Решить уравнение с корнем онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие
уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и
именуют уравнения с корнем — иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических,
линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное
уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения онлайн
решателем»

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в
одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:

\[5x-16=x^2-4х+4\]

\[x^2-4x+4-5x+16=0\]

\[x^2-9x+20=0\]

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

\[x=(9\pm\sqrt{(81-4\cdot1\cdot20)\div(2\cdot1)}\]

\[x=(9\pm1)\div 2\]

Ответ: \[x1=4, x2=5\]

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о
правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Экзамены, тесты по математике. Решение уравнений с корнями

Уважаемые школьники, выпускники, абитуриенты, этот раздел поможет подготовиться к экзаменам, тестам, внешнему независимому тестированию по математике в 2015 году. Ответы к тестам помогут Вам понять материал и методику вычислений, систематизировать и повысить накопленный уровень знаний по математике. Решение примеров будут интересны для школьников 9, 10, 11 классов, а так же их родителей.

Раздел II. Уравнения и неравенства

Задача 2.37 Вычислить сумму корней уравнения

Решение:Задано квадратное уравнение умноженное на корень из квадратного уравнения. При вычислениях нужно следить за тем чтобы решение первого уравнения удовлетворяло ОДЗ корня. Распишем заданные полиномы на простые множители

Если нарисовать числовую ось и обозначить нули подкорневой функции на ней, то ОДЗ будет содержать значения от минус бесконечности до минус единицы и от 9 до плюс бесконечности

А это значит, что корни первого уравнения x=1; x=4 не принадлежат ОДЗ. По этому всегда нужно следить и проверять. Итак уравнение имеет два решения x=-1; x=9, а их сумма равна 9-1=8.
Ответ: 8.

Задача 2.38 Найдите все корни уравнения, которые являются целыми числами

Решение: ОДЗ корней вся действительная ось за исключением нулей знаменателя, а это точки x = -5; x = 5.
Второе слагаемое является обратным к первому, поэтому вводим замену переменных

Далее уравнение сводим к квадратному

По теореме Виета корни равны t=3; t=1.
Далее возвращаемся к замене и вычисляем корни

2*x=2; x=1.

Второй вариант расписывать не имеет смысла, поскольку целого решения не получим. Единственный целый корень равен единице.
Ответ: 1.

Задача 2.39 (Т-07, 43) Решите уравнение

В ответ запишите сумму корней.
Решение: Имеем уравнение, которое многие из Вас правильно не решат. Первая скобка дает такие корни x = 3; x = -3, но это не означает, что они удовлетворяют область допустимых значений корневой функции.
Разложим подкоренное функцию на простые множители
-(x-5)(x-3)=0.
x=5; x=3.
ОДЗ корня промежуток между точками [3;5].
Решения уравнения с корнями x=3; x=5, а их сумма равна 3+5=8.
На тестах в подобных примерах проверяйте корни подстановкой.
Ответ: 8.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО 2015 по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов. Помощь по математике в виде готовых решений облегчит учебу всех школьников и будет хорошей инструкцией на экзаменах и тестах.

решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения, которые встречаются в задании В6 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике имеют  такой вид:

Чтобы решить  уравнение такого вида, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Внимание! Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как корни уравнения будут найдены, нужно сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение и проверить, получим ли мы верное равенство.

Давайте рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений из Задания В7.

1. Задание В6 (№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение:

— верно.

Ответ: 3

2. Задание В6(№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Перенесем дробь в левую часть уравнения и приведем к общему заменателю:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не  равен нулю. Приравняем к нулю числитель:

Сделаем проверку:

 — верно

Ответ: 87.

3. Задание В6 (№ 26668)

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

, 

Cделаем проверку:

— верно.

— верно.

Оба корня нас устраивают. В ответе требуется указать меньший корень.

Ответ: -9

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Задача на решение уравнения с корнем третьей степени — «Шпаргалка ЕГЭ»

Найдите корень уравнения:  .

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно решить уравнение, при условии, что неизвестная находится под конем третьей степени. Для получения привычного вида линейного уравнения необходимо возвести обе части равенства в куб. Это очень удобно еще и тем, что не следует находить область определения функции – ведь под кубическим корнем могут находиться как положительные, так и отрицательные числа. После возведения в степень, получим обычное линейное уравнение, решение которого можно свести к правилу: все значения с неизвестными переносим в левую часть, все числовые значения – в правую. После приведения подобных слагаемых слева и справа, находим значение неизвестной: делим значение, которое не содержит неизвестную на значение, которое находится рядом с неизвестной. Это и будет ответом.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 7-х классов при изучении темы «Математический язык. Математическая модель» («Линейное уравнение с одной переменной», «Координатная прямая»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Математический язык. Математическая модель». Для тех же, кто хочет более глубоко ознакомиться с методами решения уравнений различной сложности мы рекомендуем посетить ресурс morekursov.com. На сайте вы найдете более 1000 развивающих курсов по всем школьным дисциплинам. Важной отличительной особенностью сайта является то, что на нем есть опция скачать курсы бесплатно. 

Кроме этого, для решения уравнений рекомендуем воспользоваться нашим Онлайн Калькулятором. В нем в найдете громадное количество шаблонов для решения уравнений и систем уравнений. «Онлайн калькулятор» — это инновационная разработка нашей команды, которая безустанно работает для облегчения вашего процесса обучения. Используя такой калькулятор, решение задач онлайн будет осуществляться быстро и легко, ведь он способен помочь значительно больше, чем вы ожидаете. Математика – это предмет, который легко дается к освоению далеко не каждому ребенку. Но теперь онлайн решение уравнений, неравенств и интегралов не будет вызывать у ученика панику и страх сложного задания, ведь ребенку будет необходимо запомнить суть решения, а сложные вычисления за него сделает наш онлайн калькулятор.

учимся решать методом уединения корня

1 октября 2013

Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:

Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:

1. Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
2. 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g(x) ≥ 0.
3. Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?

Решение иррационального уравнения

Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:

2x² − 14x + 13 = (5 − x)²

2x² − 14x + 13 = 25 − 10x + x²
x² − 4x − 12 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x₁ = 6; x₂ = −2

Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.

Как упростить решение

Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.

Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g(x) = 5 − x, которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:

g(x) ≥ 0

Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:

g(x₁) = g(6) = 5 − 6 = −1 < 0
g(x₂) = g(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Из полученных значений следует, что корень x₁ = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x₂ = −2 нам вполне подходит, потому что:

1. Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
2. Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x₂ = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.

Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.

Смотрите также:

1. Как решать биквадратное уравнение
2. Как решать простейшие линейные уравнения? Рассмотрены все варианты: один корень, бесконечно много корней или корней нет вообще.
3. Сравнение дробей
4. Типичные задачи B12 с функциями
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Задача B4: Цены на продукты в трех городах

Ошибки в уравнениях / math5school.ru

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней, либо появление посторонних корней.

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного, а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение  lg (x – 10)² + lg x² = 2lg 24.

L Неправильное решение. 

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

lg (x – 10) + lg x = lg 24,

lg x(x – 10) = lg 24,

x² – 10x = 24,

x² – 10x – 24 = 0,

x₁ = –2,  x₂ = 12.

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: –2 и 12.

Комментарий. Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного. 

J Правильное решение.

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 10,

2lg |x – 10| + 2lg|x| = 2lg 24,

lg |x – 10| + lg|x| = lg 24,

lg |x(x – 10)| = lg 24,

|x² – 10x| = 24,

x² – 10x = ± 24,

1) x² – 10x – 24 = 0,  x₁ = –2,  x₂ = 12;

2) x² – 10x + 24 = 0,  x₃ = 4,  x₄ = 6.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение  3^х (х² – 2х – 3) = 9 (х² – 2х – 3).

L Неправильное решение. 

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

3^х = 9;

3^х = 3²;

х = 2.

Ответ: 2.

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

3^х (х² – 2х – 3) – 9 (х² – 2х – 3) = 0;

(3^х  – 9) (х² – 2х – 3) = 0;

1) 3^х  – 9 = 0;  3^х = 3²;  х = 2;

2) х² – 2х – 3 = 0;  х = –1 и х = 3.

Ответ: –1; 2 и 3. 

K Упражнение 2. Решить уравнение  lg² x – lg x = 0.

L Неправильное решение.

ОДЗ: х > 0.

Разделим обе части уравнения на  lg x  и получим:

lg x – 1 = 0;

lg x = 1; 

x = 10.

Ответ: 10. 

J Правильное решение.

lg² x – lg x = 0;

ОДЗ: х > 0;

lg x (lg x – 1) = 0;

1) lg x = 0;  x = 1; 

2) lg x – 1 = 0;  lg x = 1;  x = 10.

Ответ: 1 и 10.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину.

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение. 

Умножим все члены уравнения на  х² – 1  и получим:

(5 – x) (x + 1) – (5 + 3x) = 0;

–х² + x =0;

х² – x =0;

х (х – 1) =0. 

Ответ: 0 и 1. 

Комментарий. Был приобретен посторонний корень  х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки.

J Правильный ответ:  х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину.

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение. 

Заметим, что  х² – 81 = (x – 9) (x + 9)  и произведем сокращение дроби на  x – 9. Имеем:

(x + 9) – 2х = 0;

– х + 9 = 0;

х = 9. 

Ответ: 9.

Комментарий. Был приобретен посторонний корень  х = 9.

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

х² – 4х = 0;

х (х – 4) =0;

х = 0,  х = 4.

Ответ: 0  и  4.

Комментарий. Был приобретен посторонний корень  х = 0.  

J Правильный ответ:  4.

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма. 

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения. Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение   √х + 3 + √7 – х = 2.

L Неправильное решение. 

ОДЗ:  –3 ≤ х ≤ 7;

√х + 3 = 2 – √7 – х;

x + 3 = 4 – 4 · √7 – х + 7 – x;

2x – 8 = –4 · √7 – х;

2 · √7 – х = 4 – x;

4 (7 – x) = 16 – 8x + х²;

х² – 4x – 12 = 0;

x₁ = –2,  x₂ = 6.

И число –2, и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х, значит, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: –2  и  6.

Комментарий. Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения   

√х + 3 = 2 – √7 – х

к уравнению 

x + 3 = 4 – 4 · √7 – х + 7 – x.

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1. Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1, которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1² = (–1)². Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них. 

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

2 · √7 – х = 4 – x,

которое уже имеет один корень –2, к уравнению

4 (7 – x) = 16 – 8x + х².

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4, которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6. Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

х² – 4x – 12 = 0,

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение  (x – 5) (х + 2) √х – 3 = 0.

L Неправильное решение. 

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

х – 5 = 0,  х + 2 = 0,  х – 3 = 0;

х = 5,  х = –2,  х = 3.

Ответ:  5;  –2;  3.

Комментарий. Число –2 обращает подкоренное выражение  х – 3  в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5  и  3.

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Таких равенств много, вот некоторые из них: 

x = (√ х)²

√ х · y = √ х · √ y

log_a х² = 2 log_a x

log_a х · y = log_a x + log_a y

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части.{1/4}=3,\;\;\;\) \(x-3=81,\;\;\;\)  \(x=84.\;\;\;\)

Ответ: 19  и  84.

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась.

K Упражнение. Решить уравнение  х + 4√x – 5 = 0.

L Неправильное решение. 

√x = t,  x = t²;

t² + 4t – 5 = 0;

t₁ = 1,  t₂ = –5;

1) x = (t₁)² =  1² = 1;   

2) x = (t₂)² = (–5)² = 25.

Ответ: 1  и  25. 

Комментарий. После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √x = t, а не x = t². 

J Правильное решение.2}=x+3;\;\;\left|x+3 \right|=x+3\geq 0;\;\;x\geq -3.\)

Ответ: х ≥ –3.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение  |x – 3| + |x –4| = 1.

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3, для |x – 4| это 4, и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

(–∞; 3), [3; 4)  и  [4; +∞).

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

Так как

\[\left|x-3 \right|=\begin{cases} \;\;\;\;x-3, \;\;\;x\geq 3; \\ -(x-3), \;\;x< 3; \end{cases}\;\;\;\;\;  \left|x-4 \right|=\begin{cases} \;\;\;\;x-4, \;\;x\geq 4; \\ -(x-4), \;x< 4; \end{cases}\]

то

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

– (х – 3) – (х – 4) = 1,

– х + 3 – х + 4 = 1,

2х = 6,

х = 3;

так как 3 ∉ (–∞; 3), то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

(х – 3) – (х – 4) = 1,

х – 3 – х + 4 = 1,

1 = 1;

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка  [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

(х – 3) + (х – 4) = 1,

х – 3 + х – 4 = 1,

2х = 8,

х = 4;

так как 4 ∈ [4; +∞), то 4 – корень уравнения.

Так как  [3; 4)∪{4} = [3; 4],  то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4].

Ответ: [3; 4].

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности.

K Упражнение. Решить уравнение  х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24.

L Неправильное решение.  

Подбором находят корень  х = 1  из разложения  24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Ответ: 1.

Комментарий. Был подобран корень  х = 1,  но не обнаружен еще один корень х = –4, который соответствует разложению  24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1). Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24,

(х (х + 3)) ((х + 1) (х + 2)) = 24,

(x² + 3х) (x² + 3х + 2) = 24,

введем новую переменную  x² + 3х + 1 = t, тогда

(t – 1) (t + 1) = 24,

t² – 1 = 24,    

t² = 25,

t₁ = –5,  t₂ = 5,

1) x² + 3х + 1 = –5,  x² + 3х + 6 = 0,  решений нет;

2) x² + 3х + 1 = 5,    x² + 3х – 4 = 0,   х₁ = –4,  х₂ = 1.

Ответ: –4  и  1.

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций. Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение  x¹¹ + 5х – 6 = 0.

L Неправильное решение. 

Методом подбора находим корень уравнения  х = 1.

Ответ: 1.

Комментарий. Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x¹⁰ + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x¹¹ + 5х – 6, что и доказывает единственность подобранного корня.

Ответ: 1. 

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями, не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение  (log₇x)^1/₃  = 1.

L Неправильное решение. 

(log₇ x)^1/₃  = (log₇ x)⁰.          

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

log₇ x = 1,

x = 7.

Ответ: 7.

K Упражнение 2. Решить уравнение  (х + 5) ^{х2 + х – 2} = 1.

L Неправильное решение.

(х + 5) ^{х2 + х – 2} =  (х + 5) ⁰,

х² + х – 2 = 0,

х₁ = –2,  х₂ = 1.

Ответ: –2  и  1.

Комментарий. Потерян корень х = –4. Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

х + 5 = 1,

х = –4.

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5, тогда

(х² + х – 2) · lg (x + 5) = 0;

1) х² + х – 2 = 0;  х₁ = –2,  х₂ = 1;

2)  lg (x + 5) = 0;  x + 5 = 1;  x = –4.

Ответ: –4, –2  и  1.

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями. При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

K Упражнение 1. Решить уравнение  log₃ x · log₃ (3x) =log₃ (81x).

L Неправильное решение. 

log₃ (3х²) =log₃ (81x),

3х² = 81x,

3х = 81,

х = 27.

Ответ: 27. 

Комментарий. В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х² = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

ОДЗ: х > 0;

log₃ x · (log₃ 3 + log₃ x) = log₃ 81 + log₃ x;

log₃ x · (1 + log₃ x) = 4 + log₃ x;

log₃ x + log₃² x = 4 + log₃ x;

log₃² x = 4;

log₃ x = ±2;

x = 9,  x = ¹/₉.1/_{4\sqrt[5]{8}}\;.\)

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение.

В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного.

K Упражнение. Решить уравнение  tg 3x – tg x = 4sin x.

L Неправильное решение. 

sin 2x = 4sin x cos 3x cos x;

sin 2x = 2sin 2x cos 3x;

sin 2x – 2sin 2x cos 3x = 0;

sin 2x (1 – 2cos 3x) = 0;

1) sin 2x = 0;   2x = πn, n ∈ Z;   x = ^πn/₂, n ∈ Z;

2) 1 – 2cos 3x = 0;   cos 3x = ¹/₂;   3x = ± ^π/₃ + 2πk, k ∈ Z;   x = ± ^π/₉ + ^2πk/₃, k ∈ Z.

Ответ:  ^πn/₂ , n ∈ Z;   ± ^π/₉ + ^2πk/₃, k ∈ Z.

Комментарий. Была допущена серьезная ошибка. При x = ^πn/₂ и нечетных n исходное уравнение не имеет смысла. Ошибка осталась незамеченной в результате того, что не была установлена область допустимых значений переменной. 

J Правильный ответ: πn, n ∈ Z;   ± ^π/₉ + ^2πk/₃, k ∈ Z.

Не редкость – появление ошибок по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям.

K Упражнение. Решить уравнение  cos x – cos 2x = 1,  если  0 < x < ^π/₂ .

L Неправильное решение. 

cos x – (2cos² x – 1) = 1;

cos x – 2cos² x = 0;

cos x (1 – 2cos x) = 0; 

1) cos x = 0;  x =  ^π/₂ + πk, k ∈ Z;

2) 1 – 2cos x = 0;   cos x = ¹/₂;   x = ± ^π/₃ + 2πn, n ∈ Z.

Ответ:  ^π/₂ + πk, k ∈ Z;   ± ^π/₃ + 2πn, n ∈ Z. 

Комментарий. Ответ не верен, так как условию  0 < x < ^π/₂  удовлетворяют только один корень.

J Правильный ответ:  ^π/₃.

Следует не забывать, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащее неизвестное не редко приводит к потере корней уравнения.

K Упражнение. Решить уравнение  cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

L Неправильное решение. 

2sin 2x – 1 = sin 2x;

sin 2x = 1;

2x =   ^π/₂ + 2πk, k ∈ Z;

x =   ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

Ответ:  ^π/₄ + πk,  k ∈ Z.

J Правильное решение.

cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0;  x =  ^π/₂ + πn, n ∈ Z;

2) sin 2x – 1 = 0;   sin 2x = 1;  2x = ^π/₂ + 2πk, k ∈ Z;  x = ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

Ответ:  ^π/₂ + πn, n ∈ Z;   ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

K Упражнение. Решить уравнение  sin x + cos x = 1.

L Неправильное решение. 

(sin x + cos x)² = 1²;

sin² x + 2sin x cos x + cos² x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

sin 2x = 0;

2x = πn, n ∈ Z;

x = ^πn/₂,  n ∈ Z.

Ответ:  ^πn/₂,  n ∈ Z.

Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

J Правильное решение.

Дополним приведенное выше решение следующими рассуждениями.

Значениям  x = ^πn/₂,  n ∈ Z  соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – значения n = 4m + 1, где m ∈ Z, то

1)  x = ^4πk/₂ = 2πk, k ∈ Z; 

2)  x = ^4πm+π/₂ = ^π/₂ + 2πm, m ∈ Z. 

Ответ: 2πk, k ∈ Z   и   ^π/₂ + 2πm, m ∈ Z. 

Как и в любых других уравнениях, при решении тригонометрических уравнений не редкость – применение вспомогательной переменной. Но не следует забывать, что при этом может быть сужена область определения, что может привести к потере корней.

K Упражнение. Решить уравнение  sin 2x + 3cos 2x + 3 = 0.

L Неправильное решение. 

Так как

то для исходного уравнения имеем: 

2tg x + 3 – 3tg² x + 3 + 3tg² x = 0;

2tg x + 6 = 0;

tg x = –3;

x = arctg (–3) + πk, k ∈ Z.  

Ответ:  arctg (–3) + πk, k ∈ Z.  

Комментарий. Область допустимых значений неизвестного в исходном уравнении – все действительные числа. Но при x = ^π/₂ + πn переход от sin 2x и cos 2x к tg x невозможен. Таким образом область допустимых значений неизвестного сузилась, а значит, случай x = ^π/₂ + πn необходимо проверить отдельно.

J Правильное решение.

Продолжим решение уравнения. Подставим  ^π/₂ + πn  в исходное уравнение:

sin 2(^π/₂ + πn) + 3cos 2(^π/₂ + πn) + 3 = 0;

sin (π + 2πn) + 3cos (π + 2πn) + 3 = 0;

sin π + 3cos π + 3 = 0;

0 – 3 + 3 = 0;

0 = 0 – верно и, значит, ^π/₂ + πn,  n ∈  Z  – корни уравнения.

Ответ:  ^π/₂ + πn,  n ∈  Z;  arctg (–3) + πk, k ∈ Z.               

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

Изоляция корней и графическое решение уравнений в Wolfram|Alpha

Для большинства алгебраических и трансцендентных уравнений, возникающих на практике, получить аналитическое решение, как правило, бывает довольно трудно или же вообще невозможно. Это зависит от вида левой части в уравнении .

В таких случаях на помощь приходят приближенные методы численного решения уравнений такие, как метод половинного деления, метод хорд (метод секущих), метод касательных (метод Ньютона) и их комбинации. Приближенные методы позволяют, следуя определенной расчетной процедуре, находить действительные корни алгебраических и трансцендентных уравнений с любой наперед заданной точностью.2+4x+1=0

Как видим, Wolfram|Alpha выводит график левой части уравнения, обозначая на нем корни уравнения на оси абсцисс (Root plot), дает приближенные значения этих корней (solutions) и отмечает их на числовой оси (Number line). Кнопка «More digits» позволяет получить корни уравнения с большей точностью.

Рассмотрим теперь более сложный пример.

sin(x)-ln(x)=0

Если представить это же уравнение в альтернативной форме, то результат будет следующим (более наглядным):

На рисунке обозначена точка пересечения графиков левой и правой части уравнения. Абсцисса этой точки — это и есть корень данного уравнения.

По умолчанию, интервал значений переменной x, для которого строится график, выбирается автоматически — на усмотрение Wolfram|Alpha. Поэтому, исходя из характера графиков левой и правой части, можно предположить, что они имеют не одну, а несколько точек пересечения, то есть возможно, что уравнение имеет не один, а несколько действительных корней. Чтобы проверить это предположение, нужно явно указать интервал значений x, для которого следует построить график уравнения:

sin(x)=ln(x) from x=0 to 3pi

Как видим, предположение не подтвердилось: данное уравнение и в самом деле имеет лишь один действительный корень.

Однако, в следующем примере дело обстоит иначе.

5sin(x)-ln(x)=0

Здесь, по умолчанию, Wolfram|Alpha выдает 9 действительных корней уравнения. Хотя, судя по характеру графика левой части уравнения, их должно быть намного больше. Это также видно, если представить данное уравнение в альтернативной форме:

Поскольку логарифмическая функция в правой части уравнения монотонно возрастает, амплитуда синусоиды в левой части равна 5, то очевидно, что наибольший корень данного уравнения является также решением следующего уравнения:

ln(x)=5

Иначе говоря, все действительные корни данного уравнения принадлежат интервалу, который является решением следующего неравенства:

solve ln(x)<=5

5sin(x)=ln(x) from x=0 to 150

Таким образом, поскольку Wolfram|Alpha выдает численное решение только для 9 действительных корней уравнения, графическое решение уравнения приходится уточнять для любого промежутка, лежащего внутри указанного интервала существования корней. Например, графически можно установить, что на интервале от 125 до 130 уравнение имеет всего два корня:

5sin(x)=ln(x) from x=125 to 130

К сожалению, Wolfram|Alpha рассчитывает здесь приближенные значения наименьших лишь девяти действительных корней (ближайших к нулю), и не позволяет рассчитать те корни, которые находятся в интервале от 125 до 130.

Калькулятор квадратичных формул | Math Goodies

Наш калькулятор квадратных уравнений позволяет найти корни квадратного уравнения. Лучше всего сначала решить эти проблемы самостоятельно, а затем вы можете использовать этот калькулятор для проверки своей работы.

Введите значения в поля ниже и нажмите Решить . Результаты появятся в полях с надписью Root 1 и Root 2 . Например, для квадратного уравнения ниже вы должны ввести 1, 5 и 6.После нажатия Solve ваши результирующие корни будут -2 и -3. Щелкните Reset , чтобы ввести новые значения.

Важные термины для квадратных уравнений

Квадратичный — это полином, старший показатель которого равен 2. Стандартная формула квадратного уравнения выглядит так:
f ( x ) = ax ² + bx + c
Коэффициент при x² называется старшим коэффициентом .В этом случае X — неизвестная переменная, тогда как a, b и c — константы или числовые коэффициенты. Одно абсолютное правило состоит в том, что первая константа, a , не может быть нулем.

Квадратичная формула используется для нахождения решения квадратного уравнения. Квадратичная формула выглядит так:

Каждое квадратное уравнение дает два значения неизвестной переменной, и эти значения называются корнями уравнения. Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корней .

Корни функции — это точки пересечения по оси x. Координата y точек, лежащих на оси x, равна нулю. Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы полагаем f (x) = 0 и решаем уравнение.

Квадратное уравнение имеет два корня, которые могут быть неравными действительными числами, равными действительными числами или числами, которые не являются действительными. Если квадратное уравнение имеет два действительных равных корня, мы говорим, что уравнение имеет только одно действительное решение.

Дискриминант квадратичной формулы говорит вам о природе корней, которые имеет уравнение.
Например:
b2−4ac = 0, одно действительное решение
b2−4ac> 0, два действительных решения
b2−4ac <0, два мнимых решения

Если дискриминант представляет собой полный квадрат, корни равны рациональным , а когда это не полный квадрат, корни равны иррациональным .

Пример решения квадратного уравнения с квадратичной формулой:

Другие калькуляторы

Средство поиска полиномиального корня и средство одновременного решения уравнений — Texas Instruments

Как решать полиномы на TI-84 Plus

Обновлено 15 декабря 2020 г.

Джек Джерард

Графический калькулятор TI-84 Plus имеет ряд встроенных функций, помогающих пользователям выполнять сложные вычисления с легкостью. Однако, когда пользователям необходимо решить многочлены, они могут задаться вопросом, почему не включен простой решатель полиномов. Как оказалось, на самом деле существует два метода решения многочленов с помощью калькулятора TI-84 Plus, которые не требуют почти всей работы вручную.Основное различие между этими двумя методами заключается в количестве факторов, содержащихся в многочлене, который вы пытаетесь решить.

Что такое многочлены?

Полиномы — это уравнения, которые содержат один или несколько экземпляров переменной, например x . Эта переменная возводится в положительную степень, например, x ² или x ³ , хотя просто x также квалифицируется как часть полинома, поскольку это также можно записать как х ¹ .0

(хотя ax ¹ можно записать просто как ax , а ax ⁰ можно записать просто как a .) В этой форме, a равно коэффициенту каждого экземпляра переменной, а n равен наивысшей степени, фигурирующей в полиномиальном уравнении. Обратите внимание, что все члены полинома содержат переменную x ; если уравнение содержит более одного типа переменных, оно не является полиномом.

Использование решателя уравнений

Хотя большинство полиномов содержат несколько экземпляров переменной, возведенной в разную степень, уравнение с одним экземпляром переменной по-прежнему является полиномом, если оно удовлетворяет всем требованиям к полиномам. Откройте «Решатель» из меню МАТЕМАТИКА, нажав клавишу нуля или выбрав «0: Решатель …» из меню. Введите свое уравнение там, где будет предложено, убедившись, что уравнение установлено на ноль; для целей Решателя уравнений можно использовать только уравнение с одним экземпляром переменной (например, 2 x + 1).Нажмите клавишу ENTER, а затем сделайте обоснованное предположение о значении x и введите нижнюю и верхнюю границы, в которые, по вашему мнению, попадет x, где будет предложено. Снова нажмите ENTER, затем подождите, пока калькулятор пробежится по возможностям и решит относительно x.

Использование Poly Root Finder

Для многочленов с несколькими экземплярами переменных вместо этого должны использоваться Poly Root Finder и Simulator Equation Solver. Чтобы получить доступ к этому инструменту, нажмите кнопку APPS и прокрутите меню вниз, чтобы найти в меню запись с меткой «: PolySmlt».Поскольку горячие клавиши используются только для первых 10 записей (пронумерованных от «1» до «0»), вам придется перемещаться по меню вручную; требуется 30 нажатий СТРЕЛКИ ВНИЗ, чтобы перейти к правильному вводу. Нажмите клавишу ENTER, чтобы запустить приложение, нажав клавишу при появлении запроса и выбрав первую запись с надписью «1: Poly Root Finder». Введите показатель степени с наибольшим номером, когда будет предложено указать степень многочлена, нажмите ENTER и введите значения коэффициентов для каждого члена полинома. Нажмите клавишу ГРАФИК (расположенную под надписью «РЕШИТЬ» на экране), чтобы начать обработку полинома; через мгновение калькулятор отобразит каждое вычисленное им значение x и отобразит «НЕРЕАЛЬНОЕ» для других параметров, которые не вернули действительные решения.

Калькулятор корней

Что такое калькулятор корней

Калькулятор корней — это инструмент для вычисления корней любого заданного квадратного уравнения, где мы вводим значение коэффициентов a, b и c в калькулятор корней.

Корни квадратного уравнения — это в основном значения x, для которых справедливо квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0.

Эти значения x, для которых выполняется квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, называются корнями квадратного уравнения.

Чтобы вычислить корни квадратного уравнения, мы применяем формулу корней квадратного уравнения:

Когда мы вставляем значения a, b и c и решаем квадратное уравнение, используя квадратную формулу, объясненную выше, мы получаем два значения:

Эти два значения x — x ₁ и x ₂ , которые вычисляются по квадратной формуле, также называемой корнями квадратного уравнения.

Следовательно, калькулятор корней вычисляет корни квадратного уравнения

Природа корней квадратного уравнения

◾ Если b ² — 4ac> 0, то & Sqrt; b2 — 4ac действительно; здесь калькулятор корней дает нам результат двух действительных и различных корней.

◾ Если b ² — 4ac = 0, то & Sqrt; b2 — 4ac равно нулю; здесь калькулятор корней дает нам результат только одного действительного и равного корня.

◾ Если b ² — 4ac b2 — 4ac — мнимое число; здесь калькулятор корней предоставляет нам вывод мнимых корней.

◾ Если b ² — 4ac — полный квадрат, то & Sqrt; b2 — 4ac — рациональное число; здесь калькулятор корней предоставляет нам вывод рациональных корней, иначе калькулятор корней предоставляет нам решение иррациональных корней.

Как пользоваться калькулятором корней

Шаг 1 — Преобразуйте квадратное уравнение в стандартную форму квадратного уравнения, которое представлено как ax ² + bx + c = 0

Итак, если нам нужно решить квадратное уравнение

x ² — 7x = -12

Сначала приведите это уравнение к стандартной форме ax ² + bx + c = 0.Следовательно,

x ² — 7x = -12 теперь равно x ² — 7x + 12 = 0.

Теперь квадратное уравнение успешно преобразовано в стандартную форму

Шаг 2 — Теперь, чтобы использовать наш калькулятор корней, введите в него коэффициенты a, b и c. Итак, чтобы найти коэффициенты a, b и c, мы сравниваем наше уравнение x ² — 7x + 12 = 0 с ax ² + bx + c = 0.

Отсюда получаем

a = 1,
b = -7,
c = 12

Шаг 3 — Вставьте значения a, b и c в квадратную формулу:

Калькулятор квадратичных формул

Калькулятор ниже решает квадратное уравнение

ax ² + bx + c = 0

.

В алгебре квадратное уравнение — это любое полиномиальное уравнение второй степени следующего вида:

топор ² + bx + c = 0

, где x — неизвестное значение, a называется квадратичным коэффициентом, b — линейным коэффициентом, а c — константой. Цифры a , b и c являются коэффициентами уравнения, и они представляют известные числа. Например, a не может быть 0, или уравнение будет линейным, а не квадратичным.Квадратное уравнение можно решить несколькими способами, включая: факторинг, использование формулы квадратичного уравнения, завершение квадрата или построение графика. Здесь будет обсуждаться только использование квадратной формулы, а также основы завершения квадрата (поскольку вывод формулы включает завершение квадрата). Ниже представлена ​​квадратичная формула, а также ее вывод.

Вывод квадратичной формулы

С этого момента можно завершить квадрат, используя соотношение:

x ² + bx + c = (x — h) ² + k

Продолжение деривации с использованием этого отношения:

Напомним, что ± существует как функция вычисления квадратного корня, что дает решения квадратного уравнения как с положительными, так и с отрицательными корнями.Значения x , найденные с помощью квадратной формулы, являются корнями квадратного уравнения, которые представляют значения x , где любая парабола пересекает ось x. Кроме того, квадратная формула также обеспечивает ось симметрии параболы. Это демонстрирует приведенный ниже график. Обратите внимание, что квадратная формула на самом деле имеет множество реальных приложений, таких как вычисление площадей, траекторий снарядов и скорости, среди прочего.

Решение задач, содержащих два квадратных корня

Решение задач, содержащих два квадратных корня
Вот шаги, необходимые для решения задач, содержащих два квадратных корня:

Пример 1 — Решить:

Пример 2 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Документ не найден — PTC.com

404 — Извините, страница не найдена. Позвольте нам помочь вам найти свой путь.

Главная страница справки

Потерянный?

• О компании PTC
  • Управленческая команда
  • Связи с инвесторами
  • История
  • Новости
  • Карьера
  • Корпоративная ответственность

• Ключевые темы
  • Центр обновления PTC Windchill
  • Центр обновлений PTC Creo
  • Мульти-CAD
  • Подключенные продукты
  • Системное проектирование
  • Преобразование услуг
  • Управление данными о продукте

• Сообщества
  • Сообщество PTC
  • События
  • Блоги
  • Партнеры
  • Академический

• Партнеры
  • Партнеры по каналам
  • Партнеры по оборудованию
  • Партнеры по программному обеспечению
  • Сервисные партнеры

Авторские права © 2021, PTC Inc.