Однородность функции — Справочник химика 21

    По теореме Эйлера однородные функции т-го измерения обладают следую-щ им свойством  [c.174]

    В соответствии с теоремой Эйлера для однородных функций первой степени уравнение (121.6) принимает вид [c.346]

    Изобарный потенциал раствора является однородной функцией масс первого измерения. Такими же функциями масс при постоянных р к Т являются внутренняя энергия, энтальпия, энтропия, объем раствора и др. [c.174]

    Термодинамические свойства системы (см. 56) обычно подразделяются на интенсивные и экстенсивные. К интенсивным относятся свойства равновесной системы, не зависящие от количества вещества и одинаковые для всей системы, такие, как температура, давление, концентрация, молярный объем и другие молярные свойства. В противоположность интенсивным экстенсивные свойства растворов н любых других систем пропорциональны количеству вещества, зависят от массы системы. К экстенсивным относятся такие свойства системы, как энтальпия, объем, теплоемкость и т. п. Если, например массы всех компонентов, составляющих систему, увеличить в п раа при постоянных температуре и давлении, то интенсивные свойства системы (концентрация, молярный объем и др.) не изменятся, а экстенсивные (общий объем, теплоемкость и т. д.) возрастут также в п раз. Величины, связанные такой зависимостью, в математике называются однородными функциями первой степени. Более строго одно- [c.345]

    Для определения понятая парциальной молярной величины обычно используется теорема Эйлера об однородных функциях. Известно, что функция G x, у, z,. . . ) называется однородной функцией т-го измерения, если она удовлетворяет условию [c.28]

    Энтальпия раствора Н—однородная функция масс величины постоянны при любых изменениях масс. Подставив величину Я, равную [c.176]

    Отсюда следует также, что /г , как однородная функция степени ноль удовлетворяет условиям  [c. 43]

    Линейным однородным преобразованием плоскости называется такое отображение, при котором каждой точке М (х, у) этой плоскости, заданной относительно общей декартовой системы координат, приводится в соответствии точка М (х, у ), координаты которой выражаются через координаты точки М линейными однородными функциями [c.200]

    Показатель степени множителя к в правой части уравнения (V, 15)— показатель однородности—в данном случае равен единице, и функция называется однородной функцией первого измерения (если бы показатель однородности был равен 2, 3,. ..т, то функция имела бы измерение второе, третье,. .. т-е). [c.174]

    Не только интегральные экстенсивные свойства растворов являются однородными функциями масс и удовлетворяют условию (V, 20). Изменения этих величин при образовании раствора из чистых компонентов (при постоянных р и Т) также являются однородными функциями масс компонентов. [c.175]

    Надо отметить, что термодинамические потенциалы могут быть выражены как однородные функции не только масс компонентов, но и других экстенсивных свойств системы, например объема раствора или его внутренней энергии.  [c.176]

    Если реакция не простая, а сложная, то возникает проблема связи различных химических потенциалов (точнее, их изменений) между собой. Для этого необходимо построить новое характеристическое уравнение по независимым переменным. Используем то обстоятельство, что, например, свободная энергия Гиббса есть, во-первых, однородная функция первого порядка но отношению к n , и, во-вторых, что она является величиной экстенсивной. Тогда сразу можно записать [c.38]

    Экстенсивное свойство системы является однородной функцией первой степени по отношению к массам компонентов. Одно из важнейших свойств однородных функций характеризуется теоремой Эйлера. Если [c.346]

    Функции, для которых это условие справедливо, называются однородными функциями со степенью однородности т]. [c.83]

    Ядро коалесценции в турбулентном потоке с учетом молекулярного и гидродинамического взаимодействия частиц (5.53) является суммой двух однородных функций с показателями однородности Т1 = 0,5 и Т1 = /з (см. с. 94). Раскладывая каждую однородную функцию в ряд по методике, изложенной в начале этой главы, представим ядро коалесценции (5.53) в виде [c.120]

    Исследования показали целесообразность применения функций распределения для нахождения трещин в заготовках. Функции распределения сопоставлены с результатами исследования разрезов заготовок. Трещины нарушают статистическую однородность функции распределения. Ил. I. Список лит. 2 назв. [c.271]

    В квантовой механике атомов и молекул V — сумма кулоновских потенциалов. Используя определение Л. Эйлера для однородных функций степени т (в данном случае те = -1) [c.243]

    Для описания гомогенных смесей важно математическое понятие однородной функции. [c.139]

    Рассмотрим гомогенную смесь, содержащую К различных компонентов в количествах / , п2,…,п (Моль соответственно. Существенно, что некоторые из термодинамических функций, описывающих такие системы, являются однородными функциями состава.  [c.139]

    Из последнего уравнения следует, что для однородных функций первого порядка можно написать, полагая а = 1, [c.140]

    Для любой термодинамической величины Ф(Г, Я, л,), являющейся однородной функцией первого порядка по отнощению к переменным л,, можно написать уравнения, аналогичные уравнениям (9.1) и (9.2)  [c.140]

    Соотношения (1.57) и (1.59) называются в химической термодинамике парциальными молярными условиями. В соответствии с теоремой Эйлера соотношение (1.60) характеризует парциальные молярные величины как однородные функции нулевого порядка, т. е. для всех I [c.22]

    Рассмотрим ситуацию с термодинамическими потенциалами. Очевидно, что однородной функцией первого порядка относительно л, является энергия Гиббса С(Г, Р, л,)  [c.140]

    В то же время энергия Гельмгольца А = А(Т, У, л,) не является однородной функцией относительно л,. Действительно, если изменить все величины л, в одинаковое число раз путем механиче- [c.140]

    СКОРО изменения размера системы, то объем системы также изменится в то же число раз. Следовательно, энергия Гельмгольца не будет однородной функцией только переменных л,. Если же объем при изменении величин л, поддерживать постоянным, то будут меняться концентрации компонентов в системе и, следовательно, взаимодействия между ее частями. Это приведет к нелинейному изменению величины А с изменением величин Таким образом, энергия Гельмгольца не является однородной функцией только переменных л,. [c.141]

    Аналогичным путем можно показать, что внутренняя энергия и энтальпия также не будут однородными функциями величин л,. Следовательно, из всех четырех термодинамических потенциалов только энергия Гиббса является однородной функцией относительно переменных л,, и именно ее чаще всего используют при термодинамическом описании смесей. [c.141]

    Так как Ф — однородная функция первого порядка, то она не зависит от N. Это следует из (9.12). Действительно, при увеличении содержания в системе каждого компонента в а раз в а раз возрастает не только величина Ф, но и величина N. Следовательно, [c.143]

    Это обстоятельство играет важную роль в теории многокомпонентных систем, так как к химическому потенциалу можно применить теорию парциальных мольных величин, а к энергии Гиббса — теорию однородных функций. [c.148]

    Рассмотрим для некоторой фазы однородную функцию первого порядка относительно переменных и, Ф = Ф(Г, Р, л,). Это может быть С, V и др. Для ёФ в общем случае можно записать [c.148]

    Существенно, что вариантность системы не изменяется при учете уравнений Гиббса—Дюгема, хотя, казалось бы, эти уравнения накладывают дополнительные условия на термодинамическую систему. Действительно, уравнения Гиббса—Дюгема являются следствием однородности функции Ф, и поэтому уравнение [c.150]

    Согласно теореме Эйлера, если G есть однородная функция т-го измерения от нескольких перемепш. гх х. у, z, то [c.28]

    Выведем некоторые уравнения, связывающие парциальные молярные величины. Поскольку любое экстенсивное свойство является однородной функцией первого порядка от независимых переменных 1, П2,. .., л, то согласно теореме Эйлера, можно записать  [c.21]

    Легко заметить, что термодинамические потенциалы ( 7, Я, Р и О) являются линейными однородными функциями соответствующих экстенсивных величин (5, V, п. ….п ). Применяя к ним теорему Эйлера О б однородных функциях, получим интегральные вы- [c.153]

    Сродство — однородная функция нулевого порядка по переменным Пи. . ., Пк. Следовательно, согласно теореме Эйлера [c.175]

    Особенность экстенсивных свойств состоит в том, что при увеличении пли уменьшенни в равной степени количеств всех компонентов смеси значение свойства смеси изменяется в той же степени. Так, при постоянных р, Т п составе смеси 10 молей раствора до гжны иметь вдесятеро большие объем, вес, энтальпию и т. д., чем 1 моль. Следовательно, экстеиспвные свойства О можно при постоянных давлении и температуре считать однородными функциями масс отдельных компонентов системы первой степенп и применить к ним теорему Эйлера. [c.29]

    Если Р (X, у) и ( г, у) — однородные функции от и у одной и той же степени, то уравнение Я i/i4-(Э у = О подстановкой у—(х (нли х = 1у] приподится к уравнению с отделяющимиса переменными. [c.110]

    В термодинамике обычно встречаются функции первого (экстенсивные величины) и нулевого (интенсивные величины) порядков. Рассмотрение однородных функций нулевого порядка особого интереса не представляет, поэтому офаничимся анализом свойств однородных функций первого порядка, к которым относятся, например, С, V 1 др. [c.139]

    Наряду с переменными и, в термодинамических функциях присуп -ствуют также температура и давление, поскольку среди всех наборов стандартных переменных только они являются интенсивными величинами. Например, объем системы при постоянных температуре и давлении является однородной функцией первого порядка относительно количества отдельных компонентов. Следовательно, [c.140]

    Полная поверхностная энергия слоя на основании (XIII.87) и (XIII.88) является однородной функцией первой степени факторов емкости 5 , и п р. Следовательно, мы можем записать [c.346]

Однородные функции

Содержание:

Однородные функции

Однородные функции. Как известно, многочлены, состоящие из членов одной размерности, называются однородными многочленами. Например, выражение Зло:9-2 ху + 5u9 Существуют однородные многочлены 2-го порядка. умножьте x и y на определенный коэффициент, и весь многочлен получит коэффициент I 2-го порядка.Например, если взять следующее выражение Икс ЮО * + г Затем, будучи похожими на однородные многочлены 2-го порядка в этой точке, мы также получаем коэффициент P, умножая его на оба аргумента x и y. 0,(Ыб)-ВХ-\ ГУ(1xb,1yb(рН) йо + (У0, 1р$) Р0 = к -?1-/(хп, У0,Р0).

Если ввести здесь* = 1, то получится следующая формула: / х (хо> УО> Йоу * о) е + + / ЛК, в v0,Р0) Р0 = к-/(х0, начиная с версии v0, Р0). Таким образом, для любой точки (x} y, r) уравнение fx (x, y, r)-x + fy (x, y, r)-y + l2 (x, y, d)-r = b-/(x, y, r). (12） Это равенство называется формулой Эйлера. * ) Чтобы упростить описание, здесь мы ограничимся случаем 3 переменных. * Предположение о непрерывности частной производной состоит именно в том, чтобы получить право применять это правило[n * 140]. Мы обнаружили, что однородная функция, следующая за A с непрерывным частным дифференциалом, удовлетворяет этому уравнению. Верно и обратное.

Поскольку обратное также очевидно, предыдущее уравнение дает общее выражение однородной функции нулевого порядка.
Людмила Фирмаль

• Каждая функция, смежная с частной производной и удовлетворяющая уравнению Эйлера (12), неизбежно может указывать на то, что она является однородной функцией, следующей за k. Замечания. Эйлер дифференциального исчисления рассматривает только однородные выражения определенного типа-целые, дробные, радикальные и их комбинации, которые не дают общего определения. Однако, выводя выражение со своим именем, он исходит из представления однородной функции в виде произведения 1 степени аргумента на функцию из других отношений.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие однородного дифференциального
уравнения первого порядка связано с
однородными функциями.

Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество

Например, функция
—
однородная функция первого измерения,
так как

;

— однородная функция третьего измерения
, так как

;

— однородная функция нулевого измерения,
так как

,
т.е..

Определение 2.Дифференциальное
уравнение первого порядкаy‘
= f(x,y)
называется однородным, если функцияf(x,y)
есть однородная функция нулевого
измерения относительноx
иy, или, как говорят,f(x,y)
– однородная функция степени нуль.

Его можно представить в виде

где P(x,y)
иQ(x,y)
– однородные функции одинакового
измерения: отношение двух однородных
функций одного и того же измерения
является однородной функцией нулевого
измерения (см. третий из приведенных
выше примеров).

Возможна следующая форма записи
уравнения (3.2):

что позволяет определить однородное
уравнение как такое дифференциальное,
которое можно преобразовать к виду
(3.3).

Замена
приводит однородное уравнение к
уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, после подстановкиу
= xzполучим,Разделяя переменные и интегрируя,
найдем:

,

Пример 1.Решить уравнение .

Δ Полагаем у = zx,
Подставляем
эти выраженияy иdyв данное уравнение:илиРазделяем переменные:и интегрируем:,

Заменяя zна,
получим.

Пример 2. Найти общее решение
уравнения.

Δ В данном уравнении P
(x,y)
=x²-2y²,Q(x,y)
=2xy– однородные
функции второго измерения, следовательно,
данное уравнение является однородным.
Его можно представить в видеи решать так же, как и представленное
выше. Но используем другую форму записи.
Положимy = zx,
откудаdy = zdx
+ xdz. Подставляя эти
выражения в исходное уравнение, будем
иметь

,

то есть

или

dx+2zxdz
= 0.

Разделяем переменные, считая

.

Интегрируем почленно это уравнение

,
откуда

то есть
.
Возвращаясь к прежней функциинаходим общее решение

Пример 3. Найти общее
решение уравнения.

Δ
Цепочка преобразований:
,y = zx,,
,
,
,
,
,
,
,

,

.


Лекция 8.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

где
,,c(x) –
непрерывные функции.

Если,
то уравнение (4.1) можно записать в
приведённом виде

Здесь
– свободный член, называемый также
правой частью уравнения. В этом виде
будем рассматривать линейное уравнение
в дальнейшем.

Если
0,
то уравнение (4.1а) называется линейным
неоднородным. Если же0, то уравнение принимает вид

и называется линейным однородным.

Название уравнения (4.1а) объясняется
тем, что неизвестная функция y
и её производнаявходят в него линейно, т.е. в первой
степени.

В линейном однородном уравнении
переменные разделяются. Переписав его
в виде
откудаи интегрируя, получаем:,т.е.

При делении на
теряем решение.
Однако оно может быть включено в найденное
семейство решений (4.3), если считать, чтоСможет принимать и значение 0.

Существует несколько методов решения
уравнения (4.1а). Согласно методу
Бернулли, решение ищется в виде
произведения двух функций отх:

Одна из этих функций может быть выбрана
произвольно, так как лишь произведение
uv должно удовлетворять
исходному уравнению, другая определяется
на основании уравнения (4.1а).

Дифференцируя обе части равенства
(4.4), находим
.

Подставляя полученное выражение
производной
,
а также значениеу
в уравнение (4.1а), получаем,
или

Так как одну из неизвестных функций
можем выбрать произвольно, выберем
функцию u так,
чтобы

т.е. в качестве функции vвозьмём решение однородного линейного
уравнения (4.6):

Ввиду произвольности в выборе v,мы можем не учитывать произвольную
постояннуюС (точнее – можем
приравнять её нулю). Подставляя найденное
значениеv(x)
в уравнение (4.5), получим, учитывая (4.6):

откуда

(Здесь Cписать
обязательно, иначе получится не общее,
а частное решение).

Таким образом, видим, что в результате
используемой подстановки (4.4) уравнение
(4.1а) сводится к двум уравнениям с
разделяющимися переменными (4.6) и (4.7).

Подставляя
иv(x) в
формулу (4.4), окончательно получаем

,

или

Пример 1.Найти общее решение
уравнения

 Положим
,
тогда.
Подставляя выраженияив
исходное уравнение, получимили(*)

Приравняем нулю коэффициент при
:

Разделяя переменные в полученном
уравнении, имеем
(произвольную постояннуюC
не пишем), отсюдаv=x.
Найденное значениеvподставляем в уравнение (*):

,,.

Следовательно,
общее
решение исходного уравнения.

Отметим, что уравнение (*) можно было
записать в эквивалентном виде:

.

Произвольно выбирая функцию u,
а неv, мы могли полагать.
Этот путь решения отличается от
рассмотренного только заменойvнаu(и, следовательно,uнаv),
так что окончательное значениеуоказывается тем же самым.

На основании изложенного выше получаем
алгоритм решения линейного дифференциального
уравнения первого порядка.

1. Приводим рассматриваемое уравнение к
   виду.

2. Используя подстановку,
   находими
   подставляем эти выражения в уравнение.

3. Группируем члены уравнения, выносим
   одну из функций uилиvза скобки. Находим
   вторую функцию, приравняв выражение в
   скобках нулю и решив полученное
   уравнение.

4. Подставляем найденную функцию в
   оставшееся выражение и находим вторую
   функцию.

5. Записываем общее решение, подставив
   выражения для найденных функций u
   иvв равенство.

6. Если требуется найти частное решение,
   то определяем Сиз начальных
   условий и подставляем в общее решение.

Отметим далее, что иногда уравнение
первого порядка становится линейным,
если усчитать независимой переменной,
аx– зависимой, т.е.
поменять ролиx иy. Это можно сделать
при условии, чтоxиdxвходят в уравнение
линейно.

Пример 2. Решить уравнение
.

Однако если рассматривать xкак функцию оту, то, учитывая, что,его
можно привести к виду

Заменив
на,получимили.
Разделив обе части последнего уравнения
на произведениеydy,
приведем его к виду

, или.
(**)

Здесь P(y)=,.
Это линейное уравнение относительноx. Полагаем,.
Подставляя эти выражения в (**), получаем

или.

Выберем vтак, чтобы,,
откуда;.
Далее имеем,,.

Т.к.
,
то приходим к общему решению данного
уравнения в виде

.

Отметим, что в уравнение (4.1а) P(x)
иQ (x)
могут входить не только в виде функций
от x, но и констант:P=a,Q=b.
Линейное уравнение

можно решать и с помощью подстановки
y=uv и
разделением переменных:

;.

Отсюда
;;;
где.
Освобождаясь от логарифма, получаем
общее решение уравнения

(здесь).

При b=0 приходим к
решению уравнения

в виде

(см. уравнение показательного роста
(2.4) при
).

Применим далее для интегрирования
неоднородного линейного уравнения
(4.1а) метод вариации произвольной
постоянной (метод Лагранжа).

Сначала интегрируем соответствующее
однородное уравнение (4.2). Как указано
выше, его решение имеет вид (4.3). Будем
считать сомножитель Св (4.3) функцией
отх, т.е.
по существу делаем замену переменной

где C(x)-новая
неизвестная функцияx.
Подставляя производнуюв исходное неоднородное уравнение
(4.1а), получим:,
или

откуда, интегрируя, находим

где С₁-постоянная. Следовательно,

Отметим, что согласно (4.14) (см. также
(4.9)), общее решение неоднородного
линейного уравнения равно сумме общего
решения соответствующего однородного
уравнения (4.3) и частного решения
неоднородного уравнения, определяемого
вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в
(4.9)).

При решении конкретных уравнений следует
повторять приведённые выше выкладки,
а не использовать громоздкую формулу
(4.14).

Применим метод Лагранжа к уравнению,
рассмотренному в примере 1:

.

Интегрируем соответствующее однородное
уравнение
.

Разделяя переменные, получаем
и далее.
Решение выражения формулойy
= Cx. Решение исходного
уравнения ищем в видеy
= C(x)x.
Подставив это выражение в заданное
уравнение, получим;;,.
Общее решение исходного уравнения имеет
вид

.

В заключение отметим, что к линейному
уравнению приводится уравнение Бернулли

которое можно записать в виде

Заменой
оно приводится к линейному уравнению:

,,.

Уравнения Бернулли также решаются
изложенными выше методами.

Пример 3. Найти общее
решения уравнения.

 Цепочка преобразований:
,,,,,,,,,,,,,,

Что это такое Однородная функция. Энциклопедия

Пользователи также искали:

формула эйлера для однородной функции,

функция однородная относительно своих переменных,

однородная функция нулевого измерения,

однородные функции онлайн,

определить степень однородности функции онлайн,

отношение двух однородных функций одинаковых степеней есть однородная функция,

проверить однородная или неоднородная функция,

проверить теорему эйлера об однородных функциях,

Однородная,

функциях,

однородная,

функция,

функции,

проверить,

эйлера,

онлайн,

Однородная функция,

однородных,

формула,

однородной,

нулевого,

измерения,

относительно,

теорему,

есть,

степеней,

одинаковых,

функций,

двух,

отношение,

однородности,

степень,

определить,

неоднородная,

переменных,

своих,

однородные,

однородные функции онлайн,

Как определить однородное уравнение | Математика

Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть

Как определить, что дифференциальное уравнение — однородное?  На практике проверку уравнения на однородность проводят следующим образом: вместо каждого x подставляют λx, вместо каждого y — λy. При этом y’, dx и dy не трогают. После этого упрощают уравнение. Если после упрощения удается сократить на λ (или n- ю степень λ) и получить исходное уравнение, то это и означает, что данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка.

Другая форма записи: y’=f(x;y). Это уравнение является однородным, если функция f(x;y) является однородной функцией нулевого порядка. Это означает, что f(λx;λy)=f(x;y).

Примеры.

Подставляем вместо каждого x  λx, вместо каждого y — λy:

Выносим лямбда в квадрате за скобки и сокращаем на него:

Пришли к исходному уравнению, а это значит, что данное уравнение — однородное.

2) (x-y)ydx-x²dy=0.

Подставляем вместо каждого x  λx, вместо каждого y — λy: (λx-λy)λydx-(λx)²dy=0. Теперь выносим общий множитель λ² за скобки:                  λ²((x-y)ydx-x²dy)=0.   Делим обе части уравнения на λ²:

(x-y)ydx-x²dy=0. Пришли к исходному уравнению, значит, это уравнение — однородное. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 2й степени).

Наличие дроби y/x уже косвенно указывает на то, что уравнение может быть однородным. Проверим, так ли это:

После сокращения на λ получаем исходное уравнение:

а это значит, что данное уравнение является однородным.

4)

Подставляем вместо каждого x  λx, вместо каждого y — λy:

Делим обе части уравнения на лямбда в 4й степени:

Получили исходное уравнение, а значит, оно является однородным. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 4й степени).

Теперь рассмотрим, как решать однородные дифференциальные уравнения 1го порядка.

Функция линейная однородная — Энциклопедия по машиностроению XXL

Будем говорить, что по гипотезе о разгрузке на некотором участке траектории реформаций происходит разгрузка, если на этом участке вектор Эр остается постоянным, а вектор упругой деформации является линейной однородной функцией вектора напряжения а( и обратно), т. е.  [c.254]

Пусть теперь энергия электрона соответствует одной из запрещенных зон неограниченного кристалла, т. е. k E) является комплексной величиной. Условие конечности волновой функции (7.115) в этом случае будет выполнено, если один нз коэффициентов А или Лг (в зависимости от знака мнимой части k) положить равным нулю. Тогда (7.117) и (7.118) превращаются в два линейных однородных уравнения с двумя неизвестными. Они имеют решение только при таком значении энергии, при котором определитель системы равен нулю. Все остальные значения Е запрещены. Таким образом, ограничение кристалла поверхностью приводит к тому, что в области энергии, соответствующей запрещенной зоне неограниченного кристалла, появляются разрешенные энергетические уровни. Эти состояния, локализованные вблизи поверхности, и получили название поверхностных уровней (состояний). Волновые функции, соответствующие поверхностным состояниям, экспоненциально затухают по мере удаления от поверхности. В области вакуума -ф-функция затухает монотонно, а в об-1G-221 24 f  [c.241]

Для операторов, задаваемых уравнением (3.1.1) при п>1, получить явные выражения для G t, т) и Н t, т), аналогичные формулам (3.1.7) и (3.1.8), уже не удается. Все, что можно сделать,— это получить линейное однородное уравнение для весовой функции G t,x).  [c.84]

Эги функции линейно независимы, и каждая из них удовлетворяет однородному уравнению  [c.268]

Для решения основного дифференциального уравнения плоской задачи можно применить метод разделения переменных, представив функцию напряжений ф в виде произведения двух функций /(у) и ф(з ), каждая из которых зависит только от одного аргумента. Если при этом функцию 11з(д ) представить в виде ряда по синусам или косинусам, то бигармоническое уравнение можно преобразовать в обычное линейное однородное дифференциальное уравнение, решение которого хорошо известно.  [c.84]

Здесь г (х) — заданная непрерывная функция. Краевые условия Nj у) — О представляют собой линейные однородные уравнения относительно значений неизвестной функции и ее производных до порядка к — 1 включительно в фиксированных точках х = О и X I. Если однородная краевая задача (1.13), (1.14) (т. е. задача (1.13), (1.14) при г х) = 0) имеет только нулевое решение, то существует функция Грина С х, ). При этом единственное решение краевой задачи (1.13), (1.14) дается формулой  [c.236]

Прилагая такой же метод, как и в указанном пункте, и полагая НО = с, найдем, что q V. г определяются в функции 6 из двух совместных линейных однородных уравнений первого порядка. Исключение из этих уравнений д приводит к линейному уравнению  [c.232]

Так как связи, по предположению, не зависят от времени, то декартовы координаты х, у, г являются функциями от д, не содержащими время. Поэтому их производные х, у, г будут линейными однородными функциями от д п Т будет однородной квадратичной формой от д, коэффициенты которой суть функции от д. Имеем  [c.227]

В этом случае декартовы координаты х, у, г являются функциями от обобщенных координат д, не содержащими I. Поэтому х, у, г — линейные однородные функции от д, а 2Т — квадратичная однородная функция от д. Следовательно, по теореме Эйлера об однородных функциях, имеем  [c.233]

Указав на эти предварительные соображения, составим линейное однородное уравнение с частными производными по 2k независимым переменным р, д, в котором F есть неизвестная функция, F F) = Q. ( )  [c.242]

Рассмотрим теперь упругое твердое тело, причем предположим, что все его точки могут получать лишь бесконечно малые отклонения от положения, при котором все компоненты давления равны нулю. Далее предположим, что тело одинаково по своим свойствам по всем направлениям или, как говорят, изотропно. Для такого тела допускают, что главные давления имеют то же направление, как и главные удлинения, и являются линейными однородными функциями последних. Мы обозначим главные давления через р , р , Рз, соответствующие главные удлинения через >1-1, А.,, А.З и положим  [c.106]

Подставим значения и, и, ш из (4) в уравнения (10) пятнадцатой лекции тогда левые части этих уравнений сделаются линейными однородными функциями X, у, г, правые части будут такими же функциями, если надлежащим образом выбрать величину Р (которая равна р, так как мы положим плотность равной единице). Составим уравнение поверхности жидкости  [c.290]

Подставим это значение а в выражения (31) для Мх, Му, М2 и допустим, что Г не бесконечно велико по сравнению с Мх, Му, М , тогда из выведенных соотношений между величинами Л вытекает, что входящим туда членом, зависящим от Г, как бесконечно малым но сравнению с Мх, Му, М2, можно пренебречь. Тогда мы получим эти моменты как линейные однородные функции р, д, г. Их можно представить следующим образом. Пусть О будет функцией р, д, г, в которую перейдет  [c.348]

Из анализа известно, что при интегрировании системы (21) следует поступать так же, как и при интегрировании линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией (ср. т. I, гл. II, пп. 42—43), т. е. следует искать частные решения вида  [c.385]

Последнюю величину можно также отождествить с полной энергией системы, рассматривая криволинейный интеграл от силы по траектории материальной точки, как это делалось в гл. И. В этом случае равенство величин Н и Е происходит частично благодаря, по-видимому, случайному сокращению членов, относящихся к векторному потенциалу. Можно далее усмотреть, что входящие в функцию Лагранжа члены потенциала, зависящие от скорости, образуют линейную однородную функцию от компонент скорости. Если эти члены обозначить через то из  [c.65]

Соотношения (24.4.1) и (24.4.4) определяют контактное преобразование. Как и следовало ожидать из физических соображений, величины Р являются линейными однородными функциями от р. Уравнения преобразования не содержат времени.  [c.493]

В механике весомых тел величины в первоначальных, полных задачах являются линейными однородными функциями величин причем коэффициенты при них, вообще говоря, суть функции величин p и, таким образом, получается система линейных уравнений  [c.439]

Если эти уравнения разрешить относительно величин qj, то последние представляются как линейные однородные функции величин Это было бы не-  [c.439]

ЯВЛЯЮТСЯ функциями линейными, но не однородными относительно х Гамильтоново действие сохраняет тот же вид  [c.501]

Для отыскания постоянных D , D2, D3, необходимо задать граничные условия по концам балки. Граничные условия, выраженные через Du. .., Di, представляет собой систему четырех линейных алгебраических однородных уравнений относительно Du. .., D4. Нас интересует ненулевое решение системы, так как нулевому (одновременное равенство нулю Du. .., Di) отвечает Z(z) = о, т. е. отсутствие колебаний. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Уравнение, получаемое в результате приравнивания определителя системы уравнений относительно Du , Di нулю, в свою очередь представляет собой трансцендентное (содержащее тригонометрические и гиперболические функции) уравнение относительно и. Из этого уравнения и находим корни (бесконечное число корней), каждому из которых соответствуют свои частота и форма колебаний.  [c.180]

Так как главные координаты являются линейными однородными функциями обобщенных координат, в данном случае углов поворота масс, что видно из уравнений (86), то при / = 0 Ощ = Оао = О и 01Д = 0JO — 0. Тогда решение этого уравнения относительно главной координаты  [c.61]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13].  [c.43]

В качестве примера рассмотрим случай, когда весовая функция линейно зависит от х p(x) = l+iix. Граничные условия полагаем однородными 6o=6i=0, что соответствует типичной схеме работы цикловых механизмов.  [c.37]

Исключая из (6.3.14), (6.3.15) и (6.3.17) функции Ра г) и pi z), получаем линейное однородное уравнение  [c.254]

При линейном преобразовании случайной функции, заданной каноническим разложением, ее математическое ожидание подвергается тому же линейному преобразованию, а координатные функции — соответствующему линейному однородному преобразованию, т. е. каноническое разложение случайной функции Y t), связанной с допускающей каноническое разложение (13) случайной функцией X t) линейным преобразованием (12), имеет вид  [c.27]

Покажем, используя кетод разделения переменных Фурье для получения решения линейной однородной краевой задачи для функции W, что и. (х, у, )->0 при t oo. Рассмотрение проведем на примере соответствующей одномерной задачи в области Имеем  [c.131]

Исключение этих пяти произвольных величин приведет к линейному однородному уравнению, связывающему величины И , V , р, д, г, коэффициенты которого будут функциями от gi, д , дъ- Интерпретация этого уравнения даст высказанную теорему. (В п. 201 Treatise of natural Phylosophy Тэта и Томсона можно найти описание механизма, позволяющего осуществить такого рода связи.)  [c.254]

В результате этих иеследований находим, что уравнения (13) и (14) являются полными условиями того, что и, и, гю, в соответствии с уравнениями (1), могут быть определены как функции от х, у, г. Чтобы найти соотношения, которые при этом должны быть между компонентами давлений Хх, Уу,. .., надо только заметить, что Хх, Уу, — линейные однородные функции этих давлений, коэффициенты которых известным образом зависят от постоянных упругости.  [c.330]

Относительно функции е» +з1пф это — линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение может быть написано в виде  [c.231]

Однородная функция — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Однородная функция

Cтраница 2

Рассмотрим теперь другие однородные функции и пусть V есть функция п измерений количеств хну.
 [16]

Это однородная функция первой степени, так что отдача от масштаба постоянна. Параметр эффективности — у определяет объем продукции при данных затратах ресурсов; параметр распределения 6 ( 0 8 1) отвечает за деление фактора дохода. Пределы для величины р выводятся из а. Когда эластичность бесконечна, р 1; а когда эластичность равна нулю, р оо.
 [17]

Совмещение однородных функций в строительном объеме, ограниченном транспортным ( железнодорожным) габаритом, создает возможность создания функционального БКУ и доведения его до уровня промышленной продукции. К таким БКУ относятся котельная, дизельная электростанция, компрессорная сжатого воздуха, блок-бокс пенного пожаротушения, блок очистных сооружений, малогабаритная канализационная станция, блоки склада горюче-смазочных материалов ( ГСМ) и маслохозяйства, блок-боксы системы водоснабжения, склад баллонов, очистные сооружения при мойке автомобилей.
 [18]

Градиент однородной функции и степени 0, ограниченный на единичную сферу, совпадает с градиентом ограничения самой функции на эту сферу, поскольку градиент однородной функции нулевой степени касается сферы. Так же легко получить из рассмотрения потоков, что совпадают и дивергенции градиентов. А тождество (10.1) получается в силу продолжения сферического лапласиана на все пространство с сохранением однородности.
 [19]

Понятие однородной функции не ограничивается функциями одной переменной.
 [20]

Концентрация однородных функций в одном подразделении системы управления, что устраняет дублирование.
 [21]

Произведение однородной функции степени Л на число и сумма двух однородных функций степени Л — однородные той же степени.
 [22]

Рассмотрим линейно однородную функцию ( 7 1) с двумя производственными ресурсами.
 [23]

Более строго однородной функцией называют такую функцию, при умножении всех аргументов которой на один и тот же произвольный множитель значение функции умножается на этот множитель в некоторой степени, называемой показателем или степенью однородности.
 [24]

Такими однородными функциями первого порядка мгасс компонентов являются внутренняя энергия, энтропия, энергии Гиббса и Гельмгольца, теплоемкость, объем и другие при постоянстве Р и Г, причем коэффициенты при дифференциалах масс называются парциальными величинами.
 [25]

N — однородные функции степени т, а Р — однородная функция степени / ( / йт-1), называется уравнением Дарбу. При этом одна из функций М и Л / может быть тождественным нулем.
 [26]

Полуаддитивная, положительно однородная функция называется калибровочной функцией. Однородная калибровочная функция р называется полунормой.
 [27]

N — однородные функции степени т, а Р — однородная функция степени I ( / йт-1), называется уравнением Дарбу. При этом одна из функций М к — N может быть тождественным нулем.
 [28]

Справа стоит однородная функция нулевого измерения; следовательно имеем однородное уравнение.
 [29]

Справа стоит однородная функция нулевого измерения; следовательно, имеем однородное уравнение.
 [30]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Однородные уравнения первого порядка

Однородные уравнения первого порядка

Функция f ( x, y ) называется однородной степени n , если уравнение

выполняется для всех x, y и z (для которых определены обе стороны).

Пример 1 : Функция f ( x, y ) = x ² + y ² однородна степени 2, поскольку

Пример 2 : Функция однородна степени 4, так как

Пример 3 : Функция f ( x, y ) = 2 x + y однородна степени 1, поскольку

Пример 4 : Функция f ( x, y ) = x ³ — y ² не является однородной, поскольку

, что не равно z ⁿ f ( x, y ) для любого n .

Пример 5 : Функция f ( x, y ) = x ³ sin ( y / x ) однородна степени 3, поскольку

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если M ( x, y ) и N ( x, y ) являются однородными функциями одной степени.

Пример 6 : Дифференциальное уравнение

является однородным, потому что оба M ( x, y ) = x ² — y ² и N ( x, y ) = xy являются однородными функциями одного и того же степень (а именно 2).

Из этого факта следует метод решения однородных уравнений:

Замена y = xu (и, следовательно, dy = xdu + udx ) преобразует однородное уравнение в разделимое.

Пример 7 : Решите уравнение ( x ² — y ² ) dx + xy dy = 0.

Это уравнение однородно, как показано в Примере 6.Таким образом, чтобы решить ее, сделайте замены y = xu и dy = x dy + u dx :

Это последнее уравнение теперь разделимо (что и было задумано). Приступая к решению,

Следовательно, решение разделяемого уравнения, включающего x и v , может быть записано как

Чтобы дать решение исходного дифференциального уравнения (которое включало переменные x и y ), просто отметьте, что

Замена v на y / x в предыдущем решении дает окончательный результат:

Это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 8: Решить IVP

Так как функции

оба однородны степени 1, дифференциальное уравнение однородно. Подстановки y = xv и dy = x dv + v dx преобразуют уравнение в

, который упрощается следующим образом:

Теперь уравнение разделимо. Разделение переменных и интегрирование дает

Интеграл от левой части вычисляется после выполнения частичного разложения на дробь:

Следовательно,

Правая часть (†) сразу интегрируется в

.

Следовательно, решение сепарабельного дифференциального уравнения (†) равно

Теперь замена v на y / x дает

как общее решение данного дифференциального уравнения.Применение начального условия y (1) = 0 определяет значение константы c :

Таким образом, частным решением IVP является

, который можно упростить до

, как вы можете проверить.

Техническое примечание: на этапе разделения (†) обе стороны были разделены на ( v + 1) ( v + 2), и v = –1 и v = –2 были потеряны как решения. .Однако их не нужно рассматривать, потому что, хотя эквивалентные функции y = — x и y = –2 x действительно удовлетворяют данному дифференциальному уравнению, они несовместимы с начальным условием.

Однородные функции

Однородный

Чтобы быть однородным , функция должна пройти этот тест:

ф (zx, zy)
знак равно
z ⁿ f (x, y)

Другими словами

Однородный — это когда мы можем взять функцию:
f (x, y)

умножьте каждую переменную на z:
f (zx, zy)

, а затем могут переставить его так:
z ⁿ f (x, y)

Поможет пример:

Пример: x + 3y

Начнем с:
е (х, у) = х + 3у

Умножьте каждую переменную на z:
f (zx, zy) = zx + 3zy

Переставим его, вычленив z:
f (zx, zy) = z (x + 3y)

И x + 3y равно f (x, y) :
f (zx, zy) = z f (x, y)

Это то, что мы хотели, с n = 1:
f (zx, zy) = z ¹ f (x, y)

Да, x + 3y однородный!

Значение n называется степенью.Итак, в этом примере степень равна 1 .

Пример: 4x

² + y ²

Начнем с:
f (x, y) = 4x ² + y ²

Умножьте каждую переменную на z:
f (zx, zy) = 4 (zx) ² + (zy) ²

Который:
f (zx, zy) = 4z ² x ² + z ² y ²

Выведение за скобки z ² :
f (zx, zy) = z ² (4x ² + y ² )

И 4x ² + y ² равно f (x, y) :
f (zx, zy) = z ² f (x, y)

Да, 4x ² + y ² однородно.

И его степень 2.

Как насчет этого:

Пример: x

³ + y ²

Начнем с:
f (x, y) = x ³ + y ²

Умножьте каждую переменную на z:
f (zx, zy) = (zx) ³ + (zy) ²

Который:
f (zx, zy) = z ³ x ³ + z ² y ²

Выведение за скобки z ² :
f (zx, zy) = z ² (zx ³ + y ² )

Но zx ³ + y ² НЕ является f (x, y) !

Итак, x ³ + y ² НЕ является однородным.

И обратите внимание, что x и y имеют разную степень:
x ³ или
г ² . Для полиномиальных функций это часто бывает хорошим тестом.

Но не все функции являются полиномами. Как насчет этого:

Пример: функция x cos (y / x)

Начнем с:
f (х, у) = х соз (у / х)

Умножьте каждую переменную на z:
f (zx, zy) = zx cos (zy / zx)

Который:
f (zx, zy) = zx cos (y / x)

За вычетом z:
f (zx, zy) = z (x cos (y / x))

И x cos (y / x) равно f (x, y):
f (zx, zy) = z ¹ f (x, y)

Итак, x cos (y / x) однороден со степенью 1.

Обратите внимание, что (y / x) является «безопасным», потому что (zy / zx) отменяется до (y / x)

«Однородный» в переводе с английского означает «одного вида».

Например, в «Гомогенизированном молоке» жирные части равномерно распределены по молоку (вместо молока с жировым слоем сверху).

Однородный применяется к таким функциям, как f (x) , f (x, y, z) и т. Д. Это общая идея.

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка однородное , когда оно может иметь следующую форму:

Другими словами, когда это может быть так:

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

И и M (x, y) , и N (x, y) являются однородными функциями одной степени.

Узнайте больше о решении однородных дифференциальных уравнений.

однородных уравнений

однородных уравнений

В последнем разделе мы
узнал об уравнениях Бернулли
— если у нас есть дифференциальное уравнение, которое нельзя представить в виде
линейного уравнения первого порядка, мы можем записать его в форме Бернулли в
чтобы заставить его работать как линейный первый порядок. Однородные уравнения делают
нечто подобное, поскольку они превращают дифференциальное уравнение в разделимое
уравнение путем подстановки.

Чтобы помочь идентифицировать однородный
уравнение, это помогает
искать их: однородное уравнение включает полиномиальные функции
x и y, и обычно
не может работать с радикалами, триггерами или показателями

Для работы с однородным
уравнение, начнем с некоторых замен; мы хотим исключить y и y ‘, поэтому мы используем y = vx и его
производная:

После того, как мы сделаем эти две замены,
мы должны быть
может решить функцию как разделимое уравнение.После того, как она решена,
мы можем заменить исходные переменные обратно. Давайте попробуем:

Пример
1:

Решите однородную
Уравнение:

Мы можем распознать это как
однородное уравнение, поскольку оно имеет x
и у
в скобках, и не похоже, что его можно переделать в
другая форма. Первый шаг — сделать две замены для v и dv:

Теперь мы можем работать с этим как
отделимый
уравнение; нам просто нужно собрать группу переменных вместе.Первое
Шаг для этого — вычленить x с обеих сторон
и отменить:

Вот совет, чтобы убедиться
мы делаем это правильно. Обратите внимание, что на шаге выше мы вычленили x из
обе стороны; они оба x ¹ .
На этом этапе посмотрите на крестики,
и убедитесь, что показатели совпадают. Если они этого не сделают, есть проблема
где-то.

Далее нам нужно СМОТРЕТЬ
левая сторона:

На этом этапе нам нужно
сгруппируйте вместе все термины, у которых есть dv / dx, и поместите все
другие термины с другой стороны.Мы делаем это, чтобы можно было факторизовать dv / dx
out:

Теперь мы можем вынести x слева
стороны, после чего переменные можно будет разделить:

Теперь мы можем интегрировать оба
стороны, не забывая разделить левую сторону на две отдельные
интегралов:

Теперь нам нужно только
замените исходные переменные обратно. Напомним, что y = vx; это означает, что
v = y / x:

Мы могли бы сразу оставить все как есть
после
замена, однако некоторым учебникам нравится, чтобы она была немного чище;
в любом случае приемлемо.

Пример
2:

Решите однородную
Уравнение:

Как и раньше, первым шагом будет
чтобы сделать наши замены для y
и y ‘:

Теперь мы сможем работать с этим как
отделяемый
уравнение — нам просто нужно разделить все переменные. Первое
шаг состоит в том, чтобы разложить на множитель x
слева и справа, чтобы отменить их, а затем умножить на
правая сторона:

Как и раньше, оба x имеют одинаковые
экспонента — в данном случае они оба x ² .

Теперь мы можем СМОТРЕТЬ левую
сторона:

Далее нам нужно поставить все
условия с dv / dx на одной стороне и
все остальные условия с другой стороны. Затем мы можем вынести dv / dx:

Теперь нам нужно только разложить на множители
из х
слева, и мы можем разделить переменные:

Обратите внимание, что отрицательный результат приумножился
над; это
не обязательно, но следующим шагом будет интеграция обоих
стороны.Когда мы это сделаем, левая сторона будет разделена на две части.
интегралов, и удобнее иметь дело только с одним
отрицательный для правой стороны, в отличие от двух слева.

Теперь мы можем интегрировать оба
сторон, не забывая отделить левую функцию:

Теперь мы можем заменить y / x на v:

Наконец, нам просто нужно
почисти немного:

Пример
3:

Решите однородную
Уравнение:

Во-первых, давайте сделаем наш
начальные замены:

Теперь нам просто нужно
разделите переменные, чтобы мы могли интегрировать.Для начала мы можем вычленить
х на
слева, чтобы отменить его, с одним справа:

Не забудьте проверить, что x совпадают
экспонента на предыдущем шаге.

Теперь мы можем СМОТРЕТЬ левую
сторона:

Далее нам нужно поставить все
условия dv / dx на одном
сторона, а все остальные термины — с другой стороны. Тогда мы можем исключить
dv / dx, чтобы изолировать его:

Теперь нам просто нужно разложить на множители
из х
слева, и мы сможем разделить переменные:

Как и в последнем примере, он может
упрощать
вещи, над которыми можно приумножить негатив.Это так, что когда мы
интегрировать, нам не придется распределять его на два интеграла.

Теперь мы можем интегрировать оба
сторон, не забывая разделить левую часть на два интеграла:

Наконец, мы можем
заменить v
= y / x и упростить:

Однородные функции, теорема Эйлера и частичные молярные величины

Любая функция f (x), которая обладает характеристическим отображением:

x → λxf (x) → λf (x) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.См. Технические требования в Ориентации для получения списка совместимых браузеров.

(15,1)

называется однородным, по x степени 1. Точно так же, если f (x) подчиняется отображению:

x → λxf (x) → λkf (x) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,2)

, то f (x) однородна до степени «k».В общем, функция многих переменных f (x ₁ , x ₂ , x ₃ ,…) называется однородной степени «k» по переменным x _i (i = 1,2,3, …), Если для любого значения λ это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». ,

f (λx1, λx2, …) = λkf (x1, x2, …) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,3)

Для примера рассмотрим функцию:

f (x, y) = xx2 + y2 Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,4)

Как мы узнаем, однородна ли эта конкретная функция, и если да, то в какой степени? Мы оцениваем эту функцию при x = λx и y = λy. Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». для получения:

f (λx, λy) = λxλ2×2 + λ2y2 = λ − 1xx2 + y2λ − 1f (x, y) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,5)

, следовательно, функция f (x, y) в (15.4) однородна до степени -1.

Что касается термодинамики, экстенсивные переменные однородны со степенью «1» по отношению к количеству молей каждого компонента.Фактически, они пропорциональны массе системы в степени единицы (k = 1 в уравнении 15.2 или 15.3). То есть, если мы утроим количество массы в системе, ценность любого данного обширного свойства также будет утроена. Обратите внимание, что это не относится к интенсивным свойствам системы (таким как температура или давление) просто потому, что они не зависят от массы. Следовательно, интенсивные термодинамические свойства являются однородными функциями со степенью «0» — в таком случае k = 0 в уравнении (15.2) или (15.3).

Из предыдущего раздела ясно, что нас интересует не только рассмотрение только термодинамических функций, но также очень важно вычислить, как изменяются термодинамические функции и как это изменение математически связано с их частными производными ∂f∂x , ∂f∂y и ∂f∂z Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования» в разделе «Ориентация». Следовательно, чтобы завершить обсуждение однородных функций, полезно изучить математическую теорему, устанавливающую связь между однородной функцией и ее частными производными.Это теорема Эйлера .

Теорема Эйлера утверждает, что если функция f (a _i , i = 1,2,…) однородна до степени «k», то такую ​​функцию можно записать в терминах ее частных производных следующим образом:

kλk − 1f (ai) = ∑iai (∂f (ai) ∂ (λai)) | λx Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

15,6a

Поскольку (15.6a) верно для всех значений λ, это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимости браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». , это должно быть верно для λ − 1. Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». . В этом случае (15.6a) принимает специальный вид:

kf (ai) = ∑iai (∂f (ai) ∂ (ai)) | x Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

15.6б

Пока все хорошо. Но… в чем же смысл всего этого? Ну, во-первых, мы должны больше узнать об обширных термодинамических свойствах. В них очень хорошо то, что они могут быть записаны как функции от достаточного числа независимых переменных, чтобы полностью определить термодинамическое состояние системы. Такой набор называется полным набором . Оказывается, любая термодинамическая система полностью определена, если определены массы всех веществ внутри нее и зафиксированы две дополнительные независимые переменные.Это теорема Дюгема . С реальной точки зрения, естественно выбрать давление и температуру в качестве этих «независимых переменных» — физических величин, которые мы «чувствуем» и которые мы думаем, что можем контролировать, — а не удельный объем или энтропию. Как мы увидим позже, они также являются удобными переменными выбора, поскольку они однородны нулевой степени по массе.

Пусть «ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».”Быть заданным обширным свойством многокомпонентной системы. Из предыдущего раздела мы знаем, что значение «ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». »Должны быть зафиксированы и однозначно определены после того, как мы зафиксируем давление, температуру и количество молей каждого компонента в системе. Это,

ℑ = ℑ (P, T, n1, n2, …, nN) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

15,7a

Кроме того, напомним, что экстенсивные свойства однородны первой степени по количеству молей и однородны нулевой степени по давлению и температуре. Таким образом, выражение (15.6b) легко применимо:

ℑ = ∑ini (∂ℑ∂ni) P, T, ni = 1 = ∑iniℑi Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

15,7b

, где мы только что определили:

ℑi (∂ℑ∂ni) P, T, ni = 1 Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

15,7c

Уравнение (15.7c) — очень важное определение. Он определяет концепцию парциального молярного количества . Парциальная молярная величина ℑi ¯ Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». представляет изменение общего количества (ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. в разделе «Технические требования в ориентации».) из-за добавления в систему бесконечно малого количества видов «i» при постоянном давлении и температуре . Теорема Эйлера породила концепцию парциального молярного количества и обеспечивает функциональную связь между ним (рассчитанным для каждого компонента) и общим количеством.Выбор давления и температуры в (15,7c) был нетривиальным. Во-первых, это удобные переменные, с которыми можно работать, потому что мы можем измерить их в лаборатории. Но самое главное, это интенсивных переменных , однородных функций нулевой степени по количеству молей (и массе). Это позволило нам использовать теорему Эйлера и перейти к (15.7b), где сохранилось только суммирование по количеству молей. Затем последовало определение парциального молярного количества.

Стандартное обозначение, которое мы будем использовать в следующем разделе:

ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». = Общее количество (например, общий объем, общая внутренняя энергия и т. Д.),

ℑ˜Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». = Молярное количество, то есть общее количество на единицу моля:

ℑ˜ = ℑn (для смеси n = ∑ini) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».= ℑm (для смеси m = ∑imi) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

15.8b

Мы можем переписать уравнение (15.7b) в терминах молярного количества, используя определение в (15.8a),

ℑ˜ = 1n∑iniℑ¯i = ∑ixiℑ¯i Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15.9)

где:
xi = молярная доля разновидностей «i» = ni / n Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

Любое молярное количество в термодинамике может быть записано через парциальное молярное количество его составляющих. Если мы установим ℑ = G, это уравнение не будет правильно отображаться из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации»., получаем,

G˜ = ∑ixiG¯i Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15.10a)

Аналогично, если мы установим set = V, это уравнение не будет правильно отображаться из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».
(общий объем),

v˜ = ∑ixiv¯i Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15.10b)

Обратите внимание, что для однокомпонентных систем (x _i = 1) частичные молярные свойства просто равны молярным свойствам :

EG˜ = G¯i (если xi = 1, i = 1) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15.11a)

v˜ = vi (если xi = 1, i = 1) Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15.11b)

Это также является следствием определения в (15.7c),

ℑ¯i = (∂ℑ∂ni) P, T, ni = 1 Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,7c)

Для чистого компонента n = ni, i = 1, ℑ = nℑ˜ Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».
и:

ℑ¯ = (∂nℑ˜∂n) PI = ℑ˜ Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимости браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15.12)

Причина введения концепции парциального молярного количества заключается в том, что часто мы имеем дело со смесями, а не с системами из чистых компонентов. Способ охарактеризовать состояние смесей — через частичные молярные свойства.Эта концепция обеспечивает мост между термодинамикой систем постоянного состава, которую мы изучали до сих пор, и термодинамикой систем переменного состава, которой мы займемся в следующем разделе. По сути, определение в (15.7c):

ℑ¯i = (∂ℑ∂ni) P, T, ni = 1 Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,7c)

позволяет нам количественно оценить, как общее, обширное свойство ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».
меняется с добавками n _и при постоянном давлении и температуре. Если вы посмотрите на (15.7b) и (15.9), вы также поймете, что (15.7c) — это просто формула распределения , которая позволяет присвоить каждому виду «i» долю общего свойства смеси, например:

ℑ = ∑iniℑ¯i Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,7b)

ℑ˜ = ∑ixiℑ¯i Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,9)

Мы можем поиграть с «ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».
» немного больше. Допустим, теперь мы заинтересованы в изучении разности изменений ofЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования» в разделе «Ориентация». Поскольку мы также знаем, что «Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации». является функцией состояния, и, учитывая функциональную взаимосвязь в (15.7a), общий дифференциал для ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».написано:

dℑ = (∂ℑ∂P) TnidP + (∂ℑ∂T) P, nidT + ∑i (∂ℑ∂ni) P, T, n = 1dni Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,13a)

или

dℑ = (∂ℑ∂P) TnidP + (∂ℑ∂T) P, nidT + ∑iℑ¯idni Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,13b)

В основном уравнения (15.13) сообщает нам, что любое изменение в P, T или n _и вызовет соответствующее изменение в общем свойстве: ℑЭто уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».
. Это усиление того, что явно заявлено в (15.7a). Если вспомнить (15.7b), альтернативное выражение для полного дифференциала в (15.13) записывается:

dℑ = d (∑iniℑ¯i) = ∑iℑ¯idni + ∑inidℑ¯i Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,14)

Если вычесть (15.14) из (15.13b), мы получим:

dℑ − dℑ = (∂ℑ∂P) T, nidP + (∂ℑ∂T) P, nidT + ∑iℑ¯idni − ∑iℑ¯idni − ∑inidℑ¯i Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,15)

Следовательно,

(∂ℑ∂P) T, nidP + (∂ℑ∂T) P, nidT − ∑inidℑ¯i = 0 Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера.Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».

(15,16)

Уравнение (15.16) — это хорошо известное уравнение Гиббса-Дюгема. Его можно применить к любому обширному термодинамическому свойству: U, S, H, G, A, и оно должно выполняться. Оно представляет собой термодинамическое ограничение между интенсивными переменными P, T и ℑ˜. Это уравнение не отображается должным образом из-за несовместимого браузера. Список совместимых браузеров см. В разделе «Технические требования в ориентации».. Давление, температура и парциальные молярные свойства не могут изменяться каким-либо образом; любое изменение, происходящее между ними, должно удовлетворять (15.16). Изменение любого из них можно рассчитать как функцию изменения двух других с помощью уравнения Гиббса-Дюгема. Это уравнение является основой для проверки термодинамической согласованности экспериментальных данных. {rx} erx для разных корней rrr.{-3x} c1 e2x + c2 e − 3x

Каково общее решение дифференциального уравнения y ′ ′ + 5y ′ + 6y = 0y » + 5y ‘+ 6y = 0y ′ ′ + 5y ′ + 6y = 0?

Однородное линейное дифференциальное уравнение с дискретным запаздыванием первого порядка с постоянными коэффициентами

Определение

A линейное дифференциальное уравнение с задержкой первого порядка с постоянными коэффициентами — это особый тип дифференциального уравнения с задержкой: линейное дифференциальное уравнение с задержкой первого порядка, в котором все коэффициенты являются константами.Явно, если мы обозначим независимую переменную как, а зависимую переменную, то существуют такие константы и положительные константы, что дифференциальное уравнение с запаздыванием имеет вид:

Процедура поиска гладких решений

Хотя вполне может существовать множество не -гладких решений, глобальные аналитические решения весьма ограничены. Явно сначала построим характеристическое уравнение в виде уравнения в:

Если это решение этого уравнения, оно называется характеристическим значением или собственным значением , и функция является решением исходного линейного дифференциального уравнения задержки.Поскольку дифференциальное уравнение с запаздыванием является линейным, любая линейная комбинация таких функций (для различных характеристических значений) также дает функцию решения.

Обратите внимание, что, как правило, нам нужно искать как действительные, так и комплексные решения этого уравнения. Сложные решения могут по-прежнему давать реальную функцию с помощью обычного трюка с взятием действительной и мнимой частей. Явно, если — сопряженная пара комплексных решений дифференциального уравнения, то соответствующие функции решения — это и.

Отметим также, что не существует общего способа ограничения количества решений, и, особенно если мы рассматриваем комплексные числа, часто бывает так, что существует бесконечно много решений, что приводит к бесконечномерному пространству решений. линейных комбинаций.

Процедура обобщается на решение линейного дифференциального уравнения с запаздыванием произвольного порядка с постоянными коэффициентами.

Примеры

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с запаздыванием:

Характеристическое уравнение:

Это упрощает:

Мы должны решить это уравнение для.Сначала попробуем найти реальные решения.

Поиск реальных решений

Если реально, то мы знаем, что, так, так, так. Но так как, так, так. Таким образом, .

Кроме того, отметим, что в то время как левая часть уравнения увеличивается, правая часть уменьшается, поэтому уравнение имеет единственное решение в. Беглый осмотр показывает, что это уникальное решение.

Таким образом, мы получаем одно семейство решений:

Однако могут быть и другие сложные решения характеристического уравнения, дающие начало другим решениям исходного дифференциального уравнения задержки.

Поиск комплексных решений

Допустим, это сложное решение. Мы получили:

Это становится:

Это становится:

Приравнивая отдельно действительную и мнимую части, получаем:

и:

Трудно провести анализ этой системы уравнений.

Однородные дифференциальные уравнения — пример решенных задач с ответом, решением, формулой

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида dy / dx = f ( x , y ) /
g ( x , y ) называется однородным дифференциальным уравнением, если f
( x , y ) и g ( x , y ) являются однородными функциями
той же степени в x и y .(или)

Однородный дифференциал можно записать как dy / dx = F (y / x).

Метод решения однородного первого порядка
дифференциальное уравнение

Чек ф (
x , y )
и г ( x , y ) однородны
функции той же степени.

Данное дифференциальное уравнение принимает вид v x dv / dx = F ( v )

Разделив переменные, получаем

Путем интеграции мы получаем решение в терминах v и x .

Замена
v по y / x мы получаем решение.

Пример 4.15

Решите дифференциальное уравнение y ² dx + ( xy + x ² ) dy
= 0

Раствор

Пример 4.17

Найдите частное решение дифференциального уравнения x
² dy +
y ( x + y ) dx = 0 при условии, что x = 1, y = 1

Решение:

Пример 4.18

Если предельные затраты на производство обуви размером x определены как (3 xy
+ y ² ) dx
+ ( x ² + xy ) dy = 0 и общая стоимость
изготовление пары обуви дается по п. 12.Затем найдите функцию полной стоимости.

Решение:

Данная функция предельных затрат имеет вид (x ² + xy) dy + (3xy + y ² ) dx = 0

Пример 4.19

Предельный доход «y» от выпуска «q» определяется уравнением. Найдите функцию общего дохода, если объем производства равен 1 единице и
Доход составляет 5 фунтов стерлингов.

Решение:

Теги: Пример решенных задач с ответом, Решение, Формула Пример решенных задач с ответом, Решение, Формула

Учебный материал, Примечания к лекциям, Задание, Ссылка, Описание Wiki-описания, краткая информация

.