Примеры решения уравнения: Решение простейших линейных уравнений

Содержание

Урок 49. уравнения. методы решения уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №49. Уравнения. Методы решения уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Методы решения уравнений.
  • Применение методов решения к уравнениям различного вида.
  • Примеры решения задач государственной итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Основная литература

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основные методы решения уравнений

Метод разложения на множители

Рассмотрим пример.

Решить уравнение:

ООУ:

Преобразуем обе части уравнения

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

или

Первое уравнение

имеет множество корней

Второе уравнение

равносильно и его корни

Ответ:

Метод замены переменной

Рассмотрим пример.

ООУ:

Так как в уравнении присутствует повторяющееся выражение, введем новую переменную

и получи уравнение

, корни которого

Возвращаемся к первоначальной переменной

или

Ответ:

Метод решения однородных уравнений.

Рассмотрим пример

Решить уравнение:

ООУ: x – любое действительное число

Все слагаемые в правой части уравнения имеют равные степени, поэтому разделим обе части уравнения на и получим

.

Решаем полученное уравнение методом замены переменной

или

Ответ: 1; 2

Итак, можно сделать следующие выводы. Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Решите уравнение

Выберите ответ из предложенных.

Варианты ответов:

  1. 10
  2. -10
  3. 100
  4. -100
  5. 1000
  6. -1000

Решение

ООУ:

Преобразуем левую часть уравнения

Введем новую переменную

Получим уравнение

Возвращаемся к первоначальной переменной

Ответ: — 1000

Пример 2.

Решите уравнение

Выберите корень из списка:

Решение:

ООУ:

Возведем обе части уравнения в квадрат

Повторно возведем в квадрат при условии

Корни этого уравнения

Учитывая все ограничения, получаем ответ .

Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

,

где m ≠ 0 и m ≠ 1.

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию
y в степени, отличной от нуля и единицы
.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

  1. Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
  2. Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

,

.

Обозначим .
Тогда , откуда
. Переходя к новой
переменной, получим уравнение

,

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить
методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v.
Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

.

Из слагаемых, содержащих функцию u в
первой степени, вынесем её за скобки:

.

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

,

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции
v.

Функцию u следует находить из дифференциального
уравнения

,

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на
y³:

.

Введём обозначение , тогда
,
и приходим к уравнению

или

.

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v,
z‘ = uv + uv‘:

,

.

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Полученную функцию v подставим в уравнение:

Тогда

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций
y = u ⋅ v. Подставив
его и y‘ = uv + uv
в данное дифференциальное уравнение, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и
определим функцию u:

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение, в котором m = −1.
Применив подстановку y = u ⋅ v,
получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и
определим функцию u:

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку
y = u ⋅ v. Получаем

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися
переменными:

Подставляем v в данное уравнение и решаем
полученное уравнение:

или

Разделим переменные:

и проинтегрируем обе части уравнения:

Далее используем подстановку

:

.

Введём обозначения:

Продолжаем:

Таким образом, получаем функцию u:

.

и решение данного дифференциального уравнения:

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии .

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую —
нелинейные:

.

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку
y = u ⋅ v,
y‘ = uv + uv‘:

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:

Подставим функцию v в данное уравнение и
решим полученное дифференциальное уравнение:

Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:

.

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Решаем:

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию
u:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

.

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

.

И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом —
переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³,
получим

.

Введём новую функцию . Тогда

.

Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:

.

Найдём его общий интеграл:

,

.

Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем

или

.

Приравниваем нулю выражение в скобках:

Для определения функции u получаем уравнение

.

Разделяем переменные:

Интегрируем по частям:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения

или

.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

 

Решение уравнений

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

 

Математика

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

 

Примеры решения показательных уравнений

Примеры решения показательных уравнений

Примеры решения показательных уравнений


Пример №1

1000x=100


Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:


103x=102

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2

x=2/3

Ответ: x=2/3 .


Главное в показательных уравнениях — свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:


Пример №2


(2/5)x=(5/2)4

Представим (2/5)x как (5/2)-x:

(5/2)-x=(5/2)4

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4

x=-4


Ответ: x=-4

Пример №3

√3х=9

√3х распишем как 3x/2, а 9 — как 32:

3х/2=32

Приравниваем показатели:

х/2=2

х=4


Ответ: x=4

Пример №4

3х2-х-2=81

Заметим, что 81=34

3х2-х-2=34

Приравниваем показатели:

х2-х-2=4

х2-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х1=(1+5)/2=3

х2=(1-5)/2=-2


Ответ: х=3 и х=-2


Пример №5

4х+1+4х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

4х(4+1)=320

4х*5=320

Представим 320 в виде 5*43, тогда:

4х*5=5*43

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4х=43

Приравняем показатели:

х=3


Ответ: х=3


Пример №6

7х+2+4*7х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:

7х-1*(73+4)=347

7х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:

7х-1=70

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1


Ответ: х=1


Пример №7

4х-5*2х+4=0

Представим 4х как 2, получим:

2-5*2х+4=0

Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 2=t2. Получим:

t2-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t1=1

t2=4

Заменим t на 2х:

2х=1

Заметим, что 20=1

2х=20

Приравняем показатели:

х=0

2х=4

Заметим, что 4=22

2х=22

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.


Ответ: х=0 и х=2

Пример №8

(√2+√3)х + (√2-√3)х=4

Введем подстановку: (√2+√3)х обозначим переменной t. А (√2-√3)х домножим на сопряженные и получим:


((√2+√3)х*(√2-√3)х) / (√2+√3)х = (√4-3)х/(√2+√3)х = 1 x/(2+√3)x = 1/(2+√3)x

Следовательно, 1/(√2+√3)х=1/t.

Получаем:

t+1/t=4

Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t2+1=4t

t2-4t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t1=(4-2√3)/2=2-√3

t2=(4+2√3)/2=2+√3

Заменим t на (√2+√3)х:

(√2-√3)х=2+√3

Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

1/(2-√3)=2+√3

Cледовательно:

(√2-√3)х=1/2-√3

Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)-2

(√2+√3)х=(√2-√3)-2

Приравняв показатели, получим:

х=-2

Заменим t на 2+√3

(√2+√3)х=2+√3

Заметим, что 2+√3=(√2+√3)2

Приравняв показатели, получим:

х=2


Ответ: х=-2 и х=2

Пример №9

x+y=6

xy2+7y+12=1

Выразим x:

x=6-y

xy2+7y+12=1

Заметим, что x0=1:

x=6-y

xy2+7y+12=x0

Приравним показатели:

x=6-y

y2+7y+12=0

Решим отдельно квадратное уравнение:

y2+7y+12=0

D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

y1=(-7+1)=-3

y2=(-7-1)=-4

y=-3

x=6-(-3)=9

y=-4

x=6-(-4)=10


Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4



<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>



Примеры решения системы уравнений | Математика

60. Различные примеры на решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Мы разберем здесь несколько примеров с целью показать, как и какими способами удобнее пользоваться, в зависимости от особенностей данных уравнений.

Пример 1:

x/y = 5/8; 4x + y/4 = 11.

Вместо того, чтобы сначала упрощать уравнения, мы определим из 1-го уравнения x через y, для чего достаточно обе части уравнения умножить на y. Получим:

x = 5y/8.

Полученное выражение подставим вместо x во 2-е уравнение:

4 · 5y/8 + y/4 = 11

или

5y/2 + y/4 = 11

Освободим теперь уравнение от дробей, для чего обе части его умножим на 4

10y + y = 44.

Откуда

11y = 44 и y = 4.

Теперь легко вычислить x

x = 5y/8 = 5 · 4 / 8 = 2½

Пример 2.

(x + y)/2 – x/3 = 1; x – (x + y) / 2 = 3.

Здесь возможно употребить следующий искусственный прием.
Определим из 1-го уравнения (x + y)/2 через x, — мы получим, перенеся член x/3 в правую часть:

(x + y) / 2 = 1 + x/3.

Подставим затем полученное выражение 1 + x/3 во 2-ое уравнение на место (x + y) / 2, — получим:

x – (1 + x/3) = 3

или

x – 1 – x/3 = 3

или

2x/3 = 4,

откуда

x = 4 : 2/3 = 6.

Подставим теперь число 6 на место x в 1-ое уравнение, — получим:

3 + y/2 = 1 + 2,

откуда

y/2 = 0 и y = 0.

Пример 3.

a – (ax – y)/2a = x/4; y/(x – a) = a.

Упростим 1-ое уравнение, для чего сначала обе части его умножим на общего знаменателя 4a:

4a2 – 2ax + 2y = ax или 3ax – 2y = 4a2.

Упростим 2-ое уравнение:

y = ax – a2 или ax – y = a2.

Уравняем теперь коэффициенты при y, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части 2-го умножим на 2, — получим:

3ax – 2y = 4a2
2ax – 2y = 2a2.

Вычтя по частям из 1-го уравнения 2-ое, получим:

ax = 2a2,

откуда

x = 2a2/a = 2a.

Подставим теперь полученное значение x в наиболее простое уравнение, т. е. в ax – y = a2. Получим

2a2 – y = a2,

откуда

y = a2.

Пример 4.

12/x – 15/y = ¼; 8/x + 10/y = 5/6.

Не следует здесь освобождать уравнения от дробей.

Уравняем числители тех дробей, знаменателем которых служит y, для чего обе части первого уравнения умножим на 4 и обе части второго на 6. Получим:

48/x – 60/y = 1 и 48/x + 60/y = 5      (1)

Сложив по частям наши уравнения, получим:

96/x = 6.

Умножим обе части на x:

96 = 6x или 6x = 96

откуда

x = 16.

Для определения y умножим обе части 1-го уравнения в системе (1) на –1; получим:

–48/x + 60/y = –1
48/x + 60/y = 5.

Сложив теперь наши уравнения по частям, получим:

120/y = 4,

откуда

120 = 4y или 4y = 120 и y = 30.

Примеры решения квадратных и биквадратных уравнений

Пример 4. Решить квадратное уравнение x2 + 12x + 36 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.

Так как b = 12 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (b/2)2 — ac = 62 — 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = (-6)/1 = -6.

Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
x2 + 12x + 36 = 0 (x+6)2 = 0 x = -6.

Ответ: -6.

Пример 5. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (b/2)2 — ac = (-14)2 — 4*49 = 196-196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = 14/4 = 7/2.

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x2 -28x + 49 = 0 (2x-7)2 = 0 2x = 7 x = 7/2.

Ответ: 7/2.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Умножив обе части уравнения на -4, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
x2 + 3x = 0 x(x+3) = 0

x = 0, x = 0,
x — 3 = 0 x = 3.

Ответ: 0, 3.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

Получим 6x2 + 3x = 20x-10 6x2 + 3x — 20x + 10 = 0 6x2 — 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: 5/6, 2.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 — ac = (√2)2 — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2=3), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 — ac = 32 — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: (3-√3)/3, (3+√3)/3.

Пример 10. Решить уравнение x4 — 17x2 + 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 — 17x2 + 16 = 0 => t2 — 17t + 16 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 11. Решить уравнение 9x4 + 32x2 — 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x4 + 32x2 — 16 = 0 => 9t2 + 32t — 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2=16), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 — ac = 162 — 9*(-16) = 400 >0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x= ±2/3.

Ответ: ±2/3.

Пример 12. Решить уравнение x4 + 3x2 — 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 + 3x2 — 10 = 0 => t2 + 3t — 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b2 — 4ac = 32 — 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x2 = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = ±√2.

Ответ: ±√2.

§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем

Задача 5 Решите уравнение 



Решение

Комментарий

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x:

 Это уравнение может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательный:

Тогда    Но   не может быть больше чем 1. Таким образом,  то есть  или   Подставляя эти значения в данное уравнение, получаем, что оно равносильно совокупности систем:

 Из второго уравнения первой системы имеем х = 1, что удовлетворяет и первому уравнению системы. Таким образом, х = 1 — решение первой системы, а значит, и решение данного уравнения. Аналогично получаем х = –1 — решение второй системы, а значит, и решение данного уравнения.

Ответ: 1; –1.

Есть несколько подходов к реше­нию данного уравнения.

1) Рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно пере­менной x и учесть, что оно может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неот­рицательным (см. решение).

2) Если в левой части уравнения выделить полный квадрат , то получим уравнение:

  Учтем, что всегда  и  А сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Также можно последнее уравне­ние записать в таком виде:

и оценить левую и правую части этого уравнения.

 

При решении систем тригонометрических уравнений не всегда удается выполнять только равносильные преобразования уравнений системы, ино­гда приходится пользоваться уравнениями-следствиями. В таких случаях могут возникать посторонние решения, поэтому полученные решения не­обходимо проверять. Причем проверять можно как значения переменных, полученные в конце решения, так и значения тригонометрических функ­ций, полученные в ходе решения. Если все тригонометрические функции, которые входят в запись системы, по каждой из переменных имеют общий период, то достаточно выполнить проверку для всех значений переменных из одного периода (для каждой переменной).

Задача 6 Решите систему уравнений

Комментарий

Если из первого уравнения системы выразить sin x, а из второго — cos x, то можно возвести обе части каждого уравнения в квадрат и после почленного сложения полученных уравнений использовать тождество . В результате получим уравнение с одной переменной y, которое легко при­водится к одной тригонометрической функции.

Но при возведении обеих частей уравнения в квадрат получаем уравнение-следствие. Таким образом, среди полученных решений могут быть и посто­ронние решения для данной системы, которые придется отсеивать проверкой.

Для проверки учитываем, что все функции относительно переменной x, которые входят в запись системы (то есть sin x и cos x), имеют общий период 2π. Аналогично все функции относительно переменной y (sin у и cos у) тоже имеют общий период 2π. Следовательно, проверку решений достаточ­но выполнить для всех пар чисел (х; у), где x ∈ [0; 2π], y ∈ [0; 2π] (можно взять и другие промежутки длиной 2π). Полезно также учесть, что все ре­шения, полученные вследствие подстановки в одно из уравнений системы, автоматически удовлетворяют этому уравнению, а значит, проверку этих решений достаточно выполнить только для второго уравнения системы.

Для каждой переменной все полученные решения необходимо повторить через период.

Решение

Заданная система равносильна системе 

Возведем обе части каждого уравнения системы в квадрат и почленно сложим полученные уравнения. Получаем уравнение-следствие

Подставляя полученные значения в уравнение (2), получаем

                  

                   

Относительно каждой из переменных x и y все функции, которые входят в запись данной системы, имеют период 2π, поэтому проверку достаточно выполнить для всех пар чисел (х; у), где x ∈ [0; 2π], y ∈ [0; 2π].

Для системы (3) это пары чисел: 

а для системы (4) это пары чисел:

Решениями заданной системы являются только пары чисел:

 

Ответ получим, повторяя приведенные решения через период (для каж­дой переменной).

При решении уравнений с обратными тригонометрическими функция­ми полезно помнить, что при

                                         

и для любых значений a

                                         

Также при решении уравнений с обратными тригонометрическими функ­циями часто бывает удобно от обеих частей уравнения взять какую-нибудь тригонометрическую функцию и воспользоваться определением соответ­ствующих обратных тригонометрических функций.

 

Задача 7 Решите уравнение 

Комментарий

Если взять от обеих частей данного уравнения функцию синус, то полу­чим уравнение-следствие: если числа равны, то и синусы будут равны, но если синусы двух чисел равны, то это еще не значит, что числа обязательно будут равны. То есть верное равенство будет сохраняться при прямых преоб­разованиях, но не обязательно будет сохраняться при обратных преобразо­ваниях. Таким образом, в конце решения необходимо выполнить проверку полученных корней.

Если обозначить , то по определению арксинуса  и  Для нахождения cos α учитываем, что при  значение  таким образом, 

Проверяя полученные решения, в тех случаях, когда найденные числа не являются корнями данного уравнения, иногда удобно сравнить полученные решения с табличными значениями. Например,  больше, чем  (отметим, что для строгого доказательства того, что   достаточно срав­нить числа   а для этого достаточно сравнить числа 242= 576 и  132⋅2 = 338 и воспользоваться возрастанием функции  на всей обла­сти определения). Учитывая возрастание функции y = arcsin t, получаем, что

                    

Решение

Если обозначить arcsin x = α, где  , и , где  то данное уравнение будет иметь вид                                                                         

                                          2α=β.                                          (1)

Возьмем от обеих частей уравнения (1) функцию синус и получим

                                   sin 2α = sin β, 

                               2 sin α cos α = sin β.                                (2)

По определению арксинуса   Учитывая, что  ,  получаем 

Тогда уравнение (2) будет иметь вид 

Отсюда

Таким образом, x = 0 или

Проверка.

1) x = 0 — корень 

2)  — посторонние корни.

Ответ: 0.

Замечание. Для решения уравнения  можно было применить не только уравнения-следствия, но и равносильные преобразова­ния уравнений. В этом случае необходимо учесть ОДЗ данного уравнения:

                                                                                  (3)

а также то, что для всех корней уравнения его правая часть  на­ходится в промежутке  (по определению арксинуса). Таким образом, и левая часть уравнения должна находиться в этом же промежутке. Значит, для всех корней данного уравнения выполняется условие: ,  то есть

                                                                                      (4)

На промежутке  функция sin t является возрастающей, тогда при выполнении условия (4) (и конечно, на ОДЗ (3)), если от обеих частей данно­го уравнения взять синус, то получим равносильное ему уравнение (то есть данное уравнение равносильно уравнению (2) при условиях (3) и (4)). Выпол­няя рассуждения и преобразования, приведенные выше в решении задачи 7, получаем x = 0 или  . Все найденные решения принадлежат ОДЗ (удо­влетворяют условиям (3)), но условию (4) удовлетворяет только х = 0. Таким образом, корнем данного уравнения является только x = 0.

Вопросы для контроля

  1. Объясните, как можно решить уравнение  с помощью оцен­ки левой и правой частей уравнения. Решите это уравнение.
  2. Объясните, как можно решать тригонометрические уравнения, в запись которых входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. Приведите пример такого урав­нения.
  3. Приведите пример тригонометрической формулы, применение которой может привести к сужению ОДЗ данного уравнения и к потере его кор­ней. Объясните, почему происходит сужение ОДЗ. Как необходимо при­менять такие формулы, чтобы не потерять корни данного уравнения? Объясните это на примере уравнения 

Решение уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:

.

Это уравнение говорит: то, что слева (x — 2) равно тому, что справа (4)

Итак, уравнение похоже на оператор : «, это равно , что »

.

Что такое решение?

Решение — это значение, которое мы можем подставить вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .

Пример: x — 2 = 4

Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:

6–2 = 4

, что соответствует истинным

Итак, x = 6 — решение.

Как насчет других значений x?

  • Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
  • Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что равно , неверно , поэтому x = 9 не является решением .
  • и т. Д.

В этом случае x = 6 — единственное решение.

Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

Более одного решения

Может быть более одного решения .

Пример: (x − 3) (x − 2) = 0

Когда x равно 3, получаем:

(3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0

, что соответствует истинным

И когда x равно 2, получаем:

(2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0

, что также соответствует истинным

Итак, решения:

x = 3 или x = 2

Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений

Приведенный выше набор решений: {2, 3}

Решения везде!

Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities

Пример:

sin (−θ) = −sin (θ) — одно из тригонометрических тождеств

Попробуем θ = 30 °:

sin (-30 °) = -0.5 и

−sin (30 °) = −0,5

Так что истинно для θ = 30 °

Попробуем θ = 90 °:

sin (-90 °) = -1 и

−sin (90 °) = −1

Так же истинно для θ = 90 °

Верно ли для все значения θ ? Попробуйте сами!

Как решить уравнение

Не существует «единого идеального способа» решить все уравнения.

Полезная цель

Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель — получить:

Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.

Пример: Решить 3x − 6 = 9

Начать с: 3x − 6 = 9

Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6

Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3

Теперь у нас x = что-то ,

и короткий расчет показывает, что x = 5

Как пазл

На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки.И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

Вот что мы можем сделать:

Пример: Решить √ (x / 2) = 3

Начать с: √ (x / 2) = 3

Квадрат с двух сторон: x / 2 = 3 2

Вычислить 3 2 = 9: x / 2 = 9

Умножьте обе стороны на 2: x = 18

И чем больше «трюков» и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.

Специальные уравнения

Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …

Проверьте свои решения

Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно — это решение.

Как проверить

Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

Пример: найти x:

2x x — 3 + 3 = 6 x — 3 (x ≠ 3)

Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.

Умножим на (x — 3):

2x + 3 (x − 3) = 6

Переместите 6 влево:

2x + 3 (x − 3) — 6 = 0

Развернуть и решить:

2x + 3x — 9-6 = 0

5x — 15 = 0

5 (х — 3) = 0

х — 3 = 0

Это можно решить, если x = 3

Проверим:

2 × 3
3–3
+ 3 =
6
3–3

Держись!
Это означает деление на ноль!

И вообще, мы сказали вверху, что x ≠ 3, так что…

x = 3 на самом деле не работает, поэтому:

Есть Нет Решение!

Это было интересно … мы думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!

Это дает нам моральный урок:

«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!

Подсказки

  • Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
  • Покажите все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вами или кем-то еще)

Решение уравнений — методы и примеры

Понимание того, как решать уравнения, — один из самых фундаментальных навыков, которым может овладеть каждый студент, изучающий алгебру.Решения для большинства алгебраических выражений ищутся, применяя этот навык. Следовательно, учащиеся должны лучше понимать, как проводить операцию.

В этой статье узнает, как решить уравнение , выполнив четыре основных математических операции: сложение , вычитание , умножение и деление .

Уравнение обычно состоит из двух выражений, разделенных знаком, обозначающим их взаимосвязь.Выражения в уравнении могут быть связаны знаком равенства (=), меньше (<), больше (>) или комбинацией этих знаков.

Как решать уравнения?

Решение алгебраического уравнения — это обычно процедура манипулирования уравнением. Переменная остается на одной стороне, а все остальное — на другой стороне уравнения.

Проще говоря, решить уравнение — значит изолировать его, сделав его коэффициент равным 1. Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, сделайте то же самое с противоположной стороной уравнения.

Решите уравнения, добавив

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 1

Решите: –7 — x = 9

Решение

–7 — x = 9

Добавьте 7 к обеим сторонам уравнения.
7 — x + 7 = 9 + 7
— x = 16

Умножить обе стороны на –1
x = –16

Пример 2

Решить 4 = x — 3

Решение

Здесь переменная находится справа в уравнении.Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения

4+ 3 = x — 3 + 3

7 = x

Проверьте решение, подставив ответ в исходное уравнение.

4 = x — 3

4 = 7 — 3

Следовательно, x = 7 — правильный ответ.

Решение уравнений путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите относительно x in x + 10 = 16

Решение

x + 10 = 16

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

x + 10 — 10 = 16 — 10

x = 6

Пример 4

Решите линейное уравнение 15 = 26 — y

Решение

15 = 26 — y

Вычесть 26 с обеих сторон уравнения
15-26 = 26-26 -y
-11 = -y

Умножаем обе части на –1

y = 11

Решение уравнений с переменными с обеих сторон, добавляя

Давайте см. несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 4

Рассмотрим уравнение 4x –12 = -x + 8.

Так как уравнение имеет две стороны, вам необходимо выполнить одну и ту же операцию с обеих сторон.

Добавьте переменную x к обеим частям уравнения

⟹ 4x –12 + x = -x + 8 + x.

Упростите

Упростите уравнение, собрав одинаковые члены с обеих сторон уравнения.

5x — 12 = 8.

Теперь уравнение имеет только одну переменную с одной стороны.

Добавьте константу 12 к обеим частям уравнения.

Константа, прикрепленная к переменной, добавляется с обеих сторон.

⟹ 5x — 12 +12 = 8 + 12

Упростить

Упростите уравнение, объединив похожие члены. И 12.

⟹ 5x = 20

Теперь разделим на коэффициент.

Деление обеих частей на коэффициент означает простое деление всего на число, присвоенное переменной.

Решение этого уравнения, следовательно,

x = 4.

Проверьте свое решение

Проверьте правильность решения, подставив ответ в исходное уравнение.

4x –12 = -x + 8

⟹ 4 (4) –12 = -4 + 8

4 = 4

Следовательно, решение верное.

Пример 5

Решить -12x -5-9 + 4x = 8x — 13x + 15-8

Решение

Упростить, объединив похожие термины

-8 = -5x +7

Добавьте 5x с обеих сторон.

-8x + 5x -14 = -5x + 5x + 7

-3w -14 = 7

Теперь прибавьте 14 к обеим сторонам уравнения.

— 3x — 14 + 14 = 7 + 14

-3x = 21

Разделите обе части уравнения на -3

-3x / -3 = 21/3

x = 7.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 6

Решите уравнение 12x + 3 = 4x + 15

Решение

Вычтите 4x из каждой части уравнения.

12x-4x + 3 = 4x — 4x + 15

6x + 3 = 15

Вычтем константу 3 с обеих сторон.

6x + 3-3 = 15-3

6x = 12

Разделить на 6;

6x / 6 = 12/6

x = 2

Пример 7

Решите уравнение 2x — 10 = 4x + 30.

Решение

Вычтем 2x из обеих частей уравнения .

2x -2x -10 = 4x — 2x + 23

-10 = 2x + 30

Вычтем обе части уравнения на константу 30.

-10-30 = 2x + 30-30

-40 = 2x

Теперь разделите на 2

-40/2 = 2x / 2

-20 = x

Решение линейных уравнений с умножением

Линейные уравнения решаются умножением, если при написании уравнения используется деление. Как только вы заметите, что переменная делится, вы можете использовать умножение для решения уравнений.

Пример 7

Решите x / 4 = 8

Решение

Умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби,

4 (x / 4) = 8 x 4

x = 32

Пример 8

Решите -x / 5 = 9

Решение

Умножьте обе стороны на 5.

5 (-x / 5) = 9 x 5

-x = 45

Умножьте обе стороны на -1, чтобы коэффициент переменной был положительным.

x = — 45

Решение линейных уравнений с делением

Для решения линейных уравнений с делением обе части уравнения делятся на коэффициент переменной. Давайте посмотрим на приведенные ниже примеры.

Пример 9

Решите 2x = 4

Решение

Чтобы решить это уравнение, разделите обе части на коэффициент переменной.

2x / 2 = 4/2

x = 2

Пример 10

Решите уравнение −2x = −8

Решение

Разделите уравнение на обе части 2.

−2x / 2 = −8/2

−x = — 4

Умножая обе стороны на -1, получаем;

x = 4

Как решать алгебраические уравнения, используя свойство распределения?

Решение уравнений с использованием свойства распределения влечет за собой умножение числа на выражение в круглых скобках.Затем подобные термины объединяются, а затем выделяется переменная.

Пример 11

Решите 2x — 2 (3x — 2) = 2 (x –2) + 20

Решение

2x — 2 (3x — 2) = 2 (x –2) + 20

Используйте свойство распределения для удаления скобок
2x — 6x + 4 = 2x — 4 + 20
— 4x + 4 = 2x + 16

Сложить или вычесть с обеих сторон

–4x + 4 — 4 –2x = 2x + 16 — 4 –2x
–6x = 12
x = –2

Проверьте ответ, подставив решение в уравнение.

2x — 2 (3x — 2) = 2 (x –2) + 20

(2 * –2) — 2 ((3 * –2) –2) = 2 (–2 –2) + 20
12 = 12

Пример 12

Решите относительно x в уравнении -3x — 32 = -2 (5 — 4x)

Решение

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки .

–3x ​​- 32 = — 10 + 8x

Если сложить обе части уравнения на 3x, получим

-3x + 3x — 32 = — 10 + 8x + 3x

= — 10 + 11x = -32

Сложите обе части уравнения на 10.

— 10 + 10 + 11x = -32 + 10

11x = -2

Разделите все уравнение на 11.

11x / 11 = -22/11

x = -2

Как решать уравнения с дробями?

Не паникуйте, когда вы видите дроби в алгебраическом уравнении. Если вы знаете все правила сложения, вычитания, умножения и деления, это легкий кусок пирога для вас.

Чтобы решить уравнения с дробями, вам нужно преобразовать их в уравнение без дробей.

Этот метод также называется «очистка от фракций ».

При решении уравнений с дробями выполняются следующие шаги:

  • Определите наименьшее общее кратное знаменателей (ЖКД) всех дробей в уравнении и умножьте на все дроби в уравнении.
  • Изолировать переменную.
  • Упростите обе части уравнения, применяя простые алгебраические операции.
  • Примените свойство деления или умножения, чтобы коэффициент переменной был равен 1.

Пример 13

Решить (3x + 4) / 5 = (2x — 3) / 3

Решение

На ЖК-дисплее 5 и 3 будет 15, поэтому умножьте оба
(3x + 4) / 5 = (2x — 3) / 3

{(3x + 4) / 5} 15 = {(2x — 3) / 3} 15

9x +12 = 10x -15

Изолировать переменную;

9x -10x = -15-12

-x = -25

x = 25

Пример 14

Решить относительно x 3 / 2x + 6/4 = 10/3

Решение

ЖК-дисплей 2x, 4 и 3 равен 12x

Умножьте каждую дробь в уравнении на ЖК-дисплей.

(3 / 2x) 12x + (6/4) 12x = (10/3) 12x

=> 18 + 18x = 40x

Изолировать переменную

22x = 18

x = 18/22

Упростить

x = 9/11

Пример 15

Решить относительно x (2 + 2x) / 4 = (1 + 2x) / 8

Решение

LCD = 8

Умножьте каждую дробь на ЖК-дисплей,

=> 4 + 4x = 1 + 2x

Изолировать x;

2x = -3

x = -1.5

Практические вопросы

1. Решите относительно x в следующих линейных уравнениях:

a. 10x — 7 = 8x + 13

б. х + 1/2 = 3

с. 0,2x = 0,24

г. 2x — 5 = x + 7

e. 11x + 5 = x + 7

2. Возраст Джареда в четыре раза старше его сына. Через 5 лет Джаред будет в 3 раза старше своего сына. Найдите настоящий возраст Джареда и его сына.

3. Стоимость 2 пар брюк и 3 рубашек — 705 долларов США. Если рубашка стоит на 40 долларов меньше пары брюк, найдите стоимость каждой рубашки и брюк.

4. Лодке требуется 6 часов при движении вверх по течению и 5 часов при движении вниз по течению. Рассчитайте скорость лодки в стоячей воде, учитывая, что скорость реки составляет 3 км / час.

5. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Когда цифры меняются местами, полученное число на 27 меньше исходного. Найдите номер.

6. 10000 долларов распределено между 150 людьми. Если деньги достоинством 100 или 50 долларов. Подсчитайте количество денег каждого достоинства.

7. Ширина прямоугольника на 3 см меньше длины. Когда ширина и длина увеличиваются на 2, площадь прямоугольника изменяется на 70 см 2 больше, чем у исходного прямоугольника. Вычислите размеры исходного прямоугольника.

8. Числитель дроби 8 меньше знаменателя. Когда знаменатель уменьшается на 1, а числитель увеличивается на 17, дробь становится 3/2. Определите дробь.

9. Мой отец на 12 лет больше меня, чем в два раза.Через 8 лет возраст моего отца будет на 20 лет меньше меня, чем в 3 раза. Какого возраста сейчас мой отец?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение уравнений

Решение уравнений с одной переменной

An

уравнение

представляет собой математическое выражение, состоящее из знака равенства между двумя числовыми выражениями или выражениями переменных, как в

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

А

решение

к уравнению это число
который может быть подключен к

Переменная

сделать истинное числовое утверждение.


Пример 1:

Подставляя

2

для

Икс

в

3

Икс

+

5

знак равно

11

дает

3

(

2

)

+

5

знак равно

11

, что говорит

6

+

5

знак равно

11

; это правда!

Так

2

это решение.

По факту,

2

ЕДИНСТВЕННОЕ решение

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

Некоторые уравнения могут иметь более одного решения, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.


Пример 2:

Уравнение

Икс

2

знак равно

Икс

имеет два решения,

0

а также

1

, поскольку

0

2

знак равно

0

а также

1

2

знак равно

1

.Никакой другой номер не работает.


Пример 3:

Уравнение

Икс

+

1

знак равно

1

+

Икс

верно для

все реальные числа

. Оно имеет

бесконечно много

решения.


Пример 4:

Уравнение

Икс

+

1

знак равно

Икс

является

никогда

верно для

любой

настоящий номер.Оно имеет

нет решений

.

В

набор

содержащее все решения уравнения, называется

набор решений

для этого уравнения.


Уравнение


Набор решений

3

Икс

+

5

знак равно

11

{

2

}

Икс

2

знак равно

Икс

{

0

,

1

}

Икс

+

1

знак равно

1

+

Икс

р

(набор всех действительных чисел)

Икс

+

1

знак равно

Икс



(пустой набор)

Иногда вас могут попросить решить уравнение над определенным

домен

.Здесь возможности для значений

Икс

ограничены.


Пример 5:

Решите уравнение

Икс

2

знак равно

Икс

по домену

{

0

,

1

,

2

,

3

}

.

Это немного сложное уравнение; это не

линейный

и это не

квадратичный

, поэтому у нас нет хорошего метода ее решения.Однако, поскольку домен содержит только четыре числа, мы можем просто использовать метод проб и ошибок.

0

2

знак равно

0

знак равно

0

1

2

знак равно

1

знак равно

1

2

2

2

3

2

3

Итак

набор решений

в данном домене

{

0

,

1

}

.

Решение уравнений с двумя переменными

Решения для уравнения с одной переменной:

числа

. С другой стороны, решения уравнения с двумя переменными имеют вид

заказанные пары

в виде

(

а

,

б

)

.


Пример 6:

Уравнение

Икс

знак равно

y

+

1

верно, когда

Икс

знак равно

3

а также

y

знак равно

2

.Итак, заказанная пара

(

3

,

2

)

является решением уравнения.

Есть бесконечно много других решений этого уравнения, например:

(

4

,

3

)

,

(

11

,

10

)

,

(

5.5

,

4.5

)

,

и т.п.

Упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения с двумя переменными, можно изобразить на

декартова плоскость

. Результатом может быть линия или интересная кривая, в зависимости от уравнения. Смотрите также

построение графиков линейных уравнений

а также

построение графиков квадратных уравнений

.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

В этом разделе показан процесс решения уравнений различных форм.Здесь также показано, как проверить свой ответ тремя разными способами:
алгебраически, графически и с использованием концепции эквивалентности.
В следующей таблице приведены частичные списки типичных уравнений.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите относительно x в следующих уравнениях.

  1. x — 4 = 10
    Решение
  2. 2 x — 4 = 10
    Решение
  3. 5x — 6 = 3 x — 8
    Решение
  4. Решение

  5. Решение
  6. 2 (3 x -7) + 4 (3 x + 2) = 6 (5 x + 9) + 3
    Решение
  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛ (S) — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение

  2. Решение

  3. Решение

  4. Решение

  5. Решение

  6. Решение

  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — Решите для x в
следующие уравнения.

  1. Решение

  2. Решение

  3. Решение

  4. Решение

  5. Решение

КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. x
    Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

УРАВНЕНИЯ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ДОБИ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

  6. Решение

  7. Решение

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение
  8. Решение
  9. Решение
  10. Решение
  11. Решение
  12. Решение

[Алгебра]
[Тригонометрия]

[Геометрия]
[Дифференциальные уравнения]

[Исчисление]
[Комплексные переменные]
[Матричная алгебра]

С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

Решение уравнений, содержащих абсолютные значения

Решение уравнений, содержащих абсолютные значения

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Примечание:

  • тогда и только тогда, когда
  • тогда и только тогда, когда a + b = 3 или a + b = -3
  • Шаг 1. Выделите выражение абсолютного значения.
  • Шаг 2: Установите количество в обозначении абсолютного значения
    равно + и — количеству на другой стороне уравнения.

  • Шаг 3: Найдите неизвестное в обоих уравнениях.
  • Шаг 4. Проверьте свой ответ аналитически или графически.

Решите относительно x в следующем уравнении.

Пример 1:

Шаг 1: Абсолютное значение уже выделено.

Либо 2 x -1 = + 5, либо 2 x -1 = -5

Шаг 2: Решите уравнение 2 x -1 = + 5

Решите уравнение 2 x -1 = -5

Ответы — 3 и -2.Эти ответы не могут быть решениями
уравнение.

Проверьте решение x = 3, подставив 3 в исходное уравнение для x.
Если левая часть уравнения равна правой части уравнения после
заменой, вы нашли правильный ответ.

  • Левая сторона:
  • Правая сторона:

Проверьте решение x = -2, подставив -2 в исходное уравнение
для x. Если левая часть уравнения равна правой части
уравнение после подстановки, вы нашли правильный ответ.

  • Левая сторона:
  • Правая сторона:

Решения: x = 3 и -2.

Вы также можете проверить свой ответ, построив график (
левая часть исходного уравнения минус правая часть исходного
уравнение). Вы заметите, что две точки пересечения по оси x на графике расположены
на 3 и -2. Это проверяет наши решения графически.


Если вы хотите проработать другой пример, нажмите «Пример».

Если вы хотите проверить себя, решив некоторые задачи, подобные этой
Например, нажмите на Задачу

Если вы хотите вернуться к оглавлению уравнения, щелкните
Содержание.

[Алгебра]
[Тригонометрия]

[Геометрия]
[Дифференциальные уравнения]

[Исчисление]
[Комплексные переменные]
[Матричная алгебра]

Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

Основы решения уравнений за один или несколько шагов (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Формулы очень распространены в физике и химии, например, скорость равна расстоянию, разделенному на время.Таким образом, мы используем общие символы для скорости ( v ), расстояния ( d ) и времени (t) и выражаем это так:

$$ v = \ frac {d} {t} $$

Мы можем просто описать формулу как переменную и выражение, разделенные знаком равенства между ними. Другими словами, формула — это то же самое, что и уравнение.


Пример

Книжный клуб требует членского взноса в размере 10 долларов в дополнение к 2 долларам, взимаемым за каждую заказанную книгу. Если бы мы перечислили стоимость заказа нескольких книг, это выглядело бы так:

Кол-во книг Стоимость
1 10 + 2 ∙ 1 = 12
2 10 + 2 ∙ 2 = 14
3 10 + 2 ∙ 3 ​​= 16
4 10 + 2 ∙ 4 = 18
5 10 + 2 ∙ 5 = 20
х 10 + 2x

Если мы обозначим общую стоимость книжного клуба как C, мы можем вывести следующую формулу для выражения:

$$ C = 10 + 2x $$

Если затем мы захотим узнать, сколько книг мы можем получить в книжном клубе за 30 долларов, мы можем продолжить заполнение таблицы выше или использовать свойства уравнений, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе.

Мы можем купить 10 книг за 30 долларов.

Когда мы хотим решить уравнение, включающее одну неизвестную переменную, например x в приведенном выше примере, мы всегда стремимся изолировать неизвестную переменную. Можно сказать, что все остальное мы ставим по ту сторону знака равенства. Всегда рекомендуется сначала изолировать термины, включающие переменную, от констант, чтобы начать с них, как мы делали выше, путем вычитания или сложения перед делением или умножением коэффициента перед переменной.Пока вы делаете одно и то же по обе стороны от знака равенства, вы можете делать все, что хотите, и в каком порядке.

Выше мы начали с вычитания константы с обеих сторон. Вместо этого мы могли бы начать с деления на 2. Это выглядело бы как

$$ \ frac {30} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {10 + 2x} {{\ color {blue} 2}} $$

$$ \ frac {30} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {10} {{\ color {blue} 2}} + \ frac {2x} {{\ color {blue} 2}}

$

$$ 15 = 5 + x $$

$$ 15 \, {\ color {blue} {- \, 5}} = 5 + x \, {\ color {blue} {- \, 5}} $$

$$ 10 = x $$

Опять тот же ответ, просто подтверждающий точку зрения.

Если ваше уравнение содержит одинаковые члены, желательно начать с объединения одинаковых членов, прежде чем продолжить решение уравнения.


Пример

$$ 5x + 14 + 2x + 2 = 30 $$

Начните с объединения одинаковых терминов (все термины, включая одну и ту же переменную x и все константы)

$$ \ влево (5x + 2x \ вправо) + \ влево (14 + 2 \ вправо) = 30 $$

$$ 7x + 16 = 30 $$

Теперь пора изолировать переменную от постоянной части. Это делается путем вычитания 16 с обеих сторон

$$ 7x + 16 \, {\ color {green} {- \, 16}} = 30 \, {\ color {green} {- \, 16}} $$

$$ 7x = 14 $$

Разделите обе стороны на 7, чтобы изолировать переменную

$$ \ frac {7x} {{\ color {green} 7}} = \ frac {14} {{\ color {green} 7}} $$

$$ x = 2 $$

Если у вас есть уравнение, в котором у вас есть переменные с обеих сторон, вы делаете в основном то же самое, что и раньше.Собираешь все подобные термины. Раньше вы работали, сначала собирая все постоянные члены с одной стороны и сохраняя переменные члены с другой. То же самое и здесь. Вы собираете все постоянные члены с одной стороны и переменные члены — с другой. Обычно рекомендуется собирать все переменные на стороне, которая имеет переменную с наивысшим коэффициентом, т.е. в приведенном ниже примере больше x: es на левой стороне (4x) по сравнению с правой стороной (2x), и, следовательно, мы собираем все x: es с левой стороны.


Пример

$$ 4x + 3 = 2x + 11 $$

вычесть 2x с обеих сторон

$$ 4x + 3 \, {\ color {blue} {- \, 2x}} = 2x + 11 \, {\ color {blue} {- \, 2x}} $$

Теперь оно выглядит как любое другое уравнение

$$ 2x + 3 = 11 $$

вычесть 3 с обеих сторон

$$ 2x + 3 \, {\ color {blue} {- \, 3}} = 11 \, {\ color {blue} {- \, 3}} $$

$$ 2x = 8 $$

Разделить на 2 с обеих сторон

$$ \ frac {2x} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {8} {{\ color {blue} 2}} $$

$$ x = 4 $$

В начале этого раздела мы показали формулу для расчета скорости, где скорость (v) равна расстоянию (d), деленному на время (t), или

$$ v = \ frac {d} {t} $$

Если мы случайно захотим узнать, сколько грузовик проедет за 3 часа со скоростью 60 миль в час, мы можем использовать приведенную выше формулу и переписать ее, чтобы вычислить расстояние, d.

$$ \ frac {d} {t} \, {\ color {green} {\ cdot \, t}} = v \, {\ color {green} {\ cdot \, t}} $$

$$ d = v \ cdot t $$

Когда это будет сделано, мы можем просто подставить наши числа в формулу и вычислить ответ

$$ d = 60 \ cdot 3 = 180 $$

Грузовик преодолевает 180 миль за 3 часа.

Это верно для всех формул и уравнений.


Видеоурок

Решите уравнение

$$ 3 \ влево (x + 2 \ вправо) — 3 + x + 17 = 40 $$

Решение простых уравнений

Решая простое уравнение, считайте его балансом, в котором знак равенства (=) является точкой опоры или центром.Таким образом, если вы делаете что-то с одной стороной уравнения, вы должны делать то же самое с другой стороной. Выполнение одной и той же операции с обеими сторонами уравнения (скажем, добавление 3 к каждой стороне) сохраняет уравнение сбалансированным.

Решение уравнения — это процесс получения того, что вы ищете, или решения относительно , с одной стороны от знака равенства, и всего остального с другой стороны. Вы действительно сортируете информацию. Если вы решаете x , вы должны получить x с одной стороны.

Уравнения сложения и вычитания

Некоторые уравнения включают только сложение и / или вычитание.

Пример 1

Решите относительно x .

х + 8 = 12

Чтобы решить уравнение x + 8 = 12, вы должны получить x на одной стороне. Поэтому вычтите 8 с обеих сторон.

Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте свой ответ в уравнение:

Пример 2

Решите относительно и .

y — 9 = 25

Чтобы решить это уравнение, вы должны получить y отдельно с одной стороны. Поэтому прибавьте 9 к обеим сторонам.

Для проверки просто замените y на 34:

Пример 3

Решите относительно x .

х + 15 = 6

Чтобы решить, отнимите 15 с обеих сторон.

Для проверки просто замените x на –9:

.

Обратите внимание, что в каждом из приведенных выше случаев используются противоположных операций ; то есть, если в уравнении есть сложение, вы вычитаете с каждой стороны.

Уравнения умножения и деления

Некоторые уравнения включают только умножение или деление. Обычно это происходит, когда переменная уже находится на одной стороне уравнения, но существует либо несколько переменных, например 2 x , либо часть переменной, например

.

или

Таким же образом, как при сложении или вычитании, вы можете умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, , если оно не равно нулю , и уравнение не изменится.

Пример 4

Решите относительно x .

3 х = 9

Разделите каждую часть уравнения на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 5

Решите относительно и .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на 5.

Для проверки замените y на 35:

Пример 6

Решите относительно x .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на.

Или, без отмены,

Обратите внимание, что слева вы обычно не пишете, потому что это всегда отменяется до 1 x или x .

Комбинации операций

Иногда для решения уравнения требуется более одного шага. В большинстве случаев сначала выполните этап сложения или вычитания. Затем, после того, как вы отсортировали переменные в одну сторону, а числа в другую, умножьте или разделите, чтобы получить только одну из переменных (то есть переменную без номера или 1 перед ней: x , а не 2 x ).

Пример 7

Решите относительно x .

2 х + 4 = 10

Вычтите 4 с обеих сторон, чтобы получить 2 x на одной стороне.

Затем разделите обе стороны на 2, чтобы получить x .

Чтобы проверить, подставьте свой ответ в исходное уравнение:

Пример 8

Решите относительно x .

5x — 11 = 29

Добавьте 11 с обеих сторон.

Разделите каждую сторону на 5.

Для проверки замените x на 8:

Пример 9

Решите относительно x .

Вычтем по 6 с каждой стороны.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените x на 9:

Пример 10

Решите относительно и .

Добавьте 8 с обеих сторон.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените y на –25:

Пример 11

Решите относительно x .

3 x + 2 = x + 4

Вычтем 2 с обеих сторон (то же самое, что прибавить –2).

Вычтите x с обеих сторон.

Обратите внимание, что 3 x x совпадает с 3 x — 1 x .

Разделите обе стороны на 2.

Для проверки замените x на 1:

Пример 12

Решите относительно и .

5 л + 3 = 2 л + 9

Вычтем 3 с обеих сторон.

Вычтем 2 y с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените y на 2:

Иногда вам нужно упростить каждую сторону (объединить одинаковые термины) перед фактическим запуском процесса сортировки.

Пример 13

Решите относительно x .

3 х + 4 + 2 = 12 + 3

Во-первых, упростите каждую сторону.

Вычтем 6 с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 14

Решите относительно x .

4 x + 2 x + 4 = 5 x + 3 + 11

Упростите каждую сторону.

6 x + 4 = 5 x + 14

Вычтем 4 с обеих сторон.

Вычтите 5 x с обеих сторон.

Для проверки замените x на 10:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.