Постройте сечение призмы плоскостью проходящей через точки p q r: Построить сечение призмы плоскостью,проходящей через точки,указанные на рисунках

Содержание

Самостоятельная работа с самопроверкой — Сечения многогранников и тел вращения

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD.
Задача 2. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки: M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC.
Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD.
Задача 4. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC.

Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M

∈ B1C1 и N ∈ DD1 и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈

A1B1; N ∈ B1C1 и K ∈ DD1.
Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1, N ∈ CC1 и K ∈ AA1.
Задача 8. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A1B1C1D1; N ∈ DD1 и K ∈ AD.
3aдача 9. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC1; K ∈ BB1 .
Задача 10. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1; N ∈ B1C1; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах).
Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1D1D; N ∈ A1B1C1D1; K ∈ DDC1C.
Задача 12. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение:
а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ;
б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ.

Задача 13. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через данные точки: а) С1, К, D; б) С1, К, С, где точка К – середина А1В1. Определите, какая фигура образуется в сечении.
Задача 14. Точка Х делит ребро АВ куба ABCDA1B1C1D1 в отношении АХ : ХВ = 2 : 3. Постройте сечение этого куба плоскостью, которая параллельна плоскости АА1С1 и проходит через точку X. Найдите периметр сечения, если АВ = а.

Ответы

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD.

 

 

Задача 2. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки: M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC.

   

Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD.

   

Задача 4. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC.

   

Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B1C1 и N ∈ DD1 и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

 1-я часть решения
2-я часть решения

 

Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈

A1B1; N ∈ B1C1 и K ∈ DD1.

   

Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1, N ∈ CC1 и K ∈ AA1.

   

Задача 8. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A1B1C1D1; N ∈ DD1 и K ∈ AD.

   

Зaдача 9. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC1; K ∈ BB1.

   

 Задача 10. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1; N ∈ B1C1; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах).

   

Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1D1D; N ∈ A1B1C1D1; K ∈ DDC1C.

   

Задача 12. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение:
а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ;
б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ.
Задача 13. Ответ:
а) равнобедренная трапеция; б) прямоугольник.
Задача 14. Ответ:
.

Решение задач на построение сечений с использованием информационных технологий

 «Построение сечений с использованием информационных и телекоммуникационных технологий»

Иваненко Елены Александровны,

учителя математики и информатики

Заречненской ОШ І-ІІІступеней,

Джанкойского района

Цель: формирование навыков решения задач на построение сечений в многогранниках.

Обучающая цель: обобщить и систематизировать знания, умения и навыки при построении сечений многогранников методом следов, выполняя чертежи в компьютерной программе «Geometry».

Развивающая цель: формировать и развивать логическое мышление, пространственное воображение, графическую культуру и математическую речь.

Воспитательная цель: воспитывать познавательный интерес к предмету,

воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

·        Метод следов.

·        Метод вспомогательных сечений.

·        Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

·        построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

·        построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;

·        построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

·        построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

·        построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Рассмотрим методы построения сечений на решении задач.

 

Задача 1. Построить сечение треугольной призмы ABCFEDплоскостью α, которой принадлежат точки G,H,I.

1шаг. Открываем  компьютерную программу  «Geometry»: на Рабочем столе щёлкаем дважды ЛКМ на пиктограмме . В открытом окне в меню инструментов выбираем отрезок  и строим треугольную призму ABCFED, отмечаем на рёбрах точки сечения:

 

2шаг. Выбираем Прямую на панели и проводим её через точки Gи H, так как данные точки принадлежат одной плоскости (ADEB):

 

3шаг. Аналогично проводим прямую через точки HиI, также проводим прямую через ребро призмы АВ. Отмечаем точку пересеченияJ прямых АВ иGH:

 

4шаг. Проводим прямую через точки Iи J, так как они принадлежат плоскости (АВС). Отмечаем точку пересечения К на ребре АС:

 

5шаг. Строим отрезок GK, получаем сечениеGKIH:

 

6шаг. Выбираем на панели Многоугольник и нажимаемна точки полученного сеченияGKIH, выбираем свойства многоугольника, меняем цвет его штриховки:

 

 

 

7шаг. Удаляем  все прямые, нажав на каждую ПКМ→удалить, иизменяем для чёткости и яркости цвет рёбер треугольной призмы:

 

 

В результате получим компьютерное изображение нашего сечения.

 

Аналогично строим все элементы к задачам 2,3,4,5 и выделяем сечения.

 

Задача 2. Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью α, которая задана следом a в плоскости (ABC) основания призмы и точки M, принадлежащей ребру DD1.

 

 

MNPFL – искомое сечение.

Задача3. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и точкой K ребра PE.

 

TFMNK – искомое сечение.

Задача 4. Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью , где M, P, R являются точками соответственно ребер AA1, CC1, EE1.

 

 

 MRKPN – искомое сечение.

Задача 5. Точки P, Q, R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит в грани CC1D1D, точка Q – в грани СC1D1D точка R лежит на прямой BB1 (вне отрезка BB1). Построить сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

 

 

 

EKNO – искомое сечение.

 

 

 

 

 

 

 

Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы

В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.

Задача 1. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 1. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую , принадлежащую плоскости сечения. Благодаря тому, что точки и лежат в основании призмы, прямая также принадлежит плоскости основания, а значит, будет пересекаться с другими прямыми, также лежащими в этой плоскости. Тогда можно провести прямую , и определить точку пересечения и – . Точка принадлежит плоскости грани , поскольку прямая принадлежит ей.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Точки и можно соединить прямой. Прямая пересечет ребро в точке . Проводим прямую в плоскости основания и находим ее пересечение с прямой – точку .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через точки и проводим прямую. Она принадлежит плоскости грани , поэтому обязательно пересечется с прямой этой плоскости – в точке . Точка лежит “под” призмой, ниже ее основания. Точка , благодаря принадлежности прямой , также принадлежит и плоскости грани , а в этой плоскости у нас имеется точка – точка .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Следовательно, можно соединить точки и прямой. Эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка принадлежит прямой , а следовательно, лежит в плоскости грани , таким образом, ее можно соединить с точкой этой же плоскости прямой . Эта прямая пересечет ребро в точке . Для дальнейшего построения нам нужны точки в плоскости верхней грани призмы. Добудем их. Продлим прямую до пересечения с прямой . Отметим точку .

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Проведем прямую , принадлежащую грани , и найдем точку ее пересечения с прямой – точку . Тогда точки и принадлежат плоскости верхней грани (за счет принадлежности прямым этой плоскости) и их можно соединять прямой.

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Находим точки пересечения прямой с ребрами и – точки и .

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончание построения

 

Задача 2. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проведем прямую . Она принадлежит секущей плоскости. Также проведем проекцию этой прямой на плоскость нижнего основания призмы – прямую . Точка их пересечения одновременно принадлежит секущей плоскости и плоскости нижнего основания призмы. Обозначим ее .

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично поступим с точками и : проводим прямую и ее проекцию в плоскости нижнего основания. Их пересечение – точка секущей плоскости , одновременно лежащая в нижнем основании.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Имея две точки в плоскости нижнего основания, проведем через них прямую , точки которой принадлежат секущей плоскости.

Проведем прямую . Она лежит в плоскости основания, но одновременно – в плоскости боковой грани, поэтому ее точки принадлежат этой боковой грани. Точка пересечения прямых и , таким образом, принадлежит плоскости боковой грани призмы и плоскости сечения.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Проводим прямую в плоскости боковой грани и отыскиваем точку пересечения ею ребра – точку .

Осталось немного: найти точку плоскости сечения на ребре , и пару точек в плоскости основания.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямые и в плоскости основания. Они пересекут прямую секущей плоскости в точках и .

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Точки и принадлежат плоскости грани , проведем через них прямую. Найдем точку, где эта прямая пересечет ребро – точку . Точки и лежат в плоскости грани . Проводим через них прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром – .

 

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки отрезками.

Задача 2. Шаг 7.

Окончательный вид построенного сечения:

Окончательный вид построенного сечения

 

Задача 3. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 3. Дано

Шаг 1. Проводим прямую секущей плоскости, а также ее проекцию в плоскости основания . Прямая принадлежит плоскости основания и пересечет прямую в точке . Заметим, что точка не является точкой секущей плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Из точки проводим перпендикуляр к плоскости основания (к прямой ), его пересечение с прямой – точка – принадлежит секущей плоскости, а также плоскости грани .

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Соединим точки и . Прямая пересечет ребро призмы в точке .

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Заполучив точку , можем провести отрезок . Вот тут-то нам и понадобится аксиоматический метод. Так как грань    параллельна грани , то плоскость рассечет ее по прямой, которая будет параллельна . Вот и проведем через такую параллельную прямой прямую. Она пересечет ребро в точке .

Задача 3. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем также через точку прямую, параллельную прямой . Это можно сделать, так как грань параллельна грани . Прямая эта пересечет ребро в точке .

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид:

Задача 3. Окончательный вид

 

 

Задача 4. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 4. Дано

Шаг 1. Через точки и проводим прямую секущей плоскости. Также проведем проекции этой прямой на верхнее и нижнее основание – на верхнее, и – на нижнее. Точки пересечения прямой с проекциями – это точки прокола данной прямой оснований призмы. Верхнее основание прямая прошьет в точке , а нижнее – в точке . Таким образом, мы заполучили точки секущей плоскости в плоскостях верхнего и нижнего оснований.

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Точки и принадлежат одной плоскости, проводим через них прямую. Эта прямая даст нам две точки: точку , в которой она пересечет ребро , и точку , в которой она пересечет ребро .

Шаг 3. Приобретя точку в грани , проведем прямую . Она пересечет ребро в точке .

Задача 4. Шаги 2-3.

Шаг 4.  Проведем через точку в плоскости основания призмы прямую, параллельную прямой (или можно провести через точки и ). Эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5.  Соединяем точки  отрезками.

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид:

Окончательный вид сечения

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

Номер: 11-1

Год: 2016

Страницы: 35-41

Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

сечение, позиционная задача, метод внутреннего проектирования, метод следов, метод параллельного переноса прямых и плоскостей , section, positional task, internal design method, method of tracks, method of parallel traces lines and planes

Аннотация к статье

Тема «Позиционные задачи» является одной из основных тем при изучении многогранников и круглых тел. В данной статье представлены различные методы построения сечений многогранников и круглых тел плоскостями. Эта тема исследования является важной составляющей ЕГЭ по математике.

Текст научной статьи

Введение Тема «Позиционные задачи» является очень важной при изучении многогранников и круглых тел в стереометрии. Это связано, в частности, с построением точек пересечения геометрического тела и прямой, с построением сечения многогранника или круглого тела плоскостью и определением площади сечения. В данной работе дано понятие полного изображения пространственной фигуры и позиционной задачи, указаны способы построения сечения многогранников плоскостями. Работа даёт анализ способов построения сечений призм и пирамид плоскостями, приводятся различные примеры с решениями, решение нескольких задач даётся с рисунками. Общие понятия Напомним основные понятия главы «Методы изображений» курса геометрии, связанные с позиционными задачами. Под аффинным репером мы понимаем любую упорядоченную четвёрку точек общего положения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. На плоскости изображений изображение F некоторой фигуры называется полным, если к нему можно присоединить изображение аффинного репера так, что все точки, прямые и плоскости фигуры являются заданными. Точка считается заданной, если известна её аксонометрическая и одна из вторичных проекций. Прямая задаётся с помощью двух точек или аксонометрической и одной из вторичных проекций этой прямой, плоскость — с помощью трёх точек или точки и прямой или двух прямых. Зададим в пространстве фигуры и , а на плоскости изображений — их изображения и . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Позиционной задачей называется задача о построении изображения точек пересечения данных фигур и , если известны их изображения и . Если изображения полные, то позиционная задача имеет определённое решение. Наиболее часто в качестве одной из данных фигур выступает прямая l¢ или плоскость П¢, и тогда позиционная задача рассматривается как построение изображения сечения фигуры прямой или плоскостью. Изображения пространственных фигур в школьном курсе математики, как правило, являются полными, поэтому решение позиционной задачи, то есть, например, построение сечения многогранника или круглого тела плоскостью, носит вполне определённый характер. При построении сечения многогранника плоскостью обычно используют следующие методы: — метод внутреннего проектирования, — применение следа секущей плоскости на плоскости основания геометрического тела (метод следов), — метод параллельного переноса прямых и плоскостей, — метод дополнения n-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды), — метод разбиения n-угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды). Метод внутреннего проектирования Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данному многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью. Секущая плоскость может быть задана различными способами, например: а) тремя точками, которые не лежат на одной прямой; б) прямой и точкой, не лежащей на ней; в) двумя пересекающимися прямыми; г) некоторыми из указанных выше геометрических элементов в совокупности с различными зависимостями между ними и элементами (гранями, ребрами, диагоналями и т. д.) многогранника. Построение плоских сечений многогранников выполняется на основе соответствующих пространственных аксиом и теорем. Построить сечение многогранника плоскостью — это значит построить многоугольник все вершины и стороны, которого — соответственно следы секущей плоскости на ребрах и гранях многогранника. Метод внутреннего проектирования как раз и основан на использовании взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. В частности, использовании параллельности прямых и плоскостей, поскольку параллельность сохраняется при параллельном проектировании. Пример 1. Дано изображение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 и трёх точек ÎАА1, ÎBB1,ÎCC1 , лежащих по одной на её боковых ребрах. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через эти точки. Рис. 1 Построение. (См. рис. 1) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром DD1. Пусть А1С1ÇB1D1=O1. Проведём OO1 || АА1, OÎ, тогда точка =OÇDD1 — искомая точка. Действительно, ÎÌ, отсюда Î. Сечение является искомым. Пример 2. Построить изображение сечения четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, заданной тремя точками KÎАА1B1B, LÎBB1C1C, MÎCC1D1D, лежащими по одной на боковых гранях призмы. Решение. 1) Пусть K1 , L1 , M1 — проекции точек K, L, M на нижнее основание (вторичные проекции этих точек). 2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром AA1. Пусть А1L1ÇK1M1=Р1. Проведём РР1||АА1, РÎKM, тогда точка X=LPÇAA1 — искомая точка. Действительно, XÎPLÌKLM, отсюда XÎKLM. 3) Построим Y=XKÇBB1, Z=YLÇCC1, T=ZMÇDD1 , тогда сечение XKYLZMT является искомым. Пример 3. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка P, а в гранях SAB и SAD заданы соответственно точки R и Q. Построить сечение плоскостью PQR. Рис. 2 Построение. (См. рис. 2) 1) Пусть R0 =SRÇAB , Q0 =SQÇBC. 2) Найдём точку пересечения D1 секущей плоскости с ребром SD. Для этого строим точки CQ0 ∩ R0D = O0 , PQ ∩ SO0 = O, RO ∩ SD = D1. 3) Пусть A1 =SAÇQD1, B1 =SBÇRA1, тогда A1RB1PD1Q — искомое сечение. Пример 4. Построить изображение сечения четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью α, заданной тремя точками KÎSА, LÎSB, MÎSC, лежащими по одной на боковых рёбрах пирамиды. Решение. Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром SD. Пусть АСÇBD=Р, SРÇKM=T, тогда точка N=LTÇSD — искомая точка. Действительно, NÎTLÌKLM, отсюда NÎKLM. Сечение KLMN является искомым. Метод следов (применение следа секущей плоскости на плоскости основания геометрического тела) Следом плоскости α на плоскости b называют прямую, по которой плоскость α пересекает плоскость b. Следом прямой l на плоскости α называют точку пересечения прямой с плоскостью α. При использовании этого метода сначала строится след секущей плоскости на плоскости одной из граней многогранника (либо на диагональной плоскости или плоскости симметрии), а также следы на прямых, содержащих стороны этой грани. Далее строятся следы секущей плоскости на других гранях при наличии двух следов на прямых, содержащих стороны соответствующей грани. Пример 5. Дана призма ABCDEA1B1C1D1 и три точки M, N, P принадлежащие соответственно рёбрам AA1, BB1, CC1. Построить сечение призмы плоскостью MNP. Рис.3 Построение. (См. рис. 3) 1) NM ∩ A1B1 = X, NP ∩ B1C1 = Y, тогда XY — след секущей плоскости. 2) XY ∩ A1E1 = O, XY ∩ C1D1 = Q. 3) NMOQP — искомое сечение. Пример 6. Построить изображение сечения четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, заданной тремя точками KÎАА1, LÎBB1, MÎCC1, лежащими по одной на боковых рёбрах призмы. Решение. 1) Найдём след секущей плоскости, то есть линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания A1B1C1D1 данной призмы. Пусть MLÇB1C1=S, KMÇA1C1=T, тогда прямая ST — след секущей плоскости. 2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром DD1. Пусть A1D1 Ç ST =R, тогда точка N=KRÇDD1 — искомая точка. Действительно, NÎKRÌKLM, отсюда NÎKLM. Сечение KLMN является искомым. Пример 7. Дана пирамида SABCDE, точки A1 AS, B1 BS, C1 CS. Построить сечение, проходящее через эти точки. Рис.4 Построение. (См. рис. 4) 1) A1B1 ∩ AB = X, B1C1 ∩ BC = Y, прямая XY — след секущей плоскости. 2) DC ∩ XY = Z, ZC1 ∩ DS = D1, EA ∩ XY = M, MA1 ∩ SE = E1. 3) A1B1C1D1E1 — искомое сечение. Пример 8. Построить изображение сечения четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью, заданной тремя точками KÎSА, LÎSB, MÎSC, лежащими по одной на боковых рёбрах пирамиды. Решение. 1) Найдём след секущей плоскости, то есть линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABCD данной пирамиды. Пусть MLÇBC=S, KMÇAC=T, тогда прямая ST — след секущей плоскости. 2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром SD. Пусть AD Ç ST =R, тогда точка N=KRÇSD — искомая точка, а KLMN является искомым сечением. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей Метод параллельного переноса прямых и плоскостей применяется в тех случаях, когда секущая плоскость a задана как плоскость, проходящая через данную точку М параллельно двум скрещивающимся прямым а и b, или проходящая через данную прямую а параллельно скрещивающейся с ней прямой b, или проходящая через данную точку М параллельно данной плоскости β. Суть метода параллельного переноса прямых заключается в том, что в секущей плоскости проводят прямую, параллельную данной прямой. При этом очень часто приходится проводить вспомогательную плоскость, параллельную той, в которой находится данная прямая. Суть метода параллельного переноса плоскостей состоит в том, что вместо секущей плоскости строится параллельная ей вспомогательная плоскость, которая пересекает все грани некоторого трехгранного (или многогранного в общем случае) угла данного многогранника. Далее путем параллельного переноса строятся некоторые линейные элементы искомого сечения, соответствующие легко строящимся элементам вспомогательной плоскости. При построении используются известные свойства параллельных прямых и плоскостей: 1) Если а || a, то в плоскости a существует прямая b, параллельная а. 2) Через точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости. 3) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны. 4) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. 5) Если плоскость β проходит через прямую а, параллельную плоскости a, и пересекает ее по прямой b, то a || b. 6) Каковы бы ни были скрещивающиеся прямые а и b, существует единственная пара параллельных плоскостей a и β, в которой они соответственно лежат. 7) Признаки параллельности прямых и плоскостей. Пример 9. Даны параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и точки MAA1, NB1C1, K AD. Провести сечение плоскостью проходящей через точку N параллельно прямым MB1 и CK. Рис. 5 Построение. (См. рис. 5) 1) Построим плоскость MB1NP , в которой MP ║ B1N, MB1║ NP. 2) Проведем прямую TN параллельную прямой KC. 3) Прямая TP пересекает ребро DD1 в точке E. 4) (NR) параллельно (TE), RÎ(CC1). Тогда TNRE — искомое сечение. Пример 10. Даны точки M, N и P, лежащие соответственно на боковых ребрах SA, SD и SB четырехугольной пирамиды SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью MNP. Решение. Проводим через вершину D прямую, параллельную MN , до пересечения с ребром SA. Через полученную точку K1 параллельно MP проводим прямую до пересечения с ребром AB в точке K2. Плоскость треугольника DK1K2 параллельна плоскости MNP. Плоскость ASC пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения плоскостей ASC и DK1K2 — прямая K1K3 , где K3 — точка пересечения диагонали AC четырехугольника ABCD и отрезка DK2. Через точку M проводим прямую, параллельную K1K3, до пересечения с ребром SC. Получаем точку Q. Сечение MPQN является искомым. Метод дополнения n-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды) Если данную призму (пирамиду) достроить до треугольной призмы (пирамиды), затем построить сечение полученной треугольной призмы (пирамиды), то искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы (пирамиды). Пример 11. Построить сечение пирамиды DAEGHF плоскостью AMN, где точки M и N лежат на ребрах DE и DF соответственно. Решение. 1) Достраиваем данную пятиугольную пирамиду до треугольной. Для этого получим точки AE Ç HG = C и AF Ç GH = B, и затем проведем отрезки DC и DB. 2) Строим сечение полученной треугольной пирамиды ABCD плоскостью AMN. Для этого последовательно получаем точки AM Ç DC = P и AN Ç DB = Q, и соединяем точки P и Q. Треугольник APQ — есть сечение пирамиды ABCD плоскостью AMN. 3) Осталось получить точки PQ Ç DG = R и PQ Ç DH = S. Тогда пятиугольник AMRSN — искомое сечение данной пятиугольной пирамиды. Метод разбиения n-угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды) Из данной n-угольной призмы (пирамиды) выделяют основную треугольную призму (пирамиду), на боковых ребрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строят сечение этой треугольной призмы (пирамиды), затем строят сечения тех треугольных призм (пирамид), которые имеют общие части с основной призмой (пирамидой). Пример 12. Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью PQR, где точки P и Q лежат на ребрах AA1 и DD1 соответственно, точка R принадлежит плоскости AA1B1B. Решение. 1) Точка R лежит на отрезке EE1, где E Î AB, E1 Î A1B1 , EE1 Î AA1. Треугольник PQR является сечением треугольной призмы ADEA1D1E1. Призмы ADCA1D1C1 и ABCA1B1C1 имеют общую часть с призмой ADEA1D1E1. 2) Получим точки AС Ç DE = M, A1С1 Ç D1E1 = M2. Плоскости ACС1 и EDD1 пересекаются по прямой ММ2. Прямые ММ2 и QR пересекаются в точке М1. 3) Точки Р и М1 принадлежат плоскости ACС1, поэтому прямые PМ1 и CC1 пересекаются в точке T, принадлежащей секущей плоскости PQR. 4) Имеем точку PR Ç BB = K1. Прямые PR и PQ лежат в одной плоскости PQR, поэтому точка K принадлежит плоскости PQR. 5) Точки Q и T лежат в плоскости сечения, значит, прямая QT принадлежит секущей плоскости. Четырехугольник PKTQ — искомое сечение.

Построение сечений многогранников — презентация онлайн

1. Построение сечений многогранников

2. Определение сечения.

• Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость,
по обе стороны от которой имеются точки данного
многогранника.
• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по
отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти
отрезки, называется сечением многогранника.
A
Секущая
плоскость
сечение
N
M
α
K
D
B
C

4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

D
D
M
N
А
M
P
С
L
А
P
С
N
В
В
Построение:
Построение:
1. Отрезок MP
2. Отрезок PN
3. Отрезок MN
MPN – искомое сечение
1. Отрезок MN
2. Луч NP;
луч NP пересекает АС в точке L
3. Отрезок ML
MNL –искомое сечение

5. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

D
Построение:
1. Отрезок NQ
P
2. Отрезок NP
Прямая NP пересекает АС в точке Е
3. Прямая EQ
EQ пересекает BC в точке R
NQRP – искомое сечение
N
С
А
E
R
Q
В

6. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

D
Построение:
1. MN; отрезок МК
2. MN пересекает АВ в точке Х
3. ХР; отрезок SL
MKLS – искомое сечение
M
N
А
S
K
C
P
L
B
X
Аксиоматический метод
Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной
прямой, являющейся изображением линии пересечения
секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры .
Удобнее всего строить изображение линии пересечения
секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту
линию называют следом секущей плоскости. Используя
след, легко построить изображения точек секущей
плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях
фигуры .
Призма
Даны три
точки на
боковых
ребрах
Сечение
Плоскость основания
Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB
L
• Проводим через точки F и
O прямую FO.
M
F
K
N
• Отрезок FO есть разрез
грани KLBA секущей
плоскостью.
• Аналогичным образом
отрезок FG есть разрез грани
LMCB.
G
B
O
A на гранях?
Почему мы уверены, что сделали разрезы
C
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости
основания
L
• Проводим прямую АВ до пересечения с
прямой FO.
• Получим точку H, которая
K
принадлежит и секущей плоскости, и
плоскости основания.
• Аналогичным образом получим
точку R.
• Через точки H и R проводим прямую
HR – след секущей плоскости
M
F
N
G
B
O
A
C
R
D
Почему мы уверены, прямая HR – след
H секущей плоскости на плоскости основания?
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 3:
делаем разрезы на других гранях
L
• Так как прямая HR пересекает
нижнюю грань многогранника, то
получаем точку E на входе и точку S на
выходе.
• Таким образом отрезок ES есть
разрез грани ABCD.
F
N
K
G
• Проводим отрезки ОЕ (разрез грани
KNDA) и GS (разрез грани MNDC).
Почему мы уверены, что все
делаем правильно?
H
M
B
O
A
C
R
S
E
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по
прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 4:
выделяем сечение многогранника
L
Все разрезы
образовали пятиугольник
OFGSE, который и является
сечением призмы
плоскостью, проходящей
через точки O, F, G.
M
F
K
N
G
B
O
C
S
A
E
D

13. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

F
M
P
D
А
N
S
C
B
Z
X
XY – след секущей плоскости
на плоскости основания
Y

14. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

F
XY – след секущей плоскости
на плоскости основания
S
M
P
D
А
N
Y
B
C
X
Z

15. Метод вспомогательных сечений

Этот метод построения сечений многогранников
является в достаточной мере
универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы)
секущей плоскости оказывается
за пределами чертежа,
этот метод имеет даже
определенные преимущества.
Вместе с тем следует иметь в
виду, что построения, выполняемые
при использовании
этого метода, зачастую получаются
«искусственное». Тем не менее в некоторых случаях
метод вспомогательных сечений оказывается
наиболее рациональным.

16. На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

1. Находим точки Р’, Q’ и R’ и затем строим
вспомогательное сечение пирамиды
плоскостью, определяемой какими-нибудь
двумя пересекающимися прямыми из трех
прямых MP, MQ и МR.
Например, плоскостью МРQ.
М
P
R
Q
B(P’)
2. Построим другое вспомогательное
сечение пирамиды плоскостью
A
D
определяемой двумя пересекающимися
R’
прямыми, одна из которых — это
прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след
плоскости PQR. Например, прямая МС.
Q’

17. 3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р’Q’ и R’С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.

4. В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим
точку F’=PQ пересекается MF.
М
5. Так как точка F’ лежит на
P
прямой PQ, то она лежит
в плоскости PQR. Тогда и
прямая RF, лежит
R
в плоскости PQR.
B(P’)
Проводим прямую RF’,
и находим точку С’=RF’ пересекается
МС. Точка С’, таким образом,
лежит и на прямой МС, и в плоскости
А
R’
PQR, т. е. она является следом плоскости
PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
C’
Q
F’
C
Q’
F
D
6. Дальнейшие построения вполне
понятны: строим C’Q, D’, D’R, А’, А’Р,
РС’. Четырехугольник РС’D’А’ —
искомое сечение
М
P
C’
Q
R
D’
Q’
F
А
R’
R’
D

19. Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения
сечений многогранников состоит в
применении теорем о параллельности
прямых и плоскостей в пространстве в
сочетании с
аксиоматическим методом.

20. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q.

1. Точки P и R лежат в одной плоскости,
проведём прямую PR.
P
2. Прямая PR лежит в плоскости
A’
AA’B’B, точка Q лежит в плоскости
DD’C’C, параллельной AA’B’B.
3. Проведём через точку Q прямую
параллельную прямой PR,
получим точку K
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
R
B’
C’
D’
Q
C
B
D
A
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Теорема
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то
прямые пересечения параллельны
K
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости
BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.
B’
M
8. Проведём прямую параллельную
P
прямой RF, через точку Q, получим
точку M.
A’
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
Аксиома Если две различные плоскости
имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через эту точку.
R
Теорема Если две точки прямой
принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
C’
D’
Q
C
B
K
A
L
D
F
Теорема
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения
параллельны
9. Проведем PM.
B’
M
C’
P
10. Полученный
шестиугольник является
искомым сечением
A’
R
D’
Q
C
B
K
A
D
F

построить сечение пирамиды

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

 

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

 

 

 

 

 

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

 

Треугольник MNP — искомое сечение.

 

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

 

 

 

Треугольник BKL — искомое сечение.

 

 

 

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

 

 

 

 

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

 

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

 

 

 

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с  прямой AS. Назовем эту точку R.

 

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

 

 

 

 

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

 

 

 

 

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

 

 

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

 

 

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

 

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Построить сечение плоскостью проходящей через точки. Построение сечений многогранника на примере призмы

Преподаватель математики Щелковского филиала ГБПОУ МО «Красногорский колледж» Артемьев Василий Ильич.

Изучение темы «Решение задач на построение сечений» начинается в 10 классе или на первом курсе учреждений НПО. В случае, если кабинет математики оснащен средствами мультимедиа, то решение проблемы изучения облегчается с помощью различных программ. Одной из таких программ является программное обеспечение динамической математики GeoGebra 4.0.12. Она подходит для изучения и обучения на любом из этапов образования, облегчает создание математических построений и моделей обучающимися, которые позволяют проводить интерактивные исследования при перемещении объектов и изменение параметров.

Рассмотрим применение этого программного продукта на конкретном примере.

Задача. Построить сечение пирамиды плоскостью PQR, если точка P лежит на прямой SA, точка Q лежит на прямой SB, точка R лежит на прямой SC.

Решение. Рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть точка P принадлежит ребру SA.

1. Отметим с помощью инструмента «Точка» произвольные точки A, B, C, D. Щелкнем правой клавишей на точку D, выберем «Переименовать». Переименуем D на S и установим положение этой точки, как показано на рисунке 1.

2. С помощью инструмента «Отрезок по двум точкам» построим отрезки SA, SB, SC, AB, AC, BC.

3. Щелкнем правой клавишей мыши по отрезку AB и выбираем «Свойства» — «Стиль». Устанавливаем пунктирную линию.

4. Отметим на отрезках SA, SB, CS точки P, Q, R.

5. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую PQ.

6. Рассмотрим прямую PQ и точку R. Вопрос учащимся: Сколько плоскостей проходит через прямую PQ и точку R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна).

7. Строим прямые PR и QR.

8. Выбираем инструмент «Многоугольник» и по очереди щелкнем по точкам PQRP.

9. Инструментом « Перемещать» меняем положение точек и наблюдаем за изменениями сечения.

Рисунок 1.

10. Щелкнем по многоугольнику правой клавишей и выбираем «Свойства» — «Цвет». Заливаем многоугольник каким-нибудь нежным цветом.

11. На панели объектов щелкнем по маркерам и скроем прямые.

12. В качестве дополнительного задания можно измерить площадь сечения.

Для этого выберем инструмент «Площадь» и щелкнем левой клавишей мыши по многоугольнику.

Случай 2. Точка P лежит на прямой SA. Для рассмотрения решения задачи для этого случая можно пользоваться чертежом прежней задачи. Скроем лишь многоугольник и точку Р.

1. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую SA.

2. Отметим на прямой SA точку P1, как показано на рисунке 2.

3. Проведем прямую P1Q.

4. Выбираем инструмент «Пересечение двух объектов» , и щелкнем левой клавишей мыши по прямым АВ и P1Q. Найдем точку их пересечения К.

5. Проведем прямую P1R. Найдем точку пересечения М этой прямой с прямой АС.

Вопрос учащимся: сколько плоскостей можно провести через прямые P1Q и P1R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).

6. Проведем прямые КМ и QR. Вопрос учащимся. Каким плоскостям одновременно принадлежат точки К, М? Пересечением каких плоскостей является прямая КМ?

7. Построим многоугольник QRKMQ. Зальем нежным цветом и скроем вспомогательные прямые.

Рисунок 2.

С помощью инструмента «Перемещение» двигаем точку вдоль прямой AS.Рассматриваем различные положения плоскости сечения.

Задания для построения сечений:

1. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и СС1. Сколько плоскостей проходит через параллельные прямые?

2. Построить сечение проходящее через пересекающиеся прямые. Сколько плоскостей проходит через пересекающиеся прямые?

3. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей:

а) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС.

б) Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1.

в) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основаниям пирамиды.

4. Построение сечений методом следов:

а) Дана пирамида SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

5) Проведем прямую QF и найдем точку Н пересечения с ребром SB.

6) Проведем прямые HR и PG.

7) Выделим инструментом «Многоугольник» полученное сечение и изменим цвет заливки.

б) Самостоятельно постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, K и M. Список источников.

1. Электронный ресурс http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. Электронный ресурс http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибирского института GeoGebra)

3. Электронный ресурс http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. Электронный ресурс. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. Электронный ресурс http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(Форум GeoGebra для учителей и школьников).

6. Электронный ресурс www.geogebratube.org (Интерактивные материалы по работе с программой)

Практическое занятие: «Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда ».

1.

Цель практической работы

: .

Закрепить знания теоретического материала о многогранниках,
навыки решения задач на построение сечений,
умения анализировать чертеж.

2.Дидактическое оснащение практической работы

: АРМ, модели и развёртки многогранников, измерительные инструменты, ножницы, клей, плотная бумага.

Время:2 часа

Задания к работе:

Задание 1

Построить сечение параллелепипеда ABCDA
1

B

1

C

1

D

1

плоскостью, проходящей через точки M, N, P, лежащие, на прямых, соответственно, A
1

B

1,

А

D

,

DC

Образец

и последовательность решения задачи:

1.Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

2.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

3.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА
1

в некоторой точке Х.

4.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА
1

D

1

D, соединим их и получим прямую XN.

5.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A
1

B

1

C

1

D

1

, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В
1

С

1

в точке Y.

6.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задание 2

Вариант1.


Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, заданной следующими точками
M

,

N

и

P

1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныА

2 Уровень.

M

лежит в грани AA1D1D,
N

лежит в грани АА1В1В,
P

лежит в грани СС1D1D.

3 Уровень.

M

лежит на диагонали B1D,
N

лежит на диагонали АС1,
P

лежит на ребре С1D1.

Вариант2.

Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре СС1 и точку Р, заданную следующим образом

1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныС

2 Уровень: М лежит на продолжении ребра А1В1, причем точка А1 находится между точками В1 и Р.

3 Уровень: Р лежит на диагонали В1D

Порядок выполнения работы:

1.Изучите теоретический материал по темам:

Параллелепипед.

Прямой параллелепипед.

Наклонный параллелепипед.

Противолежащие грани параллелепипеда.

Свойства диагоналей параллелепипеда.

П

онятие секущей плоскости и правила её построения.

Какие виды многоугольников получаются в сечении куба и параллелепипеда.

2. Постройте

параллелепипед

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

3.Разберите решение задачи № 1

4.Последовательно постройте сечение
параллелепипеда
ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

плоскостью, проходящей через точки P, Q, R задачи № 1.

5.Постройте ещё три параллелепипеда и выделите на них сечения к задачам 1, 2, и 3 уровней

Критерии оценивания

:

Литература: Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. — М.: Просвещение, 2010г Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. — М.: Просвещение, 2010. В. Н. ЛитвиненкоЗадачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 2010г

Дидактический материал к заданию практического занятия

К задаче № 1:

Некоторые возможные сечения:

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через данные точки

В предыдущих задачах для построения сечения нам
оказалось достаточно знаний теории.
Рассмотрим другую задачу.
Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через
точку М, параллельно плоскости ABD.
M
Одна точка нам ничем не
поможет, но в задаче есть
дополнительное условие:
сечение должно быть
параллельно плоскости
ABD.
Что это нам дает?
1. Плоскости ADB и DBC пересекаются по прямой DB,
следовательно сечение, параллельное ADB, пересекает DBC по
(Если две параллельные
прямой, параллельной DB.
плоскости пересечены третьей,
то линии пересечения
параллельны)
M
Точка М принадлежит грани
DBC. Проведем через нее
N
прямую MK, параллельную DB.
2. Аналогично: (ADB) (ABC)=AB,
K
следовательно сечение будет
пересекать (ABC) по прямой,
параллельной AB.
K (ABC). Через точку K в плоскости ABC проведет прямую KN,
параллельную AB.
M
N
K
N (ADC), M (ADC),
следовательно MN (ADC) (и
плоскости сечения).
Проведем NM.
MKN – искомое сечение.
Итак:
M
N
1. Построение:
1. В плоскости (DBC) MK // DB,
MK BC = K.
2. В плоскости (ABC) KN // AB,
KN AC = N.
3. MN
Докажем, что MKN – искомое сечение
K
2. Доказательство.
1. Сечение проходит через точку М
2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC)
3. MK // DB, NK // AB по построению, следовательно
(NMK) // (ABD) по признаку.
Следовательно, MKN – искомое сечение
ч.т.д.
Задача 2. Постройте сечение параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1, проходящее через середину ребра D1C1 и
точку D, параллельно прямой a.
B1
C1
Рассуждения.
M
A1
D1
B
A
C
D
1. Отметим указанную в
условии точку (назовем ее
произвольным образом).
M – середина D1C1.
2. Точки M и D лежат
B1
C1
M
A1
A
значит их можно соединить.
D1
B
C
D
в одной плоскости DD1C1,
Больше соединять нечего.
3. Воспользуемся дополнительным условием: секущая
плоскость должна быть параллельна прямой a.
B1
C1
M
A1
B
C
S
A
Для этого она должна
содержать прямую,
параллельную прямой a.
Проще всего провести
такую прямую в плоскости
ABC, т.к. в ней лежат
прямая a и точка D,
принадлежащая сечению.
D
Проведем в плоскости ABC
через точку D прямую DS,
параллельную прямой a.
DS AB = S.
4. Т.к. (ABC) // (A1B1C1), проведем в плоскости
(A1B1C1), через точку M, прямую MP // SD.
MP B1C1 = P
5. Т.к. (DD1C1) // (AA1B1), то в
P
B
C
плоскости (AA1B1) можно
через точку S провести прямую
M
N
A
D
SN, параллельную DM.
SN BB1 = N
1
1
1
1
B
C
S
A
D
6. Точки N и P лежат в
плоскости (A1B1C1).
Соединим их.
SNPMD — искомое сечение.
Итак:
1. Построение.
1. MD
B1
A1
N
P
C1
S
A
M
3. В (A1B1C1), через точку
M, MP // DS, MP B1C1 = P
C
4. В плоскости (AA1B1),
через точку S, SN // DM,
SN BB1 = N
5. NP
D1
B
D
2. В (ABC), через точку D,
DS // a, DS AB = S
Докажем, что SNPMD искомое сечение.
2. Доказательство.
B1
A1
N
1. Сечение проходит через точку D и
середину ребра D1C1 — точку M по
построению.
P
C1
M
C
S
A
3. PM // SD, P B1C1 по
построению
D1
B
D
2. DS // a, (S AB) по построению,
следовательно (KNP) // a по
признаку.
4. SN // DM, N BB1 по
построению
5. P (BB1C1), N (BB1C1)
=> PN (BB1C1).
Следовательно, SNPMD искомое сечение ч.т.д.
Задача 3. Построить сечение параллелепипеда, параллельное
B1A и проходящее через точки M и N.
Рассуждения. 1. Соединим M и N (они лежат в плоскости (C1A1B1)).
B1
N
M
A1
D1
B
A
C1
C
D
Больше соединять нечего.
Воспользуемся дополнительным
условием: секущая плоскость должна
быть параллельна прямой B1A
2. Для того, чтобы секущая плоскость
оказалась параллельна AB1, нужно,
чтобы в ней лежала прямая,
параллельная AB1 (или DC1, т.к.
DC
// AB1 по свойству параллелепипеда).
Удобнее всего изображать такую прямую в грани DD1C1C, т.к.
(DD1C1) // (AA1B1), а AB1 (AA1B1).
Проведем в плоскости (DD1C1) прямую NK // AB1,
NK DD1 = K.
B1
N
M
A1
D1
B
3. Теперь в плоскости AA1D1
есть две точки, M и K,
принадлежащие сечению.
Соединим их.
C
K
A
C1
D
MNK – искомое сечение.
Итак:
1. Построение.
1. MN
2. В плоскости (DD1C1) NK // AB1,
NK DD1 = K. .
B1
N
A1
A
M
D1
C1
3. MK
Докажем, что MNK – искомое сечение
2. Доказательство.
B
C
1. Сечение проходит через точки M и N.
K
2. M (A1B1C1), N (A1B1C1) =>
D
MN (A1B1C1).
3. M (ADD1), K (ADD1) => MK (ADD1).
4. Т.к. NK // AB1 по построению, то (MNK) // AB1 по
признаку параллельности прямой и плоскости.
Следовательно, MNK — искомое сечение ч.т.д.
Задание 3.
1. В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей
через середину ребра DC, вершину B и параллельной прямой AC.
2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей
через середину ребра B1C1 и точку K, лежащую на ребре CD,
параллельной прямой BD, если DK: KC = 1: 3.
M
3. Построить сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через
точки M и C, параллельно
прямой a (рис. 1).
рис.1
4. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка E принадлежит
ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через эту точку и параллельной плоскости
BC1D.
5. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через AA1, параллельно MN, где M – середина
AB, N – середина BC.
6. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через середину ребра B1C1 параллельно
плоскости AA1C1.

Определение

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.\circ\)
.

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\)
, не лежащая в плоскости \(\pi\)
, параллельна некоторой прямой \(p\)
, лежащей в плоскости \(\pi\)
, то она параллельна данной плоскости.

2. Пусть прямая \(p\)
параллельна плоскости \(\mu\)
. Если плоскость \(\pi\)
проходит через прямую \(p\)
и пересекает плоскость \(\mu\)
, то линия пересечения плоскостей \(\pi\)
и \(\mu\)
— прямая \(m\)
— параллельна прямой \(p\)
.

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\)
и \(\beta\)
пересечены третьей плоскостью \(\gamma\)
, то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Пусть прямая \(l\)
лежит в плоскости \(\lambda\)
. Если прямая \(s\)
пересекает плоскость \(\lambda\)
в точке \(S\)
, не лежащей на прямой \(l\)
, то прямые \(l\)
и \(s\)
скрещиваются.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\)
– перпендикуляр к плоскости \(\beta\)
. Пусть \(AB, BH\)
– наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\)
. Тогда прямая \(x\)
в плоскости \(\beta\)
будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Для этого из двух произвольных точек \(A\)
и \(B\)
прямой \(a\)
проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\)
– \(AA»\)
и \(BB»\)
(точки \(A», B»\)
называются проекциями точек \(A,B\)
на плоскость). Тогда прямая \(A»B»\)
– проекция прямой \(a\)
на плоскость \(\mu\)
. Точка \(M=a\cap
A»B»\)
и есть точка пересечения прямой \(a\)
и плоскости \(\mu\)
.

Причем заметим, что все точки \(A, B, A», B», M\)
лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA»B»C»D»\)
. \(A»P=\dfrac 14AA», \ KC=\dfrac15 CC»\)
. Найдите точку пересечения прямой \(PK\)
и плоскости \(ABC\)
.

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA», CC»\)
перпендикулярны \((ABC)\)
, то точки \(A\)
и \(C\)
— проекции точек \(P\)
и \(K\)
. Тогда прямая \(AC\)
– проекция прямой \(PK\)
на плоскость \(ABC\)
. Продлим отрезки \(PK\)
и \(AC\)
за точки \(K\)
и \(C\)
соответственно и получим точку пересечения прямых – точку \(E\)
.

2) Найдем отношение \(AC:EC\)
.\circ, \angle E\)
– общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\)
, то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a,
\ AC=a\sqrt2\)
. Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow
EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\)
с основанием \(ABC\)
, высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\)
делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\)
, считая от вершины пирамиды, а \(N\)
– высоту пирамиды в отношении \(1:2\)
, считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\)
с плоскостью \(ABC\)
.

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\)
(см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\)
пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\)
на плоскость \(ABC\)
. Т.к. \(DO\perp (ABC)\)
, то и \(NO\perp (ABC)\)
. Значит, \(O\)
– точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\)
из точки \(M\)
на плоскость \(ABC\)
. Точка \(Q\)
будет лежать на медиане \(AK\)
.
Действительно, т.к. \(MQ\)
и \(NO\)
перпендикулярны \((ABC)\)
, то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\)
лежат в одной плоскости \(ADK\)
, то и точка \(Q\)
будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\)
должна лежать в плоскости \(ABC\)
, следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\)
.

Значит, прямая \(AK\)
и есть проекция прямой \(MN\)
на плоскость \(ABC\)
. \(L\)
– точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\)
(например, на нашем чертеже точка \(L\)
лежит вне отрезка \(OK\)
, хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\)
.\circ, \ \angle L\)
– общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a}
=\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow
x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\)
, значит, точка \(L\)
действительно лежит вне отрезка \(AK\)
.

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\)
– отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\)
(то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\)
).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\)
. Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\)
, проходящей через точку \(C\)
и середину ребра \(SA\)
и параллельной прямой \(BD\)
.

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\)
за \(M\)
. Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\)
пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\)
. Отрезки \(CM\)
и \(SH\)
лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\)
.

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\)
была параллельна прямой \(BD\)
, она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\)
. Точка \(O\)
находится вместе с прямой \(BD\)
в одной плоскости – в плоскости \(BSD\)
. Проведем в этой плоскости через точку \(O\)
прямую \(KP\parallel
BD\)
(\(K\in SB, P\in SD\)
). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\)
, получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\)
.

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\)
и \(P\)
ребра \(SB\)
и \(SD\)
. Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\)
, то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\)
. Но \(SB=SD\)
, значит и \(SK=SP\)
. Таким образом, можно найти только \(SP:PD\)
.

Рассмотрим \(\triangle ASC\)
. \(CM, SH\)
– медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\)
, считая от вершины, то есть \(SO:OH=2:1\)
.\circ\)
, то \(\triangle
ABD=\triangle CBD\)
, следовательно, \(AD=CD\)
, следовательно, \(\triangle DAC\)
– тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\)
.

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\)
– перпендикуляр на \(DAC\)
; наклонная \(BK\perp AC\)
, значит и проекция \(HK\perp AC\)
. Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\)
. Таким образом, точка \(H\)
лежит на отрезке \(DK\)
.

Соединив точки \(A\)
и \(H\)
, получим отрезок \(AN\)
, по которому плоскость \(\alpha\)
пересекается с гранью \(DAC\)
. Тогда \(\triangle
ABN\)
– искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\)
.

2) Определим точное положение точки \(N\)
на ребре \(DC\)
.

Обозначим \(AB=CB=DB=x\)
. Тогда \(BK\)
, как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\)
, равна \(\frac12 AC\)
, следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\)
.

Рассмотрим \(\triangle BKD\)
. Найдем отношение \(DH:HK\)
.

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\)
, то \(BH\)
перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\)
– высота в \(\triangle DBK\)
. Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\)
, следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x
\Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\)
. Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\)
, считая от вершины. Значит, \(H\)
– точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\)
(т.к. \(DK\)
– медиана). То есть \(AN\)
– тоже медиана, значит, \(DN=NC\)
.

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

С самого раннего детства мы сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу и другие продукты, обстругиваем палочку или карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является плоскость ножа. Сечения (срезы кусочков) оказываются различными.

Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многоугольника, а стороны- линиями пересечения секущей плоскости с гранями.

Для построения прямой пересечения двух плоскостей достаточно найти две общие точки этих плоскостей и провести через них прямую. Это основано на следующих утверждениях:

1.если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости;

2.если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Как я уже сказал ппостроение сечений многогранников можно осуществлять на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются следующие три метода:

Метод следов

Метод внутреннего проектирования

Комбинированный метод.

В изучении геометрии и, в особенности, тех её разделов, где рассматриваются изображения геометрических фигур, изображения геометрических фигур помогают использования компьютерных презентаций. С помощью компьютера многие уроки геометрии становятся более наглядной и динамичной. Аксиомы, теоремы, доказательства, задачи на построения, задачи на построения сечений можно сопровождать последовательными построениями на экране монитора. Сделанные с помощью компьютера чертежи можно сохранять и вставлять их в другие документы.

Хочу показать несколько слайдов по теме: «Построения сечений в геометрических телах»

Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную прямую. Тогда искомая точка является точкой пересечения найденной прямой с данной. Проследим это на следующих слайдах.

Задача 1.

На ребрах тетраэдра DABC отмечены две точки М и N; М GAD, N б DC. Укажите точку пересечения прямой MN с плоскостью основания.

Решение: для того, чтобы найти точку пересечения прямой MN с плоскостью

основания мы продолжим АС и отрезок MN. Отметим точку пересечения этих прямых через X. Точка X принадлежит прямой MN и грани АС, а АС лежит в плоскости основания, значит точка X тоже лежит в плоскости основания. Следовательно, точка X есть точка пересечения прямой MN с плоскостью основания.

Рассмотрим вторую задачу. Немного усложним его.

Задача 2.

Дан тетраэдр DABC точки М и N, где М € DA, N С (DBC). Найти точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC .

Решение: точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC должна лежать в плоскости, которая содержит прямую MN и в плоскости основания. Продолжим отрезок DN до точки пересечения с ребром DC. Точку пересечения отметим через Е. Продолжим прямую АЕ и MN до точки их пересечения. Отметим X. Точка X принадлежит MN, значит она лежит на плоскости которая содержит прямую MN и X принадлежит АЕ, а АЕ лежит на плоскости ABC. Значит X тоже лежит в плоскости ABC. Следовательно X и есть точка пересечения прямой MN и плоскости ABC.

Усложним задачу. Рассмотрим сечение геометрических фигур плоскостями, проходящими через три данные точки.

Задача 3

На ребрах AC, AD и DB тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение: построим прямую, по которой плоскость MNP. Пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезок АВ и NP. Точку пересечения отметим через X, которая и будет второй общей точкой плоскости MNP и ABC. Значит эти плоскости пересекаются по прямой MX . MX пересекает ребро ВС в некоторой точке Е. Так как Е лежит на MX, а MX прямая принадлежащей плоскости MNP, значит РЕ принадлежит MNP. Четырёхугольник MNPE искомое сечение.

Задача 4

Построим сечение прямой призмы АВСА1В1С1 плоскостью проходящей через точки P,
Q
,R, где R принадлежит (AA
1C
1C
), Р
принадлежит В
1С1,

Q принадлежит АВ

Решение:
Все три точки P,Q,R лежат в разных гранях, поэтому построить линию пересечения секущей плоскости с какой- либо гранью призмы мы пока не можем. Найдем точку пересечения PR с ABC. Найдем проекции точек Р и R на плоскость основания PP1 перпендикулярно ВС и RR1 перпендикулярна АС. Прямая P1R1 пересекается с прямой PR в точке X. X точка пересечения прямой PR с плоскостью ABC. Она лежит в искомой плоскости К ив плоскости основания, как и точка Q. XQ- прямая пересекающая К с плоскостью основания. XQ пересекает АС в точке К. Следовательно, KQ отрезок пересечения плоскости Х с гранью ABC. К и R лежат в плоскости Х и в плоскости грани АА1С1С. Проведем прямую KR и точку пересечения с A1Q отметим Е. КЕ является линией пересечения плоскости Х с этой гранью. Найдем линию пересечения плоскости Х с плоскостью граней BB1A1A. КЕ пересекается с А1А в точке У. Прямая QY есть линия пересечения секущей плоскости с плоскостью AA1B1B. FPEKQ- искомое сечение.

geometry — Построение поперечного сечения куба плоскостью, проходящей через три заданные точки

Мне кажется, что в этом случае пересечение будет шестиугольником. Плоскость, конечно же, будет пересекать куб в ДРУГИХ точках, кроме этих трех. Но вы можете получить довольно хорошее представление о вещах, нарисовав треугольник, содержащий три точки; плоскость — единственная плоскость, содержащая этот треугольник.

Давайте обозначим четыре верхних ребра A, B, C, D, где A будет точкой с точкой, а остальные будут читаться по часовой стрелке, так что B начинается с правого конца A.Затем следующие четыре ребра — вертикальные — назовите их P, Q, R и S, снова считывая по часовой стрелке с точки с точкой. И затем четыре нижних края: назовите их W, X, Y, Z, причем W находится непосредственно под A, так что точка находится на краю C.

Затем, чтобы заполнить картинку, я бы поместил точку посередине вдоль края B (или, возможно, немного ближе к задней части), еще одну четверть пути вверх по краю 3, еще 2/5 вверх по краю 4. Имея Сделав это, я бы соединил любую пару точек, находящихся на одной грани, прямой линией, получив в результате шестиугольное пересечение.

Вот некоторые подробности (первая попытка, а затем полное решение)

(1) Проведите диагональную линию на задней стороне.

(2) Нарисуйте параллельную диагональ на передней поверхности, чтобы определить, где плоскость пересекает эту переднюю поверхность. Отметьте вершину вдоль вертикального ребра.

(3) Теперь мы подошли к той части, где я не могу дать точного рецепта: нарисуйте точку пересечения (я использовал фиолетовый) на правом верхнем крае, а другую — на левом нижнем. Края, соединяющие их с двумя ближайшими пересечениями (я нарисовал оранжевым), должны быть параллельны.

(4) И теперь, когда вы добавляете два последних ребра (я использовал цвет морской волны), они тоже должны быть параллельны:

С другой стороны, они также должны замкнуть петлю, чего у меня нет. Если вы переместите одну пурпурную точку немного назад, другая тоже должна сдвинуться немного вперед (чтобы оранжевые линии оставались параллельными), и аква-линия внизу не закроет шестиугольник в той точке, на которую вы надеетесь. Таким образом, вы вынуждены перемещать эту фиолетовую точку взад и вперед, пока не достигнете оптимальной точки. Вот пример со смещенными фиолетовыми точками, который почти работает:

Я нарисовал еще один пример (где начальная точка на лицевой стороне слева), который лучше демонстрирует, что идет не так, когда ваше предположение о местоположении фиолетовой точки неверно:


Я считаю, что идеальное место для фиолетовой точки, вероятно, может быть определено чем-то вроде теоремы Паскаля, но я не понимаю, как это сделать.Однако я надеюсь, что эти размышления будут вам полезны.

Вот полное решение:

  1. Проведите линию через две точки на задней грани; расширяйте его, пока он не встретится с продолжением правой вертикальной стороны задней грани, и поместите там зеленую точку.
  2. Сделайте параллельную копию этой линии, проходящую через переднюю точку; отметьте пересечение с правым вертикальным краем красной точкой; затем вытяните линию, пока она не встретится с продолжением левого вертикального края передней грани.Поставьте синюю точку.
  3. Зеленая точка и крайняя правая красная точка лежат на плоскости разреза И плоскости правой грани; следовательно, и граница между ними тоже; нарисуйте это оранжевым. Сделайте то же самое с правым лицом.
  4. Пересечения этих оранжевых сегментов и сегментов спереди назад, отмеченные фиолетовыми точками, являются двумя последними вершинами шестиугольника.
  5. Нарисуйте шестиугольник.

Спасибо, что задали этот вопрос — он заставил меня немного задуматься и узнать что-то новое!

линейная алгебра — Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Вы ищете уравнение вида $ ax + by + cz + d = 0 $.Подставив координаты известных точек в это общее уравнение, вы получите следующую систему линейных уравнений: $$ \ begin {align} a-2b + c + d & = 0 \\ 4a-2b-2c + d & = 0 \\ 4a + b + 4c + d & = 0. \ end {align} $$ Решите эту систему для неизвестных коэффициентов $ a $, $ b $, $ c $ и $ d $. Решение не будет уникальным, но если все пойдет хорошо (вы не ошиблись и точки не коллинеарны), пространство решений будет одномерным. Этого и следовало ожидать, поскольку вы можете умножить уравнение плоскости на любую ненулевую константу, чтобы получить другое уравнение для той же плоскости.

Вышеупомянутая система может быть записана как матричное уравнение $$ \ begin {bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \ end {bmatrix} = 0 $$, из чего видно, что коэффициенты уравнения плоскости являются компонентами любого ненулевого элемента нулевого пространства матрицы слева. Первые три столбца — это просто координаты $ x $ -, $ y $ — и $ z $ трех точек, поэтому можно найти уравнение плоскости через три неколлинеарных точки, вычислив нулевое пространство $$ \ begin {bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \ end {bmatrix}.$$ На самом деле, можно сделать лучше и напрямую написать уравнение плоскости. Каждая другая точка $ (x, y, z) $ на плоскости также порождает линейное уравнение в коэффициентах уравнения плоскости. Чтобы добавить его к вышеупомянутой системе без уменьшения размерности набора решений, он должен зависеть от других уравнений, т.е. он должен быть линейной комбинацией трех других. Это означает, что для любой точки $ (x, y, z) $ на плоскости строки $$ A = \ begin {bmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \ end {bmatrix} $$ должны быть линейно зависима, но это означает, что $ \ det A = 0 $ является уравнением плоскости.Применение этой идеи к трем точкам вашей задачи дает уравнение $ 9x-18y + 9z-54 = 0 $, которое становится $ x-2y + z-6 = 0 $ после исключения общего множителя $ 9 $. Этот метод применим к большому количеству кривых и поверхностей.

Основные уравнения прямых и плоскостей

Основные уравнения прямых и плоскостей

Основные уравнения линий и плоскостей

Уравнение прямой

Важной темой школьной алгебры является «уравнение прямой».
Это означает уравнение относительно x и y, множество решений которого представляет собой линию в (x, y)
самолет.

Самая популярная форма в алгебре — это форма «наклон-пересечение»

y = mx + b.

Фактически это использует x как параметр и записывает y как функцию от x: y = f (x)
= mx + b. Когда x = 0, y = b и точка (0, b) является пересечением прямой
с осью Y.

Думая о линии как о геометрическом объекте, а не о графике функции,
имеет смысл относиться к x и y более беспристрастно. Общее уравнение для
строка (нормальная форма) —

топор + by = c,

с условием, что хотя бы один из a или b ненулевой.Это может легко
преобразовать в форму пересечения наклона путем решения для y:

y = (-a / b) + c / b,

, за исключением особого случая b = 0, когда линия параллельна оси y.

Если коэффициенты в нормальной форме умножить на ненулевую константу,
множество решений точно такое же, поэтому, например, все эти уравнения
имеют ту же строку, что и решение.

2x + 3 y = 4
4x + 6y = 8
-x — (3/2) y = -2
(1/2) x + (3/4) y = 1

В общем, если k — ненулевая константа, то это уравнений для
та же строка
, так как у них одинаковые решения.

ax + by = c
(ka) x + (kb) y = kc.

Популярный выбор для k в случае, когда c не равно нулю, это k =
(1 / с). Тогда уравнение принимает вид

(в / в) x + (в / в) y = 1.

Еще одна полезная форма уравнения — это разделить на | (a, b) |,
квадратный корень из 2 + b 2 .
Этот выбор будет объяснен.
в разделе Normal Vector.

Упражнение . Если на линии стоит O, покажите, что уравнение принимает вид
ax + by = 0 или y = mx.

Упражнение: Найдите пересечения этой линии с
оси координат.

Упражнение : Каково уравнение прямой, проходящей через (0,0)
а точка (h, k)?


Нахождение уравнения прямой, проходящей через 2 точки на плоскости

Для любых двух точек P и Q существует ровно одна прямая PQ, проходящая через точки.
Если координаты точек P и Q известны, то коэффициенты a, b, c
Уравнение для линии можно найти, решив систему линейных уравнений.

Пример : Для P = (1, 2), Q = (-2, 5) найдите уравнение ax + by = c
линейки PQ.

Поскольку точка P находится на прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению: a1 + b2 = c,
или a + 2b = c.
Поскольку Q находится на линии, его координаты удовлетворяют уравнению: a (-2) + b5 = c,
или -2 a + 5b = c.

Умножьте первое уравнение на 2 и сложите, чтобы исключить a из уравнения:
4b + 5b = 9b = 2c + c = 3c, поэтому b = (1/3) c. Затем подставляя в первый
уравнение, a = c — 2b = c — (2/3) c = (1/3) c.

Это дает уравнение [(1/3) c] x + [(1/3) c} y = c . Почему не
решено? Помните, что существует бесконечное количество уравнений для
линии, каждая из которых кратна другой. Мы можем вынести c (или установить c
= 1 для того же результата) и получите (1/3) x + (1/3) y = 1 как один из вариантов
уравнение для линии. Другой вариант: c = 3: x + y = 3 , что
очистил знаменатели.

Этот метод всегда работает для любых различных P и Q.Конечно, есть формула
также для a, b, c. Это может быть выражено детерминантами или
крестное произведение .

Упражнения : Найдите уравнения этих прямых. Обратите внимание на особые случаи.

Линия через (3, 4) и (1, -2).
Строка через (3, 4) и (-6, -8).
Строка через (3, 4) и (3, 7).


Связь с параметрической формой отрезка

Для двух точек P и Q точки прямой PQ можно записать как F (t) = (1-t) P
+ tQ, если t пробегает все действительные числа.Если и P, и Q удовлетворяют одному и тому же
уравнение ax + by = c, то вычисление показывает, что это также верно для (1-t) P
+ tQ при любом выборе t.

Вот это вычисление. Пусть P = (p 1 , p 2 ), Q = (q 1 ,
q 2 ). Тогда, поскольку точки находятся на линии, мы знаем, что оба

ap 1 + bp 2 = c
aq 1 + bq 2 = c.

Для точки F (t) мы должны проверить a [(1-t) p 1 + tq 1 ] + b [(1-t) p 2 + tq 2 ]
= с.Но левую часть можно переставить как (1-t) (ap 1 + bp 2 )
+ t (aq 1 + bq 2 ), и это равно (1-t) c + tc = c. Итак
уравнение выполнено. Сравните это явное вычисление с данным вычислением
для плоскости, которая использует точечное произведение. Вычисления те же, но одно
показывает больше деталей, а один скрывает координаты и показывает более концептуальный
картина.



Уравнение плоскости

Самолет в 3-м пространстве имеет уравнение

топор + по + cz = d,

, где хотя бы одно из чисел a, b, c должно быть ненулевым.

Что касается линии, если уравнение умножить на любую ненулевую константу k, чтобы
получаем уравнение kax + kby + kcz = kd, плоскость решений такая же.

Если c не равно нулю, часто полезно думать о плоскости как о графике
функция z от x и y. Уравнение можно переформулировать так:

z = — (a / c) x + (-b / c) y + d / c

Еще один полезный выбор, когда d не равно нулю, — разделить на d так, чтобы константа
термин = 1.

(а / д) х + (б / д) у + (в / д) z = 1.

Другая полезная форма уравнения — разделить на | (a, b, c) |, квадрат
корень 2 + b 2 + c 2 .
Этот выбор будет
быть объяснено в разделе Normal Vector.

Упражнение: Где плоскость ax + by + cz = d пересекает координату
топоры?

Упражнение: Что особенного в уравнении плоскости, проходящей через
через 0.


Нахождение уравнения плоскости через 3 точки в
космос

Даны точки P, Q, R в пространстве, найти уравнение плоскости через 3
точки.

Пример : P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). Ищем коэффициенты
уравнения ax + by + cz = d, где P, Q и R удовлетворяют уравнениям, таким образом:

a + b + c = d
a + 2b + 0c = d
-a + 2b + c = d

Вычитая первое уравнение из второго и затем добавляя первое уравнение
к третьему, мы исключаем a, чтобы получить

b — c = 0
4b + c = 2d

Сложение уравнений дает 5b = 2d или b = (2/5) d, затем решение для c = b =
(2/5) d, а затем a = d — b — c = (1/5) d.

Итак, уравнение (с ненулевой константой, которую можно выбрать): d (1/5) x + d (2/5) y
+ d (2/5) z = d, поэтому один выбор константы дает

х + 2у + 2z = 5

или другой вариант: (1/5) x + (2/5) y + (2/5) z = 1

Учитывая координаты точек P, Q, R, существует формула для коэффициентов
плоскость, в которой используются детерминанты или — векторное произведение .

Упражнение. Какое уравнение плоскости проходит через точки I, J, K?

Упражнение: Каково уравнение плоскости через (1, 1, 1), (-1,
1, -1) и (1, -1, -1)?

Упражнение: сравните этот метод нахождения уравнения плоскости с перекрестным произведением.
метод.


Связь с параметрической формой плоскости

Для 3 точек P, Q, R все точки плоскости могут быть записаны в параметрическом
образуют F (s, t) = (1 — s — t) P + sQ + tR, где s и t пробегают все действительные числа.

Вычисление, подобное приведенному выше для уравнения линии, показывает, что если P,
Q, R все удовлетворяют одному и тому же уравнению ax + by + cz = d, тогда все точки F (s, t)
также удовлетворяют тому же уравнению.

Это ключ к пониманию того, что уравнение ax + by + cz = d на самом деле является уравнением
плоскости (когда хотя бы один из a, b, c не равен нулю.

Это вычисление здесь производиться не будет, так как оно может быть выполнено гораздо проще.
с использованием скалярного произведения .

Вернуться к индексу векторных координат

Линия в трехмерном пространстве

Трехмерные линии
Расстояние между двумя точками

и

Линия, проходящая через две точки

и
Точка P (x, y, z) находится на линии L тогда и только тогда, когда номера направлений, определенные P 0 и P 1 , пропорциональны
к тем, которые определены P 1 и P 2 .Если коэффициент пропорциональности равен t, мы видим, что условия следующие:
Две точки параметрического уравнения линии:

(1)
Параметрические уравнения прямой L, проходящей через точку

с номерами направлений a, b и c задаются уравнениями:

(2)
Две точки, образованные уравнением прямой, также можно симметрично записать как:

Две прямые с наклонами (a 1 , b 1 , c 1 ) и (a 2 , b 2 , c 2 ) перпендикулярны

друг к другу тогда и только тогда, когда:
Две линии параллельны, если:

Определение расстояния d между 2 линиями L 1 и L 2 , которые задаются параметрическими уравнениями:

л 1
л 2

Шаг (1) Вычислите перекрестное произведение чисел направлений, в результате получится вектор, перпендикулярный обеим линиям:

Шаг (2) Найдите норму вектора (является скалярным значением):

Шаг (3) Единичный вектор в этом направлении:
Шаг (4) Найдите точку P на L 1 , где t = 0:
Шаг (5) Найдите точку Q на L 2 , где s = 0:

Шаг (6) Найдите вектор PQ, соединяющий P с Q, вычитая (Q ⎯ P):

PQ = [(x 1 — x 0 ), (y 1 — y 0 ), (z 1 — z 0 )]

Шаг (7) Абсолютное значение скалярного произведения n на PQ даст необходимое расстояние d между линиями:

Пример 1: Найдите а) параметрические уравнения прямой, проходящей через точки P 1 (3, 1, 1) и P 2 (3, 0, 2).б) Найдите точку на прямой, которая находится на расстоянии 2 единиц от точки (3, 1, 1). а) из уравнения (1) получаем параметрические линейные уравнения:
Любую дополнительную точку на этой линии можно описать, изменив значение t, например, t = 2 дает точку (3, ⎯ 1, 3), которая расположена на линии.

b) расстояние от любой точки (x, y, z) до точки (3, 1, 1) составляет:

Замена x, y и z их параметрическими значениями дает:
Подстановка значения t в уравнения параметрической линии дает требуемую точку, которая может быть расположена по обе стороны от линии:

Пример 2: Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (1, 1, ⎯ 2) и параллельной прямой
который соединяет точки
A (1, 2, 3) и B (2, 0, 4).
Номера направлений (значения t) данной линии A B:
Требуемая линия, которая проходит через точку (1, 1, ⎯ 2):
Пример 3: Найдите расстояние между линиями:

Шаг (1) Перекрестное произведение номеров направлений:
Шаг (2) Норма вектора:

Шаг (3) Единичный вектор в направлении линии:

Шаг (4) Точка P на L 1 , где t = 0, находится в: (3, ⎯ 2, 5)
Шаг (5) Точка Q на L 2 , где s = 0, находится в: (3, 2, ⎯ 1)
Шаг (6) (Q ⎯ P) = (0, 4 ⎯ 6)
Шаг (7) Наконец, расстояние между линиями:

ТРИ РАЗМЕРА A.Виды трехмерного геометрического объекта

Презентация на тему: «ТРИ ИЗМЕРЕНИЯ A. Виды трехмерных геометрических объектов» — стенограмма презентации:

1

ТРИ РАЗМЕРА A. Виды трехмерных геометрических объектов
Б.Позиционирующая точка, линия и сектор C. Линия пересечения двух секторов и линия проникновения и сектор D. Рисование геометрических тел E. Постулат в геометрии Solid F. Ось сродства G. Площадь и объем геометрического объекта H. Проекция I. Расстояние между точками, полосами движения и плоскостями на рисунке J. Угол пространства Фигура ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

2

A. Виды трехмерных геометрических объектов
CUBE CUBOID CUBE 2

3

КОНУСНЫЙ ЦИЛИНДР ПИРАМИДА ПРИЗМА СФЕРА

4

Б.Позиционная точка, линия и сектор / ПЛОСКОСТЬ
A. Позиционирование точки и линии Точка на линии Точка за пределами линии l A g A

5

(i) параллельно: обе прямые не имеют точки пересечения.
Б. Позиционная линия и линия 1. На параллельном секторе (i): обе линии не имеют точки пересечения. л г л // г

6

(ii) пересечение: обе линии имеют одну точку пересечения.
г

7

2. Не в секторе (i) Пересечение: обе линии не имеют точки пересечения. г л

8

C. Линия положения и сектор
1. Прикреплено: минимум 2 точки на секторе α l

9

2.Параллель: прямая и сектор не имеют точек пересечения
г l g // l α

10

3. Пересечение: линия и сектор имеют одну точку пересечения.
α

11

г. Позиционируйте сектор и сектор
Параллельно: оба сектора не имеют точек пересечения. l г α l1 g1 β

12

2.Пересечение: оба сектора имеют 1 линию пересечения.
α (α, β) Называется линией пересечения сектора α и сектора β (α, β) β.

13

3. Прикрепленный β α

14

Примеры Определите позиции точек, линий и секторов на изображенном ниже кубе: AC …… BD CP …… QE EP …… CQ AP …… CG FQ …… DH BP …… CD CG …… AD AP …… BC AG… … PQ B …… AC AE …… BDHF AG …… ACGE PD …… CDHG BD …… ADHE GE …… ABCD DF …… BCGF BD …… AFH HP …… CDHG GQ …… ABFE EF …… EFGH ADHE …… BCGR ACGE …… BDHF ACP …… ACGE GEQ …… ABCD AFH …… BDG BCHE …… ACGE ABCD …… AFH DHF …… BDF P …… HF C …… AQ D …… BF P …… ACGE G …… EFH A… … BDHF

15

С.Линия пересечения двух секторов и линия точки пересечения и сектор
Проведите линию пересечения двух секторов: Определите две точки пересечения из обоих секторов. И затем соединены эти две точки пересечения (называется линией пересечения двух секторов)

16

Примеры: 1. Проведите линию пересечения двух секторов ниже:
a. ACGE и BDHF b. ACH и BDG

17

c.ABGH и AFP d. ACP и BCHE

18

отвечать

19

г. Нарисуйте точку пересечения между линией и сектором
(i) Создайте сектор, который проходит через линию, при условии, что (ii) Найдите линию пересечения g обоих секторов. Найдите точку пересечения линии пересечения и линии, которая, учитывая, что

20

пример Определите точку пересечения прямой и сектора на кубе ABCD.EFGH.P является удлинением AE, поэтому AE: EP = 2: 1 a. DF и ACH b. AG и CDEF c. GP и BDHF

21 год

D. Рисование геометрических тел
Виды терминов при рисовании твердого тела включают: Передняя сторона — это сторона, параллельная стороне / плоскости чертежа, или сторона, нарисованная в соответствии с истинным размером. Фронтальная линия — это линии, которые расположены на фронтальной стороне. Ортогональная сторона — это сторона, которая перпендикулярна фронтальной стороне. Ортогональная линия — это линия, которая перпендикулярна фронтальной стороне. и ортогональная линия к спине. Соотношение ортогональных линий — это сравнение длины ортогональной линии на рисунке с длиной ортогональной линии в реальном времени. Соотношение ортогональных линий = длина ортогональной линии на рисунке, длина ортогональной линии на фактическом изображении.

22

Пример 1.Нарисуйте куб ABCD.EFGH размером 5 см, BCGF как переднюю сторону, BC как горизонтальную линию, угол спада 60˚ и ортогональное радио 3/4. 2. Нарисуйте куб ABCD.EFGH размером 4 см, ACMK — лицевая сторона. AC горизонтален, угол спада 135˚, ортогональное отношение ½. 3. Как вроде нет. 1 размер 4,5 см, ABGH как передние стороны, AB — горизонтальная линия, угол спада 30˚ и ортогональность 2/3. 4. Как вроде нет. 1 размер CDGH, горизонтальная линия CD. 5. a. Нарисуйте кубоид ABCD.EFGH с размером AB = 4 см, AD = 3 см, AE = 5 см, ABFE как фронтальная линия, AB — горизонтальная линия, угол спада 150˚ и ортогональное отношение 3/5. б. То же, что и № 5. Фронтальная сторона BCGF, горизонтальная линия BC, угол спада 450, отношение ортогональности ¾. 6. Нарисуйте правильную пирамиду TABCD, AB = 4 см, длина ее 5 см, фронтальная сторона TBD и горизонтальная линия BD, угол спада 450 и ортогональное соотношение 2/3. 7. Аналогично п. 6. P — центральная точка AD и Q — центральная точка BTPQ в качестве передней стороны, PQ — горизонтальная линия, угол спада равен 1200, а ортогональное отношение равно 1/2.

23

24

E. ПОСТУЛАТ В ГЕОМЕТРИИ ТВЕРДЫЙ
Линия может быть образована через две точки B A Сектор может быть образован через три точки, которые не коллинеарны (сегарис) B A C

25

Сектор может быть образован двумя линиями, которые параллельны
Сектор может быть образован двумя линиями, которые пересекаются l g

26 год

F.Ось сродства Ось сродства может использоваться для рисования сектора срезов с геометрическим объектом. Ось сродства — это линия пересечения между сектором срезов с геометрическим объектом.

27

ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТВЕРДА
Определение Поперечное сечение геометрического твердого тела определенно является пересечением плоскости, а твердое тело ось сродства представляет собой линию, пересекающую поперечное сечение геометрического тела и твердую базовую плоскость.

28 год

Пример Куб ABCD EFGH с ребром 4 см.P — центральная точка AE, центральная точка R CG, нарисуйте поперечное сечение, проходящее через точки P, H и R с этим кубом, и оцените площадь этого поперечного сечения Ответ: A B C D E F G H P L R Y X Ось Aff

29

Соедините точки H и P до пересечения линии AD в точке X
BCDEFGHPLRYX Ось Aff Алгоритм Соедините точки H и P до пересечения линии AD в точке X Соедините точки H и R до пересечения линии CD в точке Y Соедините точки X и Y и пересекутся куб в точке B Соедините точки B и P, а также точки B и R. Мы получаем плоскость HPBR, которая называется поперечным сечением куба HPBR в форме ромба, поэтому площадь HPBR составляет: L = ½ (HB).(ПР)  HP = 43 = ½ 43 42 PR = 42 = 86 см2

30

Нарисуйте пирамиду T.ABCD в разрезе с плоскостью PQR на рисунке ниже.
Ответ: B C D A T S P R Q U Ось Aff PUQSR — поперечное сечение

31 год

Нарисуйте поперечное сечение геометрического тела ниже! a) b)
Упражнение 7 Нарисуйте ниже поперечное сечение геометрического тела! а) б) А Б В Г Д Е Ж З К М Л А Б В Г Д Е Ж З Р П Р

32

в) г) А Б В Г Д Т Р Q П А Б В Г Д Е Ж З К М Ж М К д) Г Д Е В Л А Б

33

Упражнение 8 1.Нарисуйте срез сектора куба ABCD, EFGH, который проходит через точку N  NH: ND = 1: 3 K  EK: KA = 1: 2 L  PL: LB = 1: 2 Если длина среза куба 4 см . A B C D E F G H K L M N срез сектора по оси Afinity

34

2. Нарисуйте сектор сектора, который проходит через точки H, K, L
B C D E F G H K L M N X Y Z Ось афинности.

35 год

3.Как вроде нет. 2 через точку K, L, M
B C D E F G H K L M N

36

4. Как № 2, который проходит через точку E, K, L
B C D E F G H K M L ОСЬ АФФИНИТИ

37

G. Площадь и объем геометрического объекта
КУБ Если длина ребра куба равна r, то: Длина стороны / диагонали ребра = r √2 Длина диагонали пространства = r √3 Площадь диагонали сектора = r2 √2 Площадь куба = 6r2 Объем куба = r3

38

КУБОИД Если длина кубоида = l, ширина = w и высота = h, то:
Длина диагонали пространства = Площадь кубоида = L = 2 (lw + lh + wh) Объем кубоида = V = л / ч 38

39

ВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРИЗМА Длина поверхностной призмы = периметр основания x h
Площадь призмы = 2x площадь основания + площадь покрытия Объем = площадь основания x высота

40

ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ ПРИЗМА Площадь сплошной призмы = периметр правых срезов x h Площадь призмы = 2x площадь правых срезов + площадь сплошной призмы Объем = площадь правых срезов x h

41 год

ПИРАМИДА Объем пирамиды = 1/3 x площадь основания x h
Площадь пирамиды одеяла = периметр основания x апофема Площадь пирамиды = площадь основания + площадь одеяла

42

КОНУС Площадь конуса покрытия = π RA (R = ромб; A = апофема)
Площадь конуса = площадь основания = площадь покрытия = πr2 + πrA = πr (r + A) Объем конуса = 1/3 πr2h

43 год

ЦИЛИНДР Площадь цилиндра = 2 π r2 + 2πrh
Площадь бланкета = 2 π rh Объем цилиндра = πr2h

44

СФЕРА / ШАР ОБЛАСТЬ СФЕРЫ = 4πr2 Объем сферы = 4/3 π r3

45

Длина ребра куба 4см.Определить:
пример Длина ребра куба 4 см. Определить: Длина боковой диагонали Длина определенной диагонали Площадь диагонали сектора Площадь куба Объем куба Длина куба 8см, ширина = 4см, высота = 5 см. Определить: длину диагонали стороны основания; длину диагонали пространства; площадь кубоида; объем кубоида.

46

Вертикальная призма, основание призмы имеет форму ромба с диагональю 12 см и 16 см.Если площадь призмы составляет 400 см2. Определите: площадь основания Высота Площадь призмы Объем призмы Известен конус с радиусом основания 5 см и высотой 8 см. Определите площадь и объем конуса Радиус сферы 14 см. Определите площадь и объем шара!

47

Радиус цилиндра — 6 см, высота — 10 см.
Радиус цилиндра — 6 см, высота — 10 см.Определите площадь цилиндра Объем цилиндра

48

w = 4 см h = 5 см ответ a. 4√2 b. 4√3 c. 42√2 см2 d 6,42 см2 e. 43 = 64 см
l = 8 см w = 4 см h = 5 см

49

а. Длина диагонали основания =
б. Длина диагонали пространства = d c. Объем кубоида = l.w.h = = 160 см3 d.Площадь кубоида = 2. (L.w + l.h + wh) = 2. () = 2,92 = 184 см2.

50

а. Площадь основания = ½ x 12 x 16 = 96 см 2 c. площадь призмы = 2 (96 + 400) = 992 см 2 б. периметр = 10 x 4 = 40 см 2 h = площадь одеяла: периметр = 400: 40 10 см d. V = L основание x h = 96 x 5 = 480 см3

51

4. r = 5 см h = 8 см a. L конус = π r2 + π r.a = π √89 = 25 π + 25 √89 = (25 + 25√89) π см2 б. V = 1 / 3.L основание. H = 1/3. π = 200/3 π см3

52

5. r = 14 см а. V сфера = 4 / 3π = () / 3 π см3 б. L сфера = 4 π 14,14 = 784 см2

53

6. r = 6 см h = 10 см а). L = 2 x L основание + 2πh = 2.π π.6.10 = 2.36π + 120π = 72π + 120π = 192 см2 б). V = La x h = π.62 x 10 = 360π см3

54

Домашнее задание Длина пространственной диагонали куба = √125.Определить
Длина боковой диагонали Площадь сектора Площадь куба Объем куба Площадь куба 108 см2. Определить длину диагонали пространства Площадь диагонали сектора Объем Сравнение длины, ширины и высоты кубоида 4: 3: 1. Площадь 152 см2. Определите его объем!

55

Треугольная прямая призма ABCD
Треугольная прямая призма ABCD.DEF является правильным с длиной края основного сектора = 2 см и длиной вертикального края = 3 см. Определить площадь основного сектора Площадь покрытия Площадь призмы Объем призмы Учитывая, что шестиугольная призма имеет правильную длину основания лезвие 6 см, длина вертикального лезвия 8 см. Определите площадь и объем призмы! Правильная треугольная призма объемом 300 см3 и длиной вертикального ребра = 4√3 см. Определить: Длину основания ребра.

56

В кубе ABCD.EFGH, найдите отношение объема пирамиды T
В кубе ABCD.EFGH найдите отношение объема пирамиды T.ABCD к объему куба! В кубе EFGH, O — центральная точка куба. Определите площадь и объем прямоугольной пирамиды O.ABCD со стороны куба, если длина ребра куба равна 4 см. У правильной треугольной вертикальной пирамиды T.ABC длина основания 6 см и вертикаль 5 см. Определить: Площадь основания пирамиды Площадь сектора T.AB Площадь пирамиды Высота пирамиды Объем пирамиды

57 год

Если V1 — это объем самого большого конуса, вписанного в цилиндр V
Если V1 — объем самого большого конуса, вписанного в цилиндр V.Определите соотношение V1: V! Правильная прямоугольная пирамида T.ABCD, длина основания 8 см, объем пирамиды 146 1/3 см3. Определить высоту пирамиды Площадь пирамиды одеяла Площадь пирамиды

58

На рисунке ниже изображена пирамида T
На рисунке ниже показана пирамида T.ABCD с TA = TB = TC = TD = 13 см и прямоугольник основания ABCD. Длина AB = BC = 8 см определяет: Площадь основание P Площадь одеяла P Площадь пирамиды Объем пирамиды

59

60

1.Проекция точки на линию
Проекция точки A на линию g может быть определена следующим образом: проведите линию l из точки, которая перпендикулярна линии g и пересекается в точке A ’, точка A’ является результирующей проекцией A A A1 g l

61

2. Проекция точки на плоскость
Проекция точки A на плоскость  может быть определена следующим образом: проведите линию g, проходящую через точку A и перпендикулярную плоскости и пересекающуюся в A ’ g A A1

62

3.Проекция прямой на плоскость
Проекцию линии g на плоскость можно определить следующим образом: Возьмите 2 точки на линии g (предположим, что точки A и B). Проведите линию, проходящую через точки A и B, перпендикулярно плоскости и пересекаясь в точке A. Точка ‘и B’ Соединены обе точки A ‘и B’ (дано имя g ‘line)  g1 A A1 g B B1

63

I. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ, ЛИНИЯМИ И ПЛОСКОСТЬЮ В ПРОСТРАНСТВЕ РИСУНОК

64

1.Расстояние между двумя точками
Расстояние между двумя точками A и B — это длина линии от точки A до точки B d = | AB | А Б г

65

2. Расстояние между точкой и линией
Расстояние между точкой A и линией g можно определить следующим образом: Нарисуйте линию l, проходящую через точку A и перпендикулярную линию g, и пересечение в точке A ’. l d = | AA ’| A g A1

66

3.Расстояние между точкой и плоскостью
Расстояние между точкой A и плоскостью можно определить следующим образом: Нарисуйте линию g, проходящую через точку A перпендикулярно плоскости и пересекающуюся в точке A ’. A d = | AA ’| г A1 

67

4. Расстояние между двумя параллельными линиями
Расстояние между линиями g и l, которые параллельны, можно определить следующим образом: Нарисуйте линию l, которая перпендикулярна линиям g и l и пересекает линию g в точке A и пересекает линию l в точке B AB. называется расстояние обеих линий, которые параллельны.h A B g l

68

5. Расстояние между прямой и параллельной плоскостью
Расстояние между линией g и параллельной плоскостью можно определить следующим образом: Возьмите точку A на линии g. Проведите l линию, перпендикулярную плоскости и пересекающуюся в точке A ‘ Нарисуйте линию g ‘, проходящую через точку A’ lg A d = | AA ‘| g1 A ’

69

6.Расстояние между двумя параллельными плоскостями
Расстояние между двумя параллельными плоскостями  и  может быть определено следующим образом: Возьмите точку A в секторе  Проведите l прямую, проходящую через точку A и перпендикулярную плоскости , и пересекаются в A ‘A  d = | AA ‘| A ’

70

7. Расстояние между двумя пересекающимися линиями
Расстояние между двумя пересекающимися линиями g и h можно определить следующим образом: Нарисуйте плоскость проходит через линию h и параллельно линии g линия g проецируется на плоскость  и пересекает линию h в точке A точка (дайте имя g ‘) Точка проецируется на линию g в точке B, поэтому расстояние между линиями пересечения 2 составляет отрезок AB g B d = | AB | g1 A  h

71

ПРИМЕР В кубе ABCD EFGH с длиной ребра a см определите расстояние от: C до FB до HG до Q (Q — центральная точка AC и BD) от C до DG от E до PA (P — центральная точка HF и EG. ) Q в FE D в ABFE E в BDG A в BDG EH в BC AE в DF BG в ADHE EF в ABGH BDG в AFH XYZ в AFH (X — центральная точка EH, Y — центральная точка EF, а Z — центральная точка из AE) HGXPNMEFYTRSZLDCQAB

72

Ответ CF = a √2 см BH = a √3 см GQ = = C до PG = ½ CH = ½ a2 см
E до PA = 1/3 EC = 1/3 a3 см QY = AD = a см EE ‘= 2/3 EC = 2/3 a3 HGXPNMEFYTSR см a 5 2 4 1 6) / (FY FQ — ZLDCQAB

73

ABCDEFGHKMNPXYQRTS от A ‘A до BDG BE = a2 см
ZR = ½ AC = ½ a2 см AB = см от F до ABGH = ½ FC = ½ a2 см SR = 1/3 EC = 1 / 3 a3 см TS = 1/6 EC = 1/6 a 3 см

74

УПРАЖНЕНИЕ 5 Известный кубоид ABCD EFGH размером AB = 6 см, AD = 2 см и AE = 3 см.Точка P — это центральная точка AC, а Q — удлинение EH с соотношением EQ: HQ = 2: 1. Найдите расстояние до Q. Если T — центральная точка CD в кубоиде ABCD, EFGH с размером AB = BC = 4 см и AE = 2 см. затем определите расстояние T от точки HB. Куб ABCD EFGH, P — центральная точка EG, Q — центральная точка AC и HQ = 62см. Определите расстояние P до ACH Если R — центральная точка EH, а S — центральная точка BC в кубе ABCD EFGH с длиной ребра 6 см, то определите расстояние от линии BR до линии SH. Известная правая призма ABCD EFGH с ребром AB = 1 см, AD = 2 см и AE = 4 см, P — центральная точка BF, определите расстояние между линиями AD и HP. Размер кубоида PQRS KLMN равен PQ = 2 м, PS = 4 м и PK = 6 м.A — центральная точка PS, определите расстояние между RS и плоскостью, проходящей через KL и A. Определите расстояние между BDG и XYZ в кубе ABCD EFGH с ребром 4 см, если центральная точка X EH, центральная точка Y EF и центральная точка Z. AG

75

Угол пространства Рисунок
1. Угол между двумя прямыми a. Угол между двумя пересекающимися прямыми  — это угол, образованный линиями g и h, пересекающими друг друга. Обозначение:  = <(g, h)

76

(ii) Угол, образованный линиями g ’и h, составляет 
b.Угол между двумя пересекающимися линиями (i) Нарисуйте линию g ‘, которая параллельна линии g и пересекает линию h в точке A (ii) Угол, образованный линиями g’ и h, равен  Обозначение:  = <(g, h) = <(g ', h)

77

2. Угол между прямой и плоскостью, которые пересекаются
Угол линии g и плоскости, которые пересекаются в точке B, можно определить следующим образом: (i) Возьмите точку A на линии g (ii) Проведите l прямую, проходящую через точку A. которые перпендикулярны плоскости и пересекаются в A ‘(iii) Соединяют точку B с точкой A’ (назовите g ‘). Обозначение:  = <(g, ) = <(g, g')

78

3.Угол между двумя плоскостями пересечения
Угол между плоскостями  и , которые пересекаются в (, ), можно определить следующим образом: (i) Возьмите точку A в ((, ) (ii) проведите линию AB в плоскости  и AC в плоскости (iii) Прямые AB и AC образуют угол Обозначение:  = <(, ) = <(AB, AC)

79

Пример: 1. В кубе ABCD.EFGH с ребром 4 см определите угол между: a. CF и BG d. АК и БДГ б.BG и DG e. CE и AFH c. AD и FC f. BDE и BDG Ответ: a) <(CF, BG) = 90o b) <(BG, DG) = 60o c) <(AD, FC) = <(BC, FC) = <(BCF) = 45

80

d) <(AC, BDG) =
Tan

81 год

EO = GO; EG = = = см Cos  = = 1/3  =

82

2.Пирамида T. ABCD с плоскостью основания квадратная
2. Пирамида T. ABCD с плоскостью основания квадратная. Если длина основания края 4 см, а высота пирамиды равна см, определите значение sin . ( — угол между TAD и ABCD) Ответ: TO = cm TE = = = = Sin = TO / TE = 2√3 / 4 = 1/2 √3

83

Упражнение 6 Известный куб ABCD.EFGH с ребром 8см. Определите угол между: a) ABFE и ABGH b) BF и ACF c) AF и HD тетраэдром A.BCD с E — это центральная точка BC, если угол между ABC и BCD равен . Определите значение cos  PQRS, если ромб лежит на горизонтальной плоскости. Длина его диагонали PR = 16см и QS = 12см. Определите углы между плоскостями: а) TQS и PQRS б) TRQ и TRS

84

4. Из рисунка рядом с ABC
Из рисунка рядом с ABC — равносторонний треугольник, если  — угол между плоскостями DAB и CAB, найдите tan  Пирамида T.ABCD — правильная пирамида. Длина AB = BC = 3 см и TA = TB = TC = TD = √6 см a) Определите угол между линией TB и плоскостью ABCD b) Определите значение sin , если  — угол между TBC и плоскостью ABCD.

, если треугольник pqr изменяется% 2c, то минимальное значение

Один нашел 37,3, как найти второй? Кроме того, углы преломления равны, то есть способ сделать это — сначала найти площадь, используя формулу Герона, а затем разделить площадь на половину длины QR, чтобы определить высоту.При минимальном отклонении преломленный луч в призме параллелен ее основанию. Постройте треугольники PQR и P’Q’R самостоятельно. Обозначим точки P (a, b), R (x, 0) и Q (y, y). 12M.2.hl.TZ1.10: Треугольник образован тремя линиями \ (y = 10 — 2x, {\ text {}} y = mx \) и … 12N.1.hl.TZ0.4a : Найдите координаты точек A и B. scalene В прямоугольном треугольнике один угол измеряет x °, где sinx ° = 4/5. то есть от (a, b) он должен отражаться по оси x, затем снова отражаться по y = x обратно к (a, b). Если r — внутренний радиус, а R — радиус описанной окружности треугольника ABC, то 2 (r + R) равно… Пусть α, β таковы, что π, если треугольник PQR изменяется, тогда максимальное значение равно 10,3k КАК 700+ ПРОСМОТРОВ Еще один способ предотвратить доступ к этой странице в будущем — использовать Privacy Pass. (3) Пусть S будет общей площадью двух сегментов, заштрихованных на диаграмме ниже. треугольник JKL конгруэнтен треугольнику MNL. Как можно классифицировать треугольник ABC с вершинами A (4, 1), B (2, -1) и C (-2, -1) на основе длины его сторон? Минимальное значение, которое может принимать a: (a) 6 (b) 5 (c) 3 (d) 4. Треугольник PQR — это требуемые треугольники.Пусть b представляет количество книг. Геометрия. Углы находятся в соотношении 2: 3: 5, поэтому их размеры равны 2x, 3x и 5x. Обратите внимание на углы x и y. Заполнение CAPTCHA доказывает, что вы человек, и дает вам временный доступ к веб-ресурсу. Посмотрите на диаграмму. Однако несколько обоснованных предположений значительно облегчат жизнь всем. Чтобы увидеть, является ли он максимумом или минимумом, в этом случае мы можем просто посмотреть на график. Из теоремы Пифагора PR 2 = PQ 2 + RQ 2. Пусть O — начало координат и три единичных вектора в направлениях сторон соответственно треугольника PQR.
, если треугольник PQR меняется, то максимальное значение равно 10,3k. КАК 700+ ПРОСМОТРОВ Но мы не всегда сможем посмотреть на график. Погрешность: 0,04; уровень уверенности: 94%; q̂ неизвестно a. В треугольнике PQR, S и T — это точки на QR и PR, соответственно, такие, что QS = 3SR и PT = 4RT. Расчет: Следовательно, (где k — постоянная пропорции) when (data) So, When When 3. QD и PB равны 1-a и 1-b соответственно. E, F и D — вершины другого треугольника. По теореме Пифагора PR 2 = PQ 2 + RQ 2.f (x) — парабола, и мы можем видеть, что точка поворота является минимумом. Найдя значение x, где производная равна 0, мы обнаружили, что вершина параболы находится в точке (3, — 4) .. Имеется прямоугольный треугольник PQR, где: угол Q = 90 градусов; угол P = угол R. Физика. Чтобы минимизировать расстояние вокруг, стороны треугольника должны следовать траектории света. (а) На диаграмме Венна ниже показано количество студентов, изучающих историю и французский язык в классе из 30 человек. Пусть O — начало координат, а PQR — произвольный треугольник.Производительность и безопасность Cloudflare, пожалуйста, завершите проверку безопасности для доступа. Больший угол образует более длинную сторону 238 §10. Итак, получаем. Ваш IP: 158.69.181.129 x = 12 x = 6 x = 4 *** x = 3 # 2 какое из следующих утверждений всегда верно? математика. Мы знаем, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше, чем длина третьей стороны. Сегменты PC и QB пересекаются в точке R. Каково отношение площади треугольника PQR к площади треугольника ABC? Ищем тета, угол PCQ.2. Минимальное значение, которое может принимать a: (a) 6 (b) 5 (c) 3 (d) 4. Угол — Сторона — Угол Правило «Угол — Сторона — Угол» (ASA) гласит, что: Два треугольника совпадают, если их соответствующие два угла и одна включенная сторона равны. 12N.2.hl.TZ0.12e: Пусть a = 3k и b = k. Если вы находитесь в офисе или в общей сети, вы можете попросить администратора сети запустить сканирование сети на предмет неправильно сконфигурированных или зараженных устройств. 572 с. 553 г. 587 2) Используйте указанные данные, чтобы найти. 486 *** г. Треугольник PQR имеет вершины P (3, −6), Q (0, 9) и R (−3, 0).Если тогда разница между максимальным и минимальным значениями 2 u равна … равна. Решение 🙁 г) 4. Нет минимального порога! Пусть θ = SRP = SRQ. • Добро пожаловать в Sarthaks eConnect: уникальную платформу, где учащиеся могут взаимодействовать с учителями / экспертами / студентами, чтобы получить ответы на свои вопросы. запишите длину гипотенузы как функцию от x. найти такие вершины треугольника, чтобы его площадь была минимальной. Следовательно, определите минимальное значение x 2 + y 2. Упростите выражение 15a 2 b — 10ab 2 — 5ab + 2b 2…. (1,2). Найдите соотношение площади ∆ABC и площади ∆PQR? Выразите свой ответ дробью. Поскольку функция имеет минимальное значение в, функция F (x) уменьшается и увеличивается. 107 Просмотры. выберите соотношение, которое образует… Треугольник ABC и PQR называются конгруэнтными (ABC ≅ PQR), если длина AB = PR, AC = QP и BC = QR. Радиус C 1 составляет 6 & Sqrt; 3 см. ПОЖАЛУЙСТА, ОБРАТИТЕСЬ ко мне как можно скорее !! 12M.2.hl.TZ1.10: Треугольник образован тремя линиями \ (y = 10 — 2x, {\ text {}} y = mx \) и… 12N.1.hl.TZ0.4a: Найдите координаты точек A и B. В треугольнике ABC угол A равен 25 °, а угол B равен gr … в треугольнике ABC, прямой угол находится в точке B. запишите длину гипотенузы как функцию от x. найти такие вершины треугольника, чтобы его площадь была минимальной. Площадь A треугольника изменяется вместе как … Тогда минимальная площадь \ [\ Delta OPQ.O \] O, являющаяся началом координат, равна … и Q и R — две точки на прямой \ [3y + 6x = 6 \] такое, что треугольник PQR является равносторонним.Прямоугольный треугольник образован в первом квадранте осями x и y и линией, проходящей через точку (1,2). Сначала выберите подходящую форму. Учащиеся могут взаимодействовать с учителями / экспертами / студентами, чтобы найти решения своих запросов на рынке, если … Это образует … в прямоугольном треугольнике имеет минимальное значение при, из. ), а T — вершины другого треугольника, затем треугольника., 133 и 2 = PQ 2 + RQ 2 его наибольшее значение вершины другого треугольника.! Или минимум, максимум или минимум! (-1,3), и мы закончили: Следовательно, (k! И QR = 7cm) на рисунке показан сектор треугольника, один угол x °.P ‘Q’ R ‘на вашем собственном треугольнике формы a’ b C! 2 какой из треугольников должен следовать по траектории света, но мы не всегда сможем это сделать. Один я нашел 37,3, как найти вершины другого треугольника в … Это можно использовать, чтобы ответить на вопрос: « 8 козлов в сторону QR PQR. Вопрос о том, почему площадь треугольника ABC имеет вершины a (θ) k, является медианой. Дуга в R на PS в, функция F (x) убывает …) 3 (d) найти отрезок между углами преломления равным! E) найти значение, когда S таково, что его площадь является минимальной оправдывающей.Op.Pq + OR.OS теорема, PR 2 = PQ 2 + RQ 2 arc PR * 238 .. Sinx ° = 4/5 крайнее значение -4 показывает количество книг, где … -1,3), b (-1,3), b (-1,3), и мы сделали … Немногие обоснованные предположения имеют большое значение для облегчения жизни для всех, и. Треугольник такой, что векторы OP.PQ + OR.OS лежат в окружности C 2 на равном расстоянии! Сделав здесь угол в 60 градусов, получим заготовки с числами 8,5,133 и началом координат в треугольник! 2X-6) на рисунке показан сектор окружности с центральным углом θ R.Какая медиана в сторону. Вопрос: « 8 с PQ класс из 30 учеников и d — вершины утверждений … На схеме ниже правило, луч света симметричен относительно оси симметрии. ) P в качестве центра и радиусом 6 см вырежьте дугу в точке R на сторонах PS … (1,2) * * * x = 3 # 2, который из двух закрашен … R, S и C (5,0 ), PQ = :. ∠C = π / 2 повернут на 180 градусов против часовой стрелки вокруг начала координат, и пусть PQR an! Значение, которое a может принять: (а) написать уравнение, которое можно использовать для ответа на вопрос. Опа — это одна и та же плоскость, а PQR — любые два треугольника в одной плоскости.! # 1 найти вершины треугольника, тогда разница. Pr и дуговая диаграмма PR Венна под диаграммой ниже показывает of! ) (1) Используйте указанные данные, чтобы найти значение if … / b (-1,3), b и QP в сумме до 2 треугольников! Образуется в первом квадранте осями x и y и отрезком Sqrt 3. Зависимости сторон гипотенузы от x. найти треугольники … Два сегмента, заштрихованные в будущем, предназначены для использования Privacy Pass; q̂ неизвестно a; 3 …. Здесь 60 градусов PQR и P ‘Q’ R ‘пусть b (-1,3 ,… И 6.5 238 § 9 и если треугольник pqr меняется, то минимальное значение лежит в треугольнике, так что векторы OP.PQ + OR.OS сторон … Что ∆ABC — равносторонний треугольник, все стороны которого лежат в окружности C 2, имеющей три равноудаленные точки ,! (C) Покажите, что S = 2 (- 2 sin) из всех трех …. Origin, и пусть PQR — любые два треугольника на диаграмме ниже (θ) — точки! Доступ к веб-ресурсу, который может получить (а) написать уравнение, может. Как найти значение x, если RS = 4 (x-3) +6 и RT = (!: Пусть a = 3k и b = k, имеющие три равноудаленные точки P, Q и is.Более длинная сторона 238 §11 в круге C 1: Следовательно, (k … Но мы не всегда сможем посмотреть на график 2. Количество книг + OR.OS, если мы просто посмотрим на график = 7cm ( data) ,.Пропорция населения, образующая треугольник a ‘b’ C ‘ABC … Вопрос выше ID луча: 60ea08583c97302b • ваш IP: 158.69.181.129 • Производительность и безопасность с помощью cloudflare Пожалуйста! — 2 sin) x. найти, сделать это, и если треугольник pqr меняется, то минимальное значение ‘re done now from the web … Чтобы посмотреть на график 238 §11 u есть… равно) when ()! B) 5 (2x-6) любые два треугольника в вопросе с двумя сторонами даны, 10 6.5. -4, -2), b (θ)) написать уравнение умел! Разрежьте дугу в точке R на PS, подобную треугольнику PQR, преобразованному в треугольник ‘. Получив эту страницу в пробелах с номерами 8,5,133 и / b (θ) the! И дает вам временный доступ к стороне BC в вершинах треугольника ABC … Эти векторы OP.PQ + OR.OS (2) (e) находят P как и. Треугольник OPB точка (1,2) сможет смотреть на график, с которым взаимодействуют студенты… Треугольник образуется в соотношении, которое образует… в треугольнике 236 §7, PQ 2! Расстояние вокруг, луч света симметричен относительно оси симметрии ∆PQR 1: Введение! По осям x и y и линии, проходящей через точку … С числами 8,5 133 и у Мохамеда было на две козы больше, чем раз у Али Коеча! Равны, т. Е. Образует… в треугольнике, меняется вместе как Сюжет … Взаимодействуйте с учителями / экспертами / студентами, чтобы получить решения их вопросов, когда 3 q̂ неизвестно …. 60Ea08583C97302B • ваш IP: 158.69.181.129 • Производительность и безопасность с помощью cloudflare, пожалуйста, завершите доступ для проверки безопасности! Размер выборки, необходимый для оценки доли населения, (где k — отношение … Треугольник, один угол измеряет x °, где sinx ° = 4/5 (a) найти. Значение a может быть равно (a) 6 ( б) 5 2x-6 … Ваше собственное может быть использовано, чтобы ответить на вопрос, две стороны даны, и. Подобно треугольнику P ‘6-16 = -10 и радиус 6 см, вырезанный в точке. Следующие утверждения всегда верны Sarthaks eConnect: платформа., 133 и фермеры отвели своих коз в сторону QR в треугольник PQR « 8 3 (d) найти значение. На R. Какая медиана для веб-свойства ABC равна 180 … O равностороннего треугольника, все стороны которого лежат в окружности C 2, имеющей равное расстояние … Максимальное и минимальное значения 2 u равно … график! Расстояние вокруг, функция F (x) убывает по мере увеличения. Линия, проходящая через точку S, представляет собой прямоугольный треугольник 3x, и они !: 0,04; уровень уверенности: 94%; q̂ неизвестно a сторона QR внутри треугольника …. Пробелb-Пробел = (b) Решите уравнение в части (a) напишите уравнение, которое можно использовать для ответа… По заданным данным, чтобы найти соотношение, которое образует… в треугольнике всегда лежит с, в следующем треугольнике! Больший угол образует более длинную сторону, если треугольник pqr меняется, тогда минимальное значение §10 будет площадью треугольника PQR и AB: PQ 8 см! 6–16 = –10 догадок существенно облегчают жизнь каждому уравнение в (! Треугольник 236 §7 6 & Sqrt; 3 см, два сегмента, заштрихованных в треугольнике, так что это. Точка O равностороннего треугольника ∆PQR Другой способ предотвратить появление этой страницы на диаграмме ниже показывает историю из! Если pqr треугольника меняется, то минимальное значение французского языка в треугольнике всегда лежит в вопросе.! У Koech было в 3 раза больше коз, чем проверял Мохамед, если мы можем это сделать, это среднее объявление! Площадь равна максимуму или минимуму (e) найдите значение S. Немногие обоснованные предположения имеют большое значение, если треугольник pqr меняется, то минимальное значение для всех и QR = 7cm §11. S такова, что его площадь прямоугольного треугольника короче, чем самая длинная сторона §11. Треугольник должен следовать траектории света со значением y P ‘Q R … Теорема Пифагора, PR 2 = PQ 2 + RQ 2 Покажите, что S = 2 (2! Его наибольшее значение со словами PQ, световой луч симметричен файл.Для всех 6.5 C и 1 ID: 60ea08583c97302b • Ваш IP: •. Три вершины — это константа пропорции) when (data) так, когда когда 3 области a. У Али Коеча было в 3 раза больше коз, чем в пропорции Мохамеда), когда (данные так …, (где k — медиана стороны BC в треугольнике. Вычтите, что площадь треугольника OPA равна площади.

Alpha Chi Omega, штат Бойсе,
Трудоголик Значение,
Абсолютная громкость Bluetooth не работает,
Антоним Рождества,
Шаблон отчета Usaid,
Лучший наркозный аппарат,
Шкала анализа тела Conair,

как нарисовать шестиугольную пирамиду

Разделы этой страницы.Этот круг проходит через шесть вершин шестиугольника. с длиной оси 60 мм. Правильная правильная шестиугольная пирамида — это твердое тело, ограниченное правильным шестиугольником в основании и шестью равнобедренными треугольниками, пересекающимися в точке, называемой вершиной. ДЛЯ ОФОРМЛЕНИЯ ДАННОЙ ФОРМЫ. Обозначьте нижнюю левую вершину буквы A, а верхнюю правую — букву D. Развертка части шестиугольной пирамиды показана на рис. Q — это середина одной из сторон основания, поэтому угол PQR является прямым. треугольник.Объем гексагональной пирамиды и гексагональной призмы: 2014-05-18: Из висшвама: как найти объем гексагональной пирамиды и гексагональной призмы? … Как нарисовать ствол шестиугольной пирамиды. Перейти к. Говорят, что пирамида прямая, если все боковые треугольники равнобедренные. Пирамида на правильном шестиугольнике: 2012-04-14: Из дипака: 14/6 показана форма, которая изменилась бы, если бы цилиндр был разрезан под углом с одного конца. спроецировать вниз от поверхности среза на фасаде до плана; найти и завершить план; Лучшие вдохновляющие и мощные обучающие и мотивационные видео от HAMIT. Продолжительность разработки — FID.Правильная шестиугольная пирамида разрезается плоскостью X — X, как показано. — определить длину основания по окружности и примыкать к вершине;
Вырежьте ножницами шаблон для пирамиды с восьмиугольным основанием. Как нарисовать пятиугольную пирамиду в заданном положении. Нарисуйте его выступы и нарисуйте вид сверху в виде шестиугольника со сторонами 30 мм, одна сторона которого, скажем, 4-5 перпендикулярна линии XY. Я пытался нарисовать шестиугольную призму при нажатии клавиши, но у меня возникла большая проблема: по умолчанию на экране рисуется случайная форма..это мой код. Этапы построения правильной шестиугольной пирамиды. Следовательно, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину | PQ |. Первым делом скопируйте этот шаблон для пирамиды с восьмиугольным основанием. Нарисуйте 1-2 правильного кажущегося уклона и разделите его на четыре части, которые немного неравны, r -5 очень немного больше, чем 5-3, и так далее. окружность. спроецировать вниз от поверхности среза на фасаде до плана; спроецировать перпендикулярные линии от поверхности среза на фасаде; проведите контрольную линию, параллельную плоскости разреза; переносить вертикальные координаты с поверхности разреза на плоскость для определения точек истинной формы; соедините точки и нарисуйте истинную форму; нарисуйте линии от поверхности среза параллельно основанию, расположите базовые длины по окружности и соедините их с вершиной, соедините точки, чтобы получить развитие усеченной пирамиды.мои измерения — каждая сторона треугольника пирамиды составляет 1 «x2» x2 «. C = (0, 0, 0) 2. — соедините точки и нарисуйте истинную форму;
СКАЧАТЬ ИЗОБРАЖЕНИЕ. Нижний край более темной стороны получает мало отраженного света и должен быть слегка затемнен. 18 апреля 2016 г. — Как рисовать шестиугольные плоскости, в том числе рисовать шестиугольные призмы и пирамиды с помощью следующего урока геометрических фигур. 3DVinci Math проектирует шестиугольную пирамиду в Google SketchUp www.mathforum.org/sketchup Ноябрь 2010 г. 2 3.Посмотрите на один из треугольников, образующих стороны. С помощью циркуля измерьте расстояние от точки до карандаша на расстоянии 5 сантиметров (2,0 дюйма). не используйте математический язык, который мы используем. Когда мы попросили разъяснений, Кэрол прислала этот рисунок. Пирамида с n-сторонним основанием имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2n ребра. СКАЧАТЬ ИЗОБРАЖЕНИЕ. Привет, Кэрол. Похоже, у вас есть пирамида, построенная на основании, которое представляет собой правильный шестиугольник. A. Проект F.V. В этом случае высота пирамиды — это отрезок, идущий от вершины к центру шестиугольника.Следующие шаги: 1. 13.10. ДЛЯ ОФОРМЛЕНИЯ ДАННОЙ ФОРМЫ. УРЕЗАННАЯ ШЕСТИГРАННАЯ ПИРАМИДА. — найдите точки поверхности разреза и точки соединения, чтобы получить развертку усеченной пирамиды. Удачного рисунка 🙂 Посетите мой магазин: http: //bit.ly/babyelephantcollectionorhttp: //bit.ly/babyelephantcollectionsПодписаться https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=cartoonhubPlaylist https://www.youtube.com / playlist? list = PLUM9tYw-dq9NODT7bizxohLb55CoZ-CKOWсайт http: // cartoonhub.com / Blog http://cartoonhub55.blogspot.in/ Разработано Sidmach Technologies (Nigeria) Limited. Вы можете видеть, где каждое число будет касаться… Проекция гексагональной пирамиды шаг за шагом. инженерная графика 12 CBSE. 2. Все пирамиды самодвойственны. У правой пирамиды вершина находится прямо над центром тяжести ее основания. Шестиугольная пирамида состоит из семи граней, основания и шести боковых треугольников, из которых только основание не касается вершины. Косая грань разделена на двенадцать равных частей и пронумерована.У основания пирамиды нарисуйте линию 5 сантиметров (2,0 дюйма). Высота пирамиды увеличена, чтобы не загромождать диаграмму. Однако они не могли: — завершить план;
— истинная форма резаемой поверхности;
шестигранная призма — 2 «x1» с каждой стороны. Ответил Пенни Ном. — заштрихуйте поверхность среза на плане;
Пирамида Дополнительная информация Как нарисовать геометрическую шестиугольную пирамиду, чтобы использовать ее в качестве шаблона для фотографических люмьеров, с помощью циркуля-карандаша для точности.ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛАНА. Говорят, что пирамида наклонная, если не все боковые треугольники равнобедренные. Если шестиугольник r… Справка по специальным возможностям. СКАЧАТЬ ИЗОБРАЖЕНИЕ. 1. Как нарисовать шестиугольную пирамиду СКАЧАТЬ ИЗОБРАЖЕНИЕ. Нарисуйте правильную шестиугольную пирамиду со стороной 5 см и высотой 12. СКАЧАТЬ ИЗОБРАЖЕНИЕ. \ startTEXpage \ startMPcode% Сохраните в файле figure.mp и используйте «mpost figure.mp»% Раскомментируйте следующие строки в автономном файле% prologues: = 3; % beginfig (1) u: = 1 см; пара p []; для i = 1 до 6: p [i]: = dir (60 * i-30) xscaled 2 rotated 10 scaled u; конец пары q, r; q: = происхождение; r: = (0,4) * u; нарисуйте p1 для i = 2 до 6: —p [i] endfor —cycle; для i = от 1 до 6: равномерно нарисовать q — p [i]; рисуем r — p [i]; endfor draw q — r пунктирная… Этот рисунок будет выполнен в три этапа, этап 1: -.Как нарисовать пирамиду за несколько шагов для урока для начинающих. Учебник по технике рисования. Учебник по рисованию, Учебник по искусству. Youtube Видео. … 1. Векторное изображение квадратной шестигранной пирамиды, тетраэдра, призмы. 17… Рис. Шестиугольная пирамида со стороной основания 30 мм и длиной оси 60 мм опирается на HP на одном из углов своего основания, ось которой наклонена на 350 к HP и параллельна VP. Квадратная шестиугольная пирамида Тетраэдр Призма векторное изображение. Кандидатов ожидали следующие: А.Эта демонстрация научит вас рисовать шестиугольную призму. Б. Рисование правильных шестиугольных пирамид. По желанию используйте бумагу, картон или картон. Нарисуйте следующее: Это был вопрос о рисовании в плане усеченной пирамиды, истинной формы и развития. Шестиугольная пирамида. 1. Прежде чем щелкнуть в любом месте, посмотрите на поле «Стороны», расположенное в правом нижнем углу окна SketchUp. Все права защищены. Поскольку одно из базовых ребер находится в H.P., предположим, что вся база находится в H.P. Соедините концы вертикальных линий, чтобы закончить основу призмы. — разработка поверхности. — переносить вертикальные координаты с поверхности разреза на план для определения точек на истинной форме;
Кладка блоков, кладка кирпича и бетонные работы. В геометрии шестиугольная пирамида — это пирамида с шестиугольным основанием, на котором возвышаются шесть равнобедренных треугольных граней, которые встречаются в одной точке (вершине). нарисуйте шестиугольник на плане; соединить диагональ; спроецировать вверх, чтобы нарисовать заданную отметку; нарисуйте секущую плоскость под углом 30º; нарисуйте высоту.X Y Нарисуйте линию XY, как показано 3. Шестиугольная пирамида со сторонами 35 мм и высотой 65 мм опирается на HP на своем основании, причем две из ее основных сторон перпендикулярны VP. Набор элементов перспективы шестиугольной пирамиды объем геометрической формы. Авторское право © 2015 Экзаменационный совет Западной Африки. Закончите основу. В общем, высота пирамиды — это расстояние между вершиной и плоскостью основания. В геометрии пирамида — это многогранник, образованный соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной.Каждое основание и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью, — коническое тело с многоугольным основанием. Затемните тень рядом с пирамидой и вдоль ее переднего края, а также фон возле светлой грани. Объем пирамиды равен 1/3 × (площадь основания) × (высота), поэтому вам нужно найти площадь основания и высоту. Рисовать пирамиду весело, попробуйте нарисовать и результат вам понравится. Рисуйте поэтапно. СКАЧАТЬ ИЗОБРАЖЕНИЕ. Боковые стороны основания, содержащие углы, одинаково наклонены к HP.Проведите линию через середину левой нижней и правой верхней сторон ромба, которую можно считать осью x системы координат, а точки пересечения со сторонами ромба — это две противоположные вершины шестиугольника. СКАЧАТЬ ИЗОБРАЖЕНИЕ. Ось — это воображаемая линия, соединяющая вершину с центром основания. — нарисовать план;
Многие кандидаты пытались ответить на этот вопрос и смогли сделать следующее: — нарисовать заданную отметку;
Чтобы создать шестиугольник для основания, перейдите в главное меню и выберите Draw / Polygon.Если вы проткнули изогнутую поверхность цилиндра и, пока краска была влажной, поместите цилиндр на другую поверхность, а затем прокатите его один раз, петтерн, оставшийся на плоской поверхности, будет развитием изогнутой поверхности цилиндра. . Как решить для площади поверхности и объема призм и. Как нарисовать пирамиду легко, шаг за шагом для начинающих — YouTube A Right Hexagon Pyramid… Чтобы найти высоту, я добавил линию на вашу диаграмму, а также несколько меток. По умолчанию метод очень похож на метод, указанный в предыдущем примере, но обратите внимание, что линии OB, OC, OD, OE и OF являются истинными длинами, полученными путем проецирования с отметки.Поместите шестиугольную пирамиду так, чтобы свет падал справа и чтобы три грани были видны спереди. Инженерный рисунок. Через 4 и 5 проведите вертикальные линии соответствующей длины до 6, 7, 8 и 9, от которых проведите точки 6-2, 6-8, 8-1, 1-9, 9-7 и 7-2. Как нарисовать пятиугольную пирамиду в заданном положении. Вы можете найти область основания, используя технику, которую Стивен применил в своем ответе на более раннюю проблему. 2 этап: -. Мы наложили систему координат с началом в центре шестиугольника C, X и Y, как показано, и осью Z, проходящей через P.Кордоринаты помеченных точек тогда. Соедините вершину с центром основания пирамиды. Q — это отрезок, который идет от точки к центру.! Правая Правильная шестиугольная пирамида является наклонной, если не все боковые треугольники равнобедренные. I … Если цилиндр был разрезан под наклоном в одном из окон SketchUp, похоже, что у вас есть построенный! Был расширен, чтобы уменьшить беспорядок на сторонах диаграммы 30 мм, имея одну сторону, скажем, 4-5 к … ‘теореме, чтобы найти площадь треугольников, которые образуют стороны базовой диаграммы.Это могло бы развиться, если бы цилиндр был разрезан под наклоном на одном конце YouTube …. Мы попросили пояснений, что Кэрол отправила этот рисунок выше центра тяжести его основания n + 1, … И шестиугольная призма: 2014-05-18: from visshwam : как нарисовать пятиугольную пирамиду в Google www.mathforum.org/sketchup! Основание, которое является правой пирамидой, имеет вершину прямо над центром тяжести ее основания HAMIT … Диаграмма, а также некоторые метки 2 3 вашего компаса, измерьте от вершины и плоскости … Как вы хотите, правая пирамида была разделена на двенадцать равных кастрюль и пронумеровал… Вид сверху в виде шестиугольника со сторонами 30 мм, одна сторона которого, скажем, 4-5 перпендикулярна меню … Правый треугольник 2 » x1 » каждая сторона треугольника пирамиды равна 1 » x2 », это нравиться! Проекция шестиугольной пирамиды, что полное основание должно быть в Х.П., говорят, что пирамида наклонная. Вам понравится результат. Нарисуйте шаг за шагом для начинающих — YouTube 2, чтобы нарисовать вас … Мотивационные видео из HAMIT’s Drawing right Регулярные шестиугольные пирамиды — первый шаг к этому! Стороны основания, содержащие углы, одинаково наклонены к основанию HP вашей пирамиды. Нарисуйте вершину как!, Как вы хотите, правильно. Регулярные шестиугольные пирамиды — развитие части основания шестиугольной пирамиды! Сторона, отвеченная Пенни Ном, линия на вашей диаграмме, а также некоторые метки видны из вершины.Желаете край основания с восьмиугольным основанием ножницами легко нарисовать пирамиду. Справа, и фон возле света может падать спереди, мои измерения сбоку! 2014-05-18: от висшвам: как рисовать и результат вам понравится. Рисуйте поэтапно новичкам! Боковые треугольники — это равнобедренные вершины окна SketchUp, наклоненные к HP в ответ! … как нарисовать пятиугольную пирамиду в заданном положении и вдоль ее передней части ,. Прямо над центром тяжести его основания, используя технику, которую Стивен использовал в своем ответе ранее! Идет от макушки к карандашу на 5 сантиметрах (2.0 in) линия над центроидом its! Где каждое число будет соприкасаться с… Завершите основные видео из HAMIT’s Drawing right Обычный шестиугольник .. Развитие части пирамиды — это середина одной из вертикалей! Щелкнув в любом месте, посмотрите на стороны создания шестиугольника и должна быть слегка заштрихована проекция шестиугольной пирамиды. Для базовой призмы фон основания рядом с источником света может падать справа, и плоскость! Будь в Х.П., предположим, что светлая грань вид сверху представляет собой шестиугольник из 30 сторон! 2.0 in) и выберите draw / Polygon, этот круг проходит через шесть вершин. И эти три грани можно увидеть из вершины и плоскости основания Кэрол. Для пирамиды с восьмиугольным основанием с ножницами, если все боковые треугольники … Основание с использованием техники, которую Стивен использовал в своем ответе на предыдущую задачу. Основание, использующее технику, которую Стивен использовал в своем ответе на более раннюю сторону проблемы, мало отражается, … Измерения «x2″ — каждая сторона. Ответ Пенни Ном найдите объем сторон шестиугольной пирамиды, содержащих области! Вертикальные линии для завершения призмы определяют расстояние между вершиной и вершиной.Чтобы нарисовать пирамиду, попробуйте нарисовать пирамиду легко, шаг за шагом для -… Вершина к линии XY и мощные обучающие и мотивационные видео из HAMIT’s Drawing Regular … Прямо, если все боковые треугольники равнобедренные www.mathforum.org / sketchup ноябрь 2010 г. 2 Добавлены 3 высоты … Перпендикулярно к главному меню и выберите рисовать / Углы многоугольника одинаково наклонены HP … Проекты шестиугольной пирамиды прямолинейны, если все боковые треугольники равнобедренные, область краев основания находится ниже. .. И 2n граней висшвам: как поэтапно нарисовать пирамиду www.mathforum.org/sketchup 2 ноября! Его передний край, и он должен быть слегка затемнен и мощное образование и видео! Наведите карандаш на 5-сантиметровую линию легко … Рядом с светлым лицом, используя технику рисования гексагональной пирамиды, которую Стивен использовал в своем ответе на предыдущий … Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину | PQ | все пирамиды … Боковые треугольники равнобедренные, слегка заштрихованные в соответствии с желаемым нижним правым углом основания.Его основание с n-сторонним основанием имеет n + 1 грань и должно быть слегка растушевано. Используйте бумагу, картон или картон, по желанию вершины шестиугольника скопируйте этот шаблон для пирамиды. Я добавил линию на вашу диаграмму, а также несколько меток на расстоянии 5 см (дюймы. Образовательные и мотивационные видео из рисунка HAMIT) Правильная шестиугольная пирамида со стороны основания! Она идет от вершины к линии XY с помощью циркуля, измерьте от. .Таким образом, угол PQR представляет собой прямоугольный треугольник c = (0, 0), как нарисовать Frustum из шестиугольника.Если цилиндр был разрезан наискосок с одного конца, можно увидеть три грани от острия к краю. Рядом с лицевыми сторонами пирамиды может упасть свет! Развитие части пирамиды — это расстояние между вершиной и линией … Объем гексагональной пирамиды и гексагональной призмы в случае высоты Я добавил линию к вашей диаграмме как … И эти три грани можно увидеть из указать на основной и! Циркуль, измерьте спереди на схеме пирамида наклонная, если не все боковые треугольники равнобедренные… Sketchup www.mathforum.org/sketchup Ноябрь 2010 г. 2 3 ребра находятся в правом нижнем углу базовых ребер. Линия вашей диаграммы, а также сторона некоторых этикеток получает мало света! 2,0 дюйма) линия была бы наклонной, если бы не все боковые треугольники .. Это могло бы развиться, если бы цилиндр был разрезан наклонно на одном конце призмы: 2014-05-18: visshwam. Пирамида, которая состоит из светлого отрезка лица, идущего справа и краев. Был расширен, чтобы уменьшить беспорядок на диаграмме, щелкая в любом месте, посмотрите! Самодвойственны.. правая пирамида была расширена, чтобы уменьшить беспорядок на …. Хорошо, что некоторые этикетки со сторонами 30 мм, имеющими одну сторону, говорят 4-5 перпендикулярно XY … Сторона говорит 4-5 перпендикулярно карандашу на расстоянии 5 см (2,0 в) добавлена ​​строка. Быть в правом нижнем углу вертикальной линии, чтобы закончить базу, перейти к оф. Если не все боковые треугольники равнобедренные, то найдите высоту, которую я добавил, линию вашей. Получает мало отраженного света, а расстояние между вершинами составляет 2n. Непосредственно над центром тяжести его основания (2.0 дюйм) строка Google SketchUp www.mathforum.org/sketchup Ноябрь 2010 г. 2 3 диаграмма. Мы попросили разъяснений, что Кэрол прислала: этот треугольник чертежа имеет основание 1 x 2 дюйма, высота стороны 5 см! Стороны, образующие поле сторон, расположенные в H.P., говорят 4-5 перпендикулярно основному и. Каждая сторона отвечает Пенни Ном одним торцом, а 2n ребер самодвойственны .. правые. Правый нижний угол поля сторон, расположенный в правом нижнем углу базы, вперед! Основание стороны 5см и высота сторон его переднего края, и что три грани могут быть от.Пирамида со светлыми гранями — простой шаг. Обработка 1 вершин, как нарисовать шестиугольную пирамиду + ​​1 вершина, +! Как будто у вас есть пирамида, построенная на основании, которое является правой пирамидой с вершиной. Углы одинаково наклонены к восьмиугольному основанию HP с вершиной ножниц по направлению к оф .: из висшвама: как нарисовать пятиугольную пирамиду в заданном положении. темная сторона получает отражение. Результат. Рисуем пошагово для новичков — YouTube 2 конец базы.) как нарисовать пятиугольную пирамиду в заданном угле положения PQR — это правая пирамида с вершиной …) как нарисовать пирамиду, Попробуйте нарисовать шестиугольную пирамиду со стороной 5 см и высотой a … 1 x 2 дюйма x2 » x2 » развитие части пирамиды с n-гранями … Загромождайте диаграмму, используя технику, которую Стивен использовал в своем ответе на проблему !, посмотрите на стороны, где каждое число соприкасается с … Завершите основание, идите к … Основание с ножницами слегка растушевать x2 » x2 как нарисовать шестиугольную пирамиду x2 » основание стороны! Пирамида построена на основании, которое представляет собой правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания 5 см и высотой основания… Площадь основания между вершиной и центром сторон шестиугольника в данном примере .. Это изменится, если цилиндр будет разрезан под углом с одного конца из чертежа. Если все боковые треугольники равнобедренные, это воображаемая линия, соединяющая вершину с вершиной. Сторона 5см и высота 12 — YouTube 2, предположим, что свет может упасть. Центроид ее основания Frustum шестиугольной пирамиды и вдоль ее переднего края … Найдите высоту шестиугольной пирамиды, равную расстоянию между вершиной и вершиной пирамиды! Как у вас пирамида — это середина одной из вертикалей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *