Наибольшее и наименьшее: Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задач

Отыскание максимумов и минимумов — одна из самых распространенных задач при исследованиях функций.
Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение, либо в критических точках (в точках, в которых производная обращается в нуль или не существует), принадлежащих исследуемому промежутке, или на его концах .

На практике нахождения максимумов и минимумов похоже на отыскания локального экстремума, только добавляются края промежутка. Возможны случаи, когда максимумы и минимумы функций находятся в точках локального экстремума, а возможные — на краях отрезка.

Рассмотрим ряд примеров, чтобы ознакомить Вас с методикой исследования.

————————————

Примеры.

Определить наибольшее и наименьшее значение фунции на промежутке.

Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец «Высшая математика в примерах и задачах».

1. (4.55.б)

Функция определена на всем множестве действительных чисел

Найдем производную функции

Приравняем ее к нулю и определим критические точки

Проверим знак производной слева и справа от найденной точки

Производная при переходе через точку меняет знак с положительного на отрицательный , следовательно она является точкой локального максимума.

Найдем значение функции в точке

и на краях отрезка

Таким образом функция достигает максимума в точке локального экстремума и минимума на одном из краев отрезка .

2. (4.55.д)

На заданном промежутке функция определена; вычислим ее производную

Приравнивая нуля найдем критическую точку

Заданная точка принадлежит отрезку. Найдем значения функции во всех точках

Функция приобретает максимум и минимум в точках

3. (4.55.є)

Функция определена для всех значений аргумента .

Найдем производную

Из выражения видно, что производная отлична от нуля на промежутке определения, однако в точке она не существует.

Вычислим значение функции

Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в критической точке .

————————————

Приведем решения задач из сборника Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».

4. (5.770)

Функция определена везде, потому приступим сразу к вычислению производной

Приравняем ее к нулю и находим критические точки

Найдем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках

Из полученного набора значений следует, что функция принимает максимум и минимум на краях отрезка

5. (5.771)

На заданном интервале функция определена, проводим дифференцировку

Приравняв к нулю производную получим

Другую критическую точку найдем из условия, что производная не существует

Одна совпадает с началом отрезка. Вычислим значение функции на краях отрезка и в критических точках

Таким образом функция принимает максимальное значение в критической точке, а минимальное на конце отрезка

Из приведенных решений можно сделать выводы, что главным в исчислении является знание функций и умение дифференцировать. Все остальное сводится к отысканию значений функций в точках и анализа результатов. Изучайте свойства элементарных функций, правила нахождения производных, это Вам пригодится при решении примеров.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Понятие наибольшего и наименьшего значений функции.

Понятие набольшего и наименьшего значений тесно связано с понятием критической точки функции.

Определение 1

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f’\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Введем теперь определения наибольшего и наименьшего значения функции.

Определение 2

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наибольшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(x\right)\le f(x_0)\]

Определение 3

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наименьшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(x\right)\ge f(x_0)\]

Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции

Введем для начала понятие непрерывной на отрезке функции:

Определение 4

Функция $f\left(x\right)$ называется непрерывной на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$, а также непрерывна справа в точке $x=a$ и слева в точке $x=b$.

Сформулируем теорему о непрерывной на отрезке функции.

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке $[a,b]$ функция $f\left(x\right)$ достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуют точки $\alpha ,\beta \in [a,b]$ такие, что для всех $x\in [a,b]$ выполняется неравенство $f(\alpha )\le f(x)\le f(\beta )$.

Геометрическая интерпретация теоремы изображена на рисунке 1.

Здесь функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения в точке $x=\alpha $ достигает своего наибольшего значения в точке $x=\beta $.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$

1) Найти производную $f'(x)$;

2) Найти точки, в которых производная $f’\left(x\right)=0$;

3) Найти точки, в которых производная $f'(x)$ не существует;

4) Выбрать из полученных в пунктах 2 и 3 точек те, которые принадлежат отрезку $[a,b]$;

5) Вычислить значение функции в точках, полученных в пункте 4, а также на концах отрезка $[a,b]$;

6) Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее значение.2-2x-3=0\] \[x=-1,\ x=3\]

3) $f'(x)$ не существует в точке $x=1$

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, однако 1 не принадлежит области определения;

5) Значения:

\[f\left(-2\right)=\frac{4+12+9}{-3}=-8\frac{1}{3}\] \[f\left(-1\right)=\frac{1+6+9}{-2}=-8\] \[f\left(2\right)=\frac{4-12+9}{1}=1\]

6) Наибольшее из найденных значений — $1$, наименьшее из найденных значений — $-8\frac{1}{3}$. Таким образом, получим:
\end{enumerate}

Ответ: $max=1,\ min==-8\frac{1}{3}$.

Наибольшее и наименьшее значение функции. Алгебра

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Что будем изучать:

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной.
3. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
4. Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале.
5. Примеры.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции

Ребята, мы с вами находили наибольшее и наименьшее значения функции и раньше. Мы смотрели на график функции и делали вывод, где функция достигает наибольшего значения, а где — наименьшего.
Давайте повторим:

По графику нашей функции видно, что наибольшее значение достигается в точке x= 1, оно равно 2. Наименьшее значение достигается в точке x= -1, и оно равно -2. Данным способом довольно просто находить наибольшие и наименьшие значения, но не всегда существует возможность построить график функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной

Ребята, а как вы думаете, как с помощью производной можно найти наибольшее и наименьшее значение?

Ответ можно найти в теме экстремумы функции. Там мы с вами находили точки максимума и минимума, не правда ли термины похожи. Однако, путать наибольшее и наименьшее значение с максимум и минимум функции нельзя, это разные понятия.

Итак, давайте введем правила:
а) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
б) Наибольшего и наименьшего значения функция может достигать как на концах отрезках, так и внутри него.
Давайте рассмотрим этот пункт подробнее.

На рисунке а функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезках [a;b].
На рисунке б функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения внутри отрезка [a;b].
На рисунке в точка минимума находится внутри отрезка, а точка максимума — на конце отрезка, в точке b.
в) Если наибольшее и наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарных или критических точках.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y= f(x) на отрезке [a;b]

Найти производную f'(x).
Найти стационарные и критические точки внутри отрезка [a;b].
Вычислить значение функции в стационарных и критических точках, а так же в f(a) и f(b).3}{3}$ + 2x² + 4x — 5 на отрезке
а) [-9;-1], б) [-3;3], в) [3;9].
Решение: Найдем производную: y’= x² + 4x + 4.
Производная существует на всей области определения, тогда нам надо найти стационарные точке.
y’= 0, при x= -2.
Дальнейшие расчеты проведем для требуемых отрезков.
а) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точки.
Тогда y_наим.= -122, при x= -9; y_наиб.= y = -7$\frac{1}{3}$, при x= -1.
б) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке.
Наибольшее и наименьшее значение достигается на концах отрезка.
Тогда y_наим.= -8, при x= -3, y_наиб.= 34, при x= 3.
в) Стационарная точка не попадает на наш отрезок, найдем значения на концах отрезка.

Тогда y_наим.= 34, при x= 3, y_наиб.= 436, при x= 9.
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x² — 3x + 5 + |1-x| на отрезке [0;4].
Решение: Раскроем модуль и преобразуем нашу функцию:
y= x² — 3x + 5 + 1 — x, при x ≤ 1.2 + 3}$= $\frac{3√3}{6}$= $\frac{√3}{2}$.
Ответ: y_наиб.= $\frac{√3}{2}$.
Задачи для самостоятельного решения
а) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x⁴ — 3x³ + 2x² — 9x + 1
на отрезке а) [-3;1], б) [2;5], в) [-4;7].
б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x² — 6x + 8 + |x — 2| на отрезке [-1;5].
в) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= $-2x-\frac{1}{2x}$ на луче (0;+∞).
Наибольшее и наименьшее значение функции
Слайды и текст этой онлайн презентации
Слайд 1
Наибольшее и наименьшее значение функции
Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action
Слайд 2
a
b
a
b
Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.
функция возрастает
функция убывает
Слайд 3
a
b
a
b
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Примеры
Слайд 4
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3×2 – 27
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3) y(0) = 0
1.
Слайд 5
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
1) y(0) = 0
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.
Слайд 6
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из полученных значений.
1) y(0) = 4
2) y / = 3×2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0]
2.
Слайд 7
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39
2) y / = 3×2 – 4x + 1=
y(1) = 3
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2×2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ]
3.
3×2 – 4x + 1 = 0
D=16–4*3*1=4
Слайд 8
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3; 3 ]
4.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из полученных значений.
y(-3) = 11
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
y(-3) = -25
Слайд 9
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]
5.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Слайд 10
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]
6.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Слайд 11
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ]
7.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Слайд 12
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ]
7.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Слайд 13
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]
8.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде
Слайд 14
Найдите наибольшее значение функции y = 7cosx +16x – 2 на отрезке
9.
Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0. Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.
0
Слайд 15
Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка.
Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как?
Найдите наибольшее значение функции y = 10sinx – x + 7 на отрезке
10.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
0
Слайд 16
Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке
16.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
1
0
Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.
Слайд 17
Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке
11.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Слайд 18
Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке
12.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке. Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.
Можно рассуждать иначе
max
Слайд 19
Найдите наименьшее значение функции y = 11 + – х – cosx на отрезке
13.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке. Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.
min
Слайд 20
Найдите наименьшее значение функции y = 4tgx – 4x – + 5 на отрезке
14.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
0
Слайд 21
Найдите наибольшее значение функции y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке
15.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
0
-1
0
Слайд 22
При использовании материалов сайта необходимо сделать ссылку на сайт http://le-savchen.ucoz.ru
Урок на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции»
Урок на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции»
Цели урока.
Образовательные: дать определение наибольшего и наименьшего значений, выявить, в каких точках области определения функция может иметь наибольшее и наименьшее значение, составить алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.
Развивающие: совершенствование умений по применению приемов мышления, овладение содержанием и структурой поисковой работы.
Воспитательные: умение высказывать и аргументировать свою точку зрения, воспитывать работу в команде.
Структура урока.
I. Актуализация знаний.
Мобилизующее начало
Фронтальный опрос по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью актуализации знаний
Самостоятельная работа по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью проверки усвоения темы
Беседа с целью мотивации изучения новой темы, постановка цели и задач урока
II. Формирование новых знаний и способов действия.
Фронтальная исследовательская работа поискового характера с целью определения, при каком значении аргумента функция может принимать наибольшее или наименьшее значение
Обсуждение результатов исследовательской работы и их обобщение с целью определения того, как аналитическими средствами можно найти точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
Беседа с целью составления алгоритма для отыскания наибольшего и наименьшего значений
III. Применение знаний, умений и навыков.
Решение задач с целью усвоения алгоритма на материализованном уровне
Подведение итогов урока, постановка домашнего задания
Ход урока.
I. Актуализация знаний.
Мобилизующее начало(1 мин.)
Фронтальный опрос по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью актуализации знаний
Здравствуйте.
Давайте с вами вспомним, что мы изучали на протяжении последних уроков? (Экстремумы функции) Какие точки мы назвали точками максимума, минимума? (точкой максимума называется такая точка, в которой функция принимает наибольшее значение в окрестности этой точки. Точкой минимума называется такая точка, в которой функция принимает наименьшее значение в окрестности этой точки).
И конечно же давайте вспомним алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
1. 1. 1. Найти производную функции f`(x)
      Найти стационарные и критические точки: f`(x)=0, f`(x) – не существует.
      Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках
      Записать точки экстремума, опираясь на следующее правило: при переходе через критическую(стационарную) точку производная меняет знак с плюса на минус – точка максимума, производная меняет знак с минуса на плюс – точка минимума.
Самостоятельная работа по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью проверки усвоения темы
Чтобы проверить, как хорошо вы усвоили данную тему, напишем небольшую самостоятельную работу, в которой требуется исследовать функцию на монотонность и экстремумы, а также по графику производной функции определить промежутки возрастания (убывания) и указать точки экстремума.
Самостоятельная работа.
1 вариант
1.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:
2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-∞;+ ∞). Укажите точки максимума функции, а также промежутки убывания функции.
2 вариант
1.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:
2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-∞;+ ∞). Укажите точки минимума функции, а также промежутки возрастания функции.
Беседа с целью мотивации изучения новой темы, постановка цели и задач урока
Ребята, посмотрите на график и назовите наибольшее и наименьшее значение функции. ( наибольшее значение = 7, наименьшее значение = -3)
Все правильно. Как видите, определить наибольшее и наименьшее значение функции по ее графику нам не составило труда. Но нам может быть не дан график, а дано аналитическое задание функции, график которой нам будет сложно построить. Нам снова совершенно необходимо найти способ определения наиб. и наим. значения функции не строя график.
Для того, чтобы выяснить, в каких точках области определения функция может принимать наибольшее и наименьшее значение, воспользуемся тем, что мы умеем это делать по графику функции.
Для этого рассмотрим следующие графики:
— Посмотрите на первый график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке с, а наименьшее в точке b)
— А чем являются эти точки?(точка с – точка максимума функции, точка b – точка минимума функции)
— Посмотрите на второй график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке d, а наименьшее в точке а)
— А чем являются эти точки?(эти точки – концы области определения функции)
— Посмотрите на третий график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке b, а наименьшее в точке а)
— А чем являются эти точки?(точка b – это точка максимума функции, точка а – граница области определения функции)
— Всё верно. Мы рассмотрели различные примеры функций, заданных графически. Давайте сделаем вывод, в каких точках области определения функция может иметь наибольшее и наименьшее значения. ( в точках экстремума или на концах отрезка, являющимся областью определения функции)
— Как вы думаете, как аналитическими средствами можно найти наибольшее или наименьшее значение функции, опираясь на тот вывод, который мы сделали?(найти значение функции в точках экстремума и на концах отрезка, являющимся областью определения функции)
— Достаточно ли нам знаний, чтобы это сделать?(да, найти значение функции в точке экстремума – значит найти экстремум функции, а это мы уже умеем делать по алгоритму)
— А что значит найти значение функции на концах отрезка, являющимся областью определения функции? (для этого нужно подставить граничные значения области определения в функцию)
— Да, верно! Мы нашли значения функции в точках экстремума и на концах промежутка, как теперь найти наибольшее или наименьшее значение функции? (все полученные значения нужно сравнить: большее число – это будет наибольшее значение функции, меньшее число – наименьшее значение функции)
— Вы правильно рассуждали, давайте теперь составим алгоритм для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции:
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции:

Найти критические (и стационарные) точки функции на области определения функции.
Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, являющимся областью определения функции
Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее, если они существуют
Елена Игоревна, мы специально рассмотрели случай, когда обл. опр-я ф-ции отрезок, а случай с интервалом рассмотрим на примере специально подобранной задачи.
Решение задач с целью усвоения алгоритма на материализованном уровне.
— Теперь применим этот алгоритм при решении задач. Он перед вами, поэтому при решении задач проговариваем каждый пункт и выполняем четко его шаги.
Задание:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [0,2]
Решение:
Если останется время, то решаем аналогичные задания.
Подведение итогов урока, постановка домашнего задания
– Сегодня на уроке мы с вами научились находить наибольшее и наименьшее значения функции, составили алгоритм для их отыскания.
Давайте его ещё раз повторим:
1. Найти критические (и стационарные) точки функции на области определения функции.
2.Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, являющимся областью определения функции
3.Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее, если они существуют
Домашнее задание аналогично тому, что решали на уроке.
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
Рассмотрим некоторое множество D точек на плоскости. Напомним ряд следующих определений.
Точка
называется внутренней точкой множества D, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.
Точка
называется граничной точкой множества D, если в любой ее окрестности имеются точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие этому множеству.
Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей Г.
Множество D называется областью (открытым множеством), если все его точки внутренние.
Множество D с присоединенной границей Г, т. е.
, называется замкнутой областью.
Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга достаточно большого радиуса.
Определение 22.1. Наибольшее или наименьшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом (абсолютным максимумом или абсолютным минимумом) функции в этой области.
Теорема 22.1*. Абсолютный экстремум непрерывной функции
в области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.
Пример 22.1.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в треугольной области с вершинами
Решение:
Изобразим область графически, рис. 22.1.
Найдем частные производные функции:
Определим ее критические точки из решения системы уравнений:
Таким образом, критической точкой функции является точка
, принадлежащая области .
Вычислим
Исследуем поведение функции на границе области.
На отрезке
, следовательно, для всех точек отрезка. Имеем функцию одной переменной .
Найдем производную для
и определим критические точки на данном отрезке из решения уравнения . Получаем, . Вычислим значение функции в точке . Вычислим также значения функции на концах отрезка: .
На отрезке
, следовательно
для всех точек отрезка. Имеем функцию одной переменной
. Найдем производную для и определим критические точки па данном отрезке из решения уравнения . Получаем . Вычислим значение функции в точке . Вычислим также значения функции на концах отрезка: (получено ранее), .
Рассмотрим отрезок АВ. Он представляет собой часть прямой, проходящей через точки
. Получим уравнение данной прямой по формуле . Имеем
Таким образом, на отрезке
, следовательно . Имеем функцию одной переменной . Найдем производную для : и определим критические точки па данном отрезке из решения уравнения . Получаем . Вычислим значение функции в точке Значения функции на концах отрезка вычислены ранее.
Сравнив все вычисленные значения функции, имеем
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Предмет математический анализ
Возможно вам будут полезны эти страницы:
5.10.09 Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения

Определение. Говорят, что функция , заданная на некотором промежутке, имеет максимум (минимум) в точке из этого промежутка, если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности .
Максимум или минимум называют экстремумом функции.
По определению максимума и минимума функции они могут достигаться только во внутренней точке области ее определения, так как требуется чтобы имела смысл во всех точках окрестности .
Понятие экстремума нельзя смешивать с понятием наибольшего и наименьшего значений функции на всем промежутке ее задания. Экстремальные значения функции являются наибольшими или наименьшими только по отношению к близлежащим точкам, а по отношению к другим точкам значение может оказаться и не наибольшим или не наименьшим. Когда же говорят о наибольшем значении на , то под этим понимают такое ее значение, больше которого нет ни в одной точке этого отрезка, включая и концы. Следовательно, наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке могут быть либо экстремальные значения, либо значения на концах .
Практические способы нахождения точек, в которых функция имеет экстремум, базируются на следующих теоремах.
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума).
Если функция имеет экстремум в точке и существует , то .
Условие не является достаточным для существования экстремума, то есть производная может обращаться в нуль и в точках, где нет экстремума. Например, для производная , если , однако экстремума в этой точке нет, поскольку в любой окрестности нуля есть точки, значения функции в которых будут и больше, и меньше, чем .
Точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными. Функция может иметь экстремум также в точках, где обращается в бесконечность или не существует. Все такие точки называют подозрительными на экстремум или критическими.
Для того чтобы решить вопрос о наличии экстремума в подозрительной точке, надо каждую точку подвергнуть дополнительному исследованию.
Первый способ исследования. (Первый достаточный признак экстремума).
Если при переходе через подозрительную точку в направлении возрастания меняет знак, то в этой точке имеет экстремум, причем: 1) если знак меняется с на , то в точке – максимум,
2) если с на , то в точке – минимум.
Если же при переходе через точку не меняет знака, то в этой точке нет экстремума.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Функция определена на всей числовой оси. Ее производная всюду конечна, следовательно, подозрительными на экстремум будут только стационарные точки. Решая уравнение , получим . Исследуем знак производной в непосредственной близости от точек и : и , то есть при переходе через точку слева направо изменила знак с на , следовательно, в этой точке максимум, ; и , следовательно, в точке – минимум, .
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Производная не обращается в нуль ни при каком конечном значении . В точке она обращается в бесконечность. Так как при и при , то в точке функция имеет минимум, .
Если имеет несколько критических точек, то поступают следующим образом. Расположим эти точки в порядке возрастания:
. (1)
В каждом из интервалов существует конечная , имеющая постоянный знак в каждом интервале (если бы меняла знак, то в силу непрерывности внутри интервала нашлась бы точка, в которой , что невозможно, так как все такие точки перечислены в (1)). Взяв по одной точке из каждого интервала, получим некоторую последовательность знаков , что позволит сразу решить вопрос о наличии экстремума в каждой подозрительной точке.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Функция определена на промежутке .
Производная всюду конечна, следовательно, подозрительными на экстремум будут только стационарные точки. Решая уравнение , найдем . (Точки уже записаны в порядке возрастания.)
Промежуток этими точками разобьется на интервалы .
Учитывая, что на знак влияют только два ее сомножителя и , определение ее знаков в каждом из интервалов проведем по следующей схеме:
—
—
—
+
—
—
+
+
Знак
+
+
—
+
Отсюда делаем вывод, что в точке экстремума нет, в точке – максимум, , а в точке – минимум, .
Второй способ исследования. (второй достаточный признак экстремума).
Пусть имеет в точке и в ее окрестности непрерывные первую и вторую производные, причем . Тогда имеет в точке минимум (максимум), если .
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Находим , стационарные точки . В точке имеем максимум, так как , а в точке – минимум, так как , причем .
Второй способ исследования практически более удобен, так как он быстрее приводит к цели, но он не всегда применим. Этим способом не охватываются случаи, когда в исследуемой точке не существует первой производной, а также когда вторая производная равна нулю. Иногда и вычисление второй производной настолько громоздко, что проще воспользоваться первым способом.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. По определению модуля заданную функцию перепишем в виде
Очевидно, что для и для , то есть имеются разные односторонние производные, следовательно, в точке не существует. Так как стационарных точек нет, то единственной точкой, подозрительной на экстремум, является . Второй достаточный признак экстремума неприменим, так как . Воспользуемся первым достаточным признаком. Поскольку при переходе через точку слева направо сменила знак с на , то в этой точке имеет минимум и .
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Для решения задачи достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка, а затем, не проводя исследования на экстремум, сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее значения. Найдем . Из уравнения находим стационарные точки . Других подозрительных точек нет. Сравнивая значения , , , заключаем, что является наименьшим, а – наибольшим значениями функции на .
Вопросы для самопроверки и упражнения.
1. Может ли значение максимума функции оказаться меньше минимума этой же функции?
Ответ: Да.
2. Известно, что если слева от возрастает, а справа убывает, то в точке функция имеет максимум. Верно ли обратное утверждение?
Ответ: Нет.
3. Может ли монотонная функция иметь экстремум?
Ответ: Нет.
4. Может ли функция, имеющая максимум, не иметь наибольшего значения? Может ли функция, имеющая наибольшее значение, не иметь максимума?
Ответ: Да (в обоих случаях).
5. Найти точки экстремума функций:
A) . Ответ: при , при .
Б) . Ответ: экстремума нет.
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
А) на . Ответ: и .
Б) на . Ответ: 0 и 8.
7. Существуют ли наименьшее и наибольшее значения функции на ?
Ответ: наименьшее не существует, а наибольшее равно 1.

< Предыдущая Следующая >
советов GK — список самых длинных, самых больших, самых высоких и высоких мест в мире | Ханда Ка Фунда
Главная »Блог» GK Tips — Список самых длинных, самых больших, самых высоких и высоких мест в мире и в Индии
Среда, 18 сентября 2019 г.
Самые высокие, самые длинные, самые высокие, самые большие, самые маленькие места составляют важную часть вопросов на конкурсных экзаменах, таких как XAT, IIFT, IBPS, TISS, Bank PO и т. Д. Ниже приведен список некоторых из самых важных самых длинных, самых больших и высоких мест в округе. мир и в Индии.
Этот пост разделен на две части: «В мире» и «Внутри Индии».
В первом разделе «Вокруг света» все места были разделены на подразделы на основе самого длинного, самого большого, самого высокого, самого высокого, самого маленького и самого большого.
Во втором разделе «Внутри Индии» все места были разделены на подразделы на основе самого длинного, самого большого, самого маленького и самого высокого.
Этот пост был тщательно составлен, чтобы включить самые важные места, которые можно задать на экзаменах.
Общие знания IIFT (GK) Документы за предыдущий год с вопросами и ответами — 2012
IIFT Общие знания (GK) Документы за предыдущий год с вопросами и ответами — 2013
Общие знания IIFT (GK) Документы за предыдущий год с вопросами и ответами — 2014
IIFT Общие знания (GK) Документы за предыдущий год с вопросами и ответами — 2015
IIFT Общие знания (GK) Документы за предыдущий год с вопросами и ответами — 2016
IIFT Общие знания (GK) Документы за прошлый год с вопросами и ответами — 2017
Crack CAT с Unacademy!
Используйте реферальный код HANDA , чтобы получить скидку 10%.
Ежедневные живые классы
Живые тесты и викторины
Структурированные курсы
Персонализированный коучинг

< Предыдущая		Следующая >