Содержание
Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны
в учебнике «Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966».
Скачать — 11Мб
1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)
Если дано уравнение:
A*X = B, где A — квадратная матрица, X,B — вектора;
причем B — известный вектор (т е столбец чисел), X — неизвестный вектор,
то решение X можно записать в виде:
X = A-1*B, где A-1 — обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы
(или матрица на вектор) — функцией МУМНОЖ().
Имеются «тонкости» использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить
обратную матрицу от матрицы А, нужно:
1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена обратная матрица. 2. Начать вписывать формулу =МОБР( 3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную для неё область
Чтобы умножить матрицу на вектор:
1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат умножения 2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ( 3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. С клавиатуры ввести разделитель ; (точка с запятой) 5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную для него область
Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel.
Пример СЛАУ 4-го порядка
Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.
2. Метод Гаусса
Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. А чтобы решить реальную СЛАУ, лучше применить в Excel метод обратной матрицы
или воспользоваться специальными программами, например, этой
Краткое описание.
- Решаю систему уравнений: A*X=B, где A — квадратная матрица n-го порядка,
X,B — вектора - К матрице A справа приписываю вектор B. Получаю расширенную матрицу A
- В дальнейшем A обозначает расширенную матрицу (n строк, n+1 столбец)
- Aij — обозначает элемент матрицы, находящийся на i-й строке и j-м столбце
- Делю 1-ю строку на A11, т е A’1j = A1j/A11 (j = 1..n+1). В результате A’11 = 1. A’ обозначает преобразованную строку
- Преобразую остальные строки по формуле: A’ij = Aij — A’1j*Ai1 (i = 2..n; j = 1..n+1)
- В результате 1-й столбец в строках 2..n заполнится нулями
- Отметим, что все эти преобразования не нарушают правильность уравнений
- Аналогичные действия проводим для обнуления 2-го столбца в строках 3..n, то есть:
- Делю 2-ю строку на A’22, т е A»2j = A’2j/A’22 (j = 2..n+1). В результате A»22 = 1. A» обозначает резельтат 2-го преобразования строки
- Преобразую остальные строки по формуле: A»ij = A’ij — A»2j*A’i2 (i = 3..n; j = 2..n+1)
- В результате 2-й столбец в строках 3..n заполнится нулями
- Аналогичные действия проводим далее
- В результате левые n столбцов матрицы A превращаютс в верхнюю треугольную
матрицу, т е ниже главной диагонали находятся только нули (а на главной диагонали — единицы) — см Рис 1. На этом рисунке вектор B — слева, S — номер шага - Затем выполняется «обратный ход», начиная с нижней строки, из которой можно вычислить Xn = Bn/Ann, например: Х4 = 9,55741/68,6388 = 0,13924 (рис. 1)
- Затем можно вычислить X3 = (0,9065 — 2,40919*0,13924) = 0,57059
- Затем из второй строки: X2 + 2,83562*X3 + 8,17808*X4 = 2,47945 вычисляю X2, и т д
3. Метод Якоби (метод простых итераций)
Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.
Далее номер в скобках означает номер строки.
Новую первую строку получаю сложением старой первой строки с другими строками, умноженными на специально подобранные коэффициенты. Записываю это в виде формулы:
(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4) (3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ". Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения таких систем уравнений. Конечно, это не дело. В результате получаю систему уравнений:
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:
X = B2 + A2*X Преобразую:
Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид :
А вектор В2:
Скачать
| A -1 = |
|
Другой алгоритм нахождения обратной матрицы
Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.
- Находим определитель данной квадратной матрицы A .
- Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .{-1}b}
. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Способы нахождения обратной матрицы
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Точные (прямые) методы
Метод Гаусса-Жордана
Возьмём две матрицы: саму A
и единичную E
. Приведём матрицу A
к единичной матрице методом Гаусса-Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам, но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1
.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц
Λ
i
{\displaystyle \Lambda _{i}}
(трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
Λ
1
⋅
⋯
⋅
Λ
n
⋅
A
=
Λ
A
=
E
⇒
Λ
=
A
−
1
{\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}}
.{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}
где
adj
(A)
{\displaystyle {\mbox{adj}}(A)}
— присоединенная матрица ;
Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O det и равна O(n²)·O det .
Использование LU/LUP-разложения
Матричное уравнение
A
X
=
I
n
{\displaystyle AX=I_{n}}
для обратной матрицы
X
{\displaystyle X}
можно рассматривать как совокупность
n
{\displaystyle n}
систем вида
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
. Обозначим
i
{\displaystyle i}
-ый столбец матрицы
X
{\displaystyle X}
через
X
i
{\displaystyle X_{i}}
; тогда
A
X
i
=
e
i
{\displaystyle AX_{i}=e_{i}}
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
,поскольку
i
{\displaystyle i}
-м столбцом матрицы
I
n
{\displaystyle I_{n}}
является единичный вектор
e
i
{\displaystyle e_{i}}
. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³) .{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A})}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что
a
d
−
b
c
=
det
A
≠
0
{\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}
.
Для того, чтобы найти обратную матрицу онлайн, вам потребуется указать размер самой матрицы. Для этого кликните на иконки «+» или «-» до тех пор, пока значение количества столбцов и строк вас не устроит. Далее введите в поля требуемые элементы. Ниже находится кнопка «Вычислить» — нажав её, вы получите на экране ответ с подробным решением.
В линейной алгебре довольно часто приходится сталкиваться с процессом вычисления обратной матрицы. Она существует только для невыраженных матриц и для квадратных матриц при условии отличного от нуля детерминанта. В принципе, рассчитать её не представляет особой сложности, особенно если вы имеете дело с небольшой матрицей. Но если нужны более сложные расчёты или тщательная перепроверка своего решения, лучше воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. С его помощью вы оперативно и с высокой точностью решите обратную матрицу.
С помощью данного онлайн калькулятора вы сможете значительно облегчить себе задачу в плане расчётов. Кроме того, он помогает закрепить материал, полученный в теории – это своеобразный тренажёр для мозга. Не стоит рассматривать его, как замену вычислениям вручную, он может дать вам гораздо больше, облегчив понимание самого алгоритма. К тому же, лишняя перепроверка себя никогда не помешает.
Как записать простейшее матричное уравнение
«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»
Д. Пойа (1887-1985 г.)
(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)
Обратные матрицы используются при решении матричных уравнений.
Простейшими матричными уравнениями называются соотношения вида: АХ=В и ХА=В, где А,В– известные матрицы, Х – неизвестная.
Если дано уравнение вида АХ=В, то решение выглядит так Х=А -1 В.
Если уравнение вида ХА=В, то Х=ВА -1 .
Непосредственной подстановкой легко установить, что найденное Х является решением соответствующего уравнения.
ПРИМЕРЫ: Решить матричные уравнения.
РЕШЕНИЕ:
Тогда нам дано уравнение вида ХА=В, следовательно Х=ВА -1 . Найдем A -1 .
Тогда нам дано уравнение вида АX=В, следовательно Х=А -1 B. Найдем A -1 .
Как вычислить определитель смотреть здесь.
Как умножать матрицы можно посмотреть здесь.
Как найти обратную матрицу можно посмотреть здесь.
Упражнения к уроку:
Решить матричные уравнения:
Автор: Аникина Анна
Комментарии к этой заметке:
Как можно решить логарифм матрицы простейшем способом?
все очень хорошо. Мог бы переслать Вам ,разработанный мной калькулятор для решения матричных уравнений, но не знаю как это исполнить.Хочется узнать Ваше мнение о нем
А как решить уравнение вроде ХА=В+2Х. Вот что делать с 2Х?
Доброго времени суток, Юлия! Необходимо представить 2Х=Х2Е (Е-единичная матрица соответствующего размера). А далее использовать свойства действий с матрицами.
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x – неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы – это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B – известные матрицы, X – неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому
.
Так как E – единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
; ;
Причем элементы матриц А и В заданы, а Х1, Х2, Х3 – неизвестные.
Тогда уравнение А × Х = В называется простейшим матричным уравнением.
Чтобы его решить, т.е. найти элементы матрицы неизвестных Х, поступим следующим образом:
1. Умножим обе части уравнения на матрицу А -1 , обратную для матрицы А, слева:
А -1 (А × Х) = А -1 × В
2. Используя свойство умножения матриц, запишем
(А -1 × А) Х = А -1 × В
3. Из определения обратной матрицы
(А -1 × А = Е) имеем Е × Х = А -1 × В.
4. Используя свойство единичной матрицы (Е × Х = Х), окончательно получим Х = А -1 × В
Замечание. Если матричное уравнение имеет вид Х × С = Д, то для нахождения неизвестной матрицы Х уравнение необходимо умножать на С -1 справа.
Пример. Решить матричное уравнение
Решение. Введем обозначения
А = ; В = ,
Их определения умножения матриц с учетом размерностей А и В матрица неизвестных Х будет иметь вид
Х =
С учетом введенных обозначений имеем
А × Х = В откуда Х = А -1 × В
Найдем А -1 по алгоритму построения обратной матрицы
Тогда для Х получим
Х = откуда х1 = 3, х2 = 2
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера (m x n)
Минором к-ого порядка матрицы А будем называть определитель порядка к, элементами которого являются элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых К строк и любых К столбцов. Очевидно, к £ min (m, n).
Определение. Рангом r(A) матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.
Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.
Определение. Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными.
Вычисление ранга матрицы
Определение. Матрица называется ступенчатой, если под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижележащих строках.
Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Таким образом, преобразуя матрицу к ступенчатому виду, несложно определить ее ранг. Эта операция осуществляется с помощью элементарных преобразований матрицы, которые не изменяют ее ранга:
– умножение всех элементов ряда матрицы на число l ¹ 0;
– замена строк столбцами и наоборот;
– перестановка местами параллельных рядов;
– вычеркивание нулевого ряда;
– прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.
Пример. Вычислить ранг матрицы
А =
Решение. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-3).
К четвертой строке прибавим третью.
А
Число ненулевых строк в полученной эквивалентной матрице равно трем, следовательно r(А) = 3.
Системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Методы их решения
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.
а11х1 + а12х2 + … + а1nxn = b1
Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х1, х2, …, хn), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).
A =
Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.
В =
Матричный метод
Х = – матрица неизвестных;
С = – матрица свободных членов системы (1).
Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения
Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А -1 × С, где А -1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).
Метод Крамера
Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:
где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dхi получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т.е.
D = ;
Dх1 = ;
Dх2 = ; … ;
Dхn = ;
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера
2х1 + 3х2 + 4х3 = 15
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы
D = det A = = 44 ¹ 0
Вычислим вспомогательные определители
Dх1 = = 0;
Dх2 = = 44;
Dх3 = = 132.
По формулам Крамера найдем неизвестные
; ; .
Метод Гаусса
Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. в приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы и она приобретает также треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.
Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса
3х1 + 2х2 + х3 = 17
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем, содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.
В =
Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях
Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:
После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако чтобы упростить вычисления можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:
Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:
Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной
х1 + 4х2 – 3х3 = 9
Из последнего уравнения находим Найденное значение х3 = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х2 = 2х3 = 2 × 1 = 2.
После подстановки х3 = 1 и х2 = 2 в первое уравнение для х1 получим х1 = 9 – 4х2 + 3х3 = 9 – 4 × 2 + 3 × 1 = 4.
Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.
3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно
Система линейных уравнений и обращения матриц
Система линейных уравнений и обращения матриц
Этот обучающий объект JavaScript E-labs предназначен для нахождения решения систем линейных уравнений, содержащих до трех уравнений с тремя неизвестными. Это также позволяет нам найти обратную матрицу.
Другие объекты обучения JavaScript для принятия решений в этой серии разделены на категории по различным областям приложений в разделе MENU на этой странице.
При вводе данных для перехода от ячейки к ячейке в матрице данных используйте клавишу Tab , а не клавиши со стрелками или клавиши ввода.
Инструкции и приложения:
- Неизвестные имена переменных — X1, X2, X3, .. и X10, в зависимости от того, есть ли у вас одно уравнение, два уравнения или три уравнения с одной неизвестной, двумя неизвестными или тремя неизвестными переменными, соответственно.
- Начиная с левого верхнего угла, при необходимости замените столько нулей в матрице данных на коэффициенты неизвестных переменных в уравнениях вместе с их значениями в правой части.Матрица коэффициентов должна быть квадратной матрицей, которая появляется в верхнем левом углу матрицы данных, поэтому не оставляйте пустых строк между ними.
- JavaScript основан на строковых операциях Гаусса-Джордана (GJ). Требование для операций GJ состоит в том, что первый элемент в матрице коэффициентов должен быть ненулевым. Поэтому сначала введите коэффициенты всех уравнений с ненулевым коэффициентом X1; затем введите все остальные уравнения. То есть любое уравнение с нулевыми коэффициентами для X1 должно появиться в конце таблицы ввода данных.
Численный пример 1: Рассмотрим следующую систему уравнений:
Х2 + Х3 = 5
3X1 + X3 = 6
-X1 + X2 = 1Матрица коэффициентов переменных:
0 1 1
3 0 1
-1 1 0Первая запись первого столбца равна нулю, хотя в ней всегда есть хотя бы один ненулевой элемент. Следовательно, мы должны перестроить систему уравнений таким образом, чтобы любое уравнение с нулевым коэффициентом X1 появилось среди последней системы уравнений.То есть, рассматривая эквивалентную систему уравнений:
3X1 + X3 = 6
-X1 + X2 = 1
Х2 + Х3 = 5Решите эту эквивалентную систему уравнений, введя ее коэффициент и значения RHS в таблицу ввода данных, затем нажмите кнопку «Рассчитать». На выходе получается решение: X1 = 1, X2 = 2 и X3 = 3, которое можно проверить с помощью подстановок.
- Нахождение обратной матрицы с помощью решателя системы уравнений: Чтобы найти обратную квадратную матрицу размера n, решите n систем уравнений с единичным вектором в качестве правой части.Следующий числовой пример иллюстрирует процесс:
Числовой пример 2: Предположим, мы хотим найти обратную (A -1 ) следующую матрицу (если она существует) A:
В общем, чтобы найти A -1 , столбец за столбцом, решите n систем уравнений, имеющих матрицу коэффициентов A, но с n различными единичными векторами в качестве их значения RHS.
Для этого числового примера мы должны решить следующие две системы уравнений:
2X1 + X1 = 1
Х1 — Х2 = 0а также
2X1 + X1 = 0
Х1 — Х2 = 1Обратите внимание, что коэффициенты переменных X1 и X2 представляют собой матрицу A в обеих системах уравнений, однако RHS — это два единичных вектора в n = 2-мерном пространстве.
Решения, соответствующие приведенной выше инструкции, первой и второй систем уравнений дают первый и второй столбцы матрицы A -1 .
Чтобы найти первый столбец A -1 , решите:
2X1 + X1 = 1
Х1 — Х2 = 0Это дает X1 = 1/3, X2 = 1/3. Чтобы найти второй столбец A -1 , решите:
2X1 + X1 = 0
Х1 — Х2 = 1Это дает X1 = 1/3, X2 = -2/3.Следовательно, A -1 p равно
1/3 1/3 А -1 = 1/3 -2/3 - Примечание: Матрица, имеющая обратную, называется невырожденной или обратимой. Матрица называется сингулярной, если у нее нет обратной.Например, следующая матрица является сингулярной:
1 6 4
2 4 -1
-1 2 5Следовательно, при применении описанной выше процедуры обращения матрицы, если матрица является сингулярной, то по крайней мере одна из систем уравнений не имеет решения.
- Для редактирования ваших данных, включая добавление / изменение / удаление, вам не нужно нажимать кнопку «очистить» и заново вводить данные заново.Вы можете просто добавить, изменить число на другое в той же ячейке или удалить число из ячейки, установив его значение на ноль. После редактирования нажмите кнопку «рассчитать».
Это полезно, например, в найти инверсию матрицы A 10×10 , где нам нужно изменить только значения RHS.
Для расширенного редактирования или использования JavaScript для нового набора данных используйте кнопку «Очистить».
Для технических подробностей, вернитесь к:
Темы линейной алгебрыПожалуйста, отправьте свои комментарии по адресу:
Профессор Хоссейн Аршам
МЕНЮ
Заявление об авторских правах: добросовестное использование материалов, представленных на этом веб-сайте, в соответствии с Принципами добросовестного использования образовательных мультимедиа от 1996 года, разрешено только в некоммерческих и учебных целях.
Этот сайт может быть переведен и / или отражен без изменений (включая эти уведомления) на любом сервере с открытым доступом. Все файлы доступны по адресу http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat для зеркалирования.Пожалуйста, пришлите мне по электронной почте свои комментарии, предложения и проблемы. Спасибо.
Вернуться к:
Домашняя страница доктора Аршама
EOF: 1994-2015.
Метод исключения Гаусса Вопросы и ответы
Этот набор вопросов и ответов с множественным выбором (MCQ) для численного анализа посвящен «методу исключения Гаусса — 1».
1. Решите следующие уравнения методом исключения Гаусса.
х + 4у-г = -5 х + у-6z = -12 3x-y-z = 4
a) x = 1.64791, y = 1.14085, z = 2.08451
b) x = 1.65791, y = 1.14185, z = 2.08441
c) x = 1.64691, y = 1.14095, z = 2.08461
d) x = 1.64491, y = 1.15085, z = 2.09451
Просмотреть ответ
Ответ: a
Пояснение: Методом исключения Гаусса получаем
\ (\ begin {bmatrix}
1 и 4 и -1 \
1 и 1 и -6 \
3 & -1 & -1 \
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
х \
у \
z \
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
-5 \
-12 \
4 \
\ end {bmatrix} \)
По R 2 -R 1 и R 3 -3R 1
\ (\ begin {bmatrix}
1 & 4 & -1 \\
0 & -3 & -5 \\
0 & -13 & 2 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
-5 \\
-7 \\
19 \\
\ end {bmatrix} \)
R 3 — (- 13 / -3) * R 2
\ (\ begin {bmatrix}
1.0000 & 4.0000 & -1.0000 \\
0 & -3.0000 & -5.0000 \\
0 & 0 & 23.6667 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
-5 \\
-7 \\
49.33333 \\
\ end {bmatrix} \)
x + 4y-z = -5
-3y-5z = -7
23,6667z = 49,3333
Следовательно, z = 2,08451
-3y = -7 + 5z
Следовательно, y = -1,14085
x = -4y + z -5
Следовательно, x = 1,64791.
2. Найдите значения x, y, z в следующей системе уравнений методом исключения Гаусса.
2x + y - 3z = -10 -2y + z = -2 г = 6
a) 2, 4, 6
b) 2, 7, 6
c) 3, 4, 6
d) 2, 4, 5
Посмотреть ответ
Ответ: a
Объяснение: Методом исключения Гаусса получаем
\ (\ begin {bmatrix}
2 & 1 & -3 \\
0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
-10 \\
-2 \\
6 \\
\ end {bmatrix} \)
z = 6.
-2y + z = -2
Отсюда y = 4.
2x + y — 3z = -10
Отсюда z = 6.
3. Решите данную систему уравнений методом исключения Гаусса.
3х + 4у - г = -6 -2y + 10z = -8 4y - 2z = -2
а) (-2, -1, -1)
б) (-1, -2, -1)
в) (-1, -1, -2)
г) (-1, -1, — 1)
Просмотреть ответ
Ответ: d
Объяснение: Здесь
\ (\ begin {bmatrix}
3 & 4 & -1 \\
0 & -2 & 10 \\
0 & 4 & -2 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
-6 \\
— 8 \\
-2 \\
\ end {bmatrix} \)
Матрица почти представляет собой треугольную матрицу.Умножив строку 2 на 2 и добавив ее к строке 3, мы получим верхнюю треугольную матрицу с
x, y, z = (-1, -1, -1).
4. Следующая система уравнений имеет:
х - у - г = 4 2x - 2y - 2z = 8 5x - 5y - 5z = 20
a) Уникальное решение
b) Нет решения
c) Бесконечно много решений
d) Конечные решения
Посмотреть ответ
Ответ: c
Объяснение: Умножение строки 1 на -2, затем добавление строки 1 и строки 2 к 1-й строке матрица уменьшается 0.
\ (\ begin {bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
2 & -2 & -2 \\
5 & -5 & -5 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix }
x \\
y \\
z \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
0 \\
8 \\
20 \\
\ end {bmatrix} \)
Следовательно, существует бесконечно много решений.
5. Решите эту систему уравнений и прокомментируйте природу решения, используя метод исключения Гаусса.
х + у + г = 0 -x - y + 3z = 3 -x - y - z = 2
a) Уникальное решение
b) Нет решения
c) Бесконечно много решений
d) Конечные решения
Посмотреть ответ
Ответ: b
Пояснение: Методом исключения Гаусса мы складываем строку 1 и строку 3, чтобы получить следующую матрицу
\ (\ begin {bmatrix}
1 и 1 и 1 \
-1 и -1 и 3 \
0 & 0 & 0 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
х \
у \
z \
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
0 \
3 \
2 \
\ end {bmatrix} \)
Следовательно, матрица не имеет решения при 0 ≠ 2.
6. Целью шагов исключения в методе исключения Гаусса является уменьшение матрицы коэффициентов до ____________
a) диагональ
b) идентичность
c) нижний треугольник
d) верхний треугольник
Посмотреть ответ
Ответ: d
Пояснение: In Метод исключения Гаусса мы стремимся свести данную матрицу к верхнетреугольной матрице для решения относительно x, y, z.
7. Деление на ноль во время исключения по Гауссу системы уравнений [A] * [X] = [C] означает, что матрица коэффициентов [A] равна ____________
a) Обратимая
b) Неособая
c) Не определяется до быть единичным или неособым
d) Единственное число
Посмотреть ответ
Ответ: c
Объяснение: Деление на ноль в методе исключения Гаусса не связано с тем, является ли матрица сингулярной или нет.
8. В каком из следующих утверждений обе части уравнения умножаются на ненулевую константу?
a) Метод исключения Гаусса
b) Процедура исключения Гаусса
c) Процедура согласования Гаусса
d) Процедура замены по Гауссу
Просмотр ответа
Ответ: a
Объяснение: Метод исключения Гаусса использует обе части уравнения, которые умножаются на несоответствие. нулевая константа. Затем матрица сокращается до верхней треугольной матрицы для получения значений соответствующих переменных.
9. В методе исключения Гаусса исходные уравнения преобразуются с использованием _____________
a) Операции со столбцами
b) Операции со строками
c) Математические операции
d) Операции с подмножествами
Просмотр ответа
Ответ: b
Объяснение: Используются операции со строками в методе исключения Гаусса, чтобы свести матрицу к верхнетреугольной матрице и, таким образом, решить для x, y, z.
10. Следующая информация относится к скорости и времени движения транспортного средства. Он управляет квадратным уравнением v (t) = at 2 + bt + c.Следовательно, найдите матрицу, которая наиболее точно представляет уравнение.
| т | с | 0 | 14 | 15 | 20 | 30 | 35 |
| В | м / с | 0 | 227,04 | 362,78 | 517,35 | 602,97 | 901,67 |
a) \ (\ begin {bmatrix}
176 & 14 & 1 \\
225 & 15 & 1 \\
400 & 20 & 1 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix }
a \\
b \\
c \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
227.04 \\
362,78 \\
517,35 \\
\ end {bmatrix} \)
b) \ (\ begin {bmatrix}
225 & 15 & 1 \\
400 & 20 & 1 \\
900 & 30 & 1 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
a \\
b \\
c \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
362,78 \\
517,35 \\
602,97 \\
\ end {bmatrix} \)
c) \ (\ begin {bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
225 & 15 & 1 \\
400 & 20 & 1 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
a \\
b \\
c \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
0 \\
362.78 \\
517.35 \\
\ end {bmatrix} \)
d) \ (\ begin {bmatrix}
400 & 20 & 1 \\
900 & 30 & 1 \\
1225 & 35 & 1 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
a \\
b \\
c \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
517,35 \\
602,97 \\
901,67 \\
\ end {bmatrix} \)
Просмотреть ответ
Ответ: b
Пояснение: Ближайшие к t = 21 секунде точки составляют 15, 20, 30
В (t 0 ) = 362,78 м / с = a (15) 2 + b (15) + c
В (t 1 ) = 517.35 м / с = a (20) 2 + b (20) + c
V (t 2 ) = 602,97 м / с = a (30) 2 + b (30) + c
Следовательно,
225a + 15b + c = 362,78
400a + 20b + c = 517,35
900a + 30b + c = 602,97
Что приводит нас к \ (\ begin {bmatrix}
225 & 15 & 1 \\
400 & 20 & 1 \\
900 & 30 & 1 \\
\ end {bmatrix} \) \ (\ begin {bmatrix}
a \\
b \\
c \\
\ end {bmatrix} \) = \ (\ begin {bmatrix}
362,78 \\
517,35 \\
602,97 \\
\ end {bmatrix} \).
11. Процесс исключения в методе исключения Гаусса также известен как _____________
a) Прямое исключение
б) Обратное исключение
в) Боковое исключение
г) Перекрестное исключение
Просмотреть ответ
Ответ:
Объяснение: Процесс исключения Метод исключения Гаусса также известен как прямое исключение. В этом методе матрица сводится к верхнетреугольной матрице.
12. Сокращенная форма Матрицы в методе исключения Гаусса также называется ____________
a) Форма эшелона столбца
b) Форма эшелона столбца
c) Форма эшелона столбца
d) Форма эшелона строки
Просмотреть ответ
Ответ: d
Пояснение: Уменьшенная форма Матрицы в методе исключения Гаусса называется формой эшелона строк.Так сказано, потому что в методе исключения Гаусса рассматриваются только операции со строками.
Серия Sanfoundry Global Education & Learning — Численные методы.
Чтобы попрактиковаться во всех областях численных методов, представляет собой полный набор из 1000+ вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .
Примите участие в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатную Почетную грамоту. Присоединяйтесь к нашим социальным сетям ниже и будьте в курсе последних конкурсов, видео, стажировок и вакансий!
Страница не найдена | MIT
Перейти к содержанию ↓
- Образование
- Исследовать
- Инновации
- Прием + помощь
- Студенческая жизнь
- Новости
- Выпускников
- О MIT
- Подробнее ↓
- Прием + помощь
- Студенческая жизнь
- Новости
- Выпускников
- О MIT
Меню ↓
Поиск
Меню
Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще!
Что вы ищете?
Увидеть больше результатов
Предложения или отзывы?
Найдите обратную матрицу с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
В этом разделе мультипликативные элементы идентичности и мультипликативные инверсии
вводятся и используются для решения матричных уравнений.Это приводит к другому
метод решения систем уравнений.
МАТРИЦЫ ИДЕНТИЧНОСТИ Свойство идентичности для вещественных чисел говорит, что
a * I = a и I * a = a для любого действительного числа a. Если будет
мультипликативный
единичная матрица I, такая что:
AI = A и IA = A,
для любой матрицы A, тогда A и I должны быть квадратными матрицами одинакового размера.
В противном случае было бы невозможно найти оба продукта. Например, пусть A будет
матрица 2 X 2 и пусть
представляют собой единичную матрицу 2 X 2.Чтобы найти I, используйте тот факт, что IA = A, или
Умножая две матрицы в левой части этого уравнения и задавая
элементы матрицы продукта, равные соответствующим элементам A, дает
следующая система уравнений с переменными x11, x12, x21 и x22
Обратите внимание, что на самом деле это две системы уравнений с двумя переменными. Используйте один из
методы предыдущей главы, чтобы найти решение этой системы: x11 =
1, x12 = x21 = 0 и X22 = 1.Из решения системы, 2 X 2
единичная матрица
Убедитесь, что с этим определением I как Al = A, так и IA = A.
Пример 1 ПРОВЕРКА ИДЕНТИЧНОСТИ СОБСТВЕННОСТИ
Пусть
Убедитесь, что MI = M и IM = M
Найденная выше единичная матрица 2 X 2 предлагает следующее обобщение:
n x n МАТРИЦА ИДЕНТИФИКАЦИИ
Для любого значения n существует единичная матрица n X n, имеющая единицы
по диагонали и 0 в другом месте.Дана единичная матрица n x n
по l где:
Здесь aij = 1 при i = j (диагональные элементы) и aaj = 0
иначе.
Пример 2 — ЗАЯВЛЕНИЕ И ПРОВЕРКА МАТРИЦЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 3 X 3
Пусть K =
Учитывая единичную матрицу 3 x 3 I и покажите, что KI = K.
Идентификационная матрица 3 x 3 равна
По определению умножения матриц,
МНОЖЕСТВЕННЫЕ ИНВЕРСЫ Для каждого ненулевого действительного числа a,
существует мультипликативный обратный l / a такой, что
Напомним, что l / a также можно записать как ^ (- 1).(-1). Этот
матрица должна удовлетворять утверждениям
Мультипликативная обратная матрица может быть найдена с помощью
преобразования строк матрицы, приведенные в предыдущем руководстве и повторенные здесь для
удобство.
МАТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДА
Преобразования строк матрицы:
меняет местами любые две строки матрицы;
умножение элементов любой строки матрицы на то же
ненулевой скаляр k; идобавление нескольких элементов одной строки к элементам
другого ряда.(-1) = 1 илиПутем умножения матриц,
Уравнивание соответствующих элементов дает систему уравнений
Поскольку уравнения (1) и (3) включают только x и z, а уравнения (2) и (4)
включают только y и w, эти четыре уравнения приводят к двум системам уравнений:2x + 4z = 1
x-z = 0и
2y + 4w = 0
y-w = 1.Запись двух систем в виде расширенных матриц дает
Каждая из этих систем может быть решена методом Гаусса-Жордана.Однако, поскольку
элементы слева от вертикальной полосы идентичны, две системы могут
можно объединить в одну расширенную матрицуи решить одновременно следующим образом. Поменяйте местами две строки, чтобы получить 1 в
левый верхний угол.Умножьте первую строку на -2 и добавьте результаты ко второй строке, чтобы получить
Теперь, чтобы получить I во второй строке, позиции второго столбца, умножьте второй
ряд на 1/6.Наконец, добавьте вторую строку к первой строке, чтобы получить 0 во втором столбце.
выше 1.(-1) — это просто обозначение обратной матрицы A.404 не найдено
404 не найдено
Запрошенный URL /~math28/summersessionii/lab2/lab2.shtml не найден на этом сервере.
Наиболее частые причины этой ошибки:
- Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
- Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.
Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.
Информацию о веб-сайтах класса можно найти в списке веб-сайтов класса по адресу
http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу
http://www.math.ucsd.edu/.Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу
[email protected].Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:
- Точный URL-адрес, который вы пытаетесь получить, указан в вашем веб-браузере:
REQUEST_URI = http: // www.math.ucsd.edu/~math28/summersessionii/lab2/lab2.