НОУ ИНТУИТ | Лекция | Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

Аннотация: В лекции рассмотрено использование ранее изученных методов для поиска решений системы линейных уравнений

Правило Крамера

Основные задачи изучения системы (3.1),
«лекции 3»
:

1. Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной.
2. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения.

Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

intuit.ru/2010/edi»>Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы

Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А₁₁ элемента а₁₁, второе уравнение — на алгебраическое дополнение А₂₁ элемента а₂₁, а третье — на алгебраическое дополнение А₃₁ элемента а₃₁.

Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим

Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см.
«лекц. 1»
, теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см.
«лекц. 1»
, теорема 1) равен , т.е. , поэтому равенство (4.3) примет вид:

Заметим, что определитель получается из определителя путем замены коэффициентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ при неизвестном х свободными членами или замены первого столбца коэффициентов при искомом х столбцом свободных членов. Аналогично получаются другие равенства:

( 4. 6)

Определители и получают из определителя системы заменой второго и третьего столбцов коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.

Рассмотрим следующие случаи.

1. . Тогда из равенств (4.4) и (4.5) находим решение системы (2) как

   ( 4.7)

   которые называют формулами Крамера.

2. . Тогда по крайней мере один из , или отличен от нуля и система (4.2) не имеет решения (система несовместна), что можно показать. Пусть, например, . Тогда равенство из (4.4) получаем или , что невозможно.
3. и . Тогда система (4.2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Вычислим все определители.

Так как , то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.7):

т.е. (2, 0, -1) — искомое решение системы.

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычислим определители

т.е. система решений не имеет (случай 2)

Пример 3. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.

Пример 4. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных

Так как
то можно найти решение последней системы
в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.

Решение системных уравнений методом гаусса онлайн – Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с сохранением дробей

29.08.201708. 11.2018

Решение системных уравнений методом гаусса онлайн – Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с сохранением дробей

• by alexxlab
• Советы абитуриенту

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения

Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.

Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:

Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.

Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.

В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).

Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.

Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).

Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:

1 2 -3 5 1
1 3 -13 22 -1
3 5 1 -2 5
2 3 4 -7 4СЛАУ в матричном виде

Количество решений

Коэффициенты решения

Сохранить share extension

1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Откуда обратным ходом находим единственное решение:

Система совместна и определена.

2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

В результате приходим к системе:

Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:

поэтому их можно отбросить.

Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.

При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения

Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.

3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:

не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.

4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим

Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.

5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система имеет вид:

Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:

которые можно отбросить.

Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:

skokaskoka. ru

Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений онлайн (СЛУ онлайн) методом подстановки.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки онлайн выберите количество неизвестных величин:
2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений онлайн

Метод подстановки

Решение системы линейных уравнений методом подстановки осуществляется следующим образом: сперва в одном из уравнений произвольная переменная выражается через остальные. Затем данное выражение подставляется во все остальные уравнения системы. Тем самым система из n уравнений превращается в систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными. Затем аналогичные действия повторяются до тех пор, пока мы не приходим к конечному выражению для одной из переменных системы. Получив её значения, мы через неё выражаем пошагово все остальные неизвестные.

Данный метод решения СЛАУ называется методом подстановки (мы вместо некоторой переменной подставляем её выражение через другие переменные). Метод классический и простой в понимании, но на практике для больших систем уравнений очень громоздкий и сложный в вычислениях. Поэтому на практике при решении систем уравнений с большим количеством уравнений применяют более удобные методы, наподобие метода Гаусса, в котором преобразования уже выполняются в матрице, без лишних записей.

matematikam.ru

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Видеоурок: Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Пример из видеоурока в рукописном виде:

Пример 2.

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника: НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ, где РЭ — разрешающий элемент (1), А и В — элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Разрешающий элемент равен (-1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = -7.75 — 8×5 — 10.75×6
x2 = -12 — 10×5 — 11×6
x3 = -7.25 — 6×5 — 5.25×6
x4 = -2.25 — x5 — 1.25×6
Необходимо переменные x5,x6 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x5,x6 к 0
x1 = -7.75
x2 = -12
x3 = -7.25
x4 = -2.25
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.

www.matem96.ru

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система линейных уравнений вида:

может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.

Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т.  е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:

Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.

8 3 4 5 31
14 4 33 23 17
15 4 23 7 22
4 11 17 1 51СЛАУ в матричном видеТочность вычисления

Знаков после запятой: 2

Количество решений

Вектор решения системы уравнений

Детали вычислений

Сохранить share extension

Метод Гаусса

Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).

Приведение матрицы к ступенчатому виду

На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:

Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних строк матрицы, помноженных на , верхних строк , помноженных на коэффициент , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.

Выражение базисных переменных

Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент , затем производится обратное вычитание из верхних строк , этой строки , помноженных на коэффициент , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.

skokaskoka.ru

Решение систем линейных уравнений алгоритмы общих и частных методов нахождения корней, основные правила и теоремы и примеры их использования, онлайн калькулятор

Совокупность математических записей, из которых каждая является линейным алгебраическим равенством первой степени, называется системой линейных уравнений. Её решение — это классическая задача алгебры, определяющая объекты и методы. Существует несколько принципиально разных способов нахождения ответа. Каждый из них имеет достоинства и недостатки, но выбор метода зависит лишь только от личных предпочтений решающего.

Понятия и обозначения

Для измерения геометрических или физических величин в математике используют действительное число — вещественное. В уравнении под ним понимают все свободные члены или неизвестные переменные. Вычисление линейных алгебраических уравнений играет важную роль в различных математических задачах: численных методах, программировании, эконометрике.

Общий вид системы линейных уравнений (СЛАУ) в классическом понимании представляют следующим образом:

a11 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c 1.

a21 * n 1 + a 22 * n 2 + …+a 2x n x = c 2.

as1 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c s.

В этой записи s — это количество уравнений, x — число переменных, а n — переменная которую необходимо вычислить. Предполагается что a и b это известные свободные члены. Индексы обозначают порядковый номер уравнения. Первый символ — расположение строчки, а второй — позиция произведения переменной и свободного члена.

Если эти члены отличные от нуля, то система называется неоднородной, в ином же случае однородной. Квадратной системой называется совокупность уравнений, когда их число совпадает с количеством неизвестных. Существует понятие и неопределённой системы. Это совокупность, при которой неизвестных больше числа уравнений. Если наоборот, то система считается переопределенной. В литературе её ещё часто называют прямоугольной.

Система считается решаемой, когда множество членов X соответствует такому набору чисел, что при их подстановке вместо n вся система обратится в тождество. Если существует хотя бы одно решение, система называется совместной. Ответы, превращающие уравнения в равенства, при которых переменные не совпадают, считаются различными.

Существует четыре способа развязывания системы уравнений:

• способ подстановки;
• использование новых переменных;
• алгебраическое сложение;
• матричный метод.

Вид используемого алгоритма зависит от типа примера. Метод алгебраического сложения применяют, когда в задании лишь одно неизвестное, а коэффициенты противоположны или равны. Если же хотя бы в одной из формул коэффициент равен единице, то удобнее будет решить систему уравнений методом подстановки. В иных случаях используют матрицы.

Алгебраическое сложение

Способ заключается в сложении или вычитании выражений. Это довольно простой способ и в то же время эффективный. Алгоритм нахождения ответа для равенств с двумя переменными n и m сводится к следующему:

• уравниванию модулей коэффициентов при любом из неизвестных;
• сложению или вычитанию равенства;
• вычисления составленного выражения;
• прогонки каждого найденного корня через первую или вторую строчку системы уравнений;
• нахождению второго неизвестного.

То есть после выполнения арифметических действий с уравнениями должно получиться одно выражение с одним неизвестным. Затем находят значение этой переменной и в него подставляют полученный корень. Например, нужно узнать, какие корни системы, состоящей из двух строчек, превращают её в тождество:

n² – m² = 21.

n² + m² = 29.

В первую очередь необходимо сложить равенства между собой. В итоге получится:

• 2 * n ² = 50;
• n ² = 25;
• n = +5 (-5).

Подставив поочерёдно в каждое равенство найденные корни можно найти второе неизвестное. Для корня n = – 5 ответом будет:

• (-5)² + m² = 29;
• 25 + m² = 29;
• m² = 29 – 25;
• m² = 4.

Соответственно, корнями будут числа два и минус два. Аналогичные действия необходимо выполнить и для корня другого знака n = 5. В итоге получится, что пары (− 5; − 2), (− 5; 2), (5; − 2), (5 ; 2) являются нужным ответом. При достаточном опыте подробно описывать решение не обязательно.

Существуют системы, требующие подготовительного этапа. Например, такого вида:

3 * n – 4 * m = 5.

2 * n + 3 * m = 7.

Исключить здесь сразу переменную не выйдет. Если умножить все члены первой строчки на тройку, а второй на четвёрку, получится запись:

9 * n – 12 * m = 15.

8 * n + 12 * m = 28.

Теперь равенства можно сложить, тем самым исключив переменную m. Затем система решается по базисному алгоритму. Чтобы понять, можно ли решить систему этим методом, следует предварительно её проанализировать. Необходимое условие заключается в том, что коэффициенты второй переменной должны быть одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку.

Метод подстановки

Систему равенств возможно решить и способом подстановки. Используя любое из уравнений, можно выразить любую из неизвестных переменных, а затем подставить её в другое равенство. Алгоритм использования метода следующий:

• через n в одном из уравнений выражают m;
• подставляют полученное равенство вместо n в другое тождество;
• решают уравнение и находя m;
• поочерёдно подставляют найденные корни и получают ответ.

Например, нужно проверить, все ли целые корни могут быть у системы:

8 * n – 5 * m = -16.

10 * n + 3 * m = 17.

Выразив m через n можно записать равенство: n = (8* m + 16) / 5. Так как n одинаково в обоих уравнениях, то следует подставить полученное тождество и записать: 10* n + 3*(8* n +16) / 5 = 17. Отсюда уже просто найти корень. Он будет равен дроби 1/2. Подставив его вместо n легко вычислить и второй корень: m = (8 * n + 16) / 5 = 4. Таким образом, у системы будет только один целый корень. При желании проверить ответ можно решить систему другим методом.

Использование матриц

Для систем с произвольным числом уравнений и неизвестных используют другие методы. Если система состоит из нелинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то используют матричный способ. Этот метод предполагает применение обратной матрицы.

Пусть дана система с тремя неизвестными х1, х2, х3. Нужно найти значения, при которых равенства станут верными. Для нахождения решений используют три матрицы:

• Коэффициент системы. При этом её определитель не должен быть равным нулю.
• Вектора неизвестных. Именно его понадобится найти.
• Столбца свободных членов.

Базисное решение строят на произведении первой и второй матрицы. В результате получают матрицу размером три на один. То есть вектор-столбец с тремя элементами. После выполнения действия получится, что системный вектор будет равен левой части системы и соответствовать третьей матрице. Таким образом, обозначив матрицы буквами А, Б, В, можно записать выражение А * Б = В и найти необходимую Б.

При умножении на А^-1 (обратную матрицу) получают равенство: Е * Б = А^-1 * В, где Е – единичная матрица получена из совместимости прямой и обратной. Так как при произведении с единичной матрицей значения не изменяются, то решением системы будет формула: Б = А^-1 * В.

Способ Гаусса-Жордана

Частным случаем решения системы является Метод Гаусса — Жордана. Суть решения основана на составлении специальной таблицы. В первый столбец заносятся известные значения, то есть величины, расположенные после равно, а в три других коэффициенты, стоящие после неизвестных. Чтобы приступить к решению, необходимо выполнить три шага:

• выбрать ключевой элемент из первых трёх столбцов;
• переписать строчку с ключевым значением, предварительно разделив все элементы на это значение;
• переписать оставшиеся элементы, при этом вычитая из него произведение соответствующих ему чисел.

В полученной новой матрице снова выбирают ключевой элемент и выполняют все действия снова. Шаги повторяют до тех пор, пока не получится матрица, состоящая из нулей и единиц. Значения корней системы будут находиться на пересечении столбцов со строчками напротив единиц.

Этот метод используют только при выполнении условия совместности. Его ещё называют способом простой итерации. Он был доказан и оптимизирован Зейделем. С помощью итерационного метода можно посчитать систему А* Б = В с точностью “е”. Составляют n уравнение на сходимость, а затем на точность. Затем из первого уравнения выражают n1, второго n2, третьего n3 и так далее. Новые n с индексом i +1 считаются через старые i. Зейдель предложил расширить решение и добавить снова для счёта индекс i+1.

Это фундаментальные способы решения сложных систем уравнений. Они трудные, требуют опыта и внимательности. Поэтому существуют специальные онлайн-калькуляторы по методу Гаусса с подробным решением, помогающие исследовать систему любой численности.

Теорема Кронекера — Капелли

Применяется она при проведении исследований без непосредственного решения. То есть для записи эквивалентной совокупности алгебраических уравнений с их минимальным числом. Теорема говорит о следующем: система уравнений А * Б = В имеет решение только тогда, когда ранг А равен (А, В), где последнее расширенная матрица, полученная из первого члена путём приписывания столбца В.

Это утверждение обобщает различные виды СЛАУ:

• Несовместные – которые определяют при условии, что их ранг меньше ранга расширенной матрицы. Существование корней невозможно.
• Совместные неопределённые – системы, имеющие бесконечное множество решений. В этом случае ранги равны, а количество неизвестных будет меньше.
• Совместно определённые – в этом случае ранг равен расширенной матрице и количеству неизвестных. Точное решение будет одно.

Выводом из этой теоремы является то, что число главной переменной совокупности будет всегда равно рангу системы. При этом столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А.

Решение Крамера

Пожалуй, это один из самых простых способов нахождения корней уравнений. Для решения строят несколько матриц. Основная получается из коэффициентов, стоящих при неизвестных. Она обозначается символом дельта. Вторую, дельта-икс, образуют из основной матрицы заменой первого столбца на ответы уравнений. Следующая, дельта-игрек, строится с заменой в основной матрице второго столбца на значения ответов и так далее.

Затем вычисляют дискриминант этих матриц, то есть их определитель. Для его поиска можно использовать способ треугольника или разложения. Первый подходит для простых матриц. Находят его как разницу умножения чисел, стоящих в матрице крест-накрест. Второй же применим для матриц, содержащих три и более строк. При нахождении выбирают одну из них и раскладывают матрицу.

Как только все дискриминанты найдены, используют правило Крамера: n = Δn/ Δ. Подставляют значения, находят ответ. Стоит отметить, что много интернет-порталов, предлагающих услугу расчётов СЛАУ, используют для вычислений онлайн-метод Крамера.

Удобные онлайн-калькуляторы

В некоторых случаях решение СЛАУ онлайн будет хорошим подспорьем для того, чтобы разобраться в различных правилах, используемых при решениях. Из популярных интернет-сервисов, позволяющих найти корни систем, можно отметить: kontrolnaya-rabota, mathsolution, planetcalc, allcalc. Использовать эти сайты-решатели смогут даже слабо подготовленные пользователи, имеющие общее представление о методах решений.

Для выполнения расчёта необходимо ввести параметры системы и нажать кнопку «Рассчитать». При этом можно выбрать метод, на базе которого будут проводиться вычисления. Удобным является и то, что полученный расчёт сопровождается объяснениями.

На этих порталах также можно посмотреть примеры и правила решений. Некоторые калькуляторы могут построить и график системы. Например, kontrolnaya-rabota. Для этого на сайте нужно выбрать раздел «Графическое решение уравнений онлайн» и ввести исследуемую систему равенств.

Предыдущая

АлгебраКасательная к графику функции, как составить уравнение, свойства, угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции, формула, примеры решения

Следующая

АлгебраТеория вероятности формула и примеры для чайников, задачи с решениями, как найти классическую вероятность в математике, как обозначается и в чем выражается вероятность

Решение систем линейных уравнений с помощью матриц. Матричный метод онлайн. Решение систем матриц

Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, — так называемые
системы крамеровского типа
:

a 11
x 1
+
a 12
x 2
+…
+ a 1n
x n
=
b 1 ,

a 21
x 1
+ a 22
x 2
+…
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3)

…
… … …
… …

a n1
x 1
+ a n1
x 2
+… + a nn
x n
= b n .

Системы (5. 3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом.

Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна:

5x 1
— x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7,

2x 1
+ x 2
+ 4x 3 —
2x 4
= 1,

x 1
— 3x 2
— 6x 3
+ 5x 4
= 0.

Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:


.

Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7 
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю:

Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор

значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A) 
r(A),
то система несовместна.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Основные понятия.

Определение 1
. Системой m
линейных уравнений с n
неизвестными называется система вида:

где и — числа.

Определение 2
. Решением системы (I) называется такой набор неизвестных , при котором каждое уравнение этой системы обращается в тождество.

Определение 3
. Система (I) называется совместной
, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной
, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной
, если она имеет единственное решение, и неопределенной
в противном случае.

Определение 4
. Уравнение вида

называется нулевым
, а уравнение вида

называется несовместным
. Очевидно, что система уравнений, содержащая несовместное уравнение, является несовместной.

Определение 5
. Две системы линейных уравнений называются равносильными
, если каждое решение одной системы служит решением другой и, наоборот, всякое решение второй системы является решением первой.

Матричная запись системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему (I) (см. §1).

Обозначим:

Матрица коэффициентов при неизвестных

Матрица – столбец свободных членов

Матрица – столбец неизвестных

.

Определение 1.
Матрица называется основной матрицей системы
(I), а матрица — расширенной матрицей системы (I).

По определению равенства матриц системе (I) соответствует матричное равенство:

.

Правую часть этого равенства по определению произведения матриц (см. определение 3 § 5 главы 1
) можно разложить на множители:

, т.е.

Равенство (2)
называется матричной записью системы (I)
.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Пусть в системе (I) (см. §1) m=n
, т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и основная матрица системы невырожденная, т.е. . Тогда система (I) из §1 имеет единственное решение

где Δ = det A
называется главным определителем системы
(I), Δ i
получается из определителя Δ заменой i
-го столбца на столбец из свободных членов системы (I).

Пример.Решить систему методом Крамера:

.

По формулам (3)
.

Вычисляем определители системы:

,

,

.

Чтобы получить определитель , мы заменили в определителе первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем ; аналогичным образом, заменяя в определителе 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем . Решение системы:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пусть в системе(I) (см. §1) m=n
и основная матрица системы невырожденная . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2
):

т.к. матрица A
невырожденная, то она имеет обратную матрицу (см. теорему 1 §6 главы 1
). Умножим обе части равенства (2)
на матрицу , тогда

По определению обратной матрицы . Из равенства (3)
имеем

Решить систему с помощью обратной матрицы

.

Обозначим

В примере (§ 3)мы вычислили определитель , следовательно, матрица A
имеет обратную матрицу . Тогда в силу (4)
, т.е.

. (5)

Найдем матрицу (см. §6 главы 1
)

, , ,

, , ,

,

.

Метод Гаусса.

Пусть задана система линейных уравнений:

. (I)

Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна.

Определение 1.
Назовем элементарным преобразованием системы
(I) любое из трёх действий:

1) вычёркивание нулевого уравнения;

2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l;

3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы.

Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость.

Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы:

.

Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице .

Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы.

В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х 1
, 2-ой столбец — из коэффициентов при х 2
и т. д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х 2
, а во 2-ом столбце — коэффициенты при х 1
.

Будем решать систему (I) методом Гаусса.

1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения).

2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается.

3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a 11 =0
, то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)).

4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x 1
из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице получаем нули в 1-ом столбце под элементом a 11
:

.

5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a 22 / =0
, если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы . Далее умножаем элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем — элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a 22 /

.

Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х 2
из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1
) :

,

Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I)

.

Из последнего уравнения выражаем ; подставляем в предыдущее уравнение, находим и т.д., пока не получим .

Замечание 1.
Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев.

1. Система (I) несовместна.

2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице число строк равно числу неизвестных ().

3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице меньше числа неизвестных ().

Отсюда имеет место следующая теорема.

Теорема.
Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений.

Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность:

б) ;

а) Перепишем заданную систему в виде:

.

Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами).

Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестное из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим

.

Матрице соответствует система уравнений). — (см. определение 3§7 главы 1).

Метод обратной матрицы – эточастный случай матричного уравнения

Решить систему с матричным методом

Решение
: Запишем систему в матричной форме. Решение системы найдем по формуле (см.последнюю формулу)

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решаетсяметодом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка:
Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносимв матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления
. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на урокеДействия с матрицами
. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь
.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ
:

Пример 12

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса)
. Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 3:

Пример 6:

Пример 8:

,

. Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12:

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если Вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Далее полезно изучить урок .

Метод Гаусса – это просто!
Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто!
Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать!
Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной
).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой
системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод
непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае
приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений?

и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы
:
. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка:

рекомендую запомнить
термины

линейной алгебры.
Матрица системы

– это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы:

.
Расширенная матрица системы

– это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:

. Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица система записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями
.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки
матрицы можно переставлять
местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить
из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить
. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули
.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить)
на любое число, отличное от нуля
. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число
, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2
: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ
– не изменилась
. Всегда
меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ
.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2
. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ:
рассмотренные манипуляции нельзя использовать
, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами
что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе . Она уже почти решена.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду
:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований
–
привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид
или треугольный вид
.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная
исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса
.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица
. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения
. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2
. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2
:

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3
. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3
:

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно
. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен
и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО
:

А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2
:

Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ:

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения
может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса
. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1
. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху –1, что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх:
Да тут подарок получился:

Ответ: .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод
. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением
. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.



Выполненные элементарные преобразования:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1.
Внимание!

Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем!

(2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами.
Обратите внимание

, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.

(4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:






Ответ:
.

Пример 4: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:

(1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке».

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже

, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы

(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1.

(4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3.

Нужная вещь на второй ступеньке получена

.

(5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6.

(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.
.Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, ; .Если свободные члены

Алгебра — Системы уравнений

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 7: Системы уравнений

Это довольно короткая глава, посвященная решению систем уравнений. Система уравнений — это набор уравнений, каждое из которых содержит одну или несколько переменных.

Мы сосредоточимся исключительно на системах двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными, хотя методы, рассматриваемые здесь, могут быть легко распространены на большее количество уравнений. Также, за исключением последнего раздела, мы будем иметь дело только с системами линейных уравнений.

Вот список тем в этом разделе.

Линейные системы с двумя переменными — В этом разделе мы будем решать системы из двух уравнений и двух переменных.Мы будем использовать метод подстановки и метод исключения для решения систем в этом разделе. Мы также введем понятия несовместных систем уравнений и зависимых систем уравнений.

Линейные системы с тремя переменными — В этом разделе мы рассмотрим несколько быстрых примеров, иллюстрирующих, как использовать метод подстановки и метод исключения, представленные в предыдущем разделе, применительно к системам из трех уравнений.

Расширенные матрицы — в этом разделе мы рассмотрим другой метод решения систем.Мы познакомим вас с концепцией расширенной матрицы. Это позволит нам использовать метод исключения Гаусса-Жордана для решения систем уравнений. Мы будем использовать метод с системами из двух уравнений и с системами из трех уравнений.

Подробнее о расширенной матрице — В этом разделе мы еще раз рассмотрим случаи несовместимых и зависимых решений для систем и способы их идентификации с помощью метода расширенной матрицы.

Нелинейные системы — В этом разделе мы кратко рассмотрим решение нелинейных систем уравнений. — 1 #

В какой-то момент нам нужно вычислить #abs (bb (A)) # или #det (bb (A)) #, и это также можно использовать для проверки, действительно ли матрица обратима, поэтому я предпочитаю сделать это в первую очередь. ;

# bb (A) = ((16,5), (16,1)) #

Если мы расширим первую строку;

# абс (bb (A)) = (15) (1) — (16) (5) #
# \ \ \ \ \ = 16-80 #
# \ \ \ \ \ = -64 #

Поскольку #abs (bb (A))! = 0 => bb (A) # обратимо, теперь мы вычисляем матрицу миноров, систематически прорабатывая каждый элемент в матрице и «зачеркивая» эту строку и столбцы и образуют определитель остальных элементов следующим образом:

# «несовершеннолетние» (bb (A)) = ((1, 16), (5, 16)) #

Теперь мы сформируем матрицу сомножителей, #cof (A) #, взяв указанную выше матрицу миноров и применив матрицу чередующихся знаков, как в

# ((+, -), (-, +)) #

Где мы меняем знак этих элементов со знаком минус, чтобы получить;

# cof (bbA) = ((1, -16), (-5, 16)) #

Затем мы формируем сопряженную матрицу, транспонируя матрицу сомножителей, #cof (A) #, so;

#adj (A) = cof (A) ^ T #
# \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ((1, -16), (-5, 16)) ^ T #
# \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ((1, -5), (-16, 16)) #

И, наконец, мы умножаем на обратную величину определителя, чтобы получить:

#bb (A) ^ — 1 = 1 / abs (bb A) adj (bb A) #
# \ \ \ \ \ \ \ = 1 / (- 64) ((1, -5), (-16 , 16)) #

Итак, мы получаем решение линейных уравнений как:

# bb (ul x) = bb (A) ^ (- 1) bb (ul b) #.(-1) ((211), (183)) = ((11), (7)) #

Создание (B) решения coirect

5.1 — Решение систем уравнений

5.1 — Решение систем уравнений

До этого момента мы имели дело только с одним уравнением за раз. Теперь будем работать
с более чем переменной и более чем одним уравнением. Это так называемые системы уравнений.
При ответе на систему уравнений вам нужно указать значение для каждой переменной.

Решение систем линейных уравнений

Когда мы закончим рассмотрение двух глав, посвященных решению систем уравнений, их будет шесть.
способы, которые мы можем использовать для решения системы линейных уравнений

Графически

Постройте оба уравнения и найдите точку пересечения.

Неточно вручную.

Полезно при использовании техники.

Больше подходит для нелинейных систем.

Сначала необходимо решить уравнение для y.

Замена

Решите одно уравнение для одной переменной, а затем подставьте его в другое уравнение.

Лучшая алгебраическая техника для нелинейных систем.

Хорошо работает, когда переменная может быть легко решена, имеет коэффициент, равный единице.

Работает лучше, когда дроби и корни не используются.

Добавление / исключение

Умножьте одно или несколько уравнений на константу, а затем сложите два уравнения.
чтобы исключить одну переменную.

Хорошо подходит для линейной системы, когда нет переменной с коэффициентом, равным единице.

Хорошо работает для систем уравнений 2×2 (2 уравнения с 2 переменными), но становится
утомительно и трудоемко для больших систем.

Исключение Гаусса / Исключение Гаусса Джордана

Использует элементарные операции для создания эквивалентных уравнений.

Работает для неквадратных систем линейных уравнений.

Построен на концепции исключения сложения, но вместо получения новых уравнений
старое уравнение заменяется эквивалентным уравнением.

При применении с матрицами из главы 6, вероятно, самый быстрый способ решить большую
система линейных уравнений от руки. Безусловно, любимый метод инструктора.

Правило Крамера

Использует определители матрицы для поиска решения.

Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель
матрица коэффициентов не равна нулю.

Подходит для компьютера или калькулятора, где есть определяющая программа.

Медленно вручную.

Медленно работает калькулятор без программы, так как каждый определитель должен быть введен
вручную.

Может использоваться, когда вам нужно найти только одну из переменных.

Матричная алгебра / Матрица инверсии

Использует обратную матрицу для поиска решения.

Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель
матрица коэффициентов не равна нулю.

Подходит для компьютера или калькулятора, где есть функция, обратная матрице.

Медленно вручную.

Быстрые действия на калькуляторе.

Вернет десятичные ответы, но вы можете использовать дробную клавишу, чтобы преобразовать их в целые числа.

Замена

Метод подстановки работает как с нелинейными, так и с линейными уравнениями.

1. Решите одно из уравнений относительно одной из переменных.
2. Подставьте это выражение вместо переменной в другом уравнении.
3. Решите уравнение для оставшейся переменной
4. Выполните обратную замену значения переменной, чтобы найти другую переменную.
5. Чек

Процесс обратной подстановки включает в себя получение значения переменной, найденной на шаге 3, и
подставив его обратно в выражение, полученное на шаге 1 (или исходную задачу), чтобы найти
оставшаяся переменная.

Важно, чтобы при решении системы уравнений были заданы обе переменные. Общий
Ошибка учеников — найти одну переменную и остановиться на ней. Вы должны указать ценность для всех
переменные.

Хорошая идея проверить свой ответ в обоих уравнениях, но, вероятно, достаточно, чтобы проверить
в уравнении вы не изолировали переменную на первом этапе. То есть, если вы решили для y в
первое уравнение на шаге 1, используйте второе уравнение, чтобы проверить ответ.

Графический подход

Графический подход хорошо работает с графическим калькулятором, но не точен вручную (действительно
эти точки пересекаются на 1/6 или 1/7?), если только график не попадает точно на линии сетки.

1. Решите каждое уравнение относительно y. Это может включать в себя плюс и минус, если есть член y ² . Если ты
   не построение графиков с помощью калькулятора или компьютера, вы можете пропустить этот шаг.
2. Изобразите каждое уравнение.
3. Найдите точки пересечения.
4. Проверить!

Важно проверить свои ответы, чтобы убедиться, что вы прочитали точку пересечения
правильно.

Иногда калькулятор не может указать точку пересечения с помощью команды пересечения.
Возможно, вам понадобится использовать функцию трассировки калькулятора, чтобы найти точку пересечения. Вы можете
используйте калькулятор, чтобы проверить ответ.

Постарайтесь, если возможно, преобразовать свой ответ в дробную форму.

Графический подход может сэкономить много времени, когда вы работаете с нелинейной системой
уравнения.

Самый простой способ решить систему линейных уравнений с сингулярной матрицей

Я пытаюсь сбалансировать несбалансированное химическое уравнение, используя систему линейных уравнений для нахождения стехиометрических коэффициентов в химическом уравнении. После настройки матрицы, чтобы попытаться решить систему, я не могу, потому что одна из матриц является сингулярным массивом.

Я взглянул на ответ в разделе Решение систем линейных уравнений, когда матрица коэффициентов сингулярна, но похоже, что в некоторых ответах говорится, что система, в которой у вас есть сингулярная матрица, не может быть решена, в то время как другие ссылаются на другие методы.У меня очень базовое понимание линейной алгебры, поэтому я не могу понять, как применить некоторые из методов, упомянутых в приведенном выше вопросе, но хотел бы узнать, как решать системы, в которых возникает сингулярная матрица, поскольку я уверен я сталкивался с ними не раз. Мой вопрос в основном идентичен вопросу «Можно ли сбалансировать химическое уравнение без использования проб и ошибок?», Но я хотел бы знать, как решить, используя матричный метод.

Вот несбалансированное химическое уравнение, мне нужно сделать его сбалансированным, что означает, что количество атомов / молекул на каждой стороне символа $ \ to $ равно другой стороне, e.грамм. слева находится $ 2 \ times \ mathrm {Na} $ атомов, справа только $ 1 \ times \ mathrm {Na} $. Индексы не могут быть изменены, поэтому вы балансируете, помещая стехиометрический коэффициент перед каждым элементом, $ x \ mathrm {Na} $, $ 2 \ mathrm {Na} $:

$$ \ mathrm {Na_2CO_3 (s) + HCl (водн.) \ До NaCl (водн.) + CO_2 (g) + H_2O (l)} $$

Добавление стехиометрических коэффициентов:

$$ a \ mathrm {Na_2CO_3 (s)} + b \ mathrm {HCl (aq)} \ to c \ mathrm {NaCl (aq)} + d \ mathrm {CO_2 (g)} + e \ mathrm {H_2O ( l)} $$

Построение системы линейных уравнений:

$$
\ begin {align}
\ mathrm {Na} &: & 2a + 0b-1c-0d & = 0e \\
\ mathrm {C} &: & 1a + 0b-0c-1d & = 0e \\
\ mathrm {O} &: & 3a + 0b-0c-2d & = — 1e \\
\ mathrm {H} &: & 0a + 1b-0c-0d & = — 2e \\
\ mathrm {Cl} &: & 0a + 1b-1c-0d & = 0e
\ end {align}

$

Поскольку мне нужна квадратная матрица, я перемещаю правую часть влево и получаю:

$$
А =
\ begin {bmatrix}
2 & 0 & -1 & 0 & 0 & \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & \\
3 & 0 & 0 & -2 & 1 & \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & \\
\ end {bmatrix}

$

и

$$
B =
\ begin {bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\
\ end {bmatrix}

$

, затем попробуйте решить $ A ^ {- 1} \ times \ det (A) \ times B = $$ \ begin {bmatrix} a & b & c & d & e & \\\ end {bmatrix} $, но тогда мой калькулятор выдает мне сингулярную ошибку массива сообщение.

Калькулятор систем линейных уравнений 2×2

Этот калькулятор решает системы линейных уравнений любого типа с указанными шагами, используя либо метод исключения Гаусса-Жордана, либо правило Крамера. Чтобы решить любую систему, воспользуйтесь калькулятором системы уравнений.

Можно добавить еще одну строку для вставки «» там, где это необходимо, например, «100x» -> «100x», добавить некоторую проверку ввода, в частности, проверить, действительно ли уравнение является линейным, а не квадратичным или кубическим, и, наконец, добавить графический интерфейс. решать и строить несколько линейных функций, используя разные цвета, и получить хороший инструмент для использования в начальном математическом образовании.

(SP) «У меня есть BSME и Equation Solver, и для меня это одно из самых полезных программ, которыми я когда-либо владел. Я владелец консалтинговой фирмы по маркетингу и работаю с двумя университетами и их программами MBA (Quant. Курсы анализа и статистики для руководителей маркетинга), и программное обеспечение проще в использовании и более интуитивно понятно, чем Excel.

Как пользоваться калькулятором. Введите задачу по алгебре в текстовое поле. Например, введите в текст 3x + 2 = 14. поле, чтобы получить пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = 14.

— Решение уравнений: — Квадратичная, кубическая, система линейных уравнений 2×2 и 3×3 … Научный калькулятор CE82E v.2.0 CE82E — Научный калькулятор для Windows. 128 функций. — Решение уравнений: — Квадратичные, кубические, линейные уравнения 2×2 и 3×3; — Расчет даты, нормального и биномиального распределения. — Среднее и доверительное отношение …

Конструирование калькулятора линейной интерполяции — Формула интерполятора. Чтобы интерполировать значение y 2: x 1, x 3, y 1 и y 3 необходимо ввести / скопировать из таблицы.

Если в системе нет решения, устраните проблемы. С помощью калькулятора найти A –1 * B проще простого. Вопрос: O СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И МАТРИЦ Решение несовместной системы линейных уравнений 2×2 или … Две системы уравнений приведены ниже. Затем вставьте формулу, показанную ниже. Для каждой системы выберите наилучшее описание ее решения. Тогда система уравнений …

5 июня 2020 г. · Н.П. Еругин, «Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами», Акад.Press (1966) [3] В.А. Якубович, В. Старжинский, «Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами», Wiley (1975)

Решение систем уравнений | PTC

В математике и инженерии нам часто остается ряд уравнений с равным числом переменных, которые мы хотим решить. Это известно как система уравнений. Примеры из реальной жизни, требующие решения системы уравнений, включают закон Кирхгофа для электрического сопротивления и аэродинамические траектории.[Это Кирхгоф на изображении выше.]

В PTC Mathcad есть несколько методов, которые можно использовать для определения переменных. К ним относятся:

• Конструкция Solve Block.
• Функция lsolve .
• Символическое решение.

Давайте посмотрим, как использовать каждый из этих методов.

Блоки решения

Блок решения — это особая структура в Mathcad. Помимо решения систем уравнений, его можно использовать для выполнения оптимизаций — нахождения минимума или максимума для функции — и дифференциальных уравнений.Если вы собираетесь использовать Mathcad для инженерных расчетов, я настоятельно рекомендую вам научиться использовать эту конструкцию.

Блок решения запускается на вкладке «Математика». Он состоит из трех разных разделов:

• Предполагаемые значения: в этом разделе вы инициализируете переменные, которые хотите найти, для использования оператора Definition для присвоения значения. Если я не знаю, что использовать, я буду использовать значение 1.

.

• Ограничения: вы пишете здесь свою систему уравнений.Обратите внимание, что для знака равенства используется оператор Comparison , а не оператор Evaluation .
• Решатель: создайте вектор для переменных, которые вы хотите найти. Затем используйте оператор Definition , чтобы назначить функцию Find для тех же переменных.

Затем вне блока решения оцените вектор или отдельные переменные, чтобы увидеть решения.

Мне нравятся блоки решения, потому что их можно использовать для решения как линейных, так и нелинейных систем уравнений.Линейная система — это система, в которой все переменные возведены в первую степень, а уравнение приводит к строке. В нелинейной системе одна или несколько переменных возводятся в степень выше единицы.

Кроме того, Mathcad предупредит вас, если у вас несовместимая система уравнений, то есть такая, для которой не существует решения.

Функция lsolve

Mathcad имеет встроенную функцию для решения линейной системы уравнений под названием lsolve . Чтобы использовать lsolve , выполните следующие действия:

1. Создайте матрицу, содержащую коэффициенты переменных в вашей системе уравнений.
2. Создайте вектор констант, появляющихся в правой части системы уравнений.
3. Оцените функцию lsolve, используя матрицу и вектор в качестве входных данных.

При желании можно также присвоить переменной функцию lsolve .

Символическое решение

Иногда, когда у нас есть система уравнений, вместо того, чтобы решать ее численно, мы хотим найти переменные как функции коэффициентов или констант в правой части выражений.Мы можем сделать это с помощью оператора Symbolic Evaluation и ключевого слова resolve. После выбора ключевого слова решения введите запятую, а затем переменные, которые вы хотите решить символически:

Теперь у вас есть формулы для каждой из переменных.

Заключение

Mathcad предоставляет несколько методов решения систем уравнений. Ознакомившись с этими инструментами, вы сможете применять их к различным инженерным и математическим задачам.Я особенно рекомендую научиться использовать блоки решения, так как считаю их полезными во многих ситуациях. Какой метод вы предпочитаете?

Можете продублировать это? PTC Mathcad делает инженерные расчеты легкими и увлекательными. Что еще более важно, PTC Mathcad Express делает его бесплатным, так чего же вы ждете?

Об авторе

Дэйв Мартин — бывший инструктор и консультант Creo, Windchill и Mathcad.После ухода из PTC он был специалистом по Creo в Amazon; и инженер-механик, администратор Creo и администратор Windchill для Amazon Prime Air. Он получил степень в области машиностроения в Массачусетском технологическом институте и в настоящее время работает инженером по авионике в Blue Origin.

Мартин является автором книг «Планирование дизайна в Creo Parametric» и «Дизайн сверху вниз в Creo Parametric», которые доступны на сайте www.amazon.com. С ним можно связаться по адресу [email protected].

Введение в системы линейных уравнений

7.1 — Введение в системы линейных уравнений

7.1 — Введение в системы линейных уравнений

Фон

Система имеет следующие свойства:

• Он состоит из нескольких частей, которые взаимодействуют и влияют друг на друга.
• Он производит эффект или вывод в результате какой-либо причины или ввод .

Одним из примеров является бизнес-организация.Вклады этой системы — это ее капитал,
сотрудники, сырье и фабрики. Его результаты — это его продукты.
Руководство решает, какими должны быть взаимодействия между входами.
чтобы дать максимальную производительность (например, сколько заводов должно производить
какие продукты и т. д.)

Линейная система — это система, в которой выход пропорционален входу.
Например, если бизнес-организация представляет собой линейную систему, то
если мы удвоим капитал, сотрудников, сырье и фабрики
(входы), то мы ожидаем удвоить производство (выход).

Мы можем математически описать, как части линейной системы соотносятся с одним
другой и на вход с помощью системы линейных уравнений .
Если линейная система имеет n частей (где n — некоторое число),
то мы можем описать это системой из n линейных уравнений с n неизвестными или
переменные. Неизвестные в этих уравнениях — это значения входных данных.
Если мы сделали анализ правильно, то будет уникальное решение для
значения входов.

Вот пример системы двух линейных уравнений в двух
неизвестные x и y :

С точки зрения ввода-вывода числа 4 и 6 в правой части
являются выходными данными, а неизвестные x и y слева являются входными данными.
Числа 1, 1, 2 и −3, умноженные на x и y , выражают отношения
между частями системы.

Мы можем проверить, что { x = 3,6, y = 0,4} является решением
систему, подставив ее в систему и получив пару уравнений 4 = 4 и 6 = 6.
Теперь предположим, что мы удвоили вывод (замените 4 и 6 на 8 и 12):

Затем мы можем убедиться, что ввод также удвоен; решение сейчас
{х = 7,2, у = 0,8}. Таким образом, система линейна.
Линейность можно проследить до того факта, что числа 1, 1, 2 и −3
умножение x и y дает константы .Если бы они были заменены
выражений с участием x и y
тогда уравнения будут нелинейными .

Вот пример системы трех линейных уравнений
в трех неизвестных x , y и z :

Методы решения систем линейных уравнений

Существует множество методов решения систем линейных систем.У каждого свои преимущества
и недостатки. Графический метод
полезно для ознакомления с концепциями
например, уникальность решения или значение несовместимых систем
но бесполезен как вычислительный инструмент.

Метод подстановки полезен, потому что он может применяться к нелинейным как
хорошо, как линейные системы, но он увязнет во всем, кроме небольших систем.
Тренер по алгебре может решить любую систему линейных уравнений с помощью этого метода.

Метод исключения — хороший метод для систем
среднего размера, содержащего,
скажем, от 3 до 30 уравнений. Легко реализовать на компьютере.
Тренер по алгебре может решить любую систему линейных уравнений с помощью этого метода.
Исключение Гаусса и Исключение Гаусса-Джордана — два варианта этого метода.
На нем основаны другие методы, такие как метод разложения LU.

Правило Крамера (также известное как детерминантный метод) подходит для
ручной расчет, потому что он избегает дробей.Однако это только практично
для небольших систем (3 уравнения или меньше). Тренер по алгебре не
объясните этот метод.

Есть и другие методы, которые могут быть полезны при определенных обстоятельствах.
Например, задача «предсказания погоды» на сетке 100 × 100
приводит к системе из 10 000 линейных уравнений. Такие большие системы
решаются путем итеративного улучшения. В этом методе вы начинаете с любого предположения
как бы то ни было для решения. Затем вы повторяете (перерабатываете) это решение,
улучшая его с каждой итерацией.Когда точность станет достаточно хорошей, вы остановитесь.

Другой метод, метод трехдиагональной матрицы, полезен для систем,
могут быть организованы в четко определенные этапы, и где каждый этап зависит
непосредственно только на предыдущем этапе.

Некоторые уроки, которые следует извлечь из построения графиков двух уравнений с двумя неизвестными

Графический метод не очень полезен как вычислительный инструмент, но он
полезно для визуализации таких понятий, как уникальность решения и
значение несовместимых и избыточных систем.Рассмотрим следующую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

В этом методе мы просто рисуем графики уравнений, как мы это делали с
верно. Обратите внимание, что график каждого уравнения представляет собой прямую линию.
(Это характерно для линейной системы. Кривых нет,
только прямые.)

Любая точка на одной прямой является решением одного уравнения и любая точка на
другая линия — это решение другого уравнения.Точка пересечения линий
{ x = 3,6, y = 0,4}
— решение, которое одновременно удовлетворяет обоим уравнениям.
Обратите внимание, что решение уникально. Это потому, что линии прямые
и есть только одна точка, где они могут пересечься. Система линейных уравнений
с уникальным решением — это «нормальная» ситуация.

Однако возможна система уравнений с
нет решения или бесконечное количество решений.Такие системы уравнений называются несогласованными и избыточными соответственно.
Они являются результатом неточного или неправильного анализа
физическая система описывается системой уравнений.

Рассмотрим следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Эта система уравнений противоречива , потому что нет возможности, чтобы
x + y может одновременно равняться 2 и 4.Как показано справа, график этой системы состоит из
две параллельные линии, которые никогда не пересекаются. Таким образом, решения нет.

Теперь рассмотрим следующую систему уравнений:

Эта система является избыточной , потому что второе уравнение эквивалентно первому
один. График состоит из двух линий, лежащих одна на другой.
Они «пересекаются» в бесконечном количестве точек, поэтому есть
бесконечное количество решений.

Подводя итог, система линейных уравнений с 2 ​​неизвестными должна иметь как минимум 2 уравнения.
получить уникальное решение. Одного уравнения недостаточно, потому что 1 уравнение
в 2 неизвестных представлена ​​целой строкой. Имея 2 уравнения, точно
достаточно, если они не являются избыточными или непоследовательными. Имея 3 (или более)
уравнений слишком много. Третье уравнение должно быть либо избыточным, либо
непоследовательный.

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

.