4-x=0
Решение Тригонометрих уравнений sin(2*x)=1
Содержание
Правила ввода уравнений
В поле ‘Уравнение’ можно делать следующие операции:
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
- absolute(x)
- Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция — арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция — арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- exp(x)
- Функция — экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
- Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - sin(x)
- Функция — Синус от x
- cos(x)
- Функция — Косинус от x
- sinh(x)
- Функция — Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция — Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция — квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция — Квадрат x
- ctg(x)
- Функция — Котангенс от x
- arcctg(x)
- Функция — Арккотангенс от x
- arcctgh(x)
- Функция — Гиперболический арккотангенс от x
- tg(x)
- Функция — Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция — Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция — кубический корень из x
- gamma(x)
- Гамма-функция
- LambertW(x)
- Функция Ламберта
- x! или factorial(x)
- Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
- Действительные числа
- вводить в виде 7.
3- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- 15/7
- — дробь
3Другие функции:
- asec(x)
- Функция — арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция — арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция — секанс от x
- csc(x)
- Функция — косеканс от x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция — гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция — гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция — гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
- e
- Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности — знак для бесконечности
14159..Вычисления и решения онлайн
Вычисления и решения онлайн
En
>
решение уравнений онлайн калькулятор
разложение на множители
решение уравнений онлайн с двумя неизвестными
5 класс
дроби
>
решение уравнений онлайн с графиком
с корнями
факторизация
factorization
разложение на множители
factorization
алгебра
Алгебраические уравнения онлайн
Решение систем нелинейных уравнений с ограничениями онлайн
Решение систем линейных уравнений с ограничениями онлайн
Система нелинейных уравнений
уравнения с неравенствами
уравнения неравенств с модулем
уравнение неравенства с одной переменной
уравнения неравенства с параметрами
Условие сходимости метода
уравнения неравенства системы с параметром
Solution of the equations with one unknown online FREE
Solve a Simultaneous Set of any Equations online FREE
System of Equations Solver online FREE
Solve the following system online and free
>
To find the exact solution to a system of equations
>
Then the solutions to the original system
[«Найти»,»Find»],
[«Условие»,»Input»],
[«Ошибка»,»Error»],
[«Ответ»,»Result»],
[«Нет решения»,»No solution»],
[«Точность»,»Accuracy»],
[«Пожалуйста,подождите .
..»,»Please Wait …»],
[«Отказ»,»Cancel»],
[«Решение уравнений»,»Equation Solver»],
[«Решение уравнений с одним неизвестным»,»Solution of the equations with one unknown»],
[«Вычисления и решения онлайн»,»Online calculator and solver»],
[«Главная», «Home»],
[«Калькулятор», «Calculator»],
[«Простой калькулятор», «Simple calculator»],
[«Калькулятор с переменными», «Calculator with variables»],
[«Уравнения», «Equations»],
[«Уравнение с одним неизвестным», «Equation with one unknown»],
[«Уравнение с одним неизвестным и переменными», «Equation with one unknown for given variables»],
[«Не задана переменная», «Variable is not specified»],
[«Введите условие», «Enter a formula»],
[«Еще попытка», «Try again»],
[«Не нашла», «Did not find»],
[«Не знаю как это решать», «I do not know how to solve it»],
[«Лишний символ `=`», «Excess symbol `=`»],
[«Неверно задана переменная», «Invalid variable»],
[«Не задана», «Not specified»],
[«Переменная», «Variable»],
[«Найти еще», «Find more»],
[«Система уравнений», «System of Equations»],
[«Уравнение с неравенствами», «Equation with inequalities»],
[«Наименьшее общее кратное», «The least common multiple»],
[«Наибольший общий делитель», «The greatest common divisor»],
[«Простое число», «Prime number»],
[«Большее простое число», «Large prime number»],
[«Разложение на множители», «Factorization»],
[«Еще нужно время», «Still needs time»],
[«Max функции», «Max of a function»],
[«Min функции», «Min of a function»],
[«Max с ограничениями», «Max on the domain»],
[«Min с ограничениями», «Min on the domain»],
[«Сумма бесконечного ряда», «The sum of the infinite series»],
[«Сумма ряда», «The sum of the series»],
[«Ряды», «Series»],
[«Сумма ряда с шагом», «A particular series»],
доказать совместимость системы и решить ее тремя способами
Вы искали доказать совместимость системы и решить ее тремя способами? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь.
Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и доказать совместимость системы линейных уравнений онлайн, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «доказать совместимость системы и решить ее тремя способами».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как доказать совместимость системы и решить ее тремя способами,доказать совместимость системы линейных уравнений онлайн,доказать совместность системы линейных уравнений,исследование на совместность системы онлайн,исследовать матрицу на совместимость онлайн,исследовать на совместимость матрицу онлайн,исследовать на совместимость систему линейных уравнений онлайн,исследовать систему на совместимость онлайн,исследовать слау на совместимость онлайн,калькулятор линейных уравнений с одной переменной,калькулятор онлайн система уравнений,калькулятор онлайн системы,калькулятор решение линейных уравнений,калькулятор решение систем,калькулятор системных уравнений,найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений,найти общее решение системы,найти общее решение системы линейных уравнений,онлайн калькулятор для системы уравнений,онлайн калькулятор систем линейных уравнений,онлайн калькулятор система уравнений,онлайн решатель систем уравнений,онлайн решение линейного уравнения,онлайн решение линейных уравнений с одной переменной,онлайн решение систем уравнения,онлайн решение системных уравнений,онлайн решения системы уравнений,построить общее решение системы,проверить матрицу на совместимость онлайн,проверка матрицы на совместность онлайн,решать систему уравнений онлайн,решение 3 уравнений с 3 неизвестными онлайн,решение линейных уравнений калькулятор,решение линейных уравнений с одной переменной онлайн калькулятор,решение система линейных уравнений решение,решение системных уравнений онлайн,решение системы уравнений онлайн с подробным решением,решение системы уравнений онлайн с тремя неизвестными,решение слу,решите систему линейных уравнений,решите систему уравнений онлайн с решением подробно,решить систему линейных уравнений,решить систему уравнений онлайн с тремя неизвестными,решить слу,решить уравнение онлайн с тремя неизвестными,система онлайн калькулятор,система уравнений решение онлайн,система уравнений с тремя неизвестными онлайн,системы линейных уравнений калькулятор.
На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и доказать совместимость системы и решить ее тремя способами. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, доказать совместность системы линейных уравнений).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же доказать совместимость системы и решить ее тремя способами Онлайн?
Решить задачу доказать совместимость системы и решить ее тремя способами вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Решение линейных уравнений онлайн
Уравнение ах + b = 0, в котором есть лишь одна переменная (х) и только в 1-й степени, называется линейным уравнением с одной переменной.
Значение переменной, при которой линейное уравнение становится равенством, является корнем уравнения. Корнем может быть только число, принадлежащее области определения уравнения. Решить уравнение — это найти корни уравнения или установить их отсутствие.
Находим корень уравнения:
— переносим слагаемые с переменной в одну сторону, без переменной в другую ах = -b;
— разделим уравнение на коэффициент (а) при переменной х = -b/а.
Т.к. при переносе слагаемого с противоположным знаком в другую часть уравнение получается с теми же корнями, то х = b/а, где коэффициенты а, b — действительные числа, х — переменная.
- если а не равно 0, b — любое значение, уравнение имеет 1 корень;
- если а и b равны 0, решений бесконечное множество;
- если а равно 0, b — не равно, уравнение не имеет корней.
Уравнение вида ах + by + с = 0, в котором аргументы представлены только в первой степени, является линейным уравнением с двумя переменными. Графиком такого уравнения является прямая линия, отсюда его название — линейное.
Коэффициенты а, b, с — действительные числа (а и b не равны 0), х, у — переменные.
Любая пара чисел (х,у), которая превращает уравнение с переменными ах + by + с = 0 в числовое равенство, является решением уравнения.
Уравнения, имеющие одинаковые решения, считаются равносильными.
Уравнения, не имеющие решений, тоже равносильные.
Уравнение считается равносильным исходному, если из одной его части перенести слагаемое в другую часть, поменяв знак.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (кроме 0), получим уравнение, равносильное первоначальному.
Уравнение ах + by + с = 0 можно преобразовать в уравнение вида:
Далее коэффициентом k обозначим —
коэффициентом m — получаем уравнение у = kх + m
Чтобы быстро и правильно решить линейное уравнение, воспользуйтесь онлайн калькулятором.
4+ax+b=0 Решение уравнения онлайн
Алгебраическое дополнение матрицы
Аргумент и значения функции онлайн
Аргумент и значения функции комплексной переменной
Верхняя и нижняя граница корней полинома
Возведение матрицы в степень
Возведение полинома (многочлена) в степень
Вычисление определителя,детерминанта квадратной матрицы
Вычисление приближенной правильной дроби
Вычисление уравнения касательной к многочлену
Вычисления с процентами.
Онлайн расчет
Генератор заданий для школы онлайн
Генератор матриц с детерминантом
Гиперболические функции комплексного числа
Деление многочлена на многочлен онлайн
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными
Дробное число в дробную степень
Дробь, как сумма её множителей
Значение производной многочлена по методу Горнера
Из показательной в алгебраическую.
Подробно
Из факториального полинома в обычный
Интегралы и эллиптические функции
Интегральная показательная функция
Калькулятор комплексных дробей онлайн
Калькулятор правильных и неправильных дробей
Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
Комплексное число.
2n+B=0
Корни характеристического уравнения
Коэффициенты полинома Чебышева. Свойства
Кубическое уравнение. Альтернативный взгляд.
Линейное диофантово уравнение онлайн
Логарифм по комплексному основанию
Матрица и характеристическое уравнение
Метод Горнера.
Деление многочлена.
Многочлен и матрица как аргумент
Найти корни уравнения, многочлена 4 степени онлайн
Найти число по остатку от деления
Неполная гамма функция
Непрерывные, цепные дроби онлайн
НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF)
НОД и НОК трех и более чисел
Нормальное интегральное распределение
Обратные тригонометрические комплексного числа
Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения
Онлайн калькулятор.
Расчет произвольных выражений.
Онлайн разложение дробно рациональной функции
Онлайн расчет обратной матрицы
Онлайн умножение комплексных матриц
Определитель матрицы. Альтернативный взгляд.
Основные комбинаторные соотношения в теории вероятностей
Остаток числа в степени по модулю
Параметры целого числа
Пересечение окружности и прямой.
Координаты.
Период нечетной дроби онлайн
Подбор полинома по заданным точкам
Подстановка многочлена в другой многочлен
Приведение кубического уравнения к каноническому виду
Приведенный комплексный полином 4 степени и выше
Простые множители. Теория чисел
Разложение многочлена по Чебышеву
Разложить многочлен по степеням
Расчет векторного произведения онлайн
Расчет детерминанта комплексной матрицы
Расчет значения функции Эйлера
Расчет квадратного, кубического и 4 степени уравнения онлайн
Расчет произвольного числа ряда Фибоначчи онлайн
Результат по комплексной цепной дроби
Результаты деления многочлена на многочлен
Решение арифметической прогрессии
Решение одного тригонометрического уравнения
Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений
Решение уравнений методом Ньютона онлайн
Свойства обратных тригонометрических функций
Свойства определителя матрицы (Property determinant)
Синус и арксинус комплексного числа
Система комплексных линейных уравнений
Скалярное произведение двух матриц
Сложение комплексных чисел
Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн
Сравнения 1 степени.
Теория чисел.
Средние величины данных в поле комплексных чисел
Субфакториал и число Стирлинга
Сумма геометрической прогрессии
Сумма математического ряда произвольного выражения онлайн
Транспозиция двух множеств онлайн
Транспонированная комплексная матрица
Тригонометрические функции комплексного числа
Умножение двух матриц с вещественными коэфициентами
Умножение комплексного вектора на матрицу
Умножение полиномов (многочленов) онлайн
Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн
Уравнение пятой степени.
Частное решение.
Факториальный многочлен
Факторизация факториала
Формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени
ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений
Функция ошибок
Цепочка остатков от деления
Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными
Частное решение уравнения четвертой степени
Числа Белла
Числа Стирлинга 1 рода
Числа Стирлинга 2 рода
Экспонента комплексного числа
Эллиптические интегралы первого и второго рода онлайн
Решение линейных уравнений с одной переменной
1.
Решение линейных уравнений с одной переменной
2. Определение
Линейным уравнением с одной переменной
называется уравнение вида aх + b = с,
где а, в, с – числа, х – переменная.
Например:
3х + 8 = 0,
14 – 2х =9;
– 4х = 10.
• Решить уравнение – это значит найти
все его корни или доказать, что корней
нет.
• Корнем уравнения с одной переменной
называется значение переменной, при
котором уравнение обращается в верное
равенство.
• При решении уравнений с одной переменной
используются следующие свойства:
• Если в уравнении перенести слагаемое из
одной части в другую, изменив его знак, то
получится уравнение, равносильное данному;
• Если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и то же число, то получится
уравнение, равносильное данному.
5. Алгоритм решения уравнения
1. Раскрыть скобки.
2. Перенести слагаемые, содержащие
переменную, в одну часть уравнения, а
числа без переменной – в другую часть.
3. Упростить, привести подобные
слагаемые.
4. Найти корень уравнения.
5. Сделать проверку.
6. Раскрытие скобок
Если перед скобками стоит знак « +», то
скобки можно опустить, сохранив знак
каждого слагаемого, заключенного в
скобки.
Пример.
(25 –3х) + (–2х + 6) = 25 – 3х – 2х + 6 =
= 31 – 5х.
7. Раскрытие скобок
Если перед скобками стоит знак « -», то скобки
можно опустить, изменив знак каждого
слагаемого, заключенного в скобки.
( 6х – 3) – ( 14 – 2х) = 6х – 3 –14 + 2х =
= 8х – 17;
12 + ( х – 3) – (– 3х + 1) = 12 + х – 3 +3х –
– 1 = 8 + 4х.
8. Распределительное свойство умножения
а(в + с) =ав +ас
а(в – с) = ав – ас
Примеры:
6 ( 3 – 2х) = 18 – 12х;
– 5 ( а + 3) = – 5а –15.
9. Примеры решения уравнений
4(х + 5) = 12;
4х + 20 = 12;
4х =12 – 20;
4х = — 8;
х = — 8 : 4;
х = — 2.
10. Пример 2
5х = 2х + 6;
5х – 2х = 6;
3х =6;
х = 6 : 3;
х = 2.
11. Пример 3
3 (х + 6) + 4 = 8 – ( 5х + 2)
3х + 18 + 4 = 8 – 5х – 2
3х + 5х = — 18 – 4 + 8 — 2
8х = — 16
х = — 16 : 8
х=-2
12. Задания для самостоятельного решения
• Решить уравнение
1). 2х + 5 = 2 (- х + 1) + 11
2). 6у – 3(у – 1) = 4 + 5у
3). 4 ( х – 1) – 3 = — (х + 7) + 8
4). – 2(5 у – 9) + 2 = 15 + 7(- х + 2)
5). 12 + 4(х – 3) – 2х = (5 – 3х) + 9
13. Ответы
1) 2
2) — 0,5
3) 1,6
4) — 3
5) 2,8
14. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Решить равенство онлайн калькулятор с решением. Решение простых линейных уравнений
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
2 + bx
+ c
= 0, где коэффициенты a
, b
и c
— произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант
.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax
2 + bx
+ c
= 0. Тогда дискриминант — это просто число D
= b
2 − 4ac
.
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D
- Если D
= 0, есть ровно один корень; - Если D
> 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x
2 − 8x
+ 12 = 0;- 5x
2 + 3x
+ 7 = 0;- x
2 − 6x
+ 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
> 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D
= 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D
- x
2 − 2x
− 3 = 0;- 15 − 2x
− x
2 = 0;- x
2 + 12x
+ 36 = 0.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D
> 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D
> 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x
2 + 9x
= 0; - x
2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax
2 + bx
+ c
= 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
= 0 или c
= 0, т.е. коэффициент при переменной x
или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
= c
= 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
= 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
= 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
2 + c
= 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
/a
) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax
2 + c
= 0 выполнено неравенство (−c
/a
) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше; - Если же (−c
/a
)
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
/a
) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два.
Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax
2 + bx
= 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобку
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x
2 − 7x
= 0;- 5x
2 + 30 = 0;- 4x
2 − 9 = 0.
x
2 − 7x
= 0 ⇒ x
· (x
− 7) = 0 ⇒ x
1 = 0; x
2 = −(−7)/1 = 7.
5x
2 + 30 = 0 ⇒ 5x
2 = −30 ⇒ x
2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x
2 − 9 = 0 ⇒ 4x
2 = 9 ⇒ x
2 = 9/4 ⇒ x
1 = 3/2 = 1,5; x
2 = −1,5.
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата.
Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений.
Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений. Решение уравнений данного типа означает нахождение искомых корней в общем виде. Наш сервис позволяет решить даже самое сложное алгебраическое уравнение онлайн. Вы можете получить как общее решение уравнения, так и частное для указанных вами числовых значений коэффициентов. Для решения алгебраического уравнения на сайте достаточно корректно заполнить всего два поля: левую и правую части заданного уравнения. У алгебраических уравнений с переменными коэффициентами бесконечное количество решений, и задав определенные условия, из множества решений выбираются частные.
2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные.
После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение.
Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1.
Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки
2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения
3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число.
Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно
. Без шуток.
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений.
Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
Приложение
Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.
. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени.
Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов.
Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования.
Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции.
Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента.
Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус.
В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу.
Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом.
В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин.
Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида.
Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости.
В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера.
По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество.
Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ.
Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь.
Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям.
Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части.
Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения.
Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить.
В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.
=
Решите линейное уравнение с одним неизвестным
Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производное вычисление, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех сложных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Поиск шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они из себя представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение , Правые треугольники, Ветер, Рисунок
Решайте линейные уравнения высшего порядка с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Часто мы хотим найти одну упорядоченную пару, которая является решением двух различных линейных
уравнения.
Один из способов получить такую упорядоченную пару — построить график двух уравнений
на одном наборе осей и определение координат точки, в которой они
пересекаются.
Пример 1
Изобразите уравнения
х + у = 5
х — у = 1
на том же наборе осей и определите упорядоченную пару, которая является решением для каждого
уравнение.
Решение
Используя метод построения графика с перехватом, мы обнаруживаем, что две упорядоченные пары, которые
решения x + y = 5 равны
(0, 5) и (5, 0)
И две упорядоченные пары, которые являются решениями
x — y = 1
(0, -1) и (1,0)
Показаны графики уравнений.
Точка пересечения — (3, 2). Таким образом,
(3, 2) должны удовлетворять каждому уравнению.
Фактически,
3 + 2 = 5 и 3 — 2 = 1
В целом графические решения являются приблизительными. Разработаем методики
для точных решений в следующих разделах.
Считается, что линейные уравнения, рассматриваемые вместе таким образом, образуют систему
уравнения.
Как и в приведенном выше примере, решение системы линейных уравнений
может быть одной упорядоченной парой. Компоненты этой упорядоченной пары удовлетворяют каждому из
два уравнения.
Некоторые системы не имеют решений, в то время как другие имеют бесконечное количество решений.
ции. Если графики уравнений в системе не пересекаются, то есть если линии
параллельны (см. рис. 8.1a) — уравнения считаются несовместимыми , и там
не существует упорядоченной пары, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Если графики уравнений имеют вид
на той же линии (см. рис. 8.1b), уравнения называются зависимыми , и каждое
упорядоченная пара, удовлетворяющая одному уравнению, будет удовлетворять обоим уравнениям.Заметь
когда система несовместима, наклон линий такой же, но
y-перехваты разные. Когда система зависима, наклоны и пересечения по оси Y
одинаковы.
В нашей работе нас в первую очередь будут интересовать системы, имеющие один-единственный
решение, которые считаются непротиворечивыми и независимыми.
График такой
система показана в решении Примера 1.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ I
Мы умеем решать системы уравнений алгебраически.Более того, решения, которые мы
получить алгебраическими методами точны.
Система в следующем примере — это система, которую мы рассматривали в разделе 8.1.
на странице 335.
Пример 1
Решить
х + у = 5 (1)
х — у = 1 (2)
Решение
Мы можем получить уравнение с одной переменной, сложив уравнения (1) и (2)
Решение полученного уравнения относительно x дает
2x = 6, х = 3
Теперь мы можем заменить x на 3 либо в уравнении (1), либо в уравнении (2), чтобы получить
соответствующее значение y.В этом случае мы выбрали уравнение (1) и получили
(3) + у = 5
г = 2
Таким образом, решение x = 3, y = 2; или (3, 2).
Обратите внимание, что мы просто применяем свойство сложения равенства, чтобы мы могли
получить уравнение, содержащее единственную переменную.
Уравнение с одной переменной,
вместе с любым из исходных уравнений, то образует эквивалентную систему
решение которого легко получить.
В приведенном выше примере мы смогли получить уравнение с одной переменной с помощью
сложение уравнений (1) и (2), поскольку члены + y и -y являются отрицательными значениями каждого
Другие.Иногда необходимо умножить каждый член одного из уравнений
на -1, чтобы члены одной переменной имели противоположные знаки.
Пример 2
Решить
2a + b = 4 (3)
а + Ь = 3 (4)
Решение
Начнем с умножения каждого члена уравнения (4) на -1, чтобы получить
2a + b = 4 (3)
-a — b = — 3 (4 ‘)
, где + b и -b отрицательны друг другу.
Символ ‘, называемый «простым», указывает на эквивалентное уравнение; то есть
уравнение, которое имеет те же решения, что и исходное уравнение.Таким образом, уравнение (4 ‘)
эквивалентно уравнению (4). Теперь складывая уравнения (3) и (4 ‘), получаем
Подставляя 1 вместо a в уравнении (3) или уравнении (4) [скажем, в уравнении (4)], мы получаем
1 + Ь = 3
б = 2
и наше решение a = 1, b = 2 или (1, 2).
Когда переменные a и b,
упорядоченная пара представлена в виде (a, b).
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ II
Как мы видели в разделе 8.2, решение системы уравнений сложением зависит от
одна из переменных в обоих уравнениях с коэффициентами, отрицательными
друг с другом.Если это не так, мы можем найти эквивалентные уравнения, которые действительно имеют
переменные с такими коэффициентами.
Пример 1
Решите систему
-5x + 3y = -11
-7x — 2y = -3
Решение
Если мы умножим каждый член уравнения (1) на 2 и каждый член уравнения
(2) на 3, получаем эквивалентную систему
(2) (-5x) + (2) (3y) = (2) (- ll)
(3) (-7x) — (3) (2y) = (3) (- 3)
или
-10x + 6y = -22 (1 ‘)
-21x — 6y = -9 (2 ‘)
Теперь, сложив уравнения (1 ‘) и (2’), мы получим
-31x = -31
х = 1
Подстановка 1 вместо x в уравнении (1) дает
-5 (1) + 3у = -11
3y = -6
у = -2
Решение: x = 1, y = -2 или (1, -2).
Обратите внимание, что в уравнениях (1) и (2) члены, включающие переменные, находятся в
левый член, а постоянный член находится в правом члене. Мы будем ссылаться
таким договоренностям, как стандартный бланк для систем. Удобно расположить
системы в стандартной форме, прежде чем приступить к их решению. Например, если мы
хочу решить систему
3у = 5х — 11
-7x = 2г — 3
мы сначала напишем систему в стандартной форме, добавив -5x к каждому члену
уравнения (3) и добавлением -2y к каждому члену уравнения (4).Таким образом, получаем
-5x + 3y = -11
-lx — 2y = -3
, и теперь мы можем продолжить, как показано выше.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЗАМЕНЫ
В разделах 8.2 и 8.3 мы решали системы уравнений первой степени с двумя вариациями.
способностей методом сложения. Другой метод, называемый методом подстановки,
также могут быть использованы для решения таких систем.
Пример 1
Решите систему
-2x + y = 1 (1)
х + 2у = 17 (2)
Решение
Решая уравнение (1) относительно y через x, получаем
y = 2x + 1 (1 ‘)
Теперь мы можем заменить y 2x + 1 в уравнении (2), чтобы получить
х + 2 (2х + 1) = 17
х + 4х + 2 = 17
5x = 15
x = 3 (продолжение)
Подставляя 3 вместо x в уравнении (1 ‘), мы получаем
у = 2 (3) + 1 = 7
Таким образом, решение системы: x = 3, y = 7; или (3, 7).
В приведенном выше примере было легко выразить y явно через x, используя
Уравнение (1). Но мы также могли бы использовать уравнение (2) для явной записи x в терминах
из
х = -2у + 17 (2 ‘)
Теперь подставляя — 2y + 17 вместо x в уравнении (1), мы получаем
Подставляя 7 вместо y в уравнение (2 ‘), мы получаем
х = -2 (7) + 17 = 3
Решение системы снова (3, 7).
Обратите внимание, что метод подстановки полезен, если мы можем легко выразить одну переменную
с точки зрения другой переменной.
ПРИЛОЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДВЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Если две переменные связаны одним уравнением первой степени, существует бесконечно
много упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Но если две переменные
связанных двумя независимыми уравнениями первой степени, может быть только одна упорядоченная
пара, которая является решением обоих уравнений. Следовательно, для решения задач с помощью двух
переменных, мы должны представить два независимых отношения с помощью двух уравнений .
Часто мы можем легче решать проблемы с помощью системы уравнений, чем с помощью
используя одно уравнение с одной переменной.Мы будем следовать указанным шести шагам
на стр. 115, с небольшими изменениями, как показано в следующем примере.
Пример 1
Сумма двух чисел равна 26. Чем больше число, тем больше 2 больше, чем в три раза
меньшее количество. Найдите числа.
Решение
Шаги 1-2
Мы представляем то, что хотим найти, в виде двух словесных фраз. Тогда мы
представляют словосочетания в терминах двух переменных.
Меньшее число: x
Большое число: y
Шаг 3 Эскиз не применим.
Шаг 4 Теперь мы должны написать два уравнения, представляющих сформулированные условия.
Сумма двух чисел равна 26.
Шаг 5 Чтобы найти числа, решаем систему
х + у = 26 (1)
у = 2 + 3х (2)
Поскольку уравнение (2) показывает y явно через x, мы решим систему следующим образом:
метод подстановки. Подставляя 2 + 3x вместо y в уравнение (1), мы получаем
х + (2 + 3х) = 26
4x = 24
х = 6
Подставляя 6 вместо x в уравнении (2), мы получаем
у = 2 + 3 (6) = 20
Шаг 6 Меньшее число — 6, большее — 20.
РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ
Два уравнения, рассматриваемые вместе, образуют систему уравнений . Решение
обычно одна упорядоченная пара. Если графики уравнений представляют собой параллельных линий ,
уравнения называются несовместимыми ; если графики представляют собой ту же линию , уравнения
считаются иждивенцами .Мы можем решить систему уравнений методом сложения , если сначала напишем
системы в стандартной форме , в которой термины, включающие переменные, находятся в
левый член, а постоянный член находится в правом члене.Мы можем решить систему уравнений методом подстановки , если одна переменная в
по крайней мере одно уравнение в системе сначала явно выражается через другое
Переменная.Мы можем решать текстовые задачи, используя две переменные, представляя два независимых
отношения двумя уравнениями.
Решение одноступенчатых линейных уравнений: сложение и вычитание
Purplemath
«Линейные» уравнения — это уравнения с простой старой переменной, такой как « x », а не с чем-то более сложным, например, x 2 или x / y , или квадратными корнями, или другими более сложные выражения.
Линейные уравнения — это простейшие уравнения, с которыми вам придется иметь дело.
Вы, наверное, уже решили линейные уравнения; ты просто не знал этого. Еще в ранние годы, когда вы учились сложению, ваш учитель, вероятно, дал вам рабочие листы для выполнения, в которых были упражнения, подобные следующим:
Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5
Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5
Как только вы достаточно хорошо усвоили факты сложения, вы знали, что вам нужно поставить цифру «2» внутри квадрата.
MathHelp.com
Решение уравнений работает примерно так же, но теперь мы должны выяснить, что входит в x , а не то, что входит в коробку.
Однако, поскольку сейчас мы старше, чем когда заполняли поля, уравнения также могут быть намного сложнее, и поэтому методы, которые мы будем использовать для решения уравнений, будут немного более продвинутыми.
В общем, чтобы решить уравнение для данной переменной, нам нужно «отменить» все, что было сделано с переменной. Мы делаем это для того, чтобы получить переменную сама по себе; технически мы «изолируем» переменную. Это приводит к тому, что уравнение изменяется так, чтобы говорить «(переменная) равно (некоторому числу)», где (некоторое число) — это ответ, который они ищут.Например:
Переменная — это буква x . Чтобы решить это уравнение, мне нужно получить x отдельно; то есть мне нужно получить x с одной стороны от знака «равно» и какое-то число с другой стороны.
Поскольку я хочу только x с одной стороны, это означает, что мне не нравится «плюс шесть», который в настоящее время находится на той же стороне, что и x .
Поскольку 6 — это , добавленное к x , мне нужно вычесть из этой 6, чтобы избавиться от нее.То есть мне нужно будет вычесть 6 из x , чтобы «отменить» их добавление к нему 6.
Это вызывает наиболее важное соображение с уравнениями:
Неважно, с каким уравнением мы имеем дело — линейным или каким-либо другим — что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, мы должны сделать то же самое, что и , с другой стороной уравнения. В этом отношении уравнения похожи на малышей:
Мы должны быть полностью, полностью справедливыми по отношению к обеим сторонам, иначе последует несчастье!
Что бы вы ни делали с уравнением, проделайте ТОЧНО ТАК ЖЕ с ОБЕИМИ сторонами этого уравнения!
Вероятно, лучший способ отследить это вычитание 6 с обеих сторон — это отформатировать свою работу следующим образом:
Изображение выше анимировано на «живой» странице.
Здесь вы видите, что я вычел 6 с обеих сторон, нарисовал горизонтальную полосу «равно» под всем уравнением, а затем сложил. В левой части (LHS) уравнения это дает мне:
x плюс ничего равно x , а 6 минус 6 равно нулю
В правой части (RHS) уравнения у меня:
Решение — последнее направление моей работы; а именно:
Та же процедура «отмены» работает для уравнений, в которых переменная была объединена в пару с вычитанием.
Переменная находится в левой части (LHS) уравнения в паре с оператором «вычесть три». Так как я хочу получить x отдельно, мне не нравится «3», которое в настоящее время вычитается из него. Противоположность вычитанию — это сложение, поэтому я отменю «вычитание 3», добавив 3 к обеим частям уравнения, а затем добавлю вниз, чтобы упростить, чтобы получить свой ответ:
Тогда мой ответ:
Вас могут попросить «проверить свои решения», по крайней мере, на ранних этапах обучения тому, как решать уравнения.
Чтобы выполнить эту «проверку», вам нужно только подставить свой ответ в исходное уравнение и убедиться, что в итоге вы получили верное утверждение. (Это, в конце концов, определение решения уравнения; а именно, решение — это любое значение или набор значений [для более сложных уравнений, позже], что делает исходное уравнение истинным.)
Итак, чтобы проверить мое решение вышеприведенного уравнения, вы должны подставить «–2» вместо x в левую часть (LHS) исходного уравнения и проверить, что это упрощает, чтобы получить исходное значение. для правой части (RHS) уравнения:
Проверок:
LHS: (–2) — 3 = –5
RHS: –5
Поскольку каждая сторона исходного уравнения теперь дает одно и то же значение, это подтверждает, что решение действительно правильное.
Решите 4 =
x — 3 и проверьте свое решение.
На этот раз переменная находится в правой части (RHS) уравнения. Это нормально; не имеет значения, где находится переменная, пока я могу изолировать ее (то есть, пока я могу получить ее отдельно от знака «равно»).
В этом уравнении у меня вычитается тройка из переменной.Чтобы отменить вычитание, я добавлю по три с каждой стороны уравнения.
4 = х — 3
+3 + 3
———-
7 = х
(я мог бы записать правую часть после добавления как « x + 0», но «плюс ноль» обычно игнорируется. Поэтому я перенес только x с правой стороны .)
Теперь, в рамках моей практической работы, мне нужно показать, что я проверил это решение, вставив его обратно в правую часть исходного уравнения и подтвердив, что я получил левую часть исходного уравнения; то есть я получаю 4:
«Проверка» — это то, что я сделал выше.
Я постарался четко обозначить вещи, чтобы оценщик смог найти мой «чек» (так что я получу полную оценку за упражнение). Мой окончательный ответ:
Когда я решил последнее упражнение выше, переменная оказалась справа от знака «равно». Но в своем решении я написал ответ с помощью переменной слева от знака «равно». Это довольно стандартно. Когда вы решаете, переменная окажется там, где она закончится.Когда вы записываете решение, переменная идет слева. Почему? Так как.
Это уравнение почти решено. Но не совсем так. У меня нет старого доброго x с правой стороны; вместо этого у меня — х . Что делать?
Я могу представить — x как 0- x . Так что же произойдет, если я добавлю x к каждой стороне уравнения?
2 = –x
+ х + х
——-
х + 2 = 0
Хорошо; это помогло.
Взяв переменную и «добавив ее на другую сторону», я получил переменную в том формате, который мне нравится. И это также преобразовало исходное уравнение в простое одношаговое уравнение. Я избавлюсь от двойки в левой части, «вычтя ее» в правой части:
х + 2 = 0
-2 = -2
———-
х = -2
Этот ответ имеет смысл.Если отрицательное значение переменной равняется положительным двум, то положительное значение переменной должно равняться отрицательным двум. Итак, мой ответ:
Технически, этот последний пример был двухэтапным уравнением, потому что для его решения нужно было добавить одну вещь к обеим сторонам уравнения, а затем вычесть другую вещь к обеим сторонам. Важно отметить, что вы можете складывать и вычитать переменные с другой стороны уравнения, точно так же, как вы можете складывать и вычитать числа с другой стороны.
Точно такие же методы работают как с переменными, так и с числами.
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейного уравнения путем сложения или вычитания. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin.htm
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня Цели обучения
Введение
Учебник
Практические задачи
Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последняя редакция 1 июля 2011 г. Ким Сьюард. |
Например, если у вас есть добавляемый номер,
y + 4 = -7.
х /2
College Algebra Цели обучения
Введение
Учебник
Практические задачи
Нужна дополнительная помощь по этим темам? Видео на этом сайте были созданы и продюсированы Ким Сьюард и Вирджиния Уильямс Трайс. |
4.3: Решение линейных уравнений с одной переменной
Результаты обучения
- Решите линейные уравнения для переменной.
Это обычная задача в алгебре — решить уравнение относительно переменной. Цель будет заключаться в том, чтобы переменная с одной стороны уравнения была сама по себе, а другая сторона уравнения была просто числом. Процесс будет включать в себя определение операций, которые выполняются с переменной, и применение обратной операции к обеим сторонам уравнения.Это будет осуществляться в порядке, обратном порядку операций.
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
Решите следующее уравнение относительно \ (x \).
\ [3x + 4 = 11 \ label {EQ1.1} \]
Раствор
Мы начинаем с рассмотрения операций, которые выполняются с \ (x \), отслеживая порядок. Первая операция — это «умножить на 3», а вторая — «добавить 4». Теперь делаем все наоборот. Поскольку последняя операция — это «добавить 4», наш первый шаг — вычесть 4 из обеих частей уравнения \ ref {EQ1.1}.
\ [3x \ cancel {+ 4} \ color {Cerulean} {\ cancel {-4}} \ color {black} = 11 \ color {Cerulean} {-4} \ nonumber \]
, что упрощает уравнение
\ [3x = 7 \ nonumber \]
Далее, способ отменить «умножить на 3» — это разделить обе стороны на 3. Мы получаем
\ [\ dfrac {\ cancel {3} x} {\ color {Cerulean} {\ cancel {3}}} \ color {black} = \ dfrac {7} {\ color {Cerulean} {3}} \ nonumber \]
или
\ [x = \ dfrac {7} {3} \ nonumber \]
Пример \ (\ PageIndex {2} \)
Прямоугольник выше — это диаграмма равномерного распределения от 2 до 9, которая запрашивает первый квартиль.Площадь меньшего красного прямоугольника с основанием от 2 до Q1 и высотой 1/7 равна 1/4. Найдите Q1.
Раствор
Начнем с формулы площади прямоугольника:
\ [\ text {Area} = \ text {Base} \ times \ text {Height} \ label {EQ1} \]
У нас:
- Площадь = \ (\ frac {1} {4} \)
- База = \ (Q1-2 \)
- Высота = \ (\ frac {1} {7} \)
Подставьте это в уравнение \ ref {EQ1}, чтобы получить:
\ [\ frac {1} {4} = \ left (Q1-2 \ right) \ left (\ frac {1} {7} \ right) \ label {EQ2} \]
Нам нужно найти \ (Q1 \).Сначала умножьте обе части уравнения \ ref {EQ2} на 7, чтобы получить:
\ [\ begin {align} \ color {Cerulean} {7} \ color {black} \ left (\ dfrac {1} {4} \ right) & = \ color {Cerulean} {\ cancel {7}} \ цвет {черный} \ left (Q1-2 \ right) \ cancel {\ left (\ frac {1} {7} \ right)} \ nonumber \\ [5pt] \ dfrac {7} {4} & = Q1- 2 \ label {EQ4} \ end {align} \]
Теперь добавьте 2 к обеим сторонам уравнения \ ref {EQ4}, чтобы получить:
\ [\ begin {align *} \ dfrac {7} {4} \ color {Cerulean} +2 \ color {black} & = Q1 \ cancel {-2} \ color {Cerulean} {\ cancel {+2} } \\ [5pt] \ dfrac {7} {4} + 2 & = Q1 \ end {align *} \]
или
\ [Q1 = \ frac {7} {4} +2 \ nonumber \]
Если положить это в калькулятор, получится:
\ [Q1 = 3.75 \ nonumber \]
Пример \ (\ PageIndex {3} \): z-оценка
Z-оценка для данного значения \ (x \) для распределения со средним значением \ (\ mu \) и стандартным отклонением генеральной совокупности \ (\ sigma \) определяется по формуле:
\ [z = \ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ nonumber \]
Интернет-магазин обнаружил, что средние продажи в день для населения составляют 2841 доллар, а стандартное отклонение для населения составляет 895 долларов. Значение \ (x \) считается выбросом, если z-оценка меньше -2 или больше 2.Сколько продаж нужно сделать, чтобы получить z-оценку 2?
Раствор
Сначала мы идентифицируем каждую из данных переменных. Поскольку среднее значение для населения составляет 2841, мы имеем:
\ [\ mu = 2841 \ nonumber \]
Нам сказали, что стандартное отклонение населения составляет 895 метров, поэтому:
\ [\ sigma = 895 \ nonumber \]
Нам также дано, что z-оценка равна 2, отсюда:
\ [z = 2 \ nonumber \]
Теперь мы подставляем числа в формулу для z-значения, чтобы получить:
\ [2 = \ frac {x-2841} {895} \ nonumber \]
Теперь мы можем изменить порядок уравнения так, чтобы \ (x \) находился в левой части уравнения:
\ [\ frac {x-2841} {895} = 2 \ nonumber \]
Затем мы решаем относительно \ (x \).Сначала умножьте обе части уравнения на 895, чтобы получить
.
\ [x-2841 = 2 \ влево (895 \ вправо) = 1790 \ nonumber \]
Наконец, мы можем добавить 2841 к обеим частям уравнения, чтобы получить \ (x \) само по себе:
\ [x = 1790 + 2841 = 4631 \ nonumber \]
Мы можем сделать вывод, что если дневные продажи составляют 4631 доллар, z-показатель равен 2.
Упражнение
Прямоугольник ниже представляет собой диаграмму для равномерного распределения от 5 до 11, для которого требуется 72 и процентиль.Площадь меньшего красного прямоугольника с основанием от 5 до 72 и процентилей, \ (x \), и высотой 1/6 равна 0,72. Найдите \ (x \).
2.2 Линейные уравнения с одной переменной — College Algebra
Кэролайн учится на дневном отделении колледжа и планирует весенние каникулы. Чтобы заработать достаточно денег для поездки, она устроилась на неполный рабочий день в местный банк, который платит 15 долларов в час, и 15 января она открыла сберегательный счет с первоначальным депозитом в 400 долларов. чеки.Если весенние каникулы начнутся 20 марта и поездка будет стоить примерно 2500 долларов, сколько часов ей придется работать, чтобы заработать достаточно, чтобы оплатить отпуск? Если она может работать только 4 часа в день, сколько дней в неделю ей придется работать? Сколько это займет недель? В этом разделе мы исследуем подобные и другие проблемы, которые генерируют графики, подобные линии на Рисунке 1.
Рисунок 1
Решение линейных уравнений с одной переменной
Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной.Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид ax + b = 0ax + b = 0 и решаются с использованием основных алгебраических операций.
Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение идентичности верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.
Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным. Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на xx, сделает уравнение истинным.
Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение 5x + 2 = 3x − 6,5x + 2 = 3x − 6, мы имеем следующее:
5x + 2 = 3x − 62x = −8x = −45x + 2 = 3x − 62x = −8x = −4
Набор решений состоит из одного числа: {−4}. {- 4}. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.
Несогласованное уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить 5x − 15 = 5 (x − 4), 5x − 15 = 5 (x − 4), мы имеем следующее:
5x − 15 = 5x − 205x − 15−5x = 5x − 20−5x Вычтем 5x с обеих сторон.−15 ≠ −20 Ложное утверждение 5x − 15 = 5x − 205x − 15−5x = 5x − 20−5x Вычтите 5x с обеих сторон. −15 ≠ −20 Ложное утверждение
В самом деле, −15 ≠ −20. − 15 ≠ −20. Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.
Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.
Линейное уравнение с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде
, где a и b — действительные числа, a 0.а ≠ 0.
Как к
Дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.
Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, x = _________, если x — неизвестное. Не существует установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что дано:
- Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знак равенства.Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
- Примените свойство распределения по мере необходимости: a (b + c) = ab + ac.a (b + c) = ab + ac.
- Выделите переменную на одной стороне уравнения.
- Когда переменная умножается на коэффициент на заключительном этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.
Пример 1
Решение уравнения с одной переменной
Решите следующее уравнение: 2x + 7 = 19,2x + 7 = 19.
Решение
Это уравнение можно записать в виде ax + b = 0ax + b = 0, вычтя 1919 из обеих частей.Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.
2x + 7 = 192x = 12 Вычтите 7 с обеих сторон. X = 6 Умножьте обе стороны на 12 или разделите на 2,2x + 7 = 192x = 12 Вычтите 7 с обеих сторон. X = 6 Умножьте обе стороны на 12 или разделите на 2.
Решение: 6
Попробуй # 1
Решите линейное уравнение с одной переменной: 2x + 1 = −9,2x + 1 = −9.
Пример 2
Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон
Решите следующее уравнение: 4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6).4 (х — 3) + 12 = 15-5 (х + 6).
Решение
Примените стандартные алгебраические свойства.
4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6) 4x − 12 + 12 = 15−5x − 30 Примените свойство распределения. 4x = −15−5x Объедините похожие члены. 9x = −15 Поместите x-члены на один сторону и упрощайте. x = −159 Умножьте обе стороны на 19, обратное значение 9.x = −534 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6) 4x − 12 + 12 = 15−5x − 30 Распределительное свойство. 4x = −15−5x Объедините похожие члены. 9x = −15 Поместите x-члены на одну сторону и упростите. x = −159 Умножьте обе стороны на 19, что является обратной величиной 9.х = -53
Анализ
Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, x = −53.x = −53.
Попробуй # 2
Решите уравнение с одной переменной: −2 (3x − 1) + x = 14 − x. − 2 (3x − 1) + x = 14 − x.
Решение рационального уравнения
В этом разделе мы рассмотрим рациональные уравнения, которые после некоторых манипуляций приводят к линейному уравнению. Если уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, оно считается рациональным уравнением .
Напомним, что рациональное число — это отношение двух чисел, например 2323 или 72,72. Рациональное выражение — это отношение или частное двух многочленов. Вот три примера.
x + 1×2−4,1x − 3, или 4×2 + x − 2x + 1×2−4,1x − 3, или 4×2 + x − 2
Рациональные уравнения имеют переменную в знаменателе по крайней мере в одном из членов.
Наша цель — выполнить алгебраические операции так, чтобы переменные появились в числителе. Фактически, мы удалим все знаменатели, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).
ЖК-дисплей определяет выражение, которое содержит наивысшую степень всех факторов во всех знаменателях. Мы делаем это, потому что, когда уравнение умножается на ЖК-дисплей, общие множители на ЖК-дисплее и в каждом знаменателе будут равны единице и будут сокращаться.
Пример 3
Решение рационального уравнения
Решите рациональное уравнение: 72x − 53x = 223,72x − 53x = 223.
Решение
У нас есть три знаменателя; 2x, 3x, 2x, 3x и 3.ЖК-дисплей должен содержать 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей 6x6x содержит все три знаменателя. Другими словами, каждый знаменатель можно равномерно разделить на ЖКИ. Затем умножьте обе части уравнения на ЖК-дисплей 6x.6x.
(6x) (72x − 53x) = (223) (6x) (6x) (72x) — (6x) (53x) = (223) (6x) Используйте свойство распределения. (6x) (72x) — (6x) (53x) = (223) (6x) Сократить общие множители 3 (7) −2 (5) = 22 (2x) Умножить оставшиеся множители на каждый числитель. 21−10 = 44×11 = 44×1144 = x14 = x (6x ) (72x − 53x) = (223) (6x) (6x) (72x) — (6x) (53x) = (223) (6x) Используйте свойство распределения.(6x) (72x) — (6x) (53x) = (223) (6x) Сократить общие множители 3 (7) −2 (5) = 22 (2x) Умножить оставшиеся множители на каждый числитель. 21−10 = 44×11 = 44×1144 = x14 = x
Распространенная ошибка, которую допускают при решении рациональных уравнений, заключается в нахождении ЖК-дисплея, когда один из знаменателей является биномом — добавляются или вычитаются два члена, например (x + 1). (X + 1). Всегда рассматривайте бином как отдельный фактор — термины нельзя разделить. Например, предположим, что в задаче есть три члена, а знаменатели — x, x, x − 1, x − 1 и 3x − 3.3х − 3. Во-первых, разложите на множители все знаменатели. Тогда у нас есть знаменатели x, x, (x − 1), (x − 1) и 3 (x − 1) 3 (x − 1). (Обратите внимание на скобки, заключенные вокруг второго знаменателя.) Только два последних знаменателя имеют общий множитель (x − 1). (X − 1). Xx в первом знаменателе отделен от xx в знаменателях (x − 1) (x − 1). Эффективный способ запомнить это — записать факторизованные и биномиальные знаменатели в круглые скобки и рассматривать каждую скобку как отдельную единицу или отдельный фактор. ЖК-дисплей в этом случае находится путем умножения x, x, одного множителя (x − 1), (x − 1) и 3.Таким образом, ЖК-дисплей выглядит следующим образом:
x (x − 1) 3 = 3x (x − 1) x (x − 1) 3 = 3x (x − 1)
Таким образом, обе части уравнения будут умножены на 3x (х-1) .3х (х-1). Оставьте ЖК-дисплей в факторизованной форме, так как так будет легче увидеть, как сокращается каждый знаменатель в задаче.
Другой пример — задача с двумя знаменателями, такими как xx и x2 + 2x.x2 + 2x. После того, как второй знаменатель разложен на множители как x2 + 2x = x (x + 2), x2 + 2x = x (x + 2), в обоих знаменателях будет общий множитель x , а ЖК-дисплей будет x (x + 2 ).х (х + 2).
Иногда мы имеем рациональное уравнение в форме пропорции; то есть, когда одна дробь равна другой дроби и в уравнении нет других членов.
Мы можем использовать другой метод решения уравнения без нахождения ЖК-дисплея: перекрестное умножение. Умножаем члены, переходя через знак равенства.
Умножаем a (d) a (d) и b (c), b (c), получаем ad = bc.ad = bc.
Любое решение, которое делает знаменатель в исходном выражении равным нулю, должно быть исключено из возможных.
Рациональные уравнения
Рациональное уравнение содержит по крайней мере одно рациональное выражение, в котором переменная входит по крайней мере в один из знаменателей.
Как к
Решите рациональное уравнение.
- Разложите все знаменатели в уравнении на множители.
- Найдите и исключите значения, при которых каждый знаменатель будет равен нулю.
- Найдите ЖК-дисплей.
- Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей. Если ЖК-дисплей правильный, знаменателей не останется.
- Решите оставшееся уравнение.
- Убедитесь, что вы проверили решения в исходных уравнениях, чтобы решение не давало ноль в знаменателе.
Пример 4
Решение рационального уравнения без факторинга
Решите следующее рациональное уравнение:
Решение
У нас есть три знаменателя: x, x, 2,2 и 2x, 2x. Факторинга не требуется. Произведение первых двух знаменателей равно третьему знаменателю, поэтому ЖК-дисплей равен 2x.2x. Только одно значение исключается из набора решений, 0. Затем умножьте все уравнение (обе стороны от знака равенства) на 2x.2x.
2x (2x − 32) = (72x) 2x2x (2x) −2x (32) = (72x) 2xDistribute 2x.2 (2) −3x = 7 Знаменатели сокращаются. 4−3x = 7−3x = 3x = −1или { −1} 2x (2x − 32) = (72x) 2x2x (2x) −2x (32) = (72x) 2xDistribute 2x.2 (2) −3x = 7 Знаменатели сокращаются. 4−3x = 7−3x = 3x = −1or {−1}
Предлагаемое решение — −1, что не является исключенным значением, поэтому набор решений содержит одно число, −1, −1 или {−1} {- 1}, записанное в обозначении набора.
Попробуй # 3
Решите рациональное уравнение: 23x = 14−16x.23x = 14−16x.
Пример 5
Решение рационального уравнения путем разложения знаменателя на множители
Решите следующее рациональное уравнение: 1x = 110−34x.1x = 110−34x.
Решение
Сначала найдите общий знаменатель. Три знаменателя в факторизованном виде: x, 10 = 2⋅5, x, 10 = 2⋅5 и 4x = 2⋅2⋅x. 4x = 2⋅2⋅x. Наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей, равно 20x.20x. Только x = 0x = 0 является исключенным значением. Умножьте все уравнение на 20x,20x.
20x (1x) = (110−34x) 20×20 = 2x − 1535 = 2×352 = x20x (1x) = (110−34x) 20×20 = 2x − 1535 = 2×352 = x
Решение: 352,352.
Попробуй # 4
Решите рациональное уравнение: −52x + 34x = −74. − 52x + 34x = −74.
Пример 6
Решение рациональных уравнений с биномом в знаменателе
Решите следующие рациональные уравнения и укажите исключенные значения:
- ⓐ 3x − 6 = 5x3x − 6 = 5x
- ⓑ xx − 3 = 5x − 3−12xx − 3 = 5x − 3−12
- ⓒ xx − 2 = 5x − 2−12xx − 2 = 5x − 2−12
Решение
- ⓐ
Знаменатели xx и x − 6x − 6 не имеют ничего общего.Следовательно, ЖКД — это произведение x (x − 6) .x (x − 6). Однако для этой задачи мы можем произвести перекрестное умножение.
3x − 6 = 5x3x = 5 (x − 6) Распределить. 3x = 5x − 30−2x = −30x = 153x − 6 = 5x3x = 5 (x − 6) Распределить. 3x = 5x − 30−2x = −30x = 15
Решение: 15. Исключенные значения: 66 и 0,0.
- ⓑ
ЖК-дисплей равен 2 (x − 3) .2 (x − 3). Умножим обе части уравнения на 2 (x − 3) .2 (x − 3).
2 (x − 3) (xx − 3) = (5x − 3−12) 2 (x − 3) 2 (x − 3) xx − 3 = 2 (x − 3) 5x − 3−2 (x − 3 ) 22x = 10− (x − 3) 2x = 10 − x + 32x = 13 − x3x = 13x = 1332 (x − 3) (xx − 3) = (5x − 3−12) 2 (x − 3) 2 (x − 3) xx − 3 = 2 (x − 3) 5x − 3−2 (x − 3) 22x = 10− (x − 3) 2x = 10 − x + 32x = 13 − x3x = 13x = 133
Решение — 133.133. Исключенное значение — 3,3.
- ⓒ
Наименьший общий знаменатель равен 2 (x − 2) .2 (x − 2). Умножаем обе части уравнения на x (x − 2) .x (x − 2).
2 (x − 2) (xx − 2) = (5x − 2−12) 2 (x − 2) 2x = 10− (x − 2) 2x = 12 − x3x = 12x = 42 (x − 2) (xx −2) = (5x − 2−12) 2 (x − 2) 2x = 10− (x − 2) 2x = 12 − x3x = 12x = 4
Решение: 4. Исключенное значение: 2.2.
Попробуй # 5
Решите −32x + 1 = 43x + 1. − 32x + 1 = 43x + 1. Укажите исключенные значения.
Пример 7
Решение рационального уравнения с факторизованными знаменателями и указанием исключенных значений
Решите рациональное уравнение после разложения знаменателей на множители: 2x + 1−1x − 1 = 2xx2−1.2x + 1−1x − 1 = 2xx2−1. Укажите исключенные значения.
Решение
Мы должны разложить знаменатель x2−1.x2−1 на множители. Мы распознаем это как разность квадратов и множим на множители (x − 1) (x + 1). (X − 1) (x + 1). Таким образом, ЖК-дисплей, содержащий каждый знаменатель, равен (x − 1) (x + 1). (X − 1) (x + 1). Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей, вычеркните знаменатели и решите оставшееся уравнение.
(x − 1) (x + 1) (2x + 1−1x − 1) = (2x (x − 1) (x + 1)) (x − 1) (x + 1) 2 (x − 1) — 1 (x + 1) = 2x2x − 2 − x − 1 = 2x Распределите знак минус.−3 − x = 0−3 = x (x − 1) (x + 1) (2x + 1−1x − 1) = (2x (x − 1) (x + 1)) (x − 1) (x +1) 2 (x − 1) −1 (x + 1) = 2x2x − 2 − x − 1 = 2x Распределите знак минус. −3 − x = 0−3 = x
Решение: −3. − 3. Исключенные значения — 11 и -1.
Попробуй # 6
Решите рациональное уравнение: 2x − 2 + 1x + 1 = 1×2 − x − 2.2x − 2 + 1x + 1 = 1×2 − x − 2.
Поиск линейного уравнения
Возможно, наиболее знакомая форма линейного уравнения — это форма пересечения наклона, записанная как y = mx + b, y = mx + b, где m = slopem = slope и b = y-точка пересечения.b = y-точка пересечения. Начнем со склона.
Уклон прямой
Наклон линии относится к отношению вертикального изменения y к горизонтальному изменению x между любыми двумя точками на линии. Он указывает направление, в котором наклоняется линия, а также ее крутизну. Наклон иногда называют подъемом через пробег.
m = y2 − y1x2 − x1m = y2 − y1x2 − x1
Если наклон положительный, линия наклоняется вправо. Если наклон отрицательный, линия наклоняется влево.По мере увеличения наклона линия становится круче. Некоторые примеры показаны на рисунке 2. Линии указывают следующие наклоны: m = −3, m = −3, m = 2, m = 2 и m = 13. m = 13.
Рисунок 2
Уклон прямой
Наклон линии м представляет изменение y по сравнению с изменением x. Для двух точек (x1, y1) (x1, y1) и (x2, y2), (x2, y2) следующая формула определяет наклон прямой, содержащей эти точки:
m = y2 − y1x2 − x1m = y2 − y1x2 − x1
Пример 8
Нахождение наклона прямой по двум точкам
Найдите наклон прямой, проходящей через точки (2, −1) (2, −1) и (−5,3).(-5,3).
Решение
Подставляем в формулу значения y- и x- .
m = 3 — (- 1) −5−2 = 4−7 = −47m = 3 — (- 1) −5−2 = 4−7 = −47
Угловой коэффициент равен −47. − 47.
Анализ
Не имеет значения, какая точка называется (x1, y1) (x1, y1) или (x2, y2). (X2, y2). Пока мы согласны с порядком членов x и порядком x членов в числителе и знаменателе, вычисление даст тот же результат.
Попробуй # 7
Найдите наклон прямой, проходящей через точки (−2,6) (- 2,6) и (1,4). (1,4).
Пример 9
Определение наклона и точки пересечения
y- прямой по уравнению
Определите наклон и точку пересечения y- по уравнению y = −34x − 4.y = −34x − 4.
Решение
Поскольку линия имеет форму y = mx + by = mx + b, данная линия имеет наклон m = −34.m = −34. Пересечение y- равно b = −4.б = −4.
Анализ
Пересечение y — это точка, в которой линия пересекает ось y- . По оси y- x = 0.x = 0. Мы всегда можем идентифицировать точку пересечения y- , когда линия находится в форме пересечения с наклоном, так как она всегда будет равна b. Или просто подставьте x = 0x = 0 и решите для y.
Формула точечного уклона
Учитывая наклон и одну точку на прямой, мы можем найти уравнение прямой, используя формулу наклона точки.
у-у1 = м (х-х1) у-у1 = м (х-х1)
Это важная формула, так как она будет использоваться в других областях алгебры колледжей и часто в исчислении, чтобы найти уравнение касательной. Для использования формулы нам нужна только одна точка и наклон линии. Подставив в формулу уклон и координаты одной точки, мы ее упрощаем и записываем в форме пересечения наклона.
Формула точечного уклона
Учитывая одну точку и угол наклона, формула наклона точки приведет к уравнению прямой:
у-у1 = м (х-х1) у-у1 = м (х-х1)
Пример 10
Нахождение уравнения прямой с учетом наклона и одной точки
Напишите уравнение прямой с наклоном m = −3m = −3, проходящей через точку (4,8).(4,8). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.
Решение
Используя формулу «точка-наклон», замените −3−3 на м и точку (4,8) (4,8) вместо (x1, y1). (X1, y1).
y − y1 = m (x − x1) y − 8 = −3 (x − 4) y − 8 = −3x + 12y = −3x + 20y − y1 = m (x − x1) y − 8 = −3 ( x − 4) y − 8 = −3x + 12y = −3x + 20
Анализ
Обратите внимание, что любую точку на линии можно использовать для поиска уравнения. Если все сделано правильно, будет получено такое же окончательное уравнение.
Попробуй # 8
Для m = 4, m = 4 найти уравнение прямой в форме пересечения с уклоном, проходящей через точку (2,5).(2,5).
Пример 11
Нахождение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (3,4) (3,4) и (0, −3). (0, −3). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.
Решение
Сначала мы вычисляем наклон, используя формулу наклона и две точки.
m = −3−40−3 = −7−3 = 73m = −3−40−3 = −7−3 = 73
Далее мы используем формулу угла наклона точки с наклоном 73,73, и либо точка .Выберем точку (3,4) (3,4) для (x1, y1). (X1, y1).
y − 4 = 73 (x − 3) y − 4 = 73x − 7 Распределить 73. y = 73x − 3y − 4 = 73 (x − 3) y − 4 = 73x − 7 Распределить 73.y = 73x − 3
В форме пересечения наклона уравнение записывается как y = 73x − 3.y = 73x − 3.
Анализ
Чтобы доказать, что можно использовать любую точку, давайте воспользуемся второй точкой (0, −3) (0, −3) и посмотрим, получим ли мы такое же уравнение.
y — (- 3) = 73 (x − 0) y + 3 = 73xy = 73x − 3y — (- 3) = 73 (x − 0) y + 3 = 73xy = 73x − 3
Мы видим, что та же линия будет получен с использованием любой точки.Это имеет смысл, потому что мы использовали обе точки для расчета наклона.
Стандартная форма строки
Другой способ представления уравнения прямой — в стандартной форме. Стандартная форма —
.
, где A, A, B, B и CC — целые числа. Члены x- и y- находятся по одну сторону от знака равенства, а постоянный член — с другой стороны.
Пример 12
Нахождение уравнения линии и запись его в стандартной форме
Найдите уравнение прямой с m = −6m = −6, проходящей через точку (14, −2).(14, −2). Напишите уравнение в стандартной форме.
Решение
Начнем с формулы «точка-наклон».
y — (- 2) = — 6 (x − 14) y + 2 = −6x + 32y — (- 2) = — 6 (x − 14) y + 2 = −6x + 32
Отсюда умножаем на на 2, так как в стандартной форме дроби не допускаются, а затем переместите обе переменные влево от знака равенства и переместите константы вправо.
2 (y + 2) = (- 6x + 32) 22y + 4 = −12x + 312x + 2y = −12 (y + 2) = (- 6x + 32) 22y + 4 = −12x + 312x + 2y = — 1
Это уравнение теперь записано в стандартной форме.
Попробуй # 9
Найдите уравнение прямой в стандартной форме с наклоном m = −13m = −13, проходящей через точку (1,13). (1,13).
Вертикальные и горизонтальные линии
Уравнения вертикальных и горизонтальных линий не требуют каких-либо предыдущих формул, хотя мы можем использовать их, чтобы доказать, что уравнения верны. Уравнение вертикальной линии задается как
, где c — постоянная. Наклон вертикальной линии не определен, и независимо от значения y- любой точки на линии координата x- точки будет c .
Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующие точки: (−3, −5), (- 3,1), (- 3,3), (- 3, −5), (- 3 , 1), (- 3,3) и (−3,5). (- 3,5). Сначала найдем уклон.
m = 5−3−3 — (- 3) = 20m = 5−3−3 — (- 3) = 20
Ноль в знаменателе означает, что наклон не определен и, следовательно, мы не можем использовать точечный наклон формула. Однако мы можем нанести точки. Обратите внимание, что все координаты x- одинаковы, и мы находим вертикальную линию через x = −3.x = −3. См. Рисунок 3 .
Уравнение горизонтальной линии задается как
, где c — постоянная. Наклон горизонтальной линии равен нулю, и для любого значения x- точки на линии координата y- будет c .
Предположим, мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующий набор точек: (−2, −2), (0, −2), (3, −2), (- 2, −2), ( 0, −2), (3, −2) и (5, −2). (5, −2). Мы можем использовать формулу «точка-наклон». Сначала мы находим наклон, используя любые две точки на прямой.
m = −2 — (- 2) 0 — (- 2) = 02 = 0 m = −2 — (- 2) 0 — (- 2) = 02 = 0
Используйте любую точку для (x1, y1) (x1, y1) в формуле или используйте точку пересечения y .
y — (- 2) = 0 (x − 3) y + 2 = 0y = −2y — (- 2) = 0 (x − 3) y + 2 = 0y = −2
График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через y = −2.y = −2. Обратите внимание, что все координаты y- совпадают. См. Рисунок 3.
Рис. 3 Линия x = −3 — вертикальная линия. Прямая y = −2 — горизонтальная линия.
Пример 13
Нахождение уравнения прямой, проходящей через заданные точки
Найдите уравнение прямой, проходящей через заданные точки: (1, −3) (1, −3) и (1,4).(1,4).
Решение
Координата x- обеих точек равна 1. Следовательно, у нас есть вертикальная линия, x = 1.x = 1.
Попробуй # 10
Найдите уравнение прямой, проходящей через (−5,2) (- 5,2) и (2,2). (2,2).
Определение параллельности или перпендикулярности графиков линий
Параллельные прямые имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Линии, параллельные друг другу, никогда не пересекаются.Например, на рисунке 4 показаны графики различных линий с одинаковым наклоном m = 2.m = 2.
Рисунок 4 Параллельные линии
Все линии, показанные на графике, параллельны, потому что они имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- .
Перпендикулярные линии пересекаются, образуя угол 90 ° 90 °. Наклон одной линии противоположен другой. Мы можем показать, что две прямые перпендикулярны, если произведение двух угловых коэффициентов равно −1: m1⋅m2 = −1.−1: m1⋅m2 = −1. Например, на рисунке 5 показан график из двух перпендикулярных линий. Одна линия имеет наклон 3; другая линия имеет наклон -13.-13.
m1⋅m2 = −13⋅ (−13) = — 1m1⋅m2 = −13⋅ (−13) = — 1
Рисунок 5 Перпендикулярные линии
Пример 14
Построение графика двух уравнений и определение того, параллельны ли линии, перпендикулярны или нет
Изобразите уравнения данных прямых и укажите, параллельны ли они, перпендикулярны или нет: 3y = −4x + 33y = −4x + 3 и 3x − 4y = 8.3х − 4у = 8.
Решение
Первое, что мы хотим сделать, это переписать уравнения так, чтобы оба уравнения были в форме пересечения наклона.
Первое уравнение:
3y = −4x + 3y = −43x + 13y = −4x + 3y = −43x + 1
Второе уравнение:
3x − 4y = 8−4y = −3x + 8y = 34x-23x − 4y = 8−4y = −3x + 8y = 34x-2
См. График обеих линий на рисунке 6
Рисунок 6
На графике мы видим, что линии кажутся перпендикулярными, но мы должны сравнить наклоны.
m1 = −43m2 = 34m1⋅m2 = (- 43) (34) = — 1m1 = −43m2 = 34m1⋅m2 = (- 43) (34) = — 1
Наклоны являются отрицательными обратными друг другу, подтверждая, что линии перпендикулярны.
Попробуй # 11
Изобразите две прямые и определите, параллельны ли они, перпендикулярны или нет: 2y − x = 102y − x = 10 и 2y = x + 4,2y = x + 4.
Запись уравнений линий, параллельных или перпендикулярных заданной прямой
Как мы узнали, определение того, параллельны ли две линии или перпендикулярны, заключается в нахождении наклонов.Чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной другой прямой, мы следуем тем же принципам, что и при нахождении уравнения любой прямой. После нахождения наклона используйте формулу наклона точки, чтобы написать уравнение новой линии.
Как к
Дан уравнение линии, запишите уравнение линии, параллельной или перпендикулярной ей.
- Найдите наклон заданной линии. Самый простой способ сделать это — написать уравнение в форме пересечения наклона.
- Используйте уклон и заданную точку с формулой «точка-уклон».
- Упростите линию до формы с пересечением уклона и сравните уравнение с заданной линией.
Пример 15
Запись уравнения прямой, параллельной заданной прямой, проходящей через заданную точку
Напишите уравнение прямой, параллельной 5x + 3y = 15x + 3y = 1 и проходящей через точку (3,5). (3,5).
Решение
Сначала мы напишем уравнение в форме пересечения наклона, чтобы найти наклон.
5x + 3y = 13y = –5x + 1y = −53x + 135x + 3y = 13y = –5x + 1y = −53x + 13
Наклон m = −53.m = −53. Пересечение y- равно 13,13, но это действительно не входит в нашу проблему, поскольку единственное, что нам нужно, чтобы две линии были параллельны, — это один и тот же наклон. Единственное исключение состоит в том, что если точки пересечения y- одинаковы, то эти две линии являются одной и той же линией. Следующим шагом является использование этого уклона и данной точки с формулой «точка-уклон». ВНИМАНИЕ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
y − 5 = −53 (x − 3) y − 5 = −53x + 5y = −53x + 10y − 5 = −53 (x − 3) y − 5 = −53x + 5y = −53x + 10
Уравнение линии y = −53x + 10.у = -53х + 10. См. Рисунок 7 .
Рисунок 7
Попробуй # 12
Найдите уравнение прямой, параллельной 5x = 7 + y5x = 7 + y и проходящей через точку (−1, −2). (- 1, −2).
Пример 16
Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной заданной прямой, проходящей через заданную точку
Найдите уравнение прямой, перпендикулярной 5x − 3y + 4 = 05x − 3y + 4 = 0 и проходящей через точку
(−4,1). (- 4,1).
Решение
Первый шаг — написать уравнение в форме пересечения наклона.
5x − 3y + 4 = 0−3y = −5x − 4y = 53x + 435x − 3y + 4 = 0−3y = −5x − 4y = 53x + 43
Видим, что наклон m = 53.m = 53. Это означает, что наклон линии, перпендикулярной данной линии, является отрицательным обратным значением, или -35.-35. Затем мы используем формулу «точка-уклон» с этим новым уклоном и данной точкой.
y − 1 = −35 (x — (- 4)) y − 1 = −35x − 125y = −35x − 125 + 55y = −35x − 75y − 1 = −35 (x — (- 4)) y − 1 = −35x − 125y = −35x − 125 + 55y = −35x − 75
2.2 Упражнения по разделам
Устные
1.
Что означает, когда мы говорим, что две прямые параллельны?
2.
Какова взаимосвязь между наклонами перпендикулярных линий (при условии, что ни горизонтальные, ни вертикальные линии не являются ни горизонтальными, ни вертикальными)?
3.
Как узнать, когда уравнение, например y = 4x + 3, y = 4x + 3, будет прямой линией (линейной) при построении графика?
4.
Что означает, когда мы говорим, что линейное уравнение несовместимо?
5.
При решении следующего уравнения:
2x − 5 = 4x + 12x − 5 = 4x + 1
объясняет, почему мы должны исключить x = 5x = 5 и x = −1x = −1 как возможные решения из набора решений.
Алгебраическая
Для следующих упражнений решите уравнение относительно x.x.
8.
3 (x + 2) −12 = 5 (x + 1) 3 (x + 2) −12 = 5 (x + 1)
9.
12−5 (x + 3) = 2x − 512−5 (x + 3) = 2x − 5
11.
x3−34 = 2x + 312×3−34 = 2x + 312
13.
3 (2x − 1) + x = 5x + 33 (2x − 1) + x = 5x + 3
14.
2×3−34 = x6 + 2142×3−34 = x6 + 214
15.
x + 24 − x − 13 = 2x + 24 − x − 13 = 2
Для следующих упражнений решите каждое рациональное уравнение относительно x.x. Укажите все значения x , исключенные из набора решений.
17.
2−3x + 4 = x + 2x + 42−3x + 4 = x + 2x + 4
18.
3x − 2 = 1x − 1 + 7 (x − 1) (x − 2) 3x − 2 = 1x − 1 + 7 (x − 1) (x − 2)
19.
3xx − 1 + 2 = 3x − 13xx − 1 + 2 = 3x − 1
20.
5x + 1 + 1x − 3 = −6×2−2x − 35x + 1 + 1x − 3 = −6×2−2x − 3
Для следующих упражнений найдите уравнение прямой, используя формулу угла наклона точки.
Напишите все окончательные уравнения, используя форму пересечения наклона.
22.
(0,3) (0,3) с уклоном 2323
23.
(1,2) (1,2) с наклоном −45−45
24.
x -перехват 1, а (−2,6) (- 2,6)
25.
y -перехват 2 и (4, −1) (4, −1)
26.
(−3,10) (- 3,10) и (5, −6) (5, −6)
27.
(1,3) и (5,5) (1,3) и (5,5)
28.
параллельно y = 2x + 5y = 2x + 5 и проходит через точку (4,3) (4,3)
29.
перпендикулярно 3y = x − 43y = x − 4 и проходит через точку (−2,1) (- 2,1).
Для следующих упражнений найдите уравнение линии, используя предоставленную информацию.
30.
(−2,0) (- 2,0) и (−2,5) (- 2,5)
31.
(1,7) (1,7) и (3,7) (3,7)
32.
Наклон не определен и проходит через точку (2,3). (2,3).
33.
Наклон равен нулю и проходит через точку (1, −4). (1, −4).
34.
Уклон 3434, проходит через точку (1,4) (1,4).
35.
(–1,3) (- 1,3) и (4, –5) (4, –5)
Графический
Для следующих упражнений нарисуйте пару уравнений на одних и тех же осях и укажите, параллельны ли они, перпендикулярны или нет.
36.
y = 2x + 7y = −12x − 4y = 2x + 7y = −12x − 4
37.
3x − 2y = 56y − 9x = 63x − 2y = 56y − 9x = 6
38.
y = 3x + 14y = 3x + 2y = 3x + 14y = 3x + 2
Числовой
Для следующих упражнений найдите наклон линии, проходящей через указанные точки.
40.
(5,4) (5,4) и (7,9) (7,9)
41.
(−3,2) (- 3,2) и (4, −7) (4, −7)
42.
(−5,4) (- 5,4) и (2,4) (2,4)
43.
(−1, −2) (- 1, −2) и (3,4) (3,4)
44.
(3, −2) (3, −2) и (3, −2) (3, −2)
Для следующих упражнений найдите наклон линий, проходящих через каждую пару точек, и определите, параллельны они или перпендикулярны.
45.
(−1,3) и (5,1) (- 2,3) и (0,9) (- 1,3) и (5,1) (- 2,3) и (0,9 )
46.
(2,5) и (5,9) (- 1, −1) и (2,3) (2,5) и (5,9) (- 1, −1) и (2,3 )
Технологии
Для следующих упражнений выразите уравнения в форме пересечения наклона (округлив каждое число до тысячных долей). Введите это значение в графический калькулятор как Y1, затем настройте значения ymin и ymax для вашего окна, чтобы включить точку пересечения y . Укажите свои значения ymin и ymax.
47.
0,537x − 2,19y = 1000,537x − 2,19y = 100
48.
4,500x − 200y = 9,5284,500x − 200y = 9,528
49.
200−30yx = 70200−30yx = 70
Расширения
50.
Исходя из формулы углового коэффициента y − y1 = m (x − x1), y − y1 = m (x − x1), решите это выражение для xx через x1, y, y1, x1, y, y1 и мм.
51.
Начиная со стандартной формы уравнения Ax + By = CAx + By = C, решите это выражение для yy через A, B, CA, B, C и xx. Затем представьте выражение в форме пересечения наклона.
52.
Используйте полученную выше формулу, чтобы представить следующее стандартное уравнение в форме пересечения наклона: 7x − 5y = 25,7x − 5y = 25.
53.
Учитывая, что следующие координаты являются вершинами прямоугольника, докажите, что это действительно прямоугольник, показав, что наклоны сторон, которые встречаются, перпендикулярны.
(–1,1), (2,0), (3,3) (- 1,1), (2,0), (3,3) и (0,4) (0,4)
54.
Найдите наклон диагоналей в предыдущем упражнении. Они перпендикулярны?
Реальные приложения
55.
Уклон пандуса для инвалидных колясок для дома должен быть 112.112. Если вертикальное расстояние от земли до низа двери составляет 2,5 фута, найдите расстояние, на которое пандус должен выходить от дома, чтобы соответствовать необходимому уклону.
56.
Если уравнение прибыли для малого бизнеса, продающего xx единиц товара один и yy количества товара два, равно p = 3x + 4y, p = 3x + 4y, найдите значение yy, когда p = 453 доллара США и x = 75.p = 453 доллара США и x = 75.
Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Стоимость аренды автомобиля составляет 45 долларов в неделю плюс 0 долларов.За эту неделю проехал 25 миль / миль. Уравнение для представления стоимости будет иметь вид y = 45 + 0,25x, y = 45 + 0,25x, где xx — количество пройденных миль.
57.
Сколько вам будет стоить проехать 50 миль?
58.
Если ваша стоимость составляла 63,75 долл. США, 63,75 долл. США, сколько миль вам пришлось заплатить за поездку?
59.
Предположим, у вас есть максимум 100 долларов, чтобы потратить на аренду автомобиля. Какое максимальное количество миль вы могли бы преодолеть?
.