Решение онлайн методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения

Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.

Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:

Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.

Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.

В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).

Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.

Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).

Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных

1 2 -3 5 1
1 3 -13 22 -1
3 5 1 -2 5
2 3 4 -7 4

СЛАУ в матричном виде

Количество решений

Коэффициенты решения

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Откуда обратным ходом находим единственное решение:

Система совместна и определена.

2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

В результате приходим к системе:

Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:

поэтому их можно отбросить.

Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.

При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения

Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.

3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:

не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.

4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим

Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.

5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система имеет вид:

Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:

которые можно отбросить.

Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений,
сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю,
то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может.
Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений,
имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Найти значения и возможно только при условии, если

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют
какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите
ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак,
определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных
не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна
и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть
не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих
переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное.
На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов.
То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества
экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко
ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений,
переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут.
За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены
элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2,
из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных
определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители
при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки
были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых
систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что
система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн
больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

Записываем расширенную матрицу.
Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите «очень подробное решение» и посмотрите его решение онлайн.

метод Гаусса–Жордана — один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
Приводим матрицу к «треугольному» виду;
Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса.
Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля — переходим к следующему шагу;
Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов. =a j k -K j *a i k ;
После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n — размерность матрицы A
В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

4. Метод Жордана — Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона)
Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики…

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n — ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с…

Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной…

… «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных…

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого
Jordan как Жордан)
сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса
в том числе…

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ
приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо
рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо
рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя
.

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса
и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
.

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение
: это первое задание урока Метод Гаусса для чайников
, где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода
в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ
:

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение
: первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное
чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа
, и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа
. В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ
: общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса
обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением
.

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные
. Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание

: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса
здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых
строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений
, причём там выбран другой базис
.

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы
для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности)
справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ
:

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5

Решение
: присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса
:

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет)
. Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1)
. Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали

(44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ
:

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице
.

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных
.

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел)
, я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение
: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:

(1) Первую и вторую строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.

(3) Третью строку разделили на 3.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 7.

(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.

(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.

(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.

(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2

(10) К первой строке прибавили вторую строку.

(11) Вторую строку разделили на 2.

Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ

: общее решение:

Пример 6: Решение
: обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:

(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.

(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.

(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.

(5) К третьей строке прибавили вторую строку.

(6) Вторую строку разделили на 7.

(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.

(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.

(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

(10) Вторую строку разделили на 2.

(11) Каждую строку разделили на 27.

В результате:
Ответ

:

Пример 7: Решение
: найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:

(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.

(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.

(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:

(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.

(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.

(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.

Ответ

:

Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

В качестве опорной выбираем последнюю строку.

Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем строку выше.

Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную
x

1
из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на
-33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма
(во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.

Решение СЛАУ методом Гаусса — презентация онлайн

1. Решение СЛАУ методом Гаусса Тема урока

2. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

Имя Гаусса известно почти во всех областях
математики, а также в геодезии, астрономии,
механике. За глубину и оригинальность мысли, за
требовательность к себе и гениальность ученый и
получил звание «король математиков».
Метод решения системных уравнений, открытый
ученым, был назван методом Гаусса. Метод
состоит в последовательном исключении
переменных до приведения уравнения к
ступенчатому виду. Решение методом Гаусса
считается классическим и активно используется и
сейчас.
Память о Гауссе навсегда осталась в
математических и физических терминах (метод
Гаусса, дискриминанты Гаусса, прямая Гаусса,
Гаусс – единица измерения магнитной индукции
и др.). Имя Гаусса носит лунный кратер, вулкан в
Антарктиде и малая планета.

3. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Это метод последовательного исключения переменных,
когда с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе
ступенчатого (или треугольного) вида, из которого
последовательно, начиная с последних (по номеру)
переменных, находятся все остальные переменные.

4. Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

Запишем расширенную матрицу системы, составленную из
коэффициентов системы и свободных слагаемых.

5. С помощью элементарных преобразований сведем расширенную матрицу к подобной матрице ступенчатого вида:

6. Получаем систему линейных уравнений, эквивалентную исходной системе уравнений.

Ответ:

7. Ощутим свежее дыхание моря…

9. Самостоятельная работа

1 вариант
Решить СЛАУ
методом Гаусса:
2 вариант
Решить СЛАУ
методом Гаусса:

10. Домашнее задание

Решить СЛАУ:

11. Итоги урока

̶ анализ ответов;
̶ оценка результатов работы.

★ Метод Гаусса — Зейделя решения системы линейных уравнений —

Пользователи также искали:

метод гаусса — — зейделя онлайн,

метод гаусса — зейделя python,

метод зейделя алгоритм,

метод зейделя — c#,

метод зейделя маткад,

метод зейделя условие сходимости,

решение систем линейных уравнений методом итераций онлайн,

Зейделя,

методом,

зейделя,

Метод,

метод,

Гаусса,

гаусса,

системы,

линейных,

онлайн,

метод зейделя маткад,

метод зейделя c,

метод зейделя алгоритм,

маткад,

решение,

систем,

уравнений,

итераций,

алгоритм,

python,

условие,

сходимости,

решения,

метод зейделя — c,

решение систем линейных уравнений методом итераций онлайн,

метод зейделя условие сходимости,

Метод Гаусса — Зейделя решения системы линейных уравнений,

метод гаусса — зейделя python,

метод гаусса — — зейделя онлайн,

метод гаусса — зейделя решения системы линейных уравнений,

Система комплексных линейных уравнений

Вы ввели следующую систему уравнений

Решение системы следующее

Решение системы линейных уравнений

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Практическое применение:

Ну, раз бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа.

Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.

Синтаксис

Для пользователей XMPP клиентов: linur_i <список элементов системы>

список элементов системы — является список значений перечисленных в одну или несколько строк разделенными пробелами между собой

linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30

Примеры

linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30

Корни системы линейных уравнений равны следующим значениям.

Переменные считаются слева направо

1.4389598942265:-1.941383869546

-0.3591890700749:2.2763331864257

то есть x1=1.4389598942265 — 1.941383869546 i

x2=-0.3591890700749+2.2763331864257 i

Рассчитаем комплексную систему линейных уравнений

такого вида

Записываем все элементы в поле ввода. Как видите, данные могут быть не только числовые но и быть произвольным выражением, включающее в себя комплексные числа.

И получаем следующий результат.

Вы ввели следующую систему уравнений

Решение системы следующее

Успехов в расчетах !

Скалярное произведение двух матриц >>

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений | Математика

Пусть задана система из линейных уравнений с неизвестными:

(1.27)

Допустим, что в системе коэффициент при в первом уравнении Разделив обе части этого уравнения на , получим равносильную данной систему:

(1.28)

где

Получить решение

Исключим с помощью первого уравнения системы (1.28) неизвестное из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на и в том же порядке вычтем полученное из второго, третьего и последующих уравнений системы (1.28). В результате получим равносильную систему вида

(1.29)

где

Допустим, что коэффициент при во втором уравнении системы (1.29) отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом.

Исключим неизвестное с помощью второго уравнения из всех последующих уравнений. Для этого разделам второе уравнение на . Затем умножим последовательно полученное второе уравнение на и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех оставшихся уравнений.

В итоге получим очередную систему уравнений:

где

Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида , где . Во втором случае получим либо систему треугольной формы

(1.30)

либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы

(1.31)

В случае треугольной системы из последнего уравнения (1.30) следует, что Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (1.30), найдем неизвестное . Подставляя значения и в предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного и т.д.

Таким образам, если данная система (1.27) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна).

В случае системы ступенчатой формы (1.31), перенося все слагаемые, содержащие неизвестные в правую часть уравнений, получим систему вида

(1.32)

Из (1.32) следует, что значения неизвестных выражаются через значения неизвестных . Так как последним неизвестным, называемым свободными неизвестными, можно придавать любые произвольные значения, то система (1.32), а вместе с ней и данная система (1.27), имеет бесконечное множество решений.

Итак, если данная система приводится к трапециевидной форме, то она имеет бесконечное множество решений (т.е. система совместна и неопределенна). Найденные решения, записанные в форме

где любые числа, называются общими решениями системы. Решения, полученные из общих решений при конкретных значениях свободных неизвестных , называются частными решениями.

Заключение

Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей составленной из коэффициентов системы (1.27) и ее свободных членов.

Матрица В называется расширенной матрицей системы. Она позволяет заменить элементарные преобразования системы уравнений на соответствующие элементарные преобразования над своими строками, что существенно сокращает процесс поиска решении.

Примеры решения методом Гаусса

ПРИМЕР 1.1.15

Решить систему уравнений методом Гаусса.

Построим расширенную матрицу системы

Исключая с помощью первой строки неизвестное из всех оставшихся строк матрицы , получим

где символ есть символ элементарного преобразования матрицы.

Исключая с помощью второй строки неизвестное из всех последующих строк матрицы , получим

Исключая с помощью третьей строки неизвестное из четвертой строки, получим:

Матрица имеет треугольную форму. Следовательно, заданная система эквивалентна системе

Последовательно вычисляя из последнего уравнения, далее из третьего, из второго и из первого уравнения этой системы найдем, что =2, =1, =0, =1. Итак, заданная система имеет единственное решение =1, =0, =1, =2.

ПРИМЕР 1.1.16

Решить систему уравнений

Построим расширенную матрицу системы

Таким образом, заданная система эквивалентна системе,

которая имеет ступенчатый вид, и, следовательно, имеет бесконечное множество решений. Выразим переменные через :

;

Итак, общим решением данной системы будет

любое число.

Полагая, в частности, найдем, что . Тогда , будет одним из частных решений системы.

(Уменьшенный) Калькулятор формы эшелона строк

Добро пожаловать в калькулятор формы сокращенного эшелона (или для краткости калькулятор rref ), где мы решим систему уравнений по вашему выбору, используя сокращение строки матрицы и элементарную строку операции. Кроме того, мы даем вам возможность выбрать, хотите ли вы использовать сокращенную версию или нет. В зависимости от вашего выбора наш инструмент можно рассматривать как калькулятор исключения Гаусса-Иордана (с первым вариантом) или калькулятор исключения Гаусса .Более того, если в вашей системе бесконечное количество решений, наш калькулятор rref даже подскажет, как они выглядят!

Что такое система уравнений?

Помните все те математические сценарии, которые пытаются имитировать реальную жизнь? Как маленькая девочка спрашивает, сколько ей лет, если через десять лет ее мама будет вдвое старше, чем тогда? Знаете, только ваши повседневных разговоров и повседневные проблемы . Что ж, уравнения — это то, что мы используем для их решения.

Всякий раз, когда у нас есть какое-то значение, которое мы не знаем (например, возраст маленькой девочки), но мы знаем, что оно должно удовлетворять определенному свойству (например, быть вдвое большим, чем какое-либо другое число), мы описываем эту связь, используя уравнения .Мы обозначаем неизвестное нам значение символом, который мы называем переменной . Затем мы записываем то, что нам известно об этом, с помощью математических символов и операций, таких как сложение, вычитание, умножение или деление. Полученное выражение называется уравнением .

Если у нас есть несколько уравнений и мы хотим, чтобы все они удовлетворялись одним и тем же числом, то мы имеем дело с системой уравнений . Обычно они имеют в общей сложности более одной переменной, и наиболее распространенные математические задачи включают в себя то же количество уравнений, что и переменных.Например, предположим, что мать нашей маленькой девочки сообщает нам, что она в три раза старше своей дочери . Теперь мы знаем, откуда взялось это остроумие … В любом случае, мы можем преобразовать это новое заявление мамы в уравнение. Вместе с предыдущим они образуют систему двух уравнений с двумя переменными: возрастом девочки и возрастом матери.

Операции элементарных строк

Давайте попробуем увидеть , как наш калькулятор сокращенной формы эшелона строк видит систему уравнений .Возьмем этот пикантный пример:

Не волнуйтесь, в детский сад мы не вернулись (хотя и не прочь вздремнуть), мы все еще работаем с системами уравнений. Картинка выше может не выглядеть так, но на самом деле — это всего лишь . Мы настолько привыкли видеть такие переменные, как x или y , что склонны забывать, что это просто символ неизвестного нам значения. И здесь у нас есть сочный лимон, хрустящее яблоко и сладкий банан, и все они представляют собой числа, которых мы еще не знаем.Для простоты обозначения обозначим их соответственно x , y и z . Таким образом, мы можем написать эквивалентную систему уравнений :

х + у + г = 32 ,

y + y - x = 25 и

z + z - y = 16 .

Теперь, когда мы смотрим на это, средняя школа убила часть нашего воображения, не так ли? Тем не менее, теперь мы можем легко упростить систему , добавив вместе одинаковые символы в последовательные уравнения и записав переменные, которые появляются в них в алфавитном порядке .Например, во втором уравнении, y + y - x = 25 , мы можем сложить y вместе, чтобы получить 2y - x = 25 (поскольку у нас было две копии y ). Затем мы переворачиваем переменную x в начало, чтобы создать алфавитный порядок (не забудьте, что для введите число рядом с ним ) и получаем -x + 2y = 25 . Всего получаем

х + у + г = 32 ,

-x + 2y = 25 и

-y + 2z = 16 .

Калькулятор rref использует исключение Гаусса-Жордана и исключение Гаусса , и оба используют так называемое сокращение строки матрицы . Это, в свою очередь, зависит от операций с элементарной строкой , а именно:

Вы можете поменять местами любые два уравнения.
Вы можете умножить любое уравнение на ненулевое постоянное число.
Вы можете добавить ненулевое кратное любому уравнению к другому уравнению.

Под « вы можете » мы подразумеваем то, что система, которую вы получите с помощью этих операций, будет на эквивалентна той, с которой вы начали.Это означает, что у двух будет точно таких же решений .

Например, мы могли бы умножить первое уравнение, скажем, на -3 :

-3x - 3y - 3z = -96

-x + 2y = 25

-y + 2z = 16 ,

и добавьте две копии второго уравнения к третьему:

-3x - 3y - 3z = -96

-x + 2y = 25

-y + 2z + 2 * (-x + 2y) = 16 + 2 * 25 ,

, то есть

-3x - 3y - 3z = -96

-x + 2y = 25

-2x + 3y + 2z = 66 .

Элементарные операции со строками не изменили набор решений для нашей системы . Не верите нам? Продолжайте, введите первую и последнюю систему в калькулятор сокращенной формы эшелона строк и посмотрите, что вы получите. Мы будем ждать вас, но когда вы вернетесь, ждите: «, как мы вам сказали, ».

Исключение Гаусса-Джордана против исключения Гаусса

Мы можем использовать сокращение строк матрицы, которое мы упомянули в разделе выше, для более практических целей, чем просто для развлечения с умножением уравнений на случайные числа.Да ладно, , мы действительно повеселились, не так ли?

Как вы могли догадаться, легче иметь дело с одной переменной, чем с несколькими из них, так почему бы не попробовать удалить некоторые из них ? Предположительно, это (но на немецком языке) было мышлением Карла Фридриха Гаусса , математика, стоящего за так называемым исключением Гаусса . Это алгоритмическая процедура, которая преобразует систему уравнений в очень простую для работы форму. Идея, лежащая в основе этого (пожалуйста, прочтите следующие инструкции с немецким акцентом 18-го века ):

Возьмите уравнение с первой переменной в нем и поместите эту строку как первую в вашей системе .
Используйте элементарные операции со строками в первом уравнении, чтобы исключить все вхождения первой переменной во всех остальных уравнениях.
Возьмите уравнение (отличное от первого) со второй переменной в нем и поместите его как вторую в системе .
Используйте элементарные операции со строками во втором уравнении, чтобы исключить все вхождения второй переменной во всех последующих уравнениях.
Повторите для последующих переменных , пока у вас не закончатся уравнения, переменные или самодисциплина для завершения упражнения.

Система, которую мы получаем в итоге, называется в рядном эшелоне формы . « Так что же представляет собой калькулятор уменьшенный в форме сокращенного эшелона? » Как удобно с вашей стороны спросить! Вот тут-то и появляется — метод исключения Гаусса-Джордана . Это немного улучшенная версия предыдущего алгоритма, впервые выполненная Камиллой Джордан . Французскому математику потребовалось несколько десятилетий, чтобы задать фундаментальный вопрос: « Что, если в конце концов мы разделим каждую строку на ее первое число? » Mind = blown.

Другими словами, надстройка исключения Гаусса-Джордана дает нам дополнительный шаг в алгоритме :

Разделите каждое уравнение на коэффициент при первой переменной , встречающейся в этой строке.

Система, которую мы получаем с обновленной версией алгоритма, называется в сокращенном эшелоне строк формы . Преимущество такого подхода состоит в том, что в каждой строке перед первой переменной будет стоять коэффициент 1 вместо чего-то сложного, например, 2 .Однако это ускоряет вычисления, и, как мы знаем, каждая секунда ценна.

Пора привести пример, не так ли?

Пример: использование калькулятора сокращенной ступенчатой формы

Вспомните систему уравнений, которая была у нас во втором разделе , но та, что была прямо перед тем, как мы начали играть с элементарными операциями со строками:

х + у + г = 32 ,

-x + 2y = 25 и

-y + 2z = 16 .

Прежде, чем мы перейдем к пошаговым вычислениям, давайте быстро скажем несколько слов о , как мы можем ввести такую систему в наш калькулятор формы сокращенного эшелона . Прежде всего, у нас есть три строки в системе, поэтому нам нужно сообщить об этом калькулятору вверху, в поле количества уравнений. Это покажет нам символическую картину произвольной системы трех линейных уравнений.

Нам нужно определить, какое число соответствует какому символу из калькулятора rref.На рисунке первое уравнение имеет символы a₁ , b₁ , c₁ и d₁ , которые находятся соответственно рядом с x , y , z и справа. сторона знака = . Это числа, которые мы ищем в нашей системе. Глядя на первое из наших уравнений, мы определяем, что a₁ = 1 , b₁ = 1 , c₁ = 1 и d₁ = 32 ( помните, что отсутствие числа перед переменной означает, что коэффициент равно 1 ).

Аналогично, для следующих двух строк получаем a₂ = -1 , b₂ = 2 , c₂ = 0 , d₂ = 25 и a₃ = 0 , b₃ = -1 , c₃ = 2 , d₃ = 16 ( помните, что если уравнение не имеет какой-либо переменной, то коэффициент рядом с этой переменной равен 0 ). Если вы введете все эти данные в калькулятор формы сокращенного эшелона строк, , вы получите спойлер с ответом .Также обратите внимание, что наш калькулятор rref не допускает нелинейных (например, квадратичных) уравнений .

Теперь мы будем следовать инструкциям по уменьшению строки матрицы, заданным методом исключения Гаусса , чтобы преобразовать ее в форму эшелона строк. Наконец, мы сделаем дополнительный шаг от до исключения Гаусса-Джордана, чтобы превратить его в сокращенную версию, которая используется по умолчанию в калькуляторе rref.

Согласно алгоритму, мы начинаем с , выбираем уравнение с первой переменной (в нашем случае это x ) и помещаем его в верхнюю строку.Обратите внимание, что наша система уже находится в этой форме, поэтому нам не нужно ничего менять. Затем, , мы используем первое уравнение, чтобы исключить x из двух других строк . Обратите внимание, что нам нужно иметь дело только со вторым, поскольку в третьем уравнении нет x . Чтобы избавиться от -x в средней строке, нам нужно добавить к этому уравнению кратное первому уравнению, чтобы значения x компенсировали друг друга. Поскольку -x + x = 0 , нам нужно иметь x с коэффициентом 1 в том, что мы добавляем во вторую строку.К счастью, это именно то, что мы имеем в верхнем уравнении. Следовательно, мы добавляем первую строку ко второй , чтобы получить

-x + 2y + (x + y + z) = 25 + 32 ,

, то есть

3у + z = 57 .

Вместе с двумя другими уравнениями это дает

х + у + г = 32

3y + z = 57

-y + 2z = 16 .

Отлично! Теперь у нас есть две последние строки без x в них .Правда, второе уравнение получило z , которого раньше не было, но это просто цена, которую мы должны заплатить.

Теперь нам нужно что-то сделать с y в последнем уравнении, и мы будем использовать для этого вторую строку. Однако с это будет не так просто, как в прошлый раз — в нашем распоряжении 3y и -y , с которыми нужно справиться. Что ж, инструменты, которые они нам дали, будут делать.

Чтобы исключить -y из третьего уравнения, нам нужно получить y (т.е.е., y с коэффициентом 1 ) от второго, так как -y + y = 0 . Чтобы получить его из 3y , достаточно разделить его на 3 . Другими словами, на языке сокращения строк матрицы мы прибавим к нижней строке кратное 1/3 (эквивалентно делению на 3 ) второго уравнения. Это дает

-y + 2z + (1/3) * (3y + z) = 16 + (1/3) * 57 .

Обратите внимание, как 1/3 также появляется справа с 57 .После упрощения получается

(7/3) z = 35 ,

, что вместе с двумя другими уравнениями равно

х + у + г = 32 ,

3y + z = 57 ,

(7/3) z = 35 .

Вуаля! Это форма эшелона строки, заданная методом исключения Гаусса . Обратите внимание, что такие системы можно получить в нашем калькуляторе rref, ответив « № » на вопрос, показывать ли сокращенную форму в верхней части калькулятора.

Чтобы получить сокращенную форму эшелона строк, мы следуем шестому шагу, упомянутому в разделе выше — , мы делим каждое уравнение на коэффициент его первой переменной . Это означает, что нам нужно разделить первую строку на 1 (коэффициент x ), вторую на 3 (коэффициент y ), а третью на 7/3 (коэффициент из z ). Это дает

х + у + г = 32 ,

y + (1/3) z = 19 ,

г = 15 ,

и знаменуют собой конец алгоритма исключения Гаусса-Жордана .Мы можем получить такие системы в нашем калькуляторе формы сокращенного эшелона строк, ответив « Да, » на главный вопрос (как это делается по умолчанию).

Обратите внимание, что теперь легко найти решение для нашей системы . Из последней строки мы знаем, что z = 15 , поэтому мы можем подставить его во второе уравнение, чтобы получить

y + (1/3) * 15 = 19 .

Из этого мы получаем y = 14 , и мы можем заменить это и z = 15 в первую строку, чтобы получить

х + 14 + 15 = 32 ,

, что дает x = 3 .Возвращаясь к картинке, с которой мы начали, это означает, что лимон равно 3 , яблоко равно 14 , и банан 15 . Теперь, когда мы знаем наши фрукты, мы можем нарезать их и съесть с блинами. Мы это заслужили .

Квадратура Гаусса (Выберите метод) Калькулятор

Цель использования: Двойная проверка ручные расчеты для класса. alpha с точки зрения получения узлов и весов.

Цель использования: Изучение численного анализа ….
Комментарий / запрос: Этот сайт очень полезен

Цель использования: Обучение численному анализу ….

Цель использования: Курс численного анализа, применение для упражнений

Цель использования: исследование
Комментарий / запрос: очень хорошо

Цель использования: Для учебы.
Комментарий / запрос: Это будет полезно, если в интегральные калькуляторы добавить двухмерные (2-D) и 3-мерные вычисления.
Best Ragards

Решатель уравнений: Wolfram | Alpha

О решении уравнений

Значение называется корнем полинома if.

Наибольший показатель степени появления называется степенью. Если имеет степень, то хорошо известно, что есть корни, если учесть множественность.Чтобы понять, что подразумевается под множественностью, возьмем, например,. Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равны 3.

Человек изучает «теорему о множителях», обычно во втором курсе алгебры, как способ найти все корни, являющиеся рациональными числами. Также можно научиться находить корни всех квадратичных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (полученные из дискриминанта). Существуют более сложные формулы для выражения корней многочленов кубической и четвертой степени, а также ряд численных методов аппроксимации корней произвольных многочленов.В них используются методы комплексного анализа, а также сложные численные алгоритмы, и это действительно область постоянных исследований и разработок.

Системы линейных уравнений часто решаются с использованием метода исключения Гаусса или связанных методов. Это также обычно встречается в программах средней школы или колледжа по математике. Для нахождения корней одновременных систем нелинейных уравнений необходимы более совершенные методы. Аналогичные замечания относятся к работе с системами неравенств: линейный случай может быть обработан с использованием методов, описанных в курсах линейной алгебры, тогда как полиномиальные системы более высокой степени обычно требуют более сложных вычислительных инструментов.

Как Wolfram | Alpha решает уравнения

Для решения уравнений Wolfram | Alpha вызывает функции Solve и Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем. В некоторых случаях используются методы линейной алгебры, такие как исключение Гаусса, с оптимизацией для повышения скорости и надежности. Другие операции полагаются на теоремы и алгоритмы из теории чисел, абстрактной алгебры и других сложных областей для вычисления результатов.Эти методы тщательно спроектированы и выбраны, чтобы позволить Wolfram | Alpha решать самые разнообразные проблемы, а также минимизировать время вычислений.

Хотя такие методы полезны для прямых решений, для системы также важно понимать, как человек решит ту же проблему. В результате в Wolfram | Alpha также есть отдельные алгоритмы для пошагового отображения алгебраических операций с использованием классических методов, которые легко распознаются людьми и которым легко следовать. Это включает в себя исключение, замену, квадратную формулу, правило Крамера и многое другое.

Форма эшелона строк и форма пониженного эшелона

Содержание (Щелкните, чтобы перейти к этому разделу:

Форма эшелона?
Форма эшелона
Форма ступенчатого редуктора
Исключение по Гауссу
Ранг матрицы

Что такое форма эшелона?

Форма

Echelon означает, что матрица находится в одном из двух состояний:

Рядный эшелонированный вид.
Уменьшенная форма эшелона строки.

Это означает, что матрица удовлетворяет следующим трем требованиям:

Первое число в строке (называемое ведущим коэффициентом) — 1. Примечание: некоторые авторы не требуют, чтобы ведущий коэффициент был равен 1; это могло быть любое число. Вы можете узнать у своего инструктора, какой версии этого правила они придерживаются).
Каждая ведущая единица находится справа от первой.
Любые ненулевые строки всегда находятся над строками со всеми нулями.

Следующие примеры представляют собой матрицы в эшелонированной форме:

Следующие примеры представляют собой , а не в эшелонированной форме:

Матрица A не имеет строк со всеми нулями ниже ненулевых строк.
Матрица B имеет 1 во второй позиции в третьем ряду. Для формы эшелона строки он должен быть справа от ведущего коэффициента над ним. Другими словами, он должен быть на четвертой позиции вместо 3.
Матрица C имеет 2 в качестве ведущего коэффициента вместо 1.
Матрица D имеет -1 в качестве ведущего коэффициента вместо 1.

Другой способ думать о матрице в форме эшелона — это то, что матрица подверглась гауссовскому исключению, которое представляет собой серию операций со строками.

Уникальность и формы эшелона

Эшелонированная форма матрицы не уникальна, что означает, что при сокращении строк возможно бесконечное количество ответов. Уменьшенная форма эшелона строки находится на другом конце спектра; он уникален на , что означает, что сокращение строк в матрице даст один и тот же ответ независимо от того, как вы выполняете одни и те же операции со строками.
Вернуться к началу.

Что такое форма эшелона строк?

Матрица находится в форме эшелона строк, если она соответствует следующим требованиям:

Первое ненулевое число слева («ведущий коэффициент») всегда находится справа от первого ненулевого числа в строке выше.
Строки, состоящие из нулей, находятся внизу матрицы.

Форма рядного эшелона. «А» может представлять любое число.

Технически, старший коэффициент может быть любым числом.Однако в большинстве учебников линейной алгебры утверждается, что ведущим коэффициентом должно быть число 1. Чтобы добавить путаницы, некоторые определения формы эшелона строк утверждают, что должны быть нули как выше , так и на ниже ведущего коэффициента. Поэтому лучше всего следовать определению, данному в учебнике, которому вы следуете (или тому, что дал вам ваш профессор). Если вы не уверены (то есть сейчас воскресенье, у вас должна быть домашняя работа, и вы не можете связаться с профессором), безопаснее всего использовать 1 в качестве ведущего коэффициента в каждой строке.

Если ведущим коэффициентом в каждой строке является только ненулевое число в этом столбце, матрица называется сокращенной эшелонированной строкой.

Матрица 3 × 5 в сокращенной форме эшелона строк.

Строковые формы эшелона обычно встречаются в линейной алгебре, когда вас иногда просят преобразовать матрицу в эту форму. Форма эшелона строк может помочь вам увидеть, что представляет собой матрица, а также является важным шагом к решению систем линейных уравнений.

Онлайн-калькулятор формы эшелона строк

Этот онлайн-калькулятор преобразует любую матрицу, и предоставляют операции со строками, которые помогут вам от шага к шагу.На следующем изображении (из калькулятора Университета Старого Доминиона показано, как матрица [01, 00, 59] приводится к форме эшелона строк с помощью двух простых операций со строками:

Вернуться к началу.

Что такое форма сокращенного эшелона строк?

Уменьшенная форма эшелона строк — это тип матрицы, используемой для решения систем линейных уравнений. Форма пониженного ряда имеет четыре требования:

Первое ненулевое число в первой строке (, ведущая запись ) — это число 1.
Вторая строка также начинается с цифры 1, которая находится правее первой записи в первой строке. В каждом последующем ряду цифра 1 должна быть правее.
Начальная запись в каждой строке должна быть единственным ненулевым числом в ее столбце.
Любые ненулевые строки помещаются внизу матрицы.

Матрица 3 × 5 в сокращенной форме эшелона строк.

Преобразование матрицы в форму сокращенного эшелона строк

Любая матрица может быть преобразована в сокращенную форму эшелона строк с помощью метода, называемого исключением по Гауссу.Это особенно полезно для решения систем линейных уравнений. Большинство графических калькуляторов (например, TI-83) имеют функцию rref, которая преобразует матрицу в сокращенную форму эшелона строк. См. Эту статью на веб-сайте Университета штата Колорадо, где приведены инструкции по использованию TI-89 и TI-83 для расчета формы сокращенного эшелона строки.
Этот онлайн-калькулятор на веб-сайте Old Dominion University преобразует вводимую вами матрицу в сокращенную форму эшелона строк.

Расчет вручную требует знания операций с элементарными строками, а именно:

Менять местами одну строку другой.
Умножьте одну строку на ненулевую константу.
Заменить одну строку на: одну строку плюс константу, умноженную на другую строку.

Кроме того, недостаточно просто знать правила, вы должны уметь смотреть на матрицу и принимать логическое решение о том, какое правило вы собираетесь использовать и когда. Вы пытаетесь преобразовать матрицу в сокращенный ряд строк, поэтому вам также нужно будет обратиться к четырем требованиям, приведенным в начале этой статьи. Если вам нужно вручную преобразовать матрицу в сокращенную форму эшелона строк, рекомендуется использовать один из приведенных выше калькуляторов, чтобы проверить свою работу.Фактически, если вы используете онлайн-калькулятор ODU, он даже предоставит вам операции со строками. На изображении ниже показано преобразование калькулятором матрицы [204,923]:

Вернуться к началу.

Что такое метод исключения Гаусса?

Метод исключения Гаусса — это способ найти решение системы линейных уравнений. Основная идея состоит в том, что вы выполняете математическую операцию над строкой и продолжаете, пока не останется только одна переменная. Например, некоторые возможные операции со строками:

Поменять местами любые два ряда
Сложите две строки вместе.
Умножить одну строку на ненулевую константу (например, 1/3, -1, 5)

Одновременно можно выполнять несколько операций со строками. Например, умножьте одну строку на константу, а затем добавьте результат к другой строке.

После этого цель состоит в том, чтобы получить матрицу в сокращенной форме эшелона строк, где ведущий коэффициент, 1, в каждой строке находится справа от ведущего коэффициента в строке над ней. Другими словами, вам нужно получить 1 в верхнем левом углу матрицы.В следующей строке должен быть 0 в позиции 1 и 1 в позиции 2. Это дает вам решение системы линейных уравнений.

Пример исключения Гаусса

Решите следующую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса:

х + 5у = 7
-2x — 7y = -5

Шаг 1. Преобразуйте уравнение в форму матрицы коэффициентов . Другими словами, просто возьмите коэффициент для чисел и забудьте пока о переменных:

Шаг 2. Превратите числа в нижней строке в положительные, прибавив 2 раза первую строку:

Шаг 3: Умножьте вторую строку на 1/3.Это дает вам второй ведущий 1:

Шаг 4: Умножьте строку 2 на -5, а затем добавьте это к строке 1:

Вот и все!
В первой строке у вас x = -8, а во второй строке y = 3. Обратите внимание, что x и y находятся в тех же положениях, что и при преобразовании уравнения на шаге 1, поэтому все, что вам нужно сделать, это прочтите решение:

Вернуться к началу.

Что такое ранг матрицы?

Ранг матрицы равен количеству линейно независимых строк.Линейно независимая строка — это строка, которая не является комбинацией других строк.

Следующая матрица имеет две линейно независимых строки (1 и 2). Однако, когда в смесь добавляется третья строка, вы можете видеть, что первая строка теперь равна сумме второй и третьей строк. Следовательно, ранг этой конкретной матрицы равен 2, так как имеется только две линейно независимых строки.

Ранг матрицы всегда будет на меньше, чем числа ненулевых строк или числа столбцов в матрице.Если все строки в матрице линейно независимы, матрица имеет полный ранг строки . Для квадратной матрицы она имеет полный ранг только в том случае, если ее определитель не равен нулю.

Выяснить ранг матрицы, пытаясь определить на глаз, сколько строк или столбцов линейно независимы, может быть практически невозможно. Более простой (и, возможно, очевидный) способ — преобразовать в форму эшелона строк.

Как найти матрицу Рейтинг

Найти ранг матрицы просто, если вы знаете, как найти матрицу эшелона строк.Чтобы найти ранг любой матрицы:

Найдите матрицу эшелона строк.
Подсчитать количество ненулевых строк.

Преобразование матрицы в форму эшелона строк.

Вышеупомянутая матрица была преобразована в форму эшелона строк с двумя ненулевыми строками. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

Вы также можете найти отличный инструмент для конвертации на сайте Old Dominion University.

Вернуться к началу.

Список литературы

Эверитт, Б.S .; Скрондал А. (2010), Кембриджский статистический словарь, Cambridge University Press.
Гоник Л. (1993). Мультяшный справочник по статистике. HarperPerennial.
Сирл, С. (2017). Матричная алгебра, полезная для статистики (серия Уайли по вероятности и статистике), 2-е издание. Вайли.

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Исключение по Гауссу — предварительное вычисление | Сократик

ПРИМЕР:
Используйте метод исключения Гаусса для решения следующей системы уравнений.
# x + 2y + 3z = -7 #
# 2x-3y-5z = 9 #
# -6z-8y + z = -22 #
Решение:
Настроить расширенную матрицу формы.
# ((1,2,3, |, -7), (2,3, -5, |, 9), (- 6, -8,1, |, 22)) #
Цель 1. Получите 1 в верхнем левом углу.
Уже сделано.
Цель 2a: Получите ноль под 1 в первом столбце.
Умножьте строку 1 на # -2 #, чтобы получить
# ((- 2, -4, -6, |, 14)) #
Добавьте результат в строку 2 и поместите результат в строку 2.
Обозначим операции как # -2R_2 + R_1 → R_2 #.
# ((1,2,3, |, -7), (2,3, -5, |, 9), (- 6, -8,1, |, 22)) stackrel (-2R_1 + R_2 → R_2) (→) ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (- 6, -8,1, |, 22)) #
Цель 2b: Получите еще один ноль в первом столбце.
Для этого нам понадобится операция # 6R_1 + R_3 → R_3 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (- 6, -8,1, |, 22)) stackrel (6R_2 + R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (0,4,19, |, -64)) #
Цель 2c. Получите оставшийся ноль.
Умножьте строку 2 на # -1 / 7 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (0,4,19, |, -64)) stackrel (- (1/7 ) R_2 → R_2) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,4,19, |, -64 )) #
Теперь используйте операцию # -4R_2 + R_3 → R_3 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,4,19, |, -64)) stackrel (-4R_2 + R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,89 / 7, |, -356/7)) #
Умножьте третью строку на # 7/89 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,89 / 7, |, -356 / 7)) stackrel (7 / 89R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,1, | , -4)) #
Цель 3. Используйте обратную замену, чтобы получить значения # x #, # y # и # z #.
Цель 3а. Рассчитайте # z #.
#z = -4 #
Цель 3b. Вычислить # y #.
# y + 11 / 7z = -23 / 7 #
# y-44/7 = -23 / 7 #
# y = 44 / 7-23 / 7 = 21/7 #
# y = 3 #
Цель 3c. Вычислить x.
# x + 2y + 3z = -7 #
# x + 6-12 = -7 #
# x-6 = -7 #
# х = 1 #
Решение: # x = 1, y = 3, z = -4 #
Калькулятор исключения Гаусса
Наших пользователей:
Я люблю алгебру, но не успел закончить домашнее задание. Теперь для меня все изменилось.
Джули Саймонс, Джорджия
Эта программа заложила основу для наиболее успешного пошагового решения по обучению алгебре, которое я когда-либо видел или имел удовольствие применять в классе. Как я упоминал во время нашего предыдущего телефонного разговора, при составлении графика фактических результатов стандартизированного тестирования математического понимания наших студентов с использованием данных за периоды до и сразу после внедрения вашего программного обеспечения сравнительная разница действительно очевидна.
A.R., Арканзас
Мне нравится возможность показать все, некоторые или ни одного шага. Иногда мне нужно сделать перекрестную ссылку на мою работу, а иногда мне просто нужно проверить решение. Мне также нравится, как может быть показано объяснение для каждого шага. Это помогает изучить функции каждого метода решения.
J.V., Мэриленд
Весь мой скептицизм по поводу этой программы исчез, когда я впервые прошел тест, и мне не пришлось с ним бороться.Спасибо.
Джуди Макдональд, Техас
Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь. Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт. Можете ли вы найти среди них свою?
Поисковые фразы, использованные в 2013-04-13:
навыки практического решения уравнений и формул
рабочая тетрадь макдугал литтелл: решения
как составлять термины, такие как члены, коэффициенты и постоянные члены в предварительной алгебре
саксонская алгебра 2 3-е издание + справка
научные упражнения для 6-го класса
Конус решения буквальных уравнений
игры на умножение и деление
Ти-84 тренажер
бесплатные комбинации рабочих листов перестановки средней школы
экзаменационных работ для детей 11+, которые можно сдать онлайн
факторизация многочленов калькулятор алгебра
Учебное пособие по алгебре Гленко 1 ответы
Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел
Формула преобразования десятичной дроби в дробь
процент, умноженный на целые числа рабочие листы
9 класс алгебра формулы
помогите с моими задачами по алгебре бесплатно
Учебник предварительной алгебры для колледжей
квадратный корень упростить с помощью калькулятора факторизации
наука онлайн бесплатно 8 класс
программа для решения линейных уравнений второго порядка
преобразовать в дробное представление
с помощью диаграммы найти квадратные корни
обучение целым числам учащихся с нарушением обучаемости
что такое алгоритм предварительной алгебры
упрощающие экспоненциальные выражения
степень упрощения выражений
вопрос о способностях с ответами по математике
гипербола ti 89
как получить квадратный корень из несовершенных квадратов
алгебра онлайн
алгебра гленко 1 ответы бесплатно
стандартная форма линейного уравнения с использованием коэффициентов алгебры II
график: линия, которая проходит через точку пересечения оси y = 3 и имеет наклон -3
деление рациональное выражение
java диапазон чисел одна переменная
полиномы — лист предварительной алгебры
pratice algerba
решение алгебры для двух переменных
решение нелинейных дифференциальных уравнений
линейных уравнений, используемых в карьере
рабочие листы по биологии макгроу 2007
Полином Ньютона-фортрана
2007 г. 10 класс Математика 11
решать квадратные системы уравнений
Калькуляторы с сложением наименьшего общего знаменателя
ti 84 plus онлайн-калькулятор
бесплатная программа для решения уравнений элементарной алгебры
как сделать полярное сложение на TI89
Решение Herstein стр. 116
бесплатный калькулятор сложения и вычитания радикалов
упражнение по английскому за год 8
Калькулятор умножения алгебраических выражений
геометрические исследовательские проекты
c вопросами о способностях.pdf
Диаграмма наибольших общих делителей
сложение, вычитание, умножение, деление смешанных чисел Рабочий лист 6-го класса
нелинейная матрица matlab
Графики одаренности
вопрос о способностях с ответами
решение нелинейных уравнений в Excel
Программа для репетитора по алгебре
наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное рабочие листы
Решение уравнений с несколькими переменными
введение Hungerford Solutions
силы алгебры
задачи на словосочетание шестой класс
системы дифференциальных уравнений первого порядка — упражнения
листы сложения положительных и отрицательных чисел
каков ответ на то, что в прошлом году мой возраст был квадратным числом, в следующем году он будет числом в кубе, сколько мне лет?
десятичное в смешанное число
Алгебра Гленко МакГроу-Хилла 1 ответы
gcf и lcm java информатика
Предварительная алгебра с заданиями pizzazz
загружаемый графический калькулятор ti 84
Математика для 2-го класса, складывающая 9, 10 и 11
онлайн-калькулятор с негативами
Алгебра программа для ti-84
упражнения с кубиками и кубическими корнями
Калькулятор умножения и деления рациональных выражений
скачать алгебру softmath
как разделить
наименьшее общее кратное 30 и 33
рабочие листы по упрощению многочленов
решение дифференциальных уравнений и система масс пружины
перестановок и комбинаций powerpoint
Игра исключения Гаусса: Введение в линейную алгебру | Бретт Берри | Math Hacks
Точно так же, как начало карточной игры с перетасовки и раздачи, начало нашей игры на исключение Гаусса начинается с преобразования наших уравнений в матрицу.
Вот система, которую мы собираемся решить:
Первое, что вам нужно понять, это то, что в нашей системе много скрытой информации. Красным цветом я добавлю нули и единицы в местозаполнители.
Далее мы отделим всю важную числовую информацию от посторонних символов. Выделенный красным цветом, вы найдете всю важную информацию, с которой мы будем работать:
Нам нужно переписать числовые значения выше в виде матрицы.Мы отбросим буквы, знаки равенства и символы сложения (но не символы минус!) И просто напишем числа в точном порядке и в строках, которые они указаны выше.
После этого мы добавим символы больших скобок, чтобы сгруппировать их вместе. Это наша матрица:
Как и в любой игре, есть несколько правил, которым мы должны следовать:
Любые две строки можно поменять местами
Любую строку можно умножить или разделить на значение
Вы можете складывать или вычитать любые две строки вместе
* Примечание: вы можете комбинировать эти правила за один ход.
Не волнуйтесь, если они еще не совсем понятны. Вы увидите, как они работают, когда мы рассмотрим наш пример.
Вы выигрываете, когда ваша матрица выглядит так:
Где символы # представляют любые числа, а остальная часть матрицы имеет нули в каждой позиции, кроме диагональных. Это называется формой сокращенного эшелона.
Начните с матрицы, созданной на этапе настройки. Теперь мы собираемся использовать правила, чтобы довести эту матрицу до финишной черты!
Начальная матрица
Движение 1: поменять местами первую строку и строку 2
Есть много разных способов привести эту матрицу в выигрышную форму, но я думаю, что самый простой способ начать — это поменять местами первую и вторую строку.Таким образом мы получаем 1 в первой позиции первой строки и 0 в первой позиции второй строки.
Перемещение 2: сложить -2 раза из второй строки в третью
Одна вещь, которую нам разрешено делать, — это использовать несколько правил вместе за один шаг. В этом шаге мы возьмем 2 раза в строке два и добавим эти продукты в строку три. Это оставит строку два без изменений, но поможет нам получить ноль во второй позиции третьей строки.
Перемещение 3: разделить третью строку на -3
Затем мы просто разделим третью строку на -3, чтобы получить 1 в третьей позиции третьей строки.
Перемещение 4: прибавить -2 раза из третьей строки к второй
Теперь, когда у нас есть все нули в нижнем левом углу, окруженные диагональю 1, мы готовы начать работу над получением нулей в позициях над 1-е.
👉 Но прежде чем мы это сделаем, я хочу сделать небольшое примечание: наша матрица в настоящее время находится в форме эшелона строк. В этой форме вы можете преобразовать вашу матрицу обратно в набор уравнений, если хотите, и легко сможете решить для x, y и z.Сегодня мы работаем над преобразованием нашего уравнения в уменьшенную форму эшелона строк, что означает, что мы хотим получить нули в позициях над единицами. Часто в линейной алгебре вас просят полностью перейти к сокращенной форме эшелона строк, поскольку это самая легкая форма для чтения ответа.
Хорошо, вернемся к нашей математике. На этом следующем шаге мы возьмем третью строку в 2 раза и добавим ее ко второй строке, чтобы мы могли получить 0 в третьей позиции строки 2.
Перемещение 5: добавить третью строку в первую
Далее , мы просто добавим третью строку к первой, поскольку -1 + 1 = 0, что поможет нам получить 0 в третьей позиции первой строки.
Переместить 6: прибавить -2 раза строку два к строке один
Наконец, мы добавим строку два раза два к первой строке, чтобы получить ноль во второй позиции первой строки.
Нам осталось только зачитать ответ! Для этого просто переведите матрицу обратно в систему уравнений, и вы увидите, что нашли решения для x, y и z.
Отбросив все нулевые члены, вы получите:
Это означает, что точка пересечения в трехмерном пространстве, где пересекаются три плоскости, находится в (-1,2, -3).

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных

1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)

2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)

3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)

4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)

5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

О методе

Алгоритм метода Гаусса

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

Решение СЛАУ методом Гаусса — презентация онлайн

1. Решение СЛАУ методом Гаусса Тема урока

2. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

3. Метод Гаусса

4. Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

5. С помощью элементарных преобразований сведем расширенную матрицу к подобной матрице ступенчатого вида:

6. Получаем систему линейных уравнений, эквивалентную исходной системе уравнений.

7. Ощутим свежее дыхание моря…

9. Самостоятельная работа

10. Домашнее задание

11. Итоги урока

★ Метод Гаусса — Зейделя решения системы линейных уравнений —

Пользователи также искали:

Система комплексных линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений

Синтаксис

Примеры

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений | Математика

Заключение

Примеры решения методом Гаусса

(Уменьшенный) Калькулятор формы эшелона строк

Что такое система уравнений?

Операции элементарных строк

Исключение Гаусса-Джордана против исключения Гаусса

Пример: использование калькулятора сокращенной ступенчатой ​​формы

Квадратура Гаусса (Выберите метод) Калькулятор

Решатель уравнений: Wolfram | Alpha

О решении уравнений

Значение называется корнем полинома if.

Как Wolfram | Alpha решает уравнения

Форма эшелона строк и форма пониженного эшелона

Что такое форма эшелона?

Уникальность и формы эшелона

Что такое форма эшелона строк?

Онлайн-калькулятор формы эшелона строк

Что такое форма сокращенного эшелона строк?

Преобразование матрицы в форму сокращенного эшелона строк

Что такое метод исключения Гаусса?

Пример исключения Гаусса

Что такое ранг матрицы?

Как найти матрицу Рейтинг

Список литературы

Исключение по Гауссу — предварительное вычисление | Сократик

Калькулятор исключения Гаусса

Наших пользователей:

Поисковые фразы, использованные в 2013-04-13:

Игра исключения Гаусса: Введение в линейную алгебру | Бретт Берри | Math Hacks

Движение 1: поменять местами первую строку и строку 2

Перемещение 2: сложить -2 раза из второй строки в третью

Перемещение 3: разделить третью строку на -3

Перемещение 4: прибавить -2 раза из третьей строки к второй

Перемещение 5: добавить третью строку в первую

Переместить 6: прибавить -2 раза строку два к строке один

Добавить комментарий Отменить ответ

Пример: использование калькулятора сокращенной ступенчатой формы