Построить график функции и перечислить свойства функции: Построить график функции и перечислите свойства этой функции а)y=3^x б)y=(1/2)^x

Содержание

область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Функция — это одно из важнейших математических понятий.
Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению
х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом.
Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции.
Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по
оси ординат откладываются значения переменной y. Для
построения графика функции необходимо знать свойства функции.
Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу —
Построение графиков функций онлайн.
Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем
форуме. Также на форуме Вам помогут
решить задачи по математике, химии,
геометрии,
теории вероятности
и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при
которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых
значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему
значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно
начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен
относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала
координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число
M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T,
что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции.
Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по
свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про
таблицу истинности,
таблицу умножения,
таблицу Менделеева,
таблицу производных и
таблицу интегралов.

Слишком сложно?

Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

График функции (синусоида)

Свойства функции

  1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
  2. Область значений:
  3. Функция нечетная:

    (график симметричен относительно начала координат).

  4. Функция периодическая с периодом 
  5. Точки пересечения с осями координат:  
  6. Промежутки знакопостоянства: 
  7. Промежутки возрастания и убывания:   

 

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 

Рис.2                                                                            Рис.3

Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

Рис.4

Рис.5

 

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

 

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (косинусоида).

Свойства функции 

  1. Область определения: R (x — любое действительное число).
  2. Область значений: 
  3. Функция четная:

    (график симметричен относительно оси ).

  4. Функция периодическая с периодом  : 
  5. Точки пересечения с осями координат 
  6. Промежутки знакопостоянства: 
  7. Промежутки возрастания и убывания: 

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
.

Рис. 7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков . 

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

Тогда,

Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

Рис.11

Рис.12

График функции  (тангенсоида) 

Свойства функции :

1. Область определения: 

2. Область значений: 

3. Функция нечетная: 

4. Функция периодическая с периодом 

5. Точки пересечения с осями координат:   

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

График функции  (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

 

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

 

Урок 5. свойства и график функции y=tgx и y=ctg x — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №5. Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • Изучение и объяснение свойств функций y=tgx и y=ctgx с помощью графика;
  • Определение свойств и положения графика тригонометрических функций вида y=|tg(k|x|+b)| y=|ctg(k|x|+b|;
  • Объяснение зависимости свойств и положения графика функции вида y=|tg(k|x|+b)| и y=|ctg(k|x|+b| от значения коэффициентов k,b.

Глоссарий по теме

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Тангенсоида –график функции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].–Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Вычислите:

1. ;

2.

Ответ:

Объяснение нового материала

Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:

рис.1 Тригонометрический круг

Переносим основные значения углов на координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат – значения тангенса угла.

рис.2 График y=tgx на промежутке

Как любая тригонометрическая функции, функция тангенса периодическая, делая параллельный перенос получаем:

рис.3 График y=tgx

Заметим, что график симметричен относительно начала координат, следовательно функция тангенса нечётная. Используя построенный нами график, выведем основные свойства y=tgx:

1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида

2. Функция периодическая с периодом , т.к.

3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция возрастает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6.

7. Функция принимает:

  • значение, равное 0, при ;
  • положительные значения на интервале 
  • отрицательные значения на интервале 

Для построения графика можно придерживаться алгоритму рассмотренному при построении графика , однако (формула приведения). Т.е. смещая тангенсоиду на единиц влево и делаем симметрию относительно оси Ох за счёт коэффициента –1, получаем:

рис.3 График y=сtgx

Основные свойства y=сtgx:

1. Область определения функции y = сtgx все действительные числа, кроме чисел вида

2. Функция периодическая с периодом ;

3. Функция нечётная. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция убывает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1.

Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку . 3+ 1$.

1. Составим таблицу значений:

2. Построим точки. Мы видим, что эти точки симметричны относительно точки с координатами (0,1). В итоге получаем кубическую параболу, смещенную вверх по оси OY (см. рис. 3).

Функция y = sin x, её свойства и график. 10-й класс

Тип урока: урок введения нового знания.

Педагогическая технология: проблемное обучение.

Формируемые результаты:

  • Предметные: формировать умение строить график функции у = sin x, читать график и применять свойства при решении задач.
  • Личностные: умение применять решение, применять независимость суждений.
  • Метапредметные: формировать умение соотносить свои действия с планируемыми результатами.

Планируемые результаты: обучающиеся научатся применять свойства функции у = sin x и читать график.

Основные понятия: синусоида, свойства функции у = sin x.

Оборудование: ПК, проектор, Microsoft PowerPoint, презентация «Функция y = sin x, её свойства и график», таблица «Тригонометр».

Ход урока

1. Организационный момент

2. Целеполагание

— «Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.», писал Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862, российский математик, механик). Как вы понимаете эти слова? (Слайд 1)

— Перед вами 4 графика. (Слайд 2)

— Как можно одним словом объединить эти графики? (функции)

— Опишите свойства графиков, представленных на слайде?

— Какие из предложенных графиков функций вам известны?

— Сформулируйте тему урока.

Тема урока: «Функция y = sin x, её свойства и график» (Слайд 3)

— Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже знаем, и чему должны или можем научиться? (учитель вместе с обучающимися формирует цели, записывает их на доске).

— Познакомимся с историей возникновения слова синус (Слайд 4)

Синус (история имени)

Синус (sin) — название тригонометрической функции, появившееся благодаря удивительной цепочке искажений во время переводов математических трактатов. Древние индийские математики называли функцию «полу-тетивой», а затем просто «тетивой» — «джива», так как при геометрическом построении изображение напоминало лук. Арабские математики при знакомстве с трудами индийских коллег не стали переводить слово «джива» на арабский, а просто записали его по буквам. В процессе адаптации, устного использования и пр. оно превратилось в арабское выражение «джайб», которое можно перевести как пазуха, складка, карман, впадина. Когда, в свою очередь, арабские математические трактаты попали к европейским математикам, те перевели джайб на латинский, благо под рукой как раз было изящное слово, обозначающее складку или пазуху на римской тоге — слово sinus. Родственную функцию назвали complementi sinus, дополнительный синус. Позже утвердилось современное сокращение: sin и cos.

3. Планирование работы

— Составим план работы (перечень свойств, которые будут исследоваться).

Обучающиеся записывают план исследования синуса в тетрадях.

План

  1. Область определения
  2. Область значения
  3. Нули функции
  4. Промежутки возрастания, убывания функции
  5. Промежутки знакопостоянства
  6. Четность функции
  7. Монотонность функции
  8. Наименьшее и наибольшее значение функции

— Какую функцию называют периодической?

— Что такое период?

— Какое число является главным периодом функции  у = sin x?

4. Восприятие, осмысление, первичное закрепление

— Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция у = sin t возрастает на отрезке  и убывает на отрезке ).

— Запишем функцию у = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции.

Изучение нового материала (презентация, слайды 5-6).

Построение графика функции у = sin x и запись свойств функции в тетради. (Слайды 7–10)

1) D(y) = 

2) E (y) = 

3) функция ограничена и сверху, и снизу

4) унаиб = 1, унаим = -1

5) непрерывная функция

6) нечетная функция
7) возрастает на ; убывает на 

Стихотворение (отрывок)

И линия эта волною качается,
И синусом график ее называется,
И через период она повторяется,
В периоде трижды она обнуляется,
Она полпериода вверх поднимается,
Придет в единицу и вниз опускается,
И так вдоль абсциссы все время болтается.
В системе, которую создал Декарт.

5. Применение знаний и способов при решении задач

— Постройте график функции (самостоятельно с проверкой, слайды 11-14):

а) у = sin x + 2

б) у = sin x — 1

в) у = sin 

г) у = sin 

—  Решите графически уравнение sin x =  (проверка слайд 15).

6. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях

№  21.5 (1), 21.9 (1)

7. Рефлексия

— Предлагаю оценить факт достижения цели урока: на все ли вопросы найдены ответы?

— Оцените свою работу на уроке. Закончите предложение. (Слайд 17)

Урок –

  • заставил задуматься…
  • навёл меня на размышления…
  • Что нового вы узнали на уроке?
  • Что вы считаете нужным запомнить?
  • Над чем ещё надо поработать?

Домашняя работа

  1. п. 21 (учить свойства функции у = sin x)
  2. учебник № 21. 6 (1)
  3. Построить график функции у = sin (x — )

— Спасибо за урок

Использованные материалы и ресурсы

  1. Мерзляк А.Г., и др. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) 10 кл. – М.: «Вентана-Граф», 2017.
  2. Мерзляк А.Г., и др. Дидактические материалы к учебнику Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) – М.: «Вентана-Граф», 2017.
  3. http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php

Внеклассный урок — Квадратичная функция. Функция y = ax2, ее график и свойства

Квадратичная функция. Функция y = ax2, ее график и свойства

 

Квадратичная функция – это функция, которую можно задать формулой вида

                                                 y  =  ax2  +  bx  +  c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел. (Напомним: областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, см.раздел «Функции и их графики»)

 

Функция  y = ax2.

Функция y = ax2 – это частный случай квадратичной функции.

Графиком функции y = ax2 является парабола.

 

 

 

Свойства функции  y = ax2 при a > 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

 

2. Если x ≠ 0, то y > 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

 

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.

 

4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) — возрастает.

 

5. Наименьшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наибольшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

 

Свойства функции  y = ax2 при a < 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

 

2. Если x ≠ 0, то y < 0.

График функции расположен в нижней полуплоскости.

 

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

Пояснение: допустим, x = –4, y = –8. При x = 4 значение y не меняется и составляет –8.

 

4. В промежутке (–∞; 0] функция возрастает, а в промежутке [0; +∞) — убывает.

 

5. Наибольшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наименьшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток (–∞; 0].

 

 

Свойства функции

В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое  числовая функция и какие свойства функции необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое  числовая функция? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и  между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие  единственный элемент  y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией. 

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство   называется уравнением функции. В этом уравнении    — независимая переменная, или аргумент функции.   — зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то  получим график функции. График функции — это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций. 

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции   имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения .

Чтобы по графику функции найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции  Е(y)— это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции  найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3.  Нули функции.

Нули функции — это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение  . Корни этого уравнения и будут нулями функции .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции  .

4. Промежутки знакопостоянства функции. 

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть  или .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нужно решить неравенства и  .

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции  по ее графику, нужно

  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ — при этих значениях аргумента , 
  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ — при этих значениях аргумента  .

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции — это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.

Говорят, что функция   возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение:.

Другими словами, функция   возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция   убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение: .

Другими словами, функция   убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.  

Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

.

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка называется точкой минимума  функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой  лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

 7. Четность (нечетность) функции.

Функция  называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции,   также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции , и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция — функция общего вида.

Если область определения  функции — симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции  нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду  или .

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция — общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

  • для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором  я рассказываю, как определить свойства функции по ее графику.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Свойства функций | Безграничная алгебра

Увеличивающие, убывающие и постоянные функции

Функции могут быть либо постоянными, либо увеличиваться при увеличении [latex] x [/ latex], либо уменьшаться при увеличении [latex] x [/ latex].

Цели обучения

Применить определения функций увеличения и уменьшения, чтобы определить, увеличивается ли функция, уменьшается или нет в заданном интервале

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Постоянная функция — это функция, значения которой не меняются независимо от ввода в функцию.
  • Возрастающая функция — это функция, при которой для каждого [latex] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ geq f (x_ {1}) [/ latex]. Если оно строго больше чем, то оно строго возрастает.
  • Функция уменьшения — это функция, при которой для каждого [латекса] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющего [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ latex]. Если он строго меньше, то он строго убывает.
Ключевые термины
  • убывающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой уменьшается (или остается постоянным) по мере увеличения переменной.
  • постоянная функция : функция, значение которой одинаково для всех элементов ее домена.
  • возрастающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой увеличивается (или остается постоянным) при увеличении переменной.

Графическое поведение функций

В рамках исследования того, как изменяются функции, мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом. Мы говорим, что функция — это , увеличивающаяся на в интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в пределах этого интервала. Точно так же функция — это , уменьшающая на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений в течение этого интервала.

  • Возрастающая функция — это функция, при которой для каждого [latex] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2} ) \ geq f (x_ {1}) [/ латекс]. Если оно строго больше, чем [latex] (f (x_2)> f (x_1)) [/ latex], то оно строго возрастает.
  • Понижающая функция — это функция, при которой для каждого [латекса] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющего [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ латекс]. Если он строго меньше [latex] (f (x_2)

В терминах линейной функции [латекс] f (x) = mx + b [/ latex], если [latex] m [/ latex] положительное значение, функция увеличивается, если [latex] m [/ latex] отрицательное значение, оно уменьшается, и если [latex] m [/ latex] равно нулю, функция является постоянной функцией. 3−12x [/ latex] увеличивается по оси [latex] x [/ latex] от отрицательной бесконечности до [latex] -2 [/ latex], а также от [latex] 2 [/ latex] до положительной бесконечности. Обозначение интервалов записывается как: [latex] (- ∞, −2) ∪ (2, ∞) [/ latex]. Функция убывает на интервале: [latex] (−2, 2) [/ latex].

Постоянные функции

В математике постоянная функция ion — это функция, значения которой не меняются, независимо от ввода в функцию. Функция является постоянной функцией, если [latex] f (x) = c [/ latex] для всех значений [latex] x [/ latex] и некоторой константы [latex] c [/ latex].График постоянной функции [latex] y (x) = c [/ latex] представляет собой горизонтальную линию в плоскости, проходящую через точку [latex] (0, c). [/ Latex]

Константа Функция: График [latex] f (x) = 4 [/ latex] иллюстрирует постоянную функцию.

Определение функционального поведения

Пример 1: Определите интервалы, в которых функция увеличивается, уменьшается или остается постоянной.

Посмотрите на график слева направо по оси [latex] x [/ latex]; первая часть кривой убывает от бесконечности до [latex] x [/ latex] -значения [latex] -1 [/ latex], а затем кривая увеличивается.Кривая увеличивается на интервале от [латекс] -1 [/ латекс] до [латекс] 1 [/ латекс], а затем снова уменьшается до бесконечности.

График функции возрастания и убывания: Для функции, изображенной выше, кривая убывает в интервалах: [latex] (- \ infty, -1) \ cup (1, \ infty) [/ latex] и увеличивается в интервале [латекс] (-1,1) [/ латекс].

Относительные минимумы и максимумы

Относительные минимумы и максимумы — это точки наименьшего и наибольшего значений в их окрестностях соответственно.

Цели обучения

Определение локальных и глобальных максимумов и минимумов заданной функции

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Минимумы и максимумы вместе известны как экстремумы.
  • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку максимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≥ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
  • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку минимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) максимум r при [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латекс] a
  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) минимум в [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [latex] a
  • Функции не обязательно имеют экстремумы. Например, любая строка [latex] f (x) = mx + b [/ latex], где [latex] m [/ latex] и [latex] b [/ latex] — константы, не имеет экстремумов, будь то локальные или глобальный.
Ключевые термины
  • максимум : Наибольшее значение набора.
  • экстремум : точка или значение, которое является максимумом или минимумом.
  • минимум : наименьшее значение набора.

Минимумы и максимумы широко используются в задачах оптимизации и искусственного интеллекта, где, учитывая ряд ограничений на ресурсы, мы хотим наилучшим образом использовать наши ресурсы.Например, мы можем захотеть максимизировать нашу прибыль, учитывая предметы, которые мы можем производить, и наши доступные ресурсы. В области искусственного интеллекта мы можем захотеть выяснить, какой план действий наименее затратный для робота (т. Е. Кратчайший путь). В идеале вам нужно найти глобальные минимумы для планов. Однако, поскольку времени для определения правильного плана не существует, искусственный интеллект часто просто находит локальные минимумы.

Определения минимумов и максимумов: относительные и глобальные

В математике максимум и минимум функции (известные вместе как экстремумы ). — это наибольшее и наименьшее значение, которое функция принимает в точке либо в данной окрестности (локальный или относительный экстремум), либо в области функции в ее целостность (глобальный или абсолютный экстремум).

Примеры относительных и глобальных экстремумов : На этом графике представлены примеры всех четырех возможностей: относительного (локального) максимума и минимума, а также глобального максимума и минимума.

В то время как некоторые функции увеличиваются (или уменьшаются) во всей своей области, многие другие нет. Значение входа, при котором функция изменяется от увеличения к уменьшению (по мере того, как мы идем слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), называется относительным максимумом. Если функция имеет более одного, мы говорим, что у нее есть локальные максимумы.Точно так же значение входа, при котором функция изменяется от уменьшения к увеличению по мере увеличения входной переменной, называется относительным минимумом. Форма множественного числа — локальные минимумы.

Функция также не возрастает и не убывает в экстремумах. Обратите внимание, что мы должны говорить о локальных экстремумах, потому что любой данный локальный экстремум, как здесь определено, не обязательно является наивысшим максимумом или наименьшим минимумом во всей области определения функции.

  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) maximum at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex ] С [латексом] a
  • Аналогично, [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) минимум at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латексом] a

График минимума локального максимума: Для изображенной функции локальный максимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном 16, и он возникает, когда [latex] x = -2 [/ latex]. Локальный минимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном -16, и это происходит, когда [latex] x = 2 [/ latex].

Функция имеет глобальный (или абсолютный) максимум точки в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x ∗) ≥ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/латекс]. Точно так же функция имеет глобальный (или абсолютный) минимум точки в [latex] x [/ latex], если [latex] f (x ∗) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/латекс]. Глобальные экстремумы также являются относительными экстремумами.

Функции не могут иметь экстремумов, таких как строка [latex] y = x [/ latex]. Эта линия увеличивается к бесконечности и убывает к отрицательной бесконечности и не имеет относительных экстремумов.

Разделение относительного и глобального максимума и минимума

Пример 1: Найдите все максимумы и минимумы на графике ниже:

График относительных максимумов и минимумов: Эта кривая показывает относительный минимум при [латексе] (- 1, -2) [/ латекс] и относительный максимум при [латексе] (1,2) [/ латексе].

График достигает локального максимума в [latex] (1,2) [/ latex], потому что это наивысшая точка в открытом интервале около [latex] x = 1 [/ latex]. Локальный максимум — это координата y при [latex] x = 1 [/ latex], которая равна [latex] 2 [/ latex].

График достигает локального минимума в [latex] (- 1, -2) [/ latex], потому что это самая низкая точка в открытом интервале около [latex] x = -1 [/ latex]. Локальный минимум — это координата y [латекс] x = -1 [/ латекс], которая равна [латекс] -2 [/ латекс].

Пример 2:

Найдите все глобальные максимумы и минимумы на графике ниже:

Глобальный график максимальных и минимальных значений: Для функции, изображенной выше, абсолютный максимум происходит дважды при [latex] y = 16 [/ latex], а абсолютный минимум — при [latex] (3, -10) [/ latex] .

График достигает абсолютного максимума в двух местах, [latex] x = -2 [/ latex] и [latex] x = 2 [/ latex], потому что в этих местах график достигает своей наивысшей точки в домене. функции. Абсолютный максимум — координата y , которая равна [латекс] 16 [/ латекс].

На графике достигается абсолютный минимум при [latex] x = 3 [/ latex], потому что это самая низкая точка в области графика функции. Абсолютный минимум — координата y , которая равна [латекс] -10 [/ латекс].

Кусочные функции

Кусочная функция определяется несколькими подфункциями, каждая из которых применяется к отдельным интервалам входа

Цели обучения

Практика построения графиков кусочных функций и определение их областей и диапазонов

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Кусочные функции определяются с использованием общей функциональной нотации, где тело функции представляет собой массив функций и связанных поддоменов.
  • Абсолютное значение, [латекс] \ left | x \ right | [/ latex] — очень распространенная кусочная функция. Для действительного числа его значение равно [latex] -x [/ latex], когда [latex] x <0 [/ latex], и его значение равно [latex] x [/ latex], когда [latex] x \ geq0 [/ latex ].
  • Кусочные функции могут иметь горизонтальные или вертикальные пробелы (или и то, и другое) в своих функциях. Горизонтальный зазор означает, что функция не определена для этих входов.
  • Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не включена в интервал, т.е.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена.
Ключевые термины
  • поддомен : домен, который является частью более крупного домена.
  • абсолютное значение : Для действительного числа — его числовое значение без учета знака; формально [latex] -1 [/ latex] умноженное на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
  • кусочная функция : функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода для разных частей домена.

В математике кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей домена. Кусочные функции определяются с использованием общей функциональной записи, где тело функции представляет собой массив функций и связанных интервалов. Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы».

Построение графиков кусочных функций

Пример 1: Рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения:

[латекс] \ displaystyle \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex] меньше нуля, используется первая функция [latex] (- x) [/ latex], которая отменяет знак входного значения, делая выходные значения положительными. Допустим [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f (x) = | x | [/ latex], некоторые примеры упорядоченных пар [latex] (x, | x |) [/ latex ]:

[латекс] \ displaystyle (-2,2) \\ (-1,1) \\ (-0,5,0,5) [/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex], больших или равных нулю, используется вторая функция [latex] (x) [/ latex], делая выходные значения равными входным значениям.Вот некоторые примеры заказанных пар:

[латекс] \ Displaystyle (2,2) \ (1,1) \\ (0,5,0,5) [/ латекс]

После нахождения и построения некоторых упорядоченных пар для всех частей («частей») функции результатом является V-образная кривая функции абсолютного значения, представленной ниже.

Кусочная функция: абсолютное значение: Кусочная функция, [латекс] \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right. [/ latex], является графиком функция абсолютного значения.2 [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle f (-2) = 4 \\ f (-1) = 1 \\ f (0) = 0 \ f (1) = 1 [/ latex]

Эти точки удовлетворяют первой части функции и образуют следующие упорядоченные пары:

[латекс] \ displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) [/ латекс]

Для средней части (части), [latex] f (x) = 3 [/ latex] (постоянная функция) для области [latex] 1

[латекс] \ displaystyle (1.5,3) \ (1.8, 3) \ (2,3) [/ латекс]

Для последней части (кусок) [latex] f (x) = x [/ latex] для домена [latex] x> 2 [/ latex] несколько упорядоченных пар:

[латекс] \ displaystyle (2.2, & if \ x \ leq 1 \\ 3, & if \ 1 2 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex] состоит из трех частей ( шт). В зависимости от стоимости домена каждый кусок отличается.

Обратите внимание на открытые и темные кружки на графике. Это связано с конкретными доменами для каждой части функции. Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не входит в интервал, т.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена (равно).

Область определения функции начинается с отрицательной бесконечности и продолжается через каждую часть без пробелов до положительной бесконечности. Поскольку в [latex] x = 1 [/ latex] есть закрытая И открытая точка, функция там кусочно непрерывна. Когда [latex] x = 2 [/ latex], функция также кусочно-непрерывная. Следовательно, область определения этой функции — это набор всех действительных чисел, [latex] \ mathbb {R} [/ latex].

Диапазон начинается с самого низкого значения [latex] y [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex] и продолжается до положительной бесконечности.2 [/ latex] включает эти значения. Следовательно, диапазон кусочной функции — это также набор всех действительных чисел, больших или равных [latex] 0 [/ latex], или всех неотрицательных значений: [latex] y \ geq 0 [/ latex].

Индивидуальные функции

Функция взаимно однозначного соответствия, также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области на один и тот же элемент ее кодомена.

Цели обучения

Используйте свойства взаимно-однозначных функций, чтобы определить, является ли данная функция взаимно-однозначной

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Функция «один к одному» имеет уникальный выход для каждого уникального входа.2 [/ latex] для [latex] x \ geq 0 [/ latex].
  • Чтобы проверить, является ли функция взаимно однозначной, выполните тест горизонтальной линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более чем в одной точке, функция не взаимно однозначна.
  • Если каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена, то функция называется взаимно однозначной.
Ключевые термины
  • инъективная функция : функция, сохраняющая различимость: она никогда не отображает отдельные элементы своего домена в один и тот же элемент его кодомена.
Свойства однозначной функции

Однозначная функция , также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области в один и тот же элемент ее совместной области. Другими словами, каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена. Иногда инъективная функция от [latex] X [/ latex] до [latex] Y [/ latex] обозначается [latex] f: X \ mapsto Y [/ latex] с помощью стрелки с заостренным хвостом. {2} [/ latex] (без ограничений домена) взаимно однозначной?

Один из способов проверить, является ли функция взаимно однозначной, — это построить график функции и выполнить тест горизонтальной линии.2 [/ latex] не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией. Если горизонтальная линия может проходить через две или более точек на графике функции, то функция не взаимно однозначна.

Другой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, — это составить таблицу значений и проверить, соответствует ли каждый элемент диапазона ровно одному элементу домена. Список упорядоченных пар для функции:

[латекс] \ Displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) \\ (2,4) [/ латекс]

Упорядоченные пары [latex] (- 2,4) [/ latex] и [latex] (2,4) [/ latex] не проходят определение один-к-одному, потому что элемент [latex] 4 [/ латекс] диапазона соответствует [латексу] -2 [/ латексу] и [латексу] 2 [/ латексу].Каждый уникальный вход должен иметь уникальный выход, поэтому функция не может быть взаимно однозначной. Также обратите внимание, что эти две упорядоченные пары образуют горизонтальную линию; что также означает, что функция не является взаимно однозначной, как было сказано ранее.

Пример 2: Функция [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex] один к одному?

Это функция абсолютного значения, которая представлена ​​на графике ниже. Обратите внимание, что он не проходит тест горизонтальной линии. Поскольку каждый уникальный вход не имеет уникального выхода, эта функция не может быть взаимно однозначной.

График абсолютных значений: График функции, [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex], не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией.

Симметрия функций

Два объекта обладают симметрией, если один объект может быть получен из другого преобразованием.

Цели обучения

Определить, демонстрирует ли данное отношение некоторую форму симметрии

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Функция имеет симметрию, если ее можно каким-либо образом преобразовать без изменения функции.
  • Функция может быть симметричной относительно точки, если ее можно повернуть на фиксированную величину вокруг этой точки, не изменяя ее.
  • Функция может быть симметричной относительно линии, если ее можно отразить над этой линией, не изменяя ее.
Ключевые термины
  • симметрия : математическое свойство, при котором объект может подвергаться преобразованию при сохранении своих свойств.

Симметрия

В математике объект, такой как форма или функция, обладает симметрией, если он может быть преобразован каким-либо образом, сохраняющим свойства математического объекта.В геометрии геометрическая форма или объект являются симметричными, если их можно разделить на две или более идентичных части, которые расположены организованным образом. S означает, что объект является симметричным, если есть преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не Не меняю общую форму.

Для функций функция демонстрирует симметрию, если каждая точка функции может быть изменена в соответствии с математическим правилом без изменения общей функции. Определение симметрии может включать построение графика функции или ее алгебраическое вычисление.

Типы симметричных функций

Функции и отношения могут быть симметричными относительно точки, линии или оси. Они также могут иметь симметрию после отражения.

Чтобы определить, имеет ли отношение симметрию, постройте график отношения или функции и посмотрите, является ли исходная кривая отражением самой себя над точкой, линией или осью. На изображении ниже показаны примеры отражения функции по оси [latex] x [/ latex] (вертикальное отражение) и по оси [latex] y [/ latex] (горизонтальное отражение).

Отражение : функция может быть отражена по оси [латекс] x [/ латекс] или [латекс] y [/ латекс]. Если функция выглядит так же после отражения, функция симметрична по этой оси.

На следующем графике ниже квадратичные функции обладают симметрией относительно линии, называемой осью симметрии. Ось делит U-образную кривую на две части кривой, которые отражаются над осью симметрии. 2 + 4x + 3 [/ latex] показывает ось симметрии относительно линии [latex] x = -2 [/ latex].Кривая разделена на две эквивалентные [латексные] 2 [/ латексные] половины. Обратите внимание, что точки пересечения [latex] x [/ latex] являются отраженными точками над осью симметрии и находятся на одинаковом расстоянии от оси.

Определение симметрии

Пример: Симметрия функции ниже?

Симметрия относительно точки: График выше имеет симметрию, поскольку помеченные точки отражаются над началом координат.

Граф имеет симметрию относительно начала координат или точки [latex] (0,0) [/ latex].Указанные точки [латекс] (1,3) [/ латекс] и [латекс] (- 1, -3) [/ латекс] отражаются поперек начала координат.

Четные и нечетные функции

Функции, которые имеют аддитивную инверсию, могут быть классифицированы как нечетные или четные в зависимости от их свойств симметрии.

Цели обучения

Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Четность функции не обязательно показывает, является ли функция нечетной или четной.
  • Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений выполняется следующее соотношение: [latex] f (x) = f (-x) [/ latex].
  • Четная функция симметрична относительно оси [latex] y [/ latex]: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот тоже есть на графике.
  • Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых выполняется следующее соотношение для всех значений: [latex] -f (x) = f (-x) [/ latex].
  • Нечетная функция симметрична относительно начала координат: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, -y) [/ latex] или наоборот наоборот, тоже есть на графике. Другими словами, поворот графика [latex] на 180 [/ latex] градусов вокруг исходной точки приводит к тому же неизменному графику.
Ключевые термины
  • четность : Набор со свойством того, что все его элементы принадлежат одному из двух непересекающихся подмножеств, особенно набор целых чисел, разделенных на подмножества четных и нечетных элементов.
  • добавка обратная : Противоположная добавка.

Четные и нечетные определения

Функции могут быть классифицированы как «нечетные» или «четные» в зависимости от их состава. Эти метки коррелируют со свойствами симметрии функции.

Термины «нечетный» и «четный» могут применяться только к ограниченному набору функций. Чтобы функция была классифицирована как одна или другая, она должна иметь аддитивную обратную функцию. Следовательно, у него должен быть номер, который при добавлении к нему равен [latex] 0 [/ latex].3 \ right | [/ latex] имеет показатель степени, который является нечетным целым числом, [latex] 3 [/ latex], но также является четной функцией. Как мы можем проверить, четная или нечетная функция? Давайте посмотрим на их характеристики.

Четные функции

Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ Displaystyle f (x) = f (-x) [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция четной, любое выбранное значение [latex] x [/ latex] должно давать такое же выходное значение при замене в функцию как [latex] -x [/ latex].4 + 2x [/ latex], изображенный выше, не является даже потому, что график не является симметричным относительно оси [latex] y [/ latex]. Например, точка [latex] (- 1, -1) [/ latex] не отражается на точке [latex] (1, -1) [/ latex].

Мы можем подтвердить это графически: функции, удовлетворяющие требованию четности, симметричны относительно оси [latex] y [/ latex]. Следовательно, для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот также находится на графике.

Нечетные функции

Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ displaystyle -f (x) = f (-x) [/ latex]

Это отношение также может быть выражено как:

[латекс] \ displaystyle f (x) + f (-x) = 0 [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция нечетной, отрицание функции (обязательно отрицание всех членов функции) должно давать тот же результат, что и замена значения [latex] -x [/ latex]. {2} -1 \).{2} -2 х-1 \)

Ответ
  1. вниз
  2. вверх

Найдите ось симметрии и вершину параболы

Посмотрите еще раз на Рисунок 9.6.10 . Вы видите, что мы можем сложить каждую параболу пополам, и тогда одна сторона окажется поверх другой? «Линия сгиба» — это линия симметрии. Мы называем ее осью симметрии параболы.

Мы снова показываем те же два графика с осью симметрии.{2} + b x + c \) равно \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).

Итак, чтобы найти уравнение симметрии каждой из парабол, которые мы построили на графике выше, мы подставим в формулу \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).

Обратите внимание, что это уравнения, изображенные пунктирными синими линиями на графиках.

Точка параболы, которая является самой низкой (парабола открывается вверх) или самой высокой (парабола открывается вниз), лежит на оси симметрии. Эта точка называется вершиной параболы.

Мы можем легко найти координаты вершины, потому что знаем, что она находится на оси симметрии.{2} -6 x + 2 \) найти:

  1. ось симметрии
  2. вершина

Решение :

а.

Ось симметрии — это вертикальная линия \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).
Подставьте значения \ (a, b \) в уравнение. \ (x = — \ frac {-6} {2 \ cdot 3} \)
Упростить. \ (х = 1 \)
Ось симметрии — это прямая \ (x = 1 \).

б.

Вершина — это точка на линии симметрии, поэтому ее координата \ (x \) будет \ (x = 1 \). Найдите \ (f (1) \).
Упростить.
Результат — координата \ (y \).{2} -4 x-3 \) найти:

  1. ось симметрии
  2. вершина
Ответ
  1. \ (х = 1 \)
  2. \ ((1, -5) \)

Найдите точки пересечения параболы

Когда мы строили линейные уравнения, мы часто использовали точки пересечения \ (x \) и \ (y \), чтобы построить графики линий. Определение координат точек пересечения также поможет нам построить график парабол.

Помните, что в точке пересечения \ (y \) значение \ (x \) равно нулю.{2} +4 х + 3 \)

Фактор. \ (0 = (х + 1) (х + 3) \)
Используйте свойство нулевого продукта. \ (x + 1 = 0 \ quad x + 3 = 0 \)
Решить. {2} +4 x + 3 \).{2} +4 х + 3 \)
Этот квадратичный коэффициент не учитывается, поэтому мы используем квадратичную формулу.
\ (a = -1, b = 4, c = 3 \)
Упростить.
\ (x = \ frac {-2 (2 \ pm \ sqrt {7})} {- 2} \)
\ (x = 2 \ pm \ sqrt {7} \)
\ (x \) — точки пересечения — это \ ((2+ \ sqrt {7}, 0) \) и \ ((2- \ sqrt {7}, 0) \).{2} -2 х-8 \).

Решение :

Чтобы найти \ (y \) — точку пересечения, пусть \ (x = 0 \) и решит относительно \ (f (x) \).
\ (f (0) = — 8 \)
Если \ (x = 0 \), то \ (f (0) = — 8 \). Перехватчик \ (y \) — это точка \ ((0, -8) \).
Чтобы найти \ (x \) — точку пересечения, положим \ (f (x) = 0 \) и решим относительно \ (x \).
Решите на множители. \ (0 = (х-4) (х + 2) \)
\ (4 = х \ квад-2 = х \)
Если \ (f (x) = 0 \), то \ (x = 4 \) или \ (x = -2 \). \ (X \) — точки пересечения — это точки \ ((4,0) \) и \ ((- 2,0) \).{2} + b x + c \). Графики этих функций представляют собой параболы. \ (X \) пересечения парабол происходят там, где \ (f (x) = 0 \).

Например:

Квадратное уравнение

Квадратичная функция

Решениями квадратичной функции являются значения \ (x \) точек пересечения \ (x \) .

Ранее мы видели, что квадратные уравнения имеют решения \ (2, 1 \) или \ (0 \). На графиках ниже показаны примеры парабол для этих трех случаев.{2} -4 х-5 \)

Ответ

\ (y \) — перехват: \ ((0, -5) \) \ (x \) — перехватывает \ ((- 1,0), (5,0) \)

Графические квадратичные функции с использованием свойств

Теперь у нас есть все, что нужно для построения графика квадратичной функции. Нам просто нужно собрать их вместе. В следующем примере мы увидим, как это сделать. {2} -6x + 8 \), используя его свойства.{2} -6x + 8 \)

Ось симметрии — это линия \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).

Ось симметрии

\ (x = — \ frac {b} {2 a} \)

\ (x = — \ frac {(- 6)} {2 \ cdot 1} \)

\ (х = 3 \)

Осью симметрии является прямая \ (x = 3 \).

Шаг 3 : Найдите вершину. Вершина находится на оси симметрии.{2} -6 (\ color {red} {3} \ color {black} {)} + 8 \)

\ (f (3) = — 1 \)

Вершина равна \ ((3, -1) \).

Шаг 4 : Найдите точку пересечения \ (y \). Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.

Находим \ (f (0) \).

Мы используем ось симметрии, чтобы найти точку, симметричную пересечению \ (y \). Пересечение \ (y \) находится на \ (3 \) единицах слева от оси симметрии \ (x = 3 \).{2} -6 (\ color {red} {0} \ color {black} {)} + 8 \)

\ (f (0) = 8 \)

Перехватчик \ (y \) равен \ ((0,8) \).

Точка симметрична \ (y \) — точка пересечения:

Дело в \ ((6,8) \).

Шаг 5 : Найдите точки пересечения \ (x \). При необходимости найдите дополнительные баллы.

Решаем \ (f (x) = 0 \).

Мы можем решить это квадратное уравнение факторингом.{2} -6x + 8 \)

\ (\ color {красный} {0} \ color {черный} {=} (x-2) (x-4) \)

\ (х = 2 или х = 4 \)

\ (x \) — точки пересечения — это \ ((2,0) \) и \ ((4,0) \). {2} + 2x-8 \), используя его свойства.{2} -8x + 12 \), используя его свойства.

Ответ

Здесь мы перечисляем шаги, которые необходимо предпринять, чтобы построить график квадратичной функции.

Построение квадратичной функции с использованием свойств

  1. Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
  2. Найдите уравнение оси симметрии.
  3. Найдите вершину.
  4. Найдите точку пересечения \ (y \). Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.{2} -4 x-3 \), используя его свойства.

    Решение :

    21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016
    84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​

    55170 27618 38606 26133

    Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e x .Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как
    a [2 nd ] [Ln]. В
    экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это
    аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому, когда я пишу exp (x),
    ты знаешь о чем я говорю.

    Сложные проценты

    Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я
    предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый
    сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали.
    Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы
    будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца.

    Я знаю, что сбивает с толку. На странице 304 текста есть объяснение, но
    полученная формула для
    Сложный процент равен A = P (1 + i) n .

    A - это сумма на счете.P - это принципал, с которого вы начали. я
    - периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r,
    разделенный
    по количеству периодов в году, м. n - количество периодов начисления сложных процентов,
    что равно
    количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула
    Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен
    с формулой, которую вы будете использовать, если вы пойдете
    по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть
    целую главу о финансах и задействованных формулах.

    Непрерывное соединение и рост / распад

    Раньше было непрерывное начисление процентов. Ты не
    найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций,
    и банки в бизнесе, чтобы сделать
    деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.

    Модель для непрерывного
    компаундирование: A = P e rt .

    A - сумма, P - основная сумма, r - годовая процентная ставка (написано
    в виде десятичной дроби), а t - время в годах. e - основание для натурального логарифма.

    Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада.
    Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а не меняется.
    постоянно меняется.

    Экспоненциальная модель: y = A e kt ,

    , где y - количество, присутствующее в момент времени t. А - начальное количество,
    а k - скорость роста (если положительна) или скорость распада.
    (если отрицательный).

    Как построить график ln (x) - видео и стенограмма урока

    Шаги для решения ln (x)

    Мы собираемся использовать свойства логарифмов для построения графика f ( x ) = ln ( x ). Логарифмическая функция имеет вид f ( x ) = log a ( x ), а log a ( x ) представляет собой число, которое мы возводим в a , чтобы получить x . Мы называем основанием логарифмической функции.Функция f ( x ) = ln ( x ) является логарифмической функцией с основанием e , где e - иррациональное число со значением e = 2,71828 (округлено до 5 знаков после запятой). Вместо записи натурального логарифма в виде log e ( x ) мы используем обозначение ln ( x ).

    Поскольку \ (a \) равно \ (2 \), парабола открывается вверх.

    Чтобы найти уравнение оси симметрии, используйте \ (x = — \ frac {b} {2 a} \). \ (x = — \ frac {b} {2 a} \)
    \ (x = — \ frac {-4} {2 \ cdot 2} \)
    \ (х = 1 \)
    Уравнение оси симметрии: \ (x = 1 \).
    Вершина находится на прямой \ (x = 1 \).
    Найдите \ (f (1) \).
    \ (f (1) = 2-4-3 \)
    \ (\ f (1) = — 5)
    Вершина равна \ ((1, -5) \).
    Перехват \ (y \) — происходит, когда \ (x = 0 \).
    Найдите \ (f (0) \).
    Упростить. \ (f (0) = — 3 \)
    Перехватчик \ (y \) — это \ ((0, -3) \).
    Точка \ ((0, -3) \) находится на одну единицу левее линии симметрии. Точка, симметричная \ (y \) — точка пересечения равна \ ((2, -3) \)
    Точка на одну единицу правее линии симметрии равна \ ((2,3) \).{2} -4 (2) (3)}} {2 (2)} \)
    Упростить.
    Упростите внутри корня. \ (x = \ frac {4 \ pm \ sqrt {40}} {4} \)
    Упростим радикал. \ (x = \ frac {4 \ pm 2 \ sqrt {10}} {4} \)
    Разложите на множители GCF. \ (x = \ frac {2 (2 \ pm \ sqrt {10})} {4} \)
    Удалите общие множители. \ (x = \ frac {2 \ pm \ sqrt {10}} {2} \)
    Запишите в виде двух уравнений. \ (x = \ frac {2+ \ sqrt {10}} {2}, \ quad x = \ frac {2- \ sqrt {10}} {2} \)
    Приблизительные значения. \ (x \ приблизительно 2,5, \ quad x \ приблизительно-0,6 \)
    Приблизительные значения точек пересечения \ (x \) — \ ((2.5,0) \) и \ ((- 0.6,0) \).
    Постройте параболу, используя найденные точки.{2} -6 x + 5 \), используя его свойства.

    Ответ

    Решение максимальных и минимальных приложений

    Зная, что вершина параболы является самой низкой или самой высокой точкой параболы, дает нам простой способ определить минимальное или максимальное значение квадратичной функции. Координата y вершины — это минимальное значение параболы, которая открывается вверх. Это максимальное значение параболы, которая открывается вниз. {2} +2 x-8 \).{2} +2 х-8 \)

    Поскольку \ (a \) положительно, парабола открывается вверх. Квадратное уравнение имеет минимум.
    Найдите уравнение оси симметрии. \ (x = — \ frac {b} {2 a} \)
    \ (x = — \ frac {2} {2 \ times 1} \)
    \ (х = -1 \)
    Уравнение оси симметрии: \ (x = -1 \).{2} +2 х-8 \)
    Найдите \ (f (-1) \).
    \ (f (-1) = 1-2-8 \)
    \ (f (-1) = — 9 \)
    Вершина равна \ ((- 1, -9) \).
    Поскольку парабола имеет минимум, \ (y \) — координата вершины является минимальным \ (y \) — значением квадратного уравнения. Минимальное значение квадратичного равно \ (- 9 \), и это происходит, когда \ (x = -1 \).{2} +16 х-11 \).

    Ответ

    Максимальное значение квадратичной функции равно \ (5 \), и это происходит, когда \ (x = 2 \).

    Мы использовали формулу

    для расчета высоты в футах, \ (h \), объекта, взлетающего в воздух с начальной скоростью \ (v_ {0} \) через \ (t \) секунд.

    Эта формула является квадратичной функцией, поэтому ее график представляет собой параболу. Решая координаты вершины \ ((t, h) \), мы можем определить, сколько времени потребуется объекту, чтобы достичь максимальной высоты.{2} +176 t + 4 \) моделирует высоту удара волейбольного мяча прямо вверх со скоростью \ (176 \) футов в секунду с высоты \ (4 \) футов.

    1. За сколько секунд волейбольный мяч достигнет максимальной высоты?
    2. Найдите максимальную высоту волейбольного мяча.

    Решение :

    Поскольку \ (a \) отрицательно, парабола открывается вниз. Квадратичная функция имеет максимум.

    а. Найдите уравнение оси симметрии.

    \ (\ begin {array} {l} {t = — \ frac {b} {2 a}} \\ {t = — \ frac {176} {2 (-16)}} \\ {t = 5.5 } \ end {array} \)

    Уравнение оси симметрии \ (t = 5,5 \).

    Вершина находится на прямой \ (t = 5.5 \).

    Максимум происходит, когда \ (t = 5,5 \) секунд.

    г. Найдите \ (h (5.5) \).

    Используйте калькулятор, чтобы упростить.

    \ (ч (т) = 488 \)

    Вершина равна \ ((5.5,488) \).

    Поскольку парабола имеет максимум, \ (h \) — координата вершины является максимальным значением квадратичной функции.{2} +128 t + 32 \) используется для определения высоты камня, брошенного вверх с высоты \ (32 \) футов со скоростью \ (128 \) футов / сек. Сколько времени потребуется, чтобы камень достиг максимальной высоты? Какая максимальная высота?

    Ответ

    Камню потребуется \ (4 \) секунды, чтобы достичь максимальной высоты в \ (288 \) футов. {2} + b x + c \):

    • \ (y \) — перехват
      • Пусть \ (x = 0 \) и решит относительно \ (f (x) \).
    • \ (x \) — перехватывает
      • Пусть \ (f (x) = 0 \) и решит относительно \ (x \).
  5. Как построить график квадратичной функции, используя свойства.
    1. Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
    2. Найдите уравнение оси симметрии.
    3. Найдите вершину.
    4. Найдите точку пересечения \ (y \).Найдите точку, симметричную пересечению y поперек оси симметрии.
    5. Найдите \ (x \) — точки пересечения. При необходимости найдите дополнительные баллы.
    6. Постройте параболу.
  6. Минимальные или максимальные значения квадратного уравнения
    • \ (y \) — координата вершины графика квадратного уравнения
    • минимальное значение квадратного уравнения, если парабола открывается вверх на .{2} + bx + c \).
  7. Графическое изображение основных функций

    Основные функции

    В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

    Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией. Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .

    График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

    Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -перехват (0, 0).

    И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

    Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

    Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

    Кубическая функция Кубическая функция, определенная как f (x) = x3., Определенная как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

    И домен, и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

    Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

    Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, выходные данные которой представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

    Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

    Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

    И домен, и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

    Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

    f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000

    Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности.Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень большие, результат обратной функции очень мал.

    f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001

    Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

    И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

    Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:

    Основные неполиномиальные функции:

    Кусочно-определенные функции

    Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

    f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

    В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

    Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

    Пример 1

    График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

    Решение:

    В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функции квадратного корня по положительным значениям x .

    Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

    Ответ:

    При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

    Пример 2

    Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

    ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

    Решение:

    Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, на что указывает t <0.

    h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

    Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t.

    h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

    Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48

    Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

    Ответ:

    Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

    Пример 3

    График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

    Решение:

    В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Где x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

    Ответ:

    Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

    f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4

    Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

    Пример 4

    График: f (x) = [[x]].

    Решение:

    Если x — любое действительное число, тогда y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

    ⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

    Используя это, мы получаем следующий график.

    Ответ:

    Область определения наибольшей целой функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

    Основные выводы

    • Точки графика для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
    • Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
    • Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
    • Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

    Тематические упражнения

      Часть A: Основные функции

        Сопоставьте график с определением функции.

        Оценить.

      1. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

      2. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

      3. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

      4. ф (х) = | х |; найти f (−10), f (0) и f (a).

      5. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

      6. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

      7. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

      8. f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

      9. График f (x) = 5 и укажите область определения и диапазон.

      10. График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон.

        Функция кубического корня.

      1. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

      2. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

      3. Постройте график функции корня куба, определяемый как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

      4. Определите область и диапазон функции кубического корня.

        Найдите заказанную пару, которая задает точку P .

      Часть B: кусочные функции

        Постройте график кусочных функций.

      1. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

      2. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

      3. h (x) = {xifx <0xifx≥0

      4. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

      5. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

      6. f (x) = {xifx <1xifx≥1

      7. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

      8. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

      9. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

      10. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

      11. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

      12. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

      13. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

      14. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

      15. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

      16. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

        Оценить.

      1. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

        Найдите f (−5), f (0) и f (3).

      2. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

        Найдите f (−3), f (0) и f (2).

      3. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

        Найдите g (−1), g (1) и g (4).

      4. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

        Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

      5. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

        Найдите h (−2), h (0) и h (4).

      6. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

        Найдите h (−5), h (4) и h (25).

      7. f (x) = [[x − 0,5]]

        Найдите f (−2), f (0) и f (3).

      8. f (x) = [[2x]] + 1

        Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

        Оцените по графику f .

      1. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

      2. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

      3. Найдите f (0), f (2) и f (4).

      4. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

      5. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

      6. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

      7. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

      8. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

      9. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

        1. Определить стоимость автомобиля в 1980 году.
        2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?
      10. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

        1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
        2. Какой уровень производства минимизирует удельную стоимость?
      11. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией:
        г (х) = {0.03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000

        1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
        2. Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?
      12. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

      Часть C: Обсуждение

      1. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

      2. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка.Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

    ответов

    1. f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a

    2. f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

    3. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

    4. Домен: ℝ; диапазон: {5}

    5. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

    1. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

    2. г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

    3. ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16

    4. f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2

    5. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

    6. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

    7. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

    8. f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

    2-мерный линейный график — график MATLAB

    Формат для даты и времени меток деления, заданных как пара, разделенная запятыми
    состоящий из 'DatetimeTickFormat' и символа
    вектор или строка, содержащая формат даты.Используйте буквы
    A – Z и A – Z для построения
    нестандартный формат. Эти буквы соответствуют стандарту Unicode ® Locale Data Markup Language (LDML) для дат. Ты
    может включать буквенные символы, отличные от ASCII, такие как дефис, пробел или
    двоеточие для разделения полей.

    Если вы не укажете значение для 'DatetimeTickFormat' ,
    затем график автоматически оптимизирует и обновляет
    метки галочки на основе пределов оси.

    Пример: Отображает 'DatetimeTickFormat', 'eeee, MMMM d, yyyy HH: mm: ss'
    дата и время, например суббота, апрель
    19, 2014 21:41:06
    .

    В следующей таблице показаны несколько распространенных форматов отображения и
    примеры форматированного вывода для даты, суббота, 19 апреля,
    2014 г., 21:41:06 в Нью-Йорке.

    /

    / гггг '

    Значение DatetimeTickFormat Пример
    'yyyy-MM-dd' 2014-04-19 9-04-19

  8. 19.04.2014
    ' дд.ММ.гггг ' 19.04.2014
    ' гггг 年 ММ 月 дд 日 ' 2014 年 04 月 19 日

    г 19 апреля 2014 г.

    'eeee, MMMM d, yyyy HH: mm: ss' суббота, 19 апреля 2014 г. 21:41:06
    '' MMMM d, yy ЧЧ: мм: сс Z ' 19 апреля 2014 г. 21:41:06 -0400

    Полный список допустимых идентификаторов букв см. В свойстве Формат .
    для массивов datetime.

    DatetimeTickFormat не является свойством линии диаграммы.
    Вы должны установить формат галочки, используя аргумент пары имя-значение, когда
    создание сюжета. Или установите формат с помощью функций xtickformat и ytickformat .

    Свойство TickLabelFormat объекта datetime
    линейка хранит формат.

    Экспоненциальные функции и их графики

    4.1 - Экспоненциальные функции и их графики

    Экспоненциальные функции

    До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями.Алгебраические функции - это функции, которые
    могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем
    Рациональное число. Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный
    функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных
    числа.

    Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную. Трансцендентные функции часто могут
    можно решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение.тем не мение
    когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом
    методы иногда являются единственным способом найти решение.

    Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a x , a> 0,
    а ≠ 1

    Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень,
    вы можете не получить реальный номер. Пример: если a = -2, то (-2) 0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1,
    тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1.Это довольно скучная функция, и это, безусловно,
    не один на один.

    Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными. Они имеют
    инверсии, которые также являются функциями. Их можно применять к обеим сторонам уравнения.

    Графики экспоненциальных функций

    График y = 2 x показан справа. Вот некоторые
    свойства экспоненциальной функции, когда основание
    больше 1.

    • График проходит через точку (0,1)
    • Домен - это все вещественные числа
    • Диапазон: y> 0.
    • График увеличивается
    • График асимптотичен по оси x, когда x приближается к
      отрицательная бесконечность
    • График неограниченно увеличивается по мере приближения x
      положительная бесконечность
    • График непрерывный
    • График плавный

    Каким будет перевод, если вы замените каждый x на
    -Икс? Это было бы отражение относительно оси y. Мы также
    знайте, что когда мы поднимаем базу до отрицательной силы,
    один результат состоит в том, что берется обратное число.Так,
    если бы мы построили график y = 2 -x , график был бы
    отражение вокруг оси y y = 2 x , и функция будет
    быть эквивалентным y = (1/2) x .

    График y = 2 -x показан справа. Свойства
    экспоненциальная функция и ее график при базисе
    дано от 0 до 1.

    • График проходит через точку (0,1)
    • Домен - это все вещественные числа
    • Диапазон: y> 0.
    • График убывает
    • График асимптотичен относительно оси x, когда x стремится к положительной бесконечности
    • График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности
    • График непрерывный
    • График плавный

    Обратите внимание, единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, и
    поведение на левом и правом концах.

    Переводы экспоненциальных графиков

    Вы можете применить то, что вы знаете о переводах (из раздела 1.5), чтобы помочь вам нарисовать график.
    экспоненциальных функций.

    Горизонтальный сдвиг может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное),
    левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение
    горизонтальной асимптоты.

    Вертикальный сдвиг может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты.Икс
    приблизится к трансцендентному числу e .

    Показанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела - это способ спросить, что
    происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел - это разделительная линия
    между исчислением и алгеброй. Исчисление - это алгебра с понятием предела. Люди всегда
    я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина
    люди не преуспевают в исчислении не из-за исчисления, а из-за того, что они плохие
    по алгебре.

    Значение e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более
    полезное, приближение.

    2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772
    40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966
    29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251
    01901 15738 34187

    Мы собираемся использовать следующие свойства графика f ( x ) = log a ( x ), чтобы построить график f ( x ) = ln ( x ).

    • Пересечение x , или точка пересечения графика с осью x , находится (1, 0).
    • Ось и - это вертикальная асимптота графика. Другими словами, график приближается к оси y , но не касается ее.
    • Область определения функции - все действительные числа, строго превышающие 0.
    • Диапазон функции - все действительные числа.
    • Если основание функции больше 1, то функция увеличивается или возрастает слева направо и принимает следующую общую форму.
    Общая форма, когда основание больше 1

    Если основание функции больше 0 и меньше 1, то функция убывает или падает слева направо и принимает следующую общую форму.

    Общая форма, когда база находится между 0 и 1

    Давайте рассмотрим эти свойства для f ( x ) = ln ( x ).Мы знаем, что основание - e и e > 1. Следовательно, функция возрастает и принимает общую форму, показанную выше, когда основание больше 1. Кроме того, мы знаем, что график проходит через точку ( 1, 0) и приближается к оси y , но никогда не касается ее. Наконец, поскольку в домене все действительные числа строго больше 0, а в диапазоне - действительные числа, мы знаем, что весь график будет располагаться справа от оси y .Эти факты дают нам представление о том, как будет выглядеть график.

    Грубый набросок с использованием свойств логарифмов

    Точнее, мы можем нанести несколько стратегических точек, поэтому мы знаем, что график точен. Чтобы найти точки, мы выбираем некоторые стратегические значения x , вставляем их в y = ln ( x ) и находим соответствующее значение y .

    x -значение y = ln ( x )
    e = 2.7 y = ln ( e ) = 1
    e 2 = 7,4 y = ln ( e 2) = 2
    e 3 = 20,1 y = ln ( e 3) = 3

    Таким образом, мы имеем точки (2.7, 1), (7.4, 2), (20.1, 3). Мы строим их вместе с другой нашей точкой (1, 0) и соединяем точки плавной кривой, которая принимает форму, описанную выше.

    Точный эскиз ln (x)

    Вот решение проблемы:

    Показан график f ( x ) = ln ( x ).

    Определение наилучшего метода построения графика функции

    Лучший метод построения графиков

    Знакомство с различными типами функций и их свойствами значительно упрощает определение наилучшего метода построения графиков. Есть много разных типов функций.Каждая из этих функций имеет разные свойства. Поскольку для объяснения каждого из этих типов функций и их свойств потребуется целый урок, мы просто рассмотрим несколько избранных примеров. Рекомендуется ознакомиться со многими различными типами функций и их графиками.

    Вот несколько общих рекомендаций, которые можно использовать для определения наилучшего метода построения графика функции.

    1. Если вы хорошо знакомы с формой графика данной функции (например, линии) и функция довольно проста, то метод 1, вероятно, самый простой.
    2. Если вы знакомы со свойствами и характеристиками заданной функции и как они соотносятся с графиком функции, то метод 2 прост в использовании.
    3. Если функция довольно сложная или представляет собой смесь функций разных типов, и вы не совсем уверены, какой будет форма функции, то графический калькулятор, вероятно, будет вашим лучшим выбором.

    Примеры

    Наш пример с бактериями был примером, в котором метод 1 был лучшим методом для использования.Давайте рассмотрим метод 2, взглянув на квадратичную функцию и то, как построить график, используя ее свойства. Квадратичная функция - это полиномиальная функция со старшим показателем, равным 2, и она имеет следующий общий вид:

    Квадратичные функции обладают многими свойствами. Вот некоторые из тех, которые мы можем использовать для построения графиков:

    • Общая форма их графиков - U или перевернутая U.
    • Их графики имеют точку максимума или минимума, называемую вершиной, в точке (- b / (2 a ), f (- b / (2 a ))).
    • Их графики симметричны относительно линии x = - b / (2 a ), называемой осью симметрии.
    • Для квадратичной функции вида f ( x ) = ax 2 + bx + c , интервал y (или точка, где график пересекает ось y ) и где x = 0) всегда (0, c ).

    Хорошо, давайте воспользуемся этими свойствами! Рассмотрим следующую квадратичную функцию:

    Из наших свойств мы знаем общую форму ее графика и следующие факты:

    • Его вершина находится в точке (- 4 / (2⋅1), g (- 4 / (2⋅1)) или (- 2, 0).
    • График симметричен относительно прямой x = - 4 / (2⋅1), или x = - 2.
    • График пересекает ось и в точке (0, 4).

    Собрав все это вместе, мы можем легко построить график функции.

    Мы видим, что когда мы знакомы со свойствами данной функции, метод 2 часто оказывается лучшим путем для построения графика функции.

    Еще один пример! Рассмотрим следующую функцию:

    Хммм… у нее есть рациональное выражение и выражение в квадрате.Он представляет собой смесь различных типов функций, поэтому довольно сложно узнать его общую форму или какие-либо конкретные свойства, которым он может следовать. В таких случаях лучшим выбором будет графический калькулятор или метод 3.

    Резюме урока

    Методы построения графиков - это методы построения графиков функций. Есть много способов сделать это, но три из наиболее распространенных:

    1. Постройте несколько случайных точек, удовлетворяющих функции, и соедините их соответствующей кривой.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

      2021 © Все права защищены.