Определение трапеции и свойства: Трапеция. Иллюстрированный гид (ЕГЭ — 2021)

Содержание

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четыреугольник у котрого две стороны паралельны, а две другие стороны не паралельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четыреугольник у которого одна пара противоположных сторон паралельна и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие строрны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — трапеция у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Рис.1 Рис.2

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции паралельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины как сотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через середнюю линию и другую основу:

a = 2m — b

b = 2m — a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a — h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a — c·cos α — d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =  h        d =  h
sin α sin β

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =  sin γ · d1d2  =  sin δ · d1d2
a + b a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =  sin γ · d1d2  =  sin δ · d1d2
2m 2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 — 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 — 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 =  d 2 + ab —  a(d 2 — c2)        d2 =  c2 + ab —  a(c2 — d 2)
a — b a — b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a — h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a — h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab — d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab — d12

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через через диагонали и угол между ними:

S =  d1d2 · sin γ  =  d1d2 · sin δ
2 2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =  a + b c2 ( (a — b)2 + c2 — d 2 ) 2
2 2(a — b)

5. Формула Герона для трапеции

S =  a + b √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
|a — b|

где

p =  a + b + c + d   — полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =  a·c·d1
4√p(p — a)(p — c)(p — d1)

где
a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. \circ\).

 

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle
BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot
AD=S_{\triangle ACD}\). Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle
COD}\]

 

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

 

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем параллельность.

 

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN’\parallel AD\) (\(N’\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN’\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N’\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N’\) совпадут.

 

2) Докажем формулу.

 

Проведем \(BB’\perp AD, CC’\perp AD\). Пусть \(BB’\cap MN=M’, CC’\cap
MN=N’\).

 

Тогда по теореме Фалеса \(M’\) и \(N’\) — середины отрезков \(BB’\) и \(CC’\) соответственно. Значит, \(MM’\) – средняя линия \(\triangle
ABB’\), \(NN’\) — средняя линия \(\triangle DCC’\). Поэтому: \[MM’=\dfrac12 AB’, \quad NN’=\dfrac12 DC’\]

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB’, CC’\perp AD\), то \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B’M’=M’B\). Значит, \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M’N’=B’C’=BC\).

 

Таким образом:

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

 

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.

 

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).

 

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

 

Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle
ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

 

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

 

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

 

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

 

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

 

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).

 

2)

 

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).

 

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

 

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

 

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

 

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).

 

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE
= ED\). Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 =
\angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).

 

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.

 

2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).

 

Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).

 

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.

 

Свойства трапеции, с примерами

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются ее боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (равнобедренной) трапецией. Трапеция, у которой при одной боковой стороне прямые углы называется прямоугольной.

Свойства трапеции

  1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  3. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  4. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, подобные:

       

  5. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на боковых сторонах трапеции, равновеликие:

       

  6. Если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны.
  7. Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
  8. Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
  9. Площадь трапеции вычисляется по формуле

       

    где – основания трапеции, – высота трапеции.

  10. Если в трапецию вписана окружность радиуса и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка длины и , то .

Примеры решения задач



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



Параллелограмм и трапеция

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника — это совпадающие точки.

Определение. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB = CD; BC = AD.

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

На рис. 11 отрезки AO = OC; BO = OD.

Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Виды трапеций

1. Трапеция, у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней (рис. 12).

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Правило. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (рис. 17).

У прямоугольной трапеции (рис. 14) высотой служит боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Вместо полусуммы оснований трапеции можно взять длину средней линии трапеции (на рис. 15 отрезок MN).

Проектная работа «Трапеция и её свойства. Решение задач»

Слайд 1

Презентация по теме «Трапеция и её свойства. Решение задач». План Определение трапеции , ее элементы и виды. Общие свойства . Свойства равнобедренной трапеции . Вписанная и описанная окружность . Площадь . Возможные варианты задач в ГИА-9 про трапеции (часть 2). Подготовила ученица 9 класса «А» Петренко Ангелина

Слайд 2

Определение трапеции и ее виды. Трапе́ция — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Элементы трапеции Параллельные стороны называются основаниями трапеции. (BC и AD) Две другие стороны называются боковыми сторонами. (AB и CD) Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. (LM) Расстояние между основаниями называется высотой трапеции. (LH) В основание С L M А D основание

Слайд 3

Виды трапеций. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной . Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Слайд 4

Свойства трапеции. 1) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. LM=(AB+DC)/2 2) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. NK=(DC-AB)/2 3) Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2 *AB*DC /( AB + DC ) Формула Буракова ) А В E O F L M D C

Слайд 5

Свойства трапеции. 3) Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии .( O, G, W, V a) 4) Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности . VW=(AD-BC)/2, если ВА D + CAD=90° 5) В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. ( AD+BC=AB+CD) G B V C A D

Слайд 6

Свойства трапеции. 6) Биссектрисы односторонних углов пересекаются под прямым углом. ( AFB= CED=90°) 8) Отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис односторонних углов параллелен основаниям. ( FE ΙΙ BC ΙΙ AD) B C F E A D

Слайд 7

Свойства равнобедренной трапеции. 1) В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны . 2) В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны . АС=В D 3) Если трапецию можно вписать в окружность , то она равнобедренная. AB=CD B C A D

Слайд 8

Свойства равнобедренной трапеции. 4) Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. (AB=CD) 5) Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны , то высота равна полусумме оснований. BH=(AD+BC)/2 B C A D

Слайд 9

Свойства равнобедренной трапеции. 6) Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. (NM) 7) Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований. HD=(AD+BC)/2 ; AH=(AD-BC)/2 B C N A M D

Слайд 10

Вписанная и описанная окружность . 1) Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон , то в неё можно вписать окружность. (AB+CD=BC+AD) 2) Если трапеция равнобедренная , то около неё можно описать окружность. 2 =АН*НВ=4 ( как средний пропорциональный) АН+НВ=5. Решив систему, получаем НВ=1=ВМ=МС(как касательные из одной точки и т.к. трапеция равнобедренная) 4)Т.к. в трапецию можно вписать окружность, то АВ+С D= ВС+ AD=5+5=10 S ABCD=1/2(BC+AD)*BH=20 Ответ:20

Слайд 20

Возможные варианты задач в ГИА-9 про трапеции (часть 2). 23. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке P , Q – точка пересечения диагоналей этой трапеции. Найдите отношение площади треугольника ADQ к площади треугольника BCP , если известно, что AD=3BC . P B N C Q S A D

Слайд 21

APD подобен ВРС(т.к. ВС ΙΙ А D) K= AD/BC=3DC/DC=3 , значит, PN/PH=1/3 BCQ подобен AQD( т.к. ВС ΙΙ А D ) К1= BC/AD=1/3 , значит, NS/SH=1/3 3) Пусть PN=x , тогда PH=3x Пусть NS=y , тогда SH=3y PH=PN+NS+SH=x+y+3y=x+4y X+4y=3x 2y=x Значит , PN=2y 4) S ADQ/S BPC=(AD*HS*2)/(2*BC*PN)=3*3/2=4.5 Ответ:4,5

Трапеция. Свойства трапеции — презентация онлайн

Тема: ТРАПЕЦИЯ
Тема: ТРАПЕЦИЯ
B
A
C
ABCD –
трапеция
D
BC, AD – основания трапеции, ВС ║ АD
AB,CD – боковые стороны
Определение:
Четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны
называется трапецией.
Равнобедренная трапеция
B
C
AB=CD
ABCD равнобедренная
трапеция
A
D
Определение:
Трапеция, у которой боковые стороны
равны, называется равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при
каждом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции диагонали
равны.
Признаки равнобедренной трапеции
1. Если углы при основании трапеции
равны, то она равнобедренная.
2. Если диагонали трапеции равны, то
она равнобедренная.
Прямоугольная трапеция
B
C
A=
В = 900
ABCD прямоугольная
трапеция
A
D
Определение:
Трапеция, у которой один из углов
прямой, называется прямоугольной.
Средняя линия трапеции
B
MN — средняя линия
трапеции
C
N
M
D
A
Определение:
Отрезок, соединяющий середины боковых
сторон, называется средней линией трапеции.
Свойство средней линии трапеции
Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме
B
M
A
C
MN ║ ВС ║ АD
N
MN = ( BC + AD) / 2
D
Задача 1
B
C
Дано: ABCD – трапеция,
АВ = СD = ВС.
Найти: углы трапеции.
A
D
Задача 2
5
B
C
Дано: ABCD – трапеция,
АD = 7, ВС = 5, АВ = CD.
Найти: СD.
600
A
600
К
Р
D
Задача 3
C
B
AD = 30, угол С = 1350,
1350
СС1 ┴ AD, угол ВАС = 450
450
A
Дано: ABCD – трапеция,
Найти: ВС.
C1
D
В
М
Задача 4
С
Дано: ABCD – трапеция,
МК – средняя линия.
К
ВС =13, МК = 25.
Найти: АD.
А
D
Самое главное сегодня!
1. Какой четырёхугольник называется
трапецией?
2. Какая трапеция называется равнобедренной?
3. Какая трапеция называется прямоугольной?
4. Сформулируйте свойства и признаки
равнобедренной трапеции.
5. Что такое средняя линия трапеции?
Домашнее задание
П. 44, записи в тетрадях,
№ 387, № 390.
Всем спасибо!
Желаю успехов!

Трапеция — что это такое, свойства и виды трапеций (равнобедренная, прямоугольная)

18 января 2021

  1. Определение
  2. Происхождения слова
  3. Стороны трапеции
  4. Равнобедренная и прямоугольная
  5. Свойства трапеций

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo. ru. В этой статье мы решили подробно рассказать о такой геометрической фигуре, как ТРАПЕЦИЯ.

Ее подробно изучают на уроках геометрии в 8-м классе. И эти уроки являются частью общего знакомства школьников с различными четырехугольниками.

Определение трапеции

Трапеция – геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник, у которого две противоположные стороны располагаются на параллельных прямых. А две другие стороны должны, наоборот, быть не параллельными.

Вот так выглядит классическая трапеция:

У этой фигуры стороны АВ и CD являются параллельными. А вот AD и CB – нет.

Происхождения слова

Первое упоминание об этой фигуре встречается еще в трудах известного древнегреческого математика Евклида.

В его книге «Начала» этим термином описывается абсолютно любой четырехугольник, который не является параллелограммом.

Если кто не помнит, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Выглядит эта фигура в классическом понимании вот так:

Интересно, что и всем известные фигуры – квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (это как?) – также являются частным случаем параллелограмма. Ведь действительно – у них противоположные стороны параллельны друг к другу.

И получается, что Евклид был в целом прав. Он просто поделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограммы и трапеции.

Кстати, само слово ТРАПЕЦИЯ также имеет греческое происхождение. В древние времена оно звучало как «трапедзион». И в переводе это означает «обеденный стол». Поэтому слово «трапеза», которое у нас является синонимом любого приема пищи тоже родом оттуда.

Стороны трапеции

Парные стороны трапеций имеют свои названия:

  1. Основания трапеции – стороны, которые располагаются на параллельных прямых.
  2. Боковые – стороны, которые не находятся на параллельных прямых.

Закрепим это с помощью рисунка:

В данном случае стороны АВ и CD параллельны друг другу. А значит, именно они являются основаниями. А вот АС и BD – наоборот, явно не параллельны. И соответственно, это боковые стороны.

Кстати, расположение сторон не зависит от расположения самой фигуры. Даже вот в таких положениях

все равно параллельные стороны будут считаться основаниями, а непараллельные – боковыми.

Равнобедренная и прямоугольная трапеции

Вариант трапеции, который мы рассмотрели – это самые распространенные виды геометрической фигуры. Но есть и частные случаи:

Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые (не параллельные) стороны равны. Ее еще называют равнобокой или равнобочной.

Выглядит она вот так:

В данном примере графически показано, что стороны AD и ВС равны между собой. Об этом свидетельствуют небольшие черточки.

Прямоугольная трапеция – та, у которой одна из боковых сторон и основания образовывают прямой угол.

Выглядит она вот так:

В данном примере, углы DAB и ADC являются прямыми, то есть равны 90 градусам. А соответственно, трапеция называется прямоугольной.

Тут важно заметить, что под прямым углом к основанию должна идти только одна боковая сторона. Если будут обе, то трапеция автоматически превратится в квадрат.

Свойства трапеций

С трапециями связаны несколько понятий в геометрии, которые активно используются для решения различных теорем.

Средняя линия

Средняя линия трапеции – это отрезок, который идет параллельно основаниям и соединяет середины:

Со средней линией связана одна интересная теорема. Очень часто на уроках геометрии школьников просят определить ее длину. И сделать это весьма просто.

Длина средней линии трапеции равна половине суммы длин ее оснований.

Звучит может и несколько тяжеловато. Но на деле – это весьма просто. Так, чтобы посчитать в нашем примере длину отрезка MN, который является средней линией, надо применить формулу:

MN = (AD + ВС) / 2

И это правило распространяется на все виды трапеций.

Биссектриса углов трапеции

Биссектриса – это линия (луч), которая делит угол пополам. Так вот

Любая биссектриса, выведенная из угла трапеции, отсекает на основании отрезок, равный по длине боковой стороне.

На данном рисунке отрезок АЕ является биссектрисой угла ABD. И исходя из этого, отрезки АВ и ВЕ равны между собой, о чем свидетельствуют небольшие черточки на них.
В то же время у биссектрис в трапеции есть еще одно свойство.

Две биссектрисы, выведенные из углов одной боковой стороны, пересекаются под прямым углом.

Все эти теоремы в процессе школьного обучения, ученикам еще необходимо доказывать. Ну а мы решили не приводить долгие математические и геометрические выкладки. Просто примите как данность!

Вот и все, что мы хотели рассказать вам о трапеции.

На приведенной ниже схеме показан четырехугольник ABCD и сумма его внутренних углов. Сумма всех внутренних углов составляет 360 °.

Таким образом, A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 °

Различные типы четырехугольников

Существует 5 типов четырехугольников в зависимости от их формы. Эти 5 четырехугольников:

  1. Прямоугольник
  2. Квадрат
  3. Параллелограмм
  4. Ромб
  5. Трапеция

Давайте подробно обсудим каждый из этих пяти четырехугольников:

Вот вопросы, которые научат вас применять свойства всех пяти четырехугольников, которые вы узнаете в этой статье.

Прямоугольник

Прямоугольник — это четырехугольник с четырьмя прямыми углами. Таким образом, все углы в прямоугольнике равны (360 ° / 4 = 90 °). Причем противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны, а диагонали делят друг друга пополам.

Свойства прямоугольников

Прямоугольник имеет три свойства:

  • Все углы прямоугольника равны 90 °
  • Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны
  • Диагонали прямоугольника делят друг друга пополам

Формула прямоугольника — Площадь и периметр прямоугольника

Если длина прямоугольника L, а ширина B, то

  1. Площадь прямоугольника = длина × ширина или длина × ширина
  2. Периметр прямоугольника = 2 × (L + B)

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства прямоугольников

Планируете ли вы поступить в бизнес-школу США? Позвольте нам помочь вам пройти первый этап процесса i.е., сдавая GMAT. Пройдите бесплатный тест GMAT, чтобы понять свой базовый результат, и начните подготовку к GMAT с нашей бесплатной пробной версии. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

Площадь

Квадрат — четырехугольник с четырьмя равными сторонами и углами. Это также правильный четырехугольник, так как его стороны и углы равны. Как и прямоугольник, квадрат имеет четыре угла по 90 ° каждый. Его также можно рассматривать как прямоугольник, две смежные стороны которого равны.

Недвижимость квадрата

Чтобы четырехугольник стал квадратом, он должен обладать определенными свойствами. Вот три свойства квадратов:

  • Все углы квадрата равны 90 °
  • Все стороны квадрата равны и параллельны друг другу
  • Диагонали делят друг друга пополам перпендикулярно

Формула квадрата — Площадь и периметр квадрата

Если сторона квадрата — «а», тогда

  1. Площадь квадрата = a × a = a²
  2. Периметр квадрата = 2 × (a + a) = 4a

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства квадратов

Если вы набрали Q50-51 за GMAT, вы сможете набрать 700+ баллов за GMAT.Почему бы вам не начать подготовку к GMAT с помощью наших бесплатных подготовительных ресурсов и не начать свой путь к получению Q50-51 на GMAT. Учитесь у Кэрри Лоу, у которой за 3 недели показатель улучшился с Q35 до Q50.

Параллелограмм

Параллелограмм, как следует из названия, представляет собой простой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Таким образом, у него две пары параллельных сторон. Причем противоположные углы в параллелограмме равны, а его диагонали делят друг друга пополам.

Свойства параллелограмма

Четырехугольник, удовлетворяющий указанным ниже свойствам, будет классифицироваться как параллелограмм.Параллелограмм имеет четыре свойства:

  • Противоположные углы равны
  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Диагонали делят друг друга пополам
  • Сумма любых двух смежных углов равна 180 °

Формулы параллелограмма — Площадь и периметр параллелограмма

Если длина параллелограмма равна «l», ширина — «b», а высота — «h», тогда:

  1. Периметр параллелограмма = 2 × (l + b)
  2. Площадь параллелограмма = l × h

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства параллелограмма

Ромб

Ромб — это четырехугольник, все четыре стороны которого равны по длине, а противоположные стороны параллельны друг другу.Однако углы не равны 90 °. Ромб с прямыми углами стал бы квадратом. Другое название ромба — «ромб», так как он похож на ромб в игральных картах.

Свойства ромба

Ромб — это четырехугольник, обладающий следующими четырьмя свойствами:

  • Противоположные углы равны
  • Все стороны равны, а противоположные стороны параллельны друг другу
  • Диагонали делят друг друга перпендикулярно
  • Сумма любых двух смежных углов составляет 180 °

Формулы ромба — Площадь и периметр ромб

Если сторона ромба — это, то периметр ромба = 4a

Если длина двух диагоналей ромба равна d 1 и d 2 , то площадь ромба = ½ × d 1 × d 2

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства ромба

Трапеция

Трапеция (в США ее называют трапецией) — это четырехугольник, у которого есть только одна пара параллельных сторон.Параллельные стороны называются «основаниями», а две другие стороны называются «ножками» или боковыми сторонами.

Свойства трапеции

Трапеция — это четырехугольник, в котором одно свойство:

  • Только одна пара противоположных сторон параллельна друг другу

Формулы трапеции — Площадь и периметр трапеции

Если высота трапеции « (как показано на диаграмме выше), то:

  1. Периметр трапеции = Сумма длин всех сторон = AB + BC + CD + DA
  2. Площадь трапеции = ½ × (Сумма длин параллельных сторон) × h = ½ × (AB + CD) × h

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства трапеции

Свойства четырехугольника

В таблице ниже суммированы все свойства четырехугольников, которые мы изучили до сих пор:

Важные формулы четырехугольника

В таблице ниже приведены формулы площади и периметра четырехугольников различных типов:

Свойства четырехугольника Прямоугольник Квадрат Параллелограмм Ромб Трапеция
Все стороны равны Стороны равны
Противоположные стороны параллельны
9038 ✔
9038

Противоположные углы равны

двух смежных углов
Разделить пополам ✔ 9038 8

Перпендикулярно пополам 000 ✖ 000 ✖
Четырехсторонние формулы Прямоугольник Квадрат Параллелограмм Ромб

9038

b

l × h ½ × d1 × d2 ½ × (Сумма параллельных сторон) × высота
Периметр 2 × (l + b) 4a 2 × (l + b) 4a Сумма всех сторон

Дополнительная литература:

Четырехсторонние вопросы

Попрактикуемся в применении свойств четырехугольника на следующих типовых вопросах:

Вопрос 1

Адам хочет построить забор вокруг своего прямоугольного сада длиной 10 метров и шириной 15 метров.Сколько метров забора нужно купить, чтобы ограждать весь сад?

  1. 20 метров
  2. 25 метров
  3. 30 метров
  4. 40 метров
  5. 50 метров
Решение

Шаг 1: Дано

  • У Адама прямоугольный сад.
    • Он имеет длину 10 метров и ширину 15 метров.
    • Он хочет построить вокруг него забор.

Шаг 2: найти

  • Длина, необходимая для ограждения всего сада.

Шаг 3: подход и разработка

Забор можно строить только вокруг внешней стороны сада.

  • Итак, общая необходимая длина забора = Сумма длин всех сторон сада.
    • Поскольку сад прямоугольный, сумма длин всех сторон — это не что иное, как периметр сада.
    • Периметр = 2 × (10 + 15) = 50 метров

Следовательно, необходимая длина забора — 50 метров.

Следовательно, вариант E — правильный ответ.

Вопрос: 2

Стив хочет покрасить одну прямоугольную стену в своей комнате. Стоимость покраски стены — 1,5 доллара за квадратный метр. Если стена 25 метров в длину и 18 метров в ширину, то какова общая стоимость покраски стены?

  1. $ 300
  2. $ 350
  3. $ 450
  4. $ 600
  5. $ 675
Решение

Шаг 1: Дано

  • Стив хочет покрасить одну стену своей комнаты.
    • Стена 25 метров в длину и 18 метров в ширину.
    • Стоимость покраски стены составляет 1,5 доллара за квадратный метр.

Шаг 2: найти

  • Общая стоимость покраски стены.

Шаг 3: подход и разработка

  • Стена окрашена по всей площади.
    • Итак, если мы найдем общую площадь стены в квадратных метрах и умножим ее на стоимость покраски 1 квадратного метра стены, мы сможем получить общую стоимость.
    • Площадь стены = длина × ширина = 25 метров × 18 метров = 450 квадратных метров
    • Общая стоимость покраски стены = 450 × 1,5 $ = 675 $

Следовательно, правильный ответ — вариант E.

Мы надеемся, что к настоящему времени вы узнали о различных типах четырехугольников, их свойствах и формулах, а также о том, как применять эти концепции для решения вопросов о четырехугольниках. Применение четырехугольников важно для решения вопросов по геометрии на GMAT.Если вы планируете сдавать GMAT, мы можем помочь вам с высококачественными учебными материалами, к которым вы можете получить доступ бесплатно, зарегистрировавшись здесь.

Вот еще несколько статей по математике:

  1. Повысьте точность в вопросах по математике по многоугольникам
  2. Вопросы по геометрии — наиболее распространенные ошибки | GMAT Quant Prep

Если вы планируете сдавать GMAT, мы можем предоставить вам доступ к качественному онлайн-контенту для подготовки. Мы — самая обсуждаемая компания по подготовке к GMAT на gmatclub: мы получили более 2060 отзывов.

Почему бы вам не воспользоваться бесплатным испытанием и не судить сами?

Напишите нам по адресу [email protected]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.