Показательное уравнение с разными основаниями: Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?

{2}}-17t+6=0\)

имеет три корня:

\( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

\( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Содержание

«Показательные уравнения и показательные неравенства»

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a
не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c .
Тогда очевидно, что с
будет являться решением уравнения a x = a c .

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 — 2*x — 1) = 25.

Представим 25 как 5 2 , получим:

5 (x 2 — 2*x — 1) = 5 2 .

Или что равносильно:

x 2 — 2*x — 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4 x — 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение:

t 2 — 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 — 3*x)

Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x)

Получим: 7 — 3*x>-2.

Отсюда: х

Ответ: х

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств

1. Определение и свойства показательной функции

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция
— это функция вида , где основание степени и Здесь х — независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции
:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (). При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().

2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример

На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

Методика решения неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.

Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.

Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:

Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:

Основание степени меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни:

Ветви параболы направлены вверх.

Таким образом, имеем решение неравенства:

Несложно догадаться, что правую часть можно представить как степень с нулевым показателем:

Основание степени больше единицы, знак неравенства не меняется, получаем:

Напомним методику решения таких неравенств.

Рассматриваем дробно-рациональную функцию:

Находим область определения:

Находим корни функции:

Функция имеет единственный корень,

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Таким образом, получили ответ.

Ответ:

3. Решение типовых показательных неравенств

Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но различными основаниями.

Одно из свойств показательной функции — она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.

Проиллюстрируем решение:

На рисунке 6.3 изображены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4

Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:

Приведем подобные члены:

Разделим обе части на :

Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на :

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

4. Графическое решение показательных неравенств

Пример 6 — решить неравенство графически:

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.

Функция — экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Функция — линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа ()

Несложно заметить, что корнем данной системы является :

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: (рисунок 6.4)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Просвещение.

Math. md . Mathematics-repetition. com . Diffur. kemsu. ru .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 472, 473;

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство.

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа
решения систем уравнений:

    Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x. $ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

    Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

    Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

    Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить систему уравнений

Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Рисунок 2. {\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\U}

Решение показательных уравнений — Решение

Рассмотрим
различные типы показательных уравнений
и методы их решений

Тип:
Три разных основания степеней

Метод:
Разложение оснований на множители и
сведение к двум основаниям степеней.

Тип:
Два разных основания степеней –
разные показатели.

Метод:
Приведение к одинаковым показателям
степеней.

Тип:
Основания степеней – степени одного
числа.

Метод:
Приведение к одинаковым основаниям
степеней.

Тип:
Два разных основания
степеней- одинаковые показатели.

Метод: Деление
на меньшее основание в степени
уравнения.

Тип:
Одинаковые основания степеней –
разные показатели.

Метод:
Приведение к одинаковым показателям
степеней.

Тип:
Одинаковые основания степеней –
одинаковые показатели степеней.

Метод: Замена
переменной.

Тип:
Произведение степеней.

Метод:
Приведение к одному основанию степени.

Тип:
Простейшие показательные уравнения.

Метод:
Логарифмирование.

Решение показательных уравнений

Тип: Произведение
степеней.

Метод: Приведение
к одному основанию степени.

Алгоритм решения

Если
в показательном уравнении встречаются
только произведения степеней, то

  1. приведите
    все степени к одному основанию

    и, используя тождества произведения и
    частного степеней, получите простейшее
    показательное уравнение;

  2. методом
    логарифмирования
    решите
    простейшее показательное уравнение.

Решение показательных уравнений

Тип: Одинаковые
основания – одинаковые показатели
степеней.

Метод: Замена
переменной.

Алгоритм
решения

Если
в показательном уравнении все основания
одинаковы и показатели степеней –

одинаковые, то

  1. сделайте
    замену переменной;

  2. решите
    уравнение относительно этой новой
    переменной;

  3. сделайте
    обратную замену переменной и получите
    совокупность простейших
    показательных уравнений;

методом логарифмирования
решите простейшее показательное
уравнение и получите ответ.

Решение показательных уравнений

Тип: Одинаковые
основания степеней – разные показатели.

Метод: Приведение
к одинаковым показателям.

Алгоритм
решения

Если
в показательном уравнении все основания
одинаковы, а показатели степеней –

разные, то:

  1. приведите
    к одному показателю
    степени
    и получите уравнение с одинаковыми
    основаниями и одинаковыми показателями
    степеней;

  2. сделайте
    замену переменной;

  3. решите
    уравнение относительно этой новой
    переменной;

  4. сделайте
    обратную замену переменной и получите
    совокупность простейших
    показательных уравнений;

  5. методом
    логарифмирования
    решите
    простейшее уравнение и получите ответ.

Решение показательных уравнений

Тип: Два
разных основания степеней – одинаковые
показатели.

Метод: Деление
на меньшее основание в степени уравнения.

Алгоритм
решения

Если
в показательном уравнении встречаются
два разных основания степеней,

имеющих одинаковые (или кратные)
показатели, то

  1. разделите
    все уравнение почленно на меньшее
    основание в степени уравнения
    ,
    преобразуйте дроби с помощью тождества
    степени дроби и получите показательное
    уравнение с одинаковыми
    основаниями и одинаковыми показателями
    степеней;

  2. сделайте
    замену переменной;

  3. решите
    уравнение относительно этой новой
    переменной;

  4. сделайте
    обратную замену переменной и получите
    совокупность простейших
    показательных уравнений;

  5. методом
    логарифмирования
    решите
    простейшие показательные уравнения и
    получите ответ.

Решение показательных уравнений

Тип: Два
разных основания степеней – разные
показатели.

Метод: Приведение
к одинаковым показателям степени.

Алгоритм
решения

Если
в показательном уравнении встречаются
два разных основания степеней с

разными показателями, то:

  1. приведите
    к одинаковым показателям степеней

    и получите уравнение с
    двумя разными основаниями и одинаковыми
    (или кратными) показателями степеней;

  2. разделите
    все уравнение почленно на меньшее
    основание в степени уравнения.

    Преобразуйте дроби с помощью тождества
    степени дроби и получите показательное
    уравнение с одинаковыми основаниями
    и одинаковыми показателями степеней;

  3. сделайте
    замену переменной;

  4. решите
    уравнение относительно этой новой
    переменной;

  5. сделайте
    обратную замену переменной и получите
    совокупность простейших
    показательных уравнений;

  6. методом
    логарифмирования
    решите
    простейшие показательные уравнения и
    получите ответ.

Таким образом, можно сказать,
что показательное уравнение с двумя
разными основаниями степеней и разными
показателями является уравнением,
приводящимся к однородному
показательному уравнению.

Решение показательных уравнений

Тип: Два
разных основания степеней – разные
показатели.

Метод: Приведение
к одинаковым показателям степени.

Алгоритм
решения

Если
в показательном уравнении встречаются
два разных основания степеней с

разными показателями, то:

  1. приведите
    к одинаковым показателям степеней

    и получите уравнение с
    двумя разными основаниями и одинаковыми
    (или кратными) показателями степеней;

  2. разделите
    все уравнение почленно на меньшее
    основание в степени уравнения,

    преобразуйте дроби с помощью тождества
    степени дроби и получите показательное
    уравнение с одинаковыми основаниями
    и одинаковыми показателями степеней;

  3. сделайте
    замену переменной;

  4. решите
    уравнение относительно этой новой
    переменной;

  5. сделайте
    обратную замену переменной и получите
    совокупность простейших
    показательных уравнений;

  6. методом
    логарифмирования
    решите
    простейшие показательные уравнения и
    получите ответ. 1$

    $3х-2=1$

    $3х=3$

    $х=1$

    Ответ: $1$

    Обобщающий урок по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий», 11-й класс

    Ключевые слова:

    применение компьютерных технологий,
    углубленное изучение математики


    Цели:

    • обобщение и систематизация знаний,
    • раскрытие связей и отношений в изучаемом
      материале,
    • учить применять знания при решении базовых и
      нестандартных задач,
    • подготовить учащихся к ЕГЭ.

    Оборудование:

    • компьютер,
    • мультимедийный проектор,
    • экран,
    • Приложение 1 (слайдовая
      презентация в PowerPoint) “Методы решения
      показательных уравнений”
    • Приложение 2 (Решение
      уравнения типа “Три разных основания степеней”
      в Word)
    • Приложение 3 (раздаточный
      материал в Word для практической работы).
    • Приложение 4 (раздаточный
      материал в Word для домашнего задания).

    Ход урока


    1. Организационный этап

    • сообщение темы урока (записана на доске),
    • необходимость проведения обобщающего урока в
      10-11 классах:

    • в 10 классе – после прохождения темы с целью
      систематизации знаний;
    • в 11 классе – итоговое повторение с целью
      подготовки к ЕГЭ.

    Этап подготовки учащихся к активному усвоению
    знаний

    Повторение



    Определение.

    Показательным уравнением называется
    уравнение, содержащее переменную в показателе
    степени (отвечает учащийся).



    Замечание учителя. Показательные
    уравнения относятся к классу трансцендентных
    уравнений. Это труднопроизносимое название
    говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря,
    не решаются в виде формул.

    Их можно решать только приближенно численными
    методами на компьютерах. А как же быть с
    экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит
    в том, что экзаменатор так составляет задачу, что
    она как раз допускает аналитическое решение.
    Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать
    такие тождественные преобразования, которые
    сводят данное показательное уравнение к самому
    простому показательному уравнению. Это самое
    простое уравнение так и называется: простейшее
    показательное уравнение.
    Оно решается логарифмированием.

    Ситуация с решением показательного уравнения
    напоминает путешествие по лабиринту, который
    специально придуман составителем задачи. Из этих
    весьма общих рассуждений следуют вполне
    конкретные рекомендации.


    Для успешного решения показательных уравнений
    необходимо:

    1. Не только активно знать все показательные
    тождества, но и находить множества значений
    переменной, на которых эти тождества определены,
    чтобы при использовании этих тождеств не
    приобретать лишних корней, а тем более, – не
    терять решений уравнения.

    2. Активно знать все показательные тождества.

    3. Четко, подробно и без ошибок проделывать
    математические преобразования уравнений
    (переносить слагаемые из одной части уравнения в
    другую, не забыв про смену знака, приводить к
    общему знаменателю дроби и тому подобное). Это
    называется математической культурой. При этом
    сами выкладки должны делаться автоматически
    руками, а голова должна думать об общей
    путеводной нити решения. Делать преобразования
    надо как можно тщательней и подробней. Только это
    даст гарантию верного безошибочного решения. И
    помнить: небольшая арифметическая ошибка может
    просто создать трансцендентное уравнение,
    которое в принципе не решается аналитически.
    Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку
    лабиринта.

    4. Знать методы решения задач (то есть знать все
    пути прохода по лабиринту решения). Для
    правильного ориентирования на каждом этапе Вам
    придется (сознательно или интуитивно!):

    • определить тип уравнения;
    • вспомнить соответствующий этому типу метод
      решения
      задачи.

    Этап обобщения и систематизации изученного
    материала.

    Учителем совместно с учащимися с привлечением
    компьютера проводится обзорное повторение всех
    видов показательных уравнений и методов их
    решения, составляется общая схема. (Используется
    обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского
    «Курс математики – 2000», автор презентации в
    PowerPoint – Т.Н. Купцова .)



    Приложение 1

    Рис. 1. На рисунке представлена
    общая схема всех типов показательных уравнений.

    Как видно из этой схемы стратегия решения
    показательных уравнений состоит в том, чтобы
    привести данное показательное уравнение к
    уравнению, прежде всего, с одинаковыми
    основаниями степеней
    , а затем – и с
    одинаковыми показателями степеней.

    Получив уравнение с одинаковыми основаниями и
    показателями степеней, Вы заменяете эту степень
    на новую переменную и получаете простое
    алгебраическое уравнение (обычно,
    дробно-рациональное или квадратное)
    относительно этой новой переменной.

    Решив это уравнение и сделав обратную замену,
    Вы в результате приходите к совокупности
    простейших показательных уравнений, которые
    решаются в общем виде с помощью
    логарифмирования.

    Особняком стоят уравнения, в которых
    встречаются лишь произведения (частные)
    степеней. Воспользовавшись показательными
    тождествами, удается эти уравнения привести
    сразу к одному основанию, в частности, – к
    простейшему показательному уравнению.

    Рассмотрим, как решается показательное
    уравнение с тремя разными основаниями степеней.

    (Если у учителя есть обучающая компьютерная
    программа Л.Я. Боревского «Курс математики –
    2000» , то естественно работаем с диском, если нет
    – можно на каждую парту сделать распечатку
    такого типа уравнения из нее, представленную
    ниже.)



    Приложение 2

    Рис. 2. План решения уравнения.

    Рис. 3. Начало решения уравнения

     

    Рис. 4. Окончание решения
    уравнения.

    Выполнение практической работы

    Приложение 3
    (раздаточный материал в Word для практической
    работы).



    Задание: из списка уравнений выбрать
    уравнения указанного типа (№ ответа занести в
    таблицу) и решить их (ответ занести в таблицу):

    1. Три разных основания степеней
    2. Два разных основания – разные показатели
      степени
    3. Основания степеней – степени одного числа
    4. Одинаковые основания – разные показатели
      степеней
    5. Одинаковые основания степеней – одинаковые
      показатели степеней
    6. Произведение степеней
    7. Два разных основания степеней – одинаковые
      показатели
    8. Простейшие показательные уравнения






    Фамилия  
    № шага A B C D E F G H
    № соотв. типа уравнения                
    ответ                

    Выполняется попарная взаимопроверка с
    выставлением оценок.

    Нормы оценок:





    «5» – 100%
    «4» – 1 ош. – 88%

    2 ош. – 75%
    «3» – 3 ош. – 63%
    «2» – 4 ош. – 50%.

    Решение нестандартного показательного
    уравнения

    А теперь решим с вами одно из нестандартных
    показательных уравнений, которые необходимо
    научиться решать при подготовке к ЕГЭ (задание
    уровня С).

    №218* (См. А.В. Столин. Комплексные упражнения по
    математике с решениями, 7-11 классы. Харьков, ИМП
    “Рубикон”, 1995)

    Решить уравнение:



    Решение:



    Ответ:

    Этап информации о домашнем задании



    Домашнее задание.

    Приложение 4

    Определить тип уравнения и решить его.

    Подведение итогов урока

    Выставление оценок за урок.

    Окончание урока

    Для учителя



    Схема ответов практической работы.

    Задание: из списка уравнений выбрать
    уравнения указанного типа (№ ответа занести в
    таблицу):

    1. Три разных основания степеней
    2. Два разных основания – разные показатели
      степени
    3. Основания степеней – степени одного числа
    4. Одинаковые основания – разные показатели
      степеней
    5. Одинаковые основания степеней – одинаковые
      показатели степеней
    6. Произведение степеней
    7. Два разных основания степеней – одинаковые
      показатели
    8. Простейшие показательные уравнения

    1.
    (произведение степеней)

    2.
    (одинаковые основания – разные показатели
    степеней)

    3. (три
    разных основания степеней)

    4. (два
    разных основания степеней – одинаковые
    показатели)

    5.
    (одинаковые основания – одинаковые показатели
    степеней)

    6. (
    (простейшее показательное уравнение)

    7. (два
    разных основания – разные показатели степени)

    8.
    (основания степеней – степени одного числа)





    № шага A B C D E F G H
    № соотв. типа уравнения 3 7 8 2 5 1 4 6
    ответ -2; 4 -1 -0,5; 0,5 ; 0 -1 0; 2

    Домашнее задание

    1) (три
    разных основания степеней)

    Ответ:

    2) (два разных
    основания – разные показатели степени)

    Ответ: х = 1,5

    3) 0,125
    (произведение степеней)

    Ответ: х = 6

    4) (одинаковые
    основания – разные показатели степеней)

    Ответ: х = 1

    5)
    (основания степеней – степени одного числа)

    Ответ:

    В зависимости от уровня подготовленности
    класса и, соответственно, темпа урока в
    оставшееся время можно познакомить учащихся с
    обучающей компьютерной с программой Л. Я.
    Боревского «Курс математики – 2000» и с её
    помощью рассмотреть решение показательного
    уравнения № 8.41. (Учитель проводит беседу с
    привлечением компьютера и разбор уравнения типа
    «Три разных основания степеней».)

    Примеры решения простейших показательных уравнений


    Решите показательные уравнения:


    а)


    б)


    в)


    г)


    а) По большому счету, это устное задание: уравнение имеет единственное решение . Но чтобы сразу давать ответ в подобных случаях, нужно очень хорошо понимать, какие рассуждения за этим стоят. Приведем их.


    Уравнение представляет собой равенство двух степеней с одинаковыми основаниями, которыми служат положительные и отличные от единицы числа – в нашем случае это двойки. Подобные уравнения наиболее рационально решать с опорой на следующее свойство степеней: две степени с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Таким образом, равенство имеет место тогда и только тогда, когда . То есть, — это единственное решение уравнения .


    По сути, это решение уравнения методом освобождения от внешней функции.


    Неплохо иметь в виду и альтернативные способы решения. Вот первый из них. — это простейшее показательное уравнение. Степень , стоящая в правой части уравнения, есть положительное число как степень положительного числа. Известно, что в этом случае простейшее показательное уравнение имеет единственное решение. Оно очевидно: .


    Это уравнение можно решить и методом логарифмирования:


    б) Уравнение можно рассматривать как . А дальше, рассуждая как в предыдущем примере, приходим к выводу, что x=1 – единственный корень уравнения.


    в) Аналогично, простейшее показательное уравнение имеет единственное решение .


    г) Здесь уравнение тоже представляет собой равенство двух степеней с одинаковыми основаниями. Но в отличие от предыдущих примеров, здесь не очень очевидно, что основания являются положительными и отличными от единицы числами. Поэтому, в этом приходится дополнительно убедиться (при необходимости смотрите сравнение чисел):


    Итак, основания степеней есть одинаковые положительные и отличные от единицы числа. Дальше повторяем рассуждения из пункта а), они нас приводят к выводу, что — единственный корень уравнения .

    Решение показательных уравнений через преобразования

    Направления проведения преобразований. Примеры.


    Выше мы рассмотрели самые основные и характерные преобразования показательных уравнений по отдельности, а также разобрали примеры их проведения. Но на практике при решении показательных уравнений обычно приходится проводить не одно какое-то преобразование, а серию последовательных преобразований. Естественно, при этом необходимо четко понимать, для чего проводится то или иное преобразование. Сейчас мы обозначим основные направления проведения преобразований, которых следует придерживаться при решении показательных уравнений.



    Можно выделить три основных направления проведения преобразований показательных уравненийM:



    • К одинаковым степеням.

    • К одинаковым основаниям степеней.

    • К одинаковым показателям степеней.


    Придерживаясь указанных направлений, следует от исходного показательного уравнения продвигаться к уравнениям, для которых известен метод решения, то есть, к уравнениям af(x)=b, af(x)=ac, af(x)=ag(x), f(g(x))=0, f1(g(x))=f2(g(x)), f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0 и др. Давайте разбираться с этим на конкретных примерах.



    К одинаковым степеням



    Стремление к одинаковым степеням, то есть, к степеням с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями, при решении показательных уравнений легко объяснимо – после получения одинаковых степеней появляется возможность привести уравнение к удобному для дальнейшего решения виду, ввести новую переменную или каким-либо другим способом продвинуться в решении. Приведем примеры.



    Возьмем показательное уравнение 3x+2+3x+1+3x=39. Очевидна возможность получить одинаковые степени 3x. Реализовать ее позволяет свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. Это свойство позволяет преобразовать исходное показательное уравнение в уравнение 3x·32+3x·31+3x=39 с одинаковыми степенями 3x. Дальше степень 3x выносится за скобки как общий множитель, и уравнение приводится к простейшему показательному уравнению 3x=3 с очевидным решением x=1.



    Рассмотрим еще один пример. В показательном уравнении 49·72·x−50·7x+1=0 тоже несложно получить одинаковые степени 7x. Достичь этого позволяет опора на свойство степени в степени. По свойству степени в степени мы можем заменить 72·x выражением (7x)2, то есть, перейти к уравнению 49·(7x)2−50·7x+1=0. Это открывает путь к решению показательного уравнения через введение новой переменной 7x=t.



    К одинаковым основаниям



    Когда нет возможности получить одинаковые степени или такая возможность не очевидна, то можно довольствоваться получением одинаковых оснований. Это тоже бывает полезно при решении показательных уравнений. Проиллюстрируем сказанное примерами.



    Несложно заметить, что выражения, отвечающие частям показательного уравнения , можно преобразовать в степени с основаниями 3. Это позволяют сделать свойства степеней и связь между корнями и степенями с дробными показателями. Действительно, так как и , то исходное показательное уравнение можно преобразовать в уравнение , которое легко решается, например, методом уравнивания показателей.



    Переход к одинаковым основаниям позволяет уменьшать количество степеней с разными основаниями, что часто неплохо продвигает в решении показательных уравнений. Например, в показательном уравнении (10x)2+9·20x−10·(2x)2=0 три степени и у всех этих степеней различные основания. Представление степени 20x в виде 10x·2x позволяет преобразовать исходное уравнение к виду (10x)2+9·10x·2x−10·(2x)2=0. При этом уменьшается количество степеней с различными основаниями с трех до двух, и получается показательное уравнение, однородное относительно степеней 10x и 2x, а для таких уравнений есть стандартный метод решения.



    Аналогично, в показательном уравнении представление степени 504x−2 в виде 504x−2=23·x−6·32·x−4·7x−2 уменьшает количество степеней с разными основаниями, и открывает дорогу к дальнейшему решению через деление обеих частей уравнения на 23·x−6·32·x−4·7x−2.



    К одинаковым показателям



    Если нет возможности вести преобразования в сторону получения одинаковых степеней или хотя бы одинаковых оснований степеней, то стоит рассмотреть возможность продвижения к одинаковым показателям степеней. Это тоже может быть полезно в плане решения показательных уравнений. Приведем примеры.



    Легко заметить, что показатели степеней в записи показательного уравнения 5−3−x·133+x=1 различаются только знаками. В подобных случаях можно переходить к одинаковым показателям. В нашем случае степень 5−3−x можно рассматривать как , ведь в силу свойства степени в степени . Это позволяет от исходного уравнения перейти к показательному уравнению , в записи которого степени имеют одинаковые показатели, что в свою очередь позволяет с опорой на свойство степени произведения перейти к простейшему показательному уравнению , и получить искомое решение.



    Давайте разберем еще один пример. Возьмем показательное уравнение 2·32·x=9·2x. Здесь можно осуществить переход к степеням с одинаковыми показателями, заменив 32·x на 9x. Это преобразование дает уравнение 2·9x=9·2x, которое через деление обеих частей на 2x приводится к простейшему показательному уравнению . Его решением является x=1.


    Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов

    Показательное уравнение включает в себя неизвестную переменную в показателе степени. В этом уроке мы сосредоточимся на экспоненциальных уравнениях, которые не требуют использования логарифма . В алгебре эта тема также известна как решение экспоненциальных уравнений с той же базой. Почему? Причина в том, что мы можем решить уравнение, заставив обе части экспоненциального уравнения иметь одинаковое основание.


    Основные этапы решения экспоненциальных уравнений без логарифмов

    Сделайте основу с обеих сторон уравнения ТО ЖЕ

    , так что если \ large {b ^ {\ color {blue} M}} = {b ^ {\ color {red} N}}

    , затем {\ color {blue} M} = {\ color {red} N}

    • Другими словами, если вы можете выразить экспоненциальные уравнения с одинаковым основанием с обеих сторон, то можно установить их степени или показатели равными друг другу.

    Вы также должны помнить о свойствах экспонент, чтобы успешно решать экспоненциальные уравнения.


    Основные свойства экспонент

    1) Нулевая собственность

    2) Свойство с отрицательной экспонентой

    3) Правило продукта

    4) Правило частного

    5) Правило власти над властью

    Давайте взглянем на несколько примеров!


    Примеры решения экспоненциальных уравнений без логарифмов

    Пример 1: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.3}.

  7. Примените свойство отрицательной экспоненты.

    • На этом этапе базы одинаковы, поэтому установите одинаковые мощности.
    • Это простое линейное уравнение с одним шагом.
    • Чтобы найти x, разделите обе части на 3. Вот и все!

    Окончательный ответ здесь x = — 1.


    Пример 2: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент. 8}.

    Примените правило продукта слева, а правило мощности — справа.

    • Здесь мы готовы установить равные силы друг другу, так как мы можем создавать единые базы, одинаковые с обеих сторон.
    • Решите простое линейное уравнение.
    • Вычтите обе стороны на 7x, чтобы выделить x. Сделанный!

    Окончательный ответ: x = 3.


    Пример 3: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.0}, используя нулевое свойство экспоненты.

    • Теперь у нас есть желаемая конфигурация — одинаковые основания с обеих сторон.
    • Установите показатель степени в левой части уравнения равным показателю в правой части, затем решите уравнение для переменной x.
    • Чтобы решить уравнение, начните с добавления обеих частей на 12, чтобы переместить константу вправо.
    • Наконец, разделите обе стороны на 4, чтобы получить значение x. 3}

      • Примените свойство отрицательной экспоненты к левой части уравнения.
      • Умножьте внутренние показатели степени на внешние, используя правило «Степень на степень».
      • Так как у них общая база, добавьте экспоненты с помощью правила продукта.
      • Очевидно, что, имея одну и ту же базу с обеих сторон, мы теперь можем установить каждую степень равной друг другу.
      • Решите линейное уравнение, сложив обе части на 6, чтобы получить x = 9.3}

        • Умножьте внутренний и внешний экспоненты, применив Степень к Правилу мощности.
        • На этом этапе мы можем добавить показатели в левой части уравнения, потому что теперь они имеют общие основания.
        • Примените правило произведения, добавляя экспоненты, когда основания равны.
        • Очевидно, мы можем положить степени обеих частей уравнения равными друг другу.
        • В результате получается простое многоступенчатое уравнение.
        • Итак, мы сначала добавляем 6x с обеих сторон. Затем вычтите на 4. И, наконец, разделите на — 1, чтобы полностью выделить x !

        Ответ: x = 7. Легкий!


        Пример 6: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

        Решение :

        • Выразите каждое число с основанием 2.

        Затем умножьте внутренние показатели степени на внешние показатели, используя правило «Степень на степень».

        • Чтобы сгенерировать единую базу с левой стороны, используйте правило продукта — скопируйте общую базу 2 и добавьте экспоненты.
        • Это когда мы применяем Правило продукта.
        • После сложения экспонент у нас есть по одной базе с каждой стороны.

        Пришло время установить равные мощности.

        • Приравняв степени, мы приходим к квадратному уравнению.

        Нам нужно переместить все члены на одну сторону, заставляя противоположную сторону равняться нулю.

        • Решите квадратное уравнение, используя метод факторизации. Выносим за скобки 5 в трехчлене, затем выносим простой трехчлен как произведение двух биномов.
        • Используя свойство Zero, мы получаем эти значения для x.

        Правильные ответы: x = 2 и x = — 1.


        Пример 7: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

        Решение :

        • Выразите каждое число как экспоненциальное число с основанием 7.
        • Примените свойство отрицательной экспоненты с левой стороны.

        Кроме того, символ квадратного корня можно переписать как показатель степени от \ large {1 \ over 2}.

        • Примените силу к правилу мощности с левой стороны.
        • Выразите левую часть одной базой, используя правило продукта, скопировав общую базу и добавив экспоненты.
        • Теперь мы можем установить степени равными друг другу, а затем решить.
        • Чтобы найти x, вычтите обе части на 2.
        • Чтобы закончить это, разделите обе стороны на 12.

        Окончательное решение: x = — {\ large {1 \ over 8}}.


        Пример 8: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

        Решение :

        • Выразите числа с помощью основания 5.

        Затем умножьте внутреннюю и внешнюю экспоненты с помощью правила степени на степень.

        • Похоже, мы можем использовать правило частных, потому что у нас одинаковые основания для числителя и знаменателя.
        • Вычтем показатель степени в числителе на показатель степени в знаменателе.

        Теперь можно установить «степени» или показатели равными друг другу, а затем решить квадратное уравнение.

        • Решите квадратное уравнение, разложив трехчлен на два бинома. Затем установите каждый бином равным 0, чтобы найти x.
        • Используя свойство нулевого произведения, мы получаем эти значения x.

        Окончательные ответы: x = — 3 и x = 2.п, (6) 1м = 1н,

        , где a ≠ 0a \ neq0a = 0 и b ≠ 0.b \ neq0.b = 0. Всегда будьте осторожны с (5) (5) (5) и (6) (6) (6); никогда не забывайте проверять, работает ли установка нуля в экспоненту, и есть ли основания, равные 1.

        Уравнение с разным основанием (экспонента)

        Уравнение с разным основанием (экспонента) — Mathematics Stack Exchange

        Сеть обмена стеков

        Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

        Посетить Stack Exchange

        1. 0

        2. +0

        3. Авторизоваться
          Зарегистрироваться

        Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

        Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

        Кто угодно может задать вопрос

        Кто угодно может ответить

        Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

        Спросил

        Просмотрено
        1к раз

        $ \ begingroup $

        Мне кажется, я застрял здесь со следующим уравнением:
        $$ 2 ^ x + 2 ^ {x + 1} = 3 ^ {x + 2} + 3 ^ {x + 3} $$

        $ \ endgroup $

        5

        $ \ begingroup $

        Уведомление, $$ 2 ^ x + 2 ^ {x + 1} = 3 ^ {x + 2} + 3 ^ {x + 3} $$
        $$ 2 ^ x + 2 \ cdot 2 ^ x = 3 ^ 2 \ cdot 3 ^ x + 3 ^ 3 \ cdot 3 ^ x $$
        $$ 2 ^ x + 2 \ cdot 2 ^ x = 9 \ cdot 3 ^ x + 27 \ cdot 3 ^ x $$
        $$ 3 \ cdot 2 ^ x = 36 \ cdot 3 ^ x $$ $$ \ frac {3 ^ x} {2 ^ x} = \ frac {1} {12} $$

        $$ \ left (\ frac {3} {2} \ right) ^ x = \ frac {1} {12} $$
        $$ x \ ln \ frac {3} {2} = — \ ln 12 $$
        $$ \ bbox [5pt, граница: 2. x = 1/12 $, которую можно решить с помощью логарифмов.

        Создан 03 дек.

        Андре НиколяАндре Николя

        44411 золотых знаков494494 серебряных знака5 бронзовых знаков

        $ \ endgroup $

        $ \ begingroup $

        Основная идея состоит в том, чтобы учитывать каждую сторону.х $.

        То же самое можно сделать и с правой стороной. Это должно очень помочь.

        Создан 03 дек.

        Mweissmweiss

        20.3k33 золотых знака4141 серебряный знак7979 бронзовых знаков

        $ \ endgroup $

        $ \ begingroup $

        \ begin {align}
        2 ^ x + 2 ^ {x + 1} & = 3 ^ {x + 2} + 3 ^ {x + 3} \\
        2 ^ х + 2 \ cdot2 ^ x & = 3 ^ 2 \ cdot3 ^ x + 3 ^ 3 \ cdot3 ^ x \\
        (1 + 2) 2 ^ x & = (3 ^ 2 + 3 ^ 3) 3 ^ x \\
        3 \ cdot2 ^ x & = 36 \ cdot3 ^ x \\
        2 ^ х & = 12 \ cdot3 ^ x \\
        \ left (\ frac23 \ right) ^ x & = 12 \\
        \ end {align}
        Теперь используйте логарифмы.

        Создан 03 дек.

        Акива Вайнбергер, Акива Вайнбергер

        18.1k11 золотых знаков2929 серебряных знаков8080 бронзовых знаков

        $ \ endgroup $

        Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

        Ваша конфиденциальность

        Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

        Принимать все файлы cookie

        Настроить параметры

        Учебное пособие по решению экспоненциального уравнения

        Нам нужно понять экспоненциальное уравнение, прежде чем решать экспоненциальное уравнение.Экспоненциальное уравнение — это функция, которую можно понять через данное уравнение.

        F (x) = ab x

        В приведенной выше формуле b — положительное действительное число, а x — показатель степени. Уравнения, в которых переменные представлены в виде экспонент, известны как экспоненциальные уравнения.

        Экспоненциальное уравнение можно решить с помощью

        • Решение экспоненциального уравнения с одним и тем же основанием
        • Решение экспоненциального уравнения с другим основанием.
        • Решение экспоненциального уравнения и целого числа.
        • Решение экспоненциального уравнения с помощью логарифмов.

        Как решить экспоненциальное уравнение с тем же основанием?

        Следующие шаги могут быть применены для решения экспоненциального уравнения с тем же основанием;

        Это означает, что если основания одинаковые, то и экспоненты должны быть одинаковыми. Как решить экспоненциальное уравнение, можно получить, выполнив шаги, указанные ниже.

        Шаг 1. Следует определить, можно ли записать число с использованием той же основы.Если число может быть записано с использованием того же основания, остановитесь и используйте другие шаги для решения экспоненциальных уравнений с тем же основанием. В противном случае требуется шаг 2.

        Шаг 2: Проблема с использованием той же базы должна быть переписана.

        Шаг 3: Упрощение задачи с помощью свойств экспонент.

        Шаг 4: отбросьте основания и установите равные степени экспоненты, если основания одинаковы.

        Шаг 5: Выделив переменную, завершите задачи.

        Шаг 6: правильный ответ или нет, мы можем увидеть, подставив решение, найденное с помощью, в исходные уравнения.Обе части уравнения должны быть равны после упрощения каждого выражения.

        Давайте разберемся, как решить экспоненциальное уравнение на примере.

        Решить: 4 2x − 1 = 64

        Применяя вышеуказанный шаг:

        Вот таких же баз нет. Соответственно нам нужно преобразовать 64 в такой вид, чтобы база могла быть такой же. Это можно сделать, переписав 64 как 4 3.

        Положив значение 4 3 относительно 64, уравнение будет следующим:

        4 2x − 1 = 4 3

        Правило уравнения означает, что при одинаковых основаниях показатель степени должен быть одинаковым.Применяя свойство равенства экспоненциальной функции, уравнение можно переписать в следующем виде:

        2x-1 = 3

        Следовательно, уравнение показывает, что x равно 1.

        Как решить экспоненциальные уравнения с разными основаниями?

        Шаги для решения экспоненциальных уравнений с разными базами следующие:

        Иногда нам задают экспоненциальные уравнения с разными основаниями членов. Чтобы решить эти уравнения, мы должны знать логарифмы и их использование с возведением в степень.Мы можем получить доступ к переменным внутри показателя степени в экспоненциальных уравнениях с разным основанием, используя логарифмы и правило логарифмов степени, чтобы избавиться от основания и получить только показатель степени.

        Шаг 1. Следует определить, можно ли записать число с использованием той же основы. Если число может быть записано с использованием того же основания, остановитесь и используйте другие шаги для решения экспоненциальных уравнений с тем же основанием. В противном случае требуется шаг 2.

        Шаг 2: Следует вычислить десятичный или натуральный логарифм каждой стороны.

        Шаг 3: Перепишите задачу, используя свойства логарифма.

        Шаг 4: Используя логарифм, разделите каждую сторону.

        Шаг 5: С помощью калькулятора найдите десятичное приближение логарифма.

        Шаг 6: Выделив переменную, завершите задачи.

        Шаг 7: Журналы в уравнении должны быть найдены с помощью научного калькулятора. Введите номер, по которому будет найден журнал, затем нажмите кнопку LOG.

        Шаг 8: сравнение вычислений, так как это даст значения переменных.Ответ будет приблизительным, так как он был округлен при поиске логов.

        Как решить экспоненциальные уравнения с целыми числами?

        Следующие шаги могут быть применены для решения экспоненциальных уравнений с целыми числами.

        Шаг 1: Следует изолировать экспоненциальные уравнения. На одной стороне уравнения должно быть экспоненциальное выражение, а на другой — целые числа. Если экспоненциальное выражение и целое число не находятся на одной стороне, переработайте уравнение так, чтобы экспонента находилась только на одной стороне.

        Шаг 2: необходимо определить, можно ли преобразовать целое число в показатель степени с тем же основанием, что и другой показатель степени. Если он не может быть преобразован в целое число, этот метод нельзя использовать.

        Шаг 3: После преобразования в целое число есть два экспоненциальных выражения с одинаковым основанием. Не обращайте внимания на показатель степени и сосредоточьтесь на нем, поскольку основания одинаковы.

        Шаг 4: Выделив переменную, завершите задачи.

        Шаг 5: правильный ответ или нет, мы можем увидеть, подставив решение, найденное с помощью, в исходные уравнения.Обе части уравнения должны быть равны после упрощения каждого выражения.

        Как решить экспоненциальные уравнения с помощью логарифмов?

        Для решения экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов можно выполнить следующие шаги:

        Шаг 1: Любое экспоненциальное выражение следует оставить на одной стороне уравнения.

        Шаг 2: Необходимо получить логарифм по обеим сторонам уравнения. Для журнала можно использовать любые базы.

        Шаг 3: Переменная должна быть решена с использованием основных правил логарифмирования.

        Заключение

        Ответы на вопрос, как решить экспоненциальное уравнение, можно получить, применив два метода. Первый метод требует использования специального вида экспоненциальной функции, и его легко решить. Однако второй вариант немного сложнее решить. Экспоненциальное уравнение может быть решено с помощью нескольких правил, таких как правило свойств, логарифм, замена и другие различные формулы. Получите лучшую статистическую помощь по домашнему заданию от экспертов

        Свойства сил и корней

        Содержимое этой страницы:


        Введение

        Экспоненциальное уравнение — это единица
        который имеет экспоненциальные выражения,
        другими словами, силы, которые есть в
        их выражения экспоненты с
        неизвестный фактор x .6 $$

        Очевидно, что значение, которое x должно принять, чтобы равенство было истинным, равно 3.

        Чтобы получить этот тип выражений, мы должны разложить на множители ,
        выразить все числа в виде степеней ,
        примените свойства степеней и запишите корни как степени.

        Иногда нам нужно изменить переменную, чтобы преобразовать
        уравнение в квадратичном.

        Мы также можем решить с помощью логарифмов, но оставим этот тип
        процедуры для более сложных уравнений с разными базами в
        экспоненциальные выражения, что делает невозможным использование предыдущего
        метод уравнивания.x $$

        , у которого есть реальное решение с использованием логарифмов

        $$ x = \ frac {3 ln (3)} {ln \ left (\ frac {5} {3} \ right)} $$


        Прежде, чем мы начнем … давайте вспомним свойства степеней

        Товар

        Мощность

        Частное

        Отрицательная экспонента

        Обратный

        Обратный обратный


        Уравнение 1

        Показать решение

        С учетом того, что

        $$ 27 = 3 ^ 2 $$

        Мы можем переписать уравнение как

        Следовательно,


        Уравнение 2

        Показать решение

        С учетом того, что

        Мы можем переписать уравнение как

        Следовательно,


        Уравнение 3

        Показать решение

        С учетом того, что

        Оперируем выражением, используя свойства степеней

        Следовательно, мы имеем линейное уравнение


        Уравнение 4

        Показать решение

        С учетом того, что

        Мы можем переписать уравнение как

        Таким образом, мы можем извлечь общий множитель 2 x :

        Следовательно,


        Уравнение 5

        Показать решение

        С учетом того, что

        Мы можем переписать уравнение как

        У нас есть общая база 3 x , но поскольку одна из них возведена в квадрат,
        пишем

        После подстановки уравнение заканчивается как

        Другими словами, квадратное уравнение:

        Умножаем полное уравнение на 9:

        Решаем:

        Следовательно,

        Итак, получаем

        Второй вариант невозможен, потому что он отрицательный. Следовательно,

        Откуда получаем


        Уравнение 6

        Показать решение

        С учетом того, что

        Перепишем уравнение как

        Звоним t = 3 x :

        После подстановки уравнение заканчивается как

        Решаем квадратное уравнение:

        Итак,

        Итак,

        Второе решение невозможно, потому что оно отрицательное, а первое — возможно.


        Уравнение 7

        Показать решение

        С учетом того, что

        Перепишем уравнение как

        Звоните

        После подстановки уравнение заканчивается как

        Решаем предыдущее уравнение:

        Следовательно,

        Второй вариант невозможен. Итак,

        Следовательно,


        Уравнение 8

        Показать решение

        С учетом того, что

        Перепишем уравнение как

        Звоните

        После подстановки уравнение заканчивается как

        Решаем квадратное уравнение:

        Следовательно,

        Обратите внимание, что

        Итак, оба являются степенью 3.

        Тогда два решения —


        Уравнение 9

        Показать решение

        С учетом того, что

        Мы можем переписать уравнение как

        Звоните

        После подстановки уравнение заканчивается как

        Решаем уравнение:

        Итак, у нас

        Но решения

        невозможны, потому что один равен нулю, а другой отрицателен.

        Итак, единственное решение —


        Уравнение 10

        Показать решение

        С учетом того, что

        Мы можем переписать уравнение как

        Следовательно,


        Уравнение 11

        Показать решение

        С учетом того, что

        Мы можем переписать уравнение как

        Звоните

        Подставляя, получаем квадратное уравнение

        Решаем:

        Так

        Первое решение невозможно, потому что оно равно нулю. Затем


        Уравнение 12

        Показать решение

        С учетом того, что

        перепишем уравнение как

        Звоните

        Подставляя, получаем квадратное уравнение:

        Решаем:

        Следовательно,

        Первое решение невозможно, потому что оно равно нулю.

        Следовательно, решение — x = 1 .


        Уравнение 13

        Показать решение

        Обратите внимание, что

        Итак, уравнение можно записать как

        Поскольку у нас есть экспоненциальное деление,
        мы умножаем на него полное уравнение, и оно исчезает:

        Сейчас звоним

        После подстановки уравнение заканчивается как

        Решаем:

        Следовательно,

        Второе решение невозможно, потому что оно отрицательное.

        Итак, решение


        Уравнение 14

        Показать решение

        Обратите внимание, что

        Итак, мы запишем уравнение как

        Звоните

        Итак,

        Подставляя, получаем уравнение четвертой степени (уравнение четвертой степени):

        Решаем:

        Первое решение невозможно, потому что оно равно нулю.

        Итак,


        Уравнение 15

        Показать решение

        Обратите внимание, что

        Итак, мы можем записать уравнение как

        Поскольку у нас есть экспоненциальное деление,
        мы умножаем на него полное уравнение, и оно исчезает:

        Звоните

        Подставляя, получаем кубическое уравнение (третья степень)

        Переписываем

        Применяем правило Руффини:

        Одно из решений: t = 4 .

        Рассчитываем два других:

        Но это невозможные решения, потому что они отрицательны.

        Следовательно,


        Уравнение 16

        Показать решение

        Перепишем уравнение:

        Следовательно, решение


        Уравнение 17

        Показать решение

        Перепишем уравнение:

        Умножаем полное уравнение на экспоненту, и оно исчезает:

        Следовательно,


        Уравнение 18

        Показать решение

        Обратите внимание, что

        Перепишем уравнение:

        Мы работаем:

        Следовательно,


        Уравнение 19

        Показать решение

        Обратите внимание, что

        Итак, мы перепишем уравнение как

        Звоните

        Тогда получаем выражение

        Теперь определим

        Обратите внимание, что

        Предположим, что

        Следовательно,

        Так

        А это невозможно.

        Итак, допустим

        Следовательно,

        Одно решение: t = 0 , но, как и раньше, это невозможно.

        Другое решение —

        Но мы предположили, что k = -1 , и мы должны проверить, что это правда:

        Поскольку это правда, решение уравнения: x = 2 .


        Уравнение 20

        Показать решение

        Перепишем уравнение как

        Мы используем 25 = 5 2 и свойства
        степеней (корень пишем в виде степени):

        У нас

        Наконец, мы решаем уравнение:


        Уравнение 21

        Показать решение

        Запишем корни в виде степеней

        Мы хотим, чтобы это было правдой:

        Следовательно, у нас есть два решения:

        $$ x = 0, \ x = -2 $$


        Уравнение 22

        Показать решение

        У нас есть три вложенных корня (один внутри другого).

        Запишем корни в виде степеней.

        Уравнения заканчиваются как

        Решаем уравнение и получаем решение


        Уравнение 23

        Показать решение

        Запишем корни в виде степеней:

        Мы хотим, чтобы это было правдой:

        Наконец, мы решаем линейное уравнение:


        Уравнение 24

        Показать решение

        Пишем корень в виде степеней:

        Мы хотим, чтобы это было правдой:

        С учетом того, что х не может быть 0.

        Применяем правило Руффини:

        Одно решение: x = 2 . Рассчитываем остальные:

        Реальных решений нет.

        Следовательно, единственное решение экспоненциального уравнения —

        $$ x = 2 $$


        Уравнение 25

        Показать решение

        Запишем корни в виде степеней.

        Уравнение заканчивается так:

        Обратите внимание, что -8 = (-2) 3

        Мы хотим, чтобы это было правдой:


        Matesfacil.com
        компании J. Llopis под лицензией
        творческий
        Международная лицензия Commons Attribution-NonCommercial 4. 0.

        Алгебра — решение экспоненциальных уравнений

        Решите каждое из следующих уравнений.x} = 9 \) Показать решение

        Хорошо, поэтому мы сказали выше, что если бы у нас был логарифм перед левой частью, мы могли бы получить \ (x \) из экспоненты. Сделать это достаточно просто. Мы просто поставим логарифм перед левой частью. Однако, если мы поместим туда логарифм, мы также должны поставить логарифм перед правой частью. Это обычно обозначается как , как логарифм обеих сторон .

        Мы можем использовать любой логарифм, поэтому давайте попробуем использовать натуральный логарифм.x} & = \ ln 9 \\ x \ ln 7 & = \ ln 9 \ end {align *} \]

        Теперь нам нужно найти \ (x \). Это проще, чем кажется. Если бы у нас было \ (7x = 9 \), то мы все могли бы решить для \ (x \), просто разделив обе части на 7. Здесь это работает точно так же. И ln7, и ln9 — просто числа. По общему признанию, потребуется калькулятор, чтобы определить, что это за числа, но это числа, и поэтому мы можем сделать то же самое здесь.

        \ [\ begin {align *} \ frac {{x \ ln 7}} {{\ ln 7}} & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \\ x & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ end {align *} \]

        Это технически точный ответ.Однако в этом случае обычно лучше получить десятичный ответ, так что давайте сделаем еще один шаг.

        \ [x = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} = \ frac {{2.19722458}} {{1.945

        }} = 1.12

        7 \]

        Обратите внимание, что ответы на эти вопросы чаще всего являются десятичными.

        Также будьте осторожны, чтобы не допустить следующей ошибки.

        \ [1.12

        7 = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ ne \ ln \ left ({\ frac {9} {7}} \ right) = 0.y} = 0 \) Показать решение

        В этом случае мы не можем просто поставить логарифм перед обеими сторонами. На это есть две причины. Сначала в правой части у нас есть ноль, и мы знаем из предыдущего раздела, что не можем логарифмировать ноль. Затем, чтобы сдвинуть показатель вниз, он должен быть на всем члене внутри логарифма, и этого не будет с этим уравнением в его нынешней форме.

        Итак, первым делом переместим члены на другую сторону от знака равенства, затем мы возьмем логарифм обеих сторон, используя натуральный логарифм.y} \\ \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \ end {align *} \]

        Ладно, это выглядит неаккуратно, но опять же, это действительно не так уж и плохо. Давайте сначала посмотрим на следующее уравнение.

        \ [\ begin {align *} 2 \ left ({4y + 1} \ right) & = 3y \\ 8y + 2 & = 3y \\ 5y & = — 2 \\ y & = — \ frac {2} { 5} \ end {align *} \]

        Мы все можем решить это уравнение, а это значит, что мы можем решить то, что у нас есть. Опять же, ln2 и ln3 — это просто числа, поэтому процесс точно такой же.Ответ будет сложнее, чем это уравнение, но процесс идентичен. Вот работа для этого.

        \ [\ begin {align *} \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 + \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 — y \ ln 3 & = — \ ln 2 \\ y \ left ({4 \ ln 2 — \ ln 3} \ right) & = — \ ln 2 \\ y & = — \ frac {{\ ln 2} } {{4 \ ln 2 — \ ln 3}} \ end {align *} \]

        Итак, мы получили все члены с \ (y \) в них с одной стороны и всеми остальными членами с другой стороны. {е \ влево (х \ вправо)}} = е \ влево (х \ вправо) \]

        Мы видели это в предыдущем разделе (в более общем виде), и, используя это здесь, мы значительно упростим нашу жизнь. Использование этого свойства дает

        \ [\ begin {align *} t + 6 & = \ ln 2 \\ t & = \ ln \ left (2 \ right) — 6 = 0,69314718 — 6 = — 5,30685202 \ end {align *} \]

        Обратите внимание на скобки вокруг 2 в логарифме на этот раз. Они нужны для того, чтобы мы не допустили следующей ошибки.{2z + 4}} & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) \\ 2z + 4 & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right ) \\ 2z & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4 \\ z & = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4} \ right) = \ frac {1} {2} \ left ({0,470003629 — 4} \ right) = — 1,76499819 \ end {align *} \]

        Решение экспоненциальных уравнений

        Экспоненциальные уравнения — это уравнения, в которых переменные встречаются как показатели.

        Например, экспоненциальные уравнения имеют вид

        а

        Икс

        знак равно

        б

        y

        .

        Чтобы решить экспоненциальные уравнения с той же базой, используйте

        свойство равенства

        из

        экспоненциальные функции

        .

        Если

        б

        положительное число, отличное от

        1

        , тогда

        б

        Икс

        знак равно

        б

        y

        если и только если

        Икс

        знак равно

        y

        . Другими словами, если основания одинаковые, то экспоненты должны быть одинаковыми.


        Пример 1:

        Решите уравнение

        4

        2

        Икс

        1

        знак равно

        64

        .

        Учтите, что основания не совпадают. Но мы можем переписать

        64

        в качестве основы

        4

        .

        Мы знаем это,

        4

        3

        знак равно

        64

        .

        Переписать

        64

        в виде

        4

        3

        так что у каждой стороны одинаковое основание.

        4

        2

        Икс

        1

        знак равно

        4

        3

        По свойству равенства экспоненциальных функций, если основания одинаковые, то экспоненты должны быть одинаковыми.

        2

        Икс

        1

        знак равно

        3

        Добавлять

        1

        в каждую сторону.

        2

        Икс

        1

        +

        1

        знак равно

        3

        +

        1

        2

        Икс

        знак равно

        4

        Разделите каждую сторону на

        2

        .

        2

        Икс

        2

        знак равно

        4

        2

        Икс

        знак равно

        2


        Примечание:

        Если основания не совпадают, используйте

        логарифмы

        для решения экспоненциальных уравнений. Видеть

        Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов

        .

        .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *