Квадрат суммы и квадрат разности, разность квадратов

Квадрат суммы

Выражение  (a + b)²  — это квадрат суммы чисел  a  и  b.  По определению степени выражение  (a + b)²  представляет собой произведение двух многочленов  (a + b)(a + b).  Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Многочлен  a² + 2ab + b²  называется разложением квадрата суммы.

Так как  a  и  b  обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение  3x² + 2xy.

Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x² + 2xy)² = (3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)².

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

(3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)² = 9x⁴ + 12x³y + 4x²y².

Квадрат разности

Выражение  (a — b)²  — это квадрат разности чисел  a  и  b.  Выражение  (a — b)²  представляет собой произведение двух многочленов  (a — b)(a — b).  Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a — b)² = a² — 2ab + b².

Многочлен  a² — 2ab + b²  называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

(2a² — 5ab²)².

Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:

(2a² — 5ab²)² = (2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)².

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)² = 4a⁴ — 20a³b² + 25a²b⁴.

Разность квадратов

Выражение  a² — b²  — это разность квадратов чисел  a  и  b.   Выражение  a² — b² представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a — b) = a² + ab — ab — b² = a² — b².

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a² — b² = (a + b)(a — b).

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a² + 3)(5a² — 3).

Решение:

(5a² + 3)(5a² — 3) = (5a²)² — 3² = 25a⁴ — 9.

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b)(a — b) = a² — b².

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.

Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования
выражений — многочленов. С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в
обратном порядке — представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов. Рассмотрим
все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные
преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по
ссылкам).

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение
первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b
в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата суммы многочлен
можно разложить на
множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей
.

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 1. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение
первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата разности многочлен
можно разложить на
множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей
.

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата разности получаем

.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но
содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать
многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного
произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x
в виде удвоенного произведения 5/2 на x,
прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число
, далее применили
формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату
плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

.

Здесь мы представили 8x
в виде удвоенного произведения x на 4,
прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число
4², применили
формулу квадрата разности для двучлена x − 4.

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату
плюс число −16.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение
квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс
куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен
можно разложить на
множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей
.

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение
квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус
куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен
можно разложить на
множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей
.

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению
суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида
можно разложить на
множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

.

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но
число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4².
Тогда исходное выражение примет иной вид:

,

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой суммы кубов называется равенство

(сумма кубов двух чисел равна произведению
суммы эти чисел на неполный квадрат разности этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b
называется многочлен
.

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида
можно разложить на
множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 17. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках и получаем их сумму:

.

Тот же результат получаем, выполняя умножение выражений в скобках по правилам умножения многочленов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности кубов называется равенство

(разность кубов двух чисел равна произведению
разности эти чисел на неполный квадрат суммы этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b
называется многочлен
.

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида
можно разложить на
множители.

Пример 19. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках:

Получаем разность этих кубов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Формулы сокращенного умножения с примерами

Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями), решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). 2+4a=\)

 

Теперь приведем подобные слагаемые.

\(=-8a+9=\)

 

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\)

 

Пишем ответ.

Ответ: \(8\).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 2}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)

 

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

\(x-2y-3\)

 

Готов ответ.

Скачать статью

Формулы сокращенного умножения

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.

Предварительные навыки

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)².

Выражение (2x + 3y)² это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)

(2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x² + 6xy + 6xy + 9y² = 4x² + 12xy + 9y²

То есть выражение (2x + 3y)² равно 4x² + 12xy + 9y²

(2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b)²

Выражение (a + b)² это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Выполним это умножение:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

То есть выражение (a + b)² равно a² + 2ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Оказывается, что случай (a + b)² можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)² можно решить с помощью тождества (a + b)² = a² + 2ab + b². Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)². В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)² = a² + 2ab + b², но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y)² = (2x)² + 2 × 2x × 3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x² + 12xy + 9y². Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Тождество (a + b)² = a² + 2ab + b² называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3)². Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3)² = 5² = 25

Второй способ:

(2 + 3)² = 2² + 2 × 2 × 3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25

---

Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3)² в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(5a + 3)² = (5a)² + 2 × 5a × 3 + 3² = 25a² + 30a + 9

Значит, (5a + 3)² = 25a² + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3)² = (5a + 3)(5a + 3) = 25a² + 15a + 15a + 9 = 25a² + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a². Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)²

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a². Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a² + ab + ab + b²

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a² + 2ab + b², которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

---

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)² представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)² = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a² − 2ab + b²

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)² в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(7x − 5)² = (7x)² − 2 × 7x × 5 + 5² = 49x² − 70x + 25

Значит, (7x − 5)² = 49x² − 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5)² = (7x − 5)(7x − 5) = 49x² − 35x − 35x + 25 = 49x² − 70x + 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a², то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)²

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a² вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a² минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a² − ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a² − ab − ab + b²

Приведем подобные слагаемые:

a² − 2ab + b²

В результате получается выражение a² − 2ab + b², которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)², и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)² = a² − 2ab + b², то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)²
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y)² = (5x)² − 2 × 5x × 2y + (2y)² = 25x² − 20xy + 4y²

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)² = (5x + (−2y))²

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y)²
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y))² = (5x)² + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)² = 25x² − 20xy + 4y²

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))². В данном случае, применяя формулу (a − b)² = a² − 2ab + b² вместо b следует подставить (−y)

(x − (−y))² = x² − 2 × x × (−y) + (−y)² = x² + 2xy + y²

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)² и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

---

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.  

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. 

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a + b)³

Выражение (a + b)³ представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)

Но выражение (a + b)³ также может быть записано как (a + b)(a + b)²

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²

При этом сомножитель (a + b)² является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a² + 2ab + b².

Тогда (a + b)³ можно записать как (a + b)(a² + 2ab + b²).

(a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b)³ = (a − b)(a² − 2ab + b²) = a³ − 2a²b + ab² − a²b + 2ab² − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

---

Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(x + 1)³ = x³ + 3 × x² × 1 + 3 × x × 1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(x + 1)³ = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x² + 2x + 1) = x³ + 2x² + x + x² + 2x + 1 = x³ + 3x² + 3x + 1

---

Пример 2. Преобразовать выражение (6a² + 3b³)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(6a² + 3b³)³= (6a²)³ + 3 × (6a²)² × 3b³ + 3 × 6a² × (3b³)² + (3b³)³ = 216a⁶ + 3 × 36a⁴ × 3b³ + 3 × 6a² × 9b⁶ + 27b⁹

---

Пример 3. Преобразовать выражение (n² − 3)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

(n² − 3)³ = (n²)³ − 3 × (n²)² × 3 + 3 × n² × 3² − 3³ = n⁶ − 9n⁴  + 27n² − 27

---

Пример 4. Преобразовать выражение (2x² − x³)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

(2x² − x³)³ = (2x²)³ − 3 × (2x²)² × x³ + 3 × 2x² × (x³)² − (x³)³ =
8x⁶ − 3 × 4x⁴ × x³ + 3 × 2x² × x⁶ − x⁹ =
8x⁶ − 12x⁷ + 6x⁸ − x⁹

---

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b)(a + b)

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b²

То есть выражение (a − b)(a + b) равно a² − b²

(a − b)(a + b) = a² − b²

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a² − b² имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5²

Вычислим правую часть, получим 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a² − b². У нас получится тот же результат 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x² − 10x + 10x − 25 = 4x² − 25

---

Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x)² − (5y)² = 16x² − 25y²

---

Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a)² − (3b)² = 4a² − 9b²

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a² − b² разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b), так и (a + b)(a − b). Результат по прежнему будет равен a² − b², поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b), так и (2a − 3b)(2a + 3b). Результат всё так же будет равен 4a² − 9b².

Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x)² − 7² = 9x² − 49

---

Пример 4. Выполнить умножение (x² − y³)(x² + y³)

(a − b)(a + b) = a² − b²

(x² − y³)(x² + y³) = (x²)² − (y³)² = x⁴ − y⁶

---

Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)

В выражении (−5x − 3y) вынесем за скобки −1, тогда исходное выражение примет следующий вид:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²)

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x)². А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

Далее вычисляем выражение в скобках:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²) = −1(25x² − 9y²)

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²) =
−1(25x² − 9y²) = −25x² + 9y²

---

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a² + ab + b²)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a² + ab + b²) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a² + ab + b². Он похож на обычный квадрат суммы a² + 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² + 6xy + 9y² является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 4x² является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)² = 4x². Третий член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 9y² является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)² = 9y². Член находящийся в середине 6xy, является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a² + ab + b²

(a − b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) − b(a² + ab + b²) =
a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³

То есть выражение (a − b)(a² + ab + b²) равно a³ − b³

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4x² + 6xy + 9y² это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³. В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = (2x)³ − (3y)³ = 8x³ − 27y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = 2x(4x² + 6xy + 9y²) − 3y(4x² + 6xy + 9y²) =
8x³ + 12x²y + 18xy² − 12x²y − 18xy² − 27y³ = 8x³ − 27y³

---

Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x²)

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

(3 − x)(9 + 3x + x²) = 3³ − x³ = 27 − x³

---

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b)(a² − ab + b²)

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a² − ab + b²) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a² − ab + b². Он похож на обычный квадрат разности a² − 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² − 6xy + 9y² является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y. 

(2x)² − 2x × 3y + (3y)² = 4x² − 6xy + 9y²

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a² − ab + b²

(a + b)(a² − ab + b²) = a(a² − ab + b²) + b(a² − ab + b²) =
a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³

То есть выражение (a + b)(a² − ab + b²) равно a³ + b³

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²)

Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4x² − 6xy + 9y² это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³. В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

(2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) = (2x)³ + (3y)³ = 8x³ + 27y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) = 2x(4x² − 6xy + 9y²) + 3y(4x² − 6xy + 9y²) =
8x³ − 12x²y + 18xy² + 12x²y − 18xy² + 27y³ = 8x³ + 27y³

---

Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x² − 2xy + y²)

Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x² − 2xy + y²) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

(2x + y)(4x² − 2xy + y²) = (2x)³ + y³ = 8x³ + y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + y)(4x² − 2xy + y²) = 2x(4x² − 2xy + y²) + y(4x² − 2xy + y²) = 
8x³ − 4x²y + 2xy² + 4x²y − 2xy² + y³ = 8x³ + y³

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Преобразуйте выражение (m + n)² в многочлен.

Решение:

(m + n)² = m² + 2mn + n²

Задание 2. Преобразуйте выражение (x + 8)² в многочлен.

Решение:

(x + 8)² = x² + 2 × x × 8 + 8² = x² + 16x + 64

Задание 3. Преобразуйте выражение (2x² + 3x³)² в многочлен.

Решение:

(2x² + 3x³)² = (2x²)² + 2 × 2x² × 3x³ + (3x³)² = 4x⁴ + 12x⁵ + 9x⁶

Задание 4. Преобразуйте выражение (5a + 5)² в многочлен.

Решение:

(5a + 5)² = (5a)² + 2 × 5a × 5 + 5² = 25a² + 50a + 25

Задание 5. Преобразуйте выражение (9 − x)² в многочлен.

Решение:

(9 − x)² = 9² − 2 × 9 × x + x² = 81 − 18x + x²

Задание 6. Преобразуйте выражение (x − 25)² в многочлен.

Решение:

(x − 25)² = x² − 2 × x × 25 + 25² = x² − 50x + 625

Задание 7. Преобразуйте выражение (3x² − y³)² в многочлен.

Решение:

(3x² − y³)² = (3x²)² − 2 × 3x² × y³ + ( y³)² = 9x⁴ − 6x²y³ + y⁶

Задание 8. Выполните умножение (x − y)(x + y)

Решение:

(x − y)(x + y) = x² − y²

Задание 9. Выполните умножение (2x − y)(2x + y)

Решение:

(2x − y)(2x + y) = (2x)² − y² = 4x² − y²

Задание 10. Выполните умножение (7 + 3y)(3y − 7)

Решение:

(7 + 3y)(3y − 7) = (3y)² − 7² = 9y² − 49

Задание 11. Выполните умножение (x² − 5)(x² + 5)

Решение:

(x² − 5)(x² + 5) = (x²)² − 5² = x⁴ − 25

Задание 12. Выполните умножение (a³ − b²)(a³ + b²)

Решение:

(a³ − b²)(a³ + b²) = (a³)² − (b²)² = a⁶ − b⁴

Задание 13. Выполните умножение (5a² + 2b³)(5a² − 2b³)

Решение:

(5a² + 2b³)(5a² − 2b³) = (5a²)² − (2b³)² = 25a⁴ − 4b⁶

Задание 14. Выполните умножение (9x − y²)(y² + 9x)

Решение:

(9x − y²)(y² + 9x) = (9x)² − (y²)² = 81x² − y⁴

Задание 15. Выполните умножение (2 − x)(4 + 2x + x²)

Решение:

(2 − x)(4 + 2x + x²) = 2³ − x³ = 8 − x³

Задание 16. Выполните умножение (3 − 2)(9 + 6 + 4)

Решение:

(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 3³ − 2³ = 27 − 8 = 19

Задание 17. Выполните умножение (4x + 1)(16x² − 4x + 1)

Решение:

(4x + 1)(16x² − 4x + 1) = (4x)³ + 1³ = 64x³ + 1

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Формулы сокращенного умножения (ЕГЭ — 2021)

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

\( {{\left( a\pm b \right)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}\)

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида \( {{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}\) в вид \( {{\left( a\pm b \right)}^{2}}\).{2}}\)

Потренируйся – преобразуй следующие выражения:

Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 2.4k. Опубликовано 19 мая 2012

1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)² = a²+2ab+b² 

  a) (x + 2y)² = x² + 2 ·x·2y + (2y)² = x² + 4xy + 4y²

б) (2k + 3n)² = (2k)² + 2·2k·3n + (3n)² = 4k² + 12kn + 9n²

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)² = a²-2ab+b²

 а)   (2a – c)² = (2a)²-2·2a·c + c² = 4a² – 4ac + c²

б)   (3a – 5b)² = (3a)²-2·3a·5b + (5b)² = 9a² – 30ab + 25b²

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a²–b² = (a–b)(a+b)

a)      9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)² – (5n)² = 36k² – 25n²

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

a)  (m + 2n)³ = m³ + 3·m²·2n + 3·m·(2n)² + (2n)³ = m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³

б)  (3x + 2y)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·2y + 3·3x·(2y)² + (2y)³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

а)  (2x – y)³ = (2x)³-3·(2x)²·y + 3·2x·y² – y³ = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³

б)  (x – 3n)³ = x³-3·x²·3n + 3·x·(3n)² – (3n)³ = x³ – 9x²n + 27xn² – 27n³

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a³+b³ = (a+b)(a²–ab+b²)

a)      125 + 8x³ = 5³ + (2x)³ = (5 + 2x)(5² — 5·2x + (2x)²) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x²)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m²) = 1³ + (3m)³ = 1 + 27m³

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

а) 64с³ – 8 = (4с)³ – 2³ = (4с – 2)((4с)² + 4с·2 + 2²) = (4с – 2)(16с² + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a² + 15ab + 25b²) = (3a)³ – (5b)³ = 27a³ – 125b³

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений: формулы и примеры

 

Общее правило умножение многочленов гласит, что необходимо каждый член многочлена умножить на каждый член другого многочлена, и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Но существует несколько случаев, когда умножение производить полностью не надо, а существуют уже готовые формулы, называемые в алгебре формулами сокращенного умножения многочленов или просто формулами сокращенного умножения.2 + 30*x +9.

Таким образом, мы рассмотрели возведение в квадрат суммы и разности двух выражений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Доказательство тождеств: 5 способов + ПРИМЕРЫ решения
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРазложение на множители: квадрат суммы и квадрат разности

квадратов и идеальных квадратов — объяснения и примеры

В математике квадрат — это произведение целого числа на себя. Например, произведение числа 2 само по себе равно 4. В этом случае число 4 называется полным квадратом.

Квадрат числа обозначается как n × n. Аналогично , экспоненциальное представление квадрата числа — n ² , обычно произносится как « n » в квадрате. Квадратные числа обычно неотрицательны.

Что такое идеальный квадрат?

Полный квадрат — это число, которое получается путем умножения двух равных целых чисел друг на друга. Например, число 9 является точным квадратом, потому что оно может быть выражено как произведение двух равных целых чисел: 9 = 3 x 3.

Первые 25 полных квадратов могут быть сгенерированы, как показано в таблице ниже:

Пример 1

900 30

Целое число	Полный квадрат
1 x 1	1
2 x 2	4
3 x 3	9
4 x 4	16
5 x 5	25
6 x 6	36
7 x 7	49
8 x 8	64
9 x 9	81
10 x 10	100
11 x 11	121
12 x 12	144
13 x 13	169
14 x 14	196
15 x 15	225
16 x 16	256
17 x 17	289
18 x 18	324
19 x 19	361
20 x 20	400
21 x 21	441
22 x 22	484
23 x 23	529
24 x 24	576
25 x 25	625

Как узнать, является ли число идеальным квадратом?

Есть много способов определить, является ли число идеальным.Заданное число можно проверить, является ли оно полным квадратом, с помощью повторного деления на простые множители.

Пример 2

Например, чтобы проверить, является ли 441 идеальным квадратом:

• Начните с факторизации числа.

441 = 3 × 3 × 7 × 7

• Оба числа существуют дважды. Сделайте два набора.
  441 = 3 × 7 × 3 × 7
• Умножьте их.

= 21 × 21

= 21 ²

• Следовательно, 441 — это полный квадрат.

Вы также можете проверить, является ли данное число точным квадратом, найдя квадратный корень из числа. Если квадратный корень из числа представляет собой целое число, тогда это число является полным квадратом.

Например, квадратный корень из 16 равен 4. Квадратный корень из числа, такого как 24, не является целым числом. Следовательно, 24 — не идеальный квадрат.

Практические вопросы

1. Площадь квадратного журнального столика составляет 3600 см ² . Рассчитайте длину одной стороны журнального столика.
2. Рассчитайте длину квадратного цветника, если его площадь составляет 81 квадратный ярд.
3. Длина квадратного листа бумаги 4 см. Какова площадь бумаги?
4. Квадратная комната имеет площадь квадратных футов. Рассчитайте длину ковра, необходимую для идеального покрытия пола в этой комнате.
5. Квадратное футбольное поле имеет периметр 400 метров. Вычислите площадь этой площадки.
6. Стена по периметру квадратного дома составляет 480 метров. Какова длина и площадь соединения?
7. Площадь земельного участка площадью 10 000 м 2 ² .Найдите периметр земельного участка.
8. Фермер разделил свое ранчо на 5 равных квадратных участков. Допустим, длина каждой секции 50 метров. Подсчитайте общую площадь ранчо.

Решения для практических вопросов

1. Длина журнального столика определяется путем определения квадрата площади:

3600 = 60 x 60

Длина стола равна 60 см.

2. 625 = 25 x 25

Длина цветника 25 ярдов.

3. Площадь куска = 4 x 4

= 16 см ^2.

4. 81 = 9 x 9

Длина ковра 9 футов

5. Длина шага рассчитывается как: 400 ÷ 4 = 100 метров

Площадь поля = 100 х 100 = 10000 квадратных метров.

6. Длина комплекса = 480 ÷ 4 = 120 метров

Площадь комплекса = 120 x 120 = 14400 квадратных метров.

7. 10000 = 100 x 100,

Таким образом, периметр квадратного участка рассчитывается как:

100 x 4 = 400 метров

8.Площадь каждой детали 50 х 50 = 2500 квадратных метров.

Общая площадь ранчо 2500 x 5 = 12500 квадратных метров

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Завершение квадрата

« Завершение квадрата » — вот где мы …

… возьмем квадратное уравнение следующим образом:		и превратите его в это:
топор 2 + bx + c = 0		a (x + d ) 2 + e = 0

Для тех, кто спешит, могу сказать, что: d = b 2a

и: e = c — b ² 4a

Но если у вас есть время, позвольте мне показать вам, как « Complete the Square » самостоятельно.

Завершение площади

Допустим, у нас есть простое выражение, например x ² + bx. Дважды указание x в одном выражении может усложнить жизнь. Что мы можем сделать?

Ну, немного вдохновившись геометрией, мы можем преобразовать это, например:

Как видите x ² + bx можно переставить почти в квадрат …

… и мы можем завершить квадрат с помощью (б / 2) ²

В алгебре это выглядит так:

x 2 + bx	+ (б / 2) 2	=	(х + б / 2) 2
	«Завершить квадрат»

Итак, добавив (b / 2) ² , мы можем завершить квадрат.

И (x + b / 2) ² имеет x только один раз , что проще в использовании.

Сохранение баланса

Теперь … мы не можем просто прибавить (b / 2) ² , не вычитая и это тоже! В противном случае меняется вся стоимость.

Итак, давайте посмотрим, как это сделать правильно на примере:

Начать с:
	(в данном случае b равно 6)
Завершите квадрат:
	Также из вычтите из нового члена
Упростите, и готово.

Результат:

x ² + 6x + 7 = (x + 3) ² -2

И теперь x появляется только один раз, и наша работа сделана!

Быстрый подход

Вот быстрый способ получить ответ. Вам может понравиться этот метод.

Сначала подумайте о желаемом результате: (x + d) ² + e

После расширения (x + d) ² получаем: x ² + 2dx + d ² + e

Теперь посмотрим, сможем ли мы превратить наш пример в эту форму, чтобы обнаружить d и e

Пример: попробуйте уместить x

² + 6x + 7 в x ² + 2dx + d ² + e

Теперь мы можем «форсировать» ответ:

• Мы знаем, что 6x должно быть 2dx, поэтому d должно быть 3
• Затем мы видим, что 7 должно стать d ² + e = 9 + e, поэтому e должно быть −2

И получаем тот же результат (x + 3) ² -2, что и выше!

Теперь давайте посмотрим на полезное приложение: решение квадратных уравнений…

Решение общих квадратичных уравнений до квадрата

Мы можем заполнить квадрат до и решить квадратное уравнение (найти, где оно равно нулю).

Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент перед x ² :

топор ² + bx + c = 0

Но с этим легко справиться … просто разделите все уравнение сначала на «а», а затем продолжайте:

х ² + (б / а) х + в / а = 0

Ступеньки

Теперь мы можем решить квадратное уравнение за 5 шагов:

• Шаг 1 Разделите все члены на a (коэффициент x ² ).
• Шаг 2 Переместите числовой член ( c / a ) в правую часть уравнения.
• Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же значение в правую часть уравнения.

Теперь у нас есть что-то похожее на (x + p) ² = q, которое решается довольно легко:

• Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

• Шаг 5 Вычтите число, которое остается в левой части уравнения, чтобы найти x .

Примеры

Хорошо, помогут несколько примеров!

Пример 1: Решить x

² + 4x + 1 = 0

Шаг 1 в этом примере можно пропустить, так как коэффициент x ² равен 1

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x ² + 4x = -1

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, добавив такое же число в правую часть уравнения.

(б / 2) ² = (4/2) ² = 2 ² = 4

х ² + 4х + 4 = -1 + 4

(x + 2) ² = 3

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x + 2 = ± √3 = ± 1,73 (до 2 знаков после запятой)

Шаг 5 Вычтем 2 с обеих сторон:

х = ± 1,73 — 2 = -3.73 или -0,27

А вот и интересная и полезная штука. В конце шага 3 у нас было уравнение: (x + 2) 2 = 3 Это дает нам вершину (точка поворота) x 2 + 4x + 1: (-2, -3)

Пример 2: Решить 5x

² — 4x — 2 = 0

Шаг 1 Разделите все члены на 5

х ² — 0.8x — 0,4 = 0

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x ² — 0,8x = 0,4

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, добавив такое же число в правую часть уравнения:

(б / 2) ² = (0,8 / 2) ² = 0,4 ² = 0,16

х ² — 0.8x + 0,16 = 0,4 + 0,16

(х — 0,4) ² = 0,56

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x — 0,4 = ± √0,56 = ± 0,748 (до 3 знаков после запятой)

Шаг 5 Вычтем (-0,4) с обеих сторон (другими словами, прибавим 0,4):

x = ± 0,748 + 0,4 = -0,348 или 1,148

Почему «Завершить квадрат»?

Зачем заполнять квадрат, если мы можем просто использовать квадратичную формулу для решения квадратного уравнения?

Ну, одна причина указана выше, где новая форма не только показывает нам вершину, но и упрощает ее решение.

Также бывают случаи, когда форма ax ² + bx + c может быть частью более крупного вопроса и переставить его как a (x + d ) ² + e дает решение проще, потому что x появляется только один раз.

Например, «x» может быть функцией (например, cos (z) ), и его перестановка может открыть путь к лучшему решению.

Также завершение квадрата — это первый шаг в выводе квадратной формулы

Считайте это еще одним инструментом в вашем наборе математических инструментов.

Сноска: значения «d» и «e»

Как я получил значения d и e из верхней части страницы?

И вы заметите, что у нас есть:

а (х + г) ² + е = 0

Где: d =
б
2a

и: e = c —
б ²
4a

Прямо как вверху страницы!

квадратов и квадратного корня

Сначала узнайте о квадратах, затем квадратные корни — это просто.

Как возвести число в квадрат

Чтобы возвести число в квадрат: , умножьте его на само себя .

Пример: Что такое 3 в квадрате?

3 Квадрат

=

= 3 × 3 = 9

«В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:

Здесь говорится, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 говорит
число появляется дважды при умножении)

квадраты от 0

² до 6 ²

0 Квадрат	=	0 2	=	0 × 0	=	0
1 квадрат	=	1 2	=	1 × 1	=	1
2 Квадрат	=	2 2	=	2 × 2	=	4
3 Квадратный	=	3 2	=	3 × 3	=	9
4 квадрат	=	4 2	=	4 × 4	=	16
5 Квадрат	=	5 2	=	5 × 5	=	25
6 Квадрат	=	6 2	=	6 × 6	=	36

Отрицательные числа

Мы также можем возвести в квадрат отрицательных чисел .

Это было интересно!

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

То же, что и возведение положительного числа в квадрат:

(Подробнее см. Квадраты и квадратные корни в алгебре)

Квадратные корни

Квадратный корень из идет в обратном направлении:

3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень
из 9 это 3

Квадратный корень числа равен…

… значение, которое можно умножить на само на себя , чтобы получить исходное число.

Квадратный корень из 9 равен …

… 3 , потому что , когда 3 умножается на само , мы получаем 9 .

Это как спросить:

Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

Чтобы помочь вам вспомнить , подумайте о корне дерева: «Я знаю дерево , но какой корень его сделал? » В данном случае дерево — «9», а корень — «3».

Вот еще несколько квадратов и квадратных корней:

4		16
5		25
6		36
7		49

Десятичные числа

Также работает с десятичными числами.

Попробуйте использовать ползунки ниже (примечание: «…» означает, что десятичные дроби остаются неизменными):

Использование ползунков:

• Что такое квадратный корень из 8 ?
• Что такое квадратный корень из 9 ?
• Что такое квадратный корень из 10 ?
• Что такое 1 в квадрате?
• Что такое 1,1 в квадрате?
• Что такое 2,6 в квадрате?

Негативы

Ранее мы обнаружили, что можем возводить в квадрат отрицательные числа:

Пример: (−3) в квадрате

(−3) × (−3) = 9

И, конечно же, 3 × 3 = 9 тоже.

Таким образом, квадратный корень из 9 может быть −3 или +3

Пример. Каковы квадратные корни из 25?

(−5) × (−5) = 25

5 × 5 = 25

Таким образом, квадратные корни из 25 равны −5 и +5

Символ квадратного корня

Это специальный символ, обозначающий «квадратный корень», это что-то вроде клеща, и фактически началось сотни лет назад в виде точки с движением вверх. Он называется радикалом и всегда делает математику важной!

Мы используем это так:

, и мы говорим, что «квадратный корень из 9 равен 3»

Пример: Что такое √25?

25 = 5 × 5, другими словами, когда мы умножаем
5 сам по себе (5 × 5) получаем 25

Итак, ответ:

√25 = 5

Но подождите минутку! Разве квадратный корень не может быть −5 ? Потому что (−5) × (−5) = 25 тоже.

• Итак, квадратный корень из 25 может быть -5 или +5.
• Но когда мы используем радикальный символ √ , мы даем только положительный (или нулевой) результат .

Пример: Что такое √36?

Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

Идеальные квадраты

Совершенные квадраты (также называемые «квадратными числами») — это квадраты целых чисел:

	Совершенное Квадраты
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225
	и др…

Попытайтесь запомнить их до 12.

Вычисление квадратного корня

Легко вычислить квадратный корень из полного квадрата, но он
действительно сложно найти другие квадратные корни.

Пример: что такое √10?

Итак, 3 × 3 = 9 и 4 × 4 = 16, поэтому мы можем угадать ответ от 3 до 4.

• Попробуем 3,5: 3,5 × 3,5 = 12,25
• Попробуем 3.2: 3,2 × 3,2 = 10,24
• Попробуем 3,1: 3,1 × 3,1 = 9,61
• …

Приближается к 10, но на получение хорошего ответа уйдет много времени!

В этот момент я достаю свой калькулятор, и он говорит: 3,1622776601683793319988935444327 Но цифры могут продолжаться и продолжаться без какого-либо рисунка. Так даже калькулятор ответит только приближение !

Примечание: подобные числа называются иррациональными числами, если вы хотите узнать больше.

Самый простой способ вычислить квадратный корень

Используйте кнопку квадратного корня вашего калькулятора!

А также руководствуйтесь здравым смыслом, чтобы убедиться, что у вас есть правильный ответ.

Интересный способ вычислить квадратный корень

Есть забавный метод вычисления квадратного корня, который с каждым разом становится все точнее:

	a) начните с предположения (предположим, 4 — это квадратный корень из 10)
	b) разделить на предположение (10/4 = 2.5) c) добавьте это к предположению (4 + 2,5 = 6,5) d) затем разделите , полученный результат , на 2, другими словами, уменьшите его вдвое. (6,5 / 2 = 3,25) e) теперь установите это как новое предположение и начните с b) снова

• Наша первая попытка подняла нас с 4 на 3,25
• Возвращаясь снова ( b к e ), мы получаем: 3,163
• Возвращаясь снова ( b к e ), мы получаем: 3,1623

Итак, через 3 раза ответ будет 3.1623, что неплохо, потому что:

3,1623 x 3,1623 = 10,00014

Теперь … почему бы вам, , не попытаться вычислить квадратный корень из 2 таким способом?

Как угадать

Что, если нам нужно угадать квадратный корень для такого сложного числа, как «82 163» …?

В этом случае мы могли бы подумать, что «82 163» состоит из 5 цифр, поэтому квадратный корень может состоять из 3 цифр (100 x 100 = 10 000), а квадратный корень из 8 (первая цифра) примерно равен 3 (3×3 = 9), поэтому 300 хорошее начало.

День квадратного корня

4 апреля 2016 г. — День квадратного корня, потому что дата выглядит так: 4/4/16

Следующее за этим 5 мая 2025 г. (05.05.25)

309 310 315, 1082, 1083, 2040, 3156, 2041, 2042, 3154

Возведение в квадрат биномов

Возведение в квадрат биномов
Вот шаги, необходимые для возведения биномов в квадрат:

Шаг 1 :	Возводя двучлен в квадрат, не поленитесь и запишите его дважды.Затем распространите или используйте метод FOIL, чтобы умножить два бинома. Есть формулы, которые вы можете запомнить, но я предлагаю вам просто написать их дважды и распространить или ЗАПИСАТЬСЯ.
Шаг 2 :	Объедините похожие термины.

Пример 1 — Умножение: (3x — 7) ²

Шаг 1 : Не поленитесь, напишите его дважды, а затем распределите или используйте метод FOIL для умножения биномов.
Шаг 2 : Объедините похожие термины.

Пример 2 — Умножение: (4x + 5) ²

Шаг 1 : Не поленитесь, напишите его дважды, а затем распределите или используйте метод FOIL для умножения биномов.
Шаг 2 : Объедините похожие термины.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 — Умножение: (6x — 5y) ²

Шаг 1 : Не поленитесь, напишите его дважды, а затем распределите или используйте метод FOIL для умножения биномов.
Шаг 2 : Объедините похожие термины.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 — Умножение: (9x + 2y) ²

Шаг 1 : Не поленитесь, напишите его дважды, а затем распределите или используйте метод FOIL для умножения биномов.
Шаг 2 : Объедините похожие термины.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 — Умножить: (5×2 — 8y) ²

Шаг 1 : Не поленитесь, напишите его дважды, а затем распределите или используйте метод FOIL для умножения биномов.
Шаг 2 : Объедините похожие термины.

Щелкните здесь для практических задач

Завершение квадрата (больше примеров)

На мой взгляд, «наиболее важное» использование метода квадратов — это решение квадратных уравнений.Фактически, квадратная формула, которую мы используем для решения квадратных уравнений, получена с использованием техники завершения квадрата. Вот мой урок по выводу квадратичной формулы.

---

Применение метода квадрата

Пример 1 : Решите приведенное ниже уравнение, используя метод завершения квадрата.

Переместите константу в правую часть уравнения, сохраняя при этом x-члены слева. Я могу сделать это, вычтя обе части на 14.

Затем определите коэффициент линейного члена (просто x-члена), который равен

.

Возьмите это число, разделите на 2 и возведите его в квадрат.

Добавьте {{81} \ over 4} к обеим сторонам уравнения, а затем упростите.

Выразите трехчлен в левой части как квадрат бинома.

Извлеките квадратные корни из обеих частей уравнения, чтобы исключить степень двойки в скобках. Убедитесь, что вы добавили символ плюс или минус к постоянному члену (правая часть уравнения).

Решите относительно «x», сложив обе стороны на {9 \ over 2}.

Найдите два значения «x», рассмотрев два случая: положительный и отрицательный.

Следовательно, окончательные ответы: {x_1} = 7 и {x_2} = 2. Вы можете выполнить обратную замену этих двух значений x из исходного уравнения для проверки.

---

Пример 2 : Решите уравнение ниже, используя метод завершения квадрата.

Решение:

Вычтем 2 из обеих частей квадратного уравнения, чтобы исключить константу в левой части.

Разделите 8 на 2 и возведите в квадрат.

Добавьте 16 к обеим частям уравнения.

Выразите левую часть в виде квадрата двучлена.

Возьмите квадратный корень из обеих сторон.

Найдите два значения «x», рассмотрев два случая: положительный и отрицательный.

---

Пример 3 : Решите приведенное ниже уравнение, используя технику завершения квадрата.

Исключите постоянную — 36 в левой части, добавив 36 к обеим частям квадратного уравнения.2}, равное 6. Уменьшите дробь до наименьшего члена.

Определите коэффициент линейного члена.

Разделите этот коэффициент на 2 и возведите его в квадрат.

Добавьте этот результат к обеим сторонам уравнения. Будьте осторожны при сложении или вычитании дробей.

Выразите трехчлен в левой части как бином в виде полного квадрата. Затем решите уравнение, сначала извлекая квадратные корни из обеих частей. Не забудьте прикрепить плюс или минус символ к квадратному корню из постоянного члена справа.

Завершите это, вычтя обе части на {{{23} \ over 4}}. Вы должны получить два значения «x» из-за «плюс или минус».

Окончательные ответы: {x_1} = {1 \ over 2} и {x_2} = — 12.

---

Пример 4 : Решите уравнение ниже, используя технику завершения квадрата.

Решение:

Шаг 1: Удалите константу в левой части, а затем разделите все уравнение на — \, 3.

Шаг 2: Возьмите коэффициент линейного члена, который равен {2 \ более 3}. Разделите его на 2 и возведите в квадрат.

Шаг 3: Добавьте значение, полученное на шаге 2, к обеим сторонам уравнения. Затем объедините фракции.

Шаг 4: Выразите трехчлен слева как квадрат двучлена.

Шаг 5: Извлеките квадратные корни из обеих частей уравнения. Убедитесь, что вы добавили символ «плюс» или «минус» к квадратному корню из константы справа.Упростите радикал.

Шаг 6: Решите относительно x, вычитая обе части на {1 \ более 3}. У вас должно быть два ответа из-за случая «плюс-минус».

---

Предыдущая страница | Страница 2 из 2

Завершение квадрата: решение квадратных уравнений

Purplemath

Некоторые квадратичные уравнения довольно просто решить, потому что они имеют форму «что-то с x в квадрате равно некоторому числу», а затем вы извлекаете квадратный корень из обеих частей.

Пример:

MathHelp.com

К сожалению, большинство квадратиков не имеют такого точного квадрата.Для вашего среднего повседневного квадратичного вы сначала должны использовать технику «завершения квадрата», чтобы преобразовать квадратичный в аккуратный формат «(квадратная часть) равно (число)», продемонстрированный выше. Например:

• Найдите

  x -перехватывания y = 4 x ² — 2 x — 5.

Прежде всего, помните, что нахождение пересечений по x означает установку y равным нулю и решение для значений x , поэтому этот вопрос действительно просит вас: «Решить 4 x ² — 2 x — 5 = 0 дюймов.

А теперь приступим к построению квадрата. Для начала у нас есть исходное уравнение (или, если нам нужно было сначала решить для «= 0», форму уравнения «равно нулю»). В этом случае нас попросили указать x -перехватывания квадратичной функции, что означало, что мы установили функцию равной нулю. Итак, мы в порядке. Наша отправная точка — это уравнение:

Теперь, вопреки всему, что мы узнали раньше, мы собираемся переместить константу (то есть число, которое равно , а не с переменной) на другую сторону от знака «равно»:

При решении путем завершения квадрата мы хотим, чтобы x ² было само по себе, поэтому нам нужно разделить на все, что умножается на этот член.В этом случае у нас есть 4, умноженное на x ² , поэтому нам нужно разделить на 4, чтобы избавиться от этого. Наш результат:

Теперь поработаем на стороне. Глядя на квадрат выше, мы имеем член x ² и член x в левой части. Будем работать с коэффициентом при члене x . В нашем случае это значение вместе со знаком составляет:

.

Числовой коэффициент

:

–1/2.

Чтобы создать наш завершенный квадрат, нам нужно разделить этот числовой коэффициент на 2 (или, что то же самое, умножить его на половину). В нашем случае получаем:

производное значение:

(1/2) (- 1/2) = –1/4

Теперь возведем в квадрат полученное значение. (Конечно, в результате мы получим положительное число.)

квадрат производного значения:

(-1/4) ² = 1/16

Хорошо; теперь мы вернемся к последнему шагу перед нашим отвлечением:

…и добавляем «

+1/16″ к любой стороне уравнения:

x ² — (1/2) x + 1/16 = 5/4 + 1/16

Мы можем упростить строго числовой материал в правой части:

x ² — (1/2) x + 1/16 = 21/16

На этом этапе мы готовы преобразовать форму завершенного квадрата, потому что, добавив

+1/16 к любой стороне, мы преобразовали левую часть в квадратичную форму, которая представляет собой идеальный квадрат.Другими словами, мы можем преобразовать эту левую часть в аккуратный квадрат бинома. Но как?

Самый простой способ — вернуться к значению, которое мы получили после деления на два (или, что то же самое, умножения на половину), и используя это, вместе со знаком , чтобы сформировать квадрат бинома. Другими словами, в этом случае получаем:

Ура! Готовая квадратная форма! Теперь мы можем извлекать квадратный корень из любой стороны (не забывая о «плюс-минус» на строго числовой стороне):

sqrt [( x — (1/4)) ² ] = ± sqrt [21/16]

x — (1/4) = ± sqrt [21/16]

Теперь мы можем найти значения переменной:

«плюс-минус» означает, что у нас есть два решения :

Решения также могут быть записаны с округлением до

или с округлением до некоторого разумного числа десятичных знаков (например, двух).

---

Вам, вероятно, понадобятся округленные формы для «реальных» ответов на текстовые задачи и для построения графиков. Например, для вышеупомянутого упражнения намного проще построить график точки пересечения при x = -0,9, чем пытаться изобразить число в форме квадратного корня со знаком «минус» посередине. Но (предупреждение!) В большинстве других случаев вы должны предполагать, что ответ должен быть в «точной» форме, со всеми квадратными корнями.

Когда вы заполняете квадрат, внимательно следите за знаком числового коэффициента члена x , когда вы умножаете этот коэффициент вдвое.Если вы потеряете знак этого термина, вы можете получить неправильный ответ, потому что забудете, какой знак стоит в круглых скобках в форме заполненного квадрата.

Также не будьте небрежны и не ждите, пока поставите знак плюс / минус до самого конца. На ваших тестах у вас не будет ответов, чтобы «напомнить» вам, что вы «имели в виду» использовать плюс-минус, и вы, вероятно, забудете поставить плюс-минус в ответ. Кроме того, нет причин ставить галочку против своего инструктора, делая что-то не так, если сделать все правильно так просто.

В том же примечании убедитесь, что вы вводите знак квадратного корня, если это необходимо, когда извлекаете квадратный корень из обеих сторон. Не ждите, пока ответ на обороте книги «напомнит» вам, что вы «хотели» поместить туда символ квадратного корня.

Если вы привыкнете быть небрежным, вы только навредите себе!

---

• Решите

  x ² + 6 x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Я проделаю ту же процедуру, что и в первом упражнении, в том же порядке. (Совет для изучения: всегда решайте эти задачи одним и тем же способом, это поможет вам запомнить шаги при прохождении тестов.)

Сначала я записываю уравнение, которое мне дали.

Я переставляю постоянный член (свободное число) на другую сторону от «равно».

Главный член уже умножен только на 1, поэтому мне не нужно ни на что делить. Итак, этот шаг сделан.

Сейчас я возьму бумагу для заметок и сделаю вычисления. Во-первых, коэффициент «линейного» члена (то есть члена только с x , а не с x ² ), со знаком , равен:

числовой коэффициент: +6

Умножу это на

1/2:

производное значение:

(+6) (1/2) = +3

Мой следующий шаг — возвести это производное значение в квадрат:

квадрат производного значения: (+3) ² = 9

Теперь я возвращаюсь к своему уравнению и добавляю это значение в квадрате в обе стороны:

Я упрощу числовой материал в правой части:

А теперь я конвертирую левую часть в форму завершенного квадрата, используя производное значение (которое я обвел в моем эскизе, чтобы не потерять его из виду) вместе со знаком:

Теперь, когда левая часть имеет форму завершенного квадрата, я могу извлекать квадратный корень из каждой стороны, не забывая ставить «плюс-минус» на строго числовой стороне:

sqrt [( x + 3) ² ] = ± sqrt [16]

х + 3 = ± 4

…и затем я найду два своих решения:

x = –3 ± 4

= –3 — 4, –3 + 4

= –7, 1

Тогда мой ответ:

---

Найдите время, чтобы проработать два вышеуказанных упражнения для себя, убедившись, что вы четко понимаете каждый шаг, как эти шаги работают вместе и как я пришел к перечисленным ответам.А затем найдите время, чтобы попрактиковаться в дополнительных упражнениях из своей книги. По мере практики этот процесс может стать довольно простым, особенно если вы будете осторожны, выполняя одни и те же шаги в одном и том же порядке. Да, «в реальной жизни» вы бы использовали квадратичную формулу или свой калькулятор, но вы должны ожидать хотя бы один вопрос на следующем тесте (и, возможно, в последнем), где вы должны показать шаги для завершения квадрата.

---

Филиал

---

Примечание. Поскольку решения для второго упражнения, приведенного выше, были целыми числами, это говорит о том, что мы могли решить эту задачу путем разложения на множители.

x ² + 6 x — 7 = 0

( x — 1) ( x + 7) = 0

x — 1 = 0, x + 7 = 0

x = 1, x = — 7

---

Предупреждение: если вы не всегда учитываете плюс / минус, когда извлекаете квадратный корень из обеих сторон, то это пример того типа упражнений, при котором у вас могут возникнуть проблемы.Вы напишете свой ответ для второго упражнения выше как « x = –3 + 4 = 1» и понятия не имеете, как они получили « x = –7», потому что у вас не будет квадратного корня. символ, «напоминающий» вам, что вы «имели в виду» поставить плюс / минус. Другими словами, если вы небрежны, эти простых задач вас смутят!

На следующей странице мы рассмотрим другой пример, а затем покажем, как квадратная формула может быть получена из процедуры завершения квадрата…

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/sqrquad.htm

Статистика хи-квадрат

: как рассчитать / Распределение

Наблюдаемые переменные: определение

Содержание

Определения

1. Что такое тест хи-квадрат?
2. Что такое статистика хи-квадрат?
3. Р-значения хи-квадрат.
4. Распределение хи-квадрат и распределение хи

Расчеты :

1. Как рассчитать статистику хи-квадрат:
2. Как проверить гипотезу хи-квадрат (с видео)

См. Также:

Существует два типа тестов хи-квадрат . Оба используют статистику и распределение хи-квадрат для разных целей:

• Тест согласия хи-квадрат определяет, соответствуют ли данные выборки генеральной совокупности.Подробнее об этом типе см .: Тест на соответствие .
• Тест хи-квадрат на независимость сравнивает две переменные в таблице непредвиденных обстоятельств, чтобы увидеть, связаны ли они. В более общем смысле он проверяет, отличаются ли распределения категориальных переменных друг от друга.
  • Очень маленькая статистика критерия хи-квадрат означает, что ваши наблюдаемые данные очень хорошо соответствуют вашим ожидаемым данным. Другими словами, отношения есть.
  • Очень большая статистика критерия хи-квадрат означает, что данные не очень хорошо подходят. Другими словами, отношений нет.

В начало

Формула для статистики хи-квадрат, используемая в тесте хи-квадрат:

Формула хи-квадрат.

Индекс «c» — это степени свободы. «O» — ваше наблюдаемое значение, а E — ваше ожидаемое значение. Очень редко вам понадобится , чтобы использовать по этой формуле, чтобы вручную найти критическое значение хи-квадрат.Символ суммирования означает, что вам нужно будет выполнить вычисление для каждого отдельного элемента данных в вашем наборе данных. Как вы, наверное, догадались, вычисления могут быть очень, очень длинными и утомительными. Вместо этого вы, вероятно, захотите использовать технологию:

Статистика хи-квадрат — это один из способов показать взаимосвязь между двумя категориальными переменными. В статистике есть два типа переменных: числовые (счетные) переменные и нечисловые (категориальные) переменные. Статистика хи-квадрат — это единое число, которое говорит вам, какая разница существует между вашими наблюдаемыми подсчетами и подсчетами, которые вы ожидали бы, если бы не было никакой взаимосвязи в популяции.

Существует несколько вариаций статистики хи-квадрат. Какой из них вы используете, зависит от того, как вы собирали данные и какая гипотеза проверяется. Однако во всех вариантах используется одна и та же идея, заключающаяся в том, что вы сравниваете ожидаемые значения со значениями, которые вы фактически собираете. Для таблиц непредвиденных обстоятельств можно использовать одну из наиболее распространенных форм:

Где O — наблюдаемое значение, E — ожидаемое значение, а «i» — это «i-е» положение в таблице непредвиденных обстоятельств.

Низкое значение для хи-квадрат означает, что существует высокая корреляция между двумя вашими наборами данных. Теоретически, если бы ваши наблюдаемые и ожидаемые значения были равны («нет разницы»), то хи-квадрат был бы равен нулю — событие, которое вряд ли произойдет в реальной жизни. Решить, является ли статистика критерия хи-квадрат достаточно большой, чтобы указать на статистически значимую разницу, не так просто, как кажется. Было бы неплохо, если бы мы могли сказать, что статистика критерия хи-квадрат> 10 означает разницу, но, к сожалению, это не так.

Вы можете взять вычисленное значение хи-квадрат и сравнить его с критическим значением из таблицы хи-квадрат. Если значение хи-квадрат больше критического значения, то разница значительная.

Вы также можете использовать p-значение. Сначала сформулируйте нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу. Затем сгенерируйте кривую хи-квадрат для своих результатов вместе с p-значением (см .: Расчет p-значения хи-квадрат в Excel). Небольшие значения p (менее 5%) обычно указывают на то, что разница значительна (или «достаточно мала»).

Совет : Статистику хи-квадрат можно использовать только для чисел. Их нельзя использовать для процентов, пропорций, средних или аналогичных статистических значений. Например, если у вас 10 процентов от 200 человек, вам нужно будет преобразовать это в число (20), прежде чем вы сможете запустить тестовую статистику.
В начало

Тест хи-квадрат даст вам p-значение. Значение p скажет вам, являются ли результаты вашего теста значимыми или нет. Чтобы выполнить тест хи-квадрат и получить значение p, вам понадобятся две части информации:

1. Степени свободы.Это просто количество категорий минус 1.
2. Альфа-уровень (α). Это выбираете вы или исследователь. Обычный альфа-уровень составляет 0,05 (5%), но у вас могут быть и другие уровни, например 0,01 или 0,10.

В элементарной статистике или статистике AP в вопросе обычно указываются как степени свободы (df), так и альфа-уровень. Обычно не нужно выяснять, что это такое. Вы , возможно, должны сами вычислить df, но это довольно просто: посчитайте категории и вычтите 1.

Степени свободы помещаются в нижнем индексе после символа хи-квадрат (Χ ² ). Например, следующий хи-квадрат показывает 6 df:
Χ ² ₆ .
И этот квадрат хи показывает 4 df:
Χ ² ₄ .
В начало

Автор: Geek3 | Wikimedia Commons GFDL

Распределение хи-квадрат (также называемое распределением хи-квадрат) является частным случаем гамма-распределения; Распределение хи-квадрат с n степенями свободы равно гамма-распределению с a = n / 2 и b = 0.5 (или β = 2).

Допустим, у вас есть случайная выборка, взятая из нормального распределения. Распределение хи-квадрат — это распределение суммы этих случайных выборок в квадрате . степени свободы (k) равны количеству суммируемых отсчетов. Например, если вы взяли 10 отсчетов из нормального распределения, то df = 10. Степени свободы в распределении хи-квадрат также равны его среднему значению . В этом примере среднее значение этого конкретного распределения будет 10.Распределения хи-квадрат всегда искажены вправо. Однако чем больше степени свободы, тем больше распределение хи-квадрат выглядит как нормальное распределение.

использует

Распределение хи-квадрат имеет множество применений в статистике, в том числе:

Распределение Ци

Похожее распределение — это распределение хи . Это распределение описывает квадратный корень переменной, распределенной в соответствии с распределением хи-квадрат; с df = n> 0 степеней свободы имеет функцию плотности вероятности:

f (x) = 2 ^{(1-n / 2)} x ^(n-1) e ^{(- (x 2 ) / 2)} / Γ (n / 2)

Для значений, где x положительный.

cdf для этой функции не имеет замкнутой формы, но ее можно аппроксимировать серией интегралов, используя исчисление.

В начало

Статистика хи-квадрат используется для проверки гипотез. Посмотрите это видео, Как вычислить хи-квадрат , или прочтите инструкции ниже. По-прежнему возникают проблемы? Chegg.com подберет для вас репетитора, и ваши первые 30 минут будут бесплатными!

Формула хи-квадрат.

Формула хи-квадрат — это сложная формула.В основном это связано с тем, что вы должны добавить большое количество чисел. Самый простой способ решить формулу — составить таблицу.

Пример вопроса : 256 художников были опрошены, чтобы определить их знаки зодиака. Результаты были: Овен (29), Телец (24), Близнецы (22), Рак (19), Лев (21), Дева (18), Весы (19), Скорпион (20), Стрелец (23), Козерог. (18), Водолей (20), Рыбы (23). Проверьте гипотезу о том, что знаки зодиака равномерно распределены среди художников-художников.

Шаг 1: Создайте таблицу со столбцами «Категории», «Наблюдаемое», «Ожидаемое», «Остаточное (Obs-Exp)», «(Obs-Exp) ² » и «Компонент (Obs-Exp. ) ² / Exp. » Не волнуйтесь, что это значит прямо сейчас; Мы рассмотрим это в следующих шагах.

Шаг 2: Заполните свои категории . Категории должны быть указаны вам в вопросе. Всего знаков зодиака 12, итого:

Шаг 3: Запишите количество . Количество — это количество каждого элемента в каждой категории в столбце 2.В вопросе указано количество цифр:

.

Шаг 4: Рассчитайте ожидаемое значение для столбца 3. В этом вопросе мы ожидаем, что 12 знаков зодиака будут равномерно распределены для всех 256 человек, поэтому 256/12 = 21,333. Запишите это в колонку 3.

Шаг 5: Вычтите ожидаемое значение (Шаг 4) из наблюдаемого значения (Шаг 3) и поместите результат в столбец «Остаточное». Например, первая строка — Овен: 29-21,333 = 7,667.

Шаг 6: Возведите в квадрат результаты, полученные на шаге 5 , и поместите суммы в столбец (Obs-Exp) ² .

Шаг 7: Разделите суммы на шаге 6 на ожидаемое значение (шаг 4) и поместите эти результаты в последний столбец.

Шаг 8: Сложите (просуммируйте) все значения в последнем столбце .

Это статистика хи-квадрат: 5,094.

Понравилось объяснение? Ознакомьтесь со Справочником по статистике практического мошенничества, в котором есть еще сотни пошаговых объяснений, подобных этому!

В начало

Вы найдете тест хи-квадрат в SPSS в разделе «Перекрестные таблицы».

Пример проблемы: Запустите тест хи-квадрат в SPSS.

Примечание. Чтобы запустить тест хи-квадрат в SPSS, вы должны уже написать гипотезу. См .: Как сформулировать нулевую гипотезу.

Посмотрите видео или прочтите следующие шаги:

Шаг 1: Щелкните «Анализировать», затем щелкните «Описательная статистика», затем щелкните «Перекрестные таблицы».

Квадрат хи в SPSS находится в команде Crosstabs.

Шаг 2: Щелкните кнопку «Статистика». Кнопка статистики находится справа от окна кросс-таблиц. Появится новое всплывающее окно.

Шаг 3: Щелкните «Chi Square» , чтобы поставить отметку в поле, а затем щелкните «Продолжить», чтобы вернуться в окно перекрестных таблиц.

Шаг 4: Выберите переменные, которые вы хотите запустить (другими словами, выберите две переменные, которые вы хотите сравнить с помощью теста хи-квадрат). Щелкните одну переменную в левом окне, а затем щелкните стрелку вверху, чтобы переместить переменную в строку (строки).»Повторите, чтобы добавить вторую переменную в окно« Столбцы ».

Шаг 5: Щелкните «Ячейки», а затем отметьте «Строки» и «Столбцы». Нажмите «Продолжить».

Шаг 6: Нажмите «ОК», чтобы запустить тест хи-квадрат. Тесты хи-квадрат будут возвращены в нижней части выходного листа в поле «Тесты хи-квадрат».

Шаг 7: Сравните p-значение, возвращаемое в области хи-квадрат (указанное в столбце Asymp Sig), с выбранным альфа-уровнем.

В начало

Посетите наш канал YouTube, чтобы получить дополнительную информацию о статистике.Найдите десятки видеороликов об основных принципах статистики, а также о том, как рассчитать статистику с помощью Microsoft Excel.

Посмотрите видео или прочтите инструкции ниже:

Критерий хи-квадрат на независимость показывает, как связаны категориальные переменные. Есть несколько вариантов статистики; какой из них вы используете, зависит от того, как вы собирали данные. Это также зависит от того, как сформулирована ваша гипотеза. Все варианты используют одну и ту же идею; вы сравниваете значения, которые вы ожидаете получить (ожидаемые значения), со значениями, которые вы фактически собираете (наблюдаемые значения).Одна из наиболее распространенных форм может использоваться в таблице непредвиденных обстоятельств.

Проверка гипотезы хи-квадрат подходит, если у вас есть:

Например, у вас могло бы быть клиническое испытание с результатами гипогликемии, нормогликемии или гипергликемии.

Проверка гипотезы хи-квадрат: шаги

Пример вопроса: Проверьте гипотезу хи-квадрат со следующими характеристиками:

1. 11 степеней свободы
2. Критерий хи-квадрат, статистика 5.094

Примечание: степеней свободы равно количеству категорий минус 1.

Шаг 1. Возьмите статистику хи-квадрат. Найдите значение p в таблице хи-квадрат. Если вы не знакомы с таблицами хи-квадрат, ссылка на таблицу хи-квадрат также включает короткое видео о том, как читать таблицу. Ближайшее значение для df = 11 и 5,094 находится между 0,900 и 0,950.
Примечание : Таблица хи-квадрат не предлагает точных значений для каждой возможности. Если вы воспользуетесь калькулятором, то сможете получить точное значение.Точное значение p составляет 0,9265.

Шаг 2: Используйте p-значение , которое вы нашли на шаге 1. Решите, поддерживать или отклонять нулевую гипотезу. В общем, небольшие значения p (от 1% до 5%) заставят вас отвергнуть нулевую гипотезу. Это очень большое значение p (92,65%) означает, что нулевая гипотеза должна быть отклонена , а не .

Понравилось объяснение? Ознакомьтесь со Справочником по статистике практического мошенничества, в котором есть еще сотни пошаговых объяснений, подобных этому!

В начало

Номер ссылки

Джона Хопкинса.