Урок 5. пропорции — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 5

Пропорции

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Понятие пропорции.
• Основное свойство пропорции.
• Как правильно составить пропорцию.
• Как найти неизвестный член пропорции.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Если один член пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.

Рассмотрим 3 способа нахождения неизвестного члена пропорции.

1 способ.

2 способ.

Способ 3.

Задача.

Решение:

Ответ:

1) можно;

2) можно;

3) нельзя;

4) нельзя.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.

№2. Тип задания: Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Найдите неизвестный член пропорции.

Для нахождения неизвестного члена пропорции воспользуемся основным свойством пропорции, из которого следует: чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.

Ответ: 3.

 
Поиск

Поиск

• 
  Школьный помощник
  • математика 5 класс
  • математика 6 класс
  • алгебра 7 класс
  • алгебра 8 класс
  • геометрия 7 класс
  • русский язык 5 класс
  • русский язык 6 класс
  • русский язык 7 класс

  
  

• 
  

• математика
• алгебра
• геометрия
• русский язык

«»

следующая
предыдущая

вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

• Популярные запросы
  
  • Обстоятельство
  • Дополнение
  • Определение
  • Деление дробей
  • Русский язык 6 класс
  • Алгебра 8 класс
  • Математика 6 класс
  • Русский язык 5 класс
  • Русский язык 7 класс
  • Алгебра 7 класс
  • Математика 5 класс
  • Наименьшее общее кратное
  • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Доли. Обыкновенные дроби
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Деление и дроби
  • Квадратный корень из неотрицательного числа
  • Окружность и круг
  • Антонимы. Синонимы
  • Десятичная запись дробных чисел
  • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

  
  

Отношения и пропорции

Отношение двух чисел

Определение 1

Отношением двух чисел является их частное.

Пример 1

• отношение $18$ к $3$ может быть записано как:

  $18\div 3=\frac{18}{3}=6$.

• отношение $5$ к $15$ может быть записано как:

  $5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.

С помощью отношения двух чисел можно показать:

• во сколько раз одно число превышает другое;
• какую часть представляет одно число от другого.

При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.

Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с …» или предлога «к …».

Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:

Замечание 1

При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.

Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.

Пример 2

Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?

Решение.

Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:

$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$.

Ответ: количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.

Пример 3

Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$.

Решение.

$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$.

Ответ: $9$ раз.

Понятие пропорции

Определение 2

Пропорцией называется равенство двух отношений:

$a\div b=c\div d$

или

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Пример 4

$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,

$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$, $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$, $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$.

В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.

Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:

Замечание 2

Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:

$a \cdot d=b \cdot c$.

Данное утверждение является основным свойством пропорции.

Справедливо и обратное утверждение:

Замечание 3

Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.

Замечание 4

Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.

Пример 5

$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,

$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$, $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$, $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$.

С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:

$a=\frac{b \cdot c}{d}$; $b=\frac{a \cdot d}{c}$; $c=\frac{a \cdot d}{b}$; $d=\frac{b \cdot c}{a}$.

Пример 6

$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$;

$6 \cdot 8=16 \cdot a$;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$;

$16 \cdot a=48$;

$a=\frac{48}{16}$;

$a=3$.

Пример 7

$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$;

$a \cdot 24=168$;

$a=\frac{168}{24}$;

$a=7$.

Пример 8

Для пошива $7$ платьев понадобилось $21,7$ м шелка. Сколько нужно метров такого же шелка, чтобы пошить $18$ платьев?

Решение.

Пусть $x$ м – количество шелка, необходимого для пошива $18$ платьев. Тогда, по условию:

$7$ платьев – $21,7$ м;

$18$ платьев – $x$ м.

Составим пропорцию:

$\frac{7}{18}=\frac{21,7}{x}$.

Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:

$d=\frac{b \cdot c}{a}$;

$x=\frac{18 \cdot 21,7}{7}$;

$x=18 \cdot 3,1$;

$x=55,8$.

Ответ: для пошива 18 платьев понадобится 55,8 м шелка.

Пример 9

$3$ садовника обрезают в день $108$ деревьев. Сколько нужно садовников, чтобы обрезать $252$ дерева?

Решение.

Пусть $x$ – количество садовников, необходимое для обрезки $252$ деревьев.

Тогда, по условию:

$3$ садовника – $108$ деревьев;

$x$ садовников – $252$ дерева.

Составим пропорцию:

$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$.

Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:

$b=\frac{a \cdot d}{c}$;

$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$;

$x=\frac{252}{36}$;

$x=7$.

Ответ: для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.

Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.

Золотое сечение как объяснение пропорций красоты

Над чем работают лучшие умы современной стоматологической науки? Над идеальной улыбкой, воплотившей в себе красоту и здоровье.

Что такое «красота»? Почему лицо и облик одного человека нам нравится, а другого — нет?

На эти вопросы пытались ответить учёные ещё тогда, когда не было ни только стоматологии как направления медицины, но и сама медицина находилась в стадии зарождения.

Оказывается, наше лицо и тело имеет определённые пропорции, кажущиеся на первый взгляд почти мистическими.

Хотя в наш просвещённый век многому можно найти научное и даже математическое объяснение.

Принято считать, что впервые закономерности соотношение размеров тела человека и отдельных его частей обобщил и сформулировал в 1855 г. немецкий исследователь Цейзинг в своём научном труде «Эстетические исследования». За основу своей теории он взял учение о «золотом сечении».

Ещё в VI веке до н.э. древнегреческий философ и математик Пифагор ввёл в научный обиход понятие «золотое деление». «Золотое деление» — это пропорциональное деление отрезка на неравные части. При этом меньший отрезок так относится к большему, как больший отрезок относится ко всему отрезку. a : b = b : c или с : b = b : а.

Так что же особенного в этом соотношении?

Оказывается, что всегда меньший отрезок относится к большему, как 0,382: к 0,618:

То есть, если АВ принять за единицу, АЕ/ЕВ=0,62/0,32 (в практических целях используют приближённые значения).

Один из примеров «золотого деления», с которым наверняка все знакомы, это — пентаграмма и, как представители её, так любимые людьми старшего поколения, «знак качества» и «звезда».

Все диагонали пятиугольника (пятиугольная звезда) делят друг друга на отрезки, связанные между собой «золотой пропорцией».

В настоящее время эта математическая закономерность носит название «золотое сечение», которое ввел в обиход ещё Леонардо да Винчи, который проводил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками. И каждый раз он получал соотношение сторон в «золотом делении». Он дал этому делению название «золотое сечение», принятое до сих пор.

Но не Пифагор впервые обнаружил закономерность «золотого сечения». Ещё древние египтяне и вавилоняне использовали эти знания в строительстве пирамид и изготовлении предметов обихода. Древние греки при проектировании своих зданий использовали пропорции «золотого сечения». В эпоху возрождения интерес к «золотому сечению» усилился. Художники нашли применение ему в искусстве. Учение о «золотом сечении» связано с именем гениального итальянского математика и монаха Луки Пачоли. В 1509 г. Была издана его книга «Божественная пропорция» с иллюстрациями Леонардо да Винчи (предположительно). Он причислял золотую пропорцию к «божественной сути» через триединство: бог сын, бог отец и святой дух, находящихся между собой в «золотой пропорции».

История «золотого сечения» связана ещё с одним известным итальянским математиком Фибоначчи. До наших времён дошёл ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д., известный, как ряд Фибоначчи.

Особенность последовательности данных чисел заключается в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих (2+3=5, 3+5=8), а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению «золотого сечения» (21:34=0,617, а 34:55=0,618). В последствии все исследователи «золотого сечения» в растительном и животном мире, искусстве и анатомии приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления. Интересно, что свой закон Фибонначи вывел, подсчитывая количество рождённых кроликов от пары кроликов за год.

Так в чём же ореол таинственности «золотого сечения»?

Всё, что растёт и приобретает какую-либо форму в живом мире нашей планеты — растёт вверх или закручивается по спирали. Спираль (например, морская раковина) — пример соотношения в пропорциях «золотого сечения». Спирали прослеживаются в расположении семян в шишках хвойных деревьев, в семенах подсолнечника и др.

Паук плетёт паутину по спирали, ДНК человека закручено по спирали.

А рост вверх? Растение живёт по тем же законам «золотого сечения». Самый большой участок стебля — до первого листочка. Затем следующие сегменты уменьшаются в пропорции «золотого сечения»: с : в = в : а

Удивительно то, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам «золотого сечения».

Немецкий учёный Альберт Дюрер доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных рук.

Его труды продолжил Цейзинг. Он выяснил, что пропорции мужского тела колеблются в пределах 13 : 8 = 1, 625.

А пропорции женского тела в среднем находятся в соотношении 8 : 5 = 1,6.

Пропорции «золотого сечения» проявляются в отношении длины плеча, предплечья, кисти и пальцев и т.д.

Поразительно, но в лице человека можно проследить множество пропорций, подчиненных «золотому сечению». Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем красивее нам он кажется. Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение «правильные черты лица». У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1, 618: или 62 : 38.

Какие же пропорции в лице человека стремятся к «золотому сечению»?

Прежде всего, у людей с красивыми лицами наблюдается:

1. Идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это соотношение называется «динамической симметрией» или «динамическим равновесием».
2. Соотношение высоты верхней и нижней губы будет 1,618.
3. Высота надгубной складки (расстояние между верхней губой и нижней границей носа) и высота губ будут составлять соотношение 62 : 38.
4. Ширина одной ноздри суммарно с шириной переносицы относится к ширине другой ноздри в пропорции «золотого сечения».
5. Ширина ротовой щели также относится к ширине между наружными краями глаз, а расстояние между наружными уголками глаз — к ширине лба на уровне линии бровей, как все пропорции «золотого сечения».
6. Расстояние между линии смыкания губ до крыльев носа относится к расстоянию от линии смыкания губ до нижней точки подбородка, как 38 : 62: И к расстоянию от крыльев носа до зрачка — как 38 : 62 = 0.
7. Расстояние между линией верхней части лба до линии зрачков и расстояние между линией зрачков и линией смыкания губ имеет пропорцию «золотого сечения».

Можно продолжить этот список соотношения размеров гармоничного лица. Получается, правильную красоту можно математически просчитать и даже прибегнуть к хирургической корректировке с целью совершенствования внешности.

В настоящее время стоматология, наряду с пластической хирургией, занимается не только лечением заболеваний полости рта, но и эстетической медициной.

Удивительно, но и в стоматологии можно проследить пропорции «золотого сечения».

Красивая улыбка — это не только белоснежные здоровые ровные зубы, но и их правильное соотношение и расположение. И здесь мы опять сталкиваемся с закономерность «золотого сечения».

Вот некоторые примеры соотношений размеров и расстояний между зубами:

1. Ширина верхнего центрального резца относится к ширине нижнего центрального резца, как 62 : 38, т.е. 1, 618:, в соотношении «золотого сечения».
2. В этой же пропорции находится ширина двух верхних резцов к ширине двух нижних.
3. Расстояние между премолярами верхней челюсти относится к ширине четырёх верхних резцов, как 62 : 38.
4. Расстояние между дистальными поверхностями нижних клыков и щечными фиссурами моляров — пропорция 38 : 62.

И этот список можно продолжить.

Как же на практике можно использовать знание о «золотом сечении» и его влиянии на параметры в стоматологии?

Разумеется, искать применение золотых пропорций в эстетической стоматологии.

Расположение, размер и взаимное соотношение зубов в полости рта — всё это подчинено общему закону — «золотому сечению».

Вольно или невольно, осознанно или неосознанно врач использует эти пропорции при восстановлении коронковой части зуба, при протезировании или ортодонтических мероприятиях. Лучше, конечно, чтобы врач применял математическую составляющую в формировании вашей красоты и здоровья.

А мы теперь знаем, что человек — только часть живого мира на нашей планете, подчиняющийся общим законам мироздания. И доказательство тому — учение о «золотом сечении», дошедшее до нас уже даже не из предыдущего тысячелетия.

Время работы

Ячина Александра Александровна
Врач-стоматолог ортодонт

Обобщающий урок математики в 6 классе по теме «Отношения и пропорции»

Отношения и пропорции

Презентацию подготовила учитель математики

МБОУ Мойганская СОШ Сутырина Т.А.

Найдите лишнее слово

отношение

произведение

Щелчок по слову «произведение» убирает лишнее слово. Затем нужно установить связь между оставшимися словами.

частное

дробь

деление

Разгадайте ребус

р

т

,,,,,

П

я

Отношения и пропорции

Цифровой диктант

Критерии оценивания:

«5» – нет ошибок, «4» – 1-2 ошибки, «3» – 3-4 ошибки

Отметьте цифрой 1 – верные утверждения и цифрой 0 – неверные.

В пропорции s : t = k : l крайними членами являются s и l .

В пропорции s : t = k : l крайними членами являются s и l .

Частное двух чисел a и b , отличных от нуля называют пропорцией.

Частное двух чисел a и b , отличных от нуля называют пропорцией.

Отношение чисел m и n можно записать в виде или m : n.

Пропорцией называют равенство двух отношений.

Пропорцией называют равенство двух отношений.

Отношение чисел p и q показывает на сколько число p больше q .

Отношение чисел p и q показывает на сколько число p больше q .

Числа 4 и 18 — это средние члены пропорции 2 : 9 = 4 : 18.

Числа 4 и 18 — это средние члены пропорции 2 : 9 = 4 : 18.

Отношение не изменится, если числа в нём поменять местами.

Отношение не изменится, если числа в нём поменять местами.

Процентным отношением двух чисел называют отношение этих чисел, выраженное в процентах.

Процентным отношением двух чисел называют отношение этих чисел, выраженное в процентах.

1

0

Нужно отметить цифрой 1 – верные утверждения и цифрой 0 – неверные. Проверка осуществляется щелчком по голубому прямоугольнику с заданием.

1

1

0

0

0

1

Прочитайте различными способами пропорции

16 : 48 = 17 : 51

Составьте из слов утверждение

Основное свойство пропорции

её, равно, членов, крайних, произведение, средних, пропорции, членов, произведению,

произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов

Нужно составить из слов утверждение и объяснить что оно выражает. Проверка осуществляется щелчком на скругленном прямоугольнике с заданием.

Составьте новые пропорции

3 : 4 = 9 : 12

Щелчок по слову «Проверка» открывает возможные варианты пропорций. Кнопка «Вперед» открывает слайд для проведения физкультминутки.

3 : 9 = 4 : 12

12 : 9 = 4 : 3

Проверка

Найди ошибку

Незнайка решил найти отношение массы мышки к массе слона. Мышка весит 50 граммов, а слон – 5 тонн.  — «Составим отношение 50 : 5, — сказал Незнайка.

— Мышка в 10 раз тяжелее слона». 

Кнопка «Вперед» открывает слайд для проведения физкультминутки.

Математическое кафе

2. Сколько процентов соли содержит раствор, приготовленный из 35 г соли и 165 г воды?

1. Для приготовления варенья на 6 кг ягод нужно взять 5 кг сахара. Сколько сахара потребуется, чтобы приготовить варенье из 18 кг ягод?

Кнопка «Вперед» открывает слайд для проведения физкультминутки.

Проверка решения осуществляется путем последовательных щелчков по заданию и вновь появляющимся прямоугольников с решением.

6 : 18 = 5 : х

Самостоятельная работа

Домашнее задание

1 уровень — задачи № 1, № 2, № 3.

2 уровень — задачи № 4, № 5, № 6.

3 уровень — составить и решить три задачи на применение пропорции в жизни человека, оформив их красочно на листе формата А-4.

Критерии оценки за урок

«5» — 21-26 баллов,

«4» — 15-20 баллов

Ученики подсчитывают баллы в листах самооценки и выставляют оценки в соответствии с приведенными критериями.

Рефлексия

Очень понравилось

Хорошо

Могло бы быть лучше

Нужно выбрать лучик определенного цвета и прикрепить на магнитную доску к солнышку

Спасибо за урок!

Физкультминутка

Вы, наверное, устали?

Ну, тогда все дружно встали.

Ножками потопали,

Ручками похлопали.

Вправо ниже наклоняйся.

Влево тоже наклоняйся.

Покрутились, повертелись

И за парты все уселись.

Глазки крепко закрываем,

Дружно до пяти считаем.

Открываем. Поморгаем

И работать начинаем.

Кнопка «Назад» возвращает на слайд с заданием «Найди ошибку» после проведения физкультминутки

Шаблон математический

Автор:

Ермолаева Ирина Алексеевна

учитель информатики

МОУ «Павловская сош»

В презентации использовались следующие ресурсы:

Слон и мышка https://marktleiderschap.wordpress.com/2014/05/03/during-the-battle-of-the-dinosaurs-do-not-forget-the-butterflies /

Танцующая девочка http:// www.unexploredworlds.com/cgiproxy/nph-proxy.pl/010110A/http/animashki.kak2z.org/category.php?cat=39&pn=2

Ребус «Пропорция» http:// открытыйурок.рф /статьи/622946 /

Шаблон презентации учителя информатики МОУ «павловская СОШ» Ермолаевой И.А.

Три темы по математике, о которые спотыкается почти каждый школьник. Миф о пропорции | Просто училка

Только не обыкновенные дроби!!!

Здравствуйте, ребята и их родители! Я очень рада, что друзей у меня прибавляется, буду продолжать делиться всем, что умею. Вы тоже не стесняйтесь, пишите, какие темы из школьной программы для вас сложны, с чем не справляетесь, за знания и хорошие оценки будем сражаться вместе)))

Тема сегодняшней статьи — школьный курс математики, а точнее 3 темы, которые традиционно считаются очень сложными и опасными. Говорим о том, что это за «камни преткновения» такие, и что надо делать, чтобы избавиться от страха перед этими вовсе не ужасными, а даже очень полезными математическими приёмами.

Итак: Обыкновенные дроби. Тема начинается у кого в пятом, у кого в шестом классе, и неизменно вызывает шок и трепет у многих школьников.

Согласна, выглядит не очень…

Но друзья, вы ведь сами всегда пользуетесь обыкновенными дробями в повседневной жизни! Половина яблока, без четверти семь — это всё они!

Поэтому не надо пугаться, надо просто соблюдать правила игры. Их не так много, и вовсе они не трудные. Учителя эту тему обычно хорошо объясняют (нас в педагогическом ВУЗе этому учат))). Ваша задача — это не пропускать уроки. А если пропустили — не запускать тему. В интернете полно чудесных материалов. Я в конце статьи свои ролики тоже выложу.

Проценты. Обычно проценты бывают в задачах. И ребята столбенеют… Даже не пытаются решать, опускают руки. А зря, задачи на проценты встречаются нам постоянно:

Я уверена на сто процентов, если бы мы все были внимательны к этой теме в школе, то сами без проблем рассчитывали бы себе кредиты так, чтобы было удобно нам, а не банкам.

Поэтому родители, объясните ребятам, что как раз эта тема — то, что пригодится в дальнейшей жизни. А вы, ребята, не бойтесь, порешайте задачки, вчитайтесь, само всё и получится)))

Пропорция. Тоже один из способов решения задач. Очень удобный, на мой взгляд. А дети шарахаются от этой темы как от огня. «Не понимаю я эту пропорцию!» А не надо понимать, надо посмотреть, как бабушка варит варенье или вяжет шарф.

Все бабушки и мамы блестяще владеют умением применять пропорцию, просто не все они знают, что это так называется.

Посмотрите, вот у бабушки ягоды, клубника, например. А сахара надо на 1 кг ягод — 2 кг. Что делает бабушка? Прикидывает: у меня не один, а два кг клубники. Значит, и сахара придется брать в два раза больше, ну ведь просто же!

Подводя итог, скажу вот что: это несложные темы, надо перестать их бояться. Другой вопрос, что надо понапрягать мозг, а это то, чего современный школьник не любит… Что, ребята, не так?

Напишите, друзья и критики, какие темы в математике, да и вообще в школьной программе, вызывают у вас стойкое чувство неприязни, обсудим)))

У меня есть ютуб-канал, если интересно, там много видеороликов про многие темы по математике и не только, максимально простым языком стараюсь объяснять неприятные темы: http://www.youtube.com/c/ElenaKomrakovaprostouchilka

Про ВПР (это контрольная такая, будет в начале сентября) можно почитать здесь (это для 6-го класса) и здесь (это для 5-го класса).

Вот видеоролик про задачи на проценты:

Про обыкновенные дроби:

Про пропорцию:

Как рисовать человека_карманный онлайн

В онлайне два курса: «Конструктивное и форма» Кирилла Зимана и «Выразительное рисование» Полины Шутовой.

«Конструкция и форма»
• Уясняем форму и устройство фигуры
• Учимся передавать ракурс и объем
• Развиваем глазомер

Темы: пропорции, основные блоки, череп, грудная клетка, таз, позвоночник, «кубические» люди, рисование сечениями.

Теория в видео-уроках: объяснение темы, демонстрация устройства человека на модели и на скелете, примеры рисования конструктивных набросков. В дополнение — тексты с иллюстрациями.

«Выразительное рисование»
• Раскрепощаемся, находим новые подходы
• Набиваем руку

Пять заданий на тему линии, пятна и их сочетания: подробные рисунков фигуры и ее фрагментов, быстрые наброски и передача пространства нажимом, наброски кистью с пятновыми заливками, аппликации без разметки, рисунок от линии и от пятна.

Для участия необходимо
• Опыт рисования с натуры, не обязательно человека.
• Живая модель. Полностью обнаженная или в белье. Это может быть «натура» в ближайшем вузе или студии, модель по найму или кто-то из близких. Профессионализм не играет роли. Мы рекомендуем избегать рисования с фото, видео или программы-генератора поз, потому что плоский экран не позволяет увидеть глубину и мы начинаем просто перерисовывать изображение.

✓ Жители Москвы, приходите к нам на натурные наброски.

Можно взять один курс на выбор или сразу оба.

Польза
Опыт намеренного рисования, когда в работе решается конкретная задача
Привычка искать в натуре главное: пропорции, движение и опору
Понимание, как рисовать выразительные и узнаваемые позы
Опыт разбора своего рисунка; умение замечать, что удалось, а что требует исправления
Расширение графического арсенала

Результат
Учебные работы и наброски с натуры
Графические работы в разных техниках

Что такое пропорции | Типы | Примеры

Пропорция объясняется в основном на основе соотношения и дробей. Дробь, представленная в виде a / b, в то время как соотношение a: b, тогда пропорция указывает, что два отношения равны. Здесь a и b — любые два целых числа. Соотношение и пропорция являются ключевыми основами для понимания различных концепций как в математике, так и в естествознании.

Пропорция находит применение в решении многих повседневных жизненных проблем, например, в бизнесе, при совершении сделок, во время приготовления пищи и т. Д.Он устанавливает связь между двумя или более величинами и, таким образом, помогает в их сравнении.

Что такое пропорция?

Доля, как правило, определяется как часть, доля или количество, рассматриваемые в сравнительном отношении к целому. Определение пропорции гласит, что когда два отношения эквивалентны, они пропорциональны. Это уравнение или утверждение, используемое для обозначения равенства двух соотношений или дробей.

Пропорция — Определение

Пропорция — это математическое сравнение двух чисел.Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же соотношении, то говорят, что эти отношения прямо пропорциональны друг другу. Пропорции обозначаются символом «::» или «=».

Пропорция — Пример

Два отношения считаются пропорциональными, когда два отношения равны. Например, время, затрачиваемое поездом на преодоление 50 км в час, равно времени, затраченному им на преодоление расстояния 250 км за 5 часов. Например, 50 км / час = 250 км / 5 часов.

Продолжение пропорций

Говорят, что любые три величины находятся в непрерывной пропорции, если соотношение между первой и второй равно соотношению между второй и третьей. Точно так же четыре количества в непрерывной пропорции будут иметь соотношение между первым и вторым, равное отношению между третьим и четвертым.

Например, рассмотрим два отношения: a: b и c: d. Чтобы найти непрерывную пропорцию для двух заданных членов отношения, мы преобразуем их средние в один член / число.В общем случае это будет НОК средних, и для данного отношения НОК b и c будет bc. Таким образом, умножив первое отношение на c, а второе отношение на b, получим

• Первое соотношение — ca: bc
• Второе соотношение- bc: bd

Таким образом, непрерывную пропорцию для данных соотношений можно записать в виде ca: bc: bd.

Соотношения и пропорции

Коэффициент — это способ сравнения двух одинаковых величин с помощью деления.Формула отношения для двух чисел a и b задается как a: b или a / b. Умножение и деление каждого члена отношения на одно и то же число (отличное от нуля) не влияет на соотношение.

Когда два или более таких отношения равны, говорят, что они находятся в соотношении .

Четвертый, третий и средний пропорциональный

Если a: b = c: d, то:

• d называется четвертым, пропорциональным a, b, c.
• c называется третьим, пропорциональным a и b.
• Среднее значение, пропорциональное между a и b, равно √ (ab).

Советы и рекомендации по пропорции

• a / b = c / d ⇒ ad = bc
• a / b = c / d ⇒ b / a = d / c
• a / b = c / d ⇒ a / c = b / d
• a / b = c / d ⇒ (a + b) / b = (c + d) / d
• a / b = c / d ⇒ (a — b / b = (c — d) / d
• a / (b + c) = b / (c + a) = c / (a ​​+ b) и a + b + c ≠ 0, тогда a = b = c.
• a / b = c / d ⇒ (a + b) / (a ​​- b) = (c + d) / (c — d), которое известно как правило componendo -dividendo
• Если оба числа a и b умножаются или делятся на одно и то же число в соотношении a: b, то полученное соотношение остается таким же, как исходное соотношение.

Формула пропорции с примерами

Формула пропорции — это уравнение, которое можно решить для получения сравнительных значений. Для решения задач пропорций мы используем концепцию, согласно которой пропорция — это два равных друг другу соотношения. Мы имеем в виду это в смысле равенства двух дробей.

Формула соотношения

Предположим, что у нас есть любые две величины (или две сущности), и мы должны найти соотношение этих двух, тогда формула для отношения определяется как a: b ⇒ a / b , где,

• a и b могут быть любыми двумя величинами.
• «а» называется первым членом или антецедентом .
• «b» называется вторым членом или последующим .

Например, в соотношении 5: 9 представляется как 5/9, где 5 является антецедентом, а 9 — следствием. 5: 9 = 10:18 = 15:27

Формула пропорции

Теперь предположим, что два соотношения пропорционально a: b и c: d. Два термина «b» и «c» называются «средствами или средними терминами», тогда как термины «a» и «d» известны как «крайние или крайние термины».’

a / b = c / d или a: b :: c: d. Например, давайте рассмотрим другой пример количества студентов в классе. Наше первое соотношение количества девочек и мальчиков составляет 2: 5, а другое — 4: 8, тогда соотношение может быть записано как: 2: 5 :: 4: 8 или 2/5 = 4/8 Здесь 2 и 8 — крайности, а 5 и 4 — средние.

В зависимости от типа отношения, в котором участвуют два или более количества, пропорции можно разделить на разные типы. Есть два типа пропорций.

• Прямая пропорция
• Обратная пропорция

Прямая пропорция

Этот тип описывает прямую связь между двумя величинами. Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество также увеличивается, и наоборот. Например, если скорость автомобиля увеличивается, он преодолевает большее расстояние за фиксированный промежуток времени. В обозначениях прямая пропорция записывается как y ∝ x.

Обратная пропорция

Этот тип описывает косвенную связь между двумя величинами.Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество уменьшается, и наоборот. В обозначениях обратная пропорция записывается как y ∝ 1 / x. Например, увеличение скорости автомобиля позволит преодолеть фиксированное расстояние за меньшее время.

Важные примечания

• Пропорция — это математическое сравнение двух чисел.
• Основные пропорции бывают двух типов: прямые пропорции и обратные пропорции.
• Мы можем применить концепции пропорций к географии, сравнивая величины в физике, диетологии, кулинарии и т. Д.
• Пропорция — это математическое сравнение двух чисел.
• Мы можем применить концепции пропорций к географии, сравнивая величины в физике, диетологии, кулинарии и т. Д.

Свойства пропорции

Пропорция устанавливает эквивалентное соотношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, которой следует это отношение:

• Дополнение — Если a: b = c: d, то a + c: b + d
• Вычитание — Если a: b = c: d, то a — c: b — d
• Дивидендо — Если a: b = c: d, то a — b: b = c — d: d
• Componendo — Если a: b = c: d, то a + b: b = c + d: d
• Alternendo — Если a: b = c: d, то a: c = b: d
• Invertendo — Если a: b = c: d, то b: a = d: c
• Компонент и дивидендо — Если a: b = c: d, то a + b: a — b = c + d: c — d

Разница между соотношением и пропорциями

Соотношение и пропорция — тесно связанные понятия.Пропорция означает равное соотношение между двумя или более соотношениями. Чтобы понять концепцию соотношения и пропорции, просмотрите разницу между соотношением и пропорцией, указанную здесь.

Коэффициент

Доля Связанные темы

Ниже приводится список тем, которые тесно связаны с Пропорцией в коммерческой математике.Эти темы также дадут вам представление о том, как такие концепции рассматриваются в Cuemath.

Часто задаваемые вопросы о пропорции

Что вы имеете в виду под коэффициентом?

Отношение — это математическое выражение, записанное в форме a: b, которое выражает часть формы a / b, где a и b — любые целые числа. Например, дробь 1/3 может быть выражена как 1: 3 в форме отношения.

Что такое пропорция в математике?

Пропорция — это математическое сравнение двух чисел. Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же соотношении, то говорят, что эти отношения прямо пропорциональны друг другу. Пропорции обозначаются символом «::» или «=». Например, 2: 5 :: 4: 8 или 2/5 = 4/8. Здесь 2 и 8 — крайности, а 5 и 4 — средние.

Как соотношение и пропорции используются в повседневной жизни?

Пропорции и пропорции используются ежедневно.Соотношения и пропорции используются в деловых операциях при работе с деньгами, сравнении количества по цене во время покупок и т. Д. Например, у предприятия может быть соотношение суммы прибыли, полученной от продажи определенного продукта, например 5 долларов США: 1, где говорится, что бизнес получает 2,50 доллара с каждой продажи.

Как узнать, составляют ли два соотношения пропорцию?

Если два отношения эквивалентны друг другу, то говорят, что они пропорциональны. Например, соотношения 1: 2, 2: 4 и 3: 6 являются эквивалентными соотношениями.

Как рассчитать пропорцию?

Пропорция рассчитывается по формуле пропорции, которая гласит: a: b :: c: d или a: b = c: d. Мы читаем это так, как «а» относится к «б», как «с» относится к «г».

Что такое разные типы пропорций?

В зависимости от типа отношения, в котором участвуют два или более количества, пропорции можно разделить на разные типы. Есть два типа пропорций.

• Прямая пропорция — описывает прямую связь между двумя величинами.Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество также увеличивается, и наоборот.
• Обратная пропорция — описывает косвенную связь между двумя величинами. Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество уменьшается, и наоборот.

Каковы различные свойства пропорции?

Пропорция устанавливает эквивалентное соотношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, которой следует это отношение:

• Дополнение — Если a: b = c: d, то a + c: b + d
• Вычитание — Если a: b = c: d, то a — c: b — d
• Дивидендо — Если a: b = c: d, то a — b: b = c — d: d
• Componendo — Если a: b = c: d, то a + b: b = c + d: d
• Alternendo — Если a: b = c: d, то a: c = b: d
• Invertendo — Если a: b = c: d, то b: a = d: c
• Компонент и дивидендо — Если a: b = c: d, то a + b: a — b = c + d: c — d

Определение пропорции по Merriam-Webster

доля

| \ prə-ˈpȯr-shən

\

1

: гармоничное отношение частей друг к другу или ко всему целому : баланс, симметрия

2а

: Собственная или равная доля

каждый выполнил свою долю работы

3

: отношение одной части к другой или к целому по величине, количеству или степени : отношение

5

: утверждение о равенстве между двумя отношениями, в котором первое из четырех членов, разделенное на второе, равно третьему, разделенному на четвертое (как в случае 4/2 = 10/5) — сравните крайнее значение 1b, среднее значение 1c

пропорциональный; дозирование \
прə- ˈpȯr- sh (ə-) niŋ

\

переходный глагол

1

: для регулировки размера (части или предмета) относительно других частей или предметов.

2

: , чтобы детали были гармоничными или симметричными.

Соотношение и пропорция

Соотношение и пропорции

Соотношение
Сравнение соотношений
Пропорция
Скорость
Коэффициенты пересчета
Средняя скорость

Передаточное отношение

Коэффициент — это сравнение двух чисел.Обычно мы разделяем два числа в соотношении двоеточием (:). Предположим, мы хотим записать соотношение 8 и 12.
Мы можем записать это как 8:12 или как дробь 8/12, и мы скажем, что отношение восемь к двенадцати .

Примеры:

У Жаннин сумка с 3 видеокассетами, 4 шариками, 7 книгами и 1 апельсином.

1) Каково соотношение книг к шарикам?
В виде дроби с числителем, равным первой величине, и знаменателем, равным второму, ответ будет 7/4.
Два других способа записать соотношение: 7: 4 и 7: 4.

2) Какое соотношение видеокассет к общему количеству вещей в сумке?
Всего 3 видеокассеты и 3 + 4 + 7 + 1 = 15 штук.
Ответ может быть выражен как 3/15, от 3 до 15 или 3:15.

Сравнение коэффициентов

Чтобы сравнить коэффициенты, запишите их в виде дробей. Коэффициенты равны, если они равны, если записаны дробями.

Пример:

Равны ли отношения 3: 4 и 6: 8?
Коэффициенты равны, если 3/4 = 6/8.
Они равны, если их перекрестные произведения равны; то есть, если 3 × 8 = 4 × 6. Поскольку оба этих продукта равны 24, ответ — да, соотношения равны.

Не забывайте быть осторожными! Порядок имеет значение!
Соотношение 1: 7 не то же самое, что соотношение 7: 1.

Примеры:

Равны ли отношения 7: 1 и 4:81? Нет!
7/1> 1, но 4/81 <1, поэтому соотношения не могут быть равными.

Равны ли 7:14 и 36:72?
Обратите внимание, что 7/14 и 36/72 равны 1/2, поэтому два отношения равны.

Пропорции

Пропорция — это уравнение с соотношением сторон. Это утверждение, что два соотношения равны.
3/4 = 6/8 — это пример пропорции.

Если одно из четырех чисел в пропорции неизвестно, для нахождения неизвестного числа можно использовать перекрестные произведения. Это называется решением пропорции. Вместо неизвестного номера часто используются вопросительные знаки или буквы.

Пример:

Решите относительно n: 1/2 = n /4.
Используя кросс-произведение, мы видим, что 2 × n = 1 × 4 = 4, поэтому 2 × n = 4. Разделив обе стороны на 2, n = 4 ÷ 2, так что n = 2.

Оценка

Скорость — это коэффициент, который выражает, сколько времени нужно, чтобы что-то сделать, например, преодолеть определенное расстояние. Пройти 3 километра за час — значит пройти со скоростью 3 км / ч. Дробь, выражающая скорость, имеет единицы расстояния в числителе и единицы времени в знаменателе.
Задачи, связанные с коэффициентами, обычно включают установку двух соотношений, равных друг другу, и решение для неизвестной величины, то есть решение пропорции.

Пример:

Хуан пробегает 4 км за 30 минут. С такой скоростью, как далеко он сможет пробежать за 45 минут?
Дайте неизвестному количеству имя n. В данном случае n — это количество км, которое Хуан мог пробежать за 45 минут с заданной скоростью. Мы знаем, что пробежать 4 км за 30 минут — это то же самое, что пробежать n км за 45 минут; то есть ставки такие же. Итак, у нас есть пропорция
4 км / 30 мин = n км / 45 мин, или 4/30 = n /45.
Находя перекрестные произведения и приравнивая их, мы получаем 30 × n = 4 × 45 или 30 × n = 180.Разделив обе стороны на 30, находим, что n = 180 ÷ 30 = 6, и ответ будет 6 км.

Коэффициенты пересчета

Мы сравниваем коэффициенты так же, как коэффициенты, путем перекрестного умножения. При сравнении ставок всегда проверяйте, какие единицы измерения используются. Например, 3 километра в час сильно отличаются от 3 метров в час!
3 км / час = 3 км / час × 1000 метров / 1 километр = 3000 метров / час
, потому что 1 километр равен 1000 метрам; мы «отменяем» километры при переводе в метры.

Важно:

Один из самых полезных советов при решении любой математической или научной задачи — всегда записывать единицы измерения при умножении, делении или преобразовании одной единицы в другую.

Пример:

Если Хуан пробегает 4 км за 30 минут, сколько часов ему понадобится, чтобы пробежать 1 км?
Будьте осторожны, чтобы не перепутать единицы измерения. Хотя скорость Хуана выражается в минутах, вопрос задается в часах. Только одна из этих единиц может использоваться при настройке пропорции.Чтобы преобразовать в часы, умножьте
4 км / 30 минут на 60 минут / 1 час = 8 км / 1 час
Теперь пусть n будет количеством часов, которое требуется Хуану, чтобы пробежать 1 км. Тогда пробег 8 км за 1 час будет таким же, как пробег 1 км за n часов. Решая пропорцию,
8 км / 1 час = 1 км / n часов, мы имеем 8 × n = 1, поэтому n = 1/8.

Средняя скорость

Средняя скорость поездки — это общее пройденное расстояние, разделенное на общее время поездки.

Пример:

Собака проходит 8 км со скоростью 4 км в час, затем гоняется за кроликом 2 км со скоростью 20 км в час. Какова средняя скорость собаки на пройденном расстоянии?
Общее пройденное расстояние составляет 8 + 2 = 10 км.
Теперь мы должны подсчитать общее время, в течение которого он путешествовал.
Первую часть пути он прошел 8 ÷ 4 = 2 часа. Он гнался за кроликом 2 ÷ 20 = 0,1 час. Общее время в пути 2 + 0,1 = 2,1 часа.
Средняя скорость его поездки 10/2.1 = 100/21 километр в час.

Базовые или простые пропорции — ChiliMath

Предположим, есть два отношения a: b и c: d. Их можно записать в виде дробей \ Large {a \ over b} и \ Large {c \ over d} соответственно. Теперь, если мы установим эти два отношения равными друг другу , тогда получится соотношение .

Способы записать пропорции

Пропорция — это утверждение, показывающее, что два соотношения равны. Пропорцию можно записать двумя способами:

И то, и другое можно прочитать как «a is to b as c is to d».

Теперь давайте определим частей пропорции . Эта концепция понадобится нам для решения проблем в дальнейшем.

В форме двоеточия крайние значения — это два самых внешних значения, а средние — два самых внутренних значения.

• ФОРМА ФРАКЦИИ (Стандартная форма)

В дробной форме крайние значения — это значения, попадающие в диагональ, проведенную сверху слева направо, а средние значения — это значения, попадающие в диагональ, проведенную снизу слева направо.

После знакомства с определением и частями пропорции, мы можем теперь поговорить о свойствах пропорций . Это два полезных свойства , которые можно использовать для решения проблем.

Свойства пропорций

1) Взаимное имущество

Если два отношения равны, то их обратные величины также должны быть равны, пока они существуют.

2) Общая собственность продуктов

Произведение крайностей равно произведению средних.

Примеры применения концепции пропорций

Пример 1: Покажите, что указанная ниже пропорция верна.

Чтобы пропорция была верной, дроби в обеих частях уравнения должны быть уменьшены до одного и того же значения. Дробь в левой части уравнения имеет наибольший общий делитель 5. В то время как дробь справа имеет наибольший общий делитель 6.

Поскольку две дроби с обеих сторон равны после сокращения до наименьшего члена, мы можем утверждать, что данная пропорция равна истинному !

Пример 2: Покажите, что указанная ниже пропорция верна.

Мы также можем показать, верна ли пропорция, используя свойство Cross Product. Проще говоря, если произведение их крайностей (внешних ценностей) равно произведению средних (внутренних значений), то пропорция верна.

Это показывает, что данная пропорция равна истинному !

Пример 3: Решите пропорцию ниже.

Эта проблема — пропорция с неизвестным значением. Наша цель — найти значение «х», при котором пропорция станет истинной.Мы можем легко решить эту проблему, используя свойство Cross Product.

Вы можете снова подставить x = 2 в исходную пропорцию и убедиться, что это действительно правильный ответ.

Пример 4: Решите пропорцию ниже.

Единственное отличие этой задачи от примера № 3 состоит в том, что неизвестная переменная «x» находится в знаменателе. Решить эту пропорцию так же просто, как применить свойство перекрестного произведения, а затем решить простое уравнение, которое получается из него.

В качестве альтернативы вы можете сначала применить Взаимное свойство, чтобы переместить переменную «x» снизу вверх, прежде чем использовать свойство «Перекрестное произведение». Ответ должен быть таким же.

Пример 5: Решите пропорцию ниже.

Это еще один тип проблем, с которыми вы можете столкнуться при решении пропорций. Формат пропорции использует двоеточие вместо дроби. Чтобы решить эту проблему, нам нужно переписать пропорцию в дробной форме, а затем решить ее как обычно.

Так как a: b = c: d можно записать как \ Large {a \ over b} = {c \ over d}, то наша исходная задача становится \ Large {{12} \ over x} = {4 \ over 3 }.

Давайте решим эту проблему…

Замените x = 9 на исходную пропорцию, чтобы проверить свой ответ.

Пример 6: Обменный курс между долларом США и индийской рупией составляет 2 к 106 . Сколько у вас было бы по этому курсу доллара США, если бы вы обменяли 901 индийскую рупию?

Мы хотим установить пропорцию, которую мы можем решить.Мы можем сделать это двумя способами. Один из способов — поместить долларовые значения в числители, а рупии — в знаменатели пропорции. А другой способ — поменяться местами. Любая из настроек должна дать нам одинаковый ответ.

В этом упражнении мы поместим информацию о долларах вверху.

Решите неизвестное значение «x», чтобы получить требуемое значение в долларах.

Это означает, что на момент обмена 17 долларов США эквивалентны 901 индийской рупии .

⚠️ Следующий пример представляет собой сложную задачу, поскольку он потребует от вас критического мышления и решения многоступенчатых линейных уравнений с переменными по обе стороны уравнения.

Пример 7: Вы хотите разрезать брусок длиной 72 фута на две части так, чтобы отношение более короткой части к более длинной составляло 2: 7. Какова их длина?

Пусть «x» будет длиной более короткого отрезка. Это означает, что «72 — x» будет более длинной фигурой.См. Диаграмму ниже.

Принято, что отношение более короткого к более длинному фрагменту составляет 2: 7. Используя всю эту информацию, мы можем теперь установить пропорцию для определения длины как коротких, так и более длинных частей.

Решение указанной выше пропорции с использованием свойства пропорциональности перекрестного произведения…

Поскольку более короткая часть имеет размер x = 16 футов , это означает, что более длинная часть имеет размер 72 — x = 72 — 16 = 56 футов .

Чтобы выполнить проверку, в задаче нам сказали, что отношение более короткого куска к более длинному составляет 2 к 7.Обратите внимание, что когда мы уменьшаем дробь \ Large {{16} \ over {56}} до наименьшего члена, мы получим желаемое соотношение.

Практика с рабочими листами

PDST Математика после начального образования | Видео вебинара 3 Уже доступно

Этот веб-сайт использует Google Analytics для сбора анонимной информации, такой как количество посетителей сайта и наиболее популярные страницы.

Сохранение включенного файла cookie помогает нам улучшать наш веб-сайт.

Пожалуйста, сначала включите строго необходимые файлы cookie, чтобы мы могли сохранить ваши предпочтения!

Показать детали

Написание и решение процентных соотношений

Результаты обучения

• Перевести выражение в пропорцию
• Решите процентную долю

Ранее мы решали процентные уравнения, применяя свойства равенства, которые мы использовали для решения уравнений по всему тексту.Некоторые люди предпочитают решать процентные уравнения, используя метод пропорций. Метод пропорции для решения процентных задач предполагает процентное соотношение. Пропорция процентов — это уравнение, в котором процент равен эквивалентному соотношению.

Например, [latex] \ text {60%} = \ frac {60} {100} [/ latex], и мы можем упростить [latex] \ frac {60} {100} = \ frac {3} {5} [/латекс]. Поскольку уравнение [латекс] \ frac {60} {100} = \ frac {3} {5} [/ latex] показывает процент, равный эквивалентному соотношению, мы называем это процентным соотношением.Используя словарь, который мы использовали ранее:

[латекс] \ frac {\ text {amount}} {\ text {base}} = \ frac {\ text {percent}} {100} [/ latex]
[латекс] \ frac {3} {5} = \ frac {60} {100} [/ latex]

Процентная доля

Сумма дана в процентах к [латексу] 100 [/ латексу].

[латекс] \ frac {\ text {amount}} {\ text {base}} = \ frac {\ text {percent}} {100} [/ latex]

Если мы переформулируем проблему словами пропорции, может быть проще установить пропорцию:

[латекс] \ mathit {\ text {Сумма отнесена к основанию, как процент к сотне.}} [/ latex]
Мы также можем сказать:

[латекс] \ mathit {\ text {Сумма вне основы такая же, как процент из ста.}} [/ Latex]
Сначала мы попрактикуемся в переводе в процентную пропорцию. Позже мы решим пропорцию.

, пример

Перевести в пропорции. Какое число [латекс] \ text {75%} [/ latex] из [latex] 90? [/ Latex]

Решение
Если вы ищете слово «из», оно может помочь вам определить базу.

, пример

Перевести в пропорции. [латекс] 19 [/ латекс] это [латекс] \ текст {25%} [/ латекс] какого числа?

Показать решение

Решение

, пример

Перевести в пропорции. Какой процент [латекса] 27 [/ латекса] составляет [латекс] 9? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Теперь, когда мы записали процентные уравнения как пропорции, мы готовы решать уравнения.

, пример

Переведите и решите, используя пропорции: Какое число [latex] \ text {45%} [/ latex] of [latex] 80? [/ Latex]

Показать решение

Решение

В следующем видео показан аналогичный пример решения процентной доли.

В следующем примере процент больше, чем [латекс] 100 [/ латекс], что больше, чем одно целое. Так что неизвестное число будет больше, чем базовое.

, пример

Переведите и решите, используя пропорции: [latex] \ text {125%} [/ latex] of [latex] 25 [/ latex] — это какое число?

Показать решение

Решение

Проценты с десятичными знаками и деньгами также используются в пропорциях.

, пример

Переведите и решите: [latex] \ text {6.5%} [/ latex] из какого числа [latex] \ text {\ $ 1.56}? [/ Latex]

Показать решение

Решение

В следующем видео мы показываем похожую проблему, обратите внимание на другую формулировку, которая приводит к тому же уравнению.

, пример

Переведите и решите, используя пропорции: Какой процент [latex] 72 [/ latex] составляет [latex] 9? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть аналогичную проблему.

Соотношение и пропорции

| SkillsYouNeed

Коэффициент — это математический термин, используемый для сравнения размеров одной части с другой.

Пропорция сравнивает одну часть с целым.

Вам необходимо понимать эти математические концепции чаще, чем вы ожидаете, например, когда:

• Конвертация одной валюты в другую при выезде за границу
• Измерение количества в рецепте
• Сравнение цен в супермаркете
• Использование масштаба, например, на карте или при создании модели
• Разработка продуктов питания и напитков, необходимых для вечеринки
• Расчет вероятного выигрыша при размещении ставки

Что такое коэффициент?

Обычно вы видите отношения, используемые для сравнения двух чисел, но они часто используются для сравнения нескольких величин.

Соотношения обычно отображаются в виде двух или более чисел, разделенных двоеточием, например, 7: 5, 1: 8 или 5: 2: 1

Они также часто отображаются в форме, похожей на дробь, например 7/5 или 1/8

Иногда они просто выражаются словами и числами, например «от 7 до 5» или «от одного до восьми».

Если вы понимаете, как работает Fractions , то вы увидите, что отношения работают очень похоже, но есть важное различие, проиллюстрированное в следующем примере.

Глядя на ряд из 10 прямоугольников ниже, вы можете увидеть, что 7 из них белые, а три из них фиолетовые.

Таким образом, соотношение фиолетового к белому составляет 3: 7

Тем не менее, доля фиолетовых квадратов составляет ³ / ₁₀ (или 30%, если выразить в процентах ).

Дробь выражается по отношению к целому, тогда как отношение выражается как сравнение двух (или более) частей целого.

Понижающие и умножающие коэффициенты

Пример 1:

Дэйв заказывает обеды на вынос для себя и некоторых друзей. За каждые 4 пачки бутербродов, которые он покупает, он получает бесплатный напиток. Если он купит 12 пачек бутербродов, сколько бесплатных напитков он получит?

Соотношение четыре бутерброда на один напиток, что написано 4: 1

Дэйв покупает 12 бутербродов, то есть 3 лота по 4.Чтобы узнать, сколько напитков он получит, нужно умножить обе части соотношения на одинаковую величину:

3 × 4 = 12 бутербродов

3 × 1 = 3 бесплатных напитка

Пример 2:

Джеймс разбирается с заказом канцелярских принадлежностей. Он получил 36-летние ежедневники и 3 бесплатные упаковки фломастеров. Сколько годичных планировщиков требовалось, чтобы получить одну бесплатную упаковку ручек?

Соотношение ежедневников и ручек 36: 3

Отношение может быть уменьшено или упрощено путем деления обеих сторон на общий коэффициент .Это то же самое, что и метод, используемый для упрощения дробей .

В этом случае соотношение уменьшается путем деления обеих сторон отношения на три, что дает ответ: 12: 1

На каждые 12 заказанных планировщиков приходит 1 упаковка ручек.

Не беспокойтесь о десятичных дробях.

Когда вы работаете с дробями, числитель и знаменатель (верхнее и нижнее числа) всегда должны быть целыми числами.

Однако, когда вы работаете с отношениями, совершенно правильно использовать десятичную дробь. Например, соотношение 5:12 можно выразить как 1: 2,4

Коэффициенты масштабирования

Соотношения

особенно полезны, когда нам нужно масштабировать величину, то есть увеличивать или уменьшать количество или размер чего-либо.

Самыми распространенными примерами являются карты или масштабные модели, где многокилометровые области точно представлены на маленькой карте, или, например, большой паровоз превращается в гораздо меньшее, но точное представление самого себя.

Умение масштабировать соотношение также очень полезно при увеличении или уменьшении количества ингредиентов в рецепте.

Соотношения можно увеличивать или уменьшать путем умножения обеих частей отношения на одно и то же число таким же образом, как в примерах выше.

Например, масштаб карты 1: 25000 означает, что каждый 1 мм на карте соответствует 25000 мм (или 25 м) на земле.

Модель автомобиля в масштабе 1:12 означает, что каждый 1 дюйм модели эквивалентен 12 дюймам полноразмерного автомобиля.

Следите за своими подразделениями!

В приведенных выше примерах карты и автомобилей единицы измерения указаны в миллиметрах и дюймах. Однако они могут быть любыми , если они одинаковы по обе стороны от отношения .

Масштаб карты 1: 25000 может составлять 1 дюйм на карте и 25000 дюймов на земле, но не может быть от 1 дюйма на карте до 25000 см на земле, поскольку единицы измерения не эквивалентны.

Масштаб модели автомобиля 1:12 может составлять от 1 см на модели до 12 см на транспортном средстве, но не может быть от 1 см на модели до 12 метров на транспортном средстве, поскольку единицы измерения не совпадают.

Единственное исключение — если единицы указаны с обеих сторон. Например, карты Ordnance Survey в Великобритании раньше назывались «от одного дюйма до одной мили». Это нормально, потому что были предоставлены блоки для обеих сторон.

Пример 3:

Вам нужно приготовить 20 кексов, но количества в рецепте ниже хватит только на 12. Вы можете удвоить ингредиенты и приготовить 24 кекса, оставив четыре для себя! Однако, если у вас недостаточно ингредиентов для 24 кексов, вы можете использовать соотношение, чтобы рассчитать, сколько каждого ингредиента необходимо для приготовления 20 кексов.

120 г сливочного масла
120 г сахарной пудры
3 яйца
1 чайная ложка ванильного экстракта
120 г саморазбавляющейся муки
1 столовая ложка молока

Вам нужно масштабировать рецепт от 12 до 20, поэтому коэффициент масштабирования будет 12:20

Однако это соотношение не в простейшей форме, поэтому вы можете уменьшить его, чтобы упростить расчет. И 12, и 20 можно разделить поровну на 2 или на 4. Разделение обеих сторон на 4 уменьшит соотношение до его простейшего вида: 3: 5

Следующий шаг требует абстрактного мышления! Вы должны думать об исходном рецепте как о трех единицах, а о количестве, которое вам нужно, как о 5 единицах.

Таким образом, метод преобразования рецепта состоит в том, чтобы разделить все исходные количества на три, чтобы получить количество для 1 единицы, а затем умножить на 5.

Количество масла, сахара и муки одинаково, поэтому вам нужно выполнить только один расчет для всех этих количеств:

120 г ÷ 3 = 40 г масла / сахара / муки
и
3 яйца ÷ 3 = 1 яйцо

Чтобы рассчитать количество молока, сначала переведите единицы измерения из столовых ложек (столовых ложек) в миллилитры (мл), чтобы упростить задачу.

1 столовая ложка молока = 15 мл
15 мл ÷ 3 = 5 мл молока

Одна чайная ложка (чайная ложка) ванильного экстракта немного сложнее, но точно так же преобразовать единицы в миллилитры: одна чайная ложка эквивалентна 5 мл. Таким образом, вы получите ⁵ / ₃ мл ванили для этой части расчета!

Чтобы рассчитать количество для 20 кексов, вам нужно умножить количество для «1 единицы» на 5.

40 г × 5 = 200 г масла / сахара / муки
1 яйцо × 5 = 5 яиц
5 мл молока × 5 = 25 мл молока
⁵ / ₃ мл ванили × 5 = 8.33 мл ванили (это потребует небольшой оценки при измерении! Однако в реальной жизни так часто бывает)

Наконец, позаботьтесь о порядке соотношения!

Всегда проверяйте, правильно ли вы прочитали соотношение. Соотношение 4 петушков на 15 кур следует писать 4:15, а не 15: 4.

Доля

Давайте еще раз посмотрим на белые и фиолетовые коробки.

Теперь вы знаете, что соотношение фиолетового к белому составляет 3: 7

Однако фракция фиолетовых квадратов равна ³ / ₁₀

Доля сравнивает часть с целым так же, как и дроби.Таким образом, доля фиолетовых ящиков составляет 3 из 10.

Даже если у вас есть несколько строк ящиков, идентичных строке выше, независимо от того, сколько у вас их, соотношение фиолетового к белому остается 3: 7, а соотношение фиолетового к белому остается 3 из каждых 10.

Пример 4:

Пэм держит дома тропических рыбок в аквариуме. У нее 6 тетра, 15 гольян, 5 плати и 4 гуппи.

Какая часть ее рыб — гольян?

Всего 30 рыб, из них 15 гольян. Таким образом, доля рыб, принадлежащих к гольянам, составляет 15 к 30, что равняется 1 к 2. Поскольку пропорция связана с дробями, вы можете сказать, что ¹ / _{(половина) рыбы Пэм — это гольян.}

Аналогичным образом, 5 из 30 рыб — это Platy, что соответствует 1 из 6.

Мы также можем использовать этот пример для просмотра соотношений.