По графику зависимости модуля скорости от времени определите путь: по графику зависимости модуля скорости от времени определите путь пройденный телом за 2 с

Содержание

Разбор тренировочного теста

Разбор тренировочного теста интернет-олимпиады
по физике 2008/2009 года

11 класс. Кинематика

 

Вопрос № 1

По графику, представленному на рисунке, определите скорость
движения велосипедиста через три секунды после начала движения.

 

Решение.

На рисунке представлен график зависимости пути от времени.
График представляет собой прямую линию, значит, велосипедист двигался
равномерно. Определим по графику величину пути, пройденного велосипедистом за
фиксированный отрезок времени. Например, за 3 с велосипедист прошел 9 м.
Скорость велосипедиста V = L / t
= 9/3 = 3 м/с.

 

Вопрос № 2

Пешеход и велосипедист одновременно начали движение
навстречу. Их скорости равны V1 = 6 км/ч и V2 = 30 км/ч, соответственно.
Определите время движения до встречи, если начальное расстояние между ними L = 700 м.

 

Решение.

Определим скорость велосипедиста в системе отсчета пешехода V12
= V1 + V2 = 6 + 30 = 36 км/ч = 10 м/с. Итак, пешеход и
велосипедист сближаются со скоростью 10 м/с, тогда их время движения до встречи
t = L / V12 = 700/10 = 70 с.

 

Вопрос № 3

Автомобиль двигался со скоростью 15 м/с
в течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

 

Решение.

Автомобиль двигался равномерно, поэтому пройденный путь L = V∙t = 15∙5 = 75 м.

 

Вопрос № 4

Брошенный вертикально вверх мяч возвращается в исходное
положение. На рисунке представлен график его скорости от времени. В какой
момент времени мяч достиг максимальной высоты?

 

Решение.

В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, его скорость
равна нулю. По графику, представленному на рисунке определяем, что скорость
мяча равна нулю в момент времени t = 2 с.

 

Вопрос № 5

Какие из перечисленных выше величин векторные ? (Отметьте все векторные величины)

 

Решение.

Из перечисленных величин векторными являются скорость,
ускорение и перемещение. Путь — величина скалярная.

 

Вопрос № 6

Спортсмен пробежал дистанцию 400 м по дорожке стадиона и
возвратился к месту старта. Определите путь L, пройденный спортсменом, и модуль
его перемещения S.

 

Решение.

Пройденный спортсменом путь L = 400 м. Модуль перемещения S
= 0, так как спортсмен вернулся в точку, из которой он начал движение.

 

Вопрос № 7

Скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно,
изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рисунке.
Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке пути?

 

Решение.

Из рисунка видно, что модуль скорости тела при перемещении
уменьшается, значит, вектор ускорения направлен навстречу движению, то есть налево.

 

Вопрос № 8

По графику зависимости модуля скорости от времени определите
ускорение прямолинейно движущегося тела в момент времени t
= 2 с.

 

Решение.

По графику определим изменение скорости тела за
фиксированный момент времени. Например, за первые две секунды скорость тела
изменилась на 6 м/с (с V0
= 3 м/с до Vt = 9 м/с). Ускорение a = (Vt – V0) / t
= 6/2 = 3 м/с2.

 

Вопрос № 9

При равноускоренном движении автомобиля в течение пяти
секунд его скорость увеличилась от 10 до 15 м/с. Чему равен модуль ускорения автомобиля?

 

Решение.

Ускорение автомобиля a = (Vt – V0) / t = (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 м/с2.

 

 

Вопрос № 10

Автомобиль стартует с места с постоянным ускорением а = 1
м/с2. Какой путь проходит автомобиль за
первые десять секунд движения?

 

Решение.

Автомобиль движется равноускоренно без начальной скорости —
пройденный путь L = a∙t2/2 = 1∙102/2
= 50 м.

 

Вопрос № 11

Плот равномерно плывет по реке со скоростью 3 км/ч. Сплавщик
движется поперек плота со скоростью 4 км/ч. Какова скорость сплавщика в системе отсчета, связанной с
берегом?

 

Решение.

Скорость сплавщика в в
системе отсчета, связанной с берегом

 

Вопрос № 12

Вертолет поднимается вертикально вверх c
постоянной скоростью. Какова траектория движения точки на конце лопасти винта
вертолета в системе отсчета, связанной с корпусом вертолета?

 

Решение.

Представьте себе, что вы находитесь в кабине вертолета, то
есть вы неподвижны относительно корпуса вертолета. В этом случае вы можете
видеть, что любая точка винта вертолета описывает окружность.

 

Вопрос № 13

Тело движется вдоль оси Х по закону, представленному на
рисунке, где х — координата в метрах, t — время в секундах. Определите модуль ускорения тела.

 

Решение.

Уравнение зависимости координаты от времени при
прямолинейном равноускоренном движении в общем виде имеет вид Х(t) = X0 + V∙t + aх∙t2/2, где X0 — начальная
координата, а V
и aх— проекции начальной скорости и ускорения на ось Х.

Приравнивая члены, в которые входит t2, получим aх∙t2/2 = –4,5∙t2. Откуда проекция ускорения aх
= –9 м/с2, а модуль ускорения a =
9 м/с2.

 

Вопрос № 14

На рисунке представлены графики зависимости модуля скорости
от времени для четырех тел. Какое из этих тел (или
какие тела) прошли наибольший путь?

 

Решение.

На рисунке показаны графики зависимости скорости движущихся
тел от времени. Как известно, пройденный телом путь представляет собой площадь,
лежащую под графиком скорости. Из рисунка видно, что фигура максимальной
площади лежит под графиком, для тела 4. Значит, за промежуток времени от 0 до t0
тело 4 прошло наибольший путь.

 

Вопрос № 15

Тело движется прямолинейно. На рисунке представлен график
скорости тела от времени. На каком промежутке (каких промежутках) времени
проекция ускорения отрицательна?

 

Решение.

Проанализируем график:

1.      на
промежутке времени от 0 до 1с скорость тела постоянна, поэтому ах =
0;

2.      на
промежутке времени от 1с до 2с скорость тела уменьшается, поэтому проекция
ускорения ах < 0;

3.      на
промежутке времени от 2с до 3с тело покоится, поэтому ах = 0;

4.      на
промежутке времени от 3с до 4с скорость тела увеличивается, поэтому проекция
ускорения ах > 0.

Итак, проекция ускорения отрицательна на промежутке времени
от 1с до 2с.

 

Вопрос № 16

Двигавшийся с начальной скоростью 20 м/с автомобиль
разгоняется с постоянным ускорением а = 2 м/с2
в течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

 

Решение.

Для расчета пути можно воспользоваться формулой L = V0∙t + a∙t2/2
= 20∙5 + 2∙52/2 = 125 м.

 

2. Графики

1.
За­да­ние 1 № 101.

Может ли гра­фик за­ви­си­мо­сти
пути от вре­ме­ни иметь сле­ду­ю­щий
вид?

 

 

1)
да

2)
нет

3)
может, если тра­ек­то­рия
пря­мо­ли­ней­ная

4)
может, если тело воз­вра­ща­ет­ся
в ис­ход­ную точку

Ре­ше­ние.

Путь —
это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на,
по­ка­зы­ва­ю­щая прой­ден­ное
телом рас­сто­я­ние. Иначе го­во­ря,
это длина прой­ден­но­го участ­ка
тра­ек­то­рии. По опре­де­ле­нию,
путь есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная,
ко­то­рая может толь­ко воз­рас­тать
со вре­ме­нем, так что пред­став­лен­ный
гра­фик не может изоб­ра­жать
за­ви­си­мость пути от вре­ме­ни.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

101

2

2.
За­да­ние 1 № 102.

Мяч, бро­шен­ный вер­ти­каль­но
вверх, па­да­ет на землю. Най­ди­те
гра­фик за­ви­си­мо­сти от
вре­ме­ни про­ек­ции ско­ро­сти
на вер­ти­каль­ную ось, на­прав­лен­ную
вверх.

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Мяч
после брос­ка дви­жет­ся с
по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем
сво­бод­но­го па­де­ния,
на­прав­лен­ным вниз. Сле­до­ва­тель­но,
про­ек­ция ско­рости долж­на
умень­шать­ся со вре­ме­нем по
ли­ней­но­му за­ко­ну,
,
гра­фик за­ви­си­мо­сти её от
вре­ме­ни пред­став­лен на
ри­сун­ке 2.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

102

2

3.
За­да­ние 1 № 103.

Мяч бро­шен с вер­ши­ны скалы без
на­чаль­ной ско­ро­сти. Най­ди­те
гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля
пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни.
Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха
пре­не­бречь.

 

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку
мяч бро­шен с вер­ши­ны скалы без
на­чаль­ной ско­ро­сти, а
со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха
можно пре­не­бречь, за­ви­си­мость
мо­ду­ля пе­ре­ме­ще­ния от
вре­ме­ни долж­на иметь сле­ду­ю­щий
вид:

.

Ис­ко­мая
за­ви­си­мость пред­став­ле­на
на ри­сун­ке 4. Кроме того, мо­дуль
есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная,
этому кри­те­рию также удо­вле­тво­ря­ет
толь­ко гра­фик под но­ме­ром
4.

Пра­виль­ный
ответ: 4.

Ответ:
4

103

4

4.
За­да­ние 1 № 104.

Ав­то­мо­биль дви­жет­ся по
пря­мой улице. На гра­фи­ке
пред­став­ле­на за­ви­си­мость
ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля
от вре­ме­ни.

 

В
каком ин­тер­ва­ле вре­ме­ни
мак­си­ма­лен мо­дуль уско­ре­ния?

 

1)
от 0 до 10 с

2)
от 10 до 20 с

3)
от 20 до 30 с

4)
от 30 до 40 с

Ре­ше­ние.

На
всех рас­смат­ри­ва­е­мых
ин­тер­ва­лах вре­ме­ни
ско­рость ав­то­мо­би­ля
ме­ня­ет­ся рав­но­мер­но,
сле­до­ва­тель­но уско­ре­ние
на каж­дом ин­тер­ва­ле
по­сто­ян­но. Все ис­сле­ду­е­мые
ин­тер­ва­лы оди­на­ко­вы
по дли­тель­но­сти, по­это­му
мак­си­маль­но­му мо­ду­лю
уско­ре­ния со­от­вет­ству­ет
мак­си­маль­ный мо­дуль
из­ме­не­ния ско­ро­сти в
те­че­ние ин­тер­ва­ла (самый
боль­шой угол на­кло­на). Из
гра­фи­ка видно, что это ин­тер­вал
от 10 до 20 с.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

104

2

5.
За­да­ние 1 № 106.

По
гра­фи­ку за­ви­си­мо­сти
мо­ду­ля ско­ро­сти тела от
вре­ме­ни, пред­став­лен­но­го
на ри­сун­ке, опре­де­ли­те
путь, прой­ден­ный телом от мо­мен­та
вре­ме­ни 0 с до мо­мен­та
вре­ме­ни 2 с.

 

1)
1 м

2)
2 м

3)
3 м

4)
4 м

 

Ре­ше­ние.

Для
того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля
ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный
телом за не­ко­то­рый ин­тер­вал
вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо
вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью
гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей
этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни
(в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния
ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по
осям ко­ор­ди­нат). В ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 0 С до 2 с ав­то­мо­биль
про­шел путь

.

При­ме­ча­ние:
В прин­ци­пе, ин­те­ре­су­ю­щий
нас уча­сток (от 0 до 2 с) не обя­за­тель­но
раз­би­вать на два, пло­щадь под
гра­фи­ком можно по­счи­тать,
как пло­щадь тра­пе­ции:

.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

106

3

6.
За­да­ние 1 № 107.

На ри­сун­ке пред­став­лен
гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля
ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля
от вре­ме­ни. Опре­де­ли­те по
гра­фи­ку путь, прой­ден­ный
ав­то­мо­би­лем в ин­тер­ва­ле
от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до
мо­мен­та вре­ме­ни 5 с после
на­ча­ла от­сче­та вре­ме­ни.

 

 

1)
6 м

2)
15 м

3)
17 м

4)
23 м

Ре­ше­ние.

Для
того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля
ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный
ав­то­мо­би­лем за не­ко­то­рый
ин­тер­вал вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо
вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью
гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей
этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни
(в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния
ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по
осям ко­ор­ди­нат). В ин­тер­ва­ле
от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до
мо­мен­та вре­ме­ни 5 с после
на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­биль
про­шел путь

 

.

Дру­гой
спо­соб ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся
в ана­ли­зе каж­до­го участ­ка
гра­фи­ка в от­дель­но­сти,
опре­де­ле­ния из гра­фи­ка
на­чаль­ных ско­ро­стей и
уско­ре­ний на каж­дом этапе и
ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных
ки­не­ма­ти­че­ских фор­мул
для пути.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

107

3

7.
За­да­ние 1 № 108.

На ри­сун­ке пред­став­лен
гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

Какой
путь прой­ден телом за вто­рую
се­кун­ду?

 

1)
0 м

2)
1 м

3)
2 м

4)
3 м

Ре­ше­ние.

Для
того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля
ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный
телом за не­ко­то­рый ин­тер­вал
вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо
вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью
гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей
этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни
(в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния
ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по
осям ко­ор­ди­нат). За вто­рую
се­кун­ду ав­то­мо­биль про­шел
путь

 

.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

108

3

8.
За­да­ние 1 № 109.

На ри­сун­ке пред­став­лен
гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

Най­ди­те
путь, прой­ден­ный телом за время
от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до
мо­мен­та вре­ме­ни 5 с.

 

1)
0 м

2)
15 м

3)
20 м

4)
30 м

Ре­ше­ние.

Для
того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля
ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный
телом за не­ко­то­рый ин­тер­вал
вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо
вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью
гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей
этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни
(в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния
ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по
осям ко­ор­ди­нат). В ин­тер­ва­ле
от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до
мо­мен­та вре­ме­ни 5 с после
на­ча­ла дви­же­ния тело про­шло
путь

 

.

Дру­гой
спо­соб ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся
в ана­ли­зе каж­до­го участ­ка
гра­фи­ка в от­дель­но­сти,
опре­де­ле­ния из гра­фи­ка
на­чаль­ных ско­ро­стей и
уско­ре­ний на каж­дом этапе и
ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных
ки­не­ма­ти­че­ских фор­мул
для пути.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

109

3

9.
За­да­ние 1 № 110.

На ри­сун­ке пред­став­лен
гра­фик за­ви­си­мо­сти пути
от вре­ме­ни.

 

Опре­де­ли­те
по гра­фи­ку ско­рость дви­же­ния
ве­ло­си­пе­ди­ста в ин­тер­ва­ле
от мо­мен­та вре­ме­ни 1 с до
мо­мен­та вре­ме­ни 3 с после
на­ча­ла дви­же­ния.

 

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
от мо­мен­та вре­ме­ни 1 с до
мо­мен­та вре­ме­ни 3 с после
на­ча­ла дви­же­ния путь
ве­ло­си­пе­ди­ста не
из­ме­нял­ся. Сле­до­ва­тель­но
на этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни
ве­ло­си­пе­дист не дви­гал­ся,
его ско­рость была равна нулю.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

110

1

10.
За­да­ние 1 № 116.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком гра­фи­ке пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 10 до
20 с?

 

 

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 10 до 20 с про­ек­ция
ско­ро­сти тела не из­ме­ня­лась,
а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния
была равна нулю. Про­ек­ция уско­ре­ния
тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни
пред­став­ле­на на гра­фи­ке
2.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

116

2

11.
За­да­ние 1 № 117.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 0 до
6 с?

 

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что уско­ре­ние
в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 0
с до 10 с по­сто­ян­но. Зна­чит,
на этом ин­тер­ва­ле ве­ре­ме­ни
уско­ре­ние такое же, как и на
ин­тер­ва­ле от 0 с до 6 с. Найдём
это уско­ре­ние:

 

.

 

Про­ек­ция
уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни пред­став­ле­на на
гра­фи­ке 1.

 

Ответ:
1.

Ответ:
1

117

1

12.
За­да­ние 1 № 118.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 20 до
26 с?

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 20 до 26 с про­ек­ция
ско­ро­сти тела убы­ва­ла
ли­ней­но со вре­ме­нем, а зна­чит,
про­ек­ция уско­ре­ния была
по­сто­ян­на и рав­ня­лась

.

Про­ек­ция
уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни пред­став­ле­на на
гра­фи­ке 3.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

118

3

13.
За­да­ние 1 № 119.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 54 до
60 с?

 

 

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 54 до 60 с про­ек­ция
ско­ро­сти тела не из­ме­ня­лась,
а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния
была равна нулю. Про­ек­ция уско­ре­ния
тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни
пред­став­ле­на на гра­фи­ке
2.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

119

2

14.
За­да­ние 1 № 120.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 42 до
48 с?

 

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 42 до 48 с (и даже на более
боль­шом ин­тер­ва­ле от 40 с до
50 с) про­ек­ция ско­ро­сти тела
воз­рас­та­ла ли­ней­но со
вре­ме­нем, а зна­чит, про­ек­ция
уско­ре­ния была по­сто­ян­на
и рав­ня­лась

.

Про­ек­ция
уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни пред­став­ле­на на
гра­фи­ке 4.

Пра­виль­ный
ответ: 4.

 

Ответ:
4

120

4

15.
За­да­ние 1 № 121.

На ри­сун­ке пред­став­лен
гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля
ско­ро­сти
ав­то­мо­би­ля
от вре­ме­ни t.

 

Най­ди­те
путь, прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем
за 5 c.

 

1)
0 м

2)
20 м

3)
30 м

4)
35 м

Ре­ше­ние.

Для
того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля
ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный
телом, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить
пло­щадь под гра­фи­ком (в еди­ни­цах
про­из­ве­де­ния ве­ли­чин,
от­ло­жен­ных по осям ко­ор­ди­нат).
За 5 c ав­то­мо­биль про­шел
путь

.

Дру­гой
спо­соб ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся
в ана­ли­зе каж­до­го участ­ка
гра­фи­ка в от­дель­но­сти,
опре­де­ле­ния из гра­фи­ка
на­чаль­ных ско­ро­стей и
уско­ре­ний на каж­дом этапе и
ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных
ки­не­ма­ти­че­ских фор­мул
для пути.

Пра­виль­ный
ответ: 4.

Ответ:
4

121

4

16.
За­да­ние 1 № 122.

Ав­то­мо­биль дви­жет­ся по
пря­мой улице. На гра­фи­ке
пред­став­ле­на за­ви­си­мость
его ско­ро­сти от вре­ме­ни.

 

На
каком ин­тер­ва­ле вре­ме­ни
мо­дуль уско­ре­ния ав­то­мо­би­ля
мак­си­ма­лен?

 

1)
от 0 с до 10 с

2)
от 10 с до 20 с

3)
от 20 с до 30 с

4)
от 30 с до 40 с

Ре­ше­ние.

На
всех рас­смат­ри­ва­е­мых
ин­тер­ва­лах вре­ме­ни
ско­рость ав­то­мо­би­ля
ме­ня­ет­ся рав­но­мер­но,
сле­до­ва­тель­но, уско­ре­ние
на каж­дом ин­тер­ва­ле
по­сто­ян­но. Все ис­сле­ду­е­мые
ин­тер­ва­лы оди­на­ко­вы
по дли­тель­но­сти, по­это­му
мак­си­маль­но­му мо­ду­лю
уско­ре­ния со­от­вет­ству­ет
мак­си­маль­ный мо­дуль
из­ме­не­ния ско­ро­сти в
те­че­ние ин­тер­ва­ла:
.
Из гра­фи­ка видно, что это ин­тер­вал
от 20 до 30 с


этом слу­чае
,
на дру­гих ин­тер­ва­лах
мень­ше).

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

122

3

17.
За­да­ние 1 № 128.

Тело дви­жет­ся по оси Ox.
На гра­фи­ке по­ка­за­на
за­ви­си­мость про­ек­ции
ско­ро­сти тела на ось Ox
от вре­ме­ни.

 

Каков
путь, прой­ден­ный телом к мо­мен­ту
вре­ме­ни

 

1)
6 м

2)
8 м

3)
4 м

4)
5 м

Ре­ше­ние.

На
про­тя­же­нии всего ин­тер­ва­ла
вре­ме­ни про­ек­ция ско­ро­сти
тела на ось Ox
по­ло­жи­тель­на. По­это­му,
для того чтобы найти путь, прой­ден­ный
телом, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить
пло­щадь под гра­фи­ком (в еди­ни­цах
про­из­ве­де­ния ве­ли­чин,
от­ло­жен­ных по осям ко­ор­ди­нат).
К мо­мен­ту вре­ме­ни
тело
про­шло путь

.

Дру­гой
спо­соб ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся
в ана­ли­зе каж­до­го участ­ка
гра­фи­ка в от­дель­но­сти,
опре­де­ле­ния из гра­фи­ка
на­чаль­ных ско­ро­стей и
уско­ре­ний на каж­дом этапе и
ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных
ки­не­ма­ти­че­ских фор­мул
для пути.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

128

1

18.
За­да­ние 1 № 130.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела
от
вре­ме­ни.

 

С
каким из гра­фи­ков сов­па­да­ет
гра­фик за­ви­си­мо­сти от
вре­ме­ни про­ек­ции уско­ре­ния
этого тела
в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 10 до
15 с?

 

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 10 до 15 с про­ек­ция
ско­ро­сти тела воз­рас­та­ла
ли­ней­но со вре­ме­нем, а зна­чит,
про­ек­ция уско­ре­ния была
по­сто­ян­на и рав­ня­лась

.

Про­ек­ция
уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни пред­став­ле­на на
гра­фи­ке 3.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

130

3

19.
За­да­ние 1 № 132.

Ав­то­мо­биль дви­жет­ся
пря­мо­ли­ней­но. На гра­фи­ке
пред­став­ле­на за­ви­си­мость
ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля
от вре­ме­ни.

 

На
каком ин­тер­ва­ле вре­ме­ни
мо­дуль его уско­ре­ния ми­ни­ма­лен?

 

1)
от 0 до 10 с

2)
от 10 с до 20 с

3)
от 20 с до 30 с

4)
от 30 до 40 с

Ре­ше­ние.

На
всех рас­смат­ри­ва­е­мых
ин­тер­ва­лах вре­ме­ни
ско­рость ав­то­мо­би­ля
ме­ня­ет­ся рав­но­мер­но,
сле­до­ва­тель­но уско­ре­ние
на каж­дом ин­тер­ва­ле
по­сто­ян­но. Все ис­сле­ду­е­мые
ин­тер­ва­лы оди­на­ко­вы
по дли­тель­но­сти, по­это­му
ми­ни­маль­но­му мо­ду­лю
уско­ре­ния со­от­вет­ству­ет
ми­ни­маль­ный мо­дуль из­ме­не­ния
ско­ро­сти в те­че­ние ин­тер­ва­ла.
Из гра­фи­ка видно, что это ин­тер­вал
от 0 до 10 с.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

132

1

20.
За­да­ние 1 № 136.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 24 до
30 с?

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 24 до 30 с про­ек­ция
ско­ро­сти тела убы­ва­ла
ли­ней­но со вре­ме­нем, а зна­чит,
про­ек­ция уско­ре­ния была
по­сто­ян­на и рав­ня­лась

.

Про­ек­ция
уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни пред­став­ле­на на
гра­фи­ке 3.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

136

3

21.
За­да­ние 1 № 137.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 4 до
10 с?

 

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 0 до 6 с про­ек­ция
ско­ро­сти тела воз­рас­та­ла
ли­ней­но со вре­ме­нем, а зна­чит,
про­ек­ция уско­ре­ния была
по­сто­ян­на и рав­ня­лась

.

Про­ек­ция
уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни пред­став­ле­на на
гра­фи­ке 1.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

137

1

22.
За­да­ние 1 № 138.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

 

На
каком гра­фи­ке пред­став­ле­на
про­ек­ция уско­ре­ния тела в
ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 30 до
40 с?

 

 

1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле
вре­ме­ни от 30 до 40 с про­ек­ция
ско­ро­сти тела не из­ме­ня­лась,
а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния
была равна нулю. Про­ек­ция уско­ре­ния
тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни
пред­став­ле­на на гра­фи­ке
2.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

138

2

23.
За­да­ние 1 № 140.

Тело на­чи­на­ет дви­гать­ся
из на­ча­ла ко­ор­ди­нат вдоль
оси Ox,
при­чем про­ек­ция ско­ро­сти
ме­ня­ет­ся
с те­че­ни­ем вре­ме­ни по
за­ко­ну, при­ве­ден­но­му
на гра­фи­ке.

 

Чему
будет равна про­ек­ция уско­ре­ния
тела
через
2 c?

 

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что про­ек­ция
ско­ро­сти тела воз­рас­та­ла
со вре­ме­нем по ли­ней­но­му
за­ко­ну, это озна­ча­ет, что
тело дви­га­лось с по­сто­ян­ным
уско­ре­ни­ем вдоль оси Ox.
Таким об­ра­зом, про­ек­ция
уско­ре­ния тела через 2 c равна

 

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

140

2

24.
За­да­ние 1 № 3323.

На
гра­фи­ке при­ве­де­на
за­ви­си­мость ско­ро­сти
пря­мо­ли­ней­но­го дви­жу­ще­го­ся
тела от вре­ме­ни. Опре­де­ли­те
мо­дуль уско­ре­ния тела.

 

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Из
гра­фи­ка видно, что ско­рость
тела за­ви­сит ли­ней­но от
вре­ме­ни, а зна­чит, его уско­ре­ние
по­сто­ян­но. Для опре­де­ле­ния
мо­ду­ля уско­ре­ния можно взять
любые две точки на гра­фи­ке:
.

 

Ответ:
1.

Ответ:
1

3323

1

25.
За­да­ние 1 № 3324.

Тело
дви­жет­ся по оси х. По гра­фи­ку
за­ви­си­мо­сти про­ек­ции
ско­ро­сти тела
от
вре­ме­ни t уста­но­ви­те, какой
путь про­шло тело за время от
до
.

 

1)
10 м

2)
15 м

3)
45 м

4)
20 м

Ре­ше­ние.

Не­об­хо­ди­мо
раз­ли­чать два по­ня­тия: путь
и пе­ре­ме­ще­ние. Путь —
ве­ли­чи­на стро­го по­ло­жи­тель­ная,
это длина прой­ден­но­го телом
участ­ка тра­ек­то­рии. Под
пе­ре­ме­ще­ни­ем же тела
по­ни­ма­ет­ся из­ме­не­ние
его ко­ор­ди­на­ты, пе­ре­ме­ще­ние
может быть от­ри­ца­тель­ным.
Прой­ден­ный телом путь опре­де­ля­ет­ся
за­ви­си­мо­стью от вре­ме­ни
мо­ду­ля ско­ро­сти. Чтобы из
гра­фи­ка за­ви­си­мо­сти
про­ек­ции ско­ро­сти тела от
вре­ме­ни по­лу­чить гра­фик
мо­ду­ля ско­ро­сти, не­об­хо­ди­мо
зер­каль­но от­ра­зить
от­но­си­тель­но го­ри­зон­таль­но
оси все от­ри­ца­тель­ные
участ­ки. В дан­ной за­да­че это
не столь прин­ци­пи­аль­но,
по­сколь­ку на рас­смат­ри­ва­ем
ин­тер­ва­ле от
до
про­ек­ция
ско­ро­сти тела оста­ет­ся
по­ло­жи­тель­ной, но в общем
слу­чае это может при­ве­сти к
не­же­ла­тель­ной ошиб­ке.

Тема «Кинематика». Задачи с графиками.

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ
1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По графику зависимости модуля
скорости тела от времени, представленного на рисунке, определите путь,
пройденный телом от момента времени 0 с до момента времени 2 с. (Ответ дайте в
метрах.)

 

                                                    


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ
2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По графику зависимости модуля
скорости тела от времени, представленного на рисунке, определите путь,
пройденный телом от момента времени 0 с до момента времени 5 с. (Ответ дайте в
метрах.)

 

 

 

                                                                                


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ
3

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке представлен график
зависимости модуля скорости тела от времени.

Найдите путь, пройденный телом за
время от момента времени 0 с до момента времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)

 

 

 

 

 

                             


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ
4

 

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке представлен график
зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Найдите путь,
пройденный автомобилем за 5 c. (Ответ дайте в метрах.)

 

 

 

 

                               


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ
5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тело движется по оси Ox. На графике
показана зависимость проекции скорости тела на ось Ox от времени. Каков путь,
пройденный телом к моменту времени t = 4 с? (Ответ дайте в метрах.)

 

 

 


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ
6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке представлен график
зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по
графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от 30 до 50 с после
начала движения. (Ответ дайте в метрах.)

 

 

                                               


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ
7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке представлен график
зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику
путь, пройденный автомобилем в интервале времени от 0 до 30 с после начала
движения. (Ответ дайте в метрах.)


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечное тело движется вдоль горизонтальной
оси Ох. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости υx
этого тела от времени t. Определите путь, пройденный телом за интервал времени
от 0 с до 4 с. Ответ выразите в метрах.

 

 

                                                        


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечное тело движется вдоль
горизонтальной оси Ох. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости
υx этого тела от времени t. Определите путь, пройденный телом
за интервал времени от 2 с до 6 с. Ответ выразите в метрах.


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечное тело движется вдоль
горизонтальной оси Ох. На рисунке представлен график зависимости
проекции скорости υx этого тела от времени t. Определите путь,
пройденный телом за интервал времени от 0 с до 4 с. Ответ выразите в метрах.


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 11

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечное тело движется вдоль
горизонтальной оси Ох. На рисунке представлен график зависимости
проекции скорости υx этого тела от времени t. Определите путь,
пройденный телом за интервал времени от 4 с до 7 с. Ответ выразите в метрах.


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 12

 

 

 

Точечное тело движется вдоль
горизонтальной оси Ох. На рисунке представлен график зависимости
проекции скорости υx этого тела от времени t. Определите путь,
пройденный телом за интервал времени от 0 с до 6 с. Ответ выразите в метрах.

 


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 13

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечное тело движется вдоль
горизонтальной оси Ох. На рисунке представлен график зависимости
проекции скорости υx этого тела от времени t. Определите путь,
пройденный телом за интервал времени от 0 с до 10 с. Ответ выразите в метрах.

 


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 14

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечное тело движется вдоль
горизонтальной оси Ох. На рисунке представлен график зависимости
проекции скорости υx этого тела от времени t. Определите путь,
пройденный телом за интервал времени от 5 с до 20 с. Ответ выразите в метрах.

 


 

ТЕМА:
«КИНЕМАТИКА»

ЗАДАНИЕ:
АНАЛИЗ ГРАФИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

ВАРИАНТ 15

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечное тело движется вдоль
горизонтальной оси Ох. На рисунке представлен график зависимости
проекции скорости υx этого тела от времени t. Определите путь,
пройденный телом за интервал времени от 1 с до 5 с. Ответ выразите в метрах.

 


 

Тест для 10 класса «Кинематика»

ФИЗИКА 10 КЛАСС

Административная контрольная работа

Вариант — №1

А1. В каком случае тело можно считать материальной точкой?

А) если надо рассчитать период обращения ИСЗ вокруг Земли;

Б) если надо рассчитать Архимедову силу, действующую на тело.

В) оба случая правильные

А2. Какая из величин скалярная?

А) масса; Б) скорость; В) ускорение; Г) путь.

А3. В каком случае движение тела равномерное?

А). поезд в метро движется по прямолинейному пути. Он прибывает на станцию и отправляется от нее через одинаковые промежутки времени;

Б). спутник движется по окружности вокруг Земли и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния.

В1. Скорость первого автомобиля относительно второго 30 км/ч, а относительно Земли 120 км/ч. Скорость второго автомобиля относительно Земли ____________ км/ч. (Автомобили движутся в одном направлении.)

С1. Дан график зависимости скорости от времени. Определите путь, пройденный телом за 3 секунды.

υ,м/с

15

10

5

1 2 3 t, с

С2. Стрела выпущена из лука вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Рассчитайте максимальную высоту подъема стрелы.

С3. Мотоциклист совершает поворот по круговой траектории радиусом 50 м с постоянной по модулю скоростью 10 м/с. Каково ускорение и угловая скорость мотоциклиста?

ФИЗИКА 10 КЛАСС

Административная контрольная работа

Вариант — №2

А1..Что образует систему отсчета?

А) Тело

Б) Система координат

В) Часы

Г) Тело отсчета, система координат, часы

А2.Какая из величин векторная?

А) время; Б) скорость; В) ускорение; Г) путь.

А3.В каком случае движение тела равномерное?

А) автобус движется по прямолинейному пути. Он прибывает к остановке через одинаковые промежутки времени и через равные интервалы отбывает от них;

Б) автомобиль движется по извилистой дороге и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния.

В1. По прямой дороге в одну сторону движутся легковой и грузовой автомобили со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч соответственно. Скорость грузового автомобиля относительно легкового_______ км/ч.

С1. Дан график зависимости скорости от времени. Определите путь пройденный телом за 3 секунды.

υ, м/с

6

4

2

1 2 3 t, с

С2. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30м/с. Какова максимальная высота подьема тела?

С3. Трамвайный вагон движется на повороте по закруглению радиусом 40м. Рассчитайте линейную и угловую скорость трамвая, если центростремительное ускорение равно 0,4 м/с2.

ФИЗИКА 10 КЛАСС

Административная контрольная работа

Вариант — №3

А1. Какие из перечисленных величин являются скалярными?

А. Путь; Б. Перемещение; В. Скорость; Г. Ускорение.

А2. Какое из уравнений описывает равноускоренное движение?

А.

Б. В. Г.

А3. В каком из следующих случаев движение тела можно рассматривать как движение материальной точки?

А. Вращение детали, обрабатываемой на токарном станке;

Б. Движение поезда по мосту;

В. Движение фигуриста на льду;

Г. Полет самолета, совершающего рейс Минск – Москва.

В1. Скорость движения теплохода вниз по реке 21 км/ч, а вверх — 17 км/ч. Скорость течения воды в реке _______ км/ч, собственная скорость теплохода ________ км/ч.

С1. По заданному графику зависимости скорости от времени определите путь, пройденный телом за 4 секунды.

С2. Рассчитайте время и скорость свободного падения тела с высоты 20 м.

С3. Каковы центростремительное ускорение и угловая скорость поезда, движущегося по закруглению радиусом 800 м со скоростью 20м/с. ?

ФИЗИКА 10 КЛАСС

Административная контрольная работа

Вариант — №4

А1. Какое из уравнений описывает равномерное движение?

А.

Б. В. Г.

А2. Что называется перемещением?

А. Путь, который проходит тело;

Б. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории движения тела за данный промежуток времени;

В. Длина траектории движения;

Г. Путь, который проходит тело за единицу времени.

А3. Основная задача кинематики …

А. … установить причины движения тел;

Б. … изучить условия равновесия тел;

В. … определить положение тел в пространстве в любой момент времени.

Г. … определить скорость движения.

В1. Скорость течения реки 4 км/ч. Моторная лодка идет по течению со скоростью 15 км/ч (относительно воды). Со скоростью ________ км/ч она будет двигаться против течения (относительно берега).

С1. По графику зависимости модуля скорости от времени определите путь, пройденный телом за 2 секунды.

С2. Мяч упал на землю с высоты 80 м. Определите, сколько времени мяч находился в полете и с какой скоростью упал на землю.

С3. Период обращения платформы карусельного станка 4с. Найдите линейную и угловую скорость крайних точек платформы, удаленных от оси вращения на 2м.

Физика 10 класс

Административная контрольная работа по теме:

«Основы кинематики»

Цель: проверить усвоение знаний учащихся по кинематике.

П-и: понятия материальна точка, движение равномерное и неравномерное, прямолинейное, криволинейное,

формулы скорости, ускорения, перемещения, обозначение этих величин, их размерность.

Д-к: уметь читать графики, выражать неизвестные величины через известные

Ц-о: рационально распределять свое время, самооценка и саморазвитие уровня интеллектуальных способностей.

Задание

Количество баллов

Оценка

А1 теория «Механическое движение»

1 б

20-18 б — «5»

17-13 б — «4»

12-8 б — «3»

менее 8б — «2»

А2 теория «Механическое движение»

1 б

А3 теория «Механическое движение»

1 б

В1 Закон сложения скоростей

2 б

С1 Равноускоренное движение

С2 Свободное падение тел

С3 Равномерное движение по окружности

Ответы:

В-1

В-2

В-3

В-4

А1

А

Г

А

Б

А2

А

Б. В

Г

Б

А3

Б

Б

Г

В

В1

90км/ч

-18км/ч

2км/ч, 19 км/ч

11 км/ч

С1

а=-3,3м/с2

s=15м

а=-1,3м/с2

s=6 м

А=-3 м/с2

s=24м

А= 0,5 м/с2

s=1м

С2

t=2c

h=20м

t=3c

h=45м

t=2c

v=20м/c

t=4c

v=40м/c

С3

а=2м/с2

ω=0,2 рад/с

v=4м/с

ω=0,1 рад/с

а=0,5 м/с2

ω=0,025 рад/с

V=3,14 м/с

ω=1,57 рад/с

По графику зависимости пути равномерного движения тела.

Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков. Прямолинейное равноускоренное движение

Познакомимся подробнее с самым наглядным способом описания движения — графическим — на примере равномерного прямолинейного движения.

График модуля скорости

При равномерном прямолинейном движении скорость v x = const. Следовательно, и ее модуль v = const, т. е. не изменяется с течением времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени 1 является прямая АВ, параллельная оси времени и расположенная выше этой оси, так как v > О (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Площадь прямоугольника ОАВС, заштрихованного на рисунке, численно равна пути, пройденному телом за время t. Ведь сторона ОА в определенном масштабе есть модуль скорости v, а сторона ОС — время движения t, поэтому s = vt.

График скорости

В отличие от модуля скорости скорость, определяемая выражением (1.4.1), может быть положительной или отрицательной. Поэтому графиком зависимости скорости v x от времени t может быть либо прямая ВС, либо прямая KF (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Обе прямые параллельны оси времени. Прямая ВС соответствует положительному значению скорости (v 1x > 0), а прямая KF — отрицательному значению (v 2x

Площади прямоугольников OBCD и OEFK, заштрихованных на рисунке, численно равны соответствующим изменениям координат движущихся тел за время их движения. Так как v 1x > О, то изменение координаты первого тела Аx 1 = v 1x t 1 положительно. Поэтому и площади прямоугольника OBCD приписывается положительный знак. Скорость движения второго тела отрицательна: v 2x

График пути

При равномерном прямолинейном движении путь прямо пропорционален времени, так как модуль скорости v = const: s = vt. Следовательно, графиком, выражающим зависимость пути от времени, является прямая, выходящая из начала координат (s(0) = 0). Помните, что путь не бывает отрицательным и не может уменьшаться в процессе движения. Чем больше модуль скорости, тем больший угол образует график с осью времени.

На рисунке 1.11 представлены графики пути 1 и 2 для двух движущихся тел. Так как за 2 с первое тело прошло путь 1 м, то модуль скорости первого тела равен v 1 = 0,5 м/с.

Рис. 1.11

Модуль скорости второго тела равен v 2 = 2 м/с, так как за 1 с тело прошло путь 2 м.

Для того чтобы по графику зависимости пути от времени определить путь, пройденный телом за определенный промежуток времени, надо из точки на оси времени, соответствующей концу промежутка, восставить перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из этой точки опустить перпендикуляр на ось s. Точка пересечения его с этой осью и будет значением пути в данный момент времени.

График координаты

Так как координата при равномерном прямолинейном движении является линейной функцией времени х = х 0 + v x t, то график зависимости координаты от времени представляет собой прямую линию.

На рисунке 1.12 приведены графики зависимости координаты от времени для трех случаев. Прямая 1 соответствует случаю движения при x 01 = 0, v 1x > 0; прямая 2 — случаю, когда х 02 0; а прямая 3 — случаю, когда х 03 > 0, v 3x

Рис. 1.12

Посмотрим, какие сведения можно извлечь из графика АВ равномерного движения тела (рис. 1.13).

Рис. 1.13

В начальный момент времени (t 0 = 0) тело имело координату х 0 = 3 м, в момент времени t 1 = 6 c координата тела х 1 = 0, т. е. оно находилось в начале координат, а в момент времени t 2 = 9 с тело находилось на оси X в точке с координатой х 2 = -1,5 м. Все это время тело двигалось противоположно положительному направлению оси X.

Скорость тела равна v x = = -0,5 м/с, а модуль скорости v = 0,5 м/с.

Обратите внимание на то, что по графику зависимости x(t) можно судить о «прошлом» в движении тела, т. е. можно находить положения тела до начала отсчета времени при условии, что и до этого момента тело двигалось равномерно и прямолинейно с той же скоростью. Моменты времени до начала отсчета считаются отрицательными. Согласно рисунку 1.13 за 3 с до начала отсчета времени тело имело координату 4,5 м.

1 В дальнейшем для краткости мы будем часто говорить: «график модуля скорости», «график проекции скорости» и т. д.

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций . Обозначают

Графики равномерного движения

Зависимость ускорения от времени
. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) — прямая линия, которая лежит на оси времени.

Зависимость скорости от времени.
Скорость со временем не изменяется, график v(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Численное значение перемещения (пути) — это площадь прямоугольника под графиком скорости.

Зависимость пути от времени.
График s(t) — наклонная линия.

Правило определения скорости по графику s(t):
Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.

Графики равноускоренного движения

Зависимость ускорения от времени.
Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени
. При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости . В координатах . Графиком является наклонная линия.

Правило определения пути по графику v(t):
Путь тела — это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t):
Ускорение тела — это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени.
При равноускоренном движении путь изменяется, согласно

Если
траектория движения точки известна, то зависимость пути , пройденного точкой, от
истекшего промежутка времени дает полное описание этого движения.
Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде
формулы (9.2). Связь между и для отдельных моментов времени можно
задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка
времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого
равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид . Составим таблицу
пути и времени такого движения:

Зависимость
одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или
таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения
переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости
пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем
две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат; одну из них (ось абсцисс)
назовем осью времени, а другую (ось ординат) — осью пути. Выберем масштабы для
изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за
начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения
времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для
«привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из
соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к
осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим
величинам: пути и
моменту ,
— этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и
для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой
такой пары значений время — путь одну точку на графике. На рис. 18 выполнено
такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы
такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных
точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и
называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.

Рис.
18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с

Рис.
19. К упражнению 12.1

В нашем случае
график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути
равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график
зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.

Повторяя
построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей
скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости
(рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче
прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.

Рис.
20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с

Рис.
21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе

Наклон графика
зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора
масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает
зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и
имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков
можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.

С помощью
графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис.
18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить
следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5
с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем
(штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графиках,
описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси
ординат вместо пути координату движущейся точки. Такое
описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать
направление движения по отношению к оси . Кроме того, приняв начало отсчета
времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени,
которые следует считать отрицательными.

Рис.
22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных
положениях движущейся точки

Рис.
23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями

Например, на
рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью
4 м/с (т. е. в направлении оси ), причем в начальный момент
движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Для сравнения на том же рисунке
дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в
начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой (прямая II).
Прямая. III соответствует случаю, когда в момент движущаяся точка находилась в точке
с координатой м.
Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела
координату в
момент с.

Мы видим, что
наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости
движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального
положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси вверх или вниз на
соответственное расстояние.

Графики
движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении,
противоположном направлению оси ), показаны на рис. 23. Они
представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата точки с течением
времени уменьшается., имела координаты

Графики пути
можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение
определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой
скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и
т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в
течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа — со
скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа — со скоростью 15 км/ч.

Задание:

12.8.
Постройте график пути для движения, в котором за последовательные
часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно
суммарное перемещение тела?

страница 1


Модуль

Вариант 1


Решение задач по теме «Графики пути и скорости при равномерном движении»

Цель модуля
. ОЗНАКОМИТЬСЯ с решениями простейших задач по данной теме.

УМЕТЬ применять теоретические знания при решении задач по данной теме.

УМЕТЬ применять теоретические знания при решении задач в нестандартных условиях.

Учебный материал

Ответьте на вопросы:

  1. Какое движение называют равномерным?
  2. Что такое скорость?
  3. Какова формула скорости при равномерном прямолинейном движении?
  4. В каких единицах измеряется скорость?
  5. Что представляет уравнение равномерного прямолинейного движения?
  6. Как из уравнения движения найти время движения тела?
  7. Уравнение движения имеет вид s = 2,5t (м). Какую информацию мы можем извлечь из этой записи?

Р
ешите задачи:

З
адача 1.

По графику пути (рис. 3) определите скорость движения тела.

Задача 2.

По графику скорости (рис. 4) определите путь, пройденный телом за 6 с. Как представить числовое значение пути, используя график скорости?

З
адача 3.

Скорость тела 20 м/с. Постройте график зависимости скорости от времени. Единицы масштаба выберите самостоятельно.

З

5 см

адача 4.

Д
вигаясь прямолинейно и равномерно автомобиль проехал 240 км за 3 часа. Постройте график зависимости пути от времени. Вычислите скорость автомобиля и постройте график зависимости скорости от времени.

Задача 5.

Какова скорость катера, график движения которого представлен на рис. 5?

Задача 6.

По графикам движений тел (рис. 6) можно утверждать, что:

а) тела движутся по горкам разных наклонов;

б) что скорости обоих тел одинаковы;

в
) скорость первого тела в 2,5 раза меньше скорости второго тела;

г) скорость первого тела в 2,5 раза больше скорости второго тела.

Постройте графики скорости движения тел.

Задача 7.

Двигаясь с постоянными скоростями, пешеход прошел 5,4 км за час, а велосипедист 200 м проехал за 20 с. Постройте в одной системе координат: а) графики скорости названных тел; б) графики пути за 20 с движения.

Задача 8.

Н
а рисунке 7 представлены графики зависимости пути трех тел от времени. Как двигались эти тела? Определите скорости движения каждого тела, постройте графики зависимости скорости υ 1 , υ 2 , υ 3 тел от времени.

Задача 9.

На рисунке 8 представлен график зависимости пути от времени. Как двигалось тело в течение времени движения? Определите путь s, пройденный телом, и скорости υ
1 , υ 2 , υ 3 тела на всех участках движения.

Задача 10.

Используя график скорости движения тела (рис. 9), можно утверждать, что путь s 1 , пройденный за первые три секунды, и путь s 2 , пройденный за три последние секунды, связаны отношением:

а) s 2 = 0,5s 1 ;

б) s 2 = 1,5s 1 ;

г) s 2 = 3s 1 .

Задача 11.

Упрощенный график скорости υ движения автомобиля приведен на рисунке 10. Охарактеризуйте движение автомобиля. Какие пути пройдены автомобилем на каждом участке движения? Какие детали графика опущены?

Задача 12.

Используя график скорости движения тела (рис. 11), можно доказать, что половина всего пути будет пройдена телом:

а) к концу 10-й секунды;

б) к концу 13-й секунды;

в) к концу 18-й секунды;

г) к концу 20-й секунды.

  1. 12 м;
  2. 9 м;
  3. 6 м;
  4. 3 м.
  1. По графику (рис. 12) определите скорость движения в момент времени 3 с от начала движения.
  1. 27 м/с;
  2. 12 м/с;
  3. 3 м/с;
  4. 0 м/с.

Наука никогда не решает вопроса, не поставив при этом десятка новых.

Джорж Бернард Шоу

ЛИСТ КОНТРОЛЯ


Учебный элемент


Ответ


Баллы


Результат


Решение задач

1. v =
10 м/с

2. s
= 30 м

,

5. v

333,3 м/мин ≈5,5м/с

9. s
=
54 м, v
1
=
3 м/с,

v
2
= 0
м/с,
v
3
= 6
м/с,
v
4
= 0
м/с

11. s
1
=
50 м – равномерн.,

s
2
= 7
5 м – равномерн.,

s
3
=
0 м –не двигался,

s
4
= 38
м – не равномерн.


2

4

5

5

8


Поставьте себе итоговую оценку:

37-71 балла – «отлично»

17-36 балла – «хорошо»;

6-16 баллов – «зачет»;

≤5 баллов – «незачет».

Сдайте лист контроля учителю.

ОЦЕНКА


Выходной

контроль


1. г

3. в

5. в 3 раза

2

Итого
:

71

То, что должно вознестись на самый верх, начинается в самом низу.

Гораций

Человек, который попадает в цель, — талант; человек, который попадает в цель невидимую, — гений.

Артур Шопенгауэр

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

По графику зависимости модуля скорости от времени (см.рис2) определите ускорение прямолинейного движущегося тела ив момент времени t3с. Каково соответствующее уравнение проекции перемещения тела?

Контрольная работа№1 по теме : «Основы кинематики»
Вариант 1
Скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рис.1. Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке?
А) В)
Б) Г)направление может быть любым.
По графику зависимости модуля скорости от времени (см.рис2) определите ускорение прямолинейного движущегося тела ив момент времени t=3с.
А) 2м/с2 В)9 м/с2
Б)3 м/с2 Г)27 м/с2
По условию задачи 2 определите перемещение тела за 3с.
А)9м В)27м
Б)18м Г)36м
Уравнение зависимости проекции скорости движущегося тела от времени: Vx = 2+4t (м/с). Каково соответствующее уравнение проекции перемещения тела?
А) Sx = 2t + 3t2 В) Sx = 2t + 2t2
Б) Sx =1,5t2 Г) Sx = 3t + t2
Находящемуся на горизонтальной поверхности стола бруску сообщили скорость 5 м/с. Под действием сил трения брусок движется с ускорением 1м/с2. Чему равен путь, пройденный бруском за 6с?
А)5м Б)12м
В)12,5м Г)30м
6) Как, зная начальную и конечную скорость, ускорение, определить время?
А) t =(v/v0)/a B) t = S/v
Б) V = v0+at
_______________________________________________________________
Контрольная работа по теме : «Основы кинематики»
Вариант 2
Скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рис.1. Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке?
А) В)
Б) Г)направление может быть любым.
По графику зависимости модуля скорости от времени (см.рис2) определите ускорение прямолинейного движущегося тела ив момент времени t=2с.
А) 2м/с2 В) 7,5 м/с2
Б)5 м/с2 Г) 30 м/с2
По условию задачи 2 определите перемещение тела за 2с.
А)10м В)30м
Б)20м Г)40м
Уравнение зависимости проекции скорости движущегося тела от времени: Vx = 3+2t (м/с). Каково соответствующее уравнение проекции перемещения тела?
А) Sx = 2t + 3t2 В) Sx = 2t + 2t2
Б) Sx =1,5t2 Г) Sx = 3t + t2
Находящемуся на горизонтальной поверхности стола бруску сообщили скорость 4м/с. Под действием сил трения брусок движется с ускорением 1м/с2. Чему равен путь, пройденный бруском за 5с?
А)4м Б)7,5м
В)8м Г)20м
6) Как, зная начальную скорость тела и его ускорение, определить конечную скорость?
А) a =(v/v0)/t Б) v = s/t B) v = v0 + at
15

Приложенные файлы

  • 24313231
    Размер файла: 33 kB Загрузок: 0

6.2 Равномерное круговое движение — Физика

Задачи обучения разделу

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Описывать центростремительное ускорение и связывать его с линейным ускорением
  • Опишите центростремительную силу и свяжите ее с линейной силой
  • Решение проблем, связанных с центростремительным ускорением и центростремительной силой

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и кругов.
    • (D) вычислить влияние сил на объекты, включая закон инерции, соотношение между силой и ускорением и характер пар сил между объектами.

Кроме того, Руководство лаборатории по физике для старших классов рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Круговое и вращательное движение», а также следующие стандарты:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и кругов.

Раздел Ключевые термины

центробежная сила центростремительное ускорение центростремительная сила равномерное круговое движение

Центростремительное ускорение

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] Проверьте равномерное круговое движение.Попросите учащихся привести примеры кругового движения. Просмотрите линейное ускорение.

В предыдущем разделе мы определили круговое движение. Простейшим случаем кругового движения является равномерное круговое движение, когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью . Обратите внимание, что, в отличие от скорости, линейная скорость объекта при круговом движении постоянно меняется, потому что он всегда меняет направление. Из кинематики мы знаем, что ускорение — это изменение скорости либо по величине, либо по направлению, либо по обоим направлениям.Следовательно, объект, совершающий равномерное круговое движение, всегда ускоряется, даже если величина его скорости постоянна.

Вы сами испытываете это ускорение каждый раз, когда едете в машине на повороте. Если во время поворота удерживать рулевое колесо неподвижно и двигаться с постоянной скоростью, вы совершаете равномерное круговое движение. Вы замечаете ощущение скольжения (или отбрасывания, в зависимости от скорости) от центра поворота. На вас действует не настоящая сила — это происходит только потому, что ваше тело хочет продолжать движение по прямой (согласно первому закону Ньютона), в то время как машина сворачивает с этого прямолинейного пути.Внутри машины создается впечатление, что вас оттесняют от центра поворота. Эта фиктивная сила известна как центробежная сила. Чем резче кривая и чем выше ваша скорость, тем заметнее становится этот эффект.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Продемонстрируйте круговое движение, привязывая груз к веревке и вращая ее. Спросите студентов, что произойдет, если вы внезапно перережете веревку? В каком направлении движется объект? Почему? Что это говорит о направлении ускорения? Попросите учащихся привести примеры, когда они столкнулись с центростремительным ускорением.

На рис. 6.7 показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью. Направление мгновенной тангенциальной скорости показано в двух точках на пути. Ускорение происходит в направлении изменения скорости; в этом случае он указывает примерно на центр вращения. (Центр вращения находится в центре круговой траектории). Если мы представим, что ΔsΔs становится все меньше и меньше, тогда ускорение будет указывать точно на к центру вращения, но этот случай трудно изобразить.Мы называем ускорение объекта, движущегося в равномерном круговом движении, центростремительным ускорением a c , потому что центростремительное означает поиска центра .

Рисунок 6.7 Показаны направления скорости объекта в двух разных точках, и видно, что изменение скорости ΔvΔv указывает приблизительно на центр кривизны (см. Маленькую вставку). При очень малом значении ΔsΔs ΔvΔv указывает точно на центр круга (но это трудно изобразить).Поскольку ac = Δv / Δtac = Δv / Δt, ускорение также направлено к центру, поэтому a c называется центростремительным ускорением.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Обратите внимание на рисунок 6.7. На рисунке показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью, и направление мгновенной скорости двух точек на траектории. Ускорение происходит в направлении изменения скорости и указывает на центр вращения. Это строго верно только при стремлении ΔsΔs к нулю.

Теперь, когда мы знаем, что центростремительное ускорение направлено к центру вращения, давайте обсудим величину центростремительного ускорения. Для объекта, движущегося со скоростью по круговой траектории с радиусом , величина центростремительного ускорения составляет

.

Центростремительное ускорение больше на высоких скоростях и на крутых поворотах (меньший радиус), как вы могли заметить при вождении автомобиля, потому что автомобиль фактически толкает вас к центру поворота.Но немного удивительно, что a c пропорционально квадрату скорости. Это означает, например, что при повороте на 100 км / ч ускорение в четыре раза больше, чем при 50 км / ч.

Мы также можем выразить a c через величину угловой скорости. Подставляя v = rωv = rω в приведенное выше уравнение, мы получаем ac = (rω) 2r = rω2ac = (rω) 2r = rω2. Следовательно, величина центростремительного ускорения с точки зрения величины угловой скорости составляет

Советы для успеха

Уравнение, выраженное в форме a c = 2 , полезно для решения задач, в которых вам известна угловая скорость, а не тангенциальная скорость.

Virtual Physics

Движение божьей коровки в 2D

В этом моделировании вы экспериментируете с положением, скоростью и ускорением божьей коровки при круговом и эллиптическом движении. Переключите тип движения с линейного на круговое и наблюдайте за векторами скорости и ускорения. Затем попробуйте эллиптическое движение и обратите внимание, как векторы скорости и ускорения отличаются от векторов кругового движения.

Проверка захвата

Какой угол между ускорением и скоростью при равномерном круговом движении? Какое ускорение испытывает тело при равномерном круговом движении?

  1. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает линейное ускорение.
  2. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.
  3. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает линейное ускорение.
  4. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.

Центростремительная сила

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Используя ту же демонстрацию, что и раньше, попросите учащихся предсказать отношения между величинами угловой скорости, центростремительного ускорения, массы, центростремительной силы.Предложите студентам поэкспериментировать, используя веревки разной длины и веса.

Поскольку объект в равномерном круговом движении испытывает постоянное ускорение (за счет изменения направления), мы знаем из второго закона движения Ньютона, что на объект должна действовать постоянная чистая внешняя сила.

Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение веревки на тросе, сила притяжения Земли на Луне, трение между дорогой и шинами автомобиля при движении по кривой или нормальная сила американских горок. следите за тележкой во время петли.

Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой. Направление центростремительной силы — к центру вращения, такое же, как и для центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила вызывает ускорение массы согласно F net = м a . Для равномерного кругового движения ускорение является центростремительным: a = a c . Следовательно, величина центростремительной силы F c равна Fc = macFc = mac.

Используя две разные формы уравнения для величины центростремительного ускорения, ac = v2 / rac = v2 / r и ac = rω2ac = rω2, мы получаем два выражения, включающих величину центростремительной силы F c . Первое выражение относится к тангенциальной скорости, второе — к угловой скорости: Fc = mv2rFc = mv2r и Fc = mrω2Fc = mrω2.

Обе формы уравнения зависят от массы, скорости и радиуса круговой траектории. Вы можете использовать любое более удобное выражение для центростремительной силы.Второй закон Ньютона также гласит, что объект будет ускоряться в том же направлении, что и чистая сила. По определению центростремительная сила направлена ​​к центру вращения, поэтому объект также будет ускоряться к центру. Прямая линия, проведенная от круговой траектории к центру круга, всегда будет перпендикулярна тангенциальной скорости. Обратите внимание, что если вы решите первое выражение для r , вы получите

Из этого выражения мы видим, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть резкую кривую.

Рисунок 6.8 На этом рисунке сила трения f служит центростремительной силой F c . Центростремительная сила перпендикулярна тангенциальной скорости и вызывает равномерное круговое движение. Чем больше центростремительная сила F c , тем меньше радиус кривизны r и тем круче кривизна. Нижняя кривая имеет ту же скорость v , но большая центростремительная сила F c дает меньший радиус r’r ‘.

Watch Physics

Центростремительная сила и ускорение Intuition

В этом видео объясняется, почему центростремительная сила создает центростремительное ускорение и равномерное круговое движение. Он также охватывает разницу между скоростью и скоростью и показывает примеры равномерного кругового движения.

Поддержка учителей
Предупреждение о неправильном представлении
Поддержка учителей

Некоторые студенты могут запутаться между центростремительной силой и центробежной силой. Центробежная сила — это не реальная сила, а результат ускоряющейся системы отсчета, такой как вращающийся автомобиль или вращающаяся Земля.Центробежная сила относится к вымышленному центру , убегающему от силы .

Проверка захвата

Представьте, что вы качаете йойо по вертикальному кругу по часовой стрелке перед собой, перпендикулярно направлению, в которое вы смотрите. Если веревка порвется, когда йо-йо достигнет самого нижнего положения, ближайшего к полу. Что будет с йо-йо после разрыва струны?

  1. Йо-йо полетит внутрь в направлении центростремительной силы.
  2. Йо-йо полетит наружу в направлении центростремительной силы.
  3. Йо-йо полетит влево в направлении тангенциальной скорости.
  4. Йо-йо полетит вправо в направлении тангенциальной скорости.

Решение проблем центростремительного ускорения и центростремительной силы

Чтобы получить представление о типичных величинах центростремительного ускорения, мы проведем лабораторию по оценке центростремительного ускорения теннисной ракетки, а затем, в нашем первом рабочем примере, сравним центростремительное ускорение автомобиля, огибающего кривую, с ускорением свободного падения.Для второго рабочего примера мы вычислим силу, необходимую для поворота автомобиля на повороте.

Snap Lab

Оценка центростремительного ускорения

В этом упражнении вы будете измерять движение клюшки для гольфа или теннисной ракетки, чтобы оценить центростремительное ускорение конца клюшки или ракетки. Вы можете сделать это в замедленном режиме. Напомним, что уравнение центростремительного ускорения имеет вид ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2.

  • Одна теннисная ракетка или клюшка для гольфа
  • Один таймер
  • Одна линейка или рулетка

Порядок действий

  1. Работа с партнером.Стойте на безопасном расстоянии от вашего партнера, когда он или она размахивает клюшкой для гольфа или теннисной ракеткой.
  2. Опишите движение качелей — это равномерное круговое движение? Почему или почему нет?
  3. Постарайтесь сделать свинг как можно ближе к равномерному круговому движению. Какие корректировки нужно было внести вашему партнеру?
  4. Измерьте радиус кривизны. Что вы измерили физически?
  5. Используя таймер, найдите либо линейную, либо угловую скорость, в зависимости от того, какое уравнение вы решите использовать.
  6. Каково примерное центростремительное ускорение на основе этих измерений? Как вы думаете, насколько они точны? Почему? Как вы и ваш партнер можете сделать эти измерения более точными?
Подставка для учителя
Подставка для учителя

Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки — это радиус кривизны.Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека. Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки — это радиус кривизны. Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека.

Проверка захвата

Было ли более полезным использовать в этом упражнении уравнение ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2? Почему?

  1. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы проще.
  2. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы проще.
  3. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы затруднительно.
  4. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы затруднительно.

Рабочий пример

Сравнение центростремительного ускорения автомобиля, огибающего кривую, с ускорением под действием силы тяжести

Автомобиль следует кривой радиусом 500 м со скоростью 25,0 м / с (около 90 км / ч). Какова величина центростремительного ускорения автомобиля? Сравните центростремительное ускорение для этой довольно пологой кривой, снятой на скорости по шоссе, с ускорением свободного падения ( g ).

Стратегия

Поскольку дана линейная, а не угловая скорость, наиболее удобно использовать выражение ac = v2rac = v2r, чтобы найти величину центростремительного ускорения.

Решение

Ввод данных значений v = 25,0 м / с и r = 500 м в выражение для a c дает

ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с 2. ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с2.

Обсуждение

Для сравнения с ускорением свободного падения ( g = 9.80 м / с 2 ), берем соотношение ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128 ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128. Следовательно, ac = 0,128gac = 0,128g, что означает, что центростремительное ускорение составляет примерно одну десятую ускорения свободного падения.

Рабочий пример

Сила трения на шинах автомобиля, огибающих кривую
  1. Рассчитайте центростремительную силу, действующую на автомобиль массой 900 кг, который движется по кривой радиусом 600 м на горизонтальной поверхности со скоростью 25,0 м / с.
  2. Статическое трение предотвращает скольжение автомобиля.Найдите величину силы трения между шинами и дорогой, которая позволяет автомобилю обогнуть поворот, не соскальзывая по прямой.

Стратегия и решение для (а)

Мы знаем, что Fc = mv2rFc = mv2r. Следовательно,

Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н. Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н.

Стратегия и решение для (b)

На изображении выше показаны силы, действующие на автомобиль при повороте кривой. На этой диаграмме автомобиль движется по странице, как показано, и поворачивает налево.Трение действует влево, ускоряя автомобиль к центру поворота. Поскольку трение — единственная горизонтальная сила, действующая на автомобиль, в этом случае оно обеспечивает всю центростремительную силу. Следовательно, сила трения является центростремительной силой в этой ситуации и направлена ​​к центру кривой.

Обсуждение

Поскольку мы нашли силу трения в части (b), мы также можем найти коэффициент трения, поскольку f = μsN = μsmgf = μsN = μsmg.

Практические задачи

9.

Какое центростремительное ускорение ощущают пассажиры автомобиля, движущегося со скоростью 12 м / с по кривой радиусом 2,0 м?

  1. 3 м / с 2
  2. 6 м / с 2
  3. 36 м / с 2
  4. 72 м / с 2

10.

Вычислить центростремительное ускорение объекта, движущегося по траектории с радиусом кривизны 0,2 м и угловой скоростью 5 рад / с.

  1. 1 м / с
  2. 5 м / с
  3. 1 м / с 2
  4. 5 м / с 2

Проверьте свое понимание

11.

Что такое равномерное круговое движение?

  1. Равномерное круговое движение — это когда объект ускоряется по круговой траектории с постоянно увеличивающейся скоростью.
  2. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с переменным ускорением.
  3. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью.
  4. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с переменной скоростью.

12.

Что такое центростремительное ускорение?

  1. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и радиально направленного к центру круговой орбиты
  2. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и касательно направленного по круговой траектории
  3. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении движения объекта
  4. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении, противоположном движению объекта

13.

Существует ли чистая сила, действующая на объект при равномерном круговом движении?

  1. Да, объект ускоряется, поэтому на него должна действовать чистая сила.
  2. Да потому что разгона нет.
  3. Нет, потому что ускорение есть.
  4. Нет, потому что разгона нет.

14.

Укажите два примера сил, которые могут вызвать центростремительное ускорение.

  1. Сила притяжения Земли на Луну и нормальная сила
  2. Сила притяжения Земли на Луну и натяжение веревки на вращающемся тезерболе
  3. Нормальная сила и сила трения, действующие на движущийся автомобиль
  4. Нормальная сила и натяжение троса на тезерболе

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела.Если учащиеся борются с определенной целью, формирующая оценка поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

Квадратичные задачи со словами: Движение снаряда

Квадратичная
Проблемы со словами: Движение снаряда
(стр.
1 из 3)

Ячейки: Снаряд
движение, Общие проблемы со словами, Макс. / мин.
проблемы


Для наших целей «снаряд»
— это любой объект, который бросают, стреляют или роняют.Обычно объект
двигаясь прямо вверх или прямо вниз.

  • Объект запущен
    по телефону
    19,6
    метров в секунду (м / с) от
    58,8 -метра
    высокая платформа. Уравнение для высоты объекта
    с
    в момент времени
    т
    секунд после запуска:
    с ( t )
    = 4.9
    т 2 + 19,6 т
    + 58,8
    , где
    с есть
    в метрах. Когда объект ударяется о землю?
  • Какая высота (вверху
    на уровне земли), когда объект врезается в землю? Ну, очевидно, ноль.
    Вот и ищу момент когда высота с
    = 0.Ставлю с
    равным нулю, и решаем:

    Затем т
    = 6 или т
    = 2. Второе решение
    за две секунды до запуска, что не имеет смысла в данном
    контекст. (На графике это имеет смысл, потому что линия пересекает
    x — ось
    в 2,
    но отрицательное время не сработает в этой проблеме со словом.) Итак, « t
    = 2 «является посторонним
    решение, и я проигнорирую его.

Обратите внимание на строительство
уравнение высоты в задаче выше. Начальная высота пуска составляла
58,8
метров, а постоянный член составил «58,8».
Начальная скорость (стартовая скорость) 19,6 м / с.
м / с, а коэффициент при линейном члене составил «19,6».
Это всегда верно для этих проблем с движением снаряда вверх / вниз. (Если
у вас есть упражнение с боковыми движениями, уравнение будет иметь другое
форма, но они всегда дадут
вы это уравнение.)
Начальная скорость — это коэффициент для среднего члена, а начальная скорость
высота — постоянный член. А коэффициент
главный член происходит от силы тяжести. Этот коэффициент
отрицательно, так как сила тяжести тянет вниз, и значение будет либо
«4,9»
(если ваши единицы измерения «метры») или «16»
(если ваши единицы — футы). В общем, формат:

s ( t )
= gt 2
+ v 0 t
+ час 0

…где « г »
вот «4.9»
или «16»
выводится из значения силы тяжести (технически это половина
силы тяжести, но вам, вероятно, не нужно знать это правильно
сейчас), « v 0 »
(«vee-naught» или «vee-sub-zero») — начальная скорость,
и « h 0 »
(«aitch-naught» или «aitch-sub-zero») — начальная
высота.

Запомните это уравнение
(или, по крайней мере, его значение), потому что вам может потребоваться это знать на тесте.

  • Объект сдан в эксплуатацию
    прямо вверх на
    64
    футов в секунду (фут / с) от платформы
    80
    футов в высоту. Какой будет максимальная высота объекта? Когда он достигнет
    эта высота?
  • Хм … Не дали
    мне уравнение на этот раз.Но это нормально, потому что я могу создать
    уравнение из информации, что они сделали
    дай мне. Начальная высота 80
    футов над землей и начальная скорость 64
    фут / с. Поскольку мои единицы измерения — футы, тогда число для гравитации
    будет 16,
    и мое уравнение:

    Они хотят, чтобы я нашел
    максимальная высота. Для такой отрицательной квадратичной функции максимум будет
    быть в вершине перевернутой параболы.Так что они действительно хотят меня
    найти вершину. Из графика
    Я знаю, как найти вершину; в этом случае вершина находится в точке (2,
    144):

    Но что это за вершина
    скажи-ка? Согласно моему уравнению, я вставляю значения времени и извлекаю
    значения высоты, поэтому ввод «2»
    должно быть время и на выходе «144»
    должен быть рост. Авторские права
    Элизабет Стапель 2004-2011 Все права защищены

  • Объект запущен
    от уровня земли прямо вверх по
    39.2
    РС. Как долго объект находится на высоте
    или выше 34,3
    метров?

    Мои единицы на этот раз
    «метров», поэтому гравитационное число будет «4,9».
    Поскольку объект стартовал на уровне земли, начальная высота была 0.
    Тогда мое уравнение:

    Так как это отрицательный
    квадратичный, график представляет собой перевернутую параболу.Я могу найти двоих
    раз, когда объект ровно 34,3
    метров, и я знаю, что объект будет выше 34,3
    метров все время между ними. Почему «два раза» и как
    знаю ли я, что промежуток времени находится между этими двумя временами? Поскольку
    первый раз будет, когда объект пройдет высоту 34,3
    метров на пути к максимальной высоте, и второй раз, когда
    быть, когда он превысит 34,3
    метров, когда он снова падает на землю.Итак, я должен решить
    следующие:

    Тогда объект находится на
    34,3 метра
    через одну секунду после запуска (поднимается) и снова через семь секунд после
    запуск (спускается). Вычитая, чтобы найти разницу, я нахожу
    что:

Не удивляйтесь, если многие
ваших упражнений выполняются так же «аккуратно», как и в приведенных выше примерах.
имеют. Многие учебники по-прежнему тщательно разрабатывают упражнения, так что
вы можете решить с помощью факторизации (то есть, быстро выполнив алгебру).Тем не мение,
сильная зависимость от калькуляторов приводит к тому, что все больше текстов создают «интересные»
(то есть излишне сложные) упражнения, поэтому некоторые (или все) ваши
упражнения могут включать в себя гораздо больше беспорядочных вычислений, чем было показано
здесь. Если да, внимательно изучите эти «аккуратные» примеры, пока не получите
совершенно уверены, что вы следуете рассуждениям.

  • После семестра
    кончено, вы обнаруживаете, что на математическом факультете сменились учебники
    (снова), чтобы книжный магазин не выкупил вашу почти новую книгу.Ты и
    ваш друг Герман решил проявить творческий подход. Ты идешь на крышу
    двенадцатиэтажного дома и взгляните через край на отражающий
    бассейн
    160 футов
    ниже. Вы роняете книгу за край в тот момент, когда Герман бросает
    его книга прямо на
    48 футов
    в секунду. На сколько секунд его книга опускает вашу книгу в воду?
  • Наша начальная высота запуска
    будет то же самое: мы оба стартуем со 160 футов
    над землей.И число силы тяжести, поскольку мы работаем в ногах, будет
    быть 16.
    Моя начальная скорость равна нулю, так как я только что уронил книгу, но мой приятель
    Скорость Германа отрицательная
    48,
    негатив проистекает из того факта, что он выбросил свою книгу на
    а не вверх. Итак, наши уравнения «высоты»:

    В каждом случае мне нужно
    найти время, чтобы книги достигли нулевой высоты («ноль»
    будучи «на уровне земли»), поэтому:

      шахта: 0
      = 16 т 2 + 160, т 2 10 = 0,
      так т
      = кв. (10)

      его: 0
      = 16 т 2 48 т + 160, т 2
      + 3 т 10 = 0, ( т + 5) ( т 2) = 0,
      так т
      = 5 или т
      = 2

    Я проигнорирую негатив
    значения времени.Его книга попадает в воду через две секунды, а моя попадает в
    после sqrt (10) секунд,
    или примерно через 3,16
    секунд. То есть:

Время от времени они
станьте умнее и поместите проблему «снаряда» в другую среду.
Уравнение останется прежним по структуре, но вам, возможно, придется учитывать
для другого значения силы тяжести.

  • The International Space
    Агентство наконец-то высадило робота-исследователя на планету за пределами Солнца.Некоторые зонды выходят из корпуса посадочного модуля для проведения различных тестов.
    Чтобы продемонстрировать сокрушительный вес гравитации на этой планете, спускаемый аппарат
    камера направлена ​​на порт выброса зонда на уровне земли, а
    порт запускает бейсбольный мяч прямо вверх на
    147
    футов в секунду (фут / с), что примерно соответствует максимальной скорости профессионального питчера.
    Сила гравитации на этой планете составляет
    98
    фут / с
    2 .Предполагая, что ветра нет и что зонд
    может вовремя убежать, сколько времени займет мяч
    ударить обратно на поверхность?
  • Чтобы составить моё уравнение для
    В этом упражнении нужно иметь в виду, что значение коэффициента
    « г »
    из уравнения «движения снаряда» выше
    составляет половину значения силы тяжести. В физике есть
    — «универсальная гравитационная постоянная» G ;
    тогда каждый объект проявляет свою собственную гравитационную силу, которая связана с
    собственной массе и универсальной постоянной G .В формуле «движение снаряда» « g »
    составляет половину значения гравитационной силы для этого конкретного
    тело. Например, гравитационная сила на Земле направлена ​​вниз 32
    фут / с 2 , но мы использовали «16»
    в уравнении.

    Так « г »
    для моего уравнения на этот раз будет 98
    2 = 49. Тогда:

    Затем т
    = 0 или т
    = 3.Первое решение
    представляет, когда мяч был запущен, поэтому второе решение — это
    один я хочу.

Примечание: на Земле это было бы
требуется чуть больше девяти секунд, чтобы мяч упал на землю.

Вверх
| 1 | 2 | 3
| Вернуться к указателю Далее
>>

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.«Квадратичные задачи со словом: метательное движение». Purplemath .
Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/quadprob.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

3.1.2: Распределения Максвелла-Больцмана — Химия LibreTexts

Уравнение Максвелла-Больцмана, лежащее в основе кинетической теории газов, определяет распределение скоростей газа при определенной температуре.Из этой функции распределения можно получить наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.

Введение

Кинетическая молекулярная теория используется для определения движения молекулы идеального газа при определенных условиях. Однако, глядя на моль идеального газа, невозможно измерить скорость каждой молекулы в каждый момент времени. Следовательно, распределение Максвелла-Больцмана используется для определения количества молекул, движущихся между скоростями v и v + dv .2} {2k_BT}} дв \ label {1} ​​\]

где

  • dN / N — доля молекул, движущихся со скоростью от v до v + dv ,
  • м — масса молекулы,
  • k b — постоянная Больцмана, а
  • T — абсолютная температура. 1

Кроме того, функция может быть записана в терминах скалярной количественной скорости c вместо векторной количественной скорости.2} {2k_BT}} \ label {2} \]

Наконец, распределение Максвелла-Больцмана можно использовать для определения распределения кинетической энергии для набора молекул. Распределение кинетической энергии идентично распределению скоростей для определенного газа при любой температуре. 2

Построение функции распределения Максвелла-Больцмана

На рисунке 1 показано распределение Максвелла-Больцмана скоростей для определенного газа при определенной температуре, например азота при 298 К.Скорость в верхней части кривой называется наиболее вероятной, потому что наибольшее количество молекул имеет эту скорость.

Рисунок 1 : Распределение Максвелла-Больцмана смещено в сторону более высоких скоростей и расширяется при более высоких температурах от OpenStax.

На рисунке 2 показано, как на распределение Максвелла-Больцмана влияет температура. При более низких температурах молекулы имеют меньше энергии. Следовательно, скорости молекул ниже, а распределение имеет меньший диапазон.По мере увеличения температуры молекул распределение выравнивается. Поскольку молекулы обладают большей энергией при более высокой температуре, молекулы движутся быстрее.

Рисунок 2 : Распределение Максвелла-Больцмана смещается в сторону более высоких скоростей и расширяется при более высоких температурах. из OpenStax.

На рис. 3 показана зависимость распределения Максвелла-Больцмана от массы молекулы. В среднем более тяжелые молекулы движутся медленнее, чем более легкие.Следовательно, более тяжелые молекулы будут иметь меньшее распределение скорости, в то время как более легкие молекулы будут иметь более широкое распределение скорости.

Рис. 3 : Функция плотности вероятности скорости для скоростей некоторых благородных газов при температуре 298,15 К (25 ° C). Ось Y находится в с / м, поэтому площадь под любым участком кривой (которая представляет вероятность того, что скорость находится в этом диапазоне) не имеет размеров. Рисунок используется с разрешения Википедии.

Выражения, связанные со скоростью

Три выражения скорости могут быть получены из распределения Максвелла-Больцмана: наиболее вероятная скорость, средняя скорость и среднеквадратичная скорость. Наиболее вероятная скорость — это максимальное значение на графике распределения. Это устанавливается путем определения скорости, когда следующая производная равна нулю

\ [\ dfrac {df (c)} {dc} | _ {C_ {mp}} = 0 \]

, что равно

\ [C_ {mp} = \ sqrt {\ dfrac {2RT} {M}} \ label {3a} \]

Средняя скорость — это сумма скоростей всех молекул, деленная на количество молекул.{\ infty} c f (c) dc = \ sqrt {\ dfrac {8RT} {\ pi M}} \ label {3b} \]

Среднеквадратичная скорость равна квадратному корню из квадрата средней скорости.

\ [C_ {rms} = \ sqrt {\ dfrac {3RT} {M}} \ label {3c} \]

где

  • \ (R \) — газовая постоянная,
  • \ (T \) — абсолютная температура, а
  • \ (M \) — молярная масса газа.

Это всегда следует за таковым для газов, которые следуют распределению Максвелла-Больцмана (если термически обработаны)

\ [C_ {mp}

Список литературы

  1. Данбар, Р.C. Получение распределения Максвелла J. Chem. Эд. 1982 , 59 , 22-23.
  2. Peckham, G.D .; McNaught, I.J .; Приложения распределения Максвелла-Больцмана J. Chem. Эд . 1992 , 69 , 554-558.
  3. Чанг, Р. Физическая химия для биологических наук, 25-27.

Проблемы

  1. Используя функцию Максвелла-Больцмана, вычислите долю молекул газообразного аргона со скоростью 305 м / с при 500 К.
  2. Если система в задаче 1 содержит 0,46 моля газообразного аргона, сколько молекул имеют скорость 305 м / с?
  3. Рассчитайте значения \ (C_ {mp} \), \ (C_ {avg} \) и \ (C_ {rms} \) для газообразного ксенона при 298 К.
  4. Из значений, рассчитанных выше, пометьте график распределения Больцмана (рис. 1) приблизительными местоположениями (C_ {mp} \), \ (C_ {avg} \) и \ (C_ {rms} \).
  5. Что будет иметь большее распределение скоростей: гелий при 500 К или аргон при 300 К? Гелий при 300 К или аргон при 500 К? Аргон при 400 К или аргон при 1000 К?

ответы

1.{20} \) молекулы аргона

3. C mp = 194,27 м / с

C средн. = 219,21 м / с

C rms = 237,93 м / с

4. Как указано выше, C mp является наиболее вероятной скоростью, поэтому она будет в верхней части кривой распределения. Справа от наиболее вероятной скорости будет средняя скорость, за которой следует среднеквадратичная скорость.

5. Совет: используйте соответствующие выражения для скорости, чтобы определить распределение молекул газа: гелий при 500 К.гелий при 300 К. аргон при 1000 К.

Авторы и авторство

  • Адам Мали (Колледж Хоуп)

Функции состояния и пути — Chemistry LibreTexts

Функция состояния — это свойство, значение которого не зависит от пути, выбранного для достижения этого конкретного значения. Напротив, функции, которые зависят от пути от двух значений, вызывают функции пути . Функции пути и состояния часто встречаются в термодинамике.

Введение

При обсуждении соединений или химических реакций в первую очередь упоминается состояние конкретной молекулы или соединения. «Состояние» относится к температуре, давлению, количеству и типу присутствующего вещества. Как только государство установлено, можно определить функции состояния. Функции состояния — это значения, которые зависят от состояния вещества, а не от того, как это состояние было достигнуто. Например, плотность — это функция состояния, потому что на плотность вещества не влияет способ получения вещества.Рассмотрим количество H 2 O: не имеет значения, получен ли этот H 2 O из крана, из колодца или из бутылки, потому что, пока все три находятся в одинаковом состоянии, они имеют такая же плотность. Принимая решение о том, является ли определенное свойство функцией состояния или нет, помните следующее правило: влияет ли это свойство или значение на путь или способ его установления? Если ответ отрицательный, то это функция состояния, но если ответ положительный, то это не функция состояния.

Математика функций состояния

Другой способ представить функции состояния — интегралы. Интегралы зависят только от трех вещей: функции, нижнего предела и верхнего предела. Точно так же функции состояния зависят от трех вещей: свойства, начального значения и конечного значения. Другими словами, интегралы показывают, как функции состояния зависят только от конечного и начального значения, а не от истории объекта или пути, пройденного для перехода от начального к конечному значению.{t_1} \; H (t) dt = H (t_1) -H (t_o) \]

Это эквивалентно знакомому определению энтальпии:

\ [\ Delta H = H_ {final} — H_ {initial} \]

Как представлено решением интеграла, энтальпия является функцией состояния, потому что она зависит только от начальных и конечных условий, а не от пути, выбранного для установления этих условий. Следовательно, интеграл функций состояния может быть взят только с двумя значениями: конечным и начальным значениями. С другой стороны, требуется несколько интегралов и несколько пределов интегрирования, чтобы взять интеграл от функции пути.Если интеграл определенного свойства можно вычислить, используя только свойство и его начальное и конечное значение, свойство является функцией состояния.

Функции состояния и функции пути

Функции состояния определяются путем сравнения их с функциями пути. Как указывалось ранее, функция состояния — это свойство, значение которого не зависит от пути, пройденного для достижения этой конкретной функции или значения. По сути, если что-то не является функцией пути, это, вероятно, функция состояния. Чтобы лучше понять функции состояния, сначала определите функции пути, а затем сравните функции пути и состояния.

Функции пути — это функции, которые зависят от пути, выбранного для достижения этого конкретного значения. Например, предположим, что на вашем сберегательном счете есть 1000 долларов. Предположим, вы хотите внести деньги на этот счет. Сумма, которую вы вносите, является функцией пути, потому что она зависит от пути, выбранного для получения этих денег. Другими словами, сумма денег, которую вы внесете на свой сберегательный счет, зависит от пути или способа получения этих денег. Если вы неделю работаете генеральным директором компании, а не неделю на заправке, в конце недели вы получите две разные суммы денег.Таким образом, функция пути — это свойство или значение, зависящее от пути, выбранного для установления этого значения.

Функции состояния не зависят от пройденного пути. Используя тот же пример, предположим, что у вас есть 1000 долларов на сберегательном счете. Вы снимаете 500 долларов со своего сберегательного счета. Не имеет значения, снимаете ли вы 500 долларов за один прием или по ставке 50 долларов. В конце, когда вы получите свою ежемесячную выписку, вы заметите, что чистое снятие средств составляет 500 долларов, а итоговый баланс будет равен 500 долларам.Таким образом, банковский баланс является государственной функцией, потому что он не зависит от пути или способа снятия или внесения денег. В конце концов, независимо от того, делаете ли вы это за одну операцию или за несколько транзакций, ваш банковский счет останется неизменным. На рисунке ниже показаны функции состояния в виде энтальпии:

Рисунок 1: Два разных пути из одного и того же начального и конечного состояний приводят к значениям переменных состояния

На этом рисунке показаны два разных шага для формирования \ (NaCl _ {(s)} \). -_ {(g)} \ rightarrow NaCl _ {(s)} \ tag {5: формирование решетки} \]

Когда добавляются энтальпии всех этих стадий, энтальпия образования \ (NaCl _ {(s)} \) все еще составляет -411 кДж / моль.Это прекрасный пример функции состояния: независимо от того, какой путь используется для образования \ (NaCl _ {(s)} \), в результате получается та же энтальпия образования -411 кДж / моль.

Таблица 1: Сводка различий между функциями состояния и пути
Состояние Функция Функция пути
Независимо от пути, использованного для определения свойства или стоимости. Зависит от пути, по которому устанавливается свойство или стоимость.
Возможна интеграция с использованием конечных и начальных значений. Требуются множественные интегралы и пределы интегрирования для интеграции.
Несколько шагов приводят к одному и тому же значению. Несколько шагов приводят к разному значению.
На основе установленного состояния системы (температура, давление, количество и идентичность системы). На основе того, как было установлено состояние системы.
Обычно обозначается заглавной буквой. 1 Обычно обозначается строчной буквой. 1

1 Последнее сравнение является обобщением, которое не обязательно справедливо для всех аспектов и расчетов, связанных с химией.

Аналогия

Главное, что нужно помнить при попытке идентифицировать функцию состояния, — это определить, влияет ли путь, выбранный для достижения функции, на значение.Приведенная ниже аналогия показывает, как определить, является ли определенное свойство функцией состояния.

Каждое утро миллионы людей должны решить, как добраться до своих офисов. Некоторые предпочитают подниматься по лестнице, а другие — на лифте. В этой ситуации ∆y, или изменение вертикального положения, одинаково независимо от того, поднимается ли человек по лестнице или на лифте. Расстояние от вестибюля до офиса остается неизменным, независимо от пути, по которому вы добираетесь до офиса. В результате ∆y является функцией состояния, поскольку ее значение не зависит от пути, по которому устанавливается ее значение.

В той же ситуации время или ∆t не является функцией состояния. Если кто-то добирается до офиса более длинным путем (поднимается по лестнице), ∆t будет больше, а ∆t будет меньше, если воспользоваться лифтом. По этой аналогии ∆t не является функцией состояния, потому что его значение зависит от пути.

Приложения

Функции состояния обычно встречаются в термодинамике; многие уравнения термодинамики, такие как \ (\ Delta U \) и \ (\ Delta H \), являются функциями состояния.Кроме того, функции состояния имеют решающее значение в термодинамике, потому что они упрощают вычисления и позволяют вычислять данные, которые иначе могли бы быть получены только путем экспериментов.

Более конкретно, функции состояния облегчают использование закона Гесса, который позволяет манипулировать (сложение, вычитание, умножение и т. Д.) Энтальпиями половинных реакций при добавлении нескольких полуреакций для образования полной реакции. Закон Гесса зависит от того факта, что энтальпия является функцией состояния.Если бы энтальпия не была функцией состояния, закон Гесса был бы намного сложнее, потому что нельзя было бы добавить энтальпии половинных реакций. Вместо этого потребуется несколько дополнительных вычислений. Кроме того, функции состояния и закон Гесса помогают вычислить энтальпию сложных реакций без необходимости фактически воспроизводить эти реакции в лаборатории. Все, что требуется, — это записать и просуммировать энтальпию полуреакций или гипотетических стадий, ведущих к химической реакции.Функции состояния также встречаются во многих других уравнениях, связанных с термодинамикой, таких как внутренняя энергия (∆U), свободная энергия Гибба, энтальпия и энтропия.

Проблемы

  1. С точки зрения того, что мы обсуждали в этом модуле, идет от 1-го этажа зала Спроул до 9-го этажа зала Спроул, то же самое, что и переход от 1-го этажа зала Спроул на 3-й этаж, к с 5 этажа до 9 этажа Спроул холла?
  2. Является ли ∆U функцией состояния?
  3. Температура — это функция состояния?
  4. Объем — это государственная функция? (докажите на примере)
  5. Хотя давление и объем являются функциями состояния, почему работа (которая часто выражается как -P∆V) не является функцией состояния?

Решения

  1. Да, потому что вопрос описывает функцию состояния.Ваше положение зависит только от конечного и начального положения, то есть 9-го этажа Спраула и 1-го этажа Спраула, а не от пути или пути, по которому вы туда доберетесь.
  2. Формула для ∆U: ∆U = U конечный — U начальный . Сама формула ∆U доказывает, что это функция состояния, поскольку ∆U зависит только от U final и U начального . Другими словами, на ∆U не влияет путь, по которому устанавливаются его значения. Это определение функции состояния, и в результате ∆U является функцией состояния.
  3. Температура — это функция состояния, поскольку это одно из значений, используемых для определения состояния объекта. Кроме того, температура зависит от конечных и начальных значений, а не от пути, по которому они устанавливаются.
  4. Объем — это функция состояния, поскольку объем зависит только от конечных и начальных значений, а не от пути, по которому эти значения установлены. Допускается любой пример, показывающий эту инструкцию в функции. Вот приемлемый ответ: представьте, что воздушный шар надувается до определенного объема.Если накачать за несколько шагов или за один шаг, в конце он все равно достигнет того же объема. В результате объем является функцией состояния, потому что он не зависит от пути или истории объекта.
  5. Причина, по которой работа не является государственной функцией, зависит от определения работы, а не от формулы работы. Определение работы — это движение объекта против силы. Таким образом, по сути, определение работы гласит, что работа зависит от ее истории или пути, по которому она выполняется, потому что движение объекта зависит от пути, выбранного для выполнения этого движения (т.е. бег против ходьбы). Следовательно, если объект зависит от его истории или пути, по которому он идет, полученное значение или свойство не является функцией состояния. Несмотря на то, что давление и объем являются функциями состояния, определение работы показывает, почему работа не является функцией состояния.

Список литературы

  1. Петруччи, Ральф Х., Харвуд, Уильям С., Херринг, Ф. Г. и Мадура Джеффри Д. Общая химия: принципы и современные приложения . 9-е изд. Нью-Джерси: Pearson Education, Inc., 2007. Печать.
  2. Коц, Джон К., Трейчел, Пол М. и Таунсенд, Джон. Химия и химическая реакционная способность . 7-е изд. Бельмонт: Высшее образование Томсона, 2006. Печать.

Авторы и авторство

  • Эллисон Биллингс (UCD), Рэйчел Моррис (UCD), Райан Старр (UCD), Ангад Оберой (UCD)

приложений линейных функций | Безграничная алгебра

Скорость изменения

Линейные функции применяются к задачам реального мира, которые связаны с постоянной скоростью.

Цели обучения

Применение линейных уравнений для решения задач о скорости изменения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Если вы знаете, что реальная проблема является линейной, например, расстояние, которое вы преодолеете при пробежке, вы можете построить график функции и сделать некоторые предположения только с двумя точками.
  • Наклон функции совпадает со скоростью изменения зависимой переменной [latex] (y) [/ latex]. Например, если вы строите график зависимости расстояния отвремени, то наклон — это то, насколько быстро ваше расстояние меняется со временем, или, другими словами, ваша скорость.
Ключевые термины
  • скорость изменения : соотношение между двумя взаимосвязанными величинами, которые изменяются.
  • линейное уравнение : полиномиальное уравнение первой степени (например, [латекс] x = 2y-7 [/ latex]).
  • наклон : отношение вертикального и горизонтального расстояний между двумя точками на линии; ноль, если линия горизонтальная, неопределенная, если линия вертикальная.

Скорость изменения

Линейные уравнения часто включают скорость изменения. Например, скорость, с которой расстояние изменяется во времени, называется скоростью. Если известны два момента времени и общее пройденное расстояние, можно определить скорость изменения, также известную как наклон. На основе этой информации можно написать линейное уравнение, а затем сделать прогнозы из уравнения линии.

Если единица или количество, относительно которого что-то изменяется, не указаны, обычно ставка рассчитывается за единицу времени.Наиболее распространенный тип частоты — «в единицу времени», такой как скорость, частота сердечных сокращений и поток. Коэффициенты, не имеющие временного знаменателя, включают обменные курсы, уровень грамотности и электрическое поле (в вольтах на метр).

При описании единиц частоты используется слово «per» для разделения единиц двух измерений, используемых для расчета частоты (например, частота пульса выражается «ударами в минуту»).

Скорость изменения: приложение реального мира

Пример

Спортсмен начинает свою обычную тренировку перед следующим марафоном вечером.В 18:00 он начинает бежать и выходит из дома. В 19:30 спортсмен заканчивает забег дома и пробежал в общей сложности 7,5 миль. Какова была его средняя скорость во время бега?

Скорость изменения — это скорость его бега; расстояние с течением времени. Следовательно, двумя переменными являются время [латекс] (x) [/ latex] и расстояние [latex] (y) [/ latex]. Первая точка находится в его доме, где его часы показывают 18:00. Это время начала, поэтому давайте установим его на [latex] 0 [/ latex]. Итак, наш первый пункт — [latex] (0,0) [/ latex], потому что он еще никуда не бегал.Давайте подумаем о нашем времени в часах. Наш второй пункт — [латекс] через 1,5 [/ латекс] часа спустя, и мы пробежали [латекс] 7,5 [/ латекс] миль. Второй пункт — [латекс] (1.5,7.5) [/ латекс]. Наша скорость (скорость изменения) — это просто наклон линии, соединяющей две точки. Наклон, определяемый выражением: [latex] m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} [/ latex], становится [latex] m = \ frac {7.5} {1,5} = 5 [/ latex] миль в час.

Пример: Постройте линию, показывающую скорость

Чтобы построить график этой линии, нам нужен отрезок [latex] y [/ latex] и наклон для записи уравнения.Наклон составлял [латекс] 5 [/ латекс] миль в час, и поскольку начальная точка была в [латекс] (0,0) [/ латекс], интервал [латекс] y [/ латекс] равен [латекс] 0 [/латекс]. Итак, наша последняя функция [latex] y = 5x [/ latex].

График расстояния и времени: График [латекс] y = 5x [/ латекс]. Двумя переменными являются время [латекс] (x) [/ латекс] и расстояние [латекс] (y) [/ латекс]. Скорость бега составляет [латекс] 5 [/ латекс] миль в час. Используя график, можно делать прогнозы, предполагая, что его средняя скорость останется прежней.

С помощью этой новой функции мы теперь можем ответить еще на несколько вопросов.

  • Сколько миль он пробежал за первые полчаса? Используя уравнение, если [latex] x = \ frac {1} {2} [/ latex], найдите [latex] y [/ latex]. Если [latex] y = 5x [/ latex], то [latex] y = 5 (0,5) = 2,5 [/ latex] мили.
  • Если он продолжит бегать в том же темпе в общей сложности [latex] 3 [/ latex] часа, сколько миль он пробежит? Если [latex] x = 3 [/ latex], найти [latex] y [/ latex]. Если [latex] y = 5x [/ latex], то [latex] y = 5 (3) = 15 [/ latex] миль.

Есть много таких приложений для линейных уравнений. Все, что связано с постоянной скоростью изменения, можно красиво представить линией с наклоном. В самом деле, если у вас есть только две точки, если вы знаете, что функция линейна, вы можете построить ее график и начать задавать вопросы! Просто убедитесь, что то, о чем вы спрашиваете, имеет смысл. Например, в примере с марафоном домен на самом деле только [latex] x \ geq0 [/ latex], поскольку нет смысла переходить в отрицательное время и терять мили!

Линейные математические модели

Линейные математические модели описывают реальные приложения с помощью линий.

Цели обучения

Применение линейных математических моделей к реальным задачам

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Математическая модель описывает систему с использованием математических понятий и языка.
  • Линейные математические модели можно описать линиями. Например, автомобиль, движущийся [латекс] 50 [/ latex] миль в час, проехал расстояние, представленное [latex] y = 50x [/ latex], где [latex] x [/ latex] — время в часах, а [latex] y [/ latex] — мили.Уравнение и график можно использовать для прогнозов.
  • Реальные приложения также можно смоделировать с помощью нескольких линий, например, если два поезда движутся навстречу друг другу. Точка пересечения двух линий — это точка пересечения поездов.
Ключевые термины
  • математическая модель : абстрактное математическое представление процесса, устройства или концепции; он использует ряд переменных для представления входов, выходов, внутренних состояний и наборов уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.
  • линейная регрессия : подход к моделированию линейной зависимости между зависимой переменной [latex] y [/ latex] и независимой переменной [latex] x [/ latex].
Математические модели

Математическая модель — это описание системы с использованием математических понятий и языка. Математические модели используются не только в естественных и инженерных дисциплинах, но и в социальных науках. Линейное моделирование может включать изменение численности населения, плату за телефонные звонки, стоимость аренды велосипеда, управление весом или сбор средств.Линейная модель включает скорость изменения [латекс] (м) [/ латекс] и начальную величину, точку пересечения по оси Y [латекс] b [/ латекс]. После того, как модель написана и построен график линии, любой из них можно использовать для прогнозирования поведения.

Линейная модель в реальной жизни

Многие повседневные действия требуют использования математических моделей, возможно, неосознанно. Одна из трудностей математических моделей заключается в переводе реального приложения в точное математическое представление.

Пример: аренда фургона

Компания по аренде берет фиксированную плату в размере [латекс] 30 долларов [/ латекс] и дополнительно [латекс] 0,25 доллара [/ латекс] за милю за аренду движущегося фургона. Напишите линейное уравнение для аппроксимации стоимости [латекс] y [/ латекс] (в долларах) через [латекс] x [/ латекс], количество пройденных миль. Сколько будет стоить поездка на 75 миль?

Использование формы линейного уравнения с пересечением наклона с общей стоимостью, обозначенной [латекс] y [/ латекс] (зависимая переменная), и милями, обозначенными [латекс] x [/ латекс] (независимая переменная):

[латекс] \ displaystyle y = mx + b [/ латекс]

Общая стоимость равна ставке за милю, умноженной на количество пройденных миль, плюс стоимость фиксированной платы:

[латекс] \ displaystyle y = 0.25x + 30 [/ латекс]

Чтобы рассчитать стоимость поездки [латекс] 75 [/ латекс] миль, подставьте [латекс] 75 [/ латекс] вместо [латекс] x [/ латекс] в уравнение:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = 0,25x + 30 \\ & = 0,25 (75) +30 \ & = 18,75 + 30 \\ & = 48,75 \ end {align} [/ latex]

Модель из реальной жизни с несколькими уравнениями

Также возможно моделировать несколько линий и их уравнения.

Пример

Изначально поезда A и B находятся на расстоянии 325 [/ латексных] миль друг от друга.Поезд A движется в сторону B со скоростью [латекс] 50 [/ latex] миль в час, а поезд B движется в сторону A со скоростью [латекс] 80 [/ latex] миль в час. В какое время встретятся два поезда? В это время, как далеко проехали поезда?

Во-первых, начните с исходных позиций поездов ([latex] y [/ latex] -tercepts, [latex] b [/ latex]). Начало поезда A — это источник, [latex] (0,0) [/ latex]. Поскольку поезд B находится в [латексе] 325 [/ latex] милях от поезда A изначально, его позиция — [латекс] (0,325) [/ латекс].

Во-вторых, чтобы написать уравнения, представляющие общее расстояние каждого поезда с точки зрения времени, вычислите скорость изменения для каждого поезда. Поскольку поезд A движется к поезду B, который имеет большее значение [latex] y [/ latex], скорость изменения поезда A должна быть положительной и равняться его скорости [latex] 50 [/ latex]. Поезд B движется к A, который имеет меньшее значение [latex] y [/ latex], что дает B отрицательную скорость изменения: [latex] -80 [/ latex].

Таким образом, две строки:

[латекс] \ displaystyle y_A = 50x \\ [/ latex]

А:

[латекс] \ displaystyle y_B = -80x + 325 [/ латекс]

Два поезда встретятся там, где пересекаются две линии.Чтобы найти место пересечения двух линий, приравняйте уравнения друг к другу и решите для [latex] x [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle y_ {A} = y_ {B} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle 50x = -80x + 325 [/ латекс]

Решение для [latex] x [/ latex] дает:

[латекс] \ displaystyle x = 2,5 [/ латекс]

Два поезда встречаются через [латекс] 2,5 [/ латекс] часа. Чтобы найти его, подставьте [латекс] 2,5 [/ латекс] в любое уравнение.

Подставляя его в первое уравнение, мы получаем [латекс] 50 (2.5) = 125 [/ latex], что означает, что он встречается после того, как A пролетит [latex] 125 [/ latex] миль.

Вот графическая модель расстояния от времени для двух поездов:

Поезда: поезд A (красная линия) представлен уравнением: [латекс] y = 50x [/ latex], а поезд B (синяя линия) представлен уравнением: [латекс] y = -80x + 325 [/ латекс]. Два поезда встречаются в точке пересечения [латекс] (2,5,125) [/ латекс], что через [латекс] 125 [/ латекс] миль за 2,5 [/ латекс] часа.

Подгонка по кривой

Подгонка кривой с помощью линии пытается провести линию так, чтобы она «наилучшим образом соответствовала» всем данным.

Цели обучения

Используйте формулу регрессии наименьших квадратов для вычисления линии наилучшего соответствия для набора точек

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Аппроксимация кривой полезна для поиска кривой, которая наилучшим образом соответствует данным. Это позволяет делать предположения о том, как примерно распределены данные, и делать прогнозы относительно будущих точек данных.
  • Линейная регрессия пытается построить линию, которая наилучшим образом соответствует данным.
  • Аппроксимация методом наименьших квадратов — это тип линейной регрессии, который минимизирует сумму квадратов разницы между приближенным значением (от линии) и фактическим значением.{n} x_ {i} = \ left (\ bar {y} — m \ bar {x} \ right)} [/ latex]
Ключевые термины
  • аппроксимация кривой : процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных, возможно, с учетом ограничений.
  • выброс : значение в статистической выборке, которое не соответствует шаблону и не описывает большинство других точек данных.
  • приближение наименьших квадратов : Попытка минимизировать суммы квадратов расстояния между предсказанной точкой и фактической точкой.
  • линейная регрессия : подход к моделированию линейной взаимосвязи между зависимой переменной, [latex] y [/ latex] и независимой переменной, [latex] x [/ latex].
Криволинейная арматура

Аппроксимация кривой — это процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных, возможно, с учетом ограничений. Аппроксимация кривой может включать либо интерполяцию, когда требуется точное соответствие данным, либо сглаживание, при котором строится «гладкая» функция, которая приблизительно соответствует данным.Подгонянные кривые можно использовать в качестве вспомогательного средства для визуализации данных, для вывода значений функции, когда данные недоступны, и для суммирования взаимосвязей между двумя или более переменными. Экстраполяция относится к использованию подобранной кривой за пределами диапазона наблюдаемых данных и подвержена большей степени неопределенности, поскольку она может отражать метод, использованный для построения кривой, в той же степени, в какой он отражает наблюдаемые данные.

В этом разделе мы будем подгонять линии только к точкам данных, но следует отметить, что к данным можно подобрать полиномиальные функции, круги, кусочные функции и любое количество функций, и это широко используемая тема в статистике. .

Формула линейной регрессии

Линейная регрессия — это подход к моделированию линейной связи между зависимой переменной [latex] y [/ latex] и независимой переменной [latex] x [/ latex]. При линейной регрессии обнаруживается, что линия в форме пересечения наклона [латекс] y = mx + b [/ latex] «лучше всего соответствует» данным.

Самая простая и, возможно, самая распространенная модель линейной регрессии — это обычное приближение наименьших квадратов. Это приближение пытается минимизировать суммы квадратов расстояния между линией и каждой точкой.{n} x_ {i} [/ латекс].

  • Заменить значения в приведенной выше формуле [latex] b = \ bar {y} — m \ bar {x} [/ latex].
  • Используя эти значения [latex] m [/ latex] и [latex] b [/ latex], мы теперь имеем линию, которая аппроксимирует точки на графике.

    Использование приближения наименьших квадратов

    Пример: напишите линию наименьших квадратов, а затем изобразите линию, которая наилучшим образом соответствует данным

    За [латекс] n = 8 [/ latex] баллов: [латекс] (- 1,0), (0,0), (1,1), (2,2), (3,1), (4 , 2,5), (5,3) [/ латекс] и [латекс] (6,4) [/ латекс].{n} x_ {i} \\ [/ latex]:

    [латекс] \ displaystyle b \ ок. 1,6875-0,554 (2,5) = 0,3025. [/ Латекс]

    Таким образом, наше окончательное уравнение [латекс] y = 0,554x + 0,3025 [/ латекс], и эта линия нанесена на график вместе с точками.

    Least Squares Fit Line: Линия, найденная методом наименьших квадратов, [латекс] y = 0,554x + 0,3025 [/ latex]. Обратите внимание на 4 точки над линией и 4 точки под линией.

    Выбросы и регрессия методом наименьших квадратов

    Если у нас есть точка, которая находится далеко от аппроксимирующей линии, это исказит результаты и сделает линию намного хуже.Например, в нашем исходном примере вместо точки [latex] (- 1,0) [/ latex] мы имеем [latex] (- 1,6) [/ latex].

    Используя те же вычисления, что и выше, с новой точкой, результаты следующие: [латекс] m \ приблизительно0,0536 [/ латекс] и [латекс] b \ приблизительно2,3035 [/ латекс], чтобы получить новое уравнение [латекс] y = 0,0536x + 2,3035 [/ латекс].

    Если посмотреть на точки и линию на новом рисунке ниже, эта новая линия не соответствует данным из-за выброса [latex] (- 1,6) [/ latex]. Действительно, попытка подогнать линейные модели к данным, которые являются квадратичными, кубическими или какими-либо нелинейными, или к данным со многими выбросами или ошибками, может привести к плохим приближениям.

    Приближенная линия выброса: вот приблизительная линия с учетом новой точки выброса в (-1, 6).

    pydeps — документация pydeps 1.9.10

    Визуализация зависимостей модуля Python. Этот пакет устанавливает pydeps
    команда, и обычное использование будет использовать ее из командной строки.

    Из оболочки:

     оболочка> pydeps [флаги] каталог-модуля
     

    Подробные примеры использования можно найти под историей версий.

    Примечание: pydeps находит импорт, ища коды операций импорта в
    байт-коды python (например, файлов .pyc, ). Поэтому только импортированные файлы
    будут найдены (т.е. pydeps не будет искать файлы в вашем каталоге,
    не импортируются). Кроме того, только файлы, которые можно найти с помощью
    будет рассмотрен механизм импорта Python (т. е. если модуль
    отсутствует или не установлен, он не будет включен независимо от того,
    импортируется). Это можно изменить, используя --include-missing .
    флаг, описанный ниже.

    Создание графика:

    Для создания графиков вам необходимо установить Graphviz. Следуйте инструкциям
    инструкции по установке, приведенные в ссылке на Graphviz (и
    убедитесь, что на вашем пути есть команда dot ).

    Отображение графика:

    Для отображения результирующих файлов .svg или .png , по умолчанию pydeps
    вызывает соответствующий открыватель для платформы, например xdg-open foo.svg .

    Это можно изменить с помощью опции --display PROGRAM , где PROGRAM — это
    исполняемый файл, который может отображать файл изображения графика.

    Вы также можете экспортировать имя такой программы просмотра в PYDEPS_DISPLAY
    или BROWSER переменная среды, которая изменяет поведение по умолчанию
    когда --display не используется.

    Запросы функций и отчеты об ошибках:

    Пожалуйста, сообщайте об ошибках и пожеланиях на GitHub по адресу
    https://github.com/thebjorn/pydeps/issues

    Версия 1.9.10 no_show теперь учитывается при размещении в .pydeps файл.
    Спасибо romain-dartigues за PR.

    Версия 1.9.8 Исправление для превышение максимальной глубины рекурсии при использовании большого
    frameworks (например, sympy ). Спасибо tanujkhattar за поиск исправления и
    балопат за сообщение об этом.

    Версия 1.9.7 Проверьте PYDEPS_DISPLAY и BROWSER , чтобы открыть программу
    граф, PR jhermann

    Версия 1.9.6 --no-show и --no-dot как псевдонимы для --noshow
    и - узел , PR jhermann

    Версия 1.9.1 Графики теперь стабильны и на Python 3.x —
    это уже имело место для Py2.7 (спасибо pawamoy за сообщение
    и тестирование проблемы и киноу за помощь с тестированием).

    Версия 1.9.0 поддерживает Python 3.8.

    Версия 1.8.7 включает новый флаг --rmprefix , который позволяет удалить
    префиксы из меток узлов в графе. _Name_ узлов не влияет
    так что это не вызывает слияния узлов и не меняет окраску — но это
    может привести к нескольким узлам с одинаковой меткой (при наведении указателя мыши на узел
    дайте полное название).Спасибо aroberge за запрос на улучшение.

    Версия 1.8.5 С svg в качестве выходного формата (который используется по умолчанию),
    пути теперь подсвечиваются при наведении курсора мыши (спасибо tomasito665 за
    запрос об улучшении).

    Версия 1.8.2 включает новый флаг - только , который заставляет pydeps
    отчет только по указанным путям:

     оболочка> pydeps mypackage --only mypackage.a mypackage.b
     

    Версия 1.8.0 включает 4 новых флага для рисования внешних зависимостей как
    кластеры.См. Примеры ниже.
    Кроме того, стрелки теперь имеют цвет исходного узла.

    Версия 1.7.3 включает новый флаг -xx или --exclude-точный , который
    соответствует функциональности флага --exclude , за исключением того, что для этого требуется
    точное совпадение, т.е. -xx foo.bar исключает foo.bar, но не
    foo.bar.blob (спасибо AvenzaOleg за пиар).

    Версия 1.7.2 включает новый флаг - no-output , который предотвращает
    создание.svg / .png файл.

    Версия 1.7.1 исправлений исключены в файлах .pydeps (спасибо eqvis
    для отчета об ошибке).

    Версия 1.7.0 Новый флаг --reverse меняет направление
    стрелок на графике зависимостей, поэтому они указывают _ на импортированный
    модуль вместо _из_ импортированного модуля (спасибо goetzk за
    отчет об ошибке и тобиасмайер для пиара!).

    Версия 1.5.0 Поддержка Python 3 (спасибо восьмому за PR).

    Версия 1.3.4 --externals теперь будет включать модули,
    не установлены ( modulefinder называет badmodules ).

    Версия 1.2.8 Ярлык для поиска прямых внешних зависимостей
    пакета добавлено:

     pydeps --externals mypackage
     

    , который выведет на экран список имен модулей в формате json, например:

     (разработчик) перейти | c: \ srv \ lib \ dk-tasklib> pydeps --externals dktasklib
    [
        "dkfileutils"
    ]
     

    , что означает, что пакет dktasklib зависит только от пакета dkfileutils
    упаковка.

    Эта функция также доступна программно:

     импорт ОС
    из pydeps.pydeps импортировать внешние
    # каталог, содержащий setup.py (на один уровень выше фактического пакета):
    os.chdir ('каталог-пакета')
    напечатать внешние ('mypackage')
     

    Версия 1.2.5: Значения по умолчанию теперь разумны, например:

    , скорее всего, сделает то, что вы хотите. Это то же самое, что и
    pydeps --show --max-bacon = 2 mypackage , что означает отображение
    график зависимостей в вашем браузере, но ограничьте его двумя прыжками (что
    включает только те модули, которые импортирует ваш модуль, без продолжения
    вниз по цепочке импорта).Старое поведение по умолчанию доступно с
    pydeps --noshow --max-bacon = 0 mypackage .

    Запуск pydeps pydeps –max-bacon = 4 на pydeps версии 1.8.0 дает следующий график:

    Если вас не интересует внутренняя структура внешних модулей, вы можете добавить флаг --cluster , который
    сворачивает внешние модули в объекты в форме папок:

     оболочка> pydeps pydeps --max-bacon = 4 --cluster
     

    Чтобы увидеть внутреннюю структуру _и_ разграничить внешние модули, используйте флаг --max-cluster-size , который управляет
    сколько узлов может быть в кластере, прежде чем он будет свернут в значок папки:

     оболочка> pydeps pydeps --max-bacon = 4 --cluster --max-cluster-size = 1000
     

    или, используя меньший максимальный размер кластера:

     оболочка> pydeps pydeps --max-bacon = 4 --cluster --max-cluster-size = 3
     

    Чтобы удалить кластеры со слишком небольшим количеством узлов, используйте флаг --min-cluster-size :

     оболочка> pydeps pydeps --max-bacon = 4 --cluster --max-cluster-size = 3 --min-cluster-size = 2
     

    В некоторых ситуациях может быть полезно нарисовать целевой модуль как кластер:

     оболочка> pydeps pydeps --max-bacon = 4 --cluster --max-cluster-size = 3 --min-cluster-size = 2 --keep-target-cluster
     

    ..и поскольку поля кластера включают имя модуля, мы можем удалить эти префиксы:

     оболочка> pydeps pydeps --max-bacon = 4 --cluster --max-cluster-size = 3 --min-cluster-size = 2 --keep-target-cluster --rmprefix pydeps. stdlib_list.
     

    D-разделение

    Каталожные номера

    Blalock, H. (Ed.) (1971). Причинные модели в социальных науках. Алдин-Атертон, Чикаго.

    Блэлок, Х. (1961). Причинные выводы в неэкспериментальных исследованиях. Пресса Университета Северной Каролины, Чапел-Хилл, Северная Каролина.

    Костнер, Х. (1971). Теория, дедукция и правила переписки. Причинные модели в социальных науках, Blalock, H. (ed.). Олдин, Чикаго.

    Гейгер Д. и Перл Дж. (1989b). Аксиомы и алгоритмы выводов с использованием условной независимости. Отчет CSD 8

    , R-119-I, Лаборатория когнитивных систем, Калифорнийский университет, Лос-Анджелес.

    Гейгер Д., Верма Т. и Перл Дж. (1990) Определение независимости в байесовских сетях. Сети 20, 507-533.

    Глимур, К., Шайнс, Р., Спиртес, П., и Келли, К. (1987). Обнаружение причинной структуры. Academic Press, Сан-Диего, Калифорния.

    Кивери, Х. и Спид, Т. (1982). Структурный анализ многомерных данных: обзор. Социологическая методология, Лейнхард, С. (ред.). Джосси-Басс, Сан-Франциско.

    Перл, Дж. (1988). Вероятностное мышление в интеллектуальных системах. Морган и Кауфман, Сан-Матео.

    Перл, Дж. (1995). Причинно-следственные диаграммы для эмпирических исследований. Биометрика, 82, с. 669-710.

    Перл, Дж.и Dechter, R. (1989). Структура обучения на основе данных: опрос. Труды COLT ’89, 30–244.

    Перл, Дж., Гейгер, Д. и Верма, Т. (1990). Логика диаграмм влияния. Диаграммы влияния, сети убеждений и анализ решений. Р. Оливер и Дж. Смит, редакторы. John Wiley & Sons Ltd.

    Перл, Дж. И Верма, Т. (1991). Теория предполагаемой причинности. Принципы представления и рассуждения знаний: материалы второй международной конференции, Морган Кауфманн, Сан-Матео, Калифорния.

    Перл, Дж. И Верма, Т. (1990). Формальная теория индуктивной причинности. Технический отчет R-155, Лаборатория когнитивных систем, Департамент компьютерных наук Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.

    Перл, Дж. И Верма, Т. (1987). Логика представления зависимостей ориентированными графами. Отчет CSD 870004, R-79-II, Калифорнийский университет в лаборатории когнитивных систем Лос-Анджелеса.

    Ричардсон Т. (1994). Свойства циклических графических моделей. Магистерская диссертация,
    Университет Карнеги Меллон.

    Ричардсон (1995).Полиномиальный алгоритм определения марковской эквивалентности
    направленных циклических графических моделей, Технический отчет PHIL-63,
    Философский факультет Университета Карнеги-Меллона.

    Райхенбах, Х. (1956). Направление времени. Univ. из California Press, Беркли, Калифорния.

    Лосось, W. (1980). Вероятностная причинность. Pacific Philosophical Quarterly 61, 50-74.

    Спиртес, П. (1994a). «Условная независимость в ориентированных циклических графических моделях для обратной связи». Технический отчет CMU-PHIL-54, Департамент философии, Университет Карнеги-Меллона, Питтсбург, Пенсильвания.

    Spirtes, P., Glymour, C., & Scheines, R. (1993). Причинно-следственная связь, предсказание и поиск. Конспект лекций Springer-Verlag по статистике 81 ,. Спрингер-Верлаг, штат Нью-Йорк.

    Спиртес, П., Ричардсон, Т., Мик, К., Шайнс, Р., и Глимур, К. (1996). Использование d-разделения для вычисления нулевых частных корреляций в линейных моделях с коррелированными ошибками. Технический отчет CMU-PHIL-72, кафедра философии, Университет Карнеги-Меллона, Питтсбург, Пенсильвания, 15213.

    Suppes, P. (1970). Вероятностная теория причинности.Северная Голландия, Амстердам.



    Ричард Шайнс ([email protected]) / Университет Карнеги-Меллона

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.