Открытая Математика. Функции и Графики. Параллельный перенос

Пусть имеется график функции y = f (x). Зададимся целью построить график функции y = f₁ (x), где f₁ (x) = f (x) + B. Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A (x₀; y₀) – точка на графике функции y = f (x). Соответствующая ей точка A′ (x₀; y₁) с той же абсциссой имеет координаты A′ (x₀; y₀ + B). Точка A′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0. Обобщая это рассуждение на все точки, приходим к выводу, что график функции y = f (x) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0.

Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой

{x′=x,y′=y+B,

где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x′ и y′ – соответствующей ей точки нового.

Аналогичным образом можно построить график функции y = f (x – b). Точка A′ (x′; y′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка A (x; y), если x′ = x + b. Таким образом, чтобы построить точку A′, нужно сместить точку A вправо, если b > 0, и влево, если b < 0.

Параллельный перенос графиков

График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b > 0, и на |b| влево, если b < 0.

Алгебраически это записывается системой:

{x′=x+by′=y

Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей старый график.

В общем случае график функции y = f (x – b) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом, при котором начало координат O (0, 0) переходит в точку O′ (b, B). Обычно находят точку O′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график функции y = f (x).

Построение графиков в Excel. Практическая работа

Цель работы:

• научиться строить графики в Excel;
• развить самостоятельность;
• развить навыки мыслительной деятельности, включая каждого учащегося в учебно – познавательный процесс и создавая условия для работы каждого в индивидуальном темпе;

Оборудование:

• ПЭВМ, сеть, проектор;
• опорный конспект, план практической работы, варианты для самостоятельной работы учащихся.

Этапы	План урока + опорный конспект	Средства обучения
I	Подготовительный. Постановка учебных задач. Устное разъяснение порядка работы на уроке, тема урока.	—
II	Повторение. Фронтальный опрос изученного материала. Вопросы: предназначение Excel: Расчеты по формулам Графики и диаграммы путь к папке, где сохранить работу.	проектор
III	Объяснение нового материала и подготовка к практической работе: объяснение построения графиков в Excel; работа с проектором. Показать, как и что должно получиться; Раздача вариантов работы.	Проектор, раздаточный материал
IV	Выполнение проектной практической работы: сохранение работы в папку «ГРАФИКИ» под своими идентификаторами; помощь ученикам.	Компьютер
V	Итоги: демонстрация работ учащимися на проекторе и оценка за работы; определение лучшей работы; подведение итогов.	Проектор, раздаточный материал, компьютер

Опорный конспект

Построение совмещенных графиков в Microsoft Office Excel -2007.

Для построения графиков функций Y(X) в Microsoft Office Excel используется тип диаграммы Точечная:

Для этого требуется два ряда значений: Х и Y значения, которые должны быть соответственно расположены в левом и правом столбцах.

Можно совместить построение нескольких графиков. Такая возможность используется для графического решения систем уравнений с двумя перемен­ными, при проведении сравнения анализа значений y при одних и тех же значениях x.

ПРИМЕР.

(Используется при объяснении материала через проектор.)

Построить графики функций y1= x ² и y2= x ³ на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.

Алгоритм выполнения задания:

1. Заполнить таблицу значений:

2. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная.

3. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми.

4. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y

5. Должен получиться график:

P.S. В версии 97-2003 для получения графика, представленного на рисунке надо провести редактирование.

Раздаточный материал

Варианты

ВАРИАНТ 1

Построить графики функций y1= x ²-1, y2= x ²+1 иy=К·(y1/ y2)на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,3.

ВАРИАНТ 2

 Построить графики функций y1= и y2= 2^х на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 3

 Построить графики функций y1= , y2=на интервале [- 0,5 ; 9] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 4

 Построить графики функций y1=, y2= на интервале [- 5 ; -0,5] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 5

 Построить графики функций y1= , y2=на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.

Построение графиков функций в Excel

Построение графиков функций — одна из возможностей  Excel. В этой статье мы рассмотрим процесс построение графиков некоторых математических функций: линейной, квадратичной и обратной пропорциональности.

Функция, это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x). Поэтому, нам необходимо заполнить массив таких точек, а Excel построит нам на их основе график функции.

1) Рассмотрим пример построения графика линейной функции: y=5x-2

Графиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум точкам. Создадим табличку

 

 

В нашем случае  y=5x-2. В ячейку с первым значением y введем формулу: =5*D4-2. В другую ячейку формулу можно ввести аналогично (изменив D4 на D5) или использовать маркер автозаполнения.

В итоге мы получим табличку:

 

 

Теперь можно приступать к созданию графика.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ (рекомендую использовать именно этот тип диаграммы)

 

 

Появиться пустая область диаграмм. Нажимаем кнопку ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ

 Выберем данные:  диапазон ячеек оси абсцисс (х) и оси ординат (у). В качестве имени ряда можем ввести саму функцию в кавычках «y=5x-2» или что-то другое. Вот что получилось:

Нажимаем ОК. Перед нами график линейной функции.

2) Рассмотрим процесс построения графика квадратичной функции — параболы y=2x²-2

Параболу по двум точкам уже не построить, в отличии от прямой.

Зададим интервал на оси x, на котором будет строиться наша парабола. Выберу [-5; 5].

Задам шаг. Чем меньше шаг, тем точнее будет построенный график. Выберу 0,2.

Заполняю столбец со значениями х, используя маркер автозаполнения  до значения х=5. 2-2. Используя маркер автозаполнения, рассчитываем значения у для остальных х.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ и действуем аналогично построению графика линейной функции.

Получим:

Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ.

Любые другие графики непрерывных функций строятся аналогично.

3) Если функция кусочная, то необходимо каждый «кусочек» графика объединить в одной области диаграмм.

Рассмотрим это на примере функции у=1/х.

Функция определена на интервалах (- беск;0) и (0; +беск)

Создадим график функции на интервалах: [-4;0) и (0; 4].

Подготовим две таблички, где х изменяется с шагом 0,2:

Находим значения функции от каждого аргумента х аналогично примерам выше.

На диаграмму вы должны добавить два ряда — для первой и второй таблички соответственно

Далее нажимаем кнопочку ДОБАВИТЬ и заполняем табличку ИЗМЕНЕНИЕ РЯДА  значениями из второй таблички

Получаем график функции y=1/x

В дополнение привожу видео — где показан порядок действий, описанный выше.

В следующей статье расскажу как создать 3-мерные графики в Excel.

Спасибо за внимание!

на Ваш сайт.

Постройте график функции у=|х-1|-|х+1|+х и найдите все значения(см пр)?

Постройте график функции у=|х-1|-|х+1|+х и найдите все значения k, при которых прямая у=kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Павел. Итак, мы имеем функцию

у=|х-1|-|х+1|+х (1)

Сначала построим графики этой функции. Сложность в том, что здесь имеется 2 модуля. Но тогда разобьем решение задачи на этапы

1) Пусть в первом модуле стоит положительное число, то есть х-1>=0, или х>=1, где знак >= означает больше или равно. То есть х больше или равно 1. Тогда уравнение (1) примет вид у=х-1-|х+1|+х. Или у=2х-1-|х+1|.

1а) Пусть теперь и х+1>=0, то есть х>=-1. Тогда имеем у=х-1-|х+1|+х=х-1-х-1+х=х-2. Итак, получили уравнение первой прямой линии

у=х-2 (2)

При каких х справедливо это уравнение прямой линии? Мы имеем 2 неравенства х>=1 и х>=-1. Значит, уравнение (2) справедливо, только если х>=1.

2) Пусть теперь в уравнении (2) х-1<=0. Или х<=1. Тогда |х-1|=1-х. И здесь займемся вторым слагаемым в уравнении (1) |х+1|. Пусть также х+1>=0 или х>=-1. Оба неравенства можно свести в одно выражение -1<=х<=1. То есть х находится в пределах от -1 до 1. А уравнение (1) в этом промежутке для х к чему сведется? у=1-х-х-1+х=-х.

Итак, при -1<=х<=1 имеем

у=-х (3).

3) х-1<=0 и х+1<=0. Или х<=1 и х<=-1. То есть общее решение х<=-1. Тогда из нашего уравнения (1) получим у=1-х+х+1+х=х+2.

Итак в области отрицательных значений х (точнее при х<=-1) из уравнения (1) имеем

у=х+2 (4)

4) Четвертый случай. х-1>=0 и х+1<=0. Или х>=1 и х<=-1. То есть таких х не бывает.

Сведем все случаи вместе. В диапазоне х<=-1 имеем у=х+2 (4)

В центральном диапазоне -1<=х<=1 имеем у=-х (3).

И в правом диапазоне х>=1 имеем у=х-2 (2)

Хорошо бы нарисовать графики, но не успеваю. Попробуйте построить 3 прямые линии

у=х+2 (а) , у=-х (б) , и у=х-2 (в). То есть уравнение (1) дает непрерывный график из трех прямых линий.

У нас еще есть прямая линия у=kx. При каких k прямая у=kx имеет с графиком нашей функции ровно 1 общую точку? Ясно, что это прямая линия с наклоном, равным k. Подумайте. Но для этого лучше иметь перед собой график нашей функции. Ясно, что эта прямая линия у=kx должна 1 раз пересекаться с нашей кривой, которая состоит из 3 прямых линий.

python — Как построить y = 1 / x как единый график

На этот вопрос уже есть ответы :

Закрыт 4 года назад.

Есть ли простой способ построить график функции, стремящейся к бесконечности как положительного, так и отрицательного, в виде единого графика, не соединяющего оба конца положительного и отрицательного?

Например, построение y = 1 / x с использованием этого кода дает результирующий график:

  импортировать numpy как np
import matplotlib. pyplot как plt

def f (x):
    возврат 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

x = np.setdiff1d (np.linspace (-10,10,100), [0]) # чтобы удалить ноль
у = f (х)
plt.plot (x, y, label = fx_name)
plt.legend (loc = 'верхний левый')
plt.show ()
  

Но мне хотелось бы получить такой результат, которого я добился, построив два отдельных домена:

  импортировать numpy как np
импортировать matplotlib.pyplot как plt

def f (x):
    возврат 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

xfn = np.setdiff1d (np.linspace (-10,0,100), [0])
xfp = np.setdiff1d (np.linspace (0,10,100), [0])
yfn = f (xfn)
yfp = f (xfp)

yf = plt.plot (xfn, yfn, label = fx_name)
plt.plot (xfp, yfp, color = yf [0] .get_color ())
plt.legend (loc = 'верхний левый')
plt.show ()
  

Есть кратчайшие пути?
Большое спасибо.

Решение

Включить ноль в массив домена и подавить деление на ноль. Это приводит к тому, что один элемент возвращенного массива совмещенных доменов обозначается как «inf», а «inf» не отображается.

  импортировать numpy как np
import matplotlib.pyplot как plt

def f (x):
    с np.errstate (div = 'ignore', invalid = 'ignore'):
        возврат 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

x = np.linspace (-10,10,101)
у = f (х)
plt.plot (x, y, label = fx_name)
plt.legend (loc = 'верхний левый')
plt.show ()
  

Я предпочитаю этот метод, поскольку он позволяет избежать ручных манипуляций с массивом и может быть легко повторно использован для других функций, которые используют тот же домен (например, y = 1 / (x + 2)). Спасибо всем за вклад.

преобразований функции 1 / x — видео и стенограмма урока

1 над x сдвигами функции

Сдвиги по вертикали и горизонтали

Мы начнем с некоторых довольно простых преобразований, которые сохраняют внешний вид графика точно так же, но немного сдвигают его вверх и вниз. Если вы сделаете все деление, а затем добавите какое-то число в конец, вы переместите график вверх. Если вы вычтите какое-то число, вы переместите график вниз.

Концептуально это происходит потому, что вы выполняете всю работу по разделению, а затем добавляете d к значению y в самом конце. Таким образом, деление определяет форму вашего графика, а d дает большее значение y для любого заданного x . Например, здесь все просто сдвинуто вверх на 5 единиц, потому что для каждого значения x вы получите то же значение, что и для 1/ x , плюс еще 5.

1 over x функция вертикального смещения 5 единиц

Если вы добавите какое-то число к x в нижней части дроби, вы переместите функцию по горизонтали, не меняя ее формы. Здесь все по-другому: если вы добавите c единиц, функция переместится влево на c единиц. Если вычесть c единиц, функция переместится вправо на c единиц.

Как это работает концептуально? Чем больше нижняя часть дроби, тем меньше общее значение дроби. Итак, если вы возьмете какое-то значение x внизу дроби и прибавите к нему какое-то значение c , итоговая дробь будет иметь меньшее общее значение, чем просто 1/ x .

С другой стороны, если вы вычтете какое-то значение из x , полученная дробь будет больше. Итак, для любого заданного значения x в нашей преобразованной дроби добавление к нему чего-либо даст нам меньшее значение y , а вычитание из него даст нам большее значение y .

Другой способ взглянуть на это — начать со значений y 1/ x . Если вы хотите получить те же значения y из 1 / ( x + 5), вам придется вычесть 5 из каждого значения x . Итак, для любого заданного значения y значение x , которое дает вам, перемещается на 5 единиц в отрицательную сторону графика, которая остается слева.

Эти два простых преобразования вверх и вниз сдвигают асимптоты функции. f ( x ) = 1/ x + 5 имеет асимптоту при x = 5, а не при x = 0. Это потому, что теперь мы можем получить значение 0 из этой функции. Если мы подставим -1/5 для x , мы получим f ( x ) = -5 + 5, что равно 0. Но мы не можем получить 5, потому что получаем 5 1/ x должно быть равно 0, что невозможно.

Преобразования наклона

Теперь давайте посмотрим на преобразования, которые изменяют форму функции, а не только ее расположение на осях x и y .Мы начнем с того, что происходит, когда вы умножаете верхнюю часть дроби на какое-то число. Это сгладит функцию.

Давайте подумаем об этом концептуально. Если a больше 1, то для любого заданного значения x (1 * a ) / x будет больше 1/ x . Таким образом, каждое значение x в новой функции генерирует большее значение y , чем то же значение x в исходной функции 1/ x .

Пока что это похоже на то, что мы сделали с добавлением числа к функции. Но это не все! Из сравнительной таблицы видно, что умножение функции на константу приводит к тому, что она ведет себя иначе, чем простое добавление константы.

Таблица сравнения функций 1 over x

Когда вы добавляете константу, величина уменьшения y -значения остается такой же; вы просто начинаете с большего числа.Когда вы умножаете на константу, величина уменьшения меняется. Другими словами, функция меняет крутизну с разной скоростью. Это указывает на изменение формы: функция растягивается, становится шире и ровнее.

А как насчет умножения нижней части дроби на какое-то число? В этом случае концептуально все будет наоборот. Чем больше нижняя часть дроби, тем меньше будет f ( x ); поэтому f ( x ) становится меньше, чем x — больше.Итак, теперь вы делаете нижнюю часть дроби даже больше, чем просто x , поэтому f ( x ) станет еще меньше, даже быстрее.

Сравнение умножения преобразований наклона функции 1 по x

И действительно, именно это и происходит. Линии становятся более сжатыми или крутыми; они быстрее приближаются к асимптоте во всех направлениях. Если вы умножите верхнюю или нижнюю границу на отрицательное число, вы просто измените направление функции.Если вы умножаете на что-то другое, кроме -1, вы переворачиваете его, а затем делаете график более плоским или крутым по мере необходимости.

Резюме урока

В этом уроке вы узнали о функции f ( x ) = 1/ x . Это убывающая функция , которая представляет собой функцию, в которой f ( x ) уменьшается при увеличении x . Эта функция имеет две асимптоты. Асимптота — это линия, к которой функция приближается, но никогда не пересекает ее.Вы также узнали, что мы можем преобразовать эту функцию разными способами:

• Добавление некоторого значения к функции после завершения деления перемещает график вверх и вниз по оси y на такое количество единиц.
• При добавлении некоторого значения к x до завершения деления график перемещается по оси x на такое количество единиц.
• Умножение вершины функции на некоторое значение растягивает ее и делает более плоской.
• Умножение нижней части функции на некоторое значение сжимает ее и делает более крутой.
• Умножение верха или низа на отрицательное значение также меняет направление функции.

Если вы запутались, просто подумайте концептуально: что это изменение делает с x ; как это повлияет на и ; и как это изменит график?

Преобразования функции 1 / x: словарь и определения

Асимптота — это линия, к которой функция приближается, но никогда не пересекает.

Преобразование функции происходит путем добавления или вычитания чисел в уравнение в различных местах. Преобразование приводит к перемещению графика функции.

Преобразования функции «один поверх X» выглядят следующим образом:

Преобразование	Функция	Изменения в графике
Добавление некоторого значения к функции после деления	f ( x ) = 1/ x + d	перемещает график вверх и вниз по оси y на такое количество единиц.
Добавление некоторого значения к x до выполнения деления	f ( x ) = 1/ (x + c)	перемещает график по оси x на это количество единиц.
Умножение вершины функции на некоторое значение	f ( x ) = (1 * a) / x	растягивает график и делает его более плоским.
Умножение нижней части функции на некоторое значение	f ( x ) = 1/ (b * x)	сжимает график и делает его круче.
Умножение верха или низа на отрицательное значение	f ( x ) = -1 / x	меняет направление функции.

Результаты обучения

После завершения этого урока вы должны быть готовы сделать следующее:

• Покажите, как функция f ( x ) = 1/ x является убывающей функцией с двумя асимптотами
• Различить пять преобразований функции 1 / x и сравнить графики преобразований

Графики взаимных функций — объяснения и примеры

Обратные функции имеют вид y = ^k / _x , где k — любое действительное число. Их графики имеют линию симметрии, а также горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Ключом к построению графиков взаимных функций является знакомство с родительской функцией, y = ^k / _x . Другие взаимные функции обычно представляют собой своего рода отражение, перевод, сжатие или расширение этой функции. Следовательно, важно ознакомиться с общими правилами построения графиков, а также с правилами преобразования графов, прежде чем переходить к этой теме.

В этом разделе мы обсудим:

• Что такое взаимная функция на графике?
• Как построить график взаимных функций

Что такое обратная функция на графике?

Обратная функция имеет вид y = ^k / _x , где k — некоторое действительное число, отличное от нуля. Оно может быть положительным, отрицательным или даже дробным.

График этой функции состоит из двух частей. В простейшем примере ¹ / _x одна часть находится в первом квадранте, а другая часть — в третьем.

В первом квадранте функция стремится к положительной бесконечности, когда x стремится к нулю, и к нулю, когда x стремится к бесконечности. В третьем квадранте функция стремится к отрицательной бесконечности, когда x стремится к нулю, и к нулю, когда x стремится к отрицательной бесконечности.

Почему они называются взаимными функциями?

Когда мы думаем о функциях, мы обычно думаем о линейных функциях.Они имеют вид y = mx + b.

Напомним, что обратная величина — это 1 над числом. Например, 2 равно ¹ / ₂ . Взаимные функции являются обратными некоторой линейной функции.

Например, основная обратная функция y = ¹ / _x является обратной функцией y = x. Аналогично, обратная величина y = ( ² / ₃ ) x + 4 равна y = ( ³ / ₂ x + 12).

Фактически, для любой функции, где m = ^p / _q , обратная величина y = mx + b равна y = q / (px + qb).

Как построить график взаимных функций

Основная обратная функция y = ¹ / _x . Он имеет вертикальную асимптоту при x = 0 и горизонтальную асимптоту при y = 0. Он также имеет две линии симметрии в точках y = x и y = -x.

Другие обратные функции — это переводы, отражения, расширения или сжатия этой базовой функции. Следовательно, они также будут иметь одну вертикальную асимптоту, одну горизонтальную асимптоту и одну линию симметрии. Эти три вещи могут помочь нам построить график любой взаимной функции.

Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота — это горизонтальная линия, к которой функция приближается, когда x становится все ближе и ближе к определенному значению (или положительной или отрицательной бесконечности), но которой функция никогда не достигает.

В базовой функции y = ¹ / _x горизонтальная асимптота равна y = 0, потому что предел, когда x стремится к бесконечности, а отрицательная бесконечность равен 0.

Любой вертикальный сдвиг для базовой функции будет соответственно сместим горизонтальную асимптоту.

Например, горизонтальная асимптота y = ¹ / _x +8 равна y = 8. Горизонтальная асимптота y = ¹ / _x -6 равна y = -6.

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота аналогична горизонтальной асимптоте. Это точка разрыва функции, потому что, если x = 0 в функции y = ¹ / _x , мы делим на ноль. Поскольку это невозможно, для x = 0 нет вывода.

Но что насчет того, когда x = 0.0001? Или когда x = -0,0001?

Наши значения x могут бесконечно приближаться к нулю, и при этом соответствующие значения y будут бесконечно близки к положительной или отрицательной бесконечности, в зависимости от того, с какой стороны мы приближаемся. Когда x стремится к нулю слева, значения стремятся к отрицательной бесконечности. Когда x стремится к нулю справа, значения стремятся к положительной бесконечности.

Каждая обратная функция имеет вертикальную асимптоту, и мы можем найти ее, найдя значение x, знаменатель которого в функции равен 0.

Например, функция y = ¹ / _{(x + 2)} имеет знаменатель 0, когда x = -2. Следовательно, вертикальная асимптота x = -2. Аналогично, функция y = ¹ / _(3x-5) имеет знаменатель 0, когда x = ⁵ / ₃ .

Обратите внимание, что на положение вертикальной асимптоты влияют как сдвиги влево или вправо, так и растяжение или сжатие.

Линии симметрии

Чтобы найти линии симметрии, мы должны найти точку, где встречаются две асимптоты.

Если наша обратная функция имеет вертикальную асимптоту x = a и горизонтальную асимптоту y = b, то две асимптоты пересекаются в точке (a, b).

Тогда две линии симметрии: y = x-a + b и y = -x + a + b.

Это имеет смысл, потому что мы, по сути, переводим функции y = x и y = -x так, чтобы они пересекались в (a, b) вместо (0, 0). Их наклон всегда равен 1 и -1.

Следовательно, две линии симметрии для основной обратной функции — это y = x и y = -x.

Примеры

В этом разделе мы рассмотрим общие примеры проблем, связанных с графическим отображением взаимных функций, и их пошаговые решения.

Пример 1

Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ¹ / _{(x + 4)} .
Затем изобразите график функции.

Пример 1 Решение

Начнем со сравнения заданной функции с родительской функцией, y = ¹ / _x .

Единственное различие между ними состоит в том, что данная функция имеет в знаменателе x + 4 вместо x. Это означает, что у нас есть горизонтальный сдвиг на 4 единицы влево от родительской функции.

Таким образом, наша горизонтальная асимптота y = 0 не изменится. Наша горизонтальная асимптота, однако, сдвинется на 4 единицы влево до x = -4.

Следовательно, две асимптоты пересекаются в точке (-4, 0). Это означает, что две линии симметрии: y = x + 4 + 0 и y = -x-4 + 0. Упрощая, мы имеем y = x + 4 и -x-4.

Таким образом, мы можем построить график функции, как показано ниже, где асимптоты показаны синим цветом, а линии симметрии — зеленым.

Пример 2

Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ¹ / _x +5. Затем постройте график функции.

Пример 2 Решение

Как и раньше, мы можем сравнить данную функцию с родительской функцией y = ¹ / _x .В этом случае единственное отличие состоит в том, что в конце функции стоит +5, что означает вертикальный сдвиг вверх на пять единиц.

В остальном функция должна быть такой же. Это означает, что вертикальная асимптота по-прежнему x = 0, но горизонтальная асимптота также сдвинется вверх на пять единиц до y = 5.

Две асимптоты встретятся в точке (0, 5). Из этого мы знаем, что две линии симметрии — это y = x-0 + 5 и y = x + 0 + 5. То есть две строки: y = x + 5 и y = -x + 5.

На основе этой информации мы можем построить график функции, как показано ниже.

Пример 3

Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ¹ / _(x-1) +6.
Затем изобразите график функции.

Пример 3 Решение

Еще раз, мы можем сравнить эту функцию с родительской функцией. Однако на этот раз это сдвиг и по горизонтали, и по вертикали. Поскольку знаменатель равен x-1, имеется горизонтальный сдвиг на 1 единицу вправо.+6 в конце означает вертикальный сдвиг на шесть единиц вверх.

Следовательно, вертикальная асимптота сдвигается влево на одну единицу до x = -1. Горизонтальная асимптота аналогичным образом сдвинута вверх на шесть единиц до y = 6, и эти две точки встретятся в точке (-1, 6).

Используя это пересечение, линии симметрии будут иметь вид y = x-1 + 6 и y = -x + 1 + 6. Они упрощаются до y = x + 5 и y = -x + 7.

Таким образом, мы можем построить график функции, как показано ниже.

Пример 4

Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ¹ / _3x .
Затем изобразите график функции.

Пример 4 Решение

В этом случае нет ни вертикального, ни горизонтального смещения. Это означает, что асимптоты останутся при x = 0 и y = 0. Точно так же линии симметрии по-прежнему будут y = x и y = -x.

Итак, что изменилось?

Форма двух частей функций немного изменилась. Умножение x на число больше единицы приводит к тому, что кривые становятся более крутыми. Например, кривая в первом квадранте станет больше похожа на L.

И наоборот, умножение x на число меньше 1, но больше 0 сделает наклон кривой более плавным.

Точки, которые пересекают линию симметрии с положительным наклоном, также будут ближе друг к другу, когда x умножается на большие числа, и дальше друг от друга, когда x умножается на меньшие числа.

В итоге у нас есть функция, показанная ниже.

Пример 5

Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = — ⁶ / _x .
Затем изобразите график функции.

Пример 5 Решение

Как и в примере 4, у нас нет горизонтального или вертикального сдвига в этой функции. Это означает, что наша вертикальная асимптота по-прежнему x = 0, горизонтальная асимптота — y = 0, а две линии симметрии — y = x и y = -x.

Итак, мы снова должны спросить, что изменилось?

Во-первых, мы должны заметить, что ⁶ / _x = ¹ / _{( ¹ / 6 ) x} . Затем мы видим, что эта ситуация прямо противоположна примеру 4.Теперь мы умножаем x на число меньше 1, поэтому кривая двух частей функции будет более плавной, а точки, где они пересекают линию симметрии, будут дальше друг от друга.

Обратите внимание, что эта функция также имеет отрицательный знак. Следовательно, нам нужно отразить функцию по оси ординат. Теперь две части функции будут в квадрантах 2 и 4.

Таким образом, мы получим функцию, показанную ниже.

Пример 6

Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ⁵ / _(3x-4) +1.
Затем изобразите график функции.

Пример 6 Решение

В этой функции происходит много чего. Во-первых, давайте найдем вертикальный и горизонтальный сдвиги, чтобы найти асимптоты и линию симметрии.

Эта функция имеет знаменатель 0, когда x = ⁴ / ₃ , что, следовательно, является вертикальной асимптотой. В отличие от предыдущих примеров, горизонтальное сжатие действительно влияет на вертикальную асимптоту.

Функция также имеет +1 в конце, что означает вертикальный сдвиг на одну единицу вверх.Это означает, что горизонтальная асимптота y = 1.

Теперь мы знаем, что две асимптоты пересекутся в точке ( ⁴ / ₃ , 1). Это означает, что линии симметрии: y = x- ⁴ / ₃ +1 и y = x + ⁴ / ₃ +1. Они упрощаются до y = x- ¹ / ₃ и y = x + ⁷ / ₃ .

Теперь нам нужно учесть расширение функции, прежде чем мы сможем построить график. Технически мы можем переписать эту функцию как y = 5 / (3 (x- ⁴ / ₃ )) или даже как y = ¹ / _{(( ³ / 5 ) (x- ⁴ / 3 ))} .Несмотря на то, что это кажется более сложным, легче увидеть, что коэффициент перед x равен ³ / ₅ , что меньше 1. Следовательно, кривые менее крутые, и точки, где они пересекаются с линии симметрии дальше друг от друга.

Наконец, мы получаем функцию, подобную показанной ниже.

Практические задачи

1. Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ¹ / _(x-4) +2.
   Затем изобразите график функции.
2. Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ² / _(3x) -1.
   Затем изобразите график функции.
3. Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = ¹ / _{(2x + 5)} -3.
   Затем изобразите график функции.
4. Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = — ¹ / _(x-2) .
   Затем изобразите график функции.
5. Найдите вертикальную асимптоту, горизонтальную асимптоту и линии симметрии для обратной функции y = — ¹ / _(5x) -1.
   Затем изобразите график функции.

Практические задачи Ключ ответа

1. Вертикальная асимптота x = 4, горизонтальная асимптота y = 2, а линии симметрии y = x-2 и y = -x + 6.
2. Вертикальная асимптота x = 0, горизонтальная асимптота y = 1, а линии симметрии y = x + 1 и y = -x + 1.
3. В этом случае вертикальная асимптота x = — ⁵ / ₂ , горизонтальная асимптота y = -3, а линии симметрии y = x- ¹ / ₂ и y = -x- ¹¹ / ₂ .
4. Вертикальная асимптота x = 2, горизонтальная асимптота y = 0, а линии симметрии y = x-2 и y = -x-2.
5. Вертикальная асимптота x = 0, горизонтальная асимптота y = -1, а линии симметрии y = x-1 и y = -x-1

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Биоматематика: преобразование графиков

Мы обсудим два типа отражений: отражения по оси x и отражения по оси y .

Отражения по оси x

Чтобы визуализировать отражение по оси x , представьте график, который получился бы в результате складывания базового графика по оси x . Символически мы определяем отражение по оси x следующим образом:

Определение Для базовой функции f ( x ) функция, заданная как г ( x ) = — f ( x ), можно нарисовать, отразив f ( x ) по оси x .

Другими словами, все части графика выше оси x будут отражены в соответствующее положение ниже оси x , в то время как все части графика ниже x — ось будет отражена над осью x . Конечно, перехваты x останутся неизменными при этом типе отражения

Примеры отражений по оси x-

Рассмотрим следующие базовые функции,

(1) f ( x ) = x ² — 9,

(2) г ( x ) = | x | +1.

Графическое представление функции (1), f ( x ), представляет собой параболу, смещенную на 9 единиц вниз относительно базовой функции y = x ² . Что вы думаете о графике

y ₁ ( x ) = -f ( x )

как выглядит? Используя определение f ( x ), мы можем записать y ₁ ( x ) как,

y ₁ ( x ) = -f ( x ) = — ( x ² -9) = — x ² + 9.

Основываясь на определении отражения по оси x , график y ₁ ( x ) должен выглядеть как график f ( x ), отраженный поперек оси x -ось. Взгляните на графики f ( x ) и y ₁ ( x ).

Функция (2), г ( x ), является функцией абсолютного значения.Что бы на графике

y ₂ ( x ) = -g ( x )

похож? Используя наши знания об отражениях по оси x , график y ₂ ( x ) должен выглядеть как базовый график g ( x ), отраженный по оси x . Чтобы проверить это, мы можем записать y ₂ ( x ) как,

y ₂ ( x ) = -g ( x ) = — (| x | + 1) = — | x | -1,

построить таблицу значений и построить график новой функции.Как видите, график y ₂ ( x ) на самом деле является базовым графиком g ( x ), отраженным по оси x .

Отражения по оси y —

Вы можете визуализировать отражение по оси y , представив график, который возник бы в результате складывания базового графика по оси y .Символически мы определяем отражение по оси y следующим образом:

Определение Для базовой функции f ( x ) функция, заданная как г ( x ) = f ( -x ), можно нарисовать, отразив f ( x ) по оси y .

Другими словами, все части графика слева от оси y будут отражены в соответствующее положение справа от оси y , в то время как все части графика справа от оси y будет отражаться в соответствующие позиции слева от оси y .Конечно, y -перехваты останутся неизменными при таком отражении.

Примеры отражений по оси y-

Рассмотрим следующие базовые функции,

(1) f ( x ) = ( x -1) ² ,

(2) г ( x ) = x ³ — x ² — 4 x + 4.

Графическое представление функции (1), f ( x ), представляет собой параболу, смещенную на 1 единицу вправо. Что вы думаете о графике

y ₁ ( x ) = f (- x )

как выглядит? Используя определение f ( x ), мы можем записать y ₁ ( x ) как,

y ₁ ( x ) = f (- x ) = ( -x -1) ² = x ² + 2 x +1.

Основываясь на определении отражения по оси y , график y ₁ ( x ) должен выглядеть как график f ( x ), отраженный по оси y -ось. Взгляните на графики f ( x ) и y ₁ ( x ).

Функция (2), г ( x ), является кубической функцией.Что бы на графике

y ₂ ( x ) = g ( -x )

похож? Используя наши знания об отражениях по оси y , график y ₂ ( x ) должен выглядеть как базовый график g ( x ), отраженный по оси y . Чтобы проверить это, мы можем записать y ₂ ( x ) как,

y ₂ ( x ) = g ( -x ) = (- x ) ³ — (- x ) ² -4 (- x ) + 4 = — x ³ + x ² + 4 x + 4,

построить таблицу значений и построить график новой функции.Как видите, график y ₂ ( x ) на самом деле является базовым графиком g ( x ), отраженным по оси y .

*****

Теперь попробуйте несколько задач, чтобы проверить свои знания графических преобразований

Проблемы

Как построить график функций на TI-83/84

Как построить график функций на TI-83/84

Авторские права 20012020 Стэн Браун

Резюме:
На TI-83/84 довольно легко построить какой-то график.
для данной функции.Эта страница поможет вам с хитростями, которые могут
не быть очевидным. Вы сможете найти асимптоты, пересечения,
пересечения, корни и т. д.

См. Также:
Как оценивать функции с помощью TI-83/84

Как построить график кусочных функций на TI-83/84

Методы, описанные в этой заметке, будут работать с любой функцией, но
в целях иллюстрации можно использовать

Построение графика вашей функции

Шаг 1: Удалите ненужные участки.

Вам нужно искать любые ранее установленные участки, которые могут мешает вашему новому.	Нажмите [ Y = ] (верхняя левая кнопка). Посмотрите на верхнюю часть экран. Если какой-либо из Plot1 Plot2 Plot3 выделен, курсор на него и нажмите [ ENTER ], чтобы отключить его. (Информация не теряется; вы всегда можно вернуться и активировать любой сюжет.) Чтобы убедиться, что у вас есть отключили сюжет, переместите курсор в сторону от него и убедитесь, что он не выделено.
(Иногда вы можете захотеть график более чем одной функции на те же топоры.В этом случае обязательно отключите все функции. вы не хотите строить графики.)	Теперь проверьте строки, начинающиеся с Y1 = , Y2 = и т. Д. Если есть = знак выделен, либо удалить все уравнение или деактивировать, но оставить в памяти. Чтобы удалить уравнение, установите курсор к нему и нажмите кнопку [ CLEAR ]. Чтобы отключить его без удаляя это, установите курсор на знак = и нажмите [ ENTER ]. Мой экран выглядел так после того, как я отключил все старые сюжеты и функции.

Шаг 2: Введите функцию.

Если вашей функции еще нет в форме y =, используйте алгебру, чтобы преобразовать его, прежде чем продолжить. Два предупреждения: Для x используйте клавишу [ x, T, θ, n ], а не [] (раз) клавиша. TI-83/84 следует стандартному порядку операций. Если есть операции сверху или снизу дроби, вы должны использовать круглые скобки для x + 2 разделить на x — 3, вы не можете просто ввести x + 2 / x − 3.	Переместите курсор к одной из строк Y = , нажмите [ CLEAR ], если необходимо, и войдите в функцию.
Проверьте свою работу и исправьте ошибки. Например, если вы видите звезду * вместо X , вы случайно использовал временную клавишу вместо [ x, T, θ, n ].	Используйте кнопку [ ◄ ] и перепечатайте все ошибки. Чтобы удалить лишние символы, нажмите [ DEL ]. Если вам нужно вставить символы, найдите желтый INS выше клавишу [ DEL ]. Нажмите [ 2nd DEL made INS ] и введите дополнительные символы. Как только вы нажмете кнопку курсора, TI-83/84 возвращается в режим перепечатки.

Шаг 3: Отобразите график.

Zoom Standard обычно хороший отправная точка. Он выбирает стандартные параметры от −10 до +10 для x и л .

Нажмите [ ZOOM ] [ 6 ].

Общие проблемы

Если вы нигде не видите свой график функции, ваше окно
вероятно, ограниченный областью плоскости xy , график просто
не проходит. В зависимости от функции один из этих
техники будет работать:

• ZoomFit — хорошая первая попытка.
  Нажмите [ ZOOM ] [ 0 ]. (Спасибо Мэрилин Уэбб за это
  предложение.)

• Можете попробовать уменьшить масштаб (как собираетесь
  выше, чтобы увидеть больше плоскости xy ), нажав
  [ ZOOM ] [ 3 ] [ ENTER ].

• Наконец, вы можете напрямую
  настройте окно, чтобы выбрать конкретный
  область, край.

Информацию о других проблемах см.
TI-83/84 Устранение неисправностей.

Настройка вашего графика

Вы можете внести множество изменений, чтобы улучшить
вид графика функции.

Масштабирование

Окно — это ваше поле зрения в плоскость xy , а там
есть два основных способа его отрегулировать. В этом разделе рассказывается о
масштабирование, простое и подходящее для большинства ситуаций. В
в следующем разделе рассказывается о ручной настройке
параметры окна для полной гибкости.

Вот краткое изложение техник масштабирования, которые вы, вероятно,
использование:

• Вы уже встречались со стандартным зумом, который
  [ ZOOM ] [ 6 ].Это хорошая отправная точка для
  большинство графиков.

• Вы также встретили зум-фит, который
  [ ZOOM ] [ 0 ]. Он сдвигает поле обзора вверх или
  вниз, чтобы отобразить график функции, и он также может растягиваться
  или сжать график по вертикали.

• Чтобы уменьшить масштаб , чтобы получить большее поле зрения с меньшими деталями, нажмите
  [ ZOOM ] [ 3 ] [ ENTER ].
  Вы снова увидите график,
  с мигающим курсором зума .Вы можете нажать
  [ ENTER ] еще раз, чтобы уменьшить масштаб еще раз.

• To Увеличьте масштаб , фокусируясь на части графика с
  подробнее, нажмите [ ZOOM ] [ 2 ], но не
  пока нажмите [ ENTER ]. График снова отображается с мигающим
  курсор масштабирования в центре экрана. Используйте клавиши со стрелками
  чтобы переместить курсор масштабирования в ту часть графика, на которой вы хотите сфокусироваться,
  а затем нажмите [ ENTER ]. После того, как график отобразится снова, вы
  курсор масштабирования все еще мигает, и вы можете переместить его снова и нажать
  [ ENTER ] для получения более подробной информации.

• Окно просмотра прямоугольное, а не квадратное.
  Когда оси x и y имеют одинаковые числовые настройки
  график фактически растянут на 50% по горизонтали.
  Если вам нужен сюжет, где
  Оси x и y имеют одинаковый масштаб, нажмите
  [ ZOOM ] [ 5 ] для квадратного увеличения .

Есть еще другие варианты масштабирования. Какая-то долгая зима
Вечером вы можете прочитать о них в инструкции.

Регулировка окна

Вы можете настроить параметры окна, чтобы увидеть больше
график, чтобы сосредоточиться только на одной части или получить больше или меньше отметок
Метки. Если да, нажмите [ WINDOW ].

• Xmin и Xmax слева и справа
  края окна.
• Xscl контролирует расстояние между отметками
  метки на оси x . Например, Xscl = 2 помещает
  деления делаются каждые 2 единицы по оси x .Больший
  Xscl деления деления дальше друг от друга, а меньший
  Xscl помещает их ближе друг к другу.
• Ymin и Ymax являются
  нижний и верхний края окна.
• Yscl интервалы между
  деления на оси y .
• Xres — это число 18 включительно. С 1,
  по умолчанию калькулятор найдет значение y в значениях x
  соответствует каждому пикселю по оси x .С 2
  расчет происходит каждые 2 пикселя и так далее. Более высокие значения рисуют
  графики быстрее, но мелкие детали могут быть потеряны. Мой совет, просто уходи
  это на 1.

Цветные ТИ-84 имеют два дополнительных окна
параметры:

• Δx — расстояние x между центрами
  соседние пиксели. Калькулятор определяет это автоматически из
  Xmin и Xmax , так что вам не нужно возиться с ними.
  Однако, если вы его измените, калькулятор определит
  Xmax от Xmin и Δx .
• TraceStep — размер шага при нажатии ◄
  или ► при перемещении по графику. По умолчанию это вдвое больше
  значение Δ , но вы можете изменить его, если хотите
  к.

К взорвите часть графика для более детального просмотра ,
увеличить Xmin или Ymin или оба,
или уменьшите Xmax или Ymax . Затем нажмите
[ ГРАФИК ].

Если вы хотите увидеть больше плоскости x y , сжатой до
меньший масштаб, уменьшите Xmin и / или Ymin ,
или увеличьте Xmax или Ymax .Затем нажмите
[ ГРАФИК ].

Графические окна, показанные в вашем учебнике, могут иметь небольшие
числа напечатаны по четырем краям. Чтобы ваше графическое окно выглядело
как в учебнике, нажмите [ WINDOW ] и используйте цифры слева и справа
края для Xmin и Xmax , число на
нижний край для Ymin и номер на верхнем крае
для Ymax .

Регулировка сетки

Сетка — это точки (точки или линии,
в цвете TI-84s) по всему окну до
отметки на осях, вроде миллиметровой бумаги.Сетка помогает
вы видите координаты точек на графике.

Если у вас есть черно-белый TI-83/84, и вы видите много бегущих горизонтальных линий
по графику, это означает, что ваш Xscl тоже путь
маленькие, а отметки идут вместе линиями.
Точно так же Yscl — это количество единиц y между
отметки. Связка вертикальных линий означает ваш Yscl
очень маленький. Нажмите [ WINDOW ] и исправьте любой из них.
проблемы.

Чтобы включить или выключить сетку:

Найдите желтый FORMAT над [ ZOOM ]. ключ. Нажмите [ 2-й ZOOM составляет FORMAT ]. Курсор на нужный GridOn или GridOff и нажмите [ ENTER ], чтобы заблокировать это внутри. Затем нажмите [ GRAPH ], чтобы вернуться к вашему графику.

Color TI-84 могут отображать сетку в виде точек или
линий.На экране [ 2nd ZOOM make FORMAT ] вы можете выбрать
GridOff , GridDot или GridLine и
вы также можете назначить цвет сетке.

Изучение графика

Домен и асимптоты

Во-первых, просто посмотрите на форму графика.
Вертикальная асимптота должна торчать как больной большой палец, например
x = 3 с этой функцией. (Подтвердите вертикальные асимптоты
проверка определения функции.Положив x = 3 в
определение функции делает знаменатель равным нулю, что говорит вам
что у вас есть асимптота.)

Color TI-84 обладают способностью обнаруживать асимптоты:
нажмите [ 2nd ZOOM make FORMAT ] и измените Detect Asymptotes
на На . Это часто создает более реалистичную картину
график, как в этом случае, но это также может затруднить просмотр
асимптота.Вот обе версии:

Домен определенно исключает любые значения x , где есть
вертикальные асимптоты. Но дополнительные значения также могут быть исключены, даже
если они не так очевидны на графике. Например, график
f ( x ) = ( x +1) / ( x +1) выглядит как простая парабола, но
домен не включает x = -1.

Горизонтальные асимптоты обычно очевидны.Но иногда кажущаяся асимптота на самом деле не такова, просто выглядит
нравится, потому что ваше поле зрения слишком маленькое или слишком большое.
Всегда выполняйте некоторую алгебраическую работу, чтобы подтвердить асимптоты.
Кажется, что эта функция имеет горизонтальную асимптоту y = 1.
поскольку x становится очень маленьким или очень большим, и фактически из функции
определение вы можете видеть, что это правда.

Значения функций

При отображении графика нажмите [ TRACE ], а затем
интересующее вас значение x .TI-83/84 будет перемещать
курсор в эту точку на графике, и отобразит соответствующий
y значение внизу.

Значение x должно быть в пределах текущего просмотра.
окно. Если вы получили сообщение ERR: INVALID , нажмите
[ 1 ] для Выйти из . потом
настройте окно просмотра и попробуйте еще раз.

Перехваты

Вы можете проследить по графику, чтобы найти любую точку пересечения. Перехваты
графика — это место пересечения или касания оси:

x перехват	, где график пересекает или касается оси x	, потому что y = 0
y перехват	, где график пересекает или касается оси y	, потому что x = 0

Чаще всего
его x перехватывает, что вас интересует, потому что
x пересечения графика y = f ( x ) являются решениями
в уравнение f ( x ) = 0, также известное как нули
функция.

Чтобы найти x точек перехвата:

Вы можете просто нажать [ TRACE ] и курсор влево и
вправо, увеличивая масштаб, чтобы получить более точное приближение.
Но гораздо проще заставить TI-83/84 найти перехватчик за вас.

Найдите точку пересечения x на глаз. Например, этот график кажется иметь точку пересечения x где-то между x = −3 и х = -1.	Найдите желтый CALC над [ TRACE ]. ключ.Нажмите [ 2nd TRACE make CALC ] [ 2 ]. (Вы выбираете 2: ноль , потому что точки пересечения x являются нулями функции.)
Введите левую и правую границы.	[ (-) ] 3 [ ENTER ] [ (-) ] 1 [ ENTER ] Не нужно гадать; просто нажмите [ ENTER ] очередной раз.

Два предупреждения с пересечениями x :

• Поскольку TI-83/84 делает приближения, вы всегда должны проверять
  TI-83/84 ответьте в определении функции, чтобы убедиться, что выходит y
  ровно 0.
• Когда вы найдете перехваты x , обязательно найдите их все. Этот
  конкретная функция имеет только одну во всей своей области, но с другими
  функции вам, возможно, придется искать дополнительные перехваты x за пределами
  область просмотра.

Найти точку перехвата y еще проще:
нажмите [ TRACE ] 0 и прочтите точку пересечения y .

Эта точка пересечения y выглядит примерно на −2/3, и при подключении
x = 0 в определении функции вы видите, что перехват
равно −2/3.

Несколько функций

На одном экране можно отобразить несколько функций. Просто нажмите
[ Y = ] и введите вторую функцию рядом с
Y2 = . Нажмите [ GRAPH ], чтобы увидеть два графика.
все вместе.

Чтобы выбрать функцию для отслеживания, нажмите
[ ▲ ] или [ ▼ ]. Левый верхний угол
показывает, какую функцию вы отслеживаете.

Перекресток

Когда вы строите график нескольких функций на одном и том же наборе осей, вы
TI-83/84 может сказать вам, где пересекаются графики.Это
эквивалентно решению системы уравнений графическим способом.

Подход нефа состоит в том, чтобы проследить по одному графику, пока он
пересекает другой, но опять же, вы можете добиться большего. Хорошо проиллюстрировать
найти пересечения
y = (6/5) x — 8 с уже нанесенной функцией weve.

Изобразите обе функции на одном и том же наборе осей. Уменьшить, если необходимо найти все решения.	Пресс [ 2nd TRACE составляет CALC ] [ 5 ]. Вам подскажут Первая кривая? При необходимости, нажмите [ ▲ ] или [ ▼ ], чтобы выбрать один из интересующие вас кривые. Нажмите [ ENTER ]. Вам подскажут Вторая кривая? При необходимости, нажмите [ ▲ ] или [ ▼ ], чтобы выбрать другая интересующая вас кривая. Нажмите [ ENTER ].
Глазное яблоко приблизительное решение. Например, на этом графике кажется, есть решение около x = 2.	Когда появится запрос Guess? , введите свое предположение. В этом случае, поскольку ваше предположение равно 2, вам следует нажать 2 [ ENTER ].
Повторите эти действия для любых других решений.

Как всегда, очевидные решения следует подтверждать
подставляя в оба уравнения. В TI-83/84 используется метод последовательного
приближения, которые могут создать уродливую десятичную дробь, когда на самом деле
точное решение в виде дроби или радикала.

Как линеаризовать криволинейный график данных

Адаптировано из Сводка графических методов — Инструкция по моделированию — AMTA. Также спасибо Джейн Нельсон, Орландо, Флорида, за незабываемые имена форм графов.

Если ваши данные представлены в виде кривой, то отображаемые вами переменные имеют нелинейную математическую форму или взаимосвязь. Нелинейные данные математически сложно анализировать. Однако, если мы сможем преобразовать данные в линейную (прямую) форму, мы сможем использовать наши знания о прямых линиях, чтобы узнать о физике, задействованной в нашем эксперименте. Итак, если мы сталкиваемся с нелинейными (изогнутыми) данными, наша цель — преобразовать данные в линейную (прямую) форму, которую можно легко проанализировать.Этот процесс называется линеаризацией.

Есть четыре возможности для форм графиков, с которыми мы будем иметь дело. Каждая фигура представляет данные в разной математической форме.

Линейное — Наша цель!	Отличник	Отстает от работы	Нонконформист
Математическая форма: y = mx + b или y = kx	Математическая форма: y = x 2	Математическая форма: y = √x	Математическая форма: у = 1 / х или y = 1 / x 2
Данные уже линейные. Проведите наиболее подходящую линию и рассчитайте уклон.	Создайте новый вычисляемый столбец с квадратом переменной оси x. (X = x 2 ). Затем постройте график y по сравнению с X	Создайте новый вычисляемый столбец с и возведите в квадрат переменную оси Y: (Y = y 2 ). Затем постройте график Y по сравнению с x	Создайте новый вычисляемый столбец с переменной оси x как 1 / x или 1 / x 2 (X = 1 / x или X = 1 / x 2 ). Затем постройте график y по сравнению с X

1. Создайте новый вычисляемый столбец на основе математической формы (формы) ваших данных.
2. Постройте новый график, используя новый вычисляемый столбец данных на одной из осей.
3. Если новый график (с использованием вычисляемого столбца) прямой, значит, вы преуспели в линеаризации данных.
4. Нарисуйте наиболее подходящую линию С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ! НЕ СОЕДИНЯЙТЕ ТОЧКИ !!
5. Рассчитайте наклон линии наилучшего соответствия (с единицами измерения), выбрав две точки из линии наилучшего соответствия.Выберите две точки, которые находятся на разумном расстоянии друг от друга (одна в начале линии, а другая в конце). Не использовать точки данных.
6. Напишите уравнение линии наилучшего соответствия, используя реальные физические переменные из вашего эксперимента. Мы называем это уравнение физическим уравнением , поскольку оно записано в переменных из нашего эксперимента.
7. ВАЖНАЯ ИНФОРМАЦИЯ:
   • Наклон физического уравнения может иметь важное физическое значение и связан с величиной, которая остается постоянной на протяжении всего эксперимента.
   • Вертикальный отрезок физического уравнения равен значение переменной вертикальной оси, когда значение горизонтальной оси равно нулю и будет иметь единицы измерения вертикальной оси.

Математическая сцена — Функции 2 — Урок 3

Математическая сцена — Функции 2 — Урок 3 — Рациональные функции и асимптоты

2009 Rasmus ehf и Джанн Сак

Функции 2

Урок
3

Рациональный
функции и асимптоты

---

Функция формы
где t (x) и n (x) — многочлены, называется рациональной функцией.

Графики рациональных функций могут быть
признается по тому факту, что они часто разбиваются на две и более части. Эти
части выходят из системы координат по воображаемой прямой линии, называемой
асимптота.

Давайте посмотрим на функцию

На этом графике горизонтальная линия (красная в
диаграмму) при выходе из системы влево или вправо. Это
горизонтальная асимптота с уравнением y = 1.Когда x приближается к значениям 1 и
1 график следует вертикальным линиям (синим). Эти вертикальные асимптоты
возникают, когда знаменатель функции n (x) равен нулю (а не
числитель).
Чтобы найти уравнения вертикальных асимптот, мы должны решить уравнение:

х ²
1 = 0

х ² = 1

х = 1 или х = 1

Рядом с
значения x = 1
и x = 1 график идет почти вертикально вверх или вниз, а функция стремится либо к + ∞, либо к ∞.

Получаем
горизонтальная асимптота, потому что
числитель и знаменатель, t (x) = x ² и n (x) = x ²
1 почти равны по мере того, как x становится все больше и больше.
Если, например, x = 100, то x ² = 10000 и x ²
1 = 9999, так что когда мы разделим единицу на другие, мы получим почти 1.
чем больше значение x, тем ближе мы приближаемся к 1.

Вертикальные асимптоты могут быть найдены путем решения уравнение n (x) = 0, где n (x) — знаменатель функции (примечание: это применимо только в том случае, если числитель t (x) не равен нулю для того же x значение). Горизонтальные асимптоты можно найти, найдя предел

Пример
1

Найдите асимптоты для
функция.

Найти вертикаль
асимптоты решаем уравнение

х 1 = 0

х = 1

График имеет вертикальную
асимптота с уравнением
х = 1.

Найти горизонталь
асимптота вычисляем

.

Числитель всегда принимает
значение 1, поэтому чем больше становится x, тем меньше становится дробь. Например
если x = 1000, то f (x) = 001. По мере увеличения x f (x) становится все ближе и ближе
до нуля.

Это говорит нам о том, что
у = 0
(ось абсцисс) — горизонтальная асимптота.

Наконец, нарисуйте график в
калькулятор, чтобы подтвердить то, что вы нашли.

Пример выше предлагает следующее простое правило: Рациональная функция, у которой степень знаменателя выше чем степень числителя имеет ось x как горизонтальную асимптота.

Пример
2

Найдите асимптоты для.

Сразу видно, что
нет вертикальных асимптот, так как знаменатель никогда не может быть равен нулю.

х ²
+ 1 = 0

x ² = 1 не имеет действительного
раствор

Теперь посмотрим, что происходит как x
становится бесконечно большим:

Метод, который мы использовали ранее для решения этого типа
Задача состоит в том, чтобы разделить на наивысшую степень x.

	Разделите все на x 2 , а затем отмените
	дроби, где x в знаменателе а не числитель стремится к 0 .

График имеет горизонтальную
асимптота
у = 2 .

Теперь нарисуем график.
с помощью калькулятора

Сначала выберите в меню ГРАФИК.

Затем введите формулу
будьте осторожны, чтобы включить скобки, как показано

Вот что такое калькулятор
показывает нам. График фактически пересекает свою асимптоту в одной точке. (Это никогда не может
случаются с вертикальной асимптотой).

Пример
3

Теперь пример, когда
числитель на один градус выше знаменателя.

. В числителе есть многочлен второй степени, а в знаменателе —
первая степень.

Первая вертикаль
асимптоты:

х 1 = 0

х = 1

Одна вертикальная асимптота
с уравнением x = 1 .

Мы используем длинное деление и
разделите числитель на знаменатель

Теперь мы можем переписать
е (х):

Мы знаем, что

что означает, что f (x) ≈ x + 1, когда x становится больше.

сообщает нам, что
прямая линия
y = x + 1 — это
наклонная асимптота

График показан ниже.

Если мы хотим порассуждать о
дальнейшие возможности мы можем видеть, что если степень числителя равна 2
степени больше знаменателя, то график выходит за пределы
система координат по параболической кривой и т. д.

Пример
4

Найдите асимптоты
функция.

В этом примере деление
уже было сделано, так что мы можем видеть, что существует наклонная асимптота с
уравнение y
= х .

Найти вертикаль
асимптоты решаем уравнение
п (х) = 0,

х ²
1 = 0

х ²
= 1

x = 1 или x
= 1

Вертикальные асимптоты равны

х = 1 и х = 1.

Вот график

Резюме 1) Вертикальные асимптоты может произойти, когда знаменатель n (x) равно нулю. Чтобы их финансировать, решите уравнение n (x) = 0. 2) Если степень знаменатель n (x) больше, чем у числитель t (x), то ось x — это асимптота. 3) Если степень знаменатель n (x) такой же, как у числитель t (x), то находим асимптота по расчет. 4) Если степень знаменатель n (x) на единицу меньше, чем у числитель t (x), то мы можем найти уравнение наклонная асимптота при делении.

---

Практикуйте эти методы, затем попробуйте
Тест 3 по функциям 2.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

.