что квадратичное выражение равно нулю.

Дискриминант

Формула требует, чтобы вы извлекли квадратный корень из выражения b ² — 4 ac , которое называется дискриминантом , поскольку оно определяет характер решений. Например, нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому, если дискриминант отрицательный, решений нет.

Если b 2 -4 ac > 0	Есть два разных настоящих корня
Если b 2 — 4 ac = 0	Есть один настоящий корень
Если b 2 — 4 ac <0	Настоящих корней нет

Вывод квадратичной формулы

Квадратичная формула может быть получена, используя технику завершения квадрата по общей квадратной формуле:

Дано:
Разделить на a :
Переместите постоянный член вправо сторона:
Добавьте квадрат половины коэффициента x к обеим сторонам:
Разложите на множители левую сторону (которая теперь представляет собой идеальный квадрат ) и переставьте правую сторону:
Получите правую часть над общим знаменателем :
Извлеките квадратный корень из обеих частей (не забывая использовать плюс или минус):
Решить для x :

Калькулятор квадратного уравнения — Хорошие калькуляторы

Воспользуйтесь нашим удобным калькулятором квадратного уравнения, чтобы решить все квадратные задачи.

• Сначала введите коэффициенты a , b , c (a ≠ 0) квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.
• Затем нажмите «Рассчитать», и решение отобразится.

Квадратные уравнения всех видов с действительными или комплексными корнями можно решить с помощью калькулятора квадратных уравнений. Этот полезный инструмент определит дискриминант D = (b ² -4ac) и, если он равен, больше или меньше нуля.

Когда дискриминант равен нулю, в уравнении один действительный корень; когда он больше нуля, есть два действительных корня; а когда он меньше нуля, в уравнении есть два комплексных корня.

Квадратичная формула

В калькуляторе используется следующая формула:

x = (-b ± √D) / 2a, где D = b ² — 4ac

Эта формула вычисляет решение квадратных уравнений (ax ² + bx + c = 0), где x неизвестно, a — квадратичный коэффициент (a ≠ 0), b — линейный коэффициент, а c — константа уравнения. Буквы a , b и c — известные числа и коэффициенты квадратного уравнения.

Пример квадратного уравнения

Давайте возьмем пример 2x ² -6x + 3 = 0, где a представляет 2, b представляет -6 и c представляет 3 и применим квадратную формулу к этому уравнению .

В этом случае коэффициенты квадратного уравнения следующие: a = 2, b = -6, c = 3

Определитель определяется следующим образом: D = b ² — 4ac = (-6) ² -4 · 2 · 3 = 36-24 = 12

Кроме того, поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня.

Эти два корня находятся по квадратичной формуле, как показано ниже:

x _(1,2) = (-b ± √D) / 2a

x ₁ = (-b + √D) / 2a = (- (- 6) +3,46) / 2 · 2 = 9,46 / 4 = 2,37

x ₂ = (-b — √D) / 2a = (- (- 6) -3,46) / 2 · 2 = 2,54 / 4 = 0,63

Решение: x ₁ = 2,37, x ₂ = 0,63

Дискриминантная формула — (Обновлено для 2021-2022 гг.) | CoolGyan.Org

Дискриминантная формула используется для нахождения количество решений, которое имеет квадратное уравнение.В алгебре дискриминант — это имя, данное выражению, которое появляется под знаком квадратного корня (радикала) в формуле корней квадратного уравнения.

Формула дискриминанта

Дискриминант многочлена является функцией его коэффициентов и представлен заглавной буквой «D» или символом дельты (Δ). Он показывает природу корней любого квадратного уравнения, где a, b и c — рациональные числа. Действительные корни или количество пересечений по оси x легко показать с помощью квадратного уравнения. Эта формула используется, чтобы узнать, являются ли корни квадратного уравнения действительными или мнимыми.

Дискриминантная формула в квадратном уравнении ax ² + bx + c = 0 равно

Почему важна дискриминантная формула?

Используя дискриминант, можно определить количество корней квадратного уравнения. Дискриминант может быть положительным, отрицательным или нулевым. Зная значение определителя, можно определить природу корней следующим образом:

• Если значение дискриминанта положительное , квадратное уравнение имеет два действительных и различных решения.
• Если значение дискриминанта — ноль , квадратное уравнение имеет только одно решение или два действительных и равных решения.
• Если значение дискриминанта отрицательное , квадратное уравнение не имеет реальных решений.

Пример вопроса с использованием формулы дискриминанта

Вопрос 1: Что такое дискриминант уравнения x ² — 2x + 3 = 0? Также определите количество решений этого уравнения.

Решение:

Учитывая, x ² — 2x + 3 = 0

В уравнении

a = 1; b = -2; c = 3

Формула дискриминанта:

Δ = b ² — 4ac

=> Δ = (-2) ² — 4 (1) (3)

=> Δ = 4 — 12

Δ = -8 <0

Поскольку значение определителя отрицательное, уравнение не будет иметь реальных решений.

Видео с вопросом: Нахождение всех возможных значений константы, которые делают корни данного квадратного уравнения нереальными

Стенограмма видео

Если корни уравнения 24𝑥 в квадрате плюс шесть 𝑥 плюс 𝑘 равны нулю, не являются действительными, найдите интервал, содержащий.

Итак, нам сказали, что корни этого квадратного уравнения, в котором 𝑘 является постоянным членом, не являются действительными. Нам нужно вспомнить связь, которая существует между коэффициентами квадратного уравнения и типом корней, которые у него есть.

Предположим, что у нас есть общее квадратное уравнение: в квадрате плюс плюс равно нулю. Дискриминант квадратного уравнения — это величина 𝑏 в квадрате минус четыре. Значение или, точнее, знак дискриминанта — это то, что определяет тип корней, которые будет иметь квадратное уравнение.

Если дискриминант строго положительный, то квадратное уравнение будет иметь два действительных и различных корня. Если значение дискриминанта равно нулю, то квадратное уравнение имеет только один повторяющийся действительный корень.Если значение дискриминанта меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, какова ситуация, которую мы задаем в этом вопросе.

Итак, мы знаем, что дискриминант этой квадратичной функции должен быть меньше нуля. Давайте выясним, чему равен дискриминант в терминах. Сравнивая коэффициенты в нашей квадратичной форме с общей формой, мы видим, что equal равно 24, 𝑏 равно шести, а 𝑐 равно 𝑘.

Следовательно, дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 равен шести в квадрате минус четыре, умноженным на 24, умноженным на.Это упрощается до 36 минус 96 𝑘. Помните, что корни этого квадратного уравнения ненастоящие. Значит, значение дискриминанта меньше нуля. Следовательно, имеем неравенство 36 минус 96 𝑘 меньше нуля.

Чтобы найти интервал, содержащий, нам нужно решить это неравенство для 𝑘. Первый шаг — вычесть 36 с каждой стороны. Это дает отрицательное 96 𝑘 меньше, чем отрицательное 36. Затем нам нужно разделить обе части неравенства на отрицательное 96.

Здесь нужно быть очень осторожным.Помните, когда мы делим неравенство на отрицательное число, нам нужно изменить направление неравенства. Таким образом, знак «меньше» становится знаком «больше». И теперь мы имеем, что 𝑘 больше, чем отрицательное 36 над отрицательным 96. Отрицательное значение в числителе и отрицательное значение в знаменателе взаимно компенсируются. И дробь упрощается до трех на восемь, если числитель и знаменатель разделить на 12.

Тогда 𝑘 больше трех на восемь. Этот вопрос не требует от нас дать наш ответ неравенством.Он просит нас указать интервал, содержащий. Если 𝑘 должно быть больше трех на восемь, тогда набор возможных значений 𝑘 — все от трех до восьми до бесконечности.

Поскольку нижний конец интервала представляет собой строгое неравенство, а верхний конец — бесконечность, мы можем выразить это как открытый интервал, на что указывают обращенные наружу квадратные скобки.