Размещение сочетание перестановка задачи: Страница не найдена — РЕГИОНАЛЬНЫЙ ОТКРЫТЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ

Содержание

Перестановки. Размещения. Сочетания. Урок решения комбинаторных задач

Перестановки.
Размещения.
Сочетания.
Урок решения
комбинаторных задач
9 класс
Пусть имеются три кубика с буквами А, В и С.
Составьте всевозможные комбинации из этих
букв.
В
А
ABC
ВСА
CAB
С
АСВ
ВАС
CBA
Эти комбинации отличаются друг от друга только
расположением букв (перестановка букв).
Перестановки
Перестановки — это комбинации, составленные из одних и тех же
элементов и отличающиеся порядком их следования.
Число всех возможных перестановок элементов обозначается Pn, и
может быть вычислено по формуле:
Формула перестановки:
Рn=n!
При перестановке число объектов остается неизменными,
меняется только их порядок
С ростом числа объектов количество перестановок очень
быстро растет и изображать их наглядно становится
затруднительно.
3 объекта
Рn=n!
Р3=3!=1∙2∙3=6
количество перестановок 6
Задача 1. В турнире участвуют семь команд. Сколько
вариантов распределения мест между ними возможно?
Р7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
Ответ: 5040
Задача 2. Сколькими способами могут разместиться за круглым
столом 10 человек?
Р10 =10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800
Ответ: 3628800
1. Вычислить:
а) 5!
7!
б)
3!
11!
в)
8!
2. В среду в 9 классе 6 уроков: алгебра, русский язык, черчение, биология,
химия, обществознание. Сколько вариантов расписания можно составить на
среду?
Размещения
Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми
возможными способами между собой .
Получившиеся комбинации называются размещениями из
n объектов по m, а их число равно:
Формула размещения:
n!
А
n m !
m
n
При размещениях меняется и состав выбранных объектов, и их порядок.
n!
А
n m !
m
n
3 объекта
n=3 — всего объектов (различных фигур)
m= 2 – выбор и перестановка объектов
Размещение по 2 фигуры
А
2
3
3!
6
6
3 2 ! 1
Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке, если
выбирать их из имеющихся в наличии семи книг?
n!
А
n m !
m
n
А
5
7
7!
7! 2! 3 4 5 6 7
2520
7 5 ! 2!
2!
Ответ: 2520 способов
1. Вычислить:
а) А
2
6
А А
б)
3
А10
4
12
4
11
2. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися
цифрами, которые можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 60 чисел
Сочетания
3 объекта
Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов все возможными способами
Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m,
n!
С
(n m)! m!
m
n
В сочетаниях меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен
Задача: Сколькими способами можно распределить три путевки в
один санаторий между пятью желающими?
Так как путевки предоставлены в один санаторий, то
варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы
одним желающим. Поэтому число способов распределения
n!
С
(n m)! m!
m
n
Ответ: 10 способов.
Задача:
Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой
партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество
возможных вариантов сочетаний.
Ответ: 190
Задача: В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими
способами можно сформировать бригаду из 7 человек, чтобы в ней было
3 женщины?
Из пяти женщин необходимо выбирать по три, поэтому число способов отбора
Так как требуется отобрать четырех мужчин из семи,
то число способов отбора мужчин
Ответ: 350
.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Число перестановок из n

 

Число размещений из n по m

 

Число размещений из n по m с повторениями

 

Число сочетаний из n по m

 

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Итак, есть множество из n элементов.

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation).
Например, есть множество, состоящее из 3 элементов — А, В, и С. Пример перестановки — СВА. Число всех перестановок из n элементов:

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).
Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.
Число всех размещений из n по m с повторениями:

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC

Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).
Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:

Обратите внимание, что внизу

основные формулы. Перестановки, размещения, сочетания. Задачи по теории вероятностей с решением онлайн. Помощь студентам

Основные понятия и формулы


Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о
том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов
(элементов).

Правило умножения (основная формула комбинаторики)

Общее число

 способов, которыми можно выбрать по одному
элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть
получить упорядоченную совокупность

),
равно:



Пример 1

Монету подбросили 3 раза.
Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Решение

Первая монета имеет

 альтернативы – либо орел, либо решка. Для
второй монеты также есть

 альтернативы
и т.д., т.е.

.

Искомое количество
способов:



Правило сложения

Если любые две группы

 и

 не имеют общих элементов, то выбор одного
элемента или из

,
или из

,
…или из

 можно осуществить

 способами.


Пример 2

На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4
экономических. Сколько существует способов 
выбора одной математической или одной экономической книги.

Решение

Математическая книга может быть выбрана  

 способами, экономическая —

 способами.

По правилу суммы существует

 способа выбора математической или
экономической книги.


Размещения и перестановки


Размещения – это
упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом,
либо порядком элементов.

Размещения без повторений,
когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную
совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения,
а его результат – размещением без повторений из

 элементов по

.

Число различных способов, которыми можно произвести
последовательный выбор без возвращения

 элементов из генеральной совокупности объема

,
равно:



Пример 3

Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число
вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11,
отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования.
поэтому:


Перестановки – это
упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком
элементов. Число всех перестановок множества из

 элементов равно


Пример 4

Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?

Решение

Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то
есть является перестановкой из 4 элементов:



Размещения с повторениями,
когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную
совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а
его результат  — размещением с
повторениями из

 элементов по

.

Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с
возвращением

 элементов из генеральной совокупности объема

,
равно


Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Пример 5

Лифт останавливается на 7
этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров,
находящихся в кабине лифта?

Решение

Каждый из способов
распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров
по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком.
Так как одном этаже может выйти как 
один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут
повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с
повторениями из 7 элементов по 6:



 


Сочетания


Сочетаниями

 из n элементов по k называются
неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним
элементом.

Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов
(либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается).
В результате такого одновременного неупорядоченного выбора

 элементов из генеральной совокупности объема

 получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из

 элементов по

.

Число сочетаний из

 элементов по

 равно:



Пример 6

В ящике 9 яблок. Сколькими
способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

Решение

Каждый вариант выбора
состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет
собой сочетания без повторений из 9 элементов:

Количество способов,
которыми можно выбрать 3 яблока из 9:



Пусть из генеральной совокупности объема

 выбирается

 элементов, один за другим, причем каждый
отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную
совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз,
однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности
называются сочетаниями с повторениями
из

 элементов по

.

Число сочетаний с повторениями из

 элементов по

:



Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Пример 7

На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить
6 открыток?

Решение

Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:



Разбиение множества на группы


Пусть множество из

 различных элементов разбивается на

 групп так, то в первую группу попадают

 элементов, во вторую —

 элементов, в


группу —

 элементов, причем

.
Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.

Число разбиений на

 групп, когда в первую попадают

 элементов, во вторую —

 элементов, в k-ю группу —

 элементов, равно:



Пример 8

Группу из 16 человек
требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек,
во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно
сделать?

Решение

Здесь

Число разбиений на 3 подгруппы:


Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Монету
подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?


Задача 2

Доступ к
файлу открывается, только если введен правильный пароль – определенный
трехзначный номер из нечетных цифр. Какова максимальное число возможных попыток
угадать пароль?


Задача 3

Группу из
10 человек требуется разбить на две непустые подгруппы

 и

. Сколькими способами можно
это сделать?


Задача 4

Два
наборщика должны набрать 16 текстов. Сколькими способами они могут распределить
эту работу между собой.


Задача 5

Шесть
студентов-переводников нужно распределить по трем группам. Сколькими способами
это можно сделать?


Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Задача 6

Лифт
останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6
пассажиров, находящихся в кабине лифта?


Задача 7

В ящике 5
красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из
ящика?


Задача 8

Из ящика,
в котором лежат 10 красных и 5 зеленых яблок, выбирают одно красное и два
зеленых яблока. Сколькими способами можно это сделать.


Задача 9

В группе
из 25 студентов нужно выбрать старосту и 3 членов студенческого комитета.
Сколькими способами можно это сделать.


Задача 10

Акционерное
собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета
директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно
сделать?


Задача 11

В
телевизионной студии работают 3 режиссера, 4 звукорежиссера, 5 операторов, 7
корреспондентов и 2 музыкальных редактора. Сколькими способами можно составить съемочную
группу, состоящую из одного режиссера, двух операторов, одного звукорежиссера и
двух корреспондентов.


Задача 12

На группу
из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами
они могут быть распределены (не более одного билета в руки).


Задача 13

Имеются 7
билетов: 3 в один театр и 4 – в другой. Сколькими способами они могут быть
распределены между студентами группы из 25 человек?


Задача 14

Группу из
16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть
5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами
это можно сделать?

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

Презентация «Размещения. Перестановки. Сочетания. «

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Размещения. Перестановки. Сочетания.

Номер слайда 2

n-факториал- это произведение всех натуральных чисел от единицы до n, обозначают символом ! Используя знак факториала, можно, например, записать: 1! = 1, 2! = 2*1=2, 3! = 3*2*1=6, 4! = 4*3*2*1=24, 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Необходимо знать, что 0! = 1

Номер слайда 3

Перестановки – Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Перестановки обозначаются символом , где n – число элементов, входящих в каждую перестановку. Число перестановок можно вычислить по формуле

Номер слайда 4

Задача Квартет Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, — погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

Номер слайда 5

Решение: Здесь n=4, поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Номер слайда 6

Размещения – Комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов.

Номер слайда 7

Задача В группе обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по колледжу, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Номер слайда 8

Решение задачи: Ответ: число способов равно числу размещений из 24 по 3, т. е. 12144 способа.

Номер слайда 9

Сочетаниями– называются все возможные комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга, по крайней мере, хотя бы одним элементом. Число сочетаний можно вычислить по формуле

Номер слайда 10

Задача Студентам дали список из 10 учебников, которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену . Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?

Номер слайда 11

Решение задачи: Ответ: число способов равно числу сочетаний из 10 по 3, т.е. 120 способов.

Номер слайда 12

Государственная символика Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг?

Номер слайда 13

Ответ:6.

Задачи на подсчет числа сочетания

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Тема программы: Комбинаторика

Тема: «Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний».

повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний без повторов; изучить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний с повторами, научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний; решить простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул;

развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать;

формировать научное мировоззрение у обучающихся, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

I . Организационный момент

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке.

II . Мотивация. Сообщение темы, целей урока

Определения: перестановки, размещения, сочетания.

Важен ли порядок? В каких соединениях? (размещение)

1. Экзамен состоит из 5 задач, которые можно решать в любом порядке. Сколькими способами можно расставить задачи. (способов)

2. В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора. (способа)

3. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8. (всего чисел А, а чисел начинающихся с нуля –, тогда А–=96)

Тема сегодняшнего урока «Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.». Давайте вместе попробуем сформулировать цели урока:

– научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;

– решать простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул.

III . Изучение новой темы

Рассмотрим слово «КВАНТ», состоящее из 5 различных букв. Если менять порядок букв, получим 5!=120 перестановок

Если проделать то же самое со словом «АТАКА», то перестановок будет меньше, потому что, меняя местами 1,3 и 5-ю буквы, будем получать то же самое слово. Т.к. три буквы А можно менять местами 3!=6 способами, то перестановок будет в слове «АТАКА» в 6 раз меньше, т.е.

Вывод: Перестановками в такой выборке, где есть один элемент, называются перестановками с повторениями. Обозначается : Р(n1 , n2,…. nk)

Р ( n 1, n 2,…. nk )= , где n – количество повторений элементов

Задача: Сколько различных перестановок можно сделать из букв слова «МАТЕМАТИКА»

перестановки

Ответ: 151200 перестановки

Рассмотрим следующую задачу.

В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний без повторений, т.к. требуется купить 8 различных открыток

Ответ: 45 способов

Проделаем то же самое, но только определим «Сколькими способами можно купить в нем 8 открыток?

Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из n = 10 элементов по k =8. Следовательно, она решается по формуле

Ответ : 24310 способов

Вывод: Иными словами, выборки которые отличаются количеством элементов хотя бы одного типа, называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .

Задача: В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими различными способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

способов

А теперь ту же задачу, но вопрос сформулируем иначе.

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

Задача такого вида называется «размещения с повторением», обозначается и вычисляется по принципу умножения.

Вычисляется по следующей формуле:

Решение. Задача сводится к распределению 5 пассажиров по 7 этажам (т. е. набор упорядоченный), причем возможны повторения (т. е. несколько пассажиров могут выйти на одном этаже). Таким образом, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями:

Задача: Сколькими способами девочка Яна может разложить 12 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?

Ответ:

Задача №1. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно

Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно .

Число всех указанных букв будет равно 62.

Задача №2. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

V . Подведение итогов занятия. Рефлексия.

(Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.)

1) Подведем итоги нашего занятия.

Соединения виды перечислить?

На какие они делятся ? ( повторения и без)

Важен ли порядок? В каких соединениях? (размещение)

4) Формулы нахождения: перестановок, размещения, соединения с повторениями и без.

2) Обсуждение и выставление оценок за урок.

Достиг ли ты своих целей? ______________

Оцени степень усвоения: _______________

Продолжи одно из предложений:

VI . Домашнее задание

1. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров по трем вагонам?

Ответ: .

2. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

3. Сколько различных браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров ( всего в браслет входит 18 камней)? ( =)

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$, будем выбирать комбинации из $m$ объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три объекта <1,2,3>, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки <1,2>и <2,1>- это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: <1,2>, <1,3>, <2,3>.

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из ni элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n1*n2*n3*. *nk.

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n1 элементов, а вторая – из n2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n2. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n2. Так как в первой группе всего n1 элемент, всего возможных вариантов будет n1*n2.

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n1=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n2=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n3=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n1=n2=. nk=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью.

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов <1, 2, 3>по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается An m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*. *n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6. Для множества <1, 2, 3>сочетаниями являются <1, 2>, <1, 3>, <2, 3>.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается Cn m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов <1, 2, 3>являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле Pn=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение:эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение задач с использованием формул комбинаторики

 Способ 1      Каждый из 15 -и  человек пожал руки 14-и . Однако произведение 15 * 14 =210 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (15 * 14) : 2 =105. 

Способ 2     Первый ученик пожал руки 14-и, второй – 13-и (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий – 12-и и т.д.  14-й ограничился одним рукопожатием, а на долю 15-го  выпала пассивная роль – принимать приветствия. Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой:  N = 14 + 13 + 12 + … + 3 + 2 + 1 или    N = 1 + 2 + 3 + … + 12 + 13 + 14.     мы с вами столкнулись с комбинаторной задачей.      

тема урока:   Решение задач с использованием формул комбинаторики  (перестановки, размещения, сочетания). 

цель урока:   решать задачи, применяя формулы комбинаторики для вычисления числа перестановок, размещений, сочетания  

ЭПИГРАФ УРОКА:  «Путь в тысячу ли начинается с первого шага. Нужно найти силы сделать   первый шаг, и дорога появиться сама собой».                                                                                 Лао Цзы   

Деление на группы  Дифференциация по классификации (группы учеников с похожими интересами)    Класс делится на 5 групп:    На столе  № 1 будут разноуровневые задания с перестановками      на  столе  №2   разноуровневые задания с размещениями   на столе  № 3 –  разноуровневые задания с сочетаниями  Учащиеся по желанию выбирают стол, за которым будут работать.      Учитель назначает спикера в каждой группе и группу  Каждая группа выбирает: редактора (который будет оформлять графический органайзер), помощника спикера (который выполняет основную вычислительную работу),  также тайм-менеджера (который следит за временем).     На столах лежат   маршрутные листы и конверты с заданиями.    

 Устная работа:   Презентация   Слайд  5-10  

1.  Найти значение выражения:    4!  

2 Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5:   120 + 

3. Сколькими способами могут разместиться 6 человек в салоне автобуса на 6  свободных местах:  720 + 

4. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном купе на свободных местах:  24 +    

5. Найти значение выражения:    4!- 2!

«где отсутствует точное знание, там действуют догадки, а из десяти догадок девять – ошибки».   М. Горький 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ комбинаторных задач (слайды11-13)

  Разберем «на пальцах», как решать задачи (выбирая нужную формулу) по этой схеме. В опорном конспекте вы найдете 6 простых задач по комбинаторике, в каждой описан выбор формулы и решение. Действуйте аналогично, и добьетесь успеха.  Надо заметить, что выбор подходящей формулы – это только первая ступень в умении решать задач по комбинаторике, большинство задач сложнее и требует применения дополнительных правил . 

Правило суммы: если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбрать либо А, либо В можно (п + m) способами.  

Правило произведения (умножения): если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать m способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п · m способами. 

Типы соединений:  Перестановками из п разных элементов называют соединения,   где число объектов остается неизменными, меняется только их порядок( расположение этих элементов в определенном порядке),  а   их число равно:  Pn=n!     

Размещения:  Если из n различных объектов будем выбирать по  m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой, то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок (в определенном порядке). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m(m не больше  п), а их число равно (читается «А из п по m») т.е.  равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является п.  

Сочетания Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.  

«Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на различных примерах».           И. Г. Цейтен      

   Практическое задание с элементами исследования   Работа в группах  Дифференциация по уровню сложности задания и по темпу.   Для самостоятельной работы   группам предлагается выполнить задания разного уровня.

1 группе необходимо   решить 3 задачи на размещение. 

2 группе – 3 задачи на перестановку. 

3 группе – 3 задачи на сочетания.  Подготовьте графический органайзер ( постер) по предложенным заданиям.   По истечению 10  минут спикер от каждой группы защищает  задание  у доски.

Дескриптор

балл

Распознает тип комбинации

1

Знает и вычисляет по формуле

1

Решает задачи, требующие  распознавания и дополнительных преобразований.

1

записывает ответ

1

Метод: «Две звезды — одно желание».   Учащиеся изучают графические органайзеры других групп и оценивают их. Отмечают два положительных момента и одно пожелание. 

Обратная связь: взаимооценивание, учитель.  Учитель поддерживает, выделяет ответы и интересные вопросы некоторых учащихся.     Вывод: Ученики делают вывод о возможностях применять формул при решении практических задач. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний — нет), причем именно в m!  раз, то есть получилась такая изящная формула, объединяющая три   формулы комбинаторики (три концепции: размещений, сочетаний и перестановок)  

 Самостоятельная работа   Учащимся предлагается выполнить работу индивидуально, которая предполагает анализ предложенных заданий и   определение типа и формулы(тестирование по BILIM LAND)   Обратная связь:   Где были допущены ошибки? Что было трудным?   Учитель проводит коррекцию.     

 

Комбинаторика — это… Что такое Комбинаторика?

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

  • Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
  • Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
  • Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
  • Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
  • Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примерами комбинаторных задач являются:

  1. Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения?
  2. Сколько существует функций из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?
  3. Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?
    Ответ: 52! (52 факториал), то есть, 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8,0658 × 1067.
  4. При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?
    Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

Разделы комбинаторики

Перечислительная комбинаторика

Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.

Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример — известная Задача о письмах.

Структурная комбинаторика

К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.

Экстремальная комбинаторика

Примером этого раздела может служить следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определённым свойствам.

Теория Рамсея

Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:

в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.

В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:

в любом графе с 6 вершинами найдётся либо клика, либо независимое множество размера 3.

Вероятностная комбинаторика

Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.

Топологическая комбинаторика

Топологическая комбинаторика (англ.) применяет идеи и методы комбинаторики в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

Инфинитарная комбинаторика

Инфинитарная комбинаторика (англ.) — применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным) множествам.

Открытые проблемы

Комбинаторика, и в частности, теория Рамсея, содержит много известных открытых проблем, подчас с весьма несложной формулировкой. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, либо попарно знакомых друг с другом, либо попарно незнакомых (хотя известно, что 49 человек достаточно).[1]

Исторический очерк

См. также

Примечания

Литература

  • Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8
  • Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
  • Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c.
  • Липский В. Комбинаторика для программиста. — М.: Мир, 1988. — 213 с.
  • Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика. — пер. с англ. — М., 1966.
  • Райгородский А. М. Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2006.
  • Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980. — 476 с.
  • Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — пер. с англ. — М., 1963.
  • Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
  • Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. — М.: «Мир», 2009. — С. 767. — ISBN 978-5-03-003476-8

Ссылки

Решения для сложных задач подсчета

Подсчет может показаться легкой задачей. По мере того, как мы углубляемся в область математики, известную как комбинаторика, мы понимаем, что сталкиваемся с некоторыми большими числами. Поскольку факториал появляется так часто, и такое число, как 10! больше трех миллионов, проблемы со счетом могут очень быстро усложниться, если мы попытаемся перечислить все возможные варианты.

Иногда, когда мы рассматриваем все возможности, которые могут взять на себя наши задачи со счетом, легче продумать основные принципы задачи.Эта стратегия может занять гораздо меньше времени, чем попытка грубой силы перечислить несколько комбинаций или перестановок.

Вопрос «Сколько способов можно сделать?» это совершенно другой вопрос, чем «Какими способами можно что-то сделать?» Мы увидим эту идею в действии в следующем наборе сложных задач подсчета.

Следующий набор вопросов включает слово ТРЕУГОЛЬНИК. Обратите внимание, что всего восемь букв. Следует понимать, что гласные в слове ТРЕУГОЛЬНИК — это AEI, а согласные в слове ТРЕУГОЛЬНИК — это LGNRT.Для реальной проблемы, прежде чем читать дальше, ознакомьтесь с версией этих проблем без решений.

Проблемы

  1. Сколько способов можно расположить буквы слова ТРЕУГОЛЬНИК?
    Решение: Здесь всего восемь вариантов для первой буквы, семь для второй, шесть для третьей и так далее. По принципу умножения мы умножаем в сумме 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 различных способов.
  2. Сколько способов можно расположить буквы слова ТРЕУГОЛЬНИК, если первые три буквы должны быть RAN (именно в таком порядке)?
    Решение: Для нас были выбраны первые три буквы, в результате осталось пять букв.После RAN у нас есть пять вариантов выбора следующей буквы, за которыми следуют четыре, затем три, затем два и один. По принципу умножения получается 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 5! = 120 способов расположить буквы определенным образом.
  3. Сколько способов можно расположить буквы слова ТРЕУГОЛЬНИК, если первые три буквы должны быть RAN (в любом порядке)?
    Решение: Взгляните на это как на две независимые задачи: первая упорядочивает буквы RAN, а вторая — остальные пять букв.Их 3! = 6 способов устроить РАН и 5! Способы расставить остальные пять букв. Всего их 3! х 5! = 720 способов расположить буквы ТРЕУГОЛЬНИКА, как указано.
  4. Сколько способов можно расположить буквы слова ТРЕУГОЛЬНИК, если первые три буквы должны быть RAN (в любом порядке), а последняя буква должна быть гласной?
    Решение: Взгляните на это как на три задачи: первая расставляет буквы RAN, вторая выбирает одну гласную из I и E, а третья расставляет остальные четыре буквы.Их 3! = 6 способов расположить RAN, 2 способа выбрать гласную из оставшихся букв и 4! Способы расставить остальные четыре буквы. Всего их 3! Х 2 х 4! = 288 способов расположить буквы ТРЕУГОЛЬНИКА, как указано.
  5. Сколько способов можно расположить буквы слова ТРЕУГОЛЬНИК, если первые три буквы должны быть RAN (в любом порядке), а следующие три буквы должны быть TRI (в любом порядке)?
    Решение: Опять же, у нас есть три задачи: первая — расположение букв RAN, вторая — расположение букв TRI и третье — расположение двух других букв.Их 3! = 6 способов устроить РАН, 3! способы расставить TRI и два способа расставить остальные буквы. Всего их 3! х 3! X 2 = 72 способа расположить буквы ТРЕУГОЛЬНИКА, как указано.
  6. Сколько разных способов могут быть расположены буквы слова ТРЕУГОЛЬНИК, если порядок и расположение гласных IAE нельзя изменить?
    Решение: Три гласные должны быть в одном порядке. Теперь нужно расположить всего пять согласных. Это можно сделать за 5! = 120 способов.
  7. Сколько разных способов могут быть расположены буквы слова TRIANGLE, если порядок гласных IAE не может быть изменен, хотя их расположение может быть (IAETRNGL и TRIANGEL допустимы, а EIATRNGL и TRIENGLA — нет)?
    Решение: Лучше всего обдумать это в два этапа. Шаг первый — выбрать места для гласных. Здесь мы выбираем три места из восьми, и порядок, в котором мы это делаем, не имеет значения. Это комбинация, и всего существует C (8,3) = 56 способов выполнить этот шаг.Оставшиеся пять букв можно расположить по 5! = 120 способов. Это дает в общей сложности 56 x 120 = 6720 расположений.
  8. Сколько разных способов могут быть расположены буквы слова ТРЕУГОЛЬНИК, если порядок гласных IAE может быть изменен, а их размещение — нет?
    Решение: Это действительно то же самое, что и № 4 выше, но с другими буквами. Расставляем три буквы в 3! = 6 способов, а остальные пять букв — 5! = 120 способов. Общее количество способов для такой расстановки 6 х 120 = 720.
  9. Сколько разных способов могут быть расположены шесть букв слова ТРЕУГОЛЬНИК?
    Решение: Поскольку мы говорим о расположении, это перестановка, и всего имеется P (8, 6) = 8! / 2! = 20160 способов.
  10. Сколько разных способов могут быть расположены шесть букв в слове ТРЕУГОЛЬНИК, если должно быть равное количество гласных и согласных?
    Решение: Есть только один способ выбрать гласные, которые мы собираемся разместить. Подбирать согласные можно C (5, 3) = 10 способами.Их тогда 6! способы расположить шесть букв. Умножьте эти числа и получите 7200.
  11. Сколько разных способов могут быть расположены шесть букв слова ТРЕУГОЛЬНИК, если должен быть хотя бы один согласный?
    Решение: Каждое расположение из шести букв удовлетворяет условиям, поэтому существует P (8, 6) = 20160 способов.
  12. Сколько разных способов могут быть расположены шесть букв в слове ТРЕУГОЛЬНИК, если гласные должны чередоваться с согласными?
    Решение: Есть два варианта: первая буква — гласная или первая буква — согласная.Если первая буква является гласной, у нас есть три варианта выбора, за которыми следуют пять для согласной, две для второй гласной, четыре для второй согласной, одна для последней гласной и три для последней согласной. Мы умножаем это, чтобы получить 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. По соображениям симметрии существует такое же количество комбинаций, которые начинаются с согласной. Всего получается 720 аранжировок.
  13. Сколько разных наборов из четырех букв можно образовать из слова ТРЕУГОЛЬНИК?
    Решение: Поскольку мы говорим о наборе из четырех букв из восьми, порядок не важен.Нам нужно вычислить комбинацию C (8, 4) = 70.
  14. Сколько разных наборов из четырех букв можно образовать из слова ТРЕУГОЛЬНИК, в котором есть две гласные и две согласные?
    Решение: Здесь мы формируем наш набор в два этапа. Существует C (3, 2) = 3 способа выбрать две гласные из общего числа 3. Существует C (5, 2) = 10 способов выбрать согласные из пяти доступных. Это дает всего 3×10 = 30 возможных наборов.
  15. Сколько разных наборов из четырех букв можно образовать из слова ТРЕУГОЛЬНИК, если нам нужна хотя бы одна гласная?
    Решение: Это можно рассчитать следующим образом:
  • Количество наборов по четыре с одной гласной: C (3, 1) x C (5, 3) = 30.
  • Количество наборов по четыре с двумя гласными: C (3, 2) x C (5, 2) = 30.
  • Количество наборов по четыре с тремя гласными: C (3, 3) x C (5, 1) = 5.

Это дает в общей сложности 65 различных наборов. В качестве альтернативы мы могли бы вычислить, что существует 70 способов сформировать набор из любых четырех букв, и вычесть C (5, 4) = 5 способов получения набора без гласных.

GRE перестановочная комбинация | Перестановка букв в слове Q3

Его квантовый практический вопрос GRE — это вопрос решения задачи комбинации перестановок.Пример переупорядочивания n отдельных элементов с определенными заданными ограничениями.

Вопрос 3 : Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове ПРОБЛЕМЫ таким образом, чтобы P и S занимали первую и последнюю позицию соответственно? (Примечание: сформированные таким образом слова не обязательно должны иметь смысл)

  1. \\ frac {8!} {2!})
  2. 8! — 2!
  3. 6!
  4. 8! — (2х7!)
  5. 6! × 2!

Получить Q51 в GMAT Quant


Онлайн-курс GMAT

@ INR 3500


Видео Объяснение


Онлайн-классы GMAT


Начало вт, 20 июля 2021 г.


Пояснительный ответ | GRE Перестановка Комбинации Вопрос 3

Изменение порядка букв в ПРОБЛЕМАХ

«ПРОБЛЕМЫ» — это восьмибуквенное слово, в котором ни одна из букв не повторяется.
объектов r, где все различны, можно переупорядочить в r! способами.
Следовательно, если бы не было ограничений, буквы «ПРОБЛЕМЫ» можно переупорядочить на 8! способами.

Однако вопрос гласит, что «P» и «S» должны занимать первую и последнюю позицию соответственно.
Следовательно, первая и последняя позиции могут быть заполнены только одним способом.

Остальные 6 позиций между P и S могут быть заполнены 6 буквами из 6! способами.

Выбор D — правильный ответ

Концепции перестановки: количество способов переупорядочения объектов
  1. Количество способов r различных объектов можно переупорядочить

    Скажем, три объекта A, B, и C должны быть переупорядочены в 3 местах 1, 2 и 3.
    Любая из 3 букв может быть помещена на 1-е место.
    Если A занимает 1-е место, 2-е место можно заполнить только двумя способами — либо B, либо C.
    И 3-е место можно заполнить только 1 способом — это единственный объект, который еще предстоит разместить.

    Следовательно, общее количество способов = 3 способа заполнения 1-го места И 2 способа заполнения 2-го места И 1 способ заполнения 3-го.
    Итак, общее количество способов переупорядочить эти 3 объекта составляет 3 * 2 * 1 = 3! способами.
    Шесть различных перестановок A, B и C в трех местах — это ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA.

    r отдельные объекты можно переупорядочивать в r! способов


  2. Количество способов r похожих объектов можно переупорядочить

    Допустим, нам нужно переупорядочить A, A и A в 3 местах 1, 2 и 3.
    Это совершенно очевидно что любой повторный заказ, который мы попробуем, будет выглядеть так же, как AAA.
    Итак, 3 похожих объекта можно переупорядочить только одним способом.

    r похожих объектов можно переупорядочить только одним способом


  3. Количество способов r объектов, из которых x одинаковы можно переупорядочить

    Попробуем переупорядочить A, B и B в 3 местах 1, 2 и 3

    9025 B

    Возможности 1 место 2 место 3 место
    1 A B B A B
    3 B B A

    Есть только 3 варианта вместо 6, которые были бы возможны, если бы 3 буквы были разными.
    Для A, занимающего 1-е место, если бы две другие буквы были B и C, эти две буквы могли бы переставить места 2 и 3 в 2! способами. 2 различных объекта — 2! способами. Но поскольку две другие буквы — это B и B, их можно изменить только одним способом.

    Таким образом, мы смогли посчитать только 1 из 2! способы, которыми две буквы могли быть переупорядочены, если бы они были различны.
    Итак, количество способов изменения порядка 3 объектов, из которых 2 одинаковых, можно выразить как \\ frac {3!} {2!}) Способами.

    r объектов, из которых x одинаковы, можно переупорядочить \\ frac {r!} {X!}) Способами.

Синтез северного сектора (C8-C19) рапамицина посредством перегруппировки Чана и окисления α-ацилоксиацетата

2.1 Подход первого поколения через ацилирование дитиана

Известный диол 7 , полученный в две стадии от D-ксилозы ( 6 ), 13 селективно этерифицировали по первичному спирту пивалоилхлоридом 14 с получением 8 , из которого остаточная вторичная гидроксильная группа была вырезана путем восстановления ксантогената 9 с три- n -бутилстаннан (). 15 Хотя гидролиз ацетонида 10 протекал чисто до диола 11 , попытки гомологизировать открытую форму этого циклического полуацеталя посредством олефинирования по Виттигу оказались безуспешными. Кажущаяся чувствительность 11 к основным условиям заставила нас перенаправить наш запланированный маршрут на дитиоацеталь 12 , который удобно получить путем воздействия этантиола в соляной кислоте на 10 . По причинам, которые стали очевидными впоследствии, необходимо было защитить диол 12 как относительно устойчивый кеталь, для которого 1,1-диметоксициклогексан оказался предпочтительным реагентом.Затем дитиоацеталь 13 был осторожно гидролизован до альдегида 14 , чувствительного вещества, которое необратимо превращалось в его изомер 15 в присутствии кислоты.

Продолжение в сторону дитиана 4 первоначально преследовали путем связывания альдегида 14 с сульфоном 16 (). Последний был успешно использован в предыдущем олефинировании Julia в этих лабораториях, 16 и ожидаемый гидроксисульфон 17 (в виде смеси стереоизомеров) был получен с хорошим выходом.К сожалению, восстановительное отщепление 17 протекало с небольшой эффективностью, давая транс-алкен 18 , который был загрязнен значительным количеством спирта 19 . Следовательно, мы обратились к олефинированию по Виттигу в качестве альтернативной тактики для продвижения альдегида 14 к 4 .

Первоначальная попытка в этом направлении не увенчалась успехом, поскольку илид из иодида фосфония 20 давал цис-алкен 21 только с хорошим выходом ().Более эффективным вариантом оказалось использование илида фосфониевой соли 22 в присутствии триметилсилилхлорида, 17 процесс, который дает силиловый эфир 23 , а затем спирт 24 без потенциально проблемного снятия защиты с p -метоксибензиловый эфир 21 .

Хотя гидрирование алкена 24 могло быть выполнено на платиновом катализаторе (палладиевые катализаторы приводили к гидрогенолизу аллильной связи CO), наиболее эффективным реагентом для насыщения двойной связи 24 был диимид, полученный в пиридин-уксусной смесь кислот () 18 .Окисление полученного спирта 25 дает альдегид 26 , который при воздействии метанола в присутствии кислоты дает α- и β-ацетали 27 и 28 . Ацетали, в которых преобладает аксиальный аномер 28 , были легко идентифицированы по их константам протон-протонного взаимодействия при С1 и С2 (8,3 Гц для 27 и 3,2 Гц для 28 ) и были разделены радиальной хроматографией; каждый переносился отдельно. Сначала спирты были преобразованы в их метиловые эфиры 29 и 30 .Восстановление пивалатного эфира затем давало спирты 31 и 32 , которые окислялись до соответствующих альдегидов 33 и 34 . Превращение 33 в кетон 35 проводили в двухстадийном процессе, который включал добавление по Гриньяру метилмагнийбромида с последующим окислением. Однако во время этой последовательности произошла значительная эрозия конфигурации метокси-несущего углерод 35 , чего, как было обнаружено, можно было избежать, заменив реактив Гриньяра менее основным метилирующим агентом, полученным из метиллития и хлорида церия (III). 19

На этом этапе стало возможным соотнести 36 с известным соединением, лактоном 37 , которое было синтезировано Лей и также выделено при разложении рапамицина (). 20 Кислотный гидролиз метилгликозида 36 с последующим окислением полученного полуацеталя дал 37 с 1 H и 13 C ЯМР-спектры, идентичные спектрам того же лактона, предоставленным профессором Лей.

После защиты структур 35 и 36 нашей следующей задачей было расширение этих метилкетонов до субъединицы 4 путем присоединения ( E ) тризамещенного алкена, необходимого для C17-C18 рапамицина.При планировании этой конструкции было крайне важно оставить функциональную группу в C19, которая позволила бы связываться с «южным» сегментом макролида, и с этой целью 35 и 36 были подвергнуты методам Хорнера-Уодсворта-Эммонса. реакция с анионом этилдиэтилфосфоноацетата (). Полученные α, β-ненасыщенные сложные эфиры 38 и 39 были получены с соотношением E: Z примерно 14: 1. Смесь сложных эфиров E / Z восстанавливали до соответствующих аллильных спиртов 40 и 41 , каждый из которых обрабатывали 1,3-пропандитиолом в присутствии эфирата трифторида бора с получением единственного дитиана 42 .Затем этот диол полностью силилировали с получением бис-силилового эфира 43 .

Имея в руках дитиан 43 , мы были готовы проверить наш план построения 1,2,3-трикарбонильной субструктуры 1 путем ацилирования дитиан-аниона из 43 диметилоксалатом. К нашему удивлению, результатом этой реакции после обработки был не ожидаемый β-дитианиловый α-кетоэфир, а был α, β-ненасыщенный альдегид 50 (). Последнее предположительно возникает в результате гидролиза силилокси-диена 51 , результат, который сообщает нам, что литиирование 43 произошло не на дитиановом углероде, а на аллильном углероде (C10).Последующее 1,4-элиминирование метоксида временно приводит к промежуточному продукту предгидролиза 51 , который в процессе превращения в 50 подвергается изомеризации тризамещенного алкена с образованием конъюгации.

2.2 Подход второго поколения через перегруппировку-окисление Чана

Наша неспособность ацилировать 43 диметилоксалатом заставила нас пересмотреть изложенный в нашем плане план приобретения 3 и побудила нас рассмотреть стратегию, использованную ранее в нашей лаборатории для сборки структурный мотив, аналогичный 3 , присутствует в макролидах, аплазмомицине , 21, и боромицине. 22 Наш новый подход основан на реорганизации α-ацилоксиацетата 52 в α-гидрокси β-кетоэфир 53 (). 23 Эта перегруппировка, первоначально обнаруженная Чаном, 24 номинально представляет собой миграцию ацила O → C, которая происходит за счет внутренней атаки енолята 54 с образованием временного эпоксида 55 . Затем последний обваливается до 56 . Стандартная работа выше 56 дает 53 , но 56 может реагировать со вторым эквивалентом основания с образованием ендиолата 57 , который, как бис-силиловый эфир 58 , служит замаскированной версией 56 .Для достижения 3 потребуется окисление продукта перегруппировки Чана, и это может быть запрограммировано либо из 53 , либо из 58

Синтез предшественника для этого нового подхода до 3 начался обычным преобразованием дитиана 43 до альдегида 60 25 и затем окисления до карбоновой кислоты 61 26 (). Обработка карбоксилата калия из 61 метилбромацетатом дает α-ацилоксиацетат 62 , который реагирует с избытком LDA в присутствии триметилсилилхлорида.Было показано, что исходный УФ-активный продукт представляет собой α, β-ненасыщенный сложный эфир 63 , но это соединение было нестабильным, и поэтому его немедленно обрабатывали м -хлорпероксибензойной кислотой, чтобы поднять защищенный ендиол до уровня окисления трикарбонила. Эпоксид 64 не был обнаружен в этом окислении Rubuttom 27 , поскольку он самопроизвольно перестраивался в бис-силилкеталь 65 , который был очищен хроматографией и полностью охарактеризован. Воздействие на 65 кислой ионообменной смолы в присутствии метанола привело непосредственно к метилкеталю 67 , предположительно через ациловый дикетоэфир 66 .

Slurm Workload Manager — Поддержка многоядерных / многопоточных архитектур

Содержание

Определения

Базовая плата
Также называется материнской платой.
LDom
Локальный домен или домен NUMA. Может быть эквивалентом BaseBoard или Socket.
Гнездо / сердечник / резьба
Рисунок 1 иллюстрирует понятие сокета, ядра и потока, как оно определено.
в документации по поддержке многоядерных / многопоточных приложений Slurm.
Процессор
В зависимости от конфигурации системы это может быть ядро ​​или поток.

Рисунок 1: Определения сокета, ядра и потока

Affinity
Состояние привязки к определенному логическому процессору.
Маска сродства
Битовая маска, в которой индексы соответствуют логическим процессорам.
Младший значащий бит соответствует первому
номер логического процессора в системе, а самый
значащий бит соответствует последнему логическому процессору
номер в системе.’1′ в данной позиции указывает, что процесс может выполняться
на связанном логическом процессоре.
Жировые маски
Маски сродства с более чем 1 битом
позволяя процессу работать более чем на одном логическом процессоре.

Обзор srun-флагов

Было определено множество флагов, позволяющих пользователям
лучше воспользоваться этой архитектурой
явное указание количества требуемых сокетов, ядер и потоков
по их заявке. В таблице 1 приведены эти варианты.

Низкий уровень (явная привязка)
—cpu-bind = … Явная привязка к процессу и параметры управления
Высокий уровень (автоматическое создание маски)
— сокетов на узел = S Количество сокетов в узле, выделяемых для работы (минимум)
—ядер на гнездо = ​​ C Количество ядер в сокете для работы (минимум)
— потоков на ядро ​​= T Минимальное количество потоков в ядре для выполнения задания.В задаче
макет, используйте указанное максимальное количество потоков на ядро.
-B S [: C [: T]] Комбинированная опция ярлыка для —sockets-per-node, —cores-per_cpu, —threads-per_core
Варианты распределения задач
-м / —распределение Распространения: произвольно | блок | циклический
| плоскость = x
| [блок | циклический]: [блок | циклический | fcyclic]
Память как расходный ресурс
—mem = mem объем реальной памяти на узел, необходимый для выполнения задания.
—mem-per-cpu = mem объем реальной памяти на каждый выделенный ЦП, необходимый для выполнения задания.
Управление вызовом задачи
—cpus-per-task = процессоров количество процессоров, необходимых для каждой задачи
— задач на узел = задач количество задач для вызова на каждом узле — задач на сокет = задач количество задач для вызова на каждом сокете —ntasks-per-core = ntasks количество задач для вызова на каждом ядре — передать Разрешить более одной задачи на ЦП
Подсказки по применению
—hint = compute_bound использовать все жилы в каждом сокете
—hint = memory_bound использовать только одну жилу в каждом сокете —hint = [нет] многопоточность [не] использовать дополнительные потоки с многопоточностью в ядре
Ресурсы, зарезервированные для использования системой
—core-spec = ядер Количество ядер, которые нужно зарезервировать для использования системой
—thread-spec = ниток Количество потоков, зарезервированных для использования системой

Таблица 1: флаги srun для поддержки многоядерной / многопоточной среды

Важно отметить, что многие из этих флагов имеют смысл только в том случае, если
процессы имеют некоторую привязку к конкретным процессорам и (необязательно) памяти.Несогласованные варианты обычно приводят к ошибкам.
Сходство задач настраивается с помощью параметра TaskPlugin в файле slurm.conf.
Для TaskPlugin существует несколько вариантов в зависимости от архитектуры системы.
и доступное программное обеспечение, любое из них, кроме «задача / нет», будет связывать задачи с процессорами.
См. Раздел «Запуск задачи», если создается slurm.conf через
configurator.html.

Низкоуровневый —cpu-bind = … — интерфейс явного связывания

Следующий флаг srun обеспечивает низкоуровневый интерфейс привязки ядра:

--cpu-bind = Привязать задачи к процессорам
    q [uiet] незаметно связывать перед запуском задачи (по умолчанию)
    v [erbose] подробный отчет о привязке перед запуском задачи
    no [ne] не привязывать задачи к процессорам (по умолчанию)
    привязка ранга по рангу задачи
    map_cpu:  <список>  укажите привязку идентификатора процессора для каждой задачи
                    где  <список>  - это
                      , ,...  
    mask_cpu:    укажите маску привязки идентификатора процессора для каждого
                    задача, где  <список>  -
                      <маска1>, <маска2>, ... <маскаN> 
    rank_ldom привязать задачу по рангу к процессорам в NUMA
                    область местности
    map_ldom:  <список>  укажите идентификатор домена местоположения NUMA
                    для каждой задачи, где  <список>  -
                      , ,...  
    rank_ldom привязать задачу по рангу к процессорам в NUMA
                    локальный домен, где  <список>  -
                      , , ...  
    mask_ldom:  <список>  укажите маску идентификатора домена местоположения NUMA
                    для каждой задачи, где  <список>  -
                      , , ...  
    платы автоматически сгенерированные маски привязываются к доскам
    Автоматически сгенерированные маски ldoms привязываются к местоположению NUMA
                    домены
    сокеты автоматически сгенерированные маски привязываются к сокетам
    ядра автоматически сгенерированные маски привязываются к ядрам
    потоки автоматически сгенерированные маски привязываются к потокам
    помогите показать это справочное сообщение
 

Сходство может быть установлено либо на конкретный логический процессор.
(сокет, ядро, потоки) или с большей степенью детализации, чем самый низкий уровень
логического процессора (ядра или потока).В последнем случае процессам разрешено использовать несколько процессоров.
в конкретном сокете или ядре.

Примеры:

    • srun -n 8 -N 4 —cpu-bind = mask_cpu: 0x1,0x4 a.out
    • srun -n 8 -N 4 —cpu-bind = mask_cpu: 0x3,0xD a.out

См. Также srun —cpu-bind = help и man srun

Высокий уровень -B

S [: C [: T]] — Интерфейс автоматического создания маски

Мы обновили узел
инфраструктура выбора с механизмом, позволяющим выбирать логические
процессоры с более высокой степенью детализации.Пользователи могут запросить конкретный номер
узлов, сокетов, ядер и потоков:

-B --extra-node-info =  S [: C [: T]]  Расширяется до:
  --sockets-per-node =  S  количество сокетов на узел для выделения
  --cores-per-socket =  C  количество ядер на сокет для выделения
  --threads-per-core =  T  количество потоков на каждое ядро ​​для выделения
                каждое поле может быть "мин" или подстановочным знаком "*"

     Всего запрошенных процессоров = ( узлов ) x ( S  x  C  x  T )
 

Примеры:

    • srun -n 8 -N 4 -B 2: 1 a.вне
    • srun -n 8 -N 4 -B 2 a.out
      Примечание
      : сравните приведенное выше с предыдущими соответствующими примерами —cpu-bind = …

    • srun -n 16 -N 4 а.вых.
    • srun -n 16 -N 4 -B 2: 2: 1 a.out
    • srun -n 16 -N 4 -B 2: 2: 1 a.out

      или
    • srun -n 16 -N 4 —sockets-per-node = 2 —cores-per-socket = 2 —threads-per-core = 1 a.out
    • srun -n 16 -N 2-4 -B ‘1: *: 1’ a.out
    • srun -n 16 -N 4-2 -B ‘2: *: 1’ a.out
    • srun -n 16 -N 4-4 -B ‘1: 1’ a.вне

Примечания:

  • Добавление —cpu-bind = no в командную строку вызовет процессы
    чтобы не были связаны логические процессоры.
  • Добавление —cpu-bind = verbose в командную строку (или установка
    Переменная среды CPU_BIND на «подробный») приведет к тому, что каждая задача
    сообщить об используемой маске сродства
  • Привязка включена по умолчанию при использовании -B. Привязка по умолчанию для
    многоядерные / многопоточные системы эквивалентны уровню
    ресурс, перечисленный в опции -B.

См. Также srun —help и man srun

Параметры распределения задач: расширения до -m / —distribution

Параметр -m / —distribution для распределения процессов по узлам
был расширен, чтобы также описать распределение внутри самого нижнего уровня
логических процессоров.
Доступные дистрибутивы включают:

произвольно | блок | циклический | плоскость = x | [блок | циклический]: [блок | циклический | fcyclic]

Распределение плоскости (плоскость = x )
приводит к блоку: циклическое распределение размера блока, равного x .Далее мы используем «самый низкий уровень логических процессоров».
для описания сокетов, ядер или потоков в зависимости от архитектуры.
Распределение делится
кластер на плоскости (включая ряд низшего уровня логической
процессоров на каждом узле), а затем запланировать сначала в каждой плоскости, а затем
через плоскости.

Для двумерных распределений ([block | cyclic]: [block | cyclic | fcyclic]),
второй дистрибутив (после «:») позволяет пользователям указывать дистрибутив
метод для процессов внутри узла и применяется к низшему уровню логической
процессоры (сокеты, ядро ​​или поток в зависимости от архитектуры).Когда задача требует более одного ЦП, циклический выделит все
этих процессоров как группы (т. е. в одном сокете, если возможно), в то время как
fcyclic будет распределять каждый из этих ЦП циклически
через розетки.

Привязка включается автоматически, если используются флаги высокого уровня, пока
поскольку подключаемый модуль задачи / привязки включен. Чтобы отключить привязку на уровне задания
используйте —cpu-bind = no.

Флаги распределения можно комбинировать с другими переключателями:

    • srun -n 16 -N 4 -B ‘2: *: 1’ -m block: cyclic —cpu-bind = socket a.вне
    • srun -n 16 -N 4 -B ‘2: *: 1’ -m plane = 2 —cpu-bind = core a.out
    • srun -n 16 -N 4 -B ‘2: *: 1’ -m plane = 2 a.out

Распределение по умолчанию для многоядерных / многопоточных систем эквивалентно
to -m block: циклический с —cpu-bind = thread.

См. Также srun —help

Память как расходный ресурс

Флаг —mem указывает максимальный объем памяти в МБ.
требуется заданию на узел. Этот флаг используется для поддержки памяти
как стратегия распределения расходных ресурсов.

--mem =  МБ  максимальный объем реальной памяти на узел
              требуется по работе.
 

Этот флаг позволяет планировщику совместно распределять задания на определенных узлах.
учитывая, что их требования к дополнительной памяти не превышают общий объем
памяти на узлах.

Чтобы использовать память как расходный ресурс, выберите / cons_res
плагин должен быть сначала включен в slurm.conf:

SelectType = select / cons_res # включить расходные ресурсы
SelectTypeParameters = CR_Memory # память как расходный ресурс
 

Использование памяти в качестве расходного ресурса обычно сочетается с
расходные ресурсы CPU, Socket или Core с помощью SelectTypeParameters
значения: CR_CPU_Memory, CR_Socket_Memory или CR_Core_Memory

См. Раздел «Выбор ресурса», если генерируется slurm.conf
через configurator.html.

См. Также srun —help и man srun

Вызов задачи как функция логических процессоров

—ntasks-per- {node, socket, core} = ntasks флагов
разрешить пользователю запрашивать не более ntasks
вызываться на каждом узле, сокете или ядре.
Это похоже на использование —cpus-per-task = ncpus
но не требует знания фактического количества процессоров на
каждый узел. В некоторых случаях удобнее иметь возможность
запросить, чтобы было вызвано не более определенного количества ntasks
на каждом узле, сокете или ядре.Примеры этого включают отправку
приложение, в котором должно быть только одно «задание / звание»
назначается каждому узлу, позволяя при этом использовать задание
весь параллелизм, присутствующий в узле, или отправка одного
задание по настройке / очистке / мониторингу для каждого узла ранее существовавшего
распределение как один шаг в более крупном сценарии работы.
Теперь это можно указать с помощью следующих флагов:

--ntasks-per-node =  n  количество задач для вызова на каждом узле
--ntasks-per-socket =  n  количество задач, вызываемых на каждом сокете
--ntasks-per-core =  n  количество задач для вызова на каждом ядре
 

Например, для кластера с узлами, содержащими два сокета,
каждая из которых содержит два ядра, следующие команды иллюстрируют
поведение этих флагов:

% srun -n 4 имя хоста
гидра12
гидра12
гидра12
гидра12
% srun -n 4 --ntasks-per-node = 1 имя хоста
гидра12
гидра13
гидра14
гидра15
% srun -n 4 --ntasks-per-node = 2 имя хоста
гидра12
гидра12
гидра13
гидра13
% srun -n 4 --ntasks-per-socket = 1 имя хоста
гидра12
гидра12
гидра13
гидра13
% srun -n 4 --ntasks-per-core = 1 имя хоста
гидра12
гидра12
гидра12
гидра12
 

См. Также srun —help и man srun

Подсказки по применению

Различные приложения будут иметь разные уровни ресурсов
требования.Некоторые приложения требуют больших вычислительных ресурсов.
но практически не требуют межпроцессного взаимодействия. Некоторые приложения
будет ограничен памятью, насыщая пропускную способность памяти процессора
до исчерпания вычислительных возможностей. Другие приложения
будет очень интенсивно взаимодействовать, вызывая блокировку процессов
ожидая сообщений от других процессов. Приложения с этими
различные свойства, как правило, хорошо работают в многоядерной системе с учетом
правильные отображения.

Для приложений с интенсивными вычислениями все ядра в многоядерном
обычно используется система.Только для приложений с ограничением памяти
использование одного ядра на каждом сокете приведет к наивысшему
Пропускная способность основной памяти. Для приложений, интенсивно использующих связь,
использование многопоточности в ядре (например, гиперпоточность, SMT или TMT)
может также улучшить производительность.
Следующие флаги командной строки могут использоваться для передачи этих
типы приложений подсказки для поддержки многоядерных процессоров Slurm:

--hint = Связывать задачи в соответствии с подсказками приложения
    compute_bound использовать все ядра в каждом сокете
    memory_bound использует только одно ядро ​​в каждом сокете
    [нет] многопоточность [не] использовать дополнительные потоки с многопоточностью в ядре
    помогите показать это справочное сообщение
 

Например, для кластера с узлами, содержащими два сокета,
каждая из которых содержит два ядра, следующие команды иллюстрируют
поведение этих флагов.В подробном выводе —cpu-bind задачи
описываются как «имя хоста, задача Global_ID Local_ID [PID]»:

% srun -n 4 --hint = compute_bound --cpu-bind = подробный сон 1
cpu-bind = MASK - hydra12, task 0 0 [15425]: маска 0x1 установлена
cpu-bind = MASK - hydra12, task 1 1 [15426]: маска 0x4 установлена
cpu-bind = MASK - hydra12, task 2 2 [15427]: маска 0x2 установлена
cpu-bind = MASK - hydra12, task 3 3 [15428]: маска 0x8 установлена

% srun -n 4 --hint = memory_bound --cpu-bind = подробный сон 1
cpu-bind = MASK - hydra12, task 0 0 [15550]: маска 0x1 установлена
cpu-bind = MASK - hydra12, task 1 1 [15551]: маска 0x4 установлена
cpu-bind = MASK -   hydra13  , task 2   0   [14974]: маска 0x1 установлена
cpu-bind = MASK -   hydra13  , task 3   1 ​​  [14975]: маска 0x4 установлена
 

См. Также srun —hint = help и man srun

Мотивация за высокоуровневыми флагами srun

Мотивация, позволяющая пользователям использовать более высокий уровень srun
flags вместо —cpu-bind состоит в том, что использовать последний может быть сложно.В
предлагаемые высокоуровневые флаги проще использовать, чем —cpu-bind, потому что:

  • Генерация маски сходства происходит автоматически при использовании флагов высокого уровня.
  • Длина и сложность флага —cpu-bind в зависимости от длины
    комбинации флагов -B и —distribution делают высокоуровневый
    флаги намного проще в использовании.

Также, как показано в примере ниже, гораздо проще указать
другой макет с использованием флагов высокого уровня, поскольку пользователям не нужно
пересчитать маску или идентификаторы ЦП.Этот подход намного проще, чем
перестановка маски или карты.

Учитывая 32-процессное задание и четырехузловой, двухпроцессорный, двухъядерный
кластер, мы хотим использовать распределение блоков по четырем узлам, а затем
циклическое распределение внутри узла по физическим процессорам. Ниже мы
показать, как получить желаемый макет, используя 1) флаги высокого уровня и
2) —cpubind

Флаги высокого уровня

Используя флаг высокого уровня Slurm, пользователи могут получить вышеуказанный макет с помощью
любое из следующих представлений с момента —distribution = block: cyclic
— метод распространения по умолчанию.

$ srun -n 32 -N 4 -B 4: 2 --distribution = block: cyclic a.out
 

или же

$ srun -n 32 -N 4 -B 4: 2 a.out
 

Ядра показаны как c0 и c1, а процессоры показаны
как от p0 до p3. Итоговые идентификаторы задач:

Вычисление и назначение идентификаторов задач прозрачны
пользователю. Пользователям не нужно беспокоиться о нумерации ядер (Раздел
Привязка процессов к ядрам) или любые настройки привязки к ЦП. По умолчанию соответствие ЦП
будет установлен при использовании флагов поддержки многоядерных процессоров.

Флаг низкого уровня —cpu-bind

Используя флаг Slurm —cpu-bind, пользователи должны вычислить идентификаторы ЦП или
маски, а также убедитесь, что они понимают базовую нумерацию на своих
система. Другая проблема возникает, когда нумерация ядер на всех
узлы. Параметр —cpu-bind позволяет пользователям указывать только один
маска для всех узлов. Использование высокоуровневых флагов Slurm снимает это ограничение
поскольку Slurm правильно сгенерирует соответствующие маски для каждого запрошенного узла.

В кластере из четырех двухпроцессорных двухъядерных узлов с нумерацией блоков ядра

Ядра показаны как c0 и c1, а процессоры показаны
как от p0 до p3.Идентификаторы ЦП в узле в нумерации блоков:
(эта информация доступна в файле / proc / cpuinfo в системе)

, в результате получается следующее сопоставление для процессора / ядер
и идентификаторы задач, которые нужно вычислить пользователям:

отображение процессоров / ядер

c0 c1
p0 0x01 0x02
p2 0x10 0x20
c0 c1
p1 0x04 0x08
p3 0x40 0x80

идентификаторы задач

Указанные выше карты и идентификаторы задач можно перевести в
следующая команда:

$ srun -n 32 -N 4 --cpu-bind = mask_cpu: 1,4,10,40,2,8,20,80 a.вне
 

или же

$ srun -n 32 -N 4 --cpu-bind = map_cpu: 0,2,4,6,1,3,5,7 a.out
 

Тот же кластер, но его ядро ​​пронумеровано циклически вместо блока

В системе с циклически пронумерованными ядрами правильная маска
аргумент команды srun выглядит так: (это будет
добиться того же макета, что и в приведенной выше команде, в системе с основным блоком
нумерация.)

$ srun -n 32 -N 4 --cpu-bind = map_cpu: 0,1,2,3,4,5,6,7 a.out
 

Блок map_cpu в системе с циклической нумерацией ядер

Если пользователи не проверяют нумерацию ядер своей системы перед указанием
список map_cpu и, таким образом, не понимают, что система имеет циклическое ядро
нумерация вместо нумерации блоков, тогда они не получат ожидаемого
макет.Например, если они решат повторно использовать свою команду сверху:

$ srun -n 32 -N 4 --cpu-bind = map_cpu: 0,2,4,6,1,3,5,7 a.out
 

они получают следующий макет непреднамеренного идентификатора задачи:

, поскольку идентификаторы процессоров в узле в циклической нумерации:

Важный вывод заключается в том, что использование флага —cpu-bind недопустимо.
тривиально и предполагает, что пользователи являются экспертами.

Расширения до sinfo / squeue / scontrol

Для других утилит Slurm было сделано несколько расширений.
упростить работу с многоядерными / многопоточными системами.

синфо

Длинная версия (-l) списка узлов sinfo (-N) была
расширен для отображения сокетов, ядер и потоков, присутствующих для каждого
узел. Например:

% sinfo -N
NODELIST NODES PARTITION STATE
гидра [12-15] 4 части * холостой ход

% sinfo -lN
14 сен, четверг, 17:47:13 2006 г.
СПИСОК УЗЛОВ УЗЛОВ РАЗДЕЛ СОСТОЯНИЕ CPUS S: C: T ПАМЯТЬ TMP_DISK ВЕС ОСОБЕННОСТИ ПРИЧИНА
гидра [12-15] 4 части * холостой ход 8+ 2+: 4+: 1+ 2007 41447 1 (null) нет

% sinfo -lNe
14 сен, четверг, 17:47:18 2006
СПИСОК УЗЛОВ УЗЛОВ РАЗДЕЛ СОСТОЯНИЕ CPUS S: C: T ПАМЯТЬ TMP_DISK ВЕС ОСОБЕННОСТИ ПРИЧИНА

гидра [12-14] 3 части * холостой ход 8 2: 4: 1 2007 41447 1 (null) нет
Hydra15 1 части * холостой ход 64 8: 4: 2 2007 41447 1 (null) нет
 

Для заданных пользователем форматов вывода (-o / — формат) и сортировки (-S / — sort),
доступны следующие идентификаторы:

% X Количество сокетов на узел
% Y Количество ядер на сокет
% Z Количество потоков на ядро
% z Расширенная информация о процессоре: количество
    сокеты, ядро, потоки (S: C: T) на узел
 

Например:

% sinfo -o '% 9P% 4c% 8z% 8X% 8Y% 8Z'
РАЗДЕЛ CPUS S: C: T РОЗЕТКИ ЯДЕРНАЯ РЕЗЬБА
части * 4 2: 2: 1 2 2 1
 

См. Также sinfo —help и man sinfo

squeue

Для заданных пользователем форматов вывода (-o / — формат) и сортировки (-S / — sort),
доступны следующие идентификаторы:

% m Размер памяти (в МБ), запрошенный заданием
% H Количество запрошенных сокетов на узел
% I Количество запрошенных ядер на сокет
% J Количество запрошенных потоков на ядро
% z Расширенная информация о процессоре: количество запрошенных
    сокеты, ядра, потоки (S: C: T) на узел
 

Ниже приведен пример вывода squeue после запуска 7 копий:

      % srun -n 4 -B 2: 2: 1 —mem = 1024 sleep 100 &
% squeue -o '%.5i% .2t% .4M% .5D% 7H% 6I% 7J% 6z% R '
JOBID ST ВРЕМЯ УЗЛЫ ГНЕЗДА ОСНОВНЫЕ НИТИ S: C: T СПИСОК НОДОВ (ПРИЧИНА)
   17 PD 0:00 1 2 2 1 2: 2: 1 (Ресурсы)
   18 PD 0:00 1 2 2 1 2: 2: 1 (Ресурсы)
   19 PD 0:00 1 2 2 1 2: 2: 1 (Ресурсы)
   13 R 1:27 1 2 2 1 2: 2: 1 hydra12
   14 R 1:26 1 2 2 1 2: 2: 1 hydra13
   15 R 1:26 1 2 2 1 2: 2: 1 hydra14
   16 R 1:26 1 2 2 1 2: 2: 1 hydra15
 

Команда squeue также может отображать размер памяти заданий, например:

% sbatch --mem = 123 tmp
Отправлено пакетное задание 24

$ squeue -o "%.5i% .2t% .4M% .5D% m "
JOBID ST ВРЕМЯ УЗЛЫ MIN_MEMORY
  24 Р 0:05 1 123
 

См. Также squeue —help и man squeue

scontrol

Следующие настройки задания можно изменить с помощью прокрутки:

Запрошенное размещение:
  ReqSockets =  Установить количество требуемых сокетов для задания
  ReqCores =  Установить количество ядер, требуемых для задания.
  ReqThreads =  Установить количество требуемых потоков для задания
 

Например:

# scontrol update JobID = 17 ReqThreads = 2
# scontrol update JobID = 18 ReqCores = 4
# scontrol update JobID = 19 ReqSockets = 8

% squeue -o '%.5i% .2t% .4M% .5D% 9c% 7H% 6I% 8J '
JOBID ST TIME NODES MIN_PROCS SOCKETS CORES THREADS
   17 ПД 0:00 1 1 4 2 1
   18 ПД 0:00 1 1 8 4 2
   19 ПД 0:00 1 1 4 2 1
   13 Ч 1:35 1 0 0 0 0
   14 Ч 1:34 1 0 0 0 0
   15 Ч 1:34 1 0 0 0 0
   16 Ч 1:34 1 0 0 0 0
 

Команда ‘scontrol show job’ может использоваться для отображения
количество выделенных процессоров на узел, а также сокет, ядра,
и потоки, указанные в запросе и ограничениях.

% srun -N 2 -B 2: 1 сон 100 &
% scontrol показать работу 20
JobId = 20 UserId = (30352) GroupId = пользователи (1051)
   Имя = спать
   Priority = 4294
9 Раздел = части BatchFlag = 0 AllocNode: Sid = hydra16: 3892 TimeLimit = UNLIMITED JobState = РАБОТАЕТ StartTime = 09 / 25-17: 17: 30 EndTime = NONE NodeList = hydra [12-14] NodeListIndices = 0,2, -1 AllocCPUs = 1,2,1 NumCPUs = 4 ReqNodes = 2 ReqS: C: T = 2: 1: * OverSubscribe = 0 Непрерывный = 0 ЦП / задача = 0 MinCPUs = 0 MinMemory = 0 MinTmpDisk = 0 Features = (null) Зависимость = 0 Учетная запись = (null) Причина = Нет Сеть = (null) ReqNodeList = (null) ReqNodeListIndices = -1 ExcNodeList = (null) ExcNodeListIndices = -1 SubmitTime = 25.09-17: 17: 30 SuspendTime = Нет PreSusTime = 0

См. Также scontrol —help и man scontrol

Параметры конфигурации в slurm.conf

Для управления многоядерностью доступны несколько настроек slurm.conf.
особенности, описанные выше.

В дополнение к описанию ниже см. Также «Запуск задачи» и
Разделы «Выбор ресурсов» при генерации slurm.conf
через configurator.html.

Как упоминалось ранее, для установки сродства
Плагин task / affinity должен быть сначала включен в slurm.conf:

TaskPlugin = task / affinity # enable task affinity
 

Этот параметр является частью конкретных параметров запуска задачи:

# o Определить конкретные параметры запуска задачи
#
# "TaskProlog": определите программу, которая будет выполняться от имени пользователя перед каждым
# задача начинает выполнение.# "TaskEpilog": определить программу, которая будет выполняться от имени пользователя после каждого
# задача завершается.
# "TaskPlugin": определить плагин для запуска задачи. Это может быть использовано для
# обеспечить управление ресурсами внутри узла (например, закрепление
# задач к конкретным процессорам). Допустимые значения:
# "task / affinity": поддержка соответствия CPU
# "task / cgroup": привязать задачи к ресурсам с помощью Linux cgroup
# "task / none": нет действий по запуску задачи, по умолчанию
#
# Пример:
#
# TaskProlog = / usr / local / slurm / etc / task_prolog # по умолчанию нет
# TaskEpilog = / usr / local / slurm / etc / task_epilog # по умолчанию нет
# TaskPlugin = task / affinity # по умолчанию задача / нет
 

Объявите конфигурацию оборудования узла в slurm.conf:

NodeName = dualcore [01-16] CoresPerSocket = 2 ThreadsPerCore = 1
 

Для более полного описания различных вариантов конфигурации узла.
см. справочную страницу slurm.conf.

Последнее изменение 22 апреля 2021 г.

советов по наиболее эффективному расположению сидений в классе

Рассадка в классе так же важна, как и программа. Вот несколько советов по поиску идеальной конфигурации стола, которая соответствует вашему стилю преподавания, вашим ученикам и пространству вашего класса.

Вы потратили бесчисленное количество часов на создание идеальной учебной программы. Вы искали в самых глубоких уголках Интернета, чтобы найти творческие планы уроков. Вы остались после школы, чтобы оказать студентам дополнительную помощь. Не тратьте впустую всю свою тяжелую работу, не используя эффективную рассадку в классе.

Когда ваша классная комната гармонирует с вашим стилем преподавания, вашими учениками, а также пространством и мебелью, с которыми вы должны работать, преимущества могут быть бесконечными.Но когда это не так, это может быть вредно.

Многие факторы способствуют определению наиболее эффективной расстановки сидений в классе. Поскольку некоторые из этих факторов меняются ежедневно (а иногда и ежечасно), важно иметь конфигурацию, которая может быть гибкой, чтобы соответствовать разнообразию классов.

Факторы, влияющие на конфигурацию классной комнаты

Размер и форма классной комнаты

Прежде чем вы начнете перемещать парты, убедитесь, что ваше предпочтительное расположение сидений может работать в пределах имеющегося у вас пространства и школьной мебели.Некоторые конфигурации могут быть невозможны в определенных классах. Также помните о препятствиях, таких как опорные балки, столбы, стены и другие приспособления, которые нельзя сдвинуть.
Для многих учителей классная или белая доска является основным направлением обучения. Убедитесь, что ваши ученики могут ясно видеть это без особого напряжения или затруднений. Для большей мобильности и гибкости рассмотрите возможность замены настенной классной доски на передвижную доску, тележку для телевизора или подставку с колесами, которую можно легко перемещать по классной комнате.

Отвлекающие факторы

Выявление и устранение возможных отвлекающих факторов поможет упростить ваши уроки и повысить продуктивность работы в классе. Такие вещи, как окна с видом на детскую площадку, близлежащие оживленные вестибюли и коридоры, фонтаны с водой или даже кто-то, кто пользуется точилкой для карандашей, могут легко привлечь внимание пограничного отстраненного ученика. Постарайтесь, чтобы эти отвлекающие факторы не попадали в поле зрения учеников.

Возраст и размер учащихся

Количество учеников в вашем классе нельзя сбрасывать со счетов при рассмотрении рассадки в классе.Однако тот факт, что у вас большой класс из 20 или более учеников, не означает, что вам нужно отказываться от предпочитаемой конфигурации стола. Существует множество вариаций каждой дизайнерской идеи для большинства размеров классов: вам просто нужно проявить творческий подход.

Возраст и уровень зрелости ваших учеников также могут помешать вашему выбору. Выбирая классную комнату, помните, какой возраст будет соответствовать вашему классу. Если у вас есть ученики, у которых наблюдаются проблемы с поведением, помните об особенностях рассадки.

Стиль и цели преподавания

Это самый важный фактор, и, в отличие от других перечисленных нами, он полностью в ваших руках. Расстановка сидений в классе поддерживает ваш стиль обучения и цели или мешает им.

На кого вы хотите обратить внимание в классе?

  • Класс, ориентированный на учителя : Если ваш класс будет ориентирован на лекции и презентации, используйте конфигурацию, при которой все учащиеся могут видеть вас и кафедру.
  • Класс, ориентированный на учащихся : В этих классах обсуждение учеников и групповая работа имеют первостепенное значение. Найдите такое расположение сидений, которое побуждает учащихся взаимодействовать друг с другом.
  • И то, и другое : Многие преподаватели придерживаются убеждения, что сбалансированное образование представляет собой здоровую смесь презентаций, ориентированных на учителя, и дискуссий и работы с учениками. Выбирайте гибкие и функциональные схемы сидений.

Как вы хотите, чтобы класс взаимодействовал?

  • Минимум : Взаимодействие передается от учителя к ученику.Обсуждения между студентами немногочисленны. В классе также преобладают тестирование и индивидуальная работа.
  • Малые группы : Учащиеся общаются в парах или малых группах.
  • Большие группы : Студенты участвуют в групповых обсуждениях и уроках со всем классом.

Каковы ваши цели обучения?

  • Знания : Студенты изучат и поймут содержание курсовой работы. Используйте конфигурации, которые поддерживают независимую деятельность и акцентируют внимание на содержании.
  • Развитие навыков : В ходе этого курса студенты развивают определенный набор навыков. Для навыков, основанных на сотрудничестве, общении, совместной работе, размышлениях и т. Д., Предпочтительны макеты, поощряющие групповую работу и обсуждение. Для получения дополнительных навыков, таких как устранение неполадок, анализ, прослушивание и т. Д., Ищите конфигурации, которые поддерживают независимую работу и сводят к минимуму отвлекающие факторы.

Рекомендации и рекомендации по COVID-19 для школ

Поскольку многие школьные системы отказываются от онлайн-обучения и переходят к обучению в классе в сентябре, для безопасности учащихся и сотрудников жизненно важно иметь четкое представление о том, какие методы социального дистанцирования помогут сохранить здоровую окружающую среду.Независимо от ландшафта, или если мы сгладили кривую за пределами классной комнаты, мы можем быть уверены, что способ обучения наших детей в государственных или частных школах будет кардинально отличаться. Помочь учащимся перейти от летней свободы — всегда сложная задача, но с учетом наших текущих проблем со здоровьем учителя по всей стране сталкиваются с еще большей проблемой; поддерживать здоровье учащихся, сохраняя при этом продуктивную и благоприятную среду.

Какие шаги вы можете предпринять, чтобы подготовить свою школу к социальной дистанции?

  • Увеличьте количество указателей и разместите их на видных местах, где бы ни собирались студенты.Подумайте о размещении иллюстрированных или напечатанных жирным шрифтом напоминаний в переполненных раздевалках, кафетериях, на спортивных площадках и в библиотеках. Быстросменные держатели для вывесок или защелкивающиеся рамки могут позволить вашим преподавателям обменивать сообщения по мере появления новых руководящих принципов в вашем штате и даже могут быть изменены для бюллетеней, не связанных с COVID, позднее.
  • Прямое пешеходное движение со стойками, барьерами и указателями, чтобы ограничить случаи, когда коридоры или коридоры становятся перегруженными между классами.Правильное использование барьеров может помочь ученикам входить и выходить из классных комнат, позволяя им всегда оставаться на расстоянии 6 футов друг от друга. Воспользуйтесь преимуществами виниловых наклеек на полу с легкими для чтения сообщениями, четко указывающими ученикам, где стоять в очереди.
  • Перегородки, бюллетени и доски станут преобразующими инструментами в классе; оба обеспечивают разделение между меньшими группами учащихся и дают учителям возможность представить больше информации там, где это необходимо.Портативные доски могут позволить преподавателям преподавать в нетрадиционных местах, таких как перепрофилированные спортзалы, кафетерии или даже вне помещений, где могут быть построены импровизированные классы для небольших классов.
  • Управление отходами
  • будет важнее, чем когда-либо, и работники объектов и территорий будут благодарны за то, что у учащихся будет больше урн для утилизации потенциально опасных материалов. Увеличение количества мусорных баков, даже на некоторых из них с напечатанными на заказ крышками с напоминаниями о здоровье, будет иметь большое значение для повышения уровня гигиены во всех сферах.

Ни для кого не секрет, что в предстоящем учебном году у нас очень много работы, однако, проявив готовность и открыв общение с нашими учениками, мы сможем сделать этот процесс максимально плавным и безрисковым. Displays2go стремится обеспечить безопасность наших учеников в наступающем учебном году, и мы стремимся помочь вашим учителям и администраторам оборудовать каждый класс наилучшим образом.

Наиболее распространенные конфигурации

* Примечание. Традиционные схемы показаны ниже.Эти конфигурации по-прежнему представляют собой эффективную планировку, но могут быть изменены для социального дистанцирования, обеспечив надлежащее 6 футов пространства между столами.

Традиционные строки или столбцы

Конфигурация рядов (также известная как конфигурация столбцов) является наиболее распространенной компоновкой в ​​классе. Этот тип установки дополняет структуру класса, которая вращается вокруг инструкций и презентаций под руководством учителя. Студенты больше ориентированы на курсовую работу и самостоятельные задания.Они также с меньшей вероятностью и / или не смогут обмануть этот макет. Хотя такое расположение сидений можно использовать с классами любого размера, в больших классах часто могут наблюдаться неравные уровни взаимодействия, поскольку учащиеся в первом ряду будут участвовать больше, а учащиеся в заднем ряду могут потерять фокус.

Подкова или U-образная форма

Эта модель поддерживает взаимодействие как между учениками, так и между учителями и учениками. Класс взаимодействует в формате большой группы, хотя у учителей есть широкие возможности поработать с учениками один на один.Курсы, в которых упор делается на дискуссии и презентации, обычно хорошо работают с этой конфигурацией.

Кластеры

Объединение парт в небольшие группы способствует общению между студентами. Студенты развивают такие навыки, как общение, решение проблем, сотрудничество и многое другое в этой договоренности. Эти кластеры предлагают студентам безопасную и комфортную среду для обмена идеями. Этот комфорт, однако, также способствует поведению вне работы и значительному увеличению уровня шума и отвлекающих факторов.

Альтернативные конфигурации

Для некоторых преподавателей обычная рассадка в классе не самая эффективная. Существует бесконечное количество вариаций кластеров, подков и рядов, а также еще больше совершенно новых и разных расстановок в классе. Вот лишь несколько примеров других альтернативных подходов.

Взлетно-посадочная полоса

Лучше всего использовать в небольших классах, эта установка делает упор на преподавателя.Учитель использует взлетно-посадочную полосу между двумя рядами противоположных парт для проведения уроков. Этот макет отлично подходит для дискуссий и занятий на основе лекций.

Стадион

Вариант классической конфигурации рядов и взлетно-посадочной полосы, парты сгруппированы в группы, но все обращены в одном направлении. Подобно взлетно-посадочной полосе, эта планировка лучше всего подходит для занятий с учителем.

Комбинация

Эта конфигурация отлично подходит для классов со студентами с разным уровнем обучения, методами обучения и поведенческими проблемами.Комбинируйте любую конфигурацию, чтобы она наилучшим образом соответствовала вашим потребностям и способностям учащихся. Например, сделайте часть комнаты рядами для учеников, которым необходимо сосредоточиться на индивидуальной работе, а другую часть — в виде мини-подковы для учеников, которым требуется больше дискуссионных занятий.

Заключение

Каждый класс, учитель, ученик и ситуация уникальны. Чтобы подобрать для вас наилучшую расстановку сидений в классе, может потребоваться немного изобретательности и творчества.Подумайте нестандартно, ряды и подковы и создайте свою собственную конфигурацию. Существует множество онлайн-инструментов, таких как Инструмент для создания учебных занятий и Kaplans Floorplanner, которые помогут вам разработать собственный макет учебного стола.

Какая планировка классной комнаты вам подходит?

Пройдите викторину!

Сочетания клавиш для Pages на Mac

Дважды щелкните букву столбца или номер строки

9025 7

-Tab

Дважды щелкните

00 верхняя граница

Добавить строку над выбранными ячейками

Стрелка вверх

Добавить строку под выбранными ячейками

Стрелка вниз

Добавить столбец справа от выбранных ячеек

Option-стрелка вправо

Добавить столбец слева от выбранных ячеек

Option-стрелка влево

Вставьте строку внизу таблицы

Option-Return

Выберите всю строку или столбец

Щелкните таблицу, затем щелкните букву столбца или номер столбца row

Выбрать все строки, которые пересекают текущий выбор

Option-Command-Return

Выбрать все столбцы, которые пересекают текущий выбор

Control-Command-Return

Выбрать дополнительные строки

Shift-стрелка вверх или Shift-стрелка вниз

Выбор дополнительные столбцы

Shift-стрелка вправо или Shift-стрелка влево

Выбор дополнительных ячеек

Shift-щелчок

Выбрать только основные ячейки в строке или столбце

Переместите выделенную ячейку в начало следующей строки

Выберите ячейку в крайнем правом столбце, затем нажмите Tab

Остановить переупорядочение строк или столбцов

Нажмите Esc при перетаскивании

Выбрать таблицу из набора ячеек

Command-Return

Выбрать все содержимое в таблице

Выберите ячейку, затем нажмите Command-A

Удалить выбранная таблица или содержимое выбранных ячеек

Удалить

Заменить содержимое выбранной ячейки содержимым целевой ячейки

Нажмите ячейку, затем перетащите ее в другую ячейку

Скопируйте содержимое выбранной ячейки в целевую ячейку

Нажмите на ячейку, затем, удерживая клавишу Option, перетащите ее в другую ячейку

Копировать стиль ячейки

Option-Command-C

Вставить стиль ячейки

Option-Command-V

Вставить и сохранить стиль ячейки назначения

Option-Shift-Command-V

Расширить выделение из выбранной ячейки до ячейки назначения

Щелкните в ячейке назначения, удерживая нажатой клавишу «Shift»

Выберите ячейку

Щелкните ячейку в выбранной таблице (дважды щелкните ячейку в невыделенной таблице)

Добавить ячейку (или удалить ее) в выделенный фрагмент

Щелкните выделенную или невыделенную ячейку, удерживая клавишу Command

Начать редактирование текста

Return или Enter (в выбранной ячейке)

Автоматическое выравнивание содержимого ячейки

Option-Command-U

Остановить редактирование ячейки и выбрать ячейку

Command-Return

Остановить редактирование ячейку и выберите таблицу

Command-Return дважды

Перемещение выбранной таблицы на одну точку

Нажмите клавишу со стрелкой

Перемещение выбранной таблицы на десять точек

Нажмите Shift и клавишу со стрелкой

Ограничьте движение стола по горизонтали, вертикали или диагонали (45 °)

Перетащите таблицу с нажатой клавишей Shift

Измените размер всех столбцов в таблице пропорционально

Выберите таблицу, затем, удерживая Shift, перетащите маркер изменения размера

Выберите следующую ячейку слева, справа, вверх или вниз

Нажмите клавишу со стрелкой (из выбранной ячейки)

Расширить выделение ячейки на одну ячейку

Нажмите Shift и клавишу со стрелкой (из выбранной ячейки)

Выбрать следующую ячейку

Вкладка

Выбрать предыдущую ячейку

Shift-Tab

Вставить вкладку при редактировании текста или формулы

Вставить разрыв строки (мягкий возврат) при редактировании текста в ячейке

Control-Return

Вставить разрыв абзаца (жесткий возврат) при редактировании текста в ячейке

Возврат

Открыть редактор формул для выбранной неформульной ячейки

Знак равенства (=)

Открыть редактор формул для ячейки, содержащей формулу или форматированное число

В редакторе формул зафиксируйте изменения

R eturn или Tab

Отменить изменения в редакторе формул

Esc

Выбрать первую заполненную ячейку в текущей строке

Option-Command-Left Arrow

Выберите первую заполненную ячейку в текущей строке

Option-Command-стрелка вправо

Выберите первую заполненную ячейку в текущем столбце

Option-Command-стрелка вверх

Выбрать последнюю заполненную ячейку в текущем столбце

Option-Command-стрелка вниз

Удалить выбранные строки

Option-Command-Delete

9026 Удалить выбранные столбцы

Control-Command-Delete

Выберите имя таблицы 900 03

Shift-Tab

Вставьте в таблицу результат формулы

Shift-Command-V

Выберите первую ячейку в выбранной таблице

Возврат

Разверните текущий выбор, чтобы включить первую заполненную ячейку в текущей строке

Option-Shift-Command-стрелка влево

Разверните текущий выбор, чтобы включить последнюю заполненную ячейку в текущей row

Option-Shift-Command-стрелка вправо

Разверните текущий выбор, чтобы включить первую заполненную ячейку в текущем столбце

Option-Shift-Command-стрелка вверх

Развернуть текущий выбор, чтобы включить последнюю заполненную ячейку в текущем столбце

Option-Shift-Command-Do wn Arrow

Объединить выбранные ячейки

Control-Command-M

Отменить объединение выбранных ячеек

Control-Shift-Command-M

Control-Option-Command-стрелка вверх

Добавить или удалить нижнюю границу

Control-Option-Command-стрелка вниз

Добавить или удалить правую границу

Control-Option-Command-стрелка вправо

Добавить или удалить левую границу

Control-Option-Command-стрелка влево

Включить режим автозаполнения

Command-обратная косая черта (\)

Автозаполнение из столбца перед

Control-Command-обратная косая черта (\ )

Автозаполнение из строки выше

Option-Command-Backslash (\)

7.10. Классификация химических реакций — Chemistry LibreTexts

Цели обучения

  • Классифицируйте химическую реакцию как синтез, разложение, однократное замещение, двойное замещение или реакцию горения.
  • Предскажите продукты простых реакций.

Химические реакции, которые мы описали, представляют собой лишь небольшую часть бесконечного числа возможных химических реакций. Как химики справляются с таким огромным разнообразием? Как они предсказывают, какие соединения будут реагировать друг с другом и какие продукты будут образовываться? Ключ к успеху — найти полезные способы категоризации реакций.Знакомство с несколькими основными типами реакций поможет вам предсказать продукты, которые образуются при контакте определенных видов соединений или элементов.

Большинство химических реакций можно разделить на один или несколько из пяти основных типов: кислотно-основные реакции, реакции обмена, реакции конденсации (и обратные реакции расщепления) и реакции окисления и восстановления. Общие формы этих пяти типов реакций приведены в Таблице \ (\ PageIndex {1} \) вместе с примерами каждого из них.Однако важно отметить, что многие реакции могут быть отнесены к более чем одной классификации, как вы увидите в нашем обсуждении.

Таблица \ (\ PageIndex {1} \) : Основные типы химических реакций
Название реакции Общая форма Примеры
Окисление – восстановление (редокс) окислитель + восстановитель → восстановленный окислитель + окисленный восстановитель C 7 H 16 (л) + 11O 2 (г) → 7CO 2 (г) + 8H 2 O (г)
Кислотно-щелочная кислота + основание → соль NaOH (водн.) + HNO 3 (водн.) → NaNO 3 (водн.) + H 2 O (л)

Обмен: однократная замена

AB + C → AC + B ZnCl 2 (водн.) + Mg (s) → MgCl 2 (водн.) + Zn (s)
Обмен: Двойная замена AB + CD → AD + CB BaCl 2 (водн.) + Na 2 SO 4 (водн.) → BaSO 4 (т. Е.) + 2NaCl (водн.)
Комбинация (синтез) А + В → АВ

CO 2 (г) + H 2 O (л) → H 2 CO 3 (водн.)

N 2 (г) + 2O 2 (г) → 2NO 2 (г)

Разложение AB → A + B CaCO 3 (т) → CaO (т) + CO 2 (г)

Схема классификации приведена только для удобства; одну и ту же реакцию можно классифицировать по-разному, в зависимости от того, какая из ее характеристик наиболее важна.В этом разделе обсуждаются реакции окисления-восстановления, в которых происходит чистый перенос электронов от одного атома к другому, и реакции конденсации. Кислотно-основные реакции — это один из видов реакции обмена — образование нерастворимой соли, такой как сульфат бария, когда растворы двух растворимых солей смешиваются вместе.

Комбинированные реакции

Реакция объединения — это реакция, в которой два или более вещества объединяются с образованием одного нового вещества.Комбинированные реакции также можно назвать реакциями синтеза. Общая форма комбинированной реакции:

\ [\ ce {A} + \ ce {B} \ rightarrow \ ce {AB} \]

Одна комбинационная реакция — это соединение двух элементов с образованием соединения. Твердый металлический натрий реагирует с газообразным хлором с образованием твердого хлорида натрия.

\ [2 \ ce {Na} \ left (s \ right) + \ ce {Cl_2} \ left (g \ right) \ rightarrow 2 \ ce {NaCl} \ left (s \ right) \ nonumber \]

Обратите внимание, что для того, чтобы правильно написать и сбалансировать уравнение, важно помнить о семи элементах, которые существуют в природе в виде двухатомных молекул (\ (\ ce {H_2} \), \ (\ ce {N_2} \), \ (\ ce {O_2} \), \ (\ ce {F_2} \), \ (\ ce {Cl_2} \), \ (\ ce {Br_2} \) и \ (\ ce {I_2} \)) .

Одним из часто встречающихся типов комбинационной реакции является реакция элемента с кислородом с образованием оксида. И металлы, и неметаллы легко реагируют с кислородом в большинстве условий. Магний быстро и резко реагирует при воспламенении, соединяясь с кислородом воздуха с образованием тонкого порошка оксида магния:

\ [2 \ ce {Mg} \ left (s \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow 2 \ ce {MgO} \ left (s \ right) \ nonumber \]

Сера реагирует с кислородом с образованием диоксида серы:

\ [\ ce {S} \ left (s \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow \ ce {SO_2} \ left (g \ right) \ nonumber \]

При взаимодействии неметаллов друг с другом продукт представляет собой молекулярное соединение.Часто неметаллические реагенты могут сочетаться в разных соотношениях и давать разные продукты. Сера также может соединяться с кислородом с образованием триоксида серы:

\ [2 \ ce {S} \ left (s \ right) + 3 \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow 2 \ ce {SO_3} \ left (g \ right) \ nonumber \]

Переходные металлы способны принимать несколько положительных зарядов в своих ионных соединениях. Следовательно, большинство переходных металлов способны образовывать различные продукты в реакции сочетания. Железо реагирует с кислородом с образованием как оксида железа (II), так и оксида железа (III):

\ [2 \ ce {Fe} \ left (s \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow 2 \ ce {FeO} \ left (s \ right) \ nonumber \]

\ [4 \ ce {Fe} \ left (s \ right) + 3 \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow 2 \ ce {Fe_2O_3} \ left (s \ right) \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): сжигание твердого калия

Калий — это очень реактивный щелочной металл, который необходимо хранить под маслом, чтобы предотвратить его реакцию с воздухом.Напишите сбалансированное химическое уравнение реакции взаимодействия калия и кислорода.

Решение

Ступени Пример решения

Спланируйте проблему.

Убедитесь, что формулы всех реагентов и продуктов верны. перед балансировкой уравнения . Газообразный кислород — это двухатомная молекула.{2 -}} \).
Решить.

Каркас (неуравновешенное) уравнение:

\ [\ ce {K} \ left (s \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow \ ce {K_2O} \ left (s \ right) \ nonumber \]

Уравнение затем легко уравновешивается с помощью коэффициентов.

\ [4 \ ce {K} \ left (s \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow 2 \ ce {K_2O} \ left (s \ right) \ nonumber \]

Подумайте о своем результате. Формулы верны, и полученная комбинационная реакция сбалансирована.

Комбинированные реакции также могут иметь место, когда элемент реагирует с соединением с образованием нового соединения, состоящего из большего числа атомов. Окись углерода реагирует с кислородом с образованием двуокиси углерода в соответствии с уравнением:

\ [2 \ ce {CO} \ left (g \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ rightarrow 2 \ ce {CO_2} \ left (g \ right) \]

Два соединения также могут реагировать с образованием более сложного соединения.Очень распространенный пример — реакции оксидов с водой. Оксид кальция легко реагирует с водой с образованием водного раствора гидроксида кальция:

\ [\ ce {CaO} \ left (s \ right) + \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \ rightarrow \ ce {Ca (OH) _2} \ left (aq \ right) \]

Газообразный триоксид серы реагирует с водой с образованием серной кислоты. К сожалению, это обычная реакция, которая происходит в атмосфере в некоторых местах, где оксиды серы присутствуют в качестве загрязнителей. Кислота, образовавшаяся в результате реакции, падает на землю в виде кислотного дождя.

\ [\ ce {SO_3} \ left (g \ right) + \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \ rightarrow \ ce {H_2SO_4} \ left (aq \ right) \]

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Кислотный дождь имеет серьезные последствия как для природных, так и для искусственных объектов. Кислотный дождь разрушает мраморные статуи, подобные изображению слева (A). Деревья в лесу справа (B) погибли из-за кислотного дождя.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

  1. Напишите химическое уравнение синтеза бромида серебра \ (\ ce {AgBr} \).
  2. Предскажите продукты для следующей реакции: \ (\ ce {CO_2} \ left (g \ right) + \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \)
Ответ:
\ (2 \ ce {Ag} + \ ce {Br_2} \ rightarrow 2 \ ce {AgBr} \)
Ответ б:
\ (\ ce {CO_2} \ left (g \ right) + \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \ rightarrow \ ce {H_2CO_3} \)

Реакция разложения

Реакция разложения — это реакция, в которой соединение распадается на два или более простых вещества.Общая форма реакции разложения:

\ [\ ce {AB} \ rightarrow \ ce {A} + \ ce {B} \]

Большинство реакций разложения требуют ввода энергии в виде тепла, света или электричества.

Бинарные соединения — это соединения, состоящие всего из двух элементов. Самый простой вид реакции разложения — это когда бинарное соединение разлагается на элементы. Оксид ртути (II), красное твердое вещество, разлагается при нагревании с образованием ртути и газообразного кислорода:

\ [2 \ ce {HgO} \ left (s \ right) \ rightarrow 2 \ ce {Hg} \ left (l \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \]

Видео \ (\ PageIndex {2} \): Оксид ртути (II) представляет собой твердое вещество красного цвета.При нагревании он разлагается на металлическую ртуть и газообразный кислород.

Реакция также считается реакцией разложения, даже если один или несколько продуктов все еще являются соединениями. Карбонат металла разлагается на оксид металла и газообразный диоксид углерода. Например, карбонат кальция разлагается на оксид кальция и диоксид углерода:

\ [\ ce {CaCO_3} \ left (s \ right) \ rightarrow \ ce {CaO} \ left (s \ right) + \ ce {CO_2} \ left (g \ right) \]

Гидроксиды металлов разлагаются при нагревании с образованием оксидов металлов и воды.Гидроксид натрия разлагается с образованием оксида натрия и воды:

\ [2 \ ce {NaOH} \ left (s \ right) \ rightarrow \ ce {Na_2O} \ left (s \ right) + \ ce {H_2O} \ left (g \ right) \]

Некоторые нестабильные кислоты разлагаются с образованием оксидов неметаллов и воды. Углекислота легко разлагается при комнатной температуре на диоксид углерода и воду:

\ [\ ce {H_2CO_3} \ left (aq \ right) \ rightarrow \ ce {CO_2} \ left (g \ right) + \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Электролиз воды

Когда электрический ток проходит через чистую воду, она разлагается на элементы.Напишите сбалансированное уравнение разложения воды.

Решение

Ступени Пример решения
Спланируйте проблему.

Вода — это бинарное соединение, состоящее из водорода и кислорода. Газообразные водород и кислород, образующиеся в реакции, являются двухатомными молекулами.

Решить.

Каркас (неуравновешенное) уравнение:

\ [\ ce {H_2O} \ left (l \ right) \ overset {\ text {elec}} {\ rightarrow} \ ce {H_2} \ left (g \ right) + \ ce {O_2} \ left (g \ right) \ nonumber \]

Обратите внимание на аббревиатуру «\ (\ text {elec} \)» над стрелкой, чтобы указать прохождение электрического тока для инициирования реакции. Сбалансируйте уравнение.

\ [2 \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \ overset {\ text {elec}} {\ rightarrow} 2 \ ce {H_2} \ left (g \ right) + \ ce {O_2} \ left (г \ право) \ nonumber \]

Подумайте о своем результате. Продукты являются стихиями, и уравнение сбалансировано.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Напишите химическое уравнение разложения:

  1. \ (\ ce {Al_2O_3} \)
  2. \ (\ ce {Ag_2S} \)
Ответьте на
\ (2 \ ce {Al_2O_3} \ rightarrow 4 \ ce {Al} + 3 \ ce {O_2} \)
Ответ б
\ (\ ce {Ag_2S} \ rightarrow 2 \ ce {Ag} + \ ce {S} \)

Реакция на однократную замену

Третий тип реакции — реакция одиночного замещения, в которой один элемент заменяет аналогичный элемент в соединении.Общая форма реакции однократного замещения (также называемой однократным вытеснением):

\ [\ ce {A} + \ ce {BC} \ rightarrow \ ce {AC} + \ ce {B} \]

В этой общей реакции элемент \ (\ ce {A} \) является металлом и заменяет элемент \ (\ ce {B} \), также металл, в соединении. Когда элемент, выполняющий замену, является неметаллом, он должен заменить другой неметалл в соединении, и общее уравнение принимает следующий вид:

\ [\ ce {Y} + \ ce {XZ} \ rightarrow \ ce {XY} + \ ce {Z} \]

, где \ (\ ce {Y} \) — неметалл и заменяет неметалл \ (\ ce {Z} \) в соединении на \ (\ ce {X} \).

Металлический заменитель

Магний является более химически активным металлом, чем медь. Когда полоса металлического магния помещается в водный раствор нитрата меди (II), она заменяет медь. Продуктами реакции являются водный раствор нитрата магния и твердая металлическая медь.

\ [\ ce {Mg} \ left (s \ right) + \ ce {Cu (NO_3) _2} \ left (aq \ right) \ rightarrow \ ce {Mg (NO_3) _2} \ left (aq \ right) + \ ce {Cu} \ left (s \ right) \]

Эта подкатегория реакций однократного замещения называется реакцией замещения металла, потому что это металл, который заменяется (медь).

Замена водорода

Многие металлы легко вступают в реакцию с кислотами, и когда они это делают, одним из продуктов реакции является газообразный водород. Цинк реагирует с соляной кислотой с образованием водного хлорида цинка и водорода (рисунок ниже).

\ [\ ce {Zn} \ left (s \ right) + 2 \ ce {HCl} \ left (aq \ right) \ rightarrow \ ce {ZnCl_2} \ left (aq \ right) + \ ce {H_2} \ влево (г \ вправо) \]

В реакции замещения водорода водород в кислоте заменяется активным металлом.Некоторые металлы настолько реактивны, что способны заменять водород в воде. Продуктами такой реакции являются гидроксид металла и газообразный водород. Все металлы группы 1 подвергаются этому типу реакции. Натрий бурно реагирует с водой с образованием водного гидроксида натрия и водорода (см. Рисунок ниже).

\ [2 \ ce {Na} \ left (s \ right) + 2 \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \ rightarrow 2 \ ce {NaOH} \ left (aq \ right) + \ ce {H_2 } \ left (g \ right) \]

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): (Первое изображение) Металлический цинк реагирует с соляной кислотой с выделением газообразного водорода в реакции одинарного вытеснения.(Второе изображение) Металлический натрий бурно реагирует с водой с выделением газообразного водорода. Большой кусок натрия часто выделяет столько тепла, что водород воспламеняется.

Замена галогена

Элемент хлор реагирует с водным раствором бромида натрия с образованием водного хлорида натрия и элементарного брома:

\ [\ ce {Cl_2} \ left (g \ right) + 2 \ ce {NaBr} \ left (aq \ right) \ rightarrow 2 \ ce {NaCl} \ left (aq \ right) + \ ce {Br_2} \ влево (л \ вправо) \]

Реакционная способность галогенной группы (группа 17) уменьшается сверху вниз внутри группы.Фтор является наиболее реактивным галогеном, а йод — наименее активным. Поскольку хлор выше брома, он более активен, чем бром, и может замещать его в реакции замещения галогена.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Каковы продукты реакции между твердым алюминием (\ (\ ce {Al} \)) и оксидом железа (III) (\ (\ ce {Fe_2O_3} \))?

Решение

Ступени Пример решения
Спланируйте проблему. Чтобы предсказать продукты, нам нужно знать, что алюминий заменит железо и образует оксид алюминия (металл заменит ион металла в соединении). Алюминий имеет заряд \ (+ 3 \), а кислород имеет заряд \ (- 2 \). Следовательно, соединение, образованное между алюминием и кислородом, будет \ (\ ce {Al_2O_3} \). Поскольку железо заменяется алюминием, железо теперь будет единственным элементом в продуктах.

Решить.

Несбалансированное уравнение будет:

\ [\ ce {Al} + \ ce {Fe_2O_3} \ rightarrow \ ce {Al_2O_3} + \ ce {Fe} \ nonumber \]

и вычисленное уравнение будет:

\ [2 \ ce {Al} + \ ce {Fe_2O_3} \ rightarrow \ ce {Al_2O_3} + 2 \ ce {Fe} \ nonumber \]

Подумайте о своем результате. Это однократная реакция замещения, и при уравновешивании коэффициенты точно отражают, что железо и алюминий имеют одинаковый заряд в этой реакции.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

  1. Напишите химическое уравнение для реакции единственного замещения между твердым цинком и раствором нитрата свинца (II) с образованием раствора нитрата цинка и твердого свинца. (Обратите внимание, что цинк образует ионы с зарядом \ (+ 2 \).)
  2. Предскажите продукты следующей реакции: \ (\ ce {Fe} + \ ce {CuSO_4} \). (Предположим, что в этой реакции железо образует ионы с зарядом \ (+ 2 \).)
Ответьте на
\ (\ ce {Zn} + \ ce {Pb (NO_3) _2} \ rightarrow \ ce {Pb} + \ ce {Zn (NO_3) _2} \)
Ответ б
\ (\ ce {Fe} + \ ce {CuSO_4} \ rightarrow \ ce {Cu} + \ ce {FeSO_4} \)

Реакция двойной замены

Реакция двойной замены — это реакция, в которой положительные и отрицательные ионы двух ионных соединений обмениваются местами с образованием двух новых соединений.Общая форма реакции двойного замещения (также называемой двойным вытеснением):

\ [\ ce {AB} + \ ce {CD} \ rightarrow \ ce {AD} + \ ce {BC} \]

В этой реакции \ (\ ce {A} \) и \ (\ ce {C} \) являются положительно заряженными катионами, а \ (\ ce {B} \) и \ (\ ce {D} \) являются отрицательно заряженными анионами. -} \) возникают очень сильные силы притяжения, в результате чего образуется ярко-желтый осадок (рис. \ (\ PageIndex {3} \)).Другой продукт реакции, нитрат калия, остается растворимым.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Иодид свинца (II) осаждается, когда йодид калия смешивают с нитратом свинца (II) (уравнение \ ref {eq10}). (CC BY-SA 3.0; PRHaney).

Образование газа

В некоторых реакциях двойного замещения образуется газообразный продукт, который затем пузырится из раствора и уходит в воздух. При смешивании растворов сульфида натрия и соляной кислоты продуктами реакции являются водный раствор хлорида натрия и газообразный сероводород:

\ [\ ce {Na_2S} \ left (aq \ right) + 2 \ ce {HCl} \ left (aq \ right) \ rightarrow 2 \ ce {NaCl} \ left (aq \ right) + \ ce {H_2S} \ влево (г \ вправо) \]

Образование молекулярного соединения

Другой вид реакции двойного замещения — это реакция, при которой в качестве одного из продуктов образуется молекулярное соединение.Многие примеры в этой категории — это реакции с образованием воды. Когда водная соляная кислота взаимодействует с водным гидроксидом натрия, продуктами являются водный раствор хлорида натрия и вода:

\ [\ ce {HCl} \ left (вод. \ Right) + \ ce {NaOH} \ left (aq \ right) \ rightarrow \ ce {NaCl} \ left (aq \ right) + \ ce {H_2O} \ left (л \ вправо) \]

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Напишите полное и сбалансированное химическое уравнение реакции двойного замещения \ (\ ce {NaCN} \ left (aq \ right) + \ ce {HBr} \ left (aq \ right) \ rightarrow \) (газообразный цианистый водород сформирован).

Решение

Ступени Пример решения
Спланируйте проблему. Реакция запускается из-за образования газа.

Решить.

Катионы обоих реагентов — это \ (+ 1 \) заряженные ионы, а анионы — \ (- 1 \) заряженные ионы.После обмена партнерами сбалансированное уравнение будет:

\ [\ ce {NaCN} \ left (aq \ right) + \ ce {HBr} \ left (aq \ right) \ rightarrow \ ce {NaBr} \ left (aq \ right) + \ ce {HCN} \ left (г \ вправо) \]

Подумайте о своем результате. Это реакция двойной замены. Все формулы верны, и уравнение сбалансировано.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Напишите полное и сбалансированное химическое уравнение реакции двойной замены \ (\ ce {(NH_4) _2SO_4} \ left (aq \ right) + \ ce {Ba (NO_3) _2} \ left (aq \ right) \ rightarrow \) (образуется осадок сульфата бария).

Ответ:
\ [\ ce {(NH_4) _2SO_4} \ left (aq \ right) + \ ce {Ba (NO_3) _2} \ left (aq \ right) \ rightarrow 2 \ ce {NH_4NO_3} \ left (aq \ right) + \ ce {BaSO_4} \ left (s \ right) \]

Иногда в результате реакции образуются как газ, так и молекулярное соединение. Реакция раствора карбоната натрия с соляной кислотой дает водный раствор хлорида натрия, газообразный диоксид углерода и воду:

\ [\ ce {Na_2CO_3} \ left (aq \ right) + 2 \ ce {HCl} \ left (aq \ right) \ rightarrow 2 \ ce {NaCl} \ left (aq \ right) + \ ce {CO_2 } \ left (g \ right) + \ ce {H_2O} \ left (l \ right) \ nonumber \]

Добавления и авторства

Эта страница была создана на основе содержимого следующими участниками и отредактирована (тематически или всесторонне) командой разработчиков LibreTexts в соответствии со стилем, представлением и качеством платформы:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.