Подобные треугольники признаки подобия треугольников: Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Подобные треугольники

      Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Рис.1

      Обозначим

a1 ,   b1 ,   c1

длины сторон треугольника   KLM,   расположенные в порядке возрастания.

      Обозначим

a2 ,   b2 ,   c2

длины сторон треугольника   TRP,   расположенные в порядке возрастания.

      Переобозначим вершины треугольников   KLM   и   TRP   так, как показано на рисунке 2.

Рис.2

      На рисунке 2 треугольник   KLM   обозначается как треугольник   A1B1C1,   а треугольник   TRP   обозначается как треугольник   A2B2C2.

      Определение 1. В треугольниках   A1B1C1   и   A2B2C2,   изображённых на рисунке 2,

  • вершины   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными вершинами,
  • стороны   A1B1   и   A2B2,   A1C1   и   A2C2,   B1C1   и   B2C2   называют сходственными сторонами,
  • углы   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными углами

      Определение 2. Треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

      Другими словами, треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, если, во-первых,

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

a1 = k a2 ,   b1 = k b2 ,   c1 = k c2 . (1)

      Определение 3. В случае, когда треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, число k, заданное формулами (1), называют коэффициентом подобия треугольников   A1B1C1   и   A2B2C2 .

Признаки подобия треугольников

Название признака Рисунок Формулировка признака

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака подобия:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия:

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Название признака Рисунок Формулировка признака

Признак подобияпрямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

      Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Рис.3

      Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Рис.4

     

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Подобные треугольники. Признаки и свойства

Категория: Справочные материалы

Елена Репина
2013-08-22
2014-01-31

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

 II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

 

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники   и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете  подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Автор: egeMax |

комментариев 50

Признаки подобия треугольников [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие
треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ — треугольники, у которых $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , и, следовательно, $\angle C = \angle C_1$ . Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Рис.1

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1\text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $\angle В = \angle В_1$ по условию и $\angle А_1 = \angle А_2$ , так как $\angle А_1 = \angle А$ по условию и $\angle А = \angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , и значит, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами
равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из теоремы 1 вытекает следующее.

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.



Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.


Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия.
Из подобия треугольников следует:
$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \,\,\, (1) $$
Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим:
$$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{AC}{8} \,\,\, (2) $$
Из равенства (2) составим две пропорции
$$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1}
\\ \frac{5}{10} = \frac{AC}{8}
\\ \text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м).
$$


Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Рис.2

Из условия задачи:
$$ 1) \angle B = \angle B_1 ;
\\ 2) \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 2,5
\\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м.
$$
Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует
$$ \frac{AC}{A_1C_1} = 2,5\text{ , или }АС = 2,5\bullet А_1С_1 $$
Так как АС = 2,5 • А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 • А1С1 + A1C1 = 4,2, откуда A1C1 = 1,2 (м), АС = 3 (м).


Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А1В1С1, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, A1C1 = 10,5 см?

Решение. Имеем:
$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4,5} = \frac{1}{1,5}
\\ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{7,5} = \frac{1}{1,5}
\\ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{7}{10,5} = \frac{1}{1,5}
$$
Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.


Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1\text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Рис.3

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $\angle 1 = \angle2 \text{ и } \angle 3 = \angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
$$ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1\text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника.


Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Видео-решение.



Подобные треугольники. Признаки подобия | Геометрия

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых  ∠A = ∠A1∠B = ∠B1∠C = ∠C1:

Стороны  AB  и  A1B1BC  и  B1C1CA  и  C1A1,  лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB  =  BC  =  AC  = k,
A1B1 B1C1 A1C1

k  — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если  k = 1,  то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком  ~ABC ~ A1B1C1.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами  S  и  S1,  то:

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Если  ∠A = ∠A1∠C = ∠C1,

то  ABC ~ A1B1C1.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Если   AB  =  AC ,  ∠A = ∠A1,
A1B1 A1C1
то  ABC ~ A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Если   AB  =  BC  =  AC ,
A1B1 B1C1 A1C1
то  ABC ~ A1B1C1.

Признаки подобных треугольников | Треугольники

Признаки подобия треугольников позволяют доказать, что треугольники являются подобными, на основании 2-3 равенств (вместо 6 по определению).

В школьном курсе геометрии, как правило, изучают три признака подобия произвольных треугольников.

1-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

2-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.

   

3-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

   

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.

Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.

Признаки подобия треугольников

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Определение 1

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$. (рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

Нам нужно доказать, что $\angle C=\angle C_1,$ и что $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$.

По теореме о сумме углов треугольника, имеем:

Далее будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема 2

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

По теореме 0, получим

Из этих равенств, получим

Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 3

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1$ и$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$ (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Используя теорему 1, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle C=\angle C_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 2).

Рисунок 3. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}$. По условию $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, следовательно, $AB=AB_2$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $\angle B_2CA=\angle C$, а так как $\angle B_2CA=\angle C_1,\ то\ \angle C=\angle C_1.$

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 4

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$.

Используя теорему 2, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 3).

Рисунок 4. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}=\frac{CB_2}{C_1B_1}$. Принимая во внимание равенства$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, получим, что $CB_2=CB,\ AB_2=AB$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по трем сторонам. Следовательно, $\angle A=\angle A_1$.

Теорема доказана.

Пример задачи на использование признаков подобия

Пример 1

Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.

Решение.

Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $\angle A=\angle A_1.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

\[\angle B=\angle C=\frac{180-\angle A}{2}\]

Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac{180-A_1}{2}=\frac{180-\angle A}{2}=\angle B=\angle C\]

То есть $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. По теореме 1, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

ч. т. д.

Подобные треугольники. Первый признак подобия треугольников.

В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

Подобными являются любые два круга, два квадрата.

Две фигуры называются подобными,

если они переводят друг в друга

преобразованием подобия

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого.

В

В 1

А

С

А 1

С 1

Число k , равное отношению соответственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

= k

ABC

A 1 B 1 C 1

В 1

В

А

С

С 1

А 1

Блиц-опрос

Найдите: х, у, z.

ABC

А 1 В 1 С 1

Дано:

В

В 1

7 см

6 см

12 см

х

у

14 см

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

А

С

8 см

С 1

z

16 см

А 1

7

Найти неизвестные стороны и углы подобных треугольников.

А 1 В 1 С 1

ABC

Дано:

В

В 1

70 0

70 0

4

10

6

67 0

43 0

15

43 0

А

С

12

67 0

А 1

С 1

18

Блиц-опрос

ABC

Найдите: х, у, z.

А 1 В 1 С 1

Дано:

В

В 1

10,5 см

у

9 см

х

18 см

21 см

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

А

С

z

12 см

С 1

24 см

А 1

9

Блиц-опрос

Найдите: х, у .

А 1 В 1 С 1

ABC

Дано:

В

В 1

7 см

6 см

х

21 см

18 см

А

С

8 см

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

С 1

у

А 1

24 см

10

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

С

А 1 В 1 С 1 ,

ABC ,

Дано:

Доказать:

А 1 В 1 С 1

ABC

В

Доказательство:

А

С 1

А 1

В 1

Блиц-опрос

Докажите подобие треугольников.

Запишите равенство отношений

соответствующих сторон.

ABC PWM

по 1 признаку

W

M

А

65 0

3 5 0

8 0 0

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

65 0

3 5 0

В

С

8 0 0

P

12

Блиц-опрос

Докажите подобие треугольников.

Запишите равенство отношений

соответствующих сторон.

ABC EFD по 1 признаку

E

А

6 0 0

60 0

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

30 0

В

С

30 0

F

D

13

Докажите подобие треугольников.

Блиц-опрос

Запишите равенство отношений

соответствующих сторон.

AB

PN

AC

=

=

BC

MN

MP

ABC MNP по 1 признаку

B

40 0

40 0

40 0

N

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

70 0

110 0

70 0

A

С

70 0

70 0

M

P

14

Блиц-опрос

АВС D – трапеция. Найдите пары подобных

треугольников и докажите их подобие.

A О D COD по 1 признаку

Запишите равенство отношений

соответствующих сторон.

B

С

OB

AO

BC

=

=

OD

OC

AD

O

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

D

A

15

похожих треугольников | Помощь с математикой

Подобные треугольники имеют одинаковую форму и отличаются только размером. Это верно и для всех других групп подобных фигур. Все приведенные ниже рисунки одного цвета похожи.

Примечание: все круги любого диаметра представляют собой одинаковые фигуры. То же самое можно сказать обо всех квадратах и ​​всех равносторонних треугольниках.

Учащиеся обычно изучают похожие треугольники и другие похожие фигуры в 8-м классе

Сходство фигур часто обсуждается с концепцией конгруэнтности.Конгруэнтные фигуры бывают не только одинаковой формы (как у похожих фигур), но и одинакового размера. Здесь вы найдете больше о конгруэнтных фигурах, а также руководство по различным типам преобразований, которые можно применить для создания конгруэнтных или похожих фигур.

Разница между подобием и соответствием состоит в том, что аналогичные фигуры должны были быть подвергнуты расширению (или, говоря более общим языком, они были изменены, или масштабированы, или увеличены, или уменьшены). Здесь вы найдете больше информации о расширениях и подобных фигурах.

Как определить, похожи ли треугольники

Два треугольника ниже выглядят так, как будто они могут быть похожими, но мы не можем сказать наверняка, если не знаем больше о длине сторон и / или углах внутри треугольника.

Чтобы определить, похожи ли треугольники, мы должны сравнить соответствующие стороны и / или соответствующие углы. В двух приведенных ниже примерах показаны соответствующие стороны и соответствующие углы.

AB и DE — соответствующие стороны

BC и EF — соответствующие стороны

CA и FD — соответствующие стороны

∠BAC и ∠EDF — соответствующие углы

∠ACB и ∠DFE — соответствующие углы

∠CBA и ∠FED — соответствующие углы

AB и XY — соответствующие стороны

BC и YZ — соответствующие стороны

CA и ZX — соответствующие стороны

∠BAC и ∠YXZ — соответствующие углы

∠ACB и ∠XZY — соответствующие углы

∠CBA и ∠ZYX — соответствующие углы

Есть несколько комбинаций условий, которые показывают, будут ли два треугольника похожими.

Если все три пары соответствующих сторон находятся в одинаковом соотношении, то треугольники подобны. Если два соответствующих угла равны, то треугольники подобны.

Два момента, на которые следует обратить внимание:
1) Если две пары соответствующих углов равны, тогда третья пара также всегда будет равна (поскольку сумма трех углов в треугольнике всегда равна 180 °).
2) Если один набор условий (например, соответствующие стороны в одинаковом соотношении) верен, то другой набор (например,грамм. соответствующие углы равны).

Другой набор условий, которые объединяются, чтобы показать сходство в треугольниках, — это когда две пары соответствующих сторон находятся в соотношении и пары соответствующих углов, включенных между этими сторонами, равны. Два прямоугольных треугольника ниже показывают пример этого.

Проблемы с похожим треугольником

Сходны ли два треугольника внизу?

Задача ниже является примером того, как свойства подобных треугольников могут быть использованы для решения реальных проблем, которые могут возникнуть.

Джо устал беспокоиться о том, могут ли соседи видеть его гостиную из своего дома. Он решил построить достаточно высокий забор, чтобы закрывать вид из окна верхнего этажа. Ему нужно решить, на какой высоте построить забор. Джо сделал некоторые измерения и набросал их, как показано ниже. Мы можем использовать то, что мы знаем о подобных треугольниках, чтобы найти высоту, на которой Джо должен сделать свой новый забор.

Джо провел несколько измерений и набросал их, как показано ниже.

Мы можем использовать то, что мы знаем о подобных треугольниках, чтобы найти высоту, на которой Джо должен сделать свой новый забор.

Мы можем создать рисунок на основе
эскиза Джо.
Мы назовем недостающее измерение
, которое нам нужно найти «x».
У нас два одинаковых треугольника
Мы можем вычислить значение x.
1,8 / х = 8/3
8x = 3 x 1,8
8x = 5,4
x = 0.675 м
Оглядываясь на наш рисунок
, мы видим, что нам нужно добавить
значение, которое мы вычислили для x, на 2,0 м, чтобы найти минимальную высоту забора.
0,675 м + 2,0 м = 2,675 м
Забор Джо должен быть не менее 2,675 м, чтобы закрыть обзор для соседей. Это довольно высокий забор. Может, ему нужны шторы!

Листы схожести

Щелкните по ссылкам ниже и попросите вашего ребенка опробовать рабочие листы на предмет сходства в треугольниках и других подобных фигурах.

Геометрия: сходство в геометрии

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

В этом разделе мы обсудим сходство в геометрии.

Две геометрические фигуры одинаковой формы и размера известны как конгруэнтные фигуры. Обратите внимание, что совпадающие числа во всех отношениях одинаковы.

Геометрические фигуры одинаковой формы, но разных размеров известны как

подобных фигур.
Для обозначения аналогичного рисунка мы используем этот знак ~ .

Например, если треугольник ABC и треугольник PQR подобны, то это можно представить следующим образом.
Δ ABC ~ ΔPQR.

Примеры:

1) Любые два отрезка линии всегда похожи, но они не обязательно должны совпадать. Они конгруэнтны, если их длины равны.

2) Любые два равносторонних треугольника подобны.

3) Любые два круга похожи, но не обязательно совпадают. Они конгруэнтны, если их радиусы равны.

Между частями двух одинаковых фигур всегда существует взаимно однозначное соответствие. Практика

Q.1 Заполните пропуски.

1) Все круги _________ (совпадают / похожи).

(Ответ)

2) Все _________ треугольники похожи (равнобедренные / равносторонние).

(Ответ)

3) Все квадраты ________ (одинаковые / совпадающие).

(Ответ)

Q.2 Сколько на рисунке похожих треугольников?

(Отв.)

Q.3 Определите пару, имеющую похожие треугольники.

(Ans)

Q.4 Приведите два разных примера пары

(i) Сходных фигур

(Ans-i)
(ii) Не похожих фигур (Ans-ii)

Q.5 Укажите сходство или не:
(i) Два круга радиусом 4 см и 5 см.
(ii) Два равносторонних треугольника со сторонами 5 см и 8 см каждый.
(iii) Два треугольника, один — прямоугольный, а другой — равнобедренный.


Сходство в треугольниках

• Сходство в геометрии
• Свойства подобных треугольников
• Основная теорема пропорциональности (теорема Фалеса)
• Обращение к основной теореме пропорциональности
• Теорема о биссектрисе внутреннего угла
• Теорема о биссектрисе внешнего угла
• Доказательства на Базовая пропорциональность
• Критерии подобия треугольников
• Среднее геометрическое количество похожих треугольников
• Области двух похожих треугольников

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

подобных треугольников

Два треугольника подобны, если разница только в размере (и, возможно, в необходимости перевернуть или перевернуть один треугольник).

Все эти треугольники похожи:

(равные углы отмечены таким же количеством дуг)

Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые перевернуты или перевернуты.

Для одинаковых треугольников:

Все соответствующие углы равны

и

Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение

Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены к соответствующим углам. Например, стороны, обращенные к углам с двумя дугами, соответствуют друг другу.

Соответствующие стороны

В подобных треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одинаковом соотношении.

Например:

Треугольники R и S похожи. Равные углы обозначены одинаковым количеством дуг.

Какова соответствующая длина?

  • Длины 7 и a соответствуют (они обращены к углу, отмеченному одной дугой)
  • Длины 8 и 6,4 соответствуют (они обращены к углу, отмеченному двумя дугами)
  • Длины 6 и b соответствуют (они обращены к углу, отмеченному тремя дугами)

Расчет длин соответствующих сторон

Иногда мы можем вычислить длины, которых еще не знаем.

  • Шаг 1: Найдите отношение соответствующих сторон
  • Шаг 2: Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестную длину

Пример: Найдите длины a и b треугольника S

Шаг 1. Найдите соотношение

Мы знаем все стороны треугольника R и
Мы знаем сторону 6.4 треугольника S

6.4 обращен к углу, отмеченному двумя дугами, как и сторона длиной 8 в треугольнике R .

Таким образом, мы можем сопоставить 6.4 с 8 , и поэтому отношение сторон в треугольнике S к треугольнику R будет:

6,4 к 8

Теперь мы знаем, что длины сторон в треугольнике S равны , умноженным на 6,4 / 8, на длин сторон в треугольнике R .

Шаг 2: Используйте соотношение

a обращен к углу с одной дугой, как и сторона длиной 7 в треугольнике R .

a = (6.4/8) × 7 = 5,6

b обращен к углу с тремя дугами, как и сторона длиной 6 в треугольнике R .

б = (6,4 / 8) × 6 = 4,8

Готово!

Как определять похожие треугольники — урок математики [видео 2021 года]

B и E — углы в комплекте.

Теоремы подобия треугольника

Хорошо.Теперь, когда мы пополнились словарным запасом, давайте подробнее рассмотрим каждую из теорем подобия.

Начнем с Угол — Угол (AA). Чтобы два треугольника были подобны по углу — углу (AA), два угла одного треугольника совпадают с двумя углами другого треугольника. Посмотрите на треугольник JKL ниже. Угол J равен 52 градусам, а угол K равен 60 градусам. Если мы вычтем 52 и 60 из 180 (общее количество градусов, на которое должны складываться все углы в треугольнике), мы увидим, что угол L равен 68 градусам.

Вы можете найти один угол, вычтя сумму двух других углов из 180.

Теперь посмотрим на треугольник MNO ниже. Если угол M конгруэнтен углу J, а угол N конгруэнтен углу K, что мы можем сказать об углах L и O? Можно сказать, что они тоже конгруэнтны. С тремя парами совпадающих углов треугольники имеют одинаковую форму, но разные размеры, что означает, что их стороны пропорциональны, а треугольники похожи.

Эти два треугольника похожи.

Для «Сторона — угол — сторона» (SAS) угол одного треугольника должен быть конгруэнтен соответствующему углу другого треугольника, а длины сторон, включая эти углы, пропорциональны. При конгруэнтных включенных углах пропорциональные стороны не могут колебаться, а третья сторона в обоих треугольниках должна иметь определенную длину. Таким образом, если две стороны уже пропорциональны, длины третьих сторон также должны быть пропорциональными, что доказывает сходство треугольника.

Последняя теорема — Сторона — Сторона — Сторона (SSS), что означает, что три набора соответствующих сторон двух треугольников пропорциональны. Если соотношения всех соответствующих сторон равны, то стороны аналогичны, как и треугольники.

При определении, какая теорема доказывает сходство, не задумывайтесь над этим; просто посмотрите на буквы в каждой теореме. Для того, чтобы треугольники были подобны Угол — Угол (AA), будут предусмотрены измерения двух углов в каждом треугольнике. Если аналогично «Сторона — Угол — Сторона» (SAS), тогда у вас будут размеры двух сторон и углы обоих треугольников.В случае «Сторона — Сторона — Сторона» (SSS) у вас будут все три длины сторон для обоих треугольников. Давай попрактикуемся.

Они похожи?

Треугольник ABC похож на треугольник DEF?

Треугольники например 1

Рассмотрим данную информацию. У нас есть длины двух сторон в обоих треугольниках и размеры включенных углов. Это звучит как Сторона — Угол — Сторона (SAS). Но, прежде чем заключить подобие по этой теореме, мы должны проверить конгруэнтные углы и пропорциональные стороны.

Угол B и угол E составляют 63 градуса, поэтому указанные углы совпадают. Чтобы установить пропорции сторон, всегда сравнивайте две самые маленькие стороны вместе и две самые большие стороны вместе, в том же порядке между треугольниками. В этом примере наши отношения 3/6 и 5/8. Если преобразовать в десятичные числа, 3/6 = 0,5 и 5/8 = 0,625. Поскольку эти соотношения не равны, треугольник ABC не похож на треугольник DEF.

Для нашего следующего примера определите, похож ли треугольник RST на треугольник WXY.

Треугольники например 2

Поскольку нам даны длины всех трех сторон в обоих треугольниках, Сторона — Сторона — Сторона (SSS) — единственная теорема, которая может доказать сходство. Настройте наши пропорции. Две меньшие стороны имеют отношение 6/3, самые большие стороны имеют отношение 10/5, а остальные стороны имеют отношение 8/4. Для упрощения все отношения равны двум. Следовательно, треугольник RST подобен треугольнику WXY по теореме подобия Сторона — Сторона — Сторона (SSS).

Давай сделаем еще один. Треугольник CRE похож на треугольник PHB?

Треугольники например 3

Исходя из указанной информации, эти треугольники могут совпадать только по углу — углу (AA). Но оказывается, что только одна пара углов конгруэнтна. Итак, вы можете подумать, что треугольники не похожи. Прежде чем делать вывод, давайте вычислим величину угла E. Вычитая 180-40-95, мы находим, что угол E составляет 45 градусов.С этой информацией мы теперь видим, что угол R и угол H совпадают, а также угол E и угол B. Следовательно, треугольник CRE подобен треугольнику PHB по теореме подобия угол-угол (AA).

Резюме урока

Подобные треугольники обладают теми же характеристиками, что и другие подобные фигуры: совпадающие соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны. Теоремы подобия треугольников, а именно: Угол — Угол (AA), Сторона — Угол — Сторона (SAS) и Сторона — Сторона — Сторона (SSS), служат сокращениями для идентификации похожих треугольников.При оценке сходства всегда начинайте с изучения предоставленной информации, которая поможет вам выяснить, какую теорему использовать при определении, похожи ли треугольники или нет.

Результат обучения

По завершении этого урока вы сможете:

  • Определить аналогичные цифры
  • Опишите характеристики, необходимые для того, чтобы треугольники были похожими
  • Объясните три теоремы подобия треугольников
  • Определите, похожи ли два треугольника, используя теоремы Угол — Угол, Сторона — Угол — Сторона или Сторона — Сторона — Сторона

похожих треугольников: периметры и области

Подобные треугольники: периметры и площади

Когда два треугольника похожи, уменьшенное отношение любых двух соответствующих сторон называется масштабным коэффициентом подобных треугольников.На рисунке 1 Δ ABC ∼ Δ DEF .

Рисунок 1 Подобные треугольники с масштабным коэффициентом 2: 1.

Соотношение сторон: 6/3, 8/4, 10/5. Все они уменьшаются до 2/1. Затем говорят, что масштабный коэффициент этих двух одинаковых треугольников равен 2: 1.

Периметр Δ ABC составляет 24 дюйма, а периметр Δ DEF — 12 дюймов. Когда вы сравниваете соотношение периметров этих похожих треугольников, вы также получаете 2: 1.Это приводит к следующей теореме.

Теорема 60: Если два одинаковых треугольника имеют масштабный коэффициент a : b, , то отношение их периметров будет a : b.

Пример 1: На рисунке 2 Δ ABC ∼ Δ DEF . Найдите периметр Δ DEF

Рисунок 2 Периметр подобных треугольников.

На рисунке 3 показаны два похожих прямоугольных треугольника с масштабным коэффициентом 2: 3.Поскольку GH GI и JK JL , их можно рассматривать как основание и высоту для каждого треугольника. Теперь вы можете найти площадь каждого треугольника.

Рисунок 3 Нахождение площадей одинаковых прямоугольных треугольников с масштабным коэффициентом 2: 3.

Теперь вы можете сравнить соотношение площадей этих одинаковых треугольников.

Это приводит к следующей теореме:

Теорема 61: Если два одинаковых треугольника имеют масштабный коэффициент a : b , то отношение их площадей будет a 2 : b 2 .

Пример 2: На рисунке 4 Δ PQR ∼ Δ STU . Найдите площадь Δ STU .

Рисунок 4 Использование масштабного коэффициента для определения соотношения между площадями одинаковых треугольников.

Масштабный коэффициент подобных треугольников составляет 5: 8.

Пример 3: Периметры двух одинаковых треугольников находятся в соотношении 3: 4. Сумма их площадей составляет 75 см 2 .Найдите площадь каждого треугольника.

Если называть треугольники Δ 1 и Δ 2 , то

Согласно теореме 60 , это также означает, что масштабный коэффициент этих двух одинаковых треугольников равен 3: 4.

Поскольку сумма площадей составляет 75 см 2 , вы получаете

Пример 4: Площадь двух одинаковых треугольников составляет 45 см 2 и 80 см 2 .Сумма их периметров 35 см. Найдите периметр каждого треугольника.

Назовите два треугольника Δ 1 и Δ 2 и пусть коэффициент масштабирования двух подобных треугольников будет a : b.

a : b — это уменьшенная форма масштабного коэффициента. 3: 4 — это сокращенная форма сравнения периметров.

Уменьшить дробь.

Возьмите квадратный корень из обеих сторон.

Пропорциональность в похожих треугольниках: межкультурное сравнение — Введение

Основным результатом геометрии, часто используемым во вторичной и университетской математике, является равенство соотношений соответствующих сторон в подобных треугольниках. Эта концепция является ожидаемым знанием студентов в области физики, инженерии и естественных наук, поскольку ее простая формулировка весьма полезна при нахождении неизвестных длин элементарных фигур в плоской геометрии. Почему верен этот геометрический результат? Что мы рассказываем нашим студентам об этой связи и, что более важно, как этот результат представлен студентам средней школы, которые будут обучать будущих студентов колледжей? Оправдан ли результат апелляцией к разуму, или подобные треугольники определяются как те треугольники, у которых соответствующие стороны имеют равные отношения? Оба этих подхода присутствуют в сегодняшней учебной программе, хотя ни один из них не особо показателен.

В этой статье предлагаются учебные материалы для доказательства теорем подобия, основанные на древнем китайском принципе площади, известном как принцип «вход-выход» или «включение-исключение». Применительно к прямоугольнику принцип определяет определенные (не совпадающие) субпрямоугольники равной площади, которые остаются после исключения совпадающих треугольников. Этот принцип легко применить, когда исключенные треугольники являются прямоугольными, и для учета всех возможных пар соответствующих сторон в прямоугольном треугольнике используется дальнейшее применение теоремы gou-gu (Пифагора).Еще одним интересным применением принципа включения-исключения является доказательство самой теоремы гоу-гу , заимствованное из текста Чжоу би суань цзин ( Математическая классика Чжоу Гномон ) [5], составленного между 100 г. до н. Э. И 100 г. н. Э. Строго говоря, gou относится к основанию или тени, а gu относится к высоте или гномону, хотя, по-видимому, не существовало слова per se для концепции треугольника в древнем Китае [5, с. 215]. См. Раздел «Математика в Китае» http: // aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/china.html> на веб-сайте истории математики Дэвида Джойса http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/> для получения дополнительной информации об истории китайской математики.

Поскольку преподавание подобия, вытекающего из древних китайских принципов рассуждения, может быть новым для многих преподавателей, статья начинается с классического подхода Евклида к этому предмету. Хотя идеи рассуждения и концепция строгости различаются между китайской и греческой школами математической мысли, результаты сходства для обеих культур основываются, в конечном счете, на аргументах о двумерной области.Скрытая математическая аксиома, стоящая за любым результатом подобия, — это постулат параллельности, тонкая аксиома, имеющая последствия, затрагивающие многие конструкции и теоремы в геометрии. Само существование прямоугольника, не говоря уже о формуле для его площади, логически эквивалентно постулату евклидовой параллельности [2]. Точно так же выражение площади треугольника как половина основания, умноженная на высоту, является евклидовой формулой, поскольку она основывается на результате площади охватывающего прямоугольника или параллелограмма.Доказательство Евклида результатов подобия основано на предложении 38 из книги I из The Elements [1]:

I.38. Треугольники, находящиеся на равных основаниях и в одинаковых параллелях, равны друг другу.

Дан треугольник ABC со стороной AB , обозначенной как основание, есть только одна линия, проходящая через C , параллельную AB , таким образом определяя высоту треугольника. Предложение I.38 утверждает, что два треугольника с равным основанием и равной высотой на самом деле будут иметь одинаковую площадь.Другой результат, эквивалентный постулату евклидовой параллельности, — это теорема, утверждающая, что любой треугольник имеет сумму углов 180 ° [2], что, в свою очередь, эквивалентно прямоугольнику, имеющему сумму углов 360 ° . Веб-ресурс «Неевклидова геометрия» http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html> в архиве истории математики MacTutor http: //www-history.mcs. st-and.ac.uk> предлагает дальнейшую историю параллельного постулата.

В то время как Евклид следует пошаговой модели дедуктивного мышления с каждым утверждением, оправданным предыдущим предложением, определением или постулатом, китайский метод немного более интуитивен, особенно при определении того, что сегодня можно назвать конгруэнтными треугольниками.Легкость, с которой затем доказываются результаты сходства (как современное упражнение), привлекает внимание. Более того, аргумент, основанный на китайских принципах, не требует сравнения, возможно, двух несоизмеримых длин оснований в одинаковых треугольниках, как должен учитывать Евклид. Две длины L 1 , L 2 соизмеримы, если целое число, кратное L 1 , может быть составлено из целого числа, кратного L 2 , или в современном язык [3, с.30], если есть положительные целые числа n 1 , n 2 с n 1 L 1 = n 2 L 2 , [( L 1 ) / ( L 2 )] — рациональное число. См. Веб-ресурс «Греческая математика» http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Greeks.html> в архиве истории математики MacTutor http: // www-history.mcs.st-and.ac.uk> для получения подробной информации об истории греческой математики.

Учебные материалы, представленные в Разделе 4, идеально подходят для курса геометрии, который преподается в колледже или средней школе, или для курса, который привлекает будущих учителей средней математики. Для использования в классе преподаватель должен представить результаты Раздела 3, хотя Раздел 2 может быть исключен из обсуждения в классе, в зависимости от направления курса и ограничений по времени. Распределяя материал в классе, преподаватель может удалить или изменить некоторые части учебного модуля, чтобы они соответствовали курсу.

Подобные треугольники и тригонометрия

Подобные треугольники и тригонометрия

Вернуться к содержанию

Обзор базовой геометрии — Урок 13

Обзор урока

Последняя глава
мы ввели преобразование подобия и
в этой главе мы применим его более конкретно к треугольникам.
Сходство между треугольниками — основа тригонометрии,
что буквально означает размер треугольника .
Как было сказано в уроке 11 Чисел,
онометрические функции trig можно рассматривать как
соотношения сторон в прямоугольных треугольниках.Пожалуйста, ознакомьтесь с информативным абзацем и таблицей специальных
здесь приведены тригонометрические значения.

Подобные треугольники

ВЫРАВНИТЬ = ЦЕНТР>

Если три стороны треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника,
то треугольники подобны (теорема подобия SSS).

ВЫРАВНИТЬ = ЦЕНТР>

Если углы (два означает три) двух треугольников равны,
то треугольники подобны (AA теорема подобия).

Примечание: это применимо не только к ASA, AAS = SAA, но и к ситуациям AAA.

ВЫРАВНИТЬ = ЦЕНТР>

Если две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольник и углы
совпадают, тогда треугольники
подобны (теорема подобия SAS).

Таким образом, остается случай SSA (ASS), который остается
двусмысленный
кроме случаев возникновения HL или SsA.

ВЫРАВНИТЬ = ЦЕНТР>

Прямые, параллельные стороне треугольника, пересекают две другие стороны на не вершинах,
тогда и только тогда, когда две стороны разделены на пропорциональные сегменты.

Поскольку эта теорема дана как если и только тогда, она идет в обоих направлениях.
Таким образом, в учебнике есть как теорема, так и обратная.

Среднее геометрическое

Мы несколько ввели среднее геометрическое в
последняя глава и
немного в статистике.
Пожалуйста, просмотрите, что у нас там есть.
Среднее геометрическое обычно впервые встречается в
пропорция
когда средства равны, как в 8/ w = w /4.Здесь w 2 = 32
и квадратный корень с обеих сторон дает ответ. Однако в целом
может быть n n геометрические средства.
Таким образом, мы не можем быть уверены в знаке и выше.

Среднее геометрическое здесь разработано из-за его применения к правому краю.
треугольники и то, как высота до гипотенузы делит треугольник
в подобные треугольники.
Предположим, у вас есть два из трех членов в геометрической последовательности,
например 2,?, 50.Другими словами, вам нужно какое-то число г ,
таким образом, что 2/ г = г /50, или 2 • 50 = 100 = г 2 ,
поэтому очевидно, что г = 10 или, возможно, г = -10. Часто положительный
Требуется среднее геометрическое, которое будет указано таким образом.

Использование строчных букв a , b и c для
стороны треугольника — обычное соглашение, восходящее к Эйлеру.
которого мы будем придерживаться. a относится либо к набору точек, составляющих сторону, либо
длина стороны в зависимости от контекста. Угол противоположной стороны а
равен A , угол, противоположный стороне b , равен B , а угол
противоположная сторона c C . Если это прямоугольный треугольник,
C будет правым, поэтому c будет [длина] гипотенузы.
Дан прямоугольный треугольник ABC высотой h (CD) до
гипотенуза, h = ( x y ),
тогда как a = ( c x ),
и b = ( c y ).Здесь x + y = c (BD ​​+ AD = AB),
а y — катет аналогичного треугольника с гипотенузой b ,
а x — катет аналогичного треугольника с гипотенузой a .

ALIGN = CENTER>

Высота треугольника — это среднее геометрическое значение отрезков треугольника.
гипотенуза, которую он делит.
Каждая нога также представляет собой среднее геометрическое
гипотенуза и прилегающий к ней отрезок гипотенузы.

Специальные треугольники, отношения длины сторон и тригонометрия

Равнобедренный прямоугольный треугольник (45 ° –45 ° –90 ° )
это очень особенный треугольник.
Длина его сторон образует особое соотношение, которое необходимо запомнить.
В частности, если обе ножки имеют длину x , то
гипотенуза имеет длину x по
теорема Пифагора. Это отношение 1 / =
/ 2 или около 0.707 должен стать знакомым.

Аналогично, 30 ° –60 ° –90 °
треугольник надо как-то запомнить. Один из способов — начать с
равносторонний треугольник, разделите пополам один угол, который также делит пополам противоположную сторону,
и рассмотрим получившиеся равные треугольники.
Очевидно, два конгруэнтных 30 ° –60 ° –90 °
образуются треугольники. Опять же, по теореме Пифагора длина стороны
соотношение может быть 1: 2.По теореме подобия AA любой треугольник с такими углами имеет следующие
точное соотношение сторон.

В прямоугольных треугольниках отношение длин сторон шести
пропорциональны углам и названы следующим образом.

sin A = противоположное плечо ÷ гипотенуза
csc A = гипотенуза ÷ противоположное плечо
cos A = соседняя ветвь ÷ гипотенуза
sec A = гипотенуза ÷ соседнее плечо
загар A = противоположная нога ÷ соседняя нога
кроватка A = соседняя нога ÷ противоположная нога

Для того, чтобы вспомнить эти соотношения, обычно используются различные мнемоники.SOH-CAH-TOA, с некоторой апокрифической ссылкой на так называемого индийского вождя,
общие: S = синус, O = противоположный, H = гипотенуза, C = косинус, A = смежный, T = касательный.
О, черт возьми, еще один час алгебры — еще одна похожая мнемоника.
Еще одно сообщение, которое недавно привлекло мое внимание, — это OHAHOAAO,
сокращение от Oscar Had A Hand On Alice’s Arch Once, что дает, по порядку,
отношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Обратите внимание, как правый столбец возвратно-поступательно движется по левому столбцу.По этой причине левый столбец считается основным
тригонометрические функции и правая колонка второстепенная.
Большинство калькуляторов имеют только основные триггерные функции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с c = 1, одна вершина в начале координат,
одна сторона вдоль оси x и прямой угол, образованный
перпендикулярно оси x , поэтому гипотенуза лежит в квадранте I.
В этом случае мы часто обозначаем одну ногу y и
другая нога х .Подумайте, что произойдет, если мы позволим углу
при изменении происхождения. По мере увеличения угла противоположная сторона
увеличивается. Поскольку мы зафиксировали c = 1, эта вершина отслеживает a
часть единичного круга. Функция синуса описывает, как это
боковые изменения с углом, начиная с 0 для 0 ° и
монотонно возрастает до 1 для 90 ° (конечно
при 0 ° и 90 ° это действительно не треугольник).
Точно так же функция косинуса, которая описывает, как соседняя сторона
изменяется, начинается с 1 для 0 ° и
всегда уменьшается до 0 для 90 ° .

Касательная — это не только отношение противоположной стороны к соседней.
сторона, но также может быть записана как синус над косинусом.
Если косинус равен 0, у нас есть проблема, деление на ноль,
поэтому тангенс угла 90 ° не определен.
Большие таблицы триггерных функций были обычным делом до калькуляторов.
стали повсеместными. Ниже представлена ​​небольшая таблица в 5 °
с шагом от 0 ° до 90 ° .
Обратите внимание, как значения косинуса совпадают со значениями синуса.
дополнительного угла.Тангенс и котангенс связаны аналогичным образом.
На следующем уроке эти триггерные функции будут расширены за пределы прямого угла,
в отрицательные углы, изобразите их,
и повторно ввести круг единиц .

Обратите особое внимание на NAN для коричневого цвета 90 ° = кроватка 0 ° .
NAN — это F ORTRAN ese для Not A Number.
Может показаться, что оно приближается к положительной бесконечности, но поскольку оно приближается
отрицательный при приближении к 90 ° сверху, а так как
эти два предела не совпадают, мы говорим, что это не число или не определено.

Пример: Рассмотрим флагшток, установленный точно перпендикулярно земле,
который отбрасывает тень длиной 11,3355 м и угол от земли вверх на вершине
тень до конца полюса составляет 34,5543 ° .
Какая высота флагштока для правильного значения?
Решение: Касательная — это отношение стороны, противоположной заданному углу.
к соседней стороне, таким образом, загар 34,5543 ° = h / 11,3355м.Решая для h , получаем h = 11,3355m • tan 34,5543 ° = 7,80650m.
Если вы получили отрицательный ответ, переведите калькулятор в режим градусов!

Площадь любого треугольника можно найти, разделив его на два прямоугольных.

ALIGN = CENTER>

Площадь треугольника = (1/2) a b • sin C ,
где C — угол между сторонами a и b .

Векторы, векторные произведения, векторные пространства

Математика и физика часто классифицируют объекты по размерности,
скаляров (только величина) и векторов (величина плюс направление)
занимая нижние ступени.Классический пример физики включает
скорость (скаляр) и скорость (вектор) — скорость показывает, насколько быстро
объект движется, но не в каком направлении.

Один из способов построения векторов использует декартову систему координат.
и упорядоченные пары или тройки. Тогда вектор определяется
направленный отрезок от начала координат до заданной точки.
Конец в начале координат — это хвост , , тогда как другой
конец — это головка и часто наконечник стрелы, который она помещает туда.Это дает определенное направление между [0 ° , 360 ° )
и определенная величина или длина, которые можно вычислить с помощью
формула расстояния. Вектор, представленный направленным отрезком линии
между (0,0) и (3,4) такое же, как между (1,1) и (4,5),
однако, поскольку они имеют одинаковую величину и направление.
Мы часто говорим, что можем перемещать вектор, пока не меняем
направление, которое он указывает, или его длина.
Мы часто разбиваем векторы на x , y и z .
компонентов, особенно с использованием синусов и косинусов для y и
x компонентов. Единичные векторы , векторы длины 1,
особенно в направлениях x , y и z
также используется. Для них есть специальные названия:
i = (1,0,0), j = (0,1,0) и k = (0,0,1).
Можно получить единичный вектор в другом направлении, например v = (1,1,1).
разделив этот вектор на его длину, обозначенную | v |:
(1,1,1) /, где подразумевается, что скаляр
применяется ко всем компонентам заказанной тройки.

Говорят, что векторы добавляются голова к хвосту или, если заданы
в виде компонентов, через компоненты. Таким образом, сумма векторов
( x 1 , y 1 , z 1 ) и
( x 2 , y 2 , z 2 )
вектор:
( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ,
z 1 + z 2 ).В пиктограмме сумма представляет собой диагональ параллелограмма, образованного
добавляя их в любом порядке. [сделать диаграмму]

Направление двумерного вектора можно получить из его x и y .
составные части. В частности, тангенс угла относительно оси x
равно y / x . В вашем калькуляторе есть специальный ключ
tan -1 , более известный как atan ,
чтобы найти этот арктангенс или обратную функцию. НЕ путайте это с обратным.
(Из контекста должно быть понятно, имеется в виду арктангенс или котангенс.)
Некоторая корректировка расчетного значения станет необходимой, поскольку
результаты для квадрантов I и IV предполагаются.
Так как наш учебник ограничивает углы от 0 ° до
180 ° , мы отложим это до другого урока.

Скаляр или скалярное произведение векторов
( x 1 , y 1 , z 1 ) и
( x 2 , y 2 , z 2 )
скалярная величина:
x 1 x 2 +
y 1 y 2 +
z 1 z 2 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *