n} \)

6) aⁿ > 0

7) aⁿ > 1, если a > 1, n > 0

8) aⁿm, если a > 1, n

9) aⁿ > a^m, если 0

В практике часто используются функции вида y = a^x, где a — заданное положительное число, x — переменная.
Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является
показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a^x, где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень a^x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a^x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней,
если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a^x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и
убывающей, если 0
Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = a^x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a^x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и
расположен выше оси Oх.

Если х x при a > 0.

Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a^x при 0
Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является
горизонтальной асимптотой графика.

Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a^x = a^b где а > 0, \( a \neq 1\),
х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны
тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2^3x • 3^x = 576

Так как 2^3x = (2³)^x = 8^x, 576 = 24², то уравнение можно записать в виде
8^x • 3^x = 24², или в виде 24^x = 24², откуда х = 2.

Ответ х = 2

Решить уравнение 3^{х + 1} — 2 • 3^{x — 2} = 25

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3^{х — 2}, получаем 3^{х — 2}(3³ — 2) = 25,
3^{х — 2} • 25 = 25,

откуда 3^{х — 2} = 1, x — 2 = 0, x = 2

Ответ х = 2

Решить уравнение 3^х = 7^х

Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac{3^x}{7^x} = 1 \), откуда \( \left( \frac{3}{7} \right) ^x = 1 \), х = 0

Ответ х = 0

Решить уравнение 9^х — 4 • 3^х — 45 = 0

Заменой 3^х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t² — 4t — 45 = 0.2

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Формулы сокращенного умножения

У нас есть сумма (разница) двух чисел и нам необходимо избавиться от скобок, используя
формулы для сокращенного умножения:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x — y)² = x² — 2xy + y²

Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a)² = 10² + 2.10.5a + (5a)² = 100 + 100a + 25a²
(10 — 4)² = 10² — 2.10.4 + 4² = 100 — 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a² = 5² + 2.2.5 + (2a)² = (5 + 2a)²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x — y)³ = x³ — 3x²y + 3xy² — y³

Пример: (1 + a²)³ = 1³ + 3.1².a² +
3.1.(a²)² + (a²)³ = 1 + 3a² + 3a⁴ + a⁶

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z)² = x² + y² + z² — 2xy — 2xz + 2yz

x² — y² = (x — y)(x + y)

x² + y² = (x + y)² — 2xy
или
x² + y² = (x — y)² + 2xy

Пример: 9a² — 25b² = (3a)² — (5b)² =
(3a — 5b)(3a + 5b)

x³ — y³ = (x — y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² — xy + y²)

Если n есть натуральное число

xⁿ — yⁿ = (x — y)(x^n-1 + x^n-2y +…+ y^n-2x + y^n-1)

Если n есть чётное (n = 2k)

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 — x^n-2y +.2 + 20$

3) Решите уравнение: x² — 25 = 0
Решение: x² — 25 = (x — 5)(x + 5)
=> чтобы решить это уравнение мы должны решить 2 следующих выражения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
и поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5

Больше

Тест — формулы сокращенного умножения

Действия с многочленами — задачи с решениями

Разложиние на множители — задачи с решениями

Формулы сокращенного умножения в математическом форуме

Решение простых показательных уравнений

Простые примеры на показательные уравнения позволят овладеть методикой их решения. Задания не слишком сложные и будут полезными для всех кто изучает показательные уравнения, готовится к тестированию, контрольным или вступительным экзаменам.

Пример 1. Решить уравнение (0,5)^х =.
Решение: Первое что нужно сделать это свести уравнение к одному основанию. С этой целью преобразуем правую сторону показательного уравнения

В итоге уравнение сведется к виду

Теперь основы ровны, поэтому можем приравнять показатели

и найти ответ x=-2,5.

Вот такие простые вычисления.

Пример 2. Решить уравнение (2/3)^х*(9/8^)х =27/64.
Решение: Преобразим правую и левую сторону показательного уравнения к одной основе

Подставим в уравнение и приравняем показатели

Таким простым методом нашли решение показательного уравнения x=3.

Пример 3. Решить уравнение 5^2х-7^х-35*5^2х+35*7^х=0.
Решение: Сгруппируем слагаемые, содержащие 5^2х и 7^х.

Последняя запись показательного уравнения многих заводит в тупик. (Не всем легко найти ответ).
Тогда, давайте перепишем уравнение в виде

Согласно свойствам показательных функций решение равно нулю x=0. Только возведением к 0 степени можно получить единицу.
Для наглядности посмотрите графики показательных функций. Они пересекаются в точке x=0.

Пример 4. Решить уравнение 14^х+2+5*14^х-1=2749.
Решение: В подобных задачах необходимо вынести основу с наименьшим показателем. Для этого распишем уравнение к виду

Получили что решение равно единице.

Пример 5. Решить уравнение (0,6)^х+2 =25/9 .
Решение: Такого рода задачи следует решать по следующей схеме.
Обязательно превратить число 0,6 к дробному виду

Далее уже поступают исходя из условия, в нашем случае превращаем правую сторону.

Приравниваем показатели, предварительно изменив знак в каком либо, чтобы получить одинаковую основу
x+2=-2; x=-2-2=-4.
Решение показательного уравнения x=-4.

Пример 6. Решить уравнение (0,25)^х-1=2*sqrt(2)
Решение: Преобразим показательное уравнение к одной основе

Подставим выражение в уравнение

Решение уравнения равно 1/4.

Пример 7. Решить уравнение (1,44)^х-4=6/5.
Решение: Не сразу можно догадаться как упрощать уравнения.
Распишем сначала правую сторону 6/5=1,2.
Основу в показателе сводим к виду

После подстановки приравниваем показатели при одинаковых основаниях

2(x-4)=1; 2x-8=1; 2x=9;x=9/2=4,5.

Решения уравнения x=4,5.

Пример 8. Решить уравнение
Решение: Используем основополагающее правило для показательных уравнений — свести уравнение к слагаемым с одинаковым основанием.
Выполним манипуляции с основой

Подставляем в уравнение и приравниваем степени

Решение показательного уравнения равно x=-2.

Пример 9. Решить уравнение 3^х-1+3^х-2+3^х-3=13.
Решение: Расписываем слагаемые так, чтобы потом сгруппировать слагаемые с одинаковим показником

Дальнейшие действия достаточно просты

Уравнение удавлетваряет значение x=3.

Пример 10. Найти сумму решений уравнения
Решение: Можно догадаться что придется вычислять квадратное уравнение. Но к нему еще нужно прийти. Для начала запишем 0,6 в виде

Подставим в показательное уравнения

Теперь можно приравнять степени при основаниях

Корни уровнения x=0; x=-1/2.
Их сумма равна
0-1/2=-0,5.

На этом знакомство с возможными примерами простых показательных уравнений завершено. Сложные примеры можно найти на страницах сайта. Оставайтесь с нами и мы подготовим Вас лучше репетиторов.

Похожие материалы:

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5  имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x²+4x-3

1.  Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

x-3=-x²+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

x² -3х=0

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х₁=0, х₂=3

Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x²+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₂=3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

3-x=-x²+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

x²-5х+6=0

х₁=2, х₂=3

Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x²+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₁=2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень  х=2.

Ответ:  х=3, х=2

Уравнения с параметром

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением
с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это
значит, для каждого значения а найти значения
х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

1. Если а = 0, то 0х = 0
   
                            
   х – любое действительное число
2. Если а 0, то х =
   
                           
   х = 0

Пример 2. ах = а

1. Если а = 0, то 0х = 0
   
                            
   х – любое действительное число
2. Если а 0, то х =
   
                          
   х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах

х – ах = -2

х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней
нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а² – 1) х = 2а² + а – 3

(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)

(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0

                         
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2

                         
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а
соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

2. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

3. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число,
кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

4. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

5. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

6. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = —с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х² = 2(2а + 1)х + 4а
+ 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0

х = –

В случае а 1 выделим
те значения параметра, при которых Д
обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))² – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а²
+ 16а + 4 – 4(4а² + 3а – 4а – 3) = 16а²
+ 16а + 4 – 16а² + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

a =

a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет
действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1,
то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

х = – = –

Пример 2. При каких значениях
параметра а уравнение

х² + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2
различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1)² – 4(9а – 5) = 4а²
– 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х₁ + х₂ = -2(а + 1)

                    
х₁х₂ = 9а – 5

По условию х₁ < 0, х₂ < 0 то
–2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

Пример 3. Найдите значения а, при
которых данное уравнение имеет решение.

х² – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1)² – 4(2а + 10 = 4а²
– 8а + 4 – 8а – 4 = 4а² – 16а

4а² – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0

                
а = 4

(Рис. 2)

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах²
– (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х²
+ 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а²
– 6а + 8) х² + (а² – 4) х + (10
– 3а – а²) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х² + х
– а = 0 имеет хотя бы один общий корень с
уравнением 2х² – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х² +ах
+ 1 = 0 и х² + х + а = 0 имеют хотя бы
один общий корень?

Ответы:

1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = — 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а,
при которых уравнение

9^х – (а + 2)*3^х-1/х +2а*3^-2/х =
0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3^2/х,
получим равносильное уравнение

3^2(х+1/х) – (а + 2)*3^х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3^х+1/х = у, тогда уравнение (2)
примет вид у² – (а + 2)у + 2а = 0,
или

(у – 2)(у – а) = 0, откуда у₁ =2, у₂
= а.

Если у = 2, т.е. 3^х+1/х = 2 то х + 1/х =
log₃2 , или х² – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней,
так как его Д = log²₃2 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3^х+1/х = а то х +
1/х = log₃а, или х² – хlog₃а
+ 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и
только тогда, когда

Д = log²₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а
< -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2. При каких значениях а
уравнение 2^2х – (а – 3) 2^х – 3а = 0
имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело
решения, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение t² – (a – 3) t – 3a = 0
имело хотя бы один положительный корень. Найдем
корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂
= а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25^х – (2а + 5)*5^х-1/х + 10а * 5^-2/х
= 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2^{(а-1)х?+2(а+3)х+а} = 1/4 имеет единственный
корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4^х — (5а-3)2^х +4а² – 3а =
0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 < а
   3/4 и а = 1

Логарифмические уравнения с
параметром

Пример 1. Найти все значения а,
при которых уравнение

log_4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х
> 0, х 1/4 (3)

х = у

ау² –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау²
– 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и
только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный
положительный корень х = 1, удовлетворяющий
условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4)
имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет
действительные корни разных знаков. Это условие
выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0
и 1/а < 0, т.е. при а < 0.

Пример 2. Найти все значения а,
при которых уравнение

log₅(x = 2-a ) – log_1/5(a-1-x)
= log₂₅9 имеет решение.

Решение. log₅(x + 2-a) –log₅(f – 1 – x) = log₅3

(1) х + 2 – а = 3(а
– 1 – х), если

(2) а – 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем
неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики
функций у = 2 – а и
у = 1 – а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀;
2), где а₀ < 0 и а₀ – корень
уравнения 2 – а = 1 – а.

Тогда 2 – а = (1– а)²

а² – а – 1 = 0

а₀ =

Ответ: < a
2

Дидактический материал

1. Найдите, при каких значениях а уравнение log ₃
   (9^x + 9a³)^{= x имеет ровно
   два корня.}
2. Найдите, при каких значениях а уравнение log ₂
   (4^x – a) = x имеет единственный корень.
3. При каких значениях а уравнение х – log ₃ (2а
   – 9^х) = 0 не имеет корней.

Ответы:

1. при а < 1/3 36
2. при а = -1/4
3. при а < -1/8

Литература

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика.
Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x представляют число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными.Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, равен ли левый член правому.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв. 3 — это решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

— эквивалентные уравнения, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если одно и то же количество добавляется или вычитается из обоих элементов
уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному
уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получится

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 — эквивалентные уравнения, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем генерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала добавим -1 (или вычтем 1 из) каждого члена, мы получим

2x + 1-1 = x — 2-1

2x = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре мы можем видеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании последнее уравнение можно записать как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА DIVISION

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое)
количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3x = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Во-первых, умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждый член на 3,

Пример 3 Решить.

Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги по решению уравнений первой степени:

1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
2. Используя свойство сложения или вычитания, напишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
5. Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем над дробной чертой перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы разделим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых есть более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

Разложите на множители биномы с использованием разности квадратов 1 / x2 = 1 Решатель алгебры тигра

Переформатирование ввода:

Изменения, внесенные в ваш ввод, не должны влиять на решение:

(1): «x2» было заменено на «х ^ 2».2- (1) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

 1
 Упростить ——
            x  2  

Уравнение в конце шага 1:

 1
  —— - 1 = 0
  x  2  

Шаг 2:

Переписывание целого как эквивалентной дроби:

2.1 Вычитание целого из дроби

Перепишите целое как дробь, используя x ² в качестве знаменателя:

 1 1 • х  2 
    1 = - = ——————
         1 x  2  

Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое

Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель

 
 Суммируя дроби, которые имеют общий знаменатель: 
 
 
 2.2 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
 
 Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьших членов, если возможно: 
 
 1 - (x  2 ) 1 - х  2 
 знак равно
    x  2  x  2  
 Попытка разложить на множители как разность квадратов: 
 
 2.3 Факторинг: 1 — x  2  
 
 Теория: разница двух полных квадратов, A  2  — B  2  можно разложить на (A + B) • (AB) 
 
 Доказательство: (A + B) • (AB) = 
 A  2  — AB + BA — B  2  = 
 A  2  — AB + AB — B  2  = 
 A  2  — B  2  
 
 Примечание: AB = BA — коммутативное свойство умножения.
 
 Примечание: — AB + AB равно нулю и поэтому исключается из выражения. 
 
 Проверка: 1 — квадрат 1 
 Проверка: x  2  — квадрат x  1  
 
 Факторизация: (1 + x) • (1 — x) 
 
 
 Уравнение в конце шага 2: 
 
 (x + 1) • (1 - x)
  ————————————————— = 0
         x  2  
 Шаг 3: 
 
 Когда дробь равна нулю: 
 
 3.1 Когда дробь равна нулю... 
 Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должна быть равна нулю.
 Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
 Вот как:
 (x + 1) • (1-x)
  ——————————— • x  2  = 0 • x  2 
      x  2  
 Теперь, с левой стороны, x  2  отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
 Уравнение теперь принимает форму: 
 (x + 1) • (1-x) = 0
 
 Теория — Корни продукта: 
 
 
 3.2 Произведение нескольких членов равно нулю. 
 
 Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю. 
 
 Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно 
 
 Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте 
 
 Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.
 
 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 
 3.3 Решите: x + 1 = 0 
 
 Вычтите 1 из обеих частей уравнения: 
 x = -1 
 
 
 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 
 3. 2 = 0 Tiger Algebra Solver  
 Пошаговое решение: 
 
 Шаг 1: 
 
 2
 Упростить ——
            x  2  
 Уравнение в конце шага 1: 
 1 2
  (- - 1) - —— = 0
   x x  2  
 Шаг 2: 
 1
 Упростить -
            Икс
 
 Уравнение в конце шага 2: 
 1 2
  (- - 1) - —— = 0
   x x  2  
 Шаг 3: 
 Переписывание целого как эквивалентной дроби: 
 3.1 Вычитание целого из дроби
 Перепишем целое как дробь, используя x в качестве знаменателя:
 1 1 • x
    1 = - = —————
         1 х
 
 Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое
 Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель
 
 Сложение дробей с общим знаменателем: 
 
 
 3.2 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
 
 Объедините числители, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьших членов, если возможно: 
 
 1 - (x) 1 - х
 знак равно
    х х
 
 Уравнение в конце шага 3: 
 (1 - x) 2
  ——————— - —— = 0
     x x  2  
 Шаг 4: 
 
 Вычисление наименьшего общего кратного: 
 
 4.1 Найдите наименьшее общее кратное 
 
 Левый знаменатель: x 
 
 Правый знаменатель: x  2  
 
 71 
 
 Наименьшее общее  
 Расчет множителей: 
 4.2 Вычислить множители для двух дробей 
 Обозначить наименьшее общее кратное LCM 
 Обозначить левый множитель Left_M 
 Обозначить правый множитель Right_M 
 Обозначить левый знаменатель L_Deno 
 Обозначить правый множитель R_Deno 
 Left_M = LCM L_Deno = x 
 Right_M = LCM / R_Deno = 1 
 Получение эквивалентных дробей: 
 
 4.3 Перепишите две дроби в эквивалентные дроби 
 
 Две дроби называются эквивалентными, если они имеют одинаковое числовое значение.
 
 Например: 1/2 и 2/4 эквивалентны, y / (y + 1)  2  и (y  2  + y) / (y + 1)  3  также эквивалентны. 
 
 Чтобы вычислить эквивалентную дробь, умножьте числитель каждой дроби на соответствующий ей множитель. 
 
 L. Mult. • L. Num. (1-х) • х
   знак равно
         L.C.M x  2 
   R. Mult. • R. Num. 2
   знак равно
         L.C.M x  2  
 Сложение дробей с общим знаменателем: 
 
 4.4 Сложение двух эквивалентных дробей 
 
 
 (1-x) • x - (2) -x  2  + x - 2
 знак равно
       x  2  x  2  
 Шаг 5: 
 
 Вытягивание подобных терминов: 
 
 
 5.1 Вытягивание подобных факторов: 
 
 -x  2  + x — 2 = -1 • (x  2  — x + 2) 
 
 
 
 Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена 
 
 
 5.2 Факторинг x  2  — x + 2 
 
 Первый член x  2 , его коэффициент равен 1. 
 Средний член, -x, его коэффициент -1. 
 Последний член, «константа», равен +2 
 
 Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 2 = 2 
 
 Шаг-2: Найдите два множителя 2, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -1. 
 
 
 
 Сколько раз каждый алгебраический множитель 
 появляется при факторизации: 
 
 
 
 Алгебраический фактор 
 
 
 Левый 
 Знаменатель 
 
 Правый 
 Знаменатель 
 
 LCM = Макс 
 {Левый, Правый} 
 
 
 
 x 
 
 1 
 
 2 
 
 2 
 
 
        
 9 9 можно найти !! 
 Заключение: Трехчлен не может быть разложен на множители 
 
 Уравнение в конце шага 5: 
 
 -x  2  + x - 2
  ——————————— = 0
      x  2  
 Шаг 6: 
 
 Когда дробь равна нулю: 
 
 6.1 Когда дробь равна нулю ... 
 Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должен быть равен нулю.
 Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
 Вот как:
 -x  2  + x-2
  ——————— • x  2  = 0 • x  2 
    x  2  
 Теперь, с левой стороны, x  2  отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
 Уравнение теперь принимает форму: 
 -x  2  + x-2 = 0
 
 Парабола, поиск вершины: 
 
 6.2 Найдите вершину y = -x  2  + x-2
 Параболы имеют наивысшую или низшую точку, называемую Вершиной. Наша парабола открывается вниз и, соответственно, имеет наивысшую точку (также известную как абсолютный максимум). Мы знаем это даже до того, как нарисовать «y», потому что коэффициент первого члена, -1, отрицателен (меньше нуля).
 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину.Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
 Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
 Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 0,5000
 Подставив в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = -1,0 * 0,50 * 0,50 + 1,0 * 0,50 — 2,0 
 или y = -1,750
 
 Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X: 
 Корневой график для: y = -x  2  + x-2 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0.50} 
 Vertex at {x, y} = { 0.50, -1.75} 
 Функция не имеет действительных корней
 Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
 6.3 Решение -x  2  + x-2 = 0, заполнив квадрат.
 Умножьте обе части уравнения на (-1), чтобы получить положительный коэффициент для первого члена: 
 x  2  -x + 2 = 0 Вычтите 2 из обеих частей уравнения: 
 x  2  -x = -2
 А теперь хитрый бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат, получив 1/4
 Добавьте 1/4 к обеим сторонам уравнения: 
 В правой части имеем: 
 -2 + 1/4 или, (-2/1) + (1/4) 
 Общий знаменатель двух дробей равен 4 Сложение (-8/4) + (1 / 4) дает -7/4 
 Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы наконец получаем: 
 x  2  -x + (1/4) = -7/4
 Добавление 1/4 завершило левую часть в виде идеального квадрата : 
 x  2  -x + (1/4) = 
 (x- (1/2)) • (x- (1/2)) = 
 (x- (1/2))  2  
 Вещи которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку 
 x  2  -x + (1/4) = -7/4 и 
 x  2  -x + (1/4) = (x- (1/2))  2  
, то согласно закон транзитивности, 
 (x- (1/2))  2  = -7/4
 Мы будем называть это уравнение уравнением. # 6.3.1
 Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
 Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x- (1/2))  2  равен 
 (x- (1/2))  2/2  = 
 (x- (1/2))  1  = 
 x- (1/2)
 Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 6.3.1 получаем: 
 x- (1/2) = √ -7/4
 Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 1/2 + √ -7/4 
 В математике, i называется мнимой единицей. Он удовлетворяет i  2  = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1
 Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
 x  2  — x + 2 = 0 
 имеет два решения: 
 x = 1/2 + √ 7/4 • i 
 или 
 x = 1/2 — √ 7/4 • i
 Обратите внимание, что √ 7/4 можно записать как 
 √ 7 / √ 4, что равно √ 7/2
 
 Решите квадратное уравнение через дискриминант 
 
 6.4 Решение -x  2  + x-2 = 0 по квадратичной формуле.
 Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается по формуле: 
   
 — B ± √ B  2  -4AC 
 x = ———————— 
 2A
 В нашем случае A = -1 
 B = 1 
 C = -2
 Соответственно B  2  — 4AC = 
 1 — 8 = 
 -7
 Применение формулы корней квадратного уравнения:
 -1 ± √ -7 
 x = ————— 
 -2
 В наборе действительных чисел отрицательные числа не имеют квадратных корней.Был изобретен новый набор чисел, названный комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти числа записываются (a + b * i)
 Оба i и -i являются квадратными корнями из минус 1
 Соответственно √ -7 = 
 √ 7 • (-1) = 
 √ 7 • √ -1 = 
 ± √ 7 • i
 √ 7, округленное до 4 десятичных цифр, составляет 2,6458 
 Итак, теперь мы смотрим на: 
 x = (-1 ± 2,646 i) / -2
 Два мнимых решения:
 
 x = (- 1 + √-7) / - 2 = (1-i√ 7) / 2 = 0.2 + 1 (пример графика),
 4x + 2 = 2 (x + 6) (пример решения)
  Калькулятор алгебры  - это калькулятор, который дает пошаговую помощь по задачам алгебры.
 Посмотреть другие примеры »
  Заявление об отказе от ответственности: 
 Этот калькулятор не идеален. Пожалуйста, используйте на свой страх и риск и сообщите нам, если что-то не работает. Спасибо.
 Как пользоваться калькулятором 
 Введите задачу по алгебре в текстовое поле.
 Например, введите 3x + 2 = 14 в текстовое поле, чтобы получить пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = 14.
 Попробуйте этот пример прямо сейчас! »
 Другие примеры 
 Примеряем примеры на
 Примеры
 страница - это самый быстрый способ научиться пользоваться калькулятором.
 Примеры калькуляторов
 »
 Математические символы 
 Если вы хотите создать свои собственные математические выражения, вот некоторые символы, которые понимает калькулятор:
  +
  (Дополнение)
 
  -
  (вычитание)
 
  *
  (умножение)
 
  /
  (Дивизия)
 
  ^
  (экспонента: «возведена в степень»)
 
  sqrt  (квадратный корень) (пример: sqrt (9))
 Дополнительные математические символы
 Учебное пособие 
 Прочтите полное руководство, чтобы узнать, как построить графики уравнений и проверить свое домашнее задание по алгебре.Учебное пособие по калькулятору
 »
 Мобильное приложение 
 Загрузите мобильное приложение MathPapa! Работает офлайн!
 Обратная связь
 (Для студентов 13+) 
 Пожалуйста, используйте эту форму обратной связи, чтобы отправить свой отзыв. Спасибо!
   Нужно больше практических задач?
   Попробуйте MathPapa
 Математическая практика
 Решение рациональных неравенств 
 Rational 
 Рациональное выражение выглядит так:
 Неравенства 
 Иногда нам нужно решить такие рациональные неравенства:
 
 
 
 
 
-2 
 
 + 
 
-1 
 
 = 
 
-3 
 
 
 
 
 
 
-1 
 
 + 
 
-2 
 
 = 
  
 = 
 
 
 
 1 
 
 + 
 
 2 
 
 = 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 + 
 
 1 
 
 два = 
 
 3 
  
 два = 
 
 3 
 
  Обозначение 
  слов 
  Пример 
>
 больше
 (х + 1) / (3-х)> 2
 <
 менее
 х / (х + 7) <−3
 ≥
 больше или равно
 (x − 1) / (5 − x) ≥   0
 ≤
 меньше или равно
 (3−2x) / (x − 1) ≤ 2
 Решение 
 Решение неравенств очень похоже на решение уравнений... вы делаете почти то же самое.
 Когда мы решаем  неравенств  
, мы пытаемся найти  интервалов , 
, например, отмеченные «<0» или «> 0»
 Вот шаги:
 найти "достопримечательности":
 точки "= 0" (корни) и
 "вертикальные асимптоты" (где функция не определена)
 между «точками интереса», функция либо  больше нуля  (> 0), либо  меньше нуля  (<0)
, затем выберите тестовое значение, чтобы узнать, какое оно (> 0 или <0)
 Вот пример:
 Пример: 
 3x − 10   x − 4 > 2
  Первый , давайте упростим!
 Но вы не можете умножить на (x − 4)
 Потому что «x − 4» может быть положительным или отрицательным.... мы не знаем, следует ли нам менять направление неравенства или нет. Все это объясняется в разделе «Устранение неравенств».
 Вместо этого переместите "2" влево:
  3x − 10   x − 4 -2> 0
 Затем умножьте 2 на (x − 4) / (x − 4):
  3x − 10   x − 4 -2  x − 4   x − 4 > 0
 Теперь у нас есть общий знаменатель, давайте все вместе:
  3x − 10-2 (x − 4)   x − 4 > 0
 Упростить:
  x − 2   x − 4 > 0
  Вторая , давайте найдем «достопримечательности».
 При x = 2 имеем: (0) / (x − 4)> 0, что является точкой "= 0", или корнем  
 При x = 4 имеем: (x − 2) / (0)> 0, что равно  undefined 
  Третий , сделайте контрольные точки, чтобы увидеть, что он делает между:
  При x = 0: 
 x − 2 = −2, что составляет  отрицательное значение 
 x − 4 = −4, что также является отрицательным  
 Итак, (x − 2) / (x − 4) должно быть  положительным 
 Мы можем сделать то же самое для  x = 3  и  x = 5  и получить следующие результаты:
 х = 0
 х = 2
 х = 3
 х = 4
 х = 5
 х − 2 <0
 х − 2> 0
 х − 2> 0
 х − 4 <0
 х − 4 <0
 х − 4> 0
 (x − 2) / (x − 4) равно
> 0
 0
 <0
 undefined
> 0
 Это дает нам полную картину!
 А где это> 0?
 Итак, наш результат:
 (−∞, 2)  U  (4, + ∞)
 Мы сделали все это без рисования сюжета!
 Но вот график (x − 2) / (x − 4), поэтому вы можете видеть:
 .