При каком значении параметра а уравнение имеет единственный корень: При каком значении параметра а уравнение ах. Уравнения с параметром

Содержание

Задачи с параметром

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение

(a — 1)x2 + 2x + a — 1 = 0

имеет ровно один корень? 

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a ≠ 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a

4a2 — 8a = 0,

откуда a = 0 или a = 2. 

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a = {0; 1; 2}. 


2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение

x2+4ax+8a+3 = 0.

2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда


a < 1 –

√7


2

или    a > 1 +

√7


2

2. Ответ:


a є (-∞; 1 – √7


2

) И (1 + √7


2

;+∞).

3. Задача.
Известно, что

f2(x) = 6x-x2-6.

а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку? 

3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом

График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа. 
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a ≠ 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a= 3. 


4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a ≥ 0 содержит отрезок [3;6]. 

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) ≥ 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем


|

|

|

  a ≤ 3,

f(3) = 9-9a ≥ 0,

 

|

|

|

  3 < a < 6,

D = 4a2+12a ≤ 0,

 

|

|

|

  a ≥ 6,

f(6) = 36-15a ≥ 0.

Решением первой системы является множество (-∞,1]. Вторая и третья система решений не имеют. 

4. Ответ: a є (-∞,1]. 


5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

имеет ровно два решения? 

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x — 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3. 

5. Ответ: 3. 


6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции

проходит через точку с координатами (-1;1).  

6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение

 

или, после очевидных преобразований, a-2 = |2-a|. Последнее уравнение равносильно неравенству a ≥ 2. 

6. Ответ: a є [2;+∞). 


7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

больше чем 12? 

7. Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a ≥ 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a ≥ 0, являются числа a> 2. 

7. Ответ: a > 2.

Летняя школа для учителей математики. Система задач с параметрами в учебно-методическом комплексе А. Г. Мерзляка

5 класс


Готовить учеников к задачам с параметрами можно уже с пятого класса. В учебнике А. Г. Мерзляка реализована пропедевтика по данной теме.


Примеры заданий


№275. Какое число надо поставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (х + а) – 7 = 42 было число 22;

2) (ах) + 4 = 15 было число 3?

№276. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (х – 7) + а = 23 было число 9;

2) (11 + х) + 101 = а было число 5?

6 класс


Ученикам предлагаются полноценные задания с параметрами, однако подробный разбор решений еще не представлен. От школьников требуется не исследовательский подход, а эвристическая догадка.


Примеры заданий


№1171. При каких значениях а уравнение не имеет корней:

1) ах = 1;

2) (а – 2) х = 3?

№1172. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения является целым числом:

1) ах = — 14;

2) (а – 2) х = 12.

№ 1173. Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения является натуральным числом:

1) mx = 20;

2) (m + 3) x = — 18


Математика. 6 класс. Учебник


Учебник предназначен для изучения математики в 6 классе общеобразовательных учреждений. В нём предусмотрены уровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к математике.

Купить

7 класс


Уже со второго параграфа («Линейное уравнение с одной переменной») школьники осваивают исследовательский подход к решению заданий с параметрами. В учебнике показаны различные ситуации и способы действий. Учеников подводят к интерпретации полученных результатов и соответствующему анализу. В конце учебного года снова идет обращение к параметрам — в теме «Система линейных уравнений с двумя переменными».


Примеры заданий


№ 61. При каком значении а уравнение:

1) ах = 6;

2) (3 – а) х = 4;

3) (а – 2) х = а + 2

№ 63. При каких значениях а уравнение:

1) (а – 5) х = 6;

2) (а + 7) х = а + 7

№ 65. Решите уравнение:

(m + 8) x = m + 8.

№ 67. В равенстве 2 (1,5х – 0,5) = 7х + * замените звездочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:

1) не имело корней;

2) имело бесконечно много корней;

3) имело один корень.

8 класс


На данном этапе большинство тем уже имеет то или иное отношение к задачам с параметрами. Например, «Квадратные корни»: при обосновании того, почему квадратное уравнение x2=4 имеет два корня, авторы предлагают наглядный графический метод. Ученикам показывается, каким образом в дальнейшем они будут строить свои рассуждения при графическом способе решения задач. Чтобы школьники не просто познакомились с терминологией, а отработали такой подход, задания включены в учебник систематически. Так начинается подготовка к ЕГЭ — и это базовый уровень!


Примеры заданий


№ 649. При каком значении а уравнение (а — 2 ) х2 + (2а — 1) х + а2 — 4 = 0 является:

1) линейным;

2) приведенным квадратом;

3) неполным неприведенным квадратом;

4) неполным приведенным квадратом?


№ 650. Определите, при каком значении а один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:

1) х2 + ах + а – 4 = 0;

2) 4х2 + (а – 8) х + а2 + а = 0;

3) ах2 + (а + 3) х + а2 – 3а = 0.


№ 767. Для каждого значения а решите уравнение:

1) (а2а – 6) х = а2 – 9;

2) (а2 – 8а + 7) х = 2а2 – 13а – 7.


№ 768. Для каждого значения а решите уравнение (а2 + 7а – 8) х = а2 + 16а +64.


№ 796. Для каждого значения а решите уравнение:

1)

2)

3)

4)


№ 797. При каких значениях а уравнение имеет единственный корень?


Алгебра. 8 класс. Учебник


Учебник предназначен для изучения алгебры в 8 классе общеобразовательных организаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к алгебре.

Купить

9 класс


Теперь параметр рассматривается в неравенствах и системах неравенств: от простого к сложному. Упражнения в учебнике А. Г. Мерзляка составлены таким образом, что они являются готовыми тренажерами для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.


Примеры заданий


№ 213. При каких значениях b множество решений системы неравенств


содержит ровно три целых числа?


№ 214. При каких значениях а наименьшим целым решением системы неравенств


является число 9?


№ 217. При каких значениях а корни уравнения х2 – (4а – 2) х + 3а2 – 4а + 1 = 0 принадлежат промежутку [-2; 8]?


№ 218. При каких значениях a один из корней уравнения 3х2 – (2а + 5) х + 2 + аа2 = 0 меньше -2, а другой – больше 3?

Задачи с параметром в углубленном курсе


В учебниках А. Г. Мерзляка углубленного уровня реализован фундаментальный подход к изучению темы. Дано непосредственное понятие «параметр», чего нет в курсе базового уровня. Подробно рассматривается графический метод, чтобы ученикам не составило труда работать с системой координат, где значение параметра откладывается по оси ординат.


Приведем примеры разбора уравнения.


9 класс. Тема «Квадратичная функция, ее график и свойства»


При каких значениях параметра а модуль разности корней уравнения х2 – 6х + 12 + а2 – 4а = 0 принимает наибольшее значение?


Решение


Преобразуем данное уравнение: (х – 3)2 + (а – 2)2 = 1.

Его графиком в системе координат ха является окружность.



Если прямая а = а0 пересекает окружность в точках А и В, то модуль разности корней уравнения равен длине отрезка АВ. Следовательно, надо найти такое положение прямой а = а0, при котором хорда АВ имеет наибольшую длину. Это условие выполняется тогда, когда хорда АВ является диаметром окружности. Отсюда а = 2.


Следует отметить, что новые учебники по математике два года проходили апробацию в российских школах и получили положительные отзывы. Перейдите на платформу LECTA и воспользуйтесь промокодом 5books, чтобы бесплатно скачать 5 любых электронных учебников. Кроме того, на LECTA к УМК А. Г. Мерзляка есть бесплатные поурочные разработки с презентациями (математика 5 класс, 6 класс, алгебра 7 класс, 9 класс, геометрия 7 класс). Линейке посвящены многие наши вебинары.


Что ещё почитать?

#ADVERTISING_INSERT#

Пятое занятие!

Назад

ЦЕЛЬ: Отработать задачи на определение знаков корней квадратного трехчлена с
использованием теоремы Виета для приведенных и не приведенных квадратных
уравнений.

Задание 4.1. При каких значениях параметра p оба корня уравнения отрицательны и различны?
Решение: I способ: Если корни квадратного уравнения существуют то D ≥ 0. Вычислим значение дискриминанта: D=. По теореме Виета .
Так как оба корня отрицательные их сумма будет принимать отрицательное значение, а произведение положительное значение и с учетом D ≥ 0 систему неравенств:
⇔ ⇔

II способ: Решим используя правила расположения корней квадратного трехчлена. Если оба корня отрицательны, то графически данное уравнение имеет вид:


Проанализировав условия, запишем систему неравенств ⇔ ⇔
Ответ: при уравнение имеет два отрицательных различных корня.

Задание 4.2. При каких значениях параметра a, корни уравнения симметричны относительно х=1?
Решение: Если — корни уравнения то по теореме Виета . Если корни симметричны относительно х=1, то 1 – середина отрезка запишем систему с тремя неизвестными: . Из I и III ⇔ .

Подставив в I и II получаем: ⇔

Решим второе уравнение: D = 12, тогда

II способ (более простой). Зная, что график квадратичной функции имеет ось симметрии , условие задачи равносильно системе

Корни уравнения вычислим, применив теорему Виета.
Ответ: при а= -4 корни симметричные относительно х=1.

Задание 4.3. При каких значениях параметра a, сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?
Решение: ⇔ . Если корни существуют, тогда по теореме
Виета по условию
получаем систему с тремя неизвестными
⇔ ⇔ .

Решаем последнее уравнение: D = 4; .

Возвращаясь к системе рассмотрим два случая:

1)          2) 


Очевидно, что решением первой системы является пара (0;1) и (1;0), решением второй системы (1;1).
Ответ: при а=; -1 сумма корней уравнения равна сумме квадратов этих корней.

Задание 4.4. каких значениях параметра a, разность корней уравнения равна их произведению?
Решение: Если квадратное уравнение имеет корни, то исходя из вопроса задачи и используя теорему Виета составим систему уравнений:
⇔ I+III получаем ⇔ ⇔ ⇔

Из второго уравнения системы а=2 подставляя в первое получаем
Ответ: при а = 2 разность корней уравнения равна их произведению.

Задание 4.5. При каких значениях параметра a уравнение имеет два положительных различных корня?

Решение:

I способ. Если уравнение имеет два различных корня, то а ≠ 0 и D>0. Вычислим значение дискриминанта: Так как корни положительные теорема Виета имеет вид:    Запишем систему, состоящую из трех неравенств:   ⇔  ⇔.

Ответ: при а ∈ (0;3) уравнение имеет два различных положительных корня.

II способ. (используя свойства расположения корней)

Так как параметр является коэффициентом при , ветви графика квадратичной функции могут быть направлены как вверх, так и вниз. По условию оба корня положительны, графически положение корней можно изобразить следующим образом:

1 случай (ветви вверх) равносилен системе:
⇒  ⇒  ⇒.

2 случай (ветви вниз) равносилен системе:
⇒  ⇒ ⇒

Ответ: при а ∈ (0; 3) уравнение имеет два различных положительных корня.

Задание 4.6. Найти все значения параметра k, при которых корни уравнения имеют различные знаки?

Решение: Если уравнение имеет два корня , то D>0 и k ≠ 0. Вычислим значение дискриминанта  при любых значениях k, то есть уравнение всегда имеет два корня. По условию корни различных знаков, следовательно их

произведение отрицательно. По теореме Виета  тогда имеет место неравенство:  ⇒

Ответ: при k ∈ (-2;0) уравнение имеет два корня разных знаков.

Задание 4.7.а) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет корни, определить знаки корней в зависимости от параметра.

Решение: Данное уравнение приведенное, квадратное и имеет корни, если D ≥ 0. Найдем значение дискриминанта . D ≥ 0 ⇔ .
Решая методом интервалов, получаем . Рассмотрим следующие возможные случаи в зависимости от параметра:

 1. D = 0.     а=0:           или           2. а=4: 
Единственный, отрицательный корень.              Единственный, положительный корень. 

2. D>0 существует два различных корня, для определения знаков воспользуемся теоремой Виета

— если оба корня положительны, то сумма и произведение корней положительны, составляем систему:

 ⇒  ⇒ ⇒ а > 4.

— если оба корня отрицательны, сумма корней отрицательна, произведение положительно, составляем систему:

 ⇒  ⇒  ⇒

— если корни разных знаков, то это равносильно условию: произведение корней отрицательно. Составляем систему:

 ⇒  ⇒  ⇒

если один из корней равен нулю, это равносильно, что произведение равно нулю.   По теореме Виета  ⇒ ⇒  ⇒
так как один из корней равен нулю, следовательно, второй корень равен  (-3). Значение  удовлетворяет условию D>0.

Ответ: уравнение имеет корни

а=0 один отрицательный корень

а=4 один положительный корень
        
а= один корень отрицательный, второй равен нулю

  два положительных корня

  два отрицательных корня
 два корня разных знаков.

Задание 4.7. б) При каких значениях параметра а, уравнение имеет корни, определить знаки корней в зависимости от параметра.

Решение: Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что параметр присутствует при переменной , то есть при определенном значении параметра уравнение может быть линейным, его тоже нужно проверить на наличие корней.

Если квадратное уравнение имеет корни, то D ≥ 0; a≠3/ Вычислим значение дискриминанта . D ≥ 0; а≠3 ⇔ ⇔ решаем методом интервалов:

Два корня существует, если

Рассмотрим следующие возможные случаи, в зависимости от параметра:

1.  D = 0, а =-2:
один положительный корень

D = 0, а= :
один положительный корень

2. Если а = 3 :  х = 1,5  Один положительный корень.

3. Если D>0, то существует два корня, для определения знаков воспользуемся теоремой Виета:

— оба корня положительные, что равносильно системе:

— оба корня отрицательные, что равносильно системе:

Совместных решений нет.

— оба корня разных знаков, что равносильно системе:

4. Один из корней равен нулю, что равносильно – произведение равно нулю.

 данное значение удовлетворяет условию существования корней D ≥ 0. Подставим данное значение параметра в равенство , выражающее сумму корней: . С учетом того, что один из корней равен нулю, второй корень равен  .

Ответ: уравнение имеет корни, если
а=   один положительный корень
два положительных корня
корни разных знаков
   один из корней положительный, второй равен нулю.

Задание 4.7. Для самостоятельной работы.

в) Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет корни. Определить знаки корней в зависимости от значений параметра.

Задание 4.8.* При каких значениях параметра а, сумма кубов корней уравнения будет наименьшей?

Решение: Уравнение имеет корни, если D ≥ 0. Вычислим значение дискриминанта . Так как D ≥ 0 ⇔  ⇔ Пусть  и корни уравнения, тогда по теореме Виета .Зададим функцию, выражающую сумму кубов через параметр а.

Исследуем данную функцию на наибольшее, наименьшее значение через производную  
Найдем критические точки производной .
 Решая последнее равенство через формулы корней квадратного уравнения находим . Оценим знаки производной:

По рисунку видно, что критические точки не попадают в условие D ≥ 0, следовательно функция на полуинтервале  сохраняет знак и является возрастающей, значит наименьшее значение  достигается при .

Задание 4.9.* При каких значениях параметра а, сумма кубов корней квадратного уравнения будет наибольшей и наименьшей?

Решение: Уравнение имеет корни, если D ≥ 0. Вычислим значение дискриминанта  D ≥ 0 ⇔ . Если корни уравнения, то потеореме Виета  Выразим сумму кубов через а, зададим функцию: Исследуем данную функцию на возрастание, убывание.  Критические точки производной а=-0,5. Определим знаки производной на интервалах:

Критическая точка принадлежит интервалу и при переходе через , меняет свой знак.

Найдем значение производной в критической точке и на концах отрезка: — наибольшее значение; — наименьшее значение.

Ответ: при а= 4 сумма кубов корней будет наименьшей;
             при а = — 1 сумма кубов корней будет наибольшей.

Задание 4.10.* Доказать, что если a, b, c – длины сторон треугольника, то уравнение не имеет корней.

Решение: Квадратное уравнение не имеет корней, если дискриминант принимает отрицательное значение. Вычислим дискриминант . Так как  а, b ,с – длины сторон треугольника, то, следовательно D < 0 при любых значениях параметра, таким образом уравнение корней не имеет, что и требовалось доказать.

Задание 4.11.* При каких значениях параметра а, уравнение имеет корни?

Решение: Данное уравнение рационально решать графически, так как правая и левая части разные по качеству функции. Для построения графиков упростим левую часть уравнения:

Первоначальное уравнение равносильно ⇔ Построим графики функций  Для удобства построения первого графика понизим степень тригонометрической функции: Графиком данной функции является волна косинусоиды, с периодом , отображенная симметрично относительно сои 0х, со смещением вверх на 1 вдоль оси 0у. Графиком функции — является прямая, параллельная оси 0х. Построим графики функций в одной системе координат:

Пунктирной линией показано расположение прямой , очевидно, что уравнение имеет корни, если  ⇔

Ответ: уравнение имеет корни, если

Задание 4.12.* При каких значениях параметра а, корень уравнения единственный? Найти корень.

Решение: Уравнение ; при х ≠ — 4.

Построим графическое решение данного уравнения. Рассмотрим функцию — графиком является лежачая полу парабола, вершина (-2; 0). Функция- графиком является парабола, ветви вверх, вершина (-2; а-4). Строим:

По графику видно, что единственный корень есть в двух случаях I и III. Для первого (I) Для случая (III)  точки касания нельзя определить однозначно, поэтому решим данное уравнение аналитически.

    пусть , а 4-а=b, тогда уравнение в последней записи системы примет вид:  Рассмотрим функцию  исследуем ее на наибольшее и наименьшее значение, найдем экстремумы:  
определим знаки производной и поведение функции:  

Функция  имеет один экстремум это точка min. Поэтому, чтобы уравнение  имело единственное решение,  должно выполнятся условие:   Получаем: так как ⇔ 

Ответ: 1) уравнение имеет один корень, если  и а<4;
              2) при ;    

Назад

Найти действительные значения параметра а. Уравнения с параметром. Квадратные уравнения с параметром

1. Задача.

При каких значениях параметра a
уравнение
(a
— 1)x
2 + 2x
+ a
— 1 = 0
имеет ровно один корень?

1. Решение.

При a
= 1 уравнение имеет вид
2x
= 0 и, очевидно, имеет единственный корень
x
= 0. Если a

1, то данное уравнение является квадратным и
имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
нулю, получаем уравнение относительно параметра a

4a
2 — 8a
= 0,
откуда a
= 0 или a
= 2.

1. Ответ:
уравнение имеет единственный корень при a
О
{0; 1; 2}.

2. Задача.

Найти все значения параметра a
, при
которых имеет два различных корня уравнение
x
2 +4ax
+8a
+3 = 0.

2. Решение.

Уравнение x
2 +4ax
+8a
+3 = 0 имеет два
различных корня тогда и только тогда, когда D
=
16a
2 -4(8a
+3) > 0. Получаем (после сокращения
на общий множитель 4) 4a
2 -8a
-3 > 0,
откуда

2. Ответ:

a
О
(-Ґ
; 1 –
Ц
7 2
) И
(1 +
Ц
7 2
; Ґ
).

3. Задача.

Известно, что

f
2 (x
) = 6x
x
2 -6.

а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?

3. Решение.

3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.

3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c

(a

0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
a
= 6x
x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.

4. Задача.

Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .

4. Решение.

Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем

имеет ровно два решения?

5. Решение.

Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
— 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.2 + bх + с = 0,\] где \ — переменная, \[а, b, с\] — параметр.

Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом
пункте.

Допустим, дано такое уравнение:

\[\mid 6 — x \mid = a.\]

Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\]

По правилу модуля \ выразим \

Ответ: \ где \

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

К задачам с параметром
можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а)
в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б)
требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2)
.

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

{-3x + 1, при x

y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

{3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3
хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4)
.

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

Власов Н.Д. 1


1МБОУ СОШ №5

Шкулепо В.Н. 1


1МБОУ СОШ №5


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение


Я считаю, что данная тема является актуальной, потому что данный раздел либо не включен в образовательную программу средней школы, либо ему уделяется очень мало внимания. Однако задачи с параметром встречаются почти во всех вариантах ЕГЭ, а именно во второй части, в задании 18. И лишь 2-3% учащихся решают их верно, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметром, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.



Я выбрал данную тему для исследования, так как задачи с параметром играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, и именно эти задачи представляют для учащихся и абитуриентов наибольшую сложность.



Цель работы:



Систематизировать знания по данной теме, поэтапно разобрать каждый метод решения задач с параметром и выбрать самый рациональный.



Задачи работы:



1. Проанализировать литературу и обобщить знания по данной теме.



2. Рассмотреть теорию, связанную с решением задач с параметрами.



3. Освоить методы решения заданий с параметром и выявить наиболее рациональный и удобный.



4. Сформулировать выводы и умозаключения по проделанной работе.



Объект исследования: Уравнения и неравенства с параметром.



Основная часть исследования



Понятие параметра:



Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.



Решить уравнение или неравенство с параметром – значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра.



Основной принцип решения уравнений (неравенств) с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение (неравенство) решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению (неравенству) состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения (неравенства).



В отношении уравнений (неравенств) с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи.



1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения (неравенства).



2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным требованиям.



Например, при каком значении параметра уравнение(неравенство): не имеет корней(решений), имеет 2 различных корня, имеет более 3-х корней(решений), имеет единственный(-ое) корень(решение) и так далее.



Алгебраический метод



Первый метод алгебраический. Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.



Пример 1: Найдите все значения параметра а, при которых уравнение



2cos(2x)-4аcos(x)+ а2+2=0 не имеет решений.



Решение: Проведем простейшие преобразования:



2cos(2x)-4аcos(x)+а2+2=0,



2(2cos2(х)-1)-4аcos(x)+а2+2=0,



4cos2(x) — 4acos(x)+а2 =0,



(2cos(x)-a )2=0,



сos(x)=a/2



Данное уравнение не имеет решений, если |a/2 |>1, т.к |сos (x)| ≤ 1



a>2, a0 имеет хотя бы одно решение?



Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при x2:



−x2+(a+2)x−8a−1>0⇔x2−(a+2)x+8a+10. Квадратный трехчлен a2−28a имеет два корня: a1=0, a2=28. Поэтому неравенству a2−28a>0 удовлетворяют промежутки a∈(−∞;0)∪(28;+∞).



Ответ: a∈(−∞;0)∪(28;+∞).



Графический метод



Графический способ удобно использовать, когда в уравнении или неравенстве требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.



При­мер 1: Найти число кор­ней урав­не­ния в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ра а:



Пер­вым дей­стви­ем необ­хо­ди­мо по­стро­ить гра­фик функ­ции сто­я­щей в левой части. По­сколь­ку при­сут­ству­ет мо­дуль, сна­ча­ла стро­им гра­фик под­мо­дуль­ной функ­ции: . Это па­ра­бо­ла, ветви на­прав­ле­ны вверх, корни равны: , от­сю­да можно найти ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны: . После того, как гра­фик дан­ной функ­ции по­стро­ен, легко по­стро­ить гра­фик функ­ции с мо­ду­лем: , для этого все от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния функ­ции зер­каль­но отоб­ра­жа­ют­ся от­но­си­тель­но оси х. Далее необ­хо­ди­мо рас­сечь гра­фик се­мей­ством пря­мых , найти точки пе­ре­се­че­ния и вы­пи­сать ответ.



Глядя на гра­фик, вы­пи­сы­ва­ем Ответ: при ре­ше­ний нет; при два ре­ше­ния; при че­ты­ре ре­ше­ния; при три ре­ше­ния.



Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение



3x4+4x3-12x2 = a имеет не менее трех корней?



Решение: Построим график данной функции f(x)= 3x4+4x3-12x2 и f(x)=0;



Возьмем производную из нашей функции:



f’(x)=12x3+12x2-24x=12x(x+2)(x1)



Решая неравенства 12x(x+2)(x-1) > 0 и 12x(x+2)(x-1) < 0,получаем, что



при xmin=-2 (точка min), xmax=0 (точка max), xmin=1(точка min)



f(-2)=-32



f(0)=0



f(1)=-5



Построим схематически график функции, учитывая точки экстремума:



График позволяет нам ответить на вопрос, поставленный в задаче:



Уравнение 3x4+4x3-12x2 = a имеет не менее трех корней, если



-5 ≤ a ≤ 0, а є [-5;0]



Ответ: а є [-5;0]



Решение с помощью производной



Чтобы найти все значения параметра t, при которых уравнение f(x)=g(t) разрешимо (имеет хотя бы одно решение), надо:



1) найти множество значений функции f(x), когда х пробегает область определения функции.



2) потребовать, чтобы значения функции g(t) менялись на этом множестве.



Например, если множество значений f(x) промежуток [A;B], то уравнение



f(x) = g(t) разрешимо для значений параметра t, удовлетворяющих неравенствам: A

Просмотров работы: 774

При каком значении параметра а уравнение x. Уравнения с параметром

Уравнение вида f
(x
; a
) = 0 называется уравнением
с переменной х
и параметром а
.

Решить уравнение с параметром а
– это
значит, для каждого значения а
найти значения
х
, удовлетворяющие этому уравнению.


Пример 1.
ах
= 0


Пример 2.
ах
= а


Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а
= 0, т.е. а
= 1, то х
0 = -2 корней
нет

Если 1 – а
0, т.е. а
1, то х
=


Пример 4.

(а
2 – 1) х
= 2а
2 + а
– 3
(а
– 1)(а
+ 1)х
= 2(а
– 1)(а
– 1,5)
(а
– 1)(а
+ 1)х
= (1а
– 3)(а
– 1)

Если а
= 1, то 0х
= 0
х
– любое действительное число

Если а
= -1, то 0х
= -2
Корней нет

Если а
1, а
-1, то х
= (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а

соответствует единственное значение х
.

Например:

если а
= 5, то х
= = ;

если а
= 0, то х
= 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах
= х
+ 3

2. 4 + ах
= 3х
– 1

3. а
= +


при а
= 1 корней нет.

при а
= 3 корней нет.

при а
= 1 х
– любое действительное число,
кроме х
= 1

при а
= -1, а
= 0 решений нет.

при а
= 0, а
= 2 решений нет.

при а
= -3, а
= 0, 5, а
= -2 решений нет

при а
= —с
, с
= 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1.
Решить уравнение

(а
– 1)х
2 = 2(2а
+ 1)х
+ 4а

+ 3 = 0

При а
= 1 6х
+ 7 = 0

В случае а
1 выделим
те значения параметра, при которых Д

обращается в нуль.

Д = (2(2а
+ 1)) 2 – 4(а
– 1)(4а
+ 30 = 16а
2
+ 16а
+ 4 – 4(4а
2 + 3а
– 4а
– 3) = 16а
2
+ 16а
+ 4 – 16а
2 + 4а
+ 12 = 20а
+ 16

20а
+ 16 = 0

20а
= -16




Если а
Д

Если а
> -4/5 и а
1,
то Д
> 0,

х
=

Если а
= 4/5, то Д
= 0,




Пример 2.
При каких значениях
параметра а уравнение


х 2 + 2(а
+ 1)х
+ 9а
– 5 = 0 имеет 2
различных отрицательных корня?


Д = 4(а
+ 1) 2 – 4(9а
– 5) = 4а
2
– 28а
+ 24 = 4(а
– 1)(а
– 6)

4(а
– 1)(а
– 6) > 0

по т. Виета: х
1 + х
2 = -2(а
+ 1)
х
1 х
2 = 9а
– 5

По условию х
1 х
2 а
+ 1) а
– 5 > 0

В итоге 4(а
– 1)(а
– 6) > 0
— 2(а
+ 1)
9а
– 5 > 0
а
6
а
> — 1
а
> 5/9

(Рис. 1
)

a

a
> 6


Пример 3.
Найдите значения а
, при
которых данное уравнение имеет решение.


х 2 – 2(а
– 1)х
+ 2а
+ 1 = 0


Д = 4(а
– 1) 2 – 4(2а
+ 10 = 4а
2
– 8а
+ 4 – 8а
– 4 = 4а
2 – 16а

4а
2 – 16 0

4а
(а
– 4) 0


а(а
– 4)) 0


а(а
– 4) = 0


а = 0 или а
– 4 = 0
а
= 4

(Рис. 2
)


Ответ: а
0 и а
4

Дидактический материал

1. При каком значении а
уравнение ах
2
– (а
+ 1) х
+ 2а
– 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а
уравнение (а
+ 2) х
2
+ 2(а
+ 2)х
+ 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а
2
– 6а
+ 8) х
2 + (а
2 – 4) х
+ (10
– 3а
а
2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х
2 + х

а
= 0 имеет хотя бы один общий корень с
уравнением 2х
2 – 7х
+ 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х
2 +ах

+ 1 = 0 и х
2 + х
+ а
= 0 имеют хотя бы
один общий корень?


1. При а
= — 1/7, а
= 0, а
= 1

2. При а
= 0

3. При а
= 2

4. При а
= 10

5. При а
= — 2

Показательные уравнения с параметром


Пример 1
.Найти все значения а
,
при которых уравнение

9 х – (а
+ 2)*3 х-1/х +2а
*3 -2/х =
0 (1) имеет ровно два корня.


Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х,
получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а
+ 2)*3 х+1/х + 2а
= 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у
, тогда уравнение (2)
примет вид у
2 – (а
+ 2)у
+ 2а
= 0,
или

(у
– 2)(у
а
) = 0, откуда у
1 =2, у
2
= а
.

Если у
= 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х
+ 1/х
=
log 3 2 , или х
2 – х
log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней,
так как его Д
= log 2 3 2 – 4

Если у
= а
, т.е. 3 х+1/х = а
то х
+
1/х
= log 3 а
, или х
2 – х
log 3 а
+ 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и
только тогда, когда


Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а
> 9, а если log 3 а
а


Ответ: 0 а
а
> 9.


Пример 2
. При каких значениях а
уравнение 2 2х – (а –
3) 2 х – 3а
= 0
имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело
решения, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение t
2 – (a –
3) t
– 3a
= 0
имело хотя бы один положительный корень. Найдем
корни по теореме Виета: х
1 = -3, х
2
= а
= >


а – положительное число.


Ответ: при а
> 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а
+ 5)*5 х-1/х + 10а
* 5 -2/х
= 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный
корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а
-3)2 х +4а
2 – 3а
=
0 имеет единственное решение?


Логарифмические уравнения с
параметром


Пример 1.
Найти все значения а
,
при которых уравнение

log 4x (1 + ах
) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.


Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах
= 2х
при х

> 0, х
1/4 (3)

х
= у

ау 2 –у
+ 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а
0, то ау 2

– 2у
+ 1 = 0 имеет действительные корни тогда и
только тогда, когда Д
= 4 – 4а
0, т.е. при а
1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики
функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И.
Углубленное
изучение курса алгебры и математического
анализа. – М.: Просвещение, 1990

  • Крамор В.С
    . Повторяем и систематизируем
    школьный курс алгебры и начал анализа. – М.:
    Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И
    .
    Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я.
    Алгебра и начала
    анализа. Решение экзаменационных задач. – М.:
    Дрофа, 1998.
  • Макарычев Ю.Н.
    и др. Дидактические
    материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение,
    2001.
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В.
    Задачи
    по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. –
    М.: Просвещение, 1990.
  • Журналы “Математика в школе”.
  • Л.С. Лаппо
    и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.:
    Экзамен, 2001–2008.
  • 1. Задача.

    При каких значениях параметра a
    уравнение
    (a
    — 1)x
    2 + 2x
    + a
    — 1 = 0
    имеет ровно один корень?

    1. Решение.

    При a
    = 1 уравнение имеет вид
    2x
    = 0 и, очевидно, имеет единственный корень
    x
    = 0. Если a

    1, то данное уравнение является квадратным и
    имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
    дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
    нулю, получаем уравнение относительно параметра a

    4a
    2 — 8a
    = 0,
    откуда a
    = 0 или a
    = 2.

    1. Ответ:
    уравнение имеет единственный корень при a
    О
    {0; 1; 2}.

    2. Задача.

    Найти все значения параметра a
    , при
    которых имеет два различных корня уравнение
    x
    2 +4ax
    +8a
    +3 = 0.

    2. Решение.

    Уравнение x
    2 +4ax
    +8a
    +3 = 0 имеет два
    различных корня тогда и только тогда, когда D
    =
    16a
    2 -4(8a
    +3) > 0. Получаем (после сокращения
    на общий множитель 4) 4a
    2 -8a
    -3 > 0,
    откуда

    2. Ответ:

    a
    О
    (-Ґ
    ; 1 –
    Ц
    7 2
    ) И
    (1 +
    Ц
    7 2
    ; Ґ
    ).

    3. Задача.

    Известно, что

    f
    2 (x
    ) = 6x
    x
    2 -6.

    а) Постройте график функции
    f
    1 (x
    ) при a
    = 1.
    б) При каком значении a
    графики функций f
    1 (x
    ) и
    f
    2 (x
    ) имеют единственную общую точку?

    3. Решение.

    3.а.
    Преобразуем f
    1 (x
    ) следующим образом
    График этой функции при a
    = 1 изображен на рисунке справа.

    3.б.
    Сразу отметим, что графики функций y
    =
    kx
    +b
    и y
    = ax
    2 +bx
    +c

    (a

    0) пересекаются в единственной точке
    тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
    +b
    =
    ax
    2 +bx
    +c
    имеет единственный корень.
    Используя представление f
    1 из 3.а
    , приравняем
    дискриминант уравнения a
    = 6x
    x
    2 -6 к нулю.
    Из уравнения 36-24-4a
    = 0 получаем a
    = 3. Проделав то же
    самое с уравнением 2x
    a
    = 6x
    x
    2 -6
    найдем a
    = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
    удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
    = 2 или a
    = 3.

    4. Задача.

    Найти все значения a
    , при которых множество решений неравенства
    x
    2 -2ax
    -3a
    і
    0
    содержит отрезок .

    4. Решение.

    Первая координата вершины параболы f
    (x
    ) =
    x
    2 -2ax
    -3a
    равна x
    0 =
    a
    . Из свойств квадратичной функции условие f
    (x
    ) і
    0 на отрезке равносильно совокупности трех систем

    имеет ровно два решения?

    5. Решение.

    Перепишем это уравнение в виде
    x
    2 + (2a
    -2)x
    — 3a
    +7 = 0.
    Это квадратное уравнение, оно
    имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
    Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
    является выполнение неравенства a
    2 +a
    -6 > 0.
    Решая неравенство, находим a
    a
    > 2. Первое из
    неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
    натуральным решением второго является число 3.

    5. Ответ:
    3.

    6. Задача (10 кл.)

    Найти все значения a
    , при которых
    график функции
    или, после очевидных преобразований, a
    -2 = |
    2-a
    |
    . Последнее
    уравнение равносильно неравенству a
    і
    2.

    6. Ответ:
    a
    О
    }

    Page not found!

    Станица, которую вы искали, не найдена.

    Используйте поисковую форму ниже, чтобы найти искомую статью. Или просмотрите нижеследующие рубрики и статьи, чтобы найти для себя что-нибудь более интересное.

    Архив за год

    Архив за месяц

    Архив рубрик

    • Без рубрики (683)
    • Галереи-край (282)
    • Доска почета (4)
    • Доска почёта — Беларусь (1)
    • Доска почёта — Казахстан (1)
    • Доска почёта — Россия (1)
    • Доска почёта — Украина (1)
    • Есть такие дети — дислексики (3)
    • Изучение JavaScript (3)
    • Интерактивы (13)
    • Календарь знаменательных и памятных дат (769)
    • Конкурсы (317)
    • Мастер своего дела-2017 (177)
    • Новости (15 312)
    • Новости (15 265)
    • Обл. Австрии (10)
    • Обл. Азербайджана (33)
    • Обл. Албании (11)
    • Обл. Андорры (8)
    • Обл. Армении (10)
    • Обл. Белоруссии (141)
    • Обл. Болгарии (30)
    • Обл. Боснии (10)
    • Обл. Венгрии (19)
    • Обл. Греции (13)
    • Обл. Дании (5)
    • Обл. Испании (18)
    • Обл. Италии (20)
    • Обл. Казахстана (16)
    • Обл. Киргизии (8)
    • Обл. Латвии (29)
    • Обл. Литвы (40)
    • Обл. Лихтенштейн (12)
    • Обл. Люксембурга (12)
    • Обл. Молдовия (32)
    • Обл. России (2 288)
    • Обл. Украины (726)
    • Официальная документация (891)
    • Партнеры (4)
    • Педагогическая копилка (47)
    • Победители конкурса «Опять-25» (24)
    • Поздравляем (11)
    • Пообщаемся? (9)
    • Примите участие в проектах (3)
    • Разработки профессионалов (279)
    • Резюме учителей (26)
    • Реклама (2)
    • Сборник идей (4 895)
      • Астрономия, экология (45)
      • Библиотечное дело, музеи, краеведение (23)
      • Военно-патриотическое воспитание, ОБЖ (137)
      • География, природоведение, окружающий мир (237)
      • Дополнительное образование, внешкольная работа (155)
      • Дошкольное образование (294)
      • Здоровьесберегающие технологии, физическая культура (182)
      • Иностранные языки (329)
      • Информатика и ИКТ (194)
      • Искусство, музыка, черчение, МХК, ИЗО (102)
      • История (142)
      • Классное руководство и воспитание учащихся (114)
      • Коррекционная и социальная педагогика, психология, логопедия (175)
      • Математика, алгебра, геометрия (414)
      • Начальные классы (819)
      • Право, экономика (81)
      • Русский язык, литература (574)
      • Специализированный сборник (любые другие направления) (477)
      • Управление образовательным учреждением (48)
      • Физика (118)
      • Химия, биология (234)
    • События (261)
    • Стр. Издания, Диски, Беларусь (15)
    • Стр. Издания, Диски, Россия (37)
    • Стр. Издания, Диски, Украина (15)
    • Стр. Издания, Интернет-книги (5)
    • Стр. Издания, Книги (5)
    • Стр. Издания, Книги, Россия (1)
    • Стр. Издания, Учебники (23)
    • Стр. Товары, Аудио и видео (5)
    • Стр. Товары, Бытовая техника (5)
    • Стр. Товары, Игры (5)
    • Стр. Товары, Искусство, ремёсла (93)
    • Стр. Товары, Канцелярия (5)
    • Стр. Товары, Компьютеры (5)
    • Стр. Товары, Медицина (5)
    • Стр. Товары, Мобильная связь (5)
    • Стр. Товары, Оргтехника (5)
    • Стр. Товары, Спорт и туризм (5)
    • Стр. Услуги, Выставки (13)
    • Стр. Услуги, Доставка цветов (129)
    • Стр. Услуги, Конференции (13)
    • Стр. Услуги, Обучение (13)
    • Стр. Услуги, Отдых учителей (5)
    • Стр. Услуги, Переводчики (160)
    • Стр. Услуги, Репетиторы (3 568)
    • Стр. Услуги, Семинары (14)
    • Страны (57)
    • Творчество педагогов (20)
    • Фотокаталог (4)

    Архив статей

    2 \ not = 0 $ для каждого $ y $, и что $ (2) $ эквивалентно $ (3) $ при условии, что $ a \ not = 1 $ и $ a \ not = 7 $. 2} $.2 \ le 0, $$
    т.е.
    $$ 1 \ le a \ le 7 $$

    При условии, что $ a \ not = 1 $ и $ a \ not = 7 $, ответ будет $$ \ color {red} {1 \ lt a \ lt 7} $$

    Корни квадратных уравнений и их связь со значениями параметров a, b и, c, а также кубическое расширение

    Корни квадратных уравнений и их связь со значениями параметров a, b и, c, а также кубическое расширение

    Корни квадратных уравнений, их связь со значениями параметров и кубическое расширение

    , автор: Эл Бирнс,

    В этой статье мы попытаемся изучить некоторые шаблоны для корней и то, как эти корни связаны со значениями параметров a, b и c в квадратном уравнении.Затем будут предложены расширения для дальнейших исследований с использованием этих наблюдений.

    Для начала рассмотрим уравнение x² + bx + 1 = 0 в плоскости xb. График этого уравнения показан ниже; горизонтальная ось — ось x, а ось вертикали — ось b:

    Если мы изобразим различные значения параметра b в виде линий на плоскости xb, мы сможем получить интересную информацию о количестве действительных корней квадратного уравнения x² + bx + 1 = 0 и информацию о знаке этих корней.Например, если мы выберем b = 2, уравнение будет иметь единственный отрицательный корень:

    x² + 2x + 1 = 0; какие значения x удовлетворяют этому уравнению?

    Если разложить на множители это квадратное уравнение, мы получим x² + 2x + 1 = (x + 1) ² = 0; так что есть один корень для этого квадратного уравнения, значение которого x = -1. Но как этот результат соответствует графику x² + bx + 1 = 0. Что еще более важно, можем ли мы разработать шаблон, который поможет улучшить нашу интуицию о количестве и знаках корней квадратного уравнения на основе значений a, б и в.

    Что ж, давайте просто рассмотрим x² + bx + 1 = 0. Мы определили, что когда b имеет значение 2, существует один отрицательный корень со значением x = -1. На плоскости эти два уравнения, изображенные вместе, выглядят следующим образом:

    Обратите внимание на точку, в которой линия b = 2 и график квадратного уравнения x² + bx + 1 = 0 являются котангенсом. Графики двух уравнений котангенсны в одной точке, что очень интересно, учитывая, что, когда мы решали уравнение выше, мы нашли единственный корень.Это значение корня, x = -1, также может быть представлено на плоскости как точка котангенции между линией b = 2 и уравнением x² + bx + 1 = 0 как упорядоченной парой (-1, 2).

    Итак, наша интуиция может предположить, что количество действительных корней будет соответствовать количеству раз, когда линия b = a (где a — действительное число) пересекает кривую x² + bx + 1 = 0. Кроме того, значения Координата x пар порядков, обозначающих точки пересечения этих двух кривых, должна указывать значения корней уравнения x² + bx + 1 = 0.Давайте проверим эту интуицию. Рассмотрим квадратное уравнение x² + bx + 1 = 0 и прямую b = 3.

    Итак, теперь у нас есть ситуация, в которой наша интуиция может предположить, что квадратное уравнение x² + 3x + 1 = 0 имеет два действительных корня, каждый из которых имеет отрицательное значение. Используя график, давайте сделаем первоначальное предположение для значений корней: я бы предположил, что x = -2,62 и x = -,382. Эти предположения были получены с помощью графического калькулятора:

    .

    В качестве проверки давайте воспользуемся более традиционным методом получения значений корней квадратного уравнения, более «устойчивым» к простой факторизации, квадратной формулой:

    x = (-3 + √ (5) / 2) и (-3-√ (5) / 2)

    Действительно, после расчета эти значения совпадают с теми значениями, которые мы предсказали для корней! При исследовании других значений для линии b = a мы можем продолжить укреплять наши предположения.Рассмотрим прямую b = 0 и квадратное уравнение x² + bx + 1 = 0. На основании графика этих двух кривых на плоскости и точек, в которых они совпадают, какие предположения мы могли бы сделать о количестве и знаках реальных корни уравнений?

    Я бы рискнул с уверенностью предположить, что квадратное уравнение x² + x + 1 = 0 не имеет действительных корней, в значительной степени потому, что кривые x² + bx + 1 = 0 и b = a; 2> a> -2 не совпадают в диапазоне 2> a> -2.Фактически, когда мы используем квадратичную формулу, мы действительно видим, что x² + 1x + 1 = 0 не имеет действительных корней:

    x = (-1 + √ (-3) / 2) и (-3 — √ (-3) / 2). Опять же, наша интуиция верна!

    Давайте проверим еще два значения b, чтобы завершить нашу стратегию наблюдений относительно значений и количества действительных корней квадратных уравнений. Последние два значения b, которые мы будем отображать, будут линиями b = -2 и b = -3.

    Линия b = -2 обозначена красным цветом, а линия b = -3 обозначена синим цветом.Действительно, сравнивая график и разработанную нами интуицию, мы можем видеть, что квадратное уравнение x² + -2x + 1 = 0 и уравнение x² + -3x + 1 = 0 имеют один положительный действительный корень и два положительных действительных корня, соответственно. Алгебраическое обоснование см. Ниже:

    x² + -2x + 1 = (x — 1) ² = 0; действительный корень: x = 1

    Используя формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить корни для x² + -3x + 1 = 0:

    x = (3 + √ (5) / 2) и (3 — √ (5) / 2), что указывает на наличие двух положительных действительных корней.

    Можем ли мы распространить эти наблюдения на уравнения более высоких степеней? Рассмотрим кубическое выражение следующего вида:

    Для данного исследования нас будет особенно интересовать случай, когда b = -2.

    Используя интуицию, которую мы сформировали в отношении того, что пересечение этих двух кривых может рассказать нам о реальных корнях квадратного уравнения, давайте расширим мышление до графика кубического выражения, показанного выше x 3 + -2x² + x + 1 = 0.Мое первоначальное предположение заключалось в том, что выражение имеет 1 действительный корень со значением x пары порядков, описывающей точку, в которой линия b = -2 и кривая x 3 + -2x² + x + 1 = 0 совпадают. . Используя Графический калькулятор, мы можем определить значение этой точки с относительной точностью:

    Таким образом, значение этого корня приблизительно равно -. 2 + bx + c [/ latex].2 + bx + c [/ latex], где a — ненулевая константа, b и c — константы любого значения, а x — независимая переменная.

  • Решения квадратного уравнения известны как его нули или корни.
  • Ключевые термины
    • зависимая переменная : зависит от изменения ввода, т.е. изменяется в зависимости от значения ввода.
    • независимая переменная : вход функции, который можно свободно изменять.
    • вершина : точка минимума или максимума квадратичной функции.2 + bx + c = 0 [/ латекс]

      Когда все константы известны, можно решить квадратное уравнение, чтобы найти решение [latex] x [/ latex]. Такие решения называются нулями. Есть несколько способов найти [latex] x [/ latex], но об этих методах мы поговорим позже.

      Различия между квадратичными и линейными функциями

      Квадратные уравнения отличаются от линейных функций несколькими ключевыми способами.

      • Линейные функции либо всегда уменьшаются (если они имеют отрицательный наклон), либо всегда увеличиваются (если они имеют положительный наклон).Все квадратичные функции как увеличиваются, так и уменьшаются.
      • При линейной функции каждый вход имеет индивидуальный уникальный выход (при условии, что выход не является константой). В случае квадратичной функции пары уникальных независимых переменных будут давать одну и ту же зависимую переменную, за одним исключением (вершиной) для данной квадратичной функции.
      • Наклон квадратичной функции, в отличие от наклона линейной функции, постоянно меняется.

      Формы квадратичных функций

      Квадратичные функции могут быть выражены во многих различных формах.2 + к [/ латекс]

      где [latex] h [/ latex] и [latex] k [/ latex] соответственно координаты вершины, точки, в которой функция достигает своего максимума (если [latex] a [/ latex] отрицательное) или минимум (если [latex] a [/ latex] положительный).

      Квадратичная формула

      Нули квадратного уравнения можно найти, решив квадратную формулу.

      Цели обучения

      Найдите корни квадратичной функции, используя формулу корней квадратного уравнения

      Основные выводы

      Ключевые моменты
      • Квадратичная формула: [латекс] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ latex], где [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] — коэффициенты при членах [latex] x ^ 2 [/ latex] и [latex] x [/ latex], соответственно, в квадратном уравнении, а [latex] c [/ latex] — значение постоянной уравнения.2-4 (2) (3)}} {2 (2)} [/ латекс]

        [латекс] x = \ dfrac {-5 \ pm \ sqrt {25-24}} {4} [/ латекс]

        [латекс] x = \ dfrac {-5 \ pm \ sqrt {1}} {4} [/ латекс]

        [латекс] \ displaystyle x = \ frac {-5} {4} + \ frac {1} {4} [/ latex], [латекс] \ displaystyle \ frac {-5} {4} — \ frac {1 } {4} [/ латекс]

        [латекс] x = \ dfrac {-3} {4} [/ latex], [латекс] \ dfrac {-6} {4} [/ latex]

        [латекс] x = \ dfrac {-3} {4} [/ latex], [латекс] \ dfrac {-3} {2} [/ latex]

        Дискриминант

        Дискриминант многочлена — это функция его коэффициентов, которая раскрывает информацию о корнях многочлена.2-4ac [/ latex] — это формула дискриминанта квадратичной функции.

      • Если Δ больше нуля, многочлен имеет два действительных различных корня.
      • Если Δ равно нулю, многочлен имеет только один действительный корень.
      • Если Δ меньше нуля, многочлен не имеет действительных корней, только два различных комплексных корня.
      • Ноль — это значение x, когда функция пересекает ось x. То есть это координата x, при которой значение функции равно нулю.
      Ключевые термины
      • квадратичный : второй степени; может применяться к многочленам.
      • ноль : также известен как корень; значение x, при котором функция x равна нулю.
      • дискриминант : выражение, которое дает информацию о корнях многочлена.

      Дискриминант квадратичной функции — это функция ее коэффициентов, которая раскрывает информацию о ее корнях. Корень — это значение координаты [latex] x [/ latex], где функция пересекает ось [latex] x [/ latex]. То есть это координата [latex] x [/ latex], в которой значение функции равно нулю.2-4ac [/ latex] — это часть формулы квадратного корня.

      Положительный дискриминант

      Если [latex] {\ Delta} [/ latex] положительно, квадратный корень в формуле корней квадратного уравнения положителен, и решения не включают мнимые числа.

      [латекс] x = {\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {положительное число}}} {2a}} [/ латекс]

      Поскольку сложение и вычитание положительного числа приведет к разным значениям, положительный дискриминант дает два различных решения и два различных корня квадратичной функции.

      Нулевой дискриминант

      Если [latex] {\ Delta} [/ latex] равно нулю, квадратный корень в формуле корней квадратного уравнения равен нулю:

      [латекс] x = {\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {0}} {2a}} [/ латекс]

      Поскольку добавление нуля и вычитание нуля в квадратном уравнении приводят к одному и тому же результату, существует только один отличный корень квадратичной функции.

      Отрицательный дискриминант

      Если [latex] {\ Delta} [/ latex] меньше нуля, значение квадратного корня в формуле корней квадратного уравнения отрицательное:

      [латекс] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {отрицательное число}}} {2a} [/ latex]

      Это означает, что квадратный корень сам по себе является мнимым числом, поэтому корни квадратичной функции различны и не являются действительными.2 — х — 2 [/ латекс]. Поскольку значение больше 0, функция имеет два различных действительных нуля. График показывает, что он явно имеет два корня: функция пересекает ось [latex] x [/ latex] в [latex] x = -1 [/ latex] и [latex] x = 2 [/ latex]. 2 + c [/ latex].2 [/ латекс]).

    • Значения [latex] p [/ latex] можно найти, построив график, разложив на множители, заполнив квадрат или используя формулу корней квадратного уравнения. Их квадратные корни (положительные и отрицательные) — это значения [latex] x [/ latex], которые удовлетворяют исходному уравнению.
    • Уравнения более высокого порядка могут быть решены аналогичным процессом, который включает уменьшение их показателей. Требование состоит в том, что существует два члена [латекс] x [/ латекс], так что отношение наибольшего показателя [латекса] x [/ латекса] к нижнему составляет [латекс] 2: 1 [/ латекс].
    Ключевые термины
    • ноль : также известен как корень; значение [latex] x [/ latex], при котором функция [latex] x [/ latex] равна нулю.
    • биквадратный : когда многочлен включает только вторую и четвертую степени переменной.
    • функция четвертого порядка : Любая полиномиальная функция, наибольший показатель которой имеет степень четыре.

    Полиномиальные уравнения более высокой степени могут быть очень трудными для решения. Однако в некоторых особых ситуациях их можно сделать более управляемыми, уменьшив их показатели с помощью замены.2 + bp + c [/ латекс]

    С помощью подстановки мы смогли свести многочлен более высокого порядка к квадратному уравнению. Теперь ее можно решить с помощью любого из ряда методов (с помощью построения графиков, факторизации, завершения квадрата или использования формулы квадратичного уравнения).

    После того, как значения [latex] p [/ latex] найдены, каждое положительное значение временной переменной [latex] p [/ latex] может использоваться для нахождения двух значений [latex] x [/ latex], таких как:

    [латекс] x = \ sqrt p [/ латекс]

    Как и любой квадратный корень, корень из [латекс] p [/ latex] будет иметь два значения: одно положительное и одно отрицательное.2 [/ latex], мы можем использовать каждое значение [latex] p [/ latex] для решения двух значений [latex] x [/ latex]:

    [латекс] x = \ pm \ sqrt 2 [/ latex] и [латекс] x = \ pm \ sqrt 10 [/ latex]

    Аналогичную процедуру можно использовать для решения уравнений высшего порядка. Требование состоит в том, что существует два члена [латекс] x [/ латекс], так что отношение наибольшего показателя [латекса] x [/ латекса] к нижнему составляет [латекс] 2: 1 [/ латекс].

    10.7: Стабильность по Раусу — стабильные диапазоны значений параметров

    Авторы: Джон Д’Арси, Мэтт Хаген, Адам Холевински и Алвин Нг

    Стюарды: Джефф Фалта, Тейлор Лебейс, Шон Мэйфилд, Марк Стюарт, Том Уэлч

    Введение

    Стабильность системы управления технологическим процессом чрезвычайно важна для всего процесса управления.Стабильность системы является ключевым вопросом безопасности в большинстве инженерных процессов. Если система управления становится нестабильной, это может привести к возникновению небезопасных условий. Например, нестабильность в реакционных процессах или реакторах может привести к неуправляемым реакциям, что приведет к негативным экономическим и экологическим последствиям.

    Абсолютную стабильность процесса управления можно определить по его реакции на внешнее возмущение системы. Систему можно считать стабильной, если она существует в согласованном состоянии или заданном значении и возвращается в это состояние сразу после нарушения в системе.Чтобы определить устойчивость системы, часто необходимо определить собственные значения матрицы, представляющей основной набор дифференциальных уравнений системы. К сожалению, иногда бывает трудно решить характеристическое уравнение матрицы (многочлен, представляющий ее собственные значения); он может быть слишком большим или содержать неизвестные переменные. В этой ситуации метод, разработанный британским математиком Эдвардом Раусом, может дать желаемую информацию об устойчивости без явного решения уравнения.

    Напомним, что для определения устойчивости системы нужно только знать знаки действительных составляющих собственных значений. Из-за этого метод, который может выявить знаки без фактического вычисления собственных значений, часто оказывается адекватным для определения устойчивости системы.

    Чтобы быстро проверить, отрицательные компоненты действительного собственного значения заставляют систему возвращаться в точку устойчивого состояния (где все частные производные равны нулю), когда она испытывает возмущения. Положительные действительные компоненты заставляют систему перемещаться от стабильной точки, а нулевой действительный компонент указывает, что система не будет настраиваться после возмущения.Мнимые составляющие просто указывают на колебания с общей тенденцией в соответствии с реальной частью. Используя метод устойчивости Рауса, можно определить количество корней каждого типа и, таким образом, увидеть, является ли система стабильной. Когда в уравнении существуют неизвестные переменные, стабильность Рауса может выявить границы этих переменных, которые сохраняют отрицательные корни.

    Массив Рауса

    Массив Рауса — это ярлык для определения стабильности системы. Число положительных (неустойчивых) корней можно определить без выделения комплексного многочлена.

    Создание массива

    Рассматриваемая система должна иметь характеристическое уравнение полиномиальной природы. как показано ниже:

    Чтобы исследовать корни, установите P (S) = 0, что позволит вам определить, сколько корней находится в левой плоскости, правой плоскости и на оси j-омега. Если система включает тригонометрические функции, ее необходимо подогнать к полиному с помощью разложения в ряд Тейлора. Одним из необходимых условий стабильности является то, что 0 \ qquad «src =» / @ api / deki / files / 18713 / image-273.png «>. (Если, все коэффициенты могут быть умножены на -1 перед проверкой). Другое условие состоит в том, что для стабильности системы все значения в столбце 1 массива Рауса должны быть положительными.

    На этой блок-схеме показано создание массива Рауса для идеализированного случая, где m, n представляют положение в матрице.

    Коэффициенты полинома помещаются в массив, как показано ниже. Количество строк на единицу больше, чем порядок уравнения.Количество изменений знака в первом столбце указывает количество положительных корней для уравнения.

    Ряд 1

    Ряд 2

    Ряд 3

    Ряд 4

    Ряд 5

    Ряд 6

    Ряд 7

    В массиве переменные b1, b2, c1, c2 и т. Д.определяются путем вычисления определителя с использованием элементов из двух предыдущих строк, как показано ниже:

    Общее выражение для любого элемента x после первых двух строк с индексом (m, n) выглядит следующим образом:

    для

    Обратите внимание, что если массив Рауса начинается с нуля, он все еще может быть решен (при условии, что все другие значения в строке не равны нулю), заменяя ноль на константу и позволяя этой константе равняться очень небольшому положительному значению. номер.Последующие строки в этом столбце, содержащие эту константу, будут вычисляться на основе выбранной константы.

    После того, как массив будет заполнен, примените следующие теоремы для определения стабильности:

    1) Если все значения в первом столбце массива Рауса> 0, то P (S) имеет все отрицательные действительные корни и система устойчива.

    2) Если некоторые значения в первом столбце массива Рауса <0, то количество раз, когда знак меняется вниз в первом столбце, будет = количеству положительных действительных корней в уравнении P (S).

    3) Если есть 1 пара корней на мнимой оси, оба на одинаковом расстоянии от начала координат (то есть на равном расстоянии), то проверьте, находятся ли все остальные корни в левой плоскости. Если это так, то местоположение мнимых корней можно найти с помощью AS 2 + B = 0, где A и B — элементы в массиве Рауса для второй и последней строки.

    Чтобы еще больше прояснить, анализируется пример с действительными числами.

    Пример массива

    Следующий многочлен был сгенерирован на основе выборочной системы.

    Предыдущий многочлен необходимо исследовать, чтобы определить устойчивость системы. Это делается путем создания массива Рауса описанным выше способом. Массив, полученный в результате этого полинома, равен

    В показанном выше массиве значение в третьей строке вычисляется следующим образом. Теперь можно проанализировать массив. Посмотрев вниз на первый столбец, можно увидеть, что 5 имеет положительную величину, затем знак меняется в записи -10, и знак меняется во второй раз на положительный 17.Это считается как две смены знака, что соответствует двум положительным корням, что делает систему нестабильной.

    Поиск стабильных значений контрольных параметров

    Часто для единичной работы параметр ПИД-регулятора, такой как коэффициент усиления регулятора (K c ), интегральная постоянная времени (T i ) или производная постоянная времени (T d ) создают дополнительную переменную в характеристическое уравнение. Это может быть выполнено посредством вычислений массива Рауса, чтобы указать, какие значения переменной будут обеспечивать стабильность системы, предотвращая появление положительных корней в уравнении.Например, если выход контроллера управляется функцией:

    Стабильные значения T d можно найти с помощью массива Рауса:

    Мы раскрываем, чтобы первые элементы столбца оставались положительными, так что это стабильный диапазон значений для этого параметра.
    Если бы в уравнении было несколько параметров, они были бы просто решены для группы, давая ограничения в виде «T i + K c > 2» и т. Д., Поэтому любое значение, выбранное для одного параметра, дало бы другой стабильный диапазон для другого.

    Особые случаи

    Есть несколько особых случаев, о которых следует помнить при использовании теста Рауса. Эти отклонения могут возникать при анализе устойчивости различных систем управления. Когда встречается особый случай, традиционные методы решения устойчивости Рауса изменяются, как показано ниже.

    Один из коэффициентов характеристического уравнения равен нулю

    Если степень 0 * S n равна, замените ноль величиной ε, которая будет положительной и будет приближаться к нулю.Затем продолжите анализ как обычно. По сути, это дает предел корней, поскольку этот коэффициент приближается к нулю. (Если степень = 0, см. Случай 3). Например,

    Уравнение:

    Рабочее уравнение:

    Поскольку ε положительно, мы знаем, что в первом столбце строка 2 будет положительной, строка 4 будет положительной, а строка 3 будет отрицательной. Это означает, что у нас будет изменение знака с 2 на 3 и снова с 3 на 4. Из-за этого мы знаем, что два корня будут иметь положительные действительные компоненты.Если вы на самом деле вычлените уравнение, то увидите, что у нас есть 2 положительных корня. Оба этих корня равны 2, поэтому технически существует только один корень, но в любом случае мы знаем, что система нестабильна и ее необходимо перепроектировать.

    Один из корней равен нулю

    Этот случай должен быть очевиден, просто взглянув на многочлен. Постоянный член будет отсутствовать, что означает, что переменная может быть разложена на каждый член. Если вы добавите ε в конец, как в случае 1, последняя строка будет ε и ошибочно укажет на другую смену знака.Выполните анализ Рауса с установленным последним нулем.

    Уравнение:

    Как вы можете видеть в первом столбце, у нас есть строка 1 положительная, строка 2 и 3 отрицательная, а строка 4 нулевая. Это интерпретируется как изменение одного знака, что дает нам один положительный действительный корень. Глядя на это уравнение в факторизованной форме,

    , мы видим, что на самом деле у нас есть только один положительный корень, равный 2. Ноль в последней строке указывает на дополнительный нестабильный корень из нуля. В качестве альтернативы вам может быть проще просто вычленить переменную и найти знаки оставшихся собственных значений.Просто помните, что есть лишний корень из нуля.

    строка с нулями

    Когда это происходит, вы знаете, что имеете либо пару мнимых корней, либо симметричные действительные корни. Строку нулей необходимо заменить. Следующий пример иллюстрирует эту процедуру.

    Уравнение:

    Строка 4 содержит все нули. Чтобы определить его значения замены, мы сначала записываем вспомогательный многочлен A , определяемый записями в строке 3 выше.

    Обратите внимание, что порядок уменьшается на 1 по мере продвижения по таблице, но уменьшается на 2 по мере продвижения по таблице.

    Затем мы берем производную этого вспомогательного многочлена.

    Коэффициенты, полученные после взятия производной, дают нам значения, используемые для замены нулей. Оттуда мы можем продолжить вычисления таблицы в обычном режиме. Новый стол

    Ряд 1

    Ряд 2

    Ряд 3

    Ряд 4

    Ряд 5

    На самом деле чисто мнимые или симметричные действительные корни исходного многочлена такие же, как корни вспомогательного многочлена.Таким образом, мы можем найти эти корни.

    Поскольку у нас есть две смены знака, мы знаем, что два других корня исходного многочлена положительны.

    Фактически, разложив этот многочлен на множители, мы получим

    Следовательно, корни такие, где в данном случае корень 3 имеет кратность 2.

    Ограничения

    Массивы

    Рауса полезны для классификации системы как стабильной или нестабильной на основе знаков ее собственных значений и не требуют сложных вычислений.Однако простого определения стабильности обычно недостаточно для проектирования систем управления технологическим процессом. Важно определить степень устойчивости, а также то, насколько система близка к нестабильности. Дальнейший анализ устойчивости, не учитываемый в методике анализа Рауса, включает определение степени устойчивости, установившегося режима работы системы управления и переходной реакции системы на возмущения.

    Более сложные методы, такие как те, что обсуждаются в разделе «Собственные значения» и «Собственные векторы», должны использоваться для дальнейшей характеристики устойчивости системы (за исключением полиномов системы, приводящих к чисто мнимым корням).Другое ограничение метода Рауса возникает, когда рассматриваемый многочлен становится настолько большим, что стабильность Рауса требует слишком больших вычислительных затрат времени (личное мнение). В этой ситуации необходимо использовать другой метод, например, график корневого годографа.

    Обратите внимание, что для определения устойчивости мы всегда будем начинать с полинома. Этот полином возникает в результате нахождения собственных значений линеаризованной модели. Таким образом, мы никогда не встретим других функций, например экспоненциальных функций или функций sin или cos в целом для анализа устойчивости в теории управления.

    Преимущества перед графиками корневого годографа

    Устойчивость по Раусу оценивает знаки действительных частей корней многочлена без решения для самих корней. Система устойчива, если все действительные части отрицательны. Следовательно, в отличие от графиков корневого годографа, фактические собственные значения не нужно вычислять для анализа устойчивости Рауса. Кроме того, иногда в системе слишком много неизвестных, чтобы легко построить и интерпретировать график корневого годографа (например, с двумя ПИД-регуляторами есть переменные Kc1, Kc2, τi1, τi2, τd1 и τd2).

    Пример 1

    Предположим, что следующий полином описывает собственные значения линеаризованной модели вашего процесса. Для этого полинома заполните массив Рауса и определите устойчивость системы?

    Ответ
    Поскольку P (X) — полином четвертого порядка, массив Рауса содержит пять строк.

    Ряд 1

    Ряд 2

    Ряд 3

    Ряд 4

    Ряд 5

    Строки 1 и 2 соответствуют коэффициентам полиномиальных членов:

    Ряд 1

    Ряд 2

    Строки 3, 4 и 5 содержат определители, использующие элементы из двух предыдущих строк.

    Следовательно,

    Полный массив Рауса:

    Ряд 1

    Ряд 2

    Ряд 3

    Ряд 4

    Ряд 5

    Поскольку все значения в первом столбце положительны, уравнение P (x) имеет все отрицательные корни, и система устойчива.

    Пример 2

    Рассмотрим систему со следующим характеристическим уравнением:

    Используя контроллер P-only, найдите диапазон усиления контроллера, обеспечивающий стабильную работу системы.

    Ответ

    Поскольку уравнение является полиномом третьего порядка, массив Рауса состоит из четырех строк. Массив Рауса:

    Чтобы система была стабильной, все элементы первого столбца массива Рауса должны быть положительными.

    Первый столбец будет содержать только положительные элементы, если:

    • 0 «src =» / @ api / deki / files / 18855 / image-349.png «>
    • 0 \ qquad «src =» / @ api / deki / files / 18859 / image-351.png «>

    -4 \ qquad «src =» / @ api / deki / files / 18861 / image-352.png «>

    Приемлемый стабильный диапазон

    Пример 3

    Рассмотрим систему со следующим характеристическим уравнением:

    Определите устойчивость этой системы.

    Ответ

    Один из коэффициентов в характеристическом уравнении равен 0.Мы заменяем ноль величиной, которая должна быть положительной (приближение к нулю с правой стороны), и продолжаем анализ как обычно.

    Рабочее уравнение:

    Ряд 1

    Ряд 2

    Ряд 3

    Ряд 4

    Ряд 5

    Ряд 6

    Поскольку ε положительно, в первом столбце происходит два изменения знака: от строки 1 к строке 2 и от строки 2 к строке 3.Таким образом, мы знаем, что корни будут иметь две положительные действительные составляющие. Если вы фактически вычлените уравнение, вы увидите, что, показывая, что у нас есть два положительных корня, оба равны 2.

    Существует дополнительная сложность, потому что в строке 5, когда ε стремится к нулю, член также стремится к нулю, это означает, что для строки 5 мы получаем строку, полную нулей. Это означает, что у нас есть пара мнимых корней, и эту ситуацию можно решить с помощью уравнения,.

    В этом случае рабочее уравнение

    Мнимые корни

    Пример 4

    Вы инженер на фабрике мороженого.Имеется бак-накопитель с системой охлаждения, имеющий схему ПИ-регулятора. Он имеет следующее характеристическое уравнение:

    Ваша задача — определить ограничения на значения K c и T i , чтобы система была стабильной.

    Ответ

    Цель состоит в том, чтобы сделать матрицу такой, чтобы первый столбец не менял знак. Поскольку первые две записи в первом столбце являются числами и положительны, все остальные значения в этом столбце должны быть положительными.

    Рабочее уравнение:

    Ряд 1

    Ряд 2

    Ряд 3

    Ряд 4

    Ряд 5

    Поскольку находится в первом столбце, он дает ограничение.Аналогичным образом, он должен быть положительным, давая ограничение -6 \, «src =» / @ api / deki / files / 18907 / image-375.png «>. Что приводит к окончательной записи. Путем деления на три и перестановки Затем видно, что члены меняются местами, чтобы получить неравенство:.

    Таким образом, стабильные условия для констант:

    -6 \, «src =» / @ api / deki / files / 18907 / image-375.png «>

    Уголок мудреца

    Пример анализа устойчивости по Раусу

    видео.google.com/googleplayer.swf?docId=-2205168127672510812

    Пример анализа устойчивости по Раусу Слайды без комментариев

    video.google.com/googleplayer.swf?docId=2535630044259965045

    Слайды стабилизации Routh

    Список литературы

    • Bequette, W.B. Проектирование и моделирование процесса управления процессом ., Нью-Джерси: Prentice Hall, стр 170-178.
    • Foecke, H.A. и Вайнштейн, А. «Комплексные корни через действительные корни и квадратные корни с использованием критерия устойчивости Рауса.» arxiv.org, 5 января 2007 г.
    • Липтак, Бела Г., Управление процессами и оптимизация . Vol. II. Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис.
    • Ogunnaike, Babatunde A .; Рэй, В. Хармон. Динамика процессов, моделирование и управление . Нью-Йорк, Оксфорд: Oxford University Press, 1994.
    • .

    Функция квадратного корня Python — настоящий Python

    Вы пытаетесь решить квадратное уравнение? Возможно, вам нужно рассчитать длину одной стороны прямоугольного треугольника.Для этих и других типов уравнений функция квадратного корня Python sqrt () может помочь вам быстро и точно рассчитать ваши решения.

    К концу этой статьи вы узнаете:

    • Что такое квадратный корень
    • Как использовать функцию квадратного корня Python, sqrt ()
    • Когда sqrt () может быть полезен в реальном мире

    Давайте нырнем!

    Python Pit Stop: Это руководство представляет собой быстрый и практический способ найти нужную информацию, так что вы сразу же вернетесь к своему проекту!

    Квадратные корни в математике

    В алгебре квадрат , x , является результатом умножения числа n на само себя: x = n²

    Вы можете вычислить квадраты с помощью Python:

    >>>

      >>> п = 5
    >>> х = п ** 2
    >>> х
    25
      

    Оператор Python ** используется для вычисления степени числа.В этом случае 5 в квадрате или 5 в степени 2 равно 25.

    Таким образом, квадратный корень — это число n , которое при умножении само на себя дает квадрат x .

    В этом примере n , квадратный корень, равен 5.

    25 — это пример полного квадрата . Совершенные квадраты — это квадраты целых чисел:

    >>>

      >>> 1 ** 2
    1
    
    >>> 2 ** 2
    4
    
    >>> 3 ** 2
    9
      

    Возможно, вы запомнили некоторые из этих совершенных квадратов, когда выучили свои таблицы умножения на уроках элементарной алгебры.

    Если вам дан маленький идеальный квадрат, может быть достаточно просто вычислить или запомнить его квадратный корень. Но для большинства других квадратов это вычисление может быть немного более утомительным. Часто оценки бывает достаточно, когда у вас нет калькулятора.

    К счастью, у вас, как у разработчика Python, есть калькулятор, а именно интерпретатор Python!

    Функция квадратного корня Python

    Модуль

    Python math в стандартной библиотеке может помочь вам работать с математическими задачами в коде.Он содержит множество полезных функций, таких как restder () и factorial () . Он также включает функцию квадратного корня Python sqrt () .

    Начнем с импорта math :

    Это все, что нужно! Теперь вы можете использовать math.sqrt () для вычисления квадратных корней.

    sqrt () имеет простой интерфейс.

    Требуется один параметр x , который (как вы видели ранее) обозначает квадрат, для которого вы пытаетесь вычислить квадратный корень.В предыдущем примере это будет 25 .

    Возвращаемое значение sqrt () — это квадратный корень из x в виде числа с плавающей запятой. В примере это 5,0 .

    Давайте рассмотрим несколько примеров того, как (и как не использовать) использовать sqrt () .

    Квадратный корень положительного числа

    Один из типов аргументов, который вы можете передать функции sqrt () , — это положительное число. Сюда входят типы int и float .

    Например, вы можете найти квадратный корень из 49 , используя sqrt () :

    Возвращаемое значение 7,0 (квадратный корень из 49 ) в виде числа с плавающей запятой.

    Наряду с целыми числами вы также можете передавать с плавающей запятой значений:

    >>>

      >>> math.sqrt (70.5)
    8,396427811873332
      

    Вы можете проверить точность этого квадратного корня, вычислив его обратную величину:

    >>>

      >>> 8.396427811873332 ** 2
    70,5
      

    Квадратный корень нуля

    Даже 0 — правильный квадрат для передачи функции квадратного корня Python:

    Хотя вам, вероятно, не нужно часто вычислять квадратный корень из нуля, вы можете передать переменную в sqrt () , значение которой вы на самом деле не знаете. Итак, хорошо знать, что в таких случаях он может обрабатывать ноль.

    Квадратный корень отрицательных чисел

    Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.Это потому, что отрицательный результат возможен только в том случае, если один фактор положительный, а другой отрицательный. Квадрат по определению является произведением числа и самого себя, поэтому получить отрицательный действительный квадрат невозможно:

    >>>

      >>> math.sqrt (-25)
    Отслеживание (последний вызов последний):
      Файл "", строка 1, в 
    ValueError: ошибка математического домена
      

    Если вы попытаетесь передать отрицательное число в sqrt () , вы получите ValueError , потому что отрицательные числа не входят в область возможных действительных квадратов.Вместо этого квадратный корень отрицательного числа должен быть сложным, что выходит за рамки функции квадратного корня Python.

    Квадратные корни в реальном мире

    Чтобы увидеть реальное применение функции квадратного корня Python, давайте обратимся к теннису.

    Представьте, что Рафаэль Надаль, один из самых быстрых игроков в мире, только что ударил справа из заднего угла, где базовая линия пересекается с боковой линией теннисного корта:

    Теперь предположим, что его противник нанес контратакующий удар (тот, который закроет мяч с небольшим ускорением вперед) в противоположный угол, где другая боковая линия встречается с сеткой:

    Как далеко Надаль должен бежать, чтобы дотянуться до мяча?

    Из нормативных размеров теннисного корта можно определить, что длина базовой линии составляет 27 футов, а длина боковой линии (на одной стороне сетки) — 39 футов.Итак, по сути, это сводится к решению гипотенузы прямоугольного треугольника:

    Используя ценное уравнение из геометрии, теорему Пифагора, мы знаем, что a² + b² = c² , где a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.

    Таким образом, мы можем рассчитать расстояние, которое Надаль должен пробежать, переписав уравнение, чтобы найти c :

    Вы можете решить это уравнение, используя функцию квадратного корня Python:

    >>>

      >>> a = 27
    >>> b = 39
    >>> математика.sqrt (а ** 2 + b ** 2)
    47.434164

    569

    Итак, Надаль должен пробежать около 47,4 фута (14,5 метра), чтобы дотянуться до мяча и сохранить точку.

    Заключение

    Поздравляем! Теперь вы знаете все о функции квадратного корня Python.

    Вы покрыли:

    • Краткое введение в квадратные корни
    • Особенности функции квадратного корня Python, sqrt ()
    • Практическое применение sqrt () на реальном примере

    Умение использовать sqrt () — это только половина дела.Другое дело — понять, когда его использовать. Теперь вы знаете и то, и другое, так что примените свое новое мастерство в использовании функции извлечения квадратного корня в Python!

    Решатель уравнений и систем — MATLAB решает

  • Если решает не может найти решение и
    ReturnConditions — это false ,
    решить функцию внутренне вызывает числовой решатель
    vpasolve , который пытается найти числовое решение. Для полинома
    уравнения и системы без символьных параметров, числовой решатель возвращает все
    решения.Для неполиномиальных уравнений и систем без символических параметров
    числовой решатель возвращает только одно решение (если решение существует).

  • Если решить не может найти решение и
    ReturnConditions is true ,
    solution возвращает пустое решение с предупреждением. Если нет решений
    Существуют, решать возвращает пустое решение без предупреждения.

  • Если решение содержит параметры и ReturnConditions равно true , solution возвращает
    параметры в решении и условия, при которых
    решения верны.Если ReturnConditions равен false ,
    функция solution либо выбирает значения
    параметры и возвращает соответствующие результаты или возвращает параметризованные
    решения без выбора конкретных значений. В последнем случае решает также
    выдает предупреждение с указанием значений параметров в возвращенном
    решения.

  • Если параметр не отображается ни при каких условиях, он
    означает, что параметр может принимать любое комплексное значение.

  • Результат решения может содержать
    параметры из входных уравнений в дополнение к введенным параметрам
    на решить .

  • Параметры, введенные решить сделать
    не появляются в рабочем пространстве MATLAB. Доступ к ним должен осуществляться с помощью
    выходной аргумент, который их содержит. В качестве альтернативы можно использовать
    параметры в рабочем пространстве MATLAB используют syms для
    инициализировать параметр. Например, если параметр k ,
    используйте syms k .

  • Имена переменных параметры и условия
    не допускается в качестве входных данных для , решения .

  • Для решения дифференциальных уравнений используйте функцию dsolve .

  • При решении системы уравнений всегда присваивайте
    результат для вывода аргументов. Выходные аргументы позволяют получить доступ к
    значения решений системы.

  • MaxDegree принимает только положительные
    целые числа меньше 5, потому что, как правило, нет явных
    выражения для корней многочленов степеней выше 4.

  • Выходные переменные y1 ,..., yN не указываются переменные для
    который решает решает уравнения или системы. Если
    y1, ..., yN — переменные, которые появляются в
    eqns , то нет гарантии, что
    solution (eqns) назначит решения для
    y1, ..., yN в правильном порядке. Таким образом, когда вы бежите
    [b, a] = resolve (eqns) , вы можете получить решения для
    a присвоено b и наоборот.

    Чтобы обеспечить порядок возвращаемых решений, укажите переменные
    варс . Например, звонок [b, a] =
    решить (eqns, b, a)
    назначает решения для a на
    a и решения для b to
    б .

  • Дифференциальные уравнения — повторяющиеся корни

    Показать мобильное уведомление

    Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (для их просмотра должна быть возможность прокручивать), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. {- \ frac {{b \, t}} {{2a}}}} \]

    Чтобы найти второе решение, мы будем использовать тот факт, что постоянная, умноженная на решение линейного однородного дифференциального уравнения, также является решением.2} — 4ac} \ right) v} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

    Теперь, поскольку мы работаем с двойным корнем, мы знаем, что второй член будет равен нулю. Также экспоненты никогда не равны нулю. Следовательно, \ (\ eqref {eq: eq1} \) будет решением дифференциального уравнения при условии, что функция \ (v (t) \) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению.

    \ [av » = 0 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} v » = 0 \]

    Мы можем отбросить \ (a \), потому что знаем, что он не может быть нулем.Если бы это было, у нас не было бы дифференциального уравнения второго порядка! Итак, теперь мы можем определить наиболее общую возможную форму, которая допустима для \ (v (t) \).

    \ [v ‘= \ int {{v’ ‘\, dt}} = c \ hspace {0,25 дюйма} v \ left (t \ right) = \ int {{v’ \, dt}} = ct + k \ ]

    Это на самом деле сложнее, чем нам нужно, и мы можем исключить из него обе константы. {2t}} \]

    Пример 2 Решите следующую IVP.{\ frac {{5 \, t}} {4}}} \ end {align *} \]

    Не забудьте про правила продукта на второй срок! Подстановка начальных условий дает следующую систему.

    \ [\ begin {align *} 3 = y \ left (0 \ right) & = {c_1} \\ — \ frac {9} {4} = y ‘\ left (0 \ right) & = \ frac {5 } {4} {c_1} + {c_2} \ end {align *} \]

    Эту систему легко решить, чтобы получить \ (c_ {1} = 3 \) и \ (c_ {2} = -6 \). Фактическое решение IVP — тогда.{- 7 \ left ({t + 4} \ right)}} \ end {align *} \]

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *