«>a^ba_bexp456×

стереть

()|a|ln789—↑↓

√³√Clog_a0.↵+←→

Что делать, если решение не появляется (пустой экран)?

Данный калькулятор по решению диф. уравнений онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Полезные ссылки:

Типы дифференциальных уравнений и методы их решения

Решить дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение — это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.

Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте matematikam.ru диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т. д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости — начальные условия (задачу Коши) — то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.

Данный онлайн калькулятор разработан компанией WolframAlpha и позволяет решать как стандартные дифференциальные уравнения, так и уравнения, не имеющие стандартного подхода для решения.

Похожие сервисы:

Решение дифференциальных уравнений
Solve differential equation online

Дифференциальные уравнения

Решение дифференциальных уравнений

Решить онлайн дифференциальные уравнения — просто! Искусственный интеллект постоянно развивавется. Нашим
специалистам удалось научить его решать различные математические задачи. Например, стали доступны такие
раздеолы, как решение онлайн дифференциальных уравнений или производная функции онлайн.

На нашем сайте вы можете решить любое дифференциальное уравнение используя Калькулятор
за пару секунд.
Пользоваться калькулятором просто. Начальные условия вводите как обычные условия. Порядок не важен.
Чтобы
ввести условие, нажмите «+условие»

Например:

Условие 1: y’=y+x

Условие 2: y(0)=1

Нажав кнопку Решить вы получите подробное решение дифференциальных
уравнений.

Что такое дифференциальные уравнения и как их решать

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение с производными функции или самой
функцией, независимой
переменной и параметрами. Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение, нужно сначала разобраться с
условными обозначениями. Производная функции обозначается символически “штрихом”. Производная функции
второго порядка отображается соответственно двумя “штрихами” и так далее.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной в уравнении.

Как решать дифференциальные уравнения

Решение дифференциального уравнения не будет таким же, как решение обыкновенного уравнения. Решением
дифференциального уравнения будет функция или семейство функций. Производные могут входить в функцию в
любом порядке и сами производные могут быть любого порядка. Производные, функции, независимые переменные
и параметры могут входить в ДУ в различных комбинациях или же могут вовсе отсутствовать. Однако в
уравнение должна входить хотя бы одна производная, иначе оно бы не будет дифференциальным.
Дифференциальным уравнением является не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции. К
примеру, f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением, а просто обозначает производную от
определённой функции.

При решении дифференциальных уравнений, в отличие от алгебраических уравнений, ищется не число или
несколько чисел, а функция или семейство функций. Алгебраический смысл решения таковой: если вместо
функций и производных всех порядков, подставить любую функцию из семейства её решений, то получится
верное равенство.

ДУ выше первого порядка возможно преобразовать в систему уравнений первого порядка, где число уравнений
равняется порядку исходного дифференциального уравнения. Таким образом дифференциальное уравнение
второго порядка преобразуется в систему функций, состоящую из двух уравнений.

При решении такой задача, как дифференциальные уравнения важно помнить, что его решением
будет именно семейство функций,
так как если брать производную от константы, то она будет равняться нулю. А так как производная от
константы равняется нулю, то в исходной функции может быть такое определённое решение данного
дифференциального уравнения.
Не все калькуляторы позволяют решить дифференциальные уравнения онлайн, а только самые
“умные”. Ещё несколько
лет назад решить дифференциальное уравнение с помощью калькулятора было невозможным.

Бесплатный онлайн калькулятор дифференциальных уравнений. Производная онлайн калькулятор.

Система дифференциальных уравнений, линейные дифференциальные уравнения
или другое дифференциальное уравнение любой сложности будет решено нашим бесплатным решателем за
считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто ввести данные уравнения в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть
видео
инструкцию и узнать, как решить дифференциальное уравнение на нашем сайте. А если у вас остались
вопросы, то
вы
можете задать их в онлайн чате на странице Калькулятора или в нашей группе
Вконтакте: pocketteacher.
Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Так же читайте нашу статью «Решить
систему
уравнений методом сложения онлайн решателем»

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Решение простых дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

решаются двукратным интегрированием.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Здесь коэффициенты – постоянные действительные числа. Решение этого уравнения будем искать в виде

Подставим эту функцию в уравнение (1):

Поскольку , то функция (2) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1). А многочлен n-й степени называется характеристическим многочленом этого уравнения.

Замечание. Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными (простыми и кратными) числами.

Утверждение 1. Если числа – различные действительные корни характеристического уравнения (3) линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

Утверждение 2. Если – действительный корень характеристического уравнения кратности два, то функции – фундаментальная система решений уравнения (1), общее решение этого уравнения имеет вид:

Утверждение 3. Если – комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3), которое соответствует однородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнение и общее решение записывается в виде:

Решение линейных неоднородных ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Коэффициенты – некоторые действительные числа, – непрерывная на отрезке функция, называемая правой частью неоднородного дифференциального уравнения (4).

Общее решение этого уравнения имеет вид

где – произвольные постоянные, – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (4).

Частное решение можно найти методом подбора (или методом неопределенных коэффициентов) в случае, если правая часть уравнения есть одной из функций вида

или

Здесь – заданные многочлены степени n, – известный многочлен степени m, – некоторые действительные числа.

Метод подбора нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (4) с функцией вида (5), (6) в правой части состоит в том, что частное решение уравнения ищут в виде

– многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

или

– многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

соответственно.

Принцип суперпозиции. Если функция – решение линейного дифференциального уравнения

то тогда функция

есть решением уравнения

или

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только
в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.

В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального
уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения —
.

В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения
следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения —
.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:

Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные. Идём к решению:

Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и
неплохо расправляться с дробями и корнями.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные,
имеют вид

.

В таком уравнении и
— функции только переменной x,
а и —
функции только переменной y.

Поделив члены уравнения на произведение ,
после сокращения получим

.

Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть
переменные разделены.

Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть —
дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения
следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член
в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на произведение и получим

.

Почленно интегрируем:

,

откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем

или ,

поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили
общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:

.

Есть задачи, в которых для разделения переменных
уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения,
задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.

Так как , то
перепишем данное уравнение в виде

.

Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем

.

Почленно интегрируем:

Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный.
Следовательно,

.

Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:

.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на и получим

.

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

Пусть , .

Тогда , .

Находим общее решение уравнения:

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на и получим

или

.

Записываем производную y в виде и получаем

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

, которое почленно интегрируя:

,

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и
x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством
логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в
тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два
таких примера.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную
«игрека» в виде и получим

.

Разделяем «игреки» и «иксы»:

.

Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части
константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:

.

Теперь по свойству логарифма имеем

.

Находим общее решение уравнения:

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на и получим

или

.

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и
x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в
которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения,
на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению
интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из
элементарной (школьной) математики.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную,
неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения,
связывающие независимые переменные ,
неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только
обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго
порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все
её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные
некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции;
в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции.
Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при
подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде .
Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть
первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать
различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное
явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором
произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов
их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде ,
то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и
и находят значение произвольной постоянной C,
а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1
при условии .

Решение. Подставим в общее решение
значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования
и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть ,
тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной
функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень
«одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных
уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть
независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со
школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального
исчисления, что производная может быть записана также в виде .
В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции
выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и
должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

Онлайн калькулятор: Производные любого порядка

Данный калькулятор вычисляет первую вторую и другие производные заданной функции. — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec — экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), log__p — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7, root__p — корень степени p, например root3(x) — кубический корень.

Пошаговый алгоритм вычисления одной производной, а также правила вычисления производных можно найти тут Производная функции.

Метод вариации постоянной онлайн калькулятор. ОДУ

Теоретический минимум

В теории дифференциальных уравнений существует метод, претендующий на достаточно высокую для этой теории степень универсальности.
Речь идёт о методе вариации произвольной постоянной, применимом к решению различных классов дифференциальных уравнений и их
систем. Это именно тот случай, когда теория — если вывести за скобки доказательства утверждений — минимальна, но позволяет добиваться
значительных результатов, поэтому основной акцент будет сделан на примерах.

Общую идею метода сформулировать довольно просто. Пусть заданное уравнение (систему уравнений) решить сложно или вообще непонятно,
как его решать. Однако видно, что при исключении из уравнения некоторых слагаемых оно решается. Тогда решают именно такое упрощённое
уравнение (систему), получают решение, содержащее некоторое количество произвольных констант — в зависимости от порядка уравнения (количества
уравнений в системе). Затем полагают, что константы в найденном решении в действительности константами не являются, найденное решение
подставляется в исходное уравнение (систему), получается дифференциальное уравнение (или система уравнений) для определения «констант».
Существует определённая специфика в применении метода вариации произвольной постоянной к разным задачам, но это уже частности, которые будут
продемонстрированы на примерах.

Отдельно рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений высших порядков, т.е. уравнений вида
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного уравнения. Предположим, что общее решение однородного уравнения уже найдено, а именно построена фундаментальная система решений (ФСР)
. Тогда общее решение однородного уравнения равно .
Нужно найти любое частное решение неоднородного уравнения. Для этого константы считаются зависящими от переменной .
Далее нужно решить систему уравнений
.
Теория гарантирует, что у этой системы алгебраических уравнений относительно производных от функций есть единственное решение.
При нахождении самих функций константы интегрирования не появляются: ищется ведь любое одно
решение.

В случае решения систем линейных неоднородных уравнений первого порядка вида

алгоритм почти не меняется. Сначала нужно найти ФСР соответствующей однородной системы уравнений, составить фундаментальную матрицу
системы , столбцы которой представляют собой элементы ФСР. Далее составляется уравнение
.
Решая систему, определяем функции , находя таким образом, частное решение исходной системы
(фундаментальная матрица умножается на столбец найденных функций ).
Прибавляем его к общему решению соответствующей системы однородных уравнений, которое строится на основе уже найденной ФСР.
Получается общее решение исходной системы.

Примеры.

Пример 1.
Линейные неоднородные уравнения первого порядка
.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение (искомую функцию обозначим ):
.
Это уравнение легко решается методом разделения переменных:

.
А теперь представим решение исходного уравнения в виде , где функцию ещё предстоит найти.
Подставляем такой вид решения в исходное уравнение:
.
Как видно, второе и третье слагаемое в левой части взаимно уничтожаются — это характерная черта метода вариации произвольной постоянной.

Вот здесь уже — действительно, произвольная постоянная. Таким образом,
.

Пример 2.
Уравнение Бернулли
.

Действуем аналогично первому примеру — решаем уравнение

методом разделения переменных. Получится , поэтому решение исходного уравнения ищем в виде
.
Подставляем эту функцию в исходное уравнение:
.
И снова происходят сокращения:
.
Здесь нужно не забыть удостовериться, что при делении на не теряется решение. А случаю отвечает решение исходного
уравнения . Запомним его. Итак,
.
Запишем .
Это и есть решение. При записи ответа следует также указать найденное ранее решение , так как ему не соответствует никакое конечное значение
константы .

Пример 3.
Линейные неоднородные уравнения высших порядков
.

Сразу заметим, что это уравнение можно решить и проще, но на нём удобно показать метод. Хотя некоторые преимущества
у метода вариации произвольной постоянной и в этом примере есть.
Итак, начинать нужно с ФСР соответствующего однородного уравнения. Напомним, что для нахождения ФСР составляется характеристическое
уравнение
.
Таким образом, общее решение однородного уравнения
.
Входящие сюда константы и предстоит варьировать. Составляем сист

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное
уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное
линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Примеры для самопроверки:

1.
Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Отсюда находим y:

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C»(x)):

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Здесь С =const.

3) Теперь подставляем в решение однородного

Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа. Метод Лагранжа также применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Содержание

См. также:

Метод Лагранжа (вариация постоянных)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1)
.

Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x
и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений
. Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2)
.

Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3)
.

Здесь — произвольные постоянные; — n
линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных — замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x
:

.

То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4)
.

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n
функций .
При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n
уравнений, из которых можно определить n
функций .
Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций .
Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n
порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.

Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от ,
а затем — члены с производными от :

.

Наложим на функции первое условие:
(5.1)
.

Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1)
.

Тем же способом находим вторую производную:

.

Наложим на функции второе условие:
(5.2)
.

Тогда
(6.2)
.

И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций ,
к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :

(5.k)
,

то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k)
.

Здесь .

Находим n
-ю производную:
(6.n)

.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1)
;

.

Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.

Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7)
.

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :

(5.1)
;

(5.2)
;

(5.3)
;

. . . . . . .

(5.n-1)
;

(7′)
.

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x
.
Интегрируя, получим:
.

Здесь — уже не зависящие от x
постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i
являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений
, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Решение примеров > > >

См. также:
Решение уравнений первого порядка методом вариации постоянной (Лагранжа)
Решение уравнений высших порядков методом Бернулли
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами линейной подстановкой

Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений
. А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.

В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?

1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка
. Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.

2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка
. Здесь варьируются две постоянные (константы).

Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.

Метод вариации произвольной постоянной

для линейного неоднородного уравнения первого порядка

Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
. На том уроке мы отрабатывали первый способ решения
неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены
или метод Бернулли
(не путать с уравнением Бернулли
!!!)

Сейчас мы рассмотрим второй способ решения
– метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.

Пример 1

(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка
)

Решение:
Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением
.

В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными
, решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:

Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .

На втором шаге заменим
константу некоторой пока ещё
неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:

Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.

В исходном
неоднородном уравнении проведём замену:

Подставим и в уравнение :

Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются
. Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.

Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:

К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:

Функция только что найдена!

Таким образом, общее решение:

Ответ:
общее решение:

Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.

Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка
)

Решение:
Приведем уравнение к виду :

Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:

Общее решение вспомогательного уравнения:

В неоднородном уравнении проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставим и в исходное неоднородное уравнение :

Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:

Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:

Теперь вспоминаем проведённую замену:

Ответ:
общее решение:

И один пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.

,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка
)
Решение:

Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:

Выполним подстановку:

Таким образом, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ:
частное решение:

Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.

Метод вариации произвольных постоянных

для линейного неоднородного уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами

Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.

Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка
. Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение:
В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение
соответствующего однородного
уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного
уравнения будем искать в виде:

Где – пока ещё
неизвестные функции.

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:

Найдем производные:

С левыми частями разобрались. Что справа?

– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:

Коэффициент – это коэффициент при второй производной:

На практике почти всегда , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:

Систему обычно решают по формулам Крамера
, используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:

Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель?
Ссылка ведёт на доску позора =)

Итак: , значит, система имеет единственное решение.

Находим производную:

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:

Разбираемся со второй функцией:

Здесь добавляем «нормальную» константу

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:

Нужные функции только что найдены!

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ:
общее решение:

В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.

Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка
. Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.

Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части
. Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка
, значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.

Рассмотрим два примера с задачей Коши
.

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

,

Решение:
Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.

Найдем общее решение
соответствующего однородного
уравнения:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

Общее решение неоднородного
уравнения ищем в виде: , где – пока ещё
неизвестные функции.

Составим систему:

В данном случае:
,
Находим производные:
,

Таким образом:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Восстанавливаем функцию интегрированием:

Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала
.

Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:

Такой интеграл решается методом замены переменной
:

Из самой замены выражаем:

Таким образом:

Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата
, но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов
:

Обе функции найдены:

В результате, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
.

Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:

Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :

Подставим найденные значения констант в общее решение:

В ответе логарифмы можно немного запаковать.

Ответ:
частное решение:

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!

Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Решить задачу Коши

,

Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),





В результате общее решение:



Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям
.





Подставим найденные значения констант в общее решение:



Ответ:
частное решение:

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a
n
(t
)z
(n
) (t
) + a
n
− 1 (t
)z
(n
− 1) (t
) + … + a
1 (t
)z
«(t
) + a
0 (t
)z
(t
) = f
(t
)

состоит в замене произвольных постоянных c
k

в общем решении

z
(t
) = c
1 z
1 (t
) + c
2 z
2 (t
) + … + c
n
z
n
(t
)

соответствующего однородного уравнения

a
n
(t
)z
(n
) (t
) + a
n
− 1 (t
)z
(n
− 1) (t
) + . .. + a
1 (t
)z
«(t
) + a
0 (t
)z
(t
) = 0

на вспомогательные функции c
k
(t
)
, производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z
1 ,z
2 ,…,z
n

, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z
(t
)
— базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t
= t
0
имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z
(t
)Z
− 1 (τ)
называется матрицей Коши
оператора L
= A
(t
)
.

Wolfram | Примеры альфа: дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решите ОДУ или найдите ОДУ, которому удовлетворяет функция.

Решите линейное обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решите неоднородное уравнение:

Решите уравнение, включающее параметр:

Решите нелинейное уравнение:

Найдите дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет заданная функция:

Другие примеры

Другие примеры

Решение численных дифференциальных уравнений

Численно решите дифференциальное уравнение, используя множество классических методов.

Решите ОДУ, используя указанный численный метод:

Укажите адаптивный метод:

Другие примеры

Калькулятор дифференциальных уравнений

— eMathHelp

Калькулятор найдет решение данного ОДУ: первого порядка, второго порядка, n-го порядка, разделимое, линейное, точное, Бернулли, однородное или неоднородное.3 (х).

В следующей таблице перечислены поддерживаемые операции и функции:

9 0062 acsc (x)

Если калькулятор что-то не вычислил, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение / отзыв, напишите об этом в комментариях ниже.

Решатель дифференциальных уравнений — онлайн-инструмент

Поиск инструмента

Решатель дифференциальных уравнений

Инструмент / решатель для решения дифференциальных уравнений (например, разрешение для первой или второй степени) в соответствии с именем функции и переменной.

Результаты

Решатель дифференциальных уравнений — dCode

Тег (и): функции, символьные вычисления

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор дифференциальных уравнений

Ответы на вопросы (FAQ)

Как рассчитать дифференциальное уравнение на dCode?

Уравнение должно следовать строгому синтаксису, чтобы получить решение в программе решения дифференциальных уравнений:

— Используйте ‘для представления производной порядка 1,’ ‘для производной порядка 2,’ » для производной порядка 3 и т. Д.{-x} +1 $ с константой $ c_1 $

— Дифференцируема только функция, а не их комбинация

Пример: (1 / f) ‘недействительно, но 1 / (f’) правильно

Что такое дифференциальное уравнение? (определение)

Как добавить начальные значения / условия?

Можно добавить одно или несколько начальных условий в соответствующее поле, добавив логический оператор && между двумя уравнениями.

Пример: Запишите f ‘(0) = — 1 && f (1) = 0

Как найти значения констант c?

Используйте известную информацию о функции и ее производной (ах) в качестве начальных условий системы.

Пример: Положение объекта — $ h $ в начале эксперимента, напишите что-нибудь вроде $ f (0) = h $

Пример: Скорость объекта равна $ 0 $ через $ n $ секунд, напишите что-то вроде $ f ‘(n) = 0 $

Каковы обозначения дифференциальных уравнений?

Существует несколько обозначений функции f:

Пример: $$ f ‘(x) = \ frac {\ mathrm {d} f (x)} {\ mathrm {d} x} $$

Пример: $$ f » (x) = \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 f (x)} {\ mathrm {d} x ^ 2} $$

Апостроф указывает порядок / степень происхождения, буква в скобках — переменная происхождения.

Показатель степени указывает порядок / степень деривации, буква знаменателя — переменная деривации.

Как пошагово решить дифференциальное уравнение?

Шаги вычислений решателя dCode не отображаются, потому что они представляют собой компьютерные операции, далекие от шагов процесса студента.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Решатель дифференциальных уравнений».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент алгоритма «Решатель дифференциального уравнения» (преобразователь, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Дифференциальный Функция Equation Solver (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.), Без загрузки данных , скрипт, копипаст или доступ к API для «Решателя дифференциальных уравнений» будет бесплатным, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

дифференциал, уравнение, дифференциал, дифференциал, порядок, степень, калькулятор

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/differential-equation-solver

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений

1

Решенный пример дифференциальных уравнений

$ \ frac {dy} {dx} = \ sin \ left (5x \ right) $

2

Сгруппируйте члены дифференциального уравнения.Переместите члены переменной $ y $ в левую сторону, а члены переменной $ x $ — в правую сторону

$ dy = \ sin \ left (5x \ right) \ cdot dx $

3

Интегрируйте обе части дифференциального уравнения, левую часть относительно $ y $ и правую часть относительно $ x $

$ \ int1dy = \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $

Промежуточные ступени

Интеграл от константы равен постоянной, умноженной на переменную интеграла

$ и

$

4

Решите интеграл $ \ int1dy $ и замените результат в дифференциальном уравнении

$ y = \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $

Объясните подробнее

Промежуточные ступени

Мы можем решить интеграл $ \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $, применив интегрирование методом подстановки (также называемое U-подстановкой).Во-первых, мы должны идентифицировать секцию внутри интеграла с новой переменной (назовем ее $ u $), которая при замене упрощает интеграл. Мы видим, что $ 5x $ — это хороший кандидат на замену. Определим переменную $ u $ и назначим ее выбранной части

.

$ u = 5x $

Теперь, чтобы переписать $ dx $ в $ du $, нам нужно найти производную от $ u $. Нам нужно вычислить $ du $, мы можем сделать это, выведя уравнение выше

$ du = 5dx

$

Изолировать $ dx $ в предыдущем уравнении

$ \ frac {du} {5} = dx $

Замена $ u $ и $ dx $ в интеграл и упрощение

$ \ int \ frac {\ sin \ left (u \ right)} {5} за

долл. США

Возьмите константу $ \ frac {1} {5} $ из интеграла

$ \ frac {1} {5} \ int \ sin \ left (u \ right) du $

Примените интеграл функции синуса: $ \ int \ sin (x) dx = — \ cos (x) $

$ — \ frac {1} {5} \ cos \ left (u \ right)

$

Замените $ u $ значением, которое мы присвоили ему в начале: $ 5x $

$ — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right)

$

5

Решите интеграл $ \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $ и замените результат в дифференциальном уравнении

$ y = — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right)

$

Объясните подробнее

6

Поскольку интеграл, который мы решаем, является неопределенным интегралом, когда мы закончим интегрирование, мы должны добавить константу интегрирования $ C $

$ y = — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right) + C_0 $

Окончательный ответ

$ y = — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right) + C_0 $

Дифференциальные уравнения — определения

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Определения

Дифференциальное уравнение

Первое определение, которое мы должны рассмотреть, — это определение дифференциального уравнения .Дифференциальное уравнение — это любое уравнение, которое содержит производные, обыкновенные производные или частные производные.

Существует одно дифференциальное уравнение, которое, вероятно, известно каждому, — это второй закон движения Ньютона. Если объект массы \ (m \) движется с ускорением \ (a \) и на него действует сила \ (F \), то нам говорит Второй закон Ньютона. 2}}} = F \ left ({t, u, \ frac {{du}} {{dt }}} \ right) \ label {eq: eq4} \ end {Equation} \]

Итак, вот наше первое дифференциальное уравнение.2 \ partial t}} = 1 + \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} \ label {eq: eq10} \ end {уравнение} \]

Заказать

Порядок дифференциального уравнения — это наибольшая производная, присутствующая в дифференциальном уравнении. В перечисленных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) — это дифференциальное уравнение первого порядка, \ (\ eqref {eq: eq4} \), \ (\ eqref {eq: eq5} \), \ ( \ eqref {eq: eq6} \), \ (\ eqref {eq: eq8} \) и \ (\ eqref {eq: eq9} \) — дифференциальные уравнения второго порядка, \ (\ eqref {eq: eq10} \ ) — дифференциальное уравнение третьего порядка, а \ (\ eqref {eq: eq7} \) — дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Обратите внимание, что порядок не зависит от того, есть ли у вас обыкновенные или частные производные в дифференциальном уравнении.

В этих заметках мы будем рассматривать почти исключительно дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Как вы увидите, большинство методов решения дифференциальных уравнений второго порядка можно легко (и естественно) распространить на дифференциальные уравнения более высокого порядка, и мы обсудим эту идею позже.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением , сокращенно ode, , если в нем есть обыкновенные производные.Точно так же дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных , сокращенно pde, , если в нем есть частные производные. В приведенных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) — \ (\ eqref {eq: eq7} \) — это оды, а \ (\ eqref {eq: eq8} \) — \ (\ eqref {eq: eq10} \) являются PDE.

Подавляющее большинство этих заметок относится к одам. y} \).

Коэффициенты \ ({a_0} \ left (t \ right), \, \, \ ldots \, \ ,, {a_n} \ left (t \ right) \) и \ (g \ left (t \ right) \) могут быть нулевыми или ненулевыми функциями, постоянными или непостоянными функциями, линейными или нелинейными функциями. Только функция \ (y \ left (t \ right) \) и ее производные используются при определении, является ли дифференциальное уравнение линейным.

Если дифференциальное уравнение нельзя записать в форме \ (\ eqref {eq: eq11} \), оно называется нелинейным дифференциальным уравнением .

В \ (\ eqref {eq: eq5} \) — \ (\ eqref {eq: eq7} \) только выше \ (\ eqref {eq: eq6} \) нелинейно, два других — линейные дифференциальные уравнения. . Мы не можем классифицировать \ (\ eqref {eq: eq3} \) и \ (\ eqref {eq: eq4} \), так как не знаем, какую форму имеет функция \ (F \). Они могут быть как линейными, так и нелинейными, в зависимости от \ (F \).

Решение

Решение дифференциального уравнения на интервале \ (\ alpha В этой форме ясно, что нам нужно избегать как минимум \ (x = 0 \), так как это даст деление на ноль.

Кроме того, есть общее практическое правило, с которым мы будем работать в этом классе. Это практическое правило: начинайте с реальных чисел, заканчивайте действительными числами. Другими словами, если наше дифференциальное уравнение содержит только действительные числа, нам не нужны решения, дающие комплексные числа. Итак, чтобы избежать комплексных чисел, нам также необходимо избегать отрицательных значений \ (x \).

Итак, в последнем примере мы видели, что даже если функция может символически удовлетворять дифференциальному уравнению, из-за определенных ограничений, вызванных решением, мы не можем использовать все значения независимой переменной и, следовательно, должны наложить ограничение на независимую переменную. . Так будет со многими решениями дифференциальных уравнений.

В последнем примере обратите внимание, что на самом деле существует гораздо больше возможных решений данного дифференциального уравнения.{- \ frac {1} {2}}} \ end {align *} \]

Мы оставим вам детали, чтобы убедиться, что это действительно решения. Можете ли вы предложить какие-либо другие решения дифференциального уравнения на этих примерах? На самом деле существует бесконечное число решений этого дифференциального уравнения.

Итак, учитывая, что существует бесконечное количество решений дифференциального уравнения в последнем примере (при условии, что вы все равно верите нам, когда мы это говорим…), мы можем задать естественный вопрос.Какое решение мы хотим или имеет значение, какое решение мы используем? Этот вопрос подводит нас к следующему определению в этом разделе.

Начальные условия

Начальные условия — это условие или набор условий для решения, которые позволят нам определить, какое решение мы ищем. Начальные условия (часто сокращенно обозначаемые как i.c., когда нам лень …) имеют вид

\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]

Другими словами, начальные условия — это значения решения и / или его производной (ей) в определенных точках. Как мы вскоре увидим, решения «достаточно хороших» дифференциальных уравнений уникальны и, следовательно, только одно решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Количество начальных условий, которые требуются для данного дифференциального уравнения, будет зависеть от порядка дифференциального уравнения, как мы увидим.2} y » + 12xy ‘+ 3y = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y \ left (4 \ right) = \ frac {1} {8}, \, \, \, \, y’ \ left (4 \ right) = — \ frac {3} {{64}} \]

Пример 4 Вот еще одна IVP.

\ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, y \ left (1 \ right) = — 4 \]

Как мы отметили ранее, количество требуемых начальных условий будет зависеть от порядка дифференциального уравнения.

Срок действия

Интервал действия для IVP с начальными условиями

\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]

— это максимально возможный интервал, на котором решение действительно и содержит \ ({t_0} \). Их легко определить, но бывает трудно найти, поэтому мы не будем больше говорить об этом, пока не перейдем к фактическому решению дифференциальных уравнений и не будем нуждаться в интервале достоверности.

Общее решение

Общее решение дифференциального уравнения является наиболее общей формой, которую может принимать решение, и не учитывает никаких начальных условий.2}}} \) — общее решение

\ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \]

Мы предоставим вам возможность проверить, действительно ли эта функция является решением данного дифференциального уравнения. Фактически, все решения этого дифференциального уравнения будут в таком виде. Это одно из первых дифференциальных уравнений, которое вы научитесь решать и вскоре сможете убедиться в этом сами.

Фактическое решение

Фактическое решение дифференциального уравнения — это конкретное решение, которое не только удовлетворяет дифференциальному уравнению, но также удовлетворяет заданным начальным условиям. 2}}} \]

Все, что нам нужно сделать, это определить значение \ (c \), которое даст нам решение, которое мы ищем.2}}} \]

Из этого последнего примера мы можем видеть, что как только у нас есть общее решение дифференциального уравнения, нахождение фактического решения является не чем иным, как применением начального условия (й) и решения для константы (й), которые находятся в общем решении.

Неявное / явное решение

В этом случае проще определить явное решение, затем рассказать вам, чем не является неявное решение, а затем дать вам пример, чтобы показать разницу.Итак, вот что мы будем делать.

Явное решение — это любое решение, заданное в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Другими словами, единственное место, где действительно появляется \ (y \), — это когда-то слева и только в первой степени. Неявное решение — это любое решение, не имеющее явной формы. Обратите внимание, что возможны как общие неявные / явные решения, так и фактические неявные / явные решения. 2} — 3 \) является фактическим неявным решением для \ (y ‘= \ frac {t} {y}, \, \, \, \, \, y \ влево (2 \ вправо) = — 1 \)

На этом этапе мы попросим вас поверить в то, что это на самом деле решение дифференциального уравнения.2} — 3} \]

В этом случае нам удалось найти явное решение дифференциального уравнения. Однако следует отметить, что не всегда можно будет найти явное решение.

Также обратите внимание, что в этом случае мы смогли получить только явное фактическое решение, потому что у нас было начальное условие, которое поможет нам определить, какая из двух функций будет правильным решением.

Теперь мы разобрались с большинством основных определений и теперь можем перейти к другим темам.

График функций WZGrapher

1.Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (или «DE») содержит
производных или дифференциалов . 2-3`

Как и раньше, интегрируем.3 / 3-3x + К`

Но откуда этот dy пошел из `(dy) / (dx)`? Почему оно как будто исчезло?

В этом примере мы, кажется, интегрируем только часть x (справа), но на самом деле мы интегрировали также и относительно y (слева). DE похожи на это — вам нужно интегрировать по одной (иногда и больше) разных переменных, по одной за раз.

Мы могли бы написать наш вопрос, только используя дифференциалы :

dy = ( x ² — 3) dx

(Все, что я сделал, это умножил обе стороны исходного dy / dx в вопросе на dx .3 / 3-3x + К`

В левой части мы интегрировали int dy = int 1 dy, чтобы получить y.

Примечание о константе: Мы интегрировали обе стороны, но есть константа интеграции только с правой стороны. 2 d \ theta = sin (t + 0.3} / 3 = -cos (t + 0,2) + K`

Мы проинтегрировали по θ слева и по t справа.

Вот график нашего решения, взяв K = 2:

Типичный график решения для примера 2 DE: `theta (t) = root (3) (- 3cos (t + 0.2) +6)`.

Решение дифференциального уравнения

Из приведенных выше примеров мы видим, что решение DE означает нахождение
уравнение без производных, удовлетворяющее заданной
DE.Решение дифференциального уравнения всегда включает одно или несколько
интеграции шагов.

Важно уметь идентифицировать тип
DE , с которым мы имеем дело, прежде чем пытаться
Найди решение.

Определения

Первый заказ DE: Содержит только первые производные

Второй порядок DE: Содержит вторые производные (и
возможно также первые производные)

Степень: наивысшая мощность из наивысшая
производная , встречающаяся в DE.7-5лет = 3`

Это DE
имеет порядок 2 (самая высокая производная
вторая производная ) и градусов 4 ( степень
старшей производной 4.)

Общие и частные решения

Когда мы впервые выполнили интеграцию, мы получили общий
решение (с постоянной, K ).

Мы получили частное решение заменой известных
значения для x и y .Эти известные условия
называется граничными условиями (или начальными
условия ).

Это та же концепция, что и при решении дифференциальных уравнений — сначала найдите общее решение, а затем замените заданные числа, чтобы найти частные решения.

Рассмотрим несколько примеров ДУ первого порядка и первой степени.

Пример 4

а. Найдите общее решение для дифференциала
уравнение

`dy + 7x dx =
0`

г.2 + К`

Ответ тот же — способ его написания и мышления немного отличается.

ПРИМЕЧАНИЕ 2: `int dy` означает` int1 dy`, что дает нам ответ `y`.

У нас также могло быть:

`intdt = t`

`intd theta = theta`

`int da = a`

и так далее. В этом разделе мы будем часто сталкиваться с такими интегралами.

(b) Теперь мы используем информацию y (0) = 3, чтобы найти K.2 + 3`.

Пример 5

Найдите частное решение

`y ‘= 5`

с учетом того, что когда `x = 0, y = 2`.

Ответ

Мы можем написать

г ‘ = 5

как дифференциальное уравнение:

dy = 5 dx

Объединение обеих сторон дает:

y = 5 x + K

Применяя граничные условия: x = 0, y = 2, получаем K = 2, поэтому:

y = 5 x + 2

Пример 6

Найдите частное решение

`у » = 0`

при том, что:

у (0) = 3, у (1) = 4, у (2) = 6`

Ответ

Поскольку y » ‘ = 0, когда мы интегрируем один раз, получаем:

y ‘ = A ( A — константа)

Повторное интегрирование дает:

y ‘ = Ax + B ( A, B — константы)

Еще раз:

`y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` ( A, B и C — константы)

Граничные условия:

y (0) = 3, y ‘ (1) = 4, y’ ‘ (2) = 6

Нам нужно подставить эти значения в наши выражения для y » и y ‘ и наше общее решение, `y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` .

Сейчас

y (0) = 3 дает C = 3.

и

y ‘ (2) = 6 дает A = 6

(Фактически, y » = 6 для любого значения x в этой задаче, поскольку нет члена x )

Наконец,

y ‘ (1) = 4 дает B = -2.

Итак, конкретное решение этого вопроса:

y = 3 x ² — 2 x + 3

Проверка решения путем дифференцирования и подстановки начальных условий:

y ‘= 6 x — 2

y ‘ (1) = 6 (1) — 2 = 4

y ‘= 6

у » = 0

Наше решение правильное.

Пример 7

После решения дифференциала
уравнение,

`(dy) / (dx) ln x-y / x = 0`

(мы увидим, как решить эту DE в следующих
раздел Разделение переменных), получаем результат

`y = c ln x`

Получили ли мы правильное общее решение?

Ответ

Теперь, если `y = c ln x`, то` (dy) / (dx) = c / x`

[См. Производную логарифмической функции, если вы не знаете этого.)

Так

`» LHS «= (dy) / (dx) ln x-y / x`

`= (c / x) ln x — ((c ln x)) / x`

`= 0`

`=» RHS «`

Делаем вывод, что у нас есть правильное решение.

DE второго порядка

Мы включили сюда еще два примера, чтобы дать вам представление о DE второго порядка. Позже в этой главе мы увидим, как решать такие линейные DE второго порядка.

Пример 8

Общее решение второго порядка DE

y » + a ² y = 0

это

`y = A cos ax + B sin ax`

Пример 9

Общее решение второго порядка DE

y » — 3 y ‘+ 2 y = 0

это

y = Ae ^{2 x} + Be ^x

Если у нас есть следующие граничные условия:

y (0) = 4, y ‘ (0) = 5

, то конкретное решение дает:

y = e ^{2 x} + 3 e ^x

Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием DE второго порядка, где нам дается окончательный ответ, и нам нужно проверить, является ли это правильным решением.