Комбинаторика правило суммы и правило произведения Дискретна…

Привет, сегодня поговорим про комбинаторика правило суммы, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое
комбинаторика правило суммы,правило произведения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Комбинаторика  – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

• Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

• 
  правило произведения

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

n! = 1 • 2 • 3 • 4 •…• n.

Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зеленый, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

6 + 5 + 4 = 15

Ответ: 15 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 желтые розы?

3 + 2 + 4 = 9

Ответ: 9 вариантов.

3 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

5 • 3 = 15

Ответ: 15 путей.

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

2 • 4 = 8

Ответ: 8 способами.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

6 • 8 = 48

Ответ: 48 пар.

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

4 • 8 = 28

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

3 • 3 = 9

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа 
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

2 • 2 • 2 = 8

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

3 • 4 = 12

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные?

Четные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов 
3 цифра – 5 способов

4 • 5 • 5 = 100

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трехзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 5 = 450

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трехзначных чисел можно составить из трех различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

3 • 2 • 1 = 6

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 способа.

14. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

5 • 4 • 3 = 60

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

2 • 4 • 3 = 24

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

6 • 5 • 4 = 120

Ответ: 120 способов.

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трех человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

8 • 7 • 6 = 336

Ответ: 336 способов.

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение , математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа 
3 урок – 2 способа 
4 урок – 1 способ

4 • 3 • 2 • 1 = 24

Ответ: 24 варианта.

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

Ответ: 6720 вариантов.

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

Ответ: 120 вариантов.

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Ответ: 720 способов.

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов 
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов 
7 цифра – 10 способов

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

Ответ: 8. 000.000 вариантов.

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394 

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

Ответ: 10.000 абонентов.

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

6 • 5 = 30

Ответ: 30 способов.

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких четных чисел?

5 цифра – 2 способа (две четные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

Ответ: 48 четных чисел.

26. Сколько существует четырехзначных чисел, составленных из нечетных цифр и делящихся на 5?

Нечетные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ ( цифра 5 )
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

1 • 4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 числа.

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – четная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ ( цифра 7 )
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

Ответ: 4500 чисел.

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвертая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечетные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант ( цифра 2 )
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант ( цифра 4 ) 
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант ( цифра 6 )

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

Ответ: 125 чисел.

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трехзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырехзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Ответ: 126 чисел.

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

11 • 10 = 110

Ответ: 110 способов.

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

30 • 29 = 870

Ответ: 870 способов.

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трех человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

12 • 10 • 2 = 240

Ответ: 240 способов.

33. Сколько комбинаций из четырех букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа 
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа

33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

Ответ: 1.081.344 комбинаций.

Понравилась статья про комбинаторика правило суммы? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое комбинаторика правило суммы,правило произведения
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

определение, примеры с решением задач

п.1. Правило суммы

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда общий набор, множество A ∪ B состоит из n + m элементов.
Выбрать один элемент a ∈ A ИЛИ b ∈ B можно n + m способами.

Например:
На подносе лежит 5 слив и 4 абрикоса.
Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса?
Всего фруктов: 5 + 4 = 9. Значит – 9 способов.

п.2. Правило произведения

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных упорядоченных пар (a, b) = A · B состоит из n · m элементов.
Выбрать упорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно n · m способами.

Например:
Сколько всего двузначных четных чисел?
В двузначном числе на первом месте могут быть цифры {1; 2; … 9}, n = 9
В двузначном четном числе на втором месте могут быть цифры {0; 2; … 8}, m = 5
Всего nm = 9 · 5 = 45 чисел.

п.3. Исключение «двойного учета» для неупорядоченных пар

При составлении пар порядок бывает неважен: (a, b) или (b, a), – главное, составить пару. В таком случае, например, пары (1; 2) и (2; 1) – одно и то же.
Поэтому правило произведения для неупорядоченных пар:

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных неупорядоченных пар (a, b) ≡ (b, a) состоит из \(\mathrm{\frac{n\cdot m}{2}}\) элементов.
Выбрать неупорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно (n · m)/2 способами.

Например:
В саду поспевает 7 видов фруктов. Было решено сварить компот из любых двух фруктов. Сколько всего различных компотов можно сварить?
Первый фрукт можно выбрать n = 7 способами.
Второй фрукт можно выбрать m = 6 способами.
В данном случае 2 фрукта образуют неупорядоченную пару – неважно, в каком порядке их бросать в кастрюлю. Поэтому \(\mathrm{N=\frac{7\cdot 6}{2}=21}\).
Ответ: 21 различных компотов.

п.4. Примеры

Пример 1. О 4-значном пин-коде карты известно, что первая и последняя цифры у него одинаковые, вторая и третья – разные, и не равны первой цифре.
Сколько всего вариантов такого пин-кода?

В начале и в конце одновременно используются цифры {0;1;…;9}, n = 10
На второй позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованной на первом месте, m = 9
На третьей позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованных на первом и втором месте, k = 8
По правилу произведения общее количество наборов: N = nmk = 10·9·8 = 720.
Ответ: 720 вариантов.

Пример 2. Сколько всего 3-значных чисел, у которых ровно две цифры.
а) семёрки; б) нули?

а) Варианты расстановки семёрок:
77x, x ≠ 7 – таких чисел 9
7×7, x ≠ 7 – таких чисел также 9
x77, x ≠ 7 – таких чисел 8 (слева не может стоять 0)
По правилу суммы: 9 + 9 + 8 = 26

б) Вариант расстановки нулей только x00, x ≠ 0 – таких чисел 9
Других вариантов нет.
Ответ: а) 26 чисел; б) 9 чисел.

Пример 3. На экзамене будет 5 задач по 5 разным темам. Каждая задача берется из списка, в котором 8 задач по теме. Вася умеет решать по 3 задачи из каждой темы.
Сколько всего вариантов билетов может быть на экзамене?
Сколько существует вариантов билетов, за которые Вася получит 5 баллов?
Сколько существует вариантов билетов, в которых Вася не решит ни одной задачи?

В экзамене по каждой теме n = 8 вариантов выбора задачи. По правилу произведения всего возможно N = 8⁵ = 32768 вариантов билетов.
Вася готов решать k = 3 задачи по каждой теме. По правилу произведения всего он сможет полностью решить K = 3⁵ = 243 вариантов.
Вася не готов решать m = 8 – 3 = 5 задач по каждой теме. По правилу произведения всего он вообще не сможет решить M = 5⁵ = 3125 вариантов.
Ответ: 32768; 243; 3125.

Пример 4. Каких пятизначных чисел больше: тех, что не делятся на 5, или таких, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки?

Сколько всего пятизначных чисел? На первом месте – 9 вариантов цифр, на четырёх последующих – по 10 вариантов. Итого: N = 9 · 10⁴ = 90000 чисел.
Признак делимости на 5: последняя цифра 5 или 0.
Количество чисел с последней цифрой 5: M₁ = 9 · 10³ · 1 = 9000.
Аналогично, с последним 0: M₂ = 9 · 10³ · 1 = 9000.
Итого, чисел, которые не делятся на 5:
M = N – (M₁ + M₂) = 90000 – 2 · 9000 = 72000.
Сколько всего пятизначных чисел, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки? На первом месте – 8 вариантов цифр, на втором – 9 вариантов. На остальных – по 10 вариантов.
Итого: K = 8 · 9 · 10³ = 72000 чисел.
Получаем: M = K – искомых чисел поровну.
Ответ: их поровну.

Пример 5*. На глобусе проведено 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?

Возьмём неразмеченный глобус. Проведем экватор.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим еще одну параллель. Поверхность разделилась на 3 части.
Мы видим, что n параллелей делит поверхность на N = n + 1 частей.
Соответственно, для 17 параллелей, N = 18 частей.

Опять берём неразмеченный глобус. Проведем меридиан.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим ещё один меридиан. Поверхность разделилась на 4 части.
Мы видим, что m меридианов делит поверхность на M = 2m частей.
Соответственно, для 24 меридианов, M = 48 частей.
Общее количество частей по правилу произведения (с исключением «двойного учета», т.к. нам всё равно: мы сначала проводили параллели, а потом – меридианы, или наоборот): \(\mathrm{\frac{NM}{2}=\frac{48\cdot 18}{2}=432}\).
Ответ: 432 части.

2. Правила суммы и произведения

В
комбинаторике, которая возникла раньше
теории множеств, правило нахождения
числа элементов объединения двух
непересекающихся конечных множеств
называют правилом
суммы
и формулируют в таком виде:

Если
объект а можно выбрать т способами, а
объект b
– k
способами (не такими, как а), то выбор
«либо а, либо в» можно осуществить т + k
способами.

Задача
1.
На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина.
Сколькими способами можно выбрать один
плод?

Решение.
По
условию задачи яблоко можно выбрать
пятью способами, апельсин – четырьмя.
Так как в задаче речь идет о выборе «либо
яблоко, либо апельсин», то его, согласно
правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 =
9 способами.

Правило
нахождения числа элементов декартова
произведения двух множеств называют в
комбинаторике правилом произведения
и формулируют в таком виде:

Если
объект а можно выбрать т способами, а
объект b
– k
способами, то пару (а, b)
можно выбрать m

k
способами.

Замечание.
Правило
суммы и произведения, сформулированные
для двух объектов можно обобщить и на
случай t.

Задача
2.
На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина.
Сколькими способами можно выбрать пару
плодов, состоящую из яблока и апельсина?

Решение.
По условию задачи яблоко можно выбрать
пятью способами, апельсин – четырьмя.
Так как в задаче речь идет о выборе пары
(яблоко, апельсин), то ее, согласно правилу
произведения, можно выбрать 5 
4 = 20 способами.

Задача
3.
Сколько всего двузначных чисел можно
составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что
они в записи числа не повторяются?

Решение.
Чтобы
записать двузначное число, надо выбрать
цифру десятков и цифру единиц. Согласно
условию на месте десятков в записи числа
может быть любая из цифр 7, 4 и 5. Другими
словами, выбрать цифру десятков можно
тремя способами. После того, как цифра
десятков определена для выбора цифры
единиц остаются две возможности,
поскольку цифры в записи числа не должны
повторятся. Так как любое двузначное
число – это упорядоченная пара, состоящая
из цифры десятков и цифры единиц, то ее
выбор, согласно правилу произведения,
можно осуществить 3 
2 = 6 способами.

Задача
4.
Сколько трехзначных чисел можно
составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение.
В данной задаче рассматриваются
трехзначные числа, так как цифры в записи
этих чисел могут повторяться, то цифру
сотен, цифру десятков и цифру единиц
можно выбирать тремя способами каждую.
Поскольку запись трехзначного числа
представляет собой каждую. Поскольку
запись трехзначного числа представляет
собой упорядоченный набор из трех
элементов, то, согласно правилу
произведения, его выбор можно осуществить
27 способами, так как 3 
3 
3 = 27.

Задача
5.
Сколько всего четырехзначных чисел
можно составить из цифр 0 и 3?

Решение.
Запись четырехзначного числа представляет
собой упорядоченный набор (кортеж) из
четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч
можно выбрать только одним способом,
так как запись числа не может начинаться
с нуля. Цифрой сотен может быть либо
нуль, либо три, т.е. два способа выбора.
Сколько же способов выбора имеется для
цифры десятков и цифры единиц.

Итак,
цифру тысяч можно выбрать одним способом,
цифру сотен – двумя, цифру единиц двумя.
Чтобы узнать сколько всего четырехзначных
чисел можно составить из цифр 0 и 3,
согласно правилу произведения, способы
выбора каждой цифры надо перемножить:
1
2 
2 
2 = 8.

Таким
образом, имеем 8 четырехзначных чисел.

Задача
6.
Сколько трехзначных чисел можно записать,
используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая
из них может быть использована в записи
только один раз?

Решение.
Так как запись числа не может начинаться
с нуля, то цифру сотен можно выбрать
пятью способами; выбор цифры десятков
можно осуществить также пятью способами,
поскольку цифры в записи числа не должны
повторятся, а одна из шести данных цифр
будет уже использована для записи сотен;
после выбора двух цифр (для записи сотен
и десятков) выбрать цифру единиц из
данных шести можно четырьмя способами.
Отсюда, по правилу произведения, получаем,
что всего трехзначных чисел (из данных
шести цифр) можно образовать 100: 5 
5 
4 = 100.

Комбинаторика: основные правила и формулы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и  принципы  комбинаторики  используются  в  теории  вероятностей для подсчета  вероятности  случайных  событий и,  соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это,  в  свою  очередь,  позволяет  исследовать  закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания  статистических  закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m  способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения.  Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

 Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

 Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

 Размещения без повторений. Размещения с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В  данной  задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким  образом,  задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Решение

Можно  считать,  что  опыт  состоит  в 5-кратном выборе  с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом,  число  пятизначных  номеров  определяется  числом  размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

 Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной  совокупностью  являются 4  буквы слова  «брак» (б, р, а, к). Число  «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква  «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква  «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Комбинаторика. Правило суммы. Правило произведения

1. КОМБИНАТОРИКА

2. Оглавление

Что
такое комбинаторика?
Факториал
Перестановки. Размещения. Комбинации
Правила суммы, произведения
Примеры решения задач
Выбор формулы
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова
«combina», что в переводе на русский означает – «сочетать»,
«соединять».
Комбинаторика — раздел математики, посвящённый
решению задач выбора и расположения элементов в
соответствии с данными условиями.
Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей.
С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам,
лингвистам, криптографам и другим специалистам.
Читаем:
n!
n (эн) — факториал
Произведение всех последовательных натуральных
чисел от 1 до n обозначается n!
n! = 1 · 2 · 3 · … · n

5. Перестановки. Размещения. Комбинации

Определение
Перестановкой з n элементов называется любое
упорядоченное множество (порядок элементов
существенен), которое состоит из n элементов.
Рn=n! ,
где Рn — число перестановок из n элементов.
Пример
Сколькими способами можно расставить на полке 5
книжек?
P5=5!=1*2*3*4*5=120
Размещением из m элементов по n называется любое Сколькими способами можно выбрать старосту класса
упорядоченное подмножество из n элементов данного и его заместителя, если в классе учатся 20 человек?
множества, которое содержит m элементов (n≤m).
m!
Amn
(m n)!
20!
20! 18! 19 20
A202
19 20 380
n
A m-число размещений m элементов по n ячейкам
(20 2)! 18!
18!
Комбинацией из m элементов по n называется любое Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурный,
подмножество из n элементов (порядок элементов
если в классе учится 20 учеников?
несущественен) данного множества, которое
содержит m элементов (n≤m).
m!
20!
20! 18! 19 20
C mn
C 202
19 10 190
n!(m n)!
2!(20 2)! 2! 18!
2 18!
где Сnm- число комбинаций из m элементов по n
ячейкам

6. Правило суммы. Правило произведения

Определение
Пример
Правило суммы. Если элемент А можно
выбрать m способами, а элемент В – n
способами (при этом выбор элемента А
исключает выбор и элемента В), то А и В
можно выбрать (m+n) способами.
Если в тарелке лежат 5 груш и 4 яблока, то
выбрать один фрукт можно 9 способами
(4+5=9).
Правило произведения. Если элемент А
можно выбрать m способами, а после этого
элемент В – n способами, то А и В можно
выбрать (m*n) способами.
Если в канцелярском магазине продают ручки
5 видов и тетради 4 видов, то выбрать набор
из ручки и тетради (т.е. пару – ручку и
тетрадь) можно 5*4=20 способами,
поскольку для каждой из 5 ручек можно взять
любую из 4 тетрадей.
Задача 1
На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд,
пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком,
кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?
Переберем все возможные
варианты
Ответ:15.
Задача 2
Несколько стран в качестве символа своего
государства решили использовать флаг в виде трёх
горизонтальных полос одинаковых по ширине, но
разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько
стран могут использовать такую символику, при
условии, что у каждой страны свой отличный от
других стран флаг?
P3 3! 2 3 6
?
?
?
?
?
?
Ответ:6.
?
?
?
?
?
?
?
?
?

11. Задача 3

На соревнование по легкой
атлетике приехала команда из 12ти спортсменок. Сколькими
способами тренер может
определить, кто из них побежит в
эстафете 4 по 100 м на первом,
втором, третьем и четвертом
местах?

12. Поскольку тренеру важно, в каком порядке будут бежать спортсменки, то порядок при выборе элементов учитывается. Количество

способов
выбрать из 12 спортсменок 4 для участия в
эстафете равна количеству размещений из 12
элементов по 4 (без повторений), т.е.
A124
Ответ: 11 880.
12!
12!
12 11 10 9 11880.
(12 4)! 8!

13. Задача 4

Сколько четных двузначных чисел можно составить
из цифр 0,1,2,4,5,9?
І способ
Переберем все возможные
варианты
0
2
4
1
10
12
14
2
20
22
24
4
40
42
44
5
50
52
9
Ответ: 15 чисел.
90
92
54
94
ІI способ
Воспользуемся формулой
комбинаций без повторений
Поскольку нам необходимо составить двузначные числа, то они не
1
могут начинаться на 0. Выбрать первую цифру из 5-ти можно C5
способами.
Чтобы число было четным, оно должно заканчиваться на 0, 2 или 4, т.е.
четное число можно выбрать C31 способами .
Тогда по правилу произведения четные двузначные числа можно
составить C 1 C 1 .
5
3
Получаем
C51 C31
Ответ:15 чисел.
5!
3!
5! 3!
5 3 15
1!(5 1)! 3!(3 1)! 1! 4! 1! 2!

16. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Задача 5
В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных
способов освещения коридора?
І способ
Переберем все возможные
варианты
Ответ: 8 способов.
ІІ способ
Воспользуемся правилом
умножения
Для каждой лампочки возможны два исхода, а лампочек три,
значит:
2 2 2 8
Воспользуемся формулой
размещений с повторениями
ІІІ способ
Нам необходимо разместить 2 предмета по трем ячейкам,
причем они могут повторяться. Имеем:
~
A n k 23 8
Ответ:8.

19. Выберите правило

№1. Из города А а город В ведут 5 дорог, а из города В в
город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать
из города А в город С?
5*3=15
№2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по
геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно
взять с полки одну книгу по математике?
4+3=7
№3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 –
десерта. Сколько различных обедов можно из них
составить?
4*3*2=24
Выбор формулы
Учитывается ли
порядок элементов?
Да
Все ли элементы
входят в соединение?
Да
Нет
Перестановки
Нет
Комбинации
Размещения
Без повторений
Без повторений
Pm m!
Amn
С повторениями
С повторениями
~
Pm
m!
k1 k 2 …k n
, где
k1 k 2 … k n m
~
n
m
m!
(m n)!
A m
n
Без повторений
C mn
m!
n!(m n)!
С повторениями
~
n
m
C Cm n 1
n

Правило произведения/примеры

Занятие №3. Кортежи. Правило произведения.

Второй этап формирования вычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированием правил суммы и произведения. Предлагаемая методика формирования правил суммы и произведения и последующих основных комбинаторных понятий базируется на таких теоретико-множественных понятиях, как множество, элемент множества, подмножество, упорядоченное множество. Поэтому с учащимися необходимо повторить эти понятия.

Рассмотрим задачу про «Суеверного председателя».

«Опять восьмерка!» — горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на прогнутое колесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что у меня членский билет № 888 – целых три восьмерки. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, то на другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять номер билета! А чтобы меня не обвинили в суеверии, проведу ка я перерегистрацию всех членов клуба и буду выдавать только билеты с номерами, в которые не входит ни одна восьмерка. Не знаю только, хватит ли на всех номеров – ведь у нас в клубе почти 600 членов. Неужели придется сначала выписать все номера от 000 до 999, а затем вычеркивать из них все номера с восьмерками?» Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):

Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?

Далее учащиеся должны ответить на вопросы (Как бы вы решили такую задачу? С помощью какого метода? Какие еще методы решения применимы к данной задаче?) и вместе с учителем разобрать решение данной задачи.

Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А теперь найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных. А так как двузначных номеров было 9, то получится 9·9 = 9² двузначных номеров.

Итак, существует 9² = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 9²·9 = 9³ = 729 трехзначных номеров без восьмерок.

Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 8³ = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.

С помощью этого примера вводятся понятие кортежа и правило произведения.

Кортежи. Номера, составленные из трех цифр, нельзя рассматривать как множество элементов. Во-первых, в номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествах элементы не повторяются, во-вторых, в номерах важен порядок цифр (175 и 571 – совсем разные номера), а в множествах порядок элементов роли не играет. Поэтому, если мы хотим изучать такие объекты, как номера, или слова (в них тоже могут буквы повторяться, от перестановки букв слово меняется), нужно ввести новое математическое понятие, отличное от понятия множество.

Это новое понятие математики назвали кортежем (наряду со словом «кортеж» применяют названия «слово», «набор», «вектор», «конечная последовательность» и т.д.). Кортеж – французское слово, означающее торжественное шествие. И у нас иногда говорят «кортеж автомашин», «свадебный кортеж» и т.д. При этом кортеж автомашин может состоять из нескольких «Волг», нескольких «БМВ» и нескольких «Ауди». Если считать машины одной и той же марки неразличимыми, то получим, что в кортеже автомашин один и тот же элемент может повторяться несколько раз.

В математике кортеж определяют так. Пусть имеется несколько множеств X₁, …, X_k. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы. Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а₁ множества Х₁), затем вытащим элемент а₂ из мешка Х₂ и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока из мешка Х_k не будет вытащен элемент а_k. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а₁, а₂, …, а_k). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X₁, …, X_k. Элементы а₁, а₂, …, а_k называют компонентами кортежа.

Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы.

Здесь учащимся можно дать индивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементов кортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежей можно составить из этого множества?

При больших значениях n (n – это количество элементов в множестве, из которого составляется кортеж) и k (k – это количество элементов в кортеже) перебор вариантов становиться очень громоздким, поэтому ограничиваются только подсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются с помощью двух основных правил комбинаторики.

Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).

На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø =>

Здесь целесообразно задать учащимся вопросы: А как будет сформулировано правило суммы для пересекающихся множеств A и B? в общем случае для конечного числа множеств?

Правило суммы применяется для решения комбинаторных задач. Именно, часто приходится разбивать все множество перечисляемых комбинаций, подсчитывать число элементов в каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.

Правило произведения. Возьмем несколько конечных множеств X₁, …, X_k, состоящих соответственно из n₁, …, n_k элементов, и найдем, сколько кортежей длины k можно составить из элементов этих множеств. Способ, которым мы решим эту задачу по сути дела будет тем же самым, каким было найдено число трехзначных номеров без восьмерок. Сначала найдем число кортежей длины 1, составленных из элементов множества Х_1. Ясно_, что их число равно n₁. Возьмем теперь один из этих кортежей (а₁) и припишем к элементу а₁ справа по очереди все элементы множества х₂.Получится n₂ кортежей длины 2, у которых первая координата равна а₁. Но вместо а₁ можно было бы взять любой другой элемент из Х₁. Поэтому получается n₁ раз по n₂ кортежа, а всего n₁∙ n₂ кортежей длины 2 или, как чаще говорят пар. Из каждой такой пары получим n₃ троек, приписав к ней по очереди все элементы множества Х₃, а всего n₁∙ n₂∙ n₃ троек. Продолжая этот процесс, получим, в конце-то концов, n₁∙ n₂∙ …∙ n_k кортежей длины k, составленных из элементов наших множеств.

Полученный результат является одним из важнейших в комбинаторике. На нем основан вывод многих формул комбинаторики. Его называют «правилом произведения». Сформулируем это правило так. Если элемент а₁ можно выбрать n₁ способами, после каждого выбора этого элемента следующий за ним элемент а₂ можно выбрать n₂ способами … после выбора элементов а₁, а₂, …, а_k-1 элемент а_k выбирается n_k способами, то кортеж (а₁, а₂, …, а_k) можно выбрать n₁ ∙ n₂ ∙ … ∙ n_k.

Подсчитаем, например, сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны (например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет). При этом, разумеется можно писать бессмысленные слова. В этом случае на первое место у нас 33 кандидата. Но после того, как первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами – ведь повторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата – первую букву уже можно повторить, а вторую – нельзя. Также убеждаемся, что на все места, кроме первого, имеется 32 кандидата. А так как число этих мест равно 5, то получаем ответ 33∙32∙32∙32∙32∙32=1107396236.

Задачи на непосредственное применение комбинаторных правил произведения и суммы:

1. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык?

2. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

3. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?

5. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?

Исчисление I — Правило произведения и частного

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-4: Правило о продукте и соотношении

В предыдущем разделе мы отметили, что должны быть осторожны при дифференцировании продуктов или коэффициентов. Пришло время взглянуть на продукты и коэффициенты и понять, почему.3} — x} \ right) \ left ({10 — 20x} \ right) \)

Показать все решения Скрыть все решения

На данный момент действительно не так много причин для использования правила продукта. Как мы отметили в предыдущем разделе, все, что нам нужно сделать для любого из них, — это просто умножить произведение, а затем дифференцировать. 2}} \ right) \]

Теперь возьмем производную.2} + 40x — 10 \ end {align *} \]

Поскольку это было легко сделать, мы пошли дальше и немного упростили результаты.

Давайте теперь поработаем пару примеров с правилом частного. В этом случае, в отличие от примеров правил произведения, для пары из этих функций потребуется правило частного, чтобы получить производную. Однако в отношении последних двух мы можем избежать правила частного, если захотим, как мы увидим.

Пример 2 Различайте каждую из следующих функций.6}}} \) Показать решение

Кажется странным иметь этот здесь, а не быть первой частью этого примера, учитывая, что он определенно кажется проще, чем любой из двух предыдущих. На самом деле так проще. Есть смысл сделать это здесь, а не сначала. В этом случае есть два способа вычислить эту производную. Есть простой и трудный путь, и в этом случае трудный путь — это правило частного. В этом суть этого примера.

Давайте воспользуемся правилом частного и посмотрим, что у нас получится.7}}} \]

Так вот, это был «трудный» путь. Итак, что в этом было такого сложного? На самом деле это было не так сложно, просто есть более простой способ сделать это, вот и все. Однако при этом распространенной ошибкой здесь является неправильное определение производной числителя (константы). По какой-то причине многие люди в подобных задачах будут указывать производную числителя как 1 вместо 0! Кроме того, есть некоторые упрощения, которые необходимо сделать в такого рода задачах, если вы используете правило частного.5} \]

Наконец, давайте не будем забывать о наших приложениях деривативов.

Пример 3 Предположим, что количество воздуха в воздушном шаре в любой момент времени \ (t \) определяется выражением

\ [V \ left (t \ right) = \ frac {{6 \ sqrt [3] {t}}} {{4t + 1}} \]

Определите, наполняется ли баллон воздухом или из него выходит воздух при \ (t = 8 \). \ prime} h + \ left [{f \, g} \ right] h ‘\]

Обратите внимание, что мы помещаем скобки в часть \ (f \, g \), чтобы прояснить, что мы думаем об этом термине как об одной функции.\ prime} = \ left [{f ‘\, g + f \, g’} \ right] h + \ left [{f \, g} \ right] h ‘= f’ \, g \, h + f \, g ‘\, h + f \, g \, h’ \]

Любое правило продукта с большим количеством функций может быть получено аналогичным образом.

С помощью этого и предыдущего разделов мы теперь можем различать степени \ (x \), а также суммы, разности, произведения и частные этих видов функций. Однако в мире есть гораздо больше функций, которые не представлены в этой форме. В следующих нескольких разделах описаны многие из этих функций, а также их производные.\ prime} = u’v + uv ’. \]

Докажем приведенную выше формулу, используя определение производной. Для этого находим приращение функций \ ({uv} \), предполагая, что аргумент изменяется на \ (\ Delta x: \)

\ [{\ Delta \ left ({uv} \ right)} = {u \ left ({x + \ Delta x} \ right) v \ left ({x + \ Delta x} \ right)} — ​​{u \ left (x \ right) v \ left (x \ right). \ prime} = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta \ left ({uv} \ right)}} {{\ Delta x}}}}
= {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{u \ Delta v + v \ Delta u + \ Delta u \ Delta v}} {{\ Delta x}}}
= {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{u \ Delta v}} {{\ Delta x}} + \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{v \ Delta u}} {{\ Delta x}}} + {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v.}
\]

В первом пределе функция \ (u \) не зависит от приращения \ (\ Delta x \). Поэтому его можно вынести за знак ограничения. То же самое относится к функции \ (v \) во втором члене. Рассчитываем отдельно предел \ (\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v: \)

\ [
{\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v} = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left ({\ frac {{\ Delta v}} {{ \ Delta x}} \ cdot \ Delta x} \ right)}
= {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta v}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta x} = {v ‘\ cdot 0 = 0.\ prime} = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{u \ Delta v}} {{\ Delta x}} + \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac { {v \ Delta u}} {{\ Delta x}}} + {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ ограничивает _ {\ Delta x \ до 0} \ Delta v}}
= {u \ lim \ limits _ {\ Delta x \ до 0} \ frac {{\ Delta v}} {{\ Delta x}} + v \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} + {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v}
= {uv ‘+ vu’ + u ‘\ cdot 0}
= {u’v + uv’.\ prime}}
= {- 2 \ left ({2 — 3x} \ right) + \ left ({3 — 2x} \ right) \ left ({- 3} \ right)}
= {- \ color { красный} {4} + \ color {blue} {6x} — \ color {red} {9} + \ color {blue} {6x} = \ color {blue} {12x} — \ color {red} {13} .}
\]

Цены на определение продукта — Энциклопедия малого бизнеса для предпринимателей

Независимо от того, какой продукт вы продаете, цена, которую вы назначаете своим клиентам или клиентам, будет иметь прямое влияние на успех вашего бизнеса. Хотя стратегии ценообразования могут быть сложными, основные правила ценообразования просты:

• Все цены должны покрывать затраты и прибыль.
• Самый эффективный способ снизить цены — это снизить затраты.
• Часто пересматривайте цены, чтобы убедиться, что они отражают динамику затрат, рыночный спрос, реакцию на конкуренцию и цели по прибыли.
• Цены должны быть установлены для обеспечения продаж.

Прежде чем устанавливать цену на свой продукт, вы должны знать затраты на ведение бизнеса. Если цена на ваш продукт или услугу не покрывает расходы, ваш денежный поток будет в совокупности отрицательным, вы исчерпаете свои финансовые ресурсы, и ваш бизнес в конечном итоге потерпит крах.

Чтобы определить, сколько стоит ведение бизнеса, включите аренду имущества и / или оборудования, погашение ссуд, инвентарь, коммунальные услуги, затраты на финансирование и заработную плату / заработную плату / комиссионные. Не забудьте добавить стоимость уценки, дефицита, поврежденных товаров, скидок для сотрудников, стоимость проданных товаров и желаемую прибыль в свой список операционных расходов.

Самое важное — добавить прибыль в расчет затрат. Относитесь к прибыли как к фиксированным расходам, например к выплате по кредиту или платежной ведомости, поскольку никто из нас не работает на безубыточность.

Поскольку ценовые решения требуют времени и исследования рынка, стратегия многих владельцев бизнеса состоит в том, чтобы устанавливать цены один раз и «надеяться на лучшее». Однако такая политика ставит под угрозу получение неуловимой или не такой высокой прибыли, как могло бы быть.

Когда самое подходящее время пересмотреть свои цены? Сделайте это, если:

• Вы представляете новый продукт или линейку продуктов;
• Ваши расходы меняются;
• Вы решили выйти на новый рынок;
• Ваши конкуренты меняют цены;
• Экономика переживает инфляцию или спад;
• Ваша стратегия продаж меняется; или
• Ваши клиенты зарабатывают больше денег на ваших продуктах или услугах.

Цены обычно устанавливаются одним из четырех способов:

Стоимость плюс
Многие производители используют систему ценообразования «затраты плюс». Ключ к успеху этого метода — убедиться, что цифра «плюс» не только покрывает все накладные расходы, но и генерирует требуемый процент прибыли. Если ваши накладные расходы неточны, вы рискуете получить слишком низкую прибыль. Следующий пример расчета должен помочь вам понять концепцию ценообразования «затраты плюс»:

Цена до востребования
Ценообразование на спрос определяется оптимальным сочетанием объема и прибыли.Продукты, которые обычно продаются через разные источники по разным ценам — розничных торговцев, дисконтных сетей, оптовиков или продавцов прямой почтовой рассылки — являются примерами товаров, цена которых определяется спросом. Оптовый торговец может покупать большее количество, чем розничный торговец, что приводит к закупке по более низкой цене за единицу. Оптовый торговец получает прибыль от большего объема продаж продукта по более низкой цене, чем у розничного торговца. Розничный торговец обычно платит больше за единицу, потому что он или она не могут купить, запастись и продать такое же количество товара, как оптовик.Вот почему розничные торговцы назначают покупателям более высокие цены. Ценообразование по требованию сложно освоить, потому что вы должны заранее правильно рассчитать, какая цена будет обеспечивать оптимальное соотношение прибыли к объему.

Конкурентные цены
Конкурентное ценообразование обычно используется, когда существует установленная рыночная цена на конкретный продукт или услугу. Например, если все ваши конкуренты берут 100 долларов за замену ветрового стекла, это то, что вам нужно.Конкурентоспособное ценообразование чаще всего используется на рынках сырьевых товаров, которые трудно отличить от других. Если есть крупный игрок на рынке, обычно называемый лидером, эта компания часто устанавливает цену, которой будут вынуждены следовать другие, более мелкие компании на том же рынке.

Чтобы эффективно использовать конкурентные цены, знайте цены, установленные каждым конкурентом. Затем определите оптимальную цену и на основе прямого сравнения решите, сможете ли вы защитить установленные вами цены.Если вы хотите взимать больше, чем ваши конкуренты, суметь довести до более высокой цены, например, обеспечивая превосходное обслуживание клиентов или гарантийную политику. Перед тем, как окончательно заявить о своих ценах, убедитесь, что вы знаете уровень осведомленности о ценах на рынке.

Если вы используете конкурентные цены для установления платы за сервисный бизнес, имейте в виду, что в отличие от ситуации, когда несколько компаний продают по существу одни и те же продукты, услуги сильно различаются от одной фирмы к другой.В результате вы можете взимать более высокую плату за превосходное обслуживание и по-прежнему считаться конкурентоспособным на своем рынке.

Цена наценки
Наценка, используемая производителями, оптовиками и розничными торговцами, рассчитывается путем добавления установленной суммы к стоимости продукта, в результате чего цена взимается с покупателя. Например, если стоимость продукта составляет 100 долларов, а ваша продажная цена — 140 долларов, наценка составит 40 долларов. Чтобы найти процент надбавки к стоимости, разделите сумму надбавки в долларах на сумму стоимости продукта в долларах:

40 долларов? 100 долларов = 40%

Этот метод ценообразования часто вызывает путаницу — не говоря уже о упущенной прибыли — среди многих начинающих владельцев малого бизнеса, потому что наценку (выраженную в процентах от стоимости) часто путают с валовой прибылью (выраженной как процент от продажной цены).В следующем разделе более подробно рассматривается разница в разметке и марже.

Основы ценообразования
Чтобы оценивать продукты, вам необходимо ознакомиться со структурой ценообразования, особенно с разницей между наценкой и наценкой. Как уже упоминалось, цена каждого продукта должна покрывать его производственную или оптовую стоимость, транспортные расходы, пропорциональную долю накладных расходов (постоянные и переменные операционные расходы) и разумную прибыль. Такие факторы, как высокие накладные расходы (особенно при аренде в лучших торговых центрах или местах торговых центров), непредсказуемые страховые ставки, сокращение расходов (кража в магазинах, кражи сотрудников или другие кражи, ошибки грузоотправителей), сезонность, сдвиги в оптовой торговле или сырье, рост стоимости продукции и Транспортные расходы, распродажи или скидки повлияют на окончательную цену.

Накладные расходы. Накладные расходы относятся ко всем нетрудовым расходам, необходимым для ведения вашего бизнеса. Эти расходы могут быть фиксированными или переменными:

• Постоянные расходы. Независимо от объема продаж, эти расходы необходимо оплачивать ежемесячно. Постоянные расходы включают арендную плату или ипотечные платежи, амортизацию основных средств (таких как автомобили и офисное оборудование), заработную плату и связанные с этим расходы на заработную плату, страхование ответственности и другое страхование, коммунальные услуги, членские взносы и подписку (на которые иногда может влиять объем продаж), а также юридические и бухгалтерские расходы.Эти расходы не меняются, независимо от того, растет или падает выручка компании.
• Переменные расходы. Большинство так называемых переменных расходов на самом деле являются переменными расходами, которые колеблются от месяца к месяцу в зависимости от продаж и других факторов, таких как рекламные усилия, изменение сезона и колебания цен на товары и услуги. К этой категории относятся расходы на телефон, канцелярские товары (чем больше бизнес, тем больше они используются), печать, упаковку, почтовые отправления, рекламу и продвижение по службе.При оценке переменных расходов используйте средний показатель, основанный на оценке годовой суммы.

Стоимость проданных товаров. Себестоимость проданных товаров, также известная как себестоимость продаж, относится к вашим затратам на покупку продуктов для перепродажи или к затратам на производство продуктов. В эту цифру обычно включаются расходы на фрахт и доставку. Бухгалтеры разделяют стоимость товаров в операционном отчете, потому что он дает меру валовой прибыли по сравнению с продажами, что является важным критерием для измерения прибыльности бизнеса.Себестоимость товаров, выраженная в процентах от общего объема продаж, варьируется от одного вида бизнеса к другому.

Обычно стоимость проданных товаров тесно связана с продажами. Однако она будет колебаться, если повышение цен, уплаченных за товары, не может быть компенсировано увеличением продажных цен или если специальные выгодные покупки увеличивают маржу прибыли. Эти ситуации редко приводят к значительному процентному изменению соотношения между стоимостью проданных товаров и продажами, в результате чего стоимость проданных товаров является переменным расходом.

Определение маржи. Маржа, или валовая прибыль, — это разница между общим объемом продаж и стоимостью этих продаж. Например: если общий объем продаж равен 1000 долларов США, а себестоимость продаж равна 300 долларам, то маржа равна 700 долларам.

Маржа валовой прибыли может быть выражена в долларах или в процентах. В процентах маржа валовой прибыли всегда указывается как процент от чистых продаж. Уравнение: (Общий объем продаж? Себестоимость продаж) / Чистые продажи = Маржа валовой прибыли

В предыдущем примере маржа составила бы 70 процентов.

(1000 долларов США? 300 долларов США) / 1000 долларов США = 70%

Когда все операционные расходы (аренда, заработная плата, коммунальные услуги, страхование, реклама и т. Д.) И другие расходы вычитаются из маржи валовой прибыли, остаток составляет чистую прибыль до налогов. Если валовая прибыль недостаточно велика, чистая прибыль от продаж будет незначительной или совсем не будет.

Некоторым предприятиям требуется более высокая валовая прибыль, чем другим, чтобы быть прибыльными, потому что затраты на ведение различных видов бизнеса сильно различаются.Если операционные расходы для одного вида бизнеса сравнительно невелики, то более низкая маржа валовой прибыли все же может принести владельцам приемлемую прибыль.

Следующее сравнение иллюстрирует эту точку зрения. Имейте в виду, что операционные расходы и чистая прибыль показаны как два компонента маржи валовой прибыли, то есть их комбинированные проценты (от чистых продаж) равны марже валовой прибыли:

и маржа (брутто) продукт или группу продуктов часто путают.Причина этого в том, что при выражении в процентах маржа всегда рассчитывается как процент от продажной цены, в то время как наценка традиционно рассчитывается как процент от затрат продавца. Уравнение выглядит следующим образом:

(Общий объем продаж? Себестоимость продаж) / Себестоимость продаж = Наценка

Используя числа из предыдущего примера, если вы покупаете товары за 300 долларов и выставляете цену на продажу в 1000 долларов, ваша наценка составляет 700 долларов. В процентах эта наценка составляет 233 процента:

1000 долларов? 300 долларов? 300 долларов = 233%

Другими словами, если вашему бизнесу требуется 70-процентная маржа для показа прибыли, ваша средняя наценка должна составить 233 процента.

Теперь вы можете видеть из примера, что, хотя наценка и маржа могут быть одинаковыми в долларах (700 долларов), они представляют собой две разные концепции в процентах (233% против 70%). Более чем несколько новых предприятий не смогли получить ожидаемую прибыль, потому что владелец предполагал, что если его наценка составляет X процентов, его или ее маржа также будет равна X процентам. Это не тот случай.

Примеры правил ценообразования | Руководство пользователя Magento 2.3

Примеры правил стандартной цены

Отменить последующие правила

Возможность отмены последующих правил — отличная функция внутри правил ценообразования, которая предотвращает накопление нескольких правил ценообразования и предоставление непреднамеренных дополнительных скидок.Чтобы отменить последующие правила, правило ценообразования должно использовать приоритеты, установленные в разделе «Приоритет».

Если для параметра «Отменить последующие правила» установлено значение «Да», правила с более низким приоритетом (более высокие числа) не будут применяться к соответствующим продуктам.

Например, у нас есть три правила ценообразования:

В этом сценарии правила №1 и №2 будут применяться к подходящим продуктам. Правило № 3 будет применяться только к подходящим продуктам, не содержащимся в Правиле № 2. Это потому, что он имеет более низкий приоритет, чем # 2, и для параметра Discard Subsequent Rules установлено значение Yes. Таким образом, подходящие продукты в категории «распродажа» получат скидку 10% и скидку 2 доллара на их листинговую цену на Amazon.

Применение двух стандартных правил ценообразования

Продукт 1:

Цена: 45 долларов.49

Применяется правило 1: 45,49 доллара США x (0,9) = 40,94 доллара США

Применяется правило 2: 40,94 долл. США — 10 долл. США = 30,94 долл. США

Окончательная цена после применения Правил 1 и 2: 30,94 доллара США

Товар 2:

Цена: $ 47.76

Применяется правило 1: 47,76 доллара США x (0,9) = 42,98 доллара США

Применяется правило 2: 42,98 долл. США — 10,00 долл. США = 32,98 долл. США

Окончательная цена после применения Правил 1 и 2: 32,98 доллара США

Примеры правил интеллектуальной переоценки

Цена Buy Box с минимальной ценой Источник = Цена

Продукт 1:

Цена: $ 15

Цена

Buy Box на Amazon: $ 10

Поскольку цена Buy Box ниже первоначальной цены, продукт указан по первоначальной цене.

Окончательная цена после применения правила: 15 $

Товар 2:

Цена: $ 5

Цена

Buy Box на Amazon: $ 10

Поскольку цена Buy Box выше первоначальной цены, товар указан по цене Buy Box.

Окончательная цена после применения правила: $ 10

Цена Buy Box с минимальной ценой Источник = Цена и снижение цены на 20%

Продукт 1:

Цена: $ 20

Расчетная минимальная цена: $ 16

Цена

Buy Box на Amazon: $ 15

Поскольку цена Buy Box меньше расчетной минимальной цены, продукт указан с расчетной минимальной ценой.

Окончательная цена после применения правила: 16 $

Товар 2:

Цена: $ 15

Расчетная минимальная цена: $ 12

Цена

Buy Box на Amazon: $ 15

Поскольку цена Buy Box выше, чем Расчетная минимальная цена, продукт указан с ценой Buy Box.

Окончательная цена после применения правила: 15 $

Товар 3:

Цена: $ 17

Расчетная минимальная цена: 13 $.60

Цена

Buy Box на Amazon: $ 15

Поскольку цена Buy Box выше, чем Расчетная минимальная цена, продукт указан с ценой Buy Box.

Окончательная цена после применения правила: 15 $

Самая низкая цена со всеми ценами конкурентов и использованием всех условий конкурентов

Продукт 1:

Цена: $ 10

Состояние: Новое

Поскольку самая низкая цена конкурента для Нового состояния составляет 15 долларов США, продукт указан по цене 15 долларов США.

Окончательная цена после применения правила: 15 $

Товар 2:

Цена: $ 10

Состояние: Б / у; Приемлемо

Поскольку самая низкая цена у конкурентов в состоянии «Б / У» составляет 13 долларов США, продукт указан по цене 13 долларов США.

Окончательная цена после применения правила: $ 13

Интеллектуальное правило переоценки, сочетающее максимальную цену, конвертацию валюты и НДС

Максимальная цена на европейском рынке (НДС): 10 долларов США x 1,25 = 12,50 долларов США

При достижении максимальной цены на европейском рынке (НДС) НДС рассчитывается и добавляется.

Окончательная цена с учетом НДС: 12,50 долларов США x (1,1) = 13,75 долларов США

Объединение нескольких правил ценообразования, максимальной цены, конвертации валюты и НДС

Интеллектуальное правило ценообразования (из предыдущего примера):

Максимальная цена на европейском рынке (НДС): 10 долларов США x 1,25 = 12,50 долларов США

Окончательная цена с учетом НДС: 12,50 долларов США x (1,1) = 13,75 долларов США

Стандартное правило ценообразования:

Когда достигается максимальная цена, стандартное правило ценообразования применяется поверх интеллектуального правила ценообразования.

Окончательная цена после применения стандартного правила ценообразования: 13,75 долларов США + 5 долларов США = 18,75 долларов США

Корректировка цены

В этом примере мы решили определить нашу наиболее конкурентоспособную цену, посмотрев на самую низкую цену нашего конкурента Amazon, который также имеет 95% положительных отзывов и минимальное количество отзывов о продавце 1000.

Пример корректировки цены

После выполнения этого поиска на основе этих параметров наша конкурентоспособная цена возвращается на уровне 25 долларов.

Отсюда у нас есть три различных варианта Price Action, основанные на этой самой низкой цене.

Минимальная цена

Расчет минимальной цены = Источник минимальной цены [5 долларов США] * Сумма минимальной корректировки [5%] = 5 долларов США.25

Это означает, что, когда применяется наше интеллектуальное правило ценообразования, оно не позволяет листинговой цене быть ниже 5,25 доллара США для этого конкретного продукта, когда его стоимость составляет 5 долларов США.

Правило суммы и правило решения проблем с продуктом

В этот раздел включены основные примеры и проблемы, которые подготовят вас к следующему разделу решения проблем.

Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать один из 333 автобусных маршрутов или 222 поезда, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго.Оттуда он может выбрать один из двух автобусных маршрутов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки.

На этот раз он должен купить концессию на автобус (которая позволит ему ездить только на автобусах) или концессию на поезд (которая позволит ему ездить только на поездах). Если у него есть деньги только на 111 из этих концессий, сколько у него способов добраться до Милуоки?

---

Если Кальвин покупает автобусную остановку, у него есть 3 × 2 = 6 3 \ times 2 = 63 × 2 = 6 способов добраться до Милуоки.(Правило продукта)
Если Кальвин покупает поезд в концессию, у него есть 2 × 3 = 6 2 \ times3 = 62 × 3 = 6 способов добраться до Милуоки. (Правило продукта)
Следовательно, у него есть 6 + 6 = 12 6 + 6 = 126 + 6 = 12 способов добраться до Милуоки в общей сложности. (Правило суммы) □ _ \ square □

Шесть друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре. Если доступно только шесть мест, сколькими способами мы можем усадить этих друзей?

---

Для первого места у нас есть выбор из 6 друзей.Посадив первого человека на второе место, мы можем выбрать любого из оставшихся 5 друзей. После того, как мы рассадим второго человека на третье место, у нас есть выбор из оставшихся 4 друзей. После того, как мы рассадим третьего человека на четвертое место, мы можем выбрать любого из оставшихся 3 друзей. Посадив четвертого человека на пятое место, мы можем выбрать любого из оставшихся 2 друзей. После того, как мы рассадим пятого человека на шестое место, у нас будет выбор только из одного оставшегося друга.b2a5b, где a aa и b bb — целые числа, удовлетворяющие 0≤a≤4,0≤b≤3 0 \ leq a \ leq 4, 0 \ leq b \ leq 30≤a≤4,0≤b≤3. Есть 5 возможностей для a aa и 4 возможности для b bb, и, следовательно, всего имеется 5 × 4 = 20 5 \ times 4 = 205 × 4 = 20 (правило произведения) положительных делителей 2000. □ _ \ квадрат □

Следующие ниже задачи познакомят вас с двумя правилами, описанными выше.

Сколько параллелограммов образуется, когда набор из 5 параллельных прямых пересекает набор из 4 параллельных прямых?

Детали и предположения

• Все параллельные прямые растянуты до бесконечности.

Отправьте свой ответ

Если вы посчитаете способы подъема на 3 ступени, вы обнаружите, что есть 4 способа подъема на 3 ступени.Представьте себе, что ноги человека настолько длинные, что могут подниматься по 11 ступеням за раз, при этом человеку разрешается подниматься только вверх.

Тогда найдите количество путей, по которым вы можете подняться на 11 ступенек?

Бонус : Обобщите это на nnn шагов.

Отправьте свой ответ

Трое детей, каждый в сопровождении опекуна, поступают в школу.Princi хочет опросить всех 6 человек одного за другим при одном условии, что ни один ребенок не будет опрошен до его опекуна. Какими способами это можно сделать?

Правило 72 Определение

Что такое правило 72?

Правило 72 — это быстрая и полезная формула, которая широко используется для оценки количества лет, необходимых для удвоения вложенных денег при заданной годовой норме прибыли.

В то время как калькуляторы и программы для работы с электронными таблицами, такие как Microsoft Excel, имеют встроенные функции для точного расчета точного времени, необходимого для удвоения вложенных денег, Правило 72 пригодится для мысленных вычислений, позволяющих быстро оценить приблизительное значение. В качестве альтернативы он может рассчитать годовую норму совокупного дохода от инвестиций с учетом того, сколько лет потребуется, чтобы удвоить инвестиции.

Ключевые выводы

• Правило 72 — это упрощенная формула, которая рассчитывает, сколько времени потребуется, чтобы инвестиции увеличились вдвое, на основе нормы прибыли.
• Правило 72 применяется к сложным процентным ставкам и достаточно точно для процентных ставок, которые находятся в диапазоне от 6% до 10%.
• Правило 72 может применяться ко всему, что растет экспоненциально, например, к ВВП или инфляции; он также может указывать на долгосрочное влияние ежегодных сборов на рост инвестиций.

Формула правила 72

Взаимодействие с другими людьми

Лет, чтобы удвоиться

знак равно

7

2

Процентная ставка

где:

Процентная ставка

знак равно

Норма возврата инвестиций

\ begin {align} & \ text {Years to Double} = \ frac {72} {\ text {Процентная ставка}} \\ & \ textbf {где:} \\ & \ text {Процентная ставка} = \ text {Ставка рентабельности инвестиций} \\ \ end {выравнивается}
Количество лет до удвоения = процентная ставка72, где: процентная ставка = норма прибыли на инвестиции

Как использовать правило 72

Правило 72 может применяться ко всему, что растет со сложной скоростью, например к населению, макроэкономическим показателям, расходам или займам.Если валовой внутренний продукт (ВВП) будет расти на 4% в год, ожидается, что экономика удвоится через 72/4 = 18 лет.

Что касается платы, которая съедает прибыль от инвестиций, Правило 72 может использоваться для демонстрации долгосрочных эффектов этих затрат. Паевой инвестиционный фонд, взимающий 3% ежегодных сборов за расходы, снизит основную сумму инвестиций до половины примерно за 24 года. Заемщик, который платит 12% годовых по своей кредитной карте (или любой другой форме кредита, которая взимает сложные проценты), удвоит сумму своей задолженности через шесть лет.

Это правило также можно использовать для определения количества времени, за которое стоимость денег уменьшится вдвое из-за инфляции. Если инфляция составляет 6%, то данная покупательная способность денег будет стоить половину примерно через 12 лет (72/6 = 12). Если инфляция снизится с 6% до 4%, ожидается, что инвестиция потеряет половину своей стоимости через 18 лет вместо 12 лет.

Кроме того, Правило 72 может применяться ко всем видам продолжительности при условии, что ставка доходности рассчитывается ежегодно.Если процентная ставка за квартал составляет 4% (но проценты начисляются только ежегодно), то для удвоения основной суммы потребуется (72/4) = 18 кварталов или 4,5 года. Если население страны увеличивается со скоростью 1% в месяц, оно удвоится через 72 месяца или шесть лет.

Правило 72 часто задаваемых вопросов

Кто придумал правило 72?

Люди любят деньги, и им нравится, когда они растут еще больше. Приблизительная оценка того, сколько времени потребуется, чтобы удвоить ваши деньги, также помогает среднему Джо или Джейн сравнивать различные варианты инвестирования.Однако математические расчеты, которые прогнозируют оценку инвестиций, могут быть сложными для обычных людей без помощи таблиц журнала или калькулятора, особенно тех, которые связаны со сложными процентами.

Правило 72 предлагает полезный ярлык. Это упрощенная версия логарифмических вычислений, включающая сложные функции, такие как натуральный логарифм чисел. Правило применяется к экспоненциальному росту инвестиций на основе комбинированной нормы прибыли.

Как вычислить правило 72?

Вот как работает Правило 72.Вы берете число 72 и делите его на прогнозируемую годовую доходность инвестиций. Результат — количество лет, которое примерно понадобится, чтобы ваши деньги удвоились.

Например, если инвестиционная схема обещает 8% годовой совокупной доходности, потребуется примерно девять лет (72/8 = 9), чтобы удвоить вложенные деньги. Обратите внимание, что совокупная годовая доходность в 8% включается в это уравнение как 8, а не 0,08, что дает результат за девять лет (а не 900).

Если на удвоение инвестиции в размере 1000 долларов потребуется девять лет, то вложения вырастут до 2000 долларов в год 9, до 4000 долларов в год 18, до 8000 долларов в год 27 и так далее.

Насколько точно правило 72?

Формула Правила 72 обеспечивает достаточно точную, но приблизительную временную шкалу, отражающую тот факт, что это упрощение более сложного логарифмического уравнения. Чтобы получить точное время удвоения, вам нужно будет произвести весь расчет.

Точная формула для расчета точного времени удвоения для инвестиций, приносящих сложную процентную ставку r% за период:

Взаимодействие с другими людьми

Т

знак равно

пер

(

2

)

пер

(

1

+

р

1

0

0

)

≃

7

2

р

где:

Т

знак равно

Время удвоить

пер

знак равно

Функция натурального журнала

р

знак равно

Сложная процентная ставка за период

≃

знак равно

Примерно равно

\ begin {align} & T = \ frac {\ ln (2)} {\ ln \ left (1 + \ frac {r} {100} \ right)} \ simeq \ frac {72} {r} \\ & \ textbf {where:} \\ & T = \ text {Время удвоения} \\ & \ ln = \ text {Функция естественного журнала} \\ & r = \ text {Сложная процентная ставка за период} \\ & \ simeq = \ text {Приблизительно равно} \\ \ end {выровнено}
T = ln (1 + 100r) ln (2) ≃r72 где: T = время удвоения ln = функция натурального логарифма r = сложная процентная ставка за период = приблизительно равна

Чтобы точно узнать, сколько времени потребуется, чтобы удвоить инвестицию, приносящую 8% годовых, вы должны использовать следующее уравнение:

• T = ln (2) / ln (1 + (8/100)) = 9.006 лет

Как видите, этот результат очень близок к приблизительному значению, полученному при (72/8) = 9 лет.

В чем разница между правилом 72 и правилом 73?

Правило 72 в основном работает с процентными ставками или ставками доходности, которые находятся в диапазоне от 6% до 10%. При работе со ставками вне этого диапазона правило можно изменить, добавляя или вычитая 1 из 72 на каждые 3 пункта, когда процентная ставка отклоняется от 8% -ного порога.Например, ставка 11% годовых на 3 процентных пункта выше 8%.

Следовательно, добавление 1 (для 3 баллов выше 8%) к 72 приводит к использованию правила 73 для большей точности. Для нормы доходности 14% это будет правило 74 (прибавление 2 для увеличения на 6 процентных пунктов), а для нормы доходности 5% это будет означать уменьшение 1 (на 3 процентных пункта ниже), что приведет к Правило 71.

Например, предположим, что у вас очень привлекательная инвестиция с доходностью 22%.Основное правило 72 гласит, что первоначальные инвестиции удвоятся через 3,27 года. Однако, поскольку (22-8) равно 14, а (14 ÷ 3) равно 4,67 ≈ 5, скорректированное правило должно использовать 72 + 5 = 77 в качестве числителя. Это дает значение 3,5 года, означающее, что вам придется подождать еще один квартал, чтобы удвоить свои деньги по сравнению с результатом 3,27 года, полученным с помощью основного правила 72. Период, заданный логарифмическим уравнением, равен 3,49, поэтому результат, полученный по скорректированному правилу, более точен.

Для ежедневного или непрерывного компаундирования используйте 69.3 в числителе дает более точный результат. Некоторые люди устанавливают это значение до 69 или 70 для облегчения вычислений.

Правило 72 применяется к случаям сложных процентов, а не к случаям простых процентов.

Процентная ставка, взимаемая по инвестициям или ссуде, в целом делится на две категории: простые и комбинированные.

• Простые проценты рассчитываются путем умножения дневной процентной ставки на основную сумму и количество дней, прошедших между выплатами.Он используется для расчета процентов по инвестициям, когда накопленные проценты не добавляются к основной сумме долга.
• Для сложных процентов проценты начисляются на первоначальную основную сумму, а также на накопленные проценты за предыдущие периоды депозита. Сложные проценты можно рассматривать как «проценты по процентам», и они заставят вложенные деньги расти до более высокой суммы более быстрыми темпами по сравнению с простыми процентами, которые рассчитываются только на основную сумму.

Тележка для покупок Правило цены: бесплатная доставка только для определенного количества одного и того же товара?

Совместимость

Вот список известных версий Magento и методов доставки, с которыми работает этот метод, основанный на личном успехе и отзывах сообщества. Прокомментируйте, если вы можете подтвердить другие способы доставки или версии для добавления в этот список.

1.4.x

1.5.x

1.6.x

1.7.x

1.8.x

Добавить бесплатную доставку к товарам

Первое, что нам нужно сделать, это создать атрибут продукта, дающий нам возможность разрешить бесплатную доставку наших продуктов. Мне проще сделать это раскрывающимся списком, показанным ниже.

Вот цель:

1. Перейдите в каталог > Атрибуты > Управление атрибутами

2. Щелкните добавить новый атрибут

3.Заполните поля, как показано на рисунке ниже. Вы можете выбрать название своего магазина для Scope , если применимо. Вы также можете назвать Код атрибута как-нибудь иначе, но не усложняйте его, поскольку мы будем использовать это поле позже.

4. Обязательно выберите Да для следующих вариантов, чтобы сделать бесплатную доставку видимой во внешнем интерфейсе, и используйте атрибут Условия правила цены .

5. Щелкните Manage Label / Options на левой боковой панели.Поле под Admin — это текст, видимый администраторам в бэкэнде Magento (лучше всего называть это бесплатной доставкой). Ниже нажмите , добавьте опцию , чтобы сделать наш выбор в раскрывающемся списке. Нам нужно сделать только один выбор (Да), который включит бесплатную доставку для определенного продукта. Поле администратора здесь будет выбором, видимым в раскрывающемся меню. Поле под названием вашего магазина — это текст, который увидят внешние пользователи. Позиция должна быть 1. Не устанавливайте это значение по умолчанию , чтобы избежать автоматического присвоения всем продуктам значения «Да» (это было бы плохо).

6. Наш атрибут создан, но нам нужно назначить этот новый атрибут для набора атрибутов, чтобы фактически использовать его при создании или редактировании наших продуктов. Перейти в каталог > Атрибуты > Управление наборами атрибутов

7. Если вам повезло, вы использовали атрибуты по умолчанию, установленные для ваших товаров. Если вам, как и мне, не повезло, у вас уже сделано немало наборов. Чтобы эта опция появилась, вы должны выбрать каждый набор атрибутов и выполнить шаг # 8 для каждого .

8. После нажатия на набор атрибутов вы увидите созданный нами атрибут бесплатной доставки в столбце Неназначенные атрибуты справа. Щелкните + перетащите атрибут в один из разделов слева. Вы можете разместить этот элемент где угодно, и это определит, где он будет доступен в области «Управление продуктами». Как правило, здесь имеет смысл раздел «Общие» или «Цены». Не забудьте сделать это для каждого набора атрибутов, который должен быть доступен

9.Теперь вы должны быть в состоянии перейти в каталог > Управление продуктами и выбрать продукт из списка. Перейдите в раздел, в который вы перетащили атрибут бесплатной доставки (в моем случае — «Общие»), и прокрутите вниз, чтобы найти наш новый атрибут бесплатной доставки.

Прямо сейчас: Вот что у нас есть. Мы только что добавили возможность разрешить бесплатную доставку товаров. Если оставить поле пустым, это ничего не даст, но выбор «Да» в конечном итоге разрешит бесплатную доставку для этого конкретного продукта.Однако бесплатная доставка пока не распространяется. Читайте дальше, чтобы узнать, как заставить Magento назначать бесплатную доставку для продуктов, для которых этому атрибуту присвоено значение Да.

Сделайте правило цены бесплатной доставки

Интерфейс настроен, но теперь нужно заставить его работать правильно.

1. Нажмите Акции > Правила ценообразования для корзины

2. Нажмите Добавить новое правило

3. Дайте правилу имя и описание (только для справки администратора).Установите статус Активно . Обязательно оставьте поле «на текущий момент» пустым, если вы не хотите указать дату истечения срока для бесплатной доставки (примечание: если вы установите дату истечения срока, она будет распространяться на весь сайт, а не на продукт).

4. Игнорируйте вкладку «Условия». Вместо этого щелкните Действия на левой боковой панели.

5. Совместите свои поля с полями на изображении ниже.

Применить: процент скидки на цену товара

Размер скидки: 0

Скидка за максимальное количество: 0

Шаг скидки: 0

Бесплатная доставка: Только для подходящих товаров (очень важно)

Остановить дальнейшую обработку правил: Нет

Для правил оставьте значение по умолчанию «если ВСЕ эти условия ИСТИННЫ».Щелкните знак плюса, чтобы добавить условие. Выберите Бесплатная доставка из списка. Щелкните эллипсы и выберите Да в раскрывающемся списке (примечание: если Бесплатная доставка отсутствует в этом списке, вернитесь к шагу 4 в последнем разделе и убедитесь, что Использовать для условий правила цены установлено на Да).

6. Сохраните правило

Прямо сейчас: Мы добавили бесплатную доставку для наших продуктов и создали условия, необходимые для применения правила. Последнее, что нам нужно сделать, это включить основную опцию бесплатной доставки Magento… вроде.

Включить бесплатную доставку

Как мы уже знаем, основная опция бесплатной доставки Magento работает только для минимальной суммы заказа; это не то, что нам нужно. Однако нам нужно активировать основную функцию бесплатной доставки Magento, чтобы она знала, как действовать в соответствии с нашим правилом.

1. Щелкните Система > Конфигурация

2. Найдите Продажи > Способы доставки на левой боковой панели.

3. Следующий шаг будет зависеть от вашего способа доставки.Я расскажу о внешних и внутренних калькуляторах.

Внутренние калькуляторы

1. Если вы не используете внешние калькуляторы, выберите «Бесплатная доставка» из этого списка.

2. Установите для параметра Включено значение Да. Вот трюк : установите для минимальной суммы заказа какое-нибудь возмутительное число, например 9999999999,99. Это позволяет нам включить бесплатную доставку, не беспокоясь о ложных срабатываниях.

Через поставщика услуг доставки (UPS, USPS, FedEx, DHL)

1. В моем случае я использую UPS в качестве калькулятора доставки.Другие поставщики предлагают аналогичные поля, так что вы сможете следить за ними.

2. Заполните все соответствующие поля, такие как URL-адрес шлюза, разрешенные методы и т. Д. Эти данные можно найти на веб-сайте вашего поставщика услуг доставки. (Эта информация должна быть верной для Magento, чтобы получить доступ к стороннему калькулятору. Кроме того, ваш аккаунт доставки должен быть в рабочем режиме)

3. Нас больше всего интересует бесплатный метод. В моем случае я хочу, чтобы мои продукты получали бесплатную наземную доставку.Бесплатная доставка при минимальной сумме заказа отключена. Я все еще на всякий случай установил минимальную сумму заказа на какое-то возмутительное число, например 9999999999,99. Это позволяет нам включить бесплатную доставку, не беспокоясь о ложных срабатываниях.

4. Включите провайдера.

5. Протестируйте правило бесплатной доставки, отредактировав продукт, выберите «Да» для бесплатной доставки, добавьте его в корзину и запустите расчет стоимости доставки и налогов. Я выбрал бесплатную наземную доставку, поэтому это отражено в генераторе цен.

Прямо сейчас : На этом этапе вы можете создать или отредактировать продукт, выбрать Да в раскрывающемся списке Бесплатная доставка, и этот продукт получит бесплатную доставку. Если у пользователей есть товар с бесплатной доставкой или без нее, он будет применен только к тем, для которых включена бесплатная доставка (при условии, что вы выполнили шаг 5 в первом разделе, выбрав Для соответствующих товаров только ). Вы можете назвать это завершением здесь или прочитать, как сообщить покупателям, для каких товаров включена бесплатная доставка.

Показать диалог о бесплатной доставке для клиентов во внешнем интерфейсе

Вот цель :

1. Найдите файл шаблона, в который вы хотите добавить текст «Бесплатная доставка», например, страницу продукта. Поиск определенных файлов шаблонов выходит за рамки этого руководства.

2. Предположим, что вы назвали свое правило тем же кодом атрибута, который я назначил (free_shipping_discount) на шаге 3 первого раздела, вставьте следующий код везде, где вы хотите, чтобы отображался текст бесплатной доставки.Первая строка проверяет, есть ли у товара бесплатная доставка, вторая строка отображает текст, а затем завершает оператор if.

просмотреть исходный текст? 1 2 if ($ _product-> getFreeShippingDiscount ()): 3 echo ». $ _ Product-> getAttributeText (‘free_shipping_discount’). »; 4 endif?>

3. Обратите внимание, что я поместил текст в тег p с классом. Вы можете изменить это как хотите. Это позволяет мне стилизовать текст и назначить фоновое изображение для завершения эффекта.

4. Рекомендуется также включать этот код на страницу корзины покупок, поскольку бесплатная доставка распространяется только на определенные товары.