Модуль действительного числа и его геометрический смысл. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Вычисления Сложность: лёгкое	1
2.	Нахождение значения выражения Сложность: лёгкое	1
3.	Уравнение Сложность: лёгкое	1
4.	Построение графика функции Сложность: среднее	2
5.	Значение функции Сложность: среднее	2
6.	Упрощение выражения Сложность: среднее	2
7.	Использование формул Сложность: сложное	3
8.	Выражение Сложность: сложное	3
9.	Вычисление значения выражения Сложность: сложное	3

Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

Числовая прямая, числовая ось, — это прямая на которой изображаются действительные числа. На прямой выбирают начало отсчета – точку О (точка О изображает 0) и точку L, изображающую единицу. Точка L обычно стоит справа от точки О. Отрезок ОL называют единичным отрезком.

Точки, стоящие справа от точки О изображают положительные числа. Точки стоящие слева от точки. О, изображают отрицательные числа. Если точка Х изображает положительное число х, то расстояние ОХ = х. Если точка Х изображает отрицательное число х, то расстояние ОХ = — х.

Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой этой точки.

Точка V изображенная на рисунке имеет координату 2, а точка H имеет координату -2,6.

Модулем действительного числа называется расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу. Обозначают модуль числа х, так: | х |. Очевидно, что | 0 | = 0.

Если число х больше 0, то | х | = х, а если х меньше 0, то | х | = — х. На этих свойствах модуля, основано решение многих уравнений и неравенств с модулем.

Пример: Решить уравнение | х – 3 | = 1.

Решение: Рассмотрим два случая – первый случай, когда х -3 > 0, и второй случай, когда х — 3 0.

1. х — 3 > 0, х > 3.

В этом случае | х – 3 | = х – 3.

Уравнение принимает вид х – 3 = 1, х = 4. 4 > 3 – удовлетворят первому условию.

2. х -3 0, х 3.

В этом случае | х – 3 | = — х + 3

Уравнение принимает вид х + 3 = 1, х = — 2. -2 3 – удовлетворят второму условию.

Ответ: х = 4, х = -2.

Числовые выражения.

Числовое выражение – это совокупность одного или нескольких чисел и функций, соединенных знаками арифметических операций и скобками.
Примеры числовых выражений:

Значением числового выражения является число.
Операции в числовом выражении выполняются в следующей последовательности:

1. Действия в скобках.

2. Вычисление функций.

3. Возведение в степень

4. Умножение и деление.

5. Сложение и вычитание.

6. Однотипные операции выполняются слева на право.

Так значением первого выражения будет само число 12,3
Для того чтобы вычислить значение второго выражения, действия будем выполнять в следующей последовательности:

1. Выполним действия в скобках в следующей последовательности — сначала 2 возведем в третью степень, затем от полученного числа отнимем 11:

3 • 4 + (23 — 11) = 3 • 4 + (8 — 11) = 3 • 4 + (-3)

2. Умножим 3 на 4:

3 • 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Выполним последовательно операции слева направо:

12 + (-3) = 9.
Выражение с переменными – это совокупность одного или нескольких чисел, переменных и функций, соединенных знаками арифметических операций и скобками. Значения выражений с переменными зависят от значений, входящих в него переменных. Последовательность выполнения операций здесь та же, что и для числовых выражений. Выражения с переменными иногда бывает полезно упрощать, выполняя различные действия – вынесение за скобки, раскрытие скобок, группировки, сокращение дробей, приведение подобных и т.д. Так же для упрощения выражений часто используют различные формулы, например, формулы сокращенного умножения, свойства различных функций и т. д.

Алгебраические выражения.

Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую степень (причём показатели корня и степени должны обязательно быть целыми числами) и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Количество величин, входящих в алгебраическое выражение должно быть конечным. ^[1]

Пример алгебраического выражения:

«Алгебраическое выражение» — понятие синтаксическое, то есть нечто является алгебраическим выражением тогда и только тогда, когда подчиняется некоторым грамматическим правилам (см. Формальная грамматика). Если же буквы в алгебраическом выражении считать переменными, то алгебраическое выражение обретает смысл алгебраической функции.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Модуль действительного числа, урок по алгебре в 8 классе, презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017. 2$.
5. $|a|=|-a|$.

Геометрический смысл модуля действительного числа

Числовая прямая служит хорошим примером множества действительных чисел. Давайте отметим на числовой прямой две точки a и b и постараемся найти расстояние $ρ(a; b)$ между этими точками. Очевидно, что это расстояние равно $b-a$, если $b>a$.
Если $a>b$, то расстояние будет равно $a-b$.
Если $a=b$, то расстояние равно нулю, так как получается единая точка.
Все три случая мы можем описать единообразно: $ρ(a;b)=|a-b|$.

Пример.
Решите уравнение:
а) $|x-3|=6$;
б) $|x+5|=3$;
в) $|x|=2,8$;
г) $|x-\sqrt{3}|=2$.

Решение.
а) Надо найти на координатной прямой такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние равное 6.
$ρ(x;3)=6$.
Это точки – 9 и -3 (прибавили и отняли шестерку от тройки).
Ответ: $х=9$ и $х=-3$.

б) $|x+5|=3$, перепишем уравнение в виде $|x-(-5)|=3$.
$ρ(x;-5)=3$.
Найдем расстояние от точки -5, удаленное на 3. Такое расстояние, получается от двух точек: $х=2$ и $х=-8$.

Ответ: $х=2$ и $х=-8$.

в) $|x|=2,8$ можно представить в виде $|х-0|=2,8$ или $ρ(x;0)=2,8$.
Очевидно, что $х=-2,8$ или $х=2,8$.
Ответ: $х=-2,8$ и $х=2,8$.

г) $|x-√3|=2$ эквивалентно $ρ(x; \sqrt{3})=2$.
Очевидно, что $х=\sqrt{3}-2$ или $х=\sqrt{3}+2$.
Ответ: $x=\sqrt{3}-2$ или $x=\sqrt{3}+2$.

Пример.
Решить уравнения:
а) $|2x-8|=4$;
б) $|3-3x|=6$;
в) $|10x+5|=-2$.

Решение.
а) Преобразуем левую часть уравнения: $|2x-8|=|2(x-4)|=|2||x-4|=2|x-4|$.
Тогда уравнение можно переписать в виде: $|x-4|=2$.
Или $ρ(x;4)=2$.
Ответ: $х=6$ или $х=2$.

б) Опять же преобразуем левую часть: $|3-3x|=|-3(x-1)|=|-3||(x-1)|=3|x-1|$.
Тогда уравнение можно переписать в виде: $|x-1|=2$.
Или $ρ(x;1)=2$.
Ответ: $х=3$ или $х=-1$.

в)$|10x+5|=-2 $.
Модуль не может быть отрицательным числом, тогда, очевидно, что корней нет.
Ответ: нет корней.

График функции $y=|x|$.

Вычислить модуль мы можем из любого числа. 2}$.

Модуль действительного числа | Презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме:

Слайд 1

Модуль действительного числа Автор материала: Дудниченко Татьяна Анатольевна, учитель математики первой квалификационной категории ГАОУ СОШ МГПУ, г . Москва

Слайд 2

Цели и задачи урока Ввести определение модуля действительного числа, рассмотреть свойства и разъяснить геометрический смысл модуля; Ввести функцию y = |x | , показать правила построения ее графика; Научить разными способами решать уравнения, содержащие модуль; Развивать интерес к математике, самостоятельность, логическое мышление, математическую речь, прививать аккуратность и трудолюбие.

Слайд 3

Определение . Например: |8|=8 ; | -8 | =-(-8)=8;

Слайд 4

Свойства модуля

Слайд 5

Геометрический смысл модуля Числовая прямая служит хорошим примером множества действительных чисел. Давайте отметим на числовой прямой две точки a и b и постараемся найти расстояние ρ( a ; b ) между этими точками. Очевидно что это расстояние равно b-a , если b>a Если поменять местами, то есть a > b , расстояние будет равно a — b . Если a = b то расстояние равно нулю, так как получается точка. Все три случая мы можем описать единообразно:

Слайд 6

Пример. Решите уравнение: а) |x-3|=6 б) |x+5|=3 в) |x|=2.8 г) Решение. а) Нам нужно найти на координатной прямой такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние равное 6. Такие точки 9 и -3. (Прибавили и отняли шестерку от тройки.) Ответ: х=9 и х=-3 б) | x +5|=3, перепишем уравнение в виде | x -(-5)|=3. Найдем расстояние от точки -5 удаленное на 3. Такое расстояние, получается, от двух точек: х=2 и х=-8 Ответ: х=2 и х=-8. в) | x |=2.8, можно представить в виде |х-0|=2.8 или Очевидно, что х=-2.8 или х=2.8 Ответ: х=-2.8 и х=2.8. г) эквивалентно Очевидно, что

Слайд 8

Функция y = |x|

Слайд 10

Решить уравнение |x-1| = 4 1 способ (аналитический) Задание 2

Слайд 11

2 способ (графический)

Слайд 12

3 способ

Слайд 13

Модуль действительного числа. Тождество Рассмотрим выражение , если а>0, то мы знаем что . Но как быть, в случае если a 0. 2. Давайте обобщим: По определению модуля: То есть

Слайд 14

Модуль действительного числа . Пример. Упростить выражение если: а) а-2≥0 б) a -2

Слайд 15

Модуль действительного числа. Пример. Вычислить Решение. Мы знаем что: Осталось раскрыть модули Рассмотрим первое выражение:

Слайд 16

Рассмотрим второе выражение: Используя определение раскроем знаки модулей: В итоге получили: Ответ: 1.

Слайд 17

Закрепление нового материала. № 16.2, №16.3, №16.4, №16.12, №16.16 ( а, г ), №16.19

Слайд 18

Задачи для самостоятельного решения. 1. Решите уравнение: а) | x -10|=3 б) | x +2|=1 в) | x |=2.8 г) 2. Решить уравнение: а) |3 x -9|=33 б) |8-4 x |=16 в) | x +7|=-3 3. Упростить выражение если а) а-3≥0 б) a -3

Слайд 19

Список использованной литературы: Звавич Л.И. Алгебра. Углубленное изучение. 8 кл .: задачник / Л.И. Звавич , А.Р. Рязановский. – 4-е изд., испр . – М.: Мнемозина, 2006. – 284 с. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович. – 12-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 215 с. Мордкович А.Г и др. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / под ред. А.Г. Мордковича. – 12-е изд., испр . и доп. – М.: Мнемозина, 2014. – 271 с.

«Модуль действительного числа». — математика, уроки

Учитель математики высшей квалификационной категории

Ужачкина Надежда Павловна.

Урок №3 по теме «Модуль действительного числа».

Цели:

повторить понятие модуля, его свойства, геометрический смысл модуля, правила построения графика функции у = |х| и случаи примениния графического способа решения; проверить умение обучающихся применять определение модуля при упрощении выражений и решении уравнений, содержащих модули; проверить умение обучающихся строить график функции у = |х| и решать графическим способом уравнения, системы уравнений, неравенства, содержащие модуль;

развивать речевую культуру обучающихся; продолжать развивать умение систематизировать полученные знания, описывать ситуацию математическим языком, переводить математический язык на обыкновенный; развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, учиться оценивать результаты выполненных действий;

воспитывать организованность, дисциплинированность, самостоятельность, внимательность, воспитание мотивов добросовестного отношения к труду.

1. Организационный момент.

Приветствие, оформление тетрадей, урока (привлечь учеников к постановке цели урока), повторение правил к уроку (работа в парах).

2. Актуализация знаний.

1. Что называют модулем действительного числа?

2. Как упростить выражение ?

3. Какими свойствами обладает модуль?

4. При выполнении каких заданий можно применять свойства модуля?

5. В чем заключается геометрический смысл модуля?

6. Как найти расстояние между точками А(а) и В(в) на числовой прямой?

7. Сколько корней может иметь уравнение вида |х| = а?

8. Какого вида функция у = |х|?

9. Какая линия является графиком этой функции?

10. При выполнении каких заданий применяют построение графиков?

3. Самостоятельная работа.

Давайте проверим, как на прошлых уроках и дома вы научились упрощать выражения, содержащие модуль.

Выполняем задание 1) из карточек. На эту работу отводится 4 минуты.

Самостоятельная работа по теме «Модуль действительного числа».

Вариант 1.

1) Найдите значение выражения:

а) |-5|; б) |7,2|; в) ||- 2; г) ; д) — + 4.

2) Решите уравнение: а) |х| = 3; б) |х + 2| = 4; в) |х — 7| = 0;

г) |4х + 1| = 5; д) 2|х| + |- х| = 15.

3) Постройте графики функций у = |х| и у = .

С помощью графиков решите : а) уравнение |х| = ;

б) систему уравнений у = |х|,

у =

в) неравенство |х| ≥ ;

г) неравенство |х|

Самостоятельная работа по теме «Модуль действительного числа».

Вариант 2.

1) Найдите значение выражения:

а) |5|; б) |-7,2|; в) ||; г) ; д) + — 1.

2) Решите уравнение: а) |х| = 4; б) |х — 2| = 3; в) |х + 7| = -1;

г) |2х + 2| = 6; д) 3|х| — |- х| = 16.

3) Постройте графики функций у = |х| и у = — .

С помощью графиков решите : а) уравнение |х| = — ;

б) систему уравнений у = |х|,

у = —

в) неравенство |х| ≤ — ;

г) неравенство |х| —

Поменяйтесь работами с соседом по парте, оцените работу и поставьте оценку за этот этап работы. Готовые ответы смотрите на экране.

Верно выполнены все 5 случаев – «5»,

4 – «4»,

3 – «3»,

2-1 – «2».

Ответы: а) 5; б) 7,2; в) 2 — ; г) 5 — ; д) 2.

4. Самостоятельная работа.

Проверим, как научились решать простейшие уравнения с модулем. Выполняем задание 2), для этой работы у вас есть 7 минут.

Поменяйтесь тетрадями с соседом позади себя, проверьте получившиеся корни уравнений по готовым ответам на экране. Оцените работу.

Верно выполнены все 5 случаев – «5»,

4 – «4»,

3 – «3»,

2-1 – «2».

Ответы:

Вариант 1. Вариант 2.

а) – 3; 3; а) – 4; 4;

б) – 6; 2; б) – 1; 5;

в) 7; в) корней нет;

г) – 1,5; 1; г) – 4; 2;

д) – 5; 5; д) – 8; 8.

5. Только ли в математике мы встречаемся с понятием модуля?

Посмотрите, что еще означает этот термин в других сферах деятельности.

— Модуль упругости (в физике) – величина, характеризующая упругие свойства твердых тел, коэффициент деформации.

— Модуль (в архитектуре и строительстве) – исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров комплексов, сооружений и их частей.

— Модуль (в радиоэлектронике) – унифицированный функциональный узел радиоэлектронной аппаратуры, выполненный в виде самостоятельного изделия.

— Модуль зубчатого колеса (в технике) – геометрический параметр, линейная величина, пропорциональная размерам зубчатого колеса.

6. Самостоятельная работа.

Осталось проверить умение строить графики и умения решать графически уравнения, системы уравнений, неравенства. На обороте доски работают два человека по вариантам, остальные в тетрадях. Выполняем задание 3), для этого у вас 10 минут.

Поменяйтесь тетрадями с соседом впереди себя, проверьте построение графиков и ответы на поставленные вопросы, оцените работу.

Если все верно, то заработана оценка «5»,

допущена одна ошибка – «4»,

допущены две ошибки – «3»,

допущены три ошибки при ответах – «2»,

неверно построены графики – «1».

7. Итоги урока, домашнее задание.

Подсчитайте среднее арифметическое трех оценок. Это ваша предварительная оценка за самостоятельную работу сегодня.

— Кто получил «5»? «4»? «3»? «2»?

— Довольны ли вы своей оценкой?

— Те, кто желает улучшить результат, или чувствует, что недостаточно хорошо отработал навыки, выполняют следующие задания.

Уровень «3 – 4»: №16.1 – 4 вг, 16.27 вг, 16.13, 16.38 б, 16.21 – 24 б.

Уровень «4 – 5»: №16.33 вг, 16.27 вг, 16.41 бг, 16.38 б, 16.29 – 30 аб.

На дополнительную оценку: 16.36, 16.42.

— Какие вопросы у вас возникли при выполнении самостоятельной работы?

— Просмотрите домашнее задание. Все ли понятно?

Дополнительные задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение: а) х² — 4|х| = 0; б) а) х² + 4|х| = 0.

Сколько решений имеет неравенство: а) |х| — 5; б) |х| — 5?

Дополнительные задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение: а) х² — 4|х| = 0; б) а) х² + 4|х| = 0.

Сколько решений имеет неравенство: а) |х| — 5; б) |х| — 5?

Дополнительные задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение: а) х² — 4|х| = 0; б) а) х² + 4|х| = 0.

Сколько решений имеет неравенство: а) |х| — 5; б) |х| — 5?

Дополнительные задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение: а) х² — 4|х| = 0; б) а) х² + 4|х| = 0.

Сколько решений имеет неравенство: а) |х| — 5; б) |х| — 5?

Дополнительные задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение: а) х² — 4|х| = 0; б) а) х² + 4|х| = 0.

Сколько решений имеет неравенство: а) |х| — 5; б) |х| — 5?

Дополнительные задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение: а) х² — 4|х| = 0; б) а) х² + 4|х| = 0.

Сколько решений имеет неравенство: а) |х| — 5; б) |х| — 5?

Дополнительные задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение: а) х² — 4|х| = 0; б) а) х² + 4|х| = 0.

Сколько решений имеет неравенство: а) |х| — 5; б) |х| — 5?

Математика

Программа вступительных испытаний по математике на направления подготовки высшего образования

Основные математические понятия и формулы

Арифметика, алгебра и начала анализа

1. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
2. Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
3. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
4. Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
5. Логарифмы и их свойства.
6. Одночлен и многочлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
7. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции.
8. График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность. Экстремумы функции.
9. Определение , основные свойства и графики функций:

линейной y=kх+b, квадратичной у=ах²+bx+с, гиперболической у=k/х,

степенной у=ахⁿ, показательной у=а^х, логарифмической у=lоg_ах,  тригонометрических: у=sinх, у=соsх, у=tgх

1. Уравнение. Корни уравнения.
2. Неравенства. Решение неравенств.
3. Системы уравнений и неравенств.
4. Арифметическая и геометрическая прогрессия.
5. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл. Производные функций у = sin х, у = соs х,у = tg х, у = а^х, у = хⁿ .
6. Формулы приведения. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Тригонометрические функции двойного аргумента.

Геометрия

1. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Параллельные прямые. Окружность, круг.
2. Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование подобия и его свойства.
3. Векторы. Операции над векторами.
4. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
5. Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
6. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
7. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
8. Центральные и вписанные углы.
9. Вписанные и описанные многоугольники.
10. Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
11. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла.
12. Площадь круга и площадь сектора.
13. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
14. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
15. Параллельность прямой и плоскости.
16. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
17. Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.
18. Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.
19. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
20. Объем параллелепипеда.
21. Площадь поверхности и объем призмы, пирамиды, цилиндра, конуса.
22. Объема шара и его частей, площадь поверхности сферы.

Основные умения и навыки

Абитуриент должен уметь:

1. Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты вычислений; пользоваться калькуляторами или таблицами для вычислений.
2. Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
3. Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.
4. Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
5. Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
6. Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости.
7. Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии применять при решении геометрических задач.
8. Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих операций.
9. Пользоваться понятием производной при исследовании функций на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.

Список литературы для подготовки к вступительным испытаниям

1. ЕГЭ. Математика: тематический сборник заданий / Под ред. А.Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2014. – (ЕГЭ. ФИПИ-школе)
2. ЕГЭ-2014 : Математика : Самое полное издание типовых вариантов заданий / авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — Москва: АСТ : Астрель, 2014. — (Федеральный институт педагогических измерений).
3. Математика. ЕГЭ 2014. Книга 1,2.  / Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: Народное образование, 2014. – 320 с.
4. Сканави М.И., Егерев В.К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. (2013,608 с.)
5. Математика. Подготовка к ЕГЭ в  2014  году. Диагностические работы.  Высоцкий И.Р., Семенов А.В. и др.  (2014, 72с.)
6. Математика. 5-11 классы. Справочник школьника / Гусев В.А., Мордкович А.Г. — Москва: АСТ :  Астрель,2014

СИСТЕМА И КРИТЕРИИ

оценки знаний поступающих на вступительных испытаниях

на программы высшего образования бакалавриата

Выполненное экзаменационное задание по всем предметам  оценивается по стобалльной  системе.

Одно правильно выполненное задание частей экзаменационного теста оценивается:

За неправильные ответы баллы не начисляются.

В целом за экзаменационную работу выставляется итоговый балл как сумма баллов за отдельные задания.

Программа одобрена на Ученом совете Университета протокол № 7 от 28 сентября 2017 г.

Конспект урока по теме: «Модуль действительного числа»

Тема урока: «Длина окружности».

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Заречная средняя общеобразовательная школа» Открытый урок по математике в 6 классе Тема урока: «Длина окружности». Урок подготовила и провела учитель математики

Подробнее

Урок математики в 3 «б» классе

Урок математики в 3 «б» классе Тема: Переменная. Запись выражений и предложений с помощью переменной Цели: 1. Дать понятие о переменной, как букве, обозначающей меняющиеся (переменные) значения элементов

Подробнее

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА 1. ФИО

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Тема: «Сложение чисел с разными знаками» 1. ФИО (полностью) Федосеева Ольга Васильевна 2. Место работы ГБОУ школа-интернат 1 г.о. Чапаевск 3. Должность Учитель математики 4. Предмет

Подробнее

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ Учитель: Вихрова Оксана Николаевна Класс: 4. Дата проведения: 13.10.15 г. Тема: Доли. Получение и образование долей. Тип урока: Открытие нового знания. Цели урока: Предметные:

Подробнее

Конспект урока по математике.

Конспект урока по математике. Класс: 1 В, учитель Шелякина Н. А. Тема урока: «Дециметр». Дидактическая цель: создать условия для открытия детьми новых знаний. Тип урока: открытие новых знаний. Задачи урока:

Подробнее

Урок алгебры в 10 классе. Белорукова М.В. 2

Урок алгебры в 10 классе Белорукова М.В. 2 Белорукова Марина Васильевна Белорукова М.В. 3 п/п Комплексные числа — 10 часов Содержание материала Количество часов 1. Комплексные числа и арифметические операции

Подробнее

Технологическая карта урока математики

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДСКОГО ОКРУГА ПОДОЛЬСК КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 1» (МОУ «Лицей 1») Технологическая карта урока математики Урок математики в 6 классе

Подробнее

Тема: «Сложение дробей с одинаковыми

Урок по математике. 4 класс. Программа «Школа 2100». по учебнику Л.Г.Петерсон (4 класс, 2 часть, урок 3) Тема: «Сложение дробей с знаменателями». Урок открытия новых знаний. Подготовила: Моисеева Е.Р.

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Тема урока: «Прямоугольник» Класс: 5 Учитель: Рыжова Лидия Петровна Тип урока: урок «открытия» нового знания Цели по содержанию: обучающие: изучить свойства прямоугольника развивающие:

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Учитель: Кривцовой О. И. Класс: 2 «Б» УМК: «Школа России» Предмет: математика. Тема урока: Периметр прямоугольника. Вычисление периметра. урока: урок открытия новых знаний Место

Подробнее

Методическая разработка открытого урока

Довлатбегян Виктория Александровна, учитель математики МБОУ «Лицей» г. протвино, МО Методическая разработка открытого урока «Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов» Алгебра.

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Класс: 8 Предмет: алгебра Тема урока: Погрешность и точность измерения. Дидактическая цель урока: создать условия для восприятия и осознания понятий абсолютная и относительная

Подробнее

Технологическая карта урока по геометрии

Технологическая карта урока по геометрии Автор: Турукина Светлана Ивановна, учитель математики, МБОУ «СОШ 6» города Обнинска Предмет: Геометрия Класс: 9 класс Тип урока: урок «открытия нового знания» Тема:

Подробнее

Занятие 1 (2 часа) Ход занятия.

Тема Целая и дробная части числа Занятие 1 ( часа) Цель занятия Дидактическая Познакомить учащихся с целой и дробной частью числа Установить их свойства и соотношения между ними Научить строить простейшие

Подробнее

Комарова Е.

И., МБОУ СОШ 3 г. Сасово

Комарова Е.И., МБОУ СОШ 3 г. Сасово Тема: Площадь треугольника. Класс — 5 1. Учебник: С. Козлова «Математика. 5 класс» «БАЛАСС», 2013. 2. Цели урока: для учителя Содержательная цель: расширение знаний

Подробнее

Оборудование: проектор, ноутбуки, рабочие листы, тетради, учебники, раздаточный материал

Достаточно часто в школах мы встречаем ситуацию, когда учитель прекрасно объясняет материал, учащиеся его внимательно слушают, но через несколько минут, выходя из кабинета, забывают, о чем шла речь на

Подробнее

Тема: Решение систем уравнений

Цель урока: МОУ гимназия 11 г. Елец Липецкой области Разработчик: учитель информатики Губина Т.Н. Методическая разработка системы интегрированных уроков по информатике и математике в 10 классе Урок 7 Тема:

Подробнее

МАОУ Побединская СОШ

МАОУ Побединская СОШ Учитель математики Новодворская Лилия Андреевна. 2015г. Обобщающий урок по математике в 6 классе «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел» Цели и задачи урока: Обобщить

Подробнее

Конспект урока по математике в 7 классе

Муниципальное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся с ограниченными возможностями здоровья, Кольская специальная (коррекционная) общеобразовательная школа VIII вида Муниципального

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Ф.И.О. Ковалева Юлия Сергеевна Предмет: Математика Класс: 5 класс Автор УМК: Математика 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений А. Г. Мерзляк и др. Тема урока: Сложение

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Предмет: математика Класс: 5 Учебник (УМК): Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.:

Подробнее

Технологическая карта урока математики

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДСКОГО ОКРУГА ПОДОЛЬСК КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 1» (МОУ «Лицей 1») Технологическая карта урока математики Дата: 08.02.2019г. Учитель:

Подробнее

Тема: Упрощение выражений

Цель урока: МОУ гимназия г. Елец Липецкой области Разработчик: учитель информатики Губина Т.Н. Методическая разработка системы интегрированных уроков по информатике и математике в 0 классе Урок Тема: Упрощение

Подробнее

Конспект урока по математике в 6 классе

Конспект урока по математике в 6 классе УМК: Н.Я.Виленкина, В.И.Жохова, А. С.Чеснокова, С.И.Шварцбурда «Математика 5», «Математика 6», издательства М.: «Мнемозина». Тема урока: Умножение обыкновенных дробей.

Подробнее

Схема конспекта урока «Что обозначают буквы Е, Ё, Ю, Я» Возраст учащихся: 5 класс. Тема урока: «Что обозначают буквы Е, Ё, Ю, Я»

Учитель: Фирсова Наталья Михайловна. Предмет: русский язык. Возраст учащихся: 5 класс. Тема урока: «Что обозначают буквы Е, Ё, Ю, Я» Схема конспекта урока «Что обозначают буквы Е, Ё, Ю, Я» 1) Образовательная:

Подробнее

Сложение и вычитание смешанных чисел

Предмет: Математика Класс: 5 «Б» класс Сложение и вычитание смешанных чисел Учебник: Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Предмет, класс Математика, 5А Автор (ы) УМК Н. Я. Виленкин, М.; Мнемозина, 2012 год ФИО учителя, школа Страшнова Г. А. МОУ СОШ 2 Тема урока Умножение десятичных дробей на натуральные

Подробнее

Модуль или абсолютное значение комплексного числа?

На моей странице полярной формы комплексного числа в IntMath я указываю:

Для комплексного числа x + yj = r (cos θ + j sin θ), r — это абсолютное значение (или модуль ) комплексного числа.

Читатель Саншайн из Филиппин оспорил это утверждение, сказав:

Абсолютное значение

не имеет того же определения, что и модуль

.

Мне нравится такая обратная связь, потому что она заставляет меня глубже задуматься о том, как я написал определения (или, возможно, обозначения) на сайте.Нам нужно быть ясными, точными и точными, но при этом сделать это понятным.

Итак, Sunshine верна?

Это был мой ответ ей.

В случае комплексных чисел термины обычно взаимозаменяемы, но я согласен, что это может быть небрежно.

В этих других математических ресурсах оба термина также используются для обозначения одного и того же:

Комплексные числа отрубного узла

Абсолютное значение Википедии

Абсолютное значение комплексного числа Mathwords

Тем не менее, Pauls Online Notes (Университет Ламара) проводит некоторое различие между модулем комплексного числа и абсолютным значением действительного числа (последнее является вырожденным случаем первого).

Но в том смысле, что «абсолютное значение» означает расстояние от начала координат для действительного числа (на одномерной числовой прямой), а «модуль» означает расстояние от начала координат для комплексного числа (на двумерной комплексной плоскости ), Я не думаю, что существует большая проблема с взаимозаменяемостью терминов. Концепция, безусловно, та же, и это не приводит к большой путанице.

Я бы, вероятно, не стал писать «абсолютное значение комплексного числа» — это, конечно, менее распространено, и предпочитаю «модуль комплексного числа».

Спасибо, что побудили меня подумать об этом!

Читатели, что вы думаете по этому поводу? Что написано в вашем учебнике или конспектах лекций?

См. 6 комментариев ниже.

Комплексные числа: абсолютное значение

Комплексные числа: абсолютное значение

Важным понятием для чисел, действительных или комплексных, является абсолютное значение . Напомним, что абсолютное значение | x | действительного числа x есть само, если оно положительное или ноль, но если x отрицательно, то его абсолютное значение | x | это его отрицание — x, то есть соответствующее положительное значение.Например, | 3 | = 3, но | –4 | = 4. Функция абсолютного значения лишает знак действительного числа.

Для комплексного числа z = x + yi, мы определяем абсолютное значение | z | как расстояние от z до 0 в комплексной плоскости C . Это расширит определение абсолютного значения для действительных чисел, поскольку абсолютное значение | x | действительного числа x можно интерпретировать как расстояние от x до 0 на строке действительного числа.Мы можем найти расстояние | z | с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник с одной вершиной в 0, другой в z и третьим в x на действительной оси непосредственно под z (или выше z , если z оказывается ниже действительной оси). Горизонтальная сторона треугольника имеет длину | | x |, вертикальная сторона имеет длину | y |, а диагональная сторона имеет длину | z |. Следовательно,

| z | ² = x ² + y ² .

(Обратите внимание, что для вещественных чисел, таких как x, , мы можем опустить абсолютное значение при возведении в квадрат, поскольку | x | ² = x ² . ) Это дает нам формулу для | z |, а именно,

Единичный круг.

Некоторые комплексные числа имеют абсолютное значение 1. Конечно, 1 — это абсолютное значение как 1, так и –1, но это также абсолютное значение как i , так и — i , поскольку они оба на одну единицу от 0 на мнимая ось.Единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в 0. Он включает в себя все комплексные числа с абсолютным значением 1, поэтому он имеет уравнение | z | = 1.

Комплексное число z = x + yi будет лежать на единичной окружности, когда x ² + y ² = 1. Некоторые примеры, кроме 1, –1, i, и — 1 — это ± √2 / 2 ± i √2 / 2, где плюсы и минусы могут быть взяты в любом порядке.Это четыре точки на пересечении диагональных линий y = x и y = x с единичной окружностью. Позже мы увидим их как квадратные корни из i и — i.

Вы можете найти другие комплексные числа на единичной окружности из троек Пифагора. Пифагорова тройка состоит из трех целых чисел a, b, и c , так что a ² + b ² = c ² Если разделить это уравнение на c ² , тогда вы обнаружите, что
( в / в ) ² + ( в / в ) ² = 1.Это означает, что a / c + i b / c — комплексное число, лежащее на единичной окружности. Самая известная тройка Пифагора — 3: 4: 5. Эта тройка дает нам комплексное число 3/5 + i 4/5 на единичной окружности. Некоторые другие пифагорейские тройки: 5:12:13, 15: 8: 17, 7:24:25, 21:20:29, 9:40:41, 35:12:27 и 11:60:61. Как и следовало ожидать, их бесконечно много. (Для
еще немного о троек Пифагора см. в конце страницы по адресу http: // www.clarku.edu/~djoyce/trig/right.html.)

Неравенство треугольника.

Существует важное свойство комплексных чисел, относящееся к сумме абсолютного значения, называемое неравенством треугольника. Если z и w — любые два комплексных числа, то

Вы можете увидеть это из правила сложения параллелограмма. Рассмотрим треугольник с вершинами 0, z, и z + w.
Одна сторона треугольника от 0 до z + w имеет длину | z + w |.Вторая сторона треугольника от 0 до z, имеет длину | z |. И третья сторона треугольника, от z до z + w, параллельна и равна прямой от 0 до w, и, следовательно, имеет длину | w |. Итак, в любом треугольнике любая сторона меньше или равна сумме двух других сторон, и, следовательно, мы имеем неравенство треугольника, показанное выше.

Абсолютное значение | Психология Вики

Оценка |
Биопсихология |
Сравнительный |
Познавательная |
Развивающий |
Язык |
Индивидуальные различия |
Личность |
Философия |
Социальные |
Методы |
Статистика |
Клиническая |
Образовательная |
Промышленное |
Профессиональные товары |
Мировая психология |

Статистика:
Научный метод ·
Методы исследования ·
Экспериментальная конструкция ·
Курсы бакалавриата по статистике ·
Статистические тесты ·
Теория игры ·
Теория принятия решений

В математике абсолютное значение (или модуль ¹ ) действительного числа является его числовым значением безотносительно знака. Так, например, 3 — это абсолютное значение как 3, так и −3. В компьютерах математической функции, используемой для выполнения этого вычисления, обычно присваивается имя abs () .

Обобщения абсолютного значения действительных чисел происходят в самых разных математических условиях. Например, абсолютное значение также определено для комплексных чисел, кватернионов, упорядоченных колец, полей и векторных пространств.

Абсолютное значение тесно связано с понятиями величины, расстояния и нормы в различных математических и физических контекстах.

График функции абсолютного значения действительных чисел.

Для любого действительного числа абсолютное значение или модуль обозначается ² и определяется как

Как видно из приведенного выше определения, абсолютное значение всегда либо положительно, либо равно нулю, но никогда не отрицательно.

С геометрической точки зрения абсолютное значение действительного числа — это расстояние вдоль линии действительного числа этого числа от нуля, а в более общем смысле абсолютное значение разности двух действительных чисел — это расстояние между ними. Действительно, понятие абстрактной функции расстояния в математике можно рассматривать как обобщение свойств абсолютного значения (см. «Расстояние» ниже).

Следующее предложение дает тождество, которое иногда используется как альтернативное (и эквивалентное) определение абсолютного значения:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 :

Абсолютное значение имеет следующие четыре основных свойства:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 :

Другие важные свойства абсолютного значения включают:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 :

Два других полезных неравенства:

Вышеупомянутое часто используется при решении неравенств; Например:

Поскольку комплексные числа не упорядочены, приведенное выше определение действительного абсолютного значения не может быть напрямую обобщено для комплексного числа.Однако тождество, указанное в предложении 1:

можно рассматривать как мотивирующее следующее определение.

Для любого комплексного числа

Абсолютное значение или модуль обозначается и определяется как

Отсюда следует, что абсолютное значение действительного числа x равно его абсолютному значению, рассматриваемому как комплексное число, поскольку:

Подобно геометрической интерпретации абсолютного значения для действительных чисел, из теоремы Пифагора следует, что абсолютное значение комплексного числа — это расстояние в комплексной плоскости этого комплексного числа от начала координат, и в более общем смысле , что абсолютное значение разности двух комплексных чисел равно расстоянию между этими двумя комплексными числами.

Комплексное абсолютное значение разделяет все свойства действительного абсолютного значения, данные в предложениях 2 и 3 выше. Кроме того, если

и

— комплексное сопряжение, тогда легко видеть, что

Реальная функция абсолютного значения везде непрерывна. Он дифференцируемый везде, кроме x = 0.Он монотонно убывает на интервале (-∞, 0] и монотонно возрастает на интервале [0, ∞). Поскольку действительное число и его отрицательное значение имеют одинаковое абсолютное значение, это четная функция и, следовательно, не обратима.

Комплексная функция абсолютного значения непрерывна везде, но дифференцируема нигде (Один из способов убедиться в этом — показать, что она не подчиняется уравнениям Коши-Римана).

И действительная, и комплексная функции идемпотентны.

Определение абсолютного значения, данное для действительных чисел выше, может быть легко распространено на любое упорядоченное кольцо.То есть, если является элементом упорядоченного кольца, то абсолютное значение , обозначаемое, определяется как:

где — аддитивная величина, обратная величине, а — аддитивный элемент идентичности.

Абсолютная величина тесно связана с идеей расстояния. Как отмечалось выше, абсолютное значение действительного или комплексного числа — это расстояние от этого числа до начала координат, вдоль линии действительного числа, для действительных чисел или в комплексной плоскости, для комплексных чисел, и, в более общем смысле, абсолютное значение разницы двух действительных или комплексных чисел — это расстояние между ними.

Стандартное евклидово расстояние между двумя точками

и

в евклидовом пространстве n определяется как:

Это можно рассматривать как обобщение того факта, что если они действительны, то согласно предложению 1

а если

и

— комплексные числа, тогда

Выше показано, что расстояние «абсолютного значения» для действительных или комплексных чисел согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одно- и двумерного евклидова пространства соответственно.

Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождество неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, данные в предложениях 2 и 3 выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функция расстояния следующим образом:

Действительная функция на множестве называется функцией расстояния (или метрикой ) для, если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

	Неотрицательность
	Личность неразличимых
	Симметрия
	Неравенство треугольника

Основные свойства абсолютного значения для действительных чисел, приведенные в предложении 2 выше, могут быть использованы для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.

Действительная функция поля называется абсолютным значением (также модулем , величиной , значением или оценкой ), если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

	Неотрицательность
	Положительная определенность
	Мультипликативность
	Субаддитивность или неравенство треугольника

Из вышеизложенного следует, что, где обозначает мультипликативный тождественный элемент.Определенные выше действительные и комплексные абсолютные значения являются примерами абсолютных значений для произвольного поля.

Если — абсолютное значение on, то функция on, определенная с помощью, является метрикой, а если — мультипликативным тождеством в, то следующие эквиваленты:

• на каждые

• на все

Абсолютное значение, которое удовлетворяет любому (следовательно, всем) из вышеперечисленных условий, называется неархимедовым , в противном случае оно называется архимедовым. ³

Опять же, фундаментальные свойства абсолютного значения для действительных чисел могут быть использованы, с небольшими изменениями, для обобщения этого понятия на произвольное векторное пространство.

Действительная функция || · || в векторном пространстве a над полем называется абсолютным значением (или, чаще, нормой ), если оно удовлетворяет следующим аксиомам:

Для всех в, и, в,

	Неотрицательность
	Положительная определенность
	Положительная однородность или положительная масштабируемость
	Субаддитивность или неравенство треугольника

Норма вектора также называется его длиной или величиной .

В случае евклидова пространства R ⁿ функция

— норма, называемая евклидовой нормой. Когда действительные числа R рассматриваются как одномерное векторное пространство R ¹ , абсолютное значение является нормой и является нормой p для любого p . Фактически абсолютное значение является «единственной» нормой в R ¹ в том смысле, что для каждой нормы || · || в R ¹ , || x || = || 1 || · | x |.Комплексное абсолютное значение — это частный случай нормы во внутреннем пространстве продукта. Она идентична евклидовой норме, если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью R ² .

На языке программирования C функции abs () , labs () , llabs () (в C99), fabs () , fabsf () и fabsl () вычисляют абсолютное значение операнда. Кодирование целочисленной версии функции тривиально, игнорируя граничный случай, когда вводится наибольшее отрицательное целое число:

 интервал абс (интервал i)
{
    если (я <0)
        return -i;
    еще
        вернуть я;
}
 

Версии с плавающей запятой сложнее, поскольку им приходится иметь дело со специальными кодами для бесконечности и не-чисел.

Используя язык ассемблера, можно взять абсолютное значение регистра всего в трех инструкциях (пример показан для 32-битного регистра в архитектуре x86, синтаксис Intel):

 кд
xor eax, edx
sub eax, edx
 

cdq расширяет знаковый бит eax в edx . Если eax неотрицательно, тогда edx становится равным нулю, а последние две инструкции не действуют, оставляя eax без изменений.Если eax отрицательно, то edx становится 0xFFFFFFFF или -1. Следующие две инструкции затем становятся инверсией дополнения до двух, давая абсолютное значение отрицательного значения в eax .

Неравенство абсолютных значений

Неравенство абсолютных значений

Определение абсолютного значения "забудьте знак минус":
бесполезны для наших целей. Вместо этого мы в основном будем использовать геометрические
определение абсолютного значения:

Абсолютное значение числа измеряет его расстояние до начала координат.
на действительной числовой строке.

Поскольку 5 находится на расстоянии 5 единиц от начала координат 0, абсолютное значение
из 5 равно 5, | 5 | = 5

Поскольку -5 также находится на расстоянии 5 единиц от начала координат,
абсолютное значение -5 равно 5, | -5 | = 5:

Мы готовы к нашему первому неравенству. Найдите набор решений для

| x | <5.

Переведем на английский: ищем те действительные числа x , расстояние от которых до начала координат меньше 5 единиц.

Очевидно, речь идет об интервале (-5,5):

Что насчет решений?

На английском языке: какие числа, x , отстоят как минимум на 2 единицы от
источник? Слева действительные числа меньше или равны -2.
квалифицировать, справа все действительные числа больше или равные 2:

Мы можем записать это обозначение интервала как

Каков геометрический смысл | x - y |?

| x - y | - это расстояние между x и y на прямой числовой прямой.

Рассмотрим пример | (-4) -3 |. Расстояние по действительной числовой прямой
между точками -4 и +3 равно 7, поэтому

| (-4) -3 | = 7.

Найдем решения неравенства:

По-английски: Какие действительные числа не более чем на 1 единицу, кроме 2?

Речь идет о числах в интервале [1,3].

Как насчет примера

Давайте перепишем это как

что мы можем перевести в поиск тех чисел x , чьи
расстояние до -1 не менее 3.

Набор решений

После небольшой настройки наш метод также может справиться с неравенствами.
такой как

| 2 x -5 | <2.

Сначала разделим обе стороны на 2.Обратите внимание, что абсолютные значения взаимодействуют
красиво с умножением и делением:

до тех пор, пока , положителен.

Таким образом, мы получаем

после упрощения получаем неравенство

задавая вопрос, какие числа меньше, чем на 1 единицу, кроме

Таким образом, исходное неравенство имеет в качестве множества решений интервал

.

Рассмотрим пример

Разделим на 3:

который совпадает с

Какие числа имеют расстояние не менее

из

? Набор решений дается формулой

Наш метод не годится для более надуманных примеров.

Рассмотрим неравенство

| x -3 | <2 x -4

Это возвращение к базовой алгебре с изюминкой.

Стандартное определение функции абсолютного значения дается следующим образом:

Таким образом мы можем избавиться от

войдите в наше неравенство, если мы
знать, положительное или отрицательное выражение внутри, x -3.

Мы именно так и поступим!

Давайте сначала рассмотрим только те значения x , для которых:

Дело 1 :

В этом случае мы знаем, что | x -3 | = x -3, поэтому наше неравенство становится

x -3 <2 x -4

Решая неравенство, получаем

x > 1.

Мы нашли несколько решений нашего неравенства:

x - решение, если
и x > 1 одновременно! Разговаривали
по поводу цифр.

Что делать, если x -3 <0?

Случай 2 : x <3

На этот раз x -3 <0, поэтому | x -3 | = - ( x -3) = 3- x ,
поэтому наше неравенство читается как

3- x <2 x -4.

Применяя стандартные методы, это можно упростить до

У нашего неравенства есть еще несколько решений:

В нашем случае предположение x <3, ​​решения - те действительные числа которые удовлетворяют .

Мы говорим о числах в интервале

Объединяя решения, которые мы нашли для обоих случаев, мы заключаем, что
множество решений неравенства

| x -3 | <2 x -4

числа в интервале

Упражнение 1.

Найдите решения неравенства

Отвечать.

Упражнение 2.

Найдите решения неравенства

Отвечать.

Упражнение 3.

Найдите решения неравенства

| x -3 |> 5.

Отвечать.

Упражнение 4.

Найдите решения неравенства

Отвечать.

Упражнение 5.

Найдите решения неравенства

| 2 x -5 |> x +1.

Отвечать.

[Назад]

[Следующий]

[Алгебра]

[Тригонометрия]

[Комплексные переменные]

[Исчисление]

[Дифференциальные уравнения]

[Матричная алгебра] С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.